analogico — digitale circuiti logici porte logiche porte...

Level 1

Level 2

Level 3

Level 4

Level 5

Level 0

Problem-oriented language level

Translation (compiler)

Assembly language level

Translation (assembler)

Operating system machine level

Microarchitecture level

Partial interpretation (operating system)

Instruction set architecture level

Hardware

Digital logic level

Interpretation (microprogram) or direct execution

(Architettura degli Elaboratori) porte logiche, algebre booleane 1 / 54

Analogico — DigitaleNei calcolatori: segnale elettrico rappresental’informazione.Due metodi:• telegrafo: segnale presente - assente (digitale)• telefono: segnale modulato (analogico)

Calcolatore digitale segue il paradigma del telegrafo:– tolleranza ai disturbi, affidabilita– semplicita di progettazione– rappresentazione astratta dell’informazione– less is more.


Codifica dell’informazione

Tensione – segnale — cifra (binaria): bit .• tensione presente: 2 - 3 volt —

segnale presente — 1,• tensione assente: ∼ 0 volt —

segnale assente — 0.

In questo caso: logica positiva.Logica negativa: all’assenza di tensione si associa 1.


Circuiti logici

Dispositivi con una serie disegnali di ingresso (input) e disegnali in uscita (output).

F

DABC

E


Combinatori – Sequenziali

Due classi di circuiti logici:• COMBINATORI: l’uscita dipende solo

dall’ingresso attuale, non c’e memoria.• SEQUENZIALI: l’uscita dipende anche dagli

ingressi passati (o dallo stato), hanno memoriadella storia passata.


Porte logiche

Semplici circuiti combinatori.

Elementi base della costruzione:

ogni circuito combinatorio puo essere ottenutocollegando in modo opportuno un insieme di portelogiche.


Porte logiche fondamentali

AND

OR

NOT


Comportamento delleporte logiche

• La porta logica AND ha uscita 1 se tutti gliingressi sono a 1 (e zero altrimenti)

• La porta logica OR ha uscita 1 se almeno unodegli ingressi e a 1 (e zero altrimenti)

• La porta logica NOT ha uscita 1 se l’ingresso havalore 0 (e zero altrimenti)

Le porte AND, OR possono avere piu di 2 ingressi(con il comportamento descritto sopra).

Come si realizzano le porte logiche?(Architettura degli Elaboratori) porte logiche, algebre booleane 8 / 54

Paragone: elettronica —idraulica

Fornire un idea intuitiva del significato dellegrandezze elettriche.I due sistemi sono governate da leggi fisiche simili.• corrente elettrica, flusso di elettroni (Ampere) —

portata, flusso d’acqua;• fili elettrici — tubi di un sistema idraulico;• tensione elettrica (Volt) — pressione, spinta;• batteria - alimentatore — pompa idraulica;• resistenza (Ohm) — strozzatura, resistenza al

flusso;(Architettura degli Elaboratori) porte logiche, algebre booleane 9 / 54

Paragone: elettronica —idraulica

• interruttore — rubinetto;• condensatore — serbatoio;• transistor — rubinetto regolato da una pressione

idraulica.


Realizzazione fisica portelogiche

Transistor: elemento fondamentale per larealizzazione dei circuiti, amplifica il segnale.

Collector

Base

+VCC

Vout

Vin

Emitter

(a)

Vout

+VCC

+VCC

Vout

V2

(b)

V1

V1

(c)

V2


Descrizionecomportamento circuiti

Informale:• La porta logica OR ha uscita 1 se almeno uno

degli ingressi e a 1 (e zero altrimenti)• D ha valore 1 se almeno uno degli ingressi ha

valore 1 (D e vero se almeno uno degli ingressie vero)

• E ha valore 1 se esattamente due ingressihanno valore 1

• F ha valore 1 se tutte tre gli ingressi hannovalore 1


Formale: tabelle di verita

• Descrizione esaustiva del comportamento: perogni combinazione dei valori di ingresso,specifica i valori di uscita;

• una tabella con tante righe quante lecombinazioni di ingresso.

• Insieme finito di combinazioni di ingresso;• se ci sono n ingressi, le possibili combinazioni

sono: 2n.


