analiza matematic a, algebra liniar a, geometrie … · gebr a liniar a ˘si geometrie analitic a...

UNIVERSITATEA TEHNICA ”GHEORGHE ASACHI” IASI

ANALIZA MATEMATICA,ALGEBRA LINIARA,

GEOMETRIE ANALITICA SIDIFERENTIALApentru studenti

ın ınvatamantul superior tehnic

Ciprian Deliu

2014

If it sits down, I teach it; if it stands up, I will continue to teach it;but if it runs away, I may not be able to catch up.

John H. Conway

Prefata

Dupa cum sugereaza si titlul, acest volum se adreseaza studentilor din ınvata-mantul superior tehnic si contine principalele notiuni teoretice de matematicanecesare acestora, precum si numeroase exemple, aplicatii, exercitii rezolvatesi exercitii propuse.

Lucrarea este structurata ın 4 parti, fiecare parte corespunzand unui cursde un semestru, si este rezultatul activitatii de predare de cursuri si seminariiın perioada 2008-2014 la Facultatea de Hidrotehnica, Geodezie si IngineriaMediului din cadrul Universitatii Tehnice ”Gh. Asachi” din Iasi.

Primele doua parti parcurg calculul diferential si integral, urmarind ınlinii mari cursul de Analiza Matematica I si II predat anterior de conf. dr.Gheorghe Chiorescu, ın timp ce ultimele doua parti vizeaza cursurile de Al-gebra Liniara si Geometrie Analitica si Diferentiala, cursuri predate anteriorde conf. dr. Constantin Popovici.

Continutul lucrarii acopera ıntr-un spatiu relativ redus o arie destul delarga a matematicii pentru ingineri si ın consecinta sunt inevitabile uneleinadvertente si inconsistente legate de notatii, conventii si chiar de continutulın sine. Autorul ıncurajeaza studentii care consulta acest material sa semna-leze eventualele astfel de inadvertente, precum si alte greseli sesizate ın text,ın vederea corectarii acestora si obtinerii unui continut omogen si util. Deasemenea, orice alte observatii si sugestii sunt apreciate.

Ciprian DeliuB [email protected] www.deliu.ro

i

mailto:[email protected]

www.deliu.ro

ii PREFATA

Cuprins

Prefata i

I Calcul diferential 1

1 Multimi si topologie pe dreapta reala 31.1 Numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Multimi marginite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Structura topologica a dreptei reale . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Siruri de numere reale 112.1 Definitie. Siruri marginite. Siruri monotone . . . . . . . . . . . 112.2 Siruri convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Operatii cu siruri convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Siruri fundamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 Dreapta ıncheiata. Siruri cu limita . . . . . . . . . . . . . . . . 162.6 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Serii de numere reale 253.1 Definitie. Convergenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Serii cu termeni pozitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Limite si continuitate 394.1 Limita unei functii ıntr-un punct . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Limite la infinit si limite infinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3 Asimptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4 Limite fundamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.5 Continuitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.6 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

iii

iv CUPRINS

5 Derivabilitate 51

5.1 Functii derivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.1.1 Definitia derivatei. Derivate laterale . . . . . . . . . . . 51

5.1.2 Derivatele functiilor elementare . . . . . . . . . . . . . . 52

5.1.3 Operatii cu functii derivabile . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2 Aplicatii ale derivabilitatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2.1 Puncte de extrem local. Intervale de monotonie . . . . 54

5.2.2 Derivate de ordin superior. Formula lui Taylor . . . . . 58

5.3 Diferentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.4 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6 Siruri si serii de functii 65

6.1 Siruri de functii. Convergenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2 Serii de functii. Convergenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.3 Serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.4 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7 Functii de mai multe variabile 73

7.1 Spatiul Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.2 Siruri de puncte ın spatiul Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7.3 Functii reale si functii vectoriale pe Rn . . . . . . . . . . . . . . 77

7.4 Limite si continuitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.5 Derivate partiale. Diferentiabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.6 Extreme pentru functii de mai multe variabile . . . . . . . . . 88

7.7 Functii implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.8 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

II Calcul integral 97

8 Integrala definita. Primitive 99

8.1 Functii integrabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8.2 Proprietati ale functiilor integrabile . . . . . . . . . . . . . . . . 102

8.3 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.4 Metode de integrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

8.4.1 Primitivele functiilor rationale . . . . . . . . . . . . . . 107

8.4.2 Schimbari de variabila uzuale . . . . . . . . . . . . . . . 108

8.5 Metode de calcul al integralelor definite . . . . . . . . . . . . . 109

8.6 Aplicatii ale integralei definite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.7 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

CUPRINS v

9 Integrale improprii si cu parametru 117

9.1 Integrala improprie de primul tip . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

9.1.1 Convergenta integralei ın cazul functiilor pozitive . . . 118

9.1.2 Convergenta integralei ın cazul general . . . . . . . . . 119

9.2 Integrala improprie de al doilea tip . . . . . . . . . . . . . . . . 120

9.3 Metode de integrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

9.4 Integrale cu parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

9.4.1 Integrale improprii cu parametru . . . . . . . . . . . . . 124

9.4.2 Integralele lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

9.5 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

10 Integrala curbilinie 129

10.1 Elementul de arc. Lungimea unei curbe . . . . . . . . . . . . . 129

10.2 Integrala curbilinie de prima speta . . . . . . . . . . . . . . . . 131

10.3 Integrala curbilinie de speta a doua . . . . . . . . . . . . . . . . 133

10.4 Independenta de drum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

10.5 Aplicatii ale integralei curbilinii . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

10.6 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

11 Integrala dubla 143

11.1 Definirea integralei duble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143


11.3 Metode de calcul pentru integrale duble . . . . . . . . . . . . . 146

11.3.1 Integrarea pe domenii dreptunghiulare . . . . . . . . . 146

11.3.2 Integrarea pe domenii simple . . . . . . . . . . . . . . . 148

11.3.3 Continuitatea si derivabilitatea integralei duble functiede limitele de integrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

11.3.4 Formula lui Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

11.3.5 Schimbare de variabila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

11.4 Aplicatii ale integralei duble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

11.5 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

12 Integrala de suprafata 155

12.1 Elemente de teoria suprafetelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

12.2 Aria unei suprafete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

12.3 Integrala de suprafata de primul tip . . . . . . . . . . . . . . . 159

12.4 Integrala de suprafata de al doilea tip . . . . . . . . . . . . . . 161

12.5 Aplicatii ale integralelor de suprafata . . . . . . . . . . . . . . . 165

12.6 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

vi CUPRINS

13 Integrala tripla 169

13.1 Definirea integralei triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169


13.3 Metode de calcul pentru integrale triple . . . . . . . . . . . . . 173

13.3.1 Integrarea pe un paralelipiped . . . . . . . . . . . . . . 173

13.3.2 Integrarea pe domenii cilindrice . . . . . . . . . . . . . . 174

13.3.3 Schimbarea de variabile la integrale triple . . . . . . . . 175

13.4 Formula lui Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

13.5 Aplicatii ale integralei triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

13.6 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

14 Ecuatii diferentiale 181

14.1 Generalitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

14.2 Ecuatii de ordinul ıntai sub forma explicita . . . . . . . . . . . 182

14.2.1 Ecuatii diferentiale care provin din anularea unei diferentialetotale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

14.2.2 Ecuatii omogene si ecuatii reductibile la ecuatii omogene183

14.2.3 Ecuatii liniare de ordinul ıntai si ecuatii reductibile laecuatii liniare de ordinul ıntai . . . . . . . . . . . . . . . 185

14.3 Ecuatii de ordinul ıntai sub forma implicita . . . . . . . . . . . 186

14.3.1 Existenta si unicitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

14.4 Ecuatii diferentiale de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . . 188

14.4.1 Ecuatii diferentiale de ordinul n liniare . . . . . . . . . 189

14.5 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

III Algebra liniara 195

15 Matrice. Determinanti. Sisteme de ecuatii liniare 197

15.1 Matrice. Determinanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

15.2 Sisteme de ecuatii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

15.3 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

16 Spatii vectoriale 207

16.1 Definitii si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

16.2 Subspatii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

16.3 Dependenta liniara. Baza. Dimensiune . . . . . . . . . . . . . . 211

16.4 Schimbari de baze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

16.5 Spatii euclidiene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

16.6 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

CUPRINS vii

17 Transformari liniare 22517.1 Definitii si proprietati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22517.2 Matricea unei transformari liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . 22717.3 Valori si vectori proprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22917.4 Endomorfisme pe spatii euclidiene . . . . . . . . . . . . . . . . . 23217.5 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

18 Forme biliniare. Forme patratice 24318.1 Forme biliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24318.2 Forme patratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24618.3 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

19 Vectori liberi 25719.1 Spatiul vectorilor liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25719.2 Coliniaritate si coplanaritate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25919.3 Produse cu vectori liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

19.3.1 Produsul scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26019.3.2 Produsul vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26119.3.3 Produsul mixt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26219.3.4 Dublul produs vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

19.4 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

IV Geometrie analitica si diferentiala 267

20 Planul si dreapta ın spatiu 26920.1 Planul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26920.2 Dreapta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27120.3 Unghiuri si distante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

20.3.1 Unghiul a doua drepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27420.3.2 Unghiul a doua plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27420.3.3 Unghiul dintre o dreapta si un plan . . . . . . . . . . . 27520.3.4 Distanta de la un punct la un plan . . . . . . . . . . . . 27520.3.5 Distanta de la un punct la o dreapta . . . . . . . . . . . 27620.3.6 Perpendiculara comuna. Distanta dintre doua drepte . 276

20.4 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

21 Conice 28121.1 Dreapta ın plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28121.2 Conice pe ecuatii reduse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

21.2.1 Cercul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

viii CUPRINS

21.2.2 Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28421.2.3 Hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28621.2.4 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

21.3 Schimbari de repere carteziene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28921.3.1 Rotatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28921.3.2 Translatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

21.4 Reducerea conicelor la forma canonica . . . . . . . . . . . . . . 29021.4.1 Invariantii unei conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29121.4.2 Forma canonica a conicelor cu centru . . . . . . . . . . 29221.4.3 Forma canonica a conicelor fara centru . . . . . . . . . 295

21.5 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

22 Cuadrice 30522.1 Cuadrice pe ecuatii reduse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

22.1.1 Sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30522.1.2 Elipsoidul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30722.1.3 Hiperboloidul cu o panza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30922.1.4 Hiperboloidul cu doua panze . . . . . . . . . . . . . . . 31022.1.5 Conul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31122.1.6 Paraboloidul eliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31322.1.7 Paraboloidul hiperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31422.1.8 Cilindri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31522.1.9 Generatoare rectilinii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

22.2 Reducerea cuadricelor la forma canonica . . . . . . . . . . . . . 31822.2.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

22.3 Generari de suprafete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32122.3.1 Suprafete cilindrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32222.3.2 Suprafete conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32322.3.3 Suprafete de rotatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

22.4 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

23 Elemente de geometrie diferentiala 32923.1 Curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

23.1.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32923.1.2 Tangenta si normala la o curba plana . . . . . . . . . . 33123.1.3 Elementul de arc al unei curbe plane . . . . . . . . . . 33323.1.4 Curbura unei curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . 33423.1.5 Infasuratoarea unei familii de curbe plane . . . . . . . 336

23.2 Curbe ın spatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33823.2.1 Reprezentari analitice. Puncte ordinare . . . . . . . . . 33823.2.2 Triedrul Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

CUPRINS ix

23.2.3 Elementul de arc. Curbura si torsiune . . . . . . . . . . 34223.3 Suprafete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

23.3.1 Generalitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34423.3.2 Plan tangent si normala la o suprafata . . . . . . . . . 34623.3.3 Prima forma fundamentala a unei suprafete . . . . . . 348

23.4 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

A Functii elementare 357A.1 Functia exponentiala si functia logaritmica . . . . . . . . . . . 357A.2 Functiile trigonometrice si inversele lor . . . . . . . . . . . . . . 359

B Tabele si formule 361B.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361B.2 Derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362B.3 Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

C Algoritmi importanti 365C.1 Puncte de extrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366C.2 Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt . . . . . . . . . . 368C.3 Forme patratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369C.4 Forma canonica la conice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

Bibliografie 373

Glosar 375

x CUPRINS

Partea I

Calcul diferential

1

Capitolul 1

Multimi si topologie pe dreaptareala

1.1 Numere reale

Definitia 1.1. Numim multimea numerelor reale multimea tuturor nu-merelor care pot fi reprezentate cu ajutorul zecimalelor.

Exemple:

5 = 5,00000...

−3

4= −0.750000...

1

3= 0,3333...

√2 = 1,4142...

π = 3,14159...

Numerele reale pot fi reprezentate geometric ca puncte pe o axa orientatape care o vom numi axa reala si o vom nota prin R.

Proprietati ale numerelor reale:

proprietati algebrice (legate de operatiile algebrice uzuale: adunare,scadere, ınmultire, ımpartire)

proprietati de ordine (se refera la ordinea ın care apar numerele pe axareala)

3

4 CAPITOLUL 1. MULTIMI SI TOPOLOGIE

proprietatea de completitudine: daca A este o submultime nevida denumere reale cu proprietatea ca

∃y ∈ R astfel ıncat x ≤ y ∀x ∈ A

atunci exista un cel mai mic y ∈ R cu aceeasi proprietate. Altfel spus,pe axa reala nu exista goluri, fiecare punct corespunde unui numar real.

Submultimi de numere reale:

multimea numerelor naturale: N = 0,1,2,3, . . .

multimea numerelor ıntregi: Z = 0,±1,±2,±3, . . .

multimea numerelor rationale: Q = mn ∣m,n ∈ Z, n ≠ 0

multimea numerelor irationale: R ∖Q

intervale de numere reale (finite sau infinite); exemple:

[a, b) = x ∈ R∣a ≤ x < b(a,∞) = x ∈ R∣x > a

1.2 Multimi marginite

Definitia 1.2. 1. Spunem ca multimea A este minorata (sau marginitainferior) daca exista un punct a la stanga caruia nu se mai afla niciunpunct din A, adica astfel ıncat a ≤ x, ∀x ∈ A. Numarul a se numesteminorant al multimii A.

2. Spunem ca multimea A este majorata (sau marginita superior)daca exista un punct a la dreapta caruia nu se mai afla niciun punct dinA, adica astfel ıncat a ≥ x, ∀x ∈ A. Numarul a se numeste majorantal multimii A.

3. Spunem ca multimea A este marginita daca este si minorata si majo-rata, adica daca exista doua numere a si b astfel ıncat a ≤ x ≤ b, ∀x ∈ A.

Se arata usor ca o multime A este marginita daca si numai daca existaun numar M > 0 astfel ıncat ∣x∣ ≤M, ∀x ∈ A.

Definitia 1.3. 1. Un numar m se numeste margine inferioara a uneimultimi A daca este cel mai mare minorant al multimii A. Se noteazam = infA.

1.3. STRUCTURA TOPOLOGICA A DREPTEI REALE 5

2. Un numar M se numeste margine superioara a unei multimi A dacaeste cel mai mic majorant al multimii A. Se noteaza M = supA.

Teorema 1.1. Orice multime nevida minorata are margine inferioara siorice multime nevida majorata are margine superioara.

Din definitia marginilor unei multimi deducem ca:

Un numar m este marginea inferioara a unei multimi A daca si numaidaca verifica urmatoarele doua conditii:

1. m ≤ x, ∀x ∈ A2. ∀α >m, ∃x ∈ A astfel ıncat x < α

Un numar M este marginea superioara a unei multimi A daca si numaidaca verifica urmatoarele doua conditii:

1. M ≥ x, ∀x ∈ A2. ∀α <M, ∃x ∈ A astfel ıncat x > α

Avem infA = supA daca si numai daca multimea A este formata dintr-un singur punct.

Daca A poseda un cel mai mic numar m, atunci m = infA = minA

Daca A poseda un cel mai mare numar M , atunci M = supA = maxA

1.3 Structura topologica a dreptei reale

Definitia 1.4. Se numeste vecinatate a numarului real x0 orice multimeV care include un interval deschis (a, b) care contine pe x0.

Orice interval deschis (a, b) care contine pe x0 este o vecinatate a lui x0.Vecinatatile de forma (x0−α,x0+α) cu α > 0 se numesc vecinatati simetriceale lui x0. Orice vecinatate V a lui x0 include o vecinatate simetrica a luix0. Astfel, este suficient sa consideram numai vecinatati de forma (a, b) sauvecinatati simetrice ale unui punct.

Vecinatatile punctului x0 au urmatoarele proprietati:

1. Orice multime U care include o vecinatate V a lui x0 este de asemeneao vecinatate a lui x0.

2. Intersectia a doua vecinatati ale lui x0 este de asemenea o vecinatate alui x0.


3. Orice vecinatate V a lui x0 contine pe x0.

4. Pentru orice vecinatate V a lui x0 exista o vecinatate W = (a, b) a luix0 astfel ıncat V este vecinatatea fiecarui punct y ∈W

Alegand pentru fiecare numar real o familie de vecinatati care verificaproprietatile de mai sus, se spune ca s-a definit o structura topologicasau o topologie. Cu aceasta topologie, multimea numerelor reale R este unspatiu topologic numit dreapta reala.

Dreapta reala are proprietatea ca oricare ar fi x ≠ y, exista o vecinatateU a lui x si o vecinatate V a lui y fara puncte comune (U ∩ V = ∅). Adicadreapta reala este un spatiu separat.

Fie A o multime de numere.

Definitia 1.5. Un punct x0 ∈ A este punct interior al multimii A dacaexista o vecinatate (a, b) a lui x0 continuta ın A. Multimea punctelor in-terioare ale lui A se numeste interiorul lui A si se noteaza IntA sau A.O multme se numeste deschisa daca este egala cu interiorul ei. Un puncty0 ∈ R se numeste punct exterior lui A daca y0 este punct interior alcomplementarei CA a lui A.

Proprietati:

1. Reuniunea unei familii oarecare de multimi deschise este o multimedeschisa

2. Intersectia unei familii finite de multimi deschise este o multime des-chisa

3. R si ∅ sunt multimi deschise

Definitia 1.6. Un punct x0 ∈ R este punct aderent al multimii A dacaın orice vecinatate V a lui x0 exista cel putin un punct din A, adica V ∩A ≠ ∅. Multimea punctelor aderente ale lui A se numeste aderenta (sauınchiderea) lui A si se noteaza A. O multme se numeste ınchisa daca esteegala cu ınchiderea sa.

Proprietati:

1. Intersectia unei familii oarecare de multimi ınchise este o multimeınchisa

2. Reuniunea unei familii finite de multimi ınchise este o multime ınchisa

3. R si ∅ sunt multimi ınchise

1.3. STRUCTURA TOPOLOGICA A DREPTEI REALE 7

Definitia 1.7. Se spune ca y0 este punct frontiera al unei multimi A dacaeste aderent si lui A si lui CA. Multimea punctelor frontiera se numestefrontiera multimii A si se noteaza FrA.

Proprietati:

1. Marginile unei multimi marginite sunt puncte aderente

2. O multime A este ınchisa daca si numai daca complementara sa CAeste deschisa

3. O multime B este deschisa daca si numai daca complementara sa CBeste ınchisa

4. O multime ınchisa si majorata ısi contine marginea superioara. Omultime ınchisa si minorata ısi contine marginea inferioara

5. Multimile R si ∅ sunt singurele multimi ınchise si deschise

Definitia 1.8. Se spune ca o multime A este densa ıntr-o multime B dacaorice punct al lui B este aderent lui A, adica B ⊂ A.

Definitia 1.9. Un punct x0 ∈ R (nu neaparat din A) se numeste punct deacumulare al lui A daca orice vecinatate V a lui x0 contine cel putin unpunct x din A diferit de x0, adica V ∩ A ≠ x0. Multimea punctelor deacumulare ale multimii A se noteaza A′ si se numeste multimea derivataa lui A. Un punct al multimii A care nu este punct de acumulare se numestepunct izolat. O multime formata numai din puncte izolate se numestemultime discreta.

Proprietati:

1. Un punct x0 este punct de acumulare al unei multimi A daca si numaidaca ın orice vecinatate V a lui x0 exista o infinitate de puncte din A.

2. Daca o multime A are un punct de acumulare, ea este infinita.

3. O multime finita nu are puncte de acumulare.

4. Daca o multime marginita nu-si contine una din margini, aceasta estepunct de acumulare.

5. O multime este ınchisa daca si numai daca ısi contine toate punctelede acumulare.

Definitia 1.10. O multime de numere reale se numeste multime compactadaca este ınchisa si marginita.


1.4 Exercitii

1. Pentru orice submultime nevida C ⊂ R notam −C = −x,x ∈ C. Sa searate ca daca C este marginita, atunci sup(−C) = − inf C si inf(−C) =− supC.

R: C marginita ⇒ ∃m = inf C ∈ R si M = supC ∈ R. Vom arata ca−m este cel mai mic majorant al multimii −C, care este la randul eimarginita.

m = inf C ⇒m ≤ x, ∀x ∈ C⇔ −m ≥ −x, ∀x ∈ C,

deci −m este un majorant al multimii −C. Daca ar exista un alt majo-rant −m′ < −m al lui −C, atunci m′ ar fi un minorant al lui C mai maredecat m, ceea ce contrazice definitia lui m ca fiind marginea inferioaraa lui C.

In mod analog se arata ca −M este marginea inferioara a lui −C.

2. Se considera multimea A = mn ∣0 < m < n;m,n ∈ Z. Sa se arate ca Anu are un cel mai mic element si nici un cel mai mare element si sa sedetermine infA, supA.

R: Pentru orice mn ∈ A, gasim 2m−1

2n < mn < 2m+1

2n , cu 2m−12n , 2m+1

2n ∈ A, ceeace implica faptul ca A nu poate avea nici minim nici maxim.

Vom arata in continuare ca infA = 0 si supA = 1. Evident, 0 < mn < 1,

∀mn ∈ A.

Pentru orice ε > 0 arbitrar, exista n ∈ Z, n > 1 astfel ıncat 0 < 1n < ε, iar

cum 1n ∈ A, avem ca 0 este cel mai mare minorant al lui A.

Din nou, pentru orice ε > 0 arbitrar, exista m ∈ Z,m > 0 astfel ıncat1 − ε < m

m+1 < 1, iar cum mm+1 ∈ A, avem ca 1 este cel mai mic majorant

al lui A.

3. Care din submultimile V ⊂ R urmatoare sunt vecinatati ale originii:

(a) V = (−1,2); R: da.

(b) V = [0,∞); R: nu, niciun interval deschis care contine originea nueste inclus ın V .

(c) V = (−3,1) ∪ (3,∞); R: da.

(d) V = Q; R: nu, Q nu contine niciun interval deschis.

4. Sa se precizeze care din multimile urmatoare sunt deschise:

1.4. EXERCITII 9

(a) ∅; R: da.

(b) R; R: da.

(c) un interval deschis (a, b); R: da.

(d) o semidreapta deschisa; R: da.

(e) un interval [a, b]; R: nu, ˚[a, b] = (a, b) ≠ [a, b].(f) un interval [a, b); R: nu.

(g) o semidreapta ınchisa; R: nu.

(h) a, a ∈ R; R: nu, a = ∅.

5. Sa se afle aderenta urmatoarelor multimi:

(a) R; R: R.

(b) ∅; R: ∅.

(c) [a, b]; R: [a, b].(d) x0; R: x0.

(e) (a, b], (a, b), [a, b); R: [a, b].(f) o semidreapta deschisa; R: aceeasi semidreapta, dar ınchisa.

(g) Q; R: R.

(h) I = R ∖Q; R: R.

(i) 1, 12 , . . . ,

1n , . . .; R: 1, 1

2 , . . . ,1n , . . . ,0.

(j) 1,2, . . . , n, . . .; R: 1,2, . . . , n, . . ..

6. Sa se precizeze daca multimile A sunt dense fata de multimea B:

(a) A = (a, b],B = [a, b]; R: da.

(b) A = Q,B = R; R: da.

(c) A = R ∖Q,B = R; R: da.

7. Sa se determine punctele de acumulare si punctele izolate ale submultimilorD ⊂ R urmatoare:

(a) D = (−1,1); R: Da = [−1,1], Di = ∅.

(b) D = (−∞,1) ∪ (5,∞); R: Da = (−∞,1] ∪ [5,∞), Di = ∅.

(c) D = Z; R: Da = ∅, Di = Z.

(d) D = 1x , x ∈ R, x ≠ 0; R: Da = R, Di = ∅.


(e) D = (−1)n 1n , n ∈ Z, n ≥ 1; R: Da = 0, Di =D.

(f) D = domeniu maxim de definitie pentru f(x) =arcsin(x−√

1 − x2);R: Da = [0,1], Di = −1.

8. Sa se determine interiorul si frontiera multimilor

(a) A = x ∈ R, ∣x∣ ≤ 1; R: A = (−1,1), FrA = −1,1.

(b) B = x ∈ R, ∣x∣ = 1; R: B = ∅, FrB = −1,1.

(c) C = Q; R: C = ∅, FrC = R.

9. Fie multimea A = [0,1) ∪ 2 ∪ [3,4). Sa se calculeze A, A, ˚A,¯A,

˚A,

¯A.

R: A = (0,1) ∪ (3,4); A = [0,1] ∪ 2 ∪ [3,4]; ˚A = (0,1) ∪ (3,4);¯A = [0,1] ∪ [3,4]; ˚

A = (0,1) ∪ (3,4); ¯A = [0,1] ∪ [3,4].

10. Sa se precizeze care din multimile urmatoare sunt compacte:

(a) o multime finita; R: da.

(b) un interval ınchis; R: da.

(c) o reuniune finita de intervale compacte; R: da.

(d) [a, b); R: nu.

(e) o semidreapta; R: nu.

Capitolul 2

Siruri de numere reale

2.1 Definitie. Siruri marginite. Siruri mono-

tone

Definitia 2.1. Se numeste sir de numere reale o functie reala n → a(n)definita pe multimea numerelor naturale N. Se noteaza (an)n∈N sau doar(an). Numerele a1, a2, . . . se numesc termenii sirului, iar numarul an senumeste termenul general al sirului.

Definitia 2.2. 1. Un sir se numeste minorat (sau marginit inferior)daca exista un numar α ∈ R astfel ıncat α ≤ an, ∀n ∈ N

2. Un sir se numeste majorat (sau marginit superior) daca exista unnumar β ∈ R astfel ıncat an ≤ β, ∀n ∈ N

3. Sirul (an) este marginit daca exista doua numere reale α < β astfelıncat α ≤ an ≤ β, ∀n ∈ N

Observatii:

1. Un sir an este marginit daca si numai daca exista M > 0 astfel ıncat∣an∣ ≤M, ∀n ∈ N

2. Daca exista M > 0 si n0 ∈ N astfel ıncat ∣an∣ ≤M, ∀n ≥ n0, atunci siruleste marginit.

Definitia 2.3. 1. Se numeste marginea inferioara a unui sir (an) unnumar m = inf

n∈Nan cu proprietatile:

(a) m ≤ an, ∀n ∈ N

11

12 CAPITOLUL 2. SIRURI DE NUMERE REALE

(b) ∀α >m, ∃n ∈ N astfel ıncat an < α

2. Se numeste marginea superioara a unui sir (an) un numar M =supn∈N

an cu proprietatile:

(a) an ≤M, ∀n ∈ N(b) ∀α <M, ∃n ∈ N astfel ıncat an > α

Definitia 2.4. 1. Un sir se numeste crescator daca an ≤ an+1, ∀n ∈ N

2. Un sir se numeste descrescator daca an ≥ an+1, ∀n ∈ N

3. Sirurile crescatoare si sirurile descrescatoare se numesc siruri mo-notone

4. Un sir se numeste strict crescator daca an < an+1, ∀n ∈ N

5. Un sir se numeste strict descrescator daca an > an+1, ∀n ∈ N

6. Sirurile strict crescatoare si sirurile strict descrescatoare se numescsiruri strict monotone

Definitia 2.5. Daca n1 < n2 < ⋅ ⋅ ⋅ < np < . . . este un sir strict crescator denumere naturale, sirul an1 , an2 , . . . , anp , . . . se numeste subsir al sirului (an).

2.2 Siruri convergente

Definitia 2.6. Un numar a ∈ R este limita unui sir (an) daca orice ve-cinatate a lui a contine toti termenii sirului, cu exceptia unui numar finitde termeni. Se mai spune ca (an) are limita a, sau ca sirul (an) esteconvergent la a si se noteaza

an → a sau limn→∞

an = a.

Sirurile care nu sunt convergente se numesc siruri divergente.

Teorema 2.1. Un numar a ∈ R este limita unui sir (an) daca si numai dacapentru orice ε > 0, exista Nε ∈ N astfel ıncat oricare ar fi n ≥ Nε, sa avem∣an − a∣ ≤ ε.

2.3. OPERATII CU SIRURI CONVERGENTE 13

Teorema 2.2. Fie (an) si (αn) doua siruri si a ∈ R. Daca ∣an − a∣ ≤ αnpentru orice n si daca αn este convergent la 0, atunci an este convergent laa.

Proprietati ale sirurilor convergente

1. Un sir convergent are o singura limita.

2. Daca (an) este un sir convergent, atunci sirul (∣an∣) este convergent siavem

limn→∞

∣an∣ = ∣ limn→∞

an∣

3. Orice sir convergent este marginit.

4. Prin schimbarea ordinii termenilor unui sir convergent se obtine un sirconvergent catre aceeasi limita.

5. Daca la un sir convergent se adauga sau se scoate un numar finit determeni, sirul obtinut este convergent si are aceeasi limita.

6. Daca (an) este un sir convergent si daca exista n0 ∈ N astfel ıncat saavem α ≤ an ≤ β, ∀n ≥ n0, atunci α ≤ lim

n→∞an ≤ β.

7. Daca (an) este un sir convergent si daca α < limn→∞

an < β, atunci exista

n0 ∈ N astfel ıncat sa avem α < an < β, ∀n ≥ n0.

Teorema 2.3 (Lema lui Stolz). Fie (an) si (bn) doua siruri. Daca sirul

(bn) este strict monoton si nemarginit, si daca limn→∞

an+1 − anbn+1 − bn

= L (finit sau

infinit), atunci limn→∞

anbn

= L.

2.3 Operatii cu siruri convergente

Teorema 2.4. Daca (an) este un sir convergent la 0 si (bn) este un sirmarginit, atunci

limn→∞

anbn = 0.

Teorema 2.5. Daca (an) si (bn) sunt doua siruri convergente, iar α ∈ R,atunci sirurile (an ± bn), (αan) si (anbn) sunt convergente si avem

limn→∞

(an ± bn) = limn→∞

an ± limn→∞

bn

limn→∞

(αan) = α limn→∞

an

limn→∞

(anbn) = limn→∞

an limn→∞

bn


Teorema 2.6. Daca (an) si (bn) sunt doua siruri convergente si limn→∞

bn ≠ 0,

atunci sirul anbn

este convergent si avem

limn→∞

anbn

=limn→∞

an

limn→∞

bn.

Teorema 2.7. Daca (an) si (bn) sunt doua siruri convergente si

an > 0 ∀n ∈ N, limn→∞

an = a > 0, limn→∞

bn = b

atunci avemlimn→∞

abnn = ab

Teorema 2.8. Daca (an) si (bn) sunt doua siruri convergente si an ≤ bn,∀n ∈ N, atunci

limn→∞

an ≤ limn→∞

bn

Teorema 2.9 (teorema clestelui). Daca an ≤ xn ≤ bn, ∀n ∈ N si dacasirurile (an) si (bn) sunt convergente si au aceeasi limita, atunci sirul (xn)este convergent si are aceeasi limita ca si celelalte doua siruri.

2.4 Siruri fundamentale

Definitia 2.7. Un sir (an) se numeste sir fundamental sau sir Cauchydaca pentru orice ε > 0, exista Nε ∈ N astfel ıncat oricare ar fi m ≥ Nε sin ≥ Nε sa avem ∣am − an∣ < ε.

Un sir (an) este fundamental daca si numai daca pentru orice ε > 0,exista Nε ∈ N astfel ıncat oricare ar fi n ≥ Nε si oricare ar fi p ∈ N sa avem∣an+p − an∣ < ε.

Teorema 2.10. Orice subsir al unui sir convergent este de asemenea con-vergent si are aceeasi limita.

Teorema 2.11 (Lema lui Cesaro). Orice sir marginit contine cel putin unsubsir convergent.

Teorema 2.12 (Criteriul general al lui Cauchy). Un sir (an) este con-vergent daca si numai daca este sir fundamental.

Teorema 2.13 (Weierstrass). Orice sir monoton si marginit este conver-gent.

2.4. SIRURI FUNDAMENTALE 15

Teorema 2.14. Daca (an) si (bn) sunt doua siruri de numere reale careverifica urmatoarele doua conditii:

1. a1 ≤ a2 ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ an ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ bn ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ b2 ≤ b1

2. limn→∞(an − bn) = 0

atunci sirurile (an) si (bn) sunt convergente si au aceeasi limita.

Teorema 2.15. Pentru orice numar real x exista doua siruri (rn) si (sn)de numere rationale cu urmatoarele proprietati:

1. r1 ≤ r2 ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ rn ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ sn ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤ s2 ≤ s1

2. limn→∞

rn = x = limn→∞

sn.

Propozitia 2.4.1. Sirul

en = (1 + 1

n)n

este un sir crescator si marginit si are limita egala cu numarul irational

e ≈ 2,71828.

Proprietati suplimentare ale sirurilor convergente

1. Limita unui sir crescator si convergent este mai mare decat toti termeniisirului, iar limita unui sir descrescator si convergent este mai mica decattoti termenii sirului.

2. Daca an → a si an < a, ∀n ∈ N, se poate schimba ordinea termenilorastfel ıncat sa obtinem un sir crescator convergent catre a.

3. Daca an → a si an > a, ∀n ∈ N, se poate schimba ordinea termenilorastfel ıncat sa obtinem un sir descrescator convergent catre a.

4. Daca an → a si an ≠ a, ∀n ∈ N si daca exista o infinitate de termenila stanga lui a si o infinitate de termeni la dreapta lui a, atunci se potforma cu termenii sirului doua subsiruri (bn) si (cn), primul crescator,al doilea descrescator, ambele convergente catre a.

5. Daca (an) si (bn) sunt doua siruri convergente cu aceeasi limita c, oricesir obtinut cu termenii celor doua siruri, ıntr-o ordine oarecare, esteconvergent si are limita c.


6. Un numar a este punct de acumulare al unei multimi A daca si numaidaca exista un sir convergent la a, format din puncte din A diferite dea.

7. Un numar a este punct aderent al multimii A daca si numai daca existaun sir de puncte din A convergent la a.

8. O multime A este ınchisa daca si numai daca oricare ar fi sirul conver-gent de puncte din A, limita sirului apartine de asemenea lui A.

2.5 Dreapta ıncheiata. Siruri cu limita

Definitia 2.8. 1. Daca multimea A nu este majorata, vom spune ca mar-ginea ei superioara este +∞ si scriem supA = +∞, adica

(a) x < +∞, ∀x ∈ A(b) daca α < +∞, exista x ∈ A astfel ıncat α < x

2. Daca multimea A nu este minorata, vom spune ca marginea ei inferi-oara este −∞ si scriem infA = −∞, adica

(a) x > −∞, ∀x ∈ A(b) daca α > −∞, exista x ∈ A astfel ıncat α > x

Definitia 2.9. Multimea formata din toate numerele reale, ımpreuna cu +∞si −∞, se numeste dreapta ıncheiata si se noteaza cu R.

Definitia 2.10. 1. Se numeste vecinatate a lui +∞ o multime carecontine un interval deschis si nemarginit de forma (a,+∞)

2. Se numeste vecinatate a lui −∞ o multime care contine un intervaldeschis si nemarginit de forma (−∞, a)

Observatie: +∞ este prin definitie punct de acumulare al oricarei multiminemajorate, iar −∞ punct de acumulare al oricarei multimi neminorate.

Definitia 2.11. 1. Spunem ca +∞ este limita unui sir (an) daca orice ve-cinatate a lui +∞ contine toti termenii sirului, cu exceptia unui numarfinit dintre ei. Scriem lim

n→∞an = +∞ sau an → +∞

2. Spunem ca −∞ este limita unui sir (an) daca orice vecinatate a lui−∞ contine toti termenii sirului, cu exceptia unui numar finit dintreei. Scriem lim

n→∞an = −∞ sau an → −∞

2.5. DREAPTA INCHEIATA. SIRURI CU LIMITA 17

Teorema 2.16. 1. Un sir are limita +∞ daca si numai daca pentru oriceε ∈ R, exista Nε ∈ N astfel ıncat oricare ar fi n ≥ Nε sa avem an > ε

2. Un sir are limita −∞ daca si numai daca pentru orice ε ∈ R, existaNε ∈ N astfel ıncat oricare ar fi n ≥ Nε sa avem an < ε

Sirurile care au limita +∞ sau −∞ sunt nemarginite, deci sunt divergente.Asadar, sirurile convergente sunt doar cele care au limita finita.

Teorema 2.17 (Criteriul majorarii). 1. Daca an → +∞ si bn > an, ∀n ∈N, atunci bn → +∞

2. Daca an → −∞ si bn < an, ∀n ∈ N, atunci bn → −∞

Teorema 2.18. 1. Orice sir crescator si nemarginit are limita +∞

2. Orice sir descrescator si nemarginit are limita −∞

3. Orice sir monoton are limita. Limita este finita daca si numai dacasirul este marginit.

Proprietati ale sirurilor cu limita:

1. Daca un sir are limita, orice subsir al sau are aceeasi limita;

2. Din orice sir se poate extrage un subsir care are limita;

3. Daca un sir are limita, prin adaugarea sau ınlaturarea unui numar finitde termeni, obtinem un sir cu aceeasi limita

4. Prin schimbarea ordinii termenilor unui sir care are limita, se obtineun sir cu aceeasi limita

5. Daca an → +∞, se poate schimba ordinea termenilor astfel ıncat saobtinem un sir crescator cu limita +∞

6. Daca an → −∞, se poate schimba ordinea termenilor astfel ıncat saobtinem un sir descrescator cu limita −∞

7. Daca (an) si (bn) au aceeasi limita L ∈ R, atunci orice sir format cutermenii sirurilor (an) si (bn), ıntr-o ordine oarecare, are limita L.

Operatii cu siruri cu limita

1. Daca an → +∞ sau an → −∞, atunci ∣an∣→ +∞


2. Daca sirurile (an) si (bn) au limita si daca suma limitelor are sens,atunci sirul (an + bn) are limita si

limn→∞

(an + bn) = limn→∞

an + limn→∞

bn

Caz exceptat ∞−∞.

3. Daca sirul (an) are limita si α ∈ R, atunci sirul αan are limita si

limn→∞

(αan) = α limn→∞

an

4. Daca sirurile (an) si (bn) au limita si daca produsul limitelor are sens,atunci sirul (anbn) are limita si

limn→∞

(anbn) = limn→∞

an ⋅ limn→∞

bn

Caz exceptat 0 ⋅ ∞

5. Daca sirurile (an) si (bn) au limita si daca raportul limitelor are sens,atunci sirul (anbn ) are limita si

limn→∞

anbn

=limn→∞

an

limn→∞

bn

Cazuri exceptate ∞∞ ,

00 .

6. Daca sirurile (an) si (bn) au limita si daca ridicarea la putere a limitelorare sens, atunci sirul (abnn ) are limita si

limn→∞

(abnn ) = limn→∞

alimn→∞

bnn

Cazuri exceptate 1∞, ∞0, 00.

Teorema 2.19 (Limite fundamentale). 1. limn→∞ an =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

1, a = 1∞, a > 10, a ∈ (−1,1)∄, a ≤ −1

2. limn→∞

(aknk + ak−1nk−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1n + a0) = ∞, ak > 0

−∞, ak < 0

3. limn→∞

aknk + ak−1nk−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1n + a0

bmnm + bm−1nm−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + b1n + b0

=⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

( akbm

) ⋅ ∞, k >makbm, k =m

0, k <m

2.6. EXERCITII 19

4. limxn→±∞

(1 + 1

xn)xn

= limxn→0

(1 + xn)1xn = e

5. limxn→0

ln(1 + xn)xn

= 1

6. limxn→0

axn − 1

xn= lna

7. limxn→0

(1 + xn)r − 1

xn= r

8. limxn→0

sinxnxn

= limxn→0

tgxnxn

= limxn→0

arcsinxnxn

= limxn→0

arctgxnxn

= 1

9. limn→∞

nk

an= 0, ∀k ∈ N, a > 1.

Teorema 2.20 (Criteriul Cauchy-D’Alembert al raportului). Fie sirul

(xn) cu xn > 0,∀n ∈ N, pentru care exista limn→∞

xn+1

xn. Atunci sirul ( n

√xn) are

limita si avem

limn→∞

n√xn = lim

n→∞xn+1

xn

2.6 Exercitii

1. Folosind criteriul de convergenta cu ε sa se arate ca

limn→∞

(√

2n + 3 −√

2n) = 0.

Rezolvare: Pentru orice ε > 0, trebuie sa determinam Nε ∈ N astfelıncat

∣√

2n + 3 −√

2n∣ < ε, ∀n ≥ Nε. (2.1)

Pentru ε > 0 arbitrar fixat avem:

∣√

2n + 3 −√

2n∣ < ε⇔ (√

2n + 3 −√

2n)(√

2n + 3 +√

2n)√2n + 3 +

√2n

< ε

⇔ 2n + 3 − 2n√2n + 3 +

√2n

< ε⇔ 3√2n + 3 +

√2n

< ε⇔√

2n + 3 +√

2n > 3

ε

Cum√

2n + 3 >√

2n ⇒√

2n + 3 +√

2n > 2√

2n, asadar inegalitateade mai sus este satisfacuta daca 2

√2n > 3

ε ⇔ 8n > 9ε2 ⇔ n > 9

8ε2 deci

pentru Nε = [ 98ε2

] + 1, (2.1) este satisfacuta.


2. Sa se arate ca sirul (xn), xn = cos (nπ2 ) , n ≥ 0 este divergent.Rezolvare: Avem

x0 = cos 0 = 1

x1 = cos π2 = 0

x2 = cosπ = −1

x3 = cos 3π2 = 0

x4 = cos 2π = 1

x5 = cos 5π2 = 0

⋮

asadar x2n+1 = 0, x4n = 1, x4n+2 = −1, deci xn are 3 subsiruri convergentela limite diferite.

3. Folosind criteriul majorarii sa se calculeze limitele sirurilor:

a) xn = sin 1+2 sin 2+⋅⋅⋅+2n−1 sinn1+2⋅3+3⋅32+⋅⋅⋅+(n+1)3n ;

b) xn = n√n, n ≥ 2

Rezolvare:

a) ∣xn∣ = ∣ sin 1+2 sin 2+⋅⋅⋅+2n−1 sinn1+2⋅3+3⋅32+⋅⋅⋅+(n+1)3n ∣ = ∣sin 1+2 sin 2+⋅⋅⋅+2n−1 sinn∣

1+2⋅3+3⋅32+⋅⋅⋅+(n+1)3n ≤ ∣ sin 1∣+2∣ sin 2∣+⋅⋅⋅+2n−1∣ sinn∣1+2⋅3+3⋅32+⋅⋅⋅+(n+1)3n ≤

1+2+⋅⋅⋅+2n−11+2⋅3+3⋅32+⋅⋅⋅+(n+1)3n , deoarece ∣ sinx∣ ≤ 1, ∀x ∈ R.

Numaratorul 1 + 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2n−1 = 2n − 1 < 2n

Numitorul 1+2⋅3+3⋅32+⋅ ⋅ ⋅+(n+1)3n > (n+1)3n⇒ 11+2⋅3+3⋅32+⋅⋅⋅+(n+1)3n <

1(n+1)3n .

Inmultind cele doua inegalitati obtinem 1+2+⋅⋅⋅+2n−11+2⋅3+3⋅32+⋅⋅⋅+(n+1)3n <

2n

(n+1)3n =1n+1

(23)n, asadar ∣xn∣ < 1

n+1(2

3)n → 0⇒ limn→∞ xn = 0.

b) Pentru xn = n√n, notam yn = xn − 1⇒ n

√n = 1 + yn⇒ n = (1 + yn)n

In egalitatea de mai sus dezvoltam membrul drept folosind binomullui Newton:

(a + b)n =n

∑k=0

Ckna

n−kbk = C0na

nb0 +C1na

n−1b1 +C2na

n−2b2 + ⋅ ⋅ ⋅ +Cnna

0bn

si obtinem n = (1 + yn)n = 1 + nyn + n(n−1)2 y2

n + . . .Cum ın membrul drept avem o suma de numere pozitive, fiecaretermen al sumei este mai mic decat suma totala, deci putem scrie

n(n − 1)2

y2n < n⇒ y2

n <2n

n(n − 1)⇒ yn <

√2

n − 1→ 0

2.6. EXERCITII 21

de unde folosind criteriul majorarii obtinem

limn→∞

yn = 0⇒ limn→∞

xn = limn→∞

(1 + yn) = 1.

4. Folosind criteriul clestelui sa se calculeze limita sirurilor:

a) xn = [x]+[3x]+⋅⋅⋅+[(2n−1)x]n3

Rezolvare: Se stie ca [a] ≤ a < [a] + 1, deci a − 1 < [a] ≤ a, ∀a ∈R. Aplicand aceasta inegalitate pentru a = x,3x, . . . , (2n − 1)xobtinem

x − 1 < [x] ≤ x3x − 1 < [3x] ≤ 3x

. . .

(2n − 1)x − 1 < [(2n − 1)x] ≤ (2n − 1)x

sumand, obtinem:

1+ ⋅ ⋅ ⋅ + (2n−1)x−n < [x]+ ⋅ ⋅ ⋅ + [(2n−1)x] ≤ 1+ ⋅ ⋅ ⋅ + (2n−1)x

Calculand 1 + 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + (2n − 1) = n2 si ımpartind prin n3, obtinemmai departe

n2x − nn3

< xn ≤n2x

n3,

de unde, conform criteriului clestelui, limn→∞

xn = 0.

b) zn =ynn, yn = logx1x2 . . . xn, ∀n ≥ 1, unde xn este o cifra nenula.

Rezolvare:

10n−1 ≤ x1x2 . . . xn < 10n

log 10n−1 ≤ logx1x2 . . . xn < log 10n

n − 1 ≤ yn < nn − 1

n≤ ynn

< nn

n − 1

n≤ zn < 1

de unde folosind criteriul clestelui obtinem

limn→∞

zn = 1.


5. Sa se studieze marginirea, monotonia si convergenta urmatoarelor siruri:

2n2

n2 + 1,

2n

n2 + 1, 4 − (−1)n

n, sin

1

n,

(n!)2

(2n)!,

sinn

n

6. Sa se calculeze limitele sirurilor:

a)5 − 2n

3n − 7; b)n

2 − 4

n + 5; c) n2

n3 + 1; d)(−1)n n

n3 + 1, e)n

2 − 2√n + 1

1 − n − 3n2; f)e

n − e−nen + e−n

g)n sin1

n; h) (n − 3

n)n

; i) (n − 1

n + 1)n

; j)√n + 1 −

√n; k)n −

√n2 − 4n

7. Folosind lema lui Stolz sa se calculeze limitele sirurilor:

(a) xn =1p + 2p + ⋅ ⋅ ⋅ + np

np+1;

R: limn→∞

xn = limn→∞

(n + 1)p(n + 1)p+1 − np+1

= limn→∞

(n + 1)pC1p+1n

p + ⋅ ⋅ ⋅ +Cpp+1n + 1

=

1

p + 1.

(b) xn =1

n

n

∑k=1

k

1 +√

2 +√

3 + ⋅ ⋅ ⋅ +√k

;

R: limn→∞

xn = limn→∞

n + 1

1 +√

2 + ⋅ ⋅ ⋅ +√n + 1

= limn→∞

1√n + 2

= 0.

8. Sa se calculeze limitele sirurilor:

(a) xn = (√n+

√n+2

2√n+1

)n

;

R: limn→∞

xn = elimn→∞

n [√n +

√n + 2

2√n + 1

− 1]= e0 = 1;

(b) xn = sin2 πn + sin2 π

n+1 + ⋅ ⋅ ⋅ + sin2 π2n ;

R: Avem sin2 πn 0, deci cel mai mare (respectiv cel mai mic)

termen al sumei din xn este sin2 πn (respectiv sin2 π

2n). Majorand(respectiv minorand) fiecare termen al sumei, gasim

(n + 1) sin2 π

2n< xn < (n + 1) sin2 π

n.

Avem

limn→∞

(n+1) sin2 π

n= limn→∞

(n+1) (πn)

2

⋅sin2 π

n

(πn)2 = lim

n→∞π2(n + 1)

n2⋅(

sin πn

πn

)2

= 0⋅1 = 0

si analog limn→∞

(n+1) sin2 π

2n= 0 de unde conform criteriului clestelui

rezulta ca limn→∞

xn = 0;

2.6. EXERCITII 23

(c) xn =ln(n2 + en)ln(n4 + e2n)

;

R: limn→∞

xn = limn→∞

ln en (1 + n2

en )

ln e2n (1 + n4

e2n)= limn→∞

ln en + ln (1 + n2

en )

ln e2n + ln (1 + n4

e2n)= limn→∞

n + ln (1 + n2

en )

2n + ln (1 + n4

e2n)=

limn→∞

n [1 + 1n ln (1 + n2

en )]

n [2 + 1n ln (1 + n4

e2n)]

= 1 + 0 ⋅ ln(1 + 0)2 + 0 ⋅ ln(1 + 0)

= 1

2;

(d) xn = (a1n +b 1

n

2 )n

;

R: limn→∞

xn = (1 + a1n + b 1

n

2− 1)

n

= [(1 + yn)1yn ]

nyn= e

limn→∞

n [a1n + b 1

n − 2

2]=

elimn→∞

1

2[a

1n − 1

1n

+ b1n − 1

1n

]= e

lna + ln b

2 = (elnab)12 =

√ab.

9. Sa se determine parametrii reali a, b, c astfel ıncat

limn→∞

n(an −√−2 + bn + cn2) = 1.

R: Amplificand cu conjugata obtinem:

1 = limn→∞

n [a2n2 − (−2 + bn + cn2)]an +

√−2 + bn + cn2

= limn→∞

n [(a2 − c)n2 − bn + 2]

an +√n2 (c + b

n −2n2 )

=

= limn→∞

(a2 − c)n3 − bn2 + 2n

n(a +√c + b

n −2n2)

⇒ a2 − c = b = 0 si a +√c = 2.

Rezolvam sistemul

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a2 − c = 0

a +√c = 2

⇒⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

c = a2

a +√c = 2

⇒ a +√a2 = 2⇒ a + ∣a∣ = 2⇒ a = 1.

deci a = c = 1 si b = 0.

10. Sa se studieze convergenta sirului recurent liniar dat prin:

x0 = 0, xn+1 =1

3xn +

4

3, n ≥ 0.

R: Avem xn = 43(1 + 1

3 + ⋅ ⋅ ⋅ +1

3n−1 ) =43 ⋅

1− 13n

1− 13

= 2 − 23n , de unde obtinem

limn→∞

xn = 2.

Capitolul 3

Serii de numere reale

3.1 Definitie. Convergenta

Definitia 3.1. Se numeste serie de numere reale o suma infinita

∞∑n=1

an = a1 + a2 + a3 + ⋅ ⋅ ⋅ + an + . . . ;

an se numeste termenul general al seriei, iar sirul

Sn =n

∑k=1

an = a1 + a2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an, n ≥ 1

se numeste sirul sumelor partiale.

Exemple de serii:

∞∑n=1

1

n= 1 + 1

2+ 1

3+ ⋅ ⋅ ⋅ + 1

n+ . . . (seria armonica)

∞∑n=0

an = 1 + a + a2 + a3 + ⋅ ⋅ ⋅ + an + . . . , a ∈ R (seria geometrica)

Definitia 3.2. Spunem ca seria ∑∞n=1 an este convergenta daca sirul su-

melor partiale Sn corespunzator seriei converge catre o valoare finita S ∈ R,numita suma seriei. In caz contrar, spunem ca seria este divergenta.

Proprietati ale seriilor:

1. Daca ıntr-o serie convergenta se schimba ordinea unui numar finit determeni, seria obtinuta este tot convergenta si are aceeasi suma.

25

26 CAPITOLUL 3. SERII DE NUMERE REALE

2. Daca ıntr-o serie divergenta se schimba ordinea unui numar finit determeni, seria obtinuta este tot divergenta si are aceeasi suma +∞ sau−∞.

3. Daca la o serie convergenta adaugam sau eliminam un numar finit determeni, seria obtinuta este tot convergenta, dar ın general are altasuma.

4. Daca la o serie divergenta adaugam sau eliminam un numar finit determeni, seria obtinuta este tot divergenta cu aceeasi suma +∞ sau−∞.

5. Daca seria∑∞n=1 an este convergenta, sirul sumelor partiale este marginit.

6. Daca seria ∑∞n=1 an este formata din termeni pozitivi, iar sirul sumelor

partiale este marginit, atunci seria este convergenta.

7. Daca seria ∑∞n=1 an este convergenta, atunci lim

n→∞an = 0.

8. Daca limn→∞

an ≠ 0, atunci seria este divergenta.

Asadar o conditie necesara pentru convergenta unei serii este ca termenulei general sa convearga catre 0. Daca acest lucru nu se ıntampla, atunci seriaeste divergenta.

Teorema 3.1. Fie seriile∞∑n=1

an si∞∑n=1

bn convergente catre A, respectiv B.

Atunci:

(a)∞∑n=1

αan este convergenta catre αA (unde α ∈ R);

(b)∞∑n=1

(an + bn) este convergenta catre A +B;

(c) Daca an ≤ bn, ∀n ≥ 1, atunci A ≤ B.

Observatii:

1. Daca sumele A si B sunt +∞ sau −∞, teorema de mai sus este valabiladaca A +B are sens.

2. Daca∞∑n=1

an = +∞ si α ≠ 0, atunci seria∞∑n=1

αan este divergenta.

3.2. SERII CU TERMENI POZITIVI 27

Teorema 3.2 (Criteriul general al lui Cauchy). O serie∞∑n=1

an este conver-

genta daca si numai daca pentru orice ε > 0, exista Nε ∈ N astfel ıncat oricarear fi n ≥ Nε si oricare ar fi p ≥ 1 sa avem

∣an+1 + an+2 + ⋅ ⋅ ⋅ + αn+p∣ < ε

Teorema 3.3 (Criteriul lui Dirichlet). Daca∞∑n=1

an este o serie care are sirul

sumelor partiale marginit si daca (bn) este un sir descrescator de numere

pozitive convergent catre 0, atunci seria∞∑n=1

anbn este convergenta.

Teorema 3.4 (Criteriul lui Abel). Daca∞∑n=1

an este o serie convergenta si

daca (bn) este un sir de numere pozitive monoton si marginit, atunci seria∞∑n=1

anbn este convergenta.

Definitia 3.3. Se numeste serie alternata o serie de forma ∑(−1)nan, cuan ≥ 0, ∀n ∈ N, asadar produsul oricaror doi termeni consecutivi este negativ.

Teorema 3.5 (Criteriul lui Leibniz). Fie o serie alternata ∑(−1)nan. Dacasirul an este descrescator si convergent catre 0, atunci seria este convergenta.

Definitia 3.4. Spunem ca seria∞∑n=1

an este absolut convergenta daca seria

modulelor∞∑n=1

∣an∣ este convergenta.

Teorema 3.6. Orice serie absolut convergenta este convergenta.

Reciproca acestei teoreme nu este valabila. Exista serii convergente carenu sunt si absolut convergente. Astfel de serii se numesc semiconvergente.

3.2 Serii cu termeni pozitivi

O serie cu termeni pozitivi este o serie ın care termenul general este pozitiv:an ≥ 0, ∀n ≥ 1. Pentru astfel de serii avem la dispozitie un numar de criteriipentru a stabili convergenta lor, fara ınsa a putea gasi suma lor.

Un prim tip de criterii sunt cele de comparatie, ın care este stabilitanatura unei serii cu ajutorul unei alte serii a carei natura este cunoscuta:


Teorema 3.7 (Criteriul 1 de comparatie). Fie doua serii cu termeni pozitivi

∑an si ∑ bn astfel ıncat an ≤ bn, ∀n ≥ N , unde N ∈ N fixat. Atunci:

1. daca ∑ bn este convergenta, atunci si ∑an este convergenta;

2. daca ∑an este divergenta, atunci si ∑ bn este divergenta.

Exemple:∞∑n=1

sin1

n2;

∞∑n=1

2 + sinn

n.


∑an si ∑ bn astfel ıncat an+1an

≤ bn+1bn, ∀n ≥ N , unde N ∈ N fixat. Atunci:

1. daca ∑ bn este convergenta, atunci si ∑an este convergenta;

2. daca ∑an este divergenta, atunci si ∑ bn este divergenta.


∑an si ∑ bn astfel ıncat exista limita L = limn→∞anbn

. Atunci:

1. daca 0 < L <∞, atunci cele doua serii au aceeasi natura;

2. daca L = 0 si ∑ bn convergenta, atunci si ∑an este convergenta;

3. daca L =∞ si ∑ bn divergenta, atunci si ∑an este divergenta.

Exemple:∞∑n=1

sin1

n;

∞∑n=1

sin1

n2.

Teorema 3.10 (Criteriul de condensare). Fie ∑an o serie cu termeni po-zitivi avand sirul termenilor (an) descrescator. Consideram de asemenea siseria ∑2na2n. Daca una dintre serii este convergenta, atunci si cealalta esteconvergenta.

Teorema 3.11. 1. Seria geometrica∞∑n=0

an este convergenta daca a ∈ (0,1)

si divergenta daca a ≥ 1.

2. Seria armonica generalizata∞∑n=1

1

npeste convergenta daca p > 1, si di-

vergenta daca p ≤ 1.

In continuare prezentam cateva criterii de convergenta ın care natura uneiserii este gasita prin calculul unor limite:

3.2. SERII CU TERMENI POZITIVI 29

Teorema 3.12 (Criteriul radacinii). Fie seria cu termeni pozitivi∞∑n=1

an astfel

ıncat exista limita L = limn→∞

n√an. Atunci:

1. daca L < 1, atunci seria este convergenta;

2. daca L > 1, atunci seria este divergenta.

Exemplu:∞∑n=1

(1 + 1n)2n

en

Teorema 3.13 (Criteriul raportului). Fie seria cu termeni pozitivi∞∑n=1

an

astfel ıncat exista limita L = limn→∞

an+1

an. Atunci:

1. daca L < 1, atunci seria este convergenta;

2. daca L > 1, atunci seria este divergenta.

Exemple:∞∑n=1

1 ⋅ 3 ⋅ 5 . . . (2n − 1)2 ⋅ 5 . . . (3n − 1)

;∞∑n=1

n!

nn

Observam ca niciunul din cele doua criterii anterioare nu precizeaza na-tura seriei daca limita L = 1. Pentru astfel de situatii se poate utilizaurmatorul rezultat:

Teorema 3.14 (Criteriul Raabe-Duhamel). Fie seria cu termeni pozitivi∞∑n=1

an astfel ıncat exista limita L = limn→∞

n( anan+1

− 1). Atunci:

1. daca L > 1, atunci seria este convergenta;

2. daca L < 1, atunci seria este divergenta.

Exemplu:∞∑n=1

1

1 + 12 + ⋅ ⋅ ⋅ +

1n

Teorema 3.15 (Criteriul logaritmic). Fie ∑an o serie cu termeni pozitivi

astfel ıncat exista limita L = limn→∞

ln 1an

lnn. Atunci:

1. daca L > 1, atunci seria este convergenta;

2. daca L < 1, atunci seria este divergenta.


3.3 Exercitii

1. Sa se arate ca seria∞∑n=1

1

n(n + 1)

este convergenta si sa se calculeze suma ei.

2. Sa se arate ca∞∑n=1

n

2n − 1este divergenta.

3. Seria∞∑n=1

(−1)n 1

n2este absolut convergenta, iar

∞∑n=1

(−1)n 1

neste semicon-

vergenta.

4. Sa se calculeze suma seriilor:

a)∞∑n=1

1

(3n − 2)(3n + 1)R: Descompunem ın fractii simple termenul general al seriei:

1

(3n − 2)(3n + 1)= A

3n − 2+ B

3n + 1⇒ 1 = A(3n + 1) +B(3n − 2)⇒

1 = (3A + 3B)n +A − 2B ⇒⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

3A + 3B = 0

A − 2B = 1⇒

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

A = 13

B = −13

deci1

(3n − 2)(3n + 1)= 1

3( 1

3n − 2− 1

3n + 1). Suma partiala a seriei

este

Sn =n

∑k=1

1

(3k − 2)(3k + 1)= 1

3

n

∑k=1

( 1

3k − 2− 1

3k + 1) =

= 1

3(1

1− 1

4+ 1

4− 1

7+ 1

7− 1

10+ ⋅ ⋅ ⋅ + 1

3n − 5− 1

3n − 2+ 1

3n − 2− 1

3n + 1) =

= 1

3(1 − 1

3n + 1) = n

3n + 1⇒ S = lim

n→∞Sn = lim

n→∞n

3n + 1= 1

3.

b)∞∑n=1

(√n + 2 − 2

√n + 1 +

√n)

3.3. EXERCITII 31

R: Calculam suma partiala a seriei:

Sn =n

∑k=1

(√k + 2 − 2

√k + 1 +

√k) =

=√

3 − 2√

2 +√

1 ++

√4 − 2

√3 +

√2 +

+√

5 − 2√

4 +√

3 +⋮

+√n − 2

√n − 1 +

√n − 2 +

+√n + 1 − 2

√n +

√n − 1 +

+√n + 2 − 2

√n + 1 +

√n

Sn = 1 −√

2 +√n + 2 −

√n + 1 = 1 −

√2 + 1√

n+2+√n+1⇒ S = 1 −

√2

5. Sa se stabileasca natura urmatoarelor serii verificand daca este indepli-nita conditia necesara pentru convergenta seriilor:

a)∞∑n=1

nn+1n

(n + 1n)n

R: limn→∞

an = limn→∞

nn ⋅ n 1n

(n + 1n)n

= limn→∞

n√n( n

n + 1n

)n

= limn→∞

n√n( n2

n2 + 1)n

=

1 ⋅ limn→∞

(1 − 1

n2 + 1)n

= elimn→∞

(− 1

n2 + 1) ⋅ n

= e0 = 1⇒ seria este diver-

genta.

b)∞∑n=1

(√n4 + 3n2 + 1 − n2)

R: limn→∞

an = limn→∞

3n2 + 1√n4 + 3n2 + 1 + n2

= 3

2⇒ seria este divergenta.

6. Folosind criteriul lui Dirichlet, sa se determine natura seriilor:

(a)∞∑n=1

sinnx

n, x ≠ kπ, k ∈ Z

R: an = 1n 0; pentru calculul sumei partiale

n

∑k=1

sinkx folo-

sim formula trigonometrica sina sin b = 12 (cos(a − b) − cos(a + b));

ınmultind si ımpartind prin sin x2 obtinem

∣Sn∣ = ∣n

∑k=1

sinkx∣ =RRRRRRRRRRR

cos x2 − cos (2n+1)x2

2 sin x2

RRRRRRRRRRR≤

∣cos x2 ∣ + ∣cos (2n+1)x2 ∣

2 ∣sin x2∣

≤ 1

∣sin x2∣∀n ∈ N


de unde rezulta ca seria este convergenta.

(b)∞∑n=1

lnn cosnx√n

R: an =lnn√n 0; ∣Sn∣ = ∣

n

∑k=1

coskx∣ =RRRRRRRRRRR

sin (2n+1)x2 − sin x

2

2 sin x2

RRRRRRRRRRR≤ 1

∣sin x2∣∀n ∈

N⇒ seria este convergenta.

7. Folosind criteriul lui Abel, sa se studieze convergenta seriilor:

(a)∞∑n=2

(−1)n n√n

lnn

R: an = n√n 1,

∞∑n=2

(−1)nlnn

convergenta conform criteriului lui

Leibniz ⇒ seria este convergenta.

(b)∞∑n=1

sinn

nlnn + 1

n

R: an = ln n+1n 0,

∞∑n=1

sinn

nconvergenta conform exercitiului an-

terior ⇒ seria este convergenta.

8. Folosind criteriul lui Leibniz, sa se studieze natura seriilor:

(a)∞∑n=1

(−1)n+1

n − lnn

R: un =1

n − lnn 0⇒ seria este convergenta

(b)∞∑n=1

(−1)n+1tg1

n√n

R: un = tg 1n√n 0⇒ seria este convergenta

9. Folosind criteriul 1 de comparatie sa se studieze natura seriilor:

(a)∞∑n=1

1

2n + 1;

(b)∞∑n=1

3n + 1

n3 + 1;

(c)∞∑n=2

1

lnn;

R: lnn < n ⇒ xn = 1

lnn> 1

n, iar cum

∞∑n=1

1

neste divergenta ⇒

∞∑n=1

xn este divergenta;

3.3. EXERCITII 33

(d)∞∑n=1

1√n3 + n

R: n3+n > n3 ⇒√n3 + n >

√n3 ⇒ xn = 1√

n3+n <1√n3

= 1

n32

, iar cum∞∑n=1

1

n3/2 este convergenta ⇒∞∑n=1

xn este convergenta;

(e)∞∑n=2

an

n√n!, a > 0

R: daca a ≥ 1 ⇒ an > 1. De asemenea, n! < nn ⇒ n√n! < n ⇒

1n√n!> 1n , asadar xn = an

n√n!= an ⋅ 1

n√n!> 1 ⋅ 1

n = 1n , iar cum

∞∑n=1

1

neste

divergenta ⇒∞∑n=1

xn este divergenta;

daca a < 1 avem can√n! = (n!) 1

n > (n!)0 = 1 ⇒ 1n√n!< 1 ⇒ xn =

ann√n!= an ⋅ 1

n√n!< an, iar cum

∞∑n=1

an este convergenta pentru a < 1

⇒∞∑n=1

xn este convergenta.


(a)∞∑n=1

1

20n + 9

R: un =1

20n + 9, vn =

1

n.un+1

un> vn+1

vn,

∞∑n=1

vn divergenta ⇒∞∑n=1

un

este divergenta;

(b)∞∑n=1

1√n2 + 7n

R: un =1√

n2 + 7n, vn =

1

n.un+1

un> vn+1

vn,

∞∑n=1

vn divergenta ⇒∞∑n=1

un

este divergenta;


(a)∞∑n=1

1√n + 1

;

(b)∞∑n=1

n + 5

n3 − 2n + 3;

R: xn =n + 5

n3 − 2n + 3, yn =

1

n2; limn→∞

xnyn

= limn→∞

n3 + 5n2

n3 − 2n + 3= 1. Cum

∞∑n=1

yn este convergenta ⇒∞∑n=1

xn este convergenta.


(c)∞∑n=1

n2e−√n

R: un = n2e−√n, vn = 1

n2; limn→∞

unvn

= limn→∞

n4

e√n= 0;

∞∑n=1

vn conver-

genta ⇒ ∑∞n=1 un este convergenta;

(d)∞∑n=1

(1 − cosπ

n)

R: un = 1 − cos πn , vn = 1n2 ; lim

n→∞unvn

= limn→∞

2 sin2 π2n

1n2

= π2

2;

∞∑n=1

vn

convergenta ⇒ ∑∞n=1 un este convergenta;

(e)∞∑n=1

n√n

lnn

R: xn =n√nlnn , yn =

1lnn ; lim

n→∞xnyn

= limn→∞

n√n

lnn⋅ lnn = lim

n→∞n√n = 1.

Cum∞∑n=1

yn divergenta ⇒∞∑n=1

xn este divergenta.

12. Folosind criteriul de condensare, sa se determine natura seriilor:

(a)∞∑n=2

lnn

n

R: un = lnnn este descrescator, si avem

∞∑n=2

2nu2n =∞∑n=2

n ln 2 diver-

genta ⇒ ∑∞n=2 un divergenta.

(b)∞∑n=2

1

n ln2 n

R: un = 1n ln2 n

este descrescator, si avem∞∑n=2

2nu2n = 1

ln2 2

∞∑n=2

1

n2

convergenta ⇒∞∑n=2

un convergenta.

13. Folosind criteriul radacinii, sa se determine natura seriilor:

(a)∞∑n=1

(2n + 3

n + 1)

2n+1

R: limn→∞

n√xn = lim

n→∞[(2n + 3

n + 1)

2n+1

]1n

= limn→∞

(2n + 3

n + 1)

2n+1n

=

= 4 > 1⇒ seria este divergenta;

(b)∞∑n=1

(√n2 + 2n + 5 − n)n2

3.3. EXERCITII 35

R:√n2 + 2n + 5 − n = (

√n2 + 2n + 5 − n)(

√n2 + 2n + 5 + n)

(√n2 + 2n + 5 + n)

= =

2n + 5√n2 (1 + 2

n +5n2 ) + n

=n (2 + 5

n)

n(√

1 + 2n +

5n2 + 1)

→ 1.

limn→∞

n√xn = lim

n→∞[(

√n2 + 2n + 5 − n)n2]

1n = lim

n→∞(√n2 + 2n + 5−n)n =

limn→∞

(1 +√n2 + 2n + 5 − n − 1)n = e

limn→∞

n(√n2 + 2n + 5 − n − 1)

=e2> 1⇒ seria este divergenta;

(c)∞∑n=2

nlnn

(lnn)n

R: limn→∞

n√xn = lim

n→∞[ nlnn

(lnn)n]

1n

= limn→∞

nlnnn

lnn= limn→∞

(elnn)lnnn

lnn= limn→∞

eln2 nn

lnn=

e0

∞= 0 < 1⇒

(d)∞∑n=1

(cosa

n)n3

R: limn→∞

n√xn = lim

n→∞[(cos

a

n)n3

]1n

= limn→∞

(1 + cosa

n− 1)

n2

= exp [ limn→∞

n2 (cosa

n− 1)] =

exp [ limn→∞

n2 (−2 sin2 a

2n)] = exp

⎡⎢⎢⎢⎢⎣limn→∞

−2n2 ( a2n

)2

(sin a

2na

2n

)2⎤⎥⎥⎥⎥⎦

= e−a2

2 < 1⇒

seria este convergenta.

(e)∞∑n=1

2n+1

nn;

R: convergenta

(f)∞∑n=1

( n

n + 1)n2

;

R: divergenta

14. Folosind criteriul raportului, sa se determine natura seriilor:

(a)∞∑n=1

3ntgπ

2n

R: limn→∞

xn+1

xn= limn→∞

3n+1tg π2n+1

3ntg π2n

= 3 ⋅ limn→∞

tg π2n+1π

2n+1⋅

π2n

tg π2n

⋅π

2n+1π2n

=

= 32 > 1⇒ seria este divergenta;


(b)∞∑n=1

an

np, a > 0, p ∈ R

R: limn→∞

xn+1

xn= limn→∞

an+1(n+1)pan

np

= limn→∞

an+1

(n + 1)p⋅ n

p

an= limn→∞

a ⋅( n

n + 1)p

= a.

Daca 0 < a < 1⇒ seria este convergenta, daca a > 1⇒ seria estedivergenta, iar daca a = 1 obtinem seria armonica generalizata, acarei natura este cunoscuta.

(c)∞∑n=1

2nn!

nn

R: limn→∞

xn+1

xn= limn→∞

2n+1(n+1)!(n+1)n+1

2nn!nn

= limn→∞

2n+1(n + 1)!(n + 1)n+1

⋅ nn

2nn!= limn→∞

2(n + 1) ⋅ nn(n + 1)n+1

=

2 ⋅ limn→∞

nn

(n + 1)n= 2 lim

n→∞( n

n + 1)n

= 2 ⋅ 1

e= 2

e< 1 ⇒ seria este con-

vergenta.

(d)∞∑n=1

9n

n!;

(e)∞∑n=1

n5

2n;

(f)∞∑n=1

(2n)!(n!)2

;

15. Folosind criteriul Raabe-Duhamel, sa se determine natura seriilor:

(a)∞∑n=1

1 ⋅ 5 ⋅ 9 . . . (4n − 3)4nn!

R: limn→∞

n( unun+1

− 1) = 3

4< 1⇒ seria este divergenta;

(b)∞∑n=1

1 ⋅ 4 ⋅ 7 . . . (3n + 1)2 ⋅ 5 ⋅ 8 . . . (3n + 2)

⋅ 1

2n + 1

R: limn→∞

n( unun+1

− 1) = 4

3> 1⇒ seria este convergenta;

(c)∞∑n=1

n!n2

a(a + 1)(a + 2) . . . (a + n), a > 0

R: limn→∞

n( unun+1

− 1) = a − 2. Daca a < 3 ⇒ seria este divergenta,

daca a > 3 ⇒ seria este convergenta, iar daca a = 3, obtinem oserie care conform criteriului III de comparatie are aceeasi naturacu seria armonica, deci este divergenta.

16. Folosind criteriul logaritmic, sa se determine natura seriilor:

3.3. EXERCITII 37

(a)∞∑n=2

alnn, a > 0

R: limn→∞

ln 1un

lnn= ln

1

a. Daca 0 < a < 1

e ⇒ ln 1a > 1 ⇒ seria este

convergenta. Daca a > 1e ⇒ seria este divergenta. Daca a = 1

e

obtinem seria armonica, care este divergenta.

(b)∞∑n=2

1

lnp n

R: limn→∞

ln 1un

lnn= limn→∞

pln(lnn)

lnn= 0 < 1⇒ seria este divergenta.

(c)∞∑n=1

1

nn

R: limn→∞

ln 1un

lnn=∞ > 1⇒ seria este convergenta.

17. Sa se arate ca seriile urmatoare sunt absolut convergente:

(a)∞∑n=1

(−1)nn2 + sinn2

R:∞∑n=1

∣un∣ =∞∑n=1

1

n2 + sinn2, care conform criteriului III de comparatie

are aceeasi natura cu∞∑n=1

1

n2, deci convergenta.

(b)∞∑n=1

sinnx

n2

R: Avem ca ∣un∣ < 1n2 , deci conform criteriului I de comparatie,

∞∑n=1

∣un∣ este convergenta.

(c)∞∑n=1

(−1)n3 ⋅ 5 . . . (2n + 1)2 ⋅ 5 . . . (3n − 1)

R:∞∑n=1

∣un∣ =∞∑n=1

3 ⋅ 5 . . . (2n + 1)2 ⋅ 5 . . . (3n − 1)

care este convergenta conform cri-

teriului raportului.

18. Sa se studieze convergenta absoluta si semiconvergenta seriei:

∞∑n=1

sinnx

np

R: Conform criteriului III de comparatie, seria∞∑n=1

∣un∣ are aceeasi na-


tura cu∞∑n=1

1

np, deci convergenta pentru p > 1 si divergenta pentru

0 < p ≤ 1. Totusi, pentru 0 < p ≤ 1, seria∞∑n=1

un este convergenta

conform criteriului lui Dirichlet.In concluzie, seria este absolut convergenta pentru p > 1 si semiconver-genta pentru 0 < p ≤ 1.

Capitolul 4

Limite si continuitate

4.1 Limita unei functii ıntr-un punct

Definitia 4.1. Fie o functie f ∶ D → R si a ∈ R un punct de acumulare allui D. Spunem ca f are limita L cand x tinde catre a si scriem

limx→a

f(x) = L

daca pentru orice ε > 0, exista δ > 0 (depinzand de ε) astfel ıncat

∣x − a∣ < δ⇒ ∣f(x) −L∣ < ε. (4.1)

Altfel spus, f(x) se poate apropia oricat de mult de L, daca x este sufi-cient de aproape de a. In multe cazuri, valoarea acestei limite se evalueazacalculand f(a), daca acesta exista.

Definitia 4.2. Fie o functie f ∶ D → R si a ∈ R un punct de acumulare allui D. Spunem ca f are limita la stanga L cand x tinde catre a si scriem

limxa

f(x) = L


−δ < x − a < 0⇒ ∣f(x) −L∣ < ε.

Definitia 4.3. Fie o functie f ∶D → R si a ∈ R un punct de acumulare al luiD. Spunem ca f are limita la dreapta L cand x tinde catre a si scriem

limxa

f(x) = L


0 < x − a < δ⇒ ∣f(x) −L∣ < ε.

39

40 CAPITOLUL 4. LIMITE SI CONTINUITATE

Teorema 4.1. O functie are limita L ın punctul a daca si numai daca existaambele limite laterale ın a si sunt egale cu L:

limx→a

f(x) = L⇔ limxa

f(x) = limxa

f(x) = L

Teorema 4.2. O functie f ∶ D → R monotona pe D are limite laterale ınorice punct de acumulare al multimii D.

Urmatoarea teorema ajuta la calculul limitelor multor tipuri de functiiatunci cand sunt cunoscute cateva limite elementare:

Teorema 4.3. Daca limx→a f(x) = L si limx→a g(x) = M , iar α este o con-stanta reala, atunci:

1. limx→a

[f(x) + g(x)] = L +M

2. limx→a

[f(x) − g(x)] = L −M

3. limx→a

f(x)g(x) = LM

4. limx→a

αf(x) = αL

5. limx→a

f(x)g(x)

= L

Mdaca M ≠ 0

6. limx→a

[f(x)]α = Lα atunci cand ridicarea la putere este posibila

7. daca f(x) ≤ g(x) pe un interval care ıl contine pe a ın interior, atunciL ≤M .

Teorema 4.4. Fie P (x) si Q(x) doua functii polinomiale si a ∈ R astfelıncat Q(a) ≠ 0. Atunci:

a) limx→a

P (x) = P (a)

b) limx→a

P (x)Q(x)

= P (a)Q(a)

.

Teorema 4.5 (teorema clestelui). Fie functiile f, g, h cu proprietatea caf(x) ≤ g(x) ≤ h(x) pentru orice x ıntr-un interval deschis continandu-l pe a(eventual mai putin chiar ın x = a). Daca

limx→a

f(x) = limx→a

h(x) = L,

atunci de asemenea limx→a

g(x) = L.

4.2. LIMITE LA INFINIT SI LIMITE INFINITE 41

4.2 Limite la infinit si limite infinite

Definitia 4.4. Fie o functie f ∶D → R, unde D contine un interval nemarginitla dreapta. Spunem ca f are limita L cand x tinde catre infinit si scriem

limx→∞

f(x) = L


x > δ⇒ ∣f(x) −L∣ < ε.

Cu alte cuvinte, f(x) se poate apropia oricat de mult de L, daca x estesuficient de mare. In mod similar se defineste si limita unei functii catre −∞:

Definitia 4.5. Fie o functie f ∶D → R, unde D contine un interval nemarginitla stanga. Spunem ca f are limita L cand x tinde catre −∞ si scriem

limx→−∞

f(x) = L


x < −δ⇒ ∣f(x) −L∣ < ε.

Exista functii ale caror valori pot creste (sau scade) arbitrar de mult ınvecinatatea unui punct (sau la infinit). In astfel de situatii spunem ca functiaare limita infinit (sau −∞) ın punctul respectiv (sau la infinit). Pentru aobtine o definitie formala, nu avem decat sa ınlocuim in definitiile anterioare∣f(x) −L∣ < ε cu f(x) > ε (respectiv f(x) < −ε).

Teorema 4.6. Fie f ∶ D → R, a ∈ R un punct de acumulare pentru D siL ∈ R. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1. limx→a

f(x) = L

2. pentru orice vecinatate U a lui L, exista o vecinatate V a lui a astfelıncat oricare ar fi x ∈ V ∩D, x ≠ a sa avem f(x) ∈ U ;

3. pentru orice sir xn ∈D,xn ≠ a sa avem

limn→∞

xn = a⇒ limn→∞

f(xn) = L.

Proprietati:


1. Daca o functie f ∶ D → R are limita ın a ∈ D′, atunci aceasta limitaeste unica;

2. Daca limx→a

f(x) = L, atunci limx→a

∣f(x)∣ = ∣L∣;

3. Daca functiile f, g ∶ D → R coincid pe o vecinatate a lui a (cu exceptialui a) si daca una dintre ele are limita ın a, atunci si cealalta functieare limita ın a, si limitele sunt egale.

4. Daca functiile f, g, h ∶ D → R au limita ın a si daca exista o vecinatateV a lui a astfel ıncat sa avem f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) pentru orice x ∈V ∩D, x ≠ a, atunci

limx→a

f(x) ≤ limx→a

g(x) ≤ limx→a

h(x).

5. Daca functia f ∶ D → R are limita ın a si daca limx→a

f(x) > α, atunci

exista o vecinatate V a lui a astfel ıncat sa avem f(x) > α pentru oricex ∈ V ∩D, x ≠ a.

6. Daca functia f ∶ D → R are limita ın a si daca limx→a

f(x) < β, atunci

exista o vecinatate V a lui a astfel ıncat sa avem f(x) < β pentru oricex ∈ V ∩D, x ≠ a.

7. Daca functia f ∶ D → R are limita finita ın a si daca α < limx→a

f(x) < β,

atunci exista o vecinatate V a lui a astfel ıncat sa avem α < f(x) < βpentru orice x ∈ V ∩D, x ≠ a.

8. Daca functia f ∶D → R are limita finita ın a, atunci exista o vecinatateV a lui a pe care functia f este marginita.

9. Daca f, g ∶ D → R au limite ın a si daca limx→a

f(x) < limx→a

g(x), atunci

exista o vecinatate V a lui a astfel ıncat f(x) < g(x) pentru oricex ∈ V ∩D, x ≠ a.

Teorema 4.7. Fie P (x) = amxm + ⋅ ⋅ ⋅ + a1x+ a0 si Q(x) = bnxn + ⋅ ⋅ ⋅ + b1x+ b0

doua functii polinomiale de grade m, respectiv n. Atunci limita

limx→±∞

P (x)Q(x)

este:

(a) 0, daca m < n;

(b) ambn

daca m = n;

(c) ±∞ daca m > n, semnul fiind dat de semnul raportului ambn

si de paritatealui m − n.

4.3. ASIMPTOTE 43

4.3 Asimptote

Definitia 4.6. Spunem ca graficul functiei f are asimptota verticala x = adaca

limxa

f(x) = ±∞ sau limxa

f(x) = ±∞

sau ambele.

Definitia 4.7. Spunem ca graficul functiei f are asimptota orizontalay = L daca

limx→−∞

f(x) = L sau limx→∞

f(x) = L

sau ambele.

Definitia 4.8. Spunem ca graficul functiei f are asimptota oblica y =mx + ndaca

limx→−∞

[f(x) −mx − n] = 0 sau limx→∞

[f(x) −mx − n] = 0

sau ambele.

In cazul ın care exista, valorile lui m si n se calculeaza ca fiind

m = limx→±∞

f(x)x

, n = limx→±∞

[f(x) −mx]

4.4 Limite fundamentale

Teorema 4.8. Exista urmatoarele limite fundamentale:

1. limx→0

sinx

x= limx→0

tgx

x= limx→0

arcsinx

x= limx→0

arctgx

x= 1

2. limx→0

ln(x + 1)x

= 1

3. limx→0

ax − 1

x= lna

4. limx→0

(1 + x)a − 1

x= a


4.5 Continuitate

Definitia 4.9. Fie f ∶D → R si a ∈D. Se spune ca functia f este continuaın punctul a daca pentru orice vecinatate U a lui f(a), exista o vecinatate Va lui a astfel ıncat oricare ar fi x ∈ V ∩D sa avem f(x) ∈ U . Se mai spuneca a este punct de continuitate al lui f .

Observatii:

problema continuitatii nu are sens ın punctele ın care functia nu estedefinita (ın particular ın ±∞);

punctul a ∈ D dar nu este ın mod necesar punct de acumulare pentruD, ci poate fi si punct izolat al lui D.

Teorema 4.9. O functie f ∶ D → R este continua ın orice punct izolat aldomeniului de definitie.

Teorema 4.10. O functie f ∶D → R este continua ıntr-un punct de acumu-lare a ∈D daca si numai daca functia are limita ın a si aceasta este egala cuf(a):

limx→a

f(x) = f(a).

