analiza dhe modelimi i sistemeve transportuese

UNIVERSITETI I PRISHTINËS "HASAN PRISHTINA"

FAKULTETI I INXHINIERISË MEKANIKE

DEPARTAMENTI KOMUNIKACION

Studimet -MASTER

PUNIM SEMINARIK

Lënda:

ANALIZA DHE MODELIMI I SISTEMEVE TRANSPORTUESE

Tema:

RRUGËT MË TË SHKURTRA NË GRAF

Profesori: Studenti:

Akademiku Fejzullah KRASNIQI Bsc. Ermal SYLEJMANI

Mr. sc. Ramadan DURAKU ID: 151041

Prishtinë, 2014


SEMINAR: RRUGËT MË TË SHKURTRA NË GRAF 2014

Studenti: Bsc. Ermal SYLEJMANI Akademiku Fejzullah KRASNIQI Faqe 2 ID: 151041 Mr. sc. Ramadan DURAKU

Contents 1. HYRJE ..................................................................................................................................... 3

1.1 Kompania .............................................................................................................................. 3

2. DEFINIMI I PROBLEMIT ................................................................................................... 11

2.1. RRUGËT MË TË SHKURTRA NË GRAF ..................................................................... 12

3. GJETJA E DISTANCAVE MINIMALE NGA NJE KULM I FIKSUAR NE KULMET E

TJERE TE GRAFIT (ALGORITMI I BELLMAN-KALLABA) ................................................ 15

4. ALGORITMI ROY-FLOYD .................................................................................................... 22

5. PËRFUNDIMI ....................................................................................................................... 29

6. LITERATURA ...................................................................................................................... 31




1. HYRJE

Me qellim të përmbushjes së obligimeve ndaj lëndës Analiza dhe modelimi i sistemeve

transportuese me Profesor Akademiku Fejzullah KRASNIQI dhe asistent Mr.sc. Ramadan

DURAKU kam përzgjedhur si detyrë gjetja e rrugëve më të shkurtra ne graf. Për gjetjen e

rrugëve me të shkurtra në graf do të përdori metodat të cilat kanë qene në planprogram gjatë

ligjëratave dhe ushtrimeve në këtë lëndë. Në vazhdim do të jep disa të dhëna hyrëse lidhur me

kompaninë e përzgjedhur.

1.1 Kompania

Kompaninë të cilën e kam përzgjedhur është Xh Company e cila merret me prodhimin e thasëve

prej letrës. Kompania gjendet ne fshatin XY të komunës së Ferizajt. Deri më tani është kompania

e vetme në Ferizaj e cila merret me këtë veprimtari, në të cilën janë të punësuar 8 punëtor.

XH Company ka shpërndarje të prodhimit pothuajse në gjithë territorin e Kosovës e cila ka një

prodhimtari vjetore prej mbi 4.000.0000 thasë.

Posedon makineri e cila i plotëson kërkesat për tregun në Kosovë, ka një kapacitet të prodhimit

prej 20.000 thasëve në ditë.

Kërkesat për këto prodhime janë të shumta si nga ndërmarrjet bujqësore ashtu edhe nga ato

ndërtimore. Xh Company është në funksion pothuaj së gjatë tërë vitit kalendarik.

Si lëndë për prodhim shfrytëzohet letra e bardhe e cila importohet nga Spanja dhe letra e kaftë

nga Bosnja.

Lënda e parë për prodhim e cila importohet nga Bosnja transportohet me mjet te transportit

rrugorë, kurse nga Spanja me transport të kombinuar ujor-rrugorë.

Mjetin transportues të cilën e ka në shfrytëzim kompania është një kombi i tipit Sprinter, në të

cilën mund të ngarkohen tri paleta. Në një paletë mund të vendosen rreth 5000 thasë.




Fig. 1.1. Pozita e Kompanisë përmes google.maps

Pikat e shpërndarjes në Kosovë

Fig. 1. 2.




Letra e bardh e importuar nga Spanja

Fig. 1. 3.

Letra e kaft e importuar nga Bosnja

Fig. 1. 4.




Mjeti transportues qe shfrytëzon kompania

Fig. 1. 5. Kombi i tipit Sprinter

Dimensionet gabarite të mjetit transportues Sprinter

Fig. 1. 6.




