Sveuciliste J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Ana Pejic

Analiza jakosti statistickog testa

Diplomski rad

Osijek, 2014.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Ana Pejic

Analiza jakosti statistickog testa

Diplomski rad

Mentorica: izv. prof. dr. sc. Mirta Bensic

Osijek, 2014.

Sadrzaj

1 Uvod 2

2 Osnovni pojmovi 32.1 Statisticki test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Pogreske statistickog testa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Kriticno podrucje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Jakost statistickog testa 63.1 Pojam jakosti statistickog testa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1.1 Metoda kvocijenta vjerodostojnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Analiza jakosti statistickog testa 124.1 Testiranje hipoteza o ocekivanju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Testiranje hipoteza o vjerojatnosti dogadaja . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3 Testiranje hipoteza o razlici populacijskih ocekivanja . . . . . . . . . . . 26

Literatura 31

Sazetak 32

Statistical power analysis and summary 32

Zivotopis 33

1

1 Uvod

Testiranje statistickih hipoteza jedna je od najcesce koristenih statistickih metoda. Pro-vodenje istrazivanja na cijeloj populaciji gotovo je nemoguce zbog ogranicenosti resursa.Stoga se odabire uzorak iz populacije. Na temelju podataka iz uzorka donose se zakljucciza danu populaciju. Prvi korak prilikom testiranja hipoteza je definiranje nulte i alter-nativne hipoteze, a na kraju je potrebno donijeti odluku o odbacivanju ili neodbacivanjunul-hipoteze. Nekada je najveci strah onih koji provode testiranje (u daljnjem tekstuistrazivaci) bila mogucnost odbacivanja nul-hipoteze kada je ona tocna, no danas se svevise pozornosti obraca i na opasnosti pogreske ostajanja pri netocnoj nul-hipotezi.

Kako bi se mogle razumijeti i kontrolirati pogreske, potrebno je provesti opsezna is-trazivanja i analize podataka, no s obzirom na ogranicenost resursa analiza jakosti sta-tistickog testa dobiva svoj smisao.

Na pocetku rada, u drugom poglavlju, pojasnjeni su osnovni pojmovi vezani uz sta-tisticki test. Na konkretnom primjeru opisan je parametarski statisticki model. Zatimsu opisane hipoteze koje cine statisticki test te pogreske statistickog testa. S obziromna vaznost pogresaka koje nastaju prilikom testiranja, one su pojasnjene u posebnompotpoglavlju.

Nakon osnovnih pojmova, u trecem poglavlju, upoznajemo se s pojmom jakosti sta-tistickog testa. Dano je preslikavanje kojim je definirana funkcija jakosti testa te pripadnainterpretacija.

U svrhu pronalazenja kriticnog podrucja statistickog testa dan je Neyman-Pearsonovteorem za slucaj jednostavnih hipoteza te na konkretnom primjeru pokazana je njegovaprimjena. S obzirom da je kriticno podrucje moguce odrediti pomocu funkcije vjero-dostojnosti, opisana je metoda kvocijenta vjerodostojnosti. Sve navedeno ilustirano jeodgovarajucim primjerom.

Analiza jakosti statistickog testa dana je u cetvrtom poglavlju rada za odabrane sta-tisticke testove.

Analiza jakosti statistickog testa najvecu vaznost primjene nalazi u medicinskim is-trazivanjima, anketama te istrazivanjima u drustvenim znanostima.

2

2 Osnovni pojmovi

Mnoga obiljezja populacije modeliramo nekom slucajnom varijablom X. Obiljezja mogubiti diskretna i kontinuirana. Neka su slucajne varijable X1, X2, . . . , Xn medusobno ne-zavisne i jednako distribuirane kao slucajna varijabla X. Realizacija slucajnog vektora(X1, X2, . . . , Xn) kojim modeliramo uzorak iz obiljezja, je uredena n-torka (x1, x2, . . . , xn) ∈Rn. Pri tome vrijedi da je xi realizacija slucajne varijable Xi, i = 1, . . . , n.

Definicija 2.1. Slucajan vektor (X1, X2, . . . , Xn) cije su komponente nezavisne i jednakodistribuirane slucajne varijable naziva se jednostavan slucajan uzorak.

Definicija 2.2. Familija dozvoljenih funkcija distribucija koje se koriste u modeliranjupodataka zove se statisticki model. Oznacava se s P.

Statisticki model moze biti parametarski i neparametarski. Sljedecim primjerom bitce prikazan parametarski statisticki model.

Primjer 2.1. U tvornici se proizvodi neki proizvod s odredenim postotkom neispravnihproizvoda. Postotak nije poznat te ga oznacimo s θ pri cemu vrijedi θ ∈ [0, 1]. Trebaodrediti pripadni parametarski statisticki model.

U tu svrhu potrebno je procijeniti θ. Stoga se nezavisno odabere n proizvoda s pro-izvodne trake. Odabrani proizvod moze biti ispravan ili neispravan. Ispravan proizvodoznacimo s 0, a neispravan s 1. Svaki rezultat izvlacenja proizvoda s proizvodne trakemoze se modelirati Bernoullijevom slucajnom varijablom s tablicom distribucije

Xk =

(0 1

1− θ θ

)pri cemu je P (Xk = 0) = 1− θ, P (Xk = 1) = θ.

(X1, X2, . . . , Xn) je slucajan vektor cije su komponente nezavisne Bernoullijeve slucajnevarijable s parametrom θ. Dakle, radi se o jednostavnom slucajnom uzorku za koji je po-trebno odrediti funkciju distribucije. U tu svrhu uocimo da vrijedi:

P (Xk = x) = θx · (1− θ)(1−x), x ∈ {0, 1}.

Time se dobiva sljedece

p(x1, . . . , xn) = P (X1 = x1, . . . , Xn = xn)

=n∏k=1

P (Xk = xk)

=n∏k=1

θxk · (1− θ)(1−xk) , θ ∈ [0, 1]

(2.1)

F(X1,...,Xn)(x1, . . . , xn) = P (X1 ≤ x1, . . . , Xn ≤ xn) = Fθ(x1, . . . , xn) , θ ∈ [0, 1].

Pripadni parametarski statisticki model dan je s Pθ = {Fθ(x1, . . . , xn); θ ∈ [0, 1]}.

�

3

U Primjeru 2.1. θ je nepoznati parametar, a segment [0, 1] pripadni parametarskiprostor.

Definicija 2.3. Parametarski prostor je skup svih dozvoljenih vrijednosti nekog nepoz-natog parametra. Oznacava se s Θ.

Familiju svih funkcija distribucija jednostavnog slucajnog uzorka za sve dozvoljenevrijednosti nepoznatog parametra, odnosno za sve vrijednosti parametra iz pripadnog pa-rametarskog prostora, naziva se parametarski statisticki model.

2.1 Statisticki test

Kako bi testirali statisticku hipotezu, prvo je potrebno slutnju koju zelimo testiratipretvoriti u statisticku hipotezu.

Statisticka hipoteza je formulirana u terminima distribucije slucajne varijable X,a oznacava se s H. Razlikujemo nultu hipotezu (nul-hipoteza) i alternativnu hipotezu.Nul-hipoteza, u oznaciH iliH0, je hipoteza koju je potrebno testirati, a u slucaju njezineneistine prihvaca se alternativna hipoteza koju oznacavamo s Hc ili H1.

Statisticka hipoteza je podskup statistickog modela te stoga vrijedi:

H0 ∪H1 = P

pri cemu su H0 i H1 disjunktne.Hipoteza moze biti:

• jednostavna - jednoznacno odreduje distribuciju slucajne varijable X,

• slozena - jednoznacno ne odreduje distribuciju slucajne varijable X.

Definicija 2.4. Preslikavanje τ : Rn → {0, 1} naziva se test.

Test se interpretira na sljedeci nacin:

• ako je τ(x) = 1 onda se odbacuje H0 u korist H1

• ako je τ(x) = 0 onda se ne odbacuje H0 u korist H1.

Testiranje koje se provodi je zapravo testiranje istinitosti nul-hipoteze, odnosno donosenjeodluke hocemo li odbaciti ili ne odbaciti hipotezu H0. U slucaju odbacivanja hipotezeH0, prihvaca se alternativna hipoteza H1. Donosenje odluke moze rezultirati pogreskom,a u sljedecem potpoglavlju ce biti dan pregled pogresaka statistickog testa.

2.2 Pogreske statistickog testa

Prilikom testiranja nul-hipoteze govori se o njezinu odbacivanju ili ne odbacivanju jerse odlucivanje u statistickom testu provodi uz toleranciju malih vjerojatnosti pogresneodluke.

Razlikujemo dva tipa pogresaka:

• pogreska I. tipa

4

• pogreska II. tipa.

Pogreska I. tipa znaci odbaciti hipotezu H0 ako je ona istinita, dok pogreska II. tipaznaci ne odbaciti hipotezu H0 ako je hipoteza H1 istinita.

