analytische funktionen und algebraische zahlen

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Analytische Funktionen und algebraische Zahlen. H. Tefl~). Von E. HECK~ in Hamburg. Die im I. Teil entwickelten Hilfsmittel wende ich jetzt zur Begrfindung einer Theorie der Modulfunktionen yon n Veritnderlichen an. Ich beschranke reich hier auf den Fall n = 2, der hinreichende Allgemeinheit besitzt, um die Methoden fiir h0here n klar erkennen zu lassen. Uber- dies treten schon bei n = 2 so viel neue Schwierigkeiten und ungel0ste Probleme atff, dab sich die Beschrt~nkung auf 2 Variable empfiehlt, um die Hauptsachen nicht durch die formale Kompliziertheit der Formeln verdunkeln zu lassen. Es sei k = k(V~d) ein reeller quadratischer K{~rper mit der Diskriminante d. Als Modulgruppe ~ in diesem K6rper bezeichne ich die Gruppe der simultanen Substitutionen in zwei Variablen ~+Z ~'r I~" I ~ --- ~ r~-t-~ ' r'r J' ' worin ~, ~' die komplexen Variablen, a, ~, r, J ganze Zahlen aus k sind, deren Determinante a J--fir eine total positive Einheit ist. Dabei be- deuten die Akzente den Ubergang zu den konjugierten Zahlen, und eine Zahl ~ heiBt in k total positiv, wenn p~0 und/~'=~0 ist, wofiir die Abkih'zung ,,p~-0" gelte. M0dulfunktionen in k nenne ich analytische Funktionen der kom- plexen Variabeln v, ~', welche bei den Transformationen der Gruppe ~fft invariant bleiben -- wobei noch genauere Festsetzungen der zult~ssigen Singularitaten getroffen werden miissen. Die Grundlagen der Theorie dieser Modulfunktionen sind oereits yon Herrn BLUMENTHAL t) in zwei ausfiihrliehen Arbeiten entwickelt worden. Ich nenne als seine Haupts~tze: 1. Die Gruppe ~ ist eigentlich diskontinuierlich in demjenigen Teih'aum T der Variabeln, wo ~ (v)~ 0, ~ (v')< 0 ist. Hier besitzt sie einen Fundamentalbereich, der mit dem Rande yon T nur einen Punkt (ira Unendlichen) gemein hat. z) Vgl. Teil I in diesen Abhandlungen, Bd. 1 (1922). ~) 0. BLUMENTHAL, ~ber Modulfunktionen yon mehreren Ver~nderlichen. Ann. Bd. 56 (1903) (S. 509--548) und 58 (1904) (S. 497--527). Math.

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Analytische Funktionen und algebraische Zahlen. H. Tefl~).

Von E. HECK~ in Hamburg.

Die im I. Teil entwickelten Hilfsmittel wende ich jetzt zur Begrfindung einer Theorie der Modulfunktionen yon n Veritnderlichen an. Ich beschranke reich hier auf den Fall n = 2, der hinreichende Allgemeinheit besitzt, um die Methoden fiir h0here n klar erkennen zu lassen. Uber- dies treten schon bei n = 2 so viel neue Schwierigkeiten und ungel0ste Probleme atff, dab sich die Beschrt~nkung auf 2 Variable empfiehlt, um die Hauptsachen nicht durch die formale Kompliziertheit der Formeln verdunkeln zu lassen.

Es sei k = k(V~d) ein reeller quadratischer K{~rper mit der Diskriminante d. Als Modulgruppe ~ in diesem K6rper bezeichne ich die Gruppe der simultanen Substitutionen in zwei Variablen

~ + Z ~ ' r I~" I ~ - - - ~

r~- t -~ ' r 'r J' '

worin ~, ~' die komplexen Variablen, a, ~, r, J ganze Zahlen aus k sind, deren Determinante a J - - f i r eine total positive Einheit ist. Dabei be- deuten die Akzente den Ubergang zu den konjugierten Zahlen, und eine Zahl ~ heiBt in k total positiv, wenn p ~ 0 und/~'=~0 ist, wofiir die Abkih'zung , ,p~-0" gelte.

M0dulfunktionen in k nenne ich analytische Funktionen der kom- plexen Variabeln v, ~', welche bei den Transformationen der Gruppe ~fft invariant bleiben - - wobei noch genauere Festsetzungen der zult~ssigen Singularitaten getroffen werden miissen.

Die Grundlagen der Theorie dieser Modulfunktionen sind oereits yon Herrn BLUMENTHAL t) in zwei ausfiihrliehen Arbeiten entwickelt worden. Ich nenne als seine Haupts~tze:

1. Die Gruppe ~ ist eigentlich diskontinuierlich in demjenigen Teih'aum T der Variabeln, wo ~ ( v ) ~ 0, ~ (v ' )< 0 ist. Hier besitzt sie einen Fundamentalbereich, der mit dem Rande yon T nur einen Punkt (ira Unendlichen) gemein hat.

z) Vgl. Teil I in diesen Abhandlungen, Bd. 1 (1922). ~) 0. BLUMENTHAL, ~ber Modulfunktionen yon mehreren Ver~nderlichen.

Ann. Bd. 56 (1903) (S. 509--548) und 58 (1904) (S. 497--527). Math.

214 E. Heeke.

2. Auf dent Rande yon T liegen die hyperbolischen Fixpunkte der Gmppe ~ fiberall dicht.

3. Es gibt zwei unabh~tngige analytische Funktionen, welche bei der Gruppe ~ invariant bleiben und im Innern yon T den Charakter rationaler Funktionen besitzen.

4. Die Modulfunktionen bilden einen algebraischen K6rper, derart, daft bei geeigneter Festlegung zulassiger Singularitaten zwischen drei Funktionen dieser Art stets eine algebraische Gleichung mit konstanten Koefitzienten besteht, und jede dieser Funktionen sich rational durch drei geeignet festgewahlte ausdriicken laflt.

Die Beweise yon 3. und 4. bauen sich auf 1. und 2. auf und benutzen als wesenfliches Hilfsmittel die Poineardschen Thetareihen. Ich habe spltter gezeigtS):

5. Legt man die durch Hinzunahme der Transformation

"IL" 1 = ,'~-P ~'~. = ~ , ~ "

erweiterte Modulgruppe ~ ~ zugrunde (innerhalb weleher !lR den Index 2 hat), so lassen sieh die hierzu geht~rigen Funktionen rational durch Theta- nullwerte yon zwei Variabeln darstellen.

In der vorliegenden Arbeit will ich nun zeigen, wie man auf einem andem Wege als Herr BLUMENTHAL ZUF Aufstellung von Modulfunktionen gelangen kann, der den Vorzug hat, ganze Serien wichtiger Funktionen dieser Art direkt zu liefern und tiberdies gerade die arithmetischen Eigen- schaften des Zahlk(irpers k ( V d ) in den Vordergrund zu stellen, wodurch das Verhitltnis dieser Funktionen zu den elliptischen Modulfunktionen erst deutlich erkennbar wird. Vor allem wird man auf diesem einfacheren Wege auch zur Aufstellung einzelner individueller Funktionen gefiihrt, die in tier allgemeinen Theorie eine besondere Wichtigkeit haben. Die hier entwickelten Ansittze sind am besten als eine Verallgemeinerung tier Eisensteinschen Reihen gs, .qs bei den elliptischen Modulfunktionen zu kennzeichnen.