Tabella di verita

A B C D E F0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1


Tabella di verita

A B C D E F0 0 0 0 0 00 0 1 1 0 00 1 0 1 0 00 1 1 1 1 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 01 1 0 1 1 01 1 1 1 0 1


Tabelle di verita per leporte logiche

(b)

NANDA

B

X

A B X

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

(c)

NORA

B

X

A B X

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

ANDA

B

X

(d)

A B X

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

ORA

B

X

(e)

A B X

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

(a)

NOT

A

A X

X

0 1

1 0


Dal circuito alla tabella diverita

C

B

A A(B + C)

B + C

A

B

C

AB + AC

AB

AC

(a) (b)

A B C AB AC AB + AC

0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 1 1

1 1 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1

A B C A B + C A(B + C)

0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 1 0

0 1 0 0 1 0

0 1 1 0 1 0

1 0 0 1 0 0

1 0 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1

1 1 1 1 1 1


Sintesi di circuitiData una tabella di verita, definire un circuito.

Ricetta (algoritmo):• considero tutte le righe della tabella di verita con

uscita 1• per ciascuna di esse costruisco un circuito che

vale 1 solo quando gli ingressi (input)coincidono con gli input associati alla riga,uso porte NOT e AND

• riunisco le uscite delle porte AND con una portaOR.


Sintesi di circuiti

Altri metodi:• esisto un metodo duale (principio di dualita:

scambio 0↔ 1, AND↔ OR)• mappe di Karnaugh: permette di ottenere

circuiti compatti, con poche porte.


Mappe di Karnaugh

Metodo per ottenere circuiti minimali.

Il metodo precedente per la sintesi di circuiti creacircuiti con piu porte logiche del necessario.

Puo essere migliorato:

• spesso un gruppo di porte AND puo esseresostituito da un’unica porta AND.

• ossia: un gruppo di 1 viene rappresentato da ununica porta AND.


Mappe di Karnaugh:Tabelle di verita scritti nella forma di matrici:

Notare l’ordine di scittura delle combinazioni00, 01, 11, 10ordine da seguire esattamente.


Mappe di Karnaugh:

Sono evidenziati i gruppi di 1 realizzabili con ununica porta AND:• appaiono in un rettangolo (quadrato) di 2, 4, 8

. . . (2n) elementi;• in ogni rettangolo:

• alcune variabili assumono tutte le possibilicombinazioni,

• altre assumo sempre lo stesso valore,

nell’AND associato appaiono solo quest’ultime(le prime sono ininfluenti).


Esempio:

F = AC + BC + AB

La variabile che assume entrambi i valori, nellacoppia di 1 adiacenti, puo essere omessa.


Mappe di Karnaugh:gruppi di 4 “uni”

F = V3V4 + V2V3 + V1V3


Mappe di Karnaugh: latiopposti.

I lati opposti vanno considrati contigui.

F = YZ + XZ + WXY(Architettura degli Elaboratori) porte logiche, algebre booleane 25 / 54

Principio di dualitaVersione duale delle mappe di Karnaugh:

Correzione: Sn = (A+C +D)(A+B+D)(A+B+C).(Architettura degli Elaboratori) porte logiche, algebre booleane 26 / 54

Specifiche incomplete,valori indefiniti

A volte, alcune combinazioni lasciate indeterminate.L’implementazione sceglie i valori che portano alcircuito piu semplice.


Mappe di Karnaugh con 5o 6 variabili

Si usa la terza dimensione. Disegnare 2 o 4 mappedi Karnaugh a 4 variabili, casselle corrispondenti inmappe adiacenti sono considerate adiacenti.


Algebra booleana

Descrive un circuito con un espressione algebrica,utile per:• rappresentare sinteticamente un circuito,• verificare l’equivalenza tra due circuiti,• semplificare un circuito: trasformarlo in un

circuito equivalente piu semplice.[George Bool (1815-1864), Claude Shannon(1916-2001)]


Algebra booleana

Algebra dei valori di verita:• ideata nell’ambito della logica [Bool].• In logica: e necessario formalizzazione

linguaggio;• la valutazione della verita di una espressione

viene ridotta ad un calcolo;• si considerano solo due possibili valori di verita:

vero (1), falso (0).