Prilikom kreiranja statistickog testa bitno je voditi racuna o velicini vjerojatnostipogreske I. tipa i pogreske II. tipa. Nije moguce kreirati test u kojem se mogu kontrolirativjerojatnosti obje pogreske jer smanjivanjem vjerojatnosti pogreske I. tipa povecava sevjerojatnost pogreske II. tipa i obrnuto. Statisticki test je kreiran tako da dopustaistrazivacu izbor maksimalne vjerojatnosti pogreske I. tipa koju zeli prihvatiti. Navedenavjerojatnost oznacava se s α i naziva nivo signifikantnosti ili razina znacajnosti, a njezinenajcesce vrijednosti su 0.01, 0.05 ili 0.1.

2.3 Kriticno podrucje

Za dani statisticki model P i hipotezu H0 skup svih realizacija uzorka oznacava se s X , adijeli se na dva disjunktna skupa Cr i Crc. Cr ⊆ X je podrucje odbacivanja hipoteze H0.Ako realizacija uzorka upadne u Cr, hipoteza H0 se odbacuje. Skup Cr zove se kriticnopodrucje hipoteze H0, a odabire se tako da sadrzi one tocke x ∈ Rn u kojima dolazido znacajnog odstupanja od pretpostavljene hipoteze H0. Ako se Cr moze izraziti uterminima neke statistike T , onda tu statistiku zovemo test-statistika. Definicijom 2.5.dan je pojam statistike.

Definicija 2.5. Neka je X = (X1, . . . , Xn) slucajan vektor statistickog modela P, t :Rn → K, (K,F) izmjeriv prostor. Ako je t izmjeriva u paru (Bn,F), onda je t funkcijakojom mozemo definirati statistiku. Statistika je T = t(X1, . . . , Xn).

U radu se bavimo parametarskim hipotezama sto znaci da je potrebno hipotezuH0 iskazati u terminima nepoznatog parametra θ za poznati oblik funkcije distribucijeslucajne varijable. Parametarski prostor Θ je oblika Θ = Θ0 ∪ Θ1, Θ0 ∩ Θ1 = ∅.Hipoteza H0 iskazuje se tako da se istakne odredeni podskup Θ0 ⊆ Θ, Θ0 6= ∅, te sezapisuje H0 : θ ∈ Θ0, Θ0 ⊆ Θ. Hipoteza H1 dana je s H1 : θ ∈ Θ1, Θ1 = Θ\Θ0.

Pretpostavimo da je θ ∈ Θ0. Pogreska bi bila da je realizacija uzorka upala u kriticnopodrucje, x ∈ Cr. U tom slucaju radi se o pogresci I. tipa, odnosno odbacila bi se hipotezaH0 koja je istinita. Ako θ 6∈ Θ0 tada bi pogreska bila da x 6∈ Cr. U tom slucaju radi seo pogresci II. tipa, odnosno ne bi se odbacila hipoteza H0.

Uvodi se funkcija π : Θ→ [0, 1] definirana s

π(θ) = Pθ(X ∈ Cr)

koja se naziva funkcija jakosti testa.

5

3 Jakost statistickog testa

3.1 Pojam jakosti statistickog testa

Definicija 3.1. Neka je X ∼ fθ(x), θ ∈ Θ. Preslikavanje π : Θ→ [0, 1] definirano s

π(θ) := Pθ(X ∈ Cr) (3.1)

zove se funkcija jakosti testa.

Vrijednost funkcije jakosti za dani parametar θ ∈ Θ zovemo jakost testa u θ. Izraz(3.1) interpretira se na sljedeci nacin:jakost testa u θ ∈ Θ je vjerojatnost odbacivanja hipoteze H0 kada je θ prava vrijednostnepoznatog parametra.

Na temelju funkcije jakosti testa moze se kontrolirati gornja granica vjerojatnostipogreske I. tipa i gornja granica vjerojatnosti pogreske II. tipa.

Neka suH0 : θ ∈ Θ0

H1 : θ ∈ Θ1.

Preslikavanje α : Θ0 → [0, 1] definirano s

α(θ) := π(θ) = Pθ(X ∈ Cr)

je vjerojatnost pogreske I. tipa.Izraz

α := supθ∈Θ0

α(θ)

je znacajnost testa. Test ima razinu znacajnosti α ako mu je znacajnost manja ili jednakaα.

Preslikavanje β : Θ1 → [0, 1] definirano s

β(θ) : = 1− Pθ(X ∈ Ccr)= 1− π(θ)

je vjerojatnost pogreske II. tipa. Gornja granica vjerojatnosti pogreske II. tipa je

supθ∈Θ1

(1− π(θ)).

Za pronalazenje kriticnog podrucja koristan je Neyman-Pearsnonov teorem koji je uradu iskazan za slucaj jednostavnih hipoteza.

Definicija 3.2. Uniformno najjaci test razine znacajnosti α za testiranje hipoteze H0 umodelu P je test s kriticnim podrucjem C∗r za koji vrijedi:

i) supθ∈Θ0

Pθ(X ∈ C∗r ) = supθ∈Θ0

πC∗r (θ) ≤ α

ii) πC∗r (θ) ≥ πCr(θ), ∀θ ∈ Θ1 cim je Cr neko drugo kriticno podrucje razine znacajnostiα.

6

Neka je dan statisticki model P i hipoteze H0 i H1 na sljedeci nacin:

P = {fθ(x) : θ ∈ {θ0, θ1}}H0 : θ = θ0

H1 : θ = θ1.

(3.2)

Teorem 3.1 (Neyman, Pearson). Neka je dan statisticki model P te H0 i H1 kao u(3.2).

Tada vrijedi:kriticno podrucje oblika Cr(k) = {x ∈ Rn : fθ0(x) ≤ k · fθ1(x)} za k > 0 je uniformnonajjace kriticno podrucje razine znacajnosti α = Pθ0(X ∈ Cr(k)) za testiranje hipotezeH0.

Dokaz. (Vidi [6], str. 540-541).

�

Sljedecim primjerom bit ce pokazano odredivanje kriticnog podrucja jednostranogtesta za ocekivanje normalne distribucije.

Primjer 3.1. Neka je X = (X1, . . . , Xn) jednostavan slucajan uzorak iz normalne dis-tribucije, tj. Xi ∼ N (µ, σ2) pri cemu je σ2 poznato, µ ∈ {µ0, µ1}. Potrebno je odreditikriticno podrucje za testiranje hipoteze H0 : µ = µ0 prema H1 : µ = µ1, za µ1 > µ0.

Postavimo hipoteze:

H0 : µ = µ0

H1 : µ = µ1.(3.3)

Pripadno kriticno podrucje za tako postavljene hipoteze odredit cemo pomocu Neyman-Pearsonova teorema. U tom slucaju ono je oblika Cr = {x ∈ Rn : fµ0(x) ≤ k fµ1(x)},pri cemu se k bira tako da uz odabranu vrijednost α vrijedi Pµ0(X ∈ Cr) = α.

Izracunamo pripadnu nejednakost

fµ0(x)

fµ1(x)≤ k

(1√2πσ

)ne−

12σ2

∑ni=1(xi−µ0)2(

1√2πσ

)ne−

12σ2

∑ni=1(xi−µ1)2

≤ k

e−1

2σ2(∑ni=1(xi−µ0)2−

∑ni=1(xi−µ1)2) ≤ k / ln

− 1

2σ2

(n∑i=1

(xi − µ0)2 −n∑i=1

(xi − µ1)2

)≤ ln k

n∑i=1

(xi − µ0)2 −n∑i=1

(xi − µ1)2 ≥ −2σ2 ln k.

(3.4)

7

Sredivanjem izraza (3.4) dobiva se:

n∑i=1

2xi(µ1 − µ0) + n(µ20 − µ2

1) ≥ −2σ2 ln k

n∑i=1

2xi(µ1 − µ0) ≥ −2σ2 ln k − n(µ20 − µ2

1) / : 2n

1

n

n∑i=1

xi(µ1 − µ0) ≥ −2σ2 ln k − n(µ20 − µ2

1)

2n

1

n

n∑i=1

xi ≥−2σ2 ln k − n(µ2

0 − µ21)

2n(µ1 − µ0).

Ako je hipoteza H0 istinita tada X ima N(µ,σ2

n

)distribuciju. Provodenjem po-

stupka standardizacije dobiva se T (X) =X − µ0

σ

√n ima N (0, 1) distribuciju u uvjetima

istinitosti hipoteze H0. Tada je kriticno podrucje odredeno s

X − µ0

σ

√n ≥ −2σ2 ln k − n(µ2

0 − µ21)− 2nµ0(µ1 − µ0)

2nσ(µ1 − µ0)

√n.

Oznacimo s k1 izraz s desne strane gornje nejednakosti. Velicinu k1 dobivamo izuvjeta Pµ0(T (X) ≥ k1) = α. Izracunajmo k1:

Pµ0(T (X) ≥ k1) = α

1− Pµ0(T (X) ≤ k1) = α

Pµ0(T (X) ≤ k1) = 1− αΦ(k1) = 1− α,

pri cemu je Φ(x) funkcija distribucije N (0, 1). Iz toga proizlazi da je k1 = Φ−1(1 − α),odnosno k1 = zα.

