Ângulo ao centro e arco de circunferência um ângulo formado por dois raios designa-se ângulo ao...
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Circunferência
Matemática – 9.º ano
Ângulo ao Centro e Arco de Circunferência
Um ângulo formado por dois raios designa-se
ângulo ao centro (o vértice do ângulo coincide
com o centro da circunferência)
c
A
B
Qualquer porção da circunferência determinada
por dois dos seus pontos, que são os extremos
do arco designa-se Arco de circunferência.
Nota – Quando falamos em arco, sem nada
acrescentar referimo-nos ao arco menor
AB
Circunferência
Matemática – 9.º ano
Ao ângulo ao centro ACB corresponde a
corda [AB] e o arco [AB] e vice-versa.
Observa a circunferência de centro O da
figura: a) Identifica quatro ângulos ao centro.
b) Indica dois pares de ângulos ao
centro geometricamente iguais.
c) Classifica quanto aos lados o triângulo
[EOD].
; ;AOB BOC COD e EOD
BOC FOE
AOB EOD
Triângulo isósceles
Circunferência
Matemática – 9.º ano
- a cada ângulo ao centro corresponde um arco e vice-versa
Numa circunferência:
- A arcos iguais correspondem cordas e ângulos ao centro iguais
- A ângulos ao centro iguais correspondem arcos e cordas iguais
- A cordas iguais correspondem arcos e ângulos ao centro iguais
- A amplitude de um arco é igual à amplitude do ângulo ao centro correspondente
C
F G
H
I
C
A
BE
D
Circunferência
Matemática – 9.º ano
Observa as figuras e determina, em cada caso, os valores de x e y.
30º 2 10º
2 10º 30º
1 40º
40º
x x
x x
x
x
x y
a)
c)
x+30º 2x - 10º
30º 30ºy e x
Ângulos verticalmente opostos
Circunferência
Matemática – 9.º ano
Ângulo inscrito
Um ângulo formado por duas cordas designa-
se ângulo inscrito (o vértice do ângulo
coincide com um ponto da circunferência)E
c
F
D
A amplitude de um ângulo inscrito é igual
a metade da amplitude do arco
compreendido entre os seus lados
O ângulo ao centro tem de amplitude 80º, logo a amplitude do arco correspondente também é 80º, o que significa que a amplitude do ângulo inscrito é igual a metade da do arco correspondente (80º/2=40º).
80º
Circunferência
Matemática – 9.º ano
Observa a figura e indica:
AOCa) Um ângulo ao centro;
b) Um ângulo inscrito;
c) Um arco de circunferência;
d) Um raio de circunferência;
e) Uma corda da circunferência.
ABC
AB
OC
AB
Circunferência
Matemática – 9.º ano
Considera a circunferência de centro O.
34º ( )COB ângulos verticalmente opostos
a) [AB] e [DC] são diâmetros. Porquê?
b) Se , calcula:
b1)
b2)
b3)
b4)
Porque são cordas que passam pelo centro. 34ºAOD COB
b5)
ABDDB
ADB
BAD
34º17º
2ABD
180º 34º 146ºDB
180º 34º 146º73º
2 2( 1 )
146º73º
2
( 146º )
BAD
ângulos de isósceles
BAD
ângulo inscrito correspondente a BD que é
360º 146º 34º 180º
90º2 2
ADB
Circunferência
Matemática – 9.º ano
Abre agora o programa Geogebra, no teu computador, e verifica o exercício anterior começando por:
traçar uma reta (com 2 pontos);
desenhar uma circunferência (centro sobre um ponto e raio no outro);
marcar os pontos A e B;marcar o ângulo AOD de 34º e os pontos D e C; marcar a corda DB;verificar todos os resultados.
Circunferência
Matemática – 9.º ano
Ângulo inscrito
Propriedades:
Os ângulos inscritos no mesmo arco de
circunferência são geometricamente
iguais.
Qualquer ângulo inscrito numa semi-
circunferência é reto.
Circunferência
Matemática – 9.º ano
O triângulo [MAR] representado na figura é retângulo em A e os seus
três vértices pertencem à circunferência.
Sabendo que e que
calcula .
MA QM 30ºMRA
QAR
30º 2 60º log 60º
90º ( )
180º
180º 60º
2 2120
60º2
MA MA o QM
M AR ângulo inscrito numa semi circunferência
então MQR
MQR MQQAR QAR
QAR QAR
Circunferência
Matemática – 9.º ano
Abre novamente o programa Geogebra e verifica o exercício anterior começando por:
traçar uma reta com dois pontos; desenhar uma circunferência (centro sobre um ponto e raio no
outro); marcar os pontos M e R; traçar o ângulo MRA de 30º; marcar o ponto A e a corda [MA]; verificar que o ângulo MAR é 90º; traçar uma reta perpendicular a MR e marcar o ponto Q; verificar todos os resultados.