Im w 1 werden diese Reihen definiert und ihr Charakter als ,,Modul- formen" durch eine Umsetzung in Potenzreihen des quadratischen Ktlrpers festgestellt; die Koeffizienten sind arithmetisch definierte Funktionen des Exponenten. I m w 2 werden unendlieh viele Paare unabhangiger Modul- funktionen angegeben und damit die obige Aussage 3. direkt ohne Kon- stmktion des Fundamentalbereiches bewiesen. w 3 bringt mit einer neuen Methode den Nachweis, dab auch die Reihen von der Dimension - - 2

3) E. HF.CKE, Hiihere Modulfunktionen und ihre Anwendung auf die Zahlentheorie, Math. Ann. 71 (1910), und: Uber die Konatruktion relativ-Abelscber Zahlk(irper durch Modulfunktionen yon zwei Variabeln, Math. Ann. 74 (1912).

Analytische Funktioneu und algebraische Zahlen. H. 215

und --1 z~och ganze Modulfonnen darstellen ~ abweichend vom elliptischen Fall. w 4 zeigt allgemeine Eigenschaften der Modulgruppe, die mit der Tatsache zusammenh~tngen, daft die Klassenzahl des Zahlk0rpers nicht glei~h 1 zu sein braucht. w 5 endlich untersucht, mit Hilfe der all- gemeinen Zetafunktionen mit GrOftencharakteren, eine Klasse individueller Funktionen, welche als das Analogon zu log v (~) aus der Theorie der elliptischen Modulfunktionen zu bezeichnen sind.

w 1. Die Eisensteinschen geihen von der Dimension - - k ( k > 3) im reellen qusdrstisehen K~rper.

Es sei k eine positive ganze rationale Zahl. F ~ zwei ganze Zahlen- paare x, p und x~, p~ des KOrpers k ( 1 / d ) haben die Ausdr~cke

(zv + p)k. (x'~'+ p,)k und (xl, ~- pl) ~ (x~'-[- p~)~

offenbar denselben Wert, wenn es eine total positive Einheit ~/ gibt, so daft

Wit nennen solche Zahlenpaare (x, p) und (xl,/,1) ,mod. 1 assoziiert". Die Reihe

~,~, (x~+ ~,)k (~,~,+ t,'Y'

hat daher, sobald sie absolut konvergiert, einen eindeutig bestimmten Sinn., wenn hierin z, p die Gesamtheit aller mod. 1 nicht assoziierten Zahlenpaare attfler 0,0 durchlaufen. Dieses sei durch den Zusatz (x, p)l am Summenzeiehen ausgedrQckt.

8atz 1. Die R~'he q~(v, ,') -~- , ~ ' 1

~,,,, (,,~ + t,) k (x' , ' + ~,,)k

konvergiert ffir k ~ 3 absolut im Teilraum T und steUt eine innerhalb T reguli~re analytisdse Funktion dar, welcYze sich bei einer jeden Sub- stitution der Modulgr~cppe ~ so ver~ndert:

(1) G~ ~r-~+ ~' ~ ! = (r, + ~Y' (r'"% J'Y' ~ (,, - ').

Zum Beweise bedenken wir, daft, wenn ~, ~' in einem abgeschlossenen Bereiche 2'1 variieren, der innerhalb T liegt, die beiden positiv deflniten auadratischen Formen in x, y

[x~ 4-y[' und [xv'+y['

216 ~. Hecke.

fiir die Wertsysteme xS-} - y'* = 1 eine positive untere Sehranke 1' besitzcu, und daft daher stets

Ix~ +y l ' > l ,(x '+y') Ix~'+ yl' >= p(.~.' + y').

Mithin ist

I 1 i 1 = pk k l (~' + ~,')~ (~'-~+ t,,~)-;

k Im Nenner reehts stehen die ~-ten Potenzen der Normen aller Zahlen y. + i t ,

im KSrper 4. Grades K --- K ( V-d, i), die sich nicht um eine total-positive Einheit ~ des Grundk6rpers k ( I / d ) als Faktor unterscheiden. Da abet in K und in k bekanntlich die Anzahl der unabhttngigen Einheiten dieselbe ist, so sind unter den Zahlen x + i~ h0chstens je 8 im K6rper K assoziiert und die ~ konvergiert daher wegen tier Konvergenz der Zetareihe im

(z,/l)l k

K0rper K ( V d , , i ) fiir-~-=> 1, d. h. k ~ 3 . Aus dem 0bigen ergibt sich

auch die gleichmitfiige Konvergenz in T~ und mithin ist G~ (~, 3') eine in T regul~tre analytische Funktion. Nun ist weiter ftir jede Substitution tier Modulgruppe!l)l

Setzt man

1 (r ~ + d)~ (f r + ~') k v/.,, ((a" + r~')~ + ~. + 6~)" ('") k . (z, I~),

zl ----- a z ~ r p

t ' l = ~ x + J/~,

so erkeunt man, daft xt, Pl gleiehzeitig mit x, p ein volls~ndiges System rood. 1 nicht-assoziierter Zahlenpaare durchlituft. Wegen der bewiesenen absohten Konvergenz der Reihe ist also die Reihe rechts wieder G~ (~, ~'), womit Satz 1 bewiesen ist. Wenn eine Funktion yon ~, ~' in T regulitr ist und sich bei Modalsubstitutionen wie Gk nach (1) verhitlt, so heifle sie eine ganze Modulform yon der Dimension--k.

Das Bildungsgesetz dieser Reihen laBt sieh in naheliegender Art ver- allgemeinern, indem man z u n d p nut die Zahlen eines Ideals durehlaufen lit~t; man erhitlt damn zu jeder Idealklasse eine Modulform.

Betraehtet man namlieh fflr. k ~ 3 die Reihe

Z !

(z, ~ x~=/a~O(a)

(x~ + ~,)k (x'~'+ ~,')~ '

Analytische Funktionen und algebraische Zahlen. II. 217

worin x, t, die mad.1 nieht-assoziierten Zahlenpaare durchlaufen, welche durch ein festes Ideal a einer Idealklasse ~ des quadratisehen K6rpers teilbar sind (Klasse dabei im gew0hnlichen weitesten Sinne genommen), so stellt diese Reihe offenbar wieder eine ganze Modulform van der Dimension - - k dar. Diese Form verschwindet offenbar identisch in ~, ~', wenn k ungerade und die Grundeinheit e die Norm - -1 hat, weft dann die Glieder mit (x, p) und (ex, ~p) sich gerade gegenseitig aufheben. Um die Zuordmmg obiger Summ.e zu der Idealklasse ,~ deutlich zu iibersehen, treffen wir folgende Festsetzungen:

a) Es sei die Norm der Gnmdeinheit gleich - - 1 und die Zahl k ungerade. Dann verstehen wh' unter der Zahl Xk (a) den Weft 0.

b) In jedem andern Fall sei Xk (a) ein soleher Charakter des Ideals a ftir den engeren Xquivalenzbegriff, daft fi~r jedes Hauptideal X die Gleichung X~ (~) ----- (sgn~2') k gelte (2 . . 0).

Bei diesen Festsetzungen ist dann

I ~'(a)I ~ z , (a) ( ~ + p)~ (~ ' r p')~

z ~ p _ . 0(r

eine Modulforra der Dimension - -k , welche nicht van a selbst, sondern nur van der Klasse ~ (im weitesten Sinne) abh~ngt, der das Ideal a

angeh0rt. 4) Und fiir alle diese Funktionen gilt dann eine Fourierent- wickhng, aus der sich ergibt, daft kein O~ identisch in ~, f ' verschwindet, aufler in dem oben erw~thnten Fall, wo Xk (a) = 0 ist.