Paletat të cilat shfrytëzohen

Fig. 1. 7.

Disa pamje nga procesi i punës në kompani

Fig. 1. 8. a.




Fig. 1. 8. b. Thesi prej letrës

1.9.Vendosja e thasëve në paletë




Thasët e letrës në paket të vendosura në paletë, përmes programit “quick pallet maker”

Fig. 1. 10. Të dhënat lidhur me paketën

Europaletet të paraqitura përmes programit “ quick pallet maker” me dimensione (ne mm)

Fig. 1. 11. Chep 1200x1000x145 Fig. 1. 12. Europallet 1200x800x145




Vendosja e paketave në paletë, përmes programit “quick pallet maker”

Fig. 1.13.

Fig. 1. 14. Mënyra tjetër e vendosjes së paketave në paletë




2. DEFINIMI I PROBLEMIT

Xh Compani është kompani e cila prodhimin e saj e shpërndan në tërë territorin e Kosovës,

sipas kërkesave nga ana e konsumatoreve.

Në muajin Qershor në Xh Company kanë ardhur 4 kërkesa për thasë të letrës të dedikuar për

material ndërtimor nga konsumatoret e qyteteve të ndryshme të Kosovës. Konsumatoret janë

nga Qyteti i Prishtinës, Malishevës, Mitrovicës dhe Pejës. Secili konsumator kërkon nga

15.000 thasë në periudhë kohorë të paraparë më kontratë brenda 10 diteve. Nga eksperti i

komunikacionit të kompanisë kërkohet qe të gjenden rrugët më të shkurtra prej Ferizajt në

gjithë qytetet nga të cilët janë ardhur kërkesat.

Fig. 2. 1. Kërkesat nga konsumatoret




2.1. RRUGËT MË TË SHKURTRA NË GRAF

Eksperti i komunikacionit të kompanisë Xh do të përdor dy mënyra të algoritmeve për gjetjen

e rrugëve më të shkurtra:

1) Algoritmi Bellman – Kallaba,

2) Algoritmi Roy – Floyd,

Paraqitja skematike e grafit

Fig. 2. 2. Grafi




Definimi i kulmeve dhe rrugëve në graf

Fig. 2. 3.

Paraqitja e distancave në graf

Fig. 2. 4.




Paraqitja e qyteteve të konsumatorëve përmes google.maps

Fig. 2. 5.




3. GJETJA E DISTANCAVE MINIMALE NGA NJE KULM I FIKSUAR

NE KULMET E TJERE TE GRAFIT (ALGORITMI I BELLMAN-

KALLABA)

Algoritmi i Bellman-Kallaba në mundëson gjetjen e distancave minimale prej një kulmi të

fiksuar në kulmet e tjerë të grafit, në rastin tonë gjetja e distancave minimale prej Ferizajt në

qytetet e konsumatorëve.

Fig. 3. 1. Grafi




Hapi i parë i algoritmit Bellman-Kallaba është formimi i distancave direkte A të grafit

(

)

Vendosim në të djathtë të matricës A në formën e një shtylle elementet e rreshtit të parë të kësaj

matrice.

(

)

Me ndihmën e kësaj shtylle dhe matricës A formojmë një shtyllë të dytë, kurse me ndihmën e

shtyllës së dytë të formuar jashtë matricës A e formojmë shtyllën e tretë e kështu më radhë deri sa të

formohen dy shtylla me elemente të njëjta të një pas njëshme. Në momentin kur janë formuar dy

shtylla me elemente te njëjta të një pas njëshme atëherë në ato shtylla janë distancat minimale prej

kulmit të fiksuar në kulmet tjera dhe me këtë rast detyra përfundon.

I

(

)

Nga Formula:

{ }

Elementet e shtyllës së parë:

{ }

{ }

{ }

{ }




{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

Elementet e shtyllës së dytë:

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

I II

(

)

Pasi që janë përsëritur dy shtylla me elemente të njëjta të një pas njëshme, kemi fituar distancat

minimale prej kulmit të fiksuar në kulmet tjera:




Rruga më e shkurtër në graf nga Ferizaj(Kulmi i fiksuar) në Malishevë:

Fig. 3. 2. Ferizaj- Malishevë

Fig. 3. 2. a.