Limita unei functii ıntr-un punct poate fi infinita. Daca ınsa functia estecontinua ın acel punct, limita este finita.

Teorema 4.11. Fie o functie f ∶ D → R si a ∈ D. Urmatoarele afirmatiisunt echivalente:

1. f este continua ın a

2. pentru orice sir xn → a, xn ∈D, avem f(xn)→ f(a)

3. pentru orice ε > 0, exista δ > 0 astfel ıncat ∀x ∈ D cu ∣x − a∣ < δ, saavem ∣f(x) − f(a)∣ < ε

4. pentru orice vecinatate U a lui f(a), exista δ > 0 astfel ıncat ∀x ∈ Dcu ∣x − a∣ < δ, sa avem f(x) ∈ U

5. pentru orice ε > 0, exista o vecinatate V a lui a astfel ıncat ∀x ∈ V ∩D,sa avem ∣f(x) − f(a)∣ < ε

Definitia 4.10. Fie f ∶ D → R. Spunem ca f este continua pe D dacaeste continua ın orice a ∈D.

4.5. CONTINUITATE 45

Alte exemple de functii continue: functiile polinomiale, rationale, expo-nentiale, logaritmice, trigonometrice sunt continue pe domeniile pe care suntdefinite.

Definitia 4.11. Fie f ∶D → R si a ∈D. Spunem ca

1. f este continua la stanga ın a daca

limxa

f(x) = f(a)

2. f este continua la dreapta ın a daca

limxa

f(x) = f(a)

Teorema 4.12. O functie este continua ıntr-un punct daca si numai dacaeste continua la stanga si la dreapta ın acel punct.

Definitia 4.12. Fie f ∶D → R si a ∈D.

1. daca f nu este continua ın a, spunem ca f este discontinua ın a, iara se numeste punct de discontinuitate al lui f ;

2. un punct de discontinuitate a al functiei f se numeste punct de di-scontinuitate de prima speta daca functia are limite laterale finiteın a;

3. un punct de discontinuitate a al functiei f se numeste punct de di-scontinuitate de speta a doua daca cel putin una din limitele late-rale nu exista sau este infinita.

Teorema 4.13. Daca functia f ∶D∖a→ R are limita finita L ın a, atuncifunctia

f ∶D → R, f(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

f(x), x ≠ aL, x = a

este continua ın a. Functia f se numeste prelungirea prin continuitatea functiei f ın punctul a.

Teorema 4.14. Fie f, g ∶ D → R doua functii ocntinue ın a ∈ D si α ∈ R.Atunci si functiile:

f + g, f − g, fg, αf, fg, fα

sunt continue ın a (ın cazul ın care acestea sunt bine definite ın a).


Teorema 4.15. Fie functiile f ∶ A → B, g ∶ B → R si a ∈ A. Daca f estecontinua ın a, iar g este continua ın f(a), atunci si g f este continua ın a.

Proprietati ale functiilor continue

1. daca functia f ∶D → R este continua ın a ∈D (sau pe D), atunci functia∣f ∣ este continua ın a (sau pe D)

2. daca functiile f, g ∶ D → R este continue ın a ∈ D (sau pe D), atuncifunctiile min(f, g) si max(f, g) sunt continue ın a (sau pe D)

3. daca functia f ∶ D → R este continua ın a ∈ D si daca α < f(a) < β,atunci exista o vecinatate V a lui a astfel ıncat sa avem α < f(x) < βpentru orice x ∈ V ∩D

4. daca functia f ∶ D → R este continua ın a ∈ D si daca f(a) ≠ 0, atunciexista o vecinatate V a lui a astfel ıncat f(x) ≠ 0 pentru orice x ∈ V ∩D

5. daca functia f ∶D → R este continua ın a ∈D si daca ın orice vecinatateV a lui a exista puncte ın care f ia valori negative si puncte ın care fia valori pozitive, atunci f(a) = 0

6. daca functia f ∶ D → R este continua ın a ∈ D, atunci pentru oriceε > 0, exista o vecinatate V a lui a astfel ıncat oricare ar fi punctelex′, x′′ ∈ V ∩D sa avem ∣f(x′) − f(x′′)∣ < ε

Teorema 4.16. Daca functia f este continua pe un interval I, atunci oricarear fi punctele a, b ∈ I, a < b si oricare ar fi numarul λ ıntre f(a) si f(b),exista cel putin un punct cλ ∈ [a, b] astfel ıncat f(cλ) = λ.

Definitia 4.13. Spunem ca o functie f definita pe un interval I are pro-prietatea lui Darboux daca oricare ar fi punctele a, b ∈ I, a < b si oricarear fi numarul λ ıntre f(a) si f(b), exista cel putin un punct cλ ∈ [a, b] astfelıncat f(cλ) = λ.

Proprietati ale functiilor cu proprietatea Darboux

1. Orice functie continua pe un interval are proprietatea lui Darboux

2. Fie functia f ∶ I → R si a < b doua puncte din I. Daca f are proprietatealui Darboux si daca f(a)f(b) < 0, atunci exista cel putin un punct ın(a, b) ın care functia se anuleaza

3. Daca functia f ∶ I → R are proprietatea lui Darboux si nu se anuleazaın niciun punct din I, atunci functia pastreaza acelasi semn pe totintervalul I

4.5. CONTINUITATE 47

4. O functie care are proprietatea lui Darboux duce un interval tot ıntr-uninterval

Teorema 4.17. Daca functia f ∶ I → R are proprietatea lui Darboux si esteinjectiva, atunci f este strict monotona.

Corolar 4.5.1. Daca functia f ∶ I → R este continua si injectiva pe I, atuncif este strict monotona.

Teorema 4.18. Daca functia f ∶ I → R are proprietatea lui Darboux si dacaexista una dintre limitele laterale ıntr-un punct a ∈ I, atunci aceasta esteegala cu f(a). O functie cu proprietatea Darboux nu are discontinuitati deprima speta.

Teorema 4.19 (Weierstrass). Fie o functie f ∶ [a, b]→ R continua. Atunciexista x1, x2 ∈ [a, b] astfel ıncat

f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2), ∀x ∈ [a, b].

m = f(x1) se numeste valoare minima a lui f , iar M = f(x2) se numestevaloare maxima a lui f .

O astfel de functie, care are proprietatea ca

∃C > 0 astfel ıncat ∣f(x)∣ < C

se numeste marginita. Asadar, o functie continua definita pe un intervalcompact (ınchis si marginit), este marginita si ısi atinge marginile.

Problemele de maxim si minim apar foarte des ın aplicatii practice. Teo-rema anterioara arata existenta maximului si minimului unei functii, insa nuspune nimic despre cum putem gasi aceste valori, lucru care va fi ınsa posibilcu ajutorul instrumentelor date de calculul diferential.

Definitia 4.14. O functie f ∶ D → R este uniform continua pe D dacaoricare ar fi ε > 0, exista δ > 0 astfel ıncat oricare ar fi x′, x′′ ∈D cu ∣x′−x′′∣ <δ, sa avem ∣f(x′) − f(x′′)∣ < ε.

Orice functie uniform continua este continua.

Teorema 4.20. O functie continua pe o multime compacta este uniformcontinua pe aceasta multime.


4.6 Exercitii

1. (a) Folosind definitia cu ε si δ sa se arate ca limx→ 5

2

(2x + 1) = 6.

R: Pentru ε > 0 arbitrar, avem ∣f(x) − 6∣ < ε ⇔ ∣x − 52∣ < ε

2 , decipentru δε = ε

2 definitia este verificata.

(b) Fie functia f ∶ R∗ → R, f(x) = ∣x∣x , x ≠ 0. Sa se arate ca f nu are

limita ın x = 0.R: Presupunem ca exista l = limx→0 f(x). Atunci pentru ε = 1

2 ,exista δε > 0 astfel ıncat ∣f(x) − l∣ < 1

2 , ∀x ∈ (−δε, δε). Insa pentrux1 = − δε2 si x2 = δε

2 obtinem

2 = ∣f(x1) − f(x2)∣ ≤ ∣f(x1) − l∣ + ∣f(x2) − l∣ <1

2+ 1

2= 1,

deci presupunerea facuta este falsa.

2. (a) Sa se analizeze daca urmatoarea functie are limita ın puncteleindicate:

f ∶ R→ R, f(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 − x, x ∈ Q2, x ∈ R ∖Q

, a1 = 2, a2 = −1, a3 = 3.

R: Fie sirurile xn ∈ Q si yn ∈ R ∖Q, ambele convergente catre a.

a2 − a = limxn→a

f(xn) = limx→a

f(x) = limyn→a

f(yn) = 2,

deci functia are limita doar ın a1 = 2.

(b) Sa se determine constanta α ∈ R pentru care urmatoarea functieare limita ın punctul indicat:

f ∶ ( 1

e2,2]→ R, f(x) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

√α2 − 2αx ln(xe) + x2, x ∈ ( 1

e2 ,1)α + x

2 , x ∈ [1,2], a = 1.

R: ∣α − 1∣ = f(1 − 0) = f(1 + 0) = α + 12 ⇒ α = 1

4 .

3. (a) Sa se calculeze limx→∞

(2 + sinx) lnx.

R: limx→∞

(2 + sinx) lnx ≥ limx→∞

lnx = +∞.

(b) Fie f ∶ R → R cu proprietatea ∣f(x) − x∣ ≤ x2, ∀x ∈ R. Sa se arateca lim

x→0f(x) = 0.

R: Se trece la limita ın inegalitatea −x2 + x ≤ f(x) ≤ x2 + x.

4.6. EXERCITII 49

4. Sa se calculeze limitele:

limx0

1

x, limx0

1

x, limx→0

1

x2, limx→±∞

(3x3 − x2 + 2), limx→±∞

(x4 − 5x3 − x),

limx→∞

1

x, limx→±∞

2x2 − x + 3

3x2 + 5, limx→±∞

5x + 2

2x3 − 1, limx→±∞

x3 + 1

x2 + 1, limx→−∞

x√x2 + 1

5. Sa se calculeze limitele:

(a) limx→0

1 − cosx cos 2x . . . cosnx

x2

R: L =n

∑k=1

limx→0

1 − coskx

x2=

n

∑k=1

k2

2= n(n + 1)(2n + 1)

12.

(b) limx→−1

ln[1 + tg(x + 1)]ln[1 + arcsin3(x + 1)]

R: L = limy→0

ln(1 + tgy)ln(1 + arcsin3y)

= 1

3limy→0

[ ln(1 + tgy)tgy

arcsin3y

ln(1 + arcsin3y)tgy

y

3y

arcsin3y] =

1

3.

(c) limx→1

(√x − 1)( 3

√x − 1) . . . ( n

√x − 1)

(x − 1)n−1

R: L =n

∏k=2

limy→0

(1 + y) 1k − 1

y= 1

n!

(d) limx→0

(ax1 + ax2 + ⋅ ⋅ ⋅ + axn

n)

1sinx

, ai > 0

R: L = exp(limx→0

x

sinx

ax1 + ⋅ ⋅ ⋅ + axn − nnx

) = exp( 1

n

n

∑i=1

lnai) = n√a1 . . . an

(e) limx0

xx

R: L = elimx0

x lnx= e

limy→∞

− ln y

y = 1

(f) limx→∞

x1√x

R: L = elimx→∞

lnx√x = 1.

6. Sa se determine asimptotele urmatoarelor functii:

(a) f(x) = xx2−5x+4

R: y = 0 asimptota orizontala spre ±∞, x = 1, x = 4 asimptoteverticale la stanga si la dreapta.


(b) f(x) = x2

x+5

R: y = x− 5 asimptota oblica spre ±∞, x = −5 asimptota verticalala stanga si la dreapta.

(c)1

x2 − x,x4 + x2

x4 + 1,x2 + 1

x.

7. Sa se studieze continuitatea functiilor√x, 1

x , [x] pe domeniile lor dedefinitie.

8. (a) Sa se studieze continuitatea functiei f ∶ R→ R, f(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

e− 1(x−2)2 , x ≠ 2

0, x = 2ın a = 2.R: f(2 − 0) = f(2 + 0) = f(2), deci functia este continua ın 2.

(b) Sa se determine valoarea parametrului real α pentru care functia

f ∶ R→ R, f(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

(1 + αx) 1x , x > 0

x + e, x ≤ 0este continua ın a = 0.

R: e = f(0 − 0) = f(0) = f(0 + 0) = eα⇒ α = 1

(c) Sa se studieze continuitatea laterala pentru functia f ∶ R→ R,

f(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

2x−1−1x−1 , x < 1

ln(1 + x), x ≥ 1ın punctul a = 1.

R: f(1 − 0) = f(1) = f(1 + 0) = ln 2, deci functia este continua ın1.

9. Sa se precizeze daca functiile de mai jos au proprietatea lui Darboux:

(a) f ∶ R→ R, f(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

sinxx , x ≠ 0

1, x = 0

R: Da, deoarece f este continua.

(b) f ∶ [−1,1]→ R, f(x) = x − [x]R: Nu. Fie a = −1

2 si b = 14 . Pentru λ = 1

3 ıntre f(a) si f(b), nuexista c ıntre a si b astfel ıncat f(c) = λ.

(c) f ∶ R→ R, f(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x, x ∈ Qx3, x ∈ R ∖Q

R: Nu. Fie a =√

8 si b =√

10. Pentru λ = 27 ıntre f(a) si f(b),nu exista c ıntre a si b astfel ıncat f(c) = λ.

Capitolul 5

Derivabilitate

5.1 Functii derivabile

5.1.1 Definitia derivatei. Derivate laterale

Definitia 5.1. Fie o functie f ∶ I → R, unde I este un interval si a ∈ I. Senumeste derivata a functiei f ın a, limita

f ′(a) = limx→a

f(x) − f(a)x − a

daca aceasta exista. Daca limita de mai sus este finita, spunem ca f estederivabila ın a.

Teorema 5.1. Daca functia f ∶ I → R este derivabila ın a ∈ I, atunci estecontinua ın a.

Derivata unei functii intr-un punct, daca exista, este egala cu panta tan-gentei la graficul functiei ın acel punct. Asadar, derivata ne da o masura avitezei cu care creste (sau scade) functia ın vecinatatea acelui punct.

Definitia 5.2. Fie f ∶ I → R si a ∈ I. Se numeste derivata la stanga(respectiv la dreapta) limita

f ′s(a) = limxa

f(x) − f(a)x − a

(respectiv f ′d(a) = limxa

f(x) − f(a)x − a

)

daca aceasta exista. Daca limita este finita, spunem ca f este derivabilala stanga (respectiv la dreapta) ın a.

Teorema 5.2. Fie f ∶ I → R si un punct interior a ∈ I. Atunci f are derivataın a daca si numai daca exista ambele derivate laterale ın a si sunt egale.

51

52 CAPITOLUL 5. DERIVABILITATE

Definitia 5.3. 1. Daca f ∶ I → R are derivate laterale diferite ın a ∈ Isi cel putin una dintre ele este finita, atunci punctul M(a, f(a)) senumeste punct unghiular al graficului;

2. Daca una din derivatele laterale ın a este +∞ iar cealalta −∞, atuncipunctul M(a, f(a)) se numeste punct de ıntoarcere al graficului.

Definitia 5.4. Spunem ca functia f ∶ I → R este derivabila pe I daca estederivabila ın orice a ∈ I.

Observatie 1. Daca functia f ∶ I → R este derivabila pe I, atunci f estecontinua pe I.

Definitia 5.5. Fie f ∶ I → R derivabila. Functia f ′ ∶ I → R care asociazafiecarui punct x ∈ I valoarea derivatei f ′(x) se numeste functia derivataa lui f .

5.1.2 Derivatele functiilor elementare

Teorema 5.3. Urmatoarele functii sunt derivabile si au urmatoarele deri-vate:

1. f ∶ R→ R, f(x) = c, c ∈ R; f ′(x) = 0, ∀x ∈ R;

2. f ∶ R→ R, f(x) = x; f ′(x) = 1, ∀x ∈ R;

3. f ∶ R→ R, f(x) = xn, n ∈ N; f ′(x) = nxn−1, ∀x ∈ R;

4. f ∶ (0,∞)→ R, f(x) =√x; f ′(x) = 1

2√x, ∀x ∈ (0,∞);

5. f ∶ R ∖ 0→ R, f(x) = 1x ; f ′(x) = − 1

x2 , ∀x ≠ 0;

6. f ∶ (0,∞)→ R, f(x) = xα, α ∈ R; f ′(x) = αxα−1, ∀x ∈ (0,∞);

7. f ∶ R→ (0,∞), f(x) = ex; f ′(x) = ex, ∀x ∈ R;

8. f ∶ R→ (0,∞), f(x) = ax, a > 0; f ′(x) = ax lna, ∀x ∈ R;

9. f ∶ (0,∞)→ R, f(x) = lnx; f ′(x) = 1x , ∀x > 0;

10. f ∶ (0,∞)→ R, f(x) = loga x, a > 0, a ≠ 1; f ′(x) = 1x lna , ∀x > 0;

11. f ∶ R→ R, f(x) = sinx; f ′(x) = cosx, ∀x ∈ R;

12. f ∶ R→ R, f(x) = cosx; f ′(x) = − sinx, ∀x ∈ R;

5.1. FUNCTII DERIVABILE 53

13. f ∶ R ∖ (2k + 1)π2→ R, f(x) = tgx; f ′(x) = 1cos2 x , ∀x ≠ (2k + 1)π2 ;

14. f ∶ [−1,1]→ [−π2 ,π2] , f(x) = arcsinx; f ′(x) = 1√

1−x2 , ∀x ∈ (−1,1);

15. f ∶ [−1,1]→ [0, π] , f(x) = arccosx; f ′(x) = − 1√1−x2 , ∀x ∈ (−1,1);

16. f ∶ R→ (−π2 ,π2) , f(x) = arctgx; f ′(x) = 1

1+x2 , ∀x ∈ R;

5.1.3 Operatii cu functii derivabile

Teorema 5.4. Fie functiile f, g ∶ I → R derivabile si α ∈ R. Atunci sifunctiile f ±g, (αf), fg, f/g (pentru g(x) ≠ 0) sunt derivabile, iar derivatelelor sunt date de:

(f ± g)′ = f ′ ± g′

(αf)′ = αf ′

(fg)′ = f ′g + fg′

(fg)′= f

′g − fg′g2

.

Teorema 5.5. Fie functiile f ∶ I → J si g ∶ J → R derivabile. Atunci sifunctia compusa g f ∶ I → R este derivabila, iar derivata ei este data prin:

(g f)′(x) = g′(f(x)) ⋅ f ′(x), ∀x ∈ I.

Teorema 5.6. Fie functia f ∶ I → J strict monotona si derivabila. Atunciexista functia inversa f−1 ∶ J → I, este derivabila, iar derivata ei este datade:

(f−1)′(y) = 1

f ′(f−1(y)), ∀y ∈ J.

Aplicatii:

1. Sa se gaseasca valorile a, b ∈ R pentru care functia

f ∶ R→ R, f(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

ax + b, x < 0

2 sinx + 3 cosx, x ≥ 0

2. Sa se calculeze derivatele functiilor:

(a) f(x) = 33√x2 − 2√

x3

(b) f(x) =√x (5 − x − x2

3 )


(c) f(x) = x5√

3+x6(4+x2)3

(d) f(x) = sin√x

1+cos√x

3. Sa se determine coordonatele punctelor de intersectie ale axei Ox cutangentele la graficul functiei f(x) = x+1

x−3 care formeaza unghiul 3π4 cu

axa Ox;

5.2 Aplicatii ale derivabilitatii

5.2.1 Puncte de extrem local. Intervale de monotonie

Definitia 5.6. Fie functia f ∶ I → R si a ∈ I. Spunem ca a este un punctde minim (respectiv maxim) local daca exista o vecinatate V a lui a astfelıncat

f(x) ≥ f(a)(respectiv f(x) ≤ f(a)), ∀x ∈ V ∩ I. (5.1)

Daca a este punct de maxim sau minim local al functiei f , atunci spunemca este punct de extrem local al lui f . Daca una dintre inegalitatile de la(5.1) are loc pentru orice x ∈ I, spunem ca este un punct de extrem global allui f .

Teorema 5.7 (Fermat). Fie f ∶ I → R si a un punct de extrem local dininteriorul lui I. Daca f are derivata ın a, atunci aceasta este nula:

f ′(a) = 0.

Un punct ın care derivata functiei f se anuleaza se numeste punct stationar(sau critic) al lui f . Reciproca teoremei lui Fermat nu este ınsa valabila, ınsensul ca nu orice punct critic este si punct de extrem.

Teorema 5.8 (Rolle). Fie o functie f ∶ I → R si doua puncte a, b ∈ I, a < b.Daca sunt indeplinite conditiile:

1. f este continua pe [a, b];

2. f este derivabila pe (a, b);

3. f(a) = f(b),

atunci exista cel putin un punct c ∈ (a, b) ın care derivata se anuleaza:

f ′(c) = 0.

5.2. APLICATII ALE DERIVABILITATII 55

Teorema 5.9 (Lagrange). Fie o functie f ∶ I → R si doua puncte a, b ∈ I,a < b. Daca sunt indeplinite conditiile:

1. f este continua pe [a, b];

2. f este derivabila pe (a, b);

atunci exista cel putin un punct c ∈ (a, b) astfel ıncat sa avem:

f(b) − f(a)b − a

= f ′(c) (5.2)

Teorema lui Lagrange este o generalizare a teoremei lui Rolle. Formula(5.2) poarta numele de formula cresterilor finite.

Observatii

Teorema lui Lagrange ramane adevarata daca se presupune ca functiaf are derivata finita sau infinita pe intervalul deschis;

Punctul intermediar c din formula cresterilor finite depinde atat defunctia f cat si de punctele a si b;

Daca graficul functiei f admite tangenta ın fiecare punct (cu exceptiaeventual a extremitatilor), exista cel putin un punct pe grafic (care nucoincide cu extremitatile), ın care tangenta este paralela cu coarda careuneste extremitatile.

O alta aplicatie a derivabilitatii, consecinta a teoremei lui Lagrange, estestabilirea monotoniei unei functii:

Teorema 5.10. Fie f ∶ I → R o functie derivabila pe I, unde I este uninterval deschis. Atunci avem:

1. daca f ′(x) = 0, ∀x ∈ I, atunci f este constanta pe I;

2. daca f ′(x) > 0, ∀x ∈ I, atunci f este strict crescatoare pe I;

3. daca f ′(x) < 0, ∀x ∈ I, atunci f este strict descrescatoare pe I;

4. daca f este crescatoare pe I, atunci f ′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I;

5. daca f este descrescatoare pe I, atunci f ′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I.

Asadar studiind semnul derivatei unei functii putem trage concluzii asu-pra punctelor de extrem si a monotoniei acestei functii.


Teorema 5.11. Daca f este continua pe I, derivabila pe I ∖ x0 si dacaderivata sa f ′ are limita finita sau infinita ın punctul x0, atunci f ′(x0) existasi f ′(x0) = lim

x→x0f ′(x0).

Teorema 5.12. Daca f are derivata marginita pe intervalul I, atunci f esteuniform continua pe I.

Teorema 5.13. Daca f este derivabila pe un interval I, atunci derivata saf ′ are proprietatea lui Darboux pe acest interval.

Urmatoarea teorema este o generalizare a teoremei lui Lagrange:

Teorema 5.14 (Cauchy). Fie functiile f, g ∶ I → R si doua puncte a, b ∈ I,a < b. Daca sunt indeplinite conditiile:

1. f si g sunt continue pe [a, b];

2. f si g sunt derivabile pe (a, b);

3. g′(x) ≠ 0, ∀x ∈ (a, b);

atunci g(a) ≠ g(b) si exista cel putin un punct c ∈ (a, b) astfel ıncat sa avem:

f(b) − f(a)g(b) − g(a)

= f′(c)g′(c)

. (5.3)

Aplicatie: Folosind rezultatele anterioare referitoare la puncte de extremsi monotonie, sa se schiteze graficele functiilor:

1. f ∶ [−2,2]→ R, f(x) = x4 − 2x2 − 3

2. f ∶ R→ R, f(x) = xe−x2

3. f ∶ R ∖ 0→ R, f(x) = x2+2x+42x

4. f ∶ R ∖ −2,2→ R, f(x) = x2−1x2−4

O alta aplicatie a derivabilitatii este ın calculul unor limite pentru cazurilede nedeterminare 0

0 si ∞∞ .

Teorema 5.15 (Regula lui l’Hospital pentru cazul 00). Fie doua functii

f, g ∶ I → R derivabile si c un punct de acumulare al lui I. Daca suntındeplinite conditiile:

1. g′(x) ≠ 0, ∀x ∈ I;


2. limx→c

f(x) = limx→c

g(x) = 0;

3. exista limita limx→c

f ′(x)g′(x)

= L, finita sau infinita;

atunci

limx→c

f(x)g(x)

= L.

Teorema 5.16 (Regula lui l’Hospital pentru cazul ∞∞). Fie doua functii

f, g ∶ I → R derivabile si c un punct de acumulare al lui I. Daca suntındeplinite conditiile:

1. g′(x) ≠ 0, ∀x ∈ I;

2. limx→c

g(x) = ±∞;

3. exista limita limx→c

f ′(x)g′(x)

= L, finita sau infinita;

atunci

limx→c

f(x)g(x)

= L.

Observatii

Regulile lui l’Hospital se pot aplica de mai multe ori

Pentru a reduce volumul de calcul este indicat sa se combine regulile luil’Hospital cu limitele fundamentale si cu operatiile cu limite de functii.

ın cazul 0 ⋅ ∞ se poate aplica regula lui l’Hospital pentru f ⋅ g = f1g

ın cazul ∞−∞ se poate aplica regula lui l’Hospital pentru f − g =1g− 1f

1fg

ın cazurile 00,∞0,1∞ se poate aplica regula lui l’Hospital pentru f g =eg ln f

Aplicatie: Folosind regulile l’Hospital, sa se calculeze limitele:

1. limx→1

lnx

x2 − 1

2. limx→0

2 sinx − sin 2x

2ex − x2 − 2x − 2


3. limx→∞

x2

ex

4. limx0

xa lnx, unde a > 0

5. limx→∞

(1 + sin3

x)x

5.2.2 Derivate de ordin superior. Formula lui Taylor

Definitia 5.7. Fie f ∶ I → R o functie derivabila. Daca functia derivataf ′ ∶ I → R este la randul ei derivabila pe I, derivata acesteia se numestederivata a doua a lui f si se noteaza cu f ′′.

In mod similar se pot defini derivatele de ordin 3, 4, si in general derivatade ordin n, notata prin f (n).

Aplicatie: Sa se gaseasca derivatele de ordinul n ale functiilor:

f(x) = 1

1 + x; g(x) = sin(ax + b).

Multe probleme ingineresti sunt prea dificile pentru a putea fi rezolvateexact, motiv pentru care ın multe situatii se opteaza pentru solutii aproxima-tive cu o toleranta acceptabila. O alta aplicatie a derivatelor este ın gasireaunor aproximari polinomiale pentru o functie ın vecinatatea unui punct dat.

Definitia 5.8. Fie f ∶ I → R si a ∈ I. Se numeste linearizare a functiei fın vecinatatea lui a, functia de gradul 1 definita prin

P1(x) = f(a) + f ′(a)(x − a)

Graficul linearizarii ın a este de fapt chiar tangenta la graficul functiei fın punctul corespunzator lui a. Asadar, P1(x) descrie comportamentul luif(x) ın vecinatatea lui a mai bine decat orice alta functie de gradul 1.

Aplicatii:

1. Sa se gaseasca linearizarile functiilor√

1 + x ın jurul lui 0 si 1x ın jurul

lui 12 .

2. Folosind linearizarea lui√x ın jurul lui 25, sa se gaseasca o valoare

aproximativa a lui√

26.


Daca functia f ∶ I → R admite derivate de ordin superior ın vecinatatealui a ∈ I, atunci putem gasi aproximari mai bune pentru f ın vecinatatealui a, folosind polinoame de grad superior (2,3,...). Astfel, aproximarea deordinul 2

P2(x) = f(a) + f ′(a)(x − a) +f ′′(a)

2(x − a)2

descrie comportamentul lui f ın vecinatatea lui a mai bine decat aproximareade ordinul 1 (linearizarea) si decat orice alta functie polinomiala de gradul 2.

Pe cazul general, daca f admite derivate de ordin n pe un interval deschiscontinandu-l pe a, atunci polinomul

Pn(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x − a) + f

′′(a)2!

(x − a)2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f(n)(a)n!

(x − a)n (5.4)

are proprietatea ca derivatele lui calculate ın a sunt egale cu cele ale functieif ın a:

Pn(a) = f(a), P ′n(a) = f ′(a), . . . , P

(n)n (a) = f (n)(a)

si ın consecinta descrie comportamentul lui f ın vecinatatea lui a mai binedecat orice alt polinom de grad n.

Polinomul definit de (5.4) se numeste polinom Taylor de grad n al luif ın a.

Aplicatie: Sa se gaseasca polinomul Taylor de ordinul n corespunzatorfunctiei ex ın vecinatatea lui 0, si cu ajutorul acestuia sa se aproximezenumarul e.

Teorema 5.17 (Formula lui Taylor). Fie f ∶ I → R o functie derivabilade n + 1 ori si a ∈ I. Atunci pentru orice x ∈ I avem:

f(x) = f(a) + f′(a)1!

(x − a) + ⋅ ⋅ ⋅ + f(n)(a)n!

(x − a)n

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶Pn(x)

+ f(n+1(ξ)

(n + 1)!(x − a)n+1

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶En(x)

unde ξ este un numar ıntre a si x.

Cantitatea En(x) se numeste restul lui Lagrange si ne da o masura aerorii aproximarii cu ajutorul polinomului Taylor de ordinul n:

En(x) = f(x) − Pn(x)

Teorema 5.18. Fie f ∶ I → R o functie derivabila de n ori, n ≥ 2 ıntr-una ∈ I, astfel ıncat

f ′(a) = 0, f ′′(a) = 0, . . . , f (n−1)(a) = 0, f (n)(a) ≠ 0.

Atunci:


1. Daca n este par, atunci a este punct de extrem al lui f ; daca f (n)(a) > 0atunci a este punct de minim, iar daca f (n)(a) < 0, atunci a este punctde maxim.

2. Daca n este impar, iar a este punct interior intervalului I, atunci a nueste punct de extrem al functiei f .

Definitia 5.9. 1. Functia f se numeste convexa pe intervalul I dacatangenta dusa ın orice punct al graficului se afla sub grafic.

2. Functia f se numeste concava pe intervalul I daca tangenta dusa ınorice punct al graficului se afla deasupra graficului.

Teorema 5.19. Fie f ∶ I → R o functie de doua ori derivabila pe intervalulI.

1. Daca f ′′(x) ≥ 0,∀x ∈ I, atunci functia f este convexa pe I.

2. Daca f ′′(x) ≤ 0,∀x ∈ I, atunci functia f este concava pe I.

Definitia 5.10. Se spune ca punctul interior x0 ∈ I este punct de infle-xiune al functiei f daca functia are derivata (finita sau infinita) ın punctulx0, si daca functia este convexa de o parte a lui x0 si concava de cealaltaparte a lui x0.

Teorema 5.20. Fie f ∶ I → R si x0 ∈ I. Daca f este de doua ori derivabilaıntr-o vecinatate V a lui x0 si daca exista α,β ∈ V cu x0 ∈ (α,β) astfel ıncat:

(a) f ′′(x0) = 0

(b) f ′′ < 0 pe (α,x0) si f ′′ > 0 pe (x0, β) sau invers,

atunci x0 este punct de inflexiune pentru f .

5.3 Diferentiale

Definitia 5.11. Spunem ca functia f este diferentiabila ın punctul x0 ∈ I,daca exista un numar finit A ∈ R si o functie α definita pe I, continua ın x0

si nula ın x0, astfel ıncat pentru orice x ∈ I sa avem

f(x) − f(x0) = A(x − x0) + α(x)(x − x0).

Daca functia este diferentiabila ın fiecare punct din I, spunem ca este dife-rentiabila pe I.

5.4. EXERCITII 61

Teorema 5.21. Functia f este diferentiabila ıntr-un punct x0 ∈ I daca sinumai daca este derivabila ın x0.

Definitia 5.12. Fie f ∶ I → R derivabila ın x0 ∈ I. Functia

df(x0) ∶ R→ R, df(x0)(h) = f ′(x0)h

se numeste diferentiala functiei f ın x0.

Diferentiala df(x0) aproximeaza diferenta f(x0 + h) − f(x0) pentru h su-ficient de mic.

Aplicatie: Sa se calculeze diferentiala functiei f(x) =√x2 + 1+ln

√x2 + 1

ın punctul x = 1.

5.4 Exercitii

1. (a) Sa se studieze derivabilitatea urmatoarei functii ın punctul indicat:

f ∶ R→ R, f(x) = 3√x − 1, x0 = 1;

R: f ′s(1) = f ′d(1) =∞(b) Sa se determine coordonatele punctelor de intersectie ale axei Ox

cu tangentele la graficul functiei f(x) = x+1x−3 , care formeaza unghiul

3π4 cu axa Ox.

R: Rezolvand ecuatia f ′(x) = tg (3π4) obtinem x1 = 1 si x2 = 5,

corespunzatoare tangentelor y = −x si y = −x+8, care intersecteazaaxa Ox ın punctele de abscise 0 si 8.

2. (a) Sa se stabileasca daca urmatoarele functii au derivate si daca suntderivabile ın punctele indicate:

f ∶ R→ R, f(x) = ∣x2 − 5x + 6∣, x0 = 1, x0 = 2, x0 = 3;

g ∶ R→ R, g(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

ex − 1, x < 0

ln(1 + x), x ≥ 0, x0 = 0.

R: f ′(1) = −3, f ′s(2) = f ′s(3) = −1, f ′d(2) = f ′d(3) = 1,g′s(0) = g′d(0) = 1.

(b) Sa se arate ca A(1,0) si B(−1,0) sunt puncte de ıntoarcere pentrugraficul functiei

f ∶ R→ R, f(x) =√

∣x2 − 1∣

R: f ′s(−1) = f ′s(1) = −∞, f ′d(−1) = f ′d(1) = +∞


(c) Sa se determine punctele de derivabilitate ale functiei

f ∶ R→ R, f(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x3 − x2, x ∈ Q0, x ∈ R ∖Q

R: f este continua ın 0 si 1, si derivabila doar ın 0.

3. Sa se calculeze derivatele functiilor:

(a) f(x) = 33√x2 − 2√

x3

(b) f(x) =√x (5 − x − x2

3 )

(c) f(x) = x5√

3+x6(4+x2)3

(d) f(x) = sin√x

1+cos√x

4. (a) Fie functiile g, h ∶ R → R, g(x) = x2 + 3x + 2, h(x) = x2. Sa secalculeze derivata functiei f = h g.R: f ′(x) = 2(x2 + 3x + 2)(2x + 3).

(b) Fie functia f ∶ R → R, f(x) = x3 + 2x2 + 4x + 4. Sa se arate ca feste bijectiva, (f−1)′(4) = 1

4 si ca (f−1)′(y) > 0, ∀y ∈ R.R: f ′(x) = 3x2 + 4x + 4 > 0 ∀x ∈ R, deci f este strict crescatoare.Cum limx→±∞ f(x) = ±∞, rezulta ca f este bijectiva.(f−1)′(4) = (f−1)′(f(0)) = 1

f ′(0) =14

∀y ∈ R, ∃x ∈ R astfel ıncat f(x) = y, de unde (f−1)′(y) = 1f ′(x) > 0.

5. (a) Daca a, b, c > 0, ax + bx + cx ≥ 3, ∀x ∈ R, atunci abc = 1.R: x = 0 este punct de minim al functiei f(x) = ax + bx + cx;

(b) Daca ai > 0, i = 1, n si∑ni=1 a

xi ≥ ∑

ni=1 ai, ∀x ∈ R, atunci∏n

i=1 aaii = 1.

R: x = 1 este punct de minim al functiei f(x) = ∑ni=1 a

xi .

6. (a) Sa se determine abscisa unui punct c ın care tangenta la graficul

functiei f ∶ R → R, f(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x+22 , x ≤ 0√x + 1, x > 0

sa fie paralela la

coarda care uneste punctele de abscise x1 = −4, x2 = 3.

R: f este derivabila pe R, cu f ′(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

12 , x ≤ 0

12√x+1

, x > 0. Se rezolva

ecuatia f ′(c) = f(x2)−f(x1)x2−x1 si se gaseste c = 13

36 .

5.4. EXERCITII 63

(b) Sa se determine a, b ∈ R astfel ıncat functiei

f ∶ [−1,1]→ R, f(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

ex, x ∈ [−1,0]ax + b, x ∈ (0,1]

sa i se poata aplica teorema lui Lagrange si sa se aplice efectivteorema.R: Punand conditiile de continuitate si derivabilitate ın 0 obtinema = b = 1, iar apoi rezolvand ecuatia f ′(c) = f(1)−f(−1)

2 obtinem

c = ln (1 − 12e).

7. Aplicand teorema lui Lagrange, sa se demonstreze ca

arctgx > x

1 + x2, ∀x > 0.

8. Folosind monotonia unor functii alese convenabil sa se demonstrezeinegalitatile:

(a) 2x3 + 3x2 − 12x + 7 > 0, ∀x > 1R: Se studiaza cu ajutorul derivatei monotonia functiei f(x) =2x3 + 3x2 − 12x + 7 pe (1,∞);

(b) lnx ≤ x − 1, ∀x > 0.R: Se studiaza cu ajutorul derivatei monotonia functiei f(x) =lnx − x + 1 pe (0,∞).

9. Se considera functia

f ∶ [−1,1]→ R, f (x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 +mx + n , x ∈ [−1,0]

px2 + 4x + 4 , x ∈ (0,1], m,n, p ∈ R.

Sa se determine parametriim,n, p a.ı. f sa satisfaca conditiile de aplica-bilitate ale teoremei lui Rolle pe [−1,1] si sa se aplice efectiv aceastateorema.R: m = n = 4; p = −7

10. Sa se aplice teorema lui Cauchy urmatoarelor perechi de functii peintervalele specificate, determinand de fiecare data punctele c:

(a) f (x) =⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

√x + 3 , x ∈ [−2,1]

x + 7

4, x ∈ (1,5]

, g (x) = x , x ∈ [−2,5]

R: c = 116


(b) f (x) = lnx , g (x) = ex, x ∈ [1, e]

R: c = ee−1

11. Folosind regula lui l’Hospital sa se calculeze limitele:

(a) limx→1

sin2(x − 1)x3 − x2 − x + 1

R: 12

(b) limx→∞

ln3 x

x3 + 2x2 − 5R: 0

(c) limx→0

x sinx

x2 − 2x3R: 1

(d) limx→0

x − arctgx

x(1 − cosx)R: 2

3

(e) limx→0

x sin 2x

ln(1 + x2)R: 2

(f) limx→0

ex2 − 1 − x3

sin2 x; R:1

(g) limx→∞

x [(1 + 1

x)x

− e]; R: − e2

(h) limx→0

( 1

x2− ctg2x); R: 2

3

(i) limx0

[ln(x + 1)]x; R: 1

(j) limx→∞

(1 + x) 1x ; R: 1

Capitolul 6

Siruri si serii de functii

6.1 Siruri de functii. Convergenta

Definitia 6.1. O familie de functii (fn)n∈N definite pe o aceeasi multime Ase numeste sir de functii si se noteaza (fn).

Definitia 6.2. Un punct a ∈ A se numeste punct de convergenta alsirului de functii (fn) daca sirul numeric (fn(a)) este convergent. Multimeapunctelor de convergenta ale sirului de functii se numeste multimea deconvergenta a sirului.

Fie (fn) un sir de functii definite pe A si fie B multimea de convergentaa sirului de functii.

Definitia 6.3. Functia f(x) definita prin f(x) = limn→∞

fn(x),∀x ∈ B se

numeste functie limita pe multimea B a sirului de functii (fn).

Definitia 6.4. Spunem ca sirul de functii (fn) este simplu convergent(sau punctual convergent) pe A catre f daca pentru orice x ∈ A, sirulnumeric (fn(x)) este convergent catre numarul f(x):

∀x ∈ A, ∀ε > 0, ∃N(ε, x) astfel ıncat ∣fn(x) − f(x)∣ < ε ∀n ≥ N(ε, x).

Scriem fnsÐ→ f .

Definitia 6.5. Spunem ca sirul de functii (fn) este uniform convergentpe A catre f daca:

∀ε > 0, ∃N(ε) astfel ıncat ∣fn(x) − f(x)∣ < ε ∀n ≥ N(ε), ∀x ∈ A.

Scriem fnuÐ→ f .

65

66 CAPITOLUL 6. SIRURI SI SERII DE FUNCTII

Teorema 6.1 (Criteriul de convergenta uniforma a lui Cauchy). Sirulde functii (fn) este uniform convergent catre o functie f daca si numai daca

∀ε > 0, ∃N(ε) astfel ıncat ∣fn(x) − fm(x)∣ < ε, ∀n,m ≥ N(ε), ∀x ∈ A.

Teorema 6.2 (Criteriul majorarii). Fie (fn) si (ϕn) doua siruri de functiidefinite pe A si f o functie definita pe A. Daca avem

∣fn(x) − f(x)∣ ≤ ϕn(x), ∀n ∈ N, ∀x ∈ A

si daca ϕnuÐ→ 0, atunci fn

uÐ→ f .

Corolar 6.1.1. Fie (fn) un sir de functii definite pe o multime A si f ofunctie definita pe A. Daca exista un sir (an) de numere pozitive convergentcatre 0 astfel ıncat

∣fn(x) − f(x)∣ ≤ an, ∀n ∈ N, ∀x ∈ A

atunci fnuÐ→ f .

Teorema 6.3. Fie (fn) un sir de functii uniform convergent pe multimea Acatre functia f . Daca toate functiile fn sunt continue ıntr-un punct a ∈ A,atunci si functia limita f este continua ın punctul a.

Corolar 6.1.2. Un sir (fn) de functii continue pe A, uniform convergent peA, are limita o functie continua pe A.

Teorema 6.4. Fie (fn) un sir de functii definite si derivabile pe un intervalI, uniform convergent catre f pe I. Daca sirul derivatelor (f ′n) este uniformconvergent catre o functie g pe I, atunci f este derivabila pe I si f ′ = g.

Teorema 6.5. Fie I un interval marginit si (fn) un sir de functii derivabilepe I. Daca:

1. sirul (fn) este convergent ıntr-un punct x0 ∈ I

2. sirul derivatelor (f ′n) este uniform convergent pe I catre o functie g

atunci

(i) sirul (fn) este uniform convergent pe I catre o functie f

(ii) limita f este derivabila si f ′ = g

6.2. SERII DE FUNCTII. CONVERGENTA 67

6.2 Serii de functii. Convergenta

Definitia 6.6. Suma infinita f1 + f2 + ⋅ ⋅ ⋅ + fn + . . . unde (fn) este un sirde functii definite pe aceeasi multime A, se numeste serie de functii si se

noteaza∞∑n=1

fn sau ∑ fn. Multimea punctelor a ∈ A pentru care seria ∑ fneste convergenta se numeste multime de convergenta a seriei de functii.

Observatie: Seria ∑ fn este convergenta ın punctul a ∈ A daca si numaidaca sirul de functii al sumelor partiale Sn = f1 + ⋅ ⋅ ⋅ +fn este convergent ın a.

Definitia 6.7. Fie (fn) un sir de functii definite pe aceeasi multime A si fo functie definita pe o submultime B ⊂ A.

1. Spunem ca seria de functii ∑ fn este simplu convergenta pe B catrefunctia f daca sirul sumelor partiale (Sn) este simplu convergent catrefunctia f pentru orice x ∈ B

2. Spunem ca seria de functii ∑ fn este uniform convergenta pe Bcatre functia f daca sirul sumelor partiale (Sn) este uniform convergentcatre functia f pe multimea B

Functia f se numeste suma seriei pe multimea B.

Teorema 6.6 (Criteriul lui Cauchy de convergenta uniforma). O seriede functii ∑ fn definite pe A este uniform convergenta pe A daca si numaidaca pentru orice ε > 0, exista N(ε) ∈ N astfel ıncat oricare ar fi n ≥ N(ε) sip ≥ 1 sa avem

∣fn+1(x) + fn+2(x) + ⋅ ⋅ ⋅ + fn+p(x)∣ < ε, ∀x ∈ A

Teorema 6.7. Fie ∑ fn si ∑ϕn doua serii de functii definite pe A. Dacaavem

∣fn(x)∣ ≤ ϕn(x), ∀n ∈ N, ∀x ∈ A

iar seria ∑ϕn este uniform convergenta pe A, atunci si seria ∑ fn este uni-form convergenta pe A.

Corolar 6.2.1. Fie ∑ fn o serie de functii definite pe A si ∑an o serieconvergenta de numere pozitive. Daca avem

∣fn(x)∣ ≤ an, ∀n ∈ N, ∀x ∈ A

atunci seria ∑ fn este uniform convergenta pe A.


Teorema 6.8 (Criteriul lui Dirichlet). Fie ∑ fn o serie de functii definitepe A si sirul de functii (αn(x)). Daca sunt ındeplinite conditiile:

1. ∑ fn are sirul sumelor partiale (Sn) egal marginite pe A:

∃M > 0 astfel ıncat ∣Sn(x)∣ ≤M, ∀x ∈ A

2. (αn(x)) este monoton descrescator si uniform convergent la functianula pe A

atunci seria de functii ∑αnfn este uniform convergenta pe A.

Teorema 6.9 (Criteriul lui Abel). Fie ∑ fn o serie de functii definite peA si sirul de functii (αn(x)). Daca sunt ındeplinite conditiile:

1. ∑ fn este uniform convergenta pe A

2. (αn(x)) este monoton descrescator si egal marginit pe A

atunci seria de functii ∑αnfn este uniform convergenta pe A.

Teorema 6.10. Fie ∑ fn o serie de functii uniform convergenta pe multimeaA catre functia f . Daca toate functiile fn sunt continue ıntr-un punct a ∈ A,atunci si functia suma f este continua ın punctul a.

Corolar 6.2.2. O serie ∑ fn de functii continue pe A, uniform convergentape A, are suma o functie continua pe A.

Teorema 6.11. Fie ∑ fn o serie de functii derivabile pe un interval I, uni-form convergenta catre f pe I. Daca seria derivatelor ∑ f ′n este uniformconvergenta catre o functie g pe I, atunci f este derivabila pe I si f ′ = g.

Teorema 6.12. Fie I un interval marginit si ∑ fn o serie de functii deriva-bile pe I. Daca:

1. seria ∑ fn este convergenta ıntr-un punct x0 ∈ I

2. seria derivatelor ∑ f ′n este uniform convergenta pe I catre o functie g

atunci

(i) seria ∑ fn este uniform convergenta pe I catre o functie f

(ii) limita f este derivabila si f ′ = gTeorema 6.13. Daca A este multimea de convergenta a seriei ∑ fn si fsuma acestei serii, iar B este multimea de convergenta a seriei ∑ gn si gsuma sa, atunci:

1. Seria suma ∑(fn + gn) este convergenta pe A ∩B si are suma f + g

2. Seria ∑αfn este convergenta pe A si are suma αf .

6.3. SERII DE PUTERI 69

6.3 Serii de puteri

Definitia 6.8. 1. Se numeste serie de puteri o serie de functii de forma

∞∑n=0

anxn = a0 + a1x + a2x

2 + ⋅ ⋅ ⋅ + anxn + . . .

pentru x ∈ R, iar a1, a2, . . . , an, . . . constante reale. Termenii sirului(an)n∈N se numesc coeficientii seriei de puteri.

2. Se numeste serie de puteri centrata ın a o serie de forma

∞∑n=0

an(x − a)n.

Un exemplu de serie de puteri este seria geometrica

∞∑n=0

xn = 1 + x + x2 + x3 + . . .

care este convergenta pentru orice x ∈ (−1,1), avand suma 11−x .

Daca ıntr-o serie de puteri centrata ın a facem schimbarea de variabilax− a = y obtinem o serie de forma ∑anyn. De aceea ne vom ocupa numai deserii de forma ∑anxn.

Teorema 6.14 (Teorema lui Abel). Fie seria de puteri∞∑n=0

anxn. Atunci

exista 0 ≤ R ≤ +∞ astfel ıncat :

1. seria este absolut convergenta pe intervalul (−R,R);

2. pentru orice x cu ∣x∣ > R, seria este divergenta;

3. pentru orice 0 < r < R, seria este uniform convergenta pe intervalul[−r, r]

Numarul R se numeste raza de convergenta a seriei, iar intervalul (−R,R)se numeste intervalul de convergenta al seriei de puteri.

Pentru o serie de puteri ∑∞n=0 an(x − a)n cu raza de convergenta R, inter-

valul de convergenta este (a −R,a +R).

Teorema 6.15 (Cauchy-Hadamard). Raza de convergenta a unei serii de

puteri∞∑n=0

anxn este R = 1

L , unde

L = limn→∞

∣an+1

an∣ sau L = lim

n→∞n√

∣an∣.

Daca L =∞ atunci R = 0, iar daca L = 0 atunci R =∞.


Definitia 6.9. Fie f ∶ I → R si a ∈ I astfel ıncat f are derivate de oriceordin ın a. Atunci seria de puteri

∞∑n=0

f (n)(a)n!

(x − a)n = f(a) + f′(a)1!

(x − a) + f′′(a)2!

(x − a)2 + . . .

se numeste seria Taylor asociata functiei f ın punctul a. Daca a = 0,atunci seria Taylor corespunzatoare

∞∑n=0

f (n)(0)n!

xn

se numeste seria MacLaurin asociata lui f .

Seria are o raza de convergenta 0 ≤ R ≤ +∞, o multime de convergenta Acare contine cel putin punctul a, si un interval de convergenta (a−R,a+R) ⊂A.

Sumele partiale Pn(x) ale seriei Taylor sunt chiar polinoamele Taylor deordinul n corespunzatoare functiei f ∶ I → R ın vecinatatea lui a ∈ I. Atunciconform formulei lui Taylor avem:

f(x) = Pn(x) +En(x), ∀x ∈ I

unde En(x) este restul lui Lagrange.

Teorema 6.16. Fie f ∶ I → R si a ∈ I astfel ıncat f are derivate de oriceordin ın a. Atunci seria Taylor a functiei f ın punctul a este convergentaıntr-un punct x ∈ A ∩ I catre valoarea f(x) daca si numai daca valorile ın xale resturilor En(x) din formula lui Taylor formeaza un sir convergent catre0.

Demonstratie. Avem:

f(x) = Pn(x) +En(x), ∀x ∈ I, ∀n ∈ N

de unde obtinem prin trecere la limita:

f(x) = limn→∞

Pn(x) + limn→∞

En(x), ∀x ∈ A ∩ I

asadar

limn→∞

Pn(x) = f(x) ⇔ limn→∞

En(x) = 0, ∀x ∈ A ∩ I

6.4. EXERCITII 71

6.4 Exercitii

1. Sa se afle multimea de convergenta a seriilor:

(a) ∑∞n=1 (n+1

n)n

2

xn

(b) ∑∞n=1

2⋅4⋅6...(2n)3⋅5⋅7...(2n+1)x

n

2. Sa se dezvolte in serie de puteri functiile:

(a) 11+x

(b) 11−x

(c) 11+x2

(d) arctgx

3. Sa se dezvolte ın serie de puteri functia (1 + x)α, α ∈ R ∖N.

4. Sa se dezvolte ın serie MacLaurin functiile:

(a) f ∶ R→ R, f(x) = ex;R: ∑∞

n=01n!x

n

(b) f ∶ R→ [−1,1], f(x) = sinx;

R: ∑∞n=0

(−1)n(2n+1)!x

2n+1

(c) f ∶ R→ [−1,1], f(x) = cosx;

R: ∑∞n=0

(−1)n(2n)! x

2n

(d) f ∶ (−1,∞)→ R, f(x) = ln(1 + x).R: ∑∞

n=1(−1)n+1

n xn

5. Sa se dezvolte ın serie de puteri, determinand si multimea de convergenta,urmatoarele functii:

(a)√x + a2, a ≠ 0;

R: f(x) = ∣a∣ + x2∣a∣ +∑

∞n=2(−1)n−1 1⋅2...(2n−3)

2nn!∣a∣2n−1 xn, x ∈ [−a2, a2]

(b) 11−x+x2 ;

R: f(x) = ∑∞n=0(−1)n(x3n+x3n+1) = 2√

3∑∞n=0 sin (n+1)π

3 xn, x ∈ (−1,1)

(c) cos2 x;

R: f(x) = 12 +∑

∞n=0(−1)n 22n−1

(2n)!x2n, x ∈ R

(d) 12−5x6−5x−x2 .

R: f(x) = ∑∞n=0 [1 + (−1

6)n]xn


6. Sa se determine suma urmatoarelor serii de puteri:

(a) ∑∞n=0

x4n

(4n)! ;

R: 12[1

2(ex + e−x) + cosx](b) ∑∞

n=0(n + 1)xn.R: 1

(1−x)2 , x ∈ (−1,1)

7. Sa se calculeze suma urmatoarelor serii numerice:

(a) ∑∞n=0

12nn! ;

R:√e

(b) ∑∞n=1

2n−12n .

R: 3

8. Folosind dezvoltarea ın serie MacLaurin, sa se calculeze

limx→0

1

x4(cosx − e−x

2

2 .)

R: − 112

Capitolul 7

Functii de mai multe variabile

7.1 Spatiul Rn

Definitia 7.1. Multimea Rn = R ×R × ⋅ ⋅ ⋅ ×R´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

n ori

se numeste spatiul cu n di-

mensiuni iar elementele sale x = (x1, x2, . . . , xn) se numesc puncte. Valo-rile x1, x2, . . . , xn se numesc coordonatele punctului x.

Multimea Rn este un spatiu vectorial fata de adunarea

a + b = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , an + bn)

si ınmultirea cu scalari :

λa = (λa1, λa2, . . . , λan)

Punctele a ∈ Rn se mai numesc si vectori, iar coordonatele ai se numesccomponentele vectorului a.

Vectorii

e1 = (1,0,0, . . . ,0), e2 = (0,1,0, . . . ,0), . . . , en = (0,0,0, . . . ,1)

formeaza baza canonica ın Rn, asadar pentru a = (a1, a2, . . . , an) ∈ Rn avem

a =n

∑i=1

aiei

In spatiul R3, vectorii bazei canonice e1, e2, e3 se pot identifica cu versorii

axelor Ox, Oy, Oz:Ð→i ,Ð→j ,Ð→k iar pentru a ∈ R3 avem

Ð→a = a1Ð→i + a2

Ð→j + a3

Ð→k

.

73

74 CAPITOLUL 7. FUNCTII DE MAI MULTE VARIABILE

Definitia 7.2. Fie vectorii a = (a1, a2, . . . , an), b = (b1, b2, . . . , bn) ∈ Rn. Pro-dusul scalar al vectorilor a si b este numarul

⟨a, b⟩ = a1b1 + a2b2 + ⋅ ⋅ ⋅ + anbn

Proprietati:

1. ⟨a, a⟩ = a21 + a2

2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a2n ≥ 0 si ⟨a, a⟩ = 0⇔ a = 0

2. ⟨a, b⟩ = ⟨b, a⟩ (comutativitate)

3. ⟨a, b + c⟩ = ⟨a, b⟩ + ⟨a, c⟩, ⟨a + b, c⟩ = ⟨a, c⟩ + ⟨b, c⟩ (distributivitate)

4. λ⟨a, b⟩ = ⟨λa, b⟩ = ⟨a, λb⟩ (omogenitate)

5. ⟨a, b⟩2 ≤ ⟨a, a⟩ ⋅ ⟨b, b⟩ (inegalitatea Cauchy-Schwarz)

Vectorii bazei canonice e1, e2, . . . , en verifica:

⟨ei, ej⟩ = δij =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1, i = j0, i ≠ j

(simbolul lui Kronecker)

Definitia 7.3. Fie vectorul a = (a1, a2, . . . , an) ∈ Rn. Se numeste normavectorului a numarul real pozitiv

∥a∥ =√

⟨a, a⟩ =√a2

1 + a22 + ⋅ ⋅ ⋅ + α2

n

Proprietati:

1. ∥a∥ ≥ 0, ∥a∥ = 0⇔ a = 0

2. ∥λa∥ = ∣λ∣ ⋅ ∥a∥

3. ∥a + b∥ ≤ ∥a∥ + ∥b∥

Definitia 7.4. Un spatiu vectorial pe care s-a definit o norma cu proprietatilede mai sus se numeste spatiu vectorial normat.

Definitia 7.5. Fie punctele a = (a1, a2, . . . , an), b = (b1, b2, . . . , bn) ∈ Rn. Senumeste distanta dintre punctele a si b numarul real pozitiv

d(a, b) = ∥a − b∥ =√

(a1 − b1)2 + (a2 − b2)2 + ⋅ ⋅ ⋅ + (an − bn)2

Proprietati:

1. d(a, b) ≥ 0, d(a, b) = 0⇔ a = b

7.1. SPATIUL RN 75

2. d(a, b) = d(b, a)

3. d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b)

Definitia 7.6. O functie reala care asociaza unei perechi de puncte a, bnumarul real d(a, b) cu proprietatile de mai sus se numeste metrica saudistanta. Un spatiu pe care s-a definit o metrica se numeste spatiu me-tric.

Definitia 7.7. Se numeste sfera deschisa cu centrul ın a si de raza rmultimea

Sr(a) = x ∈ Rn∣∥x − a∥ < r

formata din punctele x a caror distanta pana la punctul a este mai micadecat r.

Definitia 7.8. Se numeste vecinatate a unui punct a ∈ Rn orice multimecare include o sfera deschisa Sr(a) cu centrul ın a.

Fie A o submultime a lui Rn si a ∈ Rn.

Definitia 7.9. Spunem ca a este punct interior al multimii A daca existao vecinatate V a punctului a continuta ın A. Multimea punctelor interioarese numeste interiorul multimii si se noteaza cu IntA sau A. O multimeformata numai din puncte interioare se numeste multime deschisa.

Definitia 7.10. Spunem ca a este punct aderent al multimii A daca pen-tru orice vecinatate V a punctului a avem V ∩ A ≠ ∅. Multimea puncteloraderente se numeste aderenta multimii si se noteaza cu A. Se numestemultime ınchisa o multime care ısi contine toate punctele aderente, adicaeste egala cu ınchiderea sa.

Definitia 7.11. Spunem ca a este punct frontiera al multimii A dacapentru orice vecinatate V a punctului a contine atat puncte ale lui A, cat sipuncte ale complementarei CA, adica este punct aderent atat pentru A cat sipentru complementara CA. Multimea tuturor punctelor frontiera ale lui A senumeste frontiera lui A si se noteaza cu FrA.

Definitia 7.12. Spunem ca a este punct de acumulare al multimii Adaca orice vecinatate V a punctului a contine cel putin un punct x ∈ A,x ≠ a. Punctele din A care nu sunt puncte de acumulare se numesc puncteizolate.

O multime A este ınchisa daca si numai daca ısi contine toate punctelede acumulare.


Definitia 7.13. Spunem ca o multime A este marginita daca exista o sferaSr(0) cu centrul ın origine care include multimea A, adica ∥x∥ ≤ r, ∀x ∈ A.O multime ınchisa si marginita se numeste multime compacta.

Teorema 7.1 (Weierstrass-Bolzano). Orice multime marginita si infinitaare cel putin un punct de acumulare.

Teorema 7.2 (Borel-Lebesgue). Din orice acoperire cu multimi deschisea unei multimi compacte A ⊂ Rn se poate extrage o acoperire finita a lui A.

Definitia 7.14. O multime A ⊂ Rn se numeste conexa daca oricum amdescompune-o ın doua submultimi A1 si A2 disjuncte si nevide, oricare dinmultimile A1 si A2 are cel putin un punct de acumulare ın cealalta. O multimedeschisa si conexa se numeste domeniu.

Intr-un domeniu D, oricare ar fi punctele a, b ∈D, exista o linie poligonalaL ⊂D care uneste punctele a si b.

7.2 Siruri de puncte ın spatiul Rn

Definitia 7.15. Se numeste sir de puncte din spatiul Rn o functie f ∶ N→Rn. Se noteaza (ap)p∈N sau (ap).

Definitia 7.16. Un punct a ∈ Rn se numeste limita sirului de puncte (ap)din Rn daca ın afara oricarei vecinatati a lui a se afla cel mult un numarfinit de termeni ai sirului. Se scrie lim

p→∞ap = a. Un sir de puncte care are

limita se numeste convergent.

Teorema 7.3. Un punct a ∈ Rn este limita unui sir (ap) de puncte din Rn

daca pentru orice ε > 0, exista un numar Nε astfel ıncat pentru orice p > Nε

sa avem ∥ap − a∥ < ε.

Proprietati ale sirurilor convergente

1. Un sir convergent are o singura limita.

2. Orice sir convergent este marginit.

3. Prin schimbarea ordinii termenilor unui sir convergent se obtine un sirconvergent catre aceeasi limita.

4. Daca la un sir convergent se adauga sau se scoate un numar finit determeni, sirul obtinut este convergent si are aceeasi limita.

7.3. FUNCTII REALE SI FUNCTII VECTORIALE PE RN 77

Teorema 7.4. Un sir de puncte (ap) din Rn este convergent cu limita a ∈ Rn

daca si numai daca pentru fiecare i = 1,2, . . . , n sirul coordonatelor (api) arelimita ai.

Definitia 7.17. Un sir de puncte (ap) se numeste sir fundamental dacapentru orice ε > 0, exista Nε ∈ N astfel ıncat oricare ar fi m ≥ Nε si p ≥ Nε

sa avem ∥am − ap∥ < ε.

Teorema 7.5 (Criteriul general al lui Cauchy). Un sir (ap) de punctedin Rn este convergent daca si numai daca este fundamental.

Definitia 7.18. 1. Un spatiu metric ın care fiecare sir fundamental esteconvergent se numeste spatiu complet.

2. Un spatiu normat complet se numeste spatiu Banach.

3. Un spatiu Banach ın care norma se poate deduce dintr-un produs scalarse numeste spatiu Hilbert

4. Un spatiu Hilbert cu n dimensiuni se numeste euclidian n-dimensional

Teorema 7.6 (Lema lui Cesaro). Orice sir marginit de puncte din Rn

contine cel putin un subsir convergent.

7.3 Functii reale si functii vectoriale pe Rn

Definitia 7.19. O functie f ∶ E ⊂ Rn → Rm se numeste functie vectorialade variabila vectoriala sau functie vectoriala de n variabile reale.Valorile functiei se scriu astfel:

f(x) = (f1(x1, x2, . . . , xn), f2(x1, x2, . . . , xn), . . . , fm(x1, x2, . . . , xn))

Functiile fi(x), i = 1,2, . . . ,m se numesc componentele reale ale functieivectoriale f .

In cazul m = 1, functia se numeste functie reala de variabila vecto-riala sau functie reala de n variabile reale

Definitia 7.20. 1. Fie functia f ∶ I ⊂ R → R2, f(t) = (f1(t), f2(t)).Multimea punctelor din plan (f1(t), f2(t)), t ∈ I ımpreuna cu o repre-

zentare parametrica

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = f1(t)y = f2(t)

, t ∈ I se numeste curba plana. Se

mai scrieÐ→f (t) = f1(t)

Ð→i + f2(t)

Ð→j , t ∈ I.


2. Fie functia f ∶ I ⊂ R → R3, f(t) = (f1(t), f2(t), f3(t)). Multimeapunctelor din spatiu (f1(t), f2(t), f3(t)), t ∈ I ımpreuna cu o reprezen-

tare parametrica

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = f1(t)y = f2(t)z = f3(t)

, t ∈ I se numeste curba ın spatiu sau

curba stramba. Se mai scrieÐ→f (t) = f1(t)

Ð→i +f2(t)

Ð→j +f3(t)

Ð→k , t ∈ I.

3. Fie functia f ∶ I ⊂ R2 → R3, f(u, v) = (f1(u, v), f2(u, v), f3(u, v)).Multimea punctelor din spatiu (f1(u, v), f2(u, v), f3(u, v)), (u, v) ∈ I

ımpreuna cu o reprezentare parametrica

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = f1(u, v)y = f2(u, v)z = f3(u, v)

, (u, v) ∈ I se

numeste suprafata. Se mai scrieÐ→f (u, v) = f1(u, v)

Ð→i + f2(u, v)

Ð→j +

f3(u, v)Ð→k , (u, v) ∈ I.

Mai multe parametrizari parametrice diferite pot defini aceeasi curba(plana sau ın spatiu) sau aceeasi suprafata.

Definitia 7.21. Functia f ∶ I ⊂ R3 → J ⊂ R3, f(x, y, z) = (f1(x, y, z), f2(x, y, z), f3(x, y, z))se numeste camp vectorial definit pe I. Se mai scrie

Ð→f (Ð→r ) = f1(x, y, z)

Ð→i +

f2(x, y, z)Ð→j +f3(x, y, z)

Ð→k , unde Ð→r = xÐ→i +yÐ→j +z

Ð→k este vectorul de pozitie

al punctului M(x, y, z). Se mai spune ca ecuatiile

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

X = f1(x, y, z)Y = f2(x, y, z)Z = f3(x, y, z)

, (x, y, z) ∈

I realizeaza o transformare punctuala ın spatiu.

Analog se defineste campul vectorial si transformarea punctuala ın plan.

Operatii cu functii vectoriale

Fie f, g ∶ E ⊂ Rn → Rm si α ∈ R.

1. Functiile f + g,αf ∶ E → Rm definite astfel:

(f + g)(x) = f(x) + g(x), (αf)(x) = α ⋅ f(x)

2. Produsul functiei f cu o functie reala ϕ ∶ E → R este o functie

ϕf ∶ E → Rm, (ϕf)(x) = ϕ(x)f(x)

7.4. LIMITE SI CONTINUITATE 79

3. Functia reala ⟨f, g⟩ ∶ E → R definita prin

⟨f, g⟩(x) = ⟨f(x), g(x)⟩ =m

∑i=1

fi(x)gi(x)

4. Functia ∥f∥ ∶ R→ R+ definita prin

∥f∥(x) = ∥f(x)∥

Pentru doua functii f ∶ E ⊂ Rn → F ⊂ Rm si g ∶ F ⊂ Rm → Rp, putemdefini functia compusa g f ∶ E → Rp, data prin:

g(f(x)) = (g1(f(x)), g2(f(x)), . . . , gp(f(x)))= (g1(f1(x), . . . , fm(x)), . . . , gp(f1(x), . . . , fm(x)))

Definitia 7.22. Spunem ca functia f ∶ E ⊂ Rn → Rm este marginita dacamultimea valorilor

f(E) = f(x)∣x ∈ E ⊂ Rm

este marginita.

Functia f ∶ E → Rm este marginita daca si numai daca exista M > 0 astfelıncat

∥f(x)∥ ≤M, ∀x ∈ E.

Functia vectoriala f este marginita daca si numai daca toate componen-tele sale reale f1, f2, . . . , fm sunt marginite. Astfel studiul functiilor vectorialemarginite se reduce la studiul functiilor reale marginite.

7.4 Limite si continuitate pentru functii de

mai multe variabile

Fie functia f ∶ E ⊂ Rn → Rm si a un punct de acumulare pentru E.

Definitia 7.23. Spunem ca l ∈ Rm este limita functiei f ın punctul a dacapentru orice vecinatate U a lui l ın Rm exista o vecinatate V a lui a ınRn astfel ıncat oricare ar fi x ∈ V ∩ E,x ≠ a sa avem f(x) ∈ U . Se scrielimx→a

f(x) = l.

Teorema 7.7. 1. limx→a

f(x) = l daca si numai daca

∀xk → a, xk ∈ E,xk ≠ a, avem f(xk)→ l


2. limx→a

f(x) = l daca si numai daca pentru orice ε > 0, exista δε > 0 astfel

ıncat oricare ar fi x ≠ a din E cu ∥x − a∥ < δε, sa avem ∥f(x) − l∥ < ε.

Toate proprietatile limitelor de functii reale, care nu implica relatia deordine, se pastreaza si pentru functii vectoriale.

Teorema 7.8. Fie functia f ∶ E ⊂ Rn → Rm si f1, f2, . . . , fm ∶ E → Rm

componentele sale reale. Atunci limx→a

f(x) = l = (l1, l2, . . . , lm) daca si numai

daca limx→a

fi(x) = li, i = 1,2, . . . ,m.

Definitia 7.24. Limitele functiei f(x1, x2, . . . , xn) cand xi tind succesiv laai se numesc limite iterate:

li1i2...in = limxi1→ai1

limxi2→ai2

. . . limxin→ain

f(x1, x2, . . . , xn)

unde i1, i2, . . . , in reprezinta o permutare a numerelor 1,2, . . . , n.

Teorema 7.9. Daca exista limita functiei ıntr-un punct si una din limiteleiterate, atunci aceste limite sunt egale.

Fie functia f ∶ E ⊂ Rn → Rm si un punct a ∈ E.

Definitia 7.25. Spunem ca functia f este continua ın punctul a daca pen-tru orice vecinatate U a lui f(a) exista o vecinatate V a lui a astfel ıncatoricare ar fi x ∈ V ∩E sa avem f(x) ∈ U .

Asadar functia f este continua ın punctul a daca si numai daca limx→a

f(x) =f(a). Alte definitii echivalente sunt:

Teorema 7.10. 1. Functia f este continua ın punctul a daca si numaidaca

∀xk → a, xk ∈ E,xk ≠ a, avem f(xk)→ f(a)

2. Functia f este continua ın punctul a daca si numai daca pentru oriceε > 0, exista δε > 0 astfel ıncat oricare ar fi x ∈ E cu ∥x − a∥ < δε, saavem ∥f(x) − f(a)∥ < ε.

Proprietatile functiilor reale continue, care nu implica relatia de ordine,raman valabile si pentru functii vectoriale continue.

Teorema 7.11. Functia vectoriala f ∶ E ⊂ Rn → Rm este continua ıntr-unpunct a ∈ E daca si numai daca fiecare din componentele sale realef1, f2, . . . , fm ∶ E → R este continua ın a.

7.4. LIMITE SI CONTINUITATE 81

Definitia 7.26. Fie o functie vectoriala f ∶ E ⊂ Rn → Rm si a = (a1, a2, . . . , an)un punct din E. Se numeste functie partiala de o singura variabila ofunctie fi ∶ Ei ⊂ R → Rm, fi(xi) = f(a1, a2, . . . , ai−1, xi, ai+1, . . . , an) undemultimea Ei = xi ∈ R∣(a1, a2, . . . , ai−1, xi, ai+1, . . . , an) ∈ E.

Definitia 7.27. Spunem ca functia f este continua partial ın raport cuvariabila xi ın punctul a = (a1, a2, . . . , an) daca functia partiala fi este con-tinua ın punctul ai ∈ Ei.

Teorema 7.12. Daca functia f este continua ıntr-un punct a, atunci estecontinua ın acest punct ın raport cu fiecare variabila.

Definitia 7.28. Functia f este uniform continua pe E daca pentru oricenumar ε > 0 exista δε > 0 astfel ıncat oricare ar fi punctele x′, x′′ ∈ E cu∥x′ − x′′∥ < δε, sa avem ∥f(x′) − f(x′′)∥ < ε.

Observatii:

1. O functie vectoriala este uniform continua daca si numai daca toatecomponentele sale reale sunt uniform continue;

2. Daca o functie este uniform continua, atunci este uniform continua ınraport cu fiecare variabila, pentru valori fixate ale celorlalte variabile.

Proprietati:

1. O functie vectoriala continua pe o multime compacta este uniform con-tinua

2. O functie vectoriala continua pe o multime compacta este marginita

3. O functie vectoriala continua transforma o multime compacta tot ıntr-omultime compacta

4. O functie reala de n variabile, continua pe o multime compacta ısiatinge marginile pe aceasta multime

5. Daca f este o functie vectoriala continua pe o multime compacta E,atunci exista un punct xM ∈ E astfel ıncat ∥f(xM)∥ = sup

x∈E∥f(x)∥


7.5 Derivate partiale. Diferentiabilitate

Fie I un interval de numere reale si functia vectoriala f ∶ I → Rn avandcomponentele reale f1, f2, . . . , fn.

Definitia 7.29. Functia f este derivabila ıntr-un punct a ∈ I daca exista

limita limx→a

f(x) − f(a)x − a

. Aceasta limita se numeste derivata functiei ın a si

se noteaza cu f ′(a). Daca f este derivabila ın fiecare punct din I, spunemca f este derivabila pe I.

Teorema 7.13. Functia f este derivabila ın punctul a ∈ I daca si numaidaca toate componentele sale reale f1, f2, . . . , fn sunt derivabile ın a. In acestcaz avem f ′(a) = (f ′1(a), f ′2(a), . . . , f ′n(a)).

Proprietatile si operatiile functiilor reale derivabile, ın care nu este impli-cata relatia de ordine, raman adevarate.

Teorema 7.14 (Teorema cresterilor finite pentru functii vectoriale).Fie f ∶ I → Rn o functie si a < b doua puncte din I. Daca:

1. f este continua pe intervalul ınchis [a, b];

2. f este derivabila pe intervalul deschis (a, b)

atunci

∥f(b) − f(a)∥ ≤ (b − a) supa≤x≤b

∥f ′(x)∥

Definitia 7.30. Fie f ∶ E ⊂ Rn → R o functie reala de n variabile realedefinita pe multimea E ⊂ Rn si a = (a1, a2, . . . , an) un punct interior al luiE. Functia f este derivabila partial ın punctul a ın raport cu variabila xkdaca

limxk→ak

f(a1, a2, . . . , ak−1, xk, ak+1, . . . , an) − f(a)xk − ak

exista si este finita. Valoarea acestei limite se numeste derivata partialaa functiei f ın raport cu xk si se noteaza cu f ′xk(a),

∂f∂xk

(a) sau Dxkf(a).

Daca functia reala f(x1, x2, . . . , xn) este derivabila ın raport cu xk ınpunctul a = (a1, a2, . . . , an), atunci f este continua partial ın raport cu xk ınpunctul a.

Regulile de derivare stabilite pentru functii de o variabila se mentin sipentru derivarea partiala.

7.5. DERIVATE PARTIALE. DIFERENTIABILITATE 83

Definitia 7.31. Fie f ∶ E ⊂ Rn → Rm, f = (f1, f2, . . . , fm) o functie vec-toriala de variabila vectoriala x = (x1, x2, . . . , xn). Functia este derivabilapartial ın punctul a = (a1, a2, . . . , an) ın raport cu xk daca toate componen-tele sale fi, i = 1,2, . . . ,m au aceasta proprietate.Vectorul derivata partiala a functiei f ın raport cu xk ın punctul a, notatcu f ′xk(a) este definit de

limxk→ak

f(a1, a2, . . . , ak−1, xk, ak+1, . . . , an) − f(a)xk − ak

si are componentele

∂f1

∂xk(a), ∂f2

∂xk(a), . . . , ∂fm

∂xk(a)

Fie functia f ∶ E ⊂ R2 → R si (a, b) un punct interior al lui E.

Definitia 7.32. Spunem ca functia f este diferentiabila ın punctul (a, b)daca exista numerele reale λ ∈ R si µ ∈ R si o functie ω ∶ E → R continua ın(a, b) si nula ın acest punct, adica

lim(x,y)→(a,b)

ω(x, y) = ω(a, b) = 0

astfel ıncat pentru orice punct (x, y) ∈ E sa avem egalitatea

f(x, y) − f(a, b) = λ(x − a) + µ(y − b) + ω(x, y)√

(x − a)2 + (y − b)2.

Teorema 7.15. Daca functia f este diferentiabila ın punctul (a, b), atuncif are derivate partiale ın (a, b) si

f ′x(a, b) = λ, f ′y(a, b) = µ

Egalitatea din definitia diferentiabilitatii se rescrie atunci astfel:

f(x, y) − f(a, b) = f ′x(a, b)(x − a) + f ′y(a, b)(y − b) + ω(x, y)ρ.

unde ρ =√

(x − a)2 + (y − b)2.Proprietati:

1. Daca f este diferentiabila pe E, atunci are derivate partiale f ′x si f ′y peE.

2. Daca f este diferentiabila ın punctul (a, b), atunci este continua ınacest punct.


3. Daca f este diferentiabila pe E, atunci este continua pe E.

4. Daca f are derivate partiale f ′x si f ′y ıntr-o vecinatate V a lui (a, b)si daca aceste derivate partiale sunt continue ın (a, b), atunci f estediferentiabila ın (a, b).

5. Daca derivatele partiale f ′x si f ′y exista si sunt continue pe E, atunci feste diferentiabila pe E.

Definitia 7.33. Fie f ∶ E ⊂ R2 → R o functie diferentiabila ıntr-un punctinterior (a, b) ∈ E. Se numeste diferentiala functiei f ın punctul (a, b)urmatoarea functie liniara:

df(a, b)(u, v) = f ′x(a, b)u + f ′y(a, b)v.

Daca notam cu dx si dy diferentialele functiilor ϕ(x, y) = x si ψ(x, y) = y,obtinem:

df = ∂f∂xdx + ∂f

∂ydy

Definitia 7.34. Fie f ∶ E ⊂ R3 → R si (a, b, c) un punct interior al luiE. Spunem ca functia f este diferentiabila ın punctul (a, b, c) daca existanumerele reale λ,µ, ν ∈ R si o functie ω ∶ E → R continua ın (a, b, c) si nulaın acest punct, adica

lim(x,y,z)→(a,b,c)

ω(x, y, z) = ω(a, b, c) = 0

astfel ıncat pentru orice punct (x, y, z) ∈ E sa avem egalitatea

f(x, y, z) − f(a, b, c) = λ(x − a) + µ(y − b) + ν(y − b) + ω(x, y, z)ρ

unde ρ =√

(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2.

Definitia 7.35. Fie f ∶ E ⊂ R3 → R o functie diferentiabila ıntr-un punctinterior (a, b, c) ∈ E. Se numeste diferentiala functiei f ın punctul (a, b, c)urmatoarea functie liniara:

df(a, b, c)(u, v,w) = f ′x(a, b, c)u + f ′y(a, b, c)v + f ′z(a, b, c)w.

Daca notam cu dx, dy si dz diferentialele functiilor ϕ(x, y, z) = x, ψ(x, y, z) =y si θ(x, y, z) = z, obtinem:

df = ∂f∂xdx + ∂f

∂ydy + ∂f

∂zdz


Definitia 7.36. Fie f ∶ E ⊂ Rn → R si a = (a1, a2, . . . , an) un punct interioral lui E. Spunem ca functia f este diferentiabila ın punctul a daca existanumerele reale λi ∈ R si o functie ω ∶ E → R cu

limx→a

ω(x1, x2, . . . , xn) = ω(a1, a2, . . . , an) = 0

astfel ıncat pentru orice punct x ∈ E sa avem egalitatea

f(x1, x2, . . . , xn) − f(a1, a2, . . . , an) =n

∑i=1

λi(xi − ai) + ω(x1, x2, . . . , xn)ρ

unde ρ =√∑ni=1(xi − ai)2.

Definitia 7.37. Fie f ∶ E ⊂ R3 → R o functie diferentiabila ıntr-un punctinterior a = (a1, a2, . . . , an) ∈ E. Se numeste diferentiala functiei f ınpunctul a urmatoarea functie liniara:

df(a)(u) =n

∑i=1

∂f

∂xi(a)ui.

Daca notam cu dxi diferentialele functiilor ϕi(x1, x2, . . . , xn) = xi, obtinem:

df =n

∑i=1

∂f

∂xidxi

Definitia 7.38. Fie f ∶ E ⊂ Rn → Rm o functie vectoriala de n variabile.Spunem ca functia f este diferentiabila ın punctul interior a ∈ E dacatoate componentele sale reale sunt diferentiabile ın a.

Definitia 7.39. Fie f ∶ E ⊂ Rn → Rm. Diferentiala functiei ın punctulinterior a ∈ E se defineste prin

df(a)(u) =n

∑i=1

∂f

∂xi(a)ui

Definitia 7.40. Daca exista derivatele partiale ale functiilor f ′x(x, y), f ′y(x, y),ele se numesc derivate partiale de ordinul doi ale functiei f si se noteaza

f ′′x2 = (f ′x)x =∂

∂x(∂f∂x

) = ∂2f

∂x2

f ′′xy = (f ′x)y =∂

∂y(∂f∂x

) = ∂2f

∂y∂x

f ′′yx = (f ′y)x =∂

∂x(∂f∂y

) = ∂2f

∂x∂y

f ′′y2 = (f ′y)y =∂

∂y(∂f∂y

) = ∂2f

∂y2

Functiile f ′′xy, f′′yx se numesc derivate partiale mixte de ordinul doi.


Observatii

1. O functie de trei variabile poate avea noua derivate partiale de ordinuldoi f ′′

x2, f ′′xy, f

′′xz, f

′′yx, f

′′y2, f ′′yz, f

′′zx, f

′′zy, f

′′z2

.

2. O functie de n variabile f(x1, x2, . . . , xn) poate avea n derivate partialede ordinul ıntai si n2 derivate partiale de ordinul doi.

3. Se definesc ın mod asemanator derivatele partiale de ordinul trei, cafiind derivatele partiale ale derivatelor partiale de ordinul doi, si similarse definesc derivatele partiale de un ordin oarecare.

Teorema 7.16 (Criteriul lui Schwartz). Daca functia f(x, y) are derivatepartiale mixte de ordinul doi ıntr-o vecinatate V a lui (x, y) ∈ E si daca f ′′xyeste continua ın (x, y), atunci f ′′xy = f ′′yx.

Teorema 7.17 (Criteriul lui Young). Daca functia f ∶ E ⊂ R2 → Rare derivate partiale mixte de ordinul ıntai f ′x si f ′y ıntr-o vecinatate V alui (a, b) ∈ E si daca f ′x si f ′y sunt diferentiabile ın (a, b), atunci derivatelepartiale mixte de ordinul doi exista ın (a, b) si sunt egale ın acest punct:

f ′′xy = f ′′yx

Definitia 7.41. Spunem ca functia f ∶ E ⊂ R2 → R este diferentiabila den ori ın punctul interior (a, b) ∈ E daca toate derivatele partiale de ordinuln − 1 ale lui f exista ıntr-o vecinatate V a lui (a, b) si sunt diferentiabile ın(a, b).

Observatii:

In mod analog se defineste diferentiabilitatea de ordinul n pentru functiireale sau vectoriale de mai multe variabile;

Rezultate similare criteriilor Schwartz si Young sunt valabile pentruderivate de ordin superior ale unor functii reale sau vectoriale de maimulte variabile;

Folosind criteriul lui Young, rezulta ca daca f este diferentiabila den ori ın (a, b), atunci toate derivatele partiale de ordinul n exista ın(a, b), iar ordinea de derivare ın (a, b) pana la ordinul n inclusiv nu areimportanta.


