angoli · 2019. 2. 25. · operazioni con angoli gli angoli possono essere • sommati •...
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ANGOLIANGOLI
ANGOLOANGOLOVARI TIPI DI ANGOLIVARI TIPI DI ANGOLIAMPIEZZAAMPIEZZAANGOLI “FAMOSI”ANGOLI “FAMOSI”OPERAZIONI CON GLI ANGOLIOPERAZIONI CON GLI ANGOLIRIDUZIONE ANGOLI A FORMA NORMALERIDUZIONE ANGOLI A FORMA NORMALERIDUZIONE ANGOLI A FORMA NORMALERIDUZIONE ANGOLI A FORMA NORMALESOMMASOMMASOTTRAZIONESOTTRAZIONEMOLTIPLICAZIONEMOLTIPLICAZIONEDIVISIONEDIVISIONETEMPOTEMPO
GENERALE INIZIO INDIETRO AVANTI
SEMIPIANOSEMIPIANO
PIANO: INSIEME INFINITO DI RETTE E DI PUNTI α
SEMIPIANO: CIASCUNA DELLE DUE PARTI IN CUI UN PIANO E’ DIVISO DA UNA RETTA
α
β
GENERALE INIZIO INDIETRO AVANTI
ANGOLOANGOLO
ANGOLO: CIASCUNA DELLE DUE PARTI IN CUI UN PIANO VIENE DIVISO DA DUE SEMIRETTE
αβ
ANGOLO α
ANGOLO βGENERALE INIZIO INDIETRO AVANTI
ANGOLOANGOLO
LATI ANGOLO : SEMIRETTE a E b
VERTICE V : ORIGINE DELLE SEMIRETTE
V
GENERALE INIZIO INDIETRO AVANTI
ANGOLOANGOLO
α = ANGOLO CONVESSO
β = ANGOLO β = ANGOLO CONCAVO
ANGOLO CONCAVO: CONTIENE I PROLUNGAMENTI DEI LATI
ANGOLO CONVESSO: NON CONTIENE I PROLUNGAMENTI DEI L ATI
GENERALE INIZIO INDIETRO AVANTI
ANGOLOANGOLO
UN ANGOLO PUO’ ESSERE INDICATO DA
• UNA LETTERA DELL’ALFABETO ITALIANO O GRECO a - α - β ecc
• UN NUMERO 1 – 2 ecc.
SORMONTATI DA UN ACCENTO CIRCONFLESSO
α̂ 1̂
SORMONTATI DA UN ACCENTO CIRCONFLESSO
β̂
GENERALE INIZIO INDIETRO AVANTI
VARI TIPI DI ANGOLIVARI TIPI DI ANGOLI
CONSECUTIVI: HANNO IN COMUNE UN VERTICE E UN LATO
α̂β̂
V
GENERALE INIZIO INDIETRO AVANTI
VARI TIPI DI ANGOLIVARI TIPI DI ANGOLI
ADIACENTI : SONO CONSECUTIVI E I LATI NON COMUNI SONO SEMIRETTE OPPOSTE
α̂β̂V
GENERALE INIZIO INDIETRO AVANTI
13
VARI TIPI DI ANGOLIVARI TIPI DI ANGOLI
SOVRAPPOSTI: HANNO IL VERTICE E UN LATO IN
COMUNE E TUTTI I PUNTI DELL’ANGOLO MINORE APPARTENGONO ANCHE ALL’ANGOLO MAGGIORE
α̂β̂
V
GENERALE INIZIO INDIETRO AVANTI
AMPIEZZA ANGOLOAMPIEZZA ANGOLOL’ AMPIEZZA DI UN ANGOLO MI DA INFORMAZIONI SU QUAN TO E’ GRANDE.
LA MISURA DI UN ANGOLO E’ STATA UTILIZZATA FIN DAI BABILONESI CIOE’ PIU’ DI 2700 ANNI FA !
IL SISTEMA INVENTATO DAI BABILONESI SI CHIAMA SESSAGESIMALESESSAGESIMALE E VIENE USATO PER LA MISURA DEGLI ANGOLI E DEL TEMPO. E DEL TEMPO.
PER TUTTE LE ALTRE MISURE USIAMO IL SISTEMA DECIMAL E.
