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  • BENEDICTO XVI

    F S I C A I

    ANLISIS VECTORIAL Autor: Lic. Fs. Anbal Ascate Prez Trujillo-2014

    1

  • Anlisis Vectorial

    2 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    INTRODUCCIN

    MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES Cunto vale una camisa? Qu grosor tiene un cristal? Cul es la altura de un

    nio? Qu capacidad tiene una jarra? Todas estas preguntas tienen por respuesta un nmero y una unidad de medida. Sin embargo, si hablamos del viento no basta con una cantidad que

    exprese su intensidad, necesitamos su direccin y su sentido. Estamos ante dos tipos de magnitudes: Las magnitudes escalares, son aquellas que quedan completamente determinadas

    mediante el conocimiento de su valor expresado mediante una cantidad (un nmero real) seguida de una unidad . As, por ejemplo, si decimos que la masa de un objeto es 3kg, hemos aportado toda la informacin necesaria.

    Las magnitudes vectoriales, son aqullas que no quedan completamente determinadas por su valor (cantidad y unidad), sino que requieren adems el conocimiento de la direccin y el sentido de su actuacin y su punto de aplicacin. As, al decir que sobre un objeto se aplica una fuerza de 3N, no poseemos toda la informacin, ya que habr que indicar hacia dnde se dirige dicha fuerza.

  • VECTOR: Es un segmento de lnea recta orientado que sirve para

    representar a las magnitudes vectoriales. ELEMENTOS DE UN VECTOR:

    Anlisis Vectorial

    3 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    VECTORES

  • VECTORES COLINEALES : Son aquellos vectores que estn contenidos en una misma lnea de accin. VECTORES CONCURRENTES: Son aquellos vectores cuyas lneas de accin se cortan en un punto

    VECTORES COPLANARES: Son aquellos vectores que estn contenidos en un mismo plano.

    Anlisis Vectorial

    4 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    TIPOS DE VECTORES

  • VECTORES IGUALES:Son aquellos vectores que tienen la misma magnitud, direccin y sentido. VECTORES PARALELOS:Son aquellos que tienen su lnea de accin paralelas. VECTOR OPUESTO: Se llama vector opuesto de un vector cuando tiene el mismo mdulo, la misma direccin; pero de sentido contrario

    Anlisis Vectorial

    5 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    A

    A

  • VECTORES EQUIPOLENTES:Dos o ms vectores son equipolentes cuando las magnitudes fsicas que representan tienen el mismo valor y producen los mismos efectos. En general, para que dos o ms vectores sean equipolentes no basta que tengan el mismo mdulo, direccin y sentido.

    Las condiciones de equipolencia, ms o menos restrictivas, permiten clasificar las magnitudes vectoriales en tres clases o categoras. - Vectores libres: En esta categora o clase, dos o ms vectores son equipolentes si tienen el mismo mdulo, la misma direccin y el mismo sentido, aunque sus rectas de accin (directrices) sean diferentes. De este modo, en la figura que se adjunta son equipolentes los vectores: A = B = C= D = E Ejemplos de vectores libres: la velocidad y la aceleracin de una partcula, el momento de un par, etc

    Anlisis Vectorial

    6 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

  • - Vectores deslizantes: Las condiciones de equipolencia imponen que los vectores tengan el mismo mdulo y que acten en un mismo sentido sobre una misma recta de accin (recta directriz), siendo indiferente el punto de la recta en que estn aplicados. Reciben esta denominacin porque los vectores pueden deslizar a lo largo de su recta de accin sin cambiar los efectos asociados a la magnitud fsica que representan. As, en la figura anterior, tan slo son equipolentes los vectores: C = D Ejemplos de vectores deslizantes: las fuerzas que actan sobre un slido rgido, la velocidad angular del slido rgido, etc.

    Anlisis Vectorial

    7 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

  • -Vectores ligados: Las condiciones de equipolencia son an ms restrictivas ya que imponen que los vectores tengan el mismo mdulo, que acten en un mismo sentido sobre una misma recta de accin (recta directriz) y estn aplicados en un mismo punto. Obviamente, los vectores no pueden desplazarse paralelamente ni deslizar, por lo que est ligados a un punto. En la figura, cada uno de los vectores tan slo es equipolente consigo mismo. Ejemplos de vectores ligados: intensidad del campo gravitatorio (g), intensidad del campo elctrico (E), o, en general, de cualquier otro campo vectorial.