Definitia 7.42. Fie f ∶ E ⊂ R2 → R. Diferentiala de ordinul n ın punctul(a, b) se defineste prin:

dnf(a, b)(u, v) = ( ∂∂xu + ∂

∂yv)

n

f(a, b)

unde exponentul n ınseamna ordin de derivare pentru f si putere pentru u siv. Se poate scrie

dnf(x, y) = ( ∂∂xdx + ∂

∂ydy)

n

f(x, y)

Pentru functii de 3 variabile avem:

dnf(x, y, z) = ( ∂∂xdx + ∂

∂ydy + ∂

∂zdz)

n

f(x, y, z)

iar pentru functii de k variabile avem:

dnf(x) = (k

∑i=1

∂

∂xidxi)

n

f(x)

Teorema 7.18. Fie f ∶ Y ⊂ R2 → R si u, v ∶ X ⊂ R → R. Daca functiileu(x), v(x) au derivate continue pe X si daca functia f(u, v) are derivatepartiale continue pe Y , atunci functia compusa F ∶ X ⊂ R → R, F (x) =f(u(x), v(x)) are derivata continua pe X, data de

F ′(x) = ∂f∂u

⋅ dudx

+ ∂f∂v

⋅ dvdx

Teorema 7.19. Fie f ∶ Y ⊂ R2 → R si u, v ∶ X ⊂ R2 → R. Daca functiileu(x, y), v(x, y) au derivate partiale continue pe X si daca functia f(u, v)are derivate partiale continue pe Y , atunci functia compusa F ∶ X ⊂ R2 →R, F (x, y) = f(u(x, y), v(x, y)) are derivate partiale continue pe X, date de

∂F

∂x= ∂f∂u

⋅ ∂u∂x

+ ∂f∂v

⋅ ∂v∂x

∂F

∂y= ∂f∂u

⋅ ∂u∂y

+ ∂f∂v

⋅ ∂v∂y

Teorema 7.20 (Formula lui Taylor). Fie f ∶ X ⊂ R2 → R si fie (a, b) unpunct interior lui X. Daca functia f este derivabila de n + 1 ori pe X cutoate derivatele mixte egale, atunci pentru oricare (x, y) ∈X are loc formula

f(x, y) = f(a, b) + 1

1!((x − a) ∂

∂x+ (y − b) ∂

∂y) f(a, b)+

+ 1

2!((x − a) ∂

∂x+ (y − b) ∂

∂y)

2

f(a, b) + . . .

⋅ ⋅ ⋅ + 1

n!((x − a) ∂

∂x+ (y − b) ∂

∂y)n

f(a, b) +Rn


cu

Rn =1

(n + 1)!((x − a) ∂

∂x+ (y − b) ∂

∂y)n+1

f(θa + (1 − θ)x, θb + (1 − θ)y)

unde 0 < θ < 1.

Teorema 7.21 (Lagrange). Daca f ∶ X ⊂ R2 → R are derivate partiale deordinul ıntai pe o vecinatate V a lui (a, b) ∈X, atunci pentru orice (x, y) ∈ Vexista un punct (ξ, η) ∈ V cu ξ ıntre a si x, iar η ıntre b si y, astfel ıncat

f(x, y) − f(a, b) = (x − a)f ′x(ξ, η) + (y − b)f ′y(ξ, η).

7.6 Extreme pentru functii de mai multe va-

riabile

Definitia 7.43. Fie o functie de n variabile f ∶D ⊂ Rn → R.

1. Un punct a = (a1, . . . , an) ∈ D se numeste minim local al lui f dacaexista o vecinatate a lui a astfel ıncat f(x1, . . . , xn) ≥ f(a1, . . . , an),pentru orice (x1, . . . , xn) ∈ V ∩D;

2. Un punct a = (a1, . . . , an) ∈ D se numeste maxim local al lui f dacaexista o vecinatate a lui a astfel ıncat f(x1, . . . , xn) ≤ f(a1, . . . , an),pentru orice (x1, . . . , xn) ∈ V ∩D.

Teorema 7.22. Fie o functie de n variabile f ∶D ⊂ Rn → R si a = (a1, . . . , an)un punct interior lui D. Daca f are ın punctul a un extrem local si admitederivate partiale de ordinul 1 ın acest punct, atunci aceste derivate se anu-leaza ın a:

∂f

∂xi(a1, . . . , an) = 0, ∀i = 1, . . . , n.

Un punct care are proprietatea de mai sus ca derivatele partiale se anu-leaza, se numeste punct stationar (sau critic) al lui f . Teorema anterioarane spune ca punctele de extrem local ale unei functii se gasesc printre punc-tele critice. Teoremele urmatoare precizeaza care dintre punctele critice suntıntr-adevar si puncte de extrem:

Teorema 7.23. Fie o functie de 2 variabile f ∶D ⊂ R2 → R derivabila partialde 3 ori pe D si (a, b) ∈D un punct stationar al lui f . Notam cu

∆ = ( ∂2f

∂x∂y(a, b))

2

− ∂2f

∂x2(a, b)∂

2f

∂y2(a, b).

Atunci avem:

7.7. FUNCTII IMPLICITE 89

1. Daca ∆ < 0 si ∂2f∂x2 (a, b) > 0, atunci (a, b) este punct de minim local;

2. Daca ∆ < 0 si ∂2f∂x2 (a, b) < 0, atunci (a, b) este punct de maxim local;

3. Daca ∆ > 0, atunci (a, b) nu este punct de extrem local.

Teorema 7.24. Fie o functie de n variabile f ∶D ⊂ Rn → R derivabila partialde 3 ori pe D si (a1, . . . , an) ∈D un punct stationar al lui f . Notam cu

Aij =∂2f

∂xi∂xj(a1, . . . , an), ∀i, j = 1, . . . , n.

Atunci avem:

1. Daca numerele

∆1 = A11, ∆2 = ∣ A11 A12

A21 A22∣ , . . . ,∆n =

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

A11 A12 . . . A1n

A21 A22 . . . A2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮An1 An2 . . . Ann

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

sunt toate pozitive, atunci (a1, . . . , an) este punct de minim local;

2. Daca numerele

∆∗1 = −A11, ∆∗

2 = ∣ A11 A12

A21 A22∣ , . . . ,∆∗

n = (−1)n

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

A11 A12 . . . A1n

A21 A22 . . . A2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮An1 An2 . . . Ann

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

sunt toate pozitive, atunci (a1, . . . , an) este punct de maxim local;

7.7 Functii implicite

Definitia 7.44. Fie o functie vectoriala f ∶D → Rm de n variabile, ale careicomponente f1, f2, . . . , fm admit derivate partiale ın raport cu x1, x2, . . . , xn.Se numeste matrice Jacobiana a lui f ın a = (a1, a2, . . . , an) ∈D matricea

Df(a) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

∂f1∂x1

∂f1∂x2

. . . ∂f1∂xn

∂f2∂x1

∂f2∂x2

. . . ∂f2∂xn

⋮ ⋮ ⋱ ⋮∂fm∂x1

∂fm∂x2

. . . ∂fm∂xn

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

unde toate derivatele partiale sunt calculate ın a.


Teorema 7.25. Fie f ∶ Rm → Rn, g ∶ Rn → Rp doua functii vectorialecare admit derivate partiale. Atunci matricea jacobiana a functiei compuseg f ∶ Rm → Rp ıntr-un punct x = (x1, x2, . . . , xn) este

D(g f)(x) =Dg(f(x))Df(x).

Daca ın definitia anterioara avem m = n, atunci matricea Jacobiana estepatratica, iar determinantul ei se numeste Jacobian al lui f :

∂(f1, . . . , fn)∂(x1, . . . , xn)

=

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRR

∂f1∂x1

∂f1∂x2

. . . ∂f1∂xn

∂f2∂x1

∂f2∂x2

. . . ∂f2∂xn

⋮ ⋮ ⋱ ⋮∂fn∂x1

∂fn∂x2

. . . ∂fn∂xn


In studiul functiilor de o variabila ıntalnim de multe ori functii definiteimplicit ca solutii ale unor ecuatii ın doua variabile de forma

F (x, y) = 0.

Sa presupunem ca (a, b) este o solutie a ecuatiei anterioare, si ca F are de-rivate partiale continue ın vecinatatea lui (a, b). Se pune problema existenteiunei solutii y ca functie de x ın vecinatatea lui (a, b). Asadar cautam ofunctie y(x) definita pe un interval deschis I = (a − h, a + h) cu proprietateaca y(a) = b si astfel ıncat

F (x, y(x)) = 0, ∀x ∈ I. (7.1)

In cazul ın care o astfel de functie exista, putem calcula derivata acesteiaın x = a derivand ecuatia F (x, y) = 0 implicit ın raport cu x si evaluandrezultatul ın (a, b):

∂F

∂x+ ∂F∂y

dy

dx= 0

de unde obtinem

y′(a) = −∂F∂x (a, b)∂F∂y (a, b)

daca ∂F∂y (a, b) ≠ 0.

In mod asemanator se pot calcula si derivatele de ordin superior alefunctiei implicite y(x) calculate ın x = a.

Aplicatie: Fie functia implicita y(x) data prin

x3 + y3 + xy − y2 = 0, y(0) = 1.

7.7. FUNCTII IMPLICITE 91

Sa se gaseasca y′(0), y′′(0).

Un alt caz este acela ın care avem o ecuatie ın 3 variabile:

F (x, y, z) = 0 (7.2)

si cautam o functie implicita z(x, y) ın vecinatatea unui punct (x0, y0, z0)care satisface (7.2). Derivand ecuatia ın raport cu x si cu y obtinem:

∂F

∂x(x, y, z) + ∂F

∂z(x, y, z)∂z

∂x= 0

∂F

∂y(x, y, z) + ∂F

∂z(x, y, z)∂z

∂y= 0

de unde gasim

∂z

∂x(x0, y0) = −

∂F∂x (x0, y0, z0)∂F∂z (x0, y0, z0)

∂z

∂y(x0, y0) = −

∂F∂y (x0, y0, z0)∂F∂z (x0, y0, z0)

daca ∂F∂z (x0, y0, z0) ≠ 0.

Aplicatie: Fie functia implicita z(x, y) data prin

(x + y)ez − xy − z = 0, z(2,2) = 0.

Sa se gaseasca derivatele partiale de ordinul 1 si 2 ale lui z(x, y), calculateın (2,2).

Un al treilea caz este acela ın care avem un sistem de ecuatii

F (u, v, x, y) = 0

G(u, v, x, y) = 0

si cautam functiile implicite x(u, v) si y(u, v) ın vecinatatea unui punct(u0, v0, x0, y0) care satisface sistemul anterior. Derivand cele doua ecuatiiın raport cu u obtinem:

∂F

∂x

∂x

∂u+ ∂F∂y

∂y

∂u+ ∂F∂u

= 0

∂G

∂x

∂x

∂u+ ∂G∂y

∂y

∂u+ ∂G∂u

= 0


Rezolvand sistemul anterior ın necunoscutele ∂x∂u si ∂y

∂u gasim:

∂x

∂u= −

∂(F,G)∂(u,y)∂(F,G)∂(x,y)

∂y

∂u= −

∂(F,G)∂(x,u)∂(F,G)∂(x,y)

care pot fi evaluate ın (u0, v0) daca ∂(F,G)∂(x,y) (u0, v0, x0, y0) ≠ 0.

In mod asemanator se gasesc si derivatele lui x si y ın raport cu v calculateın (u0, v0).

Sa enuntam acum rezultatul general care include toate cele 3 cazuri par-ticulare anterioare:

Teorema 7.26 (Teorema functiilor implicite). Fie sistemul

F1(x1, x2, . . . , xm, y1, y2, . . . , yn) = 0

⋮Fn(x1, x2, . . . , xm, y1, y2, . . . , yn) = 0

si un punct P0 = (a1, a2, . . . , am, b1, b2, . . . , bn) care satisface sistemul de maisus. Daca avem:

(i) F1, F2, . . . , Fn au derivate partiale continue ın raport cu x1, . . . , xm, y1, . . . , ynın vecinatatea lui P0;

(ii) ∂(F1,...,Fn)∂(y1,...,yn) (P0) ≠ 0;

Atunci exista functiile implicite yi(x1, . . . , xm), i = 1, . . . , n definite pe o ve-cinatate a lui (a1, . . . , am) astfel ıncat :

1. yi(a1, . . . , am) = bi, ∀i = 1, . . . , n;

2. Fi ((x1, . . . , xm, y1(x1, . . . , xm), . . . , yn(x1, . . . , xm)) = 0, ∀i = 1, . . . , n

Mai mult, aceste functii implicite au derivate partiale continue ın vecinatatealui (a1, . . . , am) date prin:

∂yi∂xj

=∂(F1,...,Fn)

∂(y1,...,xj ,...,yn)∂(F1,...,Fn)

∂(y1,...,yj ,...,yn)

7.8. EXERCITII 93

7.8 Exercitii

1. Sa se calculeze limita

limx→ 0y → 5

sin(xy)x

R: 5

2. Sa se arate ca urmatoarea functie nu are limita ın punctul indicat:

f(x, y) = x2y2

x2y2 + (x − y)2, (0,0).

R: limn→∞ f ( 1n ,

1n) = 1 ≠ 0 = limn→∞ f ( 1

n ,1

2n)

3. Sa se studieze continuitatea functiilor:

(a) f(x, y) = ln(1+x2+y2)

x2+y2 , (x, y) ≠ (0,0)1, x = y = 0

(b) f(x, y) = sin(xy)x2+y2 , (x, y) ≠ (0,0)

0, x = y = 0

(c) f(x, y) = 5x2y

4x4+y2 , (x, y) ≠ (0,0)0, x = y = 0

R: limn→∞ f ( 1√n, kn) =

5kk2+4 ⇒ f discontinua ın (0,0).

(d) f(x, y) = (1 + xy)1√x+√y , x ≥ 0, y ≥ 0,

√x +√

y ≠ 01, x = y = 0.

R: lim(x,y)→(0,0) f(x, y) = exp (lim(x,y)→(0,0)ln(1+xy)

xy ⋅ xy√x+√y) = 1,

deci f este continua.

(e) f(x, y) = sin(x5+y5)x4+y4 , (x, y) ≠ (0,0)

0, x = y = 0

4. Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul 1 pentru functiile:

(a) sin(2x − xy) + ln(x2 + y2);(b) x3y − xy2 + 5xy;

(c) xy;

(d) sin2(ax + by);(e) arctg x+y

x−y ;


(f) ln(x2 + y2);

(g) ln(x +√x2 + y2);

(h) x2y3z + cos(3x − y + z2);(i) x

y −2yz +

3zx ;

(j) xyz ;

(k) ex2+3y2−z2 .

5. Sa se calculeze derivatele partiale de ordinul 1 si 2 ale functiilor

(a) f (x, y, z) = y + z2

4y+ x

2

z+ 2

x

(b) f (x, y, z) = z sin(x√y) + ye−x2z

(c) f (x, y, z) = xy− 2y

z+ 3z

x

6. Sa se calculeze derivatele de ordinul ıntai si doi ale functiilor

(a) u(x) = f(sin 2x, e3x)

(b) u(x, y) = f (xy, xy)

7. Sa se arate ca functia u(x, y) = xy + xf ( yx) verifica relatia

x∂u

∂x+ y∂u

∂y= xy + u

8. Sa se scrie formula lui Taylor de ordinul 2 corespunzatoare functiei

f(x, y) = arctgx

y

ın punctul M0(1,−1).

9. Sa se determine punctele de extrem ale functiilor

(a) f(x, y) = x4 + y4 − x2 − y2

(b) f (x, y) = x4 + y4 − 4xy

(c) f (x, y) = x4 + y4 + 4xy − 2 (x2 + y2)(d) f (x, y) = x3 + y3 + 12xy + 7 (x2 + y2)(e) f (x, y) = 2x3 + 2y3 + 24xy + 13 (x2 + y2) + 27;

7.8. EXERCITII 95

(f) f(x, y) = 3x2y + 36x − y3 − 15y + 9;

(g) f(x, y, z) = y + z2

4y+ x

2

z+ 2

x, x > 0, y > 0, z > 0.

10. Sa se calculeze y′(0), y′′(0) pentru functia implicita y(x) data prin

x3 + y3 + xy − y2 = 0

ce satisface conditia y(0) = 1.

11. Sa se calculeze dz si d2z pentru functia z(x, y) definita implicit deecuatia

(x + y)ez − xy − z = 0

ın punctul (2,2,0).

Partea II

Calcul integral

97

Capitolul 8

Integrala definita. Primitive

8.1 Functii integrabile

Definitia 8.1. Fie un interval ınchis si marginit [a, b].

1. Se numeste diviziune a intervalului [a, b] o multime de puncte ∆ =x0, x1, . . . , xn ⊂ [a, b] astfel ıncat

a = x0 < x1 < x2 < ⋅ ⋅ ⋅ < xn−1 < xn = b.

2. Lungimea celui mai mare subinterval de forma [xi, xi+1], i = 0,1, . . . , n − 1al unei diviziuni ∆ se numeste norma diviziunii:

∥∆∥ = max0≤i≤n−1

(xi+1 − xi)

3. Daca ın fiecare subinterval [xi, xi+1] al unei diviziuni ∆ alegem cate unpunct xi ≤ ξi ≤ xi+1, i = 0,1, . . . , n− 1, aceste puncte se numesc puncteintermediare ale diviziunii ∆.

4. Se numeste suma Riemann a functiei f ∶ [a, b] → R corespunzatoarediviziunii ∆ si punctelor intermediare ξi, i = 0, . . . , n − 1 urmatoareasuma:

σ∆(f) =n−1

∑i=0

f(ξi)(xi+1 − xi)

Din punct de vedere geometric, sumele Riemann corespunzatoare uneifunctii pe un interval aproximeaza aria subgraficului acestei functii atuncicand diviziunea este foarte fina (norma este suficient de mica).

99

100 CAPITOLUL 8. INTEGRALA DEFINITA. PRIMITIVE

Definitia 8.2. Spunem ca functia f ∶ [a, b] → R este integrabila Rie-mann pe [a, b] daca pentru orice sir de diviziuni ∆n cu norma tinzand catre0 si orice alegere a punctelor intermediare corespunzatoare ξni , sirurile cores-punzatoare de sume Riemann σ∆n(f) au o limita finita comuna I. Aceastavaloare I se numeste integrala definita a functiei f pe intervalul [a, b] sise noteaza cu

∫b

af(x)dx.

Daca f este o functie integrabila pe [a, b], atunci definim

∫a

bf(x)dx = −∫

b

af(x)dx,

avand consecinta imediata ca ∫a

a f(x)dx = 0.De asemenea, se poate vedea usor ca daca f este o functie constanta

f(x) = C pe [a, b], atunci

∫b

af(x)dx = C(b − a).

Teorema 8.1. Functia f este integrabila pe [a, b] daca si numai daca existaun numar I ∈ R cu proprietatea ca pentru orice ε > 0, exista δ > 0 astfel ıncatoricare ar fi diviziunea ∆ cu ∥∆∥ < δ si punctele intermediare corespunzatoare

ξi sa avem ∣σ∆(f) − I ∣ < ε. In acest caz, I = ∫b

a f(x)dx.

Teorema 8.2. Fie f ∶ [a, b] → R. Daca f este integrabila pe [a, b], atunci feste marginita pe [a, b]:

∃m,M ∈ R, m = infa≤x≤b

f(x), M = supa≤x≤b

f(x).

Definitia 8.3. Fie f ∶ [a, b]→ R marginita si ∆ o diviziune a lui [a, b].

1. Se numeste suma Darboux inferioara corespunzatoare lui f si di-viziunii ∆ suma

s∆(f) =n−1

∑i=0

mi(xi+1 − xi), unde mi = infx∈[xi,xi+1]

f(x), i = 0,1, . . . , n − 1

2. Se numeste suma Darboux superioara corespunzatoare lui f si di-viziunii ∆ suma

S∆(f) =n−1

∑i=0

Mi(xi+1 − xi), unde Mi = supx∈[xi,xi+1]

f(x), i = 0,1, . . . , n − 1

8.1. FUNCTII INTEGRABILE 101

Daca m = infa≤x≤b

f(x), M = supa≤x≤b

f(x), atunci avem:

m(b − a) ≤ s∆(f) ≤ σ∆(f) ≤ S∆(f) ≤M(b − a)

pentru orice puncte intermediare corespunzatoare diviziunii ∆.

Teorema 8.3 (Criteriul de integrabilitate Darboux). O functie marginitaf este integrabila pe [a, b] daca si numai daca pentru orice ε > 0, exista δ > 0astfel ıncat oricare ar fi diviziunea ∆ cu ∥∆∥ < δ sa avem S∆(f)− s∆(f) < ε.

Teorema 8.4 (Integrabilitatea functiilor monotone). Fie f ∶ [a, b]→ R.Daca f este monotona pe [a, b], atunci este integrabila pe [a, b];

Demonstratie. Presupunem ca f este crescatoare si nu este constanta (functiileconstante sunt integrabile), deci f(a) < f(b). Fie acum o diviziune ∆ a in-tervalului [a, b]. Avem

f(xi) ≤ f(x) ≤ f(xi+1), ∀xi ≤ x ≤ xi+1, i = 0, . . . , n − 1

deci mi = f(xi) si Mi = f(xi+1). Atunci

S∆ − sδ =n−1

∑i=0

(f(xi+1) − f(xi))(xi+1 − xi)

Pentru ε > 0 alegem δε = εf(b)−f(a) si obtinem ca pentru ∥∆∥ < δε,

S∆−sδ <n−1

∑i=0

(f(xi+1)−f(xi))ε

f(b) − f(a)= ε

f(b) − f(a)

n−1

∑i=0

(f(xi+1)−f(xi)) = ε

de unde conform criteriului lui Darboux rezulta ca f este integrabila.

Teorema 8.5 (Integrabilitatea functiilor continue). Fie f ∶ [a, b] → R.Daca f este continua pe [a, b], atunci este integrabila pe [a, b].

Demonstratie. Fie o diviziune ∆ a intervalului [a, b]. Deoarece f este con-tinua pe intervalul compact [xi, xi+1], este marginita si ısi atinge marginile,deci exista x′i, x

′′i ∈ [xi, xi+1] astfel ıncat f(x′i) = mi, f(x′′i ) = Mi, pentru

i = 0, . . . , n − 1. Atunci

S∆ − sδ =n−1

∑i=0

(f(x′′i ) − f(x′i))(xi+1 − xi)

Fie acum ε > 0. Deoarece f este continua pe [a, b], este si uniform continuape [a, b], deci exista δε > 0 astfel ıncat

∣x′ − x′′∣ < δε⇒ ∣f(x′) − f(x′′)∣ < ε

b − a


Daca alegem diviziunea ∆ cu ∥∆∥ < δε, obtinem

S∆ − sδ <n−1

∑i=0

ε

b − a(xi+1 − xi) =

ε

b − a

n−1

∑i=0

(xi+1 − xi) = ε

de unde conform criteriului lui Darboux rezulta ca f este integrabila.

8.2 Proprietati ale functiilor integrabile

1. Daca f si g sunt integrabile pe [a, b] si α,β ∈ R, atunci αf + βg esteintegrabila pe [a, b] si

∫b

a(αf(x) + βg(x))dx = α∫

b

af(x)dx + β ∫

b

ag(x)dx;

2. Daca f si g sunt integrabile pe [a, b], atunci si fg, fg , f

g sunt integrabile

pe [a, b] (daca sunt bine definite);

3. Daca f si g sunt integrabile pe [a, b] si f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b], atunci

∫b

af(x)dx ≤ ∫

b

ag(x)dx;

4. Daca f este integrabila pe [a, b], atunci si ∣f ∣ este integrabila pe [a, b]si avem

∣∫b

af(x)dx∣ ≤ ∫

b

a∣f(x)∣dx;

5. Teorema de medie: daca f si g sunt integrabile pe [a, b] si daca g ≥ 0,atunci exista µ ∈ [m,M], unde m = inf

a≤x≤bf(x), M = sup

a≤x≤bf(x), astfel

ıncat

∫b

af(x)g(x)dx = µ∫

b

ag(x)dx;

Demonstratie.

m ≤ f(x) ≤M ⇒mg(x) ≤ f(x)g(x) ≤Mg(x)

Integrand pe [a, b] gasim

∫b

amg(x)dx ≤ ∫

b

af(x)g(x)dx ≤ ∫

b

aMg(x)dx

8.2. PROPRIETATI ALE FUNCTIILOR INTEGRABILE 103

de unde

m ≤ ∫b

a f(x)g(x)dx

∫b

a g(x)dx´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

µ

≤M

6. Daca f este continua si g este integrabila si pozitiva pe [a, b], atunciexista ξ ∈ [a, b] astfel ıncat

∫b

af(x)g(x)dx = f(ξ)∫

b

ag(x)dx

7. Daca f este continua pe [a, b], atunci exista ξ ∈ [a, b] astfel ıncat

∫b

af(x)dx = f(ξ)(b − a)

8. Proprietatea de ereditate: Daca f este integrabila pe [a, b], atunci feste integrabila pe orice subinterval [a′, b′] ⊂ [a, b];

9. Proprietatea de aditivitate: Daca f este integrabila pe [a, b] si c ∈ [a, b],atunci

∫b

af(x)dx = ∫

c

af(x)dx + ∫

b

cf(x)dx;

10. Daca f este integrabila pe [a, c] si [c, b], atunci f este integrabila pe[a, b].

11. Daca f este o functie impara integrabila pe [−a, a], atunci

∫a

−af(x)dx = 0;

12. Daca f este o functie para integrabila pe [−a, a], atunci

∫a

−af(x)dx = 2∫

a

0f(x)dx.

13. Daca f si g sunt egale pe [a, b] cu exceptia unui numar finit de puncte,iar una dintre ele este integrabila pe [a, b], atunci si cealalta este inte-grabila pe [a, b] si integralele lor sunt egale.


8.3 Primitive

Definitia 8.4. Fie f ∶ I → R unde I este un interval de numere reale. Senumeste primitiva a lui f pe I o functie F ∶ I → R cu proprietatea ca estederivabila si

F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I.

Urmatoarea teorema arata ca daca o functie admite o primitiva, atunciaceasta nu este unica:

Teorema 8.6. Fie f ∶ I → R si F o primitiva a lui f . Atunci oricare ar fiC ∈ R, functia G ∶ I → R definita prin

G(x) = F (x) +C, ∀x ∈ I

este de asemenea o primitiva a lui f . Mai mult, orice alta primitiva a lui fpe I este de aceasta forma.

Asadar daca avem o primitiva a unei functii f , putem obtine o infinitatede alte primitive prin adaugarea unei constante arbitrare reale, lucru careeste datorat faptului ca derivata oricarei functii constante este nula.

Definitia 8.5. Multimea tuturor primitivelor unei functii f ∶ I → R se no-teaza cu

∫ f(x)dx

si se numeste integrala nedefinita a functiei f .

Din teorema anterioara deducem ca

∫ f(x)dx = F (x) +C ∣ F primitiva a lui f si C ∈ R

Teorema 8.7. Exista urmatoarele integrale nedefinite:

1. ∫ xαdx = xα+1α+1 +C, x ∈ [0,∞), α ≠ −1;

2. ∫ 1xdx = ln ∣x∣ +C, x ∈ R ∖ 0;

3. ∫ axdx = ax

lna +C, x ∈ R, a > 0, a ≠ 1;

4. ∫ exdx = ex +C, x ∈ R;

5. ∫ sinxdx = − cosx +C, x ∈ R;

6. ∫ cosxdx = sinx +C, x ∈ R;

8.4. METODE DE INTEGRARE 105

7. ∫ 1cos2 xdx = tgx +C, x ∈ R ∖ (2k + 1)π2 ;k ∈ Z ;

8. ∫ 1sin2 x

dx = − 1tgx +C, x ∈ R ∖ kπ;k ∈ Z;

9. ∫ 1x2+a2dx =

1aarctg x

a +C, x ∈ R, a ≠ 0;

10. ∫ 1x2−a2dx =

12a ln ∣x−a

x+a ∣ +C, x ∈ R, a > 0, ∣x∣ ≠ a;

11. ∫ 1√a2−x2dx = arcsin x

a +C, x ∈ (−a, a), a > 0;

12. ∫ 1√x2+a2dx = ln(x +

√x2 + a2) +C, x ∈ R;

13. ∫ 1√x2−a2dx = ln ∣x +

√x2 − a2∣ +C, x ∈ (−∞,−a) ∪ (a,∞), a > 0.

In general, orice functie continua admite primitive. Urmatoarea teoremaarata proprietatea de linearitate a integralei nedefinite, care, ımpreuna cuteorema anterioara, ajuta la gasirea primitivelor functiilor obtinute prin su-marea sau ınmultirea cu o constanta a functiilor elementare.

Teorema 8.8. Fie f, g ∶ I → R si α,β ∈ R. Daca f si g admit primitive peI, atunci si αf + βg admite primitive pe I si avem:

∫ (αf + βg)(x)dx = α∫ f(x)dx + β ∫ g(x)dx.

De asemenea, daca o functie admite primitive, atunci are proprietatea luiDarboux, ınsa nu este neaparat continua.

In sectiunea urmatoare prezentam diverse alte metode de integrare, careımpreuna cu primitivele functiilor elementare ajuta la gasirea primitivelorunor functii mai complicate.

8.4 Metode de integrare

Teorema 8.9 (metoda integrarii prin parti). Fie f, g ∶ I → R cu derivate deordinul 1 continue pe I. Atunci:

∫ f(x)g′(x)dx = f(x)g(x) − ∫ f ′(x)g(x)dx.

Demonstratie. Din ipoteza avem ca functiile fg′ si f ′g sunt continue, deciintegralele ∫ f(x)g′(x)dx si ∫ f ′(x)g(x) au sens. Avem (fg)′ = f ′g+fg′ deci

∫ (f ′(x)g(x) + f(x)g′(x))dx = ∫ (f(x)g(x))′ dx = f(x)g(x) +C


deci

∫ f(x)g′(x)dx = f(x)g(x) +C − ∫ f ′(x)g(x)dx

= f(x)g(x) − (∫ f ′(x)g(x)dx −C)

= f(x)g(x) − ∫ f ′(x)g(x)dx

Teorema 8.10 (metoda schimbarii de variabila). Fie functiile u ∶ I → Jderivabila si f ∶ J → R care admite primitiva F . Atunci:

∫ f(u(x))u′(x)dx = F (u(x)) +C, ∀x ∈ I.

Demonstratie. Avem ca F este derivabila, deci functia F (u(x)) este deriva-bila si are loc

(F (u(x))′ = F ′(u(x))u′(x) = f(u(x))u′(x)

adica functia F (u(x)) este o primitiva a lui f(u(x))u′(x) deci

∫ f(u(x))u′(x)dx = F (u(x)) +C

Daca notam y = u(x), atunci avem dy = u′(x)dx, iar integrala devine

∫ f(u(x))u′(x)dx = ∫ f(y)dy = F (y) +C = F (u(x)) +C.

Aplicand teorema anterioara functiilor elementare din teorema 8.7, obtinem:

1. ∫ u(x)αu′(x)dx =u(x)α+1α+1 +C, u(x) ∈ [0,∞), α ≠ −1;

2. ∫ 1u(x)u

′(x)dx = ln ∣u(x)∣ +C, u(x) ∈ R ∖ 0;

3. ∫ au(x)u′(x)dx = au(x)lna +C, a > 0, a ≠ 1;

4. ∫ eu(x)u′(x)dx = eu(x) +C;

5. ∫ sinu(x)u′(x)dx = − cosu(x) +C;

6. ∫ cosu(x)u′(x)dx = sinu(x) +C;

7. ∫ 1cos2 u(x)u

′(x)dx = tgu(x) +C, u(x) ∈ R ∖ (2k + 1)π2 ;k ∈ Z ;

8.4. METODE DE INTEGRARE 107

8. ∫ 1sin2 u(x)u

′(x)dx = − 1tgu(x) +C, u(x) ∈ R ∖ kπ;k ∈ Z;

9. ∫ 1u(x)2+a2u

′(x)dx = 1aarctg u(x)

a +C, a ≠ 0;

10. ∫ 1u(x)2−a2u

′(x)dx = 12a ln ∣u(x)−au(x)+a ∣ +C, a > 0, ∣u(x)∣ ≠ a;

11. ∫ 1√a2−u(x)2u

′(x)dx = arcsin u(x)a +C, u(x) ∈ (−a, a), a > 0;

12. ∫ 1√u(x)2+a2u

′(x)dx = ln(u(x) +√u(x)2 + a2) +C;

13. ∫ 1√u(x)2−a2u

′(x)dx = ln ∣u(x) +√u(x)2 − a2∣ + C, u(x) ∈ (−∞,−a) ∪

(a,∞), a > 0.

8.4.1 Primitivele functiilor rationale

Definitia 8.6. Se numeste fractie simpla (sau ireductibila) o functie rationalade forma

A

(x − a)n, x ≠ a sau

Ax +B(x2 + bx + c)n

, n ∈ N, b2 − 4c < 0.

Teorema 8.11. Fie o functie rationala f ∶ I → R, f(x) = P (x)Q(x) al carei

numitor se descompune ın factori ireductibili

Q(x) = (x − a1)k1 . . . (x − al)kl(x2 + b1x + c1)m1 . . . (x2 + bnx + cn)mn .

cu b2j − 4cj < 0, ∀j = 1, . . . , n. Atunci f(x) se poate descompune ın mod unic

ca o suma de fractii simple de forma:

f(x) =R(x) +l

∑i=1

( Ai1x − ai

+ Ai2(x − ai)2

+ ⋅ ⋅ ⋅ + Aiki(x − ai)ki

)+

+n

∑j=1

(Bj1x +Cj1x2 + bjx + cj

+Bj2x +Cj2

(x2 + bjx + cj)2+ ⋅ ⋅ ⋅ +

Bjmjx +Cjmj(x2 + bjx + cj)mj

)

unde R(x) este un polinom, mai precis catul ımpartirii lui P (x) la Q(x).

Folosind teorema de mai sus si proprietatea de linearitate a integraleinedefinite, putem scrie orice primitiva a unei functii rationale ca o suma deprimitive de fractii simple, care pot fi calculate folosind metodele de integrareprezentate in sectiunea anterioara.


8.4.2 Schimbari de variabila uzuale

Schimbari de variabila trigonometriceFie o primitiva de forma

∫ R(sinx, cosx)dx,

unde R este o functie rationala de doua variabile. Pentru astfel de primitivese poate folosi schimbarea de variabila t = tg x

2 , pentru care avem:

sinx = 2t

1 + t2, cosx = 1 − t2

1 + t2, dx = 2

1 + t2dt.

Alte schimbari de variabila trigonometrice se pot folosi ın una din urmatoarelesituatii:

I. Daca R(sinx, cosx) este impara ın sinx, adica

R(− sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)atunci se poate folosi schimbarea de variabila t = cosx.

II. Daca R(sinx, cosx) este impara ın cosx, adica

R(sinx,− cosx) = −R(sinx, cosx)atunci se poate folosi schimbarea de variabila t = sinx.

III. Daca R(sinx, cosx) este para atat ın sinx cat si ın cosx sau se poatescrie sub forma R1(tgx), atunci se poate folosi schimbarea de variabilat = tgx, pentru care avem:

sin2 x = t2

1 + t2, cos2 x = 1

1 + t2, dx = 1

1 + t2dt.

Integrale binomeO integrala binoma este o integrala nedefinita de forma

∫ xm(a + bxn)pdx

unde a, b ∈ R si m,n, p ∈ Q. Pentru astfel de integrale folosim urmatoareleschimbari de variabila:

1. daca p ∈ Z, folosim x = tr unde r este cel mai mic multiplu comun alnumitorilor lui m si n;

2. daca p ∉ Z, dar m+1n ∈ Z, atunci folosim a+bxn = ts unde s este numitorul

lui p;

3. daca m+1n ∉ Z, dar m+1

n + p ∈ Z, atunci folosim ax−n + b = ts unde s estenumitorul lui p.

8.5. METODE DE CALCUL AL INTEGRALELOR DEFINITE 109

Substitutiile lui EulerPrimitivele de forma

∫ R (x,√ax2 + bx + c)dx

unde R este o functie rationala de doua variabile, se reduc la primitive defunctii rationale cu ajutorul uneia din urmatoarele schimbari de variabila:

1.√ax2 + bx + c =

√ax + t daca a > 0;

2.√ax2 + bx + c = tx +

√c daca c > 0;

3.√ax2 + bx + c = t(x − λ) unde λ este o radacina a lui ax2 + bx + c, cu

b2 − 4ac > 0.

8.5 Metode de calcul al integralelor definite

Teorema 8.12 (Formula Leibniz-Newton). Fie f ∶ [a, b] → R o functieintegrabila. Daca F este o primitiva a lui f , atunci

∫b

af(x)dx = F (b) − F (a).

Demonstratie. Fie ∆n un sir de diviziuni ale intervalului [a, b] cu ∥∆n∥→ 0.Aplicand teorema lui Lagrange pe fiecare subinterval [xi, xi+1], i = 0, . . . , n−1,avem ca exista ξi ∈ [xi, xi+1] astfel ıncat

F (xi+1) − F (xi) = F ′(ξi)(xi+1 − xi) = f(ξi)(xi+1 − xi), i = 0, . . . , n − 1

Atunci suma Riemann corespunzatoare diviziunii ∆n si punctelor intermedi-are ξi este

σ∆n(f) =n−1

∑i=0

f(ξi)(xi+1 − xi) =n−1

∑i=0

(F (xi+1) − F (xi)) = F (b) − F (a)

Trecand la limita cu ∥∆n∥→ 0, gasim

∫b

af(x)dx = F (b) − F (a).


Corolar 8.5.1. Fie f ∶ [a, b]→ R o functie integrabila care admite primitive.Atunci functia

G ∶ [a, b]→ R, G(x) = ∫x

af(t)dt

este o primitiva a lui f .

Demonstratie. Fie F o primitiva a lui f . Atunci conform teoremei anterioareavem G(x) = F (x) − F (a), de unde prin derivare obtinem

G′(x) = F ′(x) − 0 = f(x)deci G este o primitiva a lui f .

Teorema 8.13 (formula de integrare prin parti). Daca f si g sunt douafunctii care au derivatele de ordin 1 continue pe [a, b], atunci

∫b

af(x)g′(x)dx = f(x)g(x)∣ba − ∫

b

af ′(x)g(x)dx.

Teorema 8.14 (formula de schimbare de variabila). Fie f ∶ [a, b] → R con-tinua si u ∶ [α,β]→ [a, b] cu derivata continua pe [α,β] si u(α) = a, u(β) = b.Atunci

∫b

af(x)dx = ∫

β

αf(u(t))u′(t)dt.

8.6 Aplicatii ale integralei definite

1. Fie f ∶ [a, b] → R integrabila si pozitiva. Atunci aria subgraficului luif este

A = ∫b

af(x)dx;

2. Fie f, g ∶ [a, b]→ R doua functii integrabile astfel ıncat f(x) ≥ g(x), ∀x ∈[a, b]. Atunci aria suprafetei dintre graficele lui f si g este

A = ∫b

a(f(x) − g(x))dx;

3. Fie f ∶ [a, b]→ R o functie integrabila pozitiva, cu derivata de ordinul 1continua pe [a, b]. Atunci aria suprafetei obtinute prin rotirea graficuluilui f ın jurul axei Ox este

A = 2π∫b

af(x)

√1 + f ′2(x)dx;

4. Fie f ∶ [a, b] → R o functie integrabila si pozitiva. Atunci volumulcorpului obtinut prin rotirea graficului lui f ın jurul axei Ox este

V = π∫b

af 2(x)dx.

8.7. EXERCITII 111

8.7 Exercitii

1. Sa se calculeze limita sirului

Sn =1

n2

n

∑k=1

√n2 − k2

R: Sn = 1n ∑

nk=1

√1 − ( k

n)2 = ∫

1

0

√1 − x2dx = π

4 .

2. Se considera o functie f ∶ [0,1]→ R integrabila, astfel ıncat pentru oriceinterval deschis (x′, x′′) ⊂ [a, b], exista cel putin un punct ξ ∈ (x′, x′′)astfel ıncat f(ξ) = 1

1+ξ . Sa se arate ca ∫1

0f(x)dx = ln 2.

R: ∫1

0f(x)dx = ∫

1

0

dx

1 + x= ln 2.

3. Se considera o functie f ∶ [0,2] → R, f(x) = x, x ∈ [0,1]x2 + 1, x ∈ (1,2] . Sa

se arate ca f este integrabila si sa se calculeze integrala sa.

R: ∫2

0f(x)dx = ∫

1

0xdx + ∫

2

1(x2 + 1)dx = 23

6.

4. Sa se demonstreze inegalitatea:

1

2< ∫

12

0

dx√1 − x2n

< π6

R: 1 ≤ 1√1 − x2n

≤ 1√1 − x2

⇒ 1

2= ∫

12

0dx ≤ ∫

12

0

dx√1 − x2n

≤ ∫12

0

1√1 − x2

=π

6.

5. Sa se calculeze limn→∞

(n4∫n+1

n

xdx

1 + x5).

R: Din teorema de medie avem ca exista ξ ∈ [n,n + 1] astfel ıncat

In = ∫n+1

n

xdx

1 + x5= ξ

1 + ξ5⇒ n5

1 + (n + 1)5≤ n4In ≤

n4(n + 1)1 + n5

de unde conform teoremei clestelui rezulta limn→∞

n4In = 1.

6. Sa se calculeze ∫1

−1

arctgx

ex + e−xdx.

R: functia arctgxex+e−x este impara, deci integrala este 0.


7. (a) Fie f ∶ R → R o functie continua si periodica de perioada T > 0.Sa se arate ca are loc egalitatea

∫a+T

af(x)dx = ∫

T

0f(x)dx, ∀a ∈ R.

(b) Sa se calculeze ∫2nπ

0∣ sinx∣dx, n ∈ N.

R: Functia G(x) = ∫x+T

xf(t)dt are derivata 0, deci este constanta.

Egalitatea din enunt corespunde la G(a) = G(0).

8. Fie g ∶ R → R, g(x) = ex, x ≤ 0ax + b, x > 0

, a, b ∈ R. Sa se determine a, b

astfel ıncat g sa admita primitive pe R.R: Punand conditia de continuitate ın 0, obtinem b = 1, iar a ∈ Roarecare.

9. Sa se arate ca functia g ∶ [a, b] → R, g(x) = 1, x ≠ a+b2

−1, x = a+b2

, este inte-

grabila dar nu admite primitive.R: g difera de functia constanta 1 pe [a, b] doar ın x = a+b

2 , deci esteintegrabila, ınsa nu admite primitive deoarece nu are proprietatea luiDarboux.

10. Sa se arate ca functia

f(x) = 2x sin 1x2 −

2x cos 1

x2 , x ∈ [−1,0) ∪ (0,1]0, x = 0

admite primitive dar nu este integrabila.R: O primitiva a lui f este

f(x) = x2 sin 1x2 , x ∈ [−1,0) ∪ (0,1]

0, x = 0

dar f nu este integrabila deoarece nu este marginita.

11. Folosind integrarea prin parti, sa se calculeze integralele:

(a) ∫ lnxdx

(b) ∫ (x3 + 5x2 − 2)e2xdx

(c) ∫ x2 cos 2xdx

8.7. EXERCITII 113

(d) ∫ eax sin bxdx, a, b ∈ R(e) ∫ x2arctg 3xdx

R:

(a) x lnx − x(b) (1

2x3 + 7

4x2 − 7

4x −18) e2x

(c) (2x2 − 1) sin 2x4 + x cos 2x

2

(d) a sin bx−b cos bxa2+b2 eax

(e) x3

3 arctg 3x − x2

18 +ln(9x2+1)

162

12. Sa se calculeze integrala

Im = ∫π2

0sinm xdx, m ∈ N

R: Im = m−1m Im−2, I0 = π

2 , I1 = 1.

13. Folosind prima metoda de schimbare de variabila, sa se calculeze:

(a) ∫ xe−(x2+1)dx

(b) ∫ e1x

x2 dx

(c) ∫ x+arccosx√1−x2

(d) ∫ dxx(1+ln2 x)

(e) ∫ cos2√xdx

R:

(a) −12e

−(x2+1)

(b) −e 1x

(c) − sin t − t2

2 , t = arccosx

(d) arctg t, t = lnx

(e) t2

2 +t2 sin 2t + 1

4 cos 2t, t =√x

14. Sa se calculeze

(a) ∫3

2dx√

x−1−3 4√x−1

(b) ∫ x2√x2+x+1

dx


R:

(a) (2t2 + 12t + 36 ln ∣t − 3∣) ∣4√21 , t = 4

√x − 1

(b) (12x −

34)√x2 + x + 1 − 1

8 ln (x + 12 +

√x2 + x + 1)

15. Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii rationale:

(a) 1(x+a)(x−b)

(b) x2−5x+9x2−5x+6

(c) 1x3+1

(d) 1(x2+1)2

(e) 1x(x+1)2

R:

(a) 1a+b ln ∣ x−b

x+a ∣

(b) x + 3 ln ∣x−3x−2

∣

(c) 12 ln(x2 − x + 1) −

√3arctg 2x−1√

3

(d) 12(arctgx + x

x2+1)

(e) ln ∣ xx+1

∣ + 1x+1

16. Sa se calculeze primitivele:

(a) ∫ sin2 x cos3 xdx

(b) ∫ sin3 xcos4 xdx

(c) ∫ 11+sin2 x

dx

(d) ∫ 1sinx+tgxdx

(e) ∫ 12+sinx cosxdx

(f) ∫ 1sinxdx

R:

(a) t3

3 −t5

5 , t = sinx

(b) −t−1 + t−33 , t = cosx

(c)√

22 arctg (t

√2), t = tgx

(d) 12 ln ∣t∣ − t2

4 , t = tg x2

8.7. EXERCITII 115

17. Sa se calculeze:

∫ex − 2

e2x + 4dx

R: −12 ln t + 1

4 ln(t2 + 4) + 12arctg t

2 , t = ex

18. Sa se calculeze urmatoarele integrale binome:

(a) ∫√x(1 + 3

√x)2dx

(b) ∫ x√1+ 3√

x2dx

(c) ∫√a2 − x2dx

(d) ∫ 1

x4√

1+x2dx

R:

(a) 6t13

13 + 12t11

11 + 6t9

9 , t = 6√x

(b) 3t5

5 − 6t3

3 + 3t, t2 = 1 + x 23

(c) a2

2( tt2+1 − arctg t) , t2 = a2

x2 − 1

19. Sa se calculeze primitivele:

(a) ∫ dx

x+√x2+x+1

(b) ∫ xdx

(x−1)√

1+x−x2

(c) ∫ x√−x2 + 4x + 5dx

(d) ∫ x√−x2+3x+4

dx

20. Sa se calculeze aria subgraficului functiei f ∶ [4,9]→ R, f(x) =√x√x−1

.

R: 72 + ln 2.

21. Sa se calculeze aria suprafetei dintre graficele functiilor f(x) = e−x sig(x) = ex pentru x ∈ [0,1].R: e + 1

e − 2.

22. Sa se afle aria suprafetei de rotatie determinata de functia

f ∶ [0,1√3]→ R, f(x) = 2

√1 − x2.

R: 2√

33 π [

√2 + ln(1 +

√2)]


23. Sa se calculeze volumul corpului de rotatie determinat de functia

f ∶ [0,2]→ R, f(x) = 2x − x2

R: 16π15

Capitolul 9

Integrale improprii si cuparametru

9.1 Integrala improprie de primul tip

Definitia 9.1. Fie f ∶ [a,∞) → R o functie integrabila pe orice intervalcompact de tipul [a, b], b > a. Integrala ∫

∞a f(x)dx se numeste integrala

improprie de primul tip. Daca limb→∞∫

b

af(x)dx exista si este finita vom

spune ca integrala improprie ∫∞a f(x)dx este convergenta si avem

∫∞

af(x)dx = lim

b→∞∫b

af(x)dx

Daca limita de mai sus nu exista sau este infinita, atunci integrala improprie

∫∞a f(x)dx este divergenta.

In mod similar se pot defini integralele improprii:

∫a

−∞f(x)dx = lim

b→∞∫a

−bf(x)dx

∫∞

−∞f(x)dx = lim

b→∞∫a

−bf(x)dx + lim

b→∞∫b

af(x)dx = ∫

a

−∞f(x)dx + ∫

∞

af(x)dx

Teorema 9.1. Fie a > 0. Atunci integrala improprie

∫∞

a

1

xαdx

este convergenta pentru α > 1 si divergenta pentru α ≤ 1.

117

118 CAPITOLUL 9. INTEGRALE IMPROPRII SI CU PARAMETRU

Demonstratie. Functia f ∶ [a,∞) → R, f(x) = 1xα este continua pe orice

interval de tipul [a, b], b > 0, deci este integrabila pe orice astfel de interval.Pentru α < 1 avem:

∫∞

a

1

xαdx = lim

b→∞∫b

ax−αdx = lim

b→∞

x−α+1

−α + 1∣b

a

= limb→∞

( b1−α

1 − α− a1−α

1 − α) =∞ (9.1)

Pentru α = 1 avem:

∫∞

a

1

xdx = lim

b→∞∫b

a

1

xdx = lim

b→∞lnx∣ba = lim

b→∞(ln b − lna) =∞ (9.2)

Pentru α > 1 avem:

∫∞

a

1

xαdx = lim

b→∞∫b

ax−αdx = lim

b→∞

x−α+1

−α + 1∣b

a

= limb→∞

( b1−α

1 − α− a1−α

1 − α) = a1−α

α − 1(9.3)

Din (9.1), (9.2) si (9.3) rezulta ca integrala este divergenta pentru α ≤ 1si convergenta pentru α > 1.

9.1.1 Convergenta integralei ın cazul functiilor pozi-tive

Daca functia f ∶ [a,∞)→ R este pozitiva pe [a,∞), atunci integrala

Φ(b) = ∫b

af(x)dx

este o functie monoton crescatoare pe [a,∞). Problema existentei limitei fi-nite lim

b→∞Φ(b) se reduce atunci la marginirea acestei functii (fiind crescatoare,

limita exista, ea fiind ∞ sau finita ın cazul ın care functia este marginita).Astfel, pentru convergenta integralei ∫

∞a f(x)dx, unde f ≥ 0 pe [a,∞), este

necesar si suficient ca integrala Φ(b) sa fie marginita superior:

∫b

af(x)dx ≤M, ∀b ∈ (a,∞)

Daca aceasta conditie nu este ındeplinita, atunci integrala improprie dataare valoarea ∞. Pe aceasta se bazeaza urmatorul criteriu de comparatiepentru integrale improprii de primul tip din functii pozitive:

Teorema 9.2. Fie f, g ∶ [a,∞) → R doua functii astfel ıncat f, g ≥ 0 pe[a,∞). Daca exista limita

limx→∞

f(x)g(x)

= l ∈ [0,∞]

atunci:

9.1. INTEGRALA IMPROPRIE DE PRIMUL TIP 119

1. Daca l <∞ si integrala improprie ∫∞a g(x)dx este convergenta, atunci

si ∫∞a f(x)dx este convergenta

2. Daca l > 0 si integrala improprie ∫∞a g(x)dx este divergenta, atunci si

∫∞a f(x)dx este divergenta

Corolar 9.1.1. Daca ın conditiile teoremei de mai sus obtinem 0 < l < ∞,atunci cele doua integrale au aceeasi natura.

Alegand ın particular functia g ∶ [a,∞) → R, a > 0, g(x) = 1xα obtinem

urmatorul criteriu de convergenta:

Teorema 9.3. Fie f ∶ [a,∞)→ R astfel ıncat f ≥ 0 pe [a,∞). Atunci

1. Daca ∃α > 1 astfel ıncat limx→∞

xαf(x) <∞, atunci ∫∞a f(x)dx este con-

vergenta

2. Daca ∃α ≤ 1 astfel ıncat limx→∞

xαf(x) > 0, atunci ∫∞a f(x)dx este diver-

genta

9.1.2 Convergenta integralei ın cazul general

Teorema 9.4 (Criteriul lui Abel). Fie f, g ∶ [a,∞)→ R doua functii astfelıncat

1. Integrala improprie ∫∞a f(x)dx este convergenta

2. Functia g este monotona si marginita.

Atunci integrala improprie ∫∞a f(x)g(x)dx este de asemenea convergenta.

Teorema 9.5 (Criteriul lui Dirichlet). Fie f, g ∶ [a,∞)→ R doua functiiastfel ıncat

1. Functia f este integrabila pe [a, b], ∀b > a si

∣∫b

af(x)dx∣ ≤M, ∀a < b <∞

2. Functia g este monotona si limx→∞

g(x) = 0.

Atunci integrala improprie ∫∞a f(x)g(x)dx este convergenta.


9.2 Integrala improprie de al doilea tip

Definitia 9.2. Fie f ∶ [a, b) → R o functie integrabila pe orice intervalcompact de tipul [a, c], ∀c ∈ (a, b) si pentru care lim

xbf(x) = ∞. Integrala

∫b

a f(x)dx se numeste integrala improprie de al doilea tip. Daca limcb ∫

c

af(x)dx

exista si este finita vom spune ca integrala improprie ∫b

a f(x)dx este conver-genta si avem

∫b

af(x)dx = lim

cb ∫c

af(x)dx


∫b

a f(x)dx este divergenta.

Definitia 9.3. Fie f ∶ (a, b] → R o functie integrabila pe orice intervalcompact de tipul [c, b], ∀c ∈ (a, b) si pentru care lim

xaf(x) = ∞. Integrala

∫b

a f(x)dx se numeste integrala improprie de al doilea tip. Daca limca∫

b

cf(x)dx

exista si este finita vom spune ca integrala improprie ∫b

a f(x)dx este conver-genta si avem

∫b

af(x)dx = lim

ca∫b

cf(x)dx


∫b

a f(x)dx este divergenta.

Teorema 9.6. Integrala improprie

∫b

a

1

(b − x)λdx

este convergenta pentru λ < 1 si divergenta pentru λ ≥ 1.

Demonstratie. Functia f ∶ [a, b) → R, f(x) = 1(b−x)λ este continua pe orice

interval de tipul [a, c], ∀c ∈ (a, b), deci este integrabila pe orice astfel deinterval.

Pentru λ < 1 avem:

∫b

a

1

(b − x)λdx = lim

cb ∫c

a(b − x)−λdx = lim

cb

(b − x)−λ+1

λ − 1∣c

a

=

= limcb

((b − c)1−λ

λ − 1− (b − a)1−λ

λ − 1) = (b − a)1−λ

1 − λ(9.4)

9.2. INTEGRALA IMPROPRIE DE AL DOILEA TIP 121

Pentru λ = 1 avem:

∫b

a

1

b − xdx = lim

cb ∫c

a

1

b − xdx = lim

cb− ln(b − x)∣ca = lim

cb(− ln(b − c) + ln(b − a)) =∞

(9.5)Pentru λ > 1 avem:

∫b

a

1

(b − x)λdx = lim

cb ∫c

a(b − x)−λdx = lim

cb

(b − x)−λ+1

λ − 1∣c

a

=

= limcb

((b − c)1−λ

λ − 1− (b − a)1−λ

λ − 1) =∞ (9.6)

Din (9.4), (9.5) si (9.6) rezulta ca integrala este convergenta pentru λ < 1si divergenta pentru λ ≥ 1.

Criteriul de comparatie pentru integrale improprii de al doilea tip seenunta la fel ca si cel de la integrale improprii de primul tip, ınlocuind ∞ cub. Aplicand acest criteriu pentru g(x) = 1

(b−x)λ obtinem:

Teorema 9.7. Fie f ∶ [a, b)→ R astfel ıncat f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b). Atunci

1. Daca ∃λ < 1 astfel ıncat limxb

(b − x)λf(x) < ∞ atunci ∫b

a f(x)dx este

convergenta

2. Daca ∃λ ≥ 1 astfel ıncat limxb

(b − x)λf(x) > 0 atunci ∫b

a f(x)dx este

divergenta

In mod asemanator se gasesc rezultatele:

Teorema 9.8. Integrala improprie

∫b

a

1

(x − a)λdx

este convergenta pentru λ < 1 si divergenta pentru λ ≥ 1.

Teorema 9.9. Fie f ∶ (a, b]→ R astfel ıncat f(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b]. Atunci

1. Daca ∃λ < 1 astfel ıncat limxa

(x − a)λf(x) < ∞ atunci ∫b

a f(x)dx este

convergenta

2. Daca ∃λ ≥ 1 astfel ıncat limxa

(x − a)λf(x) > 0 atunci ∫b

a f(x)dx este

divergenta


9.3 Metode de integrare

Teorema 9.10 (Teorema de integrare prin parti). Fie f, g ∶ [a, b) → Rderivabile cu derivata continua pe intervalul [a, b) unde b poate fi si ∞. Daca

exista si este finita limx→b

f(x)g(x), atunci daca una din integralele ∫b

a f(x)g′(x)dx,

∫b

a f′(x)g(x)dx este convergenta, rezulta ca si cealalta este convergenta si

∫b

af(x)g′(x)dx = lim

x→bf(x)g(x) − f(a)g(a) − ∫

b

af ′(x)g(x)dx

Teorema 9.11 (Teorema de schimbare de variabila). Fie u ∶ [a, b) →[α,β) (unde b si β pot fi si ∞) cu u(a) = α, lim

x→bu(x) = β si f ∶ [α,β) → R.

Daca f este continua si u este strict crescatoare, derivabila si cu derivata con-tinua pe [a, b), atunci daca una din integralele ∫

β

α f(t)dt, ∫b

a f(u(x))u′(x)dxeste convergenta, atunci si cealalta este convergenta si cele doua integralesunt egale:

∫β

αf(t)dt = ∫

b

af(u(x))u′(x)dx

9.4 Integrale cu parametru

Definitia 9.4. Fie f ∶ [a, b] × Y → R si functiile α(y), β(y) ∶ Y → [a, b].

Daca integrala ∫β(y)

α(y)f(x, y)dx exista pentru orice y ∈ Y , atunci spunem ca

functia

I ∶ Y → R, I(y) = ∫β(y)

α(y)f(x, y)dx

se numeste integrala cu parametru.

Teorema 9.12. Fie functia f ∶ [a, b] × Y → R continua pe [a, b], ∀y ∈ Y .Daca exista g(x) = lim

y→y0f(x, y), unde y0 este un punct de acumulare al lui Y

si daca f(x, y) converge uniform catre g(x) pe [a, b] ın punctul y0, atunci

limy→y0

I(y) = limy→y0∫

b

af(x, y)dx = ∫

b

a[ limy→y0

f(x, y)]dx = ∫b

ag(x)dx.

Teorema 9.13. Fie functia f ∶ [a, b]×[c, d]→ R continua de ambele variabile.

Atunci integrala I(y) = ∫b

a f(x, y)dx este o functie continua pe [c, d].

Teorema 9.14. Fie functia f ∶ [a, b]×[c, d]→ R continua de ambele variabilecu derivata partiala f ′y(x, y) continua de ambele variabile pe [a, b] × [c, d].

9.4. INTEGRALE CU PARAMETRU 123

Daca functiile α(y), β(y) ∶ [c, d]→ [a, b] au derivate continue pe [c, d] atunci

functia I(y) = ∫β(y)

α(y)f(x, y)dx este derivabila pe [c, d] si

I ′(y) = ∫β(y)

α(y)

∂f

∂y(x, y)dx + β′(y)f(β(y), y) − α′(y)f(α(y), y)

Corolar 9.4.1. Daca α(y), β(y) sunt functiile constante a si b, atunci

I ′(y) = ∫b

a

∂f

∂y(x, y)dx

Teorema 9.15. Fie functia f ∶ [a, b]×[c, d]→ R continua ın raport cu ambelevariabile. Atunci avem:

∫d

c[∫

b

af(x, y)dx]dy = ∫

b

a[∫

d

cf(x, y)dy]dx

Demonstratie. Vom demonstra egalitatea mai generala

∫t

c[∫

b

af(x, y)dx]

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶F (y)

dy = ∫b

a[∫

t

cf(x, y)dy]

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶G(x,t)

dx

pentru t ∈ [c, d]. Vom considera ambii membri ai egalitatii de mai sus cafunctii de t si le vom deriva ın raport cu t.

Intrucat f este continua ın raport cu ambele variabile, din teorema 9.13rezulta ca functiile F (y) si G(x, t) sunt continue ın raport cu y, respectiv x.

Derivand membrul stang ın raport cu t, obtinem:

d

dt(∫

t

cF (y)dy) = F (t) = ∫

b

af(x, t)dx (9.7)

Derivand membrul drept ın raport cu t si aplicand teorema 9.14, obtinem:

d

dt(∫

b

aG(x, t)dx) = ∫

b

a

∂G

∂t(x, t)dx = ∫

b

af(x, t)dx (9.8)

Din (9.7) si (9.8) rezulta ca cele doua functii de variabila t difera doarprintr-o constanta, iar cum pentru t = c ambele sunt nule, rezulta ca suntegale pentru orice t ∈ [c, d].


9.4.1 Integrale improprii cu parametru

Definitia 9.5. Fie f ∶ [a,∞)×[c, d]→ R. Spunem ca integrala cu parametru

I(y) = ∫∞

af(x, y)dx, y ∈ [c, d]

este (simplu) convergenta daca exista limita

limb→∞∫

b

af(x, y)dx.

Daca limita de mai sus are loc uniform ın raport cu y ∈ [c, d], spunem caintegrala este uniform convergenta.

Teorema 9.16. Fie f ∶ [a,∞) × [c, d] si g ∶ [a,∞)→ R astfel ıncat

1. ∣f(x, y)∣ ≤ g(x), ∀x ∈ [a,∞), y ∈ [c, d]

2. ∫∞a g(x)dx <∞

Atunci ∫∞a f(x, y)dx este uniform convergenta.

Teorema 9.17. Fie f ∶ [a,∞) × [c, d] → R o functie continua de ambelevariabile. Daca integrala

I(y) = ∫∞

af(x, y)dx

este uniform convergenta, atunci I(y) este o functie continua pe [c, d].Teorema 9.18. Fie f ∶ [a,∞) × [c, d] → R continua de ambele variabile, cuf ′y(x, y) continua de ambele variabile, si cu proprietatile

1. I(y) = ∫∞a f(x, y)dx uniform convergenta

2. ∫∞a

∂f∂y (x, y)dx uniform convergenta

Atunci I(y) este derivabila si

I ′(y) = ∫∞

a

∂f

∂y(x, y)dx

Teorema 9.19. Fie f ∶ [a,∞) × [c, d] → R continua de ambele variabile cuproprietatile

1. ∫∞a f(x, y)dx uniform convergenta

2. ∫∞a (∫

d

c f(x, y)dy)dx convergenta

Atunci avem:

∫∞

a(∫

d

cf(x, y)dy)dx = ∫

d

c(∫

∞

af(x, y)dx)dy

9.4. INTEGRALE CU PARAMETRU 125

9.4.2 Integralele lui Euler

Definitia 9.6. Integralele cu parametru

Γ(p) = ∫∞

0xp−1e−xdx

B(p, q) = ∫1

0xp−1(1 − x)q−1dx

se numesc integralele lui Euler.

Teorema 9.20. Integralele lui Euler sunt convergente pentru p, q > 0 si sa-tisfac urmatoarele proprietati:

1. Γ(1) = 1, Γ (12) =

√π

2. Γ(p + 1) = pΓ(p)

3. B(p, q) = B(q, p)

4. B (12 ,

12) = π

5. B(p, q) = Γ(p)Γ(q)Γ(p+q)

Urmatoarele integrale pot fi reduse la integrale Euler:

1. ∫∞

0 xpe−axdx

2. ∫∞

0 x2ne−x2dx

3. ∫π2

0 sinm x cosn xdx

4. ∫1

0dx

(1−xm) 1n

5. ∫∞

0xm−1(1+x)ndx


9.5 Exercitii

1. Sa se studieze convergenta integralelor:

(a) ∫∞

0

√x3

1+x2dx;

(b) ∫∞

1arctgxx dx;

(c) ∫∞

1dx

2x+(x2+1)13 +5

;

(d) ∫∞

0x52

1+x2dx

(e) ∫∞

1dx

x√

1+x2 ;

(f) ∫∞

0dx

1+x4 ;

(g) ∫∞

0xdx

(x5+1)12

;

(h) ∫∞

0dx

x2+ 3√x4+1

(i) ∫2

0dx

x√

2−x ;

(j) ∫1

0dx

3√1−x2

;

(k) ∫1

0dx

4√1−x4

(l) ∫1

0dx

x3+3x2 ;

(m) ∫π2

0 ctgxdx;

(n) ∫2

1dxlnx

2. Sa se calculeze urmatoarele integrale improprii:

(a) ∫∞

0dx

1+x2 ;

(b) ∫0

−∞dx

1+x2 ;

(c) ∫∞−∞

dx1+x2 ;

(d) ∫1

01√

1−x2dx;

(e) ∫0

−11√

1−x2dx;

(f) ∫1

−11√

1−x2dx;

(g) ∫∞

0arctgx1+x2 ;

(h) ∫∞−∞

dxx2+4x+9 ;

(i) ∫∞

1dxx lnx ;

(j) ∫∞

1

√x

(1+x)2dx;

(k) ∫∞

1dx

x√x2+1

;

(l) ∫∞

0 e−ax sin bxdx, a > 0

3. Sa se calculeze∞∫0

dx

(x+1)√

∣x2−1∣ , aratand mai ıntai ca este convergenta.

R: 2.

4. Sa se calculeze:

(a)b

∫a

√b−xx−adx;

R: (b−a)π2 .

(b)2π

∫0

dx2 sinx+3 cosx+4 .

R: 2π√3.

9.5. EXERCITII 127

5. Sa se calculezeπ

∫0

dxa+cosx , a > 0 si apoi, considerand pe a ca parametru,

sa se calculezeπ

∫0

dx(a+cosx)2 .

R:π

∫0

dxa+cosx =

π√a2−1

;π

∫0

dx(a+cosx)2 = πa(a2 − 1)− 3

2

6. Sa se calculeze1

∫0

xb − xalnx

dx

folosind egalitateab

∫a

dy1

∫0

xydx =1

∫0

dxb

∫axydy.

R: ln 1+b1+a .

Capitolul 10

Integrala curbilinie

10.1 Elementul de arc. Lungimea unei curbe

Definitia 10.1. Fie un interval de numere reale I = [a, b].

1. Se numeste curba plana o multime de puncte din R2 ale caror coor-donate sunt date parametric prin

(C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)

, t ∈ [a, b];

2. Se numeste curba ın spatiu o multime de puncte din R3 ale carorcoordonate sunt date parametric prin

(C) ∶

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)z = z(t)

, t ∈ [a, b].

Daca functiile x(t), y(t), z(t) sunt continue pe [a, b], atunci reprezentarileparametrice de mai sus se numesc drumuri. O curba poate fi data prin maimulte parametrizari, deci poate fi imaginea mai multor drumuri echivalente.De exemplu, un cerc cu centrul ın origine si de raza R are reprezentareaparametrica

x = R cos t, y = R sin t, t ∈ [0,2π].

In acelasi timp, semicercul de deasupra axei Ox mai poate fi reprezentat siprin

x = t, y =√R2 − t2, t ∈ [−R,R].

129

130 CAPITOLUL 10. INTEGRALA CURBILINIE

Definitia 10.2. Fie r(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b] un drum ın plan. Spunemca acest drum este:

1. ınchis daca x(a) = x(b), y(a) = y(b);

2. simplu daca r(t) este o functie injectiva. Asadar curba corespunzatoarenu are puncte multiple, nu se autointersecteaza;

3. neted daca x(t), y(t) au derivata continua si nu exista nicio valoaret ∈ [a, b] pentru care x′(t) = y′(t) = 0.

In mod similar se pot defini notiunile de mai sus si pentru curbe ın spatiu.Un punct corespunzator unei valori t0 ∈ [a, b] cu proprietatea ca x′(t0) =y′(t0) = 0 se numeste punct singular al curbei. Pentru astfel de puncte,tangenta la curba nu exista. Asadar, un drum neted are proprietatea caadmite tangenta ın orice punct.

Definitia 10.3. Fie C1 si C2 doua curbe date prin reprezentarile parametrice

(C1) ∶ r1(t) = (x1(t), y1(t)) , t ∈ [a, b]

(C2) ∶ r2(t) = (x2(t), y2(t)) , t ∈ [b, c]

cu proprietatea ca r1(b) = r2(b). Se numeste juxtapunerea curbelor C1 siC2 urmatoarea curba:

C1 ∪C2 ∶ r(t) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

r1(t), daca t ∈ [a, b]r2(t), daca t ∈ [b, c]

.

Definitia 10.4. Un drum se numeste neted pe portiuni daca este juxta-punerea unui numar finit de drumuri netede.

Sa consideram acum o curba data prin

(C) ∶ r(t) = (x(t), y(t)) , t ∈ [a, b]

si o diviziune∆ ∶ a = t0 < t1 < t2 < ⋅ ⋅ ⋅ < tn−1 < tn = b

a intervalului [a, b]. Notam cu M0,M1,M2, . . . ,Mn punctele de pe curba co-respunzatoare punctelor diviziunii ∆, asadar Mi (x(ti), y(ti)) , i = 0,1, . . . , n.Aceste puncte definesc o diviziune a lui C, pe care o vom nota cu ∆C . Numimnorma a diviziunii ∆C numarul

∥∆C∥ = maxi=0,...,n−1

∥MiMi+1∥,

10.2. INTEGRALA CURBILINIE DE PRIMA SPETA 131

unde prin ∥MiMi+1∥ ıntelegem lungimea segmentului MiMi+1, mai precis

∥MiMi+1∥ =√

(x(ti+1) − x(ti))2 + (y(ti+1) − y(ti))2, i = 0,1, . . . , n − 1

Diviziunea ∆C a lui C defineste o linie poligonala M0M1M2 . . .Mn−1Mn

ınscrisa ın C, a carei lungime este

l∆C=n−1

∑i=0

∥MiMi+1∥ =n−1

∑i=0

√(x(ti+1) − x(ti))2 + (y(ti+1) − y(ti))2

Definitia 10.5. O curba C se numeste rectificabila daca exista si este finitalimita lungimilor liniilor poligonale ınscrise ın C cand norma diviziunii tindecatre 0. Valoarea acestei limite

L = lim∥∆C∥→0

l∆C

se numeste lungimea curbei C.

Teorema 10.1. Fie o curba neteda data prin

(C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)

, t ∈ [a, b];

Atunci lungimea acestei curbe este

L = ∫b

a

√x′(t)2 + y′(t)2dt.

Cantitatea ds =√x′(t)2 + y′(t)2dt se numeste elementul de arc pe

curba C. In mod similar se definesc lungimea unei curbe si elementul dearc pentru curbe ın spatiu:

L = ∫b

a

√x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt

ds =√x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt

10.2 Integrala curbilinie de prima speta

Fie din nou o curba plana neteda data prin

(C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)

, t ∈ [a, b]


si o diviziune ∆C = M0,M1,M2, . . . ,Mn corespunzatoare diviziunii ∆ ∶ a =t0 < t1 < t2 < ⋅ ⋅ ⋅ < tn a intervalului [a, b]. Consideram acum pe fiecare dintrearcele de curba MiMi+1 punctele intermediare Pi corespunzatoare valorilort = θi ∈ [ti, ti+1], i = 0,1, . . . , n − 1. Notam prin

si = ∫ti+1

ti

√x′(t)2 + y′(t)2dt, i = 0,1, . . . , n − 1

lungimile arcelor de curba MiMi+1 corespunzatoare diviziunii ∆C .

Definitia 10.6. Fie f ∶D → R o functie de doua variabile, unde domeniul Dinclude curba C. Se numeste suma integrala a functiei f corespunzatoarediviziunii ∆C a curbei C si punctelor intermediare Pi suma

σ∆C(f) =

n−1

∑i=0

f(Pi)si =n−1

∑i=0

f(x(θi), y(θi))si.

Definitia 10.7. Fie functia de doua variabile f ∶D → R si o curba C inclusaın domeniul D. Spunem ca f este integrabila pe curba C daca pentru oricesir de diviziuni ∆C cu norma tinzand catre 0 si orice alegere a punctelorintermediare corespunzatoare Pi, sirurile corespunzatoare de sume integraleσ∆C

(f) au o limita finita comuna I:

lim∥∆c∥→0

σ∆C(f) = I

Aceasta valoare I se numeste integrala curbilinie de prima speta afunctiei f pe curba C si se noteaza cu

∫Cf(x, y)ds.

Teorema 10.2. Fie o curba neteda C data parametric prin

(C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)

, t ∈ [a, b]

si o functie f ∶ D → R, unde domeniul D include curba C. Daca functiacompusa f(x(t), y(t)) este integrabila pe [a, b], atunci f este integrabila peC si avem

∫Cf(x, y)ds = ∫

b

af(x(t), y(t))

√x′(t)2 + y′(t)2dt.

10.3. INTEGRALA CURBILINIE DE SPETA A DOUA 133

Teorema 10.3. Fie C = C1 ∪ C2 ∪ . . .Cp un drum neted pe portiuni si f ofunctie integrabila pe fiecare Ci, i = 1, . . . , p. Atunci f este integrabila pe Csi avem

∫Cf(x, y)ds =

p

∑i=1∫Cif(x, y)ds.

In mod similar se defineste integrala curbilinie de prima speta a uneifunctii de trei variabile pe o curba neteda ın spatiu, si avem:

∫Cf(x, y, z)ds = ∫

b

af(x(t), y(t), z(t))

√x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt.

10.3 Integrala curbilinie de speta a doua

Fie o curba plana neteda C pe care alegem un sens de parcurgere, si odiviziune ∆C = M0,M1,M2, . . . ,Mn, unde Mi(xi, yi), i = 0, . . . , n. Consi-deram acum pe fiecare dintre arcele de curba MiMi+1 punctele intermediarePi(αi, βi), i = 0,1, . . . , n − 1.

Definitia 10.8. Fie f ∶ D → R o functie de doua variabile, unde domeniulD include curba C.

I. Se numeste suma integrala ın raport cu x a functiei f cores-punzatoare diviziunii ∆C si punctelor intermediare Pi suma

σx∆C(f) =

n−1

∑i=0

f(αi, βi)(xi+1 − xi).

II. Se numeste suma integrala ın raport cu y a functiei f cores-punzatoare diviziunii ∆C si punctelor intermediare Pi suma

σy∆C(f) =

n−1

∑i=0

f(αi, βi)(yi+1 − yi).

Definitia 10.9. Fie f ∶ D → R o functie de doua variabile, unde domeniulD include curba C.

I. Spunem ca f este integrabila pe C ın raport cu x daca pentru oricesir de diviziuni ∆C cu norma tinzand catre 0 si orice alegere a punc-telor intermediare corespunzatoare Pi, sirurile corespunzatoare de sumeintegrale σx∆C

(f) au o limita finita comuna Ix:

lim∥∆C∥→0

σx∆C(f) = Ix


Aceasta valoare Ix se numeste integrala curbilinie de speta a douaın raport cu x a functiei f pe curba C si se noteaza cu

∫Cf(x, y)dx.

II. Spunem ca f este integrabila pe C ın raport cu y daca pentru oricesir de diviziuni ∆C cu norma tinzand catre 0 si orice alegere a punc-telor intermediare corespunzatoare Pi, sirurile corespunzatoare de sumeintegrale σy∆C

(f) au o limita finita comuna Iy:

lim∥∆C∥→0

σy∆C(f) = Iy

Aceasta valoare Iy se numeste integrala curbilinie de speta a douaın raport cu y a functiei f pe curba C si se noteaza cu

∫Cf(x, y)dy.

Observam ca daca C este aceeasi curba dar parcursa ın sens opus, atuncisumele integrale corespunzatoare aceleiasi diviziuni ısi schimba semnul, asadaravem

∫Cf(x, y)dx = −∫

Cf(x, y)dx;

∫Cf(x, y)dy = −∫

Cf(x, y)dy.

Definitia 10.10. Fie o curba neteda orientata C ⊂ R2 si P,Q ∶D ⊂ R2 → R,unde D include curba C. Daca P este integrabila pe C ın raport cu x, iar Qeste integrabila pe C ın raport cu y, atunci integrala

∫CP (x, y)dx +Q(x, y)dy = ∫

CP (x, y)dx + ∫

CQ(x, y)dy

se numeste integrala curbilinie de speta a doua sub forma generala.

Teorema 10.4. Fie o curba neteda orientata

C ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)

, t ∈ [a, b]

si P,Q ∶ D ⊂ R2 → R, unde D include curba C. Daca functiile compuseP (x(t), y(t)) si Q(x(t), y(t)) sunt continue pe [a, b], atunci avem

∫CP (x, y)dx +Q(x, y)dy = ∫

b

a[P (x(t), y(t))x′(t) +Q(x(t), y(t))y′(t)]dt.

10.3. INTEGRALA CURBILINIE DE SPETA A DOUA 135

Demonstratie. Fie o diviziune A = A0,A1, . . . ,An = B a curbei C co-respunzatoare valorilor a = t0 < t1 < ⋅ ⋅ ⋅ < tn = b si punctele intermediareMi(t = τi), τi ∈ [ti, ti+1] i = 1, . . . , n. Atunci suma integrala corespunzatoarefunctiei P este

σx =n−1

∑i=0

P (x(τi), y(τi))(x(ti+1) − x(ti)) =n−1

∑i=0

P (x(τi), y(τi))∫ti+1

tix′(t)dt

Pe de alta parte,

I = ∫b

aP (x(t), y(t))x′(t)dt =

n−1

∑i=0∫

ti+1

tiP (x(t), y(t))x′(t)dt

de unde rezulta ca

σx − I =n−1

∑i=0∫

ti+1

ti[P (x(τi), y(τi)) − P (x(t), y(t))]x′(t)dt

Deoarece functia P (x(t), y(t)) este continua, rezulta ca pentru orice ε > 0,daca diviziunea este suficient de fina avem ∣P (x(τi), y(τi)) − P (x(t), y(t))∣ <ε. De asemenea, deoarece functia continua x′(t) este marginita, avem ∣x′(t)∣ <M , de unde deducem

∣σx − I ∣ < εM ∣b − a∣Trecand la limita cu norma diviziunii tinzand catre 0, obtinem

∫(AB)

P (x, y)dx = ∫b

aP (x(t), y(t))x′(t)dt

In mod analog se arata ca

∫(AB)

Q(x, y)dy = ∫b

aQ(x(t), y(t))y′(t)dt

In mod similar se defineste integrala curbilinie de speta a doua pentrucurbe ın spatiu, iar teorema de mai sus se transcrie:

∫CP (x, y, z)dx +Q(x, y, z)dy +R(x, y, z)dz =

= ∫b

a[P (x(t), y(t), z(t))x′(t) +Q(x(t), y(t), z(t))y′(t) + P (x(t), y(t), z(t))z′(t)]dt.

Daca C = C1 ∪C2 este o curba neteda pe portiuni, atunci avem:

∫CPdx +Qdy +Rdz = ∫

C1

Pdx +Qdy +Rdz + ∫C2

Pdx +Qdy +Rdz


10.4 Independenta de drum a unei integrale

curbilinii

Definitia 10.11. 1. Un sistem de coordonate xOy se numeste orientatdrept daca axa Oy se obtine din axa Ox prin rotirea acesteia cu 90o

ın sens trigonometric (contrar acelor de ceasornic)

2. Intr-un plan orientat drept, se numeste sens pozitiv de parcurgere alunei curbe simple ınchise, acela ın care partea cea mai apropiata deobservator a multimii marginite de curba este situata la stanga obser-vatorului.

Prin conventie, daca drumul de integrare C este o curba ınchisa simplasi daca nu exista nicio indicatie asupra sensului de parcurgere al conturului,prin ∫C Pdx +Qdy se ıntelege o integrala luata ın sensul pozitiv.

Definitia 10.12. 1. O multime D se numeste multime conexa dacaoricum am descompune-o ın doua multimi D1 si D2 disjuncte si nevide,cel putin una dintre acestea are un punct de acumulare ın cealalta

2. O multime D deschisa si conexa se numeste domeniu.

Intr-un domeniu D, oricare ar fi punctele A,B ∈ D, exista o linie poligo-nala L ⊂D care uneste punctele A si B.

Teorema 10.5. Fie C = (AB) o curba neteda pe portiuni continuta ıntr-undomeniu D. Daca functiile P (x, y) si Q(x, y) sunt continue pe D, atunciconditia necesara si suficienta pentru ca integrala curbilinie I = ∫(AB)Pdx +Qdy sa nu depinda de drum ın D este sa existe o functie V (x, y) diferentiabilape D astfel ıncat sa avem

dV = P (x, y)dx +Q(x, y)dy, (x, y) ∈D (10.1)

O astfel de functie V se numeste primitiva a expresiei de sub integrala.

Observatii:

1. Din conditia (10.1) rezulta

∂V

∂x= P (x, y), ∂V

∂y= Q(x, y)

Derivand aceste relatii ın raport cu y, respectiv x, obtinem

∂P

∂y= ∂Q∂x

, (x, y) ∈D

ın ipoteza ca P si Q admit derivate partiale de ordinul ıntai continuepe D.

10.4. INDEPENDENTA DE DRUM 137

2. Integrala curbilinie ∫(AB)Pdx+Qdy nu depinde de drum ıntr-un dome-niu D daca si numai daca este nula pe orice curba ınchisa continuta ınD.

3. Daca integrala ∫(AM)Pdx+Qdy nu depinde de drum, alegand un drum

particular paralel cu axele de coordonate A(a, b) → N(x, b) →M(x, y)se obtine pentru primitiva V (x, y) formula

V (x, y) = ∫(AM)

Pdx +Qdy = ∫x

aP (t, b)dt + ∫

y

bQ(x, t)dt

deci integrala pe orice drum ce uneste punctele A si B are valoarea

∫(AB)

Pdx +Qdy = V (B)

iar cum V (A) = 0, putem scrie

∫(AB)

Pdx +Qdy = V (B) − V (A)

adica formula lui Leibniz-Newton.

Teorema 10.6. Fie C = (AB) o curba neteda pe portiuni continuta ıntr-undomeniu D. Daca functiile P (x, y, z), Q(x, y, z) si R(x, y, z) sunt continuepe D, atunci conditia necesara si suficienta pentru ca integrala curbilinieI = ∫(AB)Pdx + Qdy + Rdz sa nu depinda de drum ın D este sa existe o

functie V (x, y, z) diferentiabila pe D astfel ıncat sa avem

dV = P (x, y, z)dx +Q(x, y, z)dy +R(x, y, z)dz, (x, y, z) ∈D (10.2)

Observatii:

1. Din conditia (10.2) rezulta

∂V

∂x= P (x, y, z), ∂V

∂y= Q(x, y, z), ∂V

∂z= R(x, y, z)

Derivand aceste relatii ın raport cu x, y, z, obtinem

∂P

∂y= ∂Q∂x

,∂Q

∂z= ∂R∂y

,∂R

∂x= ∂P∂z

, (x, y, z) ∈D

ın ipoteza ca P , Q si R admit derivate partiale de ordinul ıntai continuepe D.


2. Integrala curbilinie ∫(AB)Pdx + Qdy + Rdz nu depinde de drum ıntr-un domeniu D daca si numai daca este nula pe orice curba ınchisacontinuta ın D.

3. Daca integrala ∫(AM)Pdx+Qdy+Rdz nu depinde de drum, alegand un

drum particular paralel cu axele de coordonate A(a, b, c)→ N(x, b, c)→P (x, y, c)→M(x, y, z) se obtine pentru primitiva V (x, y, z) formula

V (x, y, z) = ∫x

aP (t, b, c)dt + ∫

y

bQ(x, t, c)dt + ∫

z

cR(x, y, t)dt

deci integrala pe orice drum ce uneste punctele A si B are valoarea

∫(AB)

Pdx +Qdy +Rdz = V (B)

Definitia 10.13. 1. Un domeniu plan D se numeste simplu conex dacaorice contur C ınchis si simplu din D delimiteaza un domeniu continutın ıntregime ın D.

2. Un domeniu D din spatiu se nnumeste simplu conex daca pentruorice curba C ınchisa si simpla din D exista cel putin o suprafata Smarginita de C situata ın ıntregime ın D.

3. Un domeniu care nu este simplu conex se numeste multiplu conex.Un astfel de domeniu ın plan contine goluri, iar ın spatiu continetuburi

Teorema 10.7. Presupunem ca functiile P si Q sunt continue ımpreuna cuderivatele lor partiale ıntr-un domeniu multiplu conex D si care ındeplinescconditia ∂P

∂y = ∂Q∂x pe D. Fie C1 si C2 doua contururi care ınconjoara un gol

G al acestui domeniu. Atunci avem

∫C1

Pdx +Qdy = ∫C2

Pdx +Qdy

Pentru o integrala independenta de drum, pe orice curba ınchisa careınconjoara un gol G, integrala are aceeasi valoare numita constanta ciclica.