Formalizzazione dellinguaggio

Frasi composte da proposizioni base (atomiche)come:splende il sole — piove — nevica;combinate con l’uso di connettivi (e, o, non):• piove e splende il sole• o piove o splende il sole• non piove• se piove allora – non splende il sole e – non

nevica.Si calcola la verita di una frase a partire dalla veritadelle asserzioni atomiche.


Algebra booleanaOperazioni (connettivi base)

AND · ∧ prodotto logico (binaria)OR + ∨ somma logica (binaria)

NOT ¬ negazione (unaria)

Valori (valori di verita)TRUE 1 tFALSE 0 f

Connetivi e valori hanno diverse scritture a secondadell’ambito: logica, progettazione di circuiti.


Comportamento delleoperazioni

Coincide con quello delle porte logiche:• l’espressione (A AND B) e vera se A e vera e

anche B e vera(es: piove e splende il sole)

• (A OR B) e vera se almeno una tra A e B sonovere(es: o piove o splende il sole)

• (NOT A) e vera se A e falsa.(es: non piove)


Applicazioni all’informatica

Rappresentare un circuito mediante un espressionealgebrica [Shannon]

circuiti logici ⇒ funzioni, espressioniporte logiche ⇒ operazioni baseinput ⇒ argomenti (variabili)output ⇒ valore dell’espressionesegnali intermedi ⇒ sotto-espressioni


Corrispondenza circuiti -espressioni

Ai circuiti formati da porte logiche posso associareespressioni (e viceversa).

C

B

A

D

D = ((A + B) + C)


Corrispondenza circuiti -espressioni

C

B

A A(B + C)

B + C

A

B

C

AB + AC

AB

AC

(a) (b)

A B C AB AC AB + AC

0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 1 1

1 1 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1

A B C A B + C A(B + C)

0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 1 0

0 1 0 0 1 0

0 1 1 0 1 0

1 0 0 1 0 0

1 0 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1

1 1 1 1 1 1


Corrispondenzaespressioni - circuiti

E = ((A · B) + (B · C) + (A · C)) · (A · B · C)

A

B

EC

disegnare e piu complicato.(Architettura degli Elaboratori) porte logiche, algebre booleane 37 / 54

Corrispondenza nonperfetta

Ambiguita: un circuito puo essere rappresentato conpiu formule.Alcuni circuiti non hanno una corrispondenteespressione algebrica.• circuiti in cui un’uscita comanda piu ingressi;• circuiti con retroazione:

S

Q

Q

R

Clock

C’e maggiore liberta nel collegare fili che nelloscrivere espressioni.


Convenzioni nella scritturaLe usali convenzioni dell’algebra:• il segno di prodotto puo essere omesso, e volte

indicato con × o ∗ (AB, A× B, A ∗ B);• il prodotto ha precedenza sulla somma;• per l’associativita delle operazioni di AND e OR,

si possono omettere le parentesi(A + B) + C = A + B + C = A + (B + C).

Inoltre:• la negazione puo essere anche rappresentata

da ′ es: (A + B)′ = A + B;


Equivalenze algebriche

Ogni algebra caratterizza da un insieme diequivalenze.

Equivalenze booleane utili per:• stabilire equivalenze tra circuiti;• semplificare circuiti.


Equivalenze booleaneIdentita 0 + A = A

Elem. nullo 1 + A = 1Idempoten. A + A = A

Inverso A + A = 1Commutat. A + B = B + AAssociat. (A + B) + C = A + (B + C)Distribut. A(B + C) = AB + ACAssorbim. A + (A · B) = ADe Morgan A + B = A · BNegazione A = A


Equivalenze dualiIdentita 1 · A = A

Elem. nullo 0 · A = 0Idempoten. A · A = A

Inverso A · A = 0Commutat. A · B = B · AAssociat. (A · B) · C = A · (B · C)Distribut. A + BC = (A + B)(A + C)Assorbim. A · (A + B) = ADe Morgan A · B = A + BNegazione A = A


Considerazioni• Alcune equivalenze: Identita, Commutativa,

Associativa, Distributiva (somma sul prodotto),Elemento nullo ·, sono valide anche perl’algebra degli interi (le altre no).

• Tutte equivalenze della algebra degli interirestano valide tenuto conto che negazione nonha nessuna attinenza con le operazioni diopposto o inverso.

