analisis sismico de edificios-roberto aguiar falconi

ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS

UNSCH INGENIERÍA CIVIL INGENIERÍA ANTISISMICA

ROBERTO AGUIAR FALCONI


1a EDICIÓN

Dr. Ing. Roberto Aguiar Falconí

Director del Centro de Investigaciones Científicas

Escuela Politécnica del Ejército Quito - Ecuador



ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS, PRIMERA EDICIÓN Copyright ® 2008 El autor Edita: Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército. Av. Gral Rumiñahui s/n Valle de los Chillos, Ecuador Registro de Autor: 018400 ISBN-13: ISBN-978-9978-30-104-3 Abril de 2008



A la memoria de mi querido hermano Humberto Aguiar Falconí



PRESENTACIÓN

El 4 de agosto de 1998 un sismo de magnitud 1.7=SM , registrado frente a las costas de Bahía de Caráquez y con una profundidad focal de 37 km., causó el colapso del edificio Calipso de 6 pisos y dejó tres edificios más muy cerca del fallo, que posterior al sismo fueron derrocados por sus propietarios, estos son: edificio Karina de 4 pisos; edificio los Corales de 5 pisos y el edificio del Cuerpo de Bomberos. Los tres primeros edificios fueron construidos, máximo 10 años antes del sismo, de tal manera que se trataba de estructuras modernas y que fueron diseñadas de acuerdo a las normativas sísmicas vigentes en los años noventa del siglo pasado.

Otros edificios, como el Hospital Miguel H. Alcívar, el Hotel Italia, el edificio Mendoza,

donde funcionaba una extensión de la Universidad Eloy Alfaro de Manta, tuvieron gran daño. Diez años después se aprecia que los dos primeros edificios han sido reforzados no así el tercero que está en venta.

Lo cierto es que el sismo del 4 de agosto de 1998, puso en evidencia la necesidad de

seguir estudiando e investigando sobre como tener estructuras más seguras en el Ecuador, ante la acción de los terremotos, ya que los edificios modernos de hormigón armado de Bahía de Caráquez, en forma general no tuvieron un desempeño satisfactorio. El sismo de diseño, prescrito en el Código Ecuatoriano de la Construcción es más fuerte que el sismo del 4 de agosto de 1998 y ante el sismo de diseño del Código no puede colapsar ninguna estructura, se admite daño estructural pero no colapso.

Esta introducción es necesario realizarla ya que este libro se publica a los 10 años

del sismo y quien escribe este texto todavía tiene presente las pérdidas dejadas en la hermosa ciudad de Bahía de Caráquez y desea que esto no vuelva a suceder. Para ello se ha escrito esta obra que trata sobre el análisis sísmico de estructuras y para facilitar su aprendizaje, en cada capítulo se incorporan dos o tres programas de computación en MATLAB con dos objetivos que son: el primero, que el lector pueda seguir con detalle el proceso de cálculo y el segundo, que tenga una herramienta que le facilite el trabajo profesional.

En el 2005, los primeros capítulos de este libro, con sus respectivos programas fueron

entregados por el autor a sus estudiantes y paralelamente se estaba realizando el proyecto de investigación denominado: “Factor de reducción de las fuerzas sísmicas en edificios de hormigón armado”, los resultados que se obtenían en el proyecto se fueron incorporando al libro y a los programas, es así como en las primeras versiones de los programas se utilizaba la propuesta realizada por Aguiar y González para el cálculo del factor de reducción de las fuerzas sísmicas por ductilidad, conforme la investigación avanzaba y se obtenían mejores resultados se fueron presentando nuevas versiones de los programas. Por este motivo es que varios programas terminan con la palabra new.



Al igual que todos mis libros, existe un componente de investigación, el mismo que ha sido desarrollado por los estudiantes a quienes he dirigido su tesis de grado ya sea a nivel de pregrado o de post grado. Para el proyecto: “Factor de reducción de las fuerzas sísmicas en edificios de hormigón armado”, se realizaron 8 tesis de grado, las mismas que están indicadas en el respectivo libro publicado en el 2007. A más de esos trabajos, para el presente libro fue muy importante el aporte que se obtuvo con el desarrollo de las siguientes tesis.

• Campos P., (2006), Análisis del Método de Superposición Modal, Tesis para obtener el

título de Ingeniero Civil. Escuela Politécnica del Ejército.

• Jiménez M., (2007), Análisis experimental de un disipador de energía visco elástico. Tesis para obtener el título de Ingeniero Civil. Escuela Politécnica del Ejército.

• Zevallos M., (2008), Software para el análisis sísmico de estructuras con disipadores

visco elásticos, utilizando espectro o acelerograma, Tesis para obtener el título de Master en Ciencias. Universidad Técnica de Manabí.

• Hinostroza M., (2008), Análisis sísmico de estructuras con disipadores visco elásticos.

Tesis para obtener el título de Master en Ciencias. Universidad Técnica de Manabí.

• Cevallos J., (2008), Análisis sísmico de estructuras con aisladores de base elastoméricos. Tesis para obtener el título de Master en Ciencias. Universidad Técnica de Manabí.

• Cevallos L., (2008), Comparación entre el análisis estático y dinámico de estructuras

con disipadores de energía visco elásticos. Tesis para obtener el título de Master en Ciencias. Universidad Técnica de Manabí.

• Carrillo C., (2008), Comparación de la respuesta sísmica incorporando y desacoplando

la mampostería y técnicas de reforzamiento, Tesis para obtener el título de Ingeniero Civil. Escuela Politécnica del Ejército.

A los diez años del sismo de Bahía de Caráquez de 1998, se está construyendo el puente sobre el estuario del río Chone que une las ciudades de Bahía de Caráquez con San Vicente, puente de 1980 m., de longitud, con aisladores de base. De tal manera que ya se inicia en el Ecuador la construcción de estructuras con sistemas de control, por este motivo es que los dos últimos capítulos del libro están dedicados al análisis sísmico de estructuras con aisladores de base elastoméricos y con disipadores de energía visco elásticos, respectivamente.

En el tema de aisladores de base elastoméricos, el autor del libro, viene trabajando

desde el 2006 en esta temática con el Profesor Peter Dechent de la Universidad de Concepción de Chile y con el Profesor José Luis Almazán de la Pontificia Universidad Católica de Santiago de Chile desde el 2007, de tal manera que lo que se expone en dicho capítulo tiene como referencias a contribuciones científicas realizadas en Chile. De igual forma, en disipadores de energía visco elásticos, el autor ha trabajado con la Profesora María Ofelia Moroni, de la Universidad Nacional de Chile.

No podría terminar la presentación del libro, sin mencionar la valiosa información sobre

la determinación de los centros de rigidez, de cortante y de torsión, suministrada por el Profesor Francisco Crisafulli, de la Universidad Nacional del Cuyo, Argentina, al igual que la que consta en su tesis doctoral sobre mampostería, que ha sido muy útil para la redacción del capítulo en que se incorpora la mampostería al análisis sísmico.

La información científica que aparece día a día es tan grande, que hace difícil saber

cuando se termina de escribir un libro pero uno tiene que saber decir, hasta aquí va el libro a sabiendas que se quedan importantes temas sin ser tratados. Esto lo he vivido algunas veces y



me queda el compromiso de que en un futuro libro, tratar con detenimiento los temas de: simultaneidad de las acciones sísmicas, de la determinación del centro de resistencia, del análisis sísmico de estructuras con piso flexible, entre otros.

Por último pero en primer lugar, mi agradecimiento a Dios por que constantemente

siento su presencia y su misericordia, sin su ayuda se que no podría pasar de la primera línea pero con su ayuda todo se puede. De igual manera a las autoridades de la ESPE y en especial al Crnl. de E.M.C. Carlos Rodríguez Arrieta, Vicerrector Académico, por el estímulo y apoyo permanente que recibo. Finalmente, a mi querida y adorada familia por permitirme aportar al desarrollo de la Ingeniería Estructural, con este nuevo libro.

Dr. Ing. Roberto Aguiar Falconí Director del Centro de Investigaciones Científicas

Escuela Politécnica del Ejército

1 de Abril de 2008



i

ÍNDICE GENERAL

1 PELIGROSIDAD SÍSMICA

RESUMEN …………………………………………………………………………….... …...... 1

1.1 ORIGEN DE LOS SISMOS …………………………………….....………………….... 1

1.1.1 Deriva Continental………………………………………………………….. 2

1.1.2 Composición de la Tierra …………………………………………………. 3

1.1.3 Placas Tectónicas …………………………………………………………. 4

1.1.4 Cinturón Circunpacífico ……………………………………………………. 5

1.2 SISMICIDAD DEL ECUADOR ……………………………………………………….… 6

1.3 PELIGROSIDAD SÍSMICA ……………………………………………………………. 7

1.3.1 Etapas de cálculo …………………………………………………………. 9

1.3.2 Relación de recurrencia ………………………………………………….. 10

1.3.3 Magnitud Máxima …………………………………………………………. 12

1.3.4 Leyes de atenuación …………………………………………………… 14

1.3.5 Metodología de evaluación ……………………………………………... 15

1.4 ZONIFICACIÓN SÍSMICA DEL CEC-2000 …………………………………………. 17

1.5 FILOSOFÍA DE DISEÑO TRADICIONAL …………………………………...…….… 19

1.6 SISMOS DE ANÁLISIS DE ACUERDO A VISION 2000………..………………….. 20

1.7 ACTIVIDAD DEL VOLCÁN TUNGURAHUA …………..………………………….…. 22

REFERENCIAS ……………………………………………………………………………….22

2 ESPECTROS DE DISEÑO Y FACTOR DE REDUCCIÓN DE LAS

FUERZAS SÍSMICAS

RESUMEN …………………………………………………………………………......…..... 25



ii

2.1 INTRODUCCIÓN …………………………………...………………………………….. 26

2.1.1 Espectros de respuesta ………………………………………………… 26

2.1.2 Espectros de diseño …………………………………………………….. 28

2.2 ESPECTRO ELÁSTICO DEL CEC-2000 ……………….............………………….. 29

2.3 ESPECTROS POR DESEMPEÑO …………………………………………………... 31

2.4 ESPECTRO INELÁSTICO ……..………………………………………………….….. 33

2.5 IRREGULARIDADES EN PLANTA ………………………………..…………………. 34

2.6 IRREGULARIDADES EN ELEVACIÓN ……………………………..………………. 37

2.7 FACTOR R EN VARIOS PAÍSES LATINOAMERICANOS……………………..… 40

2.7.1 Factor del Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 …… 41 R

2.7.2 Factor de la Norma de Colombia NSR-98 ………………………….. 42 R

2.7.3 Factor de la Norma Venezolana COVENIN 1756-98 ……………… 43 R

2.7.4 Factor de la Norma de Chile Ch 433-96 ……………………………. 43 R

2.7.5 Factor de la Normad de Perú E.030 ………………………………… 43 R

2.7.6 Comparación de los factores ………………………………………… 44 R

2.7.7 Necesidad de Investigación Local ………………………………………. 44

2.8 CUANTIFICACIÓN DEL FACTOR ………………………………………………. 45 R

2.9 FACTOR DE REDUCCIÓN POR DUCTILIDAD …………………………….. 46 µR

2.9.1 Aguiar y Guerrero (2006) …………………………………………………. 47

2.9.2 Aguiar y González (2006) ………………………………………………… 48

2.9.3 Aguiar, Romo y Aragón (2007) …………………………………………… 49

2.10 FACTOR DE SOBRE RESISTENCIA …………………………………………. 52 ΩR

2.10.1 Aguiar, Guadalupe y Mora (2007) ………………………………………. 53

2.10.2 Aguiar y Guaiña (2008) ………………………………………………….. 55

2.11 FACTOR DE REDUNDANCIA …………………………………………………. 56 RR

2.11.1 Recomendación del ATC-19 (1995) ……………………………………. 57

2.11.2 Metodología de Tsopelas y Husain (2004) ……………………………. 57

2.11.3 Aguiar, Guaiña y Bernal (2008) ………………………………………… 59

2.12 PROPUESTA DEL FACTOR …………………………………………………… 60 R



iii

REFERENCIAS ……………………………………………………………………………. 62

3 MATRIZ DE RIGIDEZ: LATERAL Y EN COORDENADAS DE PISO

RESUMEN …………………………………………………………………………......…..... 65

3.1 INTRODUCCIÓN ….………………………………...……………………………….... 66

3.2 RELACIÓN ENTRE COORDENADAS DE PISO Y DE PÓRTICO ……………..… 67

3.3 MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS DE PISO ……………………………. 70

3.4 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL PARA PÓRTICOS SIN MUROS…………...…… 72

3.4.1 Matrices de rigidez de los elementos ………………………………..… 73

3.4.2 Ensamblaje de la matriz de rigidez …………………………………….. 74

3.4.3 Condensación Estática …………………………………………………… 76

3.5 PROGRAMA RLAXINFI …………………………………………………………..…… 77

3.6 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL PARA PÓRTICOS CON MUROS .…………… 80

3.7 PROGRAMA RLAXINFIMURO……………………………………………………...... 83

3.8 INCORPORACIÓN DE LA MAMPOSTERÍA …………………………………...…… 88

3.8.1 Modelo de Holmes (1961) ……………………………………………….... 89

3.8.2 Modelo de Mainstone (1971) …………………………………………….. 90

3.8.3 Modelo de Bazán y Meli (1980) ………………………………………….. 90

3.8.4 Modelo de Hendry (1981) …………………………………………………. 91

3.8.5 Modelo de Liauw y Kwan (1984) …………………………………………. 91

3.8.6 Modelo de Decanini y Fantin (1986) ……………………………………… 91

3.8.7 Modelo de Paulay y Priestley (1992) …………………………………….. 92

3.8.8 Modelo de FEMA (1997) …………………………………………………… 93

3.8.9 Modelo de Crisafulli (1997) ………………………………………………….94

3.9 MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO MAMPOSTERÍA ..................................... 95

3.10 PROGRAMA RLAXINFIMAMPOSTERIA ............................................................ 99

3.11 LECCIONES DEJADAS POR SIMO DE PERÚ DE 2007 ……………………….. 102

REFERENCIAS ………………………………………………………………………..…. 104



iv

4 MÉTODO ESTÁTICO Y TORSIÓN ESTÁTICA

RESUMEN …………………………………………………………………………......…....105

4.1 PERÍODO DE VIBRACIÓN EN ESTRUCTURAS SIN MUROS…………..............106

4.1.1 Trabajo de Goel y Chopra (1997) ………………………………………107

4.1.2 Trabajo de Aguiar et al (2006) …………………………………………..108

4.2 CORTANTE BASAL MÍNIMO………………………………………………………….110

4.3 MÉTODO ESTÁTICO …………………………………………………………………..112

4.4 PROGRAMA ANALISISESTATICONEW ……………………………………………112

4.4.1 Listado del programa ANALISISESTATICONEW ………………………116

4.4.2 Uso del programa ANALISISESTATICONEW…………………………...118

4.5 EXCENTRICIDAD ESTÁTICA ……………………………………………………….119

4.6 EXCENTRICIDAD DE DISEÑO ……………………………………………………….120

4.7 EXCENTRICIDAD ESTÁTICA EN ALGUNAS NORMATIVAS …………………….120

4.7.1 Normativas de Venezuela …………………………………………………121

4.7.2 Normativas Americanas ……………………………………………………123

4.7.3 Código Ecuatoriano de la Construcción ………………………………….124

4.8 ANÁLISIS CON DOS GDL POR PLANTA …………………………………………..124

4.9 PROGRAMA ANALISESTATICO2GDL………………………………………………130

4.9.1 Programa ANALISISESTATICO2GDL……………………………………131

4.10 SISMO DE CARIACO ………………………………………………………………..134

REFERENCIAS …………………………………………………………………………..….136

5 ANÁLISIS MODAL PLANO

RESUMEN …………………………………………………………………………......…....137

5.1 MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL …………………………………….........138

5.1.1 Desplazamientos máximos modales ……………………………………..139

5.1.2 Fuerzas máximas modales ………………………………………………..140

5.2 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO …………………………………………………... 141



v

5.3 CRITERIOS DE COMBINACIÓN MODAL………………….……………………….. 143

5.4 CONTROL DEL CORTANTE BASAL MÍNIMO…………………………………….. 152

5.5 CONTROL DE LA DERIVA DE LOS PÓRTICOS…..……………………………….153

5.6 CONTROL DEL EFECTO ∆−P ……………………………………………………..155

5.7 PROGRAMA MODALPLANONEW …………………………………………………..156

REFERENCIAS …………………………………………………………………………..….163

6 ANÁLISIS SÍSMICO ESPACIAL POR EL

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL

RESUMEN …………………………………………………………………………......…....165

6.1 INTRODUCCIÓN ...………………………………...………………………………......165

6.2 MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS DE PISO …………………………….166

6.3 MATRIZ DE MASAS …………………….……...…………………………………….. 167

6.4 PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS……………………………………………………..168

6.5 PROGRAMA MODALESPACIAL3GDLNEW………………………………………...179

6.6 EFECTO

………………………………………………………………………….189 ∆−p

6.7 TORSIÓN ACCIDENTAL ………………………………………………………………192

REFERENCIAS …………………………………………………………………………..… 193

7 TORSIÓN EN EDIFICIOS

RESUMEN …………………………………………………………………………......…... 195

7.1 EDIFICIOS ABIERTOS …….………...………………………………........................195

7.2 CENTRO DE RIGIDEZ EN UNA ESTRUCTURA DE UN PISO…………………...197

7.3 MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS DE PISO …………………………… 199

7.4 ANÁLISIS SÍSMICO DE UNA ESTRUCTURA DE UN PISO …………………….. 204

7.5 ANÁLISIS SÍSMICO DE UNA ESTRUCTURA MONOSIMÉTRICA……………….208



vi

7.6 PROGRAMA BALANCETORSIONALSINAISLAMIENTO …………………………209

7.7 COMENTARIOS ………………………………………………………………………..213

REFERENCIAS …………………………………………………………………………….. 213

8 RESPUESTA EN EL TIEMPO Y CENTROS DE:

RIGIDEZ, CORTE Y DE GIRO

RESUMEN ……………………………………………………………………………………215

8.1 INTRODUCCIÓN ……………………………………………………………………….215

8.2 MATRICES DE RIGIDEZ, MASA Y AMORTIGUAMIENTO ……………………….217

8.3 RESPUESTA EN EL TIEMPO ………………………………………………………..220

8.4 PROGRAMABASERIGIDANEW………………………………………………………221

8.5 CENTRO DE RIGIDEZ EN RANGO ELÁSTICO ……………………………………235

8.5.1 Propuesta de Lin (1951) …………………………………………………235

8.5.2 Propuesta de Vásquez y Ridell (1984) …………………………………235

8.5.3 Propuesta de Cheung y Tso (1986) …………………………………….238

8.6 CENTRO DE GIRO …………………………………………………………………….239

8.7 CENTRO DE CORTE ………………………………………………………………….241

8.7.1 Rigidez “t” ………………………………………………………………….241

8.7.2 Rigidez de piso ……………………………………………………………242

8.7.3 Fórmulas de Wilbur ………………………………………………………242

8.7.4 Fórmulas de Rosenblueth y Esteva …………………………………… 244

REFERENCIAS ……………………………………………………………………………………….245

9 AISLADORES DE BASE ELASTO MÉRICOS

RESUMEN …………………………………………………………………………………...247

9.1 INTRODUCCIÓN ……………………………………………………………………….247

9.2 FUNDAMENTO GENERAL ……………………………………………………………251



vii

9.3 MARCO TEÓRICO ……………………………………………………………………..252

9.4 MÉTODO CUASI-ESTÁTICO …………………………………………………………254

9.4.1 Procedimiento de análisis ………………………………………………….254

9.4.2 Programa CUASIESTATICOAISLAMIENTO…………………………….260

9.5 MÉTODO MASAS CORREGIDAS ……………………………………………………266

9.5.1 Programa MASACORREGIDAAISLAMIENTO ………………………….267

9.6 MÉTODO DINÁMICO EXÁCTO ………………………………………………………272

REFERENCIAS ……………………………………………………………………………...278

10 DISIPADORES DE ENERGÍA VISCO ELÁSTICOS

RESUMEN …………………………………………………………………………………...279

10.1 INTRODUCCIÓN .………………………………………………………………….279

10.2 DISIPADOR VISCO ELÁSTICO ………………………………………………….280

10.3 VENTAJAS DE LOS DISIPADORES ……………………………………………281

10.4 ENSAYOS PRELIMINARES ……………………………………………………...282

10.5 RIGIDEZ EQUIVALENTE DEL DISIPADOR ……………………………………283

10.6 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL …………………………………………………286

10.6.1 Programa RLVISCOELASTICONEW …………………………………..287

10.7 MÉTODO DE LA ENERGÍA MODAL DE DEFORMACIÓN …………………...293

10.8 ANÁLISIS MODAL ESPECTRAL ………………………………………………...296

10.9 PROGRAMA VISCOELASTICOESPECTRO……………………………………300

10.10 MÉTODO ESTÁTICO ……………………………………………………………..315

10.10.1 Período Fundamental …………………………………………………….315

10.10.2 Descripción del método estático propuesto ……………………………316

10.10.3 Programa VISCOELASTICOESTATICO ………………………………318

REFERENCIAS ……………………………………………………………………………...321



CAPÍTULO 1

PELIGROSIDAD SÍSMICA

RESUMEN

El Ecuador se halla ubicado en una de las zonas de mayor peligrosidad sísmica del mundo, de tal forma que los proyectistas estructurales tienen que diseñar sus edificios considerando que lo más importante es la acción sísmica. Es importante crear conciencia de que los sismos no matan, lo que matan son las estructuras si es que no han sido diseñadas en forma adecuada. Para tener una verdadera visión del problema se inicia el capítulo estudiando el origen de los sismos, luego de ello se pasa a ver la sismicidad en el Ecuador, luego se indica como se realizan los estudios de peligrosidad sísmica y se presenta el mapa de zonificación del Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000.

Posteriormente se presenta en forma rápida la filosofía de diseño en la forma clásica y

en la nueva forma recomendada por el Comité VISION 2000, en la cual se necesita conocer los sismos de diseño para cuatro eventos denominados: frecuente, ocasional, raro y muy raro. Actualmente la mayor parte de las normativas sísmicas establecen un solo sismo de diseño y es el correspondiente al sismo raro, de tal forma que si se desea realizar un análisis y diseño sísmico por desempeño, de acuerdo a la nueva visión se debe empezar por definir la forma que tienen estos cuatro sismos.

La forma de los sismos de análisis y de diseño se lo representa mediante espectros,

tema que es tratado en el próximo capítulo, donde se presenta una forma de hallar los espectros para los sismos: frecuente, ocasional, raro y muy raro, a partir de los espectros estipulados en las normativas sísmicas.

1.1 ORIGEN DE LOS SISMOS

Para entender el origen de los sismos, es necesario hablar sobre: deriva continental, la

composición de la tierra y placas tectónicas y las micro placas, temas que son abordados en el




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presente apartado. Por otra parte, se indica los países cuya sismicidad está asociada al Cinturón Circunpacífico o Cinturón de Fuego del Pacífico.

1.1.1 Deriva Continental

Hace muchos millones de años todos los continentes estaban unidos en una sola masa, a la que se denominó Pangea, también llamada Pangaea. El único océano que le rodeaba era el Panthalassa, como se aprecia en la figura 1.1.

Figura 1.1 Pangaea o Pangea y el océano de Panthalassa. Dietz y Holden (1970).

Esta masa empezó a moverse en forma lenta y se fue rompiendo. La primera rotura se

dio en el área de Groenlandia cuando se separa de Europa. Esta rotura originó dos continentes denominados Laurasia y Gondwana (Canet y Barbat, 1988) como se ilustra en la figura 1.2.

Figura 1.2 Rotura de Pangaea y formación de Laurasia y Gondwana. Dietz y Holden (1970).



ROBERTO AGUIAR FALCONI CEINCI-ESPE

3

La rotura se da en los perfiles que tienen los continentes actualmente, los mismos que

se han desplazado y rotado, pero este movimiento continúa. Esta teoría fue formulada por Alfred Wegener (1912), con el nombre de Teoría de la deriva de los continentes.

Numerosos son los estudios que se han realizado para confirmar la teoría de Wegener,

en las últimas décadas. Si se examina con detenimiento, el perfil del continente Americano con el de África y Europa, y si imaginariamente lo unimos, como un rompecabezas, se observa que existe una extraordinaria coincidencia, lo cual hace pensar que en un tiempo estuvieron unidos y luego se separaron quedando a la deriva cada uno de ellos.

Por otra parte, en las costas del Océano Atlántico de América y África, se ha visto que

sus minerales son de la misma naturaleza, no existen regiones montañosas en estas regiones y lo más sorprendente es que su flora y fauna es muy parecida. Por ejemplo, las lombrices, caracoles y peces de aguas superficiales, viven en las costas de los dos continentes.

1.1.2 Composición de la Tierra Es importante destacar que los continentes se han movido en forma muy lenta desde

tiempos muy remotos y que actualmente continúan moviéndose. Para entender esto, es necesario analizar la composición de la tierra, la misma que tiene un radio que está alrededor de los 6400 Km.

Figura 1.3 Modelo de las corrientes de convención. Rikitake (1976).

En el centro se tiene un núcleo interno que es sólido pero el material que lo recubre es

líquido y finalmente se tiene la corteza terrestre que es sólida, la misma que tiene un espesor variable. Es importante destacar que la corteza terrestre se encuentra sobre un manto líquido y que es más pequeña bajo el mar y más ancha bajo las montañas, todo ello con relación al grosor de la corteza en el resto del mundo.




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Por otra parte, cuando se realizan excavaciones, estas no han llegado más allá de un kilómetro y lo que se ha observado es que la temperatura y la presión aumentan a medida que la profundidad crece.

El centro de la tierra está compuesto por materiales y minerales a muy altas

temperaturas, es una gran fuente de calor sobre la que se halla el manto líquido, cuyo material está en continuo movimiento, el material de abajo, sube y el material de arriba baja, como lo ilustra la figura 1.3 A esta hipótesis se denomina corriente de convección y es la causa para que los continentes continúen moviéndose en diferentes direcciones.

Podríamos pensar como será el mundo después de cincuenta millones de años. Es

muy probable que algunos continentes se subdividan, que su posición no sea la que tienen actualmente.

Figura 1.4 Principales placas tectónicas, en el mundo.

1.1.3 Placas Tectónicas Debido a las corrientes de convección, los continentes continúan en movimiento. En el

siglo XIX ya se pensó que Groenlandia se movía, hipótesis que ha sido confirmada en el siglo XX con estudios que demuestran que se separa de Europa.

Las corrientes de convección se producen en la parte superior del manto líquido, en

una capa denominada Astenósfera. En forma figurativa se puede decir que la corteza terrestre flota sobre la Astenósfera.

El movimiento de la corteza no se da en forma uniforme, en el sentido de que todo se

mueve en la misma dirección y con la misma magnitud, no se presenta así. Existen regiones en las cuales el movimiento es muy lento del orden de una centésima de milímetro al año y otras




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en las cuales este movimiento es muy rápido con movimientos de más de 10 cm. al año. De igual forma, existen zonas en las que segmentos de la corteza chocan entre si y otras en que no existe este choque.

Las principales placas tectónicas, se indican en la figura 1.4 y son las placas de:

Nazca, Sudamérica, Cocos, Norteamericana, Caribe, Africana, Euroasiática, Antártica, Pacífico, Filipinas, Arábica, Australiana y de la India. Estas placas a su vez contienen micro placas.

Estos movimientos llamados tectónicos son los responsables de la aparición de las

montañas, de los volcanes, de los sismos, de la formación de plegamientos y fallas geológicas en la tierra.

Investigaciones desarrolladas entre los años 1950 y 1960, encontraron que en el lecho

de los mares, existen largas y espectaculares cadenas montañosas con una forma muy similar a la columna dorsal de los reptiles, de ahí su nombre de dorsal marino. Por lo tanto, en la tierra existen dos tipos de montañas, las que se hallan en los continentes y las que se encuentran en los mares con características diferentes.

Al chocar dos placas, una de las dos cede y se va para abajo con dirección al manto; la

región de la zona de choque se denomina zonas de subducción. Por otra parte, en la zona donde no existe el choque, que es en los dorsales marinos aparece, una nueva superficie terrestre. De esta forma se mantiene el equilibrio en el mundo, por las zonas de subducción desaparece la superficie creada y por los dorsales marinos aparece nuevas superficies.

1.1.4 Cinturón Circunpacífico En América del Sur, se tiene fundamentalmente el enfrentamiento de la Placa de Nazca

o Placa Oceánica con la Placa de Sudamérica o Placa Continental. Este enfrentamiento produce el fenómeno de subducción, por el cual la placa de Nazca por ser más rígida y fuerte se introduce por debajo de la Placa Sudamericana y continua moviéndose hacia el manto. Como se indicó este choque genera los sismos que es lo que interesa en el presente capítulo. Sin embargo se debe manifestar que como consecuencia del movimiento continuo de las placas tectónicas se tienen las erupciones volcánicas y los sismos.

El fenómeno de subducción ha generado una fosa frente a las costas, la misma que

alcanza grandes profundidades. Se puede apreciar en la figura 1.4 que esta fosa continúa por Centro América, México, Estados Unidos (California), Canadá, Alaska (Aleutian Trench), Península de Kamtchatka, Japón, Filipinas y Nueva Zelanda. Esta fosa bordea el Océano Pacífico a manera de un cinturón de ahí su nombre de Cinturón Circunpacífico y es una zona de alta sismicidad. Por otra parte, en esta zona existe una intensa actividad volcánica de ahí que también es conocida como Cinturón de Fuego del Pacífico.

En la figura 1.5 se indica con más detalle la fosa de subducción, en la zona de

Colombia, Ecuador y parte de Perú. Nótese que en el fondo del Océano Pacífico existe una cordillera llamada Dorsal de Carnegie que sigue creciendo e introduciendose bajo el continente, esto es debido al movimiento de las placas. De igual manera se aprecia con una pequeña flecha negra la dirección en que se mueve la placa de Nazca frente a Ecuador, se estima que al año esta placa se mueve con respecto a la placa del continente de 5 a 7 cm.

Se aprecia también la Cordillera de los Andes que atraviesa el Ecuador en el sentido

Norte Sur y con triángulos se indican los nevados activos y pasivos que en ella existen.




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Figura 1.5 Dorsal de Carnegie y Cordillera de los Andes

1.2 SISMICIDAD DEL ECUADOR

En el cinturón circunpacífico y concretamente en el Ecuador, el proceso de subducción de la placa de Nazca, genera una alta sismicidad en su recorrido, buzamiento, hacia el Este. Por este proceso en la costa ecuatoriana, tienen un hipocentro superficial y en la región oriental los eventos sísmicos asociados con la subducción pueden tener profundidades focales mayores a 200 Km. A más de la actividad sísmica asociada a la zona de subducción, existen sismos que se generan por la activación de fallas geológicas locales.

El sismo que afectó a Bahía de Caráquez el 4 de agosto de 1998, tiene su origen en la

zona de subducción, en cambio el sismo del 2 de octubre de 1995, que causó el colapso del puente sobre el río Upano tiene su origen en una zona de fallamiento local.

Por otra parte, es importante destacar que el buzamiento de la zona de subducción del

sur del Perú, es diferente del buzamiento que se tiene en el centro y sur del Ecuador y a su vez es diferente del que se tiene en Colombia.

Por lo general los sismos superficiales son los que causan mayor daño. Por este

motivo, se puede indicar que la Costa Ecuatoriana es la de mayor peligrosidad sísmica, seguida por la Sierra y finalmente el Oriente. Por lo tanto, desde el punto de vista sísmico no es lo mismo construir en la ciudad de Esmeraldas, donde la peligrosidad sísmica es muy grande que en el Tena que tiene una menor amenaza sísmica.




7

Al analizar la ubicación de los epicentros e hipocentros de los sismos registrados, se observa que existen zonas en las cuales la actividad sísmica es muy baja, como la región oriental y otras regiones donde existe una alta concentración denominada nidos sísmicos.

En el Ecuador, existen dos nidos sísmicos localizados el uno en el sector del Puyo y el

otro en Galápagos. El Nido del Puyo, ubicado alrededor de las coordenadas 1.7 Latitud Sur y 77.8 Longitud Oeste, se caracteriza principalmente por un predominio de sismos de magnitud entre 4.0 y 4.9 con profundidades focales mayores a 100 kilómetros. El Nido de Galápagos, ubicado por las coordenadas 0.30' de Latitud Sur y 91 Longitud Oeste tuvo una gran actividad sísmica entre en 11 y 23 de Junio de 1968.

Figura 1.6 Epicentros con magnitud mayor a 4 registrados en 1995 y 1998. (I.G. EPN)

En la figura 1.6 se observa a la izquierda la actividad sísmica en el Ecuador en 1995 y a la derecha en 1998. En 1995, se aprecia una gran actividad en la región sur oriental, donde se dio el sismo de Macas. Aguiar (2000). En cambio en 1998 se tiene una gran actividad frente a la costa de Bahía de Caráquez.

En la figura 1.7 se aprecian los sismos superficiales con magnitud mayor a 6.0 que

se han registrado en el Ecuador entre 1977 y el 2007, se aprecia que en las provincias de la sierra ecuatoriana prácticamente no se han registrado sismos fuertes, en estos 30 años. Esto es una alerta que debe llevar a la reflexión de que a lo mejor se está acumulando energía y que probablemente en un futuro cercano se tenga un sismo muy fuerte ya que históricamente la sierra se ha visto afectada por sismos severos como el de 1797 que causó gran daño en la antigua ciudad de Riobamba, el de 1868 que destruyó la ciudad de Ibarra y las ciudades vecinas. Los sismos históricos a los que se hacen referencia y otros terremotos catastróficos se indican en la figura 1.8, donde se presentan los epicentros de los sismos con Intensidades, en la escala de Mercali, mayores a VI, registrados entre 1641 y 1880.

1.3 PELIGROSIDAD SÍSMICA Se define como Peligrosidad Sísmica, la probabilidad de ocurrencia, dentro de un

período específico de tiempo y dentro de una región determinada, movimientos del suelo cuyos parámetros: aceleración, velocidad, desplazamiento, magnitud o intensidad son cuantificados.




8

Para la evaluación se deben analizar los fenómenos que se producen desde el hipocentro hasta el sitio de interés.

Figura 1.7 Sismos superficiales con magnitud mayor a 6.0 registrados entre 1977 y 2007.

Figura 1.8 Principales terremotos registrados entre 1641 y 1880 con Intensidad mayor a 6.




9

Para el diseño sísmico de estructuras, fundamentalmente se necesita conocer cual es la aceleración máxima del suelo que se espera en la zona que se va a implantar el proyecto durante la vida útil de la estructura. Si adicionalmente, se pueden establecer los otros parámetros indicados en el párrafo anterior u otros adicionales como el tiempo y contenido de frecuencias, que de alguna forma se están incorporando en los estudios de peligrosidad sísmica, es mejor.

1.3.1 Etapas de cálculo En la figura 1.9, se presentan las etapas que se siguen para la evaluación de la

Peligrosidad sísmica a nivel regional, tendientes a la obtención de parámetros para el diseño sismo resistente, expresados en términos probabilísticas. Algermissen y Perkins (1972, 1976); Grases (1975).

Figura 1.9 Etapas de la evaluación de la Peligrosidad Sísmica.

La información sísmica histórica, de eventos que se registraron en el período 1500 - 1900 es muy importante, por que son cuatro siglos de datos, razón por la cual es fundamental su estudio. Lamentablemente, los sismos históricos no han sido estudiados con el detenimiento del caso, primero porque es una tarea que demanda mucho tiempo y segundo por lo difícil que resulta el conseguir la información. Las crónicas de los sismos históricos en algunos casos son muy exageradas y tienden a sobredimensionar el daño ocasionado.

Por otra parte, en la mayor parte de países, el catálogo sísmico instrumental tiene

amplia información a partir de los años 1960 y 1970, por la implementación de un mayor número de estaciones sismográficas. En el período 1900-1960 la información es escasa, no porque no hayan ocurrido sismos sino porque no existía suficiente instrumentación sísmica. Egred et al (1981). En consecuencia, antes de empezar un trabajo de peligrosidad sísmica lo primero que se debe hacer es un estudio de completitud de la información sísmica, se puede utilizar para el efecto, el procedimiento propuesto por Steep (1972), quien describe un procedimiento basado en la varianza como parámetro estadístico en los cuales la tasa de ocurrencia de los sismos es estable para distintos niveles de magnitud.

La información tectónica, geológica, geofísica y geotécnica son un complemento a la

información sísmica instrumental para poder definir un mapa sismotectónico de la región en estudio.




10

1.3.2 Relación de recurrencia

Para la evaluación de la peligrosidad sísmica en cada una de las áreas fuentes es

necesario calcular la relación de recurrencia de la actividad sísmica, propuesta independientemente por Ishimoto-Ida en 1939 y Richter-Gutenberg en 1944. (Gutemberg y Richter, 1954, 1956). La misma que tiene la siguiente forma:

bMaMN −=)(log (1.1)

Siendo N(M) el número de sismos anuales de magnitud mayor o igual que M. Las

constantes a y b definen la sismicidad del área. Dowrick (1977).

• EJEMPLO 1 Encontrar la relación de recurrencia para los sismos registrados en el Ecuador en el

período comprendido entre 1990 y 2005. Del catálogo sísmico, se han obtenido los siguientes datos:

Tabla 1.1 Sismicidad en el Ecuador en el período 1990-2005.

MAGNITUD Mb

NÚMERO DE SISMOS

4.0 - 4.5 4.5 - 5.0 5.0 - 5.5 5.5 - 6.0 6.0 - 6.5 6.5 - 7.0 7.0 – 7.5 7.5 – 8.0 8.0 – 8.5

3566 1317 155 40 23 3 3 2 1

• SOLUCIÓN En la figura 1.10 se indica la distribución de frecuencia de los sismos en el período

1990-2005. Nótese que en 1998 y en el 2005 se tiene una gran cantidad de sismos, ventajosamente la mayor parte de ellos son de magnitudes comprendidas entre 4.0 y 4.5.

Las ecuaciones que conducen al cálculo de las constantes a y b son:

∑ ∑ ∑∑ ∑

+=

+=2log

log

XbXaYX

XbaNY

En la tabla 1.2, se indican los valores de las sumatorias con las cuales se plantean las dos ecuaciones que se requieren para determinar a y b.




11

SISMICIDAD EN EL ECUADOR DESDE 1990 - AGOSTO DEL 2005

0

100

200

300

400

500

1990

1992

1994

1996

1998

2000

2002

2004

AÑOS

NU

MER

O D

E SI

SMO

S

4,0 - 4,54,5 - 5,05,0 - 5,55,5 - 6,06,0 - 6,56,5 - 7,07,0 - 7,57,5 - 8,08,0 - 8,5

Figura 1.10 Sismicidad anual por rango de magnitud.

Tabla 1.2 Valores de cálculo de la recta de mínimos cuadrados.

N Mb (X)

Número de sismos (Y)

Log Y X X * log Y X2

1 4.0-4.5 3566 3.5522 4.25 15.0968 18.0625 2 4.5-5.0 1317 3.1196 4.75 14.8180 22.5625 3 5.0-5.5 155 2.1903 5.25 11.4992 27.5625 4 5.5-6.0 40 1.6021 5.75 9.2118 33.0625 5 6.0-6.5 23 1.3617 6.25 8.5108 39.0625 6 6.5-7.0 3 0.4771 6.75 3.2206 45.5625 7 7.0-7.5 3 0.4771 7.25 3.4591 52.5625 8 7.5-8.0 2 0.3010 7.75 2.3330 60.0625 9 8.0-8.5 1 0.0000 8.25 0.0000 68.0625

Total 5109 13.0812 56.25 68.1494 366.5625

Al reemplazar valores se halla:

baba

5625.36625.561494.6825.5690812.13+=

+=

La solución del sistema de ecuaciones reporta:

bMNLogba

90719.012341.790719.012341.7

−=−==

• EJEMPLO 2

En base a la ecuación de recurrencia encontrada en el ejemplo anterior hallar cuantos sismos de magnitud 8 se registrarán en el Ecuador en los próximos 16 años, 25 años y 50 años.




12

• SOLUCIÓN

Tabla 1.3 Cálculo del número de sismos en 16, 25 y 50 años. 16 años 25 años 50 años

7342.01342.0log

8*90719.012341.7log

=−=

−=

NNN

1473.116

7342.0*2525167342.0

==X

X

2945.216

7342.0*5050167342.0

==X

X

En los próximos 16 y 25 años se espera 1 sismo de magnitud 8 y en los próximos 50 años se esperan 2 sismos de magnitud 8.

A la ecuación (1.1) se le conoce como ley de Richter, la misma que puede escribirse

también de la siguiente forma:

Me βαγ −= ( 1.2 )

Donde γ es la tasa de ocurrencia anual de eventos de magnitud mayor o igual que M. La relación que existe entre las variables a, b y α, β son las siguientes:

αlog=a ( 1.3 )

10lnlog

be

b==β ( 1.4 )

1.3.3 Magnitud máxima

En cada zona fuente, se debe determinar la máxima magnitud Mmax que se espera, para ello existen diferentes fórmulas empíricas que relacionan la longitud de rotura de la falla L, con Mmax. Una de las primeras relaciones fue suministrada por Idda en 1959 para fallas inversas

LM max log0.147.5 += ( 1.5 )

LM max log79.004.6 += ( 1.6 )

La ecuación ( 1.5 ) es para sismos profundos y la ecuación ( 1.6 ) para sismos superficiales e intermedios.