Teorema 10.8. Presupunem ca functiile P, Q si R sunt continue ımpreunacu derivatele lor partiale ıntr-un domeniu multiplu conex D ⊂ R3 si careındeplinesc conditiile ∂P

∂y = ∂Q∂x , ∂Q

∂z = ∂R∂y , ∂R

∂x = ∂P∂z pe D. Fie C1 si C2 doua

contururi care ınconjoara un tub T al acestui domeniu. Atunci avem

∫C1

Pdx +Qdy +Rdz = ∫C2

Pdx +Qdy +Rdz

Pentru o integrala independenta de drum, pe orice curba ınchisa careınconjoara un tub T , integrala are aceeasi valoare numita constanta ciclica.

10.5. APLICATII ALE INTEGRALEI CURBILINII 139

10.5 Aplicatii ale integralei curbilinii

Masa unui corp filiform:

m(C) = ∫Cρ(x, y, z)ds

unde ρ este densitatea de masa.

Coordonatele centrului de greutate al unui corp filiform:

xG = ∫Cxρds

∫C ρds, yG = ∫C

yρds

∫C ρds, zG = ∫C

zρds

∫C ρds


Aria unui domeniu plan:

A(D) = 1

2 ∫Cxdy − ydx

unde D este domeniul plan delimitat de curba ınchisa neteda (sau ne-teda pe portiuni) C.

Lucrul mecanic al unui camp de forte:

L = ∫C

Ð→F dÐ→r = ∫

CPdx +Qdy +Rdz

unde P, Q si R sunt componentele forteiÐ→F care actioneaza asupra

unui corp care se deplaseaza de-a lungul curbei C.

10.6 Exercitii

1. Sa se calculeze lungimea unui cerc de raza R.

2. Sa se calculeze urmatoarele integrale curbilinii de prima speta:

(a) ∫(C)

xyds, unde (C) ∶ y = x2, x ∈ [−1,1];

R: 0;

(b) ∫(C)

y5ds, unde (C) ∶ x = y4

4 , y ∈ [0,2];

R: 19 (65

32 − 1).


(c) ∫Cxyds, C fiind portiunea din primul cadran a elipsei x2

a2 +y2

b2 = 1.

R: ab(a2+ab+b2)3(a+b) .

(d) ∫(C)

xyzds, unde curba (C) este data prin

(C) ∶

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = ty = 1

3

√8t3

z = 12t

2

, t ∈ [0,1].

R: 16√

2143 .

(e) ∫C(x + y + z)ds, unde C este elicea circulara

x = r cos t, y = r sin t, z = ht, t ∈ [0,2π].

3. Sa se calculeze ∫C xdx + dy − xzdz, unde curba C este juxtapunereacurbelor C1, C2 si C3 parcursa ın sensul precizat pe figura:

4. Sa se calculeze urmatoarele integrale curbilinii de al doilea tip:

(a) ∫(C)

(x2 + y2)dx; (C) ∶ y = x2, x ∈ [0,2]

R: 13615

(b) ∫(C)

(x2 + y2)dy; (C) ∶ y = x2, x ∈ [0,2]

R: −883

(c) ∫(C)

2xydx+x2dy; (C) ∶ 1) y = x, 2) y = x2, 3) x = y2, 4) y = x3, x ∈ [0,1]

R: 1

10.6. EXERCITII 141

(d) ∫(C)

y2dx−x2dy; (C) ∶ 1) x = cos t, y = sin t, 2) x = 1+cos t, y = 1 + sin t,

t ∈ [0,2π]R: 0, −4π

(e) ∫(C)

xdx + xydy + xyzdz; (C) ∶ x = et, y = e−t, z =√

2t, t ∈ [0,1]

R: e2−12 + 1

e

5. Sa se calculeze urmatoarele integrale curbilinii, constatand ın prealabilca sunt independente de drum. S-au specificat numai capetele curbeide integrare.

(a) ∫(C)

ydx + xdy, A(2,1), B(1,3)

R: 1

(b) ∫(C)

yzdx + xzdy + xydz, A(1,1,0), B(2,3,1)

R: 6

6. Sa se afle constanta ciclica a integralei ∫(C)

dy−ydx9x2+4y2 referitor la punctul

(0,0).R: π

3

7. Sa se afle masa segmentului curbei y = lnx cuprins ıntre punctele deabscise x1 si x2, daca densitatea liniara a curbei ın fiecare punct esteegala cu patratul abscisei punctului.

R: 13 [(1 + x2

2)32 − (1 + x2

1)32 ]

8. Sa se calculeze masa firului material cu densitatea ρ si care este imagi-nea curbei

(C) ∶ x = et cos t, y = et sin t, z = et, t ∈ [0, a], ρ = k

x2 + y2 + z2

R: k√

32 (1 − e−a)

9. Sa se calculeze coordonatele centrului de greutate ale urmatoarelor firemateriale omogene (ρ = 1):

(a) (C) ∶ x = a cos3 t, y = a sin3 t, t ∈ [0, π2 ] , a > 0

(b) (C) ∶ x =√π − t cos t, y =

√π − t sin t, z = t, t ∈ [0, π]

(c) (C) ∶ x = et cos t, y = et sin t, z = et, t ∈ (−∞,0]


10. Sa se calculeze aria elipsei cu semiaxele a si b.R: πab

11. Sa se calculeze aria astroidei: x = a cos3 t, y = a sin3 t, t ∈ [0,2π];R: 3a2π

8

12. Sa se calculeze lucrul mecanic al forteiÐ→F , cand punctul de aplicatie se

deplaseaza pe curba (C):

(a)Ð→F = −k(xÐ→i + yÐ→j ); (C) ∶ x = a cos3 t, y = b sin3 t, t ∈ [0, π2 ]R: k

2(a2 − b2)

(b)Ð→F = −k(xÐ→i +yÐ→j +zÐ→k )

z√x2+y2+z2

; (C) ∶ x = at, y = bt, z = ct, t ∈ [1,2];

R: −kc√a2 + b2 + c2 ln 2

Capitolul 11

Integrala dubla

11.1 Definirea integralei duble

Fie D ⊂ R2 o multime de puncte din plan. Se numeste diametru al multimiiD marginea superioara a distantelor dintre doua puncte din D:

d(D) = supA,B∈D

∥AB∥.

Spunem ca o multime de puncte din plan este marginita daca diametrulei este finit.

Definitia 11.1. Fie o multime marginita D ⊂ R2. Se numeste diviziune amultimii D o multime finita de submultimi ale lui D, fara puncte interioarecomune, a caror reuniune este D:

∆ = D1,D2, . . . ,Dn, Di ⊂D, i = 1, . . . , n,n

⋃i=1

Di =D.

Pentru o diviziune ∆ a domeniului D, notam cu di si ωi diametrul, res-pectiv aria submultimii Di, si alegem cate un punct intermediar Pi(αi, βi) ∈Di, i = 1, . . . , n. Definim de asemenea

∥∆∥ = maxi=1,...,n

di

norma diviziunii ∆.

Definitia 11.2. Fie f ∶ D → R o functie de doua variabile. Se numestesuma Riemann a functiei f corespunzatoare diviziunii ∆ a multimii D sipunctelor intermediare Pi urmatoarea suma:

σ∆(f) =n

∑i=1

f(Pi)ωi =n

∑i=1

f(αi, βi)ωi.

143

144 CAPITOLUL 11. INTEGRALA DUBLA

Definitia 11.3. Spunem ca functia f ∶ D → R este integrabila pe D dacapentru orice sir de diviziuni ∆ ale lui D cu norma tinzand catre 0 si oricealegere a punctelor intermediare corespunzatoare Pi, sirurile corespunzatoarede sume Riemann σ∆(f) au o limita finita comuna I:

lim∥∆∥→0

σ∆(f) = I

Aceasta valoare I se numeste integrala dubla a functiei f pe domeniul Dsi se noteaza cu

∬Df(x, y)dxdy.

Daca functia f este marginita, atunci putem defini

mi = inf(x,y)∈Di

f(x, y), Mi = sup(x,y)∈Di

f(x, y), i = 1, . . . , n.

Definitia 11.4. Fie f ∶D → R marginita si ∆ o diviziune a lui D. Sumele

s∆ =n

∑i=1

miωi, S∆ =n

∑i=1

Miωi

se numesc sume Darboux inferioara, respectiv superioara corespunzatoarefunctiei f si diviziunii ∆.

Avem urmatoarea inegalitate:

mΩ ≤ s∆ ≤ σ∆(f) ≤ S∆ ≤MΩ

unde m = inf(x,y)∈D

f(x, y), M = sup(x,y)∈D

f(x, y) si Ω este aria domeniului D.

Teorema 11.1 (Criteriul de integrabilitate Darboux). Functia f ∶D →R este integrabila pe D daca si numai daca oricare ar fi ε > 0, exista δ > 0astfel ıncat pentru orice diviziune ∆ cu ∥∆∥ < δ sa avem S∆ − s∆ < ε.

Teorema 11.2. Fie f ∶ D → R continua pe domeniul ınchis si marginit D.Atunci F este integrabila pe D.

Demonstratie. Deoarece functia f este continua pe domeniul ınchis si marginitD, rezulta ca este si uniform continua pe acest domeniu, deci pentru oriceε > 0 exista δ > 0 astfel ıncat pe orice subdomeniu al lui D cu diametrul maimic decat δ, variatia functiei este mai mica decat ε

Ω , unde Ω este aria lui D.Daca alegem o diviziune ∆ a lui D astfel ıncat ∥∆∥ < δ, avem

Mi −mi <ε

Ω, ∀i = 1, . . . , n


de unde

S∆ − s∆ =n

∑i=1

(Mi −mi)ωi <ε

Ω

n

∑i=1

ωi = ε

de unde conform criteriului de integrabilitate Darboux rezulta ca f este in-tegrabila pe D.

Teorema 11.3. Daca multimea tuturor punctelor de discontinuitate ale functieif ∶ D → R consta dintr-un numar finit de curbe netede, atunci f este inte-grabila.

Asadar, daca se modifica ın mod arbitrar valorile functiei f integrabilape D, de-a lungul unui numar finit de curbe netede, iar functia modificataramane marginita, atunci noua functie este de asemenea integrabila pe D,iar integrala ei este aceeasi cu integrala lui f .


1. Daca f este o functie constanta f(x, y) = c, ∀(x, y) ∈D, atunci

∬Df(x, y)dxdy = cA(D)

unde A(D) este aria domeniului D. In particular, pentru c = 1 gasim

A(D) =∬Ddxdy;

2. Daca f si g sunt integrabile pe D si α,β ∈ R, atunci αf + βg esteintegrabila pe D si

∬D(αf(x, y) + βg(x, y))dxdy = α∬

Df(x, y)dxdy+β∬

Dg(x, y)dxdy;

3. Daca f si g sunt integrabile pe D si f(x, y) ≤ g(x, y), ∀(x, y) ∈ D,atunci

∬Df(x, y)dxdy ≤∬

Dg(x, y)dxdy;

4. Daca f este integrabila pe D, atunci si ∣f ∣ este integrabila pe D si avem

∣∬Df(x, y)dxdy∣ ≤∬

D∣f(x, y)∣dxdy;


5. Teorema de medie: daca f si g sunt integrabile pe D si daca g ≥ 0,atunci exista µ ∈ [m,M], unde m = inf

(x,y)∈Df(x, y), M = sup

(x,y)∈Df(x, y),

astfel ıncat

∬Df(x, y)g(x, y)dxdy = µ∫

Dg(x, y)dxdy;

6. Daca f este continua pe D iar g este integrabila si pozitiva pe D, atunciexista (ξ, η) ∈D astfel ıncat

∬Df(x, y)g(x, y)dxdy = f(ξ, η)∫

Dg(x, y)dxdy;

7. Daca f este integrabila pe D, atunci exista o valoare µ ∈ [m,M], undem = inf

(x,y)∈Df(x, y), M = sup

(x,y)∈Df(x, y), astfel ıncat

∬Df(x, y)dxdy = µA(D);

8. Daca f este continua pe D, atunci exista (ξ, η) ∈D astfel ıncat

∬Df(x, y)dxdy = f(ξ, η)A(D);

9. Proprietatea de aditivitate: Daca f este integrabila pe D, care esteımpartit ın doua subdomenii D1 si D2 printr-o curba neteda (eventualpe portiuni), atunci f este integrabila pe D1 si D2, si avem

∬Df(x, y)dxdy =∬

D1

f(x, y)dxdy +∬D2

f(x, y)dxdy;

11.3 Metode de calcul pentru integrale duble

11.3.1 Integrarea pe domenii dreptunghiulare

Teorema 11.4. Fie o functie f integrabila pe domeniul dreptunghiular

D = (x, y) ∈ R2∣a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d

astfel ıncat pentru orice x ∈ [a, b] exista integrala I(x) = ∫d

c f(x, y)dy. Atunci

exista si integrala ∫b

a I(x)dx si avem

∬Df(x, y)dxdy = ∫

b

a[∫

d

cf(x, y)dy]dx.

11.3. METODE DE CALCUL PENTRU INTEGRALE DUBLE 147

Demonstratie. Consideram diviziunile

∆x ∶ a = x0 < x1 < ⋅ ⋅ ⋅ < xn−1 < xn = b

∆y ∶ c = y0 < y1 < ⋅ ⋅ ⋅ < ym−1 < ym = dale intervalelor [a, b], respectiv [c, d]. Corespunzator, dreptunghiul D sedescompune ın

∆ = Dij = [xi−1, xi] × [yj−1, yj], i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m

Fiemij = inf

(x,y)∈Dijf(x, y), Mij = sup

(x,y)∈Dijf(x, y)

Pentru x = ξi ∈ [xi−1, xi] fixat avem:

mij ≤ f(ξi, y) ≤Mij, ∀y ∈ [yj−1, yj]

Integrand ın raport cu y pe [yj−1, yj], obtinem:

mij(yj − yj−1) ≤ ∫yj

yj−1f(ξi, y)dy ≤Mij(yj − yj−1), ∀j = 1, . . . ,m

Sumand acum dupa indicele j = 1, . . . ,m gasimm

∑j=1

mij(yj − yj−1) ≤ ∫d

cf(ξi, y)dy = I(ξi) ≤

m

∑j=1

Mij(yj − yj−1)

Inmultind aceasta dubla inegalitate cu (xi − xi−1) si sumand dupa indicelei = 1, . . . , n avem:n

∑i=1

m

∑j=1

mij(xi−xi−1)(yj−yj−1) ≤n

∑i=1

I(ξi)(xi−xi−1) ≤n

∑i=1

m

∑j=1

Mij(xi−xi−1)(yj−yj−1)

adicas∆ ≤ σ∆x(I(x), ξi) ≤ S∆

Trecand acum la limita cu ∥∆x∥→ 0 si ∥∆y∥→ 0 obtinem


b

aI(x)dx

Teorema 11.5. Fie o functie f integrabila pe domeniul dreptunghiular

D = (x, y) ∈ R2∣a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d

astfel ıncat pentru orice y ∈ [c, d] exista integrala I(y) = ∫b

a f(x, y)dx. Atunci

exista si integrala ∫d

c I(y)dy si avem


d

c[∫

b

af(x, y)dx]dy.


11.3.2 Integrarea pe domenii simple

Definitia 11.5. Un domeniu plan marginit de doua drepte verticale x = a six = b si de graficele a doua functii continue y = g1(x) si y = g2(x)

D = (x, y) ∈ R2∣a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)

se numeste simplu ın raport cu axa Oy.

Pentru un astfel de domeniu avem:

Teorema 11.6. Fie o functie f integrabila pe domeniul D simplu ın raport cu

Oy astfel ıncat pentru orice x ∈ [a, b] exista integrala F (x) = ∫g2(x)g1(x) f(x, y)dy.

Atunci exista si integrala ∫b

a F (x)dx si avem


b

a[∫

g2(x)

g1(x)f(x, y)dy]dx.

Demonstratie. Acoperim domeniul D cu dreptunghiul D = [a, b]×[c, d] unde

c = mina≤x≤b

g1(x), d = maxa≤x≤b

g2(x)

si definim pe acest dreptunghi functia f∗ ∶ D → R,

f∗(x, y) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

f(x, y), (x, y) ∈D0, (x, y) ∈ D ∖D

Functia f∗ este integrabila pe D si avem

∬Df∗(x, y)dxdy =∬

Df(x, y)dxdy

De asemenea, f∗ este integrabila si pe D∖D deoarece este functie constanta(f∗(x, y) = 0) si are integrala

∬D∖D

f∗(x, y)dxdy = 0

Deci f∗ este integrabila pe tot dreptunghiul D (valorile de pe frontiera lui Dnu joaca niciun rol) si avem

∬Df∗(x, y) =∬

Df(x, y)dxdy.

11.3. METODE DE CALCUL PENTRU INTEGRALE DUBLE 149

Pentru x ∈ [a, b] fixat avem

∫d

cf∗(x, y)dy = ∫

g1(x)

cf∗(x, y)dy + ∫

g2(x)

g1(x)f∗(x, y)dy + ∫

d

g2(x)f∗(x, y)dy

= ∫g2(x)

g1(x)f(x, y)dy

Acum, conform teoremei 11.4


Df∗(x, y)dxdy = ∫

b

a[∫

d

cf∗(x, y)dy]dx =

= ∫b

a[∫

g2(x)

g1(x)f(x, y)dy]dx.

Definitia 11.6. Un domeniu plan marginit de doua drepte orizontale y = csi y = d si de graficele a doua functii continue x = h1(y) si x = h2(y)

D = (x, y) ∈ R2∣c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)

se numeste simplu ın raport cu axa Ox.


Teorema 11.7. Fie o functie f integrabila pe domeniul simplu ın raport cu

Ox astfel ıncat pentru orice y ∈ [c, d] exista integrala G(y) = ∫h2(y)h1(y) f(x, y)dx.

Atunci exista si integrala ∫d

c G(y)dy si avem


d

c[∫

h2(y)

h1(y)f(x, y)dx]dy.

11.3.3 Continuitatea si derivabilitatea integralei dublefunctie de limitele de integrare

Teorema 11.8. Daca functia f ∶D → R este integrabila pe D, atunci functia

F (x, y) = ∫x

a[∫

y

bf(u, v)dv]du

este continua pe D.


Teorema 11.9. Daca functia f ∶D → R este continua pe D, atunci functia

F (x, y) = ∫x

a[∫

y

bf(u, v)dv]du

are derivate partiale de ordinul ıntai continue pe D, date prin

∂F

∂x= ∫

y

bf(x, v)dv, ∂F

∂y= ∫

x

af(u, y)du.

In plus, derivatele de ordinul doi mixte exista si sunt date prin

∂2F

∂x∂y= ∂2F

∂y∂x= f(x, y)

11.3.4 Formula lui Green

Teorema 11.10 (Formula lui Green). Fie D un domeniu plan ınchis,marginit de o curba C ınchisa si neteda (pe portiuni), si astfel ıncat atatparalelele la axa Ox cat si paralelele la axa Oy intersecteaza curba C numaiın doua puncte. Fie P,Q ∶ D → R doua functii de 2 variabile, continue,astfel ıncat P are derivata partiala continua ın raport cu y si Q are derivatapartiala continua ın raport cu x. Atunci avem:

∫CP (x, y)dx +Q(x, y)dy =∬

D(∂Q∂x

− ∂P∂y

)dxdy

unde sensul de parcurgere al curbei C este ales astfel ıncat domeniul D saramana ın stanga.

Demonstratie. Presupunem mai ıntai ca domeniul D este simplu ın raport cuOy, marginit de curbele (M1N1) ∶ y = g1(x), (M2N2) ∶ y = g2(x), a ≤ x ≤ b sisegmentele M1M2, N1N2 paralele cu axa Oy. Conform teoremei 11.4, avem

∬D

∂P

∂ydxdy = ∫

b

a[∫

g2(x)

g1(x)

∂P

∂ydy]dx = ∫

b

aP (x, g2(x))dx − ∫

b

aP (x, g1(x))dx

= −∫(N2M2)

P (x, y)dx − ∫(M1N1)

P (x, y)dx

Adaugand integralele ∫(N1N2)P (x, y)dx si ∫(M2M1)P (x, y)dx care sunt nule,obtinem

∬D

∂P

∂ydxdy = −∫

CP (x, y)dx (11.1)

Daca domeniul nu este simplu ın raport cu Oy, ıl putem descompuneıntr-un numar finit de domenii simple ın raport cu Oy, si sumand integralelepe aceste domenii gasim ca (11.1) este valabila ın general.

11.4. APLICATII ALE INTEGRALEI DUBLE 151

In mod asemanator se obtine

∬D

∂Q

∂xdxdy = ∫

CQ(x, y)dy (11.2)

descompunand domeniul ıntr-un numar finit de domenii simple ın raport cuOx.

Din (11.1) si (11.2) se obtine formula din enunt.

11.3.5 Schimbare de variabila

Teorema 11.11. Fie doua domenii plane D si D′ marginite de curbe ınchisenetede (eventual pe portiuni), si o functie vectoriala bijectiva

ϕ ∶D′ →D, ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v)), ∀(u, v) ∈D′

ale carei componente admit derivate partiale continue ın raport cu x si y.Atunci aria domeniului D este

A(D) =∬D′

∣D(x, y)D(u, v)

∣dudv

unde D(x,y)D(u,v) = ∣

∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

∣ este jacobianul transformarii ϕ.

Teorema 11.12. Fie f ∶ D → R continua si transformarea ϕ definita maisus. Atunci avem:


D′f(x(u, v), y(u, v)) ∣D(x, y)

D(u, v)∣dudv.

11.4 Aplicatii ale integralei duble

Masa unei placi plane:

m(D) =∬Dρ(x, y)dxdy


Coordonatele centrului de greutate al unei placi plane:

xG = ∬Dxρdxdy

∬D ρdxdy, yG = ∬D

yρdxdy

∬D ρdxdy



Momente de inertie:

– momentul de inertie fata de originea axelor:

IO =∬D(x2 + y2)ρ(x, y)dxdy

– momentul de inertie fata de axele de coordonate:

IOx =∬Dy2ρ(x, y)dxdy, IOy =∬

Dx2ρ(x, y)dxdy


11.5 Exercitii

1. Sa se calculeze urmatoarele integrale duble:

(a) ∬D(5x2y − 2y3)dxdy, unde D = (x, y) ∈ R2∣2 ≤ x ≤ 5, 1 ≤ y ≤ 3

R: 660

(b) ∬D

x2

1 + y2dxdy, unde D = (x, y) ∈ R2∣0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1

R: π12

(c) ∬Dxex+ydxdy, unde D = (x, y) ∈ R2∣0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1

R: e − 1

(d) ∬D(1−x)(1−xy)dxdy, unde D = (x, y) ∈ R2∣1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1

R: 13

(e) ∬Dxydxdy undeD este triunghiul determinat de puncteleO(0,0),A(1,0),B(1,2).

(f) ∬D

(2x + y)dxdy, unde D este triunghiul marginit de axele de co-

ordonate si dreapta x + y = 3R: 27

2

(g) ∬D

x2

y2 dxdy, unde D este domeniul marginit de dreptele x = 2, y = x

si hiperbola xy = 1R: 9

4

(h) ∬D

xydxdy, unde D este domeniul limitat de parabola y = x2 si de

dreapta y = 2x + 3R: 53 + 1

3

11.5. EXERCITII 153

2. Sa se calculeze schimband ordinea de integrare integrala iterata1

∫0

dxe

∫ex

dylny

R: e − 1

3. Folosind o schimbare de variabile convenabila, sa se calculeze urmatoareleintegrale duble:

(a) ∬D

xydxdy, unde D = (x, y) ∈ R2∣x2 + y2 ≤ R2, x > 0, y > 0

R: R4

8

(b) ∬D

(x2 + y2)dxdy, unde D = (x, y) ∈ R2∣x ≤ x2 + y2 ≤ 2x

R: 45π32

(c) ∬D

dxdy1+xy , unde D = (x, y) ∈ R2∣1 ≤ xy ≤ 2, x ≤ y ≤ 3x

R: ln 32 ln 3

2

(d) ∬D

e−(x

2

a2+ y

2

b2)dxdy unde D este exteriorul elipsei x2

a2 +y2

b2 − 1 = 0

R: πabe

4. Sa se calculeze folosind formula lui Green urmatoarele integrale curbi-linii:

(a) ∫(C)

2(x2 + y2)dx + (x + y)2dy, unde (C) este linia poligonala cu

varfurile A(1,1), B(2,2), C(1,3)R: −4

3

(b) ∫(C)

(−ydx + xdy), unde (C) ∶ x2 + y2 = 1

R: 2π

5. Sa se calculeze aria domeniului marginit de curba x23+y 2

3 = a 23 (astroida).

R: 38πa

2

6. Sa se afle aria domeniului plan marginit de curbele

xy = 12, x2 + y − 13 = 0 situat ın primul cadran

R: 523 − 12 ln 3

7. Sa se calculeze coordonatele centrului de greutate al unui dreptunghide laturi a si b daca densitatea variaza direct proportional cu patratuldistantei de la punct la unul din varfurile dreptunghiului.

R: xG = a(3a2+2b2)4(a2+b2) , yG = a(2a2+3b2)

4(a2+b2)


8. Sa se calculeze coordonatele centrului de greutate al domeniului planmarginit de

x2 + y2 = ax, x2 + y2 = bx, b > a

cu densitatea ρ = k.R: xG = a2+ab+b2

4(a+b) , yG = 0

9. Sa se calculeze coordonatele centrelor de greutate pentru urmatoareledomenii plane:

(a) 0 ≤ y ≤ sinx, 0 ≤ x ≤ π4 , ρ = 1;

(b) x2 + y2 ≤ a2, x ≥ 0, ρ =√a2 + x2 + y2

10. Sa se calculeze momentele de inertie ın raport cu axele de coordonateale domeniului plan determinat de

x + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0

de densitate ρ = 1 + xy.R: Ix = Iy = 11

120

11. Folosind integrala dubla improprie sa se calculeze integrala Euler-Poisson

I =∞

∫0

e−x2

dx

R:√π

2

Capitolul 12

Integrala de suprafata

12.1 Elemente de teoria suprafetelor

Definitia 12.1. 1. Fie D un domeniu marginit si ınchis din R2 si functia

F ∶D → R3, F (u, v) = (f(u, v), g(u, v), h(u, v))

Multimea S = M(f(u, v), g(u, v), h(u, v)); (u, v) ∈D se numeste suprafatadata prin reprezentarea parametrica

(S) ∶

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)

2. Daca functiile f, g, h sunt continue cu derivate partiale de ordinul ıntaicontinue pe D si daca determinantii functionali

D(g, h)D(u, v)

,D(h, f)D(u, v)

,D(f, g)D(u, v)

nu se anuleaza simultan pe D, suprafata se numeste suprafata neteda

3. Parametrii u si v se numesc coordonate curbilinii ale unui punctde pe suprafata S. Curbele de pe suprafata S date prin u = u0 si v = v0

se numesc curbe de coordonate

Fie o suprafata neteda S. Prin punctul P0(u0, v0) trec curbele de coor-donate u = u0 si v = v0. Parametrii directori ai tangentei la curba u = u0

ın P0 sunt∂f

∂v(u0, v0),

∂g

∂v(u0, v0),

∂h

∂v(u0, v0)

155

156 CAPITOLUL 12. INTEGRALA DE SUPRAFATA

iar ai tangentei la curba v = v0 ın P0 sunt

∂f

∂u(u0, v0),

∂g

∂u(u0, v0),

∂h

∂u(u0, v0)

Cosinusii directori ai tangentelor corespunzatoare sunt

f ′v

±√G,g′v

±√G,h′v

±√G

sif ′u

±√E,g′u

±√E,h′u

±√E

unde

E = (f ′u)2 + (g′u)2 + (h′u)2

G = (f ′v)2 + (g′v)2 + (h′v)2

toate derivatele fiind calculate ın P0.Unghiul θ dintre cele doua curbe de coordonate este dat de

cos θ = ±f′uf

′v + g′ug′v + h′uh′v√

EG= ± F√

EG

unde F = f ′uf ′v + g′ug′v + h′uh′v.Elementul lungime de arc al unei curbe oarecare de pe suprafata S

esteds2 = dx2 + dy2 + dz2 = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2

expresie numita si prima forma fundamentala a suprafetei S.Cosinusii directori ai normalei Ð→n la suprafata ın punctul P0 sunt

cosα = ± A√A2 +B2 +C2

, cosβ = ± B√A2 +B2 +C2

, cosγ = ± C√A2 +B2 +C2

unde

A = D(g, h)D(u, v)

,B = D(h, f)D(u, v)

,C = D(f, g)D(u, v)

In fiecare punct al suprafetei S avem doi vectori normali la suprafata, desensuri opuse. O astfel de suprafata se spune ca are doua fete.

Intre A,B,C si E,F,G avem identitatea:

A2 +B2 +C2 = EG − F 2

Pentru vectorii tangenti Ð→r u si Ð→r v la curbele de coordonate ın P0 avem:

Ð→r 2u = E, Ð→r 2

v = G, (Ð→r u,Ð→r v) = F

12.2. ARIA UNEI SUPRAFETE 157

iar pentru versorul normalei Ð→n la suprafata avem

Ð→n = ±Ð→r u ×Ð→r v

∥Ð→r u ×Ð→r v∥

Ecuatia planului tangent la suprafata ın P0 este

A(x − x0) +B(y − y0) +C(z − z0) = 0

unde x0, y0, z0 sunt coordonatele carteziene ale lui P0.

12.2 Aria unei suprafete

Fie suprafata

(S) ∶

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)

, (u, v) ∈D

unde D este un domeniu ınchis si marginit din R2.Fie ∆ = D1,D2, . . . ,Dp o diviziune a domeniului D. Dreptelor u =

ui, i = 1, . . . ,m si v = vj, j = 1, . . . , n care formeaza diviziunea ∆ le corespundpe suprafata S o retea de curbe de coordonate care la randul lor determinao diviziune ∆S = S1, . . . , Sp a suprafetei S.

Reciproc, la o diviziune ∆S a suprafetei S formata dintr-o retea de curbede coordonate, corespunde pe domeniul D o diviziune ∆ formata din paralelela axele de coordonate.

La fel ca si ın cazul suprafetelor plane, definim

dk = supA,B∈Sk

d(A,B)

si norma diviziunii ∆S:∥∆S∥ = max

k=1,...,pdk

Consideram un domeniu elementar

Dk = (u, v) ∈D∣u ∈ [ui, ui+1], v ∈ [vj, vj+1]

Acestui domeniu ıi corespunde pe S suprafata Sk marginita de curbele decoordonate u = ui, u = ui+1, v = vj, v = vj+1.

In planul tangent la suprafata ın punctul P (ui, vj) consideram paralelo-gramul determinat de vectorii tangenti (ui+1 −ui)Ð→r u si (vj+1 −vj)Ð→r v, si vomaproxima aria suprafetei Sk cu aria acestui paralelogram:

σk = ∥Ð→r u∥∥Ð→r v∥(ui+1 − ui)(vj+1 − vj) sin θ =√EG − F 2(ui+1 − ui)(vj+1 − vj)


Aria suprafetei S se aproximeaza atunci cu

A ≈ A∆S=

p

∑k=1

σk =∑i,j

√EG − F 2(ui, vj)(ui+1 − ui)(vj+1 − vj)

care este suma Riemann corespunzatoare functiei√EG − F 2, diviziunii ∆ a

lui D si punctelor intermediare (ui, vj). Daca functia√EG − F 2 este inte-

grabila pe D, atunci trecand acum la limita cu ∥∆S∥→ 0 obtinem

lim∥∆S∥→0

A∆S=∬

D

√EG − F 2dudv.

Definitia 12.2. 1. Spunem ca suprafata S are arie daca integrala dubla

∬D√EG − F 2dudv exista si este finita. Valoarea acestei integrale duble

reprezinta aria suprafetei S.

2. Forma diferentiala

dS =√EG − F 2dudv =

√A2 +B2 +C2dudv

se numeste elementul de arie al suprafetei S.

Daca suprafata S este data prin ecuatia carteziana

z = f(x, y), (x, y) ∈D,

folosind parametrizarea

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = uy = vz = f(u, v)

, (u, v) ∈D

atunci gasimE = 1 + p2,G = 1 + q2, F = pq

unde p = ∂f∂x , q =

∂f∂y . Elementul de arie va fi

dS =√

1 + p2 + q2dudv

iar aria suprafetei este

A =∬D

√1 + p2 + q2dudv

Teorema 12.1. Aria unei suprafete S este independenta de reprezentareaparametrica a suprafetei.

12.3. INTEGRALA DE SUPRAFATA DE PRIMUL TIP 159

Demonstratie. Consideram schimbarea de variabile

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

u = u(u, v)v = v(u, v)

, (u, v) ∈ D

Suprafata va avea reprezentarea parametrica

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)

, (u, v) ∈ D

Daca notam cu

J = D(u, v)D(u, v)

jacobianul transformarii, din proprietatile determinantilor functionali rezulta

A = AJ, B = BJ, C = CJ

iar conform formulei de schimbare de variabile pentru integrale duble avem

∬D

√A2 +B2 +C2dudv =∬

D

√A2 +B2 +C2∣J ∣dudv =∬

D

√A2 + B2 + C2dudv

12.3 Integrala de suprafata de primul tip

Fie suprafata

(S) ∶

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)

, (u, v) ∈D ⊂ R2

cu doua fete, neteda (sau neteda pe portiuni), marginita de un contur neted(pe portiuni) si fie functia f ∶ S → R.

Descompunem suprafata S cu ajutorul unei retele de curbe netede peportiuni alese ın mod arbitrar ın ∆S = S1, . . . , Sn. Pentru punctele inter-mediare arbitrare Mi(xi, yi, zi) ∈ Si, i = 1, . . . , n se defineste suma integrala

σ∆S(f) =

n

∑i=1

f(xi, yi, zi)Ai

unde Ai este aria lui Si, i = 1, . . . , n.


Definitia 12.3. Daca exista si este finita limita

lim∥∆S∥→0

σ∆S(f)

indiferent de alegerea diviziunii si a punctelor intermediare, atunci aceastalimita se numeste integrala de suprafata de primul tip a functiei f pesuprafata S si se noteaza cu

∬Sf(x, y, z)dS.

Teorema 12.2. Daca suprafata S este simpla, neteda si neınchisa, iar functiaf ∶ S → R este marginita, atunci avem

∬Sf(x, y, z)dS =∬

Df(x(u, v), y(u, v), z(u, v))

√EG − F 2dudv

ın ipoteza ca cel putin una din aceste integrale exista.

Demonstratie. Descompunem suprafata S ın ∆S = S1, . . . , Sn cu ajuto-rul unor curbe netede pe portiuni si corespunzator domeniul D ın ∆ =D1, . . . ,Dn. Alegem punctele intermediare (xi, yi, zi) ∈ Si corespunzatoarepunctelor (ui, vi) ∈Di, i = 1, . . . , n:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

xi = x(ui, vi)yi = y(ui, vi)zi = z(ui, vi)

, i = 1, . . . , n

Suma integrala pentru integrala de suprafata este:

σ∆S(f) =

n

∑i=1

f(xi, yi, zi)Ai.

Conform definitiei ariei unei suprafete avem:

Ai =∬Di

√EG − F 2dudv, i = 1, . . . , n

Aplicand teorema de medie pentru integrale duble obtinem

Ai =√EG − F 2(ui, vi)A(Di), i = 1, . . . , n

unde (ui, vi) ∈Di, iar suma integrala σ∆S(f) devine

σ∆S(f) =

n

∑i=1

f(x(ui, vi), y(ui, vi), z(ui, vi))√EG − F 2(ui, vi)A(Di) (12.1)

12.4. INTEGRALA DE SUPRAFATA DE AL DOILEA TIP 161

iar suma integrala pentru integrala dubla din membrul drept al formulei dinenunt este

σ∆ =n

∑i=1

f(x(ui, vi), y(ui, vi), z(ui, vi))√EG − F 2(ui, vi)A(Di) (12.2)

Pentru ε > 0 arbitrar, ın virtutea continuitatii uniforme a functiei√EG − F 2,

daca diametrele d(Di), i = 1, . . . , n sunt suficient de mici avem

∣√EG − F 2(ui, vi) −

√EG − F 2(ui, vi)∣ ≤ ε

Scazand ecuatiile (12.1) si (12.2) si folosind marginirea functiei f :

∣f(x, y, z)∣ ≤M, ∀(x, y, z) ∈ S

gasim∣σ∆S

(f) − σ∆∣ < εMA(D)

si trecand la limita cu ∥∆S∥→ 0, ∥∆∥→ 0 se obtine formula din enunt.

Observatii:

1. Teorema de mai sus ramane valabila daca functia f este continua peS.

2. Daca suprafata S este data prin ecuatia carteziana explicita

z = z(x, y)

atunci avem

∬Sf(x, y, z)dS =∬

Df(x, y, z(x, y))

√1 + p2 + q2dxdy

unde D este proiectia suprafetei S pe planul xOy.

12.4 Integrala de suprafata de al doilea tip

Fie S o suprafata cu doua fete, neteda (eventual pe portiuni) de ecuatie

z = z(x, y), (x, y) ∈D

unde D este un domeniu plan marginit de o curba ınchisa neteda pe portiuni.Daca pe suprafata s-a ales una din cele doua fete, spunem ca s-a ales o

orientare pe suprafata sau ca suprafata este orientata. Daca se alege pe


S fata superioara (cosγ > 0), atunci daca o curba ınchisa de pe suprafataeste parcursa ın sens pozitiv, atunci privita de pe fata inferioara curba esteparcursa ın sens negativ.

Fie acum o diviziune ∆S = S1, . . . , Sn a suprafetei S. Proiectand fiecaredin supratetele Si pe planul xOy obtinem o diviziune ∆ = D1, . . . ,Dn a luiD. Sensul de parcurgere al lui Si va determina sensul de parcurgere al luiDi. Astfel, pe fata superioara sensul de parcurgere se alege pozitiv, iar ariaproiectiei se considera cu semnul plus, ın timp ce pe fata inferioara sensul deparcurgere se alege negativ, iar aria proiectiei se considera cu semnul minus.

Definitia 12.4. Consideram functia reala f definita pe un domeniu din R3

care include suprafata S, si punctele intermediare Mi(xi, yi, zi) ∈ Si, i =1, . . . , n. Se numeste suma integrala a lui f corespunzatoare diviziunii ∆S

si punctelor intermediare Mi urmatoarea suma:

σ∆S(f) =

n

∑i=1

f(xi, yi, zi)A(Di)

unde semnul ariei A(Di) se alege conform regulii de mai sus.

Definitia 12.5. Daca exista si este finita limita sumelor integrale σ∆S(f)

atunci cand norma lui ∆S tinde catre zero, indiferent de alegerea diviziuniisi a punctelor intermediare, atunci aceasta limita se numeste integrala desuprafata de al doilea tip a functiei f pe fata aleasa a suprafetei S si senoteaza cu

∬Sf(x, y, z)dxdy = lim

∥∆S∥→0σ∆S

(f)

Daca se ınlocuieste fata considerata a suprafetei cu fata opusa, integralaısi schimba semnul.

In mod similar (proiectand pe planele yOz si zOx) se obtin integralele desuprafata

∬Sf(x, y, z)dydz, ∬

Sf(x, y, z)dzdx

Combinatia celor trei integrale de suprafata de al doilea tip ne da formagenerala a integralei de suprafata de al doilea tip:

∬SP (x, y, z)dydz +Q(x, y, z)dzdx +R(x, y, z)dxdy

Teorema 12.3. Daca S este o suprafata neteda, simpla, neınchisa, cu douafete, de ecuatie

z = z(x, y), (x, y) ∈D

12.4. INTEGRALA DE SUPRAFATA DE AL DOILEA TIP 163

si daca functia f este marginita, atunci avem

∬Sf(x, y, z)dxdy =∬

Sf(x, y, z) cosγdS

unde cosγ este cosinusul director al normalei cu axa Oz, ın ipoteza ca existacel putin una din aceste integrale.

Observatii:

1. Daca functia f este continua, atunci ambele integrale din teorema an-terioara exista.

2. Inlocuind fata superioara cu cea inferioara, se schimba semnul mem-brului stang al egalitatii. In acelasi timp, din normala la suprafataschimbandu-si orientarea, se schimba semnul lui cosγ si o data cu el sisemnul integralei din membrului drept al egalitatii.

3. Deoarece cosγ = 1√1+p2+q2

si dS =√

1 + p2 + q2dxdy, integrala de suprafata

de al doilea tip considerata se reduce la o integrala dubla:

∬Sf(x, y, z)dxdy =∬

Df(x, y, z(x, y))dxdy

4. Daca suprafata S este data parametric, avem cosγ = ± C√A2+B2+C2

si

dS =√A2 +B2 +C2dudv, de unde

∬Sf(x, y, z)dxdy = ±∬

Df(x(u, v), y(u, v), z(u, v))Cdudv

unde D este domeniul ın care se afla parametrii u, v.

5. In mod similar se obtine forma generala:

∬SPdydz +Qdzdx +Rdxdy =∬

S(P cosα +Q cosβ +R cosγ)dS

unde cosα, cosβ, cosγ sunt cosinusurile directoare ale normalei, orien-tata ın concordanta cu fata aleasa a suprafetei.

6. Daca suprafata S este data parametric, avem forma generala:

∬SPdydz +Qdzdx +Rdxdy = ±∬

D(PA +QB +RC)dudv

7. Rezultatele de mai sus se aplica si ın cazul mai general al unei suprafeteınchise formata dintr-un numar finit de parti netede simple si neınchise,adiacente una la alta.


Teorema 12.4. Daca S este o suprafata ınchisa care delimiteaza un domeniuV ⊂ R3, atunci volumul acestui domeniu este dat de

V(V ) = 1

3∬Sxdydz + ydzdx + zdxdy = 1

3∬S(x cosα + y cosβ + z cosγ)dS

integrala luandu-se pe fata exterioara a suprafetei.

Teorema 12.5 (Formula lui Stokes). Fie S o suprafata orientata, neteda,simpla, neınchisa data prin

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)

, (u, v) ∈ D,

marginita de o curba C neteda pe portiuni, functiile f, g, h avand derivatelepartiale de ordinul doi continue. Alegem fata suprafetei S astfel ıncat unobservator situat pe acea fata sa vada conturul C parcurs ın sens direct. DacaP (x, y, z),Q(x, y, z),R(x, y, z) sunt functii continue cu derivate de ordinulıntai continue ıntr-un domeniu din spatiu care contine suprafata S, atunciare loc egalitatea

∫CPdx+Qdy+Rdz =∬

S(∂R∂y

− ∂Q∂z

)dydz+(∂P∂z

− ∂R∂x

)dzdx+(∂Q∂x

− ∂P∂y

)dxdy

Observatii:

1. Formula se poate aplica si la suprafete netede pe portiuni, scriind for-mula pentru fiecare portiune neteda si adunand membru cu membru.

2. Daca suprafata S este situata ın planul xOy (z = 0) se obtine formulalui Green:

∫CPdx +Qdy =∬

D(∂Q∂x

− ∂P∂y

)dxdy

3. Egaland cu 0 cei trei termeni din membrul drept al formulei lui Stokes,se obtine conditia necesara si suficienta pentru independeta de drum aunei integrale curbilinii de speta a doua ın spatiu:

∂Q

∂x= ∂P∂y

,∂P

∂z= ∂R∂x

,∂R

∂y= ∂Q∂z

12.5. APLICATII ALE INTEGRALELOR DE SUPRAFATA 165

12.5 Aplicatii ale integralelor de suprafata

1. Aria unei suprafete S:

A(S) =∬SdS =∬

D

√EG − F 2dudv =∬

D

√1 + p2 + q2dxdy

dupa cum suprafata este data parametric sau explicit.

2. Masa unei suprafete:

m =∬Sρ(x, y, z)dS


3. Coordonatele centrului de greutate al unei suprafete:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

xG = 1m ∬S xρdS

yG = 1m ∬S yρdS

zG = 1m ∬S zρdS

4. Momentele de inertie ale unei suprafete:

(a) ın raport cu planele de coordonate:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

Iyz = ∬S x2ρdS

Izx = ∬S y2ρdS

Ixy = ∬S z2ρdS

(b) ın raport cu axele de coordonate:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

Ix = ∬S(y2 + z2)ρdSIy = ∬S(x2 + z2)ρdSIz = ∬S(x2 + y2)ρdS

(c) ın raport cu originea:

IO =∬S(x2 + y2 + z2)ρdS


12.6 Exercitii

1. Sa se calculeze urmatoarele integrale de suprafata de primul tip:

(a) I = ∬(S)

(x+y+z)dS, unde (S) este suprafata x2+y2+z2 = R2, z ≥ 0.

R: πR3

(b) I = ∬(S)

(x+y+z)−1dS, unde (S) este portiunea din planul x+y+z = a

decupata de planele de coordonate;

R: a√

32

(c) I = ∬(S)

zdS, unde (S) este portiunea din paraboloidul z = x2+y22

decupata de cilindrul x2 + y2 = 8.R: 596

15 π

2. Sa se calculeze integrala I = ∬(S)

x2y2zdxdy, unde (S) este fata superi-

oara a jumatatii inferioare a sferei x2 + y2 + z2 = R2.R: − 2π

105R7

3. Sa se calculeze integrala I = ∬(S)

x3dydz pe fata superioara a jumatatii

superioare a elipsoidului x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 = 1.R: 2

5πa3bc

4. Sa se calculeze integrala de suprafata I = ∬(S)

xdydz + ydzdx + 2zdxdy,

unde (S) este fata exterioara a sferei x2 + y2 + z2 = a2 situata ın primuloctant.R: 2π

3 a3

5. Sa se calculeze aria portiunii din paraboloidul x2 + y2 = 2z marginit deplanul z = 2.R: 2π

3 (5√

5 − 1)

6. Sa se afle aria partilor sferei x2+y2+z2 = R2 decupate din ea de cilindrulx2 + y2 = RxR: 4R2 (π

2 − 1)

7. Sa se afle masa suprafetei unei emisfere, daca densitatea sa superficialaın fiecare punct este egala cu distanta de la acest punct la diametrulvertical.R: π2R3

2

12.6. EXERCITII 167

8. Sa se calculeze coordonatele centrului de greutate al unei portiuni omo-gene din suprafata sferei x2 + y2 + z2 = a2, pentru x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.R: G (a

2 ,a2 ,

a2)

9. Suprafata materiala 2z = x2 + y2, 0 ≤ z ≤ 2, are densitatea ρ(x, y, z) =1 + 2z.

(a) Sa se calculeze aria suprafetei;R: 2π

3 (5√

5 − 1)(b) Sa se calculeze momentul de inertie al suprafetei ın raport cu pla-

nul xOz;R: 2π

35 (1 + 225√

5)(c) Sa se calculeze momentul de inertie ın raport cu axa Oz;

R: 4π35 (1 + 225

√5)

(d) Sa se calculeze momentul de inertie ın raport cu originea.R: π

315(14200√

5 + 32)

Capitolul 13

Integrala tripla

13.1 Definirea integralei triple

Fie D ⊂ R3 o multime de puncte din spatiu. Se numeste diametru almultimii D marginea superioara a distantelor dintre doua puncte din D:

d(D) = supA,B∈D

∥AB∥.

Spunem ca o multime de puncte din spatiu este marginita daca diametrulei este finit.

Definitia 13.1. Fie o multime marginita D ⊂ R3. Se numeste diviziune amultimii D o multime finita de submultimi ale lui D, fara puncte interioarecomune, a caror reuniune este D:

∆ = D1,D2, . . . ,Dn, Di ⊂D, i = 1, . . . , n,n

⋃i=1

Di =D.

Pentru o diviziune ∆ a domeniului D, notam cu di si Vi diametrul, respec-tiv volumul submultimiiDi, si alegem cate un punct intermediar Pi(αi, βi, γi) ∈Di, i = 1, . . . , n. Definim de asemenea

∥∆∥ = maxi=1,...,n

di

norma diviziunii ∆.

Definitia 13.2. Fie f ∶ D → R o functie de trei variabile. Se numestesuma Riemann a functiei f corespunzatoare diviziunii ∆ a multimii D sipunctelor intermediare Pi urmatoarea suma:

σ∆(f) =n

∑i=1

f(αi, βi, γi)Vi.

169

170 CAPITOLUL 13. INTEGRALA TRIPLA

Definitia 13.3. Spunem ca functia f ∶ D → R este integrabila pe D dacapentru orice sir de diviziuni ∆ ale lui D cu norma tinzand catre 0 si oricealegere a punctelor intermediare corespunzatoare Pi, sirurile corespunzatoarede sume Riemann σ∆(f) au o limita finita comuna I:

lim∥∆∥→0

σ∆(f) = I

Aceasta valoare I se numeste integrala tripla a functiei f pe domeniul Dsi se noteaza cu

∭D

f(x, y, z)dxdydz.

Daca functia f este marginita, atunci putem defini

mi = inf(x,y,z)∈Di

f(x, y, z), Mi = sup(x,y,z)∈Di

f(x, y, z), i = 1, . . . , n.

Definitia 13.4. Fie f ∶D → R marginita si ∆ o diviziune a lui D. Sumele

s∆ =n

∑i=1

miVi, S∆ =n

∑i=1

MiVi

se numesc sume Darboux inferioara, respectiv superioara corespunzatoarefunctiei f si diviziunii ∆.

Avem urmatoarea inegalitate:

mV ≤ s∆ ≤ σ∆(f) ≤ S∆ ≤MV

unde m = inf(x,y,z)∈D

f(x, y, z), M = sup(x,y,z)∈D

f(x, y, z) si V este volumul domeni-

ului D.

Teorema 13.1 (Criteriul de integrabilitate Darboux). Functia f ∶D →R este integrabila pe D daca si numai daca oricare ar fi ε > 0, exista δ > 0astfel ıncat pentru orice diviziune ∆ cu ∥∆∥ < δ sa avem S∆ − s∆ < ε.

Teorema 13.2. Fie f ∶ D → R continua pe domeniul ınchis si marginit D.Atunci f este integrabila pe D.

Demonstratie. Deoarece functia f este continua pe domeniul ınchis si marginitD, rezulta ca este si uniform continua pe acest domeniu, deci pentru oriceε > 0 exista δ > 0 astfel ıncat pe orice subdomeniu al lui D cu diametrul maimic decat δ, variatia functiei este mai mica decat ε

V , unde V este volumul luiD. Daca alegem o diviziune ∆ a lui D astfel ıncat ∥∆∥ < δ, avem

Mi −mi <ε

V, ∀i = 1, . . . , n


de unde

S∆ − s∆ =n

∑i=1

(Mi −mi)Vi <ε

V

n

∑i=1

Vi = ε

de unde conform criteriului de integrabilitate Darboux rezulta ca f este in-tegrabila pe D.

Teorema 13.3. Daca multimea tuturor punctelor de discontinuitate ale functieif ∶D → R consta dintr-un numar finit de suprafete netede, atunci f este in-tegrabila.

Asadar, daca se modifica ın mod arbitrar valorile functiei f integrabila peD, de-a lungul unui numar finit de suprafete netede, iar functia modificataramane marginita, atunci noua functie este de asemenea integrabila pe D,iar integrala ei este aceeasi cu integrala lui f .


1. Daca f este o functie constanta f(x, y, z) = c, ∀(x, y, z) ∈D, atunci

∭Df(x, y, z)dxdydz = cV(D)

unde V(D) este volumul domeniului D. In particular, pentru c = 1gasim

V(D) =∭Ddxdydz;

2. Daca f si g sunt integrabile pe D si α,β ∈ R, atunci αf + βg esteintegrabila pe D si

∭D(αf + βg)dxdydz = α∭

Df(x, y, z)dxdydz+β∭

Dg(x, y, z)dxdydz;

3. Daca f si g sunt integrabile pe D si f(x, y, z) ≤ g(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈D,atunci

∭Df(x, y, z)dxdydz ≤∭

Dg(x, y, z)dxdydz;

4. Daca f este integrabila pe D, atunci si ∣f ∣ este integrabila pe D si avem

∣∭Df(x, y, z)dxdydz∣ ≤∭

D∣f(x, y, z)∣dxdydz;


5. Teorema de medie: Daca f este integrabila pe D, atunci exista o valoareµ ∈ [m,M], unde m = inf

(x,y,z)∈Df(x, y, z), M = sup

(x,y,z)∈Df(x, y, z), astfel

ıncat

∭Df(x, y, z)dxdydz = µV(D);

6. Daca f este continua pe D, atunci exista (x∗, y∗, z∗) ∈D astfel ıncat

∭Df(x, y, z)dxdydz = f(x∗, y∗, z∗)V(D);

7. Proprietatea de aditivitate: Daca f este integrabila pe D, care esteımpartit ın doua subdomenii D1 si D2 printr-o suprafata neteda (even-tual pe portiuni), atunci f este integrabila pe D1 si D2, si avem

∭Df(x, y, z)dxdydz =∭

D1

f(x, y, z)dxdydz+∭D2

f(x, y, z)dxdydz;

8. Daca f este integrabila pe D, atunci functia

F (x, y, z) = ∫x

adu∫

y

bdv∫

z

cf(u, v,w)dw

este continua pe D si are urmatoarele derivate partiale continue:

∂F

∂x= ∫

y

bdv∫

z

cf(x, v,w)dw

∂F

∂y= ∫

x

adu∫

z

cf(u, y,w)dw

∂F

∂z= ∫

x

adu∫

y

bf(u, v, z)dv

∂2F

∂x∂y= ∫

z

cf(x, y,w)dw

∂2F

∂y∂z= ∫

x

af(u, y, z)du

∂2F

∂z∂x= ∫

y

bf(x, v, z)dv

∂3F

∂x∂y∂z= f(x, y, z)

13.3. METODE DE CALCUL PENTRU INTEGRALE TRIPLE 173

13.3 Metode de calcul pentru integrale triple

13.3.1 Integrarea pe un paralelipiped

Teorema 13.4. Fie o functie f integrabila pe paralelipipedul

D = (x, y, z) ∈ R3∣a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, s ≤ z ≤ t

astfel ıncat pentru orice x ∈ [a, b] exista integrala I(x) = ∬R

f(x, y, z)dydz,

unde R = [c, d] × [s, t]. Atunci exista si integrala ∫b

a I(x)dx si avem

∭Df(x, y, z)dxdydz = ∫

b

a[∬

Rf(x, y, z)dydz]dx.

Demonstratie. Consideram diviziunile

∆x ∶ a = x0 < x1 < ⋅ ⋅ ⋅ < xn−1 < xn = b

∆y ∶ c = y0 < y1 < ⋅ ⋅ ⋅ < ym−1 < ym = d∆z ∶ s = z0 < z1 < ⋅ ⋅ ⋅ < zl−1 < zl = t

ale intervalelor [a, b], [c, d], respectiv [s, t]. Corespunzator, paralelipipedulD se descompune ın

∆ = Dijk = [xi−1, xi] × [yj−1, yj] × [zk−1, zk], i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m, k = 1, . . . , l

iar dreptunghiul se descompune ın

∆R = Rjk = [yj−1, yj] × [zk−1, zk], j = 1, . . . ,m, k = 1, . . . , l

Fiemijk = inf

(x,y,z)∈Dijkf(x, y, z), Mijk = sup

(x,y,z)∈Dijkf(x, y, z)

Pentru x = ξi ∈ [xi−1, xi] fixat avem:

mijk ≤ f(ξi, y, z) ≤Mijk, ∀(y, z) ∈ Rjk

Integrand ın raport cu y si z pe Rjk, obtinem:

mijk∆yj∆zk ≤∬Rjk

f(ξi, y, z)dydz ≤Mijk∆yj∆zk, ∀j = 1, . . . ,m, k = 1, . . . , l

Sumand acum dupa indicii j = 1, . . . ,m, k = 1, . . . , l gasim

m

∑j=1

l

∑k=1

mijk∆yj∆zk ≤∬Rf(ξi, y, z)dydz = I(ξi) ≤

m

∑j=1

l

∑k=1

Mijk∆yj∆zk


Inmultind aceasta dubla inegalitate cu ∆xi si sumand dupa indicele i =1, . . . , n avem:

n

∑i=1

m

∑j=1

l

∑k=1

mijk∆xi∆yj∆zk ≤n

∑i=1

I(ξi)∆xi ≤n

∑i=1

m

∑j=1

l

∑k=1

Mijk∆xi∆yj∆zk

adicas∆ ≤ σ∆x(I(x), ξi) ≤ S∆

Trecand acum la limita cu ∥∆x∥→ 0 ∥∆y∥→ 0 si ∥∆z∥→ 0 obtinem


b

aI(x)dx

Daca se mai presupune si existenta integralei simple ∫t

s f(x, y, z)dz pentruorice x ∈ [a, b] si orice y ∈ [c, d], se poate ınlocui integrala dubla din enunt cuo integrala iterata si se obtine


b

adx∫

d

cdy∫

t

sf(x, y, z)dz

13.3.2 Integrarea pe domenii cilindrice

Fie acum un domeniu cilindric D cu generatoarele paralele cu Oz si marginitde doua suprafete z = g1(x, y) si z = g2(x, y) definite pentru (x, y) ∈ D ⊂ R2:

D = (x, y, z) ∈ R3∣g1(x, y) ≤ z ≤ g2(x, y), (x, y) ∈ D


Teorema 13.5. Fie o functie f integrabila pe D astfel ıncat pentru orice

(x, y) ∈ D exista integrala F (x, y) = ∫g2(x,y)g1(x,y) f(x, y, z)dz. Atunci exista si

integrala ∬D F (x, y)dxdy si avem

∭Df(x, y, z)dxdydz =∬

Ddxdy∫

g2(x,y)

g1(x,y)f(x, y, z)dz.

Demonstratia are la baza aceeasi idee ca si la integrale duble: se definestefunctia

f∗(x, y, z) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

f(x, y, z), (x, y, z) ∈D0, (x, y, z) ∉D

si se aplica teorema 13.4 pe un domeniu paralelipipedic care contine pe D.In mod similar se pot calcula integralele triple pe domenii cilindrice cu

generatoarele paralele cu Ox, respectiv Oy.

13.3. METODE DE CALCUL PENTRU INTEGRALE TRIPLE 175

13.3.3 Schimbarea de variabile la integrale triple

Fie D si ∆ doua domenii din R3, ınchise si marginite de suprafete netede peportiuni. Consideram o functie continua si bijectiva de la ∆ la D, data prin

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x(u, v,w)y = y(u, v,w)z = z(u, v,w)

, (u, v,w) ∈ ∆ (13.1)

Daca functiile de mai sus admit derivate partiale de ordinul ıntai continuepe ∆, atunci jacobianul transformarii este

J(u, v,w) = D(x, y, z)D(u, v,w)

=RRRRRRRRRRRRRR

∂x∂u

∂x∂v

∂x∂w

∂y∂u

∂y∂v

∂y∂w

∂z∂u

∂z∂v

∂z∂w

RRRRRRRRRRRRRR

Exemplu: Coordonatele sferice ale unui punct M(x, y, z) sunt ρ,ϕ, θ,unde ρ este lungimea segmentului OM , ϕ este unghiul facut de OM cu axaOz iar θ este unghiul facut de OM0 cu axa Ox, M0 fiind proiectia lui M peplanul xOy. Avem:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = ρ sinϕ cos θ

y = ρ sinϕ sin θ

z = ρ cosϕ

, ρ ∈ [0,∞), ϕ ∈ [0, π], θ ∈ [0,2π)

Jacobianul transformarii este

J(ρ,ϕ, θ) = ρ2 sinϕ.

Teorema 13.6. Fie transformarea (13.1) ıntre domeniile ∆ si D cu jacobia-nul J(u, v,w) nenul pe ∆. Presupunem ca functiile x, y, z admit si derivatepartiale de ordinul 2 continue pe ∆. Atunci volumul domeniului D este

V(D) =∭∆∣J(u, v,w)∣dudvdw.

Observatie: Aplicand teorema de medie integralei din teorema anteri-oara obtinem:

V(D) = ∣J(u∗, v∗,w∗)∣V(∆) (13.2)

unde (u∗, v∗,w∗) ∈ ∆.


Teorema 13.7. Fie transformarea (13.1) ıntre domeniile ∆ si D cu jacobia-nul J(u, v,w) nenul pe ∆. Presupunem ca functiile x, y, z admit si derivatepartiale de ordinul 2 continue pe ∆. Consideram functia f ∶D → R continua.Atunci avem:

∭Df(x, y, z)dxdydz =∭

∆f(x(u, v,w), y(u, v,w), z(u, v,w))∣J(u, v,w)∣dudvdw

Demonstratie. Consideram diviziunea D1, . . . ,Dn a lui D, si corespunzatordiviziunea ∆1, . . . ,∆n a lui ∆. Conform observatiei anterioare avem

V(Di) = ∣J(u∗i , v∗i ,w∗i )∣V(∆i)

unde (u∗i , v∗i ,w∗i ) ∈ ∆i.

Alegem acum punctele intermediare Mi(xi, yi, zi), unde

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

xi = x(u∗i , v∗i ,w∗i )

yi = y(u∗i , v∗i ,w∗i )

zi = z(u∗i , v∗i ,w∗i )

.

Suma Riemann corespunzatoare integralei triple din membrul stang este:

σ =n

∑i=1

f(xi, yi, zi)V(Di) =

=n

∑i=1

f(x(u∗i , v∗i ,w∗i ), y(u∗i , v∗i ,w∗

i ), z(u∗i , v∗i ,w∗i ))∣J(u∗i , v∗i ,w∗

i )∣V(∆i)

care este o suma Riemann pentru integrala din membrul drept. Facandnormele diviziunilor luiD si ∆ sa tinda la 0, obtinem egalitatea din enunt.

13.4 Formula lui Gauss-Ostrogradski

Teorema 13.8. Fie D ⊂ R3 un domeniu ınchis si marginit de o suprafata Sneteda pe portiuni. Presupunem ca orice paralela la axele de coordonate inter-secteaza suprafata S ın doua puncte. Daca functiile P (x, y, z),Q(x, y, z),R(x, y, z)sunt continue pe D si au derivatele partiale ∂P

∂x ,∂Q∂y ,

∂R∂z continue pe D, atunci

avem:

∭D(∂P∂x

+ ∂Q∂y

+ ∂R∂z

)dxdydz =∬SPdydz +Qdzdx +Rdxdy,

unde integrala din membrul drept se aplica pe fata exterioara.

13.5. APLICATII ALE INTEGRALEI TRIPLE 177

Demonstratie. Vom presupune mai ıntai ca D este un domeniu cilindric cugeneratoarele paralele cu axa Oz si marginit de suprafetele

S1 ∶ z = g1(x, y), S2 ∶ z = g2(x, y), (x, y) ∈ D ⊂ R2

Conform teoremei 13.5, avem:

∭D

∂R

∂zdxdydz =∬

D[∫

g2(x,y)

g1(x,y)

∂R

∂zdz]dxdy

=∬DR(x, y, g2(x, y))dxdy −∬

DR(x, y, g1(x, y))dxdy

=∬S2

R(x, y, z)dxdy +∬S1

R(x, y, z)dxdy

Generatoarele fiind paralele cu axa Oz, normala la suprafata laterala S3

este perpendiculara pe Oz, deci cosγ = 0, de unde obtinem ca

∬S3

R(x, y, z)dxdy = 0,

asadar

∭D

∂R

∂zdxdydz =∬

SRdxdy. (13.3)

Daca D este un domeniu marginit de o suprafata oarecare neteda peportiuni, il descompunem ın subdomenii cilindrice ca mai sus, iar formula(13.3) ramane valabila.

In mod analog se obtin:

∭D

∂P

∂xdxdydz =∬

SPdydz. (13.4)

∭D

∂Q

∂ydxdydz =∬

SQdzdx. (13.5)

Adunand acum (13.3), (13.4) si (13.5), obtinem formula din enunt.

13.5 Aplicatii ale integralei triple

Masa unui corp:

m(D) =∭Dρ(x, y, z)dxdydz



Coordonatele centrului de greutate al unui corp:

xG = ∭D xρdxdydz

∭D ρdxdydz, yG = ∭D yρdxdydz

∭D ρdxdydz, zG = ∭D zρdxdydz

∭D ρdxdydz


Momentele de inertie ale unui corp:

1. ın raport cu planele de coordonate:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

Iyz =∭D x2ρdxdydz

Izx =∭D y2ρdxdydz

Ixy =∭D z2ρdxdydz

2. ın raport cu axele de coordonate:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

Ix =∭D(y2 + z2)ρdxdydzIy =∭D(x2 + z2)ρdxdydzIz =∭D(x2 + y2)ρdxdydz

3. ın raport cu originea:

IO =∭D(x2 + y2 + z2)ρdxdydz

13.6 Exercitii

1. Sa se calculeze urmatoarele integrale triple:

(a) ∭D

(xy2 + z3)dxdydz, D = (x, y, z)∣0 ≤ x ≤ a,0 ≤ y ≤ b,0 ≤ z ≤ c

(b) ∭D

(1 + 2x − 3y)dxdydz, D = (x, y, z)∣∣x∣ ≤ a, ∣y∣ ≤ b, ∣z∣ ≤ c

(c) ∭D

xyzdxdydz, D = (x, y, z)∣0 ≤ x ≤ 1,−2 ≤ y ≤ 0,1 ≤ z ≤ 4

2. Sa se calculeze integrala∭(V )

dxdydz(1+x+y+z)3 , unde (V ) este tetraedrul marginit

de planele x = 0, y = 0, z = 0 si x + y + z = 1.R: 1

2(ln 2 − 5

8)

3. Sa se calculeze integrala ∭(V )

zdxdydz, unde (V ) este corpul marginit de

suprafata conica z2 = h2

R2 (x2 + y2) si de planul z = h.

R: πR2h2

4

13.6. EXERCITII 179

4. Sa se calculeze volumul corpului marginit de suprafata

(S) ∶ z = 4 − y2, z = 2 + y2, −1 ≤ x ≤ 2.

R: 8

5. Folosind formula lui Gauss-Ostrogradski sa se calculeze urmatoareaintegrala de suprafata:

∬(S)

x3dydz + y3dzdx + z3dxdy

unde (S) este fata exterioara a sferei x2 + y2 + z2 = a2.

R: 12πa5

5

6. Sa se determine masa si coordonatele centrului de greutate ale segmen-tului cilindric definit de

x2 + y2 ≤ a2, z ≤ by, z ≥ 0(b > 0)

de densitate constanta ρ0.

R: m = 2ρ0a3b

3 , G (0, 3π16a,

3π32ab)

7. Sa se calculeze momentul de inertie fata de planul xOz al soliduluiomogen

x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0

R: π30ab

3c

8. Sa se determine momentul de inertie ın raport cu axa Oz a corpuluiomogen marginit de suprafetele

z = x2 + y2, x + y = ±1, x − y = ±1, z = 0

R: 1445

9. Sa se calculeze momentul de inertie ın raport cu originea pentru portiuneade sfera

(V ) ∶ x2 + y2 + z2 ≤ a2, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0,

densitatea de masa fiind ρ(x, y, z) = z.R: π

24a6

Capitolul 14

Ecuatii diferentiale

14.1 Generalitati

Definitia 14.1. 1. Fie F (x, y, y′, . . . , y(n)) o functie reala definita pe do-meniul [a, b] × Y , Y ⊂ Rn+1 avand argumentele variabila reala x ∈ [a, b]si functia reala y ımpreuna cu derivatele ei y′, y′′, . . . , y(n). Ecuatia

F (x, y, y′, . . . , y(n)) = 0 (14.1)

se numeste ecuatie diferentiala de ordinul n, daca se cere sa sedetermine functiile y = ϕ(x) definite pe intervalul [a, b], avand derivatepana la ordinul n inclusiv, ın orice punct al intervalului [a, b] astfelıncat sa avem

F (x,ϕ(x), ϕ′(x), . . . , ϕ(n)(x)) = 0, ∀x ∈ [a, b]

2. Functiile reale ϕ(x) care ındeplinesc conditiile de mai sus se numescsolutii ale ecuatiei diferentiale (14.1)

3. Daca n = 1, ecuatia se numeste de ordinul ıntai si poate avea fieforma implicita F (x, y, y′) = 0 fie forma explicita y′ = f(x, y).

Definitia 14.2. 1. Functia y = ϕ(x,C) se numeste solutie generala aecuatiei diferentiale de ordinul ıntai F (x, y, y′) = 0 pe domeniul D ⊂ R2

daca ϕ este solutie a ecuatiei ın D si daca prin alegerea convenabila aconstantei C, functia ϕ(x,C) se transforma ın orice solutie a ecuatieial carei grafic se afla ın D.

2. Se numeste solutie particulara a ecuatiei F (x, y, y′) = 0 o functiey = ϕ0(x), x ∈ [a, b] care se obtine din solutia generala y = ϕ(x,C)dand o valoare particulara constantei arbitrare C.

181

182 CAPITOLUL 14. ECUATII DIFERENTIALE

3. O solutie a unei ecuatii diferentiale care nu se obtine pentru o valoareparticulara a constantei arbitrare C se numeste solutie singulara.

4. O solutie generala scrisa sub forma implicita ψ(x, y,C) = 0 se numesteintegrala generala.

5. Graficul unei solutii particulare a unei ecuatii diferentiale de ordinulıntai este o curba plana, numita curba integrala.

Solutia generala a unei ecuatii diferentiale poate fi data si parametric

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = ϕ(t,C)y = ψ(t,C)

, t ∈ [a, b]

Definitia 14.3. Problema determinarii solutiei y = ϕ(x) a ecuatiei y′ =f(x, y) care pentru x = x0 ia valoarea data y = y0 se numeste problema luiCauchy. Conditia ϕ(x0) = y0 se numeste conditia lui Cauchy.

14.2 Ecuatii diferentiale de ordinul ıntai sub

forma explicita

14.2.1 Ecuatii diferentiale care provin din anularea uneidiferentiale totale

Consideram ecuatiaP (x, y)dx +Q(x, y)dy = 0 (14.2)

unde P si Q sunt functii continue pe un domeniu D ⊂ R2.O astfel de ecuatie se poate scrie sub forma explicita daca se ımparte la

Q(x, y) ≠ 0. Reciproc, orice ecuatie explicita y′ = f(x, y) se poate scrie subforma (14.2) ın felul urmator:

dy

dx= −−f(x, y)Q(x, y)

Q(x, y)= −P (x, y)

Q(x, y), Q(x, y) ≠ 0

Teorema 14.1. Fie ecuatia diferentiala (14.2) unde P (x, y) si Q(x, y) suntfunctii continue cu derivatele partiale de ordinul ıntai continue ın domeniulD, care verifica pentru orice (x, y) ∈D relatia

∂P

∂y= ∂Q∂x

. (14.3)

Integrala generala a ecuatiei (14.2) este data de

∫x

x0P (t, y0)dt + ∫

y

y0Q(x, t)dt = C, (x0, y0) ∈D. (14.4)

14.2. ECUATII DE ORDINUL INTAI SUB FORMA EXPLICITA 183

Un caz particular al ecuatiei (14.2) este ecuatia diferentiala

P (x)dx +Q(y)dy = 0

unde P (x) este continua pe [a, b] si Q(y) este continua pe [c, d]. O astfelde ecuatie se numeste ecuatie cu variabile separate. Deoarece P si Qındeplinesc conditia (14.3) pentru orice (x, y) ∈ [a, b] × [c, d], integrala gene-rala este data de

∫x

x0P (t)dt + ∫

y

y0Q(t)dt = C, (x0, y0), (x, y) ∈ [a, b] × [c, d].

Daca Pdx+Qdy nu este diferentiala totala ın D, se cauta o functie µ(x, y)astfel ıncat expresia µ(x, y)[Pdx + Qdy] sa fie o diferentiala totala ın D.Impunand conditia (14.3), obtinem pentru µ ecuatia

µ(∂Q∂x

− ∂P∂y

) +Q∂µ∂x

− P ∂µ∂y

= 0 (14.5)

Functia µ(x, y) definita ın D si cu derivate partiale de ordinul ıntai con-tinue ın D si care verifica ecuatia (14.5) se numeste factor integrant alecuatiei (14.2).

Daca se cauta un factor integrant µ(x), ecuatia (14.5) se scrie

1

µ

dµ

dx= 1

Q(∂P∂y

− ∂Q∂x

)

Daca 1Q (∂P∂y −

∂Q∂x ) este functie numai de x, obtinem

lnµ = ∫1

Q(∂P∂y

− ∂Q∂x

)dx

In mod analog, daca se cauta un factor integrant µ(y), obtinem

lnµ = ∫1

P(∂Q∂x

− ∂P∂y

)dy

14.2.2 Ecuatii omogene si ecuatii reductibile la ecuatiiomogene

Definitia 14.4. O functie f(x, y) se numeste omogena de grad m ın x, ydaca

f(tx, ty) = tmf(x, y).


Daca punem t = 1x obtinem pentru o functie omogena relatia

f(x, y) = xmf (1,y

x)

Definitia 14.5. O ecuatie diferentiala de forma

dy

dx= P (x, y)Q(x, y)

(14.6)

unde P si Q sunt functii omogene de acelasi grad m, se numeste ecuatiediferentiala omogena.

Avem P (x, y) = xmP (1, yx), Q(x, y) = xmQ (1, yx), iar (14.6) devine

dy

dx=P (1, yx)Q (1, yx)

= f (yx) . (14.7)

Teorema 14.2. Daca ın ecuatia omogena (14.7) facem schimbarea de functiey = zx, ecuatia se transforma ın ecuatia cu variabile separate

dz

f(z) − z= dxx. (14.8)

Daca z0 este o radacina a ecuatiei f(z) − z = 0, atunci z = z0 este deasemenea o solutie a ecuatiei (14.8), adica dreapta y = z0x este o solutiesingulara a ecuatiei (14.7).

Consideram acum ecuatiile de forma

dy

dx= f ( ax + by + c

a′x + b′y + c′) (14.9)

unde a, b, c, a′, b′, c′ ∈ R. Avem urmatoarele situatii:

1. Daca c = c′ = 0, atunci ecuatia (14.9) devine

dy

dx= f ( ax + by

a′x + b′y)

care este o ecuatie omogena.

2. Daca c = c′ ≠ 0 si ab′ − a′b ≠ 0, facem schimbarea de variabila si defunctie u = x − x0, v = y − y0, unde (x0, y0) este o solutie a sistemului

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

ax + by + c = 0

a′x + b′y + c′ = 0

14.2. ECUATII DE ORDINUL INTAI SUB FORMA EXPLICITA 185

iar ecuatia (14.9) devine

dv

du= f ( au + bv

a′u + b′v)

care este o ecuatie omogena.

3. Daca c = c′ ≠ 0 si ab′ − a′b = 0, ecuatia (14.9) devine

dy

dx= f ( ax + by + c

k(ax + by) + c′)

unde k = a′a = b′

b , ecuatie care prin schimbarea de functie z = ax + by sereduce la ecuatia cu variabile separate

dz

bf ( z+ckz+c′ ) + a

= dx.

14.2.3 Ecuatii liniare de ordinul ıntai si ecuatii reduc-tibile la ecuatii liniare de ordinul ıntai

Definitia 14.6. O ecuatie de forma

dy

dx+ P (x)y +Q(x) = 0 (14.10)

unde P si Q sunt functii continue pe un interval [a, b], se numeste ecuatiediferentiala liniara de ordinul ıntai.

Daca Q(x) = 0 ın (14.10), ecuatia se numeste ecuatie liniara omo-gena.

Teorema 14.3. Solutia generala a ecuatiei liniare (14.10) este data de

y = e− ∫ P (x)dx [C − ∫ Q(x)e∫ P (x)dxdx] , x ∈ [a, b].


y′ + P (x)y +Q(x)yα = 0, α ∈ R∗, α ≠ 1

unde P si Q sunt functii continue pe un interval [a, b], se numeste ecuatieBernoulli

Teorema 14.4. O ecuatie Bernoulli se transforma ıntr-o ecuatie liniara cuajutorul schimbarii de functie y1−α = z.



y′ + P (x)y2 +Q(x)y +R(x) = 0

unde P,Q,R sunt functii continue pe un interval [a, b], se numeste ecuatieRiccati.

Teorema 14.5. Daca se cunoaste o solutie particulara y1 a unei ecuatiiRiccati, prin schimbarea de functie y = y1 + 1

z , ecuatia se transforma ıntr-oecuatie liniara.

14.3 Ecuatii diferentiale de ordinul ıntai sub

forma implicita

1. Ecuatii de formay = f(y′)

Notam y′ = p si obtinem solutia generala parametrica

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = ∫ 1pf

′(p)dp +Cy = f(p)

2. Ecuatii de formax = f(y′)

Notam y′ = p si obtinem solutia generala parametrica

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = f(p)y = ∫ pf ′(p)dp +C

3. Ecuatii de formaF (y, y′) = 0

Daca se cunoaste o reprezentare parametrica

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

u = ϕ(t)v = ψ(t)

, t ∈ [a, b]

a curbei F (u, v) = 0, atunci obtinem solutia generala parametrica

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = ∫ϕ′(t)ψ(t) dt +C

y = ϕ(t)

14.3. ECUATII DE ORDINUL INTAI SUB FORMA IMPLICITA 187

4. Ecuatii de formaF (x, y′) = 0

Daca se cunoaste o reprezentare parametrica

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

u = ϕ(t)v = ψ(t)

, t ∈ [a, b]

a curbei F (u, v) = 0, atunci obtinem solutia generala parametrica

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = ϕ(t)y = ∫ ϕ′(t)ψ(t)dt +C

5. Ecuatii Lagrange

A(y′)x +B(y′)y +C(y′) = 0

sau ımpartind prin B(y′) ≠ 0:

y = ϕ(y′)x + ψ(y′)

Notam y′ = p si dupa derivare ın raport cu x se obtine ecuatia liniara

dx

dp+ ϕ′(p)ϕ(p) − p

x + ψ′(p)ϕ(p) − p

= 0

daca ϕ(p) − p ≠ 0.

6. Ecuatii Clairauty = xy′ + ψ(y′)

care este o ecautie Lagrange particulara, pentru ϕ(p) = p. Procedandca mai sus se obtine

(x + ψ′(p))dpdx

= 0

care are solutia generala

y = Cx + ψ(C)

si solutia singulara⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = −ψ′(p)y = −pψ′(p) + ψ(p)


14.3.1 Existenta si unicitate

Pentru ecuatii diferentiale de ordinul ıntai avem urmatoarea teorema deexistenta si unicitate a solutiei problemei Cauchy corespunzatoare:

Teorema 14.6. Fie ecuatia diferentiala de ordinul ıntai y′ = f(x, y), unde fare derivata partiala ın raport cu y continua pe un domeniu dreptunghiularD = (x, y) ∈ R2∣a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d si fie (x0, y0) un punct ın interiorul luiD. Atunci exista δ > 0 si o unica functie ϕ ∶ (x0 − δ, x0 + δ) → R cu derivatacontinua astfel ıncat ϕ(x0) = y0 si

ϕ′(x) = f(x,ϕ(x)), ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ).

14.4 Ecuatii diferentiale de ordin superior

Definitia 14.9. 1. Functia y = ϕ(x,C1,C2, . . . ,Cn) se numeste solutiegenerala a ecuatiei diferentiale de ordinul n F (x, y, y′, . . . , y(n)) = 0 pedomeniul D ⊂ R2 daca ϕ este solutie a ecuatiei ın D si daca prin alege-rea convenabila a constantelor C1,C2, . . . ,Cn, functia ϕ(x,C1,C2, . . . ,Cn)se transforma ın orice solutie a ecuatiei al carei grafic se afla ın D.

2. Se numeste solutie particulara a ecuatiei F (x, y, y′) = 0 o functie y =ϕ0(x), x ∈ [a, b] care se obtine din solutia generala y = ϕ(x,C1,C2, . . . ,Cn)dand valoari particulare constantelor arbitrare C1,C2, . . . ,Cn.

3. O solutie generala scrisa sub forma implicita ψ(x, y,C1,C2, . . . ,Cn) = 0se numeste integrala generala.

4. Graficul unei solutii particulare a unei ecuatii diferentiale de ordinulıntai este o curba plana, numita curba integrala.

Solutia generala a unei ecuatii diferentiale poate fi data si parametric

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = ϕ(t,C1,C2, . . . ,Cn)y = ψ(t,C1,C2, . . . ,Cn)

, t ∈ [a, b]

Definitia 14.10. Problema determinarii solutiei y = y(x) a ecuatiei F (x, y, y′, . . . , y(n)) = 0astfel ıncat pentru x = x0 functia y(x) si derivatele ei y′, . . . , y(n) sa ia valorile

y(x0) = a0, y′(x0) = a1, . . . , y

(n−1)(x0) = an−1 (14.11)

se numeste problema lui Cauchy. Conditiile (14.11) se numesc conditiiinitiale.

14.4. ECUATII DIFERENTIALE DE ORDIN SUPERIOR 189

14.4.1 Ecuatii diferentiale de ordinul n liniare

Definitia 14.11. 1. O ecuatie de forma

a0(x)y(n) + a1(x)y(n−1) + ⋅ ⋅ ⋅ + an−1(x)y′ + an(x)y = f(x)

se numeste ecuatie diferentiala de ordinul n liniara si neomo-gena;

2. O ecuatie de forma

a0(x)y(n) + a1(x)y(n−1) + ⋅ ⋅ ⋅ + an−1(x)y′ + an(x)y = 0

se numeste ecuatie diferentiala de ordinul n liniara si omo-gena.

Definitia 14.12. Fie y1(x), y2(x), . . . , yn(x) functii reale pe un interval [a, b].Spunem ca aceste functii sunt liniar independente pe [a, b] daca

λ1y1(x) + λ2y2(x) + ⋅ ⋅ ⋅ + λnyn(x) = 0, ∀x ∈ [a, b] ⇒ λ1 = λ2 = ⋅ ⋅ ⋅ = λn = 0.

Definitia 14.13. Fie y1(x), y2(x), . . . , yn(x) functii reale pe un interval [a, b],cu derivate continue pana la ordinul n − 1 inclusiv. Determinantul

W (y1, y2, . . . , yn) =

RRRRRRRRRRRRRRRRRRR

y1 y2 . . . yny′1 y′2 . . . y′n⋮ ⋮ ⋱ ⋮

y(n−1)1 y

(n−1)2 . . . y

(n−1)n

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRse numeste determinantul lui Wronski sau wronskianul functiilor y1, y2, . . . , yn.

Teorema 14.7. Daca functiile y1(x), y2(x), . . . , yn(x) cu derivate continuepana la ordinul n−1 inclusiv pe [a, b] sunt liniar dependente pe [a, b], atunciwronskianul lor este nul ın orice punct din [a, b].

Teorema 14.8. Fie ecuatia diferentiala liniara de ordinul n omogena

y(n) + a1(x)y(n−1) + ⋅ ⋅ ⋅ + an−1(x)y′ + an(x)y = 0 (14.12)

cu a1(x), . . . , an(x) functii continue pe [a, b]. Consideram y1, y2, . . . , yn solutiiale acestei ecuatii, definite pe [a, b]. Daca wronskianul functiilor y1, y2, . . . , ynnu este identic nul pe [a, b], atunci orice solutie a ecuatiei (14.12) pe [a, b]este de forma

y = C1y1 +C2y2 + ⋅ ⋅ ⋅ +Cnyn, x ∈ [a, b] (14.13)

unde C1,C2, . . . ,Cn sunt constante. Functia data de (14.13) se numestesolutia generala a ecuatiei (14.12) pe [a, b].


Un sistem de solutii y1, y2, . . . , yn ale ecuatiei (14.12) cuW (y1, y2, . . . , yn) ≠0 pe [a, b] se numeste sistem fundamental de solutii al ecuatiei (14.12).

Teorema 14.9. Fie ecuatia diferentiala liniara de ordinul n neomogena

y(n) + a1(x)y(n−1) + ⋅ ⋅ ⋅ + an−1(x)y′ + an(x)y = f(x). (14.14)

Solutia generala a acestei ecuatii se obtine adaugand la solutia generala aecuatiei omogene corespunzatoare o solutie particulara a ecuatiei neomogene:

y = C1y1 +C2y2 + ⋅ ⋅ ⋅ +Cnyn + yp, x ∈ [a, b] (14.15)

Ecuatii diferentiale de ordinul n liniare cu coeficienti constantiFie ecuatia

a0y(n) + a1y

(n−1) + ⋅ ⋅ ⋅ + an−1y′ + any = 0 (14.16)

cu a0, a1, . . . , an ∈ R, a0 ≠ 0. Pentru o astfel de ecuatie se cauta solutii deforma Cerx, C ≠ 0. Inlocuind ın ecuatie obtinem pentru r ecuatia

a0rn + a1r

n−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + an−1r + an = 0

numita ecuatia caracteristica a ecuatiei (14.16).

