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Analyse des correspondances multiples
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Sexe Revenu Preference
s1 F M A
s2 F M A
s3 F E B
s4 F E C
s5 F E C
s6 H E C
s7 H E B
s8 H M B
s9 H M B
s10 H M A
Tableau protocole : 3 questions, 7 modalités
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Sexe:F
Sexe:H
Rev:M
Rev:E Pref:A Pref:B Pref:C
s1 1 0 1 0 1 0 0
s2 1 0 1 0 1 0 0
s3 1 0 0 1 0 1 0
s4 1 0 0 1 0 0 1
s5 1 0 0 1 0 0 1
s6 0 1 0 1 0 0 1
s7 0 1 0 1 0 1 0
s8 0 1 1 0 0 1 0
s9 0 1 1 0 0 1 0
s10 0 1 1 0 1 0 0
Tableau disjonctif complet
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DEPARTEMENTS BLE VIN LAIT
DEP 1 NON ROUGE PEU
DEP 2 OUI ROSE MOYEN
DEP 3 OUI BLANC MOYEN
LA DISJONCTION EST UNE CODIFICATION EN DONNEES BINAIRES
CREATION D’UNE VARIABLE POUR CHAQUE MODALITE
BLE VIN LAIT
DEPARTEMENTS OUI NON ROUGE ROSE BLANC PEU MOYEN BCP
DEP 1 0 1 1 0 0 1 0 0
DEP 2 1 0 0 1 0 0 1 0
DEP 3 1 0 0 0 1 0 1 0
La disjonction complète
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Sexe Revenu Preference Effectif
F M A 2
F E B 1
F E C 2
H E C 1
H E B 1
H M B 2
H M A 1
Tableau d’effectifs ou tableau des patrons de réponses
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Sexe:F
Sexe:H
Rev:M
Rev:E Pref:A Pref:B Pref:C
FMA 2 0 2 0 2 0 0
FEB 1 0 0 1 0 1 0
FEC 2 0 0 2 0 0 2
HEC 0 1 0 1 0 0 1
HEB 0 1 0 1 0 1 0
HMB 0 2 2 0 0 2 0
HMA 0 1 1 0 1 0 0
Tableau disjonctif des patrons de réponses
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F H M E A B C
Sexe:F 5 0 2 3 2 1 2
Sexe:H 0 5 3 2 1 3 1
Revenu:M 2 3 5 0 3 2 0
Revenu:E 3 2 0 5 0 2 3
Preference:A 2 1 3 0 3 0 0
Preference:B 1 3 2 2 0 4 0
Preference:C 2 1 0 3 0 0 3
Tableau de Burt
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BLE VIN LAITOUI NON Rouge Rosé Blanc Peu Moyen Bcp
0 1 1 0 0 1 0 01 0 0 1 0 0 1 01 0 0 0 1 0 1 0
OUI 0 1 1 2 0 0 1 1 0 2 0NON 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0Rouge 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0Rosé 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0Blanc 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0Pau 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0Moyen 0 1 1 2 0 0 1 1 0 2 0Bcp 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
MATRICE DE BURT
t XX
t XXTous les tris simplesTous les tris croisés
Si X est une matrice disjonctive complèteLa Matrice de BURT est t XX
Le tableau de BURT
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Analyse des correspondances multiples
Effectuer l'analyse des correspondances multiples, c'est effectuer l'analyse factorielle des correspondances du tableau disjonctif complet, muni des relations K<Q> (modalités emboîtées dans les questions) et I<K<q>> (individus emboîtés dans les modalités de chaque question).