En la evaluación de la peligrosidad sísmica de Colombia, utilizaron las ecuaciones

propuestas por Ambrasseys para determinar la magnitud máxima, estas son:

InferiorLimiteeL mxM )35.3150.1( −= ( 1.7 )

AjusteMejoreL mxM )56.7596.1( −= ( 1.8 )

SuperiorLimiteeL mxM )58.8615.1( −= ( 1.9 )




13

Se aprecia que la relación entre la Magnitud Máxima Mmax y el logaritmo de la longitud de rotura es de tipo lineal, de la forma:

BLAM += logmax ( 1.10 )

Donde A y B son constantes que se obtienen por regresión lineal. Es conveniente que

los valores de A y B se obtengan con sismos de una determinada zona geográfica como lo propone Acharya (1979). Por otra parte, Slemmons (1977) propone calcular la magnitud máxima en base al tipo de falla.

Para América del Sur, Acharya propone la ecuación (1.11) para encontrar la magnitud

máxima, la misma que fue obtenida a partir de 31 eventos con magnitud superior a 7. Por lo tanto, para magnitudes inferiores su aplicación es incierta.

LM max log83.230.2 += ( 1.11 )

• EJEMPLO 3

Determinar una relación entre Mmax y la longitud de rotura L, en base a los datos de la

tabla 1.4.

Tabla 1.4 Relación entre Magnitud M y Longitud de rotura L.

SISMO

LONGITUD FALLA (L)

MAGNITUD

(M)

Alaska, 1964

San Francisco, 1906 Mongolia, 1957 Kern Co, 1952 Niigata, 1964 Turkey, 1953

Imperial Valley, 1940 Fairview Peak, 1954

Montana, 1959 San Miguel, 1956

Parkfield, 1966

600 450 280 50 100 50 60 36 30 19 38

8.5 8.3 8.3 7.8 7.5 7.2 7.1 7.1 7.1 6.8 5.5

• SOLUCIÓN

La ecuación que se obtiene luego del ajuste por mínimos cuadrados, es:

LM max log33.186.4 += ( 1.12 ) El coeficiente de correlación de la ecuación (1.12) es 0.782, que es un valor bajo. En

los estudios de peligrosidad sísmica se puede aplicar una ecuación como las indicadas para




14

encontrar la máxima magnitud esperada en la fuente pero es conveniente comparar el valor obtenido con el registrado instrumentalmente. De igual forma en las ecuaciones que definen la magnitud máxima se deben indicar parámetros estadísticos como el coeficiente de correlación y la desviación Standard para incluirlos en la evaluación de la peligrosidad sísmica.

Finalmente, se debe indicar que hay ecuaciones en las cuales se incluye el

desplazamiento permanente D en la determinación de la magnitud máxima. Una de ellas es la presentada en la ecuación (1.13), en la cual L y D, se expresan en centímetros, Grases (1997).

)log(4.01.1 258.1 DLM max += ( 1.13 )

1.3.4 Leyes de atenuación La fuente de mayor incertidumbre en los estudios de peligrosidad sísmica es la

determinación de la ecuación de atenuación que se va a utilizar. La ecuación o ley de atenuación es una expresión semiempírica que relaciona Magnitud-Distancia-Intensidad Sísmica; entendiéndose por estas últimas palabras a la aceleración, velocidad, desplazamiento e intensidad propiamente dicha de eventos sísmicos; estas relaciones se obtienen de los datos que existen sobre los parámetros mencionados.

En general, los procedimientos utilizados para obtener las leyes de atenuación,

consiste en ajustar curvas a los datos de movimientos sísmicos ocurridos en diferentes regiones, por lo que las expresiones así obtenidas reflejan las características geotectónicas de la región para la cual fueron obtenidas. Mal se haría con importar leyes de atenuación derivadas de otras regiones para realizar estudios de peligrosidad sísmica.

La filosofía de las leyes de atenuación se puede sintetizar en dos aspectos, que son: • A una misma distancia, R se espera tener la misma intensidad sísmica

(aceleración, velocidad, desplazamiento e intensidad propiamente dicha). • La intensidad sísmica disminuye conforme la distancia aumenta y viceversa. Ahora, comparemos que ha sucedido en la realidad; al respecto veamos que pasó con

el sismo de San Fernando del 09-02-71, uno de los eventos mejor documentados, a una distancia promedio aproximada de 42 Km. del epicentro se registraron aceleraciones horizontales máximas del suelo que variaron entre 58 y 245 gals. Es decir no se tuvo la misma intensidad sísmica a igual distancia; existen varios casos similares al descrito.

Lo expuesto tiene como finalidad mostrar la incertidumbre que conlleva el uso de una

ley de atenuación a pesar de que ésta fuera obtenida de registros instrumentales. Para contrarrestar esto se acostumbra incluir en las fórmulas un término que corresponde a la desviación estándar σ, el mismo que se calcula suponiendo que los logaritmos naturales de los cocientes de las intensidades sísmicas predichas a las registradas instrumentalmente tienen una distribución log normal.

En la tabla 1.5 se indican algunas de las leyes de atenuación que han sido utilizadas en

estudios de peligrosidad sísmica en diferentes regiones del mundo.




15

Tabla 1.5 Leyes de atenuación de la aceleración máxima de suelo.

REGIÓN

LEY DE ATENUACÍON

AUTOR

Chile-Argentina

Perú Perú

Ecuador Venezuela-Transcurrentes

USA-Transcurrentes USA-Japón-Europa

ln Amax = 8.54 + 0.57M - 1.73 ln (R+60) ln Amax = 8.18 + 0.68M - 1.63 ln (R+60)

ln Amax = 4.23 + 0.8M - ln (R+25) ln Amax = 6.35 + 0.99M - 1.76 ln (R+40) ± 0.6

ln Amax = 3.75 + 0.47M - 0.57 ln (R+10) ± 0.67 ln Amax = 6.98 + 0.5M - 1.25 ln (R+25)

ln Amax = 0.14 IMM + 0.24M - 0.68 log R + β β=0.60 Costa Occidental USA

β=0.69 Japón β=0.88 Europa

Saragoni et al (1982)Saragoni et al (1982)Casaverde (1980)

Aguiar (1989) Grases (1997)

Donovan (1973) Goula (1993)

1.3.5 Metodología de Evaluación La evaluación de la peligrosidad sísmica se ejecuta utilizando los algoritmos propuestos

por Algermissen (1972, 1976), cuya metodología de cálculo se resume a continuación.

i) Dividir al País en una cuadrícula de 30 minutos por 30 minutos.

ii) Determinar en cada área fuente, los coeficientes a y b de la ecuación de recurrencia, con los datos correspondientes a sismos de magnitud mayor o igual a Mmin. Siendo Mmin la magnitud mínima seleccionada en el estudio. En la evaluación de la peligrosidad sísmica de Venezuela se consideró Mmin = 4.0 y en la evaluación de la peligrosidad sísmica de Colombia Mmin = 3.0.

iii) Determinar la longitud de rotura de la falla y la máxima magnitud esperada.

iv) Calcular la frecuencia anual de ocurrencia de aceleraciones en cada vértice de la

cuadrícula. Se puede utilizar el programa de ordenador de Mc Guire (1976) o el programa Crisis de Ordaz (2000). Previamente se habrá seleccionado una ley de atenuación de movimiento del suelo.

v) Obtener la aceleración o velocidad máxima esperada en cada vértice de la retícula,

utilizando el programa: "Line Source Model" de A. Der Kiureghian (1977) o utilizando una distribución de valores extremos tipo II que fue lo seleccionado para el caso de Ecuador, por Aguiar en 1982.

La distribución de valores extremos tipo II, aplicada al caso de aceleraciones es de la siguiente forma:

maxAKAF lnln)](lnln[ ββ −−=− ( 1.14 ) Que puede escribirse de la siguiente manera:

β−−= )()( maxkAeAF ( 1.15 )




16

Siendo F(A) la probabilidad de no excedencia de la aceleración máxima Amax. Los parámetros β y k se obtienen del ajuste por mínimos cuadrados.

vi) Se dibuja el mapa de isoaceleraciones, si se ha estado trabajando con aceleraciones o puede ser el mapa de isovelocidades o el parámetro seleccionado para el estudio de la peligrosidad sísmica.

• EJEMPLO 4

En la tabla 1.6, se indica las tasas de ocurrencia esperadas en Quito, halladas por Aguiar (1982), para diferentes aceleraciones del suelo. Esto se obtiene de un estudio de peligrosidad sísmica y se desea determinar la aceleración máxima del suelo en roca para una vida útil de la estructura de 50 años y con una probabilidad de excedencia del 10%

Tabla 1.6 Aceleración máxima y tasa media de ocurrencia para Quito.

LUGAR

ACELERACÍON MÁXIMA (cm/s2)

TASA DE OCURRENCIA

(veces/año)

Quito

50

100 150 200 250 300 400 500

0.382

0.0389 0.0105 0.00392 0.00177 0.000891 0.000269

0.0000996

Con los datos de la Tabla 1.6, se obtuvo que la relación entre el ln A y el ln[-ln F(A)] es lineal de la forma planteada en la ecuación (1.14), con lo cual se determina:

β=3.543 k=0.025

La ecuación (1.15) es válida para un año. Para el caso de 50 años, tiempo de la vida

útil de las estructuras, lo que cambia es el valor de k, ahora será β1

50

1k . En consecuencia la

ecuación (1.15), queda:

β

β

−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

=max1

50)(Ak

eAF ( 1.16 ) Para el sismo raro o severo, la probabilidad de no excedencia en 50 años se consideró

del 90%. Luego al reemplazar en la ecuación (1.16), se tiene:




17

β

β

−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

=max1

509.0Ak

e De donde:

kAmax

ββ

11

5010536.0

1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ( 1.17 )

Reemplazando los valores de k y β, encontrados para Quito, en la ecuación ( 1.17 ) se

obtiene:

Amax = 227.37 cm/s2 = 0.232 g

1.4 ZONIFICACIÓN SÍSMICA DEL CEC-2000

En la figura 1.11 se presenta el mapa de zonificación sísmica estipulado en el Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 y que fue obtenido de un estudio de peligrosidad sísmica para estructuras que tienen una vida útil de 50 años y con una probabilidad de excedencia del 10%.

Figura 1.11 Zonificación sísmica del Ecuador del CEC-2000.




18

En base a estos dos últimos valores se halla el período de retorno que es el tiempo

promedio transcurrido entre dos movimientos sísmicos que tienen la misma aceleración del suelo. La ecuación que se utiliza para hallar el período de retorno T es la siguiente:

tpT 1

)1(1

1

−−≈ ( 1.18 )

Donde p es la probabilidad de no excedencia y t es el tiempo de vida útil de la

estructura. Al reemplazar y 10.0=p 50=t en ( 1.18 ) se encuentra que el período de retorno es de 475 años.

La zona de mayor peligrosidad sísmica del Ecuador está definida por una aceleración

máxima del suelo en roca igual a 0.4 g., siendo g., la aceleración de la gravedad y la menor peligrosidad está caracterizada por 0.15 g. La costa y la sierra están inmersas en la zona de mayor peligrosidad sísmica.

En la tabla 1.7 se indica las zonas sísmicas en la forma que presenta el CEC-2000, en

la cual se indica únicamente el coeficiente de la aceleración de la gravedad, que se denomina factor Z .

Tabla 1.7 Zonificación sísmica del Ecuador del CEC-2000

Zona Sísmica 1 2 3 4 Factor Z 0.15 0.25 0.30 0.40

Considerar una aceleración máxima del suelo en roca del 40% de la aceleración de la gravedad para la sierra ecuatoriana, a criterio del autor de este libro es demasiado alto. Este valor se debe a que los sismos históricos están sobredimensionados en cuanto a los daños que ocasionaron. De tal manera que si se elimina la zona 4 de la sierra y se deja todo como zona 3 sería lo más apropiado.

El comentario realizado en el párrafo anterior, tiene un sustento en el estudio de

peligrosidad sísmica realizado por Aguiar (1982) y que se presenta en la figura 1.12. En este estudio se determinó la aceleración máxima esperada asociada a un período de retorno de 475 años y la aceleración más probable.

Existe bastante similitud entre la zonificación del CEC-2000, figura 1.11 y la

zonificación de Aguiar (1982) en el primero y por razones de seguridad está ligeramente mayorado la aceleración máxima del suelo. Se concuerda que la costa ecuatoriana es la de mayor peligrosidad sísmica y que la región oriental es la de menor peligrosidad. Para que la aproximación sea adecuada se debe dejar, en la normativa del CEC-2000, a la sierra en la zona 3 con una aceleración máxima del suelo en roca del 30% de la aceleración de la gravedad.

En Quito, desde la época de la colonia no se ha tenido un sismo cuyo daño haga

presumir que se tuvo una aceleración máxima del suelo en roca de 0.4 g. Diseñar un edificio para 0.4 g., considerando un valor apropiado para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas debida a comportamiento no lineal, tema que se verá en el próximo capítulo, implica tener elementos estructurales de apreciables dimensiones.

Lo que están haciendo algunos proyectistas estructurales es considerar 0.4 g., y el

valor más alto estipulado por el CEC-2000 para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas sin verificar el factor de reducción asignado lo que significa que en la realidad están




19

considerando valores más bajos al 0.4 g., ya que el factor de reducción de las fuerzas sísmicas obtenido en dichas estructuras es menor al que se impusieron, Aguiar (2006).

Figura 1.12 Zonificación sísmica del Ecuador encontrada por Aguiar (1982).

1.5 FILOSOFÍA DE DISEÑO TRADICIONAL

La filosofía de diseño tradicional establece tres niveles de desempeño estructural que

son: i) Servicio, ii) Daño, y iii) Colapso. Ante tres sismos de análisis definidos como: i) Menor, ii) Moderado, y iii) Severo, como se indica a continuación.

• En el Estado de Servicio, se espera que ante Sismos Menores, que pueden

ocurrir frecuentemente durante la vida útil de la edificación, no ocurra ningún daño tanto en los elementos estructurales como en los no estructurales.

• Para el Estado de Daño, se espera que la estructura trabaje en el límite de su

capacidad resistente elástica, es decir la estructura como tal no sufre daño pero sí hay daño en los elementos no estructurales. Este comportamiento es esperado ante Sismos Moderados, que pueden presentarse durante la vida útil de la edificación.

• Para el Estado de Colapso, la estructura, ante un Sismo Severo que puede ocurrir

rara vez en el tiempo de vida útil, incursiona en el rango no lineal, experimentando daño pero en ningún momento la edificación llega al colapso. Se espera cierto grado de daño en los elementos estructurales y un daño considerable en los elementos no estructurales.




20

Los códigos, normalmente presentan los estudios de peligrosidad sísmica para

el Sismo Severo. Esto ha sucedido en el Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000, en las Especificaciones Sismorresistentes de Venezuela COVENIN 1756-98 y en la Norma Técnica de Perú de 2003, entre otros. En que se indica las zonificaciones sísmicas para una vida útil de 50 años y con una probabilidad de excedencia del 10%.

Para poder verificar el comportamiento que tendrá una estructura ante los sismos

denominados menor y moderado, es necesario definir la aceleración de estos eventos, de una manera similar a la efectuada para el sismo severo. Caso contrario la filosofía clásica de diseño quedará como un simple enunciado estructural.

No basta indicar que el sismo menor o sismo pequeño se va a presentar durante la

vida útil de la estructura o que es probable que el sismo moderado se registre alguna vez en el tiempo de vida medio de la edificación.

Tampoco se deben establecer valores generales, como indicar que la aceleración

máxima del suelo en roca, para el sismo pequeño es menor a 0.06 g (6% de la aceleración de la gravedad) y que la aceleración para el sismo moderado es menor que 0.12 g. Estos valores pueden ser adecuados para un determinado lugar pero en términos generales no lo son, puesto que en el mundo existen zonas con diferente peligrosidad sísmica.

1.6 SISMOS DE ANÁLISIS DE ACUERDO A VISION 2000

Tanto el SEAOC ,Structural Engineers Association of California, 1995 como el ATC-33

(1995), en sus documentos VISION 2000 y guía NEHRP, establecen claramente la manera de cuantificar las características de los sismos que deben considerarse en el análisis sísmico de estructuras. En primer lugar, se debe indicar que no son tres los sismos de análisis, como se tenía anteriormente, ahora son cuatro los mismos que están definidos de la siguiente manera:

• Sismo Frecuente, que debe obtenerse para una vida útil de la estructura de 30

años con una probabilidad de excedencia del 50%. El período de retorno de este evento es de 43 años. Por lo tanto, este sismo se va a dar por lo menos una vez durante la vida útil de la estructura.

• Sismo Ocasional, que se calcula para una vida útil de la estructura de 50 años y

con una probabilidad de excedencia del 50%. El período de retorno es de 72 años. Por lo tanto, durante la vida útil de la estructura (50 años) es probable que este sismo se registre alguna vez. El sismo ocasional es equivalente al sismo moderado y el sismo frecuente es equivalente al sismo menor.

• Sismo Raro, también conocido como Sismo Excepcional o como Sismo de Diseño. En fin existen una serie de nombres que se le dan a este sismo, el mismo que se obtiene para una vida útil de la estructura de 50 años y con una probabilidad de excedencia del 10%. En consecuencia, es equivalente al Sismo Severo. El período de retorno de este evento es de 475 años.

• Sismo Muy Raro, también denominado Sismo Extremo que se calcula para una

vida útil de la estructura de 100 años con una probabilidad de excedencia del 10%. Este evento tiene un período de retorno de 970 años.




21

Para cada uno de estos eventos el Comité VISION 2000 define un nivel de desempeño de la estructura o un nivel de comportamiento global de la edificación, tema que será analizado posteriormente.

En 1992 la Sociedad de Ingenieros Estructurales de California se reunieron para

analizar las grandes pérdidas que se han producido en sismos recientes, que estuvieron diseñados para un solo sismo, con la filosofía de que no colapsen ante un sismo severo pero se han venido registrando sismos de menor magnitud que no han llevado al colapso de la estructura pero han producido grandes pérdidas en elementos no estructurales, las mismas que se agravan cuando se tiene que suspender las labores para reparar estos daños. Estas pérdidas que representaban varios miles de millones de dólares fue lo que motivo la creación del Comité VISION 2000 quienes en 1995 presentaron los primeros resultados, que fueron como una nueva luz para el diseño sísmico de las estructuras en el siglo XXI.

En lo que atañe a lo estudiado en el presente capítulo se ha indicado que para el

análisis y diseño de las estructuras se necesita definir cuatro eventos sísmicos denominados: frecuente, ocasional, raro y muy raro tema que será tratado en el próximo capítulo después de que se indique lo que son los espectros de diseño.

Figura 1.13 Fotografías del Volcán Tungurahua. (Instituto Geofísico de la E.P.N.)




22

1.7 ACTIVIDAD DEL VOLCÁN TUNGURAHUA

Desde 1998 hasta marzo de 2008, en que se termina de escribir este libro, el volcán Tungurahua se ha encontrado en permanente actividad. Lo cierto es que ya se llevan 10 años seguidos, en que hay fumarolas, caídas de ceniza y erupciones del volcán como las que se aprecian a la izquierda de la figura 1.13, la fotografía superior corresponde a la erupción del 8 de febrero de 2008 y la inferior a la del 5 de marzo de 2007. Estas dos fotografías fueron tomadas por Patricio Ramón y se encuentran en el portal del Instituto Geofísico de la Politécnica Nacional, al igual que las fotografías de la derecha en que aparece el cráter del volcán tomada desde su borde N.E por José Espín y la inferior derecha, en que se observa la actividad fumarólica del volcán tomada por Jorge Bustillos.

En la primera declaratoria de emergencia del volcán, toda la población de Baños y de los lugares aledaños fueron evacuados por más de un mes; en los siguientes años nuevamente se ha declarado en emergencia y la población ha sido evacuada por días. Pero ha habido una buena parte de la población de Baños que no ha abandonado sus casas a pesar de que el volcán está erupcionando como sucedió el 6, 7 y 8 de febrero de 2008. Esto demuestra que la gente ya se acostumbró a la permanente actividad del volcán y no mide el gran peligro que tienen.

La intensa actividad de este y otros volcanes, como la gran actividad sísmica del

Ecuador, deben servir como alertas para los proyectistas estructurales para construir edificaciones sismo resistentes, que no colapsen durante un evento telúrico, que no colapsen con la acumulación de ceniza volcánica en sus techos. Deben ser señales de alerta para buscar nuevas formas constructivas que sean más seguras ante los embates de la naturaleza.

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CAPÍTULO 2

ESPECTROS DE DISEÑO Y FACTOR DE REDUCCIÓN DE LAS FUERZAS SÍSMICAS

RESUMEN

La definición de espectros de respuesta y de diseño, es fundamental en el análisis sísmico de edificios, razón por la cual se inicia el capítulo con ésta temática. De igual manera es importante el estudio de los espectros elásticos e inelásticos, saber que con los espectros elásticos no se espera daño en las estructuras y con los espectros inelásticos si se espera daño.

Es fundamental conocer como las normativas sísmicas obtienen los espectros inelásticos

dividiendo los espectros elásticos para el producto epR φφ . Donde R es el factor de reducción de

las fuerzas sísmicas debido a comportamiento inelástico de la estructura; ep φφ , factores con los cuales se penaliza las irregularidades en planta y elevación. Estos tres factores son objeto de estudio, con mucho detenimiento en el presente capítulo, ya que una selección inapropiada de estas cantidades puede conducir a un diseño con fuerzas sísmicas muy bajas, siendo la estructura vulnerable ante la acción de los sismos o puede conducir a sobredimensionar la acción sísmica con lo que se obtiene un diseño muy costoso.

Se analiza, con cierto detenimiento los factores de reducción de las fuerzas sísmicas para

edificios de hormigón armado, compuestos por vigas y columnas, sin muros de corte, de las normativas sísmicas de: Venezuela, Colombia, Ecuador, Perú y Chile. Para poder comparar el factor R de estas normativas se debe diferenciar si los espectros formulados son a nivel de servicio o últimos, se debe tener en cuenta la deriva máxima de piso permitida, si esta deriva es elástica o inelástica, se debe conocer como se obtienen los desplazamientos inelásticos a partir de los desplazamientos elásticos. Todas estas variables influyen en el cálculo del factor R .



ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS 26

Posteriormente, se presenta los resultados de un proyecto de investigación, desarrollado en el Centro de Investigaciones Científicas de la Politécnica del Ejército, que se inició en el 2005 y finalizó en el 2007, sobre el cálculo del factor R en las estructuras mencionadas en el párrafo anterior.

Se obtuvo el factor R multiplicando el factor de resistencia por ductilidad también

conocido como factor de reducción por ductilidad; multiplicando por el factor de sobre resistencia y por el factor de redundancia .

µR

ΩR RR Para el factor se realizaron cuatro trabajos: Aguiar y Guerrero (2006); Aguiar y

González (2006); y dos trabajos por parte de Aguiar, Romo y Aragón (2007,1,2). Este último se considera el más completo ya que se trabajó con 80 acelerogramas de sismos reales de baja magnitud y 112 acelerogramas artificiales compatibles con los espectros del Código Ecuatoriano de la Construcción.

µR

Para hallar los factores y se analizaron 432 estructuras de uno a seis pisos que

responden a la forma como se construye en Ecuador. De tal manera que los resultados obtenidos son validos para estructuras de menos de 6 pisos. Se entiende que estructuras de más de 7 pisos se diseñan con muros de corte.

ΩR RR

Para el factor se presentan los resultados encontrados por Aguiar, Mora y Guadalupe

(2007) que es función de la deriva de piso máxima permitida y para el factor el trabajo desarrollado por Aguiar, Guaiña y Bernal (2008).

ΩR

RR

Finalmente, en base a los trabajos realizados se propone el factor de reducción de las

fuerzas sísmicas, para edificios conformados por vigas y columnas sin muros de corte, para los cuatro tipos de suelo que contempla el CEC-2000, los mismos que son validos para una deriva de piso máxima inelástica de 1.5 %.

2.1 INTRODUCCIÓN

Se recomienda la lectura del libro “Dinámica de Estructuras con MATLAB”, Aguiar (2007) en el que se trata sobre la forma como se obtiene la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad ante una acción sísmica definida por su acelerograma, luego se presenta como se halla los espectros de respuesta y finalmente se indica como a partir de estos espectros de respuesta se halla el espectro de diseño. Se presenta a continuación un breve repaso de lo tratado en forma extensa en el texto mencionado.

2.1.1 Espectros de respuesta

Se define el espectro de respuesta como la respuesta máxima de un conjunto de osciladores de 1 gdl que tienen el mismo amortiguamiento, sometidas a una historia de aceleraciones dadas.




27

En la figura 2.1 se muestra el esquema de cálculo de los espectros de respuesta. A la izquierda aparecen un conjunto de osciladores de 1 gdl, todos ellos tienen un coeficiente de amortiguamiento 05.0=ξ . Cada uno de estos osciladores, que representan a estructuras de un piso, va a ser sometido al sismo cuyo acelerograma se indica en la parte inferior izquierda.

Figura 2.1 Esquema de cálculo de los Espectros de Respuesta.

En la parte central de la figura 2.1, se tiene la respuesta en el tiempo de desplazamiento,

se ha colocado únicamente de dos osciladores, el uno tiene un período de 1 s. y el otro un período de 2 s. Se ha identificado las respuestas máximas en cada uno de ellos, como Sd1 para el sistema con T=1 s., y Sd2 para el sistema con T=2 s. Nótese que Sd1 es negativo ya que se halla en la parte inferior y Sd2 es positivo por estar en la parte superior pero para encontrar el espectro se considera en valor absoluto

En la parte derecha, de la figura 2.1 se han colocado los valores de Sd1 y Sd2 asociados a

períodos de 1 y 2 s., se han colocado además los desplazamientos máximos correspondientes a los restantes períodos del conjunto de osciladores de un grado de libertad, la gráfica que resulta de unir las respuestas máximas es el Espectro de Respuesta Elástica de Desplazamientos, ante el sismo del 9 de Noviembre de 1974. En la parte central de la figura 2.1 se pudo haber colocado las respuestas máximas de velocidades o de aceleraciones, con lo que se habría hallado los espectros de respuesta elásticos de velocidad y aceleración, respectivamente.

Por lo tanto, se pueden obtener espectros de respuesta elásticos de desplazamientos,

velocidades y aceleraciones, encontrando las máximas respuestas en valor absoluto de y . A estas respuestas máximas se las denomina con las letras y .

)(),( tqtq)(tq vd SS , aS

maxmaxmax )()()( tqStqStqS avd === ( 2.1 )

De estos tres tipos de espectros los que más se utilizan, al menos en Latino América son

los espectros de aceleraciones y son los que vienen definidos en las normativas sísmicas. Estos espectros han tenido una serie de críticas en el sentido de que no toman en cuenta el tiempo de duración del sismo, la frecuencia de vibración del sismo, y sobre todo que no describen el daño esperado en la estructura. Temas que son importantes y que de alguna forma se los incorpora en




los espectros de energía, pero todavía no existen formulaciones sencillas para el análisis sísmico de estructuras con espectros de energía.

De igual manera en lugar de trabajar con espectros de aceleraciones se está proponiendo,

desde hace algunos años, el trabajar con espectros de desplazamiento debido a que estos están más asociados con el daño de las estructuras, existen filosofías de diseño al respecto pero nuevamente se continúa trabajando con espectros de aceleraciones.

2.1.2 Espectros de diseño

En la figura 2.2 se ilustra la forma como se obtiene un espectro de diseño, para el efecto se seleccionan registros sísmicos de una determinada región, que se encuentren registrados sobre el mismo tipo de suelo ya que se ha visto que un mismo sismo puede tener diferentes registros en suelo duro y en suelo blando a pesar de que los dos sitios están muy cercano.

Es preferible que los registros con los cuales se obtengan los espectros sean de eventos

con magnitudes mayores a cuatro o en su defecto que tengan aceleraciones máximas superiores al 10% de la aceleración de la gravedad.

Lamentablemente en América Latina no se dispone de una suficiente cantidad de

registros sísmicos, clasificados de acuerdo al tipo de suelo, ni tampoco de registros de sismos fuertes por lo que toca trabajar con los archivos que se disponen o en su defecto se pueden generar registros sísmicos artificiales que sean compatibles con la sismicidad local de una región. Orosco et al (2005).

ESPECTROS RESPUESTA

0

200400600800

10001200140016001800

2000

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5Periodo

Acele

raci

ón

01b02a02b03a03b04a04b05a05b06a06b07a07b08a08b09a09bMedia

Figura 2.2 Esquema de obtención de un espectro de diseño




29

Una vez definidos los registros con los cuales se va a obtener un espectro de diseño se encuentran los espectros de respuesta de cada uno de ellos, para esto previamente se normalizan a un determinado valor todos los acelerogramas, en el ejemplo indicado en la figura 2.2 se han normalizado de tal manera que la aceleración máxima del registro sea el 40% de la aceleración de la gravedad.

Mediante estadísticas se encuentra el espectro medio, como se ilustra en la figura 2.2 con

una línea un poco más gruesa. El espectro medio tiene una probabilidad del 50% de que sus ordenadas sean excedidas lo cual sería inseguro ya que significa que para un determinado período habrán sismos cuya aceleración espectral es mayor que la del espectro medio.

Con el propósito de minimizar la aceleración de excedencia de ciertos sismos, se sube la

curva media encontrando la desviación estándar y se puede presentar la curva de valores medios más una desviación estándar. Lo cierto es que se trabaja en forma probabilística y los espectros están asociados a una determinada probabilidad de excedencia.

2.2 ESPECTRO ELÁSTICO DEL CEC-2000

En la figura 2.3 se presenta la forma del espectro de diseño elástico del CEC-2000 que

está definido por las siguientes ecuaciones:

2

25.1

od

So

d

od

AATT

TSA

ATTT

AATT

α

α

βα

=>

=<<

=<

+

+∗

∗

( 2.2 )

( 2.3 )

( 2.4 )

Donde α es el coeficiente de importancia de la estructura; β , ∗T , +T , parámetros que

están definidos en la tabla 2.1 y que dependen del perfil de suelo. es la aceleración máxima del suelo y está definido en el mapa de peligrosidad sísmica del Ecuador, indicado en el capítulo anterior,

S

0A

T es el período de vibración de la estructura. Se recuerda que el valor de del CEC-2000 fue obtenido para un período de retorno de

475 años con una probabilidad de excedencia del 10%. Si se considera0A

1=α , se mantiene la probabilidad de excedencia, este valor se recomienda para viviendas y oficinas. Para edificaciones esenciales, como hospitales, se considera 5.1=α , en este caso la probabilidad de excedencia está alrededor de 2% cantidad muy baja considerando el período de retorno. Para edificaciones con ocupación especial como Escuelas o locales que albergan a más de 5000 personas el valor de 3.1=α

Es importante que se tenga muy en cuenta que si se trabaja con 5.1=α se está

incrementando las fuerzas sísmicas en 50% cantidad que es demasiado alta y debido a esto es que se tiene una probabilidad de excedencia muy baja. El valor máximo de la Norma COVENIN 1756-98 es 3.1=α para edificaciones esenciales, que es un valor adecuado. Por lo tanto, se recomienda que para edificaciones esenciales como hospitales se calcule con 3.1=α y para




edificios con ocupación especial se tome 15.1=α para que la probabilidad de excedencia no sea tan baja. Valores altos de α implican fuerzas sísmicas altas.

Figura 2.3 Espectro Elástico del Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000

Tabla 2.1 Parámetros que definen el espectro elástico del CEC-2000 Perfil de suelo ∗T

( s ) +T

( s ) β S

S1 0.50 2.50 2.5 1.0 S2 0.52 3.11 3.0 1.2 S3 0.82 4.59 2.8 1.5 S4 2.00 10.00 2.5 2.0

Los cuatro perfiles de suelo del CEC-2000 se determinan de la siguiente manera:

1 Perfil de suelo S1 son suelos cuya velocidad de la onda de corte, es mayor a 750 m/s, con período de vibración menor a 0.2 s. Entre ellos se incluyen:

sV

Roca sana o parcialmente alterada, con resistencia a la compresión no confinada

mayor o igual a 500 KPa = 5 Kg/cm2. Gravas arenosas, limosas o arcillas densas o secas. Suelos cohesivos duros con resistencia al corte en condiciones no drenadas

mayores a 100 KPa, con espesores menores a 20 m., y que se encuentran sobre roca u otro material cuyo es mayor a 750 m/s. sV

Arenas densas con número de golpes del SPT: N>50 con espesores menores a 20 m., y que se encuentren sobre roca u otro material cuyo es mayor a 750 m/s. sV

Suelos y depósitos de origen volcánico firmemente cementados, tobas y conglomerados con número de golpes del SPT: N>50.




31

2 Perfil de suelo S2 son suelos con características intermedias entre los suelos S1 y S3.

3 Perfil de suelo S3 son aquellos cuyo período fundamental es mayor a 0.6 s., En la tabla 2.2 se indican las características de los suelos blandos o estratos de gran espesor que son considerados S3.

Tabla 2.2 Características de los suelos tipo S3. Suelos Cohesivos sV

(m/s) Resistencia al corte

no drenada uS

Espesor del Estrato

Blandos < 200 < 25 KPa > 20 m. Semiblandos 200 – 400 25 KPa – 50 KPa > 25 m. Duros 400 – 750 50 KPa – 100 KPa > 40 m. Muy duros > 750 100 KPa – 200 KPa > 60 m.

Suelos Granulares sV

(m/s) Valores N del SPT Espesor del

Estrato Sueltos < 200 4 – 10 > 40 m. Semidensos 200 – 750 10 – 30 > 45 m. Densos > 750 > 30 > 100 m.

Si el sitio donde las propiedades del suelo son poco conocidas, se podrá considerar que el perfil de suelo es S3.

4 Perfil de suelo S4 son suelos con condiciones especiales. En este grupo se incluyen los siguientes:

1 Suelos con alto potencial de licuación, susceptibles de colapso y sensitivos. 2 Turbas, lodos y suelos orgánicos. 3 Rellenos colocados sin control técnico. 4 Arcillas y limos de alta plasticidad ( IP > 75 ). 5 Arcillas suaves y medio duras con espesor mayor a 30 m.

Los perfiles de este grupo incluyen a suelos particulares altamente compresibles, donde las condiciones geológicas y/o topográficas sean especialmente desfavorables y que requieran estudios geotécnicos no rutinarios para determinar sus características mecánicas.

2.3 ESPECTROS POR DESEMPEÑO

En el capítulo anterior se habló que el Comité VISION 2000 establece cuatro sismos denominados: frecuente, ocasional, raro y muy raro para el análisis y diseño sísmico por desempeño, los mismos que están indicados en la tabla 2.3. Ahora lo que interesa ilustrar en este apartado es como se determinan las formas espectrales para los sismos: frecuente,




ocasional y muy raro habida cuenta que el espectro del sismo raro es el del CEC-2000. En el capítulo 8 del libro Análisis Sísmico por Desempeño, Aguiar (2003) se indican todos

los estudios que se han realizado para proponer la siguiente metodología para encontrar los espectros de los sismos: frecuente, ocasional y muy raro, a partir del espectro del sismo raro.

Tabla 2.3 Sismos recomendados por el Comité VISION 2000. Sismo Vida Útil

T Probabilidad

de Excedencia ∗P

Período medio

de retorno, rtTasa Anual de

excedencia, 1p

Frecuente 30 años 50% 43 años 0.02310 Ocasional 50 años 50% 72 años 0.01386

Raro 50 años 10% 475 años 0.00211 Muy raro 100 años 10% 970 años 0.00105

• Para el Sismo Frecuente se dividen las ordenadas espectrales del Sismo Raro para 3 y posteriormente se ajusta la forma espectral para un amortiguamiento ξ del 2%. Multiplicando la forma espectral por indicado en la ecuación ( 2.5 ) af

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

= 865.068.14112

ξξ

af

( 2.5 )

La ecuación ( 2.5 ) sirve para obtener espectros para cualquier factor amortiguamientoξ , a partir del espectro para 05.0=ξ . Esta ecuación es propuesta por la Normativa Sísmica de Chile de (1996) para estructuras con aislamiento de base y se ha verificado que reporta resultados satisfactorios con sismos registrados en el Ecuador. Aguiar y Álvarez (2007). Existe otra ecuación más sencilla, que también se puede hallar para pasar del espectro que está calculado para un 05.0=ξ a un 02.0=ξ Esta es:

4.005.0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ξaf

( 2.6 )

• Para el Sismo Ocasional se multiplica el sismo frecuente por 1.4

• Para el Sismo muy raro se multiplica el sismo raro por 1.3

• EJEMPLO 1

Encontrar los espectros para los sismos: frecuente, ocasional, raro y muy raro; para la zona de mayor peligrosidad sísmica de Ecuador y en un perfil de suelo S4.




33

• SOLUCIÓN En la figura 2.4 se presentan los espectros requeridos, los mismos que se hallan utilizando

el programa VISION descrito en el capítulo tres del libro: Dinámica de Estructuras con MATLAB. Aguiar (2007).

2.4 ESPECTRO INELÁSTICO

Al realizar el análisis sísmico con el espectro elástico del CEC-2000 se espera que la estructura no sufra daño. Por lo tanto, todo el tiempo trabajará en el rango elástico pero esto no es adecuado ya que el espectro del CEC-2000 tiene un período de retorno de 475 años es decir la probabilidad de que se registre durante la vida útil de la estructura es muy baja. Sería muy costoso diseñar una estructura con el espectro elástico, además de ello los elementos estructurales que resultan serían de grandes dimensiones.

Figura 2.4 Espectros: frecuente, ocasional, raro y muy raro para un perfil S4.

Por consiguiente se diseña las estructuras considerando un espectro inelástico el mismo que se obtiene dividiendo las ordenadas del espectro elástico para epR φφ como lo ilustra la figura

2.5. Donde R es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas debido a comportamiento inelástico




de la estructura; este factor se define en forma muy general en las diferentes normativas sísmicas y más responde a criterios cualitativos emitidos por expertos, que a criterios cuantitativos, razón por la cual se dedicará todo un apartado para su estudio en este capítulo. pφ y eφ son factores con los que se pretende penalizar las irregularidades tanto en planta como en elevación, que tiene una edificación y son abordados en el siguiente apartado.

2.5 IRREGULARIDADES EN PLANTA

El CEC-2000 considera cinco tipos de irregularidades en planta que a continuación se las comentan:

1. Irregularidad Torsional.- Existe irregularidad por torsión cuando la máxima deriva de piso de un extremo de la estructura, calculada incluyendo la torsión accidental y medida perpendicularmente a un eje determinado, es mayor que 1.2 veces la deriva promedio de los dos extremos con respecto al mismo eje de referencia. Esto se lo ilustra en la figura 2.6

Figura 2.5 Espectros: Elástico e Inelástico del CEC-2000

La nomenclatura de la figura 2.6 es la siguiente: son los desplazamientos horizontales de los pisos 1 y 2,

21 , dd

21 , pisopiso ∆∆ , son las derivas de los pisos 1 y 2.

2

122

1

11 H

ddHd

pisopiso−

=∆=∆

Donde es el mayor valor entre 1∆ 1piso∆ y 2piso∆ en el pórtico 1, que es el extremo. 2∆

es similar a pero en el otro pórtico extremo en este caso el pórtico 4. es el mayor 1∆ i∆




35

valor entre y . Se debe verificar, si: 1∆ 2∆

9.02

2.1 21 =⇒⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∆+∆>∆ pi φ

Figura 2.6 Irregularidad torsional 9.0=pφ

2. Retrocesos excesivos en las esquinas.- La configuración de una estructura se

considera irregular cuando presenta retrocesos excesivos en sus esquinas. Un retroceso en una esquina se considera excesivo cuando las proyecciones de la estructura, a ambos lados del retroceso, son mayores que el 15% de la dimensión de la planta de la estructura en la dirección del retroceso. En este caso 9.0=pφ , en la figura 2.7 se muestran los retrocesos.

Figura 2.7 Retrocesos en las esquinas.




3. Discontinuidades en el sistema de piso.- La configuración de la estructura se considera irregular cuando el sistema de piso tiene discontinuidades apreciables o variaciones significativas en su rigidez, incluyendo las causadas por aberturas, entradas, retrocesos o huecos, con áreas mayores al 50% del área total de piso o con cambios en la rigidez efectiva del piso de más del 50% entre niveles consecutivos. Estas discontinuidades se penalizan con 9.0=pφ . En la figura 2.8 se ilustran algunos casos en que el área de las aberturas es mayor del 50%.

Figura 2.8 Discontinuidades en el sistema de piso.

4. Desplazamiento del plano de acción de elementos verticales.- Una estructura se considera irregular cuando existen discontinuidad en los elementos verticales, tales como desplazamientos del plano de acción de elementos verticales del sistema resistente. Los desplazamientos del plano de acción se penalizan con 8.0=pφ . En La figura 2.9 a la izquierda se observa que existe continuidad en la columna central, lo cual está correcto; en cambio, en la figura de la derecha se aprecia que no existe continuidad en la columna central ya que llega solo al primer piso, lo que es incorrecto y se penaliza con 8.0=pφ .

Figura 2.9 Desplazamientos del plano de acción de los elementos verticales.




37

5. Ejes estructurales no paralelos.- La estructura se considera irregular cuando los ejes estructurales no son paralelos o simétricos con respecto a los ejes ortogonales principales de la estructura. La penalización de estas estructuras es 9.0=pφ . En la figura 2.10 a la izquierda se ve una estructura con los ejes de columnas ortogonales lo que no sucede con la configuración en planta de la estructura de la izquierda.