Dakle, kriticno podrucje za testiranje hipoteza danih izrazom (3.3) je oblikaCr = {x ∈ Rn : T (x) ≥ zα}.

�

Neyman-Pearsonov teorem moze biti izrazen u terminima funkcija vjerodostojnostiumjesto funkcija gustoce. U nastavku ce biti prikazano odredivanje kriticnog podrucjametodom kvocijenta vjerodostojnosti.

3.1.1 Metoda kvocijenta vjerodostojnosti

Prilikom testiranja jednostavne hipoteze H0 : θ = θ0 u odnosu na slozenu alternativnuhipotezu H1 : θ ∈ Θ1, onda za svaki θ ∈ Θ1 funkcija vjerodostojnosti ima odredenu

vrijednost L(x; θ). U tom slucaju omjerL(x; θ0)

L(x; θ)je funkcija nepoznatog parametra θ.

8

Ako postoji maxθ∈Θ

L(x; θ) = L(x; θ1) onda je vrijednost omjeraL(x; θ0)

L(x; θ1)u tocki x ∈ Rn

tocno odredeni broj. Ako je taj broj malen onda se tocka x ∈ Rn ukljucuje u kriticnopodrucje (vidi [7]).

Definicija 3.1.1.1. Velicina

λ(x) =L(x; θ0)

maxθ∈Θ

L(x; θ)=L(x; θ0)

L(x; θ1), (3.5)

zove se omjer vjerodostojnosti u tocki x ∈ Rn.Ako je nul-hipoteza slozena, tj. H0 : θ ∈ Θ0, i ako postoji max

θ∈Θ0

L(x; θ) = L(x; θ0),

onda se omjer vjerodostojnosti definira formulom

λ(x) =maxθ∈Θ0

L(x; θ)

maxθ∈Θ

L(x; θ)=L(x; θ0)

L(x; θ1). (3.6)

Kako je λ(x) ≤ 1 moguce su dvije situacije. A to su:

• ako je λ(x) ≈ 1 tada tocka x ne bi trebala pripadati kriticnom podrucju za hipotezuH0

• ako je λ(x) ≈ 0 tada bi tocka x trebala pripadati kriticnom podrucju za hipotezuH0.

Iz prethodnog razmatranja moze se zakljuciti da ce se dobar test dobiti ako se ukriticno podrucje Cr ukljuce one tocke iz Rn za koje je (3.6) manje od nekog zadanogbroja c, pri cemu je 0 < c ≤ 1.

Definicija 3.1.1.2. Ako kriticno podrucje Cr za testiranje parametarske hipoteze H0 :θ ∈ Θ0, u odnosu na alternativnu hipotezu H1 : θ ∈ Θ1 ima oblik

Cr = {x ∈ Rn : λ(x) ≤ c} (3.7)

onda kazemo da je test dobiven metodom omjera vjerodostojnosti (LR-test).

Pretpostavimo da nepoznati parametar ima konkretnu vrijednost θ ∈ Θ. Tada segovori o slucajnom vektoru X = (X1, X2, . . . , Xn) i statistici λ(X) kojoj pripada odgo-varajuca funkcija distribucije F (λ, θ) = Pθ(λ(X) ≤ λ), λ ∈ R. Statistiku λ(X) kojaproizlazi iz omjera vjerodostojnosti nije jednostavno odrediti stoga je potrebno napra-viti transformaciju nejednakosti λ(x) ≤ c u ekvivalentnu nejednakost h(x) ≤ c0. Timese dobiva test-statistika h(X) = Yn cija je distribucija lakse odrediva. Pomocu omjeravjerodstojnosti pronalazimo funkciju h.

Kriticno podrucje Cr = {x ∈ Rn : h(x) ≤ c0} treba imati razinu znacajnosti α, apripadna funkcija jakosti dana je s:

π(θ) = Pθ(h(X) ≤ c0) = Pθ(Yn ≤ c0) = F (c0, θ)

pri cemu je θ ∈ Θ.Konstantu c0 odredimo iz zahtjeva α = max

θ∈Θ0

F (c0, θ).

U nastavku ce biti prikazano kako odrediti kriticno podrucje i test-statistiku zaocekivanje normalne distribucije u slucaju nepoznate varijance.

9

Primjer 3.1.1.1. Neka je X = (X1, . . . , Xn) jednostavan slucajan uzorak iz normalnedistribucije, tj. Xi ∼ N (µ, σ2) pri cemu je σ2 poznato. Potrebno je odrediti kriticnopodrucje koristeci metodu kvocijenta vjerodostojnosti za dvostrani test o ocekivanju nor-malne distribucije.

U tu svrhu postavimo hipoteze:

H0 : µ = µ0

H1 : µ 6= µ0.(3.8)

Funkcija vjerodostojnosti dana je s

L(µ) =1

(2πσ2)n2

e−1

2σ2Σni=1(xi−µ)2 . (3.9)

Potrebno je odrediti tocku u kojoj funkcija vjerodostojnosti dana s (3.9) postize mak-simum. U nastavku je dan postupak trazenja maksimuma.

dL(µ)

dµ=

1

(2πσ2)n2

(− 1

2σ2Σni=1(xi − µ) · 2 · (−1)

)e−

12σ2

Σni=1(xi−µ)2

dL(µ)

dµ= 0

Kako je e−1

2σ2Σni=1(xi−µ)2 > 0 dobiva se sljedece:

n∑i=1

(xi − µ) = 0

n∑i=1

xi − nµ = 0

µ =1

n

n∑i=1

xi

pri cemu je x =n∑i=1

xi.

Dakle, L(µ) postize maksimum za µ = x, tj.

maxµ∈R

L(µ) = L(x) =1

(2πσ2)n2

e−1

2σ2Σni=1(xi−x)2 .

Sada je potrebno odrediti kvocijent vjerodostojnosti. Uvrstavajuci potrebne podatke u(3.5) dobiva se:

λ(x) =

1

(2πσ2)n2e−

12σ2

Σni=1(xi−µ0)2

1

(2πσ2)n2e−

12σ2

Σni=1(xi−x)2

= e1

2σ2(Σni=1(xi−x)2−Σni=1(xi−µ0)2)

= e−n

2σ2(x−µ0)2 .

10

Kriticno podrucje dobiva se postavljanjem uvjeta:

e−n

2σ2(x−µ0)2 ≤ c.

Sredujemo dani uvjet na sljedeci nacin

e−n

2σ2(x−µ0)2 ≤ c

− n

2σ2(x− µ0)2 ≤ ln c(

x− µ0

σ

√n

)2

≥ −2 ln c /√·.

Kako je 0 < c ≤ 1 slijedi da je ln c ≤ 0 i√−2 ln c ≥ 0. Oznacimo

√−2 ln c ≥ 0 s c0

cime dobivamo: ∣∣∣∣x− µ0

σ

√n

∣∣∣∣ ≥ c0.

Sada mozemo zapisati oblik kriticnog podrucja Cr, a ono glasi

Cr =

{x ∈ Rn :

∣∣∣∣x− µ0

σ

√n

∣∣∣∣ ≥ c0

}.

Oznacimo sa Z izrazX − µ0

σ

√n. Kako je statistika X ∼ N (µ, 1

nσ2), tada je Z ∼

N (0, 1).Potrebno je jos odrediti c0 prema zahtjevu α = max

θ∈Θ0

Φ(c0, θ) te imamo

α = Pµ0(|Z| ≥ c0) = 2− 2Φ(c0)

c0 = Φ−1(

1− α

2

).

�

11

4 Analiza jakosti statistickog testa

U sljedecim potpoglavljima bit ce prikazano odredivanje kriticnog podrucja i test-statistikeza odabrane testove te dana analiza jakosti tih testova.

4.1 Testiranje hipoteza o ocekivanju

Primjer 4.1.1 (Jednostrani test za ocekivanje normalne distribucije). Neka je X =(X1, . . . , Xn) jednostavan slucajan uzorak iz normalne distribucije, tj. Xi ∼ N (µ, σ2) pricemu je σ2 poznato. Potrebno je analizirati jakost testa za testiranje hipoteze H0 : µ = µ0

prema H1 : µ > µ0.

Postavljamo hipoteze:

H0 : µ = µ0

H1 : µ > µ0.(4.1)

U Primjeru 3.1. odredeno je pripadno kriticno podrucje. Ono je oblika

Cr =

{x ∈ Rn :

x− µ0

σ

√n ≥ zα

}. (4.2)

Analiziramo funkciju jakosti ovog statistickog testa

π(µ) = Pµ(T (X) ≥ zα)

= Pµ

(X − µ0

σ

√n ≥ zα

)= Pµ

(X − µ+ µ− µ0

σ

√n ≥ zα

)= Pµ

(X − µσ

√n ≥ zα −

µ− µ0

σ

√n

)= Pµ

(T (X) ≥ zα −

µ− µ0

σ

√n

).

(4.3)

Kako bi izracunali π(µ) potrebno je znati distribuciju od T (X). Ukoliko je H0 istinitahipoteza µ = µ0 onda je T (X) ∼ N (0, 1) pa je π(µ0) = α jer je tako odabrano kriticnopodrucje. U slucaju istinitosti hipoteze H1, prava vrijednost µ nije tocno odredena, atime ni distribucija od T (X).