    Anlisis Vectorial

    8 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

  • VECTOR UNITARIO: Es un vector adimensional que tiene mdulo 1 y

    seala en cualquier direccin conveniente. Si , entonces el vector unitario viene dado por: Luego podemos construir un vector en la direccin de un vector cualquiera, dividiendo el vector entre su mdulo, as: ; Podemos afirmar que la direccin de un vector est dado por su vector unitario

    Anlisis Vectorial

    9 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    0A A=

    A

    uA

    =

    u

    A

    B

    A

    uA

    =

    B

    uB

    =

  • OPERACIONES VECTORIALES ADICIN DE VECTORES Sumar dos o ms vectores, es representarlos por uno solo llamado resultante. Este vector resultante produce los mismos efectos que todos juntos. Hay que tener en cuenta que la suma vectorial no es igual que la suma aritmtica. =

    Anlisis Vectorial

    18/03/2014 10 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    R A B C D= + + +

    R

    A B

    C

    D

  • Mtodo del Tringulo: Vlido slo para dos vectores concurrentes y

    coplanares. El mtodo es el siguiente: Se unen los dos vectores uno a continuacin del otro para luego formar un tringulo, el vector resultante se encontrar en la lnea que forma el tringulo, y su punto de aplicacin coincidir con el origen del primer vector.

    Anlisis Vectorial

    11 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    2 2 2 cosR A B A B AB = + = + +

  • Mtodo del Paralelogramo: Vlido slo para dos vectores

    concurrentes y coplanares. Para hallar la resultante se une a los vectores por el origen(deslizndolos) para luego formar un paralelogramo, el vector resultante se encontrar en una de las diagonales y su punto de aplicacin coincidir con el origen comn de los dos vectores.

    Si

    Anlisis Vectorial

    12 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    2 2 2 cosR A B A B AB = + = + +

    0 =mxR A B= +

    90 =

    mnR A B=

    2 2R A B= +

    180 =

  • Mtodo del Polgono: Vlido slo para dos o ms vectores

    concurrentes y coplanares. El mtodo es el siguiente: Se unen los vectores uno a continuacin del otro para luego formar un

    polgono, el vector resultante se encontrar en la lnea que forma el polgono y su punto de aplicacin coincidir con el origen del primer vector.

    Anlisis Vectorial

    13 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    R A B C D= + + +

  • SUSTRACCIN DE VECTORES Mtodo del Tringulo: En este caso se unen los dos vectores por sus

    orgenes y luego se unen sus extremos, el vector ser el vector diferencia.

    Anlisis Vectorial

    14 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    D

    A

    B

    A

    B

    D

    2 2 2 cosD A B A B AB = = +

  • Mtodo del Paralelogramo: En este caso se invierte el sentido del vector,

    el cual resultar acompaado del signo negativo, y luego se sigue el mismo procedimiento para adicin de vectores por el mtodo del paralelogramo.

    Anlisis Vectorial

    15 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    A

    B

    A

    180

    B

    D

    ( )2 2 2 cos 180D A B A B AB = = + +

    2 2 2 cosA B AB = +

  • 1. Dos vectores de 4 y unidades de magnitud forman entre ellos un

    ngulo de 135 . Determinar la magnitud de su suma y la direccin respecto al vector de menor magnitud. Rpta: , 90

    2. En la figura determinar el vector suma en funcin de 3. y son dos vectores no colineales, las operaciones vectoriales y tienen como mdulos y respectivamente y forman un ngulo de 45 . Hallar . Rpta: 4.Dados los vectores y en el plano y los vectores , y en funcin de los anteriores. ; y . Escribir en funcin lineal de y . Rpta:

    Anlisis Vectorial

    16 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    Ejercicios de Aplicacin N 1 2 2

    2 2

    C D+

    A B+

    ( )2: 23

    Rpta C D A B+ = +

    A

    B 2A B

    A B

    2 2 u 2uA

    2 2 u

    a

    b

    A

    B

    F

    3 2A a b= +

    B a b= +

    F a b=

    A

    2 5F A B=

  • A) EN EL PLANO

    Anlisis Vectorial

    17 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR

    X

    Y

    A

    xA

    yA

    ij

    x yA A A= +

    ( ) ,x y x yA i A j A A= + =cosxA A =

    yA Asen=

    cosA A i Asen j = +

    ( ) ( )cos , cos ,A Asen A sen = =

    Au=

    2 2x yA A A A= = +

  • Anlisis Vectorial

    18/03/2014 18 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    Ejercicios de Aplicacin N 1