Satz 2. 1Do~n Xk (a) :~ O, so gilt die Fourierentwicklung

o,, (,, ,-'; ~, z) = A,, (~, z ) + B,,.,~, ~, (,,, St, x)q~q ''' u~-O

worin

(,,.,?, (t,t,')* p ~ 0 (a)

z; -~ (m) = e(1) , ~ - - e(1);(k; ~, X~) =i.~- ' J N(m)J k

(2 ~r) ~k 1 B , - r(k)' V d ''~-*

2" r 2~i _ - -2g i - - - -

q = e V~ ' , q = e

c, (u; ~, X) = e(1) ~Yx~ (m)JN(m)[ *-x. m[v minR

*) Eine )[ndcrung yon X ~llein, unte~ Rtlck~icht auf die Fest~etzungen a) ,nd b) hat offenbar nur die ~ultiplikation yon G, mit einer Konstanten zur Folge.

218 E. Hecke.

In dieser letzten Summe durchlituft m die verschiedenen Idealteiler yon ,,, die der Klasse ~ angeh6ren, e(1) ist die Anzahl der mod. 1 nich! assoziierten Einheiten, also 2 oder 4.

Der Beweis obiger Gleichungen folgt leicht, wenn wit die Doppel- summe fiber x, $, so spalten

2: = 2 : '+ 2:'2:. X ~ 0

Das erste Glied ist dann A k ; das zweite Glied wird nach den Uberlegungen aus w 3 des L Tells umgeforn~t, wonach fiir festes x :~ 0

' 2 ~i pxr--p'x'r' 1 (2 ,)2k sgn x ~e .-~

�9 ~ k , k lid . - - ~ - T . 2=, N(~) k-1 e r(k) 2 ( V d ) - N(a)pi._ px>o

Summiert man diese Gleiehung noeh iiber (x)~ und faflt die Glieder mit demselben e x = u zusamrnen, so ergibt sich die Behauptung.

Hieraus folgt nun, daft keine der Funktionen Gk far k ~ 3 identisch in v, v' verschwindet, abgesehen yon der oft erwi~hnten trivialen Aus- nahme. Denn in diesen Reihen kann man yon 0 versehiedene Koeffi- zienten c~ (v) angeben, indem man ~ so wi~hlt, daft es ein Produkt aus zwei gleiehen oder verschiedenen Primidealen der vorgegebenen Klasse .~ und ihrer Reziproken ist, was stets m6glich ist; da in jeder Klasse unendlich viele Primideale existieren.

Auf dieselbe Art folgt, dab fiir festes k die den h verschiedenen Klassen St zugeordneten G1, linear unabhangig sind. Wenn h :~ 1, so stellt also der Quotient zweier Gk mit demselben k, aber vemchiedenen eine nicht-konstante Mo&dfimkt ion der G ~ p p e !l~l dar.

Auch wenn h ~ 1, lassen sieh sogleich Modulfunktionen bilden, die nicht konstant sin& Z.B. verhalt sich

8 ~ ( ~ 8 Gk 8 Gk , 0 ) l o g G ~ __ G~ 0~ 8~ - - - - - -~ 0 r 8~'

- -

wie eine Modulform der Dimension ~ 2; also ist fiir grade k

/f

r r

eine Modulfunktion. Sie ist nicht konstant, weil die Fourierentwicklung yon (~k ein konstantes Glied enthitlt, der Zi~hler yon ~1, aber nicht.

Analytische Funktionen mad algebraische Zahlen. II. 219

Ich setze zum Vergleich noch die bekannten Formeln ffir die elliptischen Modulformen heran:

1 = A~ n t- B~, . ~ &, (~) e ~'a "~ (k l~'ade), ~' (m �9 + ~)~ ~=~ und zwar

A;, : ~ ' 1 k

, (2 ~)~ Bk ---- r(k) ( - 1)-~'

dk (n) ~ 2 ~ d k-1 (d durchlauft die positiven Teiler yon n). dln, d>O

Diese elliptischen Reihen haben nun, yon dem gemeinsamen Faktor u k abgesehen, rationale Koeffizienten, da bekanntlich der Quotient yon ~(k) und uk rational ist.

Das gleiche gilt nun auch f-fir die Reihen in zwei Veritnderlichen: As,

Satz 3. Der Quotient Bk Zk (0) in Satz 2 ist eine rationale Zahl,

O~ (~, r V -~ k-1 so daft die Fourierreihe yon ~ k X~ (a) rationale KoeffizieT~te~ besitzt.

Der Beweis dieses Satzes ergibt sich durch die Ausrechnung des ~r der Zetafunktion ~(k; ~, X~,) nach einer Methode, wie ich sie ffir den Fall k ~ 1 bei einer Klassenzahlbestimmung 5) benutzt habe. Eleganter ist ein funktionentheoretischer Beweis, der yon der Tatsache Gebrauch macht, dal~ Ak durch die iibrigen Koef-fizienten Bk ck eindeutig bestimmt ist vermittels der Invarianzeigenschaft, und da~ auf Grund der eingangs angeffihrten Satze yon Herrn BLUMENTHAL Gk sich durch Theta- nullwerte rational ausdriicken lagt. Diese Werte ~ (k; ~, g k) liefern often- bar im reellen quadratischen K6rper das Analogon zu den Bernoullischen Zahlen. Wegen des Beweises yon Satz 3 verweise ich auf eine dem- naehst erscheinende Hamburger Dissertation. Im folgenden wird der Satz nicht welter gebraucht.

w 2. Aufs t e lhng yon z we i u n a b h ~ g i g e n Modulfunktionen. Um nun nachzuweisen, dab man dutch Quotientenbildung aus

den Gk zwei unabhi~ngige Modulfunktionen gewinnen kann, untersuchen wir die Funktionaldeterminante der beiden Modulfunktionen

a~ a~

~) E. HECK~, Bestimmung der Klassenzahl einer neuen Reihe yon algebraischen Zahlktirpern, Gtitt. Nachr. 1921.

220 E. He~e.

und zeigen, daft in ihrer Foufierentwicklung sicher ein yon Nitll ver- schiedener Koeffizient vorkommt, wenn r = k + 2 s und k eine hinreichend groge gerade Zahl ist. Wir setzen hierbei noeh voraus, dab die vier auftretenden Modulformen G fiir die Hauptklasse ~ = ~o gebildet sind und das dabei benutzte Ideal Q = 1 gewiihlt ist. Wir filhren in den Bezeichmmgen dieses Paragraphen die Klasse ~o als Argument nicht noch ausdrticklieh an.

Die Funktionaldeterminante ist

0 (Yk, ~r) __ 1 '2 G2k Ok 0 Gk __ G~ a G2k ~v Ov ' ' ' "

G~ (~, , ' ) G~ G~, ~ 0~, O, ~,~ 0~, ~ 7 , . . .

Die Determinante im Zahler, deren nieht-identisches Versehwinden Bach. gewiesen werden soll, ist

4 G~ G2r Gr Gk [k, r] - - 2 G~ G2, G~ [2 k, r] (3)

- - 2 O2~ G~ Gr ~ [k, 2 r] + G~ G~ [2 k, 2 r],

wenn zur Abkftrzung gesetzt wird

[l, m] =

Tragen wir nun ftir grade l, m hier die Fourierreihe nach Satz 2 ein, wobei das Hflfsideal a = 1 gew~thlt werden soll, so ergibt sich

(4) d'[l, m] ~-- Bz B,~ ~_~ cl (~) cm (2) (u 2 ' - - v' ~) q~+~ q'*'+~' v~0,,l~0

worin

cz (v) = ct (u; ~, X) = e (1) ~;~ Xt (d) I N(6) I ~-1 = e (1) ~;~ I N(r It -1

(ebenso wie c,n (2)) positive ganze Zahlen sind, welche die Eigenschaft

c~ (~) = cz (V)

haben. Fassen wir in (4) die Glieder mit demselben u + 2 = t~ zusammen, so erhalten wir

d. [t, m] = B~ Bm ~ Ct,~ (~) qU q,U'

t ~ (cz (~) e , (a) - - ~ (2) cm (u)) (~2'-- ~'2).