Analizu funkcije jakosti testa u uvjetima istinitosti hipoteze H1 provodimo uz pretpos-tavku da je µ = µ1 prava vrijednost nepoznatog parametra, pri cemu je µ1 > µ0. Dakle,

za µ = µ1 test-statistika T (X) nema N (0, 1) distribuciju, negoX − µ1

σ

√n ima N (0, 1)

distribuciju. Oznacimo s Φ(x) funkciju distribucije N (0, 1).

Time dobivamo

12

π(µ1) = P (T (X) ≥ zα)

= P

(X − µ0

σ

√n ≥ zα

)= P

(X − µ1 + µ1 − µ0

σ

√n ≥ zα

)= P

(X − µ1

σ

√n ≥ zα −

µ1 − µ0

σ

√n

)= 1− Φ

(zα −

µ1 − µ0

σ

√n

).

(4.4)

Vrijednost funkcije jakosti testa za dani µ1 iznosi π(µ1) = 1−Φ

(zα −

µ1 − µ0

σ

√n

).

Mozemo uociti da je π(µ1) neprekidna i monotono rastuca funkcija po µ1, za µ1 > µ0,sto znaci da najveca moguca vjerojatnost pogreske II. tipa moze biti jako velika, tj.

supµ1>µ0

(1− π(µ1)) = 1− π(µ0) = 1− α.

To znaci da, ukoliko je prava vrijednost parametra µ blizu µ0 vjerojatnost pogreske neodbacivanjem H0 moze biti jako velika.

Dodatne informacije o mogucem iznosu ocekivanja µ, koji suprotstavljamo vrijednostiu H0, ponekad omogucuju kontrolu velicine pogreske II. tipa. Pretpostavimo da dodatneinformacije omogucuju postavljanje hipoteza:

H0 : µ = µ0

H1 : µ ≥ µ1,(4.5)

pri cemu je µ1 > µ0.Prethodna analiza jamci da je u tom slucaju najveca moguca vjerojatnost pogreske II.

tipa

supµ∈Θ1

(1− π(µ)) = 1− π(µ1).

U takvim slucajevima π(µ1) je koristan pokazatelj koji zovemo snaga testa i mozemoga iskoristiti za odredivanje velicine uzorka potrebne za postizanje zeljene snage testa.Uocimo da je snaga testa gornja granica vjerojatnosti dobre odluke ukoliko je H1 istinitahipoteza.

Pretpostavimo da zeljena snaga testa iznosi γ te izrazimo razliku µ1−µ0 = kσ, k > 0.Kako bi odredili potrebnu velicinu uzorka postavimo π(µ1) = γ te dobivamo

1− Φ

(zα −

µ1 − µ0

σ

√n

)= γ

Φ(zα − k

√n)

= 1− γz1−γ = zα − k

√n

k√n = zα − z1−γ√n =

zα − z1−γ

k.

(4.6)

13

Dakle, velicina uzorka n treba biti n ≥ (zα − z1−γ)2

k2.

U slucaju da je velicina uzorka poznata tada je potrebno odrediti k kako bi postojala

zadana snaga testa. Vrijednost je dana s k ≥ zα − z1−γ√n

.

�

U Primjeru 4.1.1. pokazana je analiza jakosti statistickog testa za jednostrani test uslucaju poznate varijance, a sljedecim primjerom bit ce ilustrirana primjena u praksi.

Primjer 4.1.2. U razvijenim zemljama visoko produktivne osobe razvile su visok kvo-cijent inteligencije, no zbog nedostatka vremena zapostavili su svoje emotivno stanje.Potrebna im je strucna pomoc kako bi razjasnili svoje osjecaje.

Psiholog zeli testirati hipotezu da ljudi koji traze lijecenje zbog takvih problema, imajuveci kvocijent inteligencije nego opca populacija. U tu svrhu slucajnim odabirom odabire40 klijenata. Provodenjem testiranja kvocijenta inteligencije na odabranih 40 klijenatadobio je ove rezultate:

110, 100, 105, 110, 100, 115, 105, 120, 100, 100, 115, 105, 110, 110, 105, 100, 105, 90, 105,

105, 110, 105, 130, 100, 105, 100, 100, 100, 95, 95, 95, 100, 110, 110, 105, 115, 95, 105, 100, 110.

Ocekivani kvocijent inteligencije za opcu populaciju iznosi 100, a za njegove klijente 105,pri cemu je σ = 15, α = 0.05.

Kolika je vjerojatnost da psiholog prihvati hipotezu H0, ako je ona zapravo neistinita?Koliko velik uzorak treba biti kako bi pri istoj razini znacajnosti vjerojatnost pogreske II.tipa bila manja od 0.20?

Pripadne hipoteze su:

H0 : µ = 100

H1 : µ = 105.

Testiranje hipoteza provodeno je u R-u. Dobivena realizacija test-statistike je 2.108185te ukazuje na odbacivanje nul-hipoteze na razini znacajnosti 0.05, jer se realizacija test-statistike nalazi u intervalu [1.644854,∞〉. Sada izracunajmo jakost testa u µ1.

Uvrstavajuci podatke u izraz (4.4), jakost testa u µ1 = 105 iznosi:

π(µ1) = 1− Φ

(1.64− 105− 100

15

√40

)= 1− Φ (1.64− 2.087)

= 1− FT (X) (−0.447)

= 1− (1− Φ(0.447))

= 0.6726.

Dakle, ako je stvarno ocekivanje 105, onda je vjerojatnost pogreske II. tipa 0.33.

14

Kako bi se postigla sto manja vjerojatnost donosenja pogresne odluke, na nju se mozeutjecati povecanjem velicine uzorka. Ako psiholog zeli postici da jakost statistickog testau µ1 iznosi 0.80, pri istoj razini znacajnosti, bit ce mu potrebni dodatni resursi zbog vecegbroja osoba koje je potrebno testirati.

Koristeci prethodno izvedenu formulu za velicinu uzorka dobivamo

n ≥(

1.64 + 0.84

0.33

)2

n ≥ 56.48,

pri cemu je zα = 1.64, z1−γ = −0.841.Dakle, ako psiholog zeli smanjiti vjerojatnost donosenja pogresne odluke kada je µ1 =

105, dobiva se da je potreban uzorak od 57 osoba.

Sa Slike 4.1. mozemo iscitati koliko iznosi jakost testa u µ1 = 105 za svaku velicinuuzorka. Tako za n = 78, ona iznosi 0.80. Za n = 145 je π(µ1) = 0.99, a kako nije mogucepostici vrijednost 1, nije potrebno dalje povecavati velicinu uzorka. Dosta vremena, alii novca potrebno je utrositi u testiranje sto je ponekad nemoguce izvesti te se u praksinajcesce zahtjeva snaga testa od 0.80.

20 40 60 80 100 120 140n

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ΠHΜ1L

Slika 4.1. Prikaz odnosa velicine uzorka n i jakosti testa π(µ1)

Na Slici 4.2. prikazan je graf funkcije jakosti testa za testiranje H0 : µ = 100 premaH1 : µ = 105, za razlicite velicine uzorka. Mozemo uociti da prilikom testiranja postojivjerojatnost od 0.05 da se odbaci hipoteza H0 kada je ona istinita. Takoder je moguceiscitati jakost testa u µ1 = 105 za navedene velicine uzorka. Vidljivo je da graf funkcijejakosti testa brze raste prema 1 sto je uzorak veci.

1Vrijednosti za zα i z1−γ mogu se iscitati iz tablica vrijednosti funkcije normalne distribucije (vidi[7]) ili izracunati koristenjem nekog statistickog programa.

15

100 110 120Μ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ΠHΜL

n=145

n=78

n=57

n=40

Slika 4.2. Graf funkcije jakosti testa za testiranje H0 : µ = 100 prema H1 : µ = 105,za razlicite velicine uzorka

�

Primjer 4.1.3 (Jednostrani test za ocekivanje normalne distribucije). Neka je X =(X1, . . . , Xn) jednostavan slucajan uzorak iz normalne distribucije, tj. Xi ∼ N (µ, σ2)pri cemu je σ2 nepoznato. Potrebno je analizirati jakost testa za testiranje hipotezeH0 : µ = µ0 prema H1 : µ > µ0.

Postavimo hipoteze:

H0 : µ = µ0

H1 : µ > µ0.

Potrebno je prvo odrediti kriticno podrucje. Ono ce biti odredeno koristenjem metodekvocijenta vjerodostojnosti.

Kako su oba parametra nepoznata to znaci da je parametar θ vektorski parametaroblika θ = (µ, σ2). U tom slucaju skup dozvoljenih vrijednosti je Θ = {(µ, σ2) : µ ∈R, σ2 > 0}.

Fiksiramo µ0. Time smo odredili skup Θ0 ⊆ Θ, a dan je s Θ0 = {(µ0, σ2) : σ2 > 0}.