    1.En la figura n 1, determinar las magnitudes de c y d, de tal forma que la resultante sea nula. Rpta: , 2.A partir de ; ; que se muestra en la figura n 2. Determinar . Rpta: 1

    fig n1 fig n 2

  • B) EN EL ESPACIO

    Los cosenos directores donde: , y son los ngulos directores

    Anlisis Vectorial

    19 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    x y zA A A A= + +

    ( ) , ,x y z x y zA i A j A k A A A= + + =2 2 2x y zA A A A A= = + +

    cos cos

    cos cos

    cos cos

    xx

    yy

    zz

    AA A

    AA

    A AAA

    A AA

    = = = = = =

    cos cos cosA A i A j A k = + +

    ( ) ( )cos ,Acos , cos cos ,cos ,cosA A A = =Au=

    2 2 2cos cos cos 1 + + =

    0 , , 180

  • 1.Un vector tiene magnitud 8 y forma un ngulo de 60 con el eje Y y 120 con el eje Z. Escribir su expresin vectorial. Rpta: 2. Dado el vector .Hallar a) El mdulo del vector b) Calcular el vector unitario de c) Encontrar los cosenos directores de 3. Hallar el vector resultante si:

    Anlisis Vectorial

    20 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    Ejercicios de Aplicacin N 3

    A

    4 2 4 4A i j k= + +

    4 5 6A i j k= + +

    A

    X

    Y

    Z

    D

    C

    45

    37

    6 10 16A i j k= + +

    2 2B i j=

    10 2C =

    10 2D =

    : 18 30 25Rpta R i j k= + +

  • VECTOR LOCALIZADO O VECTOR POSICIN RELATIVO DE

    DOS PUNTOS

    Anlisis Vectorial

    21 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    X

    Y

    Z

    ( )1 1 1 1, ,P x y z

    ( )2 2 2 2, ,P x y z1r

    2r

    2 1 1 2r r PP= +

    1 2 2 1PP r r=

    ( )1 2 2 1 2 1 2 1, ,PP x x y y z z=

  • 1.Calcular las componentes del vector representativo del desplazamiento del

    punto P(3;4;5) al punto Q(1;-3;0). Cul es la distancia entre estos dos puntos? Rpta: ,

    2.Las coordenadas de los vrtices de un tringulo ABC son: , .Si sobre el vrtice A acta una fuerza de , cuya direccin y

    sentido va de A hacia B y sobre el vrtice B acta una fuerza de , cuya direccin y sentido va de C a B, encontrar la resultante de las dos fuerzas. Rpta:

    Anlisis Vectorial

    22 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    Ejercicios de Aplicacin N 4

    ( )2; 7; 5PQ =

    78PQ u=

    1 1 1, ,

    2 2 2A

    ( )1,0,1B

    10, ,1

    2C 10 3 N

    5 5 N

    ( ) 10 2 1,5R i j k= +

  • Llamado tambin producto interno o producto punto. El producto escalar es una cantidad escalar o un nmero y puede ser positivo, negativo o cero. El producto escalar se utiliza para representar diferentes magnitudes fsicas como el Trabajo mecnico o el potencial elctrico

    Anlisis Vectorial

    23 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    PRODUCTO ESCALAR

    ( )( )

    0

    90 0

    180

    A B A B condicin de paralelismo

    A B condicin de perpendicularidad

    A B A B

    = =

    = =

    = =

    cosA B A B =

  • Producto escalar de vectores unitarios Producto escalar de dos vectores Propiedades

    Anlisis Vectorial

    24 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    1

    1

    1

    i i

    j j

    k k

    =

    =

    =

    0

    0

    0

    i j

    j k

    i k

    =

    =

    =

    ( ), ,x y zA A A A=

    ( ),B ,Bx y zB B=

    B Bx x y y z zA B B A A B A A= = + +

    A B B A=

    ( )A B C A B A C+ = +

    ( ) ( ) ( ) ( )m A B mA B A m B A B m= = =

    m es escalar

  • 1.Determinar el vector y su mdulo, sabiendo que los otros componentes

    son: , , adems es perpendicular con . Rpta: ; 2. Calcular la expresin vectorial de un vector unitario paralelo al plano YZ y

    que sea perpendicular al vector Rpta: 3. Dados los vectores , , determinar el valor de x

    para que el vector sea perpendicular a Rpta: x=-22 4. Los vectores y forman un ngulo de 45 y el mdulo de es 3.