~No; ,l>-0

Hieraus geht hervor, dalt G~, (t~) == 0 ist, wenn t, eine rationale Zahl ist.

Analytische Funktionen und algebraische Zahlen. II. 221

0rdnenwir jetzt die Entwicklung der Determinante (3) nach l'otenzelt yon q, q' nach wachsenden Werten der Zahl /, + p' in den Exponenten an, so erkennen wir, dab die niedersten Glieder in Gk, G~, G.,~, G2~ nach Satz 2 Konstante sind, welche mit wachsenden k, r gegen den von Null versehiedenen Wert e(1) konvergieren. Die niedersten Glieder in den Ausdrtieken [l, m] verhalten sich aber, wie wir sehen werden, mit Riick- sieht auf die Faktoren Bl B,n fiir grofle l, m wie

const.l+- r(1)' r(m)' '

so daB, wenn wir r : - k + 2s nehmen, in der Determinante (3) der erste Summand mit dem Faktor [k, r] ffir den Koeffizientenwert ausschlag- gebend ist, falls k hinreichend groB ist.

Zur Berechnung der niedersten Glieder mi t G,n (t~)=]: 0 beriick- siehtigen wir, daB der kleinste Wert yon ~ + t; , welcher auftreten kann, nach dem Obigen nicht kleiner als die kleinste ganze rationale Zahl a ist, die sis Spur ganzer total positiver nicht-rationaler Zahlen des K0rpers dargestellt werden kann, etwa als Sptw yon co, wo die Bezeichnung so

a + p V ~ gewahlt sei, dab ~ > o ' > 0. Hier ist a = o + o/, wenn o - -

2 (mit ganzen rationalen a, p) und wegen der Minimaleigenschaft ist p = 1, a > Vd , o ist eindeutig bestimmt; da aber offenbar keine ganze Zahl mit der Spur a als Summe yon zwei total positiven ganzen Zahlen dar- stellbar ist, so ist ~Tt,~ (o) -= 0. Die nachsth0heren Werte von Spuren total positiver ganzer nicht-rationaler KOrperzfihlen sind a + 2 und a + 4:

Daher ist

a + 2 = 8(a) nur ffir a = r,~+ 1 oder ,o '+1

a + 4 = 8(a) nut ffir $ = ~0+2 oder o/+-2.

Cz,n (o + 1) - - (c~ (1) c,,, (o~) - - c~ (~,)) c,,, (1)) (~d-- ~o)

= e(1) (o/ - - ~) (c,~ (,o)-- ct (~)) = e (1)' (o/-- ~) ~ (I N(d)i ~ - 1 - [N(d)[ s- x) (8)1~,

Cz,,, (oo + 2) = (~o'-- ~o) (c~ (1) cm (oJ + 1) - - v$ (oo + 1) c,n (I))

+ ( - ' - - - ) (cz (3) c . ( - ) - - cz ( - ) c . (3)).

Wir unterscheiden jetzt zwei Falle: I. Die allein durcX den Zahlk'drlaer bestimmte Zahl ~o sei keine Einh, it.

Dann ist ersichflich G= (,o + 1) ~: 0 ff~ 1 ~- m, also IG,,, (~o + 1)] > [ ~ ' - ~'~ t. Daraus folgt, wenn wir in der Determinante (3) die Zahl r = k + 2s

222 E. Hecke.

withlen, daft bei festem ganzem rationalcm l)ositivem s fiir alle him'eichend groBen k der Koeffizient yon q~+~ q,~'T~ yon Null verschieden ist. Demi der Koeflizient dieser Potenz in den drei Reihen

[2k, k+2s] [k, 2(k+2s)] [2k, 2(k-4-2s)] B~ B~+2s ' Bk Bk+~s ' Bk Bk+o..~

strebt ffir k-*r gegen Null, wahrend er

in [k, k-4-2s] __~ C~.k+2s(~-{- 1) ~ / I t ~ ' - - ~ , ist" B~ B~+~s d d

II. Die Zahl ~ sei eine Einheit. Dann ist zwar G,~(~-1-1) ~--0, doeh lltfit sieh jetzt ffir den Koefiizienten yon q'~+~ q,t,'+z ithnlich wie im Fall I selflieBen. Denn jetzt wira

~ C ~ ( - + 2)

=(,,)~+ (I.N(~,)t"-'- I-,V(-)I'-')- ( ~ (I-,V(,~) I ' - ' - - I ~(J) 1'-').

Die "etzte Summe fiber die Idealteiler der 2 ist ffir m > l

(a)~,.. < 3 (4 "-~ - - 4~-~),

wiLhrend in der ersten Summe das Glied mit a ' : ~-]-1

N(,, , + 1) " -~ - - ,v(,,, + 1) ' - '

= (2 + s(~)) - - ~ - (~ + s(~)) '-1> (~+ V~) " - 1 - (~+ V~)'- ' . daher

~P f~

Dies wiichst also wegen d > 5 wieder bei festem s mit k - ~ auch ins positiv Unendliehe.

In jedem Fall gilt somit Satz 4. Bei festem •ositivem ganzem s bilden die beiden Funktionen

G~ una Gi+~, G2~ G~+4s

Analytische Funktionen uud algebraische Zahlen. I[. 223

J'ih" alle hinreichend groflen flrad~m k ein System unfd, biing~ger Modtd. fttuktione~i. (Die rio" Funktionen G sind dabei fiir die Hauptklasse des. Kiirpers gebildet.)

w 3. Ganze Modulformen von den Dimensionen - - 2 und - - 1 .

Die in Satz 2 auftretenden Potenzreihcn nach q. q' haben auch flu k ~ 1 und 2 noch einen Sinn und m~igen (lann mit ]'k (~, ~') bezeichne! werden, wi~hrend die Poincardschen Reihen (1~. dann nur noch bedingl konvergieren; daher li~fit sich iiber alas Verhalten dieser Funktionen bei Modulsubstitutionen aus jenen - - auch dann noch in gewissem Sinne richtigen - - Gleichungen niehts folgern.

Im Falle einer Variabeln ist bekannt, dal3 d~nn die Reihe mit k = 2 und 1 keine Modulform mehr darstellt. Um so bemerkenswerter ist die Tatsache, datt in allen h0heren Zahlkfirpern diese Potenzreihen noeh ganze Modulformen darstellen, yon den trivialen Ausnahmen bei k ~ 1 abgesehen, wo die Potenzreihen identisch verschwinden k0nnen.

Um diese Behauptung zu beweisen, benutze ich einen Gedanken, der bei vielen Problemen dieses Gebietes mit Erfolg verwendet werden kanne). Ich modifiziere nitmlich die Summanden in den Reihen Gk derart, daft das Verhalten der modifizierten Reihe bei Modulsubstitutionen zu fibersehen ist, withrend die urspriingliche Reihe aus dieser entsteht, indem man einem Parameter, welcher in den Zusatzfaktoren analytisch vorkommt, einen numerischen Wert erteilt. Ich fiihre namlich folgende Funktionen ein 7) :

(5) Ok(V,v'; S) = ~;~' p,)k 1 (z,g), (X~- --~- ~)k(~t~-t- 4- [XT--~125 ISft'g't-Jl- ~'l 2s

Bei k ~ 1 und 2 stellen diese Reihen, wie man .~ofort naeh w 1 sieht, far festes ~, d regulare analytisehe Funktionen der komplexen Variabeln s

k dar, wenn der reelle Teil yon s gr~l~er als 1 - - ~ - ist, und die Reihen

konvergieren absolut. Ihre Abhangigkeit yon ~ und v' ist offenbar nieht- analytiseh. Sie verhalten sieh aber bei Modulsubstitutionen gemafl der

/ 3 / %

Gleichung (f-fir ~ ( s ) > 1 - - 2 ) , da sie absolut konvergieren,

q)k r ~ - 4 - ~ ' r '~ ' - t -~ ' ; s (6)

= (r" + ~)k 0"r ,~,)k It" + ~l ~ I / r ~'1 ~" a)~ 0, r s).

e) Auch bei den Reihen in einer Variabeln mit gebrochenen Exponenten, wie sie in den Arbeiten yon Herrn M'ORDELL auftreten, bringt diese Methode grofle Vereinfachungen mit sich.