Sada je moguce testirati hipotezu H0 u odnosu na hipotezu H1.Funkcija vjerodostojnosti dana je s

L(µ, σ2) =1

(2πσ2)n2

e−1

2σ2Σni=1(xi−µ)2 .

Potrebno je odrediti tocku u kojoj funkcija vjerodostojnosti postize maksimum. Kakoje funkcija vjerodostojnosti jednakog oblika kao i u Primjeru 3.1.1.1, jedna komponetnate tocke je vec izracunata, a drugu komponentu dobivamo analogno.

Dakle, maxθ∈Θ

L(θ) = L(θ1), pri cemu je θ1 = (x, s2n), a s2

n =1

n

n∑i=1

(xi − x)2.

Kako bi smo mogli odrediti kvocijent vjerodostojnosti potrebno je odrediti i L(θ0), a

ono glasi maxθ∈Θ0

L(θ) = maxσ2>0

L(µ0, σ2) = L(µ0, σ

20), pri cemu je σ2

0 =1

n

n∑i=1

(xi − µ0)2.

16

Uvrstavajuci dobivene izracune u (3.6) dobivamo trazeni kvocijent vjerodostojnosti.

Raspisemo li kvocijent λ(x) =L(θ0)

L(θ1)dobivamo da je kriticno podrucje Cr odredeno s:(∑n

i=1(xi − µ0)2∑ni=1(xi − x)2

)−n2

≤ c. (4.7)

Sredivanjem gornjeg izraza na sljedeci nacin∑ni=1(xi − µ0)2∑ni=1(xi − x)2

≥ c−2n

∑ni=1(xi − µ0)2

n · 1n

∑ni=1(xi − x)2

≥ c−2n

1n

∑ni=1(xi − µ0)2

s2n

≥ c−2n

1n

∑ni=1 x

2i − 2µ0

1n

∑ni=1 xi + 1

n· nµ2

0

s2n

≥ c−2n

1n

∑ni=1 x

2i − 2µ0x+ µ2

0

s2n

≥ c−2n

s2n + (x2 − 2µ0x+ µ2

0)

s2n

≥ c−2n

s2n + (x− µ0)2

s2n

≥ c−2n

1 +(x− µ0)2

s2n

≥ c−2n

dobiva se(x− µ0)2

s2n

≥ c−n2 − 1

n

n− 1

(x− µ0)2

s2n

≥ c−n2 − 1

gdje je sn2 =

1

n− 1

n∑i=1

(xi − x)2 te je u tom slucaju s2n = n−1

ns2n.

Daljnjim sredivanjem dobivamo:

x− µ0

sn

√n ≥ c0 (4.8)

gdje je c0 =

√(n− 1)c−

n2 − 1.

17

Kriticno podrucje Cr dano je s

Cr =

{x ∈ Rn :

x− µ0

sn

√n ≥ c0

}. (4.9)

Pripadna test-statistika dana je s T (X) =X − µ0

sn

√n, a ima t(n − 1) distribuciju

ukoliko je H0 istinita hipoteza.Konstantu c0 odredimo iz zahtjeva α = Pµ0(|T (X)| ≥ c0). Dobiva se sljedece:

α = Pµ0(T (X) ≥ c0)

= 1− Pµ0(T (X) ≤ c0)

= 1− F (c0)

pri cemu je F (x) studentova funkcija distribucije s n stupnjeva slobode. Iz togaproizlazi da je c0 = F−1 (1− α).

Analiziramo funkciju jakosti ovog statistickog testa

π(µ) = Pµ(T (X) ≥ tα)

= Pµ

(X − µ0

sn

√n ≥ tα

)= Pµ

(X − µ+ µ− µ0

sn

√n ≥ tα

)= Pµ

(X − µsn

√n ≥ tα −

µ− µ0

sn

√n

)= Pµ

(T (X) ≥ tα −

µ− µ0

sn

√n

).

(4.10)

Kako bi izracunali π(µ) potrebno je znati distribuciju od T (X). Ukoliko je H0 istinitahipoteza µ = µ0 onda je T (X) ∼ t(n− 1) pa je π(µ0) = α jer je tako odabrano kriticnopodrucje. U slucaju istinitosti hipoteze H1, prava vrijednost µ nije tocno odredena, atime ni distribucija od T (X).

Analizu funkcije jakosti testa u uvjetima istinitosti hipoteze H1 analiziramo uz pret-postavku da je µ = µ1 prava vrijednost nepoznatog parametra, pri cemu je µ1 > µ0.

Dakle, za µ = µ1 test-statistika T (X) nema t(n − 1) distribuciju, negoX − µ1

sn

√n ima

t(n− 1) distribuciju. Oznacimo s F (x) funkciju distribucije t(n− 1).

Time dobivamo

18

π(µ1) = P (T (X) ≥ tα)

= P

(X − µ0

sn

√n ≥ tα

)= P

(X − µ1 + µ1 − µ0

sn

√n ≥ tα

)= P

(X − µ1

sn

√n ≥ tα −

µ1 − µ0

sn

√n

)= 1− F

(tα −

µ1 − µ0

sn

√n

).

(4.11)

Vrijednost funkcije jakosti testa za dani µ1 iznosi π(µ1) = 1−F(tα −

µ1 − µ0

sn

√n

).

Mozemo uociti da je π(µ1) neprekidna i monotono rastuca funkcija po µ1, za µ1 > µ0,sto znaci da najveca moguca vjerojatnost pogreske II. tipa moze biti jako velika, tj.

supµ1>µ0

(1− π(µ1)) = 1− π(µ0) = 1− α.

To znaci da, ukoliko je prava vrijednost parametra µ blizu µ0 vjerojatnost pogreske neodbacivanjem H0 moze biti jako velika.

Dodatne informacije o mogucem iznosu ocekivanja µ, koji suprotstavljamo vrijednostiu H0, ponekad omogucuju kontrolu velicine pogreske II. tipa. Pretpostavimo da dodatneinformacije omogucuju postavljanje hipoteza:

H0 : µ = µ0

H1 : µ ≥ µ1,(4.12)

pri cemu je µ1 > µ0.Prethodna analiza jamci da je u tom slucaju najveca moguca vjerojatnost pogreske II.

tipa

supµ∈Θ1

(1− π(µ)) = 1− π(µ1).

U takvim slucajevima π(µ1) mozemo iskoristiti za odredivanje velicine uzorka po-trebne za postizanje zeljene snage testa.

Pretpostavimo da zeljena snaga testa iznosi γ te izrazimo razliku µ1−µ0 = ksn, k > 0.Kako bi odredili potrebnu velicinu uzorka postavimo π(µ1) = γ te dobivamo

1− F(tα −

µ1 − µ0

sn

√n

)= γ

F(tα − k

√n)

= 1− γt1−γ = tα − k

√n

k√n = tα − t1−γ√n =

tα − t1−γk

.

(4.13)

19

Dakle, velicina uzorka n treba biti n ≥ (tα − t1−γ)2

k2.

U slucaju da je velicina uzorka poznata tada je potrebno odrediti k kako bi postojala

zadana snaga testa. Vrijednost je dana s k ≥ tα − t1−γ√n

.

�

U Primjeru 4.1.4. na konkretnoj situaciji ilustrirana je analiza jakosti statistickogtesta za jednostrani test postavljen u prethodnom primjeru.

Primjer 4.1.4. U nedavno obnovljenom ekskluzivnom restoranu, kapaciteta 55 mjesta,zaposleno je 5 konobara. U 12 dana zabiljezen je sljedeci broj gostiju u vecernjem ter-minu:

48, 42, 52, 29, 35, 32, 36, 46, 55, 45, 34, 38.

Vlasnik restorana zaposlit ce jos 2 konobara u slucaju da prosjecan broj gostiju budeveci od 35. S obzirom na jaku konkurenciju nije siguran moze li ocekivati takvu situacijukroz cijelu sezonu. Ako se na osnovu 12 dana donese odluka o zaposljavanju novih kono-bara, koliko iznosi vjerojatnost da ce ispravno odbaciti hipotezu H0 na razini znacajnostiod 0.05? Koliko dana je potrebno pratiti broj gostiju u restoranu kako bi donosenjetakve odluke rezultiralo vjerojatnoscu pogreske II. tipa od najvise 0.10, pri istoj raziniznacajnosti?

Postavimo hipoteze:

H0 : µ = 35

H1 : µ = 41.

Testiranje hipoteza provodeno je u R-u. Dobivena realizacija test-statistike je 2.406772te ukazuje na odbacivanje nul-hipoteze na razini znacajnosti 0.05, jer se realizacija test-statistike nalazi u intervalu [1.795885,∞〉, pri cemu je sn = 8.27. Uvrstavajuci podatkeu (4.11), za µ1 = 41, neistinitu hipotezu odbacujemo s vjerojatnoscu

1− F(tα −

µ1 − µ0

sn

√n

)=

= 1− F(

1.795885− 41− 35

8.27

√12

)= 1− F (−0.71732)

= 1− 0.24406

= 0.7559,

0.76, na razini znacajnosti od 0.05. Vjerojatnost da vlasnik restorana ne uoci potrebu zadodatnim konobarima kada su oni stvarno potrebni iznosi 0.24. Ako ucini takvu pogresku,ustedjet ce na osoblju, no ugrozava reputaciju restorana zbog nekvalitetne usluge. Takvomodlukom ugrozava vlastiti posao jer gosti odlaze konkurentima.