SISTEMA DECIMALESISTEMA DECIMALE : LE VARIE UNITA’ DI MISURA SONO MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI DEL NUMERO 10. CON QUESTO SISTEMA S I MISURA LA LUNGHEZZA, SUPERFICIE, VOLUME, MASSA ecc :
m :10 dm :100 cm :1000 mmx10 damx100 hmX1000 Km
GENERALE INIZIO INDIETRO AVANTI
SISTEMA SESSAGESIMALESISTEMA SESSAGESIMALESISTEMA SESSAGESIMALESISTEMA SESSAGESIMALE : LE VARIE UNITA’ DI MISURA SONO MULTIPLI E
SOTTOMULTIPLI DEL NUMERO 60. CON QUESTO SISTEMA SI MISURA:
• L’AMPIEZZA DI UN ANGOLOL’AMPIEZZA DI UN ANGOLO : GRADI – PRIMI - SECONDI
• LO SCORRERE DEL TEMPOLO SCORRERE DEL TEMPO : ANNI – MESI – GIORNI – ORE – MINUTI- SECONDI
ANGOLIANGOLI
GRADO GRADO °°:: NOVANTESIMA PARTE DELL’ANGOLO RETTO
PRIMO ‘PRIMO ‘ : : SESSANTESIMA PARTE DEL GRADO 1°= 60’
SECONDO “:SECONDO “: SESSANTESIMA PARTE DEL PRIMO 1’= 60”
GENERALE INIZIO INDIETRO AVANTI
MISURE DI ANGOLI “FAMOSI”MISURE DI ANGOLI “FAMOSI”
ANGOLO ANGOLO RETTORETTO : : 9090°°
ANGOLO ANGOLO PIATTOPIATTO : : 180 180 °°
ANGOLO ANGOLO GIROGIRO : : 360 360 °°ANGOLO ANGOLO GIROGIRO : : 360 360 °°
ANGOLO ANGOLO ACUTOACUTO : : MINORE DI 90 MINORE DI 90 °°
ANGOLO ANGOLO OTTUSOOTTUSO : : MAGGIORE DI 90 MAGGIORE DI 90 °°
GENERALE INIZIO INDIETRO AVANTI
DUE ANGOLI POSSONO ESSERE:DUE ANGOLI POSSONO ESSERE:
ANGOLI ANGOLI COMPLEMENTARICOMPLEMENTARI: LA LORO : LA LORO SOMMASOMMA E’ E’ 90 90 °°
ANGOLI ANGOLI SUPPLEMENTARISUPPLEMENTARI : LA LORO : LA LORO SOMMASOMMA E’ E’ 180 180 °°( DUE ANGOLI ADIACENTI SONO SUPPLEMENTARI)( DUE ANGOLI ADIACENTI SONO SUPPLEMENTARI)
12
12
ANGOLI ANGOLI ESPLEMENTARIESPLEMENTARI: LA LORO : LA LORO SOMMASOMMA E’ E’ 360 360 °°1
2
GENERALE INIZIO INDIETRO AVANTI
OPERAZIONI CON ANGOLIOPERAZIONI CON ANGOLIGLI ANGOLI POSSONO ESSERE
• SOMMATI
• SOTTRATTI
• MOLTIPLICATI PER UN NUMERO
• DIVISI PER UN NUMERO
LA MISURA DI UN ANGOLO SI DICE RIDOTTA A FORMA NORM ALE (RFN) QUANDO IL VALORE DEI PRIMI O DEI SECONDI NON SUPERA IL 59.
185°27’ 46” E’ RIDOTTO A FORMA NORMALE
5°73’ 68” NON E’ RIDOTTO A FORMA NORMALE PERC HE’ I PRIMI E I SECONDI SUPERANO IL NUMERO 59.
GENERALE INIZIO INDIETRO AVANTI
RIDUZIONE A FORMA NORMALERIDUZIONE A FORMA NORMALE
73’ = 60’ + 13’ = 1°+ 13 ‘
68” = 60” + 8”= 1’ + 8”
QUINDI SCRIVO 5°73’68” = 5°(1°+13’) (1’+8”) = 66°°14’ 8”14’ 8” RFN
ANGOLO = 5°73’ 68”
5°73’ 68” 66°°14’ 8” RIDOTTO A FORMA NORMALE RFN14’ 8” RIDOTTO A FORMA NORMALE RFN
GENERALE INIZIO INDIETRO AVANTI
RIDUZIONE A FORMA NORMALERIDUZIONE A FORMA NORMALE
QUINDI SCRIVO 5°73’68” = 5°(1°+13’) (1’+8”) = 66°°14’ 8”14’ 8” RFN
5°73’ 68” 66°°14’ 8” RIDOTTO A FORMA NORMALE RFN14’ 8” RIDOTTO A FORMA NORMALE RFN
GENERALE INIZIO INDIETRO AVANTI
SOMMASOMMA8°29’ 45 “ + 38°52 ‘ 49 “ = ?