7) Ich betrachte der Einfachheit halber nut die der Hauptklasse zugeordneten Reihen.

15

2 2 4 E. Hecke.

Nun zeigt sieh, daft diese analytisehen Funktionen yon s meromoq~he Funktionen yon s lind bei s = 0 noch regul~" sind, und daft ihr Weft im Punkte s - - 0 grade dm'ch jene in Satz 2 auftretenden Potenzreihen 7) dargestellt wird:

( 9 , ( , , , ' ; O) = P~(%, ' ) = & t - F B , ~,otO,)q~q ' ' ' . v>-O

Als analytische Funktionalgleiehlmg in s grit (6) aber dann auch ffir s = 0. Damit ist daun der Charakter yon P~ (z, z') als ganzer Modul- form erwiesen.

Satz 5. Die durch (5) definierte Funktion q)k ist eine iiberaU ein- deutige Ftmktion ~ffn s, weldie beq s : - 0 reg~d~r ist, u~l

�9 ,, (,~, ,'; o) = P,, (,, ,'; ~to).

Zum Beweise spalten wir die Summe folgendermaflen:

�9 = Z ' + 2:'2: Z = O

und entwiekeln die innere Summe fiber p naeh den Prinzipien des I. Teils in eine Fourierreihe:

1 ~ - ~ Ctt (~; xv, x'v'; s), (7) ~ ( , , +~ , ] , i , , + t , t ~ .." /s

WO

+ oo 27rt ~u- ~ 'u_____~'

(8) ~ (~; ,~. , ' , ' ; #) ---- (,~ + u)kl x~ + u I~(, 'r + u ' y q , ' r uV" - - 0 0

~{ durehlituft alle gunzen K5rperzahlen. Hier ist weiter

+ o o

e - - V d du 1 e - ~ du (9) f (zv-[-u) k [x~ + u [ ~ - - [xi2s+k-x f (~ + u)~k C/-I-u) s"

. ~ 0 0 - - 0 0

k Diese zunitchst flit ~ (s) > 1 - - ~- gtiltige Entwicklung formen wir dadurch

in eine flit alle s gfdtige Reihe tun, daft wir in den Gliedern mit 2 ~ 0 die Integrationslim'e versehieben. In der Ebene der komplexen Variabeln u ziehen wir n&mlich vom Punkte - �9 eine Halbgrade S parallel ~ur Aehse des Imagin&ren in die untere Halbebene und yore Punkte - - u eine

Analytische Funktionen und algebraische Zahlen. II. 225

Halbgrade St entspreehend naeh oben. In der litngs S und St auf- gesehnittenen u-Ebene sind dann log(r-t-u) und log(~-{-u) eindeutige Funktionen; wir verstehen darunter diejenigen Zweige, deren Imagin~trteile ftir reelle u zwisehen 0 und ~r bzw. - - r c und 0 liegen. Die in dem Integranden vorkommenden. Potenzen sind dann zu erklaren dureh

(~ + u)~ _____ glog(~+,,), (i'-]- u) 8 ----- e 'l~165

In jedem Integral yon der Form

+0o

f e i~ du M = (~ + u)" ( i + u) ~' - - 0 0

bei reellem ~ und oJ ~: 0

versehiebe man nun bei positivem ~ den Integrationsweg yon der reellen Achse in die obere Halbebene, so daft er den Schnitt St umkreist, da- gegen in die untere Halbebene um den Sehnitt 8, wenn ~ < 0.

Die so definierten Integrale konvergieren dann fiir alle st, ss und wenn st, s~ auf irgendeinen endlichen Kreis eingeschritnkt werden, fiudet man leieht folgende Abschittzung, wobei y der imaginltre Teil yon �9 ist:

Oo

-f e -~'~ (u + b) c du (10) IMI < a e u u

0

wo a, b, c positive, yon ~, st, ss unabhangige Konstanten sind. Ent- spreehendes gilt fitr die Integrale nach u' in (8). FRr 2 = 0 ergibt sich aber

mit

c'~(o; ~% ~'r s) = ( - - l ? a ~ ( s ) I=.~'1 ~+k-~ lyy 'L~ :,-~ V ~ '

-~QO

Jk (s) = f du

(1 q- u~) ~ (i q- u) k

(s) = i r ( 2 s + 1)

J~ (s) = - - 2 s r (2,. + 2)

226 E. Hecke.

Alff diese Weise finden wir endlich fiir ~ ( s )> 1 - k 2

(~k (v, v'; s) = e(1) ~ ' sgn (t,t~') 1' (~) IJ~,~'l -~+k

1 k 2 (11) + ( ~ ) J~ (s) e(1) ~ , 1 lyy'l 2s+k-1 V d ~'~ Ixx'l 2s'~k-1

+ (x), ~ ~: o

Die zuletzt stehende Doppelsumme ist wegen (10) eine ganze Funktion yon s und geht verm0ge der Definition (8) der C~ ffir s - 0 genau in die, in v, vP analytische, Funktion

X q'*'

fiber. Das erste Glied in (11) ist eine Zetafunktion, die ffir s ~- 0 grade

den mit Ak (gebildet fiir die Hauptklasse ~o) bezeichneten .Wert hat. Das zweite Glied endlich ist offenbar eine meromorphe Funktion yon s,

die fiir s ~ 0 verschwindet. Denn wenn k ~ 2, hat die als Faktor vor- kommende Zetareihe bei s ~ 0 einen Pol erster 0rdnung, wi~hrend J~ (s) dort eine Nullstelle zweiter Ordnung hat. Ist aber k ~-- 1, so ist Jk (s) reguli~r ftir s ~- 0, und die Zetareihe mit dem Exponenten 2 s ~- k - - l ~ 2 s verschwindet bekanntlich wegen der Funktionalgleichung an der Stelle 8 ~ 0 .

Damit ist Satz 5 bewiesen, und das Entsprechende gilt natfirlich fiir die Reihen, welche in analoger Weise zu den andern Idealklassen gebildet sind.

Die in (6) ausgech'fickte Funktionaleigenschaft charakterisiert daher ffir s ~ - 0 die Potenzreihe Pk als eine ganze Modulform yon der Dimension - - k. Damit ist bewiesen:

8atz 6: Die in 8atz 2 auftretenden Potenzreihen stellen fit.r jede Klasse $~ aud~ f i ir k ~-- 1 und k -~- 2 ganze Modulformen van der Dimen- s i o n - k dar, die nur dann identisch verschwinden, wenn die Norm der Grundeinheit gleich - - 1 und k ~ 1 ist.

Mit den bier benutzten Prinzipien lassen sich natfirlich aueh in i~hnlieher Weise die Reihen behandeln, welche entstehen, wenn man in den bisherigen Doppelreihen fiber x~'u diese Zeichen n.ur die Zahlen gewisser Kongruenzklassen nach einem Modul durchlaufen li~Bt. So ergeben sich Funktionen, die zu Untergruppen der vollen ModulgTuppe geh(Iren.