Figura 2.10 Desplazamientos del plano de acción de elementos verticales.

En todas las plantas de la estructura, se deberá verificar la existencia de irregularidades en planta. Finalmente la irregularidad en planta, se calculará con la siguiente ecuación:

pbpap φφφ = ( 2.7 )

Donde paφ es el mínimo valor de piφ de cada piso de la estructura para cuando se

encuentren las irregularidades en planta tipo 1, 2 y/o 3.

i

pbφ es el mínimo valor de piφ de las estructuras para cuando se encuentren las irregularidades tipo 4 y/o 5.

2.6 IRREGULARIDADES EN ELEVACIÓN

Los cinco tipos de irregularidades en elevación que considera el CEC-2000, son:

1. Piso flexible (irregularidades en rigidez).- La estructura se considera irregular cuando la rigidez lateral de un piso es menor que el 70% de la rigidez lateral del piso superior o menor que el 80% del promedio de la rigidez lateral de los tres pisos superiores. En este caso 9.0=eφ . En la figura 2.11 se explica lo expuesto en un edificio de 6 pisos.




Figura 2.11 Piso flexible (irregularidad de rigidez).

2. Irregularidad de la distribución de las masas.- La estructura se considera irregular cuando la masa de cualquier piso es mayor a 1.5 veces la masa de uno de los pisos adyacentes, exceptuando el caso de cubiertas que sean más livianas que el piso inferior. La irregularidad en la distribución de las masas se penaliza con 9.0=eφ . En la figura 2.12 se ha colocado como ejemplo si la masa del piso D es mayor a 1.5 veces la masa del piso E o 1.5 veces la masa del piso C, se considera 9.0=eφ .

Figura 2.12 Irregularidad en la distribución de las masas.

3. Irregularidad Geométrica.- La estructura se considera irregular cuando la dimensión en planta del sistema resistente en cualquier piso es mayor que 1.3 veces la misma dimensión en un piso adyacente, exceptuando el cado de los altillos de un solo piso. Cuando la estructura tiene esta irregularidad geométrica 9.0=eφ . En la estructura de la figura 2.13 se aprecia que los dos últimos pisos tienen una dimensión menor a la de los pisos inferiores, menor en más de un 30%. Por lo tanto para esta estructura 9.0=eφ .




39

Figura 2.13 Irregularidad geométrica.

4. Desalineamientos de ejes verticales.- La estructura se considera irregular cuando existen desplazamientos en el alineamiento de elementos verticales del sistema resistente, dentro del mismo plano en el que se encuentran y estos desplazamientos son mayores que la dimensión horizontal del elemento. Se exceptúa la aplicabilidad de este requisito cuando los elementos desplazados solo sostienen la cubierta de la estructura sin otras cargas adicionales de tanques o equipos. El desalineamiento de ejes verticales se penaliza con

8.0=eφ . En la figura 2.14 se ilustra el problema.

Figura 2.14 Desalineamiento de ejes verticales.




5. Piso débil – Discontinuidad en la resistencia.- La estructura se considera irregular cuando la resistencia del piso es menor del 70% de la del piso inmediatamente superior, entendiéndose la resistencia del piso como la suma de las resistencias de todos los elementos que comparten el cortante del piso para la dirección considerada. Para esta irregularidad se tiene 9.0=eφ . En la figura 2.15 se observa que la resistencia del piso B es menor a 0.7 veces la resistencia del piso C.

Al igual que la irregularidad en planta, se debe analizar las irregularidades en elevación en

todos los pisos de la estructura eiφ . La irregularidad en elevación de una estructura se calcula con la siguiente ecuación:

ecebeae φφφφ = ( 2.8 )

Donde: eaφ es el mínimo valor de eiφ para cuando existan irregularidades tipo 1 y/o 5.

ebφ es el mínimo valor de eiφ para cuando existan irregularidades tipo 2 y/o 3. ecφ es el mínimo valor de eiφ para cuando exista la irregularidad tipo 4.

Figura 2.15 Piso débil – discontinuidad en la resistencia.

2.7 FACTOR R EN VARIOS PAÍSES LATINOAMERICANOS

Una de las debilidades de la mayor parte de normativas sísmicas es que no indican como se debe evaluar el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R , en parte se debe a que este es un tema que está actualmente en investigación, a pesar de que se ha venido trabajando desde hace unos 30 años, pero esto es una razón más para ser cautelosos en la selección del valor




41

de reducción de las fuerzas sísmicas. Algunas normativas presentan este valor para diferentes tipologías estructurales y

responden más al criterio de expertos basados en un comportamiento cualitativo de las estructuras, pero no indican como se debe evaluar este factor.

Dos debilidades presentan la mayor parte de normativas en cuanto al factor R y son las

siguientes:

• El factor R depende del período de vibración de la estructura pero muy pocas normas consideran esta variable y dan un solo valor de R al margen del período.

• Por otra parte, el factor R depende del tipo de suelo. Chopra (2005), Ordaz y Pérez

(1999), entre otros. De tal forma que se debería especificar el factor R y el tipo de suelo.

2.7.1 Factor R del Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000

Los valores estipulados por el CEC-2000 para el factor de reducción de las fuerzas

sísmicas R son demasiado altos por lo que se recomienda tomar las precauciones del caso. En la tabla 2.4 se indican estos valores y están asociados a una gran capacidad de ductilidad de las estructuras.

Tabla 2.4 Valores del coeficiente de reducción de respuesta estructural propuestos por el CEC-2000

Sistema Estructural R Estructuras con pórticos espaciales sismo resistentes de hormigón armado o de estructuras de acero laminado en

caliente. Sistemas de pórticos espaciales sismorresistentes de hormigón o de acero laminado en caliente, con muros estructurales de hormigón armado (sistemas duales).

10

Estructuras con pórticos espaciales sismo resistentes y diagonales rigidizadoras. Estructuras con vigas perdidas en las

losas (losa plana) y con muros estructurales.

8

Estructuras con vigas perdidas en las losas (losas planas) y sin muros estructurales. Estructuras con pórticos espaciales

sismo-resistentes en conjunto con mampostería confinada. Estructuras de acero laminado en frío. Estructuras de madera

7

Estructuras de mampostería reforzada 4.5 Estructuras de tierra 1.5

El uso de los factores R del CEC-2000 está condicionado a que se trabaje con las combinaciones de carga del A.C.I. de 1999, en las que se mayora la acción sísmica. Estas son:

( )SDU

SLDULDU

43.19.075.087.17.14.1

7.14.1

±=±+=

+=




Donde son las combinaciones de carga mayoradas; U D la carga muerta, también conocida como carga permanente; es la carga viva y es la carga sísmica. Consecuentemente la acción sísmica se está mayorando por un factor que está alrededor de 1.4. Con esta consideración, por ejemplo para una estructura con vigas y columnas el factor de

L S

R es aproximadamente igual a 10/1.4 = 7.1

No se puede trabajar con los factores R del CEC-2000 y con las combinaciones de

carga del A.C.I. 2002, que son las siguientes:

SDUSLDU

LDU

0.19.00.10.12.1

6.12.1

±=±+=

+=

Si se trabaja con los valores R del CEC-2000 y las combinaciones de carga del A.C.I.

2002 se está subvalorando la acción sísmica en un 30%, aproximadamente. Se está diseñando para fuerzas sísmicas muy bajas.

Por otra parte usar los valores R estipulados por el CEC-2000 significa que la estructura

va a tener una capacidad de ductilidad global µ , mayor o igual a 4. Esto implica que la ductilidad por curvatura de las vigas φµ sean mayores o iguales a 15. Si la ductilidad por curvatura es menor

a la cantidad indicada el valor R es menor. De tal manera que utilizar los valores R del CEC-2000 tiene implícito realizar un nivel de diseño muy riguroso, cumplir con todas las especificaciones del A.C.I.

2.7.2 Factor R de la Norma de Colombia NSR-98

Para estructuras con pórticos espaciales sismo resistentes de hormigón armado la Normativa de Colombia NSR-98 establece un valor máximo de 0.7=R para estructuras muy bien diseñadas ( 4≥µ ) en las que se espera la máxima disipación de energía cuando incursionen en el rango no lineal. Por otra parte, en el apartado B.2.4.2, establecen las siguientes combinaciones de carga.

SDUSLDU

LDU

0.19.00.128.105.1

7.14.1

±=±+=

+=

Consecuentemente, el espectro de la Norma Colombiana está a nivel de cargas últimas.

Son comparables los dos valores R del CEC-2000 siempre y cuando se mayores la acción sísmica con los valores R de la norma NSR-98. En estructuras conformadas por vigas y columnas, sin muros de corte. En otras palabras el factor R de la norma NSR-98 es el mismo que el del CEC-2000 pero hay una gran diferencia entre estas dos normativas y radica en el hecho de que la norma NSR-98 estipula una deriva máxima de piso del 1% y el CEC-2000 una del 2%. Ambas son calculadas inelásticamente. Como se verá posteriormente el factor R depende de la deriva máxima de piso esperada.




43

2.7.3 Factor R de la Norma Venezolana COVENIN 1756-98 Para estas mismas estructuras, pórticos conformados por vigas y columnas sin muros de

corte, la Norma Venezolana COVENIN 1756-98 (2001) establece un valor máximo de para el nivel de diseño sísmico más exigente. De tal manera que el valor de

6=RR en estructuras con un

diseño sísmico muy exigente está entre 6 y 7. En este caso no se mayora la acción sísmica. En efecto las combinaciones de carga son:

SDUSLDU

0.19.00.10.11.1

±=±+=

2.7.4 Factor R de la Norma de Chile Ch 433-96 La Norma de Chile Ch 433-96 estipula un valor de igual a 11 para estructuras con

vigas y columnas, pero el factor de reducción de las fuerzas sísmicas se halla con la siguiente ecuación.

0R

0

*

01.01

RTT

TR+

+=∗

Donde ∗T es el período con mayor masa traslacional en la dirección de análisis;

período que depende del tipo de suelo; es factor de modificación de la respuesta estructural,

depende del sistema estructural y del material empleado y

0T

0R

R es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas. Las combinaciones de carga de la norma Ch 433-96, son:

( )EDUELDU

4.19.04.1

±=±+=

Por otra parte, la deriva de piso máxima permitida es 0.1%. Es deriva elástica, sin

embargo es un valor bastante bajo. De tal manera que mientras más bajo es la deriva de piso máxima permitida mayor es el factor R

2.7.5 Factor R de la Norma de Perú E.030

Para las estructuras con vigas y columnas, la Norma de Perú indica que el valor de 8=R pero se debe mayorar la acción sísmica en las combinaciones de carga, como se indica a continuación:

( )

EDUELDU

25.19.025.1

±=±+=




Por lo tanto, la norma de Perú tiene un espectro a nivel de cargas de servicio. Si se divide

el factor R para 1.25, para no mayorar la acción sísmica en las combinaciones de carga, se halla que . 4.6=R

Por otro lado la deriva de piso máxima inelástica permitida es que es bastante

baja, ya que es inelástica. %7.0

2.7.6 Comparación de los factores R

Como se habrá observado hay una serie de factores que influyen en el factor R . Una nueva variable es la forma como se hallan los desplazamientos inelásticos a partir de los desplazamientos elásticos . De tal manera que existen algunas variables que están relacionadas con el factor

i∆

e∆R y en algunas normativas hay cierta inconsistencia entre estas

variables. En la tabla 2.5, se comparan los factores R , para estructuras conformadas por vigas y

columnas sin muros de corte, de los países que se han presentado, se indica este factor; el tipo de espectro formulado, si es Último no se mayora la acción sísmica en las combinaciones de carga; la deriva máxima permitida; que tipo de deriva es la permitida y para el caso de que son derivas inelásticas se indica la forma como se hallan los desplazamientos inelásticos.

Tabla 2.5 Comparación de variables que intervienen en el factor R País Norma Factor R Tipo de

Espectro Deriva de

Piso Tipo de Deriva

DesplazamientoInelástico

Venezuela COVENIN 156-98

6 Último 0.018 Inelástica ei R ∆=∆ 8.0

Colombia NSR-98 7 Último 0.01 Inelástica ei R ∆=∆ Ecuador CEC-2000 10 Servicio 0.02 Inelástica ei R ∆=∆

Perú E.030 8 Servicio 0.007 Inelástica ei R ∆=∆ 75.0 Chile NCh 433-96 11 ( ) 0R Servicio 0.001 Elástica

2.7.7 Necesidad de investigación local

En cada País, la arquitectura de los edificios y los materiales empleados en ellos, es diferente, razón por la cual es necesario estudiar el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R , en cada sitio. En la figura 2.16 se presentan 4 fotografías del centro norte de Quito, tomadas desde el piso 20 del Hotel Colón. La superior izquierda tiene vista hacia la Iglesia de Santa Teresita; la superior derecha hacia las calles Juan León Mera y 6 de Diciembre pero con dirección al norte; la inferior izquierda con vista a la González Suárez y la inferior derecha con vista hacia el sector de la Carolina, fotografías encontradas en (www.skyscrapercity.com)




45

Figura 2.16 Fotografías del Centro Norte de Quito. (www.skyscrapercity.com)

En el Ecuador en edificios de 1 a 6 pisos se acostumbra utilizar vigas no muy peraltadas,

vigas que sobresalen ligeramente de la losa, con columnas de sección transversal pequeña y se emplean estribos de 8 mm., de diámetro eso si espaciadas a 10 cm., en los extremos y 20 cm., en el centro de luz, además en las columnas es frecuente el uso de estribo doble o estribo más una vincha. Es este tipo de estructuras en que se ha determinado el factor R y en el siguiente apartado se presentan los resultados encontrados. Aguiar (2007).

Se analizaron 216 edificios cuadrados, con tres ejes de columnas en cada dirección y 216

edificios cuadrados, con cuatro ejes de columnas. Los edificios son de 1 a 6 pisos con un hormigón de 210 Kg./cm2 y con un acero de 4200 Kg./cm2; estos son los materiales que normalmente se utilizan en las construcciones de hormigón armado.

2.8 CUANTIFICACIÓN DEL FACTOR R

A mediados de 1980, se realizaron estudios experimentales, en la Universidad de

Berkeley, California, tendientes a encontrar el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R y es así como Uang y Bertero (1986) y Whittaker et al (1987) proponen la siguiente relación.

ξµ RRRR Ω=

( 2.9 )

Donde es el factor de ductilidad, es el factor de sobre resistencia y es el factor

de amortiguamiento. En los estudios experimentales que realizaron en estructuras de acero encontraron que el factor

µR ΩR ξR

R varía entre 4.5 y 6.0 Posteriormente, Freeman (1990), Uang (1991) han hecho modificaciones a la ecuación




(2.9 ) hasta llegar a la propuesta del ATC (1995) en que se cambia el factor de amortiguamiento por el factor de redundancia que toma en cuenta los ejes de columnas, a mayor número de

ejes de columnas se tendrá un mayor valor de , de tal manera que la ecuación ( 2.9 ) queda: ξR RR

RR

RRRRR Ω= µ ( 2.10 ) Se puede pensar en calcular el factor R en función de los siguientes cuatro factores:

RRRRRR Ω= ξµ ( 2.11 ) Hay trabajos como el de Riddell y Newmark (1979) que incorporan el amortiguamiento en

el factor de reducción por ductilidad, de tal manera que están incorporados en un solo

factor que puede denominarse . Este trabajo de Riddell y Newmark (1979) ha sido incorporado en el Código Sísmico de Costa Rica de 2002.

ξµ RR

ξµ ,R

2.9 FACTOR DE REDUCCIÓN POR DUCTILIDAD µR

Nuevamente se recomienda la lectura del capítulo 3 del libro Dinámica de Estructuras con MATLAB de Aguiar (2007) donde se demuestra entre otras cosas la regla de igual desplazamiento y la regla de igual energía que son fundamentales para entender las propuestas que se han realizado sobre el factor de reducción por ductilidad . En dicho capítulo se presenta también las propuestas realizadas a nivel mundial por Newmark y Veletsos (1960), Newmark y Hall (1973), Riddell y Newmark (1979), Newmark y Hall (1982) que todavía tienen vigencia.

µR

En el artículo, “Factor de reducción de las fuerzas sísmicas por ductilidad” Aguiar (2007)

se presentan 14 trabajos realizados a nivel mundial sobre este factor, siendo el último de ellos el efectuado por Lobo et al (2002) y también se presentan cuatro trabajos realizados en el Ecuador y son los realizados por Aguiar y Guerrero (2005); Aguiar y González (2006) y dos trabajos realizados por Aguiar, Romo y Aragón (2007,1,2).

Se define como a la relación entre la máxima fuerza elástica con respecto a la

máxima fuerza inelástica . µR eF

yF

y

e

FF

R =µ

( 2.12 )

Pero por otra, también se tiene que el desplazamiento máximo inelástico en un sistema de

un grado de libertad es igual a: i∆

ei R∆=∆

µ

µ

( 2.13 )

Donde: µ es la demanda de ductilidad, e∆ es el desplazamiento máximo elástico en un




47

sistema de 1 gdl. es el factor de reducción por ductilidad. De ecuación (2.13 ) se halla: µR

e

iCC

R∆∆

== µµ

µµ

De tal manera que hay dos formas de hallar , en base a fuerzas, con la ecuación (2.12) o en base a desplazamientos con la ecuación (2.13).

µR

2.9.1 Aguiar y Guerrero (2006)

En base al análisis de 63 acelerogramas con aceleraciones de suelo mayor al 10% de la

aceleración de la gravedad, de sismos registrados en Colombia, Perú, Chile y Argentina, Aguiar y Guerrero (2006) encontraron una relación para el factor que es función de la relación entre la

rigidez post fluencia con respecto a la rigidez elástica, que se denominaµR

α . Si 0=α se tiene el modelo elasto perfectamente plástico. Las ecuaciones obtenidas en el estudio son las siguientes:

( )[ ]

05.0248.01

0.0381.01

11

247.1

247.1

07.2

07.2

/1

=++

=

=++

=

+−=

α

α

µµ

paraTT

Tc

paraTT

Tc

cR c

( 2.14 )

• EJEMPLO 2

Determinar las curvas del factor de reducción por ductilidad para un valorµR 0=α ,

empleando la propuesta de Aguiar y Guerrero (2006). Para demandas de ductilidad de 1.5, 2.0, 3.0 y 4.0. Comentar los resultados.

• SOLUCIÓN

En la figura 2.17 se presentan los factores de encontrados para un modelo elasto

perfectamente plástico, µR

0=α . Del análisis de esta figura se realizan los siguientes comentarios:

• Para períodos entre 0.5 y 1.5 los valores que se obtienen son superiores a la ductilidad.

• Para períodos mayores a 1.5 prácticamente se cumple la regla de igual desplazamientos, aunque se aprecia que ligeramente son menores a la ductilidad para períodos altos.

• El modelo propuesto por Aguiar y Guerrero (2006) no depende del tipo de suelo.




Figura 2.17 Factores empleando propuesta de Aguiar y Guerrero (2006). µR

2.9.2 Aguiar y González (2006)

Lamentablemente no se dispone, en el Ecuador, de acelerogramas de eventos sísmicos fuertes, clasificados de acuerdo al tipo de suelo. Razón por la cual, se procedió a obtener registros artificiales con las siguientes características: i) La duración de los eventos sísmicos varía entre 20 y 50 s., ii) la fase intensa del sismo es de 10 s., iii) Los acelerogramas que se obtuvieron generan en forma aproximada los espectros elásticos del CEC-2000 para los cuatro perfiles de suelo y iv) Los acelerogramas encontrados generan espectros asociados a un valor = 0.4 g. Para cada perfil de suelo se obtuvo siete acelerogramas sintéticos con los cuales se halló la siguiente ecuación:

0A

1

1−

∗⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=d

b TTca

R

µ

µµ

( 2.15 )

Las constantes fueron obtenidas en el estudio y se indican en la tabla 2.5. El

valor de

dcba ,,,∗T es el indicado en la tabla 2.6.

Tabla 2.6 Valores de encontrados en el estudio. Aguiar y González (2006) dcba ,,,




49

Perfil de Suelo a b c d S1 30.00 1.34 -1.49 0.60 S2 71.80 2.00 -1.50 0.50 S3 81.04 2.00 -2.55 0.50 S4 86.00 2.10 -2.60 0.48

• EJEMPLO 3

Determinar las curvas del factor de reducción por ductilidad para un perfil de suelo S1, empleando la propuesta de Aguiar y González (2006). Para demandas de ductilidad de 1.5, 2.0, 3.0 y 4.0. Comente los resultados.

µR

• SOLUCIÓN

En la figura 2.18 se presentan los factores de reducción por ductilidad empleando la recomendación de Aguiar y González para un perfil de suelo S1. Los comentarios que se realizan a esta figura y en general a esta propuesta son los siguientes:

• Para períodos altos el valor es menor que la ductilidadµR µ . En consecuencia no se

cumple la regla de iguales desplazamientos. El tener valores bajos de implica tener fuerzas sísmicas más altas.

µR

• Se nota que cambia con el período aunque sea en forma muy pequeña para valores

de períodos altos pero existe ese cambio. µR

2.9.3 Aguiar, Romo y Aragón (2007)

En base a 112 sismos artificiales compatibles con los espectros del CEC-2000 para los cuatro perfiles de suelo y con 80 registros de sismos muy pequeños, se obtuvo siguiendo los lineamientos propuestos por Chopra (2005). Los resultados obtenidos, son:

µR

µµ

µ

µ

ψµ

λ

CR

TTaC

c

b

=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∗⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

−

∗

30103.01

1

( 2.16 )




Figura 2.18 Factores para un perfil S1, empleando propuesta de Aguiar y González (2006). µR

Tabla 2.7 Valores obtenidos en el estudio para diferentes tipos de suelo y ductilidades. Ductilidad 2

Perfil de Suelo a b c λ ψ S1 0.35 -3.50 1.40 0.17 0.87 S2 0.60 -2.90 1.31 0.17 0.82 S3 3.40 -1.00 1.50 0.21 1.00 S4 2.10 -1.40 1.00 0.12 1.70

Ductilidad 3 S1 1.00 -2.70 1.40 0.04 0.15 S2 1.00 -1.20 1.40 0.05 0.49 S3 3.00 -1.00 1.80 0.07 0.73 S4 15.00 -0.08 1.40 0.07 0.30

Ductilidad 4 S1 1.30 -1.50 1.76 0.03 0.25 S2 7.80 1.00 1.40 0.02 0.50 S3 1.30 -0.20 1.41 0.01 0.93 S4 0.23 -0.60 1.80 0.04 2.91

En la tabla 2.7 se indican el valor de las variables ψλ,,,, cba encontrados en el estudio para ductilidades de 2, 3 y 4 y para los cuatro perfiles de suelo del CEC-2000.

Una forma más compacta del ajuste de los datos, es la ecuación ( 2.17 ) . En este caso se




51

tiene una sola variable que es . Los valores de esta variable se indican en la tabla 2.8. a

( ) ( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−−+=

4900165.01165.0111µ

µµµ TaTaR

( 2.17 )

Tabla 2.8 Valores de la variable aVariable Suelo S1 Suelo S2 Suelo S3 Suelo S4

a 100500 91000 73600 38900

Por lo tanto, se tienen dos fórmulas que se pueden usar, la ( 2.16 ) y la ( 2.17 ) . La ventaja

de usar ésta última ecuación radica en que se obtiene directamente valores de para

ductilidades con decimales, ejemplo µR

3.2=µ . Si se utiliza la ecuación ( 2.16 ) para encontrar

para µR

3.2=µ se debe calcular primero el valor de para µR 2=µ , luego calcular para µR 3=µ ,

finalmente hay que interpolar para hallar para µR 3.2=µ . En cambio con la ecuación ( 2.17 ) el cálculo es directo.

En la figura 2.19 se comparan los valores de que se hallan con las ecuaciones ( 2.14 )

para µR

0=α , ( 2.15 ), ( 2.16 ) y ( 2.17 ). Están identificadas en la figura 2.19 como ecuaciones que van de la ( 1 ) a la ( 4 ). Para los cuatro perfiles de suelo que contempla el CEC-2000.

Como la ecuación ( 2.14 ) no depende del tipo de suelo, su valor no difiere en los cuatro

gráficos. La ecuación ( 2.15 ) proporciona valores bajos de . Por lo tanto, es una fórmula bastante conservadora. Las curvas que se hallan con las ecuaciones ( 2.16 ) y ( 2.17 ) prácticamente son las mismas, por lo que se recomienda trabajar con la ( 2.17 ).

µR

Los valores que se hallan con ( 2.16 ) y ( 2.17 ) están entre las que reportan ( 2.14 ) y

(2.15). Dos aspectos positivos de las ecuaciones ( 2.16 ) y ( 2.17 ) son que para un período igual a cero inician en la unidad y para el rango de períodos largos el valor de µµ ≈R , es decir se cumple con la regla de igual desplazamiento y esto se observó en la mayoría de resultados que el desplazamiento máximo inelástico es aproximadamente igual al desplazamiento máximo elástico que es el fundamento de la regla de igual desplazamiento.




Figura 2.19 Factores encontrados para el Ecuador, para ductilidad 4. µR

2.10 FACTOR DE SOBRE RESISTENCIA ΩR

Se define el factor de sobre resistencia como la relación entre el cortante basal último que es capaz de soportar la estructura con relación al cortante basal de diseño .

ΩR

UV DV

D

U

VV

R =Ω ( 2.18 )

En estructuras bien diseñadas este factor debe ser mayor que la unidad ya que

normalmente en el diseño se coloca una mayor cantidad de armadura, existen factores de seguridad en los modelos constitutivos de los materiales y para facilitar la construcción se uniformizan las secciones con lo que se coloca una mayor sección.

No siempre colocar más armadura en los elementos estructurales es beneficioso para la

estructura y por ende implica un mayor . Por ejemplo, si se coloca una mayor cantidad de armadura longitudinal en vigas, ocasiona que estas secciones tienen una mayor capacidad a flexión y esto induce a un mayor cortante y si no se tiene una adecuada cantidad de refuerzo

ΩR




53

transversal se va a producir la falla por corte y por ende tendrá menos . ΩR En el análisis sísmico los elementos no estructurales, normalmente no se consideran pero

la presencia de los mismos incrementa su capacidad y por ende . Pero nuevamente no se puede generalizar, ya que por ejemplo, en algunas ocasiones la mampostería genera elementos cortos en las columnas las mismas que son muy vulnerables con lo que , disminuye.

ΩR

ΩR Existen varias formas de encontrar , una de ellas mediante un análisis dinámico no

lineal y otra mediante un análisis no lineal estático. En este capítulo se determina a partir de la curva de capacidad sísmica resistente, que relaciona el cortante basal V con el desplazamiento lateral máximo en el tope de un edificio , la misma que se halla aplicando la técnica del pushover. Aguiar (2002, 2003).

ΩR

ΩR

tD

2.10.1 Aguiar, Guadalupe y Mora (2007) Aguiar, Guadalupe y Mora (2007) en base al análisis de 432 edificios de hormigón armado

de 1 a 6 pisos, conformados por vigas y columnas, sin muros de corte, determinan en base a la deriva máxima de piso

ΩRγ , de acuerdo a la siguiente metodología.

i. Se halla la curva de capacidad sísmica resistente tDV − como se indica a la izquierda de

la figura 2.19.

ii. A partir de la curva se halla la curva cortante basal V con deriva global de la estructura

tDV −

gγ . Para el efecto el desplazamiento lateral se divide para la altura total del

edificio tD

H . Esta curva gV γ− se indica a la derecha de la figura 2.19.

HDt

g =γ ( 2.19 )

Figura 2.19 Relaciones tDV − y gV γ− .




iii. Se halla la relación cortante basal V con deriva máxima de piso γ . Para el efecto se debe

encontrar una relación entre la deriva de piso γ y la deriva global gγ .

Se define el parámetro 2β a la relación entre gγγ / . Este parámetro fue obtenido para estructuras conformadas por vigas y columnas de hormigón armado, del análisis no lineal de 120 edificios de 1 a 10 pisos, ante la acción de 32 acelerogramas. Aguiar et al (2006). Llegando a obtener:

6759.03018.00231.0 22 ++−= NNβ ( 2.20 )

gγβγ 2= ( 2.21 )

Siendo el número de pisos. El valor de N 2β siempre será mayor a la unidad. De tal manera que a partir de la curva gV γ− se obtiene la curva γ−V , la misma que se indica a la izquierda de la figura 2.20.

iv. Para una determinada deriva máxima de piso γ , se halla un cortante basal V . Si se divide el cortante basal , que es el cortante máximo de la curva de capacidad sísmica resistente para V se halla . De tal forma que de la curva

UV

ΩR γ−V se halla γ−ΩR .

Figura 2.20 Relaciones γ−V y γ−ΩR .

A mayor deriva de piso γ que se espera en una estructura menor será . En la figura

2.21 se presentan los valores medios encontrados en los edificios de 1 a 6 pisos de 2 y 3 vanos. De esta gráfica se desprende que no se puede indicar que a mayor número de vanos mayor será el valor de o al revés.

ΩR

ΩR




55

Figura 2.21 Valores promedios de para diferentes valores de ΩR γ

2.10.2 Aguiar y Guaiña (2008) En la figura 2.22 se presentan los valores del factor de sobre resistencia encontrados

en el estudio en función del período de vibración ΩR

T de las estructuras, también se ha encontrado la curva que mejor se ajusta a los resultados obtenidos y estas son las indicadas en la tabla 2.9, la validez de estas ecuaciones es para estructuras con períodos mayores a 0.35 s., y menores a 1.05 s. Aguiar y Guaiña (2008).

Tabla 2.9 Ecuaciones de ajuste de la sobre resistencia γ Ecuación Error

0.5 % 25.150.082.069.1

TTR −+=Ω

10 %

1.0 % 2

2 log029.00229.043.1TTTR ++=Ω

10.4 %

1.5 % 07.227.427.683.2 23 +−+−=Ω TTTR 8.0 %

2.0 % 70.114.393.434.2 23 +−+−=Ω TTTR 8.0 %




Figura 2.22 Variación de la sobre resistencia en función del período de vibración.

2.11 FACTOR DE REDUNDANCIA RR

El factor de redundancia mide la capacidad de incursionar la estructura en el rango no lineal. La capacidad de una estructura en redistribuir las cargas de los elementos con mayor solicitación a los elementos con menor solicitación. Se evalúa como la relación entre el cortante basal máximo con respecto al cortante basal cuando se forma la primera articulación plástica .

RR

UV

1V

1VV

R UR = ( 2.22 )

Con esta definición el factor de redundancia será siempre mayor que la unidad, ya que una estructura que no tenga redundancia y en la cual se forme la primera rótula plástica, y colapse se tendrá que . 1VVU =

Si en una estructura se pueden formar una gran cantidad de rótulas plásticas antes de que

colapse tendrá un factor de redundancia alto, para esto en forma intuitiva se ve que es función del número de ejes de columnas, ya que mientras mayor sea el número de ejes de columnas se tendrá un mayor número de secciones que pueden rotularse.

En lugar de hablar de rótulas plásticas, parece que es más apropiado hablar de secciones




57

que ingresan al rango no lineal; cuyo momento es mayor que el momento de fluencia. La definición de rótula plástica indica que la sección es incapaz de absorber más momento por lo que empieza únicamente a rotar, esto responde a un modelo elasto plasto.

2.11.1 Recomendación del ATC-19 (1995) El ATC-19 (1995) recomienda los valores de indicados en la tabla 2.10 los mismos que

están en función del número de ejes de columnas. Para estructuras que tengan 5 o más ejes de columnas el factor de es mayor a la unidad pero no indica que tan mayor.

RR

RR

Tabla 2.10 Valores de propuestos por el ATC-19 (1995). RRNúmero de ejes de columnas RR

2 0.71 3 0.86 4 1.00

El valor de se evaluará en cada dirección ya que habrá estructuras que tengan por ejemplo 4 ejes de columnas en una dirección y 3 ejes de columnas en la dirección perpendicular.

RR

Si una estructura tiene 3 ejes de columnas en cada dirección, en total 9 columnas, el valor

de a utilizar, de acuerdo a la tabla 2.10, es 0.86 con lo que se disminuye el factor de reducción de las fuerzas sísmicas

RRR .

2.11.2 Metodología de Tsopelas y Husain (2004) Tsopelas y Husain (2004) proponen el cálculo del factor de redundancia en base a dos

índices, el uno de naturaleza determinística conocido como índice de resistencia y el otro de carácter probabilística que es el índice de variación de redundancia. El índice de resistencia se evalúa con la ecuación ( 2.22 ). Para el cálculo del índice de variación de redundancia , en dos dimensiones Husain y Tsopelas (2004) deducen la siguiente ecuación:

RR

Sr

Vr

Vr

nnrV

ρ)1(1 −+=

( 2.23 )

Donde es el número de rótulas plásticas para el mecanismo de colapso considerado; n

ρ es el coeficiente de correlación promedio de las deformaciones.




( ) ∑≠=−

=n

jiji

ijnn 1,11 ρρ ( 2.24 )

Donde ijρ es el coeficiente de correlación entre los momentos . Siendo el

momento de fluencia del elemento estructural donde se formó la rótula plástica i . ji MM , iM

El valor de varía desde 0 que corresponde a un sistema que tiene mucha redundancia

estructural hasta 1 que es un sistema que no tiene redundancia. En efecto si , la ecuación (2.23) vale la unidad, luego no tiene redundancia.

Vr1=n

En la figura 2.23 se indican valores de para valores del coeficiente de correlación

promedio de Se aprecia que a medida que Vr

40.0;20.0;0 ρ aumenta el valor de aumenta es decir el sistema es menos redundante. Valores altos de

Vrρ implican que hay una gran correlación

entre los momentos y valores bajos de ji MM , ρ significa que hay poca correlación entre los momentos y se incrementa su redundancia debido a su efecto probabilístico.

Figura 2.23 Valores de en función del número de rótulas plásticas. Vr

En base a estos dos índices, Tsopelas y Husain (2004) determinan el factor de redundancia con la siguiente ecuación: RR




59

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

e

VeSR k

rkrR

νν

11

( 2.25 )

Donde eν es el coeficiente de variación de las fuerzas y varía entre 0.08 y 0.14; es un

factor de forma de la resistencia que varía entre 1.5 y 2.5. De tal manera que k

ekν varía entre 0.12 y 0.35. Tsopelas y Husain (2004).

2.11.3 Aguiar, Guaiña y Bernal (2008) Aguiar, Guaiña y Bernal (2008) determinan el factor de redundancia aplicando la

ecuación (2.22) pero considerando que RR

YVV =1 . Donde es el cortante basal de fluencia de la estructura. Para hallar y se aplica la técnica del pushover y se encuentra la curva de capacidad sísmica resistente que relaciona el cortante basal V con el desplazamiento lateral máximo . Para encontrar el punto de fluencia se aplica el criterio de iguales áreas. Aguiar (2002). Por lo tanto, el factor de redundancia se encuentra con la siguiente ecuación.

YV

UV YV

tD

Y

UR V

VR = ( 2.26 )

Donde es la capacidad máxima al cortante basal que tiene la estructura y es el

cortante a nivel de fluencia. UV YV

Por otra parte, se considera que una estructura tiene un muy buen comportamiento si se

forma el mecanismo de fallo mostrado en la figura 2.24, en donde se han rotulado todas las vigas en sus extremos y los pies de las columnas.

Figura 2.24 Mecanismo de colapso, adoptado en el estudio.




Si al aplicar la técnica el pushover en una estructura se forman menos rótulas plásticas para llegar al fallo, que las del mecanismo de colapso adoptado, el valor de obtenido con la ecuación (2.26) se disminuye en forma proporcional al número de rótulas con las que se llegó al fallo.

RR

Con la metodología descrita se halló el factor en las 432 estructuras que sirvieron

también para hallar . Los resultados encontrados en función del período de vibración se indican en la figura 2.25. La ecuación que mejor se ajusta a estos resultados es la siguiente.

RR

ΩR

30.126.354.699.2 23 +−+−= TTTRR ( 2.27 )

Figura 2.25 Variación del factor de reducción por redundancia con el período.

2.12 PROPUESTA DEL FACTOR R Al reemplazar el factor de reducción por ductilidad de la ecuación (2.17); el factor de

sobre resistencia de la tabla 2.9 y el factor de redundancia de la ecuación (2.27) en la expresión ( 2.10 ) se halla el factor de reducción de las fuerzas sísmicas

µR

ΩR RRR para estructuras

conformadas por vigas y columnas, sin muros de corte. Los resultados expresados en forma gráfica para una capacidad de ductilidad global de la estructura de 4 se indican en la figura 2.26. En esta figura con una línea horizontal se ha dibujado la recta 7=R .

En la figura 2.26, se aprecia que el factor R puede ser mayor a 7 si las derivas máximas

permitidas son %5.0=γ o %0.1=γ pero dependen del período y del tipo de suelo. En efecto en




61

un perfil de suelo S3 se tienen valores mayores de 7 sólo para derivas de piso igual a 0.5%.. Lo importante es notar que si puede ser mayor a 7 el factor R cuando se trabaja con un espectro de cargas últimas siempre y cuando la deriva máxima permitida sea menor o igual al 1%, en suelos S1 a S3.

Figura 2.26 Valores del factor de reducción de las fuerzas sísmicas para ductilidad igual a 4.

Para derivas de piso máximas de 1.5 % o 2 % el factor R es menor a 7, para el rango de períodos considerado.

En base al estudio realizado se propone que para estructuras conformadas por vigas y

columnas sin muros de corte, el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R sea igual a 6 para los perfiles de suelo S1, S2 y S3. Para el perfil de suelo S4 el factor R debe ser igual a 5. Esta propuesta está condicionada a que la deriva máxima calculada en forma inelástica sea menor a 1.5%.

En el libro: “Factor de reducción de las fuerzas sísmicas en edificios de hormigón armado”,

Aguiar (2007) se presenta un estudio detallado de la investigación realizada en el Centro de Investigaciones Científicas de la ESPE, sobre el factor de reducción de las fuerzas sísmicas, trabajo desarrollado entre 2005 y 2007.




REFERENCIAS

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9. Aguiar R., Álvarez M., (2007), “Obtención de espectros para diferentes factores de

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RR



CAPÍTULO 3

MATRIZ DE RIGIDEZ: LATERAL Y EN COORDENADAS DE PISO

RESUMEN

Uno de los modelos más utilizados para el análisis sísmico espacial de edificios es el considerar tres grados de libertad por planta, que implica suponer que la losa es completamente rígida en su plano. Realmente se trata de un pseudo análisis espacial ya que se trabaja con pórticos planos unidos por una losa rígida pero es muy utilizado en el mundo. Para este modelo de análisis se determina la matriz de rigidez en coordenadas de piso, en el presente capítulo.

Para hallar la matriz de rigidez en coordenadas de piso, se necesita conocer la matriz

de rigidez lateral de cada uno de los pórticos, razón por la cual se presenta en forma práctica el cálculo de la matriz de rigidez lateral para los siguientes casos: sin considerar nudos rígidos, considerando nudos rígidos y sin nudos rígidos pero considerando el aporte de la mampostería.

Para facilitar el cálculo se presentan los programas: RLAXINFI, que sirve para pórticos

formados por vigas y columnas sin muros de corte; RLAXINFIMURO que halla la matriz de rigidez lateral en pórticos con muros de corte y RLAXINFIMAMPOSTERIA que encuentra la matriz de rigidez lateral en pórticos planos, sin muros de corte pero con el aporte de la mampostería, la misma que es modelada de acuerdo a la normativa de Perú.

Se presentan nueve modelos para obtener el ancho equivalente de la mampostería

para la diagonal equivalente y de estos se seleccionó el de Paulay y Priestley (1992) que fue acogido por la Norma de Perú.

Por considerarlo de interés se presentan las lecciones dejadas en el sismo del Perú de

2007 en el Bloque de Enfermería de la Universidad San Luis Gonzaga de la ciudad de Ica, donde se desacopló la mampostería mediante la construcción de subpórticos conformados por columnetas y viguetas los mismos que confinan a la mampostería. Pero la falta de anclaje del hierro longitudinal de las columnetas en la viga principal llevó a que falle las bases del subpórtico.




66

3.1 INTRODUCCIÓN

Para ilustrar el modelo de análisis, en la figura izquierda de 3.1 se tiene una estructura de un piso sin deformarse. A la derecha de la figura 3.1 se presenta una deformada de la losa por efecto de la componente horizontal de un sismo, con líneas entrecortadas se ha representado la posición inicial de la losa y con líneas continuas la posición final. Nótese que las dimensiones de la losa deformada son las mismas de la losa sin deformación.

Un punto cualquiera de la losa se ha desplazado horizontalmente en la dirección X,

horizontalmente en la dirección Y, además ha rotado con respecto a un eje perpendicular al plano de la losa. De tal manera que se tienen tres grados de libertad. En teoría estos grados de libertad pueden ubicarse en cualquier punto de la losa pero para facilitar el cálculo de la matriz de masas se acostumbra ubicarlo en el Centro de Masa, C.M.

En la figura 3.2 se presenta una estructura de un piso que tiene cuatro pórticos, dos en sentido X, y dos en sentido Y. Se indican los grados de libertad, ubicados en el C.M., los mismos que se han identificado con la letra y el vector que contiene a todos estos grados de libertad se denomina vector de coordenadas generalizadas q .

q

Figura 3.1 Hipótesis planteada para los movimientos horizontales del suelo.