    Determinar cul debe ser el mdulo de para que sea perpendicular a . Rpta:

    Anlisis Vectorial

    18/03/2014 25 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    Ejercicios de Aplicacin N 5

    A

    4xA = 12yA = A

    ( )3;0; 4B =

    4 12 3A i j k= +

    13A =

    5 4 3A i j k= +

    3 4 ,

    5 5u =

    3 2A xi j k= +

    3B i j k= +

    ( )A B

    B

    A

    B

    A

    B

    A

    3 2B =

  • Ejercicio de Aplicacin N 6 1.Encuentre la proyeccin del vector sobre el vector Rpta:

    Anlisis Vectorial

    18/03/2014 26 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    PROYECCIN ORTOGONAL DE UN VECTOR SOBRE OTRO

    O M

    B

    A

    u

    B

    A BComp A OM

    B= =

    ( )( )

    2Pr

    B

    A B Boy A OM OM u

    B= = =

    PrB

    A Boy A

    B=

    2 3A i j k= +

    2 2B i j k= + +

    1 2 2 Pr3 3 3B

    oy A i j k= + +

  • Producto Vectorial de dos Vectores

    Anlisis Vectorial

    18/03/2014 27 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    PRODUCTO VECTORIAL

    B

    A

    C

    cu

    CC A B A B u= =

    A B ABsen =

    CC A B ABsen u= =

    0 0

    90 C

    A B

    A B ABu

    = =

    = =

    x y z

    x y z

    A A i A j A k

    B B i B j B k

    = + +

    = + +

    ( ) ( ) ( )

    x y z y z z y x z z x x y y x

    x y z

    i j k

    A B A A A i A B A B j A B A B k A B A B

    B B B

    = = +

  • Producto Vectorial de Vectores Unitarios Propiedades

    Anlisis Vectorial

    28 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    A B B A =

    ( )A B C A B A C + = +

    ( ) ( ) ( ) ( )m A B mA B A mB A B m = = =

  • REA DE UN PARALELOGRAMO REA DE UN TRINGULO

    Anlisis Vectorial

    29 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    rea A B=

    1

    2rea A B=

  • 1. Dados los vectores: , . a) Hallar el rea del paralelogramo

    formado por y como lados. b)Hallar el vector unitario perpendicular a los vectores dados. Rpta: a) b)

    2. Dados los vectores y .Hallar: Rpta: 3. Hallar la expresin vectorial de un vector de magnitud 3 y perpendicular a los vectores , Rpta:

    Anlisis Vectorial

    30 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    Ejercicios de Aplicacin N 7

    A i j=

    B i j= +

    A

    B

    3 u ( )1 1; 1;13

    u =

    3 2A i j= +

    2 3B i j= + ( ) ( )A B A B+

    26k

    2A j k= + 2 2B i j k= +

    ( )2;1;2

  • TRIPLE PRODUCTO ESCALAR O MIXTO TRIPLE PRODUCTO VECTORIAL VOLUMEN DE UN PARALELEPPEDO Si tres vectores son coplanares

    Anlisis Vectorial

    31 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    PRODUCTOS TRIPLES

    ( ) ( ) ( )A B C B C A C A B = = ( )

    x y z

    x y z

    x y z

    A A A

    A B C B B B

    C C C

    =

    ( )V A B C=

    ( ) 0A B C =

    ( ) ( ) ( )A B C B A C C A B =

    ( ) ( ) ( )A B C B A C A B C =

    ABC =

  • 1. Dados los vectores , , . Calcular Rpta: 0 2. Determinar el volumen del paraleleppedo que tiene como aristas a , , Rpta:

    Anlisis Vectorial

    32 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    Ejercicios de Aplicacin N 8

    2A i j= +

    3 4B i j= +

    2 3C i j= +

    ( )A B C

    8 3A i j k= + + 2B i k= +

    2 5C i j= +

    335 8 2V u=

  • OPERADOR NABLA GRADIENTE

    Anlisis Vectorial

    33 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

  • DIVERGENCIA

    Anlisis Vectorial

    34 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

  • ROTACIONAL

    Anlisis Vectorial

    35 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

  • 1. Rpta:

    2. Rpta: 7 3.

    Rpta:

    Anlisis Vectorial

    36 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    EJERCICIOS DE APLICACIN N 9

  • Anlisis Vectorial

    37 Lic. Fs. Anbal Ascate Prez

    DIFERENCIACIN VECTORIAL

  • Nmero de diapositiva 1Anlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialAnlisis VectorialNmero de diapositiva 38