1) METTERE IN COLONNA ALLINEANDO I GRADI , PRIMI E S ECONDI
8°29’ 45 “ +
38°52’ 49 “ =
2) SOMMARE I GRADI , PRIMI E SECONDI
8°29’ 45 “ +
38°52’ 49 “ =
46 °81’ 94” NON E’ RIDOTTO A FORMA NORMALE PERCHE’ I PRIMI E I SECONDI SUPERANO IL 59
81’ = 60’ + 21’ = 1°+ 21 ‘
94“ = 60 “ + 34” = 1’ + 34”QUINDI: 46°(1°+21’) 1’+34”) = 47 47 °°22’ 34 “22’ 34 “ RFN
GENERALE INIZIO INDIETRO AVANTI
SOTTRAZIONESOTTRAZIONE46°32’ 24 “ - 26°55‘ 15 “ = ?
1) SI VALUTA SE I PRIMI O I SECONDI DEL SOTTRAENDO SONO ’ PIU’ PICCOLI DEI PRIMI O DEI SECONDI DEL MINUENDO
DOVREMMO SOTTRARRE A 32’ BEN 55’ E’ IMPOSSIBIL E !!!!!!!!
ALLORA I 32 PRIMI DEL MINUENDO CHIEDONO UN PRESTITO DI 1°(=60’) AI GRADI E QUINDI DIVENTA:
SOTTRAENDOMINUENDO
AI GRADI E QUINDI DIVENTA:
46° 32‘ 24“
1°= 60’
DIVENTA45°(60’+32’) 24” = 45°92’ 24”
SI DICE CHE SI E’ RICORSO AL PRESTITOSI DICE CHE SI E’ RICORSO AL PRESTITO
GENERALE INIZIO INDIETRO AVANTI
SOTTRAZIONESOTTRAZIONE46°32’ 24 “ - 26°55‘ 15 “ = ?
I 32 PRIMI DEL MINUENDO CHIEDONO UN PRESTITO DI 1°( =60’) AI GRADI E QUINDI DIVENTA:
46° 32‘ 24“DIVENTA
45° (60’+32’) 24” = 45 ° 92’ 24”
SOTTRAENDOMINUENDO
1°= 60’
45° (60’+32’) 24” = 45 ° 92’ 24”
SI DICE CHE SI E’ RICORSO AL PRESTITOSI DICE CHE SI E’ RICORSO AL PRESTITO
GENERALE INIZIO INDIETRO AVANTI
SOTTRAZIONESOTTRAZIONE
2) METTERE IN COLONNA ALLINEANDO I GRADI , PRIMI E SECONDI
45° 92’ 24 “ -
26° 55‘ 15 “ =
2) SOTTRARRE I GRADI , PRIMI E SECONDI
45° 92’ 24 “ -26° 55‘ 15 “ =
1919°° 37’ 9”37’ 9” E’ RIDOTTO A FORMA NORMALEE’ RIDOTTO A FORMA NORMALE
GENERALE INIZIO INDIETRO AVANTI
MOLTIPLICAZIONEMOLTIPLICAZIONE22°12’ 25“ x 3 = ?
1) SI MOLTIPLICA IL NUMERO SIA PER I GRADI CHE I PR IMI CHE I SECONDI
22° 12’ 25“ x 3 = 6666°° 36’ 75” 36’ 75” NON E’ RIDOTTO A FORMA NON E’ RIDOTTO A FORMA NORMALE PERCHE’ CI SONO NORMALE PERCHE’ CI SONO 75” 75”
E’ RIDOTTO A E’ RIDOTTO A
FORMA NORMALEFORMA NORMALE
75” 75”
6666°° 36’ 75” = 6636’ 75” = 66°° 36’ (60”+15”) = 6636’ (60”+15”) = 66°° 36’ (1’+ 15”) = 6636’ (1’+ 15”) = 66°°37’ 15” 37’ 15”
GENERALE INIZIO INDIETRO AVANTI
DIVISIONEDIVISIONE70°52’ 24“ : 8 = ?