Teorema 14.10. Daca ecuatia caracteristica are radacinile reale distincter1, r2, . . . , rn, atunci functiile

y1 = er1x, y2 = er2x, . . . , yn = ernx, x ∈ R

formeaza un sistem fundamental de solutii pentru ecuatia (14.16).

Teorema 14.11. Daca ecuatia caracteristica are radacinile complexe simple

rk = αk + iβk, rk = αk − iβk, k = 1, . . . ,m, n = 2m

atunci functiile

yk = eαkx cosβkx, y∗k = eαkx sinβkx, k = 1, . . . ,m

formeaza un sistem fundamental de solutii ale ecuatiei (14.16).

Teorema 14.12. Daca ecuatia caracteristica are radacina reala r = α mul-tipla de ordinul n, atunci functiile

y1 = eαx, y2 = xeαx, . . . , yn = xn−1eαx, x ∈ R

formeaza un sistem fundamental de solutii pentru ecuatia (14.16).

14.4. ECUATII DIFERENTIALE DE ORDIN SUPERIOR 191

Teorema 14.13. Daca ecuatia caracteristica are radacina complexa r = α +iβ multipla de ordinul m, atunci functiile

yk = xk−1eαkx cosβkx, y∗k = xk−1eαkx sinβkx, k = 1, . . . ,m

formeaza un sistem fundamental de solutii ale ecuatiei (14.16).

Observatie

Din teoremele anterioare rezulta care sunt solutiile din sistemul fundamen-tal de solutii corespunzator fiecarei radacini a ecuatiei caracteristice. Apoi sescrie solutia generala a ecuatiei omogene ca o combinatie liniara a solutiilordin sistemul fundamental.

Pentru determinarea unei solutii particulare a ecuatiei neomogene

a0y(n) + a1y

(n−1) + ⋅ ⋅ ⋅ + an−1y′ + any = f(x) (14.17)

se poate folosi metoda variatiei constantelor.

In unele cazuri este convenabil sa se foloseasca metoda coeficientilornedeterminati:

a) Daca f(x) este un polinom de grad m, solutia particulara se cauta deforma unui polinom de grad m, yp = Qm(x) daca an ≠ 0. Daca

an = 0, an−1 = 0, . . . , an−k+1 = 0, an−k ≠ 0

se alege un polinom de grad m + k yp = Qm+k(x).

b) Daca f(x) = eαxPm(x), solutia particulara se cauta de aceeasi forma yp =eαxQm(x). Daca α este o radacina de ordinul k a ecuatiei caracteristice,atunci se ia yp = xkeαxQm(x)

c) Daca f(x) = Pm(x) cosαx +Qm(x) sinαx, solutia particulara se cauta deaceeasi forma yp = P ∗

m(x) cosαx +Q∗m(x) sinαx. Daca iα este o radacina

de ordinul k a ecuatiei caracteristice, atunci se ia yp = xkP ∗m(x) cosαx +

xkQ∗m(x) sinαx

d) Daca f(x) = Pm(x)eαx cosβx + Qm(x)eαx sinβx, solutia particulara secauta de aceeasi forma yp = P ∗

m(x)eαx cosβx + Q∗m(x)eαx sinβx. Daca

α + iβ este o radacina de ordinul k a ecuatiei caracteristice, atunci se iayp = xkP ∗

m(x)eαx cosβx + xkQ∗m(x)eαx sinβx


14.5 Exercitii

1. Sa se rezolve urmatoarele ecuatii diferentiale cu variabile separabile:

(a) y′ = x(2 lnx+1)siny+y cosy

(b) y − xy′ = y2 + y′

(c) y′ = e2x−3y

(d) xyy′ = 1 + x + y + xy

(e) yy′x =

√1 + x2 + y2 + x2y2

(f) ey(1 + x2)y′ − 2x(1 + ey) = 0

2. Sa se rezolve urmatoarele probleme Cauchy:

(a)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

(y2 + 1)xdx + (x + 1)ydy = 0

y(0) = 1

(b)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

3ex

1+exdx +2

sin 2ydy = 0

y(0) = π4

(c)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

(1 + x3)dy − x2ydx = 0

y(1) = 2

3. Sa se rezolve urmatoarele ecuatii cu diferentiala totala:

(a) (2xy − 2y3)dx + (x2 − 6xy2)dy = 0

(b) (5x4 + 3x2y2 − 2xy3)dx + (2x3y − 3x2y2 − 5y4)dy = 0

(c) (y cosx + 1)dx + sinxdy = 0

4. Folosind un multiplicator µ(x) sa se integreze ecuatia

(x sin y + y cos y)dx + (x cos y − y sin y)dy = 0

R: ex [(x − 1) sin y + y cos y] = C

5. Determinand mai ıntai un factor integrant functie numai de y, sa seintegreze ecuatia

(1 + 3x2 sin y)dx − xctgydy = 0

R: x3 + xsiny = C

14.5. EXERCITII 193

6. Sa se integreze ecuatia diferentiala omogena

ydx + (2√xy − x)dy = 0

R: ln ∣y∣ +√

xy = C

7. Sa se integreze ecuatia diferentiala

dy

dx= −2 ⋅ x − 2y + 1

5x − y − 4, 5x − y − 4 ≠ 0

si sa se afle curba care trece prin punctul (1,2).R: (x + y − 2)2 = C(2x − y − 1); C = −1

8. Sa se integreze ecuatia

dy

dx= x − 2y + 9

3x − 6y + 19, 3x − 6y + 19 ≠ 0

R: x − 3y + 8 ln ∣x − 2y + 1∣ = C

9. Sa se rezolve urmatoarele ecuatii diferentiale liniare:

(a) x(1 − x2)y′ + (2x2 − 1)y = x3

(b) dydx +

yx = x3 − 3

(c) x lnx dydx + y = 2 lnx

(d) cos2 xy′ + y = tgx

(e) (1 + x3)y′ + 6x2y = 1 + x2

(f) x2y′ = 3x2 − 2xy + 1

(g)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y′ + yctgx = 4xsinx

y (π2 ) = 0

Partea III

Algebra liniara

195

Capitolul 15

Matrice. Determinanti.Sisteme de ecuatii liniare

15.1 Matrice. Determinanti

Definitia 15.1. Se numeste matrice reala cu m linii si n coloane o functiecare asociaza fiecarei perechi (i, j), i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n un unic numarreal aij. Se foloseste notatia

A =⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮am1 am2 . . . amn

⎞⎟⎟⎟⎠.

Multimea tuturor matricelor reale cu m linii si n coloane o vom notaprinMm,n(R). Numerele aij, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n se numesc elementelematricei.

Dupa cum sunt numerele m si n, putem defini urmatoarele tipuri dematrice:

daca m = n, matricea se numeste matrice patratica

daca m = 1, matricea se numeste matrice linie

daca n = 1, matricea se numeste matrice coloana

Se numeste matrice nula o matrice care are toate elementele 0.Matricea patratica

In =⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 . . . 00 1 . . . 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 . . . 1

⎞⎟⎟⎟⎠

197

198 CAPITOLUL 15. MATRICE. DETERMINANTI. SISTEME

se numeste matrice unitate de ordinul n.

Definitia 15.2. Prin suma a doua matrice A,B ∈ Mm,n(R) ıntelegem onoua matrice C = A+B ∈Mm,n(R) ale carei elemente sunt suma elementelorcorespunzatoare din cele doua matrice:

cij = aij + bij, ∀i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n.

Definitia 15.3. Prin produsul matricei A ∈Mm,n(R) cu scalarul α ∈ Rse ıntelege o noua matrice, de aceleasi dimensiuni, obtinuta prin ınmultireatuturor elementelor lui A cu scalarul α:

αA =⎛⎜⎜⎜⎝

αa11 αa12 . . . αa1n

αa21 αa22 . . . αa2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮αam1 αam2 . . . αamn

⎞⎟⎟⎟⎠.

Teorema 15.1. Fie A,B,C ∈Mm,n(R) si α,β ∈ R. Atunci avem:

a. A +B = B +A;

b. (A +B) +C = A + (B +C);

c. A + 0 = A;

d. α(A +B) = αA + αB;

e. (α + β)A = αA + βA;

f. α(βA) = (αβ)A.

Definitia 15.4. Prin produsul matricelor A ∈Mm,n(R) si B ∈Mn,p(R)se ıntelege o noua matrice C = AB, ale carei elemente sunt date prin:

cij =n

∑k=1

aikbkj, ∀i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , p.

Teorema 15.2. Fie A ∈ Mm,n(R), B,C matrice ale caror dimensiuni sapermita efectuarea operatiilor indicate, si α ∈ R. Atunci avem:

a. A(BC) = (AB)C;

b. A(B +C) = AB +AC;

c. (B +C)A = BA +CA;

d. α(AB) = (αA)B = A(αB);

15.1. MATRICE. DETERMINANTI 199

e. ImA = AIn.

Definitia 15.5. Pentru o matrice A ∈Mm,n(R), se numeste transpusa luiA, matricea obtinuta prin interschimbarea liniilor si coloanelor lui A:

AT =⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a21 . . . am1

a12 a22 . . . am2

⋮ ⋮ ⋱ ⋮a1n a2n . . . amn

⎞⎟⎟⎟⎠∈Mn,m(R)

Teorema 15.3. Fie A,B doua matrice ale caror dimensiuni sa permita efec-tuarea operatiilor indicate, si α ∈ R. Atunci avem:

1. (AT )T = A;

2. (A +B)T = AT +BT ;

3. (αA)T = αAT ;

4. (AB)T = BTAT .

O matrice patratica A care are proprietatea ca A = AT se numeste matricesimetrica.

Definitia 15.6. Fie o matrice patratica A ∈Mn(R). Se numeste determi-nant al matricei A, si se noteaza cu detA, un numar real definit recurentın felul urmator:

(i) daca n = 2, atunci

detA = ∣ a11 a12

a21 a22∣ = a11a22 − a12a21;

(ii) daca n > 2, atunci

detA =n

∑i=1

(−1)1+ia1iD1i = a11D11 − a12D12 + ⋅ ⋅ ⋅ + (−1)1+na1nD1n

unde D1i este determinantul matricei patratice de ordinul n−1 obtinutaprin eliminarea primei linii si a coloanei i din matricea A, pentru i =1,2, . . . , n.

Pentru n = 3 se obtine regula lui Sarrus :

RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

RRRRRRRRRRRRRR= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23

− a13a22a31 − a23a32a11 − a33a12a21.


Numarul Aij = (−1)i+jDij se numeste complement algebric corespunzatorliniei i si coloanei j, pentru i, j = 1, . . . , n. Folosind complementii algebricicorespunzatori unei linii sau unei coloane, putem calcula determinantul uneimatrice printr-o formula asemanatoare celei din definitie, dezvoltand dupa olinie sau coloana oarecare a matricei.

Teorema 15.4. Fie A ∈ Mn(R). Atunci pentru i, j ∈ 1,2, . . . , n fixatiavem:

detA =n

∑k=1

aikAik = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ainAin

=n

∑k=1

akjAkj = a1jA1j + a2jA2j + ⋅ ⋅ ⋅ + anjAnj.

Teorema 15.5. Fie A,B ∈Mn(R). Atunci:

1. detAT = detA;

2. detAB = detAdetB.

Teorema 15.6. Fie A ∈Mn(R). Atunci avem:

(i) daca matricea B este obtinuta prin adaugarea la o linie a lui A a uneialte linii ınmultita cu o constanta, atunci

detB = detA;

(ii) daca matricea B este obtinuta prin interschimbarea a doua linii ale luiA, atunci

detB = −detA;

(iii) daca matricea B este obtinuta prin ınmultirea unei linii a lui A cu oconstanta α ∈ R, atunci

detB = αdetA.

Observatie 2. Aceleasi proprietati raman valabile daca operatiile de mai susse efectueaza asupra coloanelor matricii A.

Definitia 15.7. O matrice patratica A ∈Mn(R) se numeste nesingularadaca are determinantul nenul, si se numeste singulara daca detA = 0.

Definitia 15.8. Fie A ∈Mn(R) o matrice nesingulara. Se numeste matriceinversa a lui A o matrice A−1 ∈Mn(R) cu proprietatea ca

AA−1 = A−1A = In.

15.2. SISTEME DE ECUATII LINIARE 201

Teorema 15.7. Fie A ∈ Mn(R) o matrice nesingulara. Atunci inversaacesteia este data prin:

A−1 = 1

detA

⎛⎜⎜⎜⎝

A11 A21 . . . An1

A12 A22 . . . An2

⋮ ⋮ ⋱ ⋮A1n A2n . . . Ann

⎞⎟⎟⎟⎠.

Matricea de mai sus se noteaza cu

A∗ =⎛⎜⎜⎜⎝

A11 A21 . . . An1

A12 A22 . . . An2

⋮ ⋮ ⋱ ⋮A1n A2n . . . Ann

⎞⎟⎟⎟⎠

si se numeste matrice adjuncta a lui A.

Definitia 15.9. Fie A ∈Mm,n(R) si p ≤ min(m,n).

I. Se numeste minor de ordinul p al matricii A, orice determinant alunei matrice obtinute prin intersectarea a p linii si p coloane din A;

II. Se numeste rangul matricei A, ordinul maxim al minorilor nenuli ailui A.

Operatiile care pastreaza rangul unei matrice se numesc transformari ele-mentare si sunt urmatoarele:

- ınmultirea unei linii cu o constanta nenula

- interschimbarea a doua linii

- adunarea unei linii ınmultita cu o constanta la o alta linie

precum si operatiile analoage pe coloane.

15.2 Sisteme de ecuatii liniare

Se numeste sistem de ecuatii liniare un sistem de forma

(S)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

a11x1 + a12x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a2nxn = b2

⋮am1x1 + am2x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + amnxn = bm

(15.1)


Matricele formate cu ajutorul coeficientilor sistemului

A =⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮am1 am2 . . . amn

⎞⎟⎟⎟⎠, A =

⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1n b1

a21 a22 . . . a2n b2

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮am1 am2 . . . amn bm

⎞⎟⎟⎟⎠

se numesc matricea sistemului , respectiv matricea extinsa a sistemului .

Daca toti termenii liberi sunt nuli (b1 = b2 = ⋅ ⋅ ⋅ = bm = 0), sistemul senumeste omogen.

Rangul matricei A se numeste rangul sistemului .

Daca exista x1, x2, . . . , xn ∈ R care verifica (15.1), spunem ca sistemuleste compatibil , iar valorile care satisfac ecuatiile sistemului se numescsolutii.

A rezolva un sistem de ecuatii ınseamna a gasi solutii (x1, x2, . . . , xn) ∈Rn.

In cazul ın care numarul ecuatiilor este egal cu numarul necunoscutelor(m = n), pentru rezolvarea sistemului se poate folosi regula lui Cramer

Teorema 15.8 (Regula lui Cramer). Fie sistemul cu n ecuatii si n necunos-cute

(S)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

a11x1 + a12x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a2nxn = b2

⋮an1x1 + an2x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + annxn = bn

Daca detA ≠ 0, atunci sistemul este compatibil si are solutia unica

x1 =D1

D,x2 =

D2

D, . . . , xn =

Dn

D

unde D = detA, iar Di este determinantul matricei obtinuta prin ınlocuireaın matricea A a coloanei i cu coloana termenilor liberi, pentru i = 1,2, . . . , n.

Sistemul (15.1) poate fi rescris ın forma matriceala

⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮am1 am2 . . . amn

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

⋮xn

⎞⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎝

b1

b2

⋮bm

⎞⎟⎟⎟⎠

15.3. EXERCITII 203

sau pe scurt Ax = b, unde

x = ( x1 x2 . . . xn )T ∈Mn,1(R) si b = ( b1 b2 . . . bm )T ∈Mm,1(R).

Daca A este matrice patratica nesingulara, atunci solutia sistemului estedata de

x = A−1b.

Teorema 15.9 (Kronecker-Capelli). Sistemul (15.1) este compatibil daca sinumai daca matricele A si A au acelasi rang.

Observatii:

Intrucat matricea extinsa A este obtinuta prin adaugarea unei coloanela matricea A, ın general avem ca rang(A) ≥rang(A). Asadar un sis-tem este incompatibil daca prin adaugarea coloanei termenilor liberi semareste rangul matricei.

Fie un sistem compatibil, r =rang(A) =rang(A) si un minor nenul deordin r al matriceiA. Necunoscutele corespunzatoare coloanelor acestuiminor le vom numi necunoscute principale, iar celelalte se vor numinecunoscute secundare. De asemenea, ecuatiile corespunzatoare liniiloracestui minor le vom numi ecuatii principale.

Solutiile sistemului se obtin parametrizand necunoscutele secundare sirezolvand sistemul format din ecuatiile principale si necunoscutele prin-cipale.

15.3 Exercitii

1. Sa se efectueze diverse operatii cu matricele:

A = ( 2 0 −14 −5 2

) ,B =⎛⎜⎝

7 1−5 −41 −3

⎞⎟⎠,C = ( 1 2

−2 1) ,

D = ( 3 5−1 4

) ,E = ( −53

)

2. a) Fie A = ( 2 5−3 1

), B = ( 4 −53 k

). Calculati k astfel ıncat AB =

BA.


b) Fie A = ( 2 −3−4 6

), B = ( 8 45 5

) si C = ( 5 −23 1

). Sa se verifice

ca AB = AC, desi B ≠ C.

3. Sa se calculeze determinantii:

a)

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

1 0 0 −12 3 4 7−3 4 5 9−4 −5 6 1

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

; b)

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

3 −1 5 22 0 7 0−3 1 2 05 −4 1 2

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

; c)

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR

1 2 3 4 52 1 2 3 40 2 1 2 30 0 2 1 20 0 0 2 1

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR: a) 216; b) -106; c) -11

4. Sa se calculeze rangul matricelor:

a)

⎛⎜⎜⎜⎝

2 0 2 0 20 1 0 1 02 1 0 2 10 1 0 1 0

⎞⎟⎟⎟⎠

; b)

⎛⎜⎜⎜⎝

2 1 3 −13 −1 2 01 3 4 −24 −3 1 1

⎞⎟⎟⎟⎠

; c)

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 0 1 0 01 1 0 0 00 1 1 0 00 0 1 1 00 1 0 1 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

R: a) 3; b) 2; c) 5

5. Sa se calculeze inversele urmatoarelor matrice:

a)⎛⎜⎝

2 3 40 1 12 2 −1

⎞⎟⎠

; b)⎛⎜⎝

2 4 64 2 81 3 5

⎞⎟⎠

; c)

⎛⎜⎜⎜⎝

3 −2 0 −10 2 2 11 −2 −3 −20 1 2 1

⎞⎟⎟⎟⎠

;

d)

⎛⎜⎜⎜⎝

2 3 4 53 3 4 54 4 4 55 5 5 5

⎞⎟⎟⎟⎠

R: a) −18

⎛⎜⎝

−3 11 −12 −10 −2−2 2 2

⎞⎟⎠

; b) − 116

⎛⎜⎝

−14 −2 20−12 4 810 −2 −12

⎞⎟⎠

;

c)

⎛⎜⎜⎜⎝

1 1 −2 −40 1 0 −1−1 −1 3 62 1 −6 −10

⎞⎟⎟⎟⎠

; d)

⎛⎜⎜⎜⎝

−1 1 0 01 −2 1 00 1 −2 10 0 1 −4

5

⎞⎟⎟⎟⎠

6. Sa se rezolve urmatoarele sisteme de ecuatii liniare:

a)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

2x1 + x2 + x3 = 2

x1 + 3x2 + x3 = 5

x1 + x2 + 5x3 = −7

2x1 + 3x2 − 3x3 = 14

; b)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 11

2x1 + 3x2 + 4x3 + x4 = 12

3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 13

4x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 14

;

15.3. EXERCITII 205

c)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 4

x2 − x3 + x4 = −3

x1 + 3x2 − 3x4 = 1

−7x2 + 3x3 + x4 = −3

; d)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

(3 − 2λ)x1 + (2 − λ)x2 + x3 = λ(2 − λ)x1 + (2 − λ)x2 + x3 = 1

x1 + x2 + (2 − λ)x3 = 1

R: a) (1,2,−2); b) (2,1,1,1); c) (−8,3 + α,6 + 2α,α), α ∈ R.d) Matricea sistemului si matricea extinsa sunt

A =⎛⎜⎝

3 − 2λ 2 − λ 12 − λ 2 − λ 1

1 1 2 − λ

⎞⎟⎠, A =

⎛⎜⎝

3 − 2λ 2 − λ 1 λ2 − λ 2 − λ 1 1

1 1 2 − λ 1

⎞⎟⎠

detA = (3 − 2λ)(2 − λ)2 + (2 − λ) + (2 − λ) − (2 − λ) − (3 − 2λ) − (2 − λ)3

= (2 − λ)2(3 − 2λ − 2 + λ) + λ − 1 = (2 − λ)2(1 − λ) − (1 − λ) == (1 − λ)[(2 − λ)2 − 1] = (1 − λ)(λ2 − 4λ + 3) = (1 − λ)(1 − λ)(3 − λ)= (1 − λ)2(3 − λ).

Distingem urmatoarele cazuri:

I. λ ∈ R ∖ 1,3⇒ detA ≠ 0

II. λ = 1⇒ detA = 0

III. λ = 3⇒ detA = 0

Cazul I: Daca λ ∈ R∖ 1,3⇒ detA ≠ 0, deci sistemul este compatibildeterminat, solutia unica fiind gasita cu regula lui Cramer:

x1 = 1

detA

RRRRRRRRRRRRRR

λ 2 − λ 11 2 − λ 11 1 2 − λ

RRRRRRRRRRRRRR= ⋅ ⋅ ⋅ = (1 − λ)2(λ − 3)

(1 − λ)2(3 − λ)= −1

x2 = 1

detA

RRRRRRRRRRRRRR

3 − 2λ λ 12 − λ 1 1

1 1 2 − λ

RRRRRRRRRRRRRR= ⋅ ⋅ ⋅ = (1 − λ)2(4 − λ)

(1 − λ)2(3 − λ)= 4 − λ

3 − λ

x3 = 1

detA

RRRRRRRRRRRRRR

3 − 2λ 2 − λ λ2 − λ 2 − λ 1

1 1 1

RRRRRRRRRRRRRR= ⋅ ⋅ ⋅ = (1 − λ)2

(1 − λ)2(3 − λ)= 1

3 − λ

Cazul II: Daca λ = 1, sistemul initial

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

(3 − 2λ)x1 + (2 − λ)x2 + x3 = λ(2 − λ)x1 + (2 − λ)x2 + x3 = 1

x1 + x2 + (2 − λ)x3 = 1

devine

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x1 + x2 + x3 = 1

x1 + x2 + x3 = 1

x1 + x2 + x3 = 1


Avem rangA =rangA = 1, deci sistemul este compatibil dublu nedeter-minat.Alegem x1 necunoscuta principala si x2 = α, x3 = β necunoscute secun-dare. Se obtine x1 = 1 − α − β, deci multimea solutiilor este

S = (x1, x2, x3) = (1 − α − β,α, β) ∈ R3∣α,β ∈ R

Cazul III: Daca λ = 3, sistemul initial devine⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

−3x1 − x2 + x3 = 3

−x1 − x2 + x3 = 1

x1 + x2 − x3 = 1

, matricea extinsa A =⎛⎜⎝

−3 −1 1 3−1 −1 1 11 1 −1 1

⎞⎟⎠

are rangul 3, iar rangA = 2, deci sistemul este incompatibil.

Capitolul 16

Spatii vectoriale

16.1 Definitii si exemple

Definitia 16.1. O multime nevida V se numeste spatiu vectorial real dacape V sunt definite doua operatii:

o operatie interna (adunarea):

+ ∶ V × V → V ; (x, y)→ x + y

o operatie externa (ınmultirea cu scalari):

⋅ ∶ R × V → V ; (α,x)→ α ⋅ x

care satisfac urmatoarele axiome:

1. (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ V

2. ∃ 0V ∈ V astfel ıncat x + 0V = 0V + x = x, ∀x ∈ V

3. ∀x ∈ V, ∃ − x ∈ V ∶ x + (−x) = (−x) + x = 0V

4. x + y = y + x, ∀x, y ∈ V

5. α(βx) = (αβ)x, ∀α,β ∈ R, x ∈ V

6. α(x + y) = αx + αy, ∀α ∈ R, x, y ∈ V

7. (α + β)x = αx + βx, ∀α,β ∈ R, x ∈ V

8. 1 ⋅ x = x, ∀x ∈ V

207

208 CAPITOLUL 16. SPATII VECTORIALE

Proprietati:

Elementele unui spatiu vectorial se numesc vectori ;

Numerele reale cu care operam asupra vectorilor le vom numi scalari ;

Vectorul 0V se numeste vectorul nul ;

Vectorul −x se va numi opusul vectorului x.

Din axiomele definitiei spatiului vectorial, rezulta urmatoarele consecinte:

1. 0 ⋅ x = 0V , ∀x ∈ V

2. α ⋅ 0V = 0V ,∀α ∈ R

3. (−1) ⋅ x = −x, ∀x ∈ V

4. αx = 0V ⇒ α = 0 sau x = 0V , α ∈ R, x ∈ V

5. αx = βx⇒ α = β, α, β ∈ R, x ∈ V ∖ 0V

6. αx = αy⇒ x = y, α ∈ R ∖ 0, x, y ∈ V

Exemple de spatii vectoriale reale:

1. Rn, ımpreuna cu operatiile:

(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)

α(x1, x2, . . . , xn) = (αx1, αx2, . . . , αxn)

2. Rn[X], multimea polinoamelor de grad cel mult n, ımpreuna cu adu-narea polinoamelor si ınmultirea polinoamelor cu scalari;

3. Mm,n(R) ımpreuna cu adunarea matricelor si ınmultirea matricelor cuscalari

4. C0[a,b], multimea functiilor reale continue definite pe intervalul [a, b],

ımpreuna cu adunarea functiilor si ınmultirea functiilor cu scalari

16.2. SUBSPATII VECTORIALE 209

16.2 Subspatii vectoriale

Definitia 16.2. Fie V un spatiu vectorial. O submultime nevida U ⊂ V senumeste subspatiu vectorial al lui V daca

1. u + v ∈ U, ∀u, v ∈ U ;

2. αv ∈ U, ∀α ∈ R, v ∈ U .

Teorema 16.1. Fie V un spatiu vectorial. O submultime nevida U ⊂ V estesubspatiu vectorial al lui V daca si numai daca

αu + βv ∈ U, ∀α,β ∈ R, u, v ∈ U.

Multimea V si multimea 0V sunt subspatii vectoriale.Exemplu: Multimea

U = (x1, x2, x3) ∈ R3∣x1 − x2 + x3 = 0

este un subspatiu vectorial al lui R3.Demonstratie: Fie x, y ∈ U si α,β ∈ R. Vom arata ca αx + βy ∈ U .

x = (x1, x2, x3) ∈ U ⇒ x1 − x2 + x3 = 0

y = (y1, y2, y3) ∈ U ⇒ y1 − y2 + y3 = 0

αx+ βy = (αx1, αx2, αx3)+ (βy1, βy2, βy3) = (αx1 + βy1, αx2 + βy2, αx3 + βy3)

Verificam daca vectorul αx + βy ındeplineste conditia din definitia lui U :

(αx1 + βy1) − (αx2 + βy2) + (αx3 + βy3) = αx1 − αx2 + αx3 + βy1 − βy2 + βy3

= α(x1 − x2 + x3) + β(y1 − y2 + y3) = α ⋅ 0 + β ⋅ 0 = 0.

Teorema 16.2. Fie U1 si U2 doua subspatii vectoriale ale spatiului vectorialV . Atunci U1 ∩U2 este subspatiu vectorial al lui V .

Demonstratie:Deoarece 0V ∈ U1 si 0V ∈ U2, rezulta ca 0V ∈ U1 ∩U2, asadar U1 ∩U2 ≠ ∅.Fie x, y ∈ U1 ∩U2 si α,β ∈ R. Cum U1 si U2 sunt subspatii vectoriale, avem

x, y ∈ U1 ⇒ αx + βy ∈ U1

x, y ∈ U2 ⇒ αx + βy ∈ U2

de unde rezulta ca αx + βy ∈ U1 ∩U2.


Observatie 3. Reuniunea U1 ∪U2 nu este subspatiu vectorial al lui V .

Definitia 16.3. Fie U1 si U2 doua subspatii vectoriale ale spatiului vectorialV . Multimea

U1 +U2 = v ∈ V ∣v = v1 + v2, v1 ∈ U1, v2 ∈ U2

se numeste suma subspatiilor U1 si U2.

Teorema 16.3. Suma U1+U2 a subspatiilor U1 si U2 ale unui spatiu vectorialV este de asemenea subspatiu vectorial al lui V .

Demonstratie: Fie u, v ∈ U1 +U2 si α,β ∈ R. Atunci avem:

u = u1 + u2, cu u1 ∈ U1 si u2 ∈ U2

v = v1 + v2, cu v1 ∈ U1 si v2 ∈ U2

U1 si U2 fiind subspatii vectoriale ale lui V , rezulta ca

αu1 + βv1 ∈ U1 si αu2 + βv2 ∈ U2.

Deciαu + βv = α(u1 + u2) + β(v1 + v2) =

= (αu1 + βv1) + (αu2 + βv2) ∈ U1 +U2

adica U1 +U2 este subspatiu vectorial al lui V .

Definitia 16.4. Fie U1 si U2 doua subspatii vectoriale ale spatiului vecto-rial V . Daca U1 ∩ U2 = 0V , atunci U1 + U2 se numeste suma directa asubspatiilor U1 si U2, si se noteaza cu U1 ⊕U2.Daca ın plus U1 ⊕U2 = V , atunci spunem ca U1 si U2 sunt subspatii com-plementare.

Definitia 16.5. Spunem ca un vector v ∈ V este o combinatie liniara avectorilor v1, v2, . . . , vn ∈ V daca exista scalarii α1, α2, . . . , αn ∈ R astfel ıncat

v = α1v1 + α2v2 + ⋅ ⋅ ⋅ + αnvn

Teorema 16.4. Fie vectorii v1, v2, . . . , vn ∈ V . Atunci multimea tuturorcombinatiilor liniare ale acestor vectori

Spv1, . . . , vn = v =n

∑i=1

αivi∣αi ∈ R, i = 1, . . . , n

este un subspatiu al lui V si se numeste subspatiul generat de v1, v2, . . . , vn.

16.3. DEPENDENTA LINIARA. BAZA. DIMENSIUNE 211

Definitia 16.6. Spunem ca vectorii v1, v2, . . . , vn ∈ V formeaza un sistemde generatori pentru V daca subspatiul generat de acesti vectori coincidecu V . Cu alte cuvinte,

∀v ∈ V, ∃α1, . . . , αn ∈ R astfel ıncat v = α1v1 + ⋅ ⋅ ⋅ + αnvn

Exemple:

1. In R3, vectorii e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1) formeaza unsistem de generatori.

2. In Rn[X], vectorii 1,X,X2, . . . ,Xn constituie un sistem de generatori

Exemplu: Sistemul de vectori

S = v1 = (1,1,1), v2 = (0,1,1), v3 = (0,0,1)

formeaza un sistem de generatori pentru R3.Demonstratie: Fie x = (x1, x2, x3) ∈ R3. Trebuie sa aratam ca exista scalariiα1, α2, α3 ∈ R astfel ıncat

x = α1v1 + α2v2 + α3v3 = α1(1,1,1) + α2(0,1,1) + α3(0,0,1)

sau (x1, x2, x3) = (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3). Rezolvand sistemul

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α1 = x1

α1 + α2 = x2

α1 + α2 + α3 = x3

obtinem α1 = x1, α2 = x2 − x1, α3 = x3 − x2.

16.3 Dependenta liniara. Baza. Dimensiune

Definitia 16.7. Spunem ca vectorii v1, v2, . . . , vn ∈ V sunt liniar independentidaca are loc implicatia:

α1v1 + α2v2 + ⋅ ⋅ ⋅ + αnvn = 0V ⇒ α1 = α2 = ⋅ ⋅ ⋅ = an = 0.

In caz contrar, daca exista scalarii α1, α2, . . . , αn nu toti nuli astfel ıncatα1v1 + ⋅ ⋅ ⋅ + αnvn = 0V , spunem ca v1, v2, . . . , vn sunt liniar dependenti.

Observatie 4. Daca o multime de vectori sunt liniar independenti, atunciorice submultime din acesti vectori sunt de asemenea linear independenti.Orice multime formata dintr-un singur vector este linear independenta, iarorice multime care contine vectorul nul este linear dependenta.


Definitia 16.8. Spunem ca sistemul de vectori B = e1, e2, . . . , en este obaza a spatiului vectorial V daca vectorii e1, e2, . . . , en sunt liniar independentisi formeaza un sistem de generatori pentru V .

Teorema 16.5. Un sistem de vectori B = e1, e2, . . . , en este baza a lui Vdaca si numai daca orice vector x ∈ V se exprima ın mod unic ca o combinatieliniara de vectorii din B:

x = x1e1 + x2e2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xnen, xi ∈ R, i = 1, . . . , n.

Scalarii x1, x2, . . . , xn se numesc componentele sau coordonatele vectoruluix ın baza B.

Teorema 16.6. Daca B = e1, e2, . . . , en este o baza a spatiului vectorialV , atunci orice submultime a lui V care contine mai mult de n vectori esteliniar dependenta. De asemenea, orice alta baza a lui V are exact n vectori.

Definitia 16.9. Se numeste dimensiune a spatiului vectorial V si se no-teaza dimV , numarul vectorilor dintr-o baza oarecare a lui V .

Exemple:

1. Baza canonica ın Rn esteB = e1, e2, . . . , en, unde e1 = (1,0, . . . ,0), e2 =(0,1, . . . ,0), . . . , en = (0,0, . . . ,1), deci dimRn = n;

2. Baza canonica ın Rn[X] este B = 1,X,X2, . . . ,Xn, deci dimRn[X] =n + 1;

3. Baza canonica ın M2(R) este

B = E1 = ( 1 00 0

) ,E2 = ( 0 10 0

) ,E3 = ( 0 01 0

) ,E4 = ( 0 00 1

) ,

deci dimM2(R) = 4.

Teorema 16.7. Fie B = e1, e2, . . . , en o baza a spatiului vectorial real V ,si un sistem de vectori v1, v2, . . . , vp ∈ V . Consideram S ∈ Mn,p(R) matri-cea care are pe coloane componentele ın baza B ale vectorilor v1, v2, . . . , vp.Atunci:

a) vectorii v1, v2, . . . , vp sunt liniar independenti daca si numai daca rangulmatricei S este p;

b) dim Spv1, . . . , vn = rang(S).

Teorema 16.8 (Grassman). Daca U1, U2 sunt subspatii vectoriale ale spatiuluivectorial V , atunci

dim(U1 +U2) = dimU1 + dimU2 − dim(U1 ∩U2).

16.4. SCHIMBARI DE BAZE 213

16.4 Schimbari de baze

Fie V un spatiu vectorial n-dimensional siB = e1, e2, . . . , en, B′ = f1, f2, . . . , fndoua baze ın V . Fiecare vector din B′ poate fi scris ın mod unic ın baza Bastfel:

f1 = a11e1 + a21e2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an1en

f2 = a12e1 + a22e2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an2en

⋮fn = a1ne1 + a2ne2 + ⋅ ⋅ ⋅ + annen

sau pe scurt

fj =n

∑i=1

aijei, ∀j = 1, . . . , n.

Definitia 16.10. Se numeste matrice de trecere de la baza B la baza B′

matricea care are pe coloane componentele vectorilor din B′ ın baza B:

SBB′ =⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮an1 an2 . . . ann

⎞⎟⎟⎟⎠∈Mn(R).

Teorema 16.9. Fie B = e1, e2, . . . , en, B′ = f1, f2, . . . , fn doua baze ınspatiul vectorial V , si fie vectorul v ∈ V , scris ın bazele B si B′ astfel:

v = x1e1 + x2e2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xnen = y1f1 + y2f2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ynfn.

Atunci avem:⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

⋮xn

⎞⎟⎟⎟⎠= SBB′

⎛⎜⎜⎜⎝

y1

y2

⋮yn

⎞⎟⎟⎟⎠,

unde SBB′ este matricea de trecere de la B la B′.

Teorema 16.10. Fie B,B′ doua baze ale spatiului vectorial V . Atunci ma-tricea de trecere de la B la B′ este nesingulara si avem SB′B = S−1

BB′

16.5 Spatii euclidiene

Definitia 16.11. Fie V un spatiu vectorial. Se numeste produs scalar peV o functie

⟨⋅, ⋅⟩ ∶ V × V → R


care asociaza fiecarei perechi de vectori din V un numar real ⟨u, v⟩ si caresatisface conditiile:

1. ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩, ∀u, v ∈ V

2. ⟨u1 + u2, v⟩ = ⟨u1, v⟩ + ⟨u2, v⟩, ∀u1, u2, v ∈ V

3. ⟨λu, v⟩ = λ⟨u, v⟩, ∀λ ∈ R, u, v ∈ V

4. ⟨u,u⟩ ≥ 0, ∀u ∈ V ; ⟨u,u⟩ = 0⇔ u = 0V .

Din cele patru proprietati de mai sus, se mai pot deduce urmatoarele:

1. ⟨u, v1 + v2⟩ = ⟨u, v1⟩ + ⟨u, v2⟩, ∀u, v1, v2 ∈ V

2. ⟨u,λv⟩ = λ⟨u, v⟩, ∀λ ∈ R, u, v ∈ V

3. ⟨0V , v⟩ = ⟨v,0V ⟩ = 0, ∀v ∈ V

Demonstratie:

1. ⟨u, v1 + v2⟩ = ⟨v1 + v2, u⟩ = ⟨v1, u⟩ + ⟨v2, u⟩ = ⟨u, v1⟩ + ⟨u, v2⟩

2. ⟨u,λv⟩ = ⟨λv, u⟩ = λ⟨v, u⟩ = λ⟨u, v⟩

3. ⟨0V , v⟩ = ⟨u − u, v⟩ = ⟨u, v⟩ − ⟨u, v⟩ = 0

Definitia 16.12. Un spatiu vectorial ınzestrat cu un produs scalar ⟨⋅, ⋅⟩ senumeste spatiu euclidian.

Exemple:

1. Pe spatiul vectorial Rn definim produsul scalar standard

⟨x, y⟩ = x1y1 + x2y2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xnyn

unde x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn, y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn

2. Pe spatiul vectorial al matricelor patratice Mn(R) definim produsulscalar

⟨A,B⟩ = Tr(ATB), ∀A,B ∈Mn(R)

3. Pe spatiul vectorial C0[a,b] definim produsul scalar

⟨f, g⟩ = ∫b

af(x)g(x)dx, ∀f, g ∶ [a, b]→ R continue.

16.5. SPATII EUCLIDIENE 215

Teorema 16.11 (Cauchy-Schwarz-Buniakovski). Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vec-torial euclidian. Atunci are loc inegalitatea

∣⟨u, v⟩∣ ≤√

⟨u,u⟩ ⋅√

⟨v, v⟩

Demonstratie: Inegalitatea din enunt este echivalenta cu

⟨u, v⟩2 ≤ ⟨u,u⟩ ⋅ ⟨v, v⟩

Pentru u = 0V sau v = 0V , inegalitatea devine egalitate.Daca u, v ∈ V ∖ 0V , consideram combinatia liniara u + λv ∈ V , unde λ ∈ Reste un scalar arbitrar. Din proprietatile produsului scalar avem ca

⟨u + λv, u + λv⟩ ≥ 0,∀λ ∈ R (16.1)

Aplicand proprietatile produsului scalar, membrul stang al inegalitatii devine

⟨u + λv, u + λv⟩ = ⟨u,u + λv⟩ + ⟨λv, u + λv⟩= ⟨u,u⟩ + ⟨u,λv⟩ + ⟨λv, u⟩ + ⟨λv,λv⟩= ⟨u,u⟩ + λ⟨u, v⟩ + λ⟨v, u⟩ + λ2⟨v, v⟩= ⟨u,u⟩ + 2λ⟨u, v⟩ + λ2⟨v, v⟩

Notand cu A = ⟨v, v⟩, B = ⟨u, v⟩, C = ⟨u,u⟩, inegalitatea (16.1) devine

Aλ2 + 2Bλ +C ≥ 0, ∀λ ∈ R

Cum A > 0, inegalitatea de mai sus are loc pentru orice λ real doar dacadiscriminantul

∆ = 4B2 − 4AC ≤ 0

asadar B2 ≤ AC, adica ⟨u, v⟩2 ≤ ⟨u,u⟩ ⋅ ⟨v, v⟩

Definitia 16.13. Se numeste norma pe spatiul vectorial V o functie

∥ ⋅ ∥ ∶ V → R

care satisface conditiile:

1. ∥v∥ ≥ 0, ∀v ∈ V ; ∥v∥ = 0⇔ v = 0V

2. ∥λv∥ = ∣λ∣∥v∥, ∀λ ∈ R, v ∈ V

3. ∥u + v∥ ≤ ∥u∥ + ∥v∥, ∀u, v ∈ V

Definitia 16.14. Un spatiu vectorial ınzestrat cu o norma ∥ ⋅ ∥ se numestespatiu normat.


Teorema 16.12. Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vectorial euclidian. Atunci functia

∥ ⋅ ∥ ∶ V → R, ∥v∥ =√

⟨v, v⟩, ∀v ∈ V

este o norma pe V , numita norma euclidiana indusa de produsul scalar.

Demonstratie: Vom arata ca functia din enunt satisface axiomele normei:

1. ∥v∥ =√

⟨v, v⟩ ≥ 0 deoarece ⟨v, v⟩ ≥ 0∥v∥ = 0⇔ ⟨v, v⟩ = 0⇔ v = 0V

2. ∥λv∥ =√

⟨λv,λv⟩ =√λ2⟨v, v⟩ = ∣λ∣

√⟨v, v⟩ = ∣λ∣∥v∥

3. Pentru a demonstra ca ∥u+v∥ ≤ ∥u∥+∥v∥, ∀u, v ∈ V folosim inegalitateaCauchy-Schwarz-Buniakovski si proprietatile produsului scalar:

∥u + v∥2 = ⟨u + v, u + v⟩ = ⟨u,u + v⟩ + ⟨v, u + v⟩ == ⟨u,u⟩ + ⟨u, v⟩ + ⟨v, u⟩ + ⟨v, v⟩ == ∥u∥2 + 2⟨u, v⟩ + ∥v∥2 ≤ ∥u∥2 + 2∣⟨u, v⟩∣ + ∥v∥2 ≤≤ ∥u∥2 + 2

√⟨u,u⟩

√⟨v, v⟩ + ∥v∥2 =

= ∥u∥2 + 2∥u∥ ⋅ ∥v∥ + ∥v∥2 = (∥u∥ + ∥v∥)2

asadar ∥u + v∥ ≤ ∥u∥ + ∥v∥.

Din teorema anterioara rezulta ca orice spatiu vectorial euclidian esteun spatiu normat cu norma indusa de produsul scalar;

ıntr-un spatiu vetorial normat, inegalitatea Cauchy-Schwarz-Buniakovskise poate rescrie sub forma

∣⟨u, v⟩∣ ≤ ∥u∥ ⋅ ∥v∥⇔ −1 ≤ ⟨u, v⟩∥u∥ ⋅ ∥v∥

≤ 1

Definitia 16.15. Fie V un spatiu vectorial euclidian si u, v ∈ V ∖ 0V .Numarul θ ∈ [0, π] definit prin

cos θ = ⟨u, v⟩∥u∥ ⋅ ∥v∥

se numeste unghiul dintre vectorii u si v.

Definitia 16.16. Un vector se numeste versor (sau vector unitar) dacanorma sa este 1.

16.5. SPATII EUCLIDIENE 217

Orice vector v ∈ V ∖0V are un vector unitar corespunzator, pe care ıl notamcu v0 si care poate fi obtinut astfel:

v0 = 1

∥v∥⋅ v

Definitia 16.17. Se numeste distanta sau metrica pe multimea nevida Mo functie

d ∶M ×M → Rcare satisface conditiile:

1. d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈M ; d(x, y) = 0⇔ x = y

2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈M

3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈M

Definitia 16.18. O multime M ınzestrata cu o distanta (metrica) d senumeste spatiu metric.

Observatie: Orice spatiu vectorial normat este spatiu metric cu distantaeuclidiana d(u, v) = ∥u − v∥.

Definitia 16.19. Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vectorial euclidian. Doi vectoriu, v ∈ V se numesc ortogonali daca produsul lor scalar ⟨u, v⟩ = 0.

Definitia 16.20. Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vectorial euclidian si o multime devectori U ⊂ V . Multimea tuturor vectorilor ortogonali pe vectorii din U :

U = v ∈ V ∣⟨u, v⟩ = 0, ∀u ∈ U

se numeste complementul ortogonal al lui U si este un subspatiu vectorialal lui V .

Teorema 16.13. Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vectorial euclidian. Daca vectoriiv1, v2, . . . , vn ∈ V ∖ 0V sunt ortogonali doi cate doi:

⟨vi, vj⟩ = 0, ∀i, j ∈ 1,2, . . . , n, i ≠ j

atunci sunt liniar independenti.

Demonstratie: Consideram combinatia liniara nula

α1v1 + ⋅ ⋅ ⋅ + αnvn = 0V ⇒ ⟨α1v1 + ⋅ ⋅ ⋅ + αnvn, v1⟩ = ⟨0V , v1⟩ = 0

⇒ α1⟨v1, v1⟩ + α2⟨v2, v1⟩ + ⋅ ⋅ ⋅ + αn⟨vn, v1⟩ = 0

⇒ α1∥v1∥2 = 0⇒ α1 = 0

Facand produsul scalar al combinatiei liniare cu vectorii v2, . . . , vn obtinemde asemenea α2 = ⋅ ⋅ ⋅ = αn = 0.


Definitia 16.21. Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vectorial euclidian n-dimensionalsi o baza B = e1, e2, . . . , en.

1. Baza B se numeste ortogonala daca e1, . . . , en sunt ortogonali doi catedoi:

⟨ei, ej⟩ = 0, ∀i, j ∈ 1,2, . . . , n, i ≠ j

2. Baza B se numeste ortonormata daca este ortogonala si toti vectoriidin B au norma 1:

⟨ei, ej⟩ = 1, daca i = j0, daca i ≠ j ,∀i, j ∈ 1,2, . . . , n

Teorema 16.14 (Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt). Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩)un spatiu vectorial euclidian n-dimensional si o baza B = u1, u2, . . . , un.Atunci se poate construi o baza ortonormata e1, e2, . . . , en pornind de labaza B.

Demonstratie: Construim mai ıntai o baza ortogonala pornind de la bazaB, iar apoi considerand versorii corespunzatori se obtine baza ortonormatacautata.Pasul 1: Definim v1 = u1.Pasul 2: Definim v2 = u2 + α21v1, unde scalarul α21 se determina punandconditia ca v2 sa fie ortogonal pe v1:

0 = ⟨v2, v1⟩ = ⟨u2 + α21v1, v1⟩ = ⟨u2, v1⟩ + α21⟨v1, v1⟩

de unde rezulta

α21 = −⟨u2, v1⟩⟨v1, v1⟩

Pasul 3: Definim v3 = u3 + α31v1 + α32v2, unde scalarii α31, α32 se determinapunand conditia ca v3 sa fie ortogonal pe v1 si v2:

0 = ⟨v3, v1⟩ = ⟨u3 + α31v1 + α32v2, v1⟩ = ⟨u3, v1⟩ + α31⟨v1, v1⟩ + α32⟨v2, v1⟩

de unde observand ca ⟨v2, v1⟩ = 0 rezulta α31 = −⟨u3, v1⟩⟨v1, v1⟩

.



.

Dupa n pasi se obtine baza ortogonala B′ = v1, . . . , vn. Considerand versoriicorespunzatori vectorilor din B′ se obtine baza ortonormata B0 = e1, . . . , en,

unde ei =1

∥vi∥⋅ vi, i = 1, . . . , n.

16.6. EXERCITII 219

16.6 Exercitii

1. Care din urmatoarele submultimi sunt subspatii ın R3?

a) (x1, x2, x3) ∈ R3∣x1 = 0b) (x1, x2, x3) ∈ R3∣x1 = 1c) (x1, x2, x3) ∈ R3∣x1x2 = 0d) (0,0,0)e) α(1,1,0) + β(2,0,1)∣α,β ∈ Rf) (x1, x2, x3) ∈ R3∣x3 − x2 + 3x1 = 0g) (x1, x2, x3) ∈ R3∣x1 + x2 + x3 = 1

2. Sa se studieze dependenta liniara a urmatorilor vectori:

a) v1 = (1,1,0), v2 = (2,0,1), v3 = (1,−3,2) ∈ R3

b) v1 = (1,1,0,0), v2 = (1,0,1,0), v3 = (0,0,1,1), v4 = (0,1,0,1) ∈ R4

c) v1 = (2,1,3,1), v2 = (1,2,0,1), v3 = (−1,1,−3,0) ∈ R4

d) v1 = (2,1,3,−1), v2 = (−1,1,−3,1), v3 = (4,5,3,−1), v4 = (1,5,−3,1)e) u1 = v1 + v2, u2 = v1 + v3, u3 = v2 + v3, unde v1, v2, v3 sunt liniar

independenti

Rezolvare: a) Verificam independenta liniara cu definitia:α1v1 +α2v2 +α3v3 = 0⇒ (α1, α1,0)+ (2α2,0, α2)+ (α3,−3α3,2α3) = 0⇒(α1 + 2α2 + α3, α1 − 3α3, α2 + 2α3) = (0,0,0)⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α1 + 2α2 + α3 = 0

α1 − 3α3 = 0

α2 + 2α3 = 0

;

RRRRRRRRRRRRRR

1 2 11 0 −30 1 2

RRRRRRRRRRRRRR= 0⇒ sistemul are solutii nenule

deci vectorii sunt liniar dependenti.

rang⎛⎜⎝

1 21 00 1

⎞⎟⎠= 2 deci vectorii v1, v2 sunt independenti, iar v3 se poate

scrie ca o combinatie liniara de v1, v2 astfel: v3 = −3v1 + 2v2

b) Scriind vectorii pe coloanele unei matrice obtinem:

rang

⎛⎜⎜⎜⎝

1 1 0 01 0 0 10 1 1 00 0 1 1

⎞⎟⎟⎟⎠= 3 < 4 deci vectorii sunt liniari dependenti.


De asemenea observam ca rang

⎛⎜⎜⎜⎝

1 1 01 0 00 1 10 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠= 3 deci vectorii v1, v2, v3

sunt liniar independenti, iar v4 se poate scrie ca o combinatie liniarade v1, v2, v3 astfel:

v4 = v1 − v2 + v3

3. Sa se gaseasca o baza ın subspatiul liniar al solutiilor sistemelor omo-gene:

a)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x1 − x2 − 3x3 − x4 = 0

x1 + x2 + x3 − 3x4 = 0

b)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x1 + x2 − x3 − 2x4 + 3x5 = 0

x2 + 3x3 − 2x5 = 0

Rezolvare: a) matricea sistemului ( 1 −1 −3 −11 1 1 −3

) are rangul 2, ale-

gem necunoscutele secundare x3 = α, x4 = β si rezolvand sistemul ın

necunoscutele principale

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x1 − x2 = 3α + βx1 + x2 = −α + 3β

obtinem

S = (α+2β,−2α+β,α, β)∣α,β ∈ R = (α,−2α,α,0)+(2β, β,0, β)∣α,β= α(1,−2,1,0) + β(2,1,0,1)∣α,β ∈ R = Sp(1,−2,1,0), (2,1,0,1),iar cum acesti doi vectori sunt si liniar independenti, formeaza o bazaın S.

4. Sa se arate ca B este o baza ın spatiul liniar corespunzator si sa se scriecoordonatele vectorului v ın aceasta baza:

a) B = (1,1,1), (1,1,2), (1,2,3) ⊂ R3, v = (6,9,14)

b) B = (2,1,−3), (3,2,−5), (1,−1,1) ⊂ R3, v = (6,2,−7)

c) B = (1,2,−1,−2), (2,3,0,−1), (1,2,1,4), (1,3,−1,0) ⊂ R4, v = (7,14,−1,2)

d) B = ( 1 11 0

) ,( 1 10 1

) ,( 1 01 1

) ,( 0 11 1

), v = ( 2 34 5

)

Rezolvare: a)

RRRRRRRRRRRRRR

1 1 11 1 21 2 3

RRRRRRRRRRRRRR≠ 0⇒ B este o baza ın R3.

16.6. EXERCITII 221

v = α1(1,1,1) + α2(1,1,2) + α3(1,2,3)⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α1 + α2 + α3 = 6

α1 + α2 + 2α3 = 9

α1 + 2α2 + 3α3 = 14

⇒

⇒ α1 = 1, α2 = 2, α3 = 3

5. Sa se gaseasca matricele de trecere ıntre urmatoarele baze:

a) B1 = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), B2 = (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1);

b) B1 = (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1), B2 = (1,1,0), (−1,0,0), (0,0,1);

c) B1 = (1,2,1), (2,3,3), (3,7,1), B2 = (3,1,4), (5,2,1), (1,1,−6);

d) B1 = (1,1,1,1), (1,2,1,1), (1,1,2,1), (1,3,2,3),B2 = (1,0,3,3), (−2,−3,−5, ,−4), (2,2,5,4), (−2,−3,−4,−4) ın R4;

e) B1 = 1, t, t2, t3, B2 = 1, t + 1, (t + 1)2, (t + 1)3 ın spatiul P3[t] alpolinoamelor de grad ≤ 3;

Rezolvare: a) Notam cu e1, e2, e3, f1, f2, f3 vectorii din cele doua baze.

Avem

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

f1 = 1 ⋅ e1 + 1 ⋅ e2 + 0 ⋅ e3

f2 = 1 ⋅ e1 + 0 ⋅ e2 + 1 ⋅ e3

f3 = 0 ⋅ e1 + 1 ⋅ e2 + 1 ⋅ e3

deci⎛⎜⎝

1 1 01 0 10 1 1

⎞⎟⎠

este matricea de

trecere de la B1 la B2. Pentru a gasi matricea de trecere de la B2 laB1 aflam coordonatele vectorilor e1, e2, e3 ın baza B2: e1 = α1 ⋅ f1 +α2 ⋅f2 + α3 ⋅ f3 ⇒

(1,0,0) = (α1, α1,0) + (α2,0, α2) + (0, α3, α3)⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α1 + α2 = 1

α1 + α3 = 0

α2 + α3 = 0

⇒

α1 = α2 = 12 , α3 = −1

2

(0,1,0) = (α1, α1,0) + (α2,0, α2) + (0, α3, α3)⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α1 + α2 = 0

α1 + α3 = 1

α2 + α3 = 0

⇒

α1 = α3 = 12 , α2 = −1

2

(0,0,1) = (α1, α1,0) + (α2,0, α2) + (0, α3, α3)⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α1 + α2 = 0

α1 + α3 = 0

α2 + α3 = 1

⇒

α2 = α3 = 12 , α1 = −1

2 , deci matricea de trecere este⎛⎜⎝

12

12 −1

212 −1

212

−12

12

12

⎞⎟⎠

.


6. Fie P spatiul vectorial al tuturor polinoamelor reale definite pe [−1,1].Sa se arate ca P este un spatiu euclidian ın raport cu aplicatia definitaprin:

⟨p, q⟩ = ∫1

−1p(x) ⋅ q(x)dx

7. Sa se arate ca aplicatia

∥ ⋅ ∥2 ∶ Rn → R+, data prin ∥x∥2 =n

∑i=1

∣xi∣

este o norma pe Rn.

8. Sa se arate ca aplicatia

d ∶ R+ ×R+ → R+, data prin d(x, y) = ∣ln xy∣

este o distanta pe R+.

9. In R4 consideram vectorii x = (−2,5,1,3), y = (−1,−2,3,2), z = (−2,1,2,3).Sa se calculeze ⟨x, y⟩, ⟨x, z⟩, ⟨y, z⟩, ∥x∥, ∥y∥, ∥z∥, ⟨2x − y,3z + x⟩,d(2x + y,−x + 3z), ∥x − 2y + z∥.Rezolvare:

⟨x, y⟩ = (−2) ⋅ (−1) + 5 ⋅ (−2) + 1 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 = 1

⟨x, z⟩ = 20; ⟨y, z⟩ = 12

∥x∥ =√

(−2)2 + 52 + 12 + 32 =√

39; ∥y∥ =√

18 = ∥z∥⟨2x − y,3z + x⟩ = 6⟨x, z⟩ + 2⟨x,x⟩ − 3⟨y, z⟩ − ⟨y, x⟩ = 161

d(2x + y,−x + 3z) = ∥(2x + y) − (−x + 3z)∥ = ∥3x + y − 3z∥ == ∥(−1,10,0,2)∥ =

√105

∥x − 2y + z∥ =√

117

10. In R4 consideram vectorii v1 = (2,1,−1,2), v2 = (−2,3,−5,−1). Sa secalculeze ⟨v1, v2⟩, ∥v1∥, ∥v2∥, ⟨2v1 − v2, v1⟩, ∥v1 + 2v2∥.

11. In R6 consideram vectorii v1 = (1,−2,3,−4,0,1), v2 = (1,2,3,−1,−2,−4).Sa se calculeze ⟨v1, v2⟩, ∥v1∥, ∥v2∥, ∢(v1, v2), d(v1, v2).

12. Sa se verifice inegalitatea lui Cauchy-Schwarz pentru vectorii:

a) x = (1,−1,−1,−1,1,2), y = (2,−2,−3,3,2,1) ın R6

16.6. EXERCITII 223

b) v1 = (2,1,−1,2), v2 = (−2,3,−5,−1) ın R4

Sa se afle versorii vectorilor de mai sus.Rezolvare: ⟨x, y⟩ = 8, ∥x∥ = 3, ∥y∥ =

√31, iar 8 < 3

√31.

x0 = 1

∥x∥⋅ x = 1

3(1,−1,−1,−1,1,2); y0 = 1√

31(2,−2,−3,3,2,1).

13. In spatiul euclidian R3 gasiti un vector v de norma 1 si ortogonal pevectorii:

a) u1 = (2,1,0), u2 = (−3,2,0)

b) u1 = (1,1,−1), u2 = (2,1,3)

c) u1 = (1,3,−4), u2 = (2,3,−4)

Rezolvare: Fie v = (x1, x2, x3). Obtinem:

a)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

⟨v, u1⟩ = 0

⟨v, u2⟩ = 0⇒

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

2x1 + x2 = 0

−3x1 + 2x2 = 0⇒ x1 = x2 = 0⇒ v = (0,0,1) sau

v = (0,0,−1).

b)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

⟨v, u1⟩ = 0

⟨v, u2⟩ = 0⇒

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x1 + x2 − x3 = 0

2x1 + x2 + 3x3 = 0⇒ v = (−4α,5α,α). Punand

conditia ∥v∥ = 1⇒ 42α2 = 1⇒ α = ± 1√42

.

14. Sa se construiasca o baza ortonormata pornind de la baza:

(a) (1,0,2), (2,1,1), (0,1,1) ın R3

Rezolvare: Notam cu u1 = (1,0,2), u2 = (2,1,1), u3 = (0,1,1).Pasul 1: Definim v1 = u1 = (1,0,2).Pasul 2: Definim v2 = u2 + α21v1. ⟨v2, v1⟩ = 0⇒

0 = ⟨u2 + α21v1, v1⟩ = ⟨u2, v1⟩ + α21⟨v1, v1⟩ ⇒ α21 = −⟨u2, v1⟩⟨v1, v1⟩

= −4

5⇒ v2 = (2,1,1) − 4

5(1,0,2) = (65 ,1,−

35)

Pasul 3: Definim v3 = u3 + α31v1 + α32v2. ⟨v3, v1⟩ = 0⇒0 = ⟨u3 + α31v1 + α32v2, v1⟩ = ⟨u3, v1⟩ + α31⟨v1, v1⟩ + α32⟨v2, v1⟩

α31 = −⟨u3, v1⟩⟨v1, v1⟩

= −2

5. ⟨v3, v2⟩ = 0⇒

0 = ⟨u3 + α31v1 + α32v2, v2⟩ = ⟨u3, v2⟩ + α31⟨v1, v2⟩ + α32⟨v2, v2⟩

α32 = −⟨u3, v2⟩⟨v2, v2⟩

= −1

7⇒ v3 = (0,1,1) − 2

5(1,0,2) − 1

7(6

5,1,−3

5).

Am obtinut baza ortogonala formata din vectorii v1 = (1,0,2),


v2 = (65 ,1,−

35) = 1

5(6,5,−3), v3 = (−47 ,

67 ,

27) = 2

7(−2,3,1). Bazaortonormata cautata este formata din versorii acestor vectori:

e1 = v1

∥v1∥= 1√

5(1,0,2) = ( 1√

5,0,

2√5)

e2 = v2

∥v2∥= 1√

70(6,5,−3) = ( 6√

70,

5√70,−3√70

)

e3 = v3

∥v3∥= 1√

14(−2,3,1) = ( −2√

14,

3√14,

1√14

)

(b) (1,1,1), (1,1,−1), (1,−1,−1) ın R3

(c) (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1) ın R3

(d) (−1,0,2), (1,−1,1), (2,1,0) ın R3

(e) (1,1,1,1), (0,1,1,1), (0,0,1,1), (0,0,0,1) ın R4

(f) 1,X,X2 ın R2[X]

15. Sa se gaseasca complementele ortogonale ale urmatoarelor subspatii dinR3:

a) U1 =Sp(1,0,0), (0,1,0)b) U2 =Sp(1,1,1), (0,0,1), (1,1,0)c) U3 =Sp(1,2,1), (3,6,3)

Rezolvare: Punand conditia ca vectorul v = (x1, x2, x3) sa fie ortogonalpe generatorii subspatiului se obtine:

a)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x1 = 0

x2 = 0⇒ U⊥1 = (0,0, α)∣α ∈ R =Sp(0,0,1)

b)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x1 + x2 + x3 = 0

x3 = 0

x1 + x2 = 0

⇒ U⊥2 = (−α,α,0)∣α ∈ R =Sp(−1,1,0)

Capitolul 17

Transformari liniare

17.1 Definitii si proprietati

Definitia 17.1. Fie V si W doua spatii vectoriale reale. O functie T ∶ V →W se numeste transformare liniara (sau operator liniar, sau aplicatieliniara, sau morfism de spatii vectoriale) daca ındeplineste urmatoareleconditii:

1. T (u + v) = T (u) + T (v), ∀u, v ∈ V

2. T (αu) = αT (u), ∀α ∈ R, u ∈ V

Daca aplicatia liniara T este bijectiva, se numeste izomorfism de spatiivectoriale.

Daca V =W , atunci T se numeste endomorfism al lui V .

Un endomorfism bijectiv se numeste automorfism.

Vom nota cu L(V,W ) multimea aplicatiilor liniare de la V la W si cu L(V )multimea endomorfismelor lui V .

Propozitia 17.1.1. O functie T ∶ V →W este transformare liniara daca sinumai daca

T (αu + βv) = αT (u) + βT (v), ∀α,β ∈ R, u, v ∈ V. (17.1)

Demonstratie: ”⇒” Presupunem ca T este liniara. Pentru α,β ∈ R, u, v ∈V oarecare avem: T (αu + βv) = T (αu) + T (βv) = αT (u) + βT (v)”⇐” Presupunem ca (17.1) este satisfacuta. Punand α = β = 1 se obtineprima conditie din definitia transformarii liniare, iar punand β = 0 se obtinecea de a doua.

225

226 CAPITOLUL 17. TRANSFORMARI LINIARE

Exemplu:

T ∶ R3 → R3, T (x1, x2, x3) = (2x1 + x2, x1 − x3, x2 + 2x3)

este o transformare liniara.

Propozitia 17.1.2. Pentru o transformare liniara T ∶ V →W avem:

a) T (0V ) = 0W

b) T (−v) = −T (v), ∀v ∈ V

c) T (n

∑i=1

αivi) =n

∑i=1

αiT (vi), ∀αi ∈ R, vi ∈ V, i = 1, . . . , n.

Teorema 17.1. Multimea transformarilor liniare L(V,W ) ımpreuna cu adu-narea si ınmultirea functiilor cu scalari formeaza un spatiu vectorial real.

Teorema 17.2. Daca U,V,W sunt trei spatii vectoriale reale, si T1 ∈ L(U,V ),T2 ∈ L(V,W ), atunci T2 T1 ∈ L(U,W ).

Teorema 17.3. Fie T ∈ L(V,W ). Atunci avem:

1. Daca U este un subspatiu vectorial al lui V , atunci

T (U) = w ∈W ∣∃u ∈ U, T (u) = w ⊂W

este un subspatiu vectorial al lui W .

2. Daca U este un subspatiu vectorial al lui W , atunci

T −1(U) = v ∈ V ∣T (v) ∈ U ⊂ V

este un subspatiu vectorial al lui V .

Definitia 17.2. Fie T ∈ L(V,W ).

1. MultimeakerT = v ∈ V ∣T (v) = 0 ⊂ V

se numeste nucleul lui T .

2. MultimeaimT = w ∈W ∣∃v ∈ V, T (v) = w ⊂W

se numeste imaginea lui T.

17.2. MATRICEA UNEI TRANSFORMARI LINIARE 227

Nucleul si imaginea unei aplicatii liniare T ∈ L(V,W ) sunt subspatii vec-toriale ale lui V , respectiv W . Dimensiunile acestor subspatii se numescrangul , respectiv defectul lui T , si ıntre ele exista urmatoarea relatie:

rang T + def T = n

unde n este dimensiunea lui V .

Teorema 17.4. Fie T ∈ L(V,W ). Atunci:

1. T este injectiva daca si numai daca kerT = 0V

2. T este surjectiva daca si numai daca imT =W .

Teorema 17.5. 1. Daca T ∈ L(V,W ) este un izomorfism de spatii vecto-riale, atunci si aplicatia inversa T −1 ∶W → V este o aplicatie liniara.

2. Spatiile vectoriale V si W sunt izomorfe daca si numai daca dimV =dimW .

17.2 Matricea unei transformari liniare

Fie V si W doua spatii vectoriale de dimensiuni n, respectiv m, si T ∶ V →Wo transformare liniara. Consideram de asemenea bazele B = e1, . . . , en ınV si B′ = f1, . . . , fm ın W . Vectorii T (e1), . . . , T (en) din W pot fi scrisi ınbaza B′ astfel:

T (e1) = a11f1 + a21f2 + ⋅ ⋅ ⋅ + am1fm

T (e2) = a12f1 + a22f2 + ⋅ ⋅ ⋅ + am2fm

⋮T (en) = a1nf1 + a2nf2 + ⋅ ⋅ ⋅ + amnfm

Definitia 17.3. Matricea

A =⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮am1 am2 . . . amn

⎞⎟⎟⎟⎠∈Mm,n(R)

care are pe coloane componentele vectorilor T (e1), . . . , T (en) ın baza B′ senumeste matricea lui T ın raport cu bazele B si B′.


Exemplu: Matricea transformarii liniare

T ∶ R3 → R3, T (x1, x2, x3) = (2x1 + x2, x1 − x3, x2 + 2x3)

ın baza canonica din R3 este⎛⎜⎝

2 1 01 0 −10 1 2

⎞⎟⎠

.

Teorema 17.6. Fie T ∈ L(V,W ), B = e1, . . . , en baza ın V , B′ = f1, . . . , fm

baza ın W , si A matricea lui T ın raport cu bazele B si B′. Daca x =n

∑i=1

xiei

si y = T (x) =m

∑i=1

yifi, atunci avem:

⎛⎜⎜⎜⎝

y1

y2

⋮ym

⎞⎟⎟⎟⎠= A ⋅

⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

⋮xn

⎞⎟⎟⎟⎠.

Exemplu: Pentru T (x1, x2, x3) = (2x1 + x2, x1 − x3, x2 + 2x3), avem

⎛⎜⎝

2 1 01 0 −10 1 2

⎞⎟⎠⋅⎛⎜⎝

x1

x2

x3

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

2x1 + x2

x1 − x3

x2 + 2x3

⎞⎟⎠.

Teorema 17.7. Fie T ∈ L(V,W ), B, B doua baze ın V , B′, B′ doua baze ınW , si A matricea lui T ın raport cu bazele B si B′. Atunci matricea lui Tın raport cu bazele B si B′ este:

A = S−1B′B′ASBB

unde SBB este matricea de trecere de la B la B si SB′B′ este matricea detrecere de la B′ la B′.

Exemplu: Pentru transformarea liniara

T ∶ R3 → R3, T (x1, x2, x3) = (2x1 + x2, x1 − x3, x2 + 2x3),

consideramB = B′ baza canonica din R3 si B = B′ = (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)

Matricea de trecere de la B la B este SBB =⎛⎜⎝

1 1 01 0 10 1 1

⎞⎟⎠

, iar inversa aces-

teia este S−1BB

=⎛⎜⎝

12

12 −1

212 −1

212

−12

12

12

⎞⎟⎠

. Conform teoremei anterioare, matricea

17.3. VALORI SI VECTORI PROPRII 229

transformarii T ın baza B este

A = S−1B′B′ASBB =

⎛⎜⎝

12

12 −1

212 −1

212

−12

12

12

⎞⎟⎠⋅⎛⎜⎝

2 1 01 0 −10 1 2

⎞⎟⎠⋅⎛⎜⎝

1 1 01 0 10 1 1

⎞⎟⎠

de unde se obtine A =⎛⎜⎝

32 0 −3

232 2 5

2

−12 0 1

2

⎞⎟⎠

.

Verificare: T (1,0,1) = (2,0,2) = 2 ⋅ (1,0,1).

17.3 Valori si vectori proprii

Definitia 17.4. Fie V un spatiu vectorial si T ∈ L(V ) un endomorfism.

1. Un vector v ∈ V, v ≠ 0V se numeste vector propriu al lui T dacaexista un scalar λ ∈ R astfel ıncat

T (v) = λv.

2. Un scalar λ ∈ R pentru care exista v ∈ V ∖ 0V astfel ıncat T (v) = λvse numeste valoare proprie a lui T .

3. Multimea tuturor valorilor proprii ale unui endomorfism poarta denu-mirea de spectrul lui T si se noteaza cu σ(T ).

Definitia 17.5. Fie V un spatiu vectorial si T ∈ L(V ) un endomorfism. Unsubspatiu vectorial U ⊆ V se numeste subspatiu invariant ın raport cu Tdaca T (U) ⊆ U .

Teorema 17.8. Fie V un spatiu vectorial si T ∈ L(V ) un endomorfism al luiV . Daca λ este o valoare proprie a lui T , atunci multimea vectorilor propriicorespunzatori lui λ

Vλ = v ∈ V ∣T (v) = λv

este un subspatiu vectorial invariant ın raport cu T , numit subspatiu pro-priu asociat valorii proprii λ.

Teorema 17.9. Vectorii proprii ai lui T corespunzatori la valori propriidistincte sunt liniar independenti.


Fie V un spatiu vectorial, B = e1, e2, . . . , en o baza ın V , T ∈ L(V ) unendomorfism, si λ ∈ σ(T ). Consideram A matricea lui T ın baza B, si v ∈ Vλ.In baza B, vectorul v se scrie

v = x1e1 + x2e2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xnen

iar egalitatea T (v) = λv devine

A

⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

⋮xn

⎞⎟⎟⎟⎠= λ

⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

⋮xn

⎞⎟⎟⎟⎠⇔ (A − λIn)

⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

⋮xn

⎞⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎝

00⋮0

⎞⎟⎟⎟⎠

Cum v ≠ 0V , rezulta ca sistemul de mai sus admite solutii nebanale,deci det(A − λIn) = 0.

Definitia 17.6. Polinomul cu coeficienti reali

p(λ) = det(A − λIn)

se numeste polinomul caracteristic al lui T . Ecuatia

det(A − λIn) = 0

se numeste ecuatia caracteristica a lui T .

Polinomul caracteristic al unui endomorfism T ∈ L(V ) nu depinde de bazaın care este scrisa matricea A a lui T , iar radacinile reale ale acestui polinomsunt chiar valorile proprii ale lui T .

Ordinul de multiplicitate (ca radacina a polinomului caracteristic) al uneivalori proprii λ ∈ σ(T ) se numeste multiplicitate algebrica a lui λ, iar dimen-siunea subspatiului de vectori proprii corespunzator lui λ ∈ σ(T ) se numestemultiplicitate geometrica a lui λ.

Teorema 17.10. Fie V un spatiu vectorial real, T ∈ L(V ), si λ ∈ σ(T ).Atunci multiplicitatea geometrica a lui λ este cel mult egala cu multiplicitateaalgebrica a lui λ.

Exemplu: Fie T ∶ R3 → R3, data prin

T (x1, x2, x3) = (4x1 − x2 + x3, x1 + 3x2 − x3, x2 + x3)

Valorile proprii ale lui T se gasesc rezolvand ecuatia caracteristica, sau echi-valent afland radacinile polinomului caracteristic.

17.3. VALORI SI VECTORI PROPRII 231

Matricea transformarii T ın baza canonica din R3 este A =⎛⎜⎝

4 −1 11 3 −10 1 1

⎞⎟⎠

.

Polinomul caracteristic este:

p(λ) = det(A − λI3) =RRRRRRRRRRRRRR

4 − λ −1 11 3 − λ −10 1 1 − λ

RRRRRRRRRRRRRR=

= (4 − λ)(3 − λ)(1 − λ) + 1 + (4 − λ) + (1 − λ) == (4 − λ)(3 − λ)(1 − λ) + 2(3 − λ) == (3 − λ)(λ2 − 5λ + 6) == (3 − λ)2(2 − λ)

asadar valorile proprii ale lui T sunt λ1,2 = 3 si λ3 = 2.Vectorii proprii se gasesc ınlocuind pe λ cu valorile proprii gasite ın

⎛⎜⎝

4 − λ −1 11 3 − λ −10 1 1 − λ

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

x1

x2

x3

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

000

⎞⎟⎠

si rezolvand sistemul omogen corespunzator.

λ1,2 = 3⇒⎛⎜⎝

1 −1 11 0 −10 1 −2

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

x1

x2

x3

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

000

⎞⎟⎠⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x1 − x2 + x3 = 0

x1 − x3 = 0

x2 − 2x3 = 0

x3 = α⇒ x1 = α,x2 = 2α⇒ Vλ1,2 = (α,2α,α)∣α ∈ R = Sp(1,2,1)

λ3 = 2⇒⎛⎜⎝

2 −1 11 1 −10 1 −1

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

x1

x2

x3

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

000

⎞⎟⎠⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

2x1 − x2 + x3 = 0

x1 + x2 − x3 = 0

x2 − x3 = 0

x3 = α⇒ x1 = 0, x2 = α⇒ Vλ3 = (0, α,α)∣α ∈ R = Sp(0,1,1)

Definitia 17.7. Un endomorfism T ∈ L(V ) se numeste diagonalizabil dacaexista o baza a lui V astfel ıncat matricea lui T ın aceasta baza sa fie diago-nala.

Teorema 17.11. Un endomorfism T ∈ L(V ) este diagonalizabil daca si nu-mai daca exista o baza a lui V formata numai din vectori proprii ai lui T .

In cazul ın care este diagonalizabil, matricea endomorfismului T ∈ L(V )are pe diagonala valorile proprii corespunzatoare vectorilor proprii din baza.

Teorema 17.12. Un endomorfism T ∈ L(V ) este diagonalizabil daca si nu-mai daca orice valoare proprie λ ∈ σ(T ) are multiplicitatile algebrica si geo-metrica egale.


Exemplu: Fie endomorfismul

T ∶ R3 → R3, T (x1, x2, x3) = (x2 + x3, x1 + x3, x1 + x2).

Matricea lui T ın baza canonica din R3 este A =⎛⎜⎝

0 1 11 0 11 1 0

⎞⎟⎠

.

p(λ) = det(A − λI3) =RRRRRRRRRRRRRR

−λ 1 11 −λ 11 1 −λ

RRRRRRRRRRRRRR= −λ3 + 3λ + 2 = (2 − λ)(1 + λ)2

λ1 = 2⇒⎛⎜⎝

−2 1 11 −2 11 1 −2

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

x1

x2

x3

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

000

⎞⎟⎠⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

−2x1 + x2 + x3 = 0

x1 − 2x2 + x3 = 0

x1 + x2 − 2x3 = 0

x3 = α⇒ x1 = α,x2 = α⇒ Vλ1 = (α,α,α)∣α ∈ R = Sp(1,1,1)

λ2,3 = −1⇒⎛⎜⎝

1 1 11 1 11 1 1

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

x1

x2

x3

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

000

⎞⎟⎠⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x1 + x2 + x3 = 0

x1 + x2 + x3 = 0

x1 + x2 + x3 = 0x2 = α,x3 = β ⇒ x1 = −α − β ⇒

Vλ2,3 = (−α − β,α, β)∣α,β ∈ R == (−α,α,0) + (−β,0, β)∣α,β ∈ R == α(−1,1,0) + β(−1,0,1)∣α,β ∈ R == Sp(−1,1,0), (−1,0,1)

Notam cu v1 = (1,1,1), v2 = (−1,1,0), v3 = (−1,0,1) vectorii proprii caregenereaza subspatiile proprii si observam ca B = v1, v2, v3 este o baza ınR3. Pentru a gasi matricea endomorfismului T ın aceasta baza scriem:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

T (v1) = λ1v1 = 2 ⋅ v1 + 0 ⋅ v2 + 0 ⋅ v3

T (v2) = λ2,3v2 = 0 ⋅ v1 + (−1) ⋅ v2 + 0 ⋅ v3

T (v3) = λ2,3v3 = 0 ⋅ v1 + 0 ⋅ v2 + (−1) ⋅ v3

⇒

AB =⎛⎜⎝

2 0 00 −1 00 0 −1

⎞⎟⎠

este matricea lui T ın baza B.

17.4 Endomorfisme pe spatii euclidiene

Definitia 17.8. Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vectorial euclidian si T ∈ L(V ).Transformarea liniara T ∗ ∶ V → V se numeste adjuncta transformarii T

17.4. ENDOMORFISME PE SPATII EUCLIDIENE 233

daca:⟨T (u), v⟩ = ⟨u,T ∗(v)⟩, ∀u, v ∈ V.

Definitia 17.9. Endomorfismul T ∈ L(V ) se numeste autoadjunct dacaT = T ∗, adica satisface relatia

⟨T (u), v⟩ = ⟨u,T (v)⟩, ∀u, v ∈ V.

Teorema 17.13. Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vectorial euclidian si B = e1, e2, . . . , eno baza ortonormata a lui V . Atunci endomorfismul T ∈ L(V ) este autoad-junct daca si numai daca matricea lui T ın raport cu baza B este simetrica.

Demonstratie: ”⇒”Fie A matricea lui T ın raport cu baza B. Atunci avem

T (ei) =n

∑k=1

akiek

Cum T este autoadjunct iar baza B este ortonormata, avem

⟨T (ei), ej⟩ = ⟨ei, T (ej)⟩⇔ ⟨n

∑k=1

akiek, ej⟩ = ⟨ei,n

∑k=1

akjek⟩

⇔n

∑k=1

aki⟨ek, ej⟩ =n

∑k=1

akj⟨ei, ek⟩⇔ aji = aij, ∀i, j = 1, . . . , n

”⇐”Fie A matricea lui T ın raport cu baza B. Daca A este simetrica, atunci

aij = aji, ∀i, j = 1, . . . , n

Facand rationamentul anterior ın sens invers obtinem

⟨T (ei), ej⟩ = ⟨ei, T (ej)⟩, ∀i, j = 1, . . . , n

Fie acum u, v ∈ V avand ın baza B coordonatele

u =n

∑i=1

xiei si v =n

∑j=1

yjej

Folosind proprietatile produsului scalar obtinem

⟨T (u), v⟩ = ⟨T (n

∑i=1

xiei) ,n

∑j=1

yjej⟩ =n

∑i=1

n

∑j=1

xiyj⟨T (ei), ej⟩ =

=n

∑i=1

n

∑j=1

xiyj⟨ei, T (ej)⟩ = ⟨n

∑i=1

xiei, T (n

∑j=1

yjej)⟩ = ⟨u,T (v)⟩


Teorema 17.14. Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vectorial euclidian. Daca endo-morfismul T ∈ L(V ) este autoadjunct , atunci vectorii proprii ai lui T cores-punzatori la valori proprii diferite sunt ortogonali.

Demonstratie: Fie λ1, λ2 ∈ σ(T ) valori proprii distincte si v1, v2 vectoriproprii corespunzatori , deci

T (v1) = λ1v1 si T (v2) = λ2v2

Cum T este autoadjuncta, obtinem

⟨T (v1), v2⟩ = ⟨v1, T (v2)⟩⇔ λ1⟨v1, v2⟩ = λ2⟨v1, v2⟩

asadar(λ1 − λ2)⟨v1, v2⟩ = 0

iar cum λ1 ≠ λ2 rezulta⟨v1, v2⟩ = 0

Teorema 17.15. Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vectorial euclidian. Daca endo-morfismul T ∈ L(V ) este autoadjunct , atunci exista o baza ortonormata Bformata din vectori proprii ai lui T .

Corolar 17.4.1. Daca matricea endomorfismului T ∈ L(V ) ıntr-o baza or-tonormata este simetrica, atunci T este diagonalizabil.

Demonstratie:Daca matricea endomorfismului T ∈ L(V ) ıntr-o baza ortonormata este si-metrica, atunci T este un endomorfism autoadjunct , iar conform teoremeianterioare exista o baza ortonormata B formata din vectori proprii ai lui T ,de unde rezulta ca T este diagonalizabil.

Definitia 17.10. Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vectorial euclidian. EndomorfismulT ∈ L(V ) se numeste ortogonal (sau transformare ortogonala) dacapastreaza produsul scalar, adica:

⟨T (u), T (v)⟩ = ⟨u, v⟩, ∀u, v ∈ V

Propozitia 17.4.1. Un endomorfism ortogonal T ∈ L(V ) pastreaza normavectorilor, distantele si unghiurile dintre vectori.

Demonstratie: Cum T este ortogonal, pentru v = u obtinem

⟨T (u), T (u)⟩ = ⟨u,u⟩⇔ ∥T (u)∥ = ∥u∥, ∀u ∈ V

17.4. ENDOMORFISME PE SPATII EUCLIDIENE 235

Pentru u = x − y obtinem

∥T (x − y)∥ = ∥x − y∥⇔ ∥T (x) − T (y)∥ = ∥x − y∥

adica d (T (x), T (y)) = d(x, y), deci T pastreaza distanta ıntre vectori. Dacaθ este unghiul dintre vectorii x si y avem

cos θ = ⟨x, y⟩∥x∥ ⋅ ∥y∥

= ⟨T (x), T (y)⟩∥T (x)∥ ⋅ ∥T (y)∥

= cosϕ

unde ϕ este unghiul dintre T (x) si T (y).

Teorema 17.16. Fie (V ; ⟨⋅, ⋅⟩) un spatiu vectorial euclidian si endomorfismulT ∈ L(V ). Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1. T este o transformare ortogonala

2. T transforma orice baza ortonormata a lui V tot ıntr-o baza ortonor-mata.

3. Daca A este matricea lui T ıntr-o baza ortonormata B, atunci AT =A−1, sau

A ⋅AT = AT ⋅A = In

Definitia 17.11. O matrice A ∈Mn(R) se numeste matrice ortogonaladaca este inversabila si A−1 = AT .