Analytische Funktionen und algebraimche Zahler. II. 22)7

Es ist bemerkenswert, dab in dem elliptischen Falle (d. h. einer Variabeln) der zu Satz 5 analoge Satz nicht riehtig ist. Dio nut bedingt konvergente Doppelreihe

definiert zwar auch eine Funktion yon v, aber sie hat nicht den Charakter einer Modulform. Um ihr Verhalten bei der rationalen Modul- gruppe zu emitteln, hat HURWITZ s) in seinen grundlegenden Arbeiten besondere schwierige Untersuchungen angestellt. Mit der oben ge- schilderten Methode ergibt sich sehr rasch auch hier eine volle Auf- kliirung, indem sich zeigt, daft

~ , ~ , +oo 1 6' +oo 1 ~--- lim ~_~ (m~+n)~lm~+n[S+ - ,

wo C von v unabhangig ist. Dieses letzte in v nicht analytische Glied rtihrt davon her, daft im Falle einer Variabeln in der Gleiehung in dem zweiten Bestanr Jk (s) an Stelle yon J~ (s) auftritt und dieser Term daher bei s ~ 0 nieht mehr verschwindet.

w 4. Dor K rpor der Modulfunktionen. Unter den merkwiirdigen ~Eigenschaften, welche der K0rper der

zur Gruppe ~ gehorigen Modulfunktionen besitzt, will ich hier nur kurz einige erw~hnen, die bei den elliptisehen Modulfunktionen kein Analogon haben.

Wenn die Klassenzahl h des quadratischen KOrpers grade ist, so besitzt die Modulgruppe eine Reihe nicht-trivialer Isomorphieen mit sieh selbst. Ist n~mlieh a ein ganzes Ideal, das selbst kein Hauptideal ist, dessen Quadrat aber eine K0rperzahl v ist, so gibt es ganze dutch a t~.dbare Zahlen a, ~, u ~ mit

a ( I - - , 8 u = v = am; (a,,8, r , d ) = a .

Bezeichnen wir mit S die Substitution

, (12) S: ~a ~ r ~ + J ' ~ t - - r '~'+O"

so ist 8 2 wieder eine Substitution aus !~, weil tier Koefliziententeiler von 8 j gleich a s ~ v und die Determinante ~ v s ist und S -1 MS sind

~) HURWXTZ, t~ber die Theorie der eUiptiachen Modulfunktionen, Math. Ann. 18 (1881) S. 528--592 und Math. Ann. 58 (1904) S. 343--360.

228 E. Hecke.

wieder alle Substitutionen you 9~, wenn M die. Gruppe 9)~ durchl~iuft; d. h. symbolisch

S - I ~ S =~ ~ .

Hierdurch wird also eine Isomorphie yon ~ mit sich selbst definiert. Man sieht nun sofort, daft diese Isomorphie nicht you dPr Auswahl yon S, sondern nur yon der Klasse des Hilfsideals a abhitngt; denn zwei Substitutionen $1, S, mit demselben Koeffiziententeiler a und der Determinante v ~ a s sind ttquivalent nach der Gl~ppe 9.~ (weil das Produkt S[-1S, den Koeffiziententeiler a j hat, der eine Zahl des KOrpers ist) und wenn weiter ~ eine K0rperzahl :~: 0 bedeutet, so kann dieselbe Substitution 8 auch mit den Koeffizienten c,~a, oJ/~, oJ},, r geschrieben werden, d.h. mit der Determinante u~ * ~ b s und dem Koeffizienten- tefler a ~o ~ b. Umgekehrt sind zwei Substimtionen, deren Koeffizienten- teiler nicht ltquivalente Ideale sind, sicher einander nach der Gruppe nicht Rquivalent.

Somit entspricht jeder Klasse ~, deren Quadrat die Klasse der Haupt- ideale ist, genau eine dieser Isomorphieen yon ~ (dabei der Hauptklasse natiirlich die triviale Isomorphie) und diese Isomorphieen bilden offenbar eine Gruppe, welche tier Abelschen Gruppe dieser Klassen isomorph ist. Der Grad dieser Oruppe ist bekanntlich '2", wo e-J-1 gleich der Anzahl tier verschiedenen Primfaktoren tier K0rperdiskriminante d oder um 1 kleiner als diese Zalfl ist.

Jede dieser Isomorphieen hat ferner eine Symmetrieeigensehaft des Fundamentalbereiehes der Gruppe ~]R zur Folge. Denn wenn ~, ~' den in T gelegenen Teil des Fundamentalbereiches durehl~tuft, so durchlaufen die mit 8( , , f ') aquivalenten Punkte ebenfalls diesen Bereich, wenn ~, total positivist. Ist J , ~ 0 und J / ~ 0 , so gilt dies yon 8(~,u

Itieraus folgen analytische Aussagen far die Modulfunktionen. Denn sei insbesondere die Determinante I, in ,.9 eine total positive Zahl. Dann ist mit jeder Modulfunktion f(v, T') auch die ,transformierte" Funktion f ( 8 ( , , vz)) eine Modulfunktion. Wir verstehen jetzt unter ~ , f 2 , f s drei Grundfunktionen tier Oruppe ~)1, dutch die alle Modulfunktionen rational auSdriiekbar sind; dann sind also

= (fl fs

far i ~- I, 2, 3 rationale Funktionen der urspritnglichen fl, fJ, f3, und diese Gleichungen delinieren daher eine birationale Transformation des Funktionenk0rpers der fl, fj, fs in sich.

Wir werden so darauf gefahrt, die Modulgruppe ~I~ zu einer Gruppe ~lo zu erweitern, wo ~l)Io alle Substitutionen yon der Form (12)

Analytische Funktionen und algebraische Zahlen. II. 229

enthitlt, in denen die Determinante v eine total positive K0rperzahl und gleich dem Quadrat des gemeinsamen Teilers der Koeflizienten a, ~, r, d ist. ~ hat innerhalb RRo den Index 2 e.

Unter den algebraischen mit der Gruppe ~IR verknttpften Problemeu nehmen die ,Transformationsgleichungen" der Modulfunktionen das Haupt- interesse in Auspruch. Das sind die algebraisehen Gleichungen, welche eine ,,transformierte" Funktion

mit den vorhin genannten Grundfunktionen yon den Argumenten ~. z' verkniipfen, wobei die Substitution mit den Koefiizienten x, ~t, p, v eine total positive Determinante hat, aber nicht zu ~o geh{~rt.

Wenn nun die Funktion f rational durch die Reihen Gk aus w 1 darstellbar ist, so lit6t sich sofort sehen, da6 die transformierte Funktion

! 1• ei~e Fourierentwickhmg nach qn, q ,, besitzt, wo n ~ N ( x v - - 2 p ) , weil dies fiir die Gk gilt, und auch die Natur der dabei auftretenden Koeffizienten litfit sich iibersehen. Grade diese Frage ist aber nur dureh einen sehr mtihsamen Umweg zu entscheiden, wenn man nicht yon den Gk, sondern yon der Darstellung durch Thetanullwerte ausgeht, wie ieh das in meinen frtiheren Arbeiten tun mu~te~).

Im elliptischen Fall schlieBt man bei der absoluten Invariante j(v) so: sind a, b, c, d ganze Zahlen ohne gemeinsamen Tefler und mit der Determinante n, so kann man durch Anwendung einer Substitution der Modulgruppe stets eine Transformation mit der Determinante n so angeben, dab

[ a v + b I [ a ' v + b ' I J ~c-~--d~dl = j ~----'-~----]' a'a ~ = n,

worin a', b', d' wieder ganz sind; das bedeutet, dab es zu jeder Trans- formation mit tier Determinante n eine ihr itquivalente affine Trans- formation (d ~ 0) gibt. Die Fourierentwicklung der transformierten Eunktion ist also sofort aus der der urspriinglichen j(T) herzuleiten. Fiir den quadratischen K0rper gilt aber ein analoger Satz nicht, wenn seine Klassenzahl gr0fler als 1 ist.