Rruga më e shkurtër në graf nga Ferizaj(Kulmi i fiksuar) në Prishtinë:

Fig. 3. 3. a. Ferizaj-Prishtinë

Fig. 3. 3. b.




Rruga më e shkurtër në graf nga Ferizaj(Kulmi i fiksuar) në Pejë:

Fig. 3. 4. a. Ferizaj-Pejë

Fig. 3. 4. b.




Rruga më e shkurtër në graf nga Ferizaj (Kulmi i fiksuar) në Mitrovicë:

Fig. 3. 5. a. Ferizaj- Mitrovicë

Fig. 3. 5. b.




4. ALGORITMI ROY-FLOYD

Metodën e dytë të cilën do të përdor eksperti i Komunikacionit të kompanisë Xh për gjetjen e

rrugëve minimale në graf është Algoritmi Roy-Floyd-it. Me algoritmin Roy-Floyd mund të

gjejmë të gjithë elementet e matricës M, kjo do të thotë së përmes matricës M mund të gjenden

rrugët më të shkurtra në graf prej cilit do kulm. Është metodë më e modifikuar së Algoritmi i

Bellman Kallaba ku kem pas mundësi gjetjen e rrugës më të shkurtër prej një kulmi të fiksuar në

kulmet tjera, kurse të kjo metodë nuk është e nevojshme të caktohet kulmi i fiksuar. Nuk do të

thotë se duhet të përdoret vetëm metoda e Roy-Floyd-it, por varësisht prej nevojës apo kërkesës

përdoret metoda e cila është më e përshtatshme për kërkesën.

Fig. 4. 1. Grafi

Formojmë matricën e distancave direkte:

(

)




Nga matrica A gjejmë matricen :

(

)

Nga formula { } gjejmë matricën :

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

Matrica e formuar :

(

)




Nga matrica gjejmë matricën :

(

)


{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

(

)





(

)


{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

(

)





(

)

Nga formula { } gjejmw matricën :

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

(

)





(

)

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

{ } { }

(

)

Në matricën e cila është edhe matrica “M” e kërkuar janë paraqitur distancat më të shkurtra

prej cilindo kulm në cilin do kulm tjetër të grafit.




Disa shembuj të distancave minimale prej një kulmi në një kulm tjetër të grafit:

Distanca minimale nga Ferizaj në Mitrovicë:

Fig. 4 .1. Ferizaj-Mitrovicë

Algoritmi Roy-Floyd-it në mundëson gjetjen e distancave minimale prej një çfarëdo kulmi në një

kulm tjetër të grafit.

Distanca minimale nga Prishtina në Pejë

Fig. 4. 2. Prishtinë-Pejë




5. PËRFUNDIMI

Eksperti i Komunikacionit të Xh Company duke zbatuar dy metoda për gjetjen e distancave

minimale në graf ka ardhur në përfundim se:

Distanca minimale nga Ferizaj në Malishevë është ,

Distanca minimale nga Ferizaj në Prishtinë është ,

Distanca minimale nga Ferizaj në Pejë është ,

Distanca minimale nga Ferizaj në Mitrovicë është .

Fig. 5 .1. Distancat minimale prej një kulmi të fiksuar në kulmet tjera të Grafit




Dy algoritmet e përdorura kanë dhenë rezultate të njëjta të distancave minimale nga Ferizaj në

qytetet e konsumatoreve.

Duke pasur parasysh se detyra ne rastin tonë ka qenë gjetja e distancave minimale prej një

kulmi të fiksuar në kulmet tjera të grafit, përkatësisht gjetja e distancave minimale nga Ferizaj

në qytetet e konsumatoreve, metoda me adekuate do të ishte metoda e Algoritmit Bellman

Kallaba.




6. LITERATURA

[1] Akademiku Fejzullah KRASNIQI: “Analiza dhe modelimi i sistemeve transportuese”,

[2] Mr. sc. Ramadan DURAKU: “Rrugët më të shkurtra në graf”, pjesa nga ushtrimet,

[3] Shpëtim SHEHU: “ Kërkimet Operacionale”, Tiranë, 2004.

analiza dhe modelimi i sistemeve transportuese

Engineering