Propozitia 17.4.2. Daca A ∈Mn(R) este matrice ortogonala, atunci detA =±1

Demonstratie: A matrice ortogonala ⇒ A ⋅ AT = In. Aplicand pro-prietatile determinantilor obtinem:

det(A ⋅AT ) = det In⇒ detA ⋅ detAT = 1⇒ (detA)2 = 1

asadar detA = ±1.Exemplu: Fie transformarea T ∶ R3 → R3 definita prin

T (x1, x2, x3) = (x1 − 4x2 − 8x3,−4x1 + 7x2 − 4x3,−8x1 − 4x2 + x3)

Notam cu e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1) vectorii bazei canonice, careeste o baza ortonormata. Gasim

T (e1) = (1,−4,−8), T (e2) = (−4,7,−4), T (e3) = (−8,−4,1),


deci matricea lui T ın baza canonica este A =⎛⎜⎝

1 −4 −8−4 7 −4−8 −4 1

⎞⎟⎠

, asadar T este

o transformare autoadjuncta , deci este diagonalizabila . Pentru a gasi formadiagonala calculam valorile si vectorii proprii.

det(A − λI3) =RRRRRRRRRRRRRR

1 − λ −4 −8−4 7 − λ −4−8 −4 1 − λ

RRRRRRRRRRRRRR= ⋅ ⋅ ⋅ = −(λ − 9)2(λ + 9)

asadar valorile proprii sunt λ1,2 = 9 si λ3 = −9.

λ1,2 = 9⇒⎛⎜⎝

−8 −4 −8−4 −2 −4−8 −4 −8

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

x1

x2

x3

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

000

⎞⎟⎠⇒ 2x1 + x2 + 2x3 = 0

x1 = α,x3 = β ⇒ x2 = −2α − 2β ⇒ Vλ1,2 = Sp(1,−2,0), (0,−2,1)

λ1,2 = −9⇒⎛⎜⎝

10 −4 −8−4 16 −4−8 −4 10

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

x1

x2

x3

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

000

⎞⎟⎠⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

5x1 − 2x2 − 4x3 = 0

x1 − 4x2 + x3 = 0

−4x1 − 2x2 + 5x3 = 0

x2 = α⇒ x1 = x3 = 2α⇒ Vλ3 = Sp(2,1,2)Notam vectorii proprii care genereaza cele 2 subspatii proprii cu

u1 = (1,−2,0), u2 = (0,−2,1), u3 = (2,1,2)

si construim o baza ortonormata pornind de la acesti vectori.

1. v1 = u1 = (1,−2,0)

2. v2 = u2 + λ21v1 = (0,−2,1) − 4

5(1,−2,0) = −1

5(4,2,−5)

3. v3 = u3 = (2,1,2) (u3 este vector propriu corespunzator unei valoriproprii diferite, deci este deja ortogonal pe v1 si v2).

Versorii corespunzatori acestor 3 vectori:

f1 = ( 1√5,− 2√

5,0) , f2 = ( 4

3√

5,

2

3√

5,− 5

3√

5) , f3 = (2

3,1

3,2

3)

formeaza o baza ortonormata din vectori proprii.Transformarea ortogonala care transforma baza canonica B = e1, e2, e3

din R3 ın baza ortonormata B = f1, f2, f3 va avea matricea care are pecoloane coordonatele lui f1, f2 si f3, adica matricea de trecere de la baza B

17.5. EXERCITII 237

la baza B:

S =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1√5

4

3√

5

2

3

− 2√5

2

3√

5

1

3

0 − 5

3√

5

2

3

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

deci expresia analitica a acestei transformari ortogonale este

T (x1, x2, x3) = ( x1√5+ 4x2

3√

5+ 2x3

3,−2x1√

5+ 2x2

3√

5+ x3

3,− 5x2

3√

5+ 2x3

3) .

17.5 Exercitii

1. Fie T ∶ R4 → R2, T (x1, x2, x3, x4) = (x1 + x2, x3 − x4)

a) Sa se arate ca T este liniara

b) Sa se scrie matricea lui T ın bazele canonice din R4 si R2.

c) Sa se gaseasca kerT si imT

Rezolvare: a) Fie x = (x1, x2, x3, x4), y = (y1, y2, y3, y4) ∈ R4, α, β ∈ R.

T (αx + βy) = T (αx1 + βy1, αx2 + βy2, αx3 + βy3, αx4 + βy4) == (αx1 + βy1 + αx2 + βy2, αx3 + βy3 − αx4 − βy4) == (αx1 + αx2, αx3 − αx4) + (βy1 + βy2, βy3 − βy4) == α(x1 + x2, x3 − x4) + β(y1 + y2, y3 − y4) = αT (x) + βT (y).

b) Fie B1 = e1, e2, e3, e4, B2 = f1, f2 bazele canonice din R4 si R2.

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

T (e1) = T (1,0,0,0) = (1,0) = 1 ⋅ f1 + 0 ⋅ f2

T (e2) = T (0,1,0,0) = (1,0) = 1 ⋅ f1 + 0 ⋅ f2

T (e3) = T (0,0,1,0) = (0,1) = 0 ⋅ f1 + 1 ⋅ f2

T (e4) = T (0,0,0,1) = (0,−1) = 0 ⋅ f1 + (−1) ⋅ f2

⇒

( 1 1 0 00 0 1 −1

) este matricea lui T ın bazele canonice.

c) kerT = x ∈ R4∣T (x) = 0. Se obtine sistemul omogen

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x1 + x2 = 0

x3 − x4 = 0.


Avem rang ( 1 1 0 00 0 1 −1

) = 2. Alegem necunoscutele secundare

x2 = α, x3 = β si gasim x1 = −α, x4 = β, deci

kerT = (−α,α, β, β)∣α,β ∈ R == (−α,α,0,0) + (0,0, β, β)∣α,β ∈ R == α(−1,1,0,0) + β(0,0,1,1)∣α,β ∈ R == Sp(−1,1,0,0), (0,0,1,1).

imT = y ∈ R2∣∃x ∈ R4, T (x) = y

T (x) = y⇔⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x1 + x2 = y1

x3 − x4 = y2

asadar imT este multimea vectorilor (y1, y2) pentru care sistemul an-terior este compatibil. Cum rangul matricei sistemului este 2 iaradaugand coloana termenilor liberi rangul matricei extinse nu creste,sistemul anterior este compatibil pentru orice (y1, y2) ∈ R2, deci imT =R2.

2. Fie e1, e2, e3, e4 baza canonica din R4 si transformarea liniaraT ∶ R4 → R4 definita prin T (e1) = e2+e3, T (e2) = e3+e4, T (e3) = e4+e1,T (e4) = e1 + e2. Sa se gaseasca:

a) T (1,2,3,4)b) matricea lui T ın baza canonica

c) kerT si imT

Rezolvare: a)

T (1,2,3,4) = T (e1 + 2e2 + 3e3 + 4e4) == T (e1) + 2T (e2) + 3T (e3) + 4T (e4)) == e2 + e3 + 2(e3 + e4) + 3(e4 + e1) + 4(e1 + e2) == 7e1 + 5e2 + 3e3 + 5e4 == (7,5,3,5).

b) Avem:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

T (e1) = e2 + e3 = 0 ⋅ e1 + 1 ⋅ e2 + 1 ⋅ e3 + 0 ⋅ e4

T (e2) = e3 + e4 = 0 ⋅ e1 + 0 ⋅ e2 + 1 ⋅ e3 + 1 ⋅ e4

T (e3) = e4 + e1 = 1 ⋅ e1 + 0 ⋅ e2 + 0 ⋅ e3 + 1 ⋅ e4

T (e4) = e1 + e2 = 1 ⋅ e1 + 1 ⋅ e2 + 0 ⋅ e3 + 0 ⋅ e4

17.5. EXERCITII 239

deci matricea lui T ın baza canonica este

⎛⎜⎜⎜⎝

0 0 1 11 0 0 11 1 0 00 1 1 0

⎞⎟⎟⎟⎠

.

c) T (x) = 0⇔⎛⎜⎜⎜⎝

0 0 1 11 0 0 11 1 0 00 1 1 0

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

x3

x4

⎞⎟⎟⎟⎠=⎛⎜⎜⎜⎝

0000

⎞⎟⎟⎟⎠⇔

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x3 + x4 = 0

x1 + x4 = 0

x1 + x2 = 0

x2 + x3 = 0

.

Rangul matricei este 3, alegem necunoscuta secundara x4 = α si obtinemx1 = −α,x2 = α,x3 = −α, deci

kerT = (−α,α,−α,α) ∈ R4∣α ∈ R = Sp(−1,1,−1,1).

T (x) = y ⇔⎛⎜⎜⎜⎝

0 0 1 11 0 0 11 1 0 00 1 1 0

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

x3

x4

⎞⎟⎟⎟⎠=

⎛⎜⎜⎜⎝

y1

y2

y3

y4

⎞⎟⎟⎟⎠⇒

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

0 0 1 y1

1 0 0 y2

1 1 0 y3

0 1 1 y4

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

= 0

⇒ y1 − y2 + y3 − y4 = 0⇒ImT =Sp(1,1,0,0), (−1,0,1,0), (1,0,0,1).

3. Fie transformarile liniare T1 ∶ R3 → R2, T2 ∶ R2 → R4 definite prin:

T1(x1, x2, x3) = (x1 + x3, x1 + x2 − x3)T2(y1, y2) = (y1 + y2, y1, y2,2y1 − y2)

Sa se gaseasca matricele lui T1, T2 si T2 T1 ın bazele canonice, precumsi nucleele acestor aplicatii.

Rezolvare: AT1 = ( 1 0 11 1 −1

) , AT2 =⎛⎜⎜⎜⎝

1 11 00 12 −1

⎞⎟⎟⎟⎠

T2 T1(x1, x2, x3) = T2 (T1(x1, x2, x3)) = T2(x1 + x3, x1 + x2 − x3) == (x1 + x3 + x1 + x2 − x3, x1 + x3, x1 + x2 − x3,2(x1 + x3) − (x1 + x2 − x3)) == (2x1 + x2, x1 + x3, x1 + x2 − x3, x1 − x2 + 3x3)

si obtinem AT2T1 =⎛⎜⎜⎜⎝

2 1 01 0 11 1 −11 −1 3

⎞⎟⎟⎟⎠= AT2 ⋅AT1 .

T1(x) = 0⇒⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x1 + x3 = 0

x1 + x2 − x3 = 0, rang( 1 0 1

1 1 −1) = 2,


x3 = α⇒ x1 = −α,x2 = 2α⇒ kerT1 =Sp(−1,2,1)

T2(y) = 0⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

y1 + y2 = 0

y1 = 0

y2 = 0

2y1 − y2 = 0

⇒ kerT2 = (0,0)

T2 T1(x) = 0⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

2x1 + x2 = 0

x1 + x3 = 0

x1 + x2 − x3 = 0

x1 − x2 + 3x3 = 0

, rang

⎛⎜⎜⎜⎝

2 1 01 0 11 1 −11 −1 3

⎞⎟⎟⎟⎠= 2

x3 = α⇒ x1 = −α, x2 = 2α⇒ kerT2 T1 =Sp(−1,2,1).

4. Fie ın R3 baza B1 = (1,1,1), (0,1,1), (0,0,1) si transformarea liniara

T ∶ R3 → R3 care are ın baza B1 matricea⎛⎜⎝

1 2 12 0 10 1 −1

⎞⎟⎠

. Sa se gaseasca

expresia analitica a lui T (x), x ∈ R3, precum si matricea lui T ın bazaB2 = (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1).

Rezolvare: Notam f1 = (1,1,1), f2 = (0,1,1), f3 = (0,0,1). Avem:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

T (f1) = 1 ⋅ f1 + 2 ⋅ f2 + 0 ⋅ f3 = (1,3,3)T (f2) = 2 ⋅ f1 + 0 ⋅ f2 + 1 ⋅ f3 = (2,2,3)T (f3) = 1 ⋅ f1 + 1 ⋅ f2 + (−1) ⋅ f3 = (1,2,1)

Aflam coordonatele unui vector x = (x1, x2, x3) ∈ R3 ın baza B1:

x = α1f1 + α2f2 + α3f3 ⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α1 = x1

α1 + α2 = x2

α1 + α2 + α3 = x3

⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α1 = x1

α2 = x2 − x1

α3 = x3 − x2

T (x) = T (α1f1 + α2f2 + α3f3) = α1T (f1) + α2T (f2) + α3T (f3) == x1 ⋅ (1,3,3) + (x2 − x1) ⋅ (2,2,3) + (x3 − x2) ⋅ (1,2,1)

Se obtine T (x) = (−x1 + x2 + x3, x1 + 2x3,2x2 + x3).Notam g1 = (1,0,0), g2 = (1,1,0), g3 = (1,1,1). Avem:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

T (g1) = T (1,0,0) = (−1,1,0)T (g2) = T (1,1,0) = (0,1,2)T (g3) = T (1,1,1) = (1,3,3)

.

Matricea ın baza B2 va avea pe coloane coordonatele acestor vectori ınbaza B2 ∶

17.5. EXERCITII 241

α1g1 + α2g2 + α3g3 = (−1,1,0) ⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α1 + α2 + α3 = −1

α2 + α3 = 1

α3 = 0

⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α1 = −2

α2 = 1

α3 = 0⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α1 + α2 + α3 = 0

α2 + α3 = 1

α3 = 2

⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α1 = −1

α2 = −1

α3 = 2

;

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α1 + α2 + α3 = 1

α2 + α3 = 3

α3 = 3

⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α1 = −2

α2 = 0

α3 = 3

Asadar matricea lui T ın baza B2 este⎛⎜⎝

−2 −1 −21 −1 00 2 3

⎞⎟⎠

5. Fie transformarea liniara T ∶ R3 → R3 astfel ıncat T (0,0,1) = (2,3,5),T (0,1,1) = (1,0,0), T (1,1,1) = (0,1,−1). Care este matricea lui T ınbaza canonica din R3?

6. Fie baza 1,X,X2, . . . ,Xn ın spatiul vectorial Rn[X] si transformarealiniara T ∶ Rn[X]→ Rn[X] definita prin

T (P (X)) = P (X + 1) − P (X)

Sa se scrie matricea lui T ın baza de mai sus.

7. Determinati valorile si vectorii proprii pentru transformarile liniareavand urmatoarele matrice ın baza canonica din R3:

a)⎛⎜⎝

2 −1 25 −3 3−1 0 −2

⎞⎟⎠

; b)⎛⎜⎝

0 1 0−4 4 0−2 1 2

⎞⎟⎠

; c)⎛⎜⎝

4 −5 25 −7 36 −9 4

⎞⎟⎠

;

d)⎛⎜⎝

1 −3 3−2 −6 13−1 −4 8

⎞⎟⎠

; e)⎛⎜⎝

1 −3 44 −7 86 −7 7

⎞⎟⎠

;

R: a) λ1 = λ2 = λ3 = −1, Sp(1,1,−1);b) λ1 = λ2 = λ3 = 2, Sp(1,2,0), (0,0,1);c) λ1 = 1, λ2 = λ3 = 0, Sp(1,1,1), Sp(1,2,3);d) λ1 = λ2 = λ3 = 1, Sp(3,1,1);e) λ1 = 3, λ2 = λ3 = −1, Sp(1,2,2), Sp(1,2,1)

8. Sa se reduca la forma diagonala matricele urmatoare, specificand sibazele ın care au aceasta forma:

a)⎛⎜⎝

2 −2 0−2 1 −20 −2 0

⎞⎟⎠

; b)⎛⎜⎝

1 −2 0−2 2 −20 −2 3

⎞⎟⎠

; c)⎛⎜⎝

3 2 02 4 −20 −2 5

⎞⎟⎠


R: a) λ1 = 1, λ2 = −2, λ3 = 4, B = (2,1,−2), (1,2,2), (2,−2,1);b) λ1 = −1, λ2 = 5, λ3 = 2;c) λ1 = 1, λ2 = 7, λ3 = 4;

9. Determinati care din urmatoarele transformari liniare (date prin ma-tricele lor ın baza canonica) pot fi diagonalizate:

a)⎛⎜⎝

−1 3 −1−3 5 −1−3 3 1

⎞⎟⎠

; b)⎛⎜⎝

6 −5 −33 −2 −22 −2 0

⎞⎟⎠

; c)⎛⎜⎜⎜⎝

1 1 1 11 1 −1 −11 −1 1 −11 −1 −1 1

⎞⎟⎟⎟⎠

d)⎛⎜⎜⎜⎝

4 −3 1 25 −8 5 46 −12 8 51 −3 2 2

⎞⎟⎟⎟⎠

; e)⎛⎜⎜⎜⎝

0 0 0 10 0 1 00 1 0 01 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠

R: a) λ1 = 1, λ2 = λ3 = 2,B = (1,1,1), (1,1,0), (1,0,−3)b) nu poate fi diagonalizatac) λ1 = λ2 = λ3 = 2, λ4 = −2, B = (1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,−1,−1,−1)d) nu poate fi diagonalizatae) λ1 = λ2 = 1, λ3 = λ4 = −1, B = (1,0,0,1), (0,1,1,0), (0,−1,1,0), (−1,0,0,1)

10. Sa se verifice care dintre urmatoarele transformari sunt autoadjuncte:

(a) T (x1, x2, x3) = (x1 − x2 + x3,−x1 + x2 + x3, x1 + x2 + x3)(b) T (x1, x2, x3) = (x1 − x2,−x1 + x2 + x3, x2 + x3)(c) T (x1, x2, x3) = (x1 + x2 + x3, x1 − x2, x2 + x3)

11. Sa se verifice care dintre urmatoarele transformari sunt ortogonale:

(a) T (x1, x2, x3) = (x1,1

2x2 −

√3

2x3,

√3

2x2 +

1

2x3)

(b) T (x1, x2, x3) = (x1 + x3, x1 + x2, x2 + x3)

(c) T (x1, x2, x3) = (2

3x1 +

2

3x2 −

1

3x3,

2

3x1 −

1

3x2 +

2

3x3,−

1

3x1 +

2

3x2 +

2

3x3)

Capitolul 18

Forme biliniare. Formepatratice

18.1 Forme biliniare

Definitia 18.1. Fie V un spatiu vectorial de dimensiune n. O aplicatieF ∶ V × V → R se numeste forma biliniara pe V daca satisface conditiile:

1. F (x + y, z) = F (x, z) + F (y, z), ∀x, y, z ∈ V

2. F (αx, y) = αF (x, y), ∀α ∈ R, x, y ∈ V

3. F (x, y + z) = F (x, y) + F (x, z), ∀x, y, z ∈ V

4. F (x,αy) = αF (x, y), ∀α ∈ R, x, y ∈ V

Cele patru conditii din definitia unei forme biliniare sunt echivalente cuurmatoarele doua:

F (αx + βy, z) = αF (x, z) + βF (y, z), ∀α,β ∈ R, x, y, z ∈ VF (x,αy + βz) = αF (x, y) + βF (x, z), ∀α,β ∈ R, x, y, z ∈ V

Exemple

1. Orice produs scalar este o forma biliniara

2. Fie F ∶ R2 ×R2 → R definita prin

F (x, y) = x1y2 − x2y1, ∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2.

243

244 CAPITOLUL 18. FORME BILINIARE. FORME PATRATICE

Pentru x = (x1, x2), y = (y1, y2), z = (z1, z2) ∈ R2 si α,β ∈ R2 avem:

F (αx + βy, z) = F ((αx1 + βy1, αx2 + βy2), (z1, z2)) == (αx1 + βy1)z2 − (αx2 + βy2)z1 == α(x1z2 − x2z1) + β(y1z2 − y2z1) == αF (x, z) + βF (y, z).

In mod analog se arata ca

F (x,αy + βz) = αF (x, z) + βF (y, z).

Sa consideram acum un spatiu vectorial V , o baza B = e1, . . . , en ın V siforma biliniara F ∶ V × V → R. Fie de asemenea doi vectori oarecare x, y ∈ Vexprimati ın baza B astfel:

x =n

∑i=1

xiei = x1e1 + x2e2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xnen, xi ∈ R, i = 1, . . . , n

y =n

∑i=1

yiei = y1e1 + y2e2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ynen, yi ∈ R, i = 1, . . . , n

Folosind proprietatile de liniaritate ale lui F obtinem:

F (x, y) = F (n

∑i=1

xiei,n

∑j=1

yjej) =n

∑i=1

n

∑j=1

xiyjF (ei, ej) =n

∑i=1

n

∑j=1

aijxiyj (18.1)

unde aij = F (ei, ej), i, j = 1,2, . . . , n.

Definitia 18.2. Fie F ∶ V × V → R o forma biliniara pe spatiul vectorial Vsi B = e1, . . . , en o baza ın V . Matricea

A =⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

⋮ ⋮ ⋱ ⋮an1 an2 . . . ann

⎞⎟⎟⎟⎠

unde aij = F (ei, ej), i, j = 1,2, . . . , n, se numeste matricea formei bilini-are F ın baza B.

Exemplu: Pentru forma biliniara F ∶ R2 ×R2 → R, F (x, y) = x1y2 − x2y1

ın baza canonica din R2 avem:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

a11 = F (e1, e1) = 1 ⋅ 0 − 0 ⋅ 1 = 0

a12 = F (e1, e2) = 1 ⋅ 1 − 0 ⋅ 0 = 1

a21 = F (e2, e1) = 0 ⋅ 0 − 1 ⋅ 1 = −1

a22 = F (e2, e2) = 0 ⋅ 1 − 1 ⋅ 0 = 0

18.1. FORME BILINIARE 245

deci matricea formei biliniare este ( 0 1−1 0

).

Daca introducem notatiile

X =⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

⋮xn

⎞⎟⎟⎟⎠, Y =

⎛⎜⎜⎜⎝

y1

y2

⋮yn

⎞⎟⎟⎟⎠

atunci (18.1) devineF (x, y) =XTAY.

Teorema 18.1. Fie F ∶ V × V → R o forma biliniara pe spatiul vectorial Vsi doua baze B = e1, . . . , en, B = f1, . . . , fn ın V . Fie SBB matricea detrecere de la B la B si A, A matricele formei biliniare F ın raport cu bazeleB, respectiv B. Atunci avem:

A = STBBASBB

Demonstratie: Expresia formei biliniare F ın bazele B si B este

F (x, y) =XT ⋅A ⋅ Y = XT ⋅ A ⋅ Y

unde X si Y sunt matricele coloana ale coordonatelor vectorilor x si y ınbaza B, iar X si Y matricele coloana ale coordonatelor vectorilor x si y ınbaza B. Avem:

X = SBBX si Y = SBBY

Inlocuind ın expresia lui F (x, y) obtinem

F (x, y) = (SBBX)T ⋅A ⋅ SBBY = XT ⋅ (STBBASBB) ⋅ Y = XT ⋅ A ⋅ Y

de unde rezulta caA = ST

BBASBB

Definitia 18.3. O forma biliniara F ∶ V × V → R pe spatiul vectorial V senumeste simetrica daca

F (x, y) = F (y, x), ∀x, y ∈ V.

Exemple:

orice produs scalar este o forma biliniara simetrica

forma biliniara F ∶ R2 ×R2 → R, F (x, y) = x1y2 −x2y1 nu este simetrica


Teorema 18.2. O forma biliniara F ∶ V × V → R pe spatiul vectorial Veste simetrica daca si numai daca exista o baza B a lui V ın raport cu carematricea asociata lui F este simetrica.

Demonstratie: ”⇒”Presupunem ca F este simetrica. Fie B = e1, e2, . . . , en o baza a lui V siA matricea lui F ın aceasta baza . Avem:

aij = F (ei, ej) = F (ej, ei) = aji, ∀i, j = 1, . . . , n

deci A este o matrice simetrica.”⇐” Presupunem ca matricea lui F ıntr-o baza B este simetrica, deci

A = AT . Consideram doi vectori oarecare x, y ∈ V si X, Y matricele coloanaale coordonatelor acestor vectori ın baza B. Avem:

F (x, y) =XT ⋅A ⋅ Y =XT ⋅AT ⋅ Y = (A ⋅X)T ⋅ Y = Y T ⋅A ⋅X = F (y, x)

deci F este o forma biliniara simetrica.

18.2 Forme patratice

Definitia 18.4. Fie V un spatiu vectorial de dimensiune n. O aplicatie

Φ ∶ V → R

se numeste forma patratica pe V daca exista o forma biliniara simetricaF ∶ V × V → R astfel ıncat

Φ(x) = F (x,x), ∀x ∈ V.

Asadar oricarei forme biliniare simetrice ıi putem asocia o forma patratica.Reciproc, daca avem o forma patratica Φ, atunci forma biliniara din careprovine aceasta este F ∶ V × V → R data prin

F (x, y) = 1

2[Φ(x + y) −Φ(x) −Φ(y)], ∀x, y ∈ V.

Sa consideram acum o baza B = e1, . . . , en ın spatiul vectorial V , oforma patratica Φ ∶ V → R si forma biliniara simetrica F ∶ V × V → R dincare provine Φ. Fie de asemenea vectorul oarecare x ∈ V exprimat ın bazaB astfel:

x =n

∑i=1

xiei = x1e1 + x2e2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xnen, xi ∈ R, i = 1, . . . , n

18.2. FORME PATRATICE 247

Folosind proprietatile de liniaritate ale lui F obtinem:

Φ(x) = F (x,x) = F (n

∑i=1

xiei,n

∑j=1

xjej) =n

∑i=1

n

∑j=1

aijxixj =XTAX

unde X =⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

⋮xn

⎞⎟⎟⎟⎠

iar A este matricea asociata lui F ın baza B.

Exemplu Fie forma biliniara F ∶ R3 ×R3 → R data prin

F (x, y) = x1y1 + 2x2y2 + 3x3y3, ∀x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ R3

Notam vectorii din baza canonica din R3 cu e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0),e3 = (0,0,1). Avem:

a11 = F (e1, e1) = 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 ⋅ 0 + 3 ⋅ 0 ⋅ 0 = 1

a22 = F (e2, e2) = 0 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 0 ⋅ 0 = 2

a33 = F (e3, e3) = 0 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 ⋅ 0 + 3 ⋅ 1 ⋅ 1 = 3

a12 = F (e1, e2) = 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 ⋅ 1 + 3 ⋅ 0 ⋅ 0 = 0 = a21

a13 = F (e1, e3) = 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 ⋅ 0 + 3 ⋅ 0 ⋅ 1 = 0 = a31

a23 = F (e2, e3) = 0 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 ⋅ 0 + 3 ⋅ 0 ⋅ 1 = 0 = a32

Matricea formei biliniare F ın baza canonica este A =⎛⎜⎝

1 0 00 2 00 0 3

⎞⎟⎠

.

Fie bazaB formata din vectorii f1 = (1,1,1), f2 = (1,1,−1), f3 = (1,−1,−1).Avem:

a11 = F (f1, f1) = 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 ⋅ 1 = 6

a22 = F (f2, f2) = 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ (−1) ⋅ (−1) = 6

a33 = F (f3, f3) = 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ (−1) ⋅ (−1) + 3 ⋅ (−1) ⋅ (−1) = 6

a12 = F (f1, f2) = 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 ⋅ (−1) = 0 = a21

a13 = F (f1, f3) = 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ (−1) + 3 ⋅ 1 ⋅ (−1) = −4 = a31

a23 = F (f2, f3) = 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ (−1) + 3 ⋅ (−1) ⋅ (−1) = 2 = a32

Asadar matricea formei biliniare F ın baza B este⎛⎜⎝

6 0 −40 6 2−4 2 6

⎞⎟⎠

.

F este simetrica deoarece F (x, y) = F (y, x), ∀x, y ∈ R3.


Matricea de trecere de la baza canonica la baza B este S =⎛⎜⎝

1 1 11 1 −11 −1 −1

⎞⎟⎠

.

Se verifica usor ca

ST ⋅A ⋅ S =⎛⎜⎝

1 1 11 1 −11 −1 −1

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

1 0 00 2 00 0 3

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

1 1 11 1 −11 −1 −1

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

6 0 −40 6 2−4 2 6

⎞⎟⎠

Forma patratica asociata este Φ ∶ R3 → R, Φ(x) = F (x,x) = x21 + 2x2

2 + 3x23.

Expresia formei patratice Φ ın baza B este

Φ(x) = XT AX = ( x1 x2 x3 )⎛⎜⎝

6 0 −40 6 2−4 2 6

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

x1

x2

x3

⎞⎟⎠=

= 6x21 + 6x2

2 + 6x23 − 8x1x3 + 4x2x3

Definitia 18.5. Matricea A asociata formei biliniare simetrice F (din careprovine forma patratica Φ) ın baza B se numeste matricea formei patraticeΦ ın baza B.

Definitia 18.6. Spunem ca o forma patratica Φ ∶ V → R este redusa laforma canonica daca se determina o baza B = f1, . . . , fn a lui V ınraport cu care expresia lui Φ sa fie de forma

Φ(x) = λ1y21 + λ2y

22 + ⋅ ⋅ ⋅ + λny2

n

unde λi ∈ R, i = 1, . . . , n iar y1, . . . , yn sunt componentele vectorului x ∈ V ınbaza B.

Teorema 18.3 (Gauss). Fie Φ ∶ V → R o forma patratica. Atunci existacel putin o baza ın V ın raport cu care expresia lui Φ are o forma canonica.

Demonstratie: Fie B = e1, e2, . . . , en o baza ın V si

Φ(x) =n

∑i=1

n

∑j=1

aijxixj,

unde x1, x2, . . . , xn sunt coordonatele vectorului x ın baza B.Daca Φ = 0 atunci teorema este evident adevarata.Daca Φ ≠ 0 distingem doua cazuri:

1. exista cel putin un indice i ∈ 1, . . . , n astfel ıncat aii ≠ 0;


2. aii = 0, ∀i ∈ 1, . . . , n, adica Φ(x) = ∑1≤i<j≤n

2aijxixj.

Cazul 1. Vom demonstra ca exista o baza ın care Φ are forma canonicafolosind inductia matematica dupa n = dimV .

Pentru n = 1, orice baza este formata dintr-un singur vector, deci vectoriiau o singura coordonata, asadar Φ este ın forma canonica

Φ(x) = a11x21.

Presupunem teorema adevarata pentru orice forma patratica definita peun spatiu de dimensiune n− 1 si demonstram ca este adevarata pentru oriceforma patratica definita pe un spatiu de dimensiune n.

Putem presupune fara a reduce generalitatea ca a11 ≠ 0. Grupand totitermenii care contin pe x1 si formand un patrat perfect, obtinem:

Φ(x) = a11x21 + 2a12x1x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2a1nx1xn + Φ(x2, x3, . . . , xn) =

= 1a11

(a211x

21 + 2a11a12x1x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2a11a1nx1xn) + Φ(x2, x3, . . . , xn) =

= 1a11

(a11x1 + a12x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1nxn)2 +Φ1(x2, x3, . . . , xn)

unde Φ1 este o forma patratica ın x2, . . . , xn.Construim baza B1 = f1, f2, . . . , fn ın V cu ajutorul schimbarii de coor-

donate:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

y1 = a11x1 + a12x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1nxn

y2 = x2

⋮yn = xn

,

unde y1, y2, . . . , yn sunt coordonatele vectorului x ın baza B1, deci matriceade trecere de la baza B1 la baza B este

SB1B=

⎛⎜⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1n

0 1 . . . 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 . . . 1

⎞⎟⎟⎟⎠⇒ SBB1=

⎛⎜⎜⎜⎝

1a11

−a12a11. . . −a1na11

0 1 . . . 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 . . . 1

⎞⎟⎟⎟⎠

deci vectorii bazei B1 sunt

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

f1 = 1a11

⋅ e1

f2 = −a12a11⋅ e1 + e2

⋮fn = −a1na11 ⋅ e1 + en

In noua baza B1 forma patratica Φ devine

Φ(x) = 1

a11

y21 +Φ1(y2, . . . , yn), unde x =

n

∑i=1

yifi.


si aplicand ipoteza de inductie, exista o baza ın care Φ are forma canonica.Cazul 2. Daca aii = 0, ∀i = 1, . . . , n si Φ ≠ 0, exista cel putin un coeficient aij ≠0. Fara a restrange generalitatea, putem presupune ca a12 ≠ 0. Efectuamschimbarea de coordonate:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x1 = y1 + y2

x2 = y1 − y2

xk = yk, ∀k = 3, . . . , n

corespunzatoare matricei de trecere

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 1 0 . . . 01 −1 0 . . . 00 0 1 . . . 0⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 . . . 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Asadar ın baza B′ = f1, f2, . . . , fn data prin

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

f1 = e1 + e2

f2 = e1 − e2

f3 = e3

⋮fn = en

expresia formei patratice devine:

Φ(x) = 2a12x1x2 + Φ(x) = 2a12(y21 − y2

2) + Φ(x)deci ın baza B′ forma patratica Φ se ıncadreaza ın cazul 1.

Prin aplicarea repetata, de cel mult n ori a unuia din cele 2 cazuri descriseanterior , asadar prin schimbari repetate de baze , se obtine o baza ın raportcu care Φ are o forma canonica.

Teorema 18.4 (Jacobi). Fie Φ ∶ V → R o forma patratica avand ın bazaB = e1, . . . , en matricea sociata A cu proprietatea ca toti minorii principali

∆i =RRRRRRRRRRRRRR

a11 . . . a1i

⋮ ⋱ ⋮ai1 . . . aii

RRRRRRRRRRRRRR, i = 1, . . . , n

sunt nenuli . Atunci exista o baza B = f1, . . . , fn a lui V ın care Φ areforma canonica

Φ(x) = ∆0

∆1

y21 +

∆1

∆2

y22 + ⋅ ⋅ ⋅ +

∆n−1

∆n

y2n

unde ∆0 = 1 iar y1, . . . , yn sunt componentele vectorului x ın baza B.


Teorema 18.5. Fie V un spatiu vectorial euclidian si Φ ∶ V → R o formapatratica. Atunci exista o baza ortonormata ın V astfel ıncat matricea lui Φın aceasta baza sa fie diagonala.

Demonstratie:

Fie B = e1, e2, . . . , en o baza ortonormata ın V si A matricea formeipatratice Φ ın baza B;

Cum Φ corespunde unei forme biliniare simetrice, matricea A este omatrice simetrica;

Fie T ∈ L(V ) endomorfismul care are matricea A ın baza B, adica estedefinit prin

T (ei) =n

∑j=1

ajiej

Cum matricea A este simetrica iar baza B este ortonormata, atunci Teste o transformare autoadjuncta;

Asadar exista o baza ortonormata formata din vectori proprii

B = f1, f2, . . . , fn

ın care matricea endomorfismului T devine diagonala:

D =⎛⎜⎜⎜⎝

λ1 0 . . . 00 λ2 . . . 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 . . . λn

⎞⎟⎟⎟⎠

unde λ1, . . . , λn sunt valorile proprii ale lui T ;

Daca S este matricea de trecere de la baza B la baza B, atunci avem

D = S−1 ⋅A ⋅ S

Construim endomorfismul T ∈ L(V ) dat prin

T (ei) = fi, ∀i = 1, . . . , n

Avem T (ei) = fi =n

∑j=1

sjiej, ∀i = 1, . . . , n, asadar matricea endomorfis-

mului T ın baza B este chiar matricea S


Cum transformarea T duce o baza ortonormata tot ıntr-o baza orto-normata , T este o transformare ortogonala, deci

S−1 = ST

Pentru un vector oarecare x ∈ V , notam cu

X =⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

⋮xn

⎞⎟⎟⎟⎠, Y =

⎛⎜⎜⎜⎝

y1

y2

⋮yn

⎞⎟⎟⎟⎠

matricele coloana ale coordonatelor lui x ın bazele B, respectiv B;

Cum S este matricea de trecere de la B la B, avem

X = S ⋅ Y

Expresia formei patratice Φ(x) ın baza B devine

Φ(x) =n

∑i,j=1

aijxixj =XTAX = (SY )T ⋅A ⋅ SY = Y T (STAS)Y

= Y T (S−1AS)Y = Y TDY =n

∑i=1

λiy2i

Algoritmul de reducere la forma canonica a unei forme patratice prinmetoda transformarilor ortogonale consta din urmatorii pasi:

1. Se determina valorile proprii λi, i = 1, . . . , n ale matricei formei patratice,precum si subspatiile de vectori proprii corespunzatoare Vλi , i = 1, . . . , n

2. In fiecare subspatiu propriu se construieste o baza ortonormata folosindprocedeul Gram-Schmidt, reuniunea acestor baze fiind baza B ın careavem forma canonica

3. Se scrie forma canonica

Φ(x) = λ1y21 + λ2y

22 + ⋅ ⋅ ⋅ + λny2

n

unde y1, y2, . . . , yn sunt coordonatele vectorului x ın baza B

4. Se scriu relatiile dintre coordonatele initiale si cele ın care avem formacanonica

X = S ⋅ Yunde S este matricea de trecere de la baza initiala la baza B


Exemplu Fie forma patratica Φ ∶ R3 → R data prin

Φ(x) = 5x21 + 6x2

2 + 4x23 − 4x1x2 − 4x1x3

Matricea formei patratice Φ ın baza canonica din R3 este

A =⎛⎜⎝

5 −2 −2−2 6 0−2 0 4

⎞⎟⎠

1. Determinam valorile si vectorii proprii ai lui A:RRRRRRRRRRRRRR

5 − λ −2 −2−2 6 − λ 0−2 0 4 − λ

RRRRRRRRRRRRRR= (5 − λ)(6 − λ)(4 − λ) − 4(6 − λ) − 4(4 − λ) =

(5−λ)(λ2−10λ+24)−8(5−λ) = (5−λ)(λ2−10λ+16) = (5−λ)(2−λ)(8−λ)

λ1 = 2⇒⎛⎜⎝

3 −2 −2−2 4 0−2 0 2

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

x1

x2

x3

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

000

⎞⎟⎠⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

3x1 − 2x2 − 2x3 = 0

−2x1 + 4x2 = 0

−2x1 + 2x3 = 0

x2 = α⇒ x1 = x3 = 2α⇒ Vλ1 = (2α,α,2α)∣α ∈ R = Sp(2,1,2)

λ2 = 5⇒⎛⎜⎝

0 −2 −2−2 1 0−2 0 −1

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

x1

x2

x3

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

000

⎞⎟⎠⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

−2x2 − 2x3 = 0

−2x1 + x2 = 0

−2x1 − x3 = 0

x1 = α⇒ x2 = 2α,x3 = −2α⇒ Vλ2 = Sp(1,2,−2)

λ1 = 8⇒⎛⎜⎝

−3 −2 −2−2 −2 0−2 0 −4

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

x1

x2

x3

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

000

⎞⎟⎠⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

−3x1 − 2x2 − 2x3 = 0

−2x1 − 2x2 = 0

−2x1 − 4x3 = 0

x3 = α⇒ x1 = −2α,x2 = 2α⇒ Vλ3 = Sp(−2,2,1)

2. Vectorii v1 = (2,1,2), v2 = (1,2,−2), v3 = (−2,2,1) sunt deja ortogo-nali. Baza ortonormata din vectori proprii va fi formata din versoriicorespunzatori acestor vectori :

f1 =1

∥v1∥⋅ v1 =

1

3(2,1,2) = (2

3,1

3,2

3)

f2 =1

∥v2∥⋅ v2 =

1

3(1,2,−2) = (1

3,2

3,−2

3)

f3 =1

∥v3∥⋅ v3 =

1

3(−2,2,1) = (−2

3,2

3,1

3)


3. Expresia formei patratice Φ ın baza B = f1, f2, f3 este

Φ(x) = λ1y21 + λ2y

22 + λ3y

23 = 2y2

1 + 5y22 + 8y2

3

4. Matricea de trecere de la baza canonica la baza B are pe coloane com-ponentele vectorilor f1, f2, f3:

S =⎛⎜⎝

23

13 −2

313

23

23

23 −2

313

⎞⎟⎠

iar legaturile dintre coordonatele initiale si cele ın care avem formacanonica sunt

⎛⎜⎝

x1

x2

x3

⎞⎟⎠=⎛⎜⎝

23

13 −2

313

23

23

23 −2

313

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

y1

y2

y3

⎞⎟⎠⇔

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x1 = 23y1 + 1

3y2 − 23y3

x2 = 13y1 + 2

3y2 + 23y3

x3 = 23y1 − 2

3y2 + 13y3

Teorema 18.6 (Sylvester). Fie Φ ∶ V → R o forma patratica . Atuncinumarul termenilor pozitivi si al celor negativi dintr-o forma canonica a luiΦ nu depinde de baza ın care este obtinuta aceasta.

Fie p si q numarul termenilor pozitivi, respectiv negativi din forma ca-nonica a unei forme patratice Φ. Evident, p + q ≤ n. In functie de valorileacestor constante, avem urmatoarea clasificare a formelor patratice:

Φ este pozitiv definita daca p = n

Φ este negativ definita daca q = n

Φ este pozitiv semidefinita daca q = 0 si p < n

Φ este negativ semidefinita daca p = 0 si q < n

Φ este nedefinita daca pq ≠ 0

18.3 Exercitii

1. Sa se reduca la forma canonica prin metoda Jacobi urmatoarele formepatratice:

a) Φ(x) = x21 + x2

2 + x23 + 2x1x3 + 2x2x3

18.3. EXERCITII 255

b) Φ(x) = 3x21 + 3x2

2 + 3x23 + 2x1x2 + 2x2x3 + 2x3x1

c) Φ(x) = x21 + x2

3 + x1x2 + x3x4

d) Φ(x) = x21 + x2

4 + x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x1

Rezolvare:

a) Matricea formei patratice este⎛⎜⎝

1 0 10 1 11 1 1

⎞⎟⎠

.

Avem ∆1 = 1, ∆2 = ∣ 1 00 1

∣ = 1, ∆3 =RRRRRRRRRRRRRR

1 0 10 1 11 1 1

RRRRRRRRRRRRRR= −1.

Forma canonica a lui h data de metoda Jacobi este:

Φ(x) = 1

∆1

y21 +

∆1

∆2

y22 +

∆2

∆3

y23 =

= y21 + y2

2 − y23

unde y1, y2, y3 sunt coordonatele vectorului x ın baza ın care avemforma canonica.

b) ∆1 = 3, ∆2 = ∣ 3 11 3

∣ = 8, ∆3 =RRRRRRRRRRRRRR

3 1 11 3 11 1 3

RRRRRRRRRRRRRR= 20.

Φ(x) = 13y

21 + 3

8y22 + 2

5y23

c) ∆1 = 1, ∆2 = ∣ 1 12

12 0

∣ = −14 , ∆3 =

RRRRRRRRRRRRRR

1 12 0

12 0 00 0 1

RRRRRRRRRRRRRR= −1

4 ∆4 =

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

1 12 0 0

12 0 0 00 0 1 1

2

0 0 12 0

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

=

116 ⇒ Φ(x) = y2

1 − 4y22 + y2

3 − 4y24

2. Sa se reduca la forma canonica prin metoda Gauss urmatoarele formepatratice:

a) Φ(x) = 5x21 + 6x2

2 + 4x23 − 4x1x2 − 4x1x3

Rezolvare:Φ(x) = 5x2

1 − 4x1x2 − 4x1x3 + 6x22 + 4x2

3 = 5 (x21 − 4

5x1x2 − 45x1x3)+

+6x22 + 4x2

3 = 5 (x21 − 2 ⋅ x1 ⋅ 2x2

5 − 2 ⋅ x1 ⋅ 2x35 + 4

25x22 + 4

25x23 − 22x2

52x35)

−45x

22 − 4

5x23 − 8

5x2x3 + 6x22 + 4x2

3 = 5 (x1 − 25x2 − 2

5x3)2 + 26

5 x22 + 16

5 x23 −

85x2x3 = y2

1 + 265 y

22 + 16

5 y23 − 8

5y2y3 == 5y2

1 + 265(y2

2 − 526 ⋅

85y2y3) + 16

5 y23 = 5y2

1 + 265 (y2

2 − 2 ⋅ y2 ⋅ 2y313 + 4y23

169)−

−265 ⋅ 4

169y23 + 16

5 y23 = 5y2

1 + 265(y2 − 2

13y3)2 + 40

13y23 = 5z2

1 + 265 z

22 + 40

13z23


b) Φ(x) = x21 + 5x2

2 − 4x23 + 2x1x2 − 4x1x3

c) Φ(x) = x1x2 + x2x3 + x3x1

d) Φ(x) = 4x21 + x2

2 + x23 − 4x1x2 + 4x1x3 − 3x2x3

3. Sa se reduca la forma canonica prin metoda valorilor si vectorilor propriiurmatoarele forme patratice, specificand si baza ın care avem aceastaforma canonica:

Φ(x) = 2x21 + x2

2 − 4x1x2 − 4x2x3

Φ(x) = 3x21 + 3x2

2 + 3x23 + 2x1x2 + 2x2x3 + 2x1x3

Φ(x) = x21 + x2

2 + x23 − 2x1x2 − 2x1x3 − 2x2x3

Φ(x) = 2x1x2 + 2x2x3 + 2x3x1

Capitolul 19

Vectori liberi

19.1 Spatiul vectorilor liberi

Consideram ın spatiul geometric tridimensional E3 un segment orientatÐ→AB.

Punctul A se numeste originea segmentului, iar B se numeste extremitateasegmentului. Daca A ≠ B, atunci dreapta determinata de cele doua punctese numeste dreapta suport a segmentului. In cazul ın care originea si extre-mitatea coincid, se obtine segmentul orientat nul.

Doua segmente orientate au aceeasi directie daca dreptele lor suport co-

incid sau sunt paralele. Un segment orientatÐ→AB determina ın mod unic

pe dreapta AB un sens de parcurgere a acesteia. Doua segmente orien-tate nenule, de aceeasi directie, au acelasi sens daca extremitatile lor se aflaın acelasi semiplan determinat de dreapta care uneste originile segmentelorın planul dreptelor suport paralele. In caz contrar, spunem ca cele douasegmente orientate (de aceeasi directie) au sensuri opuse. Lungimea unui

segment orientatÐ→AB se defineste ca fiind distanta dintre punctele A si B, si

se noteaza cu ∥Ð→AB∥. Un segment orientat are lungimea 0 daca si numai daca

este segmentul nul.

Doua segmente orientate care au aceeasi directie, acelasi sens si aceeasilungime se numesc echipolente. Relatia de echipolenta este o relatie deechivalenta, ale carei clase de echivalenta se numesc vectori liberi. Asadar,

prin vectorul liber corespunzator segmentului orientatÐ→AB ıntelegem multi-

mea tuturor segmentelor orientate care au aceeasi directie, sens si lungime cuÐ→AB. Directia, sensul si lungimea comune reprezentantilor unui vector liberÐ→v se vor numi directia, sensul si lungimea vectorului liber Ð→v . Vectorulliber de lungime 0 se numeste vectorul nul, iar un vector liber de lungime1 se numeste versor.

257

258 CAPITOLUL 19. VECTORI LIBERI

Doi vectori liberi se numesc coliniari daca au aceeasi directie. Doi vectoriliberi coliniari care au aceeasi lungime dar sensuri opuse se numesc vectoriopusi. Opusul vectorului Ð→v se noteaza cu −Ð→v . Doi vectori liberi sunt egalidaca reprezentantii lor sunt segmente orientate echipolente. Trei sau maimulti vectori liberi nenuli care au reprezentantii paraleli cu acelasi plan senumesc vectori coplanari.

Multimea tuturor vectorilor liberi se noteaza cu V3. Sa consideram acumun punct oarecare O ∈ E3. Oricarui punct M ∈ E3 ıi corespunde un unic

vector liber Ð→r ∈ V3 al carui reprezentant esteÐÐ→OM . Reciproc, oricarui vector

liber Ð→r ıi corespunde un unic punct M ∈ E3 astfel ıncatÐÐ→OM sa fie repre-

zentant al lui Ð→r . Vectorul liber Ð→r =ÐÐ→OM se numeste vectorul de pozitie al

punctului M fata de originea O.

Definitia 19.1. Fie Ð→a ,Ð→b ∈ V3,

Ð→OA un reprezentant al lui Ð→a si

Ð→AB un

reprezentant al luiÐ→b . Vectorul liber Ð→c care are ca reprezentant segmentul

orientatÐ→OB se numeste suma vectorilor Ð→a si

Ð→b .

Observatii:

- Vectorii Ð→a ,Ð→b si Ð→c =Ð→a +

Ð→b sunt coplanari.

- Regula de mai sus pentru obtinerea sumei a doi vectori liberi se numesteregula triunghiului.

- De asemenea, suma a doi vectori liberi poate fi definita si folosind regulaparalelogramului, ca fiind diagonala paralelogramului determinat de doireprezentanti ai celor doi vectori avand aceeasi origine.

Definitia 19.2. Fie λ ∈ R si Ð→v ∈ V3. Prin ınmultirea vectorului Ð→v cuscalarul λ ıntelegem vectorul liber λÐ→v definit astfel:

daca Ð→v ≠ Ð→0 si λ ≠ 0, atunci λÐ→v este vectorul care are aceeasi directiecu Ð→v , acelasi sens cu Ð→v daca λ > 0 si sens opus daca λ < 0, iarlungimea lui este ∥λÐ→v ∥ = ∣λ∣∥Ð→v ∥;

daca Ð→v =Ð→0 sau λ = 0, atunci λÐ→v =Ð→0 .

Teorema 19.1. Multimea vectorilor liberi V3 ımpreuna cu operatiile de adu-nare si ınmultire cu scalari definite mai sus formeaza un spatiu vectorial real.

19.2. COLINIARITATE SI COPLANARITATE 259

19.2 Coliniaritate si coplanaritate

Teorema 19.2. Fie Ð→a ,Ð→b ∈ V3 doi vectori liberi nenuli.

1. Daca Ð→a siÐ→b sunt coliniari, atunci exista un unic λ ∈ R astfel ıncat

Ð→b = λÐ→a .

2. Multimea tuturor vectorilor coliniari cu Ð→a este un subspatiu vectorialde dimensiune 1, generat de Ð→a :

V1 = Ð→v ∈ V3∣∃λ ∈ R,Ð→v = λÐ→a .

3. Vectorii Ð→a siÐ→b sunt necoliniari daca si numai daca sunt liniar independenti.

Teorema 19.3. Fie Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ∈ V3, cu Ð→a ,

Ð→b necoliniari.

1. Daca Ð→a ,Ð→b ,Ð→c sunt coplanari, atunci exista α,β ∈ R unici astfel ıncat

Ð→c = αÐ→a + βÐ→b .

2. Multimea tuturor vectorilor coplanari cu Ð→a ,Ð→b este un subspatiu vecto-

rial de dimensiune 2, generat de Ð→a siÐ→b :

V2 = Ð→v ∈ V3∣∃α,β ∈ R,Ð→v = αÐ→a + βÐ→b .

Teorema 19.4. Fie Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ∈ V3 necoplanari si un vector oareacare v ∈ V3.

Atunci exista α,β, γ ∈ R unici astfel ıncat

Ð→v = αÐ→a + βÐ→b + γÐ→c .

Fie versoriiÐ→i ,Ð→j ,Ð→k ∈ V3 necoplanari, ale caror directii sunt perpendi-

culare doua cate doua, siÐ→OA,

Ð→OB,

Ð→OC trei reprezentanti ai acestor versori

avand originea comuna O. Conform teoremei anterioare, orice vector liberÐ→v ∈ V3 poate fi scris ın mod unic ca o combinatie liniara de

Ð→i ,Ð→j ,Ð→k :

Ð→v = xÐ→i + yÐ→j + yÐ→k .

Expresia de mai sus se numeste expresia analitica a vectorului Ð→v , iar scalarii

x, y, z se numesc coordonatele euclidiene ale vectorului Ð→v . DacaÐÐ→OM este un

reprezentant al lui Ð→v cu originea ın O, atunci expresia anterioara devine

ÐÐ→OM = x

Ð→OA + y

Ð→OB + z

Ð→OC.


Sistemul O;Ð→i ,Ð→j ,Ð→k se numeste reper cartezian ortogonal ın V3, iar

x, y, z se numesc coordonatele carteziene ale punctuluiM ın reperul O;Ð→i ,Ð→j ,Ð→k .

Daca M,N ∈ E3 siÐÐ→OM = xM

Ð→i + yM

Ð→j + zM

Ð→k , iar

ÐÐ→ON = xN

Ð→i + yN

Ð→j + zN

Ð→k

atunci

ÐÐ→MN =

ÐÐ→ON −

ÐÐ→OM = (xN − xM)Ð→i + (yN − yM)Ð→j + (zN − zM)

Ð→k

Fie Ð→a ,Ð→b ∈ V3∖

Ð→0 . Numarul ϕ ∈ [0, π] ce reprezinta unghiul dintre dreptele

suport ale vectorilor Ð→a siÐ→b se numeste unghiul dintre vectorii Ð→a si

Ð→b .

Daca unghiul dintre doi vectori este π2 , atunci vectorii se numesc ortogonali .

19.3 Produse cu vectori liberi

19.3.1 Produsul scalar

Definitia 19.3. Fie Ð→a ,Ð→b ∈ V3 si ϕ ∈ [0, π] unghiul dintre Ð→a si

Ð→b daca

Ð→a ,Ð→b ∈ V3 ∖ Ð→0 . Se numeste produs scalar al vectorilor Ð→a ,

Ð→b numarul

real definit prin:

Ð→a ⋅Ð→b =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

∥Ð→a ∥ ⋅ ∥Ð→b ∥ cosϕ, daca Ð→a ,

Ð→b ≠Ð→0

0, daca Ð→a =Ð→0 sauÐ→b =Ð→0

Proprietati

1. Ð→a ⋅Ð→b =

Ð→b ⋅Ð→a , ∀Ð→a ,

Ð→b ∈ V3;

2. λ(Ð→a ⋅Ð→b ) = (λÐ→a ) ⋅

Ð→b =Ð→a ⋅ (λ

Ð→b ), ∀Ð→a ,

Ð→b ∈ V3, λ ∈ R;

3. Ð→a ⋅ (Ð→b +Ð→c ) =Ð→a ⋅

Ð→b +Ð→a ⋅Ð→c , ∀Ð→a ,

Ð→b ,Ð→c ∈ V3;

4. Ð→a ⋅Ð→a > 0, ∀Ð→a ∈ V3; Ð→a ⋅Ð→a = 0⇔Ð→a =Ð→0 ;

5. Ð→a ,Ð→b ∈ V3 sunt ortogonali ⇔Ð→a ⋅

Ð→b = 0;

6. daca Ð→a = a1Ð→i + a2

Ð→j + a3

Ð→k si

Ð→b = b1

Ð→i + b2

Ð→j + b3

Ð→k , atunci expresia

analitica a produsului scalar este

Ð→a ⋅Ð→b = a1b1 + a2b2 + a3b3,

iar lungimea lui Ð→a este

∥Ð→a ∥ =√a2

1 + a22 + a2

3

19.3. PRODUSE CU VECTORI LIBERI 261

7. daca Ð→a ,Ð→b ∈ V3 ∖ Ð→0 si ϕ ∈ [0, π] unghiul dintre Ð→a si

Ð→b , atunci

cosϕ =Ð→a ⋅Ð→b

∥Ð→a ∥ ⋅ ∥Ð→b ∥

= a1b1 + a2b2 + a3b3√a2

1 + a22 + a2

3 ⋅√b2

1 + b22 + b2

3

19.3.2 Produsul vectorial

Definitia 19.4. Fie Ð→a ,Ð→b ∈ V3 si ϕ ∈ [0, π] unghiul dintre Ð→a si

Ð→b daca

Ð→a ,Ð→b ∈ V3∖

Ð→0 . Se numeste produs vectorial al vectorilor Ð→a si

Ð→b vectorul

Ð→a ×Ð→b = ∥Ð→a ∥ ⋅ ∥

Ð→b ∥ ⋅ sinϕ ⋅Ð→e

unde Ð→e este versorul perpendicular pe planul determinat de cei doi vectorisi orientat dupa regula burghiului , adica sensul de ınaintare a unui burghiu

cand Ð→a se roteste catreÐ→b printr-un unghi minim.

Daca Ð→a = a1Ð→i + a2

Ð→j + a3

Ð→k si

Ð→b = b1

Ð→i + b2

Ð→j + b3

Ð→k , atunci expresia

analitica a produsului vectorial este

Ð→a ×Ð→b = (a2b3 − a3b2)

Ð→i + (a3b1 − a1b3)

Ð→j + (a1b2 − a2b1)

Ð→k =

RRRRRRRRRRRRRRR

Ð→iÐ→jÐ→k

a1 a2 a3

b1 b2 b3

RRRRRRRRRRRRRRRProprietati

1.Ð→b ×Ð→a = −(Ð→a ×

Ð→b ), ∀Ð→a ,

Ð→b ∈ V3;

2. (λÐ→a ) ×Ð→b = λ(Ð→a ×

Ð→b ) =Ð→a × (λ

Ð→b ), ∀λ ∈ R,Ð→a ,

Ð→b ∈ V3

3. (Ð→a +Ð→b ) ×Ð→c =Ð→a ×Ð→c +

Ð→b ×Ð→c , ∀Ð→a ,

Ð→b ,Ð→c ∈ V3

4. Ð→a ×Ð→a =Ð→0 , ∀Ð→a ∈ V3

5. ∥Ð→a ×Ð→b ∥2 = ∥Ð→a ∥2 ⋅ ∥

Ð→b ∥2 − (Ð→a ⋅

Ð→b )2, ∀Ð→a ,

Ð→b ∈ V3

6. aria paralelogramului determinat de vectorii Ð→a siÐ→b este

Aparalelogram = ∥Ð→a ×Ð→b ∥

7. aria triunghiului determinat de vectorii Ð→a siÐ→b este

Atriunghi =1

2∥Ð→a ×

Ð→b ∥

8. Ð→a ×Ð→b =Ð→0 daca Ð→a =Ð→0 sau

Ð→b =Ð→0 sau Ð→a ,

Ð→b sunt coliniari.


19.3.3 Produsul mixt

Definitia 19.5. Se numeste produs mixt al vectorilor Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ∈ V3 numarul

real care este egal cu produsul scalar dintre vectorii Ð→a siÐ→b ×Ð→c :

(Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ) =Ð→a ⋅ (

Ð→b ×Ð→c )

Daca Ð→a = a1Ð→i +a2

Ð→j +a3

Ð→k ,Ð→b = b1

Ð→i +b2

Ð→j +b3

Ð→k si Ð→c = c1

Ð→i +c2

Ð→j +c3

Ð→k ,

atunci expresia analitica a produsului mixt este

(Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ) =

RRRRRRRRRRRRRR

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

RRRRRRRRRRRRRR

Proprietati

1. (Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ) = (

Ð→b ,Ð→c ,Ð→a ) = (Ð→c ,Ð→a ,

Ð→b )

2. (Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ) = −(Ð→a ,Ð→c ,

Ð→b ) = −(Ð→c ,

Ð→b ,Ð→a ) = −(

Ð→b ,Ð→a ,Ð→c )

3. (Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ) = 0 daca cel putin unul dintre vectorii Ð→a ,

Ð→b ,Ð→c este

Ð→0 sau

daca cei trei vectori sunt coplanari;

4. volumul paralelipipedului determinat de vectorii Ð→a ,Ð→b ,Ð→c este

Vparalelipiped = ∣(Ð→a ,Ð→b ,Ð→c )∣

5. volumul tetraedrului determinat de vectorii Ð→a ,Ð→b ,Ð→c este

Vtetraedru =1

6∣(Ð→a ,

Ð→b ,Ð→c )∣

6. (αÐ→a + βÐ→b ,Ð→c ,

Ð→d ) = α(Ð→a ,Ð→c ,

Ð→d ) + β(

Ð→b ,Ð→c ,

Ð→d )

19.3.4 Dublul produs vectorial

Definitia 19.6. Se numeste dublul produs vectorial al vectorilor Ð→a ,Ð→b ,Ð→c ∈

V3 vectorulÐ→d =Ð→a × (

Ð→b ×Ð→c )

Proprietati:

19.4. EXERCITII 263

1. Ð→a × (Ð→b ×Ð→c ) este un vector coplanar cu

Ð→b si Ð→c si avem

Ð→a × (Ð→b ×Ð→c ) = (Ð→a ⋅Ð→c )

Ð→b − (Ð→a ⋅

Ð→b )Ð→c =

RRRRRRRRRRR

Ð→b Ð→c

Ð→a ⋅Ð→b Ð→a ⋅Ð→c

RRRRRRRRRRR

2. Ð→a × (Ð→b ×Ð→c ) +

Ð→b × (Ð→c ×Ð→a ) +Ð→c × (Ð→a ×

Ð→b ) = 0

3. (Ð→a ×Ð→b ) ⋅ (Ð→c ×

Ð→d ) =

RRRRRRRRRRR

Ð→a ⋅Ð→c Ð→a ⋅Ð→d

Ð→b ⋅Ð→c

Ð→b ⋅Ð→d

RRRRRRRRRRR

4. (Ð→a ×Ð→b ) ⋅ [Ð→a × (

Ð→b ×Ð→c )] = −(Ð→a ⋅

Ð→b )(Ð→a ,

Ð→b ,Ð→c )

19.4 Exercitii

1. a) Demonstrati ca vectorii Ð→a = 5Ð→i −Ð→j ,

Ð→b = Ð→i +Ð→j , Ð→c = −Ð→i + 2

Ð→j

sunt liniar dependenti si determinati scrierea vectoruluiÐ→a ın functie

deÐ→b si Ð→c .

R: Ð→a = 3Ð→b − 2Ð→c

b) Demonstrati ca vectorii Ð→a =Ð→i +Ð→j +Ð→k ,Ð→b = −Ð→i − 2

Ð→j + 3

Ð→k , Ð→c =

−1

4

Ð→i −Ð→j + 11

4

Ð→k sunt liniar dependenti si determinati scrierea vec-

torului Ð→c ın functie de Ð→a siÐ→b .

R: Ð→c = 1

2Ð→a + 3

4

Ð→b .

2. Se dau vectorii Ð→a =Ð→i +Ð→j ,Ð→b =Ð→j +

Ð→k , Ð→c =Ð→i + 2

Ð→j + 3

Ð→k

a) Demonstrati ca Ð→a ,Ð→b ,Ð→c este o baza;

b) Determinati scrierea vectoruluiÐ→v =Ð→i −3Ð→j +2

Ð→k ın baza Ð→a ,

Ð→b ,Ð→c .

R: Ð→v = −2Ð→a − 7Ð→b + 3Ð→c

3. Se dau vectorii Ð→a = 2Ð→i +Ð→j −

Ð→k ,Ð→b = −Ð→i + 1

2

Ð→j +3

Ð→k , Ð→c = 1

4

Ð→i −5

Ð→j −Ð→k

a) Demonstrati ca Ð→a ,Ð→b ,Ð→c este o baza;

b) Determinati scrierea vectoruluiÐ→v =Ð→i −18Ð→j +Ð→k ın baza Ð→a ,

Ð→b ,Ð→c .

R: Ð→v =Ð→a + 2Ð→b + 4Ð→c


4. Se dau vectoriiÐ→OA = 12

Ð→i − 4

Ð→j + 3

Ð→k ,Ð→OB = 3

Ð→i + 12

Ð→j − 4

Ð→k ,Ð→OC =

2Ð→i + 3

Ð→j − 4

Ð→k .

a) Demonstrati ca ∆AOB este isoscel, iar ∆AOC este dreptunghic;

b) Calculati perimetrul triunghiului ABC si masura unghiului A.

Rezolvare: ∥Ð→OA∥ =

√122 + (−4)2 + 32 = 13 = ∥

Ð→OB∥, deci triunghiul

∆AOB este isoscel;Ð→OA ⋅

Ð→OC = 12 ⋅ 2 + (−4) ⋅ 3 + 3 ⋅ (−4) = 0 ⇒ vectorii

Ð→OA si

Ð→OC sunt

perpendiculari , deci triunghiul ∆AOC este dreptunghic.Ð→AB =

Ð→OB −

Ð→OA = −9

Ð→i + 16

Ð→j − 7

Ð→k ⇒ ∥

Ð→AB∥ =

√386

Ð→AC =

Ð→OC −

Ð→OA = −10

Ð→i + 7

Ð→j − 7

Ð→k ⇒ ∥

Ð→AC∥ =

√198

Ð→BC =

Ð→OC −

Ð→OB = −Ð→i − 9

Ð→j ⇒ ∥

Ð→AB∥ =

√82

Perimetrul triunghiului ABC este√

386 +√

198 +√

82.

cos A =Ð→AB ⋅

Ð→AC

∥Ð→AB∥ ⋅ ∥

Ð→AC∥

= 251√386 ⋅

√198

⇒ A = arccos( 251√386 ⋅

√198

)

5. Se dau vectoriiÐ→a = 2Ð→i −Ð→k ,Ð→b = −Ð→j +2

Ð→k , Ð→c = −3

Ð→i +3

Ð→j . Determinati

numerele reale λ si µ astfel ıncat vectorul Ð→v =Ð→a + 2λÐ→b + 2µÐ→c sa fie:

a) perpendicular pe planul yOz

b) egal ınclinat fata de axele Ox, Oy, Oz.

Rezolvare: Ð→v = 2Ð→i −Ð→k + 2λ(−Ð→j + 2

Ð→k ) + 2µ(−3

Ð→i + 3

Ð→j )

Ð→v = (2 − 6µ)Ð→i + (−2λ + 6µ)Ð→j + (−1 + 4λ)Ð→k

a) Ð→v ⊥ yOz⇔⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Ð→v ⊥ Ð→jÐ→v ⊥

Ð→k

⇔⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Ð→v ⋅Ð→j = 0Ð→v ⋅Ð→k = 0

⇔⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

−2λ + 6µ = 0

−1 + 4λ = 0⇒

λ = 1

4, µ = 1

12

b) cos(Ð→v ,Ð→i ) = cos(Ð→v ,Ð→j ) = cos(Ð→v ,Ð→k )⇔

Ð→v ⋅Ð→i∥Ð→v ∥ ⋅ ∥Ð→i ∥

=Ð→v ⋅Ð→j

∥Ð→v ∥ ⋅ ∥Ð→j ∥=

=Ð→v ⋅Ð→k

∥Ð→v ∥ ⋅ ∥Ð→k ∥⇒Ð→v ⋅Ð→i =Ð→v ⋅Ð→j =Ð→v ⋅

Ð→k ⇒

2 − 6µ = −2λ + 6µ = −1 + 4λ⇒ λ = 2

5, µ = 7

30

19.4. EXERCITII 265

6. Se dau vectorii Ð→a siÐ→b despre care se stie ca ∥Ð→a ∥ = 3, ∥

Ð→b ∥ = 2,

∡(Ð→a ,Ð→b ) = π

3 . Se considera apoi vectorii Ð→c = 2Ð→a − 3Ð→b si

Ð→d = Ð→a +

Ð→b .

Calculati:

a) Ð→a ⋅Ð→b , ∥Ð→c ∥, ∡(Ð→a ,Ð→c )

b) aria paralelogramului determinat de vectorii Ð→c siÐ→d

Rezolvare:

a) Ð→a ⋅Ð→b = ∥Ð→a ∥ ⋅ ∥

Ð→b ∥ ⋅ cos π3 = 3

∥Ð→c ∥2 =Ð→c ⋅Ð→c = (2Ð→a −3Ð→b )⋅(2Ð→a −3

Ð→b ) = 4Ð→a ⋅Ð→a −6Ð→a ⋅

Ð→b −6

Ð→b ⋅Ð→a +9

Ð→b ⋅Ð→b

= 4∥Ð→a ∥2 − 12Ð→a ⋅Ð→b + 9∥

Ð→b ∥2 = 36⇒ ∥Ð→c ∥ = 6

cos(Ð→a ,Ð→c ) =Ð→a ⋅Ð→c

∥Ð→a ∥ ⋅ ∥Ð→c ∥= 1

18Ð→a ⋅(2Ð→a −3

Ð→b ) = 1

18(2∥Ð→a ∥2−3Ð→a ⋅

Ð→b ) = 1

2

b) Ð→c ×Ð→d = (2Ð→a −3

Ð→b )×(Ð→a +

Ð→b ) = 2Ð→a ×Ð→a +2Ð→a ×

Ð→b −3

Ð→b ×Ð→a −3

Ð→b ×Ð→b =

= 5Ð→a ×Ð→b ⇒ A = ∥Ð→c ×

Ð→d ∥ = 5∥Ð→a ×

Ð→b ∥ = 5∥Ð→a ∥ ⋅ ∥

Ð→b ∥ ⋅ sin π

3 = 15√

3

7. Fie Ð→a =Ð→u − 3Ð→v ,Ð→b = −Ð→u + 2Ð→v , ∥Ð→u ∥ = 3, ∥Ð→v ∥ =

√2 si unghiul dintre

vectorii Ð→u si Ð→v este θ = π4 . Sa se calculeze Ð→a ⋅

Ð→b , lungimile diagonalelor

paralelogramului determinat de cei doi vectori, si unghiul dintre ele.

8. Determinati scalarii λ,µ ∈ R astfel ıncat puncteleA(2, λ,1),B(3,7,5),C(µ,10,9)sa fie coliniare.Rezolvare:

Ð→AB =Ð→i + (7 − λ)Ð→j + 4

Ð→k ,Ð→BC = (µ − 3)Ð→i + 3

Ð→j + 4

Ð→k

Ð→AB ×

Ð→BC =

RRRRRRRRRRRRRRR

Ð→i

Ð→j

Ð→k

1 7 − λ 4µ − 3 3 4

RRRRRRRRRRRRRRR

=Ð→0 ⇒

(16 − 4λ)Ð→i + (4µ − 16)Ð→j + (24 − 3λ − 7µ + λµ)Ð→k =Ð→0 ⇒ λ = µ = 4.

9. Se considera punctele:

i. A(2,3,1),B(4,1,−2),C(6,3,7),D(−5,−4,8)ii. A(1,1,−3),B(2,−1,1),C(3,3,1),D(−1,4,2)

iii. A(2,−1,1),B(5,5,4),C(3,2,−1),D(4,1,3)

Pentru fiecare din cazurile de mai sus, calculati:

a) Perimetrul, unghiurile, aria si ınaltimile triunghiului ABC.

b) Volumul, aria totala si ınaltimile tetraedrului ABCD.


10. Se dau vectorii Ð→a = 2Ð→i +(λ+2)Ð→j +3

Ð→k ,Ð→b =Ð→i +λÐ→j −

Ð→k , Ð→c = 4

Ð→j +2

Ð→k

unde λ ∈ R.

a) Determinati valoarea parametrului λ astfel ıncat vectorii sa fie co-planari

b) Pentru valoarea gasita anterior, descompuneti vectorulÐ→a dupa directiile

vectorilorÐ→b si Ð→c si calculati aria paralelogramului determinat de

vectoriiÐ→b si Ð→c .

Partea IV

Geometrie analitica sidiferentiala

267

Capitolul 20

Planul si dreapta ın spatiu

20.1 Planul

Fie O;Ð→i ,Ð→j ,Ð→k un reper cartezian ortogonal ın V3 si un plan p ın spatiul

geometric tridimensional E3.

Definitia 20.1. Un vector nenulÐ→N se numeste vector normal la planul p

daca dreapta suport a unui reprezentant al sau este perpendiculara pe planulp.

DacaÐ→N este un vectori normal la planul p, atunci si λ

Ð→N , λ ∈ R∗ este tot

un vector normal la planul p.

Definitia 20.2. Doi vectori necoliniari Ð→a siÐ→b ai caror reprezentanti au

dreptele suport paralele cu planul p se numesc vectori directori ai planuluip.

Fie un plan p, un punct M0(x0, y0, z0) ın acest plan, siÐ→N = AÐ→i +BÐ→j +C

Ð→k

un vector normal la planul p. DeoareceÐ→N este un vector nenul, rezulta ca

A,B,C nu sunt simultan nuli, adica A2 +B2 +C2 > 0.

Un punct oarecare M(x, y, z) ∈ p⇔ÐÐÐ→M0M ⊥

Ð→N ⇔

ÐÐÐ→M0M ⋅

Ð→N = 0

CumÐÐÐ→M0M = (x−x0)

Ð→i +(y−y0)

Ð→j +(z−z0)

Ð→k , folosind expresia analitica

a produsului scalar obtinem

A(x − x0) +B(y − y0) +C(z − z0) = 0 (20.1)

asadar coordonatele oricarui punct din planul p verifica ecuatia anterioara,care se numeste ecuatia normala a planului.

Ecuatia (20.1) se rescrie

Ax +By +Cz −Ax0 −By0 −Cz0 = 0

269

270 CAPITOLUL 20. PLANUL SI DREAPTA IN SPATIU

iar notand cu D = −Ax0 −By0 −Cz0 obtinem

Ax +By +Cz +D = 0 (20.2)

care se numeste ecuatia generala a planului.Ecuatia unui plan nu este unica. Daca ınmultim (20.2) cu λ ∈ R∗ obtinem

λAx + λBy + λCz + λD = 0

ecuatie care este de asemenea verificata de coordonatele oricarui punct dinplanul p. Orice alta ecuatie a planului p are coeficientii proportionali cuA,B,C,D.

Fie un plan p, punctul M0(x0, y0, z0) ∈ p si Ð→v 1 = l1Ð→i + m1

Ð→j + n1

Ð→k ,

Ð→v 2 = l2Ð→i +m2

Ð→j + n2

Ð→k doi vectori directori (deci necoliniari) ai planului p.

Un punct oarecare M(x, y, z) ∈ p⇔ vectoriiÐÐÐ→M0M,Ð→v 1,

Ð→v 2 sunt coplanari,

adica daca si numai daca produsul mixt (ÐÐÐ→M0M,Ð→v 1,

Ð→v 2) = 0.

CumÐÐÐ→M0M = (x−x0)

Ð→i +(y−y0)

Ð→j +(z−z0)

Ð→k , folosind expresia analitica

a produsului mixt obtinem

RRRRRRRRRRRRRR

x − x0 y − y0 z − z0

l1 m1 n1

l2 m2 n2

RRRRRRRRRRRRRR= 0 (20.3)

asadar coordonatele oricarui punct din planul p verifica ecuatia anterioara,care se numeste ecuatia planului determinat de un punct si doi vectoridirectori.

Fie un plan p, punctele M1(x1, y1, z1),M2(x2, y2, z2) ∈ p si Ð→v = lÐ→i +mÐ→j +nÐ→k un vector cu dreapta suport paralela cu p.

Un punct oarecare M(x, y, z) ∈ p⇔ vectoriiÐÐÐ→M1M,

ÐÐÐ→M1M2,

Ð→v sunt copla-nari, adica daca si numai daca produsul mixt

(ÐÐÐ→M0M,

ÐÐÐ→M1M2,

Ð→v ) = 0.

Folosind expresia analitica a produsului mixt obtinem

RRRRRRRRRRRRRR

x − x1 y − y1 z − z1

x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

l m n


asadar coordonatele oricarui punct din planul p verifica ecuatia anterioara,care se numeste ecuatia planului determinat de doua puncte si unvectori director.

20.2. DREAPTA 271

Fie un plan p si punctele M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) ınplanul p.

Un punct oarecare M(x, y, z) ∈ p ⇔ vectoriiÐÐÐ→M1M,

ÐÐÐ→M1M2,

ÐÐÐ→M1M3 sunt

coplanari, adica daca si numai daca produsul mixt

(ÐÐÐ→M0M,

ÐÐÐ→M1M2,

ÐÐÐ→M1M3) = 0.

Folosind expresia analitica a produsului mixt obtinem

RRRRRRRRRRRRRR

x − x1 y − y1 z − z1

x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1

x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1


asadar coordonatele oricarui punct din planul p verifica ecuatia anterioara,care se numeste ecuatia planului determinat de trei puncte.

Observatii

Ecuatia planului xOy este z = 0, iar ecuatia unui plan paralel cu xOyeste z = z0;

Ecuatia planului xOz este y = 0, iar ecuatia unui plan paralel cu xOzeste y = y0;

Ecuatia planului yOz este x = 0, iar ecuatia unui plan paralel cu yOzeste x = x0;

Proiectiile punctului M0(x0, y0, z0) pe planele de coordonate sunt punc-tele de coordonate

(x0, y0,0), (x0,0, z0), (0, y0, z0)

Simetricele punctului M0(x0, y0, z0) fata de planele de coordonate suntpunctele de coordonate

(x0, y0,−z0), (x0,−y0, z0), (−x0, y0, z0)

20.2 Dreapta

Fie d o dreapta ın spatiul geometric tridimensional E3.

Definitia 20.3. 1. Vectorul nenul Ð→v = lÐ→i +mÐ→j +nÐ→k ai carui reprezentanti

au dreapta suport paralela cu dreapta d, se numeste vector directoral dreptei d;


2. Numerele reale l,m,n se numesc parametrii directori ai dreptei d;

3. Ð→v 0 = 1

∥Ð→v ∥⋅Ð→v se numeste versor director al dreptei d.

4. Numerele cosα, cosβ, cosγ, unde α,β, γ sunt unghiurile facute de vec-

torul Ð→v cu versoriiÐ→i ,Ð→j si

Ð→k , se numesc cosinusuri directoare ale

dreptei d.

Cosinusurile directoare se calculeaza ın functie de parametrii directoriastfel:

cosα =Ð→v ⋅Ð→i

∥Ð→v ∥ ⋅ ∥Ð→i ∥= l√

l2 +m2 + n2

cosβ =Ð→v ⋅Ð→j

∥Ð→v ∥ ⋅ ∥Ð→j ∥= m√

l2 +m2 + n2

cosγ =Ð→v ⋅Ð→k

∥Ð→v ∥ ⋅ ∥Ð→k ∥

= n√l2 +m2 + n2

Parametrii directori l,m,n ai unei drepte nu sunt unici. Pentru orice λ ≠ 0,numerele λl, λm,λn sunt de asemenea parametri directori deoarece vectorulλÐ→v este coliniar cu Ð→v deci este de asemenea vector director al dreptei d.

Fie o dreapta d, un punct M0(x0, y0, z0) pe aceasta dreapta, si Ð→v = lÐ→i +mÐ→j + n

Ð→k un vector director al dreptei d.

Un punct oarecare M(x, y, z) ∈ d ⇔ÐÐÐ→M0M,Ð→v coliniari ⇔ ∃λ ∈ R astfel

ıncatÐÐÐ→M0M = λÐ→v .

CumÐÐÐ→M0M = (x − x0)

Ð→i + (y − y0)

Ð→j + (z − z0)

Ð→k , obtinem

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x − x0 = λly − y0 = λmz − z0 = λn

⇔

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x0 + λly = y0 + λmz = z0 + λn

(20.6)

care se numesc ecuatiile parametrice ale dreptei, sau echivalent

x − x0

l= y − y0

n= z − z0

n(20.7)

care se numesc ecuatiile canonice ale dreptei.Fie o dreapta d si punctele M1(x1, y1, z1),M2(x2, y2, z2) pe dreapta d.

VectorulÐÐÐ→M1M2 este un vector director al dreptei d si avem

Ð→v =ÐÐÐ→M1M2 = (x2 − x1)

Ð→i + (y2 − y1)

Ð→j + (z2 − z1)

Ð→k

20.2. DREAPTA 273

Inlocuind ın (20.7) coordonatele punctului M1 si componentele vectoruluidirector Ð→v obtinem:

x − x1

x2 − x1

= y − y1

y2 − y1

= z − z1

z2 − z1

(20.8)

ecuatii care sunt verificate de fiecare punct de pe dreapta d si se numescecuatiile dreptei prin doua puncte.

Teorema 20.1. Fie planele neparalele p1 si p2 avand ecuatiile

(p1) ∶ A1x +B1y +C1z +D1 = 0

(p2) ∶ A2x +B2y +C2z +D2 = 0

Atunci ecuatiile canonice ale dreptei de intersectie a celor doua plane sunt

x − x0

l= y − y0

n= z − z0

n

unde (x0, y0, z0) este o solutie a sistemului format din ecuatiile celor douaplane, iar parametrii directori sunt

l = ∣ B1 C1

B2 C2∣ , m = ∣ C1 A1

C2 A2∣ , n = ∣ A1 B1

A2 B2∣ .

Demonstratie: Deoarece planele p1 si p2 sunt neparalele , vectorii normali

Ð→N 1 = A1

Ð→i +B1

Ð→j +C1

Ð→k

Ð→N 2 = A2

Ð→i +B2

Ð→j +C2

Ð→k

sunt necoliniari, deci matricea ( A1 B1 C1

A2 B2 C2) are rangul 2, asadar sistemul

format din ecuatiile celor doua plane este compatibil.

Dreapta de intersectie este perpendiculara pe vectorii normaliÐ→N 1 si

Ð→N 2,

deci un vector director al acestei drepte poate fi alesÐ→v =Ð→N 1×

Ð→N 2 =

RRRRRRRRRRRRRRR

Ð→i

Ð→j

Ð→k

A1 B1 C1

A2 B2 C2

RRRRRRRRRRRRRRR

,

de unde obtinem parametrii directori din enunt.Observatii

Ecuatiile axei Ox sunt

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y = 0

z = 0;

Ecuatiile axei Oy sunt

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = 0

z = 0;


Ecuatiile axei Oz sunt

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = 0

y = 0;

Proiectiile punctului M0(x0, y0, z0) pe axele de coordonate sunt punc-tele de coordonate

(x0,0,0), (0, y0,0), (0,0, z0)

Simetricele punctului M0(x0, y0, z0) fata de axele de coordonate suntpunctele de coordonate

(x0,−y0,−z0), (−x0, y0,−z0), (−x0,−y0, z0)

20.3 Unghiuri si distante

20.3.1 Unghiul a doua drepte

Fie dreptele d1, d2 date prin ecuatiile:

d1 ∶x − x1

l1= y − y1

m1

= z − z1

n1

d2 ∶x − x2

l2= y − y2

m2

= z − z2

n2

Atunci unghiul θ dintre cele doua drepte este dat de unghiul dintre vectorii

directori ai celor doua drepteÐ→v 1 = l1Ð→i +m1

Ð→j +n1

Ð→k siÐ→v 2 = l2

Ð→i +m2

Ð→j +n2

Ð→k :

cos θ =Ð→v 1 ⋅Ð→v 2

∥Ð→v 1∥ ⋅ ∥Ð→v 2∥= l1l2 +m1m2 + n1n2√

l21 +m21 + n2

1 ⋅√l22 +m2

2 + n22

20.3.2 Unghiul a doua plane

Fie planele p1, p2 date prin ecuatiile:

p1 ∶ A1x +B1y +C1z +D1 = 0

p2 ∶ A2x +B2y +C2z +D2 = 0

Presupunem ca planele nu coincid si nu sunt nici paralele (cazuri ın careunghiul dintre plane este 0) . Unghiul diedru dintre cele doua plane este egalcu unghiul plan obtinut prin sectionarea planelor cu un plan perpendicularpe dreapta de intersectie a celor doua plane , care este egal cu unghiul dintre

20.3. UNGHIURI SI DISTANTE 275

normalele la cele doua planeÐ→N 1 = A1

Ð→i +B1

Ð→j +C1

Ð→k si

Ð→N 2 = A2

Ð→i +B2

Ð→j +

C2

Ð→k :

cos θ =Ð→N 1 ⋅

Ð→N 2

∥Ð→N 1∥ ⋅ ∥

Ð→N 2∥

= A1A2 +B1B2 +C1C2√A2

1 +B21 +C2

1 ⋅√A2

2 +B22 +C2

2

20.3.3 Unghiul dintre o dreapta si un plan

Fie dreapta d si planul p date prin ecuatiile:

d ∶ x − x0

l= y − y0

m= z − z0

n

p ∶ Ax +By +Cz +D = 0

Fie Ð→v = lÐ→i +mÐ→j +nÐ→k un vector director al dreptei d si

Ð→N = AÐ→i +BÐ→j +C

Ð→k

un vector normal la planul p. Unghiul θ dintre dreapta d si planul p este prindefinitie unghiul dintre dreapta d si proiectia acesteia pe planul p, care esteegal cu complementul unghiului dintre dreapta d si normala la planul p:

sin θ = cos(π2− θ) =

Ð→N ⋅Ð→v

∥Ð→N ∥ ⋅ ∥Ð→v ∥

= Al +Bm +Cn√A2 +B2 +C2 ⋅

√l2 +m2 + n2

20.3.4 Distanta de la un punct la un plan

Teorema 20.2. Fie punctul M0(x0, y0, z0) si planul p dat prin ecuatia

p ∶ Ax +By +Cz +D = 0

Atunci distanta de la punctul M0 la planul p este

dist(M0, p) =∣Ax0 +By0 +Cz0 +D∣√

A2 +B2 +C2

Demonstratie: Scriem ecuatiile perpendicularei din M0 pe planul p:

d ∶ x − x0

A= y − y0

B= z − z0

C

Fie M1 = d ∩ p. Atunci distanta de la M0 la p este lungimea segmentuluiM0M1.