Figura 3.2 Sistema de coordenadas de piso Q-q




67

Todos los puntos de la losa tendrán el mismo desplazamiento horizontal ; lo propio

con el desplazamiento y con la rotación de piso . 1q

2q 3q

3.2 RELACIÓN ENTRE COORDENADAS DE PISO Y DE PÓRTICO

Para ilustrar la relación que existe entre las coordenadas de piso y las coordenadas de pórtico, se observa la estructura de un piso de la figura 3.2, se ha identificado por 1 y 2, los pórticos que se encuentran en sentido X, y por A, B, los que se hallan en sentido Y.

Un pórtico cualquiera tendrá, como coordenada principal, un solo grado de libertad que

es el desplazamiento lateral del pórtico, a manera de ejemplo en la figura 3.3 se indican la coordenada del pórtico 1, algo similar se tienen para los otros pórticos. En este caso la coordenada lateral se ha colocado al lado derecho pero se pudo haber colocado al lado izquierdo y con sentido contrario. Se define la orientación positiva del pórtico 1 a la dirección en que se colocó la coordenada 1.

Figura 3.3 Coordenada lateral del pórtico 1. Sistema P-p.

Ahora tiene importancia la orientación positiva de los pórticos que se ha indicado en la

figura 3.4. Esta orientación es paralela a los ejes de coordenadas X, Y. La orientación de los pórticos es positiva si están en la dirección de los ejes. El C.M. de ésta estructura se considera que está ubicada en el centro de gravedad de la misma y tiene coordenadas m.,

m. 0.3=CMX

5.2=CMY A las coordenadas laterales de los pórticos se las agrupa en el vector p y a los

elementos se los identifica con p . La una es negreada y la otra no. Para el pórtico 1, que es de un piso, se tiene una coordenada que corresponde al desplazamiento horizontal del piso uno, medida positiva si el desplazamiento es hacia la derecha. Con la letra se identifica la fuerza horizontal en el piso 1. Si son varios pisos las fuerzas horizontales se agrupan en el vector

1p

1P

P . La relación entre las coordenadas de piso y las coordenadas de pórtico q p viene

dada por la matriz de compatibilidad de deformaciones , definida de la siguiente manera: A

qAp = ( 3.1 )




68

Figura 3.4 Geometría de la estructura de un piso.

Para encontrar la columnas de la matriz se dibujaran elementales y se miden las

deformaciones A iq

p . Estas son positivas si el pórtico se desplaza en sentido de la orientación positiva.

• EJEMPLO 1

Determinar la matriz de compatibilidad de la estructura de un piso indicada en la

figura 3.2. A

• SOLUCIÓN

Primera columna de la matriz A

1011 ≠== iqyq i

Figura 3.5 Deformada elemental 1q




69

Es el centro de masa el que se desplaza horizontalmente, en sentido X, la unidad pero como la losa es totalmente rígida en el plano, toda la losa se mueve la unidad como se aprecia en la figura 3.5. Ahora se debe medir las deformaciones en cada uno de los pórticos.

0011 )(

1)(

1)2(

1)1(

1 ==== BA pppp Entre paréntesis se ha identificado al pórtico. Para los pórticos en sentido X, los

desplazamientos son positivos y valen la unidad; en cambio, para los pórticos en sentido Y, son nulos ya que la estructura se mueve como cuerpo rígido en sentido X.

Segunda columna de la matriz A

La deformada elemental se presenta en la figura 3.6; en este caso la losa se mueve como cuerpo rígido, en sentido Y, la unidad.

2012 ≠== iqyq i

Figura 3.6 Deformada elemental . 2q

Luego los desplazamientos laterales de cada uno de los pórticos son:

1100 )(1

)(1

)2(1

)1(1 ==== BA pppp

Se deja al lector la obtención de los elementos de la tercera columna de A, los valores

que se obtienen, son:

335.25.2 )(1

)(1

)2(1

)1(1 =−==−= BA pppp

Luego la matriz A, resulta:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

0.3100.3105.2015.201

A




70

La matriz A es particionada, para el ejemplo se tiene:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

)(

)(

)2(

)1(

B

A

A

A

A

A

A

La matriz A del pórtico 1, es:

[ ]5.201)1( −=A

La matriz A de cada pórtico tiene una fila debido a que la estructura es de 1 piso y tiene 3 columnas. Para el caso general la matriz de compatibilidad A tendrá NP filas y 3 por NP columnas, siendo NP el número de pisos y la forma de esta matriz es:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

n

i

rSenCos

rSenCosA

αα

αα...................

1)( ( 3.2 )

Donde α es el ángulo que forma la orientación positiva del pórtico con respecto al eje X, es la distancia desde el origen de coordenadas CM hasta el pórtico ( i ) en el piso uno, es la distancia medida en el último piso desde el origen de coordenadas hasta el pórtico. Los valores de

1r nr

r , tienen signo, serán positivas si la orientación positiva del pórtico rota con respecto al CM en forma antihorario.

3.3 MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS DE PISO

Para encontrar la matriz de rigidez en coordenadas de piso , se considera como artificio que cada uno de los pórticos, son elementos de una estructura que están unidos entre si por medio de una losa rígida. Con esta hipótesis, la matriz de rigidez se obtiene empleando la teoría de Análisis Matricial de Estructural. Aguiar (2004) que establece lo siguiente:

EK

∑=

=NP

i

iiL

tiE AKAK

1

)()()( ( 3.3 )

El procedimiento de cálculo para hallar la matriz de rigidez en coordenadas de piso, es

el siguiente:

i. Se determina la matriz de rigidez lateral de cada uno de los pórticos planos.

LK




71

ii. Se encuentra la matriz de compatibilidad de deformaciones de cada pórtico,

empleando la ecuación ( 3.2 ). A

iii. Se halla la matriz de rigidez en coordenadas de piso, empleando la ecuación

(3.3).

Se desea ver la contribución de un pórtico cualquiera a la matriz de rigidez en coordenadas de piso . Sea la matriz de rigidez lateral del pórtico y la matriz de compatibilidad.

EK )(iLK )(iA

[ ]rISenICosA i αα=)(

Al efectuar el triple producto matricial indicado en ( 3.3 ) se obtiene:

( ) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=∆2)()()()()()(

)()()(2)(

)()()()(2

iiL

iiL

iiL

iiL

iL

iL

iiL

iL

iL

E

rKrKSenrKCos

rKSenKSenKCosSen

rKCosKCosSenKCos

K

αα

ααα

ααα

α

α

( 3.4 )

En ( 3.4 ) se ha denominado EK∆ a la contribución de un pórtico a la matriz de rigidez de la estructura. Para hallar la matriz de rigidez total se debe sumar la contribución de los demás pórticos con lo que se obtiene:

EK

( ) ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

∑∑∑∑∑∑∑∑∑

2)()()()()()(

)()()(2)(

)()()()(2

iiL

iiL

iiL

iiL

iL

iL

iiL

iL

iL

E

rKrKSenrKCos

rKSenKSenKCosSen

rKCosKCosSenKCos

K

αα

ααα

ααα

α

α

( 3.5 )

La sumatoria se extiende a todos los pórticos de la estructura. La matriz de rigidez es de orden 3NP por 3NPy es simétrica con respecto a la diagonal principal. De igual manera la matriz se puede escribir de la siguiente manera:

EK

EK

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

θθ

θ

θ

KKKKKK

K YYY

XXYXX

E ( 3.6 )

Siendo las matrices de rigidez lateral por traslación; matriz de rigidez torsional; matrices de rigidez de acoplamiento lateral con torsión; es la matriz trasnacional de acoplamiento en las direcciones X,Y.

YYXX KK , θθK

θθ YX KK , XYK




72

( )∑∑∑ ===2)()()(2)(2 ii

Li

LYYi

LXX rKKKSenKKCosK θθαα

∑ ∑== )()()()( iiLY

iiLX rKSenKrKCosK αα θθ ( 3.7 )

∑= )(iLXY KSenCosK αα

Con respecto a las submatrices de la matriz de rigidez es necesario realizar los

siguientes comentarios: EK

• Si se desea que la estructura tenga un muy buen comportamiento sísmico. Las

submatrices deben ser nulas. En la medida que no lo sean se deberá tomar precauciones en el diseño para no tener problemas de torsión.

θθ YXXY KKK ,,

• Lo más crítico en las estructuras es la torsión y para evitar este problema es

conveniente que la submatriz sea lo más grande posible. Si se examina la ecuación con la cual se evalúa se aprecia que es función del vector elevado al cuadrado. De tal manera, para tener lo más alto es necesario de que los pórticos exteriores tengan mayor rigidez lateral.

θθK

θθK r

θθK

Si se piensa, desde el punto de vista de cargas verticales, los pórticos centrales serán los de mayores dimensiones y los exteriores de menores dimensiones pero ahora desde el punto de vista sísmico y para tener mayor rigidez torsional se recomienda que los pórticos exteriores tengan mayor rigidez.

3.4 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL PARA PÓRTICOS SIN MUROS

En el capítulo 4 del libro Dinámica de Estructuras con MATLAB, Aguiar (2007) se detalla el cálculo de la matriz de rigidez lateral en pórticos planos, considerando varios modelos de análisis, por lo que se recomienda su lectura.

En éste apartado se presenta el cálculo de la matriz de rigidez lateral de un pórtico

plano sin muros de corte, para un modelo numérico de cálculo en que todos los elementos del pórtico son axialmente rígidos, de tal manera que los grados de libertad son los desplazamientos horizontales, uno por cada piso y las rotaciones en cada una de las juntas.

En la figura 3.7 se presenta un pórtico de dos pisos y dos vanos en el que se ha

considerado que tanto las vigas como las columnas son axialmente rígidas. Las coordenadas principales, son los desplazamientos horizontales de piso y se han numerado en primer lugar, posteriormente se han numerado los giros de cada uno de los nudos, que son las coordenadas secundarias, todo esto se aprecia en la figura izquierda, a la derecha se presenta el pórtico únicamente con las coordenadas laterales.

Se define la matriz de rigidez lateral a la matriz de rigidez asociada a las

coordenadas laterales de piso. LK




73

Figura 3.7 Grados de libertad, considerando que todos los elementos son axialmente rígidos y

coordenadas laterales.

3.4.1 Matrices de rigidez de los elementos Para el modelo de análisis indicado, las matrices de rigidez de los elementos se indican

a continuación. En las figuras 3.8 y 3.9 se indican los sistemas de coordenadas para los elementos viga y columna.

• Elemento viga

Figura 3.8 Coordenadas globales para un elemento viga, axialmente rígido.

=k

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

LEI

LEI

LEI

4

24

( 3.8 )

Donde E es el módulo de elasticidad del material, I es el momento de inercia, es la longitud del elemento. Nótese que en la ecuación ( 3.8 ) no se considera el efecto de corte

Lφ

que se hablará en el próximo apartado.




74

• Elemento columna

=k

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−

LEILEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

4

612

264

612612

23

2

2323

( 3.9 )

Figura 3.9 Coordenadas globales para un elemento columna, axialmente rígido.

En las dos ecuaciones no se ha considerado el efecto de corte φ y nudos rígidos, de

tal forma que el modelo sirve para pórticos sin muros de corte, conformados por vigas y columnas.

3.4.2 Ensamblaje de la matriz de rigidez La matriz de rigidez de la estructura asociada a todos los grados de libertad, se obtiene

por ensamblaje directo, descrito con detalle en el libro Análisis Matricial de Estructuras, tercera edición. Aguiar (2004) y se indica en forma resumida en el presente apartado, en base a la estructura de la figura 3.7. En la figura 3.10 se indica la numeración de los elementos dentro de un círculo y de los nudos. De esta manera se deben numerar los nudos y elementos para utilizar el programa RLAXINFI que se presenta en un apartado posterior y que sirve para hallar la matriz de rigidez lateral de un pórtico plano, sin muros de corte.




75

Para encontrar la matriz de rigidez de la estructura, por ensamblaje directo, se encuentra la matriz de rigidez de cada uno de los elementos, si es columna esta es de 4x4 y si es viga de 2x2.

El Vector de Colocación VC de un elemento está conformado por los grados de libertad

del nudo inicial y del nudo final del elemento. El número de elementos del vector de colocación es igual al número de coordenadas de miembro, con el que se halla la matriz de rigidez de miembro.

• Vectores de colocación VC, de las columnas. Se considera que el nudo inicial de las columnas se encuentra en la parte inferior y el

nudo final en la parte superior. Con esta indicación y al observar la figura izquierda de 3.7, se obtienen los siguientes vectores de colocación para cada una de las columnas.

[ ] [ ] [[ ] [ ] [ 825172416231

510041003100)6()5()4(

)3()2()1(

===

===

VCVCVC

VCVCVC ]]

Figura 3.10 Numeración de nudos y elementos.

• Vectores de colocación VC, de las vigas. El nudo inicial se encuentra a la izquierda y el nudo final a la derecha. Con esta

acotación de la figura izquierda de 4.1 se obtiene:

[ ] [ ] [ ] [ 87765443 )10()9()8()7( ==== VCVCVCVC ] Para hallar la matriz de rigidez por ensamblaje directo, se obtiene la matriz de rigidez

de cada uno de los elementos y con el respectivo vector de colocación se efectúa el ensamblaje. Para facilitar el cálculo se coloca el VC encima y a la derecha de la matriz de rigidez del elemento; cuando una de las componentes de VC es cero se tacha la fila o columna a la cual está asociada esa coordenada y cuando es diferente de cero se realiza el ensamblaje.




76

3.4.3 Condensación Estática

En la figura 3.7 se ha numerado en primer lugar las coordenadas laterales, que son las coordenadas principales, debido a que ante la componente horizontal de un sismo los desplazamientos laterales son de mayor magnitud que las rotaciones y cuando la estructura ingresa al rango no lineal por medio de los desplazamientos laterales se disipa una mayor cantidad de energía. Cuando se numera en primer lugar las coordenadas laterales la matriz de rigidez condensada, que es la matriz de rigidez lateral , se halla con la siguiente ecuación. LK

( 3.10 )

BABBABAAL KKKKK 1−−=

Donde son submatrices de la matriz de rigidezBBBAABAA KKKK ,,, K como se aprecia en la figura 3.11. Siendo na el número de coordenadas principales y nb el número de coordenadas secundarias. La suma de na y nb es el número de grados de libertad de la estructura. Para el ejemplo de la figura 3.7 se tiene que na es igual a 2 y nb = 6.

Figura 3.11 Partición de la matriz de rigidez de la estructura.

No es obligatorio numerar primero las coordenadas principales, se pueden numerar

primero las coordinas secundarias y al final las principales. En este caso la matriz de rigidez lateral vale:

ABAABABBL KKKKK 1−−= ( 3.11 )

De tal forma que existen dos opciones para numerar los grados de libertad de la

estructura que son numerar primero todos las coordenadas principales o numerar al final estas coordenadas. Lo que no se puede hacer es mezclar la numeración de las coordenadas principales y secundarias.

Tanto en la ecuación ( 3.10 ) como en la ecuación ( 3.11 ) se debe obtener la matriz

inversa de una matriz. En los problemas de ingeniería se trata de evitar el cálculo de una matriz inversa ya que demanda mucho tiempo y en lugar de ello se resuelven sistemas de ecuaciones.




77

Para cuando se numera primero las coordenadas laterales y se desea resolver un conjunto de ecuaciones lineales en lugar de calcular la inversa , la ecuación ( 3.10 ) se escribe de la siguiente manera:

BBK

( 3.12 ) TKKK ABAAL +=

Para hallar la matriz T se debe resolver un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:

( 3.13 ) BABB KTK −=

La matriz T tendrá nb filas y na columnas. Para encontrar la primera columna de la

matriz T se resolverá el sistema de ecuaciones lineales cuyo término independiente es la primera columna de cambiado de signo, para la segunda columna de BAK T se resuelve el sistema de ecuaciones cambiando el término independiente a la segunda columna de cambiado de signo y así sucesivamente. En todos los casos la matriz de coeficientes es la misma.

BAK

BBK

Una forma más eficiente de encontrar la matriz de rigidez lateral sin necesidad de

invertir la matriz ni de resolver un sistema de ecuaciones lineales, es aplicando la triangularización de Gauss pero en este caso es obligatorio que las coordenadas principales se numeren al final. En el libro Dinámica de Estructuras con MATLAB. Aguiar (2006) está detallado el procedimiento de cálculo.

3.5 PROGRAMA RLAXINFI

El programa reporta la matriz de rigidez lateral y la graba en consola con el nombre de KL para que se pueda utilizar en otros cálculos. La forma de uso del programa es:

[KL] = rlaxinfi (Nombre)

• Nombre. Es el nombre del archivo que contiene la base y la altura de la sección transversal y la longitud de los elementos.

function[KL]=rlaxinfi(nombre) % % Programa para encontrar la matriz de rigidez lateral de un portico plano % considerando que todos los elementos son axialmente rigidos. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------- % [KL]=rlaxinfi(nombre) %------------------------------------------------------------- % CG Matriz de coordenadas generalizadas % VC Vector de colocacion % E Modulo de elasticidad del material % SS Matriz de rigidez de la estructura % b: base de la seccion transversal. % h: altura de la seccion transversal.




78

% long: longitud del elemento. % nombre Archivo de datos que contiene la base, la altura y la longitud % de cada uno de los elementos. % nod=input('\n Numero de nudos:'); np=input(' Numero de pisos:'); nr=input(' Numero de nudos restringuidos:'); E=input(' Modulo de elasticidad:'); % Coordenadas Generalizadas CG=zeros(nod,2);ngl=0;k=nr; for i=1:np ngl=ngl+1; for j=1:nr k=k+1; CG(k,1)=ngl; end end for i=1:nod-nr ngl=ngl+1; k=nr+i; CG(k,2)=ngl; end ncol=np*nr; mbr=ncol+(nr-1)*np;nvig=mbr-ncol; ici=0;icf=nr; for i=1:ncol ici=ici+1; icf=icf+1;ini(i)=ici;fin(i)=icf; end ii=ncol; for j=1:np ici=j*nr; for i=1:nr-1 ii=ii+1;ici=ici+1;ini(ii)=ici;fin(ii)=ici+1; end end % Arreglo VC. Vectores de colocacion for i=1:mbr for k=1:2 VC(i,k)= CG(ini(i),k); VC(i,k+2) = CG(fin(i),k); end end % Matriz de rigidez de miembro y de la estructura for i=1:mbr B(i)=nombre(i,1);H(i)=nombre(i,2);L(i)=nombre(i,3); end % Calculo de la matriz de rigidez de la estructura fprintf ('\n Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1'); icod=input('\n Ingrese codigo de inercias :'); SS=zeros(ngl,ngl); for i=1:mbr b=B(i);h=H(i);long=L(i);iner=b*h^3/12;ei=E*iner; if i<=ncol if icod==1 iner=0.8*iner;ei=E*iner; end k(1,1)=12*ei/long^3;k(1,2)=-6*ei/long^2;k(1,3)=-k(1,1);k(1,4)=k(1,2); k(2,1)=k(1,2);k(2,2)=4*ei/long;k(2,3)=-k(1,2);k(2,4)=2*ei/long; k(3,1)=k(1,3);k(3,2)=k(2,3);k(3,3)=k(1,1);k(3,4)=6*ei/long^2; k(4,1)=k(1,4);k(4,2)=k(2,4);k(4,3)=k(3,4);k(4,4)=k(2,2);




79

else if icod==1 iner=0.5*iner;ei=E*iner; end k=zeros(4,4);k(2,2)=4*ei/long;k(2,4)=2*ei/long;k(4,2)=k(2,4);k(4,4)=k(2,2); end for j=1:4 jj=VC(i,j); if jj==0 continue end for m=1:4 mm=VC(i,m); if mm==0 continue end SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m); end end end % Matriz de rigidez lateral na=np;nb=ngl-np; Kaa=SS(1:na,1:na);Kab=SS(1:na,na+1:ngl);Kba=Kab';Kbb=SS(na+1:ngl,na+1:ngl); KL=Kaa-Kab*inv(Kbb)*Kba; fprintf ('\n Matriz de rigidez lateral :'); save c:\KL %---fin---

• EJEMPLO 2

Encontrar la matriz de rigidez lateral del pórtico plano de la figura 3.12, de dos maneras, a saber: i) con inercias gruesas; ii) con inercias agrietadas de acuerdo a lo estipulado por el CEC-2000. Para los dos casos E = 1738965.21. Presentar el archivo de datos y la forma de uso del programa RLAXINFI

Figura 3.12 Geometría de pórtico de ejemplo.




80

• SOLUCIÓN

El archivo de datos que contiene las dimensiones de las secciones y la longitud de los elementos se ha denominado casa y contiene la siguiente información

% Indique la base, la altura de la sección transversal y la longitud del elemento 0.20 0.30 3.0 0.20 0.30 3.0 0.20 0.30 3.0 0.20 0.30 3.0 0.20 0.30 3.0 0.20 0.30 3.0 0.25 0.25 4.0 0.25 0.25 5.0 0.25 0.25 4.0 0.25 0.25 5.0 >> load c:\casa >> [KL]=rlaxinfi(casa) Número de nudos: 9 Número de pisos: 2 Número de nudos restringidos: 3 Módulo de Elasticidad: 1738965.21 Cálculo con Inercias Gruesas, Código = 0. Con Inercias Agrietadas, Código = 1 Ingrese Código de Inercias=0 PROGRAMA REPORTA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

6.4808.6848.68400.1651

KL

Al calcular con Inercias Agrietadas, se halla:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

9.3176.4926.4925.1243

KL

El CEC-2000 contempla las siguientes inercias agrietadas: gV II 5.0= ; .

Donde es la inercia gruesa. gC II 8.0=

gI

3.6 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL PARA PÓRTICOS CON MUROS

En los muros de corte es fundamental considerar el efecto de corte φ y en las vigas que llegan a los muros de corte se debe considerar la condición de nudo rígido. Para satisfacer estas dos condiciones y para mayor exactitud se presentan a continuación la matriz de rigidez del elemento viga y del elemento columna considerando nudos rígidos y considerando el efecto




81

de corte. Se presentan estas matrices para el modelo numérico en el cual todos los elementos del pórtico son axialmente rígidos.

Elemento Viga

k= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

+++++

tcbck

tccbcbcatcbck2

22

21212

11

'2'

'2( 3.14 )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

=φφ41

1)(4LEI

k o ( 3.15 )

kk =' ( 3.16 )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

=φφ

4121)(2

LEI

a o ( 3.17 )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=φ41

1)(62L

EIb o ( 3.18 )

bb =' ( 3.19 )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=φ41

1)(123L

EIt o ( 3.20 )

2)()(3

LGAEI

o

o βφ = ( 3.21 )

Figura 3.13 Coordenadas locales para un elemento ∞=A , con dos sectores de rigidez infinita.

Elemento Columna

k= ( 3.22 )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+++++++

+−−+−

tcbck

tcbttccbcbcatcbtcbck

tcbttcbt

222

2

212112

11

21

'2'

''2

)'()(




82

Figura 3.14 Coordenadas globales para un elemento vertical, con dos sectores de rigidez infinita.

Tanto en la ecuación ( 3.14 ) como en la ( 3.22 ), es la longitud del nudo rígido en el

nudo inicial, es la longitud del nudo rígido en el nudo final. Es la distancia desde el borde del elemento al eje del elemento en sentido perpendicular.

1c

2c

• EJEMPLO 3

En la figura 3.15 se presenta un pórtico plano con un muro de corte de 30 cm., de

ancho por 4.0 m., de longitud. Las restantes columnas son de 60/60 y las vigas de 40/60. La primera cantidad es la base y la segunda la altura. Considerar Se pide: 2/21.1738965 mTE =

1) Encontrar la matriz de rigidez de los elementos: columna, muro de corte y viga. 2) Hallar la matriz de rigidez lateral del pórtico indicado con inercias gruesas.

Figura 3.15 Estructura con muro de corte de ejemplo 3




83

• SOLUCIÓN

Las matrices de rigidez de los elementos son:

Elemento Columna

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=

38715205932306420593137292059313729

387152059313729

k

Elemento Muro de Corte

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

1741600388200577100388200258800388200258800

1741600388200258800

k

Elemento Viga izquierda

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

441351937316093

k

Elemento Viga derecha

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

160931937344135

k

Matriz de rigidez lateral

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

115120178150178150474600

LK

El Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 indica que para estructuras con

muros de corte se considere que la inercia del muro agrietado es igual a 0.6 veces la inercia del muro obtenido con inercias gruesas. Esto solo en los dos primeros pisos.

. La inercia del muro, para los pisos superiores es igual a . Por lo tanto solo se admite daño en los dos primeros pisos.

gM II 6.0= gI

3.7 PROGRAMA RLAXINFIMURO

El programa RLAXINFIMURO obtiene la matriz de rigidez lateral de pórticos considerando el efecto de corte en los elementos y considerando nudos rígidos. Se puede utilizar para calcular pórticos formados por vigas y columnas, o también pórticos formados por




84

vigas, columnas y muros de corte. Antes de usar el programa se deben tener en cuenta lo siguiente:

• Se deben numerar los nudos de izquierda a derecha y de abajo hacia arriba. • Se debe numerar primero los elementos verticales (columnas y muros) y al final los

elementos horizontales (vigas). • Se debe crear un archivo de datos con la siguiente información de cada uno de los

elementos:

Base de la sección transversal del elemento. Altura de la sección transversal del elemento. Longitud del elemento, medida desde eje a eje. Longitud del nudo rígido en el nudo inicial. Longitud del nudo rígido en el nudo final.

• Se ejecuta el programa RLAXINFIMURO de la siguiente manera:

[KL]=rlaxinfimuro(nombre) Nombre Es el nombre del archivo de datos que contiene geometría de cada elemento.

function[KL]=rlaxinfimuro(nombre) % % Programa para encontrar la matriz de rigidez lateral de un portico plano % con MUROS DE CORTE. Considerando que todos los elementos son axialmente rigidos. % Con un factor de forma de 1.2 % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------- % [KL]=rlaxinfimuro(nombre) %------------------------------------------------------------- % CG Matriz de coordenadas generalizadas % VC Vector de colocacion % E Modulo de elasticidad del material % SS Matriz de rigidez de la estructura % b: base de la seccion transversal. % h: altura de la seccion transversal. % long: longitud del elemento. % c1: longitud de nudo rigido en el nudo inicial. % c2: longitud de nudo rigido en el nudo final. % L= long-c1-c2 % nombre Archivo de datos que contiene la base, la altura, la longitud, % longitud del nudo rigido en nudo inicial y final, de cada uno de % los elementos, son 5 datos por elemento. % nod=input('\n Numero de nudos:'); np=input(' Numero de pisos:'); nr=input(' Numero de nudos restringuidos:'); E=1738965.21 % Programado para f'c=210, con E=12000 sqrt(f'c); G=0.4*E; beta=1.2; % Coordenadas Generalizadas CG=zeros(nod,2);ngl=0;k=nr;




85

for i=1:np ngl=ngl+1; for j=1:nr k=k+1; CG(k,1)=ngl; end end for i=1:nod-nr ngl=ngl+1; k=nr+i; CG(k,2)=ngl; end ncol=np*nr; mbr=ncol+(nr-1)*np;nvig=mbr-ncol; ici=0;icf=nr; for i=1:ncol ici=ici+1; icf=icf+1;ini(i)=ici;fin(i)=icf; end ii=ncol; for j=1:np ici=j*nr; for i=1:nr-1 ii=ii+1;ici=ici+1;ini(ii)=ici;fin(ii)=ici+1; end end % Arreglo VC. Vectores de colocacion for i=1:mbr for k=1:2 VC(i,k)= CG(ini(i),k); VC(i,k+2) = CG(fin(i),k); end end % Matriz de rigidez de miembro y de la estructura for i=1:mbr B(i)=nombre(i,1);H(i)=nombre(i,2);LL(i)=nombre(i,3);CNI(i)=nombre(i,4);CNF(i)=nombre(i,5); end % Calculo de la matriz de rigidez de la estructura fprintf ('\n Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1'); icod=input('\n Ingrese codigo de inercias :'); SS=zeros(ngl,ngl); for i=1:mbr b=B(i);h=H(i);long=LL(i);iner=b*h^3/12;c1=CNI(i);c2=CNF(i);L=long-c1-c2; if i<=ncol iner=b*h^3/12;area=b*h;fi=(3*E*iner*beta)/(G*area*L*L);%Elemento columna o muro de corte if icod==1 iner=0.8*iner; %inercias agrietadas end kf=((4*E*iner)*(1+fi))/(L*(1+4*fi));a=((2*E*iner)*(1-2*fi))/(L*(1+4*fi)); kpf=kf; b=(kf+a)/L; bp=b; t=(b+bp)/L; k(1,1)=t;k(2,1)=-(b+c1*t);k(3,1)=-t;k(4,1)=-(bp+c2*t); k(2,2)=kf+2*c1*b+c1*c1*t;k(3,2)=b+c1*t;k(4,2)=a+c1*bp+c2*b+c1*c2*t; k(3,3)=t;k(4,3)=bp+c2*t;k(4,4)=kpf+2*c2*bp+c2*c2*t;k(1,2)=k(2,1); k(1,3)=k(3,1);k(1,4)=k(4,1);k(2,3)=k(3,2);k(2,4)=k(4,2);k(3,4)=k(4,3); else iner=b*h^3/12;area=b*h;fi=(3*E*iner*beta)/(G*area*L*L);%Elemento viga if icod==1 iner=0.5*iner;ei=E*iner; %inercias agrietadas




86

end kf=((4*E*iner)*(1+fi))/(L*(1+4*fi));a=((2*E*iner)*(1-2*fi))/(L*(1+4*fi)); kpf=kf;b=(kf+a)/L;bp=b;t=(b+bp)/L; k=zeros(4,4);k(2,2)=kf+2*c1*b+c1*c1*t;k(2,4)=a+c1*bp+c2*b+c1*c2*t; k(4,2)=k(2,4);k(4,4)=kpf+2*c2*bp+c2*c2*t; end for j=1:4 jj=VC(i,j); if jj==0 continue end for m=1:4 mm=VC(i,m); if mm==0 continue end SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m); end end end % Matriz de rigidez lateral na=np;nb=ngl-np; Kaa=SS(1:na,1:na);Kab=SS(1:na,na+1:ngl);Kba=Kab';Kbb=SS(na+1:ngl,na+1:ngl); KL=Kaa-Kab*inv(Kbb)*Kba; fprintf ('\n Matriz de rigidez lateral :'); save a:\KL %---fin---

Figura 3.16 Numeración de nudos y elementos de ejemplo 3 para usar programa RLAXINFIMURO.

• EJEMPLO 4

Presentar el archivo de datos, para encontrar la matriz de rigidez lateral de la estructura del ejemplo 3.




87

• SOLUCIÓN

En la figura 3.16 se indica la forma como debe numerarse los nudos y los elementos para utilizar el programa RLAXINFIMURO

• ARCHIVO DE DATOS 0.6000 0.6000 3.0000 0.3000 0.3000 0.3000 4.0000 3.0000 0.3000 0.3000 0.6000 0.6000 3.0000 0.3000 0.3000 0.6000 0.6000 3.0000 0.3000 0.3000 0.3000 4.0000 3.0000 0.3000 0.3000 0.6000 0.6000 3.0000 0.3000 0.3000 0.4000 0.6000 6.0000 0.3000 2.0000 0.4000 0.6000 6.0000 2.0000 0.3000 0.4000 0.6000 6.0000 0.3000 2.0000 0.4000 0.6000 6.0000 2.0000 0.3000

Figura 3.17 Vista en planta de estructura de 2 pisos con muros de corte.

• EJEMPLO 5

Encontrar la matriz de rigidez, en coordenadas de piso, de la estructura de dos pisos, cuya configuración en planta se indica en la figura 3.17. Los muros de corte son de 0.30/4.0 m.,




88

las columnas de 0.60/0.60 y las vigas de 0.40/0.60 m., en las dos direcciones. Las matrices de rigidez lateral de los pórticos 1, 3, A y C, que contienen al muro de corte, son:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−====

115120178150178150474600)()()3()1( C

LA

LLL KKKK

Las matrices de rigidez lateral de los pórticos 2 y B, son:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−==

13662219122191255629)()2( B

LL KK

El origen de las coordenadas se considera en la intersección de los ejes B y 2.

• SOLUCIÓN

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−==

0.00.00.00.0

0.60.00.00.6

0.60.00.00.6 )()2()()3()()1( BCA rrrrrr

Al emplear las ecuaciones indicadas en ( 3.7 ) se halla:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−==

16577280256536002565360068342400

2439003782003782001004800

θθKKK YYXX

Las submatrices no indicadas son nulas. Se deja al lector que arme la matriz utilizando la ecuación ( 3.6 ). Esta matriz resulta de 6 por 6.

EK

3.8 INCORPORACIÓN DE LA MAMPOSTERÍA

Cuando se acopla la mampostería a la estructura, es importante considerarle en el análisis sísmico debido a la gran rigidez que ésta tiene. Existen dos caminos para estudiar el tema, el primero con micro modelos basados en elementos finitos, que no se aborda en este apartado y el segundo con macro modelos que son aproximados pero que dan una buena aproximación.

De igual manera, existen modelos para el análisis elástico y para el análisis inelástico.

Para incorporar la mampostería al análisis sísmico de estructuras. Como todo este libro está orientado al análisis elástico de estructuras se presenta un macro modelo para el rango elástico, mediante una diagonal equivalente.

Es importante realizar esta aclaración ya que dentro de los macro modelos para el

rango elástico, existen modelos numéricos de cálculo en base a dos diagonales equivalentes, a




89

tres diagonales o a cinco diagonales. König (1991); Chrysostomou (1991), Syrmakezis y Vratsanou (1986). La selección de estos modelos depende del grado de seguridad que se desee tener el estudio y de los intereses que persigue el investigador. En Crisafulli (1997) se tiene un acopio de estos y otros modelos para la incorporación de la mampostería al análisis estructural mediante micro y macro modelos, para el rango elástico e inelástico.

En la figura 3.18 se presenta un marco con la mampostería, en una posición

deformada. En ella se aprecia que al deformarse la estructura por efecto de una acción sísmica, una parte de la mampostería trabaja a compresión, que en la figura está achurada, a esta parte que trabaja a compresión se la modela como una diagonal que tiene un ancho equivalente . La otra diagonal de la mampostería trabaja a tracción y como este material tiene una baja capacidad a tracción, muy probablemente se produzcan fisuras si el movimiento es intenso.

a

Lo importante de la figura 3.18, es identificar la nomenclatura utilizada, ya que a

continuación se indican varios modelos para hallar las dimensiones de la diagonal equivalente, en forma cronológica de publicación.

Figura 3.18 Diagonal equivalente de la mampostería.

3.8.1 Modelo de Holmes (1961) Holmes (1961) fue el primero en proponer el ancho equivalente de la diagonal

equivalente, de la siguiente forma. a

3La = ( 3.23 )

Donde es la longitud de la diagonal equivalente. Al estar definido el ancho se

puede calcular el área de la sección transversal multiplicando por el espesor de la mampostería.

L a




90

Posteriormente, Stafford (1962, 1966) define el parámetro adimensional hλ que será muy utilizado por otros investigadores como una relación entre la rigidez de la mampostería con respecto a la rigidez del pórtico.

41

42.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

hIEsentE

Hcolc

mh

θλ ( 3.24 )

Donde es el módulo de elasticidad de la mampostería; mE t es el espesor de la mampostería; θ es el ángulo de inclinación de la diagonal; es el módulo de elasticidad del hormigón; es el momento de inercia promedio de las columnas adyacentes; es la altura de la mampostería;

cE

colI hH es la altura del pórtico como se aprecia en la figura 3.18. Si se considera

que y que hH ≈ 12 =θsen la ecuación (3.24) queda:

41

3

4.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡≈

colc

mh IE

HtEλ ( 3.25 )

La ecuación (3.25) es adecuada para mamposterías en las cuales θ este alrededor de

los 45 grados.

3.8.2 Modelo de Mainstone (1971) En este modelo se requiere calcular primero un parámetro hλ con la ecuación ( 3.24).

La propuesta de Mainstone (1971), que tiene un respaldo experimental, es la siguiente:

La h30.016.0 −= λ ( 3.26 )

Mainstone (1971) propuso también dos ecuaciones más, una para cuando se ingresa al

rango no lineal y otra para el colapso. Otro parámetro propuesto por Stafford (1962, 1966) y que ha sido muy utilizado por

otros investigadores es la longitud de contacto z , definido con la siguiente ecuación.

Hzhλ

π2

= ( 3.27 )

3.8.3 Modelo de Bazán y Meli (1980)

En este caso, el parámetro λ relaciona la rigidez del pórtico confinante con la rigidez de la mampostería

( )haAGAE

mm

cc

λ

λ

022.035.0..

+=

= ( 3.28 )




91

Las variables todavía no definidas, son: el módulo de corte de la mampostería que

es ; es el área en planta de la sección transversal de la mampostería. En la figura 3.18 se aprecia que es la longitud horizontal de la mampostería. Luego . En el modelo de Bazán y Meli se debe cumplir que

mG

mm EG 4.0= mA

vl tlA vm =119.0 ≤≤ λ . Además se debe verificar que la

relación de aspecto hlv /=ζ debe estar entre 0.75 y 2.5.

3.8.4 Modelo de Hendry (1981) Hendry (1981) obtiene dos valores de hλ uno que toma en cuenta la rigidez de la

columna cλ y otro que considera la rigidez de la viga vλ . Las ecuaciones de cálculo para encontrar el ancho equivalente , son las siguientes: a

vv

vigac

mv

z

hIEsentE

λπ

θλ

2

42. 4

1

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

cc

colc

mc

z

hIEsentE

λπ

θλ

2

42. 4

1

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

( 3.29 )

22

21

cv zza +=

3.8.5 Modelo de Liauw y Kwan (1984)

Este modelo mantiene el parámetro hλ de Stafford (1962, 1966) y la propuesta de

Liauw y Kwan (1984) para determinar es la siguiente. a

h

colc

mh

ha

hIEsentE

H

λθ

θλ

cos95,0

42. 4

1

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

( 3.30 )

Por otra parte, en los ensayos experimentales la relación varío entre 1 y 1.5. Vlh /

3.8.6 Modelo de Decanini y Fantin (1986)

Una vez que se calcula el parámetro hλ , se ingresa a la figura 3.19 y se obtiene en ordenadas la relación con la cual se halla el ancho equivalente . La / a




92

41

42.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

hIEsentE

Hcolc

mh

θλ

Figura 3.19 Valores de en función de La / hλ .

Las ecuaciones que definen las dos curvas de la figura 3.19, son las siguientes:

• Mampostería no agrietada

85.7130.0393.0

85.7085.0748.0

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

hh

hh

siLa

siLa

λλ

λλ

( 3.31 )

• Mampostería agrietada

85.7040.0470.0

85.7010.0707.0

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

hh

hh

siLa

siLa

λλ

λλ

( 3.32 )

3.8.7 Modelo de Paulay y Priestley (1992)

El ancho equivalente propuesto por Paulay y Priestley (1992) ha sido acogido por la Normativa de Perú de Albañilería E070 y es la siguiente:

a

4La = ( 3.33 )

Esta ecuación es recomendada para un nivel de fuerzas laterales menor o igual al 50%




93

de la capacidad última. En otras palabras para el rango elástico.

3.8.8 Modelo de FEMA (1997)

La Agencia Federal para el Manejo de Emergencias de los Estados Unidos de Norte América, propone las siguientes ecuaciones:

41

42.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

hIEsentE

Hcolc

mh

θλ ( 3.34 )

( ) La h4.0175.0 −= λ

Figura 3.20 Variación de empleando algunos modelos de cálculo. La /

• EJEMPLO 6

Presentar en un gráfico la relación entre λ y . Empleando los modelos de Holmes

(1961), Mainstone (1971), Liauw y Kwan (1984) para y , Decanini y Fantin (1986) con mampostería no agrietada, Paulay y Priestley (1992) y FEMA (1997).

La /o9.30=θ o8.36=θ

• SOLUCIÓN

En la figura 3.20 se aprecia que los resultados obtenidos con las propuestas de: Mainstone (1971) y FEMA (1997) son muy conservadores, ya que el ancho equivalente es muy




94

bajo. Por el otro lado, el modelo de Holmes (1961) reporta los mayores valores para valores de 3>λ . Los valores encontrados con los restantes modelos reportan valores intermedios.

• EJEMPLO 7

Utilizando el modelo de Decanini y Fantin (1986) presentar en un gráfico la relación entre el ancho equivalente a de la mampostería agrietada con relación a la no agrietada.

• SOLUCIÓN

En la figura 3.21 se muestra la relación entre el ancho equivalente agrietado con relación al no agrietado. Se observa que esta relación disminuye conforme el valor de

aλ

aumenta. Es importante notar que para 1=λ el ancho equivalente agrietado es 0.85 del ancho no agrietado y que para 10=λ el ancho equivalente agrietado es 0.52 del ancho no agrietado, la pérdida es notable.

El valor de λ se incrementa si la rigidez de la mampostería es mayor que el hormigón

confinante.