Rouanet et Le Roux
Propriété de l’analyse des correspondances (simple)
Lorsqu’il y a deux variables qualitatives réunies dans un tableau disjonctif X = [X1|X2], l’analyse factorielle des correspondances du tableau disjonctif est équivalente à l’analyse des correspondances du tableau de contingence N = TX1 X2
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2 K QQ
Nombre de modalités Nombre de questions
Nombre de questions
Valeur du Phi-2 :
Contributions absolues des modalités colonnes à l’inertie :
Q
fMCta k
k
1)(
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Distances entre profils lignes :
d22 (Patron i,Patron i')
1
Nb de Questions
1
fréquence de la modalité k
Somme étendue à toutes les modalités faisant partie de l'un des deux patrons, sans faire partie des deux patrons
Distance d’une ligne au profil moyen
d22 (O, Patron i)
1
Nombre de Questions
1
fréquence de la modalité k
1
Somme étendue à toutes les modalités faisant partie du patron i
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d22 (Mk, Mk' )
Effectif de k Effectif de k' 2 Effectif de la combinaison k & k '
Effectif de k Effectif de k ' / Effectif total
Distances entre profils colonnes :
Distance d’une colonne au profil moyen :
d22 (O, Mk )
1
fk 1
n
nk 1
Effectif total
Effectif de k 1
d22 (Mk, Mk' )
1
fk
1
fk ' 2
fkk'fk fk '
nk nk' 2nkk'nknk' /n
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1) Indépendance des modalités Mk et Mk' :
),(),(),( '22
'2
kkkk MOdMOdMMd
Autrement dit, dans l'espace multidimensionnel, le triangle OMkMk'
est alors un triangle rectangle en O.
2) Si les modalités Mk et Mk' s'attirent, l'angle ', kk OMOM
est un angle aigu.
3) Si les modalités Mk et Mk' se repoussent, l'angle ', kk OMOM
est un angle obtus.
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4) Si l'effectif conjoint nkk' des modalités Mk et Mk' est nul (en particulier
si Mk et Mk'sont deux modalités d'une même question) :
2),(),(),( '22
'2 kkkk MOdMOdMMd
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Valeurs Propres et Inertie de toutes les Dimensions (Protocole dans Mini-ACM.stw) Table d'Entrée (Lignes x Colonnes) : 7 x 7 (Table de Burt) Inertie
Totale = 1,3333
ValSing. ValProp. %age %age Chi²
1 0,776426 0,602837 45,21275 45,2128 25,37943
2 0,680961 0,463708 34,77810 79,9909 19,52211
3 0,450509 0,202959 15,22190 95,2128 8,54456
4 0,252646 0,063830 4,78725 100,0000 2,68724
Valeurs propres
Valeurs propres : décroissance lente -> taux d’inertie modifiés de Benzécri
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ValProp. 1/Q (VP-1/Q)^2 %age
1 0,6028 0,3333 0,0726 81,04%
2 0,4637 0,3333 0,0170 18,96%
3 0,2030
4 0,0638
Somme 1,3333 0,089630
Calcul des taux modifiés :
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Tra cé 2 D d e s C o o rd o n n é e s C o lo n n e ; D im e n s io n : 1 x 2
Ta b le d 'En tré e (L ig n e s x C o lo n n e s ) : 7 x 7 (Ta b le d e Bu rt)
Se xe :F
Se xe :H
R e ve n u :M
R e ve n u :E
Pre fe re n ce :A
Pre fe re n ce :B
Pre fe re n ce :C
-2 ,0 -1 ,5 -1 ,0 -0 ,5 0 ,0 0 ,5 1 ,0 1 ,5
D im e n s io n 1 ; Va le u r P ro p re : ,6 0 2 8 4 (4 5 ,2 1 % d 'In e rtie )
-1 ,5
-1 ,0
-0 ,5
0 ,0
0 ,5
1 ,0
1 ,5
Dim
en
sion
2; V
ale
ur P
rop
re : ,4
63
71
(34
,78
% d
'Ine
rtie)
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Mini-exemples
Deux questions à deux modalités chacune.
Cas 1 : les effectifs des modalités sont donnés par :
A1 A2 Total
B1 50 50 100
B2 50 50 100
Total 100 100 200
Prévoir la forme de la représentation par rapport au premier plan factoriel.