Ecuatiile parametrice ale lui d sunt

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x0 + λAy = y0 + λBz = z0 + λC

.


Inlocuind ın ecuatia planului p obtinem

A(x0 + λA) +B(y0 + λB) +C(z0 + λC) +D = 0

Ax0 +By0 +Cz0 +D + λ(A2 +B2 +C2) = 0

λ1 = −Ax0 +By0 +Cz0 +D

A2 +B2 +C2

VectorulÐÐÐ→M0M1 = λ1A

Ð→i + λ1B

Ð→j + λ1C

Ð→k are lungimea

∥ÐÐÐ→M0M1∥ =

√λ2

1(A2 +B2 +C2) = ∣λ1∣√A2 +B2 +C2

= ∣Ax0 +By0 +Cz0 +D∣√A2 +B2 +C2

20.3.5 Distanta de la un punct la o dreapta

Teorema 20.3. Fie punctul M0(x0, y0, z0) si dreapta d data prin ecuatiile

d ∶ x − x1

l= y − y1

m= z − z1

n

Atunci distanta de la punctul M0 la dreapta d este

dist(M0, d) =∥ÐÐÐ→M1M0 ×Ð→v ∥

∥Ð→v ∥

unde M1(x1, y1, z1) ∈ d, iar Ð→v = lÐ→i +mÐ→j + nÐ→k .

Demonstratie: Fie M proiectia lui M0 pe d si θ unghiul dintreÐÐÐ→M1M0

si Ð→v . Avem dist(M0, d) = ∥ÐÐÐ→M0M∥ = ∥

ÐÐÐ→M1M0∥ sin θ = ∥

ÐÐÐ→M1M0∥∥Ð→v ∥ sin θ

∥Ð→v ∥=

∥ÐÐÐ→M1M0 ×Ð→v ∥

∥Ð→v ∥.

20.3.6 Perpendiculara comuna. Distanta dintre douadrepte

Fie doua drepte necoplanare date prin ecuatiile

d1 ∶x − x1

l1= y − y1

m1

= z − z1

n1

d2 ∶x − x2

l2= y − y2

m2

= z − z2

n2

20.4. EXERCITII 277

Exista o dreapta unica d perpendiculara pe d1 si d2 care si intersecteaza celedoua drepte, numita perpendiculara comuna. Notam cu M1(x1, y1, z1) ∈ d1,

M2(x2, y2, z2) ∈ d2 iar Ð→v 1 = l1Ð→i +m1

Ð→j +n1

Ð→k , Ð→v 2 = l2

Ð→i +m2

Ð→j +n2

Ð→k vectori

directori ai celor doua drepte. Atunci un vector director al perpendiculareicomune este vectorul

Ð→v =Ð→v 1 ×Ð→v 2 = lÐ→i +mÐ→j + n

Ð→k ,

iar ecuatiile perpendicularei comune sunt obtinute prin intersectarea planelorp1 care contine d1 si d, si p2 care contine d2 si d.

p1 ∶RRRRRRRRRRRRRR

x − x1 y − y1 z − z1

l1 m1 n1

l m n

RRRRRRRRRRRRRR= 0

p2 ∶RRRRRRRRRRRRRR

x − x2 y − y2 z − z2

l2 m2 n2

l m n

RRRRRRRRRRRRRR= 0

Avem d = p1 ∩ p2, iar distanta dintre cele doua drepte este lungimea perpen-dicularei comune, care este egala cu ınaltimea paralelipipedului construit pe

vectorii Ð→v 1, Ð→v 2 siÐÐÐ→M1M2, considerand ca baza paralelogramul construit pe

vectorii Ð→v 1 si Ð→v 2:

dist(d1, d2) =∣(ÐÐÐ→M1M2,

Ð→v 1,Ð→v 2)∣

∥Ð→v 1 ×Ð→v 2∥

20.4 Exercitii

1. Se considera punctul A(−1,2,4) dreapta (d) ∶ x2 = y−1−1 = z+1

3 si planul(p) ∶ x + 2y − 2z = 4. Se cer:

(a) vectorulÐ→OA, un vector director al dreptei d notat cu Ð→v si un

vector normal la planul p notat cuÐ→N ; analizati daca

Ð→OA,Ð→v si

Ð→N

sunt coplanari.

(b) ecuatiile dreptei prin A paralela cu d

(c) ecuatia planului prin A paralel cu planul p

(d) ecuatia planului prin d care este perpendicular pe xOz

(e) simetricele punctului A fata de planele si axele de coordonate

(f) ecuatiile canonice ale dreptei de intersectie dintre planele p si xOy


2. Fie punctele A(1,0,−2),B(0,1,3) si planul (p) ∶ 2x− y + 3z − 5 = 0. Sase determine

(a) vectorulÐ→AB, normala planului

Ð→N si produsul vectorial dintre

Ð→AB

siÐ→N

(b) ecuatiile dreptei prin A, paralela cu Ox

(c) ecuatia planului prin B si paralel cu p

(d) ecuatiile dreptei AB

(e) ecuatia planului prin A si B, care este ortogonal pe p

(f) simetricul lui B fata de Oz, xOy si p

3. Se considera punctele A(1,0,1),B(0,1,2) si vectorul Ð→v =Ð→i +Ð→k . Sa se

determine

(a) ecuatia planului prin A si perpendicular pe Ð→v(b) ecuatiile dreptei AB

(c) proiectia lui B ın planul xOz si simetricul lui B fata de Oz

(d) dist (A, yOz)(e) ecuatiile dreptei prin A paralela cu Ox

(f) ecuatia planului ce contine axa Ox si punctul B

4. Se considera punctul A(0,1,3) , dreapta (d) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x + y − z = 1

2x + z − 5 = 0si pla-

nul (p) ∶ x − y + 3z = 1. Notam cu Ð→v vectorul director al dreptei si cuÐ→N normala planului. Se cer:

(a) ecuatiile canonice ale dreptei d

(b) determinati un vector ortogonal peÐ→OA si

Ð→N si stabiliti daca vec-

toriiÐ→OA,Ð→v si

Ð→N sunt coplanari.

(c) ecuatia planului prin A perpendicular pe dreapta d

(d) proiectia lui A ın planul xOz , simetricul lui A fata de Oz

(e) ecuatiile dreptei prin A paralela cu Ox si ecuatia planului prin Aparalel cu xOy

(f) ecuatia planului ce contine dreapta d si este perpendicular pe pla-nul p

20.4. EXERCITII 279

5. Sa se afle coordonatele simetricului punctului M(4,1,6) fata de dreapta

(d)⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x − y − 4z + 12 = 0

2x + y − 2z + 3 = 0

6. Se dau dreapta

(d) x − 1

2= y − 1

3= z

1

si planul(p) x + y + z + 1 = 0.

Sa se determine:

(a) ecuatiile proiectiei dreptei d pe planul p;

(b) ecuatiile simetricei dreptei d fata de planul p.

7. Fie planele(p1) 2x − y − z − 2 = 0

(p2) x + 2y + 2z + 1 = 0,

dreptele

(d1)x − 9

4= y + 2

−3= z

1

(d2)x

−2= y + 7

9= z − 2

2

si punctul M(5,−1,1). Sa se gaseasca:

(a) unghiul dintre planele p1 si p2

(b) unghiul dintre dreptele d1 si d2

(c) unghiul dintre dreapta d2 si planul p1

(d) distanta de la M la planul p2

(e) distanta de la M la dreapta d1

(f) ecuatiile perpendicularei comune dreptelor d1 si d2

(g) distanta dintre dreptele d1 si d2

Capitolul 21

Conice

21.1 Dreapta ın plan

Fie O,Ð→i ,Ð→j un reper cartezian ortogonal ın plan. Ecuatia canonicaa dreptei determinata de punctul M0(x0, y0) si de vectorul director Ð→v =lÐ→i +mÐ→j (cu l2 +m2 > 0) este

x − x0

l= y − y0

m

sau echivalentmx − ly −mx0 + ly0 = 0

Notand a =m, b = −l si c = −mx0 + ly0, obtinem ecuatia

ax + by + c = 0

cu a2+b2 > 0, ecuatie care se numeste ecuatia generala a dreptei ın plan.Daca egalam rapoartele din ecuatia dreptei cu λ:

x − x0

l= y − y0

m= λ

se obtin ecuatiile parametrice ale dreptei:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x0 + λly = y0 + λm

De asemenea ecuatia canonica a dreptei determinata de doua puncteM1(x1, y1) si M2(x2, y2) este:

x − x1

x2 − x1

= y − y1

y2 − y1

281

282 CAPITOLUL 21. CONICE

ecuatie care se poate rescrie

RRRRRRRRRRRRRR

x y 1x1 y1 1x2 y2 1

RRRRRRRRRRRRRR= 0

Cazuri particulare

Ecuatia axei Ox: y = 0

Ecuatia unei drepte paralele cu Ox: y = y0

Ecuatia axei Oy: x = 0

Ecuatia unei drepte paralele cu Oy: x = x0

Ecuatia primei bisectoare: y = x

Ecuatia celei de-a doua bisectoare: y = −x

Ecuatia dreptei prin taieturi:Fie o dreapta care nu trece prin origine si nu este paralela cu axele decoordonate si fie A(a,0),B(0, b) punctele de intersectie ale dreptei cuaxele de coordonate, cu a ⋅ b ≠ 0. Obtinem:

x − a0 − a

= y − 0

b − 0⇔ bx + ay − ab = 0⇔ x

a+ yb− 1 = 0.

Fie o dreapta d de ecuatie

ax + by + c = 0, a2 + b2 > 0

Atunci si λax + λby + λc = 0, λ ∈ R∗ este o ecuatie a dreptei d, deci odreapta are o infinitate de ecuatii. Doua ecuatii reprezinta aceeasi dreaptadaca si numai daca au coeficientii proportionali.

Daca dreapta d nu este paralela cu Oy (deci b ≠ 0), ecuatia dreptei sepoate rescrie:

y = −abx − c

b

Notand m = −ab, n = −c

bobtinem

y =mx + n

care se numeste ecuatia explicita a dreptei d. Coeficientul m se numestepanta dreptei, iar n este ordonata intersectiei dreptei cu axa Oy.

21.2. CONICE PE ECUATII REDUSE 283

Fie A(xA, yA) si B(xB, yB) doua puncte distincte pe dreapta d. Dreaptanefiind paralela cu Oy, avem ca xA ≠ xB. Punand conditia ca cele douapuncte sa verifice ecuatia dreptei obtinem

yA =mxA + n si yB =mxB + n.

Scazand cele doua ecuatii obtinem

yB − yA =m(xB − xA)⇒m = yB − yAxB − xA

= tg θ

unde θ este unghiul dintre semiaxa pozitiva a axei Ox si semidreapta de pedreapta d situata deasupra axei Ox. Avem:

m > 0⇔ θ unghi ascutit

m < 0⇔ θ unghi obtuz

m = 0⇔ dreapta este paralela cu Ox

Observatii

1. Dreapta d care are ecuatia explicita y = mx + n trece prin punctelede coordonate (0, n) si (1,m + n), deci ecuatia canonica a dreptei estex

1= y − n

m, asadar un vector director al dreptei este Ð→v = 1 ⋅Ð→i +m ⋅Ð→j

2. O dreapta este unic determinata de un punct M0(x0, y0) si de pantam. Pentru un punct oarecare M(x, y) de pe dreapta avem

m = y − y0

x − x0

⇔ y − y0 =m(x − x0)

3. Doua drepte d1 si d2 neparalele cu Oy avand pantele m1 si m2 suntparalele daca si numai daca m1 =m2.

4. Doua drepte d1 si d2 neparalele cu Oy avand pantele m1 si m2 suntperpendiculare daca si numai daca m1 ⋅m2 = −1.

21.2 Conice pe ecuatii reduse

Definitia 21.1. Se numeste conica o curba plana definita ın reperul carte-

zian ortonormat O;Ð→i ,Ð→j printr-o ecuatie algebrica de gradul al doilea de

formaa11x

2 + 2a12xy + a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0,

unde aij ∈ R, i, j ∈ 1,2,3, a211 + a2

12 + a222 > 0 (adica cel putin unul dintre

coeficientii termenilor de gradul al doilea este nenul), iar (x, y) sunt coordo-natele euclidiene ın reperul dat ale unui punct oarecare al conicei.


Conicele se mai numesc si curbe de gradul al doilea. Exemple de conice:cercul, elipsa, hiperbola, parabola.

21.2.1 Cercul

Definitia 21.2. Fie un punct fixat C(a, b) si r > 0 un numar real fixat. Senumeste cerc de centru C si raza r este locul geometric al punctelor M(x, y)care satisfac egalitatea

∥ÐÐ→CM∥ = r. (21.1)

AvemÐÐ→CM = (x − a)Ð→i + (y − b)Ð→j , deci (21.1) se rescrie

√(x − a)2 + (y − b)2 = r

sau echivalent(x − a)2 + (y − b)2 = r2 (21.2)

care se numeste ecuatia carteziana implicita a cercului de centru C(a, b)si raza r.

Efectuand calculele ın ecuatia (21.2) obtinem:

x2 + y2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0.

Notand m = −a, n = −b si p = a2 + b2 − r2, ecuatia se rescrie

x2 + y2 + 2mx + 2ny + p = 0,

care se numeste ecuatia generala a cercului .Ecuatia (21.2) este de asemenea echivalenta cu ecuatiile

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = a + r cos t

y = b + r sin t, t ∈ [0,2π)

numite ecuatiile parametrice ale cercului.

21.2.2 Elipsa

Definitia 21.3. Fie F,F ′ doua puncte ın plan si a > 0. Locul geometric alpunctelor M din plan cu proprietatea

MF +MF ′ = 2a

se numeste elipsa.


Punctele F,F ′ se numesc focarele elipsei

Dreapta FF ′ se numeste axa focala.

Distanta dintre focare se numeste distanta focala:

FF ′ = 2c < 2a

distantele MF si MF ′ se numesc raze focale

Pentru a gasi ecuatia elipsei alegem ca axa a absciselor axa focala FF ′, iarca axa a ordonatelor mediatoarea segmentului FF ′. Originea reperului estemijlocul segmentului FF ′, deci focarele au coordonatele F (c,0) si F ′(−c,0).Din definitia elipsei, punctul M(x, y) apartine elipsei daca si numai daca

√(x − c)2 + y2 +

√(x + c)2 + y2 = 2a⇔

√(x + c)2 + y2 = 2a −

√(x − c)2 + y2 ⇔

x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 − 4a√

(x − c)2 + y2 + x2 − 2cx + c2 + y2 ⇔a√

(x − c)2 + y2 = a2 − cx⇔ a2(x2 − 2cx + c2 + y2) = a4 − 2a2cx + c2x2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

Notand b2 = a2 − c2, ecuatia anterioara devine

b2x2 + a2y2 = a2b2 ⇔ x2

a2+ y

2

b2= 1,

ecuatie care se numeste ecuatia carteziana implicita a elipsei.Observatii

Daca M(x, y) este un punct pe elipsa, atunci si simetricul lui fata deOx, punctul de coordonate (x,−y) verifica ecuatia elipsei, deci Ox esteaxa de simetrie a elipsei.

Simetricul lui M fata de Oy, punctul de coordonate (−x, y) verificaecuatia elipsei, deci Oy este axa de simetrie a elipsei.

Simetricul lui M fata de O, punctul de coordonate (−x,−y) verificaecuatia elipsei, deci O este centru de simetrie al elipsei.

Intersectiile elipsei cu axele de coordonate, punctele A(a,0), A′(−a,0),B(0, b), B′(0,−b) se numesc varfurile elipsei.

∥Ð→OA∥ = a si ∥

Ð→OB∥ = b se numesc semiaxa mare si respectiv semiaxa

mica a elipsei.


Raportul e = ca< 1 se numeste excentricitatea elipsei. Avem:

e2 = c2

a2= a

2 − b2

a2= 1 − ( b

a)

2

⇒ b

a=√

1 − e2

deci excentricitatea caracterizeaza forma elipsei.

Ecuatia carteziana a elipsei este echivalenta cu ecuatiile

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = a cos t

y = b sin t, t ∈ [0,2π)

numite ecuatiile parametrice ale elipsei.

Ecuatia tangentei la elipsa dusa printr-un punct M0(x0, y0) de pe elipsase obtine prin dedublare:

xx0

a2+ yy0

b2− 1 = 0.

21.2.3 Hiperbola

Definitia 21.4. Fie F,F ′ doua puncte ın plan si a > 0. Locul geometric alpunctelor M din plan cu proprietatea

∣MF −MF ′∣ = 2a

se numeste hiperbola.

Punctele F,F ′ se numesc focarele hiperbolei

Dreapta FF ′ se numeste axa focala.

Distanta dintre focare se numeste distanta focala:

FF ′ = 2c > 2a

distantele MF si MF ′ se numesc raze focale

Pentru a gasi ecuatia carteziana implicita a hiperbolei alegem ca axa aabsciselor axa focala FF ′, iar ca axa a ordonatelor mediatoarea segmentuluiFF ′. Originea reperului este mijlocul segmentului FF ′, deci focarele au


coordonatele F (c,0) si F ′(−c,0). Prin definitie, punctul M(x, y) apartinehiperbolei daca si numai daca

√(x + c)2 + y2 −

√(x − c)2 + y2 = ±2a⇔

√(x + c)2 + y2 =

√(x − c)2 + y2 ± 2a⇔

x2 + 2cx + c2 + y2 = x2 − 2cx + c2 + y2 ± 4a√

(x − c)2 + y2 + 4a2 ⇔±a

√(x − c)2 + y2 = cx − a2 ⇔

a2(x2 − 2cx + c2 + y2) = a4 − 2a2cx + c2x2 ⇔(c2 − a2)x2 − a2y2 = a2(c2 − a2)⇔

b2x2 − a2y2 = a2b2 ⇔ x2

a2− y

2

b2= 1.

Observatii

Axele Ox si Oy sunt axe de simetrie ale hiperbolei;

Intersectiile hiperbolei cu axa Ox, punctele A(a,0), A′(−a,0), se nu-mesc varfurile hiperbolei, iar axa Ox se numeste axa transversa ahiperbolei;

Dreptele de ecuatii y = ± bax sunt asimptotele hiperbolei si se obtin ca

asimptote oblice ale functiilor

f1(x) =b

a

√x2 − a2 si f2(x) = −

b

a

√x2 − a2;

Daca a = b, hiperbola are ecuatia x2 − y2 = a2 si se numeste hiperbolaechilatera, iar asimptotele sunt bisectoarele axelor y = x si y = −x;

O ecuatie de forma xy = ±a2 reprezinta tot o hiperbola echilatera, avandca asimptote axele de coordonate, iar ca axe de simetrie bisectoareleaxelor.

Raportul e = ca< 1 se numeste excentricitatea hiperbolei. Avem:

e2 = c2

a2= a

2 + b2

a2= 1 + ( b

a)

2

⇒ b

a=√e2 − 1

deci excentricitatea caracterizeaza forma hiperbolei.


Ecuatia carteziana a elipsei este echivalenta cu ecuatiile

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = a ch t

y = b sh t, t ∈ R

numite ecuatiile parametrice ale hiperbolei.

Ecuatia tangentei la hiperbola dusa printr-un punct M0(x0, y0) de pehiperbola se obtine prin dedublare:

xx0

a2− yy0

b2− 1 = 0.

21.2.4 Parabola

Definitia 21.5. Fie o dreapta fixa d ın plan si un punct fix F ∉ d. Loculgeometric al punctelor M din plan cu proprietatea ca distanta la punctul Feste egala cu distanta la dreapta d se numeste parabola.

Punctul F se numeste focar;

Dreapta d se numeste dreapta directoare;

Distanta de la focar la dreapta directoare se numeste parametrul pa-rabolei si se noteaza cu p.

Pentru a gasi ecuatia parabolei alegem ca axa a absciselor perpendicularadusa prin F la d, care intersecteaza dreapta d ın punctul A si are sensulpozitiv de la directoare catre focar, iar axa ordonatelor este mediatoareasegmentului AF .

Focarul F are coordonatele (p2 ,0), iar prin definitie un punct oarecare

M(x, y) se afla pe parabola daca si numai daca ∥ÐÐ→MF ∥ = ∥

ÐÐ→MB∥ unde B este

proiectia lui M pe dreapta d si are coordonatele (−p2 , y). Obtinem:

√(x − p

2)

2

+ y2 = x + p2⇔ x2 − px + p

2

4+ y2 = x2 + px + p

2

4

de unde se obtine ecuatia carteziana implicita a parabolei:

y2 = 2px

Axa Ox se numeste axa parabolei (sau axa transversa a parabolei) sieste axa de simetrie pentru parabola, iar punctul O(0,0) se numeste varfulparabolei.

Observatii

21.3. SCHIMBARI DE REPERE CARTEZIENE 289

Ecuatia carteziana a parabolei este echivalenta cu ecuatiile

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x = t2

2py = t

, t ∈ R

numite ecuatiile parametrice ale parabolei;

Ecuatia tangentei la parabola dusa printr-un punct M0(x0, y0) de peparabola se obtine prin dedublare:

yy0 = p(x + x0);

Ecuatia y2 = −2px, p > 0 reprezinta tot o parabola cu axa transversaOx, varful ın origine, dar situata ın semiplanul din stanga axei Oy;

Ecuatiile x2 = 2py si x2 = −2py, cu p > 0 reprezinta parabole avand axatransversa Oy si varful ın origine.

21.3 Schimbari de repere carteziene

21.3.1 Rotatia

Fie O;Ð→i ′,Ð→j ′ un reper cartezian ortonormat obtinut prin rotirea reperului

O;Ð→i ,Ð→j cu un unghi θ ∈ [0, π). Notam cu (x, y) coordonatele unui punct

oarecare M din plan ın reperul initial si cu (x′, y′) coordonatele aceluiasipunct ın reperul rotit. Avem:

ÐÐ→OM = xÐ→i + yÐ→j = x′Ð→i ′ + y′Ð→j ′

Inmultind scalar aceasta egalitate cuÐ→i , respectiv

Ð→j , obtinem:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

xÐ→i ⋅Ð→i + yÐ→j ⋅Ð→i = x′Ð→i ′ ⋅Ð→i + y′Ð→j ′ ⋅Ð→i

xÐ→i ⋅Ð→j + yÐ→j ⋅Ð→j = x′Ð→i ′ ⋅Ð→j + y′Ð→j ′ ⋅Ð→j

AvemÐ→i ⋅Ð→i =Ð→j ⋅Ð→j = 1 si

Ð→i ⋅Ð→j =Ð→j ⋅Ð→i = 0, deci

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x′Ð→i ′ ⋅Ð→i + y′Ð→j ′ ⋅Ð→iy = x′Ð→i ′ ⋅Ð→j + y′Ð→j ′ ⋅Ð→j

(21.3)

Avem ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Ð→i ′ ⋅Ð→i = cos θ,

Ð→j ′ ⋅Ð→i = cos (θ + π

2) = − sin θ

Ð→i ′ ⋅Ð→j = cos (π2 − θ) = sin θ,

Ð→j ′ ⋅Ð→j = cos θ


si ınlocuind ın (21.3) gasim

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x′ cos θ − y′ sin θy = x′ sin θ + y′ cos θ

sau echivalent

( xy

) = ( cos θ − sin θsin θ cos θ

)( x′

y′) .

Matricea C = ( cos θ − sin θsin θ cos θ

) este o matrice ortogonala (C−1 = CT ), deci

rotatia ın plan de unghi θ este o transformare ortogonala.

21.3.2 Translatia

Fie reperul O;Ð→i ,Ð→j , un punct A(x0, y0) si consideram reperul cartezian

ortonormat A;Ð→i ,Ð→j . Notam cu (x, y) coordonatele unui punct oarecare

M din plan ın reperul initial si cu (x′, y′) coordonatele aceluiasi punct ınreperul nou . Avem:

ÐÐ→OM =

Ð→OA +

ÐÐ→AM ⇔ x

Ð→i + yÐ→j = x0

Ð→i + y0

Ð→j + x′Ð→i + y′Ð→j

de unde obtinem⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x0 + x′

y = y0 + y′.

Prin compunerea unei translatii cu o rotatie se obtine rototranslatia deecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x0 +X cos θ − Y sin θ

y = y0 +X sin θ + Y cos θ,

unde (X,Y ) sunt coordonatele punctului M ın A;Ð→i ′,Ð→j ′.

21.4 Reducerea conicelor la forma canonica

Fie o conica de ecuatie

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0.

Prin schimbarea reperului, se schimba si coordonatele punctelor de pe conica,deci se schimba si ecuatia pe care o verifica acestea. Vom cauta reperul ın careecuatia conicei are o forma particulara (de elipsa, hiperbola sau parabola),numita forma canonica.

21.4. REDUCEREA CONICELOR LA FORMA CANONICA 291

21.4.1 Invariantii unei conice

Definitia 21.6. Fie o conica de ecuatie

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x + 2a23y + a33´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

f(x,y)

= 0, (21.4)

cu aij ∈ R, i, j ∈ 1,2,3, a211 + a2

12 + a222 > 0. Numerele reale

I = a11 + a22, δ = ∣ a11 a12

a12 a22∣ , ∆ =

RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

RRRRRRRRRRRRRRse numesc invariantii conicei.

Teorema 21.1. Invariantii I, δ,∆ nu se schimba la translatii sau rotatii.

Demonstratie:

Inlocuind ecuatiile translatiei

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x0 + x′

y = y0 + y′ın (21.4) obtinem

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 + 2a′13x

′ + 2a′23y′ + a′33 = 0, (21.5)

unde

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

a′13 = a11x0 + a12y0 + a13

a′23 = a12x0 + a22y0 + a23

a′33 = f(x0, y0), deci coeficientii termenilor de grad 2 nu se

modifica, asadar I si δ raman neschimbati. Efectuand operatii pe coloane ın∆′ avem:

∆′ =RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a′13

a12 a22 a′23

a′13 a′23 a′33

RRRRRRRRRRRRRR

C3 − x0C1

=C3 − y0C2

RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a′13 a′23 a13x0 + a23y0 + a33

RRRRRRRRRRRRRREfectuand operatii pe linii ın ∆′ avem :

RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a′13 a′23 a13x0 + a23y0 + a33

RRRRRRRRRRRRRR

L3 − x0L1

=L3 − y0L2

RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

RRRRRRRRRRRRRR= ∆.

Fie acum o rotatie de unghi θ. Avem:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩


⇔ ( xy

) = ( cos θ − sin θsin θ cos θ

)( x′

y′)⇔X = CX ′,


unde C = ( cos θ − sin θsin θ cos θ

) , X = ( xy

) , X ′ = ( x′

y′).

Introducem de asemenea notatiileA = ( a11 a12

a12 a22) , B = ( a13 a23 ). Ecuatia

conicei se rescrie matriceal XTAX + 2BX + a33 = 0.Inlocuind ecuatiile rotatiei X = CX ′ ın ecuatia matriceala anterioara

obtinemX ′T (CTAC)X ′ + 2B(CX ′) + a33 = 0

Matricea C fiind ortogonala, A si CTAC au acelasi polinom caracteristic, iarcoeficientii acestuia fiind chiar I si δ, deducem ca acestia nu se schimba laefectuarea unei rotatii. Introducem notatiile

A =⎛⎜⎝

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

⎞⎟⎠, C =

⎛⎜⎝

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

⎞⎟⎠, A′ =

⎛⎜⎝

a′11 a′12 a′13

a′12 a′22 a′23

a′13 a′23 a′33

⎞⎟⎠

Consideram forma patratica avand matricea A ın baza canonica din R3.Atunci A′ este matricea aceleiasi forme patratice ın baza data de matriceaC, deci avem

∆′ = det A′ = det(CT AC) = det CT det Adet C = det A = ∆.

21.4.2 Forma canonica a conicelor cu centru

Fie conica de ecuatie

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x + 2a23y + a33´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

f(x,y)

= 0, (21.6)

cu aij ∈ R, i, j ∈ 1,2,3, a211 + a2

12 + a222 > 0. Cautam o translatie de ecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x0 + x′

y = y0 + y′astfel ıncat ın noile coordonate ecuatia conicei

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 + 2a′13x

′ + 2a′23y′ + a′33 = 0, (21.7)

sa nu contina termeni de grad 1, adica

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a′13 = a11x0 + a12y0 + a13 = 0

a′23 = a12x0 + a22y0 + a23 = 0.

Caz 1. Daca δ ≠ 0, sistemul anterior are solutie unica, iar ın reperul translatatcu centrul ın O′(x0, y0) ecuatia conicei este

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 + f(x0, y0) = 0, (21.8)


Daca punctul de coordonate (x′, y′) verifica (21.8), atunci si punctul decoordonate (−x′,−y′) verifica (21.8), deci O′ este centru de simetrie pentruconica, iar coordonatele lui sunt:

x0 =− ∣ a13 a12

a23 a22∣

δ, y0 =

− ∣ a11 a13

a12 a23∣

δ(21.9)

Termenul liber f(x0, y0) din (21.8) se rescrie astfel:

f(x0, y0) = a11x20 + 2a12x0y0 + a22y

20 + 2a13x0 + 2a23y0 + a33

= (a11x0 + a12y0 + a13)x0 + (a12x0 + a22y0 + a23)y0 ++a13x0 + a23y0 + a33 = a13x0 + a23y0 + a33

Avem ∆ =RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

RRRRRRRRRRRRRR= a13x0δ + a23y0δ + a33δ = δf(x0, y0)

Ecuatia (21.8) devine

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 + ∆

δ= 0, (21.10)

Daca a12 = 0, atunci (21.10) este forma canonica.Daca a12 ≠ 0, consideram forma patratica

Φ ∶ R2 → R, Φ(x′, y′) = a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2,

avand matricea A = ( a11 a12

a12 a22) ın baza canonica. Exista o baza orto-

normata formata din vectori proprii ai lui A ın care Φ are forma canonicaλ1X2 + λ2Y 2, unde λ1 si λ2 sunt valorile proprii ale lui A, adica radacinileecuatiei caracteristice:

∣ a11 − λ a12

a12 a22 − λ∣ = 0⇔ λ2 − Iλ + δ = 0.

In noile coordonate ecuatia conicei (21.10) devine

λ1X2 + λ2Y

2 + ∆

δ= 0, (21.11)

deci are forma canonica. Putem presupune ca baza Ð→v 1,Ð→v 2 ın care avem

forma canonica se obtine din baza Ð→i ,Ð→j printr-o rotatie de unghi θ ∈


(0, π2 ), asadar

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Ð→v 1 = cos θÐ→i + sin θ

Ð→j

Ð→v 2 = − sin θÐ→i + cos θ

Ð→j

. CumÐ→v 1 siÐ→v 2 sunt vectori proprii

corespunzatori matricei A obtinem:

( a11 a12

a12 a22)( cos θ

sin θ) = λ1 (

cos θsin θ

)⇒ λ1 cos θ = a11 cos θ + a12 sin θ

( a11 a12

a12 a22)( − sin θ

cos θ) = λ2 (

− sin θcos θ

)⇒ −λ2 sin θ = −a11 sin θ + a12 cos θ

Inmultind prima relatie cu sin θ, pe a doua cu cos θ si sumandu-le obtinem

(λ1 − λ2) sin θ cos θ = a12

Cum a12 ≠ 0 si θ ∈ (0, π2 ), deducem ca λ1 ≠ λ2 si λ1 − λ2 are acelasi semncu a12. Din cele doua formule anterioare se poate obtine unghiul θ:

λ1 cos θ = a11 cos θ + a12 sin θ⇒ tg θ = λ1 − a11

a12

−λ2 sin θ = −a11 sin θ + a12 cos θ⇒ tg θ = a12

a11 − λ2

Legatura ıntre coordonatele initiale x, y si coordonatele X,Y ın care avemforma canonica sunt:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩


y = y0 +X sin θ + Y cos θ.

Coeficientii formei canonice λ1X2 + λ2Y 2 + ∆δ = 0 fiind radacinile ecuatiei

caracteristice λ2 − Iλ + δ = 0, distingem urmatoarele cazuri:

1. δ > 0, I > 0,∆ < 0⇒ λ1 > 0, λ2 > 0, ∆δ < 0⇒ elipsa

2. δ > 0, I > 0,∆ = 0⇒ λ1 > 0, λ2 > 0, ∆δ = 0⇒ un punct

3. δ > 0, I > 0,∆ > 0⇒ λ1 > 0, λ2 > 0, ∆δ > 0⇒ ∅

4. δ > 0, I < 0,∆ < 0⇒ λ1 < 0, λ2 < 0, ∆δ < 0⇒ ∅

5. δ > 0, I < 0,∆ = 0⇒ λ1 < 0, λ2 < 0, ∆δ = 0⇒ un punct

6. δ > 0, I < 0,∆ > 0⇒ λ1 < 0, λ2 < 0, ∆δ > 0⇒ elipsa

7. δ < 0,∆ ≠ 0⇒ hiperbola


8. δ < 0,∆ = 0⇒ doua drepte concurente

Daca ∆ ≠ 0 conica se numeste nedegenerata, iar daca ∆ = 0 conica senumeste degenerata.

Caz 2. Daca δ = 0 si rang( a11 a12 a13

a12 a22 a23) = 1, sistemul

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a11x0 + a12y0 + a13 = 0

a12x0 + a22y0 + a23 = 0

are o infinitate de solutii, deci conica are o infinitate de centre.Daca (x0, y0) este o solutie a sistemului anterior, atunci ın reperul transla-

tat cu centrul ın O′(x0, y0) ecuatia conicei este

a11x′2 + 2a12x

′y′ + a22y′2 + f(x0, y0) = 0, (21.12)

unde f(x0, y0) = a13x0 + a23y0 + a33. Distingem cazurile:

1. Daca a12 = 0, cum a11a22 = a212 ⇒ a11 = 0 sau a22 = 0, deci conica

degenereaza ın doua drepte paralele sau confundate sau multimea vida.

2. Daca a12 ≠ 0, cum a11a22 = a212 ⇒ a11 si a22 au acelasi semn . Inmultind

eventual ecuatia (21.12) cu −1, putem presupune ca a11 > 0 si a22 > 0,iar (21.12) devine

(√a11x

′ ±√a22y

′)2 ± f(x0, y0) = 0

deci conica degenereaza ın doua drepte paralele sau confundate saumultimea vida.

21.4.3 Forma canonica a conicelor fara centru

Fie din nou conica de ecuatie

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x + 2a23y + a33´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

f(x,y)

= 0, (21.13)

cu aij ∈ R, i, j ∈ 1,2,3, a211 + a2

12 + a222 > 0.

Caz 3. Daca δ = 0 si rang( a11 a12 a13

a12 a22 a23) = 2, sistemul

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a11x0 + a12y0 + a13 = 0

a12x0 + a22y0 + a23 = 0

este incompatibil, deci nu exista o translatie ın urma careia sa dispara ter-menii de grad 1 din ecuatie, altfel spus conica nu are centru de simetrie.

Daca a12 ≠ 0, consideram forma patratica

Φ ∶ R2 → R, Φ(x, y) = a11x2 + 2a12xy + a22y

2,


avand matricea A = ( a11 a12

a12 a22) ın baza canonica. Exista o baza orto-

normata formata din vectori proprii ai lui A ın care Φ are forma canonicaλ1x′2 + λ2y′2, unde λ1 si λ2 sunt valorile proprii ale lui A, adica radacinileecuatiei caracteristice:

∣ a11 − λ a12

a12 a22 − λ∣ = 0⇔ λ2 − Iλ + δ = 0

Cum δ = 0 ⇒ λ1λ2 = 0. Presupunem λ1 = 0, λ2 = I ≠ 0 (daca ambele valoriproprii ar fi nule, ar rezulta a11 = a12 = a22 = 0). In noile coordonate x′, y′

ecuatia conicei devine

Iy′2 + 2a′13x′ + 2a′23y

′ + a33 = 0 (21.14)

Putem presupune ca baza Ð→v 1,Ð→v 2 ın care avem forma canonica se obtine

din baza Ð→i ,Ð→j printr-o rotatie de unghi θ ∈ (0, π2 ), asadar

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Ð→v 1 = cos θÐ→i + sin θ

Ð→j

Ð→v 2 = − sin θÐ→i + cos θ

Ð→j

⇔⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩


Cum Ð→v 1 este vector propriu corespunzator valorii proprii 0 obtinem:

( a11 a12

a12 a22)( cos θ

sin θ) = ( 0

0)⇒ a11 cos θ + a12 sin θ = 0⇒ tg θ = −a11

a12

Prin calcul se obtine de asemenea

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a′13 = a13 cos θ + a23 sin θ

a′23 = −a13 sin θ + a23 cos θ

Daca a′13 = 0 ⇒ a13

a23

= − tg θ = a11

a12

⇒ rang( a11 a12 a13

a12 a22 a23) = 1, deci a′13 ≠ 0

ın Iy′2 + 2a′13x′ + 2a′23y

′ + a33 = 0.Grupand corespunzator termenii ın ecuatia anterioara obtinem

I (y′ + a′23

I)

2

+ 2a′13 (x′ +c

a′23

) = 0

unde c = a33−a′223

I. Efectuand translatia

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

X = x′ + ca′23

Y = y′ + a′23I

ecuatia conicei devine

IY 2 + 2a′13X = 0


Cum ∆ este invariant la rotatii si translatii, avem

∆ =RRRRRRRRRRRRRR

0 0 a′13

0 I 0a′13 0 0

RRRRRRRRRRRRRR= −a′213I ⇒ a′213 = −

∆

I

deci gasim forma canonica

Y 2 = ±2pX, unde p =√

−∆

I3.

Semnul ± ın ecuatia anterioara se alege ın functie de pozitia paraboleifata de axele de coordonate ale reperului initial, intersectand parabola cuaceste axe.

Ecuatia axei de simetrie a parabolei este

a11(a11x + a12y + a13) + a12(a12x + a22y + a23) = 0

iar coordonatele varfului parabolei se obtin intersectand parabola cu axade simetrie, deci rezolvand sistemul format din ecuatia anterioara si ecuatiainitiala a conicei.

Daca a12 = 0, din δ = 0 ⇒ a11 = 0 sau a22 = 0. Pentru a11 = 0, ecuatiaconicei devine

a22y2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0

a13 = 0⇒ conica degenerata.a13 ≠ 0⇒ parabola (facand o translatie ca mai sus).

Exemplu:Fie conica de ecuatie x2 − 4xy + 4y2 − 6x + 2y + 1 = 0.

coeficientii a11 = 1, a22 = 4, a12 = −2, a13 = −3, a23 = 1, a33 = 1;

invariantii I = 5, δ = ∣ 1 −2−2 4

∣ = 0,∆ =RRRRRRRRRRRRRR

1 −2 −3−2 4 1−3 1 1

RRRRRRRRRRRRRR= −25

deci conica este o parabola nedegenerata

p =√

−∆

I3= 1√

5⇒ forma canonica Y 2 = ± 2√

5X

axa de simetrie: a11(a11x + a12y + a13) + a12(a12x + a22y + a23) = 0⇒ x − 2y − 1 = 0

varful

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 − 4xy + 4y2 − 6x + 2y + 1 = 0

x − 2y − 1 = 0⇒ V (1

5,−2

5)


intersectia parabolei cu axa Ox:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 − 4xy + 4y2 − 6x + 2y + 1 = 0

y = 0⇒ x1,2 =

6 ±√

32

2

x

y

parabola

−1 0 1 2 3 4 5 6

−2

−1

0

1

2

3

4

Concluzii:In functie de semnul invariantilor distingem cazurile:

δ ∆ Forma canonica Tip

> 0≠ 0

X2

a2+ Y

2

b2− 1 = 0 elipsa

X2

a2+ Y

2

b2+ 1 = 0 ∅

= 0X2

a2+ Y

2

b2= 0 punct

< 0≠ 0

X2

a2− Y

2

b2− 1 = 0 hiperbola

= 0X2

a2− Y

2

b2= 0 doua drepte concurente

= 0

≠ 0 Y 2 − 2pX = 0 parabola

= 0Y 2 − a2 = 0 doua drepte paraleleY 2 = 0 doua drepte confundate

Y 2 + a2 = 0 ∅

21.5. EXERCITII 299

21.5 Exercitii

1. Sa se scrie ecuatiile cercurilor determinate de:

(a) centrul ın C(2,−3) si raza r = 7

(b) centrul ın C(1,1) si o tangeta la cerc este dreapta 3x + 4y + 8 = 0

(c) extremitatile unui diametru sunt A(3,2) si B(−1,6)(d) trece prin punctele M1(−1,5), M2(−2,−2), M3(5,5)(e) trece prin origine si are centrul C(2,0)

2. Sa se determine centrul si raza urmatoarelor cercuri; sa se scrie ecuatiileparametrice si sa se reprezinte grafic:

(a) x2 + y2 − 6x − 4y + 9 = 0

(b) x2 + y2 − 4x + 2y − 4 = 0

(c) x2 + y2 − 2x = 0

(d) x2 + y2 − y = 0

(e) x2 + y2 − 4x + 3 = 0

(f) x2 + y2 − 2x − 2y = 0

3. Sa se determine intersectia cercului cu dreapta:

(a) (C) ∶ x2 + y2 − 2y = 0, (d) ∶ x + y = 1

(b) (C) ∶ x2 + y2 − x = 0, (d) ∶ x = y

4. Sa se scrie ecuatiile elipselor date prin elementele:

(a) F ′(−1,0), F (1,0) si semiaxa mare 5

(b) axa mare 10 si distanta dintre focare 8

(c) axa mica 16 si F (3,0)(d) semiaxele 4 si 2

(e) distanta dintre focare 6 si semiaxa mare 5

(f) semiaxa mare 25 si excentricitatea 0,6

5. Sa se determine semiaxele, focarele si excentricitatea elipselor, si sa sescrie ecuatiile lor parametrice:

(a) x2

9 + y2

4 − 1 = 0


(b) 9x2 + 25y2 = 225

(c) 3x2 + 4y2 = 12

(d) x2 + 2y2 − 6 = 0

(e) 25x2 + 169y2 = 225

6. Sa se afle punctele de intersectie ale elipsei cu dreapta:

(a) x2

4 + y2 − 1 = 0, 2x + 2y − 3 = 0

(b) 5x2 + 8y2 − 77 = 0, x + 2y − 7 = 0

7. Sa se scrie ecuatia tangentei la elipsa 2x2+y2−6 = 0 ın punctul M(2,−3)de pe elipsa

8. Sa se scrie ecuatiile hiperbolelor avand focarele pe axa Ox si cunoscandurmatoarele elemente:

(a) semiaxele sunt 4 si 3

(b) distanta dintre varfuri 6 iar distanta ıntre focare 10

(c) semiaxa transversa este 12 si e = 54

(d) F ′(0,−10), F (0,10) si distanta ıntre varfuri 8

9. Sa se afle semiaxele, focarele, excentricitatea si asimptotele hiperbolelor

(a) 16x2 − 25y2 = 400

(b) x2

9 − y2

16 = 1

(c) 2x2 − 5y2 − 10 = 0

10. Sa se reprezinte hiperbolele si asimptotele lor:

(a) x2 − y2 = 1

(b) x2 − 4y2 − 4 = 0

(c) 4y2 − 9x2 − 36 = 0

(d) xy = 2; xy = −2

(e) x2

25 −y2

49 − 1 = 0

11. Sa se scrie ecuatia tangentei la hiperbola

x2

5− y

2

4= 1

ın punctul M0(5,−4)

21.5. EXERCITII 301

12. Sa se scrie ecuatiile tangentelor duse din M0(2,−1) la hiperbola

x2 − 4y2 − 1 = 0

si sa se afle punctele de contact.

13. Sa se scrie ecuatia unei parabole cu varful ın originea reperului stiindca:

(a) focarul este F (1,0)(b) focarul este F (0,2)(c) axa de simetrie este Ox, cu p = 0,5, situata ın semiplanul stang

(d) axa de simetrie este Oy, p = 3 si situata ın semiplanul inferior

14. Sa se determine focarul, axa de simetrie, si sa se reprezinte grafic pa-rabolele:

(a) y2 = 2x

(b) y2 = −4x

(c) x2 = −5y

(d) x2 = y

15. Sa se scrie ecuatia tangentei si ecuatia normalei la parabola y2 = 3x ınpunctul de abscisa x = 3

16. Sa se recunoasca si sa se reprezinte grafic curbele:

(a) 4x2 − 5y2 = 20

(b) x2 + y2 − 9 = 0

(c) y2 − x = 0

(d) x2 + y2 − 2x = 0

(e) 2x2 + y2 − 4 = 0

(f)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = 2 cos t

y = sin t, t ∈ [0,2π]

(g) y + 2x2 = 20

(h) 16x2 − 9y2 + 144 = 0

(i) 2x2 + 2y2 − 1 = 0

(j)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = 1 + 2 cos t

y = 2 sin t, t ∈ [0,2π]

(k) y2 + 4x = 0

(l)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = 3 cos t

y = 2 sin t, t ∈ [0,2π]


17. Sa se reprezinte domeniile din plan marginite de curbele:

a)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y2 = xx2 = y

b)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y = x2

y = 1c)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

y = xy = −xx = 2

18. Sa se reprezinte domeniile din plan determinate de:

a)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x2 + y2 ≤ 2y

y ≤ x2

x ≥ 0

b)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x2 + y2 ≤ 4

x2 + y2

4 ≥ 1

x ≥ 0

c)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 + y2 ≤ 4

x2 + y2 ≥ 2xd)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x2 + y2 ≤ 2

x ≤ y2

x ≥ −y2

y ≤ 0

19. Sa se aduca la forma canonica si sa se reprezinte grafic conicele:

(a) 5x2 + 8xy + 5y2 − 18x − 18y + 9 = 0

R: X2

1 + Y 2

9 − 1 = 0, C(1,1), α = π4 .

(b) 5x2 + 6xy + 5y2 − 16x − 16y − 16 = 0

R: X2

4 + Y 2

16 − 1 = 0, C(1,1), α = π4 .

(c) x2 − xy + y2 − 5x + y − 2 = 0

R: X2

18 + Y 2

6 − 1 = 0, C(3,1), α = π4 .

(d) 3x2 − 2xy + 3y2 − 4x − 4y − 36 = 0

R: X2

20 + Y 2

10 − 1 = 0, C(1,1), α = π4 .

(e) 5x2 − 8xy + 5y2 − 12x + 6y = 0

R: X2

9 + Y 2

1 − 1 = 0, C(2,1), α = π4 .

(f) x2 − xy + y2 − 5x + y − 2 = 0

R: X2

18 + Y 2

6 − 1 = 0, C(3,1), α = π4 .

(g) 3x2 + 10xy + 3y2 − 2x − 14y − 13 = 0

R: X2

1 − Y 2

4 − 1 = 0, C(2,−1), α = π4 .

(h) x2 − 8xy + 7y2 + 6x − 6y + 9 = 0

R: X2

9 − Y 2

1 − 1 = 0, C(1,1), α = arctg 12 .

(i) 3xy + 6x − y − 8 = 0

R: X2

4 − Y 2

4 − 1 = 0, C(13 ,−2), α = π

4 .

(j) 6xy + 8y2 − 12x − 26y + 11 = 0

R: X2

1 − Y 2

9 − 1 = 0, C(−1,2), α = arctg 3.

(k) 5x2 + 12xy − 22x − 12y − 19 = 0

R: X2

4 − Y 2

9 − 1 = 0, C(1,1), α = arctg 23 .

21.5. EXERCITII 303

(l) 5x2 − 6xy + 5y2 + 2x − 14y + 21 = 0

R: X2

4 + Y 2 + 1 = 0

(m) 5x2 − 2xy + 5y2 + 12x − 12y + 12 = 0R: 2X2 + 3Y 2 = 0, C(−1,1)

(n) 2x2 + 3xy + y2 − x − 1 = 0R: y = −x + 1, y = −2x − 1.

(o) 3x2 − 7xy + 2y2 − 4x + 3y + 1 = 0R: x − 2y − 1 = 0, 3x − y − 1 = 0

(p) x2 − 2xy + y2 − 10x − 6y + 25 = 0R: ∆ = −64, Y 2 = 4

√2X, x − y − 1 = 0, V (2,1).

(q) x2 + 4xy + 4y2 + 2x − y − 1 = 0R: ∆ = −25

4 , Y2 = − 1√

5X, x + 2y = 0, V (2

5 ,−15).

(r) x2 − 4xy + 4y2 − 4x − 2y + 10 = 0R: ∆ = −25, Y 2 = 2√

5X, x − 2y = 0, V (2,1).

(s) x2 − 4xy + 4y2 − 26x − 38y + 25 = 0R: ∆ = −2025, Y 2 = 18√

5X, x − 2y + 5 = 0, V (−1,2).

(t) 4x2 − 4xy + y2 − 8x − 8y + 4 = 0R: ∆ = −144, Y 2 = 24

5√

5X, 10x − 5y − 4 = 0, V (23

50 ,325).

(u) x2 + 4xy + 4y2 + x + 2y − 2 = 0R: x + 2y = 1, x + 2y = −2.

(v) x2 − 4xy + 4y2 + 10x − 20y + 25 = 0R: x − 2y + 5 = 0.

(w) x2 − 4xy + 4y2 + 3x − 6y + 2 = 0R: x − 2y + 1 = 0, x − 2y + 2 = 0.

Capitolul 22

Cuadrice

Definitia 22.1. Se numeste cuadrica o suprafata ın spatiu definita ın repe-

rul cartezian ortonormat O;Ð→i ,Ð→j ,Ð→k printr-o ecuatie algebrica de gradul

al doilea de forma

a11x2 + a22y

2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0,

unde aij ∈ R, i, j ∈ 1,2,3,4, j ≥ i, iar coeficientii termenilor de gradul aldoilea a11, a22, a33, a12, a13, a23 nu sunt toti nuli.

Asadar o cuadrica este o multime de puncte ın spatiu ale caror coordonate(x, y, z) verifica o ecuatie de gradul al doilea de forma celei de mai sus.

cuadricele se mai numesc si suprafete algebrice de ordinul al doilea

exemple de cuadrice: sfera, elipsoid, hiperboloizi, paraboloizi

22.1 Cuadrice pe ecuatii reduse

22.1.1 Sfera

Definitia 22.2. Fie un punct fixat C(a, b, c) si R > 0 un numar real fixat.Sfera de centru C si raza R este locul geometric al punctelor M(x, y, z) caresatisfac egalitatea

∥ÐÐ→CM∥ = R. (22.1)

AvemÐÐ→CM = (x − a)Ð→i + (y − b)Ð→j + (z − c)

Ð→k , deci (22.1) se rescrie

√(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R

305

306 CAPITOLUL 22. CUADRICE

sau echivalent

(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R2 (22.2)

care se numeste ecuatia carteziana implicita a sferei de centru C(a, b, c)si raza R.

Efectuand calculele ın ecuatia (22.2) obtinem:

x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0, (22.3)

unde d = a2 + b2 + c2 − R2. Se pune problema daca orice ecuatie de forma(22.3) reprezinta ecuatia unei sfere. Cum (22.3) este echivalenta cu

(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = a2 + b2 + c2 − d,

distingem urmatoarele cazuri:

1. daca a2 + b2 + c2 − d > 0 atunci multimea punctelor care satisfac (22.3)

reprezinta sfera cu centrul C(a, b, c) si raza R =√a2 + b2 + c2 − d;

2. daca a2 + b2 + c2 − d = 0 atunci multimea punctelor care satisfac (22.3)se reduce la punctul de coordonate (a, b, c);

3. daca a2 + b2 + c2 − d < 0 atunci multimea punctelor care satisfac (22.3)este multimea vida.

Ecuatia (22.3) ın care a2 + b2 + c2 − d > 0 se numeste ecuatia generala asferei.

Fie M(x, y, z) un punct din spatiu si M ′(x, y,0) proiectia lui M pe planulxOy. Introducem notatiile:

ρ = ∥ÐÐ→OM∥ - distanta de la M la origine

θ ∈ [0, π] - unghiul dintre Oz siÐÐ→OM

ϕ ∈ [0,2π) - unghiul dintre Ox siÐÐ→OM ′

Numerele reale ρ, θ,ϕ se numesc coordonatele sferice ale lui M .Relatiile de legatura ıntre coordonatele carteziene si coordonatele sferice alepunctului M sunt:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = ρ sin θ cosϕ

y = ρ sin θ sinϕ

z = ρ cos θ

, ρ ≥ 0, θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0,2π).

22.1. CUADRICE PE ECUATII REDUSE 307

Considerand coordonatele sferice ale punctelor din sistemul de coordonatecu centrul ın C(a, b, c) si axele paralele cu cele initiale, obtinem ecuatiileparametrice ale sferei cu centrul ın C si raza R:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = a +R sin θ cosϕ

y = b +R sin θ sinϕ

z = c +R cos θ

, θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0,2π).

Consideram un plan (p) si notam cu d distanta de la C la acest plan. Avemurmatoarele situatii posibile:

d > R ⇒ intersectia dintre plan si sfera este vida, deci planul esteexterior sferei;

d = R⇒ intersectia dintre plan si sfera este un punct, deci planul estetangent la sfera;

d < R ⇒ intersectia dintre plan si sfera este un cerc, deci planul estesecant la sfera.

22.1.2 Elipsoidul

Definitia 22.3. Se numeste elipsoid o cuadrica pentru care exista un reperortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatia canonica

x2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2− 1 = 0,

unde a > 0, b > 0, c > 0.

Fie M(x0, y0, z0) un punct pe elipsoid. Atunci:

punctele de coordonate (x0, y0,−z0), (x0,−y0, z0), (−x0, y0, z0) apartinelipsoidului, deci planele xOy,xOz, yOz sunt plane de simetrie ale elip-soidului;

punctele de coordonate (x0,−y0,−z0), (−x0, y0,−z0), (−x0,−y0, z0) apartinelipsoidului, deci axele Ox,Oy,Oz sunt axe de simetrie ale elipsoidului;

punctul de coordonate (−x0,−y0,−z0) apartine elipsoidului, deci O estecentru de simetrie al elipsoidului.

Intersectiile elipsoidului de ecuatiex2

a2+ y

2

b2+ z

2

c2− 1 = 0 cu planele si axele

de coordonate sunt:


intersectia cu xOy(z = 0): x2

a2+ y

2

b2− 1 = 0⇒ elipsa

intersectia cu xOz(y = 0): x2

a2+ z

2

c2− 1 = 0⇒ elipsa

intersectia cu yOz(x = 0): y2

b2+ z

2

c2− 1 = 0⇒ elipsa

intersectia cu Ox(y = z = 0): x2

a2− 1 = 0⇒ A(a,0,0),A′(−a,0,0)

intersectia cu Oy(x = z = 0): y2

b2− 1 = 0⇒ B(0, b,0),B′(0,−b,0)

intersectia cu Oz(x = y = 0): z2

c2− 1 = 0⇒ C(0,0, c),C ′(0,0,−c)

Numerele a, b, c se numesc semiaxele elipsoidului. Daca a = b = c, elipsoi-dul este o sfera. Ecuatiile parametrice ale elipsoidului sunt:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = a sin θ cosϕ

y = b sin θ sinϕ

z = c cos θ

, θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0,2π).


22.1.3 Hiperboloidul cu o panza

Definitia 22.4. Se numeste hiperboloid cu o panza o cuadrica pentrucare exista un reper ortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatiacanonica

x2

a2+ y

2

b2− z

2

c2− 1 = 0,

unde a > 0, b > 0, c > 0.

Ca si ın cazul elipsoidului, avem:

planele de coordonate sunt plane de simetrie

axele de coordonate sunt axe de simetrie

originea este centru de simetrie

Tot hiperboloizi cu o panza sunt si cuadricele de ecuatii

x2

a2− y

2

b2+ z

2

c2− 1 = 0 sau

x2

a2− y

2

b2− z

2

c2+ 1 = 0.

Intersectiile hiperboloidului cu o panza de ecuatiex2

a2+ y

2

b2− z

2

c2− 1 = 0 cu

planele si axele de coordonate sunt:



a2+ y

2

b2− 1 = 0⇒ elipsa

intersectia cu xOz(y = 0) :x2

a2− z

2

c2− 1 = 0⇒ hiperbola


b2− z

2

c2− 1 = 0⇒ hiperbola


a2− 1 = 0⇒ A(a,0,0),A′(−a,0,0)


b2− 1 = 0⇒ B(0, b,0),B′(0,−b,0)

intersectia cu Oz(x = y = 0): −z2

c2− 1 = 0⇒ ∅

intersectia cu plane paralele cu xOy(z = z0):x2

a2+ y

2

b2− z

20

c2+ 1 = 0 ⇒

elipsa

22.1.4 Hiperboloidul cu doua panze

Definitia 22.5. Se numeste hiperboloid cu doua panze o cuadrica pentrucare exista un reper ortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatiacanonica

x2

a2+ y

2

b2− z

2

c2+ 1 = 0,

unde a > 0, b > 0, c > 0.


Ca si ın cazurile anterioare, avem:




Tot hiperboloizi cu doua panze sunt si cuadricele de ecuatii

x2

a2− y

2

b2+ z

2

c2+ 1 = 0 sau

x2

a2− y

2

b2− z

2

c2− 1 = 0.

Intersectiile hiperboloidului cu doua panze de ecuatiex2

a2+ y

2

b2− z

2

c2+ 1 = 0

cu planele si axele de coordonate sunt:


a2+ y

2

b2+ 1 = 0⇒ ∅


a2− z

2

c2+ 1 = 0⇒ hiperbola


b2− z

2

c2+ 1 = 0⇒ hiperbola


a2+ 1 = 0⇒ ∅


b2+ 1 = 0⇒ ∅


c2+ 1 = 0⇒ C(0,0, c), C ′(0,0,−c)


a2+ y

2

b2− z

20

c2+ 1 = 0 ⇒

elipsa sau punct sau ∅

22.1.5 Conul

Definitia 22.6. Se numeste con o cuadrica pentru care exista un reperortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatia canonica

x2

a2+ y

2

b2− z

2

c2= 0,

unde a > 0, b > 0, c > 0.


Ca si ın cazurile anterioare, avem:




Tot conuri sunt si cuadricele de ecuatii

x2

a2− y

2

b2+ z

2

c2= 0 sau

x2

a2− y

2

b2− z

2

c2= 0.

Intersectiile conului de ecuatiex2

a2+ y2

b2− z2

c2= 0 cu planele si axele de

coordonate sunt:


a2+ y

2

b2= 0⇒ O(0,0,0)


a2− z

2

c2= 0⇒ doua drepte


b2− z

2

c2= 0⇒ doua drepte



a2= 0⇒ O(0,0,0)


b2= 0⇒ O(0,0,0)


c2= 0⇒ O(0,0,0)


a2+ y

2

b2− z

20

c2= 0⇒ elipsa

22.1.6 Paraboloidul eliptic

Definitia 22.7. Se numeste paraboloid eliptic o cuadrica pentru careexista un reper ortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatiacanonica

x2

a2+ y

2

b2= 2z,

unde a > 0, b > 0.

Avem:

planele xOz si yOz sunt plane de simetrie

axa Oz este axa de simetrie

Tot paraboloizi eliptici sunt si cuadricele de ecuatii

x2

a2+ z

2

c2= 2y sau

y2

b2+ z

2

c2= 2x.


Intersectiile paraboloidului eliptic de ecuatiex2

a2+ y

2

b2= 2z cu planele si

axele de coordonate sunt:


a2+ y

2

b2= 0⇒ O(0,0,0)


a2= 2z ⇒ parabola


b2= 2z ⇒ parabola


a2= 0⇒ O(0,0,0)


b2= 0⇒ O(0,0,0)

intersectia cu Oz(x = y = 0): 2z = 0⇒ O(0,0,0)


a2+ y

2

b2= 2z0 ⇒ elipsa

(pentru z0 > 0)

22.1.7 Paraboloidul hiperbolic

Definitia 22.8. Se numeste paraboloid hiperbolic o cuadrica pentru careexista un reper ortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatiacanonica

x2

a2− y

2

b2= 2z,

unde a > 0, b > 0.

Avem:

planele xOz si yOz sunt plane de simetrie

axa Oz este axa de simetrie

Tot paraboloizi eliptici sunt si cuadricele de ecuatii

x2

a2− z

2

c2= 2y sau

y2

b2− z

2

c2= 2x.

Intersectiile paraboloidului hiperbolic de ecuatiex2

a2− y

2

b2= 2z cu planele

si axele de coordonate sunt:



a2− y

2

b2= 0⇒ doua drepte


a2= 2z ⇒ parabola

intersectia cu yOz(x = 0): −y2

b2= 2z ⇒ parabola


a2= 0⇒ O(0,0,0)


b2= 0⇒ O(0,0,0)

intersectia cu Oz(x = y = 0): 2z = 0⇒ O(0,0,0)


a2− y

2

b2= 2z0 ⇒ hiperbola

22.1.8 Cilindri

Definitia 22.9. 1. Se numeste cilindru eliptic o cuadrica pentru careexista un reper ortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata areecuatia canonica

x2

a2+ y

2

b2− 1 = 0, unde a > 0, b > 0.


2. Se numeste cilindru hiperbolic o cuadrica pentru care exista un reperortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatia canonica

x2

a2− y

2

b2− 1 = 0, unde a > 0, b > 0.

3. Se numeste cilindru parabolic o cuadrica pentru care exista un reperortogonal ın spatiu ın raport cu care suprafata are ecuatia canonica

y2 = 2px, unde p ∈ R.


22.1.9 Generatoare rectilinii

Conul si cilindrii sunt suprafete riglate, adica pot fi scrise ca reuniunea uneifamilii de drepte. In afara de acestea, hiperboloidul cu o panza si paraboloidulhiperbolic sunt de asemenea suprafete riglate.

Ecuatia hiperboloidului cu o panza

x2

a2+ y

2

b2− z

2

c2− 1 = 0

se poate rescrie sub forma

x2

a2− z

2

c2= 1 − y

2

b2⇔ (x

a+ zc) ⋅ (x

a− zc) = (1 + y

b) ⋅ (1 − y

b) (22.4)

Consideram familia de drepte dα,β ∶

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α(xa+ zc) = β (1 + y

b)

β (xa− zc) = α(1 − y

b)

unde α si β nu

sunt simultan nuli. Reuniunea acestei familii de drepte este chiar hiperbolo-idul cu o panza anterior.

Fie M0(x0, y0, z0) ∈ dα,β, deci

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α(x0

a+ z0

c) = β (1 + y0

b)

β (x0

a− z0

c) = α(1 − y0

b)

.

daca αβ ≠ 0, atunci ınmultind ecuatiile anterioare si ımpartind prin αβ

obtinemx20a2 +

y20b2 −

z20c2 − 1 = 0 deci M0 este pe hiperboloid;

daca α = 0, β ≠ 0⇒ 1+ y0b = 0, x0

a −z0c = 0, asadar ın (22.4) ambii membri

sunt nuli, deci M0 verifica ecuatia hiperboloidului;

daca α ≠ 0, β = 0⇒ 1− y0b = 0, x0

a +z0c = 0, asadar ın (22.4) ambii membri

sunt nuli, deci M0 verifica ecuatia hiperboloidului;

Asadar orice dreapta din familia dα,β este inclusa ın hiperboloid.

Reciproc, se poate arata ca petru orice punct M0(x0, y0, z0) de pe hiperbo-

loid exista α,β ∈ R astfel ıncat

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α(x0

a+ z0

c) = β (1 + y0

b)

β (x0

a− z0

c) = α(1 − y0

b)

asadar M0 ∈ dα,β.

Dreptele din familia dα,β se numesc generatoare rectilinii ale hiperbo-loidului cu o panza.


O alta familie de generatoare rectilinii ale hiperboloidului cu o panzax2

a2+ y

2

b2− z

2

c2− 1 = 0 este

dλ,µ ∶

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

λ(xa+ zc) = µ(1 − y

b)

µ(xa− zc) = λ(1 + y

b)

.

In mod analog gasim pentru paraboloidul hiperbolicx2

a2− y

2

b2= 2z urmatoarele

familii de generatoare rectilinii:

dα,β ∶

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

α(xa+ yb) = 2βz

β (xa− yb) = α

si dλ,µ ∶

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

λ(xa+ yb) = µ

µ(xa− yb) = 2λz

.

22.2 Reducerea cuadricelor la forma canonica

Fie cuadrica definita prin ecuatia generala

a11x2 + a22y

2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶f(x,y,z)

= 0,

Ca si ın cazul conicelor, pentru orice cuadrica se poate determina un repercartezian ortogonal convenabil ın raport cu care ecuatia cuadricei are formacea mai simpla, numita forma canonica sau redusa. La aceasta formase poate ajunge printr-o translatie si o rotatie adecvata a reperului initial

O;Ð→i ,Ð→j ,Ð→k .

Un punct C se numeste centru de simetrie al cuadricei daca simetriculoricarui punct M al cuadricei ın raport cu C apartine de asemenea cuadricei.

Elipsoidul, hiperboloizii si conul sunt cuadrice cu centru, iar paraboloiziisunt cuadrice fara centru.

Cautam o translatie a sistemului Oxyz astfel ıncat originea noului sistemde coordonate C(x0, y0, z0) sa fie centru de simetrie al cuadricei. Relatiile

dintre coordonatele x, y, z din reperul initial O;Ð→i ,Ð→j ,Ð→k si coordonatele

x′, y′, z′ din sistemul translatat C;Ð→i ,Ð→j ,Ð→k sunt:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x0 + x′

y = y0 + y′

z = z0 + z′

22.2. REDUCEREA CUADRICELOR LA FORMA CANONICA 319

Inlocuind ın ecuatia initiala a cuadricei obtinem

a11x′2+a22y

′2+a33z′2+2a12x

′y′+2a13x′z′+2a23y

′z′+2a′14x′+2a′24y

′+2a′34z′+a′44 = 0,

unde

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

a′14 = a11x0 + a12y0 + a13z0 + a14

a′24 = a12x0 + a22y0 + a23z0 + a24

a′34 = a13x0 + a23y0 + a33z0 + a34

, iar a′44 = f(x0, y0, z0).

Pentru ca C(x0, y0, z0) sa fie centru de simetrie, trebuie ca ecuatia ın noilecoordonate sa nu contina termeni de gradul 1, asadar a′14 = a′24 = a′34 = 0, deci(x0, y0, z0) sunt solutii ale sistemului

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

a11x0 + a12y0 + a13z0 + a14 = 0

a12x0 + a22y0 + a23z0 + a24 = 0

a13x0 + a23y0 + a33z0 + a34 = 0

.

Daca δ =RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

RRRRRRRRRRRRRR≠ 0, sistemul anterior are solutie unica, iar ecuatia

cuadricei este

a11x′2 + a22y

′2 + a33z′2 + 2a12x

′y′ + 2a13x′z′ + 2a23y

′z′ + f(x0, y0, z0) = 0.

Daca a12 = a13 = a23 = 0, atunci cuadrica este ın forma canonica.Daca cel putin unul din coeficientii a12, a13, a23 este nenul, atunci efectuam

o rotatie a reperului cartezian, folosind metoda valorilor si vectorilor proprii.Consideram forma patratica Φ ∶ R3 → R,

Φ(x′, y′, z′) = a11x′2 + a22y

′2 + a33z′2 + 2a12x

′y′ + 2a13x′z′ + 2a23y

′z′

Se determina valorile proprii λ1, λ2, λ3 ale matricei

A =⎛⎜⎝

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

⎞⎟⎠,

precum si vectorii proprii ortonormati corespunzatori Ð→v1 ,Ð→v2 ,Ð→v3 .

In reperul cartezian C;Ð→v1 ,Ð→v2 ,Ð→v3, cuadrica are ecuatia canonica

λ1X2 + λ2Y

2 + λ3Z2 + f(x0, y0, z0) = 0

iar relatiile dintre coordonatele x′, y′, z′ si X,Y,Z sunt

⎛⎜⎝

x′

y′

z′

⎞⎟⎠= SBB′

⎛⎜⎝

XYZ

⎞⎟⎠


unde SBB′ este matricea de trecere de la baza B = Ð→i ,Ð→j ,Ð→k la baza B′ =

Ð→v1 ,Ð→v2 ,Ð→v3.

Daca δ = 0, atunci cuadrica este fara centru. In acest caz se efectueazamai ıntai o rotatie folosind metoda valorilor si vectorilor proprii, urmata deo translatie adecvata.

22.2.1 Exemple

1. Reducerea la forma canonica a cuadricei de ecuatie

5x2 + 7y2 + 5z2 + 2xy + 2xz + 2yz − 6y + 4z + 1 = 0.

a11 = a33 = 5, a22 = 7, a12 = a13 = a23 = 1,a14 = 0, a24 = −3, a34 = 2, a44 = 1

δ =RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

RRRRRRRRRRRRRR=RRRRRRRRRRRRRR

5 1 11 7 11 1 5

RRRRRRRRRRRRRR= 160 ≠ 0

centrul de simetrie:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

5x0 + y0 + z0 = 0

x0 + 7y0 + z0 − 3 = 0

x0 + y0 + 5z0 + 2 = 0

⇒ C (0, 12 ,−

12)

translatia

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = 0 + x′

y = 12 + y′

z = −12 + z′

5x′2 + 7y′2 + 5z′2 + 2x′y′ + 2x′z′ + 2y′z′ − 32 = 0

valorile proprii

RRRRRRRRRRRRRR

5 − λ 1 11 7 − λ 11 1 5 − λ

RRRRRRRRRRRRRR= 0⇒ λ1 = 4, λ2 = 5, λ3 = 8

vectorii proprii Ð→v1 = (1,0,−1),Ð→v2 = (1,−1,1),Ð→v3 = (1,2,1)

rotatia⎛⎜⎝

x′

y′

z′

⎞⎟⎠=⎛⎜⎜⎝

1√2

1√3

1√6

0 − 1√3

2√6

− 1√2

1√3

1√6

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎝

XYZ

⎞⎟⎠

ecuatia canonica

4X2 + 5Y 2 + 8Z2 − 3

2= 0⇔ X2

38

+ Y2

310

+ Z2

316

− 1 = 0

deci cuadrica este un elipsoid.

22.3. GENERARI DE SUPRAFETE 321

2. Reducerea la forma canonica a cuadricei de ecuatie

2y2 + 4xy − 8xz − 4yz + 6x − 5 = 0.

a11 = a33 = 0, a22 = 2, a12 = 2, a13 = −4, a23 = −2, a14 = 3, a24 = a34 = 0, a44 = −5

δ =RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

RRRRRRRRRRRRRR=RRRRRRRRRRRRRR

0 2 −42 2 −2−4 −2 0

RRRRRRRRRRRRRR= 0

valorile proprii

RRRRRRRRRRRRRR

−λ 2 −42 2 − λ −2−4 −2 −λ

RRRRRRRRRRRRRR= 0⇒ λ1 = 0, λ2 = 6, λ3 = −4

vectorii proprii Ð→v1 = (−1,2,1),Ð→v2 = (1,1,−1),Ð→v3 = (1,0,1)

rotatia⎛⎜⎝

xyz

⎞⎟⎠=⎛⎜⎜⎝

− 1√6

1√3

1√2

2√6

1√3

01√6

− 1√3

1√2

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎝

x′

y′

z′

⎞⎟⎠

6y′2 − 4z′2 −√

6x′ + 2√

3y′ + 3√

2z′ − 5 = 0

6(y′ +√

3

6)

2

− 4(z′ − 3√

2

8)

2

−√

6(x′ + 35

8√

6) = 0

translatia

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

X = x′ + 35

8√

6

Y = y′ +√

3

6

Z = z′ − 3√

2

8 ecuatia canonica

6Y 2 − 4Z2 −√

6X = 0

deci cuadrica este un paraboloid hiperbolic.

22.3 Generari de suprafete

Prin ecuatia unei suprafete ın spatiu se ıntelege o ecuatie ın 3 variabile deforma

F (x, y, z) = 0, unde F ∶D ⊂ R3 → R,

ecuatie care este satisfacuta de coordonatele tuturor punctelor de pe suprafataın raport cu un reper fixat, dar nu este satisfacuta de coordonatele nici unuialt punct din afara suprafetei.


Orice curba ın spatiu poate fi privita ca intersectia a doua suprafete carecontin acea curba si care nu mai au alte puncte comune. Asadar o curba ınspatiu poate fi definita prin doua ecuatii de forma

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

F (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0.

Exemple: o dreapta este intersectia dintre doua plane , un cerc este intersectiadintre o sfera si un plan, etc.

22.3.1 Suprafete cilindrice

Definitia 22.10. Fie Ð→v = lÐ→i +mÐ→j +nÐ→k ≠ 0 si o curba (C) ∶

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

F (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0.

Se numeste suprafata cilindrica o suprafata generata prin miscarea uneidrepte de directie Ð→v , numita generatoare, care se sprijina pe curba C, nu-mita curba directoare a suprafetei.

Ecuatiile unei drepte oarecare de directie Ð→vx − x0

l= y − y0

m= z − z0

n

pot fi rescrise sub forma de intersectie de plane

dλ,µ ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

nx − lz = λny −mz = µ

,λ,µ ∈ R. (22.5)

Suprafata cilindrica este generata de acele drepte din familia dλ,µ care sesprijina pe curba C (deci intersecteaza aceasta curba). Asadar cautam acelevalori ale lui λ si µ pentru care sistemul

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

nx − lz = λny −mz = µF (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0

(22.6)

este compatibil. Eliminand x, y, z din acest sistem, obtinem o relatie ıntre λsi µ

Φ(λ,µ) = 0 (22.7)

numita conditie de compatibilitate. Suprafata cilindrica este formata dintoate dreptele dλ,µ corespunzatoare valorilor lui λ si µ care satisfac conditia


de compatibilitate (22.7), asadar coordonatele punctelor acestei suprafetesatisfac ecuatia

Φ(nx − lz, ny −mz) = 0

Exemplu: Sa se gaseasca ecuatia cilindrului avand curba directoare de

ecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 − y2 = zx + y + z = 0

iar generatoarele sunt perpendiculare pe planul cur-

bei.

Ð→v =Ð→i +Ð→j +

Ð→k ⇒ generatoarele

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x − z = λy − z = µ

sistemul

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x − z = λy − z = µx2 − y2 = zx + y + z = 0

este compatibil

conditia de compatibilitate (2λ − µ)2 − (2µ − λ)2 + 3(µ + λ) = 0

ecuatia suprafetei cilindrice

x2 − y2 − 2xz + 2yz + x + y − 2z = 0

22.3.2 Suprafete conice

Definitia 22.11. Fie V (x0, y0, z0) si o curba (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

F (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0. Se

numeste suprafata conica o suprafata generata prin miscarea unei drepte,numita generatoare , care trece prin punctul fix V si se sprijina pe curbaC, numita curba directoare a suprafetei.

Ecuatiile unei drepte oarecare care trece prin V

x − x0

l= y − y0

m= z − z0

n

pot fi rescrise sub forma

dλ,µ ∶x − x0

λ= y − y0

µ= z − z0

1, λ = l

n, µ = m

n∈ R. (22.8)


Suprafata conica este generata de acele drepte din familia dλ,µ care sesprijina pe curba C (deci intersecteaza aceasta curba). Asadar cautam acelevalori ale lui λ si µ pentru care sistemul

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x − x0

λ= y − y0

µ= z − z0

1F (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0

(22.9)

este compatibil. Eliminand x, y, z din acest sistem, obtinem o relatie ıntre λsi µ

Φ(λ,µ) = 0 (22.10)

numita conditie de compatibilitate. Suprafata conica este formata din toatedreptele dλ,µ corespunzatoare valorilor lui λ si µ care satisfac conditia de com-patibilitate (22.13), asadar coordonatele punctelor acestei suprafete satisfacecuatia

Φ(x − x0

z − z0

,y − y0

z − z0

) = 0

Exemplu: Sa se gaseasca ecuatia conului cu varful ın origine si curba

directoare de ecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 + y2 = 1

z = 1.

generatoarelex

λ= yµ= z

1

sistemul

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x

λ= yµ= z

1x2 + y2 = 1

z = 1

este compatibil

conditia de compatibilitate λ2 + µ2 = 1

ecuatia suprafetei conice

(xz)

2

+ (yz)

2

= 1⇔ x2 + y2 = z2

22.3.3 Suprafete de rotatie

Definitia 22.12. Fie o curba (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

F (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0. Se numeste suprafata de

rotatie o suprafata generata prin rotirea curbei C ın jurul unei drepte d, numitaaxa de rotatie.


Presupunem ca axa de rotatie are ecuatiile

d ∶ x − x0

l= y − y0

m= z − z0

n.

Prin rotirea ın jurul lui d, fiecare punct de pe curba C va descrie un cerc (numitcerc generator) care se afla ıntr-un plan perpendicular pe d si are centrul pe d. Unastfel de cerc poate fi scris ca intersectia dintre o sfera cu centrul pe d si un planperpendicular pe d:

Cλ,µ ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = λ2

lx +my + nz = µ(22.11)

Suprafata de rotatie este generata de acele cercuri din familia Cλ,µ care sesprijina pe curba C (deci intersecteaza aceasta curba). Asadar cautam acele valoriale lui λ si µ pentru care sistemul

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = λ2

lx +my + nz = µF (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0

(22.12)

este compatibil. Eliminand x, y, z din acest sistem, obtinem o relatie ıntre λ si µ

Φ(λ2, µ) = 0 (22.13)

numita conditie de compatibilitate. Suprafata de rotatie este formata din toatecercurile Cλ,µ corespunzatoare valorilor lui λ si µ care satisfac conditia de compa-tibilitate (22.13), asadar coordonatele punctelor acestei suprafete satisfac ecuatia

Φ ((x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2, lx +my + nz) = 0.

Exemplu: Sa se gaseasca ecuatia suprafetei obtinute prin rotirea dreptei de

ecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x + z = 2

y = 0ın jurul dreptei de ecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x − 2 = 0

y − 2 = 0.

cercurile generatoare

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

(x − 2)2 + (y − 2)2 + z2 = λ2

z = µ

sistemul

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(x − 2)2 + (y − 2)2 + z2 = λ2

z = µx + z = 2

y = 0

este compatibil

conditia de compatibilitate 2µ2 − λ2 + 4 = 0

ecuatia suprafetei de rotatie

(x − 2)2 + (y − 2)2 − z2 = 4


22.4 Exercitii

1. Sa se scrie ecuatia sferei ın urmatoarele cazuri:

(a) C(1,−2,2), R = 3

(b) C = O, R =√

2

(c) C = O si trece prin punctul A(3,−1,2)(d) C(2,−1,3) si trece prin punctul B(−2,0,1)(e) Punctele A(1,2,−1) si B(3,4,5) sunt extremitatile unui diametru

(f) C(1,2,3) si este tangenta planului 6x + 7y − 6z + 31 = 0

(g) Sfera trece prin O(0,0,0), A(2,0,0), B(0,5,0), C(0,0,3)R: a = 1, b = 5

2 , c =32

2. Sa se determine centrul si raza sferelor:

(a) x2 + y2 + z2 − 2x − 4y − 6z + 5 = 0

(b) x2 + y2 + z2 − 8x − 4y + 2z + 17 = 0

(c) x2 + y2 + z2 + 2x − 6y + 4z − 11 = 0

(d) x2 + y2 + z2 − x + 3y − 4z + 1 = 0

(e) 2(x2 + y2 + z2) + 4x − y + 2z − 5 = 0

3. Fie sfera de ecuatie

(S) ∶ x2 + y2 + z2 − 6x + 4y − 2z − 86 = 0

si planul (p) ∶ 2x − 2y − z + 9 = 0.

(a) Sa se afle centrul si raza sferei

(b) Sa se arate ca S ∩ p ≠ ∅(c) Sa se afle centrul si raza cercului de intersectie a sferei S cu planul p

R: C(3,−2,1),R = 10,C1(−1,2,3), r = 8Aceleasi cerinte pentru:

(a) (S) ∶ x2 + y2 + z2 − 4x − 2y + 6z + 1 = 0, (p) ∶ x + 2y − z − 3 = 0

(b) (S) ∶ (x − 4)2 + (y − 7)2 + (z + 1)2 − 36 = 0, (p) ∶ 3x + y − z − 9 = 0

4. Sa se scrie ecuatiile planelor tangente la sfera

(S) ∶ x2 + y2 + z2 − 4x + 2y − 6z + 8 = 0

ın punctele de intersectie ale sferei cu dreapta

(d) ∶ x − 1

1= y

−1= z − 1

2

R: S ∩ d = M1(1,0,1),M2(3,−2,5)

22.4. EXERCITII 327

5. Fie elipsoidulx2

4+ y

2

9+ z

2

16− 1 = 0. Sa se afle:

(a) curbele de intersectie ale elipsoidului cu planele de coordonate

(b) intersectiile elipsoidului cu axele de coordonate

(c) ecuatiile parametrice ale elipsoidului dat

6. Sa se afle pozitia dreptei d fata de elipsoidul

x2

16+ y

2

12+ z

2

4− 1 = 0

unde (d) ∶ x − 4

2= y + 6

−3= z + 2

−2.

7. Sa se scrie ecuatia planului tangent la elipsoidul x2+ y2

9+ z

2

4−1 = 0 ın punctul

M0(1,0,0). Sa se reprezinte grafic elipsoidul dat.

8. Fie elipsoidulx2

4+ y

2

3+ z

2

9− 1 = 0 si dreapta (d) ∶ x = y = z. Sa se scrie

ecuatia planului tangent la elipsoid ın punctele de intersectie ale elipsoiduluicu dreapta d.

9. Fie hiperboloidul cu o panza x2 + y2

4 − z2

9 − 1 = 0.

(a) sa se reprezinte grafic

(b) sa se afle punctele de intersectie cu dreapta x−11 = y+2

0 = z−11

(c) sa se scrie ecuatiile planelor tangente la hiperboloid ın puncteleA(1,2,3), B(2,2,6)

10. Fie hiperboloidul cu doua panze x2 + y2

4 − z2

9 + 1 = 0.

(a) sa se reprezinte grafic

(b) sa se afle punctele de intersectie cu dreapta x−11 = y−3

1 = z−63

(c) sa se scrie ecuatia planului tangent la suprafata ın punctul M(2,4,−9)

11. Fie conul x2 + y2

4 − z2

9 = 0.

(a) sa se afle intersectiile cu planele de coordonate si cu axele de coordonate

(b) sa se afle intersectiile conului cu planele z = 3 si z = −3

(c) sa se reprezinte grafic

12. Fie suprafetele x2

4 + y2

9 = 2z si x2

4 − y2

9 = 2z.

(a) sa se reprezinte grafic cele doua suprafete


(b) sa se afle punctele de intersectie cu dreapta x2 = y

3 = z1

13. Fie suprafata x2

2 + y2

4 = 9z si dreapta x = y = z. Sa se scrie ecuatiile pla-nelor tangente la suprafata data ın punctele de intersectie ale suprafetei cudreapta.