Figura 3.21 Relación entre el ancho equivalente agrietado con relación al no agrietado

3.8.9 Modelo de Crisafulli (1997)

La propuesta de Crisafulli (1997) para encontrar el ancho equivalente, es la siguiente:




95

θ

λπ

θλ

sin2

22

42. 4

1

z

z

colc

m

ha

zhz

hIEsentE

=

==

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

( 3.35 )

3.9 MATRIZ DE RIGIDEZ DE ELEMENTO MAMPOSTERÍA

En la primera figura de 3.22, se presenta un pórtico con mampostería acoplada; en la

segunda se aprecia el ancho equivalente que se obtiene con cualquiera de los modelos descritos en el apartado anterior; en la tercera se aprecia el modelo del puntal equivalente que tiene una rigidez axial

a

EA . Finalmente se presenta el sistema de coordenadas globales para la diagonal equivalente.

Figura 3.22 Modelo de la diagonal equivalente.

En lugar de considerar la diagonal equivalente de la figura 3.22 se pudo considerar la otra diagonal como en el caso de la figura 3.18. Cualquiera de los dos casos es valido por que el sismo actúa en los dos sentidos. La matriz de rigidez de la diagonal equivalente en coordenadas globales, es la siguiente.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

−−

=

θθθθθθ

θθθθθθ

θθθθθθ

θθθθθθ

22

22

22

22

sinsincossinsincos

sincoscossincoscos

sinsincossinsincos

sincoscossincoscos

.L

AEK m

taA .= ( 3.33 )

Una vez definido la matriz de rigidez de la mampostería, por medio del modelo de la diagonal equivalente se encuentra la matriz de rigidez de la estructura por ensamblaje directo y luego se aplica la condensación estática para hallar la matriz de rigidez lateral del pórtico, considerando la mampostería.




96

Para hallar la contribución de la diagonal equivalente, en la matriz de rigidez de la estructura, se debe tener en cuenta que el vector de colocación tiene cuatro elementos y corresponden a los grados de libertad horizontal y vertical del nudo inicial y final, como se aprecia en la última gráfica de la figura 3.22

• EJEMPLO 8

Determinar la matriz de rigidez lateral, del pórtico indicado en la figura 3.23, incorporando la mampostería en el cálculo. La resistencia a la compresión del hormigón utilizado es y de la mampostería . Calcular el módulo de

elasticidad del hormigón con la siguiente expresión:

2' /210 cmkgfc =2' /35 cmkgfm =

'12000 cfE = y el módulo de elasticidad

de la mampostería . El espesor de la pared es '500 mm fE = .15.0 mt = Considerar en el modelo numérico que las columnas y las vigas son axialmente rígidas. Se pide:

1.- Detallar el cálculo para el Modelo de la Norma del Perú E 070. 2.- Comparar los resultados obtenidos con los diferentes modelos.

Figura 3.23 Descripción de la estructura de ejemplo 6.

• SOLUCIÓN

En la figura 3.24, a la izquierda se han numerado los elementos, en la forma como hay que hacerlo para utilizar el programa RLAXINFIMAMPOSTERIA, primero se han numerado las columnas, luego la viga y finalmente la diagonal equivalente de la mampostería. En el centro de la figura 3.24 se tienen los grados de libertad considerados cuando las vigas y columnas son axialmente rígidas y a la derecha se aprecia el pórtico con la coordenada lateral, cuya matriz se va a calcular.




97

Figura 3.24 Modelo numérico de cálculo.

Las matrices de rigidez de los elementos, columna, viga y mampostería, son:

• Elemento Columna (igual para elementos 1 y 2) Obtenido con inercias gruesas y con L=2.80 m.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=

2023.4859298.2596012.2429298.2596642.1859298.2596642.185

2023.4859298.2596642.185

K

• Elemento Viga Obtenido con L=3.50 m.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

7389.1983694.997389.198

K

• Elemento Diagonal Equivalente

( ) ( )

6390.02252.4

70.27692.02252.425.3

50.65622252.4

1584.01750001584.015.00563.1

.0563.14

2252.44

2252.470.225.3

2

22

====

=∗

=

=∗==

===

=+=

θθ SenCos

LAE

mtaA

mLa

L

m

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

6.26795.32256.26795.32258.38825.32258.3882

6.26795.32258.3882

K




98

• Vectores de colocación

[ ][ ][ ][ ]0100

32

3100

2100

)4(

)3(

)2(

)1(

=

=

=

=

VC

VC

VC

VC

• Matriz de rigidez completa

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

9.6834.999.2594.999.6839.2599.2599.2591.4254

K

• Submatrices

[ ] [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡====

9.6834.994.999.683

9.2599.2591.4254 BBtABBAABAA KKKKK

• Matriz de rigidez lateral

[ ]6.4081=LK

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Modelo Matemático

Rig

idez

Lat

eral

del

Pór

tico

[Tn/

m]

1. Holmes (1961)

2. Mainstone (1971)

3. Bazan (1980)

4. Hendry (1981)

5. Liauw y Kw an (1984)

6. Decanini y Fantin (1986)

7. Paulay y Priestley (1992)

8. FEMA (1997)

9. Crisafulli (1997)

Valor Medio

Figura 3.25 Matriz de rigidez lateral encontrada con nueve modelos. Carrillo (2008)

En la figura 3.25 se presentan los valores de la matriz de rigidez lateral, hallada con cada uno de los modelos indicados en el apartado anterior, para encontrar el ancho de la diagonal equivalente.




99

3.10 PROGRAMA RLAXINFIMAMPOSTERIA

La forma de uso del programa es muy similar al del programa RLAXINFI. Debido a que se debe crear un archivo de datos con la siguiente información:

• Base, altura y longitud de todas las columnas y de todas las vigas. En este orden. • Se debe indicar el nudo inicial, el nudo final y la longitud de la diagonal equivalente.

Por pantalla, se suministra información complementaria como el número de nudos,

número de pisos, módulos de elasticidad del hormigón y de la mampostería, etc. El ancho de la diagonal equivalente se halla con el modelo de Paulay y Priestley (1992)

que ha sido acogido por la norma de Albañilería del Perú E 070.

function[KL]=rlaxinfimamposteria(nombre) % % Programa para encontrar la matriz de rigidez lateral de un portico plano % considerando que todos los elementos son axialmente rigidos. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Incorporacion de Mamposteria en Noviembre de 2007 % %------------------------------------------------------------- % [KL]=rlaxinfimamposteria(nombre) %------------------------------------------------------------- % CG Matriz de coordenadas generalizadas % VC Vector de colocacion % E Modulo de elasticidad del material % SS Matriz de rigidez de la estructura % b: base de la seccion transversal. % h: altura de la seccion transversal. % long: longitud del elemento. % t: espesor de la mamposteria % nombre Archivo de datos que contiene la base, la altura y la longitud % de cada uno de los elementos. El nombre debe tener extension .txt. % Esto para columnas y vigas. Despues para la mamposteria se debe % indicar el nudo inicial, el final y la longitud de la diagonal. % % Se considera el modelo de la Norma de Peru para el ancho % equivalente de la mamposteria. % nod=input('\n Numero de nudos:'); np=input(' Numero de pisos:'); nr=input(' Numero de nudos restringuidos:'); nd=input(' Numero de diagonales de mamposteria:'); E=input(' Modulo de elasticidad de Hormigon (T/m2):'); Em=input(' Modulo de elasticidad de Mamposteria (T/m2):'); t=input(' Espesor de la Mamposteria (m):'); % Coordenadas Generalizadas CG=zeros(nod,2);ngl=0;k=nr; for i=1:np ngl=ngl+1; for j=1:nr




100

k=k+1; CG(k,1)=ngl; end end for i=1:nod-nr ngl=ngl+1; k=nr+i; CG(k,2)=ngl; end ncol=np*nr; mbr=ncol+(nr-1)*np;nvig=mbr-ncol; ici=0;icf=nr; for i=1:ncol ici=ici+1; icf=icf+1;ini(i)=ici;fin(i)=icf; end ii=ncol; for j=1:np ici=j*nr; for i=1:nr-1 ii=ii+1;ici=ici+1;ini(ii)=ici;fin(ii)=ici+1; end end % Lectura de datos % for i=1:mbr B(i)=nombre(i,1);H(i)=nombre(i,2);L(i)=nombre(i,3); end for i=mbr+1:mbr+nd; ini(i)=nombre(i,1);fin(i)=nombre(i,2);L(i)=nombre(i,3); end % % Arreglo VC. Vectores de colocacion for i=1:mbr for k=1:2 VC(i,k)= CG(ini(i),k); VC(i,k+2) = CG(fin(i),k); end end for i=mbr+1:mbr+nd; VC(i,1)=CG(ini(i),1); VC(i,2)=0; VC(i,4)=0; VC(i,3)=CG(fin(i),1); end % Matriz de rigidez de miembro y de la estructura fprintf ('\n Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1'); icod=input('\n Ingrese codigo de inercias :'); SS=zeros(ngl,ngl); for i=1:mbr+nd if i<=mbr b=B(i);h=H(i);long=L(i);iner=b*h^3/12;ei=E*iner; end long=L(i); if i<=ncol if icod==1 iner=0.8*iner;ei=E*iner; end k(1,1)=12*ei/long^3;k(1,2)=-6*ei/long^2;k(1,3)=-k(1,1);k(1,4)=k(1,2); k(2,1)=k(1,2);k(2,2)=4*ei/long;k(2,3)=-k(1,2);k(2,4)=2*ei/long; k(3,1)=k(1,3);k(3,2)=k(2,3);k(3,3)=k(1,1);k(3,4)=6*ei/long^2; k(4,1)=k(1,4);k(4,2)=k(2,4);k(4,3)=k(3,4);k(4,4)=k(2,2);




101

elseif i>ncol & i <=mbr if icod==1 iner=0.5*iner;ei=E*iner; end k=zeros(4,4);k(2,2)=4*ei/long;k(2,4)=2*ei/long;k(4,2)=k(2,4);k(4,4)=k(2,2); else fprintf ('\n Para diagonal equivalente'); i dx=input('\n ingrese la distancia horizontal de mamposteria:'); area=(long/4)*t; rig=Em*area/long; C=dx/long; k=zeros(4,4);k(1,1)=rig*C*C; k(3,3)=k(1,1); k(1,3)=-k(1,1); k(3,1)=k(1,3); end for j=1:4 jj=VC(i,j); if jj==0 continue end for m=1:4 mm=VC(i,m); if mm==0 continue end SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m); end end end % Matriz de rigidez lateral na=np;nb=ngl-np; Kaa=SS(1:na,1:na);Kab=SS(1:na,na+1:ngl);Kba=Kab';Kbb=SS(na+1:ngl,na+1:ngl); KL=Kaa-Kab*inv(Kbb)*Kba; fprintf ('\n Matriz de rigidez lateral :'); save c:\KL %---fin---

• EJEMPLO 9

Presente el archivo de datos, para hallar la matriz de rigidez lateral del pórtico del ejemplo anterior y la forma de ejecución del programa RLAXINFIMAMPOSTERIA

• SOLUCIÓN

El archivo de datos contiene la siguiente información:

0.15 0.25 2.80 0.15 0.25 2.80 0.15 0.20 3.50 1 4 4.482

Los datos de las dos primeras filas, corresponden a información de las columnas, los

datos de la tercera fila a la viga y la última fila a la diagonal equivalente. Este archivo ha sido grabado con el nombre de “ica”




102

>> [KL]=rlaxinfimamposteria(ica) Numero de nudos:4 Numero de pisos:1 Numero de nudos restringuidos:2 Numero de diagonales de mamposteria:1 Modulo de elasticidad de Hormigon (T/m2):1738965.21 Modulo de elasticidad de Mamposteria (T/m2):175000 Espesor de la Mamposteria (m):0.15 Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1 Ingrese codigo de inercias :0 Para diagonal equivalente i = 4 ingrese la distancia horizontal de mamposteria:3.25

Con el último dato se halla el θCos dividiendo este valor para la longitud de la diagonal

equivalente; con esto se halla la matriz de rigidez en coordenadas globales.

Figura 3.26 Fachada del Bloque de Enfermería de la Universidad San Luis Gonzaga de Ica.

3.11 LECCIONES DEJADAS POR SISMO DE PERÚ DE 2007

En el Ecuador se acopla la mampostería a la estructura, normalmente, para este efecto en las columnas se dejan los “chicotes”. De tal manera que se deben incorporar en el análisis sísmico la mampostería. Otra forma de acoplar la mampostería consiste en construir primero las paredes dejando entrantes y salientes en el sitio de la columna, posteriormente se funden las columnas, así lo hacen en el Perú.




103

En el bloque de Enfermería de la Universidad San Luis Gonzaga, ubicada en la ciudad de Ica, se desacopló la estructura de la mampostería. Para ello se construyó un subpórtico de confinamiento de las paredes pero este subpórtico está separado de la estructura principal por medio de una junta de construcción, como se aprecia en la figura 3.26, en que se presenta un pórtico de la fachada. En el pórtico que contiene una ventana grande, se observa que bajo ésta, existe un subpórtico formado por columnetas y viguetas. Al construir de esta manera se desacopla la estructura de la mampostería pero la mampostería está confinada por las columnetas y viguetas de tal manera que no está suelta la mampostería.

Figura 3.27 Detalle del anclaje de armadura longitudinal de columnetas en viga principal.

En el Ecuador, algunos edificios importantes han sido construidos de esta manera y a

lo mejor cometieron el mismo error de construcción que en el bloque de Enfermería de la Universidad San Luis Gonzaga, en que no anclaron en forma adecuada los hierros de las columnetas a la viga principal y durante el sismo se produjo daño en las bases de las columnetas como se aprecia dentro de un círculo, al dañarse en la base los subpórticos quedaron simplemente apoyados con gran peligro de voltearse. Los dos ejemplos anteriores corresponden a la geometría de éste subpórtico, por este motivo es que se denominó Ica al archivo de datos.

En la figura 3.27 se ilustra la falta de anclaje del hierro de las columnetas en la viga

principal lo que originó la falla. Es importante destacar que en Ica, soldaron las varillas longitudinales de la columneta a las varillas superiores de la viga. Esta solución de desacoplar la mampostería de la estructura principal, mediante la construcción de un subpórtico, es muy buena siempre y cuando el hierro de las columnetas tenga un mayor anclaje, que lleguen hasta la armadura inferior de la viga principal.




104

REFERENCIAS

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CAPÍTULO 4

MÉTODO ESTÁTICO Y TORSIÓN ESTÁTICA

RESUMEN

Se presenta la teoría y dos programas de computación para realizar el análisis sísmico de estructuras que tienen menos de 10 pisos y que son regulares en planta y elevación. En el primer programa denominado ANALISISESTATICONEW se considera un modelo con un grado de libertad por planta y en el segundo programa ANALISISESTATICO2GDL se considera un modelo de dos grados de libertad por planta. En los dos programas el usuario debe ingresar como dato la matriz de rigidez lateral obtenido con inercias gruesas, de los pórticos en el sentido de análisis sísmico.

En el programa ANALISISESTATICONEW las fuerzas debido a torsión accidental

se obtienen mayorando un 10% las fuerzas estáticas. Mientras que en el programa ANALISISESTÁTICO2GDL se calcula las fuerzas en cada uno de los pórticos por efecto de los momentos de torsión accidental.

En los dos programas la acción sísmica está definida por un espectro de diseño

inelástico, el mismo que se obtiene dividiendo las ordenadas del espectro elástico para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R indicado en el capítulo 2. Los programas están realizados para el nivel de diseño de disipación de energía elevada. Posteriormente, cuando se realicen las combinaciones de carga, el estado de fuerzas que se obtiene del análisis sísmico, no se debe ser mayorar y se deberá cumplir que la deriva máxima de piso, inelástica sea menor al 1.5%.

S

Se presenta, en primer lugar, un estudio desarrollado en la Universidad Técnica de

Manabí, Aguiar et al (2006) en el que se obtuvo el período de vibración de 36 estructuras de 1 a 6 pisos, empleando una de las fórmulas que recomienda el CEC-2000 para calcular el período en función de la altura total del edificio, el mismo que es comparado con los que se encuentran de la solución del problema de vibraciones libres en sistemas de múltiples grados de libertad sin considerar amortiguamiento, para dos condiciones a saber: con inercias gruesas y considerando inercias agrietadas y con la recomendada por Goel y Chopra (1997).




106

Del estudio realizado se recomienda que el período que se halla con la ecuación sea multiplicado por 1.3 que es el factor con el cual se corrige la forma

de cálculo. Con el período resultante se procede al cálculo del cortante basal mínimo. También se ha hallado una ecuación que permite calcular el período considerando inercias agrietadas.

4/30731.0 HT =

En este capítulo se estudia con detenimiento la excentricidad estática, en el

capítulo 6, se hace lo propio con la excentricidad accidental y en el capítulo 8, con la forma de obtener los centros de: rigidez, de corte y de giro. De tal manera que estos tres capítulos y el capítulo 7 en que resuelve la torsión en un edificio de un piso, son complementarios entre sí para entender el Método de la Torsión Estática que es fácil en su formulación, como se verá más adelante pero es bastante complejo, motivo por el cual varias normativas sísmicas lo abordan de diferente manera.

4.1 PERÍODO DE VIBRACIÓN EN ESTRUCTURAS SIN MUROS

Para pórticos espaciales de hormigón armado, que son las estructuras formadas por vigas y columnas, sin muros de corte el CEC-2000 recomienda las siguientes ecuaciones para el cálculo del período fundamental.

4/30731.0 HT = ( 4.1 )

Siendo H la altura total del edificio. También puede calcularse el período en función

de los desplazamientos laterales iδ y de las fuerzas aplicadas , para el efecto se debe imponer una distribución aproximada de las fuerzas laterales. La ecuación de cálculo es:

if

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛÷⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑∑

==

n

iiii

n

ii fgwT

1

2

1

2 δδπ ( 4.2 )

Donde iii fw δ,, son el peso reactivo del piso i, la fuerza horizontal aplicada en el piso

i, el desplazamiento lateral del piso i. g es la aceleración de la gravedad. El período calculado con la ecuación ( 4.2 ) no debe ser mayor en un 30% al

período calculado con la ecuación ( 4.1 ). La ecuación ( 4.1 ) tiene un respaldo experimental en cambio la ecuación ( 4.2 ) tiene

un respaldo analítico pero en los dos casos se trabaja con inercias gruesas, en las secciones. Es importante destacar esto ya que ante el sismo estipulado por el CEC-2000 se espera daño en la estructura razón por la cual el código especifica las siguientes inercias agrietadas con las cuales se debe realizar el análisis sísmico.

gC

gV

II

II

8.0

5.0

=

= ( 4.3 )

Donde es el momento de inercia grueso, calculado con la sección total; son

los momentos de inercia agrietados de las vigas y columnas respectivamente. Por lo tanto, para el análisis sísmico por el método estático, empleando el espectro del CEC-2000 se debe trabajar con un período, obtenido en una estructura con inercias agrietadas. Se

gI CV II ,




107

sabe que cuando la estructura ingresa al rango no lineal el período de vibración se incrementa, de tal manera que el período es mayor al que se obtiene con la ecuación ( 4.1 ) o con ( 4.2 ).

4.1.1 Trabajo de Goel y Chopra (1997)

Goel y Chopra (1997) obtienen ecuaciones para encontrar en forma aproximada el

período de vibración, en estructuras sin y con muros de corte. En este apartado se presenta el primer caso en que la estructura está compuesta únicamente por vigas y columnas, sin muros de corte. Ellos obtienen períodos que han sido registrados en algunos edificios luego de eventos sísmicos.

En la tabla 4.1 se presentan parte de los edificios, en los cuales se tienen valores de

períodos registrados, después de los sismos que están indicados en la mencionada tabla. Se aprecia el número de pisos, la altura total de los edificios y los períodos registrados en las dos direcciones perpendiculares.

Tabla 4.1 Períodos obtenidos en edificios de H.A. conformados por vigas y columnas

Período T (s)

Localización Número de pisos

Altura (ft)

Terremoto

Longitudinal Transversal Los Angeles 14 148.0 Northridge -- 2.28 Los Angeles 5 119.0 Northridge 1.46 1.61 Los Angeles 5 119.0 Whittier 1.40 1.30 Los Angeles 15 274.0 Northridge 3.11 3.19 Los Angeles 9 141.0 Northridge 1.39 1.28 Los Angeles 20 196.8 San Fernando 2.27 2.09 Los Angeles 20 196.8 San Fernando 2.27 2.13 Los Angeles 20 196.8 San Fernando 2.24 1.98 Los Angeles 22 204.3 San Fernando 1.94 2.14 Los Angeles 22 204.3 San Fernando 1.84 2.17 North Hollywood 20 169.0 Northridge 2.60 2.62 Sherman Oaks 13 124.0 San Fernando 1.20 1.40 Sherman Oaks 13 184.5 Whittier 1.90 2.30 Sherman Oaks 13 184.5 Whittier -- 2.44 Van Nuys 7 65.7 Whittier 1.40 1.20

Los datos de la tabla 4.1 corresponden a edificios en los cuales se registraron

aceleraciones máximas del suelo mayores a 0.15 g., es decir que provocaron cierto daño en la estructura. Goel y Chopra (1997) en total trabajaron con 68 valores de períodos que incluye a registros con aceleraciones menores a 0.15 g. Del análisis de regresión realizado encontraron la siguiente ecuación para hallar el período.

90.0016.0 HT = ( 4.4 )

Donde la altura H se expresa en pies. La relación encontrada por Goel y Chopra

reporta valores superiores de período en relación a la recomendada por el UBC-97 y que ha sido acogida por varios códigos, entre ellos el CEC-2000. La ecuación del UBC-97 para edificios de H.A. conformada por vigas y columnas es:

4/3030.0 HT = ( 4.5 )




108

En la figura 4.1 se ha ploteado los períodos encontrados en edificios cuya aceleración máxima del suelo, debido al sismo, fue superior a 0.15 g., y que constan en la tabla 4.1, con una línea continua se han unido los períodos longitudinal y transversal registrados en un edificio. Se ha dibujado además la curva que se obtiene con la ecuación ( 4.4 ) y la que se halla con la ecuación ( 4.5 ). Esta última se identifica con el título de “códigos”. Se aprecia que mejor se ajusta la ecuación propuesta por Goel y Chopra; la misma tendencia se tiene con los 68 valores de períodos con los cuales obtuvieron la relación entre la altura del edificio H , y el período fundamental T.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 100 200 300 400

Altura H (ft)

Perio

do T

(s)

Códigos

Goel y Chopra

Figura 4.1 Períodos encontrados en edificios cuya aceleración del suelo es mayor a 0.15 g.

En las ecuaciones ( 4.4 ) y ( 4.5 ) la altura H debe expresarse en pies, si se desea

colocar en metros estas ecuaciones cambian a:

4/3

90.0

0731.00466.0

HTHT

=

=

( 4.6 )

Se destaca que para edificios con alturas mayores a 100 ft. La ecuación propuesta por

Goel y Chopra (1997) reporta mayores valores que la que se obtiene con la ecuación que estipula en CEC-2000. Para edificios cuya altura es menor a 100 ft. Las dos ecuaciones reportan valores similares.

En la ecuación ( 4.6 ) el período se obtuvo en base a los elementos estructurales y no

estructurales que son los que conforman los edificios. La incorporación de los elementos no estructurales hace que la estructura sea más rígida y por ende se disminuye el período de vibración.

4.1.2 Trabajo de Aguiar et al (2006)

Aguiar et al (2006) obtuvieron el período de vibración de 36 edificios de hormigón armado, conformados por vigas y columnas, sin muros de corte, de 1 a 6 pisos. Se hallaron los períodos de 246 pórticos, calculado de la siguiente manera:




109

• Con inercias gruesas se obtuvo la matriz de rigidez lateral y luego se obtuvo la matriz de masas. El período se halla de la solución del problema de valores y vectores propios. A esta forma de cálculo se denomina Igruesa. En la figura 4.2 se indica los resultados obtenidos, con línea continua se muestra la curva de valores medios y la ecuación de ajuste es la siguiente:

7751.00845.0 HT = ( 4.7 )

Figura 4.2 Períodos encontrados en el estudio con inercias gruesas y curva de ajuste.

• En forma similar a la anterior pero considerando inercias agrietadas de acuerdo a lo recomendado por el CEC-2000. Los resultados obtenidos se presentan en la figura 4.3. A este caso se denomina Iagrietada, la ecuación hallada del ajuste es:

8212.00901.0 HT = ( 4.8 )

Figura 4.3 Períodos encontrados en el estudio con inercias agrietadas y curva de ajuste.




110

En la figura 4.4 se presentan las curvas que determinan el período en función de la altura total del edificio, que se hallan con las ecuaciones de Goel y Chopra ( 4.6) que se ha denominado Chopra, la halladas por Aguiar et al (2006) mediante las ecuaciones ( 4.7 ) para la Igruesa y la ( 4.8 ) para la Iagrietada. También se presenta la que se halla con la ecuación del CEC-2000 que es la ecuación ( 4.1 ) pero multiplicado por 1.3, a esta se denomina UBC-97.

Se aprecia en la figura 4.4 una gran aproximación entre las curvas Igruesa con UBC-97.

Por lo tanto se recomienda calcular el período de vibración con la ecuación ( 4.1 ) y multiplicar éste valor por 1.3; para el caso en que se trabaje con inercias gruesas. Esta recomendación ha sido acogida en los programas que se presentan en este capítulo para hallar el período fundamental de vibración.

Figura 4.4 Períodos medios hallados en el estudio

El incremento del período de vibración conduce a tener valores de C , más bajos,

como se ilustra en la figura 4.5 y por ende a valores de más bajos. 0V

La fórmula propuesta por Goel y Chopra (1997) reporta períodos bajos para edificios con alturas menores a 20 m. Si se desea trabajar con inercias agrietadas se debe utilizar la ecuación ( 4.8 ). Por cierto en todos los edificios analizados se consideró que la altura del primer piso es de 4 m., y la altura de los restantes pisos es de 3.0 m. Por ejemplo los edificios de 4 pisos tienen una altura total de 13.0 m.

4.2 CORTANTE BASAL MÍNIMO

El cortante basal mínimo de acuerdo al CEC-2000 se determina con la siguiente ecuación.

0V

WR

CIZVep φφ

=0 ( 4.9 )




111

Donde Z es el factor de zonificación sísmica, definido en la tabla 4.2; es el coeficiciente de la aceleración de la gravedad, indicado en el mapa de zonificación sísmica presentado en el capítulo 1. I es el coeficiente de importancia, C es un coeficiente mostrado en la figura 4.5, R es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas debido a comportamiento inelástico de la estructura, analizado con detenimiento en el capítulo 2, ep φφ , factores que toman en cuenta

las irregularidades en planta y elevación. W es el peso total reactivo que se calcula únicamente con la carga muerta.

Tabla 4.2 Factor Z en función de la zona sísmica. Zona Sísmica 1 2 3 4

Factor Z 0.15 0.25 0.30 0.40

Figura 4. Coeficiente C

En la figura 4.5 se aprecia que el coeficiente C se calcula con la siguiente ecuación:

β≤=T

SCS25.1

( 4.10 )

El valor de no es el coeficiente sísmico que relaciona el cortante basal con el peso

total de la estructura. En la tabla 4.3 se señalan los valores de y C

S β de acuerdo al perfil de suelo.

Tabla 4.3 Perfiles de suelo y valores de y S β .

Perfil de Suelo S1 S2 S3 S4 S 1.0 1.2 1.5 2.0 β 2.5 3.0 2.8 2.5 Se destaca que definido en la ecuación ( 4.9 ) representa el cortante basal

mínimo con el cual se deberá controlar el cortante basal que se halla con otros métodos, como se verá en capítulos posteriores.

0V

4.3 MÉTODO ESTÁTICO




112

Una vez que se determina el cortante basal con la ecuación ( 4.9 ) se procede a encontrar las fuerzas laterales en cada uno de los pisos mediante las siguientes ecuaciones:

iF

( )

∑=

−= n

iii

iiti

hw

hwFVF

1

0 ( 4.11 )

TVFt 007.0= ( 4.12 )

Donde es la fuerza en el último piso de la estructura con la cual se pretende corregir

la influencia de los modos superiores, ya que la ecuación ( 4.11 ) considera solo el primer modo de vibración y de forma lineal., es el peso reactivo del piso i, es la altura desde la base hasta el piso i. Finalmente

tF

iw ihT es el período fundamental de la estructura.

El CEC-2000 estipula que cuando el período de vibración es menor o igual a 0.7 s.,

puede considerarse nulo el valor de . De igual manera se deberá controlar que el valor de la fuerza en el tope no exceda 0.25 .

tF

tF 0V

4.4 PROGRAMA ANALISISESTATICONEW

En este programa se considera que el factor de reducción de las fuerzas sísmicas es igual a 6 para los perfiles de suelo S1, S2 y S3. Para el perfil de suelo S4 este factor vale 5. Por lo tanto el factor R programado corresponde al caso de disipación de energía elevada, descrito en el capítulo 2. Se recuerda que asociado a estos valores la deriva máxima de piso, inelástica,

%5.1=γ . Una vez que se hallan las fuerzas laterales se obtienen los desplazamientos laterales

elásticos en cada piso empleando la ecuación básica de estructuras: q

qKQ = ( 4.13 ) Al considerar un modelo de un grado de libertad por planta, el vector de cargas Q está

compuesto por las fuerzas laterales de cada uno de los pisos y la matriz de rigidez es igual a la suma de las matrices de rigidez lateral de cada uno de los pórticos, en la dirección del análisis sísmico, obtenido con inercias gruesas ya que con estos valores se halla la deriva de piso.

K

Los desplazamientos inelásticos , de acuerdo al CEC-2000 se obtienen

multiplicando los desplazamientos elásticos por el factor de reducción de las fuerzas sísmicas

INEqq

R .

qRqINE = ( 4.14 )




113

Las derivas de piso γ se hallan dividiendo el desplazamiento relativo de piso para la altura de entrepiso . h

i

INEINEi h

qqii 1−

−=γ ( 4.15 )

El subíndice representa el piso . La deriva máxima de piso i i γ de todo el edificio, es

el mayor de las derivas de piso.

Finalmente, se destaca que el programa ANALISISESTATICONEW no calcula los momentos debidos a torsión accidental y por ende las fuerzas laterales debidas a torsión accidental por lo que las fuerzas estáticas obtenidas debido a traslación se incrementan en un 10% por la torsión accidental, que se analizará posteriormente.

• EJEMPLO 1

Realizar un análisis sísmico estático para la estructura de 6 pisos, cuya configuración en planta es la indicada en la figura 4.6. Si esta se halla sobre un perfil de suelo S2, en la zona de mayor peligrosidad sísmica del Ecuador. Las dimensiones de las vigas y columnas se indican en la tabla 4.4 al igual que el peso total reactivo de cada uno de los pisos. La altura de cada entrepiso es de 3.0 m., El módulo de elasticidad . 2/21.1738965 mTE =

Figura 4.6 Distribución en planta de edificio de 6 pisos.

Se desea realizar el análisis utilizando el programa ANALISISESTATICONEW. Indicar

las fuerzas laterales en centro de masa, sin torsión accidental, los desplazamientos inelásticos, las derivas de piso y las fuerzas laterales finales considerando en forma aproximada la torsión accidental.




114

• SOLUCIÓN

Se determina la matriz de rigidez lateral de cada uno de los pórticos, para el presente ejercicio se ha trabajado con el programa RLAXINFI. Se obtiene con inercias gruesas ya que sirve para encontrar la deriva de piso, siguiendo el procedimiento del CEC-2000.

Tabla 4.4 Dimensiones de columnas, vigas y peso total reactivo de piso. Columnas

(cm.) Piso

Pórtico 1 y 4 Pórtico 2 y 3

Vigas (cm.)

Peso total reactivo (T.)

1 55/55 60/60 30/35 168.75 2 55/55 60/60 25/35 159.75 3 55/55 60/60 25/35 150.75 4 50/50 55/55 25/35 141.75 5 50/50 55/55 25/30 132.75 6 45/45 50/50 25/30 123.75

Con los datos de la tabla 4.4, se obtienen dos matrices de rigidez lateral, una para los

pórticos exteriores y otra para los pórticos interiores. Estas son:

Pórtico 1 y 4

Pórtico 2 y 3

La matriz de rigidez en coordenadas de piso, para el modelo de un grado de

libertad por planta, resulta: K

∑=

=n

i

iLKK

1

)( ( 4.16 )

Donde es el número de pórticos en la dirección del análisis sísmico. La ecuación (4.16) se habría podido escribir . Para el ejemplo se tiene:

nXXKK =




115

)4()3()2()1(LLLL KKKKK +++=

A continuación se presenta en forma resumida los cálculos realizados.

• Período

( ) ( ) .8305.03.1180731.03.10731.0 75.04/3 sHT =∗∗=∗=

• Coeficiente C

8733.18305.0

2.125.1

25.1

2.1=

∗=

≤=

C

TSC

Sβ

• Cortante Basal mínimo

5893.1095.8771168733.114.0

0 =∗∗∗

∗∗== W

RCIZV

ep φφ

Se está colocando los valores que reporta el programa, redondeado a cuatro decimales

y estrictamente no coincide en el tercer o cuarto decimal, debido a que el valor de C está redondeado.

• Fuerza en el tope

3709.68305.05893.10907.007.0 0 =∗∗== TVFt

2184.1030 =− tFV

El cálculo de las fuerzas en cada piso, que se halla con la ecuación (4.11) se resume en la tabla 4.5

Tabla 4.5 Cálculo de las fuerzas en C.M. sin torsión accidental Piso iw

(T.) ih

(m.) ii hw

(Tm.) iF

(T.) 1 123.75 3.0 371.25 3.9564 2 132.75 6.0 796.50 8.4877 3 141.75 9.0 1275.75 13.5947 4 150.75 12.0 1809.00 19.2771 5 159.75 15.0 2396.25 25.5349 6 168.75 18.0 3037.50 32.3680+6.3709

=38.7389 ∑= 9686.25 109.5894




116

Para hallar los desplazamientos elásticos en la estructura, el vector de cargas Q está compuesto por las fuerzas indicadas en la última columna de la tabla 4.5. Luego su vector transpuesto vale: . Al resolver

el sistema de ecuaciones planteado en ( 4.13 ) con la matriz de rigidez que ya fue indicada se hallan los desplazamientos elásticos . Estos son:

]7389.385349.252771.195947.134877.89564.3[=tQ

∑= LKKq

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0799.00668.00516.00353.00193.00061.0

q

Son desplazamientos elásticos, debido a que la ecuación (4.13) es la ecuación

matricial de estructuras en el rango elástico. Para hallar los desplazamientos inelásticos, de acuerdo al CEC-2000 los desplazamientos q se multiplican por el factor de reducción de las fuerzas sísmicas . 6=R

Las fuerzas estáticas finales se hallan multiplicando la última columna de la tabla 4.5

por 1.1. A continuación se presentan los resultados que se obtienen con el programa ANALISISESTATICONEW.

Tabla 4.6 Resultados de ejemplo 1. Pisos Fuerza sin

Torsión ( T. ) DesplazamientosInelásticos ( m. )

Deriva de piso Fuerzas Finales ( T. )

1 3.9561 0.0364 0.0121 4.3517 2 8.4877 0.1160 0.0265 9.3364 3 13.5947 0.2116 0.0319 14.9541 4 19.2771 0.3096 0.0326 21.2048 5 25.5349 0.4011 0.0305 28.0884 6 38.7389 0.4794 0.0261 42.6127

.5893.109%26.36 0 TVR === γ

La deriva de piso máxima es mayor del 1.5%. Por lo que se debe incrementar las dimensiones de vigas y columnas. Esto se lo realiza en el ejemplo 2.

4.4.1 Listado del programa ANALISISESTATICONEW function [V]=analisisestaticonew(iejes,alt,peso,KL) % % Analisis Estatico de acuerdo al CEC-2000 de edificios aporticados regulares % % Factor de reduccion de las fuerzas sismicas esta en funcion del nivel de % diseño (de la capacidad de ductilidad de la estructura). Son los % resultados finales del proyecto de investigacion desarrollado en el % CEINCI-ESPE en 2007 sobre el factor de reduccion de las fuerzas sismicas. % Esta programado para nivel de diseño sismico elevado (ductilidad=4).




117

% % Se mayoran las fuerzas sismicas por torsion accidental en 10%. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Version de diciembre de 2007 %----------------------------------------------------------------------- % [V]=analisisestaticonew(iejes,alt,peso,KL) %----------------------------------------------------------------------- % Ru Factor de reduccion por ductilidad Rs Factor de resistencia % Rr Factor de redundancia R Factor de reduccion % H Altura total de edificio Z Factor de Zona % iejes # de ejes de columnas % alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde el suelo. % peso Vector que contiene los pesos reactivos de cada piso. % PESO Peso total Reactivo. V Cortante Basal % gama Deriva maxima de piso que el programa calcula. % KL Matriz que contiene la matriz de rigidez lateral de cada portico % en la direccion del analisis sismico con inercias gruesas % NP=length(alt); PESO=0;for i=1:NP; PESO=PESO+peso(i);end; H=alt(NP); fprintf ('\n Codigos para zonas sismicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 04g=4'); ic=input ('\n Ingrese el codigo de la zona sismica :'); if ic==1; Z=0.15;elseif ic==2; Z=0.25;elseif ic==3;Z=0.30;else;Z=0.40;end fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4'); is=input('\n Indique el codigo del tipo de suelo :'); if is==1 T1=0.50;T2=2.50;beta=2.5;S=1;R=6.0; elseif is==2 T1=0.52;T2=3.11;beta=3.0;S=1.2;R=6.0; elseif is==3 T1=0.82;T2=4.59;beta=2.8;S=1.5;R=6.0; else T1=2.0;T2=10;beta=2.5;S=2;R=5.0; end I=input('\n Indique el factor de importancia :'); % Periodo fundamental, el mismo que se amplifica por inercia agrietada T=0.0731*H^(0.75);T=1.3*T; rp=input('Estructura es regular en planta; si(s) o no(n):','s'); if rp=='s';fip=1;else;fip=0.8;end re=input('Estructura es regular en elevacion; si(s) o no(n):','s'); if rp=='s';fie=1;else;fie=0.8;end %Coeficiente C C=(1.25*S^S)/T; if C >=beta;C=beta;end if C <= 0.5;C=0.5;end % Cortante Basal V=(Z*I*C*PESO)/(R*fip*fie); % Fuerzas horizontales en cada piso if T <= 0.7;Ft=0;else;Ft=0.07*T*V;end Ftmax=0.25*V;sum=0; if Ft >= Ftmax;Ft=Ftmax;end for i=1:NP;sum=sum+peso(i)*alt(i);end for i=1:NP if i==NP F(i)=(((V-Ft)*peso(i)*alt(i)/sum)+Ft); else




118

F(i)=((V-Ft)*peso(i)*alt(i)/sum); end end % Calculo de la deriva de piso. Kxx=zeros(NP,NP); % Determinacion de matriz de rigidez espacial for i=1:iejes ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP; Kxx=Kxx+KL(ji:jf,1:NP); end F=F'; q=Kxx\F; qine=R*q; % Desplazamientos elasticos e inelastico for i=1:NP j=NP+1-i; if j==1 drift(j)=qine(j)/alt(j); else drift(j)=(qine(j)-qine(j-1))/(alt(j)-alt(j-1)); end end gama=0; for i=1:NP; if gama>=drift(i); continue else gama=drift(i); end end gama=gama*100; end fprintf ('\n Valor de reduccion de las fuerzas sismicas R'); R fprintf ('\n Fuerzas laterales en cada piso sin torsion accidental'); F fprintf ('\n Cortante Basal '); V fprintf ('\n Desplazamiento Inelastico'); qine fprintf ('\n Deriva de piso'); drift fprintf ('\n Deriva maxima de piso en porcentaje'); gama if gama >= 1.5 fprintf ('\n Deriva de piso mayor a 1.5% repita el analisis sismico') end % Mayoracion de las fuerzas laterales por torsion accidental F=1.1*F; fprintf('\n Fuerzas laterales en cada piso con torsion accidental'); F %---fin

4.4.2 Uso del programa ANALISISESTATICONEW

La forma general de las variables del programa es:

[V]=analisisestaticonew(ejes,altura,peso,KL)

ejes Es el número de ejes en la dirección del análisis sísmico. altura Vector que contiene la altura desde la base a cada piso.




119

peso Vector que contiene los pesos, reactivos, de cada uno de los pisos. KL Matriz con las matrices de rigidez lateral de cada pórtico en la dirección de

análisis sísmico.

4.5 EXCENTRICIDAD ESTÁTICA

La excentricidad estática es la distancia que existe entre el Centro de Rigidez C.R.,

y el Centro de Masa C.M., esta es la forma como trabajan una buena cantidad de proyectistas estructurales. Pero también hay gente que en lugar de trabajar con el C.M., en edificios de varios pisos, trabajan con el Centro de Cortante C.C., de tal manera que para ellos la excentricidad estática es la distancia entre el C.R. y el C.C. Existen otras propuestas para encontrar . En el presente capítulo se trabaja con la primera forma, dejando constancia de que en el capítulo 8 se presenta la forma de cálculo del C.R., del C.C. y del Centro de Giro C.G.

Se

Se

Se define el Centro de Masas C.M., como el lugar geométrico en el cual se supone

que está concentrada la masa en cada uno de los pisos. Por otra parte de define el Centro de Rigidez C.R., de un nivel como el punto donde al aplicar una fuerza cortante horizontal, el nivel se traslada sin rotar con respecto al piso inferior. COVENIN 1756-98 (2001).

Para ilustrar lo expuesto en la figura 4.7, se indica el C.M. y el C.R., en un determinado

piso de una estructura. La excentricidad estática se ha definido por . En la figura 4.7 se

ha indicado además las fuerzas estáticas que actúa en la dirección X, y la fuerza que actúa en la dirección Y, debido a la acción sísmica. Son estas fuerzas que actúan en el C.M. las que provocan la torsión, ya que si actuarían en el C.R. solamente provocarían traslación en el edificio.

yx ee ,

xF yF

Figura 4.7 Ubicación del Centro de Masa y Centro de Rigidez en un piso de una estructura.