Der Ausbau der Theorie des K0rpers der Modulfunktionen erfordert naturgem~13 einmal eine bessere Kenntnis der allgemeinen Theorie der analytischen Funktionen yon zwei Verttnderlichen als wir sie heute besitzen, andrerseits mul~ er yon der Theorie der algebraischen Funk-

9) Vgl. die in Anm. s) zitierte Arbeit, w 3, wo ich die Thetanullwerte als Funktionen der drei unabht~ngig verRnderlichen Perioden betrachten mub.

230 E. Hecke.

tionen yon zwei Variabeln Gebrauch maehen. Indem ieh zun~tchst noch die Aufstellung wichtiger individueller Funktionen mit Hilfe analytischer Ausdriicke vornehme, beginne ich im folgenden mit der Untersuchung der zu log ~(v) im Gebiete einer Variabeln analogen Funktionen.

w 5. Die zu log ~ (~) ansJogen Fnnktionon.

In den Reihen Gk des w 3 w~thlen wit nun k ~ 2 und den Charakter xs(a) als den Hauptcharakter, was mit den Festsetzungen auf S. 217 vertraglieh ist. Von dieser Reihe

mit

P~ (t, ~'; St) = A, -}- B, ~ e~ (v, St) q" q"/ t, No

A, -~ A,(~) = e ( 1 ) ~ :

B j - (2~)~ d V ~ '

ct(t,,~) = e(l) ~ IN(b)t, b i n ~

tN(r)l -~ = e(1) ~(2; St),

gelangen wir durch zweimalige Integration nach 3, ~' zu der Funktion

(13)

mit

~(~,~'; $~) = A , v v ' + B , d q)(v, ,;5~),

q)(t, ~'; St) --~ ~ c,(v, St) q,, q,,,, _-- ~ c o ( u ; $t -x) q~ q'~' v~.O ypt J,~,-O

Co(V; St-l) = e(1) r e l y

m i n l t - i

I,V(m) I "

Da P2 eine Modulform yon der Dimension - - 2 ist und

0,tp OtO~' - - P~'

so ist for jede Modulsubstitution

(14) ~kT--~+d' 7 ' ~ '+6" St = ~It(~'~;st)'lt'f'(~)@g(~')'

worin f u n d g nur Funktionen je einer Variabeln sind, die natiirlich yon der Klasse St und dell Koeffiziemen a, ~, r. $ abhiingen.

Analytitche Funktionen and algebraisehe Zahlen. IT. 231

Aus der definierenden Potenzreihe ergibt sieh sogleieh bei den afiinen Modulsubstitutionen

(15) q/(v-{-$,, v ' + / , ' ; ~ ) = ~(~, v'; ~)-]-A,(~)~qr-4-plr'-at-p~ ')

(16)

fiir alle ganzen ~ und jede total positive Einheit I/. Die Bestimmung der Zusatzglieder f(v), g (3') bei den andern Modul-

substitutionen gestaltet sich ziemlich kompliziert. Sie soU in diesem 1

Paragraphen ffir die spezielle Substitution - - - - durehgeffthrt werden. T

Hierzn bertieksichtigen wir, daft offenbar

eine Funktion ist, welehe sieh nieht ~tndert, wenn man v, ~r' dutch q~r, ~'~' ersetzt; und wir stellen nach dem in I. formulierten Prinzip die Fourierentwieklung auf, welche tier Ausdruck dieser Invarianz ist. Wit operieren dazu etwas bequemer mit den Funktionen

(17) F(t, t'; 5~, v) ~- ~ ' co~; St)vQ~)e -tll'l-t'l~'l

worin tt alle gawzen K0rperzahlen exkl. 0 durehlauft und v (p) einer der beiden Vorzeieheneharaktere 1 oder sgn pp' ist, die wit als vo and th unterseheiden, t u n d t' sind Variable, welehe wit der Einfaehheit halber als reell und positiv voraussetzen; erst zum Sehlufl woUen wit in diesen analytisehen Funktionen wieder komplexe Wez~ fin' t, t' mit positiv reellem Teil zulassen.

Naeh den Formeln in I. w 5 erhalten wh.

An (t, t'; f)) F(t, t'; ~, v) = 2_;

n=-** 2zrilog~/

2+i~o

(18) An(t, t'; ~, v) = y F(sq- inc )F(s - - inc ) t s+~ t ' s - ~

WO

(19)

Z.(s, v)ds,

fir c - - log ,/ (~/die Grundeinheit rood. 1 mit # > 1)

z,,(s, v) = ~ co O.) v(~) f~,t.+,n, lt,'la-,-o �9

232 E. Heeke.

Hier durchl~uft p ein vollst~ndiges System rood. 1 nieht assoziierter ganzer K0rperzahlen exkl. 0. Dabei tritt der Gr0flencharakter

auf. Da nun fiir das Quadrat jeder Einheit �9 sicher

~.(, ') v(~') = 1

ist, so kann L,(e)v(~) nur 4-1 sein. Gilt es eine Einheit t m i t ~.,, (t) v (e) = - - 1, so ist

Z . (s, v) -=: O.

Im andern Fall ist L , ~ ) v ( t t ) ein Grofiencharakter des Ideals (t~), und wir linden, dab

Z,,(s, v) = e(1) ~ co(p, ~-I)I,V0,)I ~z" v0,)

= e(1) ' ~ ;tnv~) ~ 1 (u) IN( t0P }N(m)l

mlnJt - t

~. v(m) ~,, v.(n) = e ( l ) ' , ~ iN(re)l,+ ~ .i~ IN(n)I ' mlnR--t

~--- e(1) ~ ~(s-t- 1); ~-x, ;tat,) .~(s; ~, 2, v).

Wi t verabreden, daft diese Zeiehen ~ die Null bedeuten sollen, wenn 2,,v(e) nieht fiir jede Einheit e den Wef t q-1 hat..

Weiterhin verlaufen die F a l l e v ~ 1 und v (tt) ~ sgn g It' etwas versehieden.

I. V ~ V o - - - ~ l . Die Funktion

~. (s ~, ).,Vo) = A s F( s + i n c t ' , 2 , r / ~/ ,,t ~(s; st, ~.~o') / s - ine

mit A = 1 ~ geniigt dann tier Funktionalgleichun~ 7][

~(s; ~, ~..Vo) = ~(1 - s ; .~-~, ~.~o). Wegen

Analytische Fuuktionen and algebraische Zahlen. H. 2 3 3

ergibt sieh d a n v

An( t , t'; 5~, Vo) = - -

2+ioo

e(1) t f 2 ~-~ ~ ( s + l ; ~ - l , ~ V o ) ~ ( s ; ~ , 2 n V o ) zr A 2s+t ts+ine tt s_inr d8

2--ioo

2+ ioo

- - 4e(1)'l/d f .~(s+ 1 ; $~-~, 2nvo)l~ +inr t~ s-i'~'~(s; ~ , Z n V o ) ds ,

2--i~o

wenn man setzt

, t'V t l - t____~ t l - - - - 2 zr ' 2 r~

Verschiebt man nun hier den Integrationsweg v o n d e r Graden ~(s) = 2 nach der Graden ~ R ( s ) = ~ 2 , berticksiehtigt die Residuen und ftihrt dann - - s als Integrationsvariable ein, so folgt wegen der Funktionalgleichung

2 +ir162

4 V d f .~(s; st, Sn Vo) .~(s + 1; ~-1, 2,, Vo) e(l) ~ g,, (t, t'; ~ , Vo) "= , J ti_~+;,,c t~_~_~,,o ds

(20) 2-i~o § 2 ~r i x Residuensumme.