14. Sa se scrie ecuatiile generatoarelor rectilinii ale suprafetei S care trec prinpunctul M ın urmatoarele cazuri:

(a) S ∶ x2 + y2 − z2 = 1, M(1,1,1)(b) S ∶ 16x2 + 36y2 − 9z2 − 144 = 0, M(6,2,8)(c) S ∶ 4x2 + 9y2 − 36z2 − 36 = 0, M(6,−2,2)

(d) S ∶ x2

9 − y2

4 + z2

5 − 1 = 0, M(3,2,√

5)(e) S ∶ 4x2 − 9y2 = 36z, M(3,0,1)(f) S ∶ 4x2 − z2 = y, M(1,3,−1)(g) S ∶ 4y2 − z2 = 2x, M(6,2,2)

15. Sa se recunoasca urmatoarele cuadrice:

(a) x2 + 2y2 + 3z2 − 4 = 0

(b) x2 + 2y2 − 3z2 − 4 = 0

(c) x2 − 2y2 − 3z2 − 4 = 0

(d) x2 − 2y2 − 3z2 = 0

(e) x2 − 2y − 3z2 = 0

(f) x2 − 2y + 3z2 = 0

(g) x2 − 2y = 0

(h) x2 − 2y2 − 4 = 0

(i) x2 + 3z2 − 4 = 0

Capitolul 23

Elemente de geometriediferentiala

23.1 Curbe plane

23.1.1 Introducere

Definitia 23.1. Fie un interval de numere reale I = [a, b]. Se numeste curbaplana o multime de puncte din R2 ale caror coordonate sunt date prin

(Γ) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)

, t ∈ [a, b]; (23.1)

Ecuatiile (23.1) se numesc ecuatiile parametrice ale curbei, iar t se numesteparametrul curbei ;

Ecuatiile (23.1) asociaza fiecarei valori a parametrului t ∈ [a, b] un punctM(x(t), y(t)) de pe curba.

Reprezentarea parametrica poate fi scrisa sub forma vectoriala

Ð→r =Ð→r (t) = x(t)Ð→i + y(t)Ð→j (23.2)

Daca functiile x(t), y(t) sunt continue pe [a, b], atunci reprezentarile para-metrice de mai sus se numesc drumuri.

O curba poate fi data prin mai multe parametrizari, deci poate fi imagineamai multor drumuri echivalente.

De exemplu, un cerc cu centrul ın origine si de raza R are reprezentareaparametrica

x = R cos t, y = R sin t, t ∈ [0,2π].

329

330 CAPITOLUL 23. ELEMENTE DE GEOMETRIE DIFERENTIALA

In acelasi timp, semicercul de deasupra axei Ox mai poate fi reprezentat siprin

x = t, y =√R2 − t2, t ∈ [−R,R].

Definitia 23.2. Fie r(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b] un drum ın plan. Spunem caacest drum este:

1. ınchis daca x(a) = x(b), y(a) = y(b);

2. simplu daca r(t) este o functie injectiva. Asadar curba corespunzatoare nuare puncte multiple, nu se autointersecteaza;

3. neted daca x(t), y(t) au derivata continua si nu exista nicio valoare t ∈ [a, b]pentru care x′(t) = y′(t) = 0.

In mod similar se pot defini notiunile de mai sus si pentru curbe ın spatiu.

Un punct corespunzator unei valori t0 ∈ [a, b] cu proprietatea ca x′(t0) =y′(t0) = 0 se numeste punct singular al curbei.

Pe langa ecuatiile parametrice din definitie, o curba plana mai poate fi dataprin urmatoarele reprezentari analitice:

ecuatie carteziana explicita

y = f(x), x ∈ [a, b] (23.3)

ecuatie carteziana implicita

F (x, y) = 0, (x, y) ∈D ⊂ R2 (23.4)

ecuatie polara explicita

ρ = f(θ), θ ∈ [θ1, θ2] (23.5)

unde ρ si θ sunt coordonatele polare ale unui punct de pe curba:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = ρ cos θ

y = ρ sin θ, ρ > 0, θ ∈ [0,2π]

Definitia 23.3. 1. O curba plana data prin una din reprezentarile (23.1),(23.3) sau (23.5) se numeste curba de clasa Ck (k ∈ N∗) daca functiilecare apar ın reprezentarile respective admit derivate continue pana la ordinulk inclusiv.

2. O curba plana data prin reprezentarea vectoriala (23.2) se numeste curbade clasa Ck daca functia vectoriala Ð→r (t) are componentele x(t) si y(t) declasa Ck (admit derivate continue pana la ordinul k inclusiv).

23.1. CURBE PLANE 331

3. O curba plana data prin reprezentarea implicita (23.4) se numeste curbade clasa Ck daca functia F (x, y) admite derivate partiale continue pana laordinul k inclusiv.

In continuare vom presupune ca toate curbele plane la care ne referim sunt celputin de clasa C1.

Definitia 23.4. 1. Fie Γ o curba plana de clasa C1 data prin ecuatia vecto-riala (23.2) si M0(Ð→r (t0)) un punct al acestei curbe. Punctul M0 se numestepunct ordinar (sau regulat) al curbei Γ daca ın acest punct derivatafunctiei vectoriale Ð→r (t) este diferita de vectorul nul, adica

Ð→r ′(t0) = x′(t0)Ð→i + y′(t0)

Ð→j ≠Ð→0 .

2. Fie Γ o curba plana de clasa C1 data prin ecuatia implicita (23.4) si M0(x0, y0)un punct al acestei curbe. Punctul M0 se numeste punct ordinar al curbeiΓ daca derivatele partiale ∂F

∂x (x0, y0) si ∂F∂y (x0, y0) nu sunt simultan nule,

adica

(∂F∂x

(x0, y0))2

+ (∂F∂y

(x0, y0))2

≠ 0.

23.1.2 Tangenta si normala la o curba plana

Fie Γ o curba plana de clasa cel putin C1 reprezentata prin ecuatia vectoriala

Ð→r =Ð→r (t), t ∈ [a, b] (23.6)

si fie M0(Ð→r (t0)) un punct ordinar fixat pe Γ corespunzator valorii t0 a parame-trului . Consideram de asemenea un punct ordinar variabil M(Ð→r (t)). Avem:

ÐÐ→OM0 =Ð→r (t0),

ÐÐ→OM =Ð→r (t)

ÐÐÐ→M0M =ÐÐ→OM −ÐÐ→OM0 =Ð→r (t) −Ð→r (t0)

ÐÐÐ→M0M

t − t0=Ð→r (t) −Ð→r (t0)

t − t0

asadar vectorulÐÐÐ→M0M are aceeasi directie cu

Ð→r (t) −Ð→r (t0)t − t0

.

Trecand la limita

limt→t0

Ð→r (t) −Ð→r (t0)t − t0

=Ð→r ′(t0)

deci directia secantei M0M converge catre directia vectorului Ð→r ′(t0) atunci candM →M0.

Definitia 23.5. Dreapta limita a secantei M0M cand punctul M tinde catre M0

pe curba se numeste tangenta la curba ın punctul M0.


Ecuatia analitica a tangentei la curba ın punctul M0(x(t0), y(t0)) este

x − x(t0)x′(t0)

= y − y(t0)y′(t0)

(23.7)

Observatii:1. Cand curba este data printr-o ecuatie explicita de forma y = f(x), folosindparametrizarea

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = ty = f(t)

ecuatia (23.7) a tangentei ın punctul M0(x0, f(x0)) devine:

y − f(x0) = f ′(x0)(x − x0) (23.8)

2. Cand curba este data printr-o ecuatie implicita de forma F (x, y) = 0, folosindteorema functiilor implicite ıntr-o vecinatate a punctului ordinar M0, exista oreprezentare explicita locala y = f(x), deci

F (x, f(x)) = 0.

Prin derivare obtinem∂F

∂x+ ∂F∂y

⋅ f ′(x) = 0

de unde rezulta ca

f ′(x0) = −∂F

∂x(x0, y0)

∂F

∂y(x0, y0)

Inlocuind ın ecuatia tangentei (23.8) obtinem

∂F

∂x(x0, y0) ⋅ (x − x0) +

∂F

∂y(x0, y0) ⋅ (y − y0) = 0. (23.9)

Daca∂F

∂y(x0, y0) = 0, ecuatia tangentei ın M0 este x − x0 = 0.

Definitia 23.6. Se numeste normala la curba Γ ın punctul M0 dreapta caretrece prin M0 si este perpendiculara pe tangenta la curba ın M0.

In functie de tipul reprezentarii analitice prin care este data curba Γ, avemurmatoarele cazuri:

Γ ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)

, ecuatia normalei la curba ın M0(t = t0) este

x′(t0)(x − x(t0)) + y′(t0)(y − y(t0)) = 0


Γ ∶ y = f(x), ecuatia normalei la curba ın M0(x0, y0) este

x − x0 + f ′(x0)(y − y0) = 0

Γ ∶ F (x, y) = 0, ecuatia normalei la curba ın M0(x0, y0) este

x − x0

∂F∂x (x0, y0)

= y − y0

∂F∂y (x0, y0)

ExempluSa se scrie ecuatia tangentei si ecuatia normalei la curba de ecuatii

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = t3 − 2t

y = t2 + 1, t ∈ [0,4]

ın punctul M0(t0 = 2).

coordonatele carteziene: M0(4,5);

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x′ = 3t2 − 2

y′ = 2t⇒

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x′(2) = 10

y′(2) = 4

tangenta:x − 4

10= y − 5

4⇔ 2x − 5y + 17 = 0

normala: 10(x − 4) + 4(y − 5) = 0⇔ 5x + 2y − 30 = 0

23.1.3 Elementul de arc al unei curbe plane

Fie Γ o curba plana de clasa cel putin C1 reprezentata parametric si presupunemca toate punctele ei sunt ordinare. Fie M0 si M1 doua puncte ale curbei Γ co-respunzatoare valorilor t0 si respectiv t1 ale parametrului. Lungimea arcului decurba M0M1 este

l(M0M1) = ∫t1

t0

√(x′(t))2 + (y′(t))2dt

Pentru un punct oarecare M al curbei corespunzator valorii t a parametrului,definim functia

s(t) = ∫t

t0

√(x′(u))2 + (y′(u))2du

care reprezinta lungimea arcului de curba cuprins ıntre punctul fix M0 si punctulvariabil M .

Derivata acestei functii este

ds

dt=√

(x′(t))2 + (y′(t))2


de unde deducem

ds2 = [(x′(t))2 + (y′(t))2]dt2 = dx2 + dy2

Diferentiala ds =√dx2 + dy2 se numeste elementul de arc al curbei Γ. Cand

curba Γ este data printr-o ecuatie explicita y = f(x), elementul de arc este

ds =√

1 + (f ′(x))2dx

Deoarece functia s = s(t) are derivata nenula, putem explicita pe t ın functiede s. Inlocuind t = t(s) ın ecuatiile parametrice obtinem

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t(s)) =X(s)y = y(t(s)) = Y (s)

care se numeste parametrizare naturala a curbei . Parametrul s se numesteparametrul natural al curbei si este dat chiar de lungimea curbei pana lapunctul curent.

Parametrizarea naturala are proprietatea

(dXds

)2

+ (dYds

)2

= 1.

Pentru o curba data prin parametrizare naturala convenim sa notam vectorul

derivatelor cudÐ→rds

= Ð→r (s). Folosind aceasta notatie, relatia anterioara devine

∥Ð→r (s)∥ = 1⇔ x2(s) + y2(s) = 1

Considerand din nou parametrul initial ca functie de parametrul natural t =t(s), prin derivare ın raport cu s obtinem

Ð→r (s) = dÐ→rds

= dÐ→rdt

⋅ dtds

=Ð→r ′(t) ⋅ dtds

Calculand normele ın egalitatea vectoriala anterioara gasim

dt

ds= 1

∥Ð→r ′(t)∥(23.10)

23.1.4 Curbura unei curbe plane

Fie M0 un punct ordinar al unei curbe plane Γ si M un punct arbitrar al curbei ınvecinatatea lui M0. Notam cu ∆ω unghiul dintre tangentele ın M0 si M la curbasi cu ∆s lungimea arcului de curba M0M .


Definitia 23.7. Curbura curbei Γ ın punctul M0 este prin definitie

1

R= lim

∆s→0∣∆ω∆s

∣

R se numeste raza de curbura a curbei Γ ın punctul M0.

Observatie:Daca limita din definitia curburii este 0, atunci raza de curbura este ∞.

Teorema 23.1. Fie Γ o curba de clasa C2 data prin parametrizarea naturalaÐ→r =Ð→r (s). Atunci valoarea curburii ın punctul M0 (Ð→r (s0)) este

1

R= ∥Ð→r (s0)∥ .

Demonstratie: FieM0 (Ð→r (s0)) un punct ordinar al curbei Γ siM (Ð→r (s0 +∆s))punctul de pe curba corespunzator valorii s0 +∆s a parametrului natural.

Notam cu Ð→τ (s0), respectiv Ð→τ (s0 + ∆s) versorii tangentelor ın M0, respectivM la curba si cu ∆ω unghiul dintre acesti vectori. Avem:

Ð→τ (s0) = Ð→r (s0) si Ð→τ (s0 +∆s) = Ð→r (s0 +∆s).

FieÐ→AB si

Ð→AC doi reprezentanti ai acestor versori cu originea ın acelasi punct

A. Avem:

∥Ð→r (s0 +∆s) − Ð→r (s0)∥ = ∥Ð→τ (s0 +∆s) −Ð→τ (s0)∥ = ∥Ð→AC −Ð→AB∥ = ∥Ð→BC∥

Din triunghiul isoscel ABC obtinem:

∥Ð→BC∥ = 2 ∣sin ∆ω

2∣

unde ∆ω este unghiul dintreÐ→AB si

Ð→AC. Impartind prin ∆s gasim:

∥Ð→r (s0 +∆s) − Ð→r (s0)∥∆s

= 2RRRRRRRRRRR

sin ∆ω2

∆s

RRRRRRRRRRR=RRRRRRRRRRR

sin ∆ω2

∆ω2

RRRRRRRRRRR⋅ ∣∆ω

∆s∣

Trecand la limita ∆s→ 0 se obtine

∥Ð→r (s0)∥ = 1 ⋅ lim∆s→0

∣∆ω∆s

∣ = 1

R.

Fie o curba Γ data printr-o ecuatie vectoriala

Ð→r =Ð→r (t)

Scriind parametrul t ın functie de parametrul natural s si derivand ın raportcu s deducem

Ð→r =Ð→r ′ ⋅ dtds

=Ð→r ′

∥Ð→r ′∥


Derivam ınca o data ın raport cu s:

Ð→r = d

dt(Ð→r ′

∥Ð→r ′∥) ⋅ dtds

= d

dt(Ð→r ′

∥Ð→r ′∥) ⋅ 1

∥Ð→r ′∥

Dupa efectuarea calculelor obtinem

1

R= ∥Ð→r ∥ = ∥Ð→r ′ ×Ð→r ′′∥

∥Ð→r ′∥3.

Observatii

1. Cand curba Γ este data parametric prin

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)

, obtinem

1

R= ∣x′y′′ − x′′y′∣√

((x′)2 + (y′)2)3

2. Cand curba Γ este data explicit prin y = f(x), obtinem

1

R= ∣f ′′(x)∣√

(1 + (f ′(x))2)3

3. Cand curba Γ este data prin reprezentarea polara explicita ρ = ρ(θ), obtinem

1

R= ∣ρ2 + 2(ρ′)2 − ρρ′′∣√

(ρ2 + (ρ′)2)3

23.1.5 Infasuratoarea unei familii de curbe plane

Fie o ecuatie de forma

f(x, y,α) = 0 (23.11)

unde α este un parametru real, iar functia f are derivate partiale continue deordinul 2 ın raport cu x, y,α.

Pentru fiecare valoare a parametrului α, ecuatia (23.11) reprezinta o curbaplana Γα de clasa C2. Cand α variaza ın mod continuu ın R (sau ıntr-un intervalI ⊂ R), spunem ca ecuatia (23.11) reprezinta o familie de curbe indexata dupaparametrul α.

Definitia 23.8. O curba Γ tangenta la toate curbele familiei (23.11) se numesteınfasuratoarea familiei (23.11).


Fie Γα curba din familia (23.11) corespunzatoare valorii α a parametrului sifie M punctul de tangenta al curbei Γα cu ınfasuratoarea Γ. Punctul M se mainumeste punct caracteristic al curbei Γα.

Presupunem ca M este punct ordinar pentru curbele Γα si Γ. Coordonateleacestui punct depind de valoarea parametrului α, asadar atunci cand α variazapunctul M descrie curba Γ, deci putem reprezenta ınfasuratoarea Γ prin ecuatiiparametrice de forma

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = x(α)y = y(α)

.

Cum punctul M apartine si curbei Γα, avem:

f(x(α), y(α), α) = 0.

Parametrii directori ai tangentei la curba Γ ın punctul M sunt x′(α) si y′(α),iar parametrii directori ai tangentei la curba Γα ınM sunt

∂f

∂y(x, y,α) si −∂f

∂x(x, y,α).

Impunand conditia ca cele doua curbe sa aiba aceeasi tangenta ın punctul Mobtinem

x′(α)∂f∂y (x, y,α)

= − y′(α)∂f∂x(x, y,α)

sau echivalent

x′(α) ⋅ ∂f∂x

(x, y,α) + y′(α) ⋅ ∂f∂y

(x, y,α) = 0 (23.12)

Derivand f(x(α), y(α), α) = 0 ın raport cu α gasim

∂f

∂x(x, y,α) ⋅ x′(α) + ∂f

∂y(x, y,α) ⋅ y′(α) + ∂f

∂α(x, y,α) = 0 (23.13)

Din (23.12) si (23.13) deducem

∂f

∂α(x, y,α) = 0

asadar coordonatele punctelor de pe ınfasuratoare verifica ecuatiile

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

f(x, y,α) = 0∂f∂α(x, y,α) = 0

Rezolvand acest sistem ın necunoscutele x, y se obtin ecuatiile parametrice aleınfasuratoarei, sau eliminand parametrul α din cele doua ecuatii se obtine ecuatiacarteziana implicita a ınfasuratoarei.

Teorema 23.2. Conditia pentru ca familia de curbe (23.11) sa admita o ınfasuratoareeste ca functia f sa verifice relatiile

RRRRRRRRRRRR

∂f∂x

∂f∂y

∂2f∂x∂α

∂2f∂y∂α

RRRRRRRRRRRR≠ 0 si

∂2f

∂α2≠ 0


23.2 Curbe ın spatiu

23.2.1 Reprezentari analitice. Puncte ordinare

O curba ın spatiu poate fi data prin una din urmatoarele reprezentari:

1. Reprezentare parametrica:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x(t)y = y(t)z = z(t)

, t ∈ [a, b]. (23.14)

2. Reprezentare vectoriala:

Ð→r =Ð→r (t) = x(t)Ð→i + y(t)Ð→j + z(t)Ð→k , t ∈ [a, b]. (23.15)

3. Reprezentare carteziana explicita:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y = y(x)z = z(x)

, x ∈ [a, b]. (23.16)

4. Reprezentare carteziana implicita:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

F (x, y, z) = 0

G(x, y, z) = 0. (23.17)

Definitia 23.9. 1. O curba ın spatiu data prin una din reprezentarile (23.14)sau (23.16) se numeste curba de clasa Ck (k ∈ N∗) daca functiile careapar ın reprezentarile respective admit derivate continue pana la ordinul kinclusiv.

2. O curba ın spatiu data prin reprezentarea vectoriala (23.15) se numestecurba de clasa Ck daca functia vectoriala Ð→r (t) are componentele x(t), y(t)si z(t) de clasa Ck (admit derivate continue pana la ordinul k inclusiv).

3. O curba ın spatiu data prin reprezentarea implicita (23.17) se numeste curbade clasa Ck daca functiile F (x, y, z) si G(x, y, z) admit derivate partialecontinue pana la ordinul k inclusiv.

Definitia 23.10. 1. Fie Γ o curba ın spatiu de clasa C1 data prin ecuatiavectoriala (23.15) si M0(Ð→r (t0)) un punct al acestei curbe. Punctul M0

se numeste punct ordinar (sau regulat) al curbei Γ daca ın acest punctderivata functiei vectoriale Ð→r (t) este diferita de vectorul nul, adica

Ð→r ′(t0) = x′(t0)Ð→i + y′(t0)

Ð→j + z′(t0)

Ð→k ≠Ð→0 .

23.2. CURBE IN SPATIU 339

2. Fie Γ o curba ın spatiu de clasa C1 data prin ecuatia implicita (23.17) siM0(x0, y0, z0) un punct al acestei curbe. Punctul M0 se numeste punctordinar al curbei Γ daca ın acest punct este verificata conditia

rang⎛⎝

∂F∂x

∂F∂y

∂F∂z

∂G∂x

∂G∂y

∂G∂z

⎞⎠= 2.

Un punct de pe o curba ın spatiu Γ care nu este punct regulat se numestepunct singular.

23.2.2 Triedrul Frenet

Definitia 23.11. Fie Γ o curba ın spatiu de clasa C1 reprezentata prin ecuatiavectoriala

Ð→r =Ð→r (t), t ∈ [a, b]si fie M0(Ð→r (t0)) un punct ordinar fixat pe Γ corespunzator valorii t0 a parametru-lui. Consideram de asemenea un punct ordinar variabil M(Ð→r (t)). Dreapta limitaa secantei M0M cand punctul M tinde catre M0 pe curba se numeste tangentala curba ın punctul M0.

Directia secantei M0M converge catre directia vectorului Ð→r ′(t0) atunci candM →M0, deci ecuatiile tangentei la curba ın M0 sunt

x − x(t0)x′(t0)

= y − y(t0)y′(t0)

= z − z(t0)z′(t0)

(23.18)

Pentru o curba data prin ecuatii explicite de forma (23.16), ecuatiile tan-gentei sunt ın punctul M0(x0, y(x0), z(x0)) sunt:

x − x0

1= y − y(x0)

y′(x0)= z − z(x0)

z′(x0)(23.19)

Pentru o curba data prin ecuatii implicite de forma (23.17), ecuatiile tan-gentei sunt ın punctul M0(x0, y0, z0) sunt:

x − x0

D(F,G)D(y,z) (M0)

= y − y0

D(F,G)D(z,x) (M0)

= z − z0

D(F,G)D(x,y) (M0)

(23.20)

unde

D(F,G)D(y, z) =

RRRRRRRRRRR

∂F∂y

∂F∂z

∂G∂y

∂G∂z

RRRRRRRRRRR,D(F,G)D(z, x) = ∣

∂F∂z

∂F∂x

∂G∂z

∂G∂x

∣ , D(F,G)D(x, y) =

RRRRRRRRRRR

∂F∂x

∂F∂y

∂G∂x

∂G∂y

RRRRRRRRRRR.

Definitia 23.12. Planul perpendicular pe tangenta la o curba Γ ın punctul M0 ∈ Γse numeste plan normal la curba Γ ın punctul M0.


pentru o curba data prin ecuatie vectoriala sau ecuatii parametrice, ecuatiaplanului normal ın M0 este:

x′(t0) ⋅ (x − x(t0)) + y′(t0) ⋅ (y − y(t0)) + z′(t0) ⋅ (z − z(t0)) = 0 (23.21)

pentru o curba data prin ecuatii implicite, ecuatia planului normal ın M0

este:

D(F,G)D(y, z) (M0) ⋅ (x−x0)+

D(F,G)D(z, x) (M0) ⋅ (y−y0)+

D(F,G)D(x, y) (M0) ⋅ (z −z0) = 0

orice dreapta continuta ın planul normal ın M0 la curba si care continepunctul M0 se numeste normala la curba ın M0.

Definitia 23.13. Fie Γ o curba ın spatiu de clasa C2 reprezentata prin ecuatiavectoriala

Ð→r =Ð→r (t), t ∈ [a, b]si fie M0(Ð→r (t0)) un punct ordinar fixat pe Γ corespunzator valorii t0 a parame-trului. Consideram de asemenea doua puncte ordinare variabile M1,M2. Pla-nul limita la care tinde planul M0M1M2 cand M1,M2 tind catre M0 pe curba senumeste plan osculator la curba ın punctul M0.

Directia normalei la M0M1M2 converge catre directia vectorului Ð→r ′(t0) ×Ð→r ′′(t0), deci ecuatia planului osculator ın M0 este

RRRRRRRRRRRRRR

x − x(t0) y − y(t0) z − z(t0)x′(t0) y′(t0) z′(t0)x′′(t0) y′′(t0) z′′(t0)

RRRRRRRRRRRRRR= 0. (23.22)

Definitia 23.14. Se numeste binormala la curba Γ ın punctul M0 dreapta per-pendiculara pe planul osculator ın M0;

Un vector director al binormalei este

Ð→b =Ð→r ′(t0) ×Ð→r ′′(t0)

deci ecuatiile binormalei sunt

x − x(t0)A(t0)

= y − y(t0)B(t0)

= z − z(t0)C(t0)

(23.23)

unde

A = ∣ y′ z′

y′′ z′′∣ , B = − ∣ x

′ z′

x′′ z′′∣ , C = ∣ x

′ y′

x′′ y′′∣

Definitia 23.15. Se numeste normala principala la curba Γ ın punctul M0

dreapta de intersectie a planului normal cu planul osculator ın M0.


Un vector director al normalei principale este

Ð→n =Ð→b ×Ð→r ′(t0)

deci ecuatiile normalei principale sunt

x − x(t0)l(t0)

= y − y(t0)m(t0)

= z − z(t0)n(t0)

(23.24)

unde

l = ∣ B Cy′ z′

∣ , m = − ∣ A Cx′ z′

∣ , n = ∣ A Bx′ y′

∣

Definitia 23.16. Se numeste plan rectificant la curba Γ ın punctul M0 planuldeterminat de tangenta si binormala la curba Γ ın M0.

Un vector normal la planul rectificant este chiar vectorul director al normaleiprincipale

Ð→n =Ð→b ×Ð→r ′(t0)

deci ecuatia planului rectificant este

l(t0)(x − x(t0)) +m(t0)(y − y(t0)) + n(t0)(z − z(t0)) = 0 (23.25)

Cu notatiile anterioare, ecuatia planului osculator (23.22) se rescrie

A(t0)(x − x(t0)) +B(t0)(y − y(t0)) +C(t0)(z − z(t0)) = 0 (23.26)

Vectorii directori ai tangentei, normalei principale si binormalei (Ð→r ′, Ð→n , siÐ→b )

ın punctul M0 de pe curba Γ sunt ortogonali doi cate doi si formeaza o baza ınspatiul vectorial V3. Versorii corespunzatori acestor 3 vectori sunt:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Ð→τ =Ð→r ′

∥Ð→r ′∥Ð→ν =

Ð→b ×Ð→r ′

∥Ð→b ×Ð→r ′∥Ð→β =

Ð→r ′ ×Ð→r ′′

∥Ð→r ′ ×Ð→r ′′∥

(23.27)

si formeaza o baza ortonormata ın V3.

Reperul ortonormat M0;Ð→τ ,Ð→ν ,Ð→β se numeste triedrul lui Frenet atasatcurbei Γ ın punctul M0.

Tangenta, normala principala si binormala sunt axele (muchiile) triedruluiFrenet, iar planul normal, planul osculator si planul rectificant sunt planele (fetele)triedrului Frenet.


23.2.3 Elementul de arc. Curbura si torsiune

Fie Γ o curba ın spatiu de clasa C1 reprezentata parametric si presupunem ca toatepunctele ei sunt ordinare. Fie M0 si M1 doua puncte ale curbei Γ corespunzatoarevalorilor t0 si respectiv t1 ale parametrului. Lungimea arcului de curba M0M1 este

l(M0M1) = ∫t1

t0

√(x′(t))2 + (y′(t))2 + (z′(t))2dt

Pentru un punct oarecare M al curbei corespunzator valorii t a parametrului,definim functia

s(t) = ∫t

t0

√(x′(u))2 + (y′(u))2 + (z′(u))2du

care reprezinta lungimea arcului de curba cuprins ıntre punctul fix M0 si punctulvariabil M .

Diferentiala acestei functii

ds =√

(x′(t))2 + (y′(t))2 + (z′(t))2dt

se numeste elementul de arc al curbei Γ. Ridicand la patrat obtinem:

ds2 = [(x′(t))2 + (y′(t))2 + (z′(t))2]dt2 = dx2 + dy2 + dz2 = dÐ→r 2

de unde rezulta

∥dÐ→rds

∥ = 1

Deoarece functia s = s(t) are derivata nenula, putem explicita pe t ın functiede s. Inlocuind t = t(s) ın ecuatiile parametrice obtinem

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x(t(s)) =X(s)y = y(t(s)) = Y (s)z = z(t(s)) = Z(s)

care se numeste parametrizare naturala a curbei. Parametrul s se numesteparametrul natural al curbei si este dat chiar de lungimea curbei pana la punctulcurent.

Parametrizarea naturala are proprietatea

(dXds

)2

+ (dYds

)2

+ (dZds

)2

= 1.

Pentru o curba data prin parametrizare naturala convenim sa notam vectorul

derivatelor cudÐ→rds

= Ð→r (s). Folosind aceasta notatie, relatia anterioara devine

∥Ð→r (s)∥ = 1⇔ x2(s) + y2(s) + z2(s) = 1


Considerand din nou parametrul initial ca functie de parametrul natural t = t(s),prin derivare ın raport cu s obtinem

Ð→r (s) = dÐ→rds

= dÐ→rdt

⋅ dtds

=Ð→r ′(t) ⋅ dtds

Calculand normele ın egalitatea vectoriala anterioara gasim

dt

ds= 1

∥Ð→r ′(t)∥(23.28)

Din

∥Ð→r (s)∥ = 1⇔ Ð→r (s) ⋅ Ð→r (s) = 1

prin derivare obtinemÐ→r (s) ⋅ Ð→r (s) = 0

asadar vectorii Ð→r (s) si Ð→r (s) sunt ortogonali. Folosind aceste proprietati, obtinemdin (23.27) urmatoarele expresii pentru versorii triedrului Frenet:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Ð→τ = Ð→rÐ→ν =

Ð→r∥Ð→r ∥

Ð→β =

Ð→r × Ð→r∥Ð→r ∥

(23.29)

Fie M0 un punct ordinar al unei curbe ın spatiu Γ si M un punct arbitrar alcurbei ın vecinatatea lui M0. Notam cu ∆ω unghiul dintre tangentele ın M0 si Mla curba si cu ∆s lungimea arcului de curba M0M .

Definitia 23.17. Curbura curbei Γ ın punctul M0 este prin definitie

1

R= lim

∆s→0∣∆ω∆s

∣

R se numeste raza de curbura a curbei Γ ın punctul M0.

La fel ca si pentru curbe plane, se poate demonstra ca

1

R= ∥Ð→r ∥ = ∥Ð→r ′ ×Ð→r ′′∥

∥Ð→r ′∥3.

Fie M0 un punct ordinar si neinflexionar al unei curbe ın spatiu Γ de clasa C3

si M un punct arbitrar al curbei ın vecinatatea lui M0. Notam cu ∆ϕ unghiuldintre binormalele ın M0 si M la curba si cu ∆s lungimea arcului de curba M0M .


Definitia 23.18. Torsiunea curbei Γ ın punctul M0 este prin definitie

1

T= lim

∆s→0∣∆ϕ∆s

∣

T se numeste raza de torsiune a curbei Γ ın punctul M0 .

Se poate demonstra ca

1

T=

(Ð→r , Ð→r ,...Ð→r )

∥Ð→r ∥2=

(Ð→r ′,Ð→r ′′,Ð→r ′′′)∥Ð→r ′ ×Ð→r ′′∥2

.

Derivatele versorilor triedrului Frenet ın raport cu parametrul natural s pot fiscrise astfel:

Ð→τ = 1

RÐ→ν (23.30)

Ð→ν = − 1

RÐ→τ + 1

T

Ð→β (23.31)

Ð→β = − 1

TÐ→ν (23.32)

ecuatii care se numesc formulele lui Frenet.

23.3 Suprafete

23.3.1 Generalitati

O suprafata S poate fi data prin una din urmatoarele reprezentari:

1. Reprezentare parametrica:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)

, (u, v) ∈D ⊂ R2. (23.33)

2. Reprezentare vectoriala:

Ð→r =Ð→r (u, v) = x(u, v)Ð→i + y(u, v)Ð→j + z(u, v)Ð→k , (u, v) ∈D ⊂ R2. (23.34)

3. Reprezentare carteziana explicita:

z = f(x, y), (x, y) ∈D ⊂ R2. (23.35)

4. Reprezentare carteziana implicita:

F (x, y, z) = 0. (23.36)

23.3. SUPRAFETE 345

Definitia 23.19. Spunem ca functia vectoriala

Ð→r (u, v) = x(u, v)Ð→i + y(u, v)Ð→j + z(u, v)Ð→k

este de clasa Ck daca are derivate partiale continue pana la ordinul k inclusiv.

functia vectoriala Ð→r (u, v) este de clasa Ck daca toate componentele salesunt de clasa Ck;

u si v se numesc parametri sau coordonate curbilinii pe suprafata;

un punct M0 ∈ S este unic determinat de coordonatele sale curbilinii u = u0

si v = v0.

Definitia 23.20. Spunem ca o suprafata S data prin reprezentarea vectoriala(23.34) este o suprafata elementara daca sunt satisfacute conditiile:

1. suprafata este de clasa C1

2. ecuatia Ð→r = Ð→r (u, v) realizeaza o corespondenta biunivoca ıntre multimeapunctelor de pe suprafata si multimea perechilor (u, v) ∈D

3. Ð→r ′u ×Ð→r ′v ≠Ð→0 , ∀(u, v) ∈D

Definitia 23.21. Punctul M0(u0, v0) se numeste punct ordinar al unei suprafete

S de clasa C1 daca Ð→r ′u ×Ð→r ′v(M0) ≠Ð→0 . In caz contrar, punctul M0 se numeste

punct singular al suprafetei S.

Fie o suprafata elementara S de ecuatie

Ð→r =Ð→r (u, v), (u, v) ∈D ⊂ R2.

O curba pe suprafata S este reprezentata ın mod analog curbelor plane, darfolosind coordonatele curbilinii u si v ın locul coordonatelor carteziene x, y:

1. parametric:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

u = u(t)v = v(t)

, t ∈ [a, b];

2. explicit: u = ϕ(v) sau v = ψ(u);

3. implicit: g(u, v) = 0.

Pentru o curba Γ de pe suprafata S reprezentata parametric,

Ð→r =Ð→r (u(t), v(t)) , t ∈ [a, b]

reprezinta ecuatia vectoriala a curbei Γ ın spatiu.


O curba Γ de pe suprafata S data prin ecuatia explicita u = ϕ(v) sau v = ψ(u)are ecuatia ın spatiu Ð→r =Ð→r (ϕ(v), v) sau Ð→r =Ð→r (u,ψ(u)).

In particular, daca functia ϕ (sau ψ) este constanta, pe curbele corespunzatoarede pe suprafata S variaza doar v (respectiv u).

Notam cu Γ0u curba de pe suprafata S corespunzatoare lui v = v0 si avand

ecuatia ın spatiu Ð→r = Ð→r (u, v0), respectiv cu Γ0v curba de pe suprafata S cores-

punzatoare lui u = u0 si avand ecuatia ın spatiu Ð→r =Ð→r (u0, v).Curbele Γ0

u si Γ0v se numesc curbe de coordonate sau curbe caracteristice

pe suprafata S.Fiecare punct M0 (Ð→r (u0, v0)) este intersectia a doua curbe de coordonate.

23.3.2 Plan tangent si normala la o suprafata

In continuare vom presupune ca suprafata S precum si curbele de pe a aceastasuprafata sunt de clasa C1.

Fie suprafata S de ecuatie

Ð→r =Ð→r (u, v), (u, v) ∈D ⊂ R2,

punctul M0 ∈ S si Γ o curba arbitrara pe S care trece prin M0. Pentru o parame-trizare u = u(t), v = v(t) a curbei Γ, obtinem ecuatia vectoriala ın spatiu a curbeiΓ:

Ð→r =Ð→r (u(t), v(t))Notam cu t0 valoarea parametrului t care corespunde punctului M0 pe curba Γ sicu u0 = u(t0), v0 = v(t0) coordonatele curbilinii ale punctului M0 pe suprafata S.

Tangenta ın M0 la curba Γ are directia data de vectorul

Ð→r ′(t0) =∂Ð→r∂u

(u0, v0) ⋅ u′(t0) +∂Ð→r∂v

(u0, v0) ⋅ v′(t0).

Vectorii Ð→r 0u = ∂Ð→r

∂u(u0, v0) si Ð→r 0

v =∂Ð→r∂v

(u0, v0) depind doar de suprafata S si de

punctul M0 ∈ S, iar vectorul director al tangentei la orice curba de pe S care treceprin M0 este o combinatie liniara de acesti doi vectori.

Definitia 23.22. Se numeste plan tangent la suprafata S ın punctul M0 planuldeterminat de vectorii Ð→r 0

u si Ð→r 0v.

Observatie: Vectorii Ð→r 0u si Ð→r 0

v sunt chiar vectorii directori ai tangentelor lacurbele de coordonate de pe S care trec prin M0.

Ecuatia planului tangent ın M0 este


x − x(u0, v0) y − y(u0, v0) z − z(u0, v0)∂x

∂u(u0, v0)

∂y

∂u(u0, v0)

∂z

∂u(u0, v0)

∂x

∂v(u0, v0)

∂y

∂v(u0, v0)

∂z

∂v(u0, v0)


= 0

23.3. SUPRAFETE 347

sau echivalent

A(x − x0) +B(y − y0) +C(z − z0) = 0

unde

A = ∣∂y∂u

∂z∂u

∂y∂v

∂z∂v

∣ (M0), B = ∣∂z∂u

∂x∂u

∂z∂v

∂x∂v

∣ (M0), C = ∣∂x∂u

∂y∂u

∂x∂v

∂y∂v

∣ (M0)

iar (x0, y0, z0) sunt coordonatele carteziene ale lui M0.

Daca suprafata S este data prin ecuatia explicita z = f(x, y), folosind parame-trizarea

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = uy = vz = f(u, v)

obtinem ecuatia planului tangent

p(x − x0) + q(y − y0) − (z − z0) = 0

unde p = ∂f∂x(x0, y0) si q = ∂f

∂y (x0, y0).Daca suprafata S este data prin ecuatia implicita F (x, y, z) = 0, obtinem

ecuatia planului tangent

∂F

∂x(M0)(x − x0) +

∂F

∂y(M0)(y − y0) +

∂F

∂z(M0)(z − z0) = 0

Definitia 23.23. Se numeste normala la suprafata S ın punctul M0(x0, y0, z0) ∈ Sdreapta perpendiculara pe planul tangent la S ın M0.

In functie de tipul reprezentarii suprafetei S, ecuatia normalei este:

1. parametric x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v):

x − x0

A= y − y0

B= z − z0

C

2. explicit z = f(x, y):x − x0

p= y − y0

q= z − z0

−1

3. implicit F (x, y, z) = 0:

x − x0

F ′x

= y − y0

F ′y

= z − z0

F ′z


Exemplu 1:Sa se scrie ecuatia planului tangent si ecuatiile normalei la suprafata

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = u cos v

y = u sin v

z = u + vın punctul M0(u0 = 1, v0 = 0).

Coordonatele carteziene: M0(1,0,1). Derivatele partiale:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x′u = cos v

y′u = sin v

z′u = 1

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x′u(1,0) = 1

y′u(1,0) = 0

z′u(1,0) = 1

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x′v = −u sin v

y′v = u cos v

z′v = 1

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x′v(1,0) = 0

y′v(1,0) = 1

z′v(1,0) = 1

Planul tangent:

RRRRRRRRRRRRRR

x − 1 y z − 11 0 10 1 1

RRRRRRRRRRRRRR= 0⇔ −x − y + z = 0

Normala:x − 1

−1= y

−1= z − 1

1Exemplu 2:

Sa se scrie ecuatia planului tangent si ecuatiile normalei la suprafata

z(x2 + y2) − 1 = 0 ın punctul M0 (1,1,1

2) .

Derivatele partiale:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

∂F∂x = 2xz∂F∂y = 2yz∂F∂z = x2 + y2

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

∂F∂x (M0) = 1∂F∂y (M0) = 1∂F∂z (M0) = 2

Planul tangent:

1 ⋅ (x − 1) + 1 ⋅ (y − 1) + 2 ⋅ (z − 1

2) = 0⇔ x + y + 2z − 3 = 0

Normala:x − 1

1= y − 1

1=z − 1

2

2

23.3.3 Prima forma fundamentala a unei suprafete

Fie suprafata S data prin ecuatia vectoriala

Ð→r =Ð→r (u, v) = x(u, v)Ð→i + y(u, v)Ð→j + z(u, v)Ð→k , (u, v) ∈D ⊂ R2

sau prin ecuatii parametrice

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)

, (u, v) ∈D ⊂ R2

23.3. SUPRAFETE 349

si o curba oarecare Γ pe S de ecuatii parametrice

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

u = u(t)v = v(t)

.

Definitia 23.24. Se numeste prima forma fundamentala a suprafetei S patratulelementului de arc (ds2) al curbei Γ de pe suprafata S.

Ecuatia vectoriala a curbei Γ este Ð→r =Ð→r (u(t), v(t)). Avem:

∥dÐ→rds

∥ = 1⇔ ds = ∥dÐ→r ∥⇔ ds2 = dÐ→r ⋅ dÐ→r

Inlocuind

dÐ→r =Ð→r ′udu +Ð→r ′vdv

obtinem

dÐ→r ⋅ dÐ→r = ∥Ð→r ′u∥2du2 + 2Ð→r ′uÐ→r ′vdudv + ∥Ð→r ′v∥2dv2

asadar prima forma fundamentala este forma patratica

ds2 = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2

unde

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

E = ∥Ð→r ′u∥2 =Ð→r ′u ⋅Ð→r ′uF =Ð→r ′u ⋅Ð→r ′vG = ∥Ð→r ′v∥2 =Ð→r ′v ⋅Ð→r ′v

E, F siG se numesc coeficientii primei forme fundamentale sau coeficientiilui Gauss .

Scriind vectorii Ð→r ′u si Ð→r ′v pe componente si calculand produsele scalare gasim

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

E = (x′u)2 + (y′u)2 + (z′u)2

F = x′ux′v + y′uy′v + z′uz′vG = (x′v)2 + (y′v)2 + (z′v)2

Pentru o suprafata S data prin ecuatia explicita

z = f(x, y)

coeficientii primei forme fundamentale sunt

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

E = 1 + p2

F = pqG = 1 + q2

Pentru o suprafata S data prin ecuatia implicita

F (x, y, z) = 0


coeficientii primei forme fundamentale sunt

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

E = (F ′x)2 + (F ′

z)2

(F ′z)2

F =F ′x ⋅ F ′

y

(F ′z)2

G =(F ′

y)2 + (F ′z)2

(F ′z)2

Lungimea unui arc de curba Γ ⊂ S cuprins ıntre punctele M1(t1) si M2(t2) este

t2

∫t1

ds =t2

∫t1

¿ÁÁÀE (du

dt)

2

+ 2Fdu

dt⋅ dvdt

+G(dvdt

)2

dt

Definitia 23.25. Fie Γ1 si Γ2 doua curbe pe suprafata S care se intersecteaza ınpunctul M de pe suprafata. Unghiul θ dintre tangentele duse la cele doua curbe ınM se numeste unghiul dintre curbele Γ1 si Γ2 pe suprafata S.

Vom nota cu d deplasarea de-a lungul curbei Γ1 si cu δ deplasarea de-a lungulcurbei Γ2. Vectorii dÐ→r si δÐ→r dau directiile tangentelor la cele doua curbe ınpunctul M , asadar avem:

cos θ = dÐ→r ⋅ δÐ→r∥dÐ→r ∥ ⋅ ∥δÐ→r ∥

Inlocuind

dÐ→r =Ð→r ′udu +Ð→r ′vdv si δÐ→r =Ð→r ′uδu +Ð→r ′vδv

obtinem:

dÐ→r ⋅ δÐ→r = (Ð→r ′u)2duδu +Ð→r ′uÐ→r ′v(duδv + δudv) + (Ð→r ′v)2dvδv

= Eduδu + F (duδv + δudv) +GdvδvdÐ→r 2 = ds2 = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2

δÐ→r 2 = δs2 = Eδu2 + 2Fδuδv +Gδv2

cos θ = Eduδu + F (duδv + δudv) +Gdvδv√Edu2 + 2Fdudv +Gdv2 ⋅

√Eδu2 + 2Fδuδv +Gδv2

unde E,F,G sunt coeficientii primei forme fundamentale calculati ın punctul Mcomun celor doua curbe.

In particular pentru curbele de coordonate Γ1 ∶ u = u0 si Γ2 ∶ v = v0, gasimdu = 0 si δv = 0, iar cosinusul unghiului dintre cele doua curbe devine

cos θ = F√E ⋅G

.

23.4. EXERCITII 351

Definitia 23.26. Se numeste element de arie pe suprafata S ın punctul M ∈S, notat cu dσ, aria paralelogramului construit pe vectorii Ð→r ′udu si Ð→r ′vdv candcresterile parametrilor du si dv au acelasi semn.

Avem:

dσ = ∥Ð→r ′udu ×Ð→r ′vdv∥ = ∥Ð→r ′u ×Ð→r ′v∥dudv=

√A2 +B2 +C2dudv

=√EG − F 2dudv

Daca suprafata este data prin ecuatie carteziana explicita z = f(x, y), elementulde arie este

dσ =√

1 + p2 + q2dxdy.

23.4 Exercitii

1. Fie curba C ∶ Ð→r (t) = (t2 + 3t)Ð→i + (t2 + 2t)Ð→j . Sa se afle:

(a) intersectiile curbei cu axele de coordonate

(b) intersectiile curbei cu prima bisectoare

(c) ecuatia carteziana implicita a curbei

(d) ecuatia tangentei ın punctul M0(t0 = −2)

2. Sa se scrie ecuatia tangentei si normalei la curba data ın punctul indicat:

(a)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = t3

1 − t2y = 1 + t2

1 − t2, A(t0 = 2)

(b)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = t3 − 2t

y = t2 + 1, A(t0 = 2)

(c) y = x3 + 2x2 − 4x + 3, M0(−2,5)(d) y = x lnx + 1, M0(x = 1)(e) x3 + 3x2y − y2 − 2x + 9 = 0, A(2,−1)(f) x3 − xy2 + 2x + y − 3 = 0, A(y = 0)

3. Sa se scrie ecuatiile tangentei si normalei la elipsa

x2

4+ y2 − 1 = 0

ın punctul M0 (√

3, 12)


4. Sa se calculeze elementul de arc si lungimea arcului de curba AB pentrucurbele:

(a)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = a(t − sin t)y = a(1 − cos t)

, A(t = 0), B(t = 2π)

(b) y2 = 4x, A(0,0), B(1,2)(c) ρ = a sin3 θ

3 , A(θ = 0), B (θ = 3π2)

5. Sa se calculeze curbura urmatoarelor curbe ın punctele indicate:

(a) Ð→r (t) = t2Ð→i + t3Ð→j , A(1,1)R: 6

13√

13

(b)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x = sin t

y = t cos t, M (t = π

2)

R: 4π2

(c) y = x3 − x2 + 2x − 2, A(1,0)R: 2

5√

10

(d) y = x2 − 1, M(1,0)R: 2

5√

5

(e) ρ = a sin 2θ, M (θ = π4)

6. Sa se determine ınfasuratoarea urmatoarelor familii de curbe:

(a) αx − α2y − 1 = 0R: x2 = 4y

(b) α2x − (α − 1)y + 2 = 0R: y2 − 4xy − 8x = 0

(c) (α2 − 1)x − 2αy + 2α2 − 1 = 0R: x3 + xy2 + 4x2 + 3y2 + 4x + 4y+ = 0

(d) (x − α)2 + y2 = 4αR: y2 + 4x + 4 = 0

7. Sa se scrie ecuatiile tangentei si ecuatia planului normal la curba C ın punctulspecificat:

(a) (C) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = 1 − cos t

y = sin t

z = t; M0 (t = π

2)

(b) (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y = x2

z = 1x3

;A(1,1,1)

23.4. EXERCITII 353

(c) (C) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = a cos2 t

y = a sin t cos t

z = a sin t

; M0 (t = π4)

(d) (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x2 + z2 − 4 = 0

x2 + y2 − 4 = 0; M0(

√3,1,1)

(e) (C) ∶Ð→r (t) = tÐ→i + t2Ð→j + t3Ð→k ; A(2,4,8)

8. Sa se calculeze versorii triedrului Frenet ın urmatoarele cazuri:

(a) (C) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = 1 − cos t

y = sin t

z = t; M0 (t = π

2)

(b) (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y2 = xx2 = z

; A(1,1,1)

(c) (C) ∶ Ð→r (t) = et(Ð→i cos t +Ð→j sin t +Ð→k )

9. Sa se scrie ecuatiile muchiilor si fetelor triedrului Frenet ın urmatoarele ca-zuri:

(a) (C) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = ty = −tz = t2

2

; M0(t0 = 2)

(b) (C) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = 2√

2 cos t

y = 2 + 2 sin t

z = 2(1 − sin t); M0(0,4,0)

10. Sa se calculeze elementul de arc pentru curba

(C) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = ty = t2

z = 2t3

3

11. Sa se calculeze lungimea arcului (AB), unde:

(a) (C) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = et cos t

y = et sin t

z = et, A(t = 0), B (t = π

2)

(b) (C) ∶⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

y = x2

2

z = x3

6

, A(x = 0), B(x = 6)


(c) (C) ∶Ð→r (t) = a cos tÐ→i + a sin t

Ð→j + btÐ→k , A(t = 0),B(t = 1)

12. Sa se afle versorii triedrului Frenet, curbura si torsiunea la curba (C) ınpunctul indicat:

(a) (C) ∶ Ð→r (t) = (2t − 1)Ð→i + t3Ð→j + (1 − t2)Ð→k , M0(t = 0)

(b) (C) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = cos t

y = sin t

z = t2

2

, A(t = 0)

(c) (C) ∶ Ð→r (t) = t cos tÐ→i + t sin tÐ→j + atÐ→k ın origine.

13. Sa se scrie ecuatia planului tangent si ecuatiile normalei la suprafata S ınpunctul specificat:

(a) (S) ∶ Ð→r (u, v) = (u2 + v + 1)Ð→i + (u2 − v + 1)Ð→j + (uv + 2)Ð→k ,M0(u = 1, v = −1)

(b) (S) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = 1 + uvy = u + u2v

z = u2 + u3v

, M0(3,3,3)

(c) (S) ∶ z = x2 + y2, M0(1,−2,5)(d) (S) ∶ x2 + y2 + z2 + 2xy + 4xz + 2x + 4y − 6z + 8 = 0, M0(0,0,2)

(e) (S) ∶ Ð→r (u, v) = (u−v)2Ð→i +(u2−3v2)Ð→j +v(u−2v)Ð→k2 , M0(u = 1, v = 0)

(f) (S) ∶ z = x3 + y3, M1(1,2,9), M2(1,1,2)

(g) (S) ∶ x2

16 +y2

9 − z2

8 = 0, M0(4,3,4)

14. Sa se scrie prima forma fundamentala a urmatoarelor suprafete:

(a) (S) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = u cos v

y = u sin v

z = u2

(b) (S) ∶ Ð→r (u, v) = (u2 + v)Ð→i + (u + v2)Ð→j + (u + v)Ð→k(c) (S) ∶ z = xy2

(d) (S) ∶ x2

a2+ y2

b2+ z2

c2− 1 = 0

(e) (S) ∶⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x = u cos v

y = u sin v

z = a ⋅ v

(f) (S) ∶ x2 + y2 + z2 − a2 = 0

23.4. EXERCITII 355

15. Fie suprafata

Ð→r (u, v) = (u2 + v2)Ð→i + (u2 − v2)Ð→j + uvÐ→k .

(a) Sa se scrie prima forma fundamentala a suprafetei S;

(b) Sa se scrie elementul de arc pentru curbele (C1) ∶ u = 2, (C2) ∶ v = 1 si(C3) ∶ v = au;

(c) Sa se calculeze lungimea arcului curbei C3 cuprins ıntre punctele co-respunzatoare lui u = 1 si u = 2.

16. Sa se calculeze elementul de arie pentru suprafetele:

(a) Ð→r (u, v) = u + v2

Ð→i + u − v

2

Ð→j + uv

2

Ð→k ;

(b) Ð→r (u, v) = u cos vÐ→i + u sin v

Ð→j + u2Ð→k ;

(c) xyz = 2.

17. Se considera suprafata

Ð→r (u, v) = u cos vÐ→i + u sin v

Ð→j + (u + v)Ð→k

Sa se calculeze unghiul dintre curbele de coordonate pe aceasta suprafata.Pentru ce curbe de coordonate este acest unghi de 600?

18. Fie suprafata

(S) ∶Ð→r (u, v) = u cos vÐ→i + u sin v

Ð→j + u2Ð→k

si pe aceasta suprafata curbele (C1) ∶ u = 1, (C2) ∶ v = u si (C3) ∶ v = −u. Sase calculeze perimetrul si unghiurile triunghiului curbiliniu determinat pesuprafata S de aceste curbe.

19. Fie suprafata

Ð→r (u, v) = (u2 + v2)Ð→i + (u2 − v2)Ð→j + uvÐ→k

si pe aceasta suprafata curbele (C1) ∶ u = 2, (C2) ∶ v = 1 si (C3) ∶ u = v. Sase calculeze perimetrul si unghiurile triunghiului curbiliniu determinat pesuprafata S de aceste curbe.

Anexa A

Functii elementare

A.1 Functia exponentiala si functia logarit-

mica

Definitia A.1. Se numeste functie exponentiala o functie f ∶ R → (0,∞) dataprin f(x) = ax, unde a este o constanta pozitiva (a > 0).

Proprietati ale functiei exponentiale:

1. a0 = 1

2. ax+y = axay

3. a−x = 1ax

4. ax−y = ax

ay

5. (ax)y = axy

6. (ab)x = axbx

Trecand pe x la limita catre ±∞ obtinem:

1. daca a > 1, atunci limx→−∞

ax = 0 si limx→∞

ax =∞

2. daca 0 < a < 1, atunci limx→−∞

ax =∞ si limx→∞

ax = 0.

Definitia A.2. Se numeste functie logaritmica o functie f ∶ (0,∞) → R dataprin f(x) = loga x, unde a este o constanta pozitiva diferita de 1 (a > 0, a ≠ 1).

Proprietati ale functiei logaritmice:

1. loga 1 = 0

357

358 ANEXA A. FUNCTII ELEMENTARE

2. loga(xy) = loga x + loga y

3. loga ( 1x) = − loga x

4. loga (xy ) = loga x − loga y

5. loga(xy) = y loga x

6. loga x =logb xlogb a

Trecand pe x la limita catre 0 sau ∞ obtinem:

1. daca a > 1, atunci limx0

loga x = −∞ si limx→∞

loga x =∞

2. daca 0 < a < 1, atunci limx0

loga x =∞ si limx→∞

loga x = −∞.

Observatii:

(a) Pentru aceeasi valoare a constantei a > 0, a ≠ 1, functiile exponentiala silogaritmica corespunzatoare sunt inverse una alteia. Asadar, avem:

loga(ax) = x, ∀x ∈ Raloga x = x, ∀x > 0.

(b) Doua cazuri particulare de functii exponentiale, respectiv logaritmice pe carele vom folosi des sunt cele obtinute pentru cazul particular ın care constantaa este numarul irational

e = limx→∞

(1 + 1

x)x

= 2,71828...

si anume

f ∶ R→ (0,∞), f(x) = ex

g ∶ (0,∞)→ R, g(x) = loge x = lnx.

(c) Functiile exponentiala si logaritmica sunt functii continue pe domeniile lor dedefinitie.

A.2. FUNCTIILE TRIGONOMETRICE SI INVERSELE LOR 359

A.2 Functiile trigonometrice si inversele lor

Fie un sistem cartezian de coordonate xOy si un cerc de raza 1 cu centrul ın ori-ginea acestui sistem, pe care ıl vom numi cercul trigonometric. Consideram acumo a treia axa de numere reale, cu originea ın punctul de coordonate (1,0), perpen-diculara pe axa Ox si avand aceeasi orientare ca si axa Oy. Infasurand aceastaaxa pe cercul trigonometric, gasim ca fiecarui numar real t de pe aceasta axa ıicorespunde un punct Pt pe cercul trigonometric. Astfel, punctele de coordonate(1,0), (0,1), (−1,0), (0,−1) vor corespunde numerelor reale 0, π

2 , π,3π2 .

Definim acum functiile

cos, sin ∶ R→ [−1,1]

asociiind fiecarui numar real t valorile coordonatelor punctului corespunzator Ptde pe cercul trigonometric. Astfel, cos t si sin t sunt abscisa, respectiv ordonatapunctului corespunzator lui t de pe cercul trigonometric.

Definim acum functia

tg ∶ R ∖ (2k + 1)π2

; k ∈ Z→ R, tgx = sinx

cosx.

Aplicatie: Sa se scrie valorile functiilor trigonometrice sin, cos si tg cores-punzatoare urmatoarelor numere reale:

0,π

6,π

4,π

3,π

2,3π

4, π,

7π

6,3π

2,5π

3,2π

Proprietati ale functiilor trigonometrice:

(a) sin2 t + cos2 t = 1

(b) functiile sin si cos sunt periodice de perioada 2π, iar functia tg este periodicade perioada π:

cos(t + 2π) = cos t, sin(t + 2π) = sin t, tg(t + π) = tgt

(c) functia cos este para, iar functiile sin si tg sunt impare:

cos(−t) = cos t, sin(−t) = − sin t, tg(−t) = −tgt

(d) cos (π2 − t) = sin t si sin (π2 − t) = cos t

(e) functiile sin, cos si tg sunt continue pe domeniile lor de definitie.

360 ANEXA A. FUNCTII ELEMENTARE

Restrangand domeniile de definitie ale functiilor trigonometrice definite maisus astfel ıncat ele sa devina bijective, putem defini inversele lor:

arcsin ∶ [−1,1]→ [−π2,π

2]

arccos ∶ [−1,1]→ [0, π]

arctg ∶ R→ (−π2,π

2)

Anexa B

Tabele si formule

B.1 Limite

1. limn→∞

an =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

1, a = 1∞, a > 10, a ∈ (−1,1)∄, a ≤ −1

2. limn→∞

(aknk + ak−1nk−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1n + a0) = ∞, ak > 0

−∞, ak < 0

3. limn→∞

aknk + ak−1n

k−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1n + a0

bmnm + bm−1nm−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + b1n + b0=⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

( akbm ) ⋅ ∞, k >makbm, k =m

0, k <m

4. limxn→±∞

(1 + 1

xn)xn

= limxn→0

(1 + xn)1xn = e

5. limxn→0

ln(1 + xn)xn

= 1

6. limxn→0

axn − 1

xn= lna

7. limxn→0

(1 + xn)r − 1

xn= r

8. limxn→0

sinxnxn

= limxn→0

tgxnxn

= limxn→0

arcsinxnxn

= limxn→0

arctgxnxn

= 1

9. limn→∞

nk

an= 0, ∀k ∈ N, a > 1.

361

362 ANEXA B. TABELE SI FORMULE

B.2 Derivate

Reguli de derivare:

(f ± g)′ = f ′ ± g′

(αf)′ = αf ′

(fg)′ = f ′g + fg′

(fg)′= f

′g − fg′g2

[f(u(x))]′ = f ′(u(x)) ⋅ u′(x)

Derivatele functiilor elementare:

Domeniul Functia f(x) Derivata f ′(x)x ∈ R, c ∈ R c 0

x ∈ R x 1

x ∈ R, n ∈ N xn nxn−1

x ∈ (0,∞) √x

1

2√x

x ∈ R ∖ 0 1

x− 1

x2

x ∈ (0,∞), α ∈ R xα αxα−1

x ∈ R ex ex

x ∈ R, a > 0 ax ax lna

x ∈ (0,∞) lnx1

x

x ∈ (0,∞), a > 0, a ≠ 1 loga x1

x lnax ∈ R sinx cosx

x ∈ R cosx − sinx

x ∈ R ∖ (2k + 1)π2

;k ∈ Z tgx1

cos2 x

x ∈ [−1,1] arcsinx1√

1 − x2

x ∈ [−1,1] arccosx − 1√1 − x2

x ∈ R arctgx1

1 + x2

B.3. INTEGRALE 363

B.3 Integrale

Metode de integrare:

∫ (αf + βg)(x)dx = α∫ f(x)dx + β ∫ g(x)dx

∫ f(x)g′(x)dx = f(x)g(x) − ∫ f ′(x)g(x)dx

∫ f(u(x))u′(x)dx = F (u(x)) +C, F = primitiva a lui f

Primitivele functiilor elementare:

Domeniul Functia f(x) Primitiva ∫ f(x)dx

x ∈ [0,∞), α ≠ −1 xαxα+1

α + 1+C

x ∈ R ∖ 0 1

xln ∣x∣ +C

x ∈ R, a > 0, a ≠ 1 axax

lna+C

x ∈ R ex ex +Cx ∈ R sinx − cosx +Cx ∈ R cosx sinx +C

x ∈ R ∖ (2k + 1)π2

;k ∈ Z 1

cos2 xtgx +C

x ∈ R ∖ kπ;k ∈ Z 1

sin2 x− 1

tgx+C

x ∈ R, a ≠ 01

x2 + a2

1

aarctg

x

a+C

x ∈ R ∖ −a, a, a ≠ 01

x2 − a2

1

2aln ∣x − a

x + a ∣ +C

x ∈ (−a, a), a > 01√

a2 − x2arcsin

x

a+C

x ∈ R 1√x2 + a2

ln(x +√x2 + a2) +C

x ∈ (−∞,−a) ∪ (a,∞), a > 01√

x2 − a2ln ∣x +

√x2 − a2∣ +C

364 ANEXA B. TABELE SI FORMULE

Anexa C

Algoritmi importanti

In aceasta sectiune prezentam pe scurt cativa algoritmi importanti care apar ınaceasta lucrare, algoritmi care sunt utili ın aplicatii si care pot constitui subiectela examene si lucrari semestriale.

1. Puncte de extrem.

Date initiale: o functie reala de 2 sau 3 variabile

Rezultat: punctele de extrem local ale acesteia

2. Ortonormalizare Gram-Schmidt.

Date initiale: o baza oarecare ıntr-un spatiu vectorial n-dimensional

Rezultat: o baza ortonormata ın acelasi spatiu

3. Forme patratice.

Date initiale: expresia (ıntr-o baza oarecare) unei forme patratice de-finite pe un spatiu vectorial n-dimensional

Rezultat: o forma canonica a aceleiasi forme patratice si eventuallegaturile ıntre coordonatele initiale si coordonatele ın care avem aceastaforma canonica

4. Forma canonica la conice.

Date initiale: ecuatia generala a unei conice

Rezultat: ecuatia canonica a aceleiasi conice si ecuatiile rototranslatieicorespunzatoare acesteia

365

366 ANEXA C. ALGORITMI IMPORTANTI

C.1 Puncte de extrem

Algoritmul general pentru functii de n variabile este dat de teorema 7.24. Mai josprezentam algoritmii particularizati pentru cazurile functiilor de 2 si 3 variabile:

Puncte de extrem pentru functii reale de doua variabile

f ∶D ⊂ R2 → R

Pas 1 Se calculeaza derivatele partiale de ordinul ıntai∂f

∂xsi∂f

∂y;

Pas 2 Se rezolva sistemul de ecuatii format prin egalarea cu 0 a derivatelor partialecalculate la pasul anterior:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

∂f

∂x= 0

∂f

∂y= 0

Solutiile (x, y) ∈ R2 ale acestui sistem se numesc puncte critice (saustationare) ale functiei f ;

Pas 3 Se calculeaza derivatele partiale de ordinul al doilea∂2f

∂x2,∂2f

∂y2si

∂2f

∂x∂y;

Pas 4 Pentru fiecare punct critic (x0, y0) gasit la pasul 2:

Pas 4.1 Se calculeaza valorile derivatelor partiale de la pasul 3 ın acest punctsi introducem notatiile

A = ∂2f

∂x2(x0, y0), B = ∂2f

∂x∂y(x0, y0), C = ∂

2f

∂y2(x0, y0), ∆ = B2 −AC;

Pas 4.2 In functie de semnele cantitatilor calculate la pasul 4.1, tragem con-cluzii asupra naturii punctului critic:

daca ∆ < 0 si A > 0⇒ minim local;

daca ∆ < 0 si A < 0⇒ maxim local;

daca ∆ > 0⇒ punctul critic nu este extrem local.

C.1. PUNCTE DE EXTREM 367

Puncte de extrem pentru functii reale de trei variabile

f ∶D ⊂ R3 → R

Pas 1 Se calculeaza derivatele partiale de ordinul ıntai∂f

∂x,∂f

∂ysi∂f

∂z;

Pas 2 Se rezolva sistemul de ecuatii format prin egalarea cu 0 a derivatelor partialecalculate la pasul anterior:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

∂f

∂x= 0

∂f

∂y= 0

∂f

∂z= 0

Solutiile (x, y, z) ∈ R3 ale acestui sistem se numesc puncte critice (saustationare) ale functiei f ;

Pas 3 Se calculeaza derivatele partiale de ordinul al doilea

∂2f

∂x2,∂2f

∂y2,∂2f

∂z2,∂2f

∂x∂y,∂2f

∂y∂z,∂2f

∂z∂x

Pas 4 Pentru fiecare punct critic (x0, y0, z0) gasit la pasul 2:

Pas 4.1 Se calculeaza valorile derivatelor partiale de la pasul 3 ın acest punctsi se introduc aceste valori ın matricea hessiana

H =⎛⎜⎜⎜⎝

∂2f∂x2

∂2f∂x∂y

∂2f∂z∂x

∂2f∂x∂y

∂2f∂y2

∂2f∂y∂z

∂2f∂z∂x

∂2f∂y∂z

∂2f∂z2

⎞⎟⎟⎟⎠(x0, y0, z0)

Pas 4.2 Se calculeaza minorii principali ai matricei H de la pasul 4.1:

∆1 =∂2f

∂x2, ∆2 =

RRRRRRRRRRRR

∂2f∂x2

∂2f∂x∂y

∂2f∂x∂y

∂2f∂y2

RRRRRRRRRRRR, ∆3 =

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

∂2f∂x2

∂2f∂x∂y

∂2f∂z∂x

∂2f∂x∂y

∂2f∂y2

∂2f∂y∂z

∂2f∂z∂x

∂2f∂y∂z

∂2f∂z2

RRRRRRRRRRRRRRRRRR

Pas 4.3 In functie de semnele cantitatilor calculate la pasul 4.2, tragem con-cluzii asupra naturii punctului critic:

daca ∆1 > 0, ∆2 > 0 si ∆3 > 0⇒ minim local;

daca ∆1 < 0, ∆2 > 0 si ∆3 < 0⇒ maxim local;


C.2 Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt

Fie V un spatiu vectorial real de dimensiune n si B = u1, u2, . . . , un o baza oare-care ın acest spatiu. Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt construiestepornind de la baza B o baza ortonormata e1, e2, . . . , en, asadar o baza ın carevectorii sunt ortogonali doi cate doi si au norma 1, deci sunt versori. Pe scurt,

⟨ei, ej⟩ = 1, daca i = j0, daca i ≠ j ,∀i, j ∈ 1,2, . . . , n.

Pas 1 Definim v1 = u1.

Pas 2 Definim v2 = u2 + α21v1, unde scalarul α21 se determina punand conditia cav2 sa fie ortogonal pe v1:

0 = ⟨v2, v1⟩ = ⟨u2 + α21v1, v1⟩ = ⟨u2, v1⟩ + α21⟨v1, v1⟩

de unde rezulta

α21 = −⟨u2, v1⟩⟨v1, v1⟩

Pas 3 Definim v3 = u3 +α31v1 +α32v2, unde scalarii α31, α32 se determina punandconditia ca v3 sa fie ortogonal pe v1 si v2:



.



.

Asadar la fiecare pas k se construieste vectorul vk pornind de la vectorul din bazainitiala uk si adaugand o combinatie liniara de vectorii definiti la pasii anterioriv1, . . . , vk−1, combinatie liniara ai carei coeficienti se calculeaza punand conditiilede ortogonalitate ıntre vk si v1, . . . , vk−1.

Pas n Definim vn = un + αn1v1 + αn2v2 + ⋅ ⋅ ⋅ + αnn−1vn−1. Din conditiile de ortogo-nalitate se obtin coeficientii

αni = −⟨un, vi⟩⟨vi, vi⟩

, ∀i = 1,2, . . . , n − 1.

Pas n+1 Baza ortonormata cautata se obtine ınmultind fiecare vector din baza orto-gonala v1, v2, . . . , vn cu inversul normei acestuia pentru a obtine versorii

ei =1

∥vi∥⋅ vi, ∀i = 1,2, . . . , n.

C.3. FORME PATRATICE 369

C.3 Forme patratice

Pentru reducerea la forma canonica a unei forme patratice Φ ∶ V ⇒ R exista 3metode clasice: Jacobi, Gauss si metoda transformarilor ortogonale.

Metoda Gauss. Fie forma patratica

Φ(x) =n

∑i=1

n

∑j=1

aijxixj ,

unde x1, x2, . . . , xn sunt coordonatele vectorului x ıntr-o baza oarecare B.

Pas 1.1 Se grupeaza toti termenii care contin pe x1 si se formeaza un patrat perfectdin acestia, adaugand si apoi scazand termenii necesari:

Φ(x) = a11x21 + 2a12x1x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2a1nx1xn + Φ(x2, x3, . . . , xn) =

= 1a11

(a211x

21 + 2a11a12x1x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2a11a1nx1xn) + Φ(x2, x3, . . . , xn) =

= 1a11

(a11x1 + a12x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1nxn)2 +Φ1(x2, x3, . . . , xn)

unde Φ1 este o forma patratica ın x2, . . . , xn.

Pas 1.2 In baza B1 corespunzatoare schimbarii de coordonate

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

y1 = a11x1 + a12x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1nxn

y2 = x2

⋮yn = xn

,

expresia formei patratice devine

Φ(x) = 1

a11y2

1 +Φ1(y2, . . . , yn),

unde y1, y2, . . . , yn sunt coordonatele vectorului x ın baza B1

Pas 2 Se aplica pasul 1 pentru forma patratica Φ1 care depinde doar de n − 1coordonate. La finalul pasului 2, forma patratica initiala se rescrie ca osuma de 2 termeni patratici si o forma patratica ce depinde de cel mult n−2coordonate.⋮

Pas k Se aplica pasul 1 pentru forma patratica de n − k + 1 variabile obtinuta lafinalul pasului anterior. Dupa pasul k, forma patratica initiala se rescrie cao suma de k termeni patratici si o forma patratica ce depinde de cel multn − k coordonate.


Dupa cel mult n pasi Φ are forma canonica. Compunand transformarile de co-ordonate corespunzatoare fiecarui pas se pot obtine legaturile dintre coordonateleinitiale si cele ın care avem forma canonica.

Observatie:Algoritmul anterior presupune ca la fiecare pas k forma patratica depinzand

de n − k + 1 coordonate obtinuta la pasul anterior contine cel putin o coordonatala patrat ın jurul careia se construieste patratul perfect de la pasul 1.1. Dacala un anumit pas aceasta forma patratica este formata doar din termeni micsti,se efectueaza un pas intermediar constand dintr-o transformare de coordonate deforma

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

xi = yi + yjxj = yi − yjxl = yl, ∀l ≠ i, l ≠ j

ın urma careia termenul mixt xixj devine y2i − y2

j .

Metoda Jacobi este cea mai rapida, reducandu-se la calculul unor minoriprincipali ai matricei formei patratice, dar are dezavantajul ca nu functioneazadaca unul din acesti minori principali este nul. Detalii ın teorema 18.4.

Metoda transformarilor ortogonale consta din urmatorii pasi:

Pas 1 Se determina valorile proprii λi, i = 1, . . . , n ale matricei formei patratice,precum si subspatiile de vectori proprii corespunzatoare Vλi , i = 1, . . . , n

Pas 2 In fiecare subspatiu propriu se construieste o baza ortonormata folosindprocedeul Gram-Schmidt, reuniunea acestor baze fiind baza B ın care avemforma canonica

Pas 3 Se scrie forma canonica

Φ(x) = λ1y21 + λ2y

22 + ⋅ ⋅ ⋅ + λny2

n

unde y1, y2, . . . , yn sunt coordonatele vectorului x ın baza B

Pas 4 Se scriu relatiile dintre coordonatele initiale si cele ın care avem forma ca-nonica

X = S ⋅ Y

unde S este matricea de trecere de la baza initiala la baza B

C.4. FORMA CANONICA LA CONICE 371

C.4 Forma canonica la conice

Pentru reducerea la forma canonica a unei conice de ecuatie generala

a11x2 + 2a12xy + a22y

2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0

se efectueaza urmatorii pasi:

Pas 1 Identificarea coeficientilor a11, a22, a12, a13, a23, a33;

Pas 2 Calculul invariantilor

I = a11 + a22, δ = ∣ a11 a12

a12 a22∣ , ∆ =

RRRRRRRRRRRRRR

a11 a12 a13

a12 a22 a23

a13 a23 a33

RRRRRRRRRRRRRRPas 3 Tipul conicei

δ > 0 ⇒ tip elipsaδ < 0 ⇒ tip hiperbolaδ = 0 ⇒ tip parabola

∆ ≠ 0 ⇒ conica nedegenerata∆ = 0 ⇒ conica degenerata

In functie de tipul conicei obtinut la pasul 3, algoritmul de reducere la formacanonica se continua ın mod diferit de la caz la caz. Prezentam ın continuarealgoritmii pentru conice nedegenerate cu centru si conice nedegenerate fara centru:

Conice cu centru nedegenerate (elipse si hiperbole): δ ≠ 0,∆ ≠ 0.

Pas 4 Coordonatele centrului (x0, y0) sunt solutiile sistemului

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a11x0 + a12y0 + a13 = 0

a12x0 + a22y0 + a23 = 0

Pas 5 Ecuatia caracteristicaλ2 − Iλ + δ = 0

Solutiile λ1, λ2 se aleg astfel ıncat λ1 − λ2 sa aiba acelasi semn cu a12.

Pas 6 Forma canonica

λ1X2 + λ2Y

2 + ∆

δ= 0.

Pas 7 Unghiul de rotatie

tg θ = λ1 − a11

a12

Pas 8 Legatura ıntre coordonatele initiale x, y si coordonatele X,Y ın care avemforma canonica: ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩




Conice fara centru nedegenerate (parabole): δ = 0,∆ ≠ 0.

Pas 4 Forma canonica

Y 2 = ±2pX, unde p =√

−∆

I3,

iar semnul ± ın ecuatia anterioara se alege ın functie de pozitia paraboleifata de axele de coordonate ale reperului initial, intersectand parabola cuaceste axe.

Pas 5 Ecuatia axei de simetrie a parabolei este

a11(a11x + a12y + a13) + a12(a12x + a22y + a23) = 0

Pas 6 Coordonatele varfului parabolei (x0, y0) se obtin intersectand parabola cuaxa de simetrie, deci rezolvand sistemul format din ecuatia gasita la pasulanterior si ecuatia initiala a conicei.

Pas 7 Unghiul de rotatie

tg θ = −a11

a12

Pas 8 Legatura ıntre coordonatele initiale x, y si coordonatele X,Y ın care avemforma canonica: ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩



Bibliografie

[1] Chiorescu G., Analiza Matematica. Calcul Diferential, Ed. Pim, Iasi, 2006.

[2] Chiorescu G., Analiza Matematica. Calcul Integral, Ed. Pim, Iasi, 2006.

[3] Popovici C., Algebra liniara, geometrie analitica si diferentiala. UtilizareMATLAB, Ed. Politehnium, 2008.

[4] Fihtenholt G. M., Curs de calcul diferential si integral, Vol I, Editura Teh-nica, Bucuresti, 1965.

[5] Nicolescu M., Analiza Matematica, Vol. I si Vol. II, E. D. P. Bucuresti, 1966.

[6] Rosculet M. Analiza matematica, E.D.P. Bucuresti, 1973.

[7] Nistor I., Probleme de analiza matematica, Vol. I si Vol. II, Editura CERMI,Iasi, 2004.

[8] Murgescu V., Algebra liniara si geometrie analitica, Partea I-a, I. P. Iasi,1980.

[9] Vamanu E., Curs de algebra liniara si geometrie, Rotaprint, I. P. Iasi, 1978.

[10] Andricioaei G., Curs de algebra, geometrie analitica si diferentiala si geo-metrie proectiva, Rotaprint, U. T. Iasi, 1996.

[11] Papaghiuc N., Calin C., Algebra liniara si ecuatii diferentiale, Editura ”Gh.Asachi”, Iasi, 2000.

[12] Matei P., Algebra liniara. Geometrie analitica si diferentiala, vol. 1, EdituraAGIR, Bucuresti, 2002.

[13] Adams R., Calculus, Addison Wesley, 2003.

[14] Lay D., Linear Algebra and its Applications, Addison Wesley, 2003.

373

374 BIBLIOGRAFIE

Glosar

aderenta unei multimi, 6, 75aplicatie liniara, 225arie, 139, 158, 165asimptota, 43, 287automorfism, 225

baza, 212canonica, 73, 212ortogonala, 218ortonormata, 218

binormala, 340

centru de greutate, 139, 151, 165, 178cerc, 284cilindru

eliptic, 315hiperbolic, 316parabolic, 316

coliniaritate, 258combinatie liniara, 210complement algebric, 200con, 311conica, 283constanta ciclica, 138convergenta

simpla, 65, 67uniforma, 65, 67

coordonatecurbilinii, 155, 345sferice, 175, 306

coplanaritate, 258criteriul

Abel, 27, 68, 119Cauchy, 14, 27, 66, 67, 77D’Alembert, 19Darboux, 101, 144, 170

de comparatie, 28de condensare, 28Dirichlet, 27, 68, 119Leibniz, 27logaritmic, 29majorarii, 17, 66radacinii, 29Raabe-Duhamel, 29raportului, 29

cuadrica, 305curba

ın spatiu, 78, 129, 338de clasa Ck, 330–331, 338de coordonate, 155, 346plana, 77, 129, 329rectificabila, 131

curbura, 335, 343

defect, 227derivata, 51, 82

de ordin superior, 58laterala, 51partiala, 82, 85–86

determinant, 199diagonalizare, 231diametru, 143, 169diferentiala, 61, 84–87dimensiune, 212directie, 257distanta, 75, 217distanta

ıntre doua drepte, 277de la un punct la o dreapta, 276de la un punct la un plan, 275

diviziune, 99, 130, 133, 143, 157, 162,169

375

376 GLOSAR

domeniu, 76, 136multiplu conex, 138simplu ın raport cu o axa, 148–149simplu conex, 138

drum, 129ınchis, 130neted, 130simplu, 130

ecuatia planului, 269–271ecuatie caracteristica, 190, 230ecuatie diferentiala, 181

Bernoulli, 185Clairaut, 187cu coeficienti constanti, 190cu diferentiale totale, 182cu variabile separabile, 183Lagrange, 187liniara, 185omogena, 184Riccati, 186

ecuatiile dreptei, 272–273, 281–282elementul de arc, 131, 156, 334, 342elementul de arie, 158, 351elipsa, 284elipsoid, 307endomorfism, 225excentricitate, 286, 287

focar, 285, 286, 288forma biliniara, 243

simetrica, 245forma canonica, 248, 290

conice cu centru, 292–295conice fara centru, 295–297cuadrice, 318

forma patratica, 246formula

Gauss-Ostrogradski, 176Green, 150Leibniz-Newton, 109, 137Stokes, 164Taylor, 59, 87

frontiera unei multimi, 7, 75

functiecontinua, 44–47, 80derivabila, 51–54, 82diferentiabila, 60, 83–86integrabila, 100, 132, 133, 144, 170marginita, 79uniform continua, 47, 81

generatoare rectilinii, 317

hiperbola, 286hiperboloid

cu doua panze, 310cu o panza, 309

imagine, 226independenta liniara, 211inegalitatea Cauchy-Schwarz, 74, 215ınfasuratoare, 336integrala

binoma, 108cu parametru, 122curbilinie, 132, 134de suprafata, 160, 162definita, 100dubla, 144Euler, 125improprie, 117, 120nedefinita, 104tripla, 170

integrare prin parti, 105, 110, 122interiorul unei multimi, 6, 75invariantii unei conice, 291izomorfism, 225

Jacobian, 90, 151, 175

lema lui Stolz, 13limita

sir, 12, 16, 76functie, 39, 41, 79iterata, 80laterala, 39

lucru mecanic, 139lungime, 257

GLOSAR 377

lungimea unei curbe, 131

margineinferioara, 4, 11, 16superioara, 5, 12, 16

masa, 139, 151, 165, 177matrice, 197

de trecere, 213inversa, 200ortogonala, 235singulara, 200

matriceaextinsa, 202unei forme biliniare, 244unei forme patratice, 248unei transformari liniare, 227unui sistem, 202

metodaGauss, 248, 369Jacobi, 250, 370transformarilor ortogonale, 251, 370

minor, 201moment de inertie, 152, 165, 178morfism, 225multime

ınchisa, 6, 75compacta, 7, 76conexa, 76, 136deschisa, 6, 75discreta, 7marginita, 4, 76, 143, 169

multime de convergenta, 65, 67

norma, 74, 215euclidiana, 216

norma unei diviziuni, 99, 130, 143, 157,169

normala, 156, 332, 347principala, 340

nucleu, 226

operator liniar, 225orientare, 136, 161ortogonalitate, 217, 260

parabola, 288paraboloid

eliptic, 313hiperbolic, 314

parametri directori, 155, 272parametrizare naturala, 334, 342plan

normal, 339osculator, 340rectificant, 341tangent, 157

plan tangent, 346polinom caracteristic, 230prima forma fundamentala, 156, 349primitiva, 104, 136problema Cauchy, 182, 188procedeul Gram-Schmidt, 218, 368produs

dublu vectorial, 262mixt, 262scalar, 74, 213, 260vectorial, 261

proprietatea lui Darboux, 46punct

aderent, 6, 75de acumulare, 7, 16, 75frontiera, 7, 75interior, 6, 75izolat, 7, 75

punct ordinar, 331, 338–339, 345puncte intermediare, 99, 132, 133, 143,

159, 162, 169punct

critic, 54, 88de ıntoarcere, 52de discontinuitate, 45de extrem, 54, 88de inflexiune, 60unghiular, 52

rangmatrice, 201sistem, 202transformare liniara, 227

378 GLOSAR

regulalui Cramer, 202lui l’Hospital, 56–58

reper cartezian ortogonal, 260rotatie, 289rototranslatie, 290

schimbare de variabila, 106, 108–110, 122,151, 175

sens, 257serie, 25

absolut convergenta, 27alternata, 27armonica, 25armonica generalizata, 28convergenta, 25divergenta, 25geometrica, 25semiconvergenta, 27

seriede functii, 67de puteri, 69MacLaurin, 70Taylor, 70

sfera, 305sir, 11, 76

convergent, 12, 76crescator, 12descrescator, 12divergent, 12fundamental, 14, 77marginit, 11monoton, 12

sir de functii, 65sistem de ecuatii liniare, 201

compatibil, 202omogen, 202

sistem de generatori, 211solutie, 181

generala, 181, 188particulara, 181, 188singulara, 182

spatiuBanach, 77

complet, 77euclidian, 77, 214Hilbert, 77metric, 75, 217normat, 74, 215topologic, 6vectorial, 73, 207

spectru, 229subspatiu

generat, 210invariant, 229propriu, 229vectorial, 209

sumaDarboux, 100, 144, 170integrala, 132, 133, 159, 162Riemann, 99, 143, 169

suprafata, 78, 155, 344cilindrica, 322conica, 323de rotatie, 324elementara, 345neteda, 155

tangenta, 331, 339teorema

Abel, 69Cauchy, 56Cauchy-Hadamard, 69clestelui, 14, 40de medie, 102, 146, 172Fermat, 54functiilor implicite, 92Grassman, 212Kronecker-Capelli, 203Lagrange, 55, 88Rolle, 54

torsiune, 344transformare

autoadjuncta, 233elementara, 201liniara, 225ortogonala, 234

translatie, 290

GLOSAR 379

triedrul lui Frenet, 341

unghiıntre curbe, 156, 350ıntre drepte, 274ıntre o dreapta si un plan, 275ıntre plane, 274ıntre vectori, 216, 260

valoare proprie, 229vecinatate, 5, 16, 75vector

director, 269, 271liber, 257normal, 269propriu, 229

versor, 216, 257

analiza matematic a, algebra liniar a, geometrie … · gebr a liniar a ˘si geometrie analitic a...

Documents