En el análisis sísmico en sentido X, se tienen dos tipos de pórticos en los extremos, que se los ha denominado: Pórtico Débil, que es el pórtico 1 ya que solo tiene dos ejes de




120

columnas y Pórtico Fuerte, que es el pórtico 4 que tiene 4 ejes de columnas. En el sentido Y, se tendría que el pórtico A es el fuerte y el pórtico D es el débil.

Los pórticos débiles son los que más se van a mover durante un sismo y los pórticos

fuertes se moverán menos pero al estar todos unidos los pórticos débiles son los que tendrán un mal comportamiento sísmico. En el Método de la Torsión Estática, como se verá posteriormente es que los pórticos débiles se diseñen para fuerzas un poco más altas y que los pórticos fuertes para fuerzas un poco más bajas, para tener un cierto balance torsional. Lo ideal es que una estructura no tenga pórticos débiles ni pórticos fuertes si no que todos tengan pórticos con rigidez y resistencia parecidas.

Para una estructura de un piso es bastante sencillo, calcular el C.R. en base a la

rigidez lateral de sus elementos, pero para edificios de varios pisos es más complicado y no siempre existe el C.R. En efecto, el C.R. solo existe en estructuras compensadas. Vásquez y Riddell (1984).

4.6 EXCENTRICIDAD DE DISEÑO

La excentricidad de diseño es igual a la excentricidad estática , mayorada por un factor de amplificación dinámica más la excentricidad accidental que es función de un porcentaje de la distancia de la planta en la dirección perpendicular a la del análisis sísmico.

de se

LeeLee

sd

sd

βδβα

−=+=

( 4.17 )

Donde α es el factor de amplificación dinámica torsional para la zona débil de la

planta del edificio; δ factor de control de diseño de la zona más rígida de la planta para la dirección considerada. Los valores de δα , serán analizados en el siguiente apartado; β es el porcentaje que varía entre el 5% y 15%, para la excentricidad accidental, es la distancia perpendicular a la dirección del análisis sísmico.

L

Al multiplicar la excentricidad de diseño por el cortante de cada piso, se tiene los

momentos de torsión que son aquellos que van a generar fuerzas de torsión adicionales en cada pórtico. En el programa ANALISISESTATICONEW estas fuerzas se consideraron en forma aproximada igual al 10% de las fuerzas estáticas. Los momentos de torsión se evalúan con las siguientes ecuaciones:

tiM

tiM

( )( )isiiti

iisiti

LeVMLeVM

βδβα

−=

+= ( 4.18 )

Donde es el cortante del piso i; es la excentricidad estática del piso i; es la

distancia perpendicular a la dirección del análisis sísmico en el piso i. iV sie iL

4.7 EXCENTRICIDAD ESTÁTICA EN ALGUNAS NORMATIVAS

Uno de los primeros trabajos para cuantificar el factor de amplificación dinámica α es el propuesto por Rosenblueth y Elorduy (1969), quienes estudiaron la respuesta elástica en estructuras de un piso, con una sola excentricidad, ante la acción de un sismo que actúa en




121

forma perpendicular a la planta. Pero ellos obtuvieron este factor como la relación entre el momento de torsión calculado en forma dinámica con relación al momento de torsión hallado en forma estática . El resultado por ellos obtenido se indica en la figura 4.8.

TdinM

TestM

.Test

Tdin

MM

=α ( 4.19 )

La crítica que se realiza a la ecuación (4.19) radica en el hecho de que los cortantes

máximos y los momentos torsores máximos en una planta no coinciden en el mismo instante de tiempo. Luego trabajar solo con momentos de torsión puede llevar a subestimar el problema.

Figura 4.8 Factor de amplificación dinámica. Rosenblueth y Elorduy (1969). (Figura cortesía de Crisafulli en 2002).

Desde la última década del siglo pasado y la primera década de este siglo se continúa

trabajando en ésta temática pero con otro enfoque. El actual es cuantificar los efectos de torsión mediante la respuesta normalizada en desplazamientos de los pórticos extremos, que corresponden al pórtico débil en el un extremo y al pórtico fuerte en el otro extremo del edificio. Existen algunas formas de normalizar, una de ellas es dividir la respuesta en desplazamientos de un pórtico extremo, de la estructura con problemas de torsión, para el desplazamiento máximo de ese pórtico, ante la misma acción sísmica pero considerando que la estructura no tiene excentricidad estática, es decir se trata de una estructura completamente simétrica cuyos modos de vibración son desacoplados. Hernández y López (2007).

4.7.1 Normativas de Venezuela Con relación a la ecuación (4.17) vale la pena indicar los valores de α y δ que

recomendaba la normativa sísmica de Venezuela de 1982. Para el valor α se tenían tres valores a saber:




122

5.1=α Si los pórticos con mayor rigidez lateral están ubicados en el perímetro de la planta.

5=α Si los pórticos con mayor rigidez lateral se encuentran en el centro del edificio. 3=α Para los restantes casos.

El primer caso 5.1=α corresponde a aquel en que la rigidez torsional es bien alto

el segundo es el caso contrario y el tercero para casos intermedios. Luego θθK

α variaba entre 1.5 y 5. El valor de 1=δ para los tres casos. Grases et al (1987).

En la versión 2001 de la Norma Venezolana se estipulan los valores de α indicados

en la tabla 4.7, con el siguiente significado de las variables:

ww

rr

re t θε ==Ω= ( 4.20 )

Donde es la excentricidad medida entre el C.R. y el C.C.; e r es el valor representativo

del radio de giro inercial de las plantas de la edificación; valor representativo del radio de giro torsional del conjunto de las plantas de la edificación; es la frecuencia torsional desacoplada; es la frecuencia que puede ser en sentido X o en sentido Y. En la figura 4.9 se presenta la variación de

tr

θww

α y δ .

Tabla 4.7 Valores de α y δ de Norma de Venezuela (2001) CASO VALOR DE

15.0 ≤Ω≤ [ ]Ω−+= εα 1641 21 ≤Ω≤ ( )[ ]( )4221641 Ω−Ω−−+= εα

2≥Ω 1=α Acotando 11 ≤≤− δ ( ) 6.016 −−Ω=δ

Figura 4.9 Variación de α y δ de la Norma de Venezuela (2001).




123

Las ecuaciones de la tabla 4.7 fueron obtenidas ajustando los desplazamientos de los pórticos extremos: rígido y flexible y toma en cuenta la excentricidad y la rigidez torsional en el incremento de los desplazamientos dinámicos con respecto a los desplazamientos estáticos de una planta simétrica. Hernández y López (2003).

Al analizar la figura 4.9 se puede indicar que para valores de Ω mayores a 1.5 los

valores de α y δ están alrededor de la unidad. Estructuras con Ω alto son torsionalmente rígidas y son aquellas en las cuales se han colocado los pórticos de mayor rigidez en el perímetro.

Por el contrario, las estructuras torsionalmente flexibles con valores de bajos corresponden a aquellas en las cuales los pórticos con mayor rigidez se han colocado en la parte central del edificio. En este caso los valores de

Ω

α y δ son diferentes a la unidad, dependiendo del valor de ε .

Con relación a las ecuaciones indicadas en la tabla 4.7, correspondiente a la Norma de

Venezuela (2001) se deben hacer las siguientes acotaciones:

El mayor valor de re /=ε es 0.2, de tal manera que se evita tener excentricidades altas.

Por otro lado el valor de con lo cual se evita tener edificios con valores de

muy pequeños. 5.0≥Ω

θθK

Se limita la relación 3.0/ ≤tre para no tener estructuras con una excentricidad considerable y una rigidez torsional baja.

Si se excede una de estas acotaciones, la Norma de Venezuela (2001) no permite la

aplicación del Método de la Torsión Estática y penaliza el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R ya que se trata de estructuras con un elevado riesgo torsional. Hernández y López (2003).

4.7.2 Normativas Americanas Las normativas UBC como el SEAOC de los años ochenta, consideraban que 1=α ,

0=δ y que 05.0=β . De tal manera que no se amplifica la excentricidad estática para la zona de los pórticos débiles pero tampoco realizan ninguna reducción de la excentricidad en la zona de los pórticos fuertes, en la zona rígida.

El UBC (1997), el IBC (2000) y el ICC (2003) determinan el factor de amplificación mediante la siguiente expresión.

xA

0.32.1

0.12

max ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≤

avgxA

δδ

( 4.21 )

Donde maxδ es el desplazamiento lateral máximo del piso considerado y avgδ es el

desplazamiento promedio en los puntos extremos (pórticos extremos) de la estructura, para el piso considerado. El valor de tiene que ser mayor a la unidad y menor que 3. xA




124

Para calcular , de acuerdo a las normativas americanas se debe encontrar los desplazamientos en cada piso y en cada pórtico, con los cortantes de piso debido al método estático más los momentos de torsión que se encuentran con la ecuación que se indica a continuación con

xA

1=α y 05.0=β . Con este estado de carga se halla maxδ y avgδ , para

luego hallar xA( )iisiti LeVM βα +=

Luego se realiza el análisis sísmico aplicando el Método Estático y los momentos

torsores que se hallan con la ecuación (4.18) considerando xA=α , 1=δ y xA∗= 05.0β .

4.7.3 Código Ecuatoriano de la Construcción El análisis estático se simplifica notablemente cuando el factor de amplificación

dinámica α y el factor de control δ son iguales a la unidad 1== δα . En este caso no es necesario calcular el centro de rigidez y la excentricidad estática, basta con considerar que las fuerzas halladas con la ecuación (4.11) actúan en el centro de masa, más un momento torsor adicional debido a la torsión accidental. El CEC-2000 considera que

1== δα y xA∗= 05.0β La excentricidad accidental se debe a una serie de hipótesis que se consideran

en el cálculo para simplificar el análisis sísmico y que puede llevar a que el C.M., por ejemplo, no esté en el lugar que se ha calculado si no que esté desfasado. Que la longitud de la onda sísmica varíe a lo largo del edificio, que la componente rotacional del sismo sea importante y no se tomó en cuenta. Todas estas omisiones y otras variables aleatorias de masa, rigidez y resistencia, conducen a que se mayoran las fuerzas sísmicas halladas con la ecuación ( 4.11 ) por lo que se ha denominado torsión accidental.

Lo importante es tener presente, que las fuerzas laterales que se generan en los

pórticos debido a la torsión accidental se deben incrementar a las fuerzas estáticas equivalentes por traslación.

Para encontrar los desplazamientos laterales y poder calcular maxδ y avgδ se necesita

conocer las fuerzas laterales pero estas se conocen únicamente del efecto de traslación, método estático. Por lo tanto se debe calcular en forma sucesiva empezando con un valor , para este valor se hallan las fuerzas laterales debidas a torsión accidental y las fuerzas laterales que estás generan. Con las fuerzas laterales de traslación y de torsión se halla un nuevo y se repite el cálculo hasta lograr una convergencia entre dos valores consecutivos de . Esto es una propuesta del autor del libro.

xA1=xA

xA

xA

4.8 ANÁLISIS CON DOS GDL POR PLANTA

Para poder incluir la torsión accidental es necesario considerar un modelo con dos grados de libertad por planta, la componente de desplazamiento horizontal y la rotación, con respecto a un eje perpendicular a la losa. En la figura 4.10 se muestra el modelo numérico de cálculo, para una estructura de tres pisos. Nótese que en primer lugar se ha numerado todos los desplazamientos en sentido X, empezando desde el primer piso hasta el último, posteriormente se ha numerado las rotaciones de piso desde el primer piso.




125

Figura 4.10 Modelo de dos grados de libertad por planta

Como se vio en el capítulo anterior, los grados de libertad se agrupan en el vector de coordenadas generalizadas . Para el ejemplo de la figura 4.10, es: q

=q =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6

5

4

3

2

1

qqqqqq

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

θq

qX

Los desplazamientos horizontales de piso se han agrupado en el vector , por que

en la figura 4.10 se está realizando el análisis sísmico con respecto a la dirección X. Para esta dirección la matriz de rigidez, triangular superior, en coordenadas de piso, resulta:

Xq

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

θθ

θ

KKK

K XXXE ( 4.22 )

( ) (∑ )∑∑ === )()(2)()()(2 iiLX

iiL

iLXX rKKrKKKCosK θθθα

La sumatoria de las sub matrices se extiende a todos los pórticos en sentido X. Cuando

la estructura es simétrica en planta, la sub matriz es nula. θXK Para encontrar las fuerzas que se generan en los pórticos debido a la torsión accidental

se aplica en cada uno de los pisos un momento de torsión como se ilustra en la figura 4.11.




126

Este momento de torsión en cada piso se halla considerando xA∗= 05.0β de acuerdo al CEC-2000.

Figura 4.11 Problema estático de torsión accidental

Los momentos de torsión accidental de la figura 4.11 se han considerado positivos, en realidad actúan con cualquier signo. Se toma positivo pero los desplazamientos laterales que se generan en los pórticos por efecto de estos momentos se obtienen en valor absoluto. Lo importante es que se mayoran las fuerzas estáticas debidas al desplazamiento lateral.

El vector de cargas generalizadas, para el problema de la torsión accidental,

considerando el modelo numérico indicado en la figura 4.10, es: Q

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

TMQ

0 ( 4.23 )

Donde es el vector que contiene los momentos de torsión en cada piso. El procedimiento de cálculo de las fuerzas generadas por la excentricidad accidental, es el siguiente:

TM

i. Se halla la matriz de rigidez en coordenadas de piso, para el modelo de dos grados de libertad por planta.

ii. Se inicia el cálculo, considerando 1=xA

iii. Se hallan los momentos de torsión accidental, considerando xA∗= 05.0β

iv. Se encuentra el vector de coordenadas generalizadas resolviendo el siguiente

sistema de ecuaciones lineales. q

( 4.24 )




127

QqK E =

v. Se determinan los desplazamientos laterales en cada pórtico, con la siguiente ecuación.

qAp ii )()( = ( 4.25 )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

n

i

rCos

rCosA

α

α............

1)(

Donde es la matriz de compatibilidad que relaciona las coordenadas de piso con las coordenadas laterales de los pórticos. El índice escrito entre paréntesis corresponde al pórtico i, en la dirección del análisis sísmico. En el capítulo anterior se estudió con detenimiento la matriz por lo que se omite las explicaciones. Únicamente se destaca que como el modelo es de dos grados de libertad por planta la forma de la matriz , para el análisis sísmico en sentido X, es la indicada.

Ai

AA

vi. Con los desplazamientos laterales en cada pórtico, se determina en cada piso el valor

máximo en absoluto maxδ con los desplazamientos laterales de todos los pórticos, se obtiene también en cada piso avgδ con los desplazamientos laterales, en valor

absoluto, de los pórticos extremos y se halla el valor de en cada piso. Luego el valor de de la estructura es el máximo valor de los encontrados en cada piso.

xA

xA

vii. Se compara el valor de impuesto en el paso ii., con el valor encontrado, si no son parecidos se repite el cálculo.

xA

viii. Una vez encontrado el valor de , se hallan las fuerzas laterales xA P en cada pórtico,

multiplicando la matriz de rigidez lateral por el vector de desplazamientos LK p .

)()()( iiL

i pKP = ( 4.26 ) Al sumar las fuerzas laterales de cada piso, se hallan las fuerzas laterales en el centro

de masa, las mismas que se deben sumar a las fuerzas que se encuentran con la ecuación (4.11)

Para hallar el momento de torsión accidental se puede trabajar con los cortantes de

piso o con las fuerzas laterales de piso. En la forma descrita se ha trabajado con esta última opción.

• EJEMPLO 2 Realizar el análisis sísmico de la estructura del ejemplo 1, si las dimensiones de vigas y

columnas son ahora las indicadas en la tabla 4.8. El peso total reactivo se ha incrementado en 5% debido al aumento de las secciones de los elementos estructurales. Efectuar el análisis




128

sísmico con el modelo de dos grados de libertad por planta y empleando el programa ANALISISESTATICO2GDL. Explicar la forma de uso del programa.

Tabla 4.8 Dimensiones de columnas, vigas y peso total reactivo de piso, de ejemplo 2. Columnas

(cm.) Piso


Vigas (cm.)


1 60/60 70/70 50/55 177.19 2 60/60 70/70 50/55 167.74 3 60/60 70/70 50/55 158.29 4 55/55 65/65 45/50 148.84 5 55/55 65/65 45/50 139.39 6 50/50 60/60 40/50 129.94

• SOLUCIÓN

La determinación de las fuerzas estáticas en el C.M. del Método Estático, fue explicada con detenimiento en el Ejemplo 1, por lo que se explica ahora como se obtienen las fuerzas debido a la torsión accidental. El vector transpuesto de fuerzas tF del método estático, es:

]3077.346892.240904.218221.168843.112769.6[=tF

Como se indicó, la torsión accidental se la puede calcular con los cortantes de piso o

con las fuerzas de piso. En este ejercicio se obtiene el momento de torsión con las fuerzas de piso. Así para el primer piso se tiene:

tM

TmALFM xit 7077.410.1505.02769.605.011 =∗∗∗=∗∗∗=

Se inicia el cálculo con . Al proceder en forma similar en los restantes pisos, se

obtiene el vector indicado en (4.23). 1=xA

TM

]7308.255169.188178.156166.129132.87077.4[=TM

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

TMQ

0

En este caso el vector 0 está compuesto por seis ceros. Por otra parte, la matriz de rigidez , obtenida con inercias gruesas, vale: EK

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

θθθ

θ

KKKK

KX

XXXE




129

0=θXK

Al aplicar la ecuación (4.24) se hallan los desplazamientos y giros en el C.M. por torsión accidental. Estas son:

[ ] 3103931.03465.02801.02017.01248.00472.0000000 −∗=q

Por medio de la matriz se hallan los desplazamientos laterales A p en cada uno de

los pórticos, empleando la ecuación (4.25). Estos desplazamientos, son:

• Pórtico 1 = Pórtico 4

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

= −

0029.00026.00021.00015.00009.00004.0

10*

3931.03465.02801.02017.01248.00472.0

000000

5.715.71

5.715.71

5.715.71

3)1(p

Pero los desplazamientos laterales se consideran en valor absoluto, ya que los

momentos de torsión que actúan en cada piso pueden actuar en sentido horario o antihorario. Por este motivo es que los desplazamientos laterales del pórtico 1 son iguales a los del pórtico 4, ya que para ambos pórticos el valor de r es 7.5, para el pórtico 1 es negativo y para el pórtico 4 es positivo. Al multiplicar los desplazamientos laterales por la matriz de rigidez lateral del pórtico se hallan las fuerzas laterales en cada piso P . El vector transpuesto de P resulta.

[ ]5280.10906.19018.08049.04790.01203.0)1( =tP




130


33)2( 10

9827.08664.07002.05043.03119.01180.0

10*

3931.03465.02801.02017.01248.00472.0

000000

5.215.21

5.215.21

5.215.21

−− ∗

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

=p

[ ]5621.04316.04583.01086.03456.05807.0)2( =tP

La suma de las fuerzas laterales de los cuatro pórticos, reporta las fuerzas laterales en el C.M. debido a torsión accidental. Estas son las siguientes:

]1802.40444.37201.28270.16493.14019.1[=tTORF

Finalmente las fuerzas finales en el C.M. se hallan sumando las fuerzas laterales

debido al Método Estático más las fuerzas laterales debido a la Torsión Estática. Estas resultan.

[ ]4880.387337.278105.236491.185335.136788.7=TOTALESF

Se deja al lector la verificación e que el valor de es menor que la unidad para todos los pisos, razón por la que , que es el valor impuesto.

xA1=xA

4.9 PROGRAMA ANALISISESTATICO2GDL

La forma de uso del programa es:

[V]=analisisestatico2gdl(ejes,altura,peso,KL,r)

ejes Es el número de ejes en la dirección del análisis sísmico. altura Vector que contiene la altura desde la base a cada piso. peso Vector que contiene los pesos de cada uno de los pisos.




131

KL Matriz con las matrices de rigidez lateral de cada pórtico en la dirección de análisis sísmico. Calculada con inercias gruesas.

r Vector con las distancias del centro de masa a cada pórtico. El programa considera que los C.M., son colineales.

La única diferencia en la entrada de datos con el programa ANALISISESTATICONEW

se da en el vector r, que se debe ingresar. Para el ejemplo 2, el vector transpuesto de r es:

]5.75.25.25.7[ −−=tr

Las matrices de rigidez lateral también cambian ya que se incrementó la sección de las columnas. Al igual que el vector que contiene a los pesos de cada piso. Se deja al lector la determinación de estos datos. Los resultados se indican en la tabla 4.9




1 6.2769 0.0103 0.0034 7.6788 2 11.8843 0.0281 0.0059 13.5335 3 16.8221 0.0462 0.0060 18.6491 4 21.0904 0.0645 0.0061 23.8105 5 24.6892 0.0801 0.0052 27.7337 6 34.3077 0.0912 0.0037 38.4880

6=R 1=xA %61.0=γ

La deriva de piso máxima es menor al 1.5%. Se puede pensar en disminuir las secciones de los elementos estructurales ya que %61.0=γ .

4.9.1 Programa ANALISISESTATICO2GDL

A continuación se lista el programa ANALISISESTATICO2GDL, cuyas características principales, son las siguientes:

• Se considera el factor de reducción de las fuerzas sísmicas 6=R para los perfiles de suelo S1, S2 y S3. Para el perfil de suelo S4 el valor de 5=R . Los resultados que se hallan del estado de cargas S no deben ser mayorados en las combinaciones de carga.

• Determina el factor de amplificación por torsión en forma interactiva. xA• Se considera que 1== δα por lo que se omite el cálculo de la excentricidad estática. • Determina las fuerzas debidas a torsión accidental, resolviendo un problema estático. • Se trabaja con las formas espectrales del CEC-2000.

function [V]=analisisestatico2gdl(iejes,alt,peso,KL,r) % % Analisis Estatico de acuerdo al CEC-2000 de edificios aporticados regulares % % Factor de reduccion de las fuerzas sismicas esta en funcion del nivel de % diseño (de la capacidad de ductilidad de la estructura). Son los




132

% resultados finales del proyecto de investigacion desarrollado en el % CEINCI-ESPE en 2007 sobre el factor de reduccion de las fuerzas sismicas. % Esta programado para nivel de diseño sismico elevado (ductilidad=4). % % Se obtienen las fuerzas laterales debidas a torsion accidental de acuerdo % al CEC-2000. Se incluye el factor Ax. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Version de diciembre de 2007 %----------------------------------------------------------------------- % [V]=analisisestatico2gdl(iejes,alt,peso,KL) %----------------------------------------------------------------------- % Ru Factor de reduccion por ductilidad Rs Factor de resistencia % Rr Factor de redundancia R Factor de reduccion % H Altura total de edificio Z Factor de Zona % iejes # de ejes de columnas % alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde el suelo. % peso Vector que contiene los pesos reactivos de cada piso. % PESO Peso total Reactivo. V Cortante Basal % gama Deriva maxima de piso que el programa calcula. % KL Matriz que contiene la matriz de rigidez lateral de cada portico % r Vector que contiene la distancia del portico al centro de masa, de % cada uno de los porticos, con signo, positivo antihorario. % % NP=length(alt); PESO=0;for i=1:NP; PESO=PESO+peso(i);end; H=alt(NP); fprintf ('\n Codigos para zonas sismicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 04g=4'); ic=input ('\n Ingrese el codigo de la zona sismica :'); if ic==1; Z=0.15;elseif ic==2; Z=0.25;elseif ic==3;Z=0.30;else;Z=0.40;end fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4'); is=input('\n Indique el codigo del tipo de suelo :'); if is==1 T1=0.50;T2=2.50;beta=2.5;S=1;R=6; elseif is==2 T1=0.52;T2=3.11;beta=3.0;S=1.2;R=6; elseif is==3 T1=0.82;T2=4.59;beta=2.8;S=1.5;R=6; else T1=2.0;T2=10;beta=2.5;S=2;R=5; end I=input('\n Indique el factor de importancia :'); % Periodo fundamental, el mismo que se amplifica por inercia agrietada T=0.0731*H^(0.75);T=1.3*T; rp=input('Estructura es regular en planta; si(s) o no(n):','s'); if rp=='s';fip=1;else;fip=0.8;end re=input('Estructura es regular en elevacion; si(s) o no(n):','s'); if rp=='s';fie=1;else;fie=0.8;end %Coeficiente C C=(1.25*S^S)/T; if C >=beta;C=beta;end if C <= 0.5;C=0.5;end % Cortante Basal V=(Z*I*C*PESO)/(R*fip*fie); % Fuerzas horizontales en cada piso if T <= 0.7;Ft=0;else;Ft=0.07*T*V;end Ftmax=0.25*V;sum=0;




133

if Ft >= Ftmax;Ft=Ftmax;end for i=1:NP;sum=sum+peso(i)*alt(i);end for i=1:NP if i==NP F(i)=(((V-Ft)*peso(i)*alt(i)/sum)+Ft); else F(i)=((V-Ft)*peso(i)*alt(i)/sum); end end % Calculo de la deriva de piso. Kxx=zeros(NP,NP); % Determinacion de matriz de rigidez espacial for i=1:iejes ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP; Kxx=Kxx+KL(ji:jf,1:NP); end F=F'; q=Kxx\F qine=R*q; % Desplazamientos elasticos e inelastico for i=1:NP j=NP+1-i; if j==1 drift(j)=qine(j)/alt(j); else drift(j)=(qine(j)-qine(j-1))/(alt(j)-alt(j-1)); end end gama=0; for i=1:NP; if gama>=drift(i); continue else gama=drift(i); end end gama=gama*100; fprintf ('\n Valor de R'); R fprintf('\n Fuerzas laterales en cada piso sin torsion accidental'); F fprintf ('\n Cortante Basal '); V fprintf ('\n Desplazamiento Inelastico'); qine fprintf ('\n Deriva de piso'); drift fprintf ('\n Deriva maxima de piso en porcentaje'); gama % Calculo de Torsion accidental % Matriz de rigidez en modelo de 2 gdl por planta Kxx=zeros(NP,NP);Kteta=zeros(NP,NP);Kxt=zeros(NP,NP); for k=1:NP;identidad(k,k)=1;end; for i=1:iejes for k=1:NP rtet(k,k)=r(i); end rteta=rtet*rtet; ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP; Kxx=Kxx+KL(ji:jf,1:NP);Kxt=Kxt+KL(ji:jf,1:NP)*rtet; Kteta=Kteta+KL(ji:jf,1:NP)*rteta; A(ji:ji+NP-1,:)=[identidad rtet]; end KE=[Kxx Kxt;Kxt Kteta]; dist=abs(r(1))+abs(r(iejes));Axmax=1.0; % Se inicia con Ax=1




134

% Momentos de torsion accidental for jj=1:10; for i=1:NP; Momtor(i)=0.05*dist*Axmax*F(i);cero(i)=0;end;Momtor=Momtor'; cero=cero';QE=[cero; Momtor];qe=KE\QE; for i=1:NP; FTx(i)=0; qmax(i)=0;end; FTx=FTx'; for i=1:iejes ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;a=A(ji:jf,1:2*NP);p=a*qe; Klateral=KL(ji:jf,1:NP);FT=abs(Klateral*p);FTx=FTx+FT; if i==1 for j=1:NP q1(j)=abs(p(j)); end elseif i==iejes for j=1:NP q2(j)=abs(p(j)); end end for j=1:NP if qmax(j)>=abs(p(j)); continue else qmax(j)=abs(p(j)); end end end for j=1:NP qavg(j)=(q1(j)+q2(j))/2; Ax(j)=qmax(j)/(1.2*qavg(j)); if Ax(j)<=1; Ax(j)=1; end; if Ax(j)>3; Ax(j)=3; end; end Axmax=max(Ax); Momtor=Momtor';cero=cero';FTx=FTx'; end FTx=FTx';FTOTAL=F+FTx; fprintf('\n Fuerzas laterales en cada piso con torsion accidental'); FTOTAL fprintf('\n Valor de Ax'); Axmax %---fin

4.10 SISMO DE CARIACO

El 9 de julio de 1997, un sismo de magnitud 8.6=sM se registró en Venezuela y afectó a las poblaciones de Cariaco y Casanay, en el Estado Sucre. Bonilla et al (2000). Hubo bastante daño en la zona pero únicamente se va a comentar el colapso del edificio Miramar, ubicado en la ciudad de Cumaná. En la figura 4.12 se aprecia en la parte superior como era el edificio antes del sismo, estaba compuesto por un sótano destinado a parqueadero, nivel de planta baja con mezzanine y seis plantas tipo, con 4 apartamentos por nivel. A la derecha se aprecia que el edificio tenía cinco ejes de columnas en una dirección y tres ejes de columnas en la otra dirección con luces considerables.

El edificio Miramar tenía como núcleo de escaleras tres muros de 15 cm., de espesor

ubicados en una de las esquinas del edificio como se aprecia en la fotografía tomada antes del sismo y en la distribución en planta. Además de ello muy cerca se hallaba el núcleo de ascensores compuesto por muros de 15 cm., de espesor. De tal manera que el Centro de




135

Rigidez se hallaba por esta zona, muy distante del Centro de Masa y por lo tanto con excentricidades muy grandes que fueron la causa principal del colapso del edificio.

Figura 4.12 Edificio Miramar antes, del sismo; distribución en planta y edificio después del sismo.

Evidentemente, los pórticos débiles eran el 5 en un sentido y el A en el otro sentido. Los pórticos fuertes son el 1 y el C. En la parte inferior de la figura 4.12 se observa que parte de estos pórticos fuertes fueron los que quedaron en “pie”, ya que la estructura en planta tuvo grandes rotaciones con respecto a esta zona rígida.

Si se habría desacoplado el núcleo de escaleras de la estructura principal, mediante una junta de construcción y si en lugar de muros alrededor del núcleo de ascensor se habría colocado paredes con bloques, no se habría tenido el colapso.

Lo importante es que el lector conozca el problema y procure que el Centro de Masa se

encuentre muy cercano al Centro de Rigidez, esto es factible lograrlo dándole mayor rigidez a los pórticos débiles, es factible lograrlo con disipadores de energía o con aisladores de base, que se estudian en los dos últimos capítulos de este libro.




136

REFERENCIAS

1. Aguiar R., Briones M., González A., Zambrano J., Marcillo L., Sabando G., Zambrano E., Sumba M., (2006), “Propuesta para encontrar los períodos de vibración con inercias agrietadas”, Segundo Congreso Nacional de Investigación Tecnológica e Innovación. Escuela Politécnica del Litoral, 18 p., Guayaquil.

2. Bonilla R., López O., Castilla E., Torres R., Marinilli A., Annicchiarico W., Garcés F., y

Maldonado Z., (2000), “El terremoto de Cariaco del 9 de julio de 1997”, Instituto de Materiales y Modelos Estructurales. Universidad Central de Venezuela, 38 (2), 1-50, Caracas Venezuela.


Ingeniería Estructural. Pontificia Universidad Católica del Ecuador, 325-350, Quito.

4. Crisafulli F., (2002), Efectos torsionales en estructuras dúctiles sometidas a terremotos, XVI Curso Internacional de Estructuras. Escuela Politécnica del Ejército, Quito.

5. Goel R., and Chopra A., (1997), “Period formulas for moment-resisting frame buildings”,

Journal of Structural Engineering, 123 (11), 1454-1461.

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7. Hernández J., y López O., (2003), “Confiabilidad del método de la torsión estática de la

Norma Sismorresistente Venezolana”, Instituto de Materiales y Modelos Estructurales. Universidad Central de Venezuela, 41 (2-3), 1-27, Caracas Venezuela.

8. Hernández J., y López O., (2007), “Investigación de respuestas sísmicas críticas

incorporando la torsión accidental”, Instituto de Materiales y Modelos Estructurales. Universidad Central de Venezuela, 45 (3), 22-51, Caracas Venezuela.

9. ICC, (2003), International Building Code, International Code Council Inc., Birmingham

Al USA.

10. IBC (2000), International Building Code, International Code Council Inc., Birmingham Al USA.

11. Norma COVENIN 1756-98 (Rev. 2001), “Edificaciones Sismorresistentes”, FUNVISIS.

Ministerio de Desarrollo Urbano, 69 p., Caracas.

12. Rosenblueth E., and Elorduy J., (1969), “Response of linear systems to certain transient disturbances”, Proceedings of the Fourth World Conference on Earthquake Engineering, Vol 1, A1-185 to A1-196, Santiago de Chile.

13. Uniform Building Code UBC, (1997), International Conference of Building Officials

ICBO, Volume 2, 492p., Whittier, California.

14. Vásquez J., and Riddell R., (1984), “Existence of centers of resistance and torsional uncoupling of earthquake response of buildings”, Proc., of the 8th World. Conf. in Earthquake Engrg., Prentice Hall, Inc, IV, 187-194, Englewood Cliffs.



CAPÍTULO 4


RESUMEN






S






106



4/30731.0 HT =

En este capítulo se estudia con detenimiento la excentricidad estática, en el capítulo

seis, se hace lo propio con la excentricidad accidental y en el capítulo 8, con la forma de obtener los centros de: rigidez, de corte y de giro. De tal manera que estos tres capítulos son complementarios entre sí para entender el problema de la Torsión Estática que es fácil en su formulación, como se verá más adelante pero es bastante complejo, motivo por el cual varias normativas sísmicas lo abordan de diferente manera.



4/30731.0 HT = ( 4.1 )



if

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛÷⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑∑

==

n

iiii

n

ii fgwT

1

2

1

2 δδπ ( 4.2 )





gC

gV

II

II

8.0

5.0

=

= ( 4.3 )



gI CV II ,




107








Período T (s)


Altura (ft)

Terremoto




90.0016.0 HT = ( 4.4 )



4/3030.0 HT = ( 4.5 )




108


0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 100 200 300 400

Altura H (ft)

Perio

do T

(s)

Códigos

Goel y Chopra




4/3

90.0

0731.00466.0

HTHT

=

=

( 4.6 )










109


7751.00845.0 HT = ( 4.7 )



8212.00901.0 HT = ( 4.8 )





110










0V

WR

CIZVep φφ

=0 ( 4.9 )




111

Donde Z es el factor de zonificación sísmica, definido en la tabla 4.2; es el coeficiciente

de la aceleración de la gravedad, indicado en el mapa de zonificación sísmica presentado en el capítulo 1. I es el coeficiente de importancia, C es un coeficiente mostrado en la figura 4.5, R es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas debido a comportamiento inelástico de la estructura, analizado con detenimiento en el capítulo 2, ep φφ , factores que toman en cuenta


Tabla 4.2 Factor Z en función de la zona sísmica.




β≤=T

SCS25.1

( 4.10 )







0V





112


iF

( )

∑=

−= n

iii

iiti

hw

hwFVF

1

0 ( 4.11 )

TVFt 007.0= ( 4.12 )



tF




tF

tF 0V







K



INEqq

R .

qRqINE = ( 4.14 ) Las derivas de piso γ se hallan dividiendo el desplazamiento relativo de piso para la

altura de entrepiso . h




113

i

INEINEi h

qqii 1−

−=γ ( 4.15 )




• EJEMPLO 1





• SOLUCIÓN




114



(cm.) Piso


Vigas (cm.)


1 55/55 60/60 30/35 168.75 2 55/55 60/60 25/35 159.75 3 55/55 60/60 25/35 150.75 4 50/50 55/55 25/35 141.75 5 50/50 55/55 25/30 132.75 6 45/45 50/50 25/30 123.75



Pórtico 1 y 4

Pórtico 2 y 3



∑=

=n

i

iLKK

1

)( ( 4.16 )


nXXKK =

)4()3()2()1(LLLL KKKKK +++=




115


• Período

( ) ( ) .8305.03.1180731.03.10731.0 75.04/3 sHT =∗∗=∗=

• Coeficiente C

8733.18305.0

2.125.1

25.1

2.1=

∗=

≤=

C

TSC

Sβ


5893.1095.8771168733.114.0

0 =∗∗∗

∗∗== W

RCIZV

ep φφ




3709.68305.05893.10907.007.0 0 =∗∗== TVFt

2184.1030 =− tFV



(T.) ih

(m.) ii hw

(Tm.) iF

(T.) 1 123.75 3.0 371.25 3.9564 2 132.75 6.0 796.50 8.4877 3 141.75 9.0 1275.75 13.5947 4 150.75 12.0 1809.00 19.2771 5 159.75 15.0 2396.25 25.5349 6 168.75 18.0 3037.50 32.3680+6.3709

=38.7389 ∑= 9686.25 109.5894




116



]7389.385349.252771.195947.134877.89564.3[=tQ

∑= LKKq

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0799.00668.00516.00353.00193.00061.0

q








1 3.9561 0.0364 0.0121 4.3517 2 8.4877 0.1160 0.0265 9.3364 3 13.5947 0.2116 0.0319 14.9541 4 19.2771 0.3096 0.0326 21.2048 5 25.5349 0.4011 0.0305 28.0884 6 38.7389 0.4794 0.0261 42.6127

.5893.109%26.36 0 TVR === γ






117





118









119


análisis sísmico.




Se

Se






yx ee ,

xF yF



rigidez lateral de sus elementos, pero para edificios de varios pisos es más complicado y no




120

siempre existe el C.R. En efecto, el C.R. solo existe en estructuras compensadas. Vásquez y Riddell (1984).



de se

LeeLee

sd

sd

βδβα

−=+=

( 4.17 )



L



tiM

tiM

( )( )isiiti

iisiti

LeVMLeVM

βδβα

−=

+= ( 4.18 )




Uno de los primeros trabajos para cuantificar el factor de amplificación dinámica α es el propuesto por Rosenbluethh y Elorduy (1969), quienes estudiaron la respuesta elástica en estructuras de un piso, con una sola excentricidad, ante la acción de un sismo que actúa en forma perpendicular a la planta. Pero ellos obtuvieron este factor como la relación entre el momento de torsión calculado en forma dinámica con relación al momento de torsión hallado en forma estática . El resultado por ellos obtenido se indica en la figura 4.8.

TdinM

TestM

.Test

Tdin

MM

=α ( 4.19 )


máximos y los momentos torsores máximos en una planta no coinciden en el mismo instante de tiempo. Luego trabajar solo con momentos torsores puede llevar a subestimar el problema de la torsión.




121

Figura 4.8 Factor de amplificación dinámica. Rosenbluethh y Elorduy (1969). (Figura cortesía de Crisafulli en 2002).















122

ww

rr

re t θε ==Ω= ( 4.20 )



tr

θww

α y δ .


15.0 ≤Ω≤ [ ]Ω−+= εα 1641 21 ≤Ω≤ ( )[ ]( )4221641 Ω−Ω−−+= εα

2≥Ω 1=α Acotando 11 ≤≤− δ ( ) 6.016 −−Ω=δ



Al analizar la figura 4.9 se puede indicar que para valores de Ω mayores a 1.5 los valores de α y δ están alrededor de la unidad. Estructuras con Ω alto son torsionalmente rígidas y son aquellas en las cuales se han colocado los pórticos de mayor rigidez en el perímetro.




123


Ω







θθK




4.7.2 Normativas Américanas Las normativas UBC como el SEAOC de los años ochenta, consideraban que 1=α ,



xA

0.32.1

0.12

max ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≤

avgxA

δδ

( 4.21 )



Para calcular , de acuerdo a las normativas americanas se debe encontrar los

desplazamientos en cada piso y en cada pórtico, con los cortantes de piso debido al método estático más los momentos de torsión que se encuentran con la ecuación que se indica a continuación con

xA






124

Luego se realiza el análisis sísmico aplicando el Método Estático y los momentos torsores que se hallan con la ecuación (4.18) considerando xA=α , 1=δ y xA∗= 05.0β .









xA1=xA

xA

xA



Como se vio en el capítulo anterior, los grados de libertad se agrupan en el vector de

coordenadas generalizadas . Para el ejemplo de la figura 4.10, es: q




125

=q =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6

5

4

3

2

1

qqqqqq

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

θq

qX


Los desplazamientos horizontales de piso se han agrupado en el vector , por que en la figura 4.10 se está realizando el análisis sísmico con respecto a la dirección X. Para esta dirección la matriz de rigidez, triangular superior, en coordenadas de piso, resulta:

Xq

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

θθ

θ

KKK

K XXXE ( 4.22 )

( ) (∑ )∑∑ === )()(2)()()(2 iiLX

iiL




se aplica en cada uno de los pisos un momento de torsión como se ilustra en la figura 4.11. Este momento de torsión en cada piso se halla considerando xA∗= 05.0β de acuerdo al CEC-2000.




126





⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

TMQ

0 ( 4.23 )


TM






QqK E = ( 4.24 )

v. Se determinan los desplazamientos laterales en cada pórtico, con la siguiente

ecuación.




127

qAp ii )()( = ( 4.25 )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

n

i

rCos

rCosA

α

α............

1)(


Ai

AA




xA

xA


xA


multiplicando la matriz de rigidez lateral por el vector de desplazamientos . LK p

)()()( iiL





• EJEMPLO 2

Realizar el análisis sísmico de la estructura del ejemplo 1, si las dimensiones de vigas y

columnas son ahora las indicadas en la tabla 4.8. El peso total reactivo se ha incrementado en 5% debido al aumento de las secciones de los elementos estructurales. Efectuar el análisis sísmico con el modelo de dos grados de libertad por planta y empleando el programa ANALISISESTATICO2GDL. Explicar la forma de uso del programa.