• Equivalenze dimostrabili mediante tabelle diverita,oppure mediante argomenti di logica.


Semplificazione diespressioni

• Le proprieta Identita, Elemento nullo permettonodi eliminare le costanti 0 e 1, dalle espressioni.

• Le leggi di De Morgan e Negazione permettonodi portare la negazione a livello di variabili.

• Le proprieta Commutativa, Associativa, Inverso,Idempotenza e Assorbimento permettono diriordinare i termini ed eliminare doppioni.

• La proprieta distributiva permette di riscrivereogni espressione come somma di prodotti(forma normale) (polinomio).


Esempi di applicazioneAttraverso le regole indicate si possono semplificarele seguenti espressioni.

• De Morgan: A · B + C, A · B · C, A + B + C.• Distributiva: ((A + B) · C + A) · B• Con alcune regole: A · (1 + B) + 1 · A + B

A · B · C · A · B · C(A + B) · (A · B · 0) · (A · B · C)

Assorbimento, si puo derivare da altre equivalenze:Identita, Distributiva, Elemento nullo.


Principio di dualitaOgni proprieta booleana resta valida se scambiamo• la costante 0 con la costante 1 (e 1 con 0);• l’operazione + con l’operazione · (e · con +).

FormalmenteDefinizione: data un espressione booleana, E ,l’espressione duale E si ottiene scambiando tra lorole operazioni + e × e le costanti 0 e 1.Esempio:• E = A + A · (B + 0)• E = A · (A + B · 1)

Proprieta: se E1 = E2 allora E1 = E2.(Architettura degli Elaboratori) porte logiche, algebre booleane 46 / 54

Altre porte logiche

NAND NOR XOR XNOR

A B A NAND B A NOR B A XOR B A XNOR B0 0 1 1 0 10 1 1 0 1 01 0 1 0 1 01 1 0 0 0 1


Definizione medianteespressioni

A NAND B = A · BA NOR B = A + BA XOR B = (A · B) + A · B = (A + B) · (A + B)A XNOR B = A · B + A · B

Le porte NAND e NOR possono esseregeneralizzate ad n ingressi.Una NAND con n ingressi restituisce il valore negatodi una porte AND con n ingressi.

Esercizio: ha senso definire una porta XOR con ningressi? Se “sı”, descriverne il comportamento.


Rappresentazione grafica

NORNAND XOR


NAND e NOR: portelogiche complete

A + B

A + B

A

A

B

B

AB

AB

A

A

A

A

(a)

(b) (c)

A

B

A

B


NAND e NOR: portelogiche complete

Ogni “polinomio” puo essere implementato con porteNAND:A1 · A2 · A3 + B1 · B2 + C1 · C2 · C3 · C4 =

A1 · A2 · A3 + B1 · B2 + C1 · C2 · C3 · C4 =

A1 · A2 · A3 · B1 · B2 · C1 · C2 · C3 · C4

Nei circuiti integrati vengono impiegateesclusivamente porte NAND o NOR: piueconomiche da implementare.Esercizio: come rappresentare, in modo efficiente,ogni circuito con porte NOR?(Architettura degli Elaboratori) porte logiche, algebre booleane 51 / 54

Bolla di inversionepuo apparire anche all’ingresso delle porte logiche:

(a)

AB = A + B

(c)

A + BAB =

(b)

A + B = AB

AB=

(d)

A + B


Algebre di Bool inmatematica

Un insieme A con tre operazioni: +,×, e duecostanti: 0,1,che soddisfano le proprieta sopra elencate: Identita,Elemento nullo, Inverso, . . .Esempio: (l’insieme delle parti) l’insieme formato daisottoinsiemi di numeri naturalicon le operazioni: unione +, intersezione ×, ecomplemento ,e con le costanti: insieme vuoto, insieme completo.Nella progettazione di circuiti ci si limita all’algebra dicommutazione (0, 1)


Esercizi

Esemplificare le espressioni:• A + AB• A B C + AB C + A BC + ABC• A + B + C + ABC• ABC + ABC + ABC + ABC

sia algebricamente che attraverso le mappe diKarnaugh.


analogico — digitale circuiti logici porte logiche porte...

Documents