20

Kako bi se smanjio rizik pogresne odluke potrebno je uzeti veci broj dana za analizusituacije. Kako bi vjerojatnost pogreske II. tipa sveli na 0.10, iz izracuna

n ≥ (tα − t1−γ)2

k2

≥ (1.795885 + 1.36343)2

0.72552

≥ 18.96,

dobivamo da je potrebno 19 dana kako bi se odluka donijela uz manju vjerojatnost po-greske II. tipa.

�

4.2 Testiranje hipoteza o vjerojatnosti dogadaja

Primjer 4.2.1. (Test za vjerojatnost dogadaja za veliki uzorak) Neka je X = (X1, . . . , Xn)jednostavan slucajan uzorak iz Bernoullijeve populacije. Potrebno je analizirati jakosttesta o vjerojatnosti dogadaja za testiranje hipoteze H0 : p = p0 prema H1 : p < p0.

Postavimo hipoteze:

H0 : p = p0

H1 : p < p0.

Kako bi mogli provesti analizu potrebno je odrediti kriticno podrucje te pripadnu test-statistiku. Znamo da je X = (X1, . . . , Xn) jednostavan slucajan uzorak iz Bernoullijeve

distribucije s parametrom p0, p0 ∈ 〈0, 1〉.n∑i=1

Xi ima B(n, p0) distribuciju, pri cemu je

E

[n∑i=1

Xi

]= np0 te V ar

(n∑i=1

Xi

)= np0(1− p0). Oznacimo relativnu frekvenciju s p.

Tada je X = p te vrijedi pas∼ 2N

(p0,

p0(1− p0)

n

).

Provede se postupak standardizacije

p− p0√p0(1−p0)

n

=p− p0√p0(1− p0)

√n

te se dobivap− p0√p0(1− p0)

√n koja za velike n priblizno ima N (0, 1) distribuciju.

Dakle, pripadna test-statistika je

Z ′ =p− p0√p0(1− p0)

√n, (4.14)

2Za velike n, p priblizno ima N(p0,

p0(1−p0)n

)distribuciju jer

p− p0√p0(1−p0)

n

D−→ Z, Z ∼ N (0, 1).

21

koja priblizno ima N (0, 1) distribuciju u uvjetima istinitosti hipoteze H0.Kriticno podrucje dano je s

Cr =

{x ∈ Rn :

p− p0√p0(1− p0)

√n ≤ zα

}.

Analiziramo funkciju jakosti ovog testa

π(p) = Pp

(p− p0√p0(1− p0)

√n ≤ zα

)

= Pp

(p− p0 ≤ zα

√p0(1− p0)

n

)

= Pp

(p− p ≤ zα

√p0(1− p0)√

n+ p0 − p

)

= Pp

(p− p√p(1− p)

√n ≤ zα

√p0(1− p0)

p(1− p)+

p0 − p√p(1− p)

√n

).

(4.15)

Ukoliko je p prava vrijednost nepoznatog paramentra onda je izraz (4.15) pribliznojednak sljedecoj vjerojatnosti

P

(Z ≤ zα

√p0(1− p0)

p(1− p)+

p0 − p√p(1− p)

√n

)(4.16)

pri cemu je Z ∼ N (0, 1).Ukoliko je H1 istinita hipoteza,prava vrijednost p nije tocno odredena, a time ni distri-

bucija od Z. Analizu funkcije jakosti testa u uvjetima istinitosti hipoteze H1 analiziramouz pretpostavku da je p = p1 prava vrijednost nepoznatog parametra, pri cemu je p1 < p0.

Dakle, za p = p1 Z nema N (0, 1) distribuciju, negop− p1√p1(1− p1)

√n ima N (0, 1)

distribuciju. Oznacimo s Φ(x) funkciju distribucije N (0, 1).

Time dobivamo

22

π(p1) = P

(p− p0√p0(1− p0)

√n ≤ zα

)

= P

(p− p0 ≤ zα

√p0(1− p0)

n

)

= P

(p− p1 ≤ zα

√p0(1− p0)√

n+ p0 − p1

)

= P

p− p1√p1(1−p1)√n

≤ zα

√p0(1− p0)

p1(1− p1)+

p0 − p1√p1(1− p1)

√n

= Φ

(zα

√p0(1− p0)

p1(1− p1)+

p0 − p1√p1(1− p1)

√n

).

(4.17)

Vrijednost funkcije jakosti za dani p1 iznosi Φ

(zα

√p0(1− p0)

p1(1− p1)+

p0 − p1√p1(1− p1)

√n

).

Pokazimo da je π(p1) monotono padajuca funkcija po p1, za p1 < p0. Radi jedno-

stavnijeg zapisa neka je x = zα

√p0(1− p0)

p1(1− p1)+

p0 − p1√p1(1− p1)

√n. U tu svrhu promatrat

cemo derivaciju funkcije π(p1):

π(p1) =1√2π

∫ x

−∞e−

t2

2 dt /d

dp1

π′(p1) =1√2π

e−x2

2 · x′

=1√2π

e−x22 · −√n(√

p1(1− p1))− (1−2p1)

2√p1(1−p1)

·(zα√p0(1− p0) +

√n(p0 − p1)

)(√

p1(1− p1))2

.

Kako je

1√2π

> 0

e−x2

2 > 0

−(√n√p1(1− p1) +

(1−2p1)(zα√p0(1−p0)+

√n(p0−p1)

)2√p1(1−p1)

)p1(1− p1)

≤ 0,

dobivamo da je π(p1) monotono padajuca funkcija po p1 za p1 < p0. Dakle, najvecamoguca vjerojatnost pogreske II. tipa moze biti jako velika, tj.

supp1<p0

(1− π(p1)) = 1− π(p0) = 1− α.

To znaci da, ukoliko je prava vrijednost parametra p blizu p0 vjerojatnost pogreske neodbacivanjem H0 moze biti jako velika.

23

Dodatne informacije o mogucem iznosu p, koji suprotstavljamo vrijednosti u H0, pone-kad omogucuju kontrolu velicine pogreske II. tipa. Pretpostavimo da dodatne informacijeomogucuju postavljanje hipoteza:

H0 : p = p0

H1 : p ≤ p1,(4.18)

pri cemu je p1 < p0.Prethodna analiza jamci da je u tom slucaju najveca moguca vjerojatnost pogreske II.

tipa

supp∈Θ1

(1− π(p)) = 1− π(p1).

U takvim slucajevima π(p1) mozemo iskoristiti za odredivanje velicine uzorka potrebneza postizanje zeljene snage testa.

Pretpostavimo da zeljena snaga testa iznosi γ.Iz izraza (4.17) dobivamo potrebnu velicinu uzorka n,

P

(Z ≤ zα

√p0(1− p0)

p1(1− p1)+

p0 − p1√p1(1− p1)

√n

)= γ

⇒ zγ = zα

√p0(1− p0)

p1(1− p1)+

p0 − p1√p1(1− p1)

√n

(p0 − p1)√n = zγ

√p1(1− p1)− zα

√p0(1− p0)

√n =

1

p0 − p1

(zγ√p1(1− p1)− zα

√p0(1− p0)

)(4.19)

�

U sljedecem primjeru, za provedeni test, bit ce odredena vjerojatnost s kojom odba-cujemo neistinitu nul-hipotezu te odredena velicina uzorka kako bi se postigla zeljenasnaga testa.

Primjer 4.2.2. U pokrajini koja obuhvaca 20 000 stanovnika pojavila se rijetka zaraznabolest. Vlasti tvrde da udio zarazenih osoba ne prelazi dozvoljenu stopu incidencije od0.3. Na to podrucje poslan je tim strucnjaka koji treba utvrditi je li to istina, odnosnoradi li se o potencijalnoj epidemiji.

Kao jedan od pokazatelja zarazenosti uzima se broj leukocita. Ukoliko je on manji od4× 109 u jednoj litri krvi osoba se smatra zarazenom, a u slucaju epidemije potrebno jeposlati poseban tim epidemiologa.