128


(cm.) Piso


Vigas (cm.)


1 60/60 70/70 50/55 177.19 2 60/60 70/70 50/55 167.74 3 60/60 70/70 50/55 158.29 4 55/55 65/65 45/50 148.84 5 55/55 65/65 45/50 139.39 6 50/50 60/60 40/50 129.94

• SOLUCIÓN

La determinación de las fuerzas estáticas en el C.M. del Método Estático, fue explicado con detenimiento en el Ejemplo 1, por lo que se explica ahora como se obtienen las fuerzas debido a la torsión accidental. El vector transpuesto de fuerzas tF del método estático, es:

]3077.346892.240904.218221.168843.112769.6[=tF



tM

TmALFM xit 7077.410.1505.02769.605.011 =∗∗∗=∗∗∗=



TM

]7308.255169.188178.156166.129132.87077.4[=TM

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

TMQ

0


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

θθθ

θ

KKKK

KX

XXXE

0=θXK




129


[ ] 3103931.03465.02801.02017.01248.00472.0000000 −∗=q

Por medio de la matriz se hallan los desplazamientos laterales en cada uno de

los pórticos, empleando la ecuación (4.25). Estos desplazamientos, son: A p


⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

= −

0029.00026.00021.00015.00009.00004.0

10*

3931.03465.02801.02017.01248.00472.0

000000

5.715.71

5.715.71

5.715.71

3)1(p

Pero los desplazamientos laterales se consideran en valor absoluto, ya que los momentos de torsión que actúan en cada piso pueden actuar en sentido horario o antihorario. Por este motivo es que los desplazamientos laterales del pórtico 1 son iguales a los del pórtico 4, ya que para ambos pórticos el valor de r es 7.5, para el pórtico 1 es negativo y para el pórtico 4 es positivo. Al multiplicar los desplazamientos laterales por la matriz de rigidez lateral del pórtico se hallan las fuerzas laterales en cada piso P . El vector transpuesto de P resulta.

[ ]5280.10906.19018.08049.04790.01203.0)1( =tP




130


33)2( 10

9827.08664.07002.05043.03119.01180.0

10*

3931.03465.02801.02017.01248.00472.0

000000

5.215.21

5.215.21

5.215.21

−− ∗

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−−

=p

[ ]5621.04316.04583.01086.03456.05807.0)2( =tP


]1802.40444.37201.28270.16493.14019.1[=tTORF



[ ]4880.387337.278105.236491.185335.136788.7=TOTALESF


xA1=xA




ejes Es el número de ejes en la dirección del análisis sísmico. altura Vector que contiene la altura desde la base a cada piso. peso Vector que contiene los pesos de cada uno de los pisos. KL Matriz con las matrices de rigidez lateral de cada pórtico en la dirección de

análisis sísmico. Calculada con inercias gruesas. r Vector con las distancias del centro de masa a cada pórtico. El programa

considera que los C.M., son colineales.




131



]5.75.25.25.7[ −−=tr





1 6.2769 0.0103 0.0034 7.6788 2 11.8843 0.0281 0.0059 13.5335 3 16.8221 0.0462 0.0060 18.6491 4 21.0904 0.0645 0.0061 23.8105 5 24.6892 0.0801 0.0052 27.7337 6 34.3077 0.0912 0.0037 38.4880

6=R 1=xA %61.0=γ






function [V]=analisisestatico2gdl(iejes,alt,peso,KL,r) % % Analisis Estatico de acuerdo al CEC-2000 de edificios aporticados regulares % % Factor de reduccion de las fuerzas sismicas esta en funcion del nivel de % diseño (de la capacidad de ductilidad de la estructura). Son los % resultados finales del proyecto de investigacion desarrollado en el % CEINCI-ESPE en 2007 sobre el factor de reduccion de las fuerzas sismicas. % Esta programado para nivel de diseño sismico elevado (ductilidad=4). %




132

% Se obtienen las fuerzas laterales debidas a torsion accidental de acuerdo % al CEC-2000. Se incluye el factor Ax. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Version de diciembre de 2007 %----------------------------------------------------------------------- % [V]=analisisestatico2gdl(iejes,alt,peso,KL) %----------------------------------------------------------------------- % Ru Factor de reduccion por ductilidad Rs Factor de resistencia % Rr Factor de redundancia R Factor de reduccion % H Altura total de edificio Z Factor de Zona % iejes # de ejes de columnas % alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde el suelo. % peso Vector que contiene los pesos reactivos de cada piso. % PESO Peso total Reactivo. V Cortante Basal % gama Deriva maxima de piso que el programa calcula. % KL Matriz que contiene la matriz de rigidez lateral de cada portico % r Vector que contiene la distancia del portico al centro de masa, de % cada uno de los porticos, con signo, positivo antihorario. % % NP=length(alt); PESO=0;for i=1:NP; PESO=PESO+peso(i);end; H=alt(NP); fprintf ('\n Codigos para zonas sismicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 04g=4'); ic=input ('\n Ingrese el codigo de la zona sismica :'); if ic==1; Z=0.15;elseif ic==2; Z=0.25;elseif ic==3;Z=0.30;else;Z=0.40;end fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4'); is=input('\n Indique el codigo del tipo de suelo :'); if is==1 T1=0.50;T2=2.50;beta=2.5;S=1;R=6; elseif is==2 T1=0.52;T2=3.11;beta=3.0;S=1.2;R=6; elseif is==3 T1=0.82;T2=4.59;beta=2.8;S=1.5;R=6; else T1=2.0;T2=10;beta=2.5;S=2;R=5; end I=input('\n Indique el factor de importancia :'); % Periodo fundamental, el mismo que se amplifica por inercia agrietada T=0.0731*H^(0.75);T=1.3*T; rp=input('Estructura es regular en planta; si(s) o no(n):','s'); if rp=='s';fip=1;else;fip=0.8;end re=input('Estructura es regular en elevacion; si(s) o no(n):','s'); if rp=='s';fie=1;else;fie=0.8;end %Coeficiente C C=(1.25*S^S)/T; if C >=beta;C=beta;end if C <= 0.5;C=0.5;end % Cortante Basal V=(Z*I*C*PESO)/(R*fip*fie); % Fuerzas horizontales en cada piso if T <= 0.7;Ft=0;else;Ft=0.07*T*V;end Ftmax=0.25*V;sum=0; if Ft >= Ftmax;Ft=Ftmax;end for i=1:NP;sum=sum+peso(i)*alt(i);end for i=1:NP if i==NP




133

F(i)=(((V-Ft)*peso(i)*alt(i)/sum)+Ft); else F(i)=((V-Ft)*peso(i)*alt(i)/sum); end end % Calculo de la deriva de piso. Kxx=zeros(NP,NP); % Determinacion de matriz de rigidez espacial for i=1:iejes ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP; Kxx=Kxx+KL(ji:jf,1:NP); end F=F'; q=Kxx\F qine=R*q; % Desplazamientos elasticos e inelastico for i=1:NP j=NP+1-i; if j==1 drift(j)=qine(j)/alt(j); else drift(j)=(qine(j)-qine(j-1))/(alt(j)-alt(j-1)); end end gama=0; for i=1:NP; if gama>=drift(i); continue else gama=drift(i); end end gama=gama*100; fprintf ('\n Valor de R'); R fprintf('\n Fuerzas laterales en cada piso sin torsion accidental'); F fprintf ('\n Cortante Basal '); V fprintf ('\n Desplazamiento Inelastico'); qine fprintf ('\n Deriva de piso'); drift fprintf ('\n Deriva maxima de piso en porcentaje'); gama % Calculo de Torsion accidental % Matriz de rigidez en modelo de 2 gdl por planta Kxx=zeros(NP,NP);Kteta=zeros(NP,NP);Kxt=zeros(NP,NP); for k=1:NP;identidad(k,k)=1;end; for i=1:iejes for k=1:NP rtet(k,k)=r(i); end rteta=rtet*rtet; ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP; Kxx=Kxx+KL(ji:jf,1:NP);Kxt=Kxt+KL(ji:jf,1:NP)*rtet; Kteta=Kteta+KL(ji:jf,1:NP)*rteta; A(ji:ji+NP-1,:)=[identidad rtet]; end KE=[Kxx Kxt;Kxt Kteta]; dist=abs(r(1))+abs(r(iejes));Axmax=1.0; % Se inicia con Ax=1 % Momentos de torsion accidental for jj=1:10; for i=1:NP; Momtor(i)=0.05*dist*Axmax*F(i);cero(i)=0;end;Momtor=Momtor'; cero=cero';QE=[cero; Momtor];qe=KE\QE;




134

for i=1:NP; FTx(i)=0; qmax(i)=0;end; FTx=FTx'; for i=1:iejes ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;a=A(ji:jf,1:2*NP);p=a*qe; Klateral=KL(ji:jf,1:NP);FT=abs(Klateral*p);FTx=FTx+FT; if i==1 for j=1:NP q1(j)=abs(p(j)); end elseif i==iejes for j=1:NP q2(j)=abs(p(j)); end end for j=1:NP if qmax(j)>=abs(p(j)); continue else qmax(j)=abs(p(j)); end end end for j=1:NP qavg(j)=(q1(j)+q2(j))/2; Ax(j)=qmax(j)/(1.2*qavg(j)); if Ax(j)<=1; Ax(j)=1; end; if Ax(j)>3; Ax(j)=3; end; end Axmax=max(Ax); Momtor=Momtor';cero=cero';FTx=FTx'; end FTx=FTx';FTOTAL=F+FTx; fprintf('\n Fuerzas laterales en cada piso con torsion accidental'); FTOTAL fprintf('\n Valor de Ax'); Axmax %---fin REFERENCIAS

1. Goel R., and Chopra A., (1997), “Period formulas for moment-resisting frame buildings”, Journal of Structural Engineering, 123 (11), 1454-1461.

2. Grases J., López O., Henández J., (1987), Edificaciones Sismorresistentes. Manual de

aplicación de las Normas. Colegio de Ingenieros de Venezuela. Fundación Juan José Aguerrevere., Segunda Edición, 269 p. Caracas.






Al USA.




135

6. IBC (2000), International Building Code, International Code Council Inc., Birmingham Al

USA.







CAPÍTULO 5

ANÁLISIS MODAL PLANO

RESUMEN

Se presenta el Método de Superposición Modal utilizando el espectro de diseño inelástico, del Código Ecuatoriana de la Construcción CEC-2000, para el análisis sísmico de pórticos planos. El análisis modal plano sirve más para ilustrar el Método de Superposición Modal ya que con el gran avance informático que se tiene, es conveniente realizar un análisis sísmico espacial.

Se inicia el capítulo presentando el marco teórico del Método de Superposición Modal,

el mismo que es aplicable a un análisis sísmico plano o espacial. Luego se detallan algunos criterios de combinación modal y se muestran los resultados de un estudio realizado en estructuras de uno a seis pisos, en el Centro de Investigaciones Científicas de la ESPE, en base a este estudio se recomienda un criterio de combinación modal, que combina el criterio de superposición directa y el del valor máximo probable.

Una vez terminado el Método de Superposición Modal, se realizan tres controles, que

son: el primero, verificar que el cortante basal obtenido sea mayor o igual al cortante basal mínimo; el segundo, tiene que ver con el control de la deriva de piso y el tercero, con el control del efecto ∆−P . Como es un análisis sísmico plano no se resuelve el problema de la torsión accidental.

El marco teórico se lo ilustra con el análisis sísmico de una estructura de dos pisos en

el cual se detallan los cálculos. Se complementa el estudio con la entrega del programa denominado MODALPLANONEW .

El uso del programa se lo ilustra con el análisis sísmico de un pórtico de una estructura

de seis pisos. El análisis modal se realiza utilizando inercias agrietadas, de acuerdo a lo estipulado por el CEC-2000 y el control de la deriva máxima de piso se lo hace con inercias gruesas.




138

5.1 MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL

El sistema de ecuaciones diferenciales que gobiernan los problemas de dinámica de estructuras es el siguiente:

QqKqCqM =++ ( 5.1 )

Donde son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez; son los

vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración. Q es el vector de cargas generalizadas. La ecuación ( 5.1 ) corresponde a un sistema de ecuaciones diferenciales acoplado, para desacoplarlo se debe realizar el siguiente cambio de variable:

KCM ,, qqq ,,

Xq Φ= ( 5.2 )

Siendo el vector de desplazamientos en el nuevo sistema de coordenadas, la

matriz modal, conformada por cada uno de los modos de vibración de la estructura que se hallan del problema de vibración libre sin amortiguamiento.

X Φ

[ ])()3()2()1( ...... nφφφφ=Φ ( 5.3 )

Donde es el primer modo de vibración, el segundo modo de vibración, etc. En las coordenadas

)1(φ )2(φX el sistema de ecuaciones diferenciales está desacoplado, por esta razón

se suele denominar a este sistema como coordenadas principales. En este nuevo sistema de coordenadas se tiene:

∗∗∗∗ =++ QXKXCXM ( 5.4 )

De la Dinámica de Estructuras, se conoce que:

QQKK

CCMMtt

tt

ΦΦΦ

ΦΦΦΦ

==

==∗∗

∗∗

( 5.5 )

En el capítulo 7 del libro: Dinámica de Estructuras con MATLAB, Aguiar (2007) se

demuestra que las matrices solo tienen valores en la diagonal y valen: ∗∗∗ KCM ,,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=∗

1...

11

...η

η

ηη

M ( 5.6 )

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=∗

nn

n

n

W

WW

C...

2 2

1

ηξ ( 5.7 )




139

∗K

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

2

22

21

...

nn

n

n

W

W

W

η ( 5.8 )

ηφφ =)()( iti M ( 5.9 )

Donde etc., son las frecuencias naturales de vibración de los modos 1, 2, etc.

,, 21 nn WWξ es el factor de amortiguamiento de la estructura, que se considera igual en todos los

modos. Para estructuras de hormigón armado se considera 05.0=ξ . El valor de η está definido en la ecuación ( 5.9 ) depende de la forma como se normalizan los modos.

El vector de cargas generalizadas para el análisis sísmico, vale: Q

gUbMQ..

−=

Donde para el análisis sísmico plano, es un vector unitario. En general asocia los

grados de libertad de la estructura con el movimiento del suelo; es la aceleración del suelo,

definida en el acelerograma. El vector es:

b b..

gU∗Q

g

tn

t

t

UbMQ

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=∗

)(

)2(

)1(

...

φ

φ

φ

( 5.10 )

De tal manera que el sistema de ecuaciones diferenciales, en coordenadas principales

resulta:

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nnn

n

n

nnn

n

n

nx

xx

W

W

W

x

x

x

W

WW

x

x

x

............2

......2

1

2

22

21

.

.

.

2

1

2

1

..

..

..

2

1

ηηξ

η

ηη

∗Q

5.1.1 Desplazamientos máximos modales

La ecuación diferencial de la fila i, del sistema de ecuaciones diferenciales desacoplado es:




140

gti

iniinii UbMxWxWx )(22 φηηξη −=++

Al dividir todo para η se tiene:

g

ti

iniinii UbM

xWxWxη

φξ

)(22 −=++

Al reemplazar ( 5.9 ) en ésta última ecuación, se tiene:

giiniinii UxWxWx γξ −=++.

22 ( 5.11 )

Donde iγ es el factor de participación del modo i.

)()(

)(

ii

ti

i MbM

φφφ

γ = ( 5.12 )

La expresión ( 5.11 ) corresponde a la ecuación diferencial de un sistema de un grado

de libertad. Ahora bien si viene expresado por un espectro de diseño para un valor de

amortiguamiento gU

ξ . La máxima respuesta es:

dii

ii AT

x2

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

πγ ( 5.13 )

Donde es el período de vibración del modo i; es la aceleración espectral

asociada al período . De la ecuación ( 5.13 ) es importante destacar lo siguiente: iT diA

iT

La definición de espectro está relacionada a un sistema de un grado de libertad. Por lo tanto el factor iγ permite pasar la respuesta en desplazamientos, de un sistema de un grado de libertad a un sistema de múltiples grados de libertad.

Se ha utilizado la definición de seudo espectro para encontrar el desplazamiento

espectral . diS

dii

ni

didi A

TWA

S2

2 2⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=≈

π

Para tener la respuesta en las coordenadas q se utiliza la ecuación ( 5.2 ) con lo que

se halla:

)(2

)(

2i

dii

ii A

Tq φ

πγ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= ( 5.14 )

5.1.2 Fuerzas máximas modales

Para encontrar las fuerzas en cada modo de vibración se tiene que: )(iQ




141

)()( ii qKQ =

KQ i =)(di

ii A

T 2

2⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛π

γ )(iφ2

2⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

πγ i

diiT

A )(iK φ

Del problema de vibración libre sin amortiguamiento, se tiene:

( ) φλφφλ MKMK =⇒=− 0

Pero 2

2 2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

in T

W πλ .

Luego:

diii AQ γ=)( )(iM φ ( 5.15 )

Si se realiza un análisis sísmico en coordenadas de piso, el vector Q es el vector que

contiene las fuerzas y momentos en coordenadas de piso. En cambio si se realiza un análisis sísmico plano, el vector contiene las fuerzas laterales en cada uno de los pisos, que se nota también con la letra

QP . Es solo nomenclatura. Aguiar (2004)

5.2 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO

La secuencia de cálculo para realizar un Análisis Sísmico Plano orientado al uso del espectro de diseño inelástico del CEC-2000, es como sigue:

i. Se determina la matriz de rigidez lateral del pórtico, trabajando con inercias

agrietadas. El CEC-2000 considera que la inercia de la viga y que la

inercia de la columna . Consecuentemente se espera daño en la estructura ante la acción del sismo estipulado en el CEC-2000 que viene expresado mediante un espectro de diseño inelástico. Se espera daño ya que este sismo tiene un período de retorno de 475 años y consecuentemente la probabilidad de ocurrencia es baja.

gV II 5.0=

gC II 8.0=

ii. Se encuentra la matriz de masas. Para el caso plano la matriz es diagonal y vale:

=M

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

i

m

m

mm

...

....2

1

( 5.16 )

Donde es la masa del piso i. Para encontrar la matriz de masas se trabaja con toda la carga muerta y un porcentaje de la carga viva. El porcentaje de la carga viva

im




142

toma en cuenta la probabilidad de que se registre un sismo y en que porcentaje estará presente la carga viva. Para una vivienda u oficina se considera que ese porcentaje es del 25%. Para una biblioteca el porcentaje será mayor, lo propio para una bodega.

iii. Con la matriz de rigidez y la matriz de masas, se determinan los valores propios iλ y

los vectores propios, que son los modos de vibración . Donde i representa el modo. Se recuerda que el problema de valores y vectores propios está definido por:

)(iφ

( ) 0=− φλ MK

Para el caso plano, es la matriz de rigidez lateral y como se indicó es la matriz de masas. En Matlab se obtienen los valores y vectores propios con la instrucción eig. El formato de uso es el siguiente:

K M

>> [V,D] = eig (K, M) En V vienen los vectores propios y en la matriz diagonal de D, los valores propios.

iv. Con los valores propios se encuentran las frecuencias naturales de vibración y los

períodos de vibración niW

iT

niiini W

TW πλ 2== ( 5.17 )

v. Se encuentran los factores de participación modal iγ

)()(

)(

iti

ti

i MbM

φφφ

γ =

Para el análisis sísmico plano en que se considera un grado de libertad por piso, el vector b es unitario.

vi. Con cada período se ingresa al espectro de diseño inelástico y se obtiene la

aceleración espectral . diA

vii. Se hallan las fuerzas laterales en cada modo de vibración.

)()( iii

i MAdP φγ= ( 5.18 )

viii. Se encuentran los cortantes en cada piso y en cada modo de vibración, a partir de

las fuerzas iV

)(iP .

ix. Se aplica un criterio de combinación modal en los cortantes y se halla la resultante de los cortantes. En el siguiente apartado se estudiará con cierto detenimiento estos criterios de combinación modal.




143

x. Una vez que se tienen los cortantes resultantes en cada piso se hallan las fuerzas estáticas máximas equivalentes debido al sismo, definido por el espectro de diseño inelástico. Estas fuerzas se denominan P

xi. Se realizan los controles, que se indicarán posteriormente con detalle pero aquí se los

indica cuales son:

Cortante Basal Mínimo. Efecto ∆−P . Control de la deriva máxima.

5.3 CRITERIOS DE COMBINACIÓN MODAL

En el Método de Superposición Modal, se hallan las respuestas en cada modo de vibración y para encontrar la respuesta resultante, se debe aplicar un criterio de combinación modal. En la literatura existen una gran cantidad de criterios entre los que se destacan los siguientes:

• Criterio del Máximo Valor Probable (SRSS)

Sea r un cierto valor de respuesta que se desea obtener, puede ser un

desplazamiento, un momento, un corte, etc. El criterio del valor máximo probable, es:

( )∑=

=N

iirr

1

2 ( 5.19 )

Donde es el número de modos que se consideran en la respuesta, i es el modo de

vibración. Por su sencillez es uno de los más utilizados. Es apropiado su uso cuando las frecuencias naturales de vibración se encuentran bastante separadas, más del 10%. Utilizar este criterio cuando no cumple esta condición puede llevar a subestimar la respuesta.

N

Este criterio también es conocido por las siglas SRRS (Square Root Sum of Squares) • Criterio de la doble suma

Este criterio se usa cuando las frecuencias naturales están bastante cercanas entre si.

( )∑ ∑∑= = =

++=N

i

N

i

N

jij

ji

i

rr

rr1 1 1

222 1 ε

( 5.20 )

njni

njniij WW

WW+

−−=

ξξ

ε1

Donde son las frecuencias de vibración de los modos i, j. njni WW , ξ es el porcentaje

de amortiguamiento para cada modo de vibración. Tal vez la parte más complicada del método




144

es determinar los valores de ξ para cada modo. Una forma más refinada del criterio de la doble suma se tiene en función del tiempo de duración del sismo que se ha denominado s . En este caso, se tiene:

niii

iniai

ajjaii

ajaiij

Ws

WW

WW

WW

21

'

2

''

+=

−=

+

−=

ξξ

ξ

ξξε

( 5.21 )

Este criterio considera la proximidad entre los valores de las frecuencias de los modos

que contribuyen a la respuesta, la fracción del amortiguamiento y la duración del sismo. • Criterio de la combinación cuadrática completa (CQC)

El criterio CQC (Complete Quadratic Combination), Chopra (2001), considera la posibilidad de acoplamiento entre los modos de vibración.

∑∑= =

=N

i

N

jjiij rrr

1 1

2 ρ

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) 222222

5.1

2222

5.12

4141

8

141

18

aaaa

aa

WW

a

aaa

aa

jiji

jijiij

ni

nj

ij

ξξξξ

ξξξξρ

ξ

ξρ

++++−

+=

=

++−

+=

( 5.22 )

Cuando las frecuencias están bastante separadas, el criterio de la combinación

cuadrática completa, proporciona valores similares al criterio del máximo valor probable.

• Superposición directa

La superposición directa de los máximos modales proporciona un límite superior al valor máximo de la respuesta total. Por lo tanto aplicar este criterio es muy conservador.

∑=

=N

iirr

1

( 5.23 )

• Propuesta de Alejandro Gómez

El criterio propuesto por Alejandro Gómez (2002) integra de alguna manera el criterio directo con el criterio del valor máximo probable, al margen de la cercanía o no de las frecuencias naturales. El criterio es el siguiente:




145

2

2

21 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∑

=

N

iirrr ( 5.24 )

• Norma Técnica de Perú 2003

En la Norma Técnica de Perú de 2003 se combinan los resultados obtenidos, en cada uno de los modos de vibración, con la siguiente ecuación:

∑ ∑= =

+=N

i

N

iii rrr

1 1

275.025.0 ( 5.25 )

En la Normativa de Perú se reconoce que el criterio del valor máximo probable reporta

valores bajos y que el criterio de superposición directa da valores muy altos por lo que lo más conveniente es combinar estos dos criterios en forma lineal con los coeficientes indicados en la ecuación ( 5.25 ).

• Norma Técnica de Guatemala (1996)

Es similar al de la Norma Técnica del Perú (2003) pero ahora la combinación es 50% del criterio de la suma directa y 50% del criterio del valor máximo probable. Santana (2008).

∑ ∑= =

+=N

i

N

iii rrr

1 1

250.050.0 ( 5.26 )

• Laboratorio de Investigación Naval (NRL)

El criterio NRL (Naval Research Laboratory) considera el valor absoluto del modo que más aporta a la repuesta y lo añade al criterio SRSS. (Iberisa, 2008) Normalmente el modo que más aporta es el primero de tal manera que puede escribirse de la siguiente manera:

( )∑=

−+=N

ii rrrr

1

21

21 ( 5.27 )

Se han presentado ocho criterios, seis de ellos son relativamente fáciles de evaluar y

dos un poco más complejos, por que se debe indicar el valor de ξ . Ahora se debe recomendar que criterio utilizar, para el efecto se encontró la respuesta

sísmica de estructuras de 1 a 6 pisos de hormigón armado, conformadas únicamente por vigas y columnas. Respuesta sísmica en términos del cortante basal, en las siguientes condiciones:




146

Cortante Basal mínimo en base a lo estipulado por el CEC-2000 para la zona sísmica de mayor peligrosidad ( 0.4 g ) y sobre un perfil de suelo S1. Se halló la respuesta para los cuatro perfiles de suelo del código pero en este capítulo solo se indican los resultados obtenidos para el perfil de suelo S1. En Campos (2006) están los restantes resultados.

Análisis Lineal en el tiempo, para el efecto se generaron siete acelerogramas con

diferentes duraciones que van desde los 20 segundos hasta los 50 segundos. Para cada caso se hallo la respuesta en el tiempo se encontró el cortante basal máximo y se dividió para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R que se utilizó en los otros métodos. Esta forma de cálculo del cortante basal es la exacta.

Análisis modal espectral utilizando el espectro de diseño inelástico del CEC-2000,

con inercias agrietadas y aplicando los siguientes criterios de combinación modal:

o Valor máximo probable. o Superposición Directa. o Criterio de Gómez o Norma Técnica de Perú 2003

Figura 5.1 Valores medios de las respuestas obtenidas del cortante basal en suelo S1.




147

En la figura 5.1 se indican los valores medios de las respuestas obtenidas, de los cortantes básales, aplicando las diferentes maneras de cálculo. Del análisis de esta figura se concluye lo siguiente:

El criterio empleado por la Norma Técnica de Perú es la que más se aproxima a la respuesta elástica paso a paso dividida para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas. Por lo tanto se recomienda el Criterio de la Norma Técnica de Perú de 2003 a ser utilizado para la combinación modal.

Los valores de cortante basal que se hallan aplicando la fórmula del CEC-2000 son los

mayores valores obtenidos, en relación a los otros métodos.

El criterio del máximo valor probable reporta valores muy bajos al igual que el Criterio de Gómez (2002).

El criterio de superposición directa da valores altos pero menores a los que se hallan

con el cortante basal mínimo.

En todos los casos se realizó un análisis sísmico plano. Por otro lado, Aguiar et al (2006) realizaron algo similar pero con un modelo de tres grados de libertad por planta y se llegó a resultados parecidos.

• EJEMPLO 1

Realizar un análisis modal plano, para el pórtico en sentido X, que tiene dos vanos, de la estructura de dos pisos, cuya distribución en planta es la indicada en la figura 5.2. La altura de cada entrepiso es de 3.0 m. Las cargas verticales que gravitan son de 500 kg/m2 para la carga muerta y 200 kg/m2 para la carga viva, es una construcción destinada a vivienda.

Figura 5.2 Distribución en planta de estructura de dos pisos.

La estructura se halla ubicada en la ciudad de Portoviejo sobre un perfil de suelo S2, de acuerdo al CEC-2000. El factor de reducción de las fuerzas sísmicas es igual a 6. La matriz de rigidez lateral considerando inercias agrietadas, que se obtiene con el programa RLAXINFI, es la siguiente.




148

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

9.3176.4926.4925.1243

KL

Para encontrar la matriz de rigidez lateral se trabajó con un módulo de elasticidad igual

a que se halla reemplazando en 2/21.1738965 mTE = 2' /210 cmKgfc ='12000 cfE =

(kg/cm2).

• SOLUCIÓN

De la figura 5.3 se obtiene que el área cooperante para la carga vertical, vale:

21829 mA =∗= Como es vivienda el aporte de la carga viva a la matriz de masas es del 25%. Con esta

acotación en la tabla 5.1 se indican el valor de las cargas totales en el pórtico debido a la carga muerta y a la carga viva, orientadas al uso del programa MODALPLANONEW, que se indicará posteriormente.

Figura 5.3 Repartición de cargas verticales al pórtico en sentido X.

Tabla 5.1 Valores de la carga muerta, viva y altura desde la base al piso Piso Carga Muerta Total Carga Viva Total Altura

1 .918*5.0 TWD == .9.018*2.0*25.0 TWL == 3.00 2 .918*5.0 TWD == .9.018*2.0*25.0 TWL == 6.00

La masa del piso 1 es igual a la masa del piso 2 y tiene un valor de:

msTmm

2

21 0102.18.9

9.09=

+==

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0102.10.00.00102.1

00

2

1

mm

M




149

Con la matriz de rigidez y con la matriz de masas, se hallan los valores propios y los modos de vibración. Estos son:

9.14418.103 21 == λλ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=3950.0

9132.09132.03950.0 )2()1( φφ

Algunos programas de cálculo de valores y vectores propios, reportan los valores

propios sin ordenarlos de menor a mayor. Para el análisis sísmico es fundamental que los valores propios se encuentren ordenados de menor a mayor.

nλλλλ ≤≤≤ .........321 Con los valores propios se hallan las propiedades dinámicas de la estructura, que son

las frecuencias naturales y los períodos de vibración nW T .

sW

sW

W

nn

ini

19723.379.14411188.108.103 21 ====

= λ

.1655.09723.372.6168.0

188.102

2

21 sTsT

WT

nii

====

=

ππ

π

Al período se le conoce con el nombre de período fundamental, debido a que el

primer modo tiene una gran influencia en la respuesta sísmica. Son los primeros modos de vibración los que más aportan a la respuesta de ahí que las normativas sísmicas establecen un número mínimo de modos a considerar en la respuesta pero es conveniente calcularlos con todos especialmente cuando se realiza un análisis sísmico plano y no se tienen muchos grados de libertad.

1T

Los períodos de vibración obtenidos son bastante altos debido a que la matriz de

rigidez se obtuvo con inercias agrietadas. Una vez hallados los modos de vibración se procede al cálculo de los factores de

participación modal γ

)()(

)(

iti

ti

i MbMφφ

φγ =

Para el ejemplo el vector tiene dos unos. b

[ ]

[ ]3215.1

13215.1

9132.0395.0

0102.1000102.1

9132.0395.0

11

0102.1000102.1

9132.0395.0

)1()1(

)1(

1 −=−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

==φφ

φγ

MbM

t

t




150

[ ]

[ ]5235.0

15235.0

3950.09132.0

0102.1000102.1

3950.09132.0

11

0102.1000102.1

3950.09132.0

)2()2(

)2(

2 −=−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

==φφ

φγ

MbM

t

t

Pero el factor de participación modal se considera en valor absoluto. Luego

5235.03215.1 21 == γγ

Los factores de participación son adimensionales y lo que indican es que tanto participa el modo en la respuesta. De igual manera, los factores de participación no son únicos, dependen del valor de los modos de vibración, lo que si es único son las fuerzas laterales que se tienen en cada modo de vibración.

Con cada período de vibración se ingresa al espectro inelástico del CEC-2000 y se

determina la aceleración espectral . En el ejemplo el primer período cae en la curva descendente y el segundo en la plataforma horizontal del espectro. Luego se tiene:

diA

2

2.10

1 6478.166168.0

2.18.94.0125.125.1sm

RTSA

Aep

S

d =∗

∗∗∗∗=

∗=

φφα

20

2 96.16

8.9*4.0*3*1sm

RA

Aep

d ===φφ

βα

En el capítulo 2 se presentó los resultados del proyecto de investigación realizado en el

CEINCI-ESPE sobre el factor de reducción de las fuerzas sísmicas y se estableció que para un perfil de suelo S2, el valor de y que la deriva de piso máxima inelástica es 6=R %5.1=γ .

La estructura es regular en planta y elevación luego 1== ep φφ . Si no fueran

regulares en planta o elevación no se podría realizar un análisis modal plano. El valor de para la ciudad de Portoviejo es 0A 8.94.04.0 ∗=g . Por otra parte, el

coeficiente de importancia es 1=α y el valor de β para suelo tipo S2 vale 3 y el coeficiente S vale 1.2

Ahora se calculan las fuerzas laterales, en cada modo de vibración.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−∗⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

∗⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=

4094.09465.0

3950.09132.0

0102.1000102.1

*9600.1*5235.0

0088.28689.0

9132.03950.0

0102.1000102.1

*6478.1*3215.1

)2(

)1(

)()(

P

P

MAP idii

i φγ




151

En la figura 5.4 se presentan las fuerzas laterales, en cada piso y los cortantes asociados. Para cada modo de vibración, a la izquierda se tiene para el primer modo y a la derecha para el segundo modo de vibración.

Figura 5.4 Fuerzas laterales y cortantes en cada modo de vibración.

Se aplica el criterio de combinación modal de la Norma de Perú de 2003.

∑ ∑= =

+=N

i

N

iii VVV

1 1

275.025.0

[ ][ ] .1422.24094.00088.275.04094.00088.225.0

.0493.35370.08778.275.05370.08778.225.022

2

221

TV

TV

=+++=

=+++=

A partir de los cortantes obtenidos, luego de aplicar el criterio de combinación modal, se determinan las fuerzas estáticas por un procedimiento inverso. En la figura 5.5 se indican los resultados encontrados.

Figura 5.5 Fuerzas estáticas equivalentes obtenidas del análisis modal plano.

El cortante basal hallado del método modal plano es:




152

.0493.30 TV =

Ahora se debe realizar los siguientes controles, los mismos que se explican en el

siguiente apartado.

• Cortante Basal Mínimo. • Control de la Deriva de los Pórticos. • Control del efecto ∆−P .

5.4 CONTROL DEL CORTANTE BASAL MÍNIMO

El primer control que se realiza es el del cortante basal mínimo pero calculando con el período fundamental que se ha encontrado de la solución del problema de valores y vectores propios.

.0266.3181165222.214.0

min TWR

CIZVep

=∗∗∗

∗∗==

φφ

5222.26168.0

2.125.125.1 2.1

=∗

==T

SCS

El cortante basal mínimo es menor que el cortante basal obtenido del análisis

modal. Luego no se debe encontrar ningún factor para mayorar las fuerzas laterales y se prosigue con el análisis En la figura 5.6 se muestran las fuerzas estáticas, que son las indicadas en la figura 5.5 pero ahora se coloca también la geometría de la estructura.

Figura 5.6 Fuerzas estáticas corregidas por cortante basal mínimo.




153

5.5 CONTROL DE LA DERIVA DE LOS PÓRTICOS

El método de superposición modal proporciona resultados satisfactorios en el rango elástico pero para el rango inelástico en el que va a trabajar la estructura, ante el sismo raro que tiene un período de retorno de 475 años, los resultados son aproximados.

Los desplazamientos inelásticos de acuerdo al CEC-2000 se hallan con la siguiente

ecuación:

( )qRq epine φφ= ( 5.26 ) Las variables no indicadas, son: vector que contiene los desplazamientos

inelásticos de la estructura y q es el vector que contiene los desplazamientos elásticos, los mismos que se obtienen de la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales.

ineq

QqK = ( 5.27 )

Donde es la matriz de rigidez lateral calculada con inercias gruesas y Q es el vector de cargas generalizado, constituido por las fuerzas laterales que actúan en el pórtico.

K

En la tabla 5.2 se indica la forma como se obtienen los desplazamientos inelásticos a

partir de los desplazamientos elásticos en las normativas sísmicas de: Venezuela, Colombia, Ecuador y Perú. Todas estas fórmulas son aproximadas y esto es una debilidad del Método de Superposición Modal, para el rango inelástico se debe encontrar la respuesta mediante un Análisis no Lineal pero esto es complicado, razón por la cual se está trabajando en métodos que no sean tan sencillos como el Método de Superposición Modal ni tan complicados como el Análisis no Lineal uno de éstos Métodos es el del Espectro de Capacidad.

Tabla 5.2 Cálculo de los desplazamientos inelásticos en otras normativas sísmicas. PAIS NORMA DESPLAZAMIENTO

INELÁSTICO Venezuela COVENIN 1756-98 ( )qRq epine φφ8.0=

Colombia NSR-98 ( )qRq epine φφ=

Ecuador CEC-2000 ( )qRq epine φφ=

Perú E.030 ( )qRq epine φφ75.0=

Una vez que se tienen los desplazamientos elásticos, se hallan los inelásticos

empleando la ecuación ( 5.26 ) y finalmente las distorsiones de piso iγ . Antes de proseguir se debe destacar que en páginas anteriores con la letra γ se

definió al factor de participación modal y ahora la misma letra se utiliza para identificar a la distorsión de piso. La distorsión de piso se halla dividiendo el desplazamiento relativo de piso, inelástico para la altura de piso . ih




154

i

iineiinei h

qq )1()( −−=γ ( 5.28 )

En cada piso se debe verificar que la deriva de piso sea menor o igual a 1.5%. Por el valor de que se consideró en el análisis sísmico. 6=R

Para la estructura de dos pisos que se ha venido resolviendo la matriz de rigidez,

obtenida con inercias gruesas es la siguiente:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

6.4808.6848.6840.1651

K

De la figura 5.6 se aprecia que el vector de cargas generalizadas, vale:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1422.29071.0

Q

Luego el sistema de ecuaciones lineales a resolver, es:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−1422.29071.0

6.4808.6848.6840.1651

2

1

qq

La solución del sistema de ecuaciones, reporta los desplazamientos elásticos.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

.0128.0

.0059.0mm

q

Los desplazamientos inelásticos se hallan multiplicando los desplazamientos elásticos por el factor 6=epR φφ , de acuerdo al CEC-2000.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0769.00352.0

ineq

Finalmente las derivas de piso, resultan:

0117.000.3

0352.0

0139.000.3

0352.00769.0

1

2

==

=−

=

γ

γ

La deriva de piso máxima es %39.1=γ . Se aprecia que los valores son menores a 1.5%.




155

5.6 CONTROL DEL EFECTO ∆−P

Cuando se tienen desplazamientos laterales significativos, el peso propio tiende a

voltearla, de tal manera que en la estructura deformada, por la acción sísmica, actúan cargas adicionales los mismos que son tomados en cuenta cuando se analiza con teoría de segundo orden, en el próximo capítulo se estudiará con detenimiento este efecto ∆−P . Por ahora nos limitamos a ver como se efectúa este control por medio del índice de estabilidad de piso iθ .

ii

eiii hV

P δθ = ( 5.29 )

Donde es la carga vertical que gravita desde el piso i hasta el tope, se calcula en

función de la carga muerta D más el porcentaje de la carga viva L; es el cortante de piso; iP

iV

eiδ es la deriva de piso calculada con los desplazamientos elásticos , y es la altura de entrepiso. Se destaca que

q ih

iei h/δ es la deriva de piso elástica. El CEC-2000 al igual que la norma NSR-98 de Colombia, establecen que si 10.0≤iθ

la estructura no tiene problemas de efecto ∆−P y se prosigue con el cálculo pero si 30.0≥iθ la estructura debe ser reforzada a menos que se demuestre mediante un análisis de segundo orden que la estructura sigue siendo estable. Finalmente si 30.010.0 << iθ tanto las derivas de piso como las fuerzas estáticas se multiplicarán por.

iPf

θ−=∆− 1

1 ( 5.30 )

El control del CEC-2000 fue considerado en el programa MODALPLANONEW. La normativa sísmica de Venezuela, COVENIN 1756-98 (Rev. 2001) es más exigente

en el control del efecto ∆−P . Establece que si 08.0<iθ la estructura no tiene problemas de efecto ∆−P pero si maxθθ >i la estructura debe ser reforzada ya que tendrá problemas por el efecto de segundo orden.

25.05.0max ≤=

Rθ ( 5.31 )

Con relación a la estructura de dos pisos que se está analizando en la tabla 5.3 se presenta el control del efecto ∆−P . La deriva de piso elástica se encuentra dividiendo la deriva de piso inelástica para el factor R de acuerdo al CEC-2000.

Tabla 5.3 Cálculo del índice de estabilidad de piso. Piso Fuerza

Horizontal ( T. )

Cortante ( T. )

Peso desde piso al tope

( T. )

Deriva de piso elástica

iθ

1 0.9071 3.0493 19.80 0.00195 0.01265 2 2.1422 2.1422 9.9 0.00231 0.0107




156

5.7 PROGRAMA MODALPLANONEW

El programa MODALPLANONEW realiza el análisis sísmico de un pórtico plano por el Método de Superposición Modal considerando el espectro inelástico del CEC-2000 pero con los factores de reducción de las fuerzas sísmicas indicados en el capítulo 2, para los cuatro tipos de suelo.

Antes de utilizar el programa MODALPLANONEW se debe encontrar la matriz de

rigidez lateral del pórtico de dos formas: la primera considerando inercias agrietadas y la segunda con inercias gruesas. Cuando se ejecuta el programa RLAXINFI se crea en consola una matriz que tiene por nombre KL, el usuario debe cambiar este nombre para especificar si es con inercia agrietada o con inercia gruesa.