Dieses Integral geht aber aus dem ursprtinglichen auch dadurch hervor, dal3 man ersetzt

n dttreh - - n,

vo durch Vo, i P--1 6, tl dureh tF t, h �9

F i i r n =~= 0 sind nun die Funktionen ~ fiberall regular, daher ergibt sich

an (t, t'; St, vo) = A_,, [ 41,' 4 I,' ) \ d t ' .dr' ; ~ '~~ fiir n ~ 0 .

Im Falle u = 0 treten in (20) aber folgende Residuen auf: 1. bei s ~--- 1:

4 log ~ .~ (2; ~,1, vo) 4 d log ~ ~ (2; ~-1) Vo(st) e(1) t-tt~ - - z~'e(1) t , t ;

2. bei s : 0: 16 log s ~/

e (1) ~ V d log tx h ,

3. bei s = - - l : 4dlog~ , rd e(l-----~ tatl ~(2; ~--1).

2~4 E. Hecke.

Fflhrt man daher zur Abktirzung e, in

, (2r~ tt F~ (h, h, v) ~--- F( t , t', v) = F - - 1 ~ '

so ist bewiesen

8atz 7.

! 2~Tt~

1/7

F~ (h, t~; ~ , vo)

p 4 log~ log t~ ta. d

iI. v = vl(t,) = sgnpt,'. In diesem Fall geniigt die Funktio~

der Fu~t iona lg le i ehung

und es wird 2 + i ~

eS(1) f ~(s-q-1; ~-1, 2nvl)~(s; ~, 2nv~) A,, (t, t'; St, v0 = V ~ (s' + n ' c') ~+~'~ t~-~"~ ~s.

Jetzt treten aber im Streifen - - 2 =< 9~(s )< q-2 unendlieh Residuen auf:

1. ftir n ~ 0 an der Ste]le s ~ 0 das Residuum

viele

- - ~ (1 ; 9 -~, v~) ~ (1; ~-~, ~ ) log t~ tl

d - - ~ ~(1; ~t -~, v~) ~ (1; R-x, ~) log t~ t~,

2. f i i r n :~ 0 an den beiden Stellen s ~ +__ inc die Residuensumme

~2im ~(1-4-inc; ~-x , 2nvx)~(1- - inc; $~-1; 2,,v~) 2 inc

t'z~ml ~ (1 -- inc; ~-*, Z,~ 01) ~ (1 -{- inc; ~t-1; 2~, vt) m

2inc

d = t~ -~nr I~(1 +inc~ ~-a, 2,, v~)]'

2 sin zr inc

d _ _ t ~ 2 / ~ I ~ ( 1 _ _ i ) ~ ( . ; ~ - - 1 , ).,, , .1)1 ' '

2 sin rc i nc

Analytische Fmaktionea mad algebraische Zaiden. II. 235

Hieraus folgt Satz 8. Fiir Fx (tx, t'~; vx) gilt die Transformationsgleiehung

e'(1) a(n, U) = 21ogt/ I ~ ( l + i n e ; U -x, ~,,~v~)l 2 -

e2(1) b(n, U) - - 2log,/]~(1--inc; U -t , 2,,vOl" - -

1 1 F1 (tl, t[; U,vl)----- F1 (-h-1 '-~-x; U, vx) e'(1) V d utlog~ I~(1; U -x, vl) [t log ti t{

-]- 1 / d ~ . (a (n, U) t? ~'*` - - b (n, U) t~ ~'~)

mit den Werten 1

sin g i nc '

1 sin rt i n c "

Diese Koeffizienten sind naeh Verabredtmg gleieh Null, wenn it.v~(p) kein Charakter des Ideals p ist, im andern Falle ist

1~(1 -I- inc; St -~, ,Z,,v~)l' = .N(a)' 1~1-2i~ sgn/hg' 2s= 1 ~ ' i~(p)l ~ ,

tt - o (,)

I~(1--inc; U -a, ).nvx)] = = "N(a)= (~)'~' I~'l~'~l-,VG~)l'sgn~' ,~= /~ = o (a)

Dabei ist a ein beliebiges Hilfsideal aus der Klasse U und/, durehli~uft alle nieht-assoziierten Zahlen aus a exld. 0.

Von den Funktionen F kommen wir zu � 9 (13) dureh die Gleiehung

F(t , t'; U, vo)-4- F( t , t'; St, v,) = 4 ~_~ c~)~,U)e-tg- t 'g ' # ) - o

~(~ ,r F, ~, i ;U, Vo +F, ~ , i ,U,v, .

Und nach Satz 7 und 8 folgt daher endlieh 8atz 9. Die zu log ~/(3) analog gebildeten Funktionen (13) ~verhalten

1 sich bei der Modulsubstitution ~ - - folgenderma/$en:

I:

lp( - 1 - 1 ) _ _

{ e~(1) 4 log~ ) (log v -]- log v') + iTS- ~- I:(1; U -x, v ,) l ' - - d V d

+ .2 .~(Ct (.., ,~) e T M t--2ine--b (~$, ~) e - rrnc v ' 2 i " c ) .

tt 7-0

236 E. Hecke

$_~'8 Dabei sind die Potenzen ~, erklart als

s s l o g v ts e s l o g r ' $ ~ e ~ ~

und log v, log v' sind diejenigen Zweige, deren Zmaginarteil zwisehen - - ~ und ~ u liegt.

Durch diesen Satz und die Gleichungen (15), (16) ist das Verhalten yon ~P(3, v'; R) bei allen Substitutionen yon ?Dl beschrieben, welche sich aus den Substitutionen

1 31 - - , ~ q - t~, ~ 3 " $:

zusammensetzen lassen. Um nun aber die Eigenschaften der so definierten additiven Gliederf(~)% 9(3') in (14) aufzufinden, kann man die Tatsache benutzen, dab sich jede Modulsubstitution in analoger Weise direkt

1 behandeln laflt, wie eben die Subs t i tu t ion- - - - ,$. ~

man, wenn a d - - ~ r ----- ~,

r ~ + ~ - r r (r~+,~) ' - - r +30

also

- - - O "

mit 3o - - r ( r t + ~ '

Denn fiir r # 0 hat

~sl ~L I 4)( a 3 + ~ ~ '~'e ~r!Pa l r3 +----~'"""; a = ~ Co(~; a -~1 qo qo

~ 0

(p~ = ~ : e '~s r - ~ ~ Co(~;~-~) qoq~ ~'

p rood g ~ ~ p ( m o d . y) J '~ 'O

und diese innere Summe l~tBt sich offenbar mit Hilfe der L-Reihen nach dem Modul r ebenso behandeln wie bisher die ganze Reihe O. Man erh~tlt so die Darstellung yon f (~)%g(d) in Form einer unendlichen Reihe nach Potenzen yon (r3-}-J) ~ und (r 'v '%$') ic.

Jedenfalls zeigt sich, dab in allen h0heren Zahlk0rpem das Verhalten tier Funktionen ~(3, 3') bei Modulsubstitutionen ungleich komplizierter ist als das yon log ~(v) im elliptischen Falle. DaB trotzdem zp die richtige Verallgemeinerung yon log ~7(v) ist, ergibt sich, auch abgesehen yon der formalen Beschaffenheit der Potenzreihe, vor allem aus del Tatsache, dab grade diese Funkfionen wieder in der Kroneckerschen Grenzformel fiir h(ihere Zahlk6rper auftreten.

H a m b u r g, Mathematisches Seminar, April 1924.