Na uzorku od 100 osoba zabiljezeni su sljedeci rezultati

2.1, 4.7, 4.3, 5.6, 5.3, 1.7, 3.2, 6.2, 8.2, 5.5, 6.2, 1.4, 9.4, 6.6, 2.3, 3.2, 6.6, 4.7, 4.8, 8.7, 4.8, 5.4,

5.7, 4.6, 2.8, 5.7, 2.9, 6.7, 5.6, 4.9, 7.8, 7.5, 4.6, 2.3, 4.3, 4.2, 5.4, 6.8, 7.6, 6.7, 4.7, 4.7, 4.2, 9.7,

8.6, 3.7, 4.7, 6.5, 5.6, 7.7, 4.3, 4.2, 5.4, 1.9, 5.7, 9.7, 4.2, 2.1, 6.6, 6.5, 4.6, 4.7, 8.5, 9.1, 7.4, 6.3,

4.2, 4.6, 5.7, 5.8, 8.6, 6.9, 4.9, 2.7, 4.1, 4.2, 4.7, 5.4, 3.2, 6.7, 4.2, 1.4, 1.2, 8.3, 2.1, 4.2, 4.1, 5.3,

4.2, 0.9, 4.7, 6.5, 6.8, 7.8, 5.6, 4.9, 7.7, 8.4, 9.1, 1.3,

24

odnosno 19 zarazenih osoba.Pretpostavimo da se broj leukocita podvrgava normalnoj distribuciji. Potrebno je pro-

vesti testiranje te u slucaju odbacivanja nul-hipoteze utvrditi s kolikom vjerojatnosti seodbacuje neistinita nul-hipoteza na razini znacajnosti 0.01. Kolika velicina uzorka jepotrebna kako bi vjerojatnost pogreske ne odbacivanja nul-hipoteze bila manja od 0.10, uzrazinu znacajnosti 0.01?

Postavimo hipoteze:

H0 : p = 0.3

H1 : p = 0.19.

Testiranje hipoteza provodeno je u R-u. Realizacija test-statistike je −2.400397, a sobzirom da se nalazi u intervalu 〈−∞,−2.326348], znaci da odbacujemo hipotezu H0 narazini znacajnosti 0.01.

Neistinitu hipotezu H0, uvrstavajuci u (4.17), odbacujemo s vjerojatnoscu

P

(Z ≤ −2.33

√0.3(1− 0.3)

0.19(1− 0.19)+

0.3− 0.19√0.19(1− 0.19)

√100

)

= P

(Z ≤ −2.33

√0.21

0.1539+

0.11√0.1539

√100

)= P (Z ≤ −2.72173 + 2.80398)

= P (Z ≤ 0.0822)

= 0.53.

Vjerojatnost pogreske da se ne odbaci neistinita hipoteza H0 u ovom slucaju iznosi0.47. Dakle, postoji velika vjerojatnost da se napravi pogreska angaziranja posebnog timaepidemiologa, a da to nije potrebno. Njihovo angaziranje moze dovesti do znatno vecihtroskova, nego da se primjerice provede cijepljenje ostatka populacije. Stoga je potrebnoodrediti velicinu uzorka za koju bi vjerojatnost te pogreske bila manja od 0.10.

Uvrstavanjem podataka u formulu (4.19), u Primjeru 4.2.1., dobiva se:

√n =

1

0.3− 0.19

(1.28

√0.19(1− 0.19)− (−2.33)

√0.3(1− 0.3)

)=

1

0.11(1.28

√0.1539 + 2.33

√0.21)

= 9.09091(0.50215 + 1.06774)

= 14.2717.

Kako bi vjerojatnost pogreske ne odbacivanja neistinite nul-hipoteze bila manja od0.10, pri razini znacajnosti 0.01, potreban je uzorak od barem 204 osobe.

�

25

4.3 Testiranje hipoteza o razlici populacijskih ocekivanja

Primjer 4.3.1. Neka su X = (X1, . . . , Xn1) te Y = (Y1, . . . , Yn2) dva jednostavnaslucajna uzorka iz normalne distribucije, tj. Xi ∼ N (µ1, σ

21) i Yi ∼ N (µ2, σ

22), pri cemu

su σ21 i σ2

2 poznate i vrijedi σ21 = σ2

2 = σ2. Neka je d = µ1 − µ2. Potrebno je provestianalizu jakosti testa za testiranje hipoteze H0 : µ1 − µ2 = d0 prema H1 : µ1 − µ2 > d0.

Postavimo hipoteze:

H0 : µ1 − µ2 = d0

H1 : µ1 − µ2 > d0.

Prvo je potrebno odrediti kriticno podrucje te pripadnu test-statistiku. U tu svrhu

promatramo razliku X − Y , pri cemu je X ∼ N(µ1,

σ21

n1

)te Y ∼ N

(µ2,

σ22

n2

).

Kako je σ21 = σ2

2 = σ2 te zbog nezavisnosti dobiva se da X−Y ima N(µ1 − µ2, σ

2 (n1 + n2)

n1n2

)distribuciju.

Ako se provede postupak standardizacije dobiva se pripadna test-statistika T (X,Y) =X − Y − d0

σ√

n1+n2

n1n2

koja ima N (0, 1) distribuciju ako je H0 istinita.

Tada je kriticno podrucje odredeno je s

Cr =

(x,y) ∈ Rn1 ×Rn2 :x− y − d0

σ√

n1+n2

n1n2

≥ zα

.

Analiziramo funkciju jakosti ovog testa

π(d) = Pd

X − Y − d0

σ√

n1+n2

n1n2

≥ zα

= 1− Pd

X − Y − d0

σ√

n1+n2

n1n2

≤ zα

= 1− Pd

X − Y − d+ d− d0

σ√

n1+n2

n1n2

≤ zα

= 1− Pd

X − Y − dσ√

n1+n2

n1n2

≤ zα −d− d0

σ√

n1+n2

n1n2

= 1− Pd

(T (X,Y) ≤ zα −

d− d0

σ

√n1n2

n1 + n2

).

Kako bi izracunali π(d) potrebno je znati distribuciju od T (X,Y). Ukoliko je H0

istinita hipoteza µ1 − µ2 = d0, tada je T (X,Y) ∼ N (0, 1) pa je π(d0) = α jer je takoodabrano kriticno podrucje.

26

Ako je H1 istinita hipoteza, tada prava vrijednost d nije tocno odredena, a time nidistribucija od T (X,Y). Analizu funkcije jakosti testa u uvjetima istinitosti hipotezeH1 analiziramo uz pretpostavku da je d = d1 prava vrijednost nepoznatog parametra, pricemu je d1 > d0. Dakle, za d = d1 test-statistika T (X,Y) nema N (0, 1) distribuciju, negoX − Y − d1

σ√

n1+n2

n1n2

ima N (0, 1) distribuciju. Oznacimo s Φ(x) funkciju distribucije N (0, 1).

Time dobivamo

π(d1) = Pd

X − Y − d0

σ√

n1+n2

n1n2

≥ zα

= 1− P

X − Y − d0

σ√

n1+n2

n1n2

≤ zα

= 1− P

X − Y − d1 + d1 − d0

σ√

n1+n2

n1n2

≤ zα

= 1− P

X − Y − d1

σ√

n1+n2

n1n2

≤ zα −d1 − d0

σ√

n1+n2

n1n2

= 1− Φ

(zα −

d1 − d0

σ

√n1n2

n1 + n2

).

Vrijednost funkcije jakosti za dani d1 iznosi π(d1) = 1−Φ

(zα −

d1 − d0

σ

√n1n2

n1 + n2

).

Mozemo uociti da je π(d1) neprekidna i monotono rastuca funkcija po d1, za d1 > d0,sto znaci da najveca moguca vjerojatnost pogreske II. tipa moze biti jako velika, tj.

supd1>d0

(1− π(d1)) = 1− π(d0) = 1− α.

To znaci da, ukoliko je prava vrijednost parametra d blizu d0 vjerojatnost pogreske neodbacivanjem H0 moze biti jako velika.

Dodatne informacije o mogucem iznosu razlike ocekivanja d, koji suprotstavljamo vri-jednosti u H0, ponekad omogucuju kontrolu velicine pogreske II. tipa. Pretpostavimo dadodatne informacije omogucuju postavljanje hipoteza:

H0 : d = d0

H1 : d ≥ d1,(4.20)

pri cemu je d1 > d0.Prethodna analiza jamci da je u tom slucaju najveca moguca vjerojatnost pogreske II.

tipa

27

supd∈Θ1

(1− π(d)) = 1− π(d1).

U takvim slucajevima π(d1) mozemo iskoristiti za odredivanje velicine uzorka potrebneza postizanje zeljene snage testa.

Pretpostavimo da zeljena snaga testa iznosi γ te izrazimo razliku d1−d0 = kσ, k > 0.Kako bi odredili potrebnu velicinu uzorka postavimo π(d1) = γ te dobivamo

1− Φ

(zα −

d1 − d0

σ

√n1n2

n1 + n2

)= γ

Φ

(zα −

kσ

σ

√n1n2

n1 + n2

)= 1− γ

zα − k√

n1n2

n1 + n2

= z1−γ

k

√n1n2

n1 + n2

= zα − z1−γ.

Neka je n1 = n2 = n.

Tada najmanji k koji je potreban da se ostvari zadana snaga testa iznosi k ≥ zα − z1−γ√n2

.

Ukoliko je potrebno odrediti velicinu uzorka n iz prethodnog racuna dobiva se

n ≥ 2

(zα − z1−γ

k

)2

.

�

U Primjeru 4.3.2. bit ce odredena vjerojatnost pogreske ne odbacivanja neistinitenul-hipoteze te odredena velicina uzorka kako bi se ta vjerojatnost smanjila.

Primjer 4.3.2. Farma muznih krava zeli povecati proizvodnju mlijeka prelaskom na novnacin prehrane. U tu svrhu na slucajan nacin odabrano je 40 krava koje ce biti podvrgnutenovom nacinu prehrane te 40 krava koje ce ostati na starom nacinu prehrane. Tijekom3 tjedna za svaku kravu se mjeri dnevni prinos mlijeka.