1) SI DIVIDONO PER IL NUMERO SIA I GRADI CHE I PRIMI CHE I SECONDI
SE IN UNA DIVISIONE COMPARE IL RESTO VIENE MOLTIPLI CATO PER 60 E SOMMATO AI PRIMI O AI SECONDI
7070°° 52’52’ 24”24” 88
88°°66°°= 6 x 60 = = 6 x 60 = 360’360’
412’412’
GENERALE INIZIO INDIETRO AVANTI
DIVISIONEDIVISIONE
7070°° 52’52’ 24”24” 88
88°°66°°= 6 x 60 = = 6 x 60 = 360’360’
412’412’
51’51’
4’ = 4 x 60 = 4’ = 4 x 60 = 240”240”
264”264”
GENERALE INIZIO INDIETRO AVANTI
DIVISIONEDIVISIONE
7070°° 52’52’ 24”24” 88
88°°66°°= 6 x 60 = = 6 x 60 = 360’360’
412’412’
51’51’ 33”33”
RISULTATO RFNRISULTATO RFN
4’ = 4 x 60 = 4’ = 4 x 60 = 240”240”
264”264”
Resto OResto O
GENERALE INIZIO INDIETRO AVANTI
MISURA DEL TEMPOMISURA DEL TEMPOL’UNITA’ DI MISURA PRINCIPALE E’ IL GIORNO gL’UNITA’ DI MISURA PRINCIPALE E’ IL GIORNO g
MULTIPLIMULTIPLI11msms = 30 = 30 gg
ANNOANNO aa
MESEMESE msms
GIORNOGIORNO gg
11aa = 12 = 12 msms = 360 = 360 gg
SOTTOMULTIPLISOTTOMULTIPLI
ORAORA hh
MINUTOMINUTO mm
SECONDOSECONDO ss
11h h = 60 = 60 mm = 3600 = 3600 ss
11mm = 60 = 60 ss
GENERALE INIZIO INDIETRO AVANTI
= 10h 11m 59 s
PER INDICARE UN INTERVALLO DI TEMPO DI :PER INDICARE UN INTERVALLO DI TEMPO DI :
3 ANNI, 7 MESI, 12 GIORNI, 8 ORE, 20 MINUTI, 30 SECONDI3 ANNI, 7 MESI, 12 GIORNI, 8 ORE, 20 MINUTI, 30 SECONDI
33aa 7 7 msms 1212g g 20 20 mm 3030ss
PER MISURARE INTERVALLI DI TEMPO PIU’ PICCOLI DEL PER MISURARE INTERVALLI DI TEMPO PIU’ PICCOLI DEL SECONDO SI USANO I DECIMI E I CENTESIMI SECONDO SI USANO I DECIMI E I CENTESIMI SECONDO SI USANO I DECIMI E I CENTESIMI SECONDO SI USANO I DECIMI E I CENTESIMI
3 MINUTI, 8 SECONDI E 5 DECIMI SI SCRIVE: 3 MINUTI, 8 SECONDI E 5 DECIMI SI SCRIVE: 33mm 8,5 8,5 ss
2 MINUTI, 5 SECONDI E 37 CENTESIMI SI SCRIVE: 2 MINUTI, 5 SECONDI E 37 CENTESIMI SI SCRIVE: 22mm 5,37 5,37 ss
GENERALE INIZIO INDIETRO
RIDUZIONE A FORMA NORMALERIDUZIONE A FORMA NORMALE
ANCHE CON IL TEMPO SI DEVE FARE LA RIDUZIONE A FORM A ANCHE CON IL TEMPO SI DEVE FARE LA RIDUZIONE A FORM A NORMALE DEL RISULTATO FINALE NORMALE DEL RISULTATO FINALE
UNA MISURA E’ RIDOTTA A FORMA NORMALE QUANDO:UNA MISURA E’ RIDOTTA A FORMA NORMALE QUANDO:
• SECONDI NON SUPERANO 59
• MINUTI NON SUPERANO 59
GENERALE INIZIO INDIETRO AVANTI
• ORE NON SUPERANO 23
• GIORNI NON SUPERANO 29
• MESI NON SUPERANO 11
RIDUZIONE A FORMA NORMALERIDUZIONE A FORMA NORMALE
67h 90m 75S = 67h 90m (60+15)S = 67h 91m 15S = 67h (60+31)m 15S =
68h 31m 15S = (24+24+32)h 31m 15S = 22gg 3232hh 3131mm 1515SS RFNRFN68h 31m 15S = (24+24+32)h 31m 15S = 22gg 3232hh 3131mm 1515SS RFNRFN
GENERALE INIZIO INDIETRO AVANTI
RIDUZIONE A FORMA NORMALERIDUZIONE A FORMA NORMALE
1ms 35g = 1ms (30+5)g = 2ms 5g RFNRFN
GENERALE INIZIO INDIETRO
CON LE MISURE DEL TEMPO SI POSSONO ESEGUIRE TUTTE L E CON LE MISURE DEL TEMPO SI POSSONO ESEGUIRE TUTTE L E OPERAZIONI CHE ABBIAMO VISTO PER GLI ANGOLIOPERAZIONI CHE ABBIAMO VISTO PER GLI ANGOLI