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Tracé 2D des Coordonnées Colonne ; Dimension : 1 x 2Table d'Entrée (Lignes x Colonnes) : 4 x 4 (Table de Burt)
A:A1 A:A2
B:B1
B:B2
-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5
Dimension 1; Valeur Propre : ,50000 (50,00 % d'Inertie)
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5D
imen
sion
2; V
aleu
r P
ropr
e : ,
5000
0 (5
0,00
% d
'Iner
tie)
Réponse :
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Mini exemple 2 : les effectifs des modalités sont donnés par :
A1 A2 Total
B1 80 20 100
B2 80 20 100
Total 160 40 200
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Tracé 2D des Coordonnées Colonne ; Dimension : 1 x 2Table d'Entrée (Lignes x Colonnes) : 4 x 4 (Table de Burt)
A:A1A:A2
B:B1
B:B2
-2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
Dimension 1; Valeur Propre : ,50000 (50,00 % d'Inertie)
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5D
imen
sion
2; V
aleu
r P
ropr
e : ,
5000
0 (5
0,00
% d
'Iner
tie)
![Page 22: Analyse des correspondances multiples. SexeRevenuPreference s1FMA s2FMA s3FEB s4FEC s5FEC s6HEC s7HEB s8HMB s9HMB s10HMA Tableau protocole : 3 questions,](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070309/551d9d84497959293b8bf443/html5/thumbnails/22.jpg)
Mini exemple 3 : les effectifs des modalités sont donnés par :
A1 A2 Total
B1 72 48 120
B2 48 32 80
Total 120 80 200
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Tracé 2D des Coordonnées Colonne ; Dimension : 1 x 2Table d'Entrée (Lignes x Colonnes) : 4 x 4 (Table de Burt)
A:A1
A:A2
B:B1 B:B2
-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5
Dimension 1; Valeur Propre : ,50000 (50,00 % d'Inertie)
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5D
imen
sion
2; V
aleu
r P
ropr
e : ,
5000
0 (5
0,00
% d
'Iner
tie)
![Page 24: Analyse des correspondances multiples. SexeRevenuPreference s1FMA s2FMA s3FEB s4FEC s5FEC s6HEC s7HEB s8HMB s9HMB s10HMA Tableau protocole : 3 questions,](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070309/551d9d84497959293b8bf443/html5/thumbnails/24.jpg)
Mini exemple 4 : les effectifs des modalités sont donnés par :
A1 A2 Total
B1 80 50 130
B2 50 20 70
Total 130 70 200
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Tracé 2D des Coordonnées Colonne ; Dimension : 1 x 2Table d'Entrée (Lignes x Colonnes) : 4 x 4 (Table de Burt)
A:A1
A:A2
B:B1
B:B2
-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5
Dimension 1; Valeur Propre : ,54945 (54,95 % d'Inertie)
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2D
imen
sion
2; V
aleu
r P
ropr
e : ,
4505
5 (4
5,05
% d
'Iner
tie)
![Page 26: Analyse des correspondances multiples. SexeRevenuPreference s1FMA s2FMA s3FEB s4FEC s5FEC s6HEC s7HEB s8HMB s9HMB s10HMA Tableau protocole : 3 questions,](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070309/551d9d84497959293b8bf443/html5/thumbnails/26.jpg)
Mini exemple 5 : les effectifs des modalités sont donnés par :
A1 A2 Total
B1 73 56 129
B2 40 32 72
Total 113 88 201
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Tracé 2D des Coordonnées Colonne ; Dimension : 1 x 2Table d'Entrée (Lignes x Colonnes) : 4 x 4 (Table de Burt)
A:A1
A:A2
B:B1
B:B2
-1,2 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8
Dimension 1; Valeur Propre : ,50499 (50,50 % d'Inertie)
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2D
imen
sion
2; V
aleu
r P
ropr
e : ,
4950
1 (4
9,50
% d
'Iner
tie)