Zabiljezeni su sljedeci prosjecni dnevni prinosi mlijeka za svaku kravus novom prehranom:

45, 52, 33, 38, 47, 56, 39, 42, 46, 52, 58, 47, 38, 32, 44, 49, 43, 52, 53, 45,

47, 52, 56, 53, 42, 37, 39, 41, 46, 56, 48, 42, 52, 51, 49, 43, 52, 39, 37, 45

sa starom prehranom:

41, 38, 42, 44, 39, 47, 37, 41, 46, 45, 43, 39, 46, 42, 46, 38, 42, 36, 46, 42,

39, 47, 49, 50, 39, 37, 28, 33, 39, 43, 39, 38, 48, 42, 48, 46, 38, 42, 47, 52.

28

Potrebno je provesti testiranje kako bi se utvrdilo je li nov nacin prehrane povecaoprinos mlijeka, uz razinu znacajnosti testa od 0.05. Kolika je u tom slucaju vjerojatnostpogreske da ne uoce razliku s novim nacinom prehrane, a ona stvarno postoji? Koliko jeukupno krava potrebno uzeti u oba uzorka, ako se zahtjeva da snaga testa iznosi 0.90 uzistu razinu znacajnosti?

Neka je X slucajna varijabla kojom modeliramo prosjecni dnevni prinos mlijeka kravahranjenih na nov nacin te Y slucajna varijabla kojom modeliramo prosjecni dnevni prinosmlijeka krava hranjenih na stari nacin. Pretpostavimo da su one normalno distribuiranes istom varijancom koja iznosi 8.63.

Postavimo hipoteze:H0 : µ1 − µ2 = 0

H1 : µ1 − µ2 = 3.85.

S obzirom da je µ1 = µ2, test-statistika poprima oblik T (X,Y) =X − Yσ

√n

2∼

N (0, 1).Provede li se testiranje u R-u dobiva se realizacija test-statistike koja iznosi 1.995101,

a nalazi se u intervalu [1.644854,∞〉.Dakle, odbacujemo nul-hipotezu na razini znacajnosti 0.05.

Kako bi se izracunala vjerojatnost pogreske da ne uoce razliku s novim nacinom pre-hrane kada ona stvarno postoji racunamo jakost testa u µ1 − µ2 = 3.85

1− Φ

(zα −

µ1 − µ2

σ

√n

2

)=

= 1− Φ

(1.64− 45.95− 42.1

8.63

√40

2

)

= 1− Φ

(1.64− 3.85

8.63

√20

)= 1− Φ (−0.3551)

= 0.6387

te dobivamo da vjerojatnost takve pogreske iznosi 1 − 0.64 = 0.36. Dakle, vjerojatnostpogreske II. tipa je 0.36. U slucaju donosenja pogresne odluke nece biti iskoristen punikapacitet proizvodnje te takva odluka u buducnosti moze rezultirati smanjenjem kon-kurentnosti. Stoga se nastoji povecati vjerojatnost donosenja dobre odluke povecanjemvelicine uzorka.

Uz zahtjev da snaga testa testa iznosi 0.90, pri istoj razini znacajnosti, uvrstavajucipodatke u odgovarajucu formulu iz Primjera 4.3.1., dobiva se da je velicina potrebnoguzorka barem

29

n ≥ 2

(zα − z1−γ

k

)2

≥ 2

(1.64− (−1.28)

0.446

)2

≥ 2 (6.547)2

≥ 85.73,

pri cemu je k izracunat iz µ1 − µ2 = kσ. Dakle, dobiva se da u svakom uzorku trebabiti po 86 krava, odnosno ukupno 172 krave, kako bi vjerojatnost pogreske ne odbacivanjanul-hipoteze kada je ona neistinita, bila 0.10.

�

30

Literatura

[1] B. Barker Bausell, Yu-Fang Li, Power Analysis for Experimental Research,Cambridge, New York, 2002.

[2] B. Basrak, Testiranje statistickih hipoteza, PMF - Matematicki odsjek, Zagreb,http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/stat/files/StatTestovi1.pdf,20.02.2014.

[3] M. Bensic, N. Suvak, Primijenjana statistika, Odjel za matematiku, Osijek, 2013.

[4] K. K. Himmelreich, K. Smoljak, Testiranje sta-tistickih hipoteza, Tekstilno-tehnoloski fakultet, Zagreb,http://www.ttf.unizg.hr/b-news/news upload files/2009/vijest 27-02-

2009 49a83133421c0/Statisticki testovi.pdf, 20.02.2014.

[5] D. C. Howell, Statistical Methods for Psychology, Duxbury, USA, 2002.

[6] R. C. Mittelhammer, Mathematical Statistics for Economics and Business,Springer-Verlag, New York, 1996.

[7] Z. Pause, Uvod u matematicku statistiku, Skolska knjiga, Zagreb, 1993.

[8] I. Pavlic, Statisticka teorija i primjena, Tehnicka knjiga, Zagreb, 1985.

[9] S. M. Ross, Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists,Elsevier, 2004.

[10] N. Sarapa, Teorija vjerojatnosti, Skolska knjiga, Zagreb, 1986.

31

Sazetak

U ovom radu pokazali smo analizu jakosti statistickog testa za odabrana testiranjahipoteza te ukazali na njezinu vaznost. Obuhvacena su testiranja hipoteza o: ocekivanjupopulacije, vjerojatnosti dogadaja te razlici populacijskih ocekivanja. Za razumijevanjeproblema analize jakosti statistickog testa dan je pregled osnovnih pojmova. Testira-nja hipoteza provedena su pomocu kriticnog podrucja. U radu je pokazano odredivanjekriticnog podrucja pomocu Neyman-Pearsonova teorema te metode kvocijenta vjerodos-tojnosti. U analizi je odreden eksplicitan oblik funkcije jakosti statistickog testa te zaodabranu razinu znacajnosti odredeno kriticno podrucje. Analizirana je vjerojatnostpogreske ostajanja pri netocnoj nul-hipotezi. Kako bi se postigla zeljena snaga testa po-trebno je odrediti odgovarajucu velicinu uzorka. Snaga testa je maksimalna vjerojatnostdobre odluke ukoliko je alternativna hipoteza istinita. Ograniceni resursi postavljajueticki prihvatljivu razinu snage testa na 0.80-0.90. Uz taj zahtjev na funkciju jakostitesta odredena je potrebna velicina uzorka. Na konkretnim primjerima nastojalo seukazati na vaznost pomnog planiranja u istrazivanju.

Kljucne rijeci: statisticki test, nul-hipoteza, alternativna hipoteza, kriticno podrucje,Neyman-Pearsonov teorem, funkcija jakosti statistickog testa.

Statistical power analysis and summary

In this paper, we introduced the analysis of the power of the statistical test forselected hypothesis testing, and we pointed out its importance. The following hypothesistesting were included: hypothesis about the population mean, hypothesis about thepopulation proportion and hypothesis about the difference in two population means.For understanding the problem of analyzing the power of statistical test a review of thebasic concepts was given. Hypothesis testing was conducted using critical region. Inthis paper critical region was determined with Neyman-Pearson theorem and likelihoodratio test. In the analysis the explicit form of the power function of the statistical testwas determined, and for the chosen significance level critical region was defined. Weanalyzed the probability of failing to reject the false null hypothesis. In order to achievethe desired statistical power it is necessary to determine sample size. Statistical poweris the maximum probability of making the correct decision if the alternative hypothesisis true. Limited resources determine ethically acceptable level of statistical power at0.80-0.90. With this specific request necessary sample size was determined. Concreteexamples were used to point out the importance of careful planning in research.

Key words: statistical test, null hypothesis, alternative hypothesis, critical region,Neyman-Pearson theorem, power function of the statistical test.

32

Zivotopis

Rodena sam 31. svibnja 1989. godine u Nasicama. U razdoblju od 1996. godine do2004. godine pohadala sam Osnovnu skolu Dore Pejacevic u Nasicama. Ondje samzavrsila svih osam razreda s odlicnim uspjehom. Godine 2004. upisala sam Srednjuskolu Isidora Krsnjavoga u Nasicama, zanimanje ekonomist, i maturirala 2008. godine sodlicnim uspjehom. Iste godine upisala sam Preddiplomski studij matematike na Odjeluza matematiku u Osijeku. Zavrsila sam ga u roku te stekla naziv prvostupnice mate-matike. Godine 2011. upisala sam Diplomski studij Financijske i poslovne matematikena istom fakultetu i trenutno sam apsolventica tog studija. Godine 2013. odobreno mije polaganje razlike ispita za dovrsenje Sveucilisnog nastavnickog studija matematike iinformatike na istom fakultetu. Razlika ispita uspjesno je polozena u 2013./2014. aka-demskoj godini. Tijekom treceg i cetvrog razreda srednje skole primala sam stipendijuna temelju uspjeha i brojnih aktivnosti. Tijekom studija, primala sam stipendiju dvijegodine na temelju uspjeha.

33