Algunos detalles del programa se indican a continuación:

El factor de reducción de las fuerzas sísmicas es igual a 6 para perfiles de suelo S1, S2 y S3. Para un perfil de suelo S4 el factor 5=R .

Asociados con los factores R indicados la deriva máxima de piso debe ser igual a

1.5%.

El estado de cargas S., que se obtiene no se debe mayorar en las combinaciones de carga.

Si la estructura es irregular en planta o elevación no se debe realizar un

análisis sísmico plano, si no un análisis sísmico espacial aunque sea con un modelo de dos grado de libertad por planta, en el que se incluya la torsión accidental pero si se utiliza el programa MODALPLANONEW se penaliza las irregularidades en planta o elevación con factores 8.0=pφ o 8.0=eφ .

El análisis sísmico se realiza con inercias agrietadas de acuerdo al CEC-2000 que

considera para las vigas gV II ∗= 5.0 ; para las columnas gC II ∗= 8.0 .

El período con el cual se halla el cortante basal mínimo es el período asociado al primer modo de vibración que se encuentra de la solución del problema de valores y vectores propios.

Se utiliza el criterio de combinación modal de la Norma Técnica de Perú de 2003

que se indica nuevamente a continuación:

∑ ∑= =

+=N

i

N

iii VVV

1 1

275.025.0

Con inercias agrietadas se hallan las fuerzas estáticas máximas en cada uno de

los pisos. Posteriormente para el control de la deriva de los pórticos se calcula en base a inercias gruesas.

El control del efecto ∆−P se realiza de acuerdo al CEC-2000. Se destaca que se

obtiene con desplazamientos laterales elásticos.




157

function [V]=modalplanonew(alt,pesoD,pesoL,KL,KLG) % % Analisis Modal plano empleando el Espectro Inelastico del CEC-2000 % El factor de reduccion de las fuerzas sismicas corresponde al encontrado % en la investigacion realizada en el CEINCI-ESPE en 2007. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Diciembre de 2007 %----------------------------------------------------------------------- % [V]=modalplanonew(alt,pesoD,pesoL,KL,KLG) %----------------------------------------------------------------------- % Ru Factor de reduccion por ductilidad Rs Factor de resistencia % Rr Factor de redundancia R Factor de reduccion % H Altura total de edificio Z Factor de Zona % alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde la base. % pesoD Vector que contiene la carga muerta D de cada piso. % pesoL Vector que contiene el porcentaje de carga viva L de cada piso. % KL Matriz de rigidez lateral del portico con inercias agrietadas. % KLG Matriz de rigidez lateral del portico con inercias gruesas. % PESO Peso total Reactivo. V Cortante Basal % NP=length(alt);H=alt(NP); for i=1:NP-1; j=NP-i+1; alt(j)=alt(j)-alt(j-1);end %Matriz de masas for i=1:NP; masaD(i)=pesoD(i)/9.8; masaL(i)=pesoL(i)/9.8; mas(i)=masaD(i)+masaL(i);end masa=zeros(NP,NP);for i=1:NP; masa(i,i)=mas(i);end PESO=0;for i=1:NP; PESO=PESO+pesoD(i);end; fprintf ('\n Codigos para zonas sismicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 04g=4'); ic=input ('\n Ingrese el codigo de la zona sismica :'); if ic==1; Ao=0.15*9.8;Z=0.15;elseif ic==2;Ao=0.25*9.8;Z=0.25; elseif ic==3;Ao=0.30*9.8;Z=0.30;else;Ao=0.40*9.8;Z=0.4;end fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4'); is=input('\n Indique el codigo del tipo de suelo :'); if is==1 T1=0.50;T2=2.50;beta=2.5;S=1;R=6; elseif is==2 T1=0.52;T2=3.11;beta=3.0;S=1.2;R=6; elseif is==3 T1=0.82;T2=4.59;beta=2.8;S=1.5;R=6; else T1=2.0;T2=10;beta=2.5;S=2;R=5; end I=input('\n Indique el factor de importancia :'); % Periodos de vibracion y periodo fundamental [V,D]=eig(KL,masa);W=sqrt(diag(D)); % Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor [Wn,II]=sort(W); for i=1:NP; fi(:,i)=V(:,II(i)); T(i)=2*pi/Wn(i);end;Tf=T(1); rp=input('Estructura es regular en planta; si(s) o no(n):','s'); if rp=='s';fip=1;else;fip=0.8;end % Se penaliza por hacer una analisis plano re=input('Estructura es regular en elevacion; si(s) o no(n):','s'); if rp=='s';fie=1;else;fie=0.8;end % Se penaliza por hacer una analisis plano %Coeficiente C C=(1.25*S^S)/Tf; if C >=beta; C=beta; end;if C <= 0.5; C=0.5; end %Factores de participacion modal for i=1:NP; b(i)=1; end;b=b';NUM=fi'*masa*b;DEN=diag(fi'*masa*fi); for i=1:NP; gama(i)=abs(NUM(i)/DEN(i));end




158

R=R*fip*fie; % Cortante Basal Minimo Vmin=(Z*I*C*PESO)/R; %Aceleraciones modales for i=1:NP if T(i)<=T1;Ad(i)=I*beta*Ao/R;elseif T(i)>T1 & T(i)<=T2; Ad(i)=(1.25*I*Ao*S^S)/(T(i)*R);else;Ad(i)=I*Ao/(2*R);end end %Fuerzas modales masafi=masa*fi;gamaAd=(gama.*Ad)'; for i=1:NP; for j=1:NP; P(j,i)=gamaAd(i)*masafi(j,i); end end %Cortantes VV=zeros(NP,NP); for i=1:NP; for j=1:NP;k=NP+1-j; if k==NP; VV(k,i)=VV(k,i)+P(k,i); else VV(k,i)=VV(k+1,i)+P(k,i); end end end %Criterio de Norma Tecnica de Peru de 2003 se aplica en cortantes for i=1:NP RRR(i)=0; RR(i)=0; for j=1:NP RRR(i)=RRR(i)+abs(VV(i,j)); RR(i)=RR(i)+VV(i,j)*VV(i,j); end Corte(i)=0.25*RRR(i)+0.75*sqrt(RR(i)); end;Corte=Corte'; %Calculo de las Fuerzas Laterales for i=1:NP j=NP+1-i; if j==NP F(j)=Corte(j); else F(j)=Corte(j)-Corte(j+1); end end %Control del Cortante Basal Minimo V=sum(F);F=F'; if Vmin > V; factor1=Vmin/V; F1=factor1*F; else F1=F; end; %Control de la deriva de los porticos q=KLG\F1; qine=R*q; F=F'; for i=1:NP j=NP+1-i; if j==1 drift(j)=qine(j)/alt(j); else drift(j)=(qine(j)-qine(j-1))/alt(j); end end gamamax=max(drift)*100;




159

fprintf ('\n Modos de vibracion');fi fprintf ('\n Periodos de vibracion');T fprintf ('\n Factores de participacion');gama fprintf ('\n Aceleraciones espectrales');Ad fprintf ('\n Valor de reduccion de las fuerzas sismicas R'); R fprintf ('\n Cortante Basal Minimo ');Vmin fprintf ('\n Fuerzas laterales en los porticos sin controles');F' fprintf ('\n Desplazamientos laterales inelasticos');qine fprintf ('\n Derivas de piso'); drift' fprintf ('\n Deriva maxima de piso en porcentaje, sin control de P-Delta');gamamax %Control de efecto P-Delta for i=1:NP j=NP-i+1; if j==NP Peso(j)=masa(j,j)*9.8;Corte(j)=F1(j); else Peso(j)=masa(j,j)*9.8+Peso(j+1);Corte(j)=F1(j)+F1(j+1); end theta(j)=(Peso(j)/Corte(j))*(drift(j)/R); if theta(j)>=0.30 fprintf ('\n Estructura debe ser reforzada'); elseif theta(j)>=0.10 & theta(j)<0.30 fpd(j)=1/(1-theta(j)); else fpd(j)=1; end end F2=max(fpd)*F1;V=sum(F);gamamax=max(fpd)*gamamax; fprintf ('\n Deriva maxima de piso en porcentaje, con control de P-Delta');gamamax fprintf ('\n Indice de estabilidad de piso');theta' fprintf ('\n Fuerzas laterales finales luego de controles');F2 %---fin

La forma de ingreso de datos del programa MODALPLANONEW es la siguiente:

[V] = modosplano(altura,pesoD,pesoL,KL;KLG) • altura Vector que contiene las alturas de piso medidas desde la base. • pesoD Vector con información de los pesos debidos a carga muerta de cada uno de

los pisos, empezando desde el primer piso. • pesoL Vector con información del peso debido a carga viva en cada piso. Pero se

indica la carga considerando el % de aportación de la carga viva. • KL Matriz de rigidez lateral del pórtico con inercias agrietadas. • KLG Matriz de rigidez lateral del pórtico con inercias gruesas.

El programa, en cada piso, suma la información del peso que se la ha suministrado por carga muerta más carga viva y luego divide para la gravedad con lo cual se halla la masa de piso. Por lo tanto, la carga viva que se indica ya debe contemplar el porcentaje debido a la probabilidad de ocurrencia del sismo.

Por consola reporta lo más importante del análisis sísmico entre lo que se destaca lo

siguiente:




160

Modos y períodos de vibración.

Factores de participación modal.

Aceleraciones espectrales.

Factor de reducción de las fuerzas sísmicas R .

Fuerzas laterales en cada piso sin controles de cortante basal mínimo, deriva de los pórticos y efecto ∆−P .

Desplazamientos inelásticos en cada uno de los pisos.

Deriva de piso sin control de efecto ∆−P y con control de efecto ∆−P .

Índice de estabilidad de piso.

Fuerzas laterales en cada piso luego de efectuar los controles de cortante basal

mínimo, deriva de los pórticos y efecto ∆−P .

Cortante Basal V Si el índice de estabilidad de piso 30.0>iθ el programa le da un mensaje

indicando la necesidad de reforzar la estructura. Si la deriva máxima de piso es mayor al 1.5% se debe reforzar la estructura.

• EJEMPLO 2

Realizar un análisis sísmico plano, para el pórtico 2 de la estructura de 6 pisos indicada en la figura 5.7. Esta estructura fue analizada en el capítulo anterior pero con dimensiones de vigas y columnas diferentes. Las nuevas dimensiones se indican en la tabla 5.4, donde también se indica la carga muerta y carga viva de cada piso. El módulo de elasticidad con el cual se realizará el análisis sísmico es . 2/21.1738965 mTE =

Tabla 5.4 Dimensiones y cargas de estructura de 6 pisos Columnas

(cm.) Piso

Exteriores Interiores

Vigas (cm.)

Carga Muerta (kg/m2)

Carga Viva

(kg/m2)

Peso D (T.)

0.25 Peso L

(T.) 1 60/60 65/65 45/50 735 200 55.125 3.75 2 60/60 65/65 45/50 700 200 52.500 3.75 3 60/60 65/65 45/50 660 200 49.500 3.75 4 55/55 60/60 40/50 610 200 45.750 3.75 5 55/55 60/60 40/50 570 200 42.750 3.75 6 50/50 55/55 40/50 525 200 39.375 3.75

La estructura se halla ubicada en un perfil de suelo S2, en la zona de mayor peligrosidad sísmica de Ecuador ( gAo 4.0= ). Las dos últimas columnas de la tabla 5.4 se han hallado multiplicando la carga D y de las columnas 5 y 6 por el área cooperante de 75 mL 2. (15 x 5 ). Además para la carga viva está multiplicada por 0.25 ya que se trata de una vivienda. Realizar el análisis sísmico utilizando el programa MODALPLANONEW.

L




161

Figura 5.7 Distribución en planta de estructura de seis pisos.

• SOLUCIÓN

En la figura 5.8 se muestra la geometría del pórtico 2. Se debe hallar la matriz de

rigidez lateral con inercias gruesas y con inercias agrietadas, de tal manera que se debe ejecutar el programa RLAXINFI dos veces. Los resultados que reporta el programa, son:

Figura 5.8 Geometría del pórtico 2.




162

A continuación se indica como se ejecuta el programa MODALPLANONEW

>> pesoD=[ 55.125; 52.50; 49.50; 45.75; 42.75; 39.375] >> pesoL=[ 3.75; 3.75; 3.75; 3.75; 3.75; 3.75] >> altura=[ 3.0; 6.0; 9.0; 12.0; 15.0; 18.0] >>[V]=modalplanonew(altura,pesoD,pesoL,KLA,KLG) Códigos para zonas sísmicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 0.4g=4 Indique el código de la zona sísmica: 4 Códigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4 Indique el código del tipo de suelo: 2 Indique el factor de importancia: 1 Estructura es regular en planta; si(s) o no (n): s %use minúsculas Estructura es regular en elevación; si(s) o no (n): s %use minúsculas

♦ PROGRAMA REPORTA En la tabla 5.5 se indican los modos de vibración. Nótese que el primer modo no tiene

puntos de inflexión, el segundo modo tiene un punto de inflexión, el tercer modo tiene dos, el cuarto tiene tres, el quinto tiene cuatro y el sexto tiene cinco puntos de inflexión.

Tabla 5.5 Modos de vibración Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 Modo 6 0.1073 0.3141 0.5349 0.7399 0.8979 1.0000

0.3285 0.7643 0.8535 0.4344 -0.3035 -1.0000

0.6618 0.9302 0.0203 -1.0000 -0.6070 0.9455

0.8303 0.3389 -0.8915 -0.0618 1.0000 -0.5874

0.9072 -0.4683 -0.3797 1.0000 -0.9018 0.3337

0.8314 -1.0000 0.9329 -0.6918 0.3825 -0.1110

En la tabla 5.6 se indican los períodos de vibración, el primero corresponde al período fundamental, es bastante alto debido a que se obtuvo con inercias agrietadas. Se presenta también los factores de participación y las aceleraciones espectrales. La aceleración espectral del primer modo es la menor debido al período fundamental que es alto; este hecho de que la




163

aceleración espectral del primer modo es menor incide en la forma que se tiene de la distribución de fuerzas laterales.

Tabla 5.6 Valores modales de período, factores de participación y aceleraciones espectrales Modo Período

( s ) Factores de

Participación Aceleraciones

espectrales (m/s2) 1 0.9052 1.3467 1.1228 2 0.2887 0.5346 1.9600 3 0.1475 0.3084 1.9600 4 0.0905 0.2556 1.9600 5 0.0622 0.1794 1.9600 6 0.0480 0.1212 1.9600

En la tabla 5.7 se presenta en la primera columna las fuerzas laterales en cada piso, sin ningún control. En la columna 2, los desplazamientos laterales inelásticos; en la columna 3 las derivas de piso obtenidos con los datos de la columna 2, se aprecia que la deriva máxima es %88.0=γ .

Tabla 5.7 Respuestas máximas probables Piso Fuerzas

Laterales sin controles (T.)

Desplazamientos Inelásticos

( m. )

Derivas de Piso

Índices de Estabilidad

de piso

Fuerzas Finales

( T. ) 1 2.9985 0.0150 0.0050 0.0359 3.1043 2 3.8845 0.0411 0.0087 0.0477 4.0216 3 3.4045 0.0674 0.0088 0.0333 3.5246 4 4.7444 0.0926 0.0084 0.0172 4.9118 5 6.1390 0.1132 0.0068 0.0059 6.3557 6 10.3712 0.1275 0.0048 0.0031 10.7373

%88.06 == γR (sin control de ∆−P ) (con control de ∆−P ) %88.0=γ

En la columna 4 de la tabla 5.7 se muestran los índices de estabilidad de piso. Nótese que el mayor valor es 0.0477 menor a 0.1.

REFERENCIAS

1. Aguiar R., (2007), Dinámica de estructuras con MATLAB, Centro de Investigaciones Científicas y Colegio de Ingenieros Civiles de Pichincha., 292 p. Quito.

2. Aguiar R., (2004), Análisis Matricial de Estructuras, Centro de Investigaciones

Científicas, Escuela Politécnica del Ejército, Tercera edición, 550 p.

3. Aguiar R., García J., García L., Hinostroza G., Macías R., Rivera A., y Zevallos M., (2006), “Análisis de cuatro criterios de combinación modal”, Segundo Congreso Nacional de Investigación Tecnológica e Innovación. Escuela Politécnica del Litoral, 10 p., Guayaquil.




164

4. Campos P., (2006), Análisis del Método de Superposición Modal, Tesis de Pregrado para obtener título de Ing. Civil, Escuela Politécnica del Ejército, 223 p., Quito.

5. Chopra A., (2001), Dynamic of Structures: Theory and aplications to earthquake

engineering, 2nd edn., Prentice Hall: Saddle River New York.


7. Gómez J., (2002), “Presentación de un nuevo modelo matemático para cálculo de la

respuesta modal total de estructuras de edificios”, XIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural, Colegio de Ingenieros Civiles de Puebla, 10 p., Puebla, México.

8. Iberisa (2008), “Puente solicitado por un espectro sísmico”, www.iberisa.com.



10. Norma NCh 433.Of 96, (1996). “Diseño sísmico de edificios”, Instituto de Normalización. INN-Chile, 42 p, Santiago.

11. Norma E.030, (2003), Reglamento Nacional de Construcciones. Norma Técnica de




13. Santana G., (2008), “Evaluación del Código Sísmico de Guatemala”,www.disaster-info.net, 13 p.



CAPÍTULO 6

ANÁLISIS SÍSMICO ESPACIAL POR EL MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL

RESUMEN

Se presenta el análisis sísmico espacial de edificios considerando tres grados de libertad por planta, ante la acción de un espectro de diseño inelástico. Con este modelo numérico es factible realizar el análisis sísmico de estructuras de menos de diez pisos que sean irregulares en planta y elevación, situados en cualquier zona sísmica, siempre y cuando la estructura pueda ser modelada como piso rígido. Para edificios de más de diez pisos también es aplicable el método siempre que la estructura sea regular en planta y elevación.

Se indica el procedimiento de análisis sísmico espacial, aplicando el Método de

Superposición Modal y se presenta el programa denominado MODALESPACIAL3GDLNEW que sirve para encontrar las fuerzas estáticas equivalentes en cada uno de los pórticos de acuerdo a lo establecido en el CEC-2000 pero utilizando el factor de reducción de las fuerzas sísmicas indicado en el capítulo 2, para estructuras conformadas por vigas y columnas sin muros de corte.

6.1 INTRODUCCIÓN

El modelo numérico de tres grados de libertad por planta, considera que la losa es totalmente rígida en su plano y para esto debe cumplir las siguientes condiciones:

El espesor de la losa tiene que ser mayor o igual a 10 cm., de una losa macisa; si la

losa es alivianada se debe encontrar el peralte equivalente de una losa macisa y comprobar que este sea mayor a la dimensión anotada.

Las relación entre la dimensión larga del edificio con relación a la dimensión corta no

debe ser mayor que 2.5.




166

La suma de las aberturas de la losa que sean menores al 30% del área total de la

planta.

Si se incumple una de estas condiciones deberá analizarse con un modelo de piso flexible, concentrando las masas en los nudos.


En el capítulo 3 se presentó el cálculo de la matriz de rigidez en coordenadas de piso, sin embargo vale la pena recordar los aspectos más importantes del cálculo. La matriz de

rigidez se halla con la siguiente ecuación: EK

EK

∑=

=NP

i

iiL

tiE AKAK

1

)()()( ( 6.1 )

Donde es el número total de pórticos de la estructura en sentido X y en sentido

Y., es la matriz de rigidez lateral del pórtico i; es la matriz de compatibilidad de deformaciones que relaciona las coordenadas laterales del pórtico, con las coordenadas de piso. Se obtiene con la siguiente expresión.

NP)(i

LK )(iA

[ ]rISenICosA i αα=)( ( 6.2 )

Siendo α el ángulo que forma la orientación positiva del pórtico con respecto al eje X;

es la matriz identidad de orden N por N, donde N es el número de pisos y es la matriz que contiene las distancias desde el Centro de Masa, C.M., al pórtico. Los valores del vector tienen signo, serán positivos si la orientación positiva del pórtico rota en sentido antihorario con respecto al C.M., caso contrario será negativo.

I rr

Al sistema de coordenadas de piso, se denomina qQ − y al sistema de coordenadas

laterales del pórtico se denomina sistema pP − . La matriz de compatibilidad se define de la siguiente forma:

A

qAp = ( 6.3 )

Al efectuar el triple producto matricial indicado en ( 6.1 ) con todos los pórticos de la

estructura se halla la matriz de rigidez en coordenadas de piso, la misma que está compuesta por las siguientes submatrices.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

θθ

θ

θ

KKKKKK

K YYY

XXYXX

E ( 6.4 )

Siendo las matrices de rigidez lateral por traslación en sentido X, e Y,

respectivamente; es la matriz de rigidez torsional; matrices de rigidez de acoplamiento lateral con torsión; es la matriz trasnacional de acoplamiento en las direcciones X,Y; en estructuras con pórticos ortogonales

YYXX KK ,

θθK θθ YX KK ,

XYK0=XYK




167

( )∑∑∑ ===2)()()(2)(2 ii

Li

LYYi


∑ ∑== )()()()( iiLY



De tal manera que existen dos formas de hallar la primera empleando la ecuación

(6.1) y la segunda por medio de la ecuación (6.4). La matriz de rigidez es de orden 3N por 3N. Como se indicó N es el número de pisos.

EK

EK

6.3 MATRIZ DE MASAS

La matriz de masas se obtiene de la evaluación de la energía cinética de la

estructura. Aguiar (2007). Si las coordenadas de piso se toman en el C.M., y si los grados de libertad se numeran en primer lugar todos los desplazamientos en sentido X, luego todos los desplazamientos en sentido Y, finalmente las rotaciones de piso. Esta matriz resulta.

M

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

Jm

mM ( 6.6 )

Donde es la sub matriz de masas y es la sub matriz de momentos de inercia de

las masas. m J

=m

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

i

m

m

mm

2

1

( 6.7 )

Siendo la masa total del piso i, la misma que se obtiene en base a la carga muerta D más un porcentaje de la carga viva L. El porcentaje depende del uso de la estructura, así por ejemplo si se tiene una bodega se puede considerar que este porcentaje es del 50%, depende de que porcentaje de la carga viva va a estar almacenada frecuentemente en la bodega.

im




168

=J

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

i

J

J

JJ

2

1

( 6.8 )

Donde es el momento de inercia de la masa . Para una planta rectangular de dimensiones , el momento de inercia con respecto al C.M., vale:

iJ im

ii ba ,

( )22

12 iii

i bam

J += ( 6.9 )

Si la losa no es regular o tiene aberturas, el momento de inercia se encuentra

empleando el teorema de los ejes paralelos. Para ello se tiene que dividir la planta de la estructura en figuras rectangulares y hallar el momento de inercia de cada figura rectangular con respecto al centro de masa y aplicar el teorema de los ejes paralelos, expresado mediante la siguiente ecuación.

∑ +=j jjjCMi dmJJ 2 ( 6.10 )

Donde es la distancia desde el centro de masas de la planta rectangular j al centro

de masas total de la planta. jd

6.4 PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS

El procedimiento de análisis sísmico con tres grados de libertad por planta y utilizando el espectro de diseño inelástico del CEC-2000, con el factor R propuesto en el capítulo 2, para estructuras sin muros de corte es el siguiente:

i. Se determina la matriz de rigidez lateral de cada uno de los pórticos de la

estructura con inercias agrietadas. Puede utilizarse el programa RLAXINFI, si el pórtico no tiene muros de corte o el programa RLAXINFIMURO si el pórtico tiene muros de corte. Estos programas fueron presentados en el capítulo 3.

LK

ii. Se halla el vector de cada uno de los pórticos. Este vector contiene las distancias del

centro de masa, al pórtico en cada uno de los pisos. r

iii. Se encuentra la matriz de cada pórtico, con la ecuación ( 6.2 ). A

iv. Se determinan las submatrices de utilizando el formulario (6.5) o la ecuación (6.1). EK

v. Se encuentra la matriz de masas en coordenadas de piso, con ecuación ( 6.6 ). M

vi. Se hallan los valores y vectores propios con y con la matriz de masa . EK M




169

vii. Con los valores propios se determinan las frecuencias y períodos de vibración , en cada modo.

iT

viii. Con cada período se ingresa al espectro inelástico y se halla la aceleración

espectral . iT

diA

Hasta este punto no se ha especificado la dirección del análisis sísmico. Ahora es necesario definir esta dirección.

Para el análisis sísmico en sentido X, se tiene:

ix. Se encuentran los factores de participación modal ixγ

)()(

)(

itix

ti

ix MbMφφ

φγ = ( 6.11 )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

001

xb ( 6.12 )

Donde es el vector unitario de orden N; es el vector que contiene solo ceros, de orden N. Siendo N el número de pisos.

1 0

x. Se encuentran las cargas máximas modales en centro de masa )(iQ

ixiQ γ=)(

diA )(iM φ ( 6.13 )

El vector está compuesto por las fuerzas horizontales en sentido X, que se denomina a continuación , las fuerzas van desde el primer piso al último piso; luego las fuerzas horizontales en sentido Y empezando por el primer piso y finalmente los Momentos de Torsión , desde el primer piso. El índice que está entre paréntesis identifica el modo de vibración.

)(iQ

XF

YF

TM

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

T

Y

Xi

MFF

Q )(

xi. Para el análisis sísmico en sentido X, se trabaja con el subvector y se determinan

los cortantes en cada modo de vibración. XF

xii. Se aplica un criterio de combinación modal en los cortantes y se halla el cortante

resultante. Se recomienda utilizar el criterio estipulado en la Norma Técnica de Perú de 2003.

xiii. A partir del cortante resultante se encuentran las fuerzas resultantes en el centro

de masa. XF




170

xiv. Se obtienen las fuerzas debidas a la torsión accidental en centro de masas como se especificó en el capítulo 4. Se trabaja con matriz de rigidez en coordenadas de piso encontrada con inercias gruesas.

xv. Se hallan las fuerzas finales sumando las fuerzas obtenidas del método de

superposición modal con las de torsión accidental. Este instante se tienen las fuerzas en el C.M. con las cuales se realizan los controles que se indican a continuación.

xvi. Se efectúa el control del Cortante Basal Mínimo.

xvii. Se realiza el control de la deriva de la estructura con la matriz de rigidez hallada

con inercias gruesas. EK

i

iINEiINEi h

qq 1−−=γ ( 6.14 )

Donde es el desplazamiento lateral inelástico el mismo que se halla, de acuerdo al CEC-2000 multiplicando el desplazamiento elástico por el factor de reducción de las fuerzas sísmicas

INEqq

R . es el desplazamiento inelástico en el piso i, es

el desplazamiento inelástico en el piso i-1; es la altura de piso. Si se trabaja con los factores

iINEq 1−iINEq

ihR indicados en el capítulo 2, el valor máximo de γ será menor a 1.5%,

caso contrario se debe reforzar la estructura. xviii. Se realiza el control del efecto ∆−P . Para ello se determina el índice de estabilidad

de piso iθ

1−=

−==

=

∑ iiei

NP

ijji

ii

eiii

qqWP

hVP

δ

δθ

( 6.15 )

Siendo la carga vertical que gravita desde el piso i hasta el último piso ; iP NP eiδ es la deriva de piso calculada con los desplazamientos elásticos q ; es el cortante del piso i; es la altura del piso i; es el peso del piso j.

iV

ih jW Si 10.0<iθ no hay problema de efecto ∆−P , si 30.0>iθ probablemente la estructura tenga problemas de inestabilidad por lo que se requiere reforzar la estructura y si 30.010.0 <≤ iθ . Las fuerzas laterales deben multiplicarse por el factor ; lo propio las derivas de piso.

∆−Pf

iPf

θ−=∆− 1

1 ( 6.16 )

La mayor parte del procedimiento indicado ha sido ya aplicado en los dos capítulos

anteriores. Una vez que se termina con el análisis sísmico en sentido X, se procede a realizar el

análisis sísmico en sentido Y, repitiendo el procedimiento a partir del paso ix.




171

Para el análisis sísmico en sentido Y, se debe calcular los factores de participación

modal iyγ .

)()(

)(

itiy

ti

iy M

bM

φφ

φγ = ( 6.17 )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

010

yb ( 6.18 )

Con el factor de participación modal iyγ se hallan las cargas en centro de masa en

cada modo de vibración y posteriormente con las fuerzas en sentido Y que se ha denominado se hallan los cortantes y se procede con el análisis en forma similar a la indicada para el

sentido X. YF

Realizar el análisis sísmico en sentido X, o en sentido Y, significa considerar que en

esas direcciones viene el sismo pero en la realidad el sismo puede registrarse en cualquier dirección, esta posibilidad se lo cubre con lo que se denomina Simultaneidad de las acciones sísmicas. Hernández y López (2003).

• EJEMPLO 1

Realizar un análisis sísmico en dirección X, considerando tres grados de libertad por

planta, ante el sismo de diseño estipulado en el Código Ecuatoriano de la Construcción, CEC-2000, para un perfil de suelo S2 de la ciudad de Quito, de la vivienda de dos pisos cuya distribución en planta se indica en la figura 6.1 y sobre la cual gravita una carga muerta de 500 Kg/m2 y una carga viva de 200 Kg/m2. Analizar para un valor de reducción de las fuerzas sísmicas . 6=R


• SOLUCIÓN




172

En la figura 6.2 se indican los grados de libertad considerados en el análisis sísmico. Los vectores de coordenadas generalizadas q y de cargas Q son:

Figura 6.2 Grados de libertad considerados en el análisis sísmico.

=q

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6

5

4

3

2

1

qq

qq

qq

=Q =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6

5

4

3

2

1

QQ

QQ

QQ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

T

Y

X

MFF

Donde son los desplazamientos horizontales en sentido X, de los pisos 1 y 2; son los desplazamientos horizontales en sentido Y, de los pisos 1 y 2; son las

rotaciones de piso de los pisos 1 y 2. Por otra parte, son las fuerzas horizontales en sentido X, en los pisos 1 y 2; son las fuerzas horizontales en sentido Y, en los pisos 1 y 2; son los momentos de torsión de los pisos 1 y 2. Al tener 6 grados de libertad se tendrán 6 modos de vibración.

21 , qq

43 , qq 65 , qq

21 , QQ

43 , QQ

65 , QQ




173

Las matrices de rigidez lateral con inercias agrietadas de los pórticos, con un módulo de elasticidad , son: 2/21.1738965 mTE =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−==

9.3176.4926.4925.1243)2()1(

LL KK

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−===

7962.1247738.1717738.1718093.404)()()( C

LB

LA

L KKK

Las distancias desde el C.M. hasta cada uno de los pórticos se indican en la tabla 6.1,

en la última columna se indica la sub matriz . r

Tabla 6.1 Distancia del centro de masa al pórtico y Matriz rPórtico Primer Piso Segundo Piso Matriz r

1 -2.0 m. -2.0 m. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

2002)1(r

2 2.0 m. 2.0 m. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2002)2(r

A -4.5 m. -4.5 m. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

5.4005.4)( Ar

B -0.5 m. -0.5 m. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

5.0005.0)(Br

C 4.5 m. 4.5 m. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

5.4005.4)(Cr

El ángulo α para los pórticos 1 y 2 es 0 grados y para los pórticos A, B y C es 90

grados. Con esta acotación las matrices de compatibilidad de cada uno de los pórticos, son:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

200010020001)1(A

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

200010020001)2(A

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

5.40100005.40100)( AA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

5.00100005.00100)(BA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

5.40100005.40100)(CA




174

La matriz triangular superior, de la matriz de rigidez, que es simétrica, calculada con inercias agrietadas es:

EK

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−

=

7629109400.26444

0.620.864.3740.860.2023.5154.12140.00.00.00.08.6350.00.00.00.01.9851.2487

EK

La matriz de masas resulta:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

3316.163316.16

0204.20204.2

0204.20204.2

M

( )

msTmm

2

21 0204.28.9

492.025.05.0=

∗∗∗+==

( ) 22221 3316.1694

120204.2 smTJJ =+==

En la tabla 6.2 se indican los valores propios, las frecuencias de vibración y los

períodos de cada un de los modos, que se hallan a partir de la solución del problema de valores y vectores propios.

Tabla 6.2 Propiedades dinámicas de estructura de 2 pisos Modo Valor Propio Frecuencia

Natural (1/s) Período

( s.) 1 64.0 8.00 0.7854 2 103.8 10.1866 0.6168 3 159.8 12.6411 0.4970 4 720.7 26.8469 0.2340 5 1441.9 37.9721 0.1655 6 1928.1 43.9106 0.1431

En la tabla 6.3 se muestran los modos de vibración. Se aprecia que el primer modo se desplaza en sentido Y con un ligero acoplamiento torsional; el segundo modo se desplaza en X; el tercer modo es rotacional con acoplamiento del desplazamiento en la dirección Y; los tres modos restantes tienen similar comportamiento a los tres primeros.

Tabla 6.3 Modos de vibración




175

Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 Modo 6 0.0000 -0.2793 0.0000 0.0000 -0.6457 0.0000 0.0000 -0.6457 0.0000 0.0000 0.2793 0.0000 -0.3016 0.0000 0.0125 -0.6351 0.0000 0.0223 -0.6350 0.0000 0.0247 0.3017 0.0000 -0.0106 -0.0041 0.0000 -0.1031 -0.0080 0.0000 -0.2248 -0.0088 0.0000 -0.2247 0.0034 0.0000 0.1032

En la tabla 6.4 se indican los factores de participación modal, las aceleraciones espectrales y en la parte inferior los factores que conducen al cálculo del factor de reducción de las fuerzas sísmicas. Se observa que únicamente los modos 2 y 5 contribuyen a la respuesta sísmica en sentido X, ya que los restantes factores de participación modal son nulos.

Tabla 6.4 Factores de participación y aceleraciones espectrales en m/s2

Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 Modo 6 01 =γ 8689.12 =γ 03 =γ 04 =γ 7403.05 =γ 06 =γ 2941.11 =dA 6478.12 =dA 96.13 =dA 96.14 =dA 96.15 =dA 96.16 =dA

6=R

Las cargas modales que se hallan con la ecuación ( 6.13 ) se indican en la tabla 6.5, se aprecia que solo existen fuerzas en los dos pisos en sentido X.

Tabla 6.5 Cargas en centro de masa para modos dos y cinco Segundo Modo

Quinto Modo

-1.7379 T. -1.8929 T. -4.0177 T. 0.8188 T.

0 0 0 0 0 0 0 0

En la figura 6.3 se presentan las fuerzas en centro de masa, para el segundo y quinto

modo de vibración, a la izquierda; con los datos de la tabla 6.5; a la derecha de la figura 6.3 se indica en primer lugar el cortante que se halla luego de aplicar el criterio de combinación modal de la Norma Técnica de Perú que se indica a continuación y las fuerzas resultantes en centro de masa.

∑ ∑= =

+=N

i

N

iii VVV

1 1

275.025.0

( )( ) .0986.60741.17556.575.00741.17556.525.0

.2843.48188.00177.475.08188.00177.425.022

1

222

TV

TV

=+++∗=

=+++∗=




176

Figura 6.3 Fuerzas y Cortantes modales y resultante

Con estos datos, los momentos de torsión accidental valen:

.85686.01*405.02843.4.36286.01*405.08143.1

2

1

TmMTmM

T

T

=∗∗==∗∗=

Luego el vector de cargas para la torsión accidental, es:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

85686.036286.00000.00000.00000.00000.0

Q

El vector de coordenadas generalizadas q que se halla de la solución del sistema de

ecuaciones lineales, definido por:

qKQ E= Donde es la matriz de rigidez en coordenadas de piso, hallada con inercias

gruesas debido a que con la torsión accidental se trata de corregir las incertidumbres que se tiene en la determinación de la excentricidad total. La matriz con inercias gruesas, resulta.

EK

EK

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

−−−

−

=

11394151069311800151063498711826700

9311855670900118267709160300

00009611370000013703302

EK




177

De la solución del sistema de ecuaciones se obtiene:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∗

∗

∗

∗=

−

−

−

−

3

3

3

3

102083.0

101003.0

100347.0

100167.0

0000.00000.0

q

Ahora al multiplicar el vector q por la matriz de compatibilidad de cada uno de los pórticos se hallan los desplazamientos laterales en cada pórtico p . Finalmente al multiplicar la matriz de rigidez lateral del pórtico por estos desplazamientos laterales se encuentran las fuerzas laterales en los pórticos. En el capítulo 4 se detalló este cálculo razón por la cual únicamente se presentan las fuerzas laterales que se hallan en los pórticos debidos a la torsión accidental.

• Fuerzas Laterales por torsión accidental en pórticos

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

.0628.0

.0460.0.0628.0.0460.0 )2()1(

TT

PTT

P

Cuando se realiza el análisis sísmico en sentido Y, se incrementarán las fuerzas

laterales de los pórticos en sentido Y. Sin embargo se indican las fuerzas laterales que se hallan en los pórticos en sentido Y, debido a la torsión accidental.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0695.00205.0

.0050.0

.0015.0.0645.0.0191.0 )()()( CBA P

TT

PTT

P

Al sumar estas fuerzas laterales de los pórticos en sentido X, al vector de cargas se

encuentra, el vector de cargas Q considerando la torsión accidental, este resulta: Q

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0000.00000.00000.00000.04100.49062.1

Q




178

Con el vector de cargas indicado se realiza el control de la deriva de los pórticos, el control del efecto ∆−P y se determinan las fuerzas finales en Centro de Masa. Todo esto se halla con la matriz de rigidez en coordenadas de piso hallado con inercias gruesas.

• Control de la Deriva Máxima de Piso El vector de coordenadas generalizadas inelástico que se encuentra multiplicando el

vector por el factor q

q 6=epR φφ . El vector en metros para los desplazamientos y radianes para los giros es el siguiente.

INEq

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0000.00000.00000.00000.00794.00364.0

INEq

Con estas cantidades se halla la deriva de piso.

0143.03

0364.00794.00121.03

0364.021 =

−=== γγ

La deriva máxima de piso es 1.43%. Cantidad alta pero es menor al 1.5%.

• Control del efecto ∆−P

Se determina el índice de estabilidad de piso con las derivas de piso elásticas.

Para esto las derivas de piso inelásticas indicadas en el apartado anterior se deben dividir para el factor

iθ

R

En la tabla 6.6 se resume el cálculo del índice de estabilidad iθ cuyos valores son menores a 0.10, por lo que no se incrementan las fuerzas laterales en sentido X, ni las derivas de piso. En la tabla 6.6 se indica en primer lugar iθ del piso 2, luego del 1.

Tabla 6.6 Cálculo del índice de estabilidad de piso.

Piso Peso Acumulado

Cortante de Piso

Deriva de piso

Índice de estabilidad de

piso 2 19.8 T. 4.4100 0.00238 0.0107 1 39.6 T. 6.3162 0.00201 0.0127

Finalmente las fuerzas finales en centro de masa se reparten a los pórticos, las mismas que se indican en la figura 6.4 para el pórtico 1, que es igual a la del pórtico 2.




179

Figura 6.4 Fuerzas estáticas en el pórtico 1 debido a sismo en X.

6.5 PROGRAMA MODALESPACIAL3GDLNEW

El programa MODALESPACIAL3GDLNEW realiza el análisis sísmico de una estructura compuesta solamente por vigas y columnas, ante el espectro del CEC-2000, reducido por el factor de reducción de fuerzas sísmicas indicado en el capítulo 2. Este programa ha sido elaborado con las siguientes condiciones:

• El centro de masa es colineal en todos los pisos. Por este motivo se ingresa un

solo valor de r por pórtico. Si la ubicación del centro de masa varía de piso a piso se tendría que ingresar el valor de r en cada piso. Se puede muy fácilmente modificar el programa para dar como dato la distancia del centro de masa al pórtico en cada piso.

• El factor de reducción de las fuerzas sísmicas R es el indicado en el capítulo 2. Para

estructuras en suelo S1, S2 o S3 el factor 6=R . Para suelo S4, . 5=R

• La deriva de piso máxima permitida es 1.5%.

• La Torsión accidental se encuentra moviendo el centro de masa el 5% de la dimensión perpendicular a la del análisis sísmico. Los desplazamientos debidos a la torsión accidental se hallan con la matriz de rigidez calculada con inercias gruesas.

• El efecto ∆−P se evalúa de acuerdo al CEC-2000. Con derivas de piso elásticas.

• El criterio de combinación modal utilizado es el de la Norma Sísmica de Perú de 2003.

La forma de uso del programa es la siguiente:

[V]=modalespacial3gdl(ejes,altura,pesoD,pesoL,KLA,KLG,r)

Donde:

ejes es el número de ejes que tiene la estructura en la dirección del análisis sísmico.




180

altura es un vector que contiene la altura medida desde la base a cada uno de los

pisos.

pesoD es un vector con información del peso total debido a carga muerta en cada uno de los pisos.

pesoL es un vector que contiene la fracción del peso considerado en el análisis

sísmico, de la carga viva de cada piso.

KLA es una matriz compuesta por la matriz de rigidez lateral de todos los pórticos, calculados con inercias agrietadas. Primero se indican la de los pórticos en sentido X, luego de los pórticos en sentido Y.

KLG es una matriz conformada por la matriz de rigidez lateral de todos los pórticos,

calculados con inercias gruesas. De igual manera primero se indican de los pórticos en sentido X y después en sentido Y.

r es un vector que contiene la distancia del centro de masa a cada uno de los pórticos,

con su respectivo signo, se da un solo valor por pórtico. Primero se indica de los pórticos en sentido X, luego los de sentido Y.

El Programa Reporta:


Fuerzas laterales en centro de masa sