Analysis and Numerical Solution of Generalized Lyapunov ... ?· 3.1.2 Stability ... 5 Numerical solution…

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  • Analysis and Numerical Solution

    of Generalized Lyapunov Equations

    vorgelegt von

    Dipl.-Math. Tatjana Stykel

    von der Fakultat II - Mathematik und Naturwissenschaften

    der Technischen Universitat Berlin

    zur Erlangung des akademischen Grades

    Doktor der Naturwissenschaften

    - Dr. rer. nat. -

    genehmigte Dissertation

    Promotionsausschuss:

    Vorsitzender: Prof. Dr. G. M. Ziegler

    Berichter: Prof. Dr. V. Mehrmann

    Berichter: Priv.-Doz. Dr. P. Benner

    Gutachter: Prof. Dr. P. Lancaster

    Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 13. Juni 2002

    Berlin 2002

    D 83

  • 1

    An erster Stelle mochte ich mich bei Herrn Prof. Dr. Volker Mehrmann fur die Anregungzu dieser Arbeit sowie die wertvollen Diskussionen und Hinweise recht herzlich bedanken.

    Mein weiterer Dank gilt Herrn Priv.-Doz. Dr. Peter Benner und Prof. Dr. Peter Lancasterfur die Begutachtung der Arbeit.

    Bedanken mochte ich mich weiterhin bei den Kolleginnen und Kollegen der ArbeitsgruppenNumerische Mathematik an der TU Chemnitz, wo ich meine Arbeit angefangen habe,und an der TU Berlin, wo sie fortgesetzt wurde, fur das sehr freundliche Arbeitsklima.Insbesondere danke ich Andreas Steinbrecher, meinem Buronachbarn, fur die Beantwortungmeiner zahlreichen Fragen.

    Nicht zuletzt bedanke ich mich bei meinen Eltern fur ihre standige Unterstutzung.

  • 3

    Eidesstattliche Erklarung

    Hiermit erklare ich, dass ich die vorliegende Dissertation selbstandig verfat habe undkeine anderen als die in ihr angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt worden sind.

    Berlin, den 20.03.2002 Tatjana Stykel

  • 5

    Zusammenfassung

    Diese Arbeit befat sich mit der theoretischen Analyse, numerischen Behandlung undStorungstheorie fur verallgemeinerte kontinuierliche und diskrete algebraische Lyapunov-Gleichungen. Die Stabilitat von singularen Systemen und dazugehorige Eigenwertprob-leme werden auch untersucht. Spektralcharakteristiken werden vorgestellt, die die Lageder endlichen Eigenwerte des Matrixbuschels bezuglich der imaginaren Achse und des Ein-heitskreises charakterisieren. Diese Charakteristiken lassen sich zur Schatzung des asymp-totischen Verhaltens der Losungen von singularen Systemen verwenden.

    Bei der Losung von verallgemeinerten Lyapunov-Gleichungen treten einige Schwierigkei-ten insbesondere dann auf, wenn eine der Koeffizientenmatrizen singular ist. In diesem Fallwerden verallgemeinerte Lyapunov-Gleichungen mit der speziellen rechten Seite untersucht.Fur solche Gleichungen lassen sich die klassischen Stabilitatssatze von Lyapunov nur furBuschel des Indexes hochstens zwei im zeitkontinuierlichen Fall und des Indexes hochstenseins im zeitdiskreten Fall verallgemeinern.

    Weiterhin werden projizierte verallgemeinerte kontinuierliche und diskrete Lyapunov-Gleichungen betrachtet, die durch gewisse Projektion der rechten Seite und der Losung aufdie rechten und linken invarianten Unterraume zu den endlichen Eigenwerten des Matrixbu-schels enstehen. Fur diese Gleichungen werden notwendige und hinreichende Bedingungender eindeutigen Losbarkeit vorgestellt, die vom Index des Matrixbuschels unabhangig sind.Es wird gezeigt, dass die projizierten Lyapunov-Gleichungen verwendet werden konnen umdie asymptotische Stabilitat der singularen Systeme sowie Steuerbarkeits- und Beobacht-barkeitseigenschaften der Deskriptorsysteme zu charakterisieren. Auerdem sind dieseGleichungen nutzlich, die Tragheitssatze fur Matrizen auf Matrixbuschel zu erweitern.Schlielich wird gezeigt, dass die Gramschen Matrizen der Steuerbarkeit und Beobacht-barkeit fur Deskriptorsysteme als die Losungen der projizierten Lyapunov-Gleichungenbestimmt werden konnen.

    Die numerische Losung von verallgemeinerten Lyapunov-Gleichungen wird betrachtet.Die Erweiterungen des Bartels-Stewart-Verfahrens und des Hammarling-Verfahrens aufprojizierte Lyapunov-Gleichungen werden vorgestellt. Diese Verfahren basieren auf dieBerechnung der GUPTRI-Form des Matrixbuschels.

    Die Storungstheorie fur verallgemeinerte Lyapunov-Gleichungen wird entwickelt. Eswerden die auf Spektralnorm basierenden Konditionszahlen fur projizierte verallgemeinerteLyapunov-Gleichungen eingefuhrt, die zu Storungsabschatzungen der Losungen dieser Gle-ichungen verwendet werden konnen. Daruber hinaus wird gezeigt, dass diese Konditions-zahlen mit den erwahnten Spektralcharakteristiken fur die asymptotische Stabilitat vonsingularen Systemen ubereinstimmen und sich durch die Losung von projizierten Lyapunov-Gleichungen mit der Einheitsmatrix in der rechten Seite effizient berechnen lassen.

    Die Anwendung der projizierten verallgemeinerten Lyapunov-Gleichungen in der Mo-dellreduktion von Deskriptorsystemen wird ebenso betrachtet. Fur Deskriptorsysteme wer-den die Hankel-Singularwerte eingefuhrt und Verallgemeinerungen der Balanced Trunca-tion Verfahren dargestellt.

  • 7

    Notation

    R the field of the real numbersR = (, 0 ) the negative real semi-axisi =1 the imaginary unit

  • 8

    1(A) . . . k(A) 0 singular values of A Fn,m, k = min(n,m)min(A) = k(A) the smallest singular value of A Fn,mmax(A) = 1(A) the largest singular value of A Fn,m

    x, y = yx =nj=1

    xj yj the inner product in Fn

    x = x, x1/2 =

    (nj=1

    |xj|2)1/2

    the Euclidean vector norm of x Fn

    A,B = trace(BA) the inner product in Fn,m

    AF = A,A1/2 =

    (mj=1

    nk=1

    |akj|2)1/2

    the Frobenius matrix norm of A Fn,m

    A2 = supx 6=0

    Axx

    = max(A) the spectral matrix norm of A Fn,m

  • Contents

    1 Introduction 11

    2 Definitions and basic properties 15

    2.1 Matrices and matrix pencils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.2 Generalized resolvent and functions of matrix pencils . . . . . . . . . . . . 18

    3 Linear descriptor systems 23

    3.1 Continuous-time descriptor systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    3.1.1 Solvability and the fundamental solution matrix . . . . . . . . . . . 23

    3.1.2 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    3.2 Discrete-time descriptor systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    3.2.1 Solvability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    3.2.2 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    3.3 Controllability and observability for descriptor systems . . . . . . . . . . . 35

    4 Generalized Lyapunov equations 43

    4.1 Applications for generalized Lyapunov equations . . . . . . . . . . . . . . . 43

    4.2 Generalized continuous-time Lyapunov equations . . . . . . . . . . . . . . 46

    4.2.1 General case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    4.2.2 Special right-hand side: index 1 and 2 cases . . . . . . . . . . . . . 49

    4.2.3 Projected continuous-time Lyapunov equations . . . . . . . . . . . . 52

    4.2.4 Inertia with respect to the imaginary axis . . . . . . . . . . . . . . 54

    4.3 Generalized discrete-time Lyapunov equations . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    4.3.1 General case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    4.3.2 Special right-hand side: index 1 case . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    4.3.3 Projected discrete-time Lyapunov equations . . . . . . . . . . . . . 64

    4.3.4 Inertia with respect to the unit circle . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    4.4 Controllability and observability Gramians . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    4.4.1 The discrete-time case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    4.4.2 The continuous-time case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    9

  • 10 CONTENTS

    5 Numerical solution of generalized Lyapunov equations 795.1 Generalized Schur-Bartels-Stewart method . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.2 Generalized Schur-Hammarling method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.3 Numerical aspects and complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.4 Iterative methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    6 Perturbation theory for generalized Lyapunov equations 956.1 Conditioning of deflating subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.2 Condition numbers for regular generalized Lyapunov equations . . . . . . . 996.3 Conditioning of the projected GCALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.4 Conditioning of the projected GDALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.5 Numerical examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

    7 Model reduction 1257.1 Transfer function and realization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.2 Hankel singular values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.3 Balancing of descriptor systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.4 Balanced truncation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.5 Numerical algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.6 Numerical examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

    8 Conclusions 143

    Bibliography 145

  • Chapter 1

    Introduction

    We study the generalized continuous-time algebraic Lyapunov equation (GCALE)

    EXA+ AXE = G (1.1)

    and the generalized discrete-time algebraic Lyapunov equation (GDALE)

    AXA EXE = G, (1.2)

    where E, A, G are given matrices and X is an unknown matrix. They are named afterthe Russian mathematician Alexander Mikhailovitch Lyapunov, who in his doctoral dis-sertation The general problem of the stability of motion in 1892, see [111], presentedthe stability theory for linear and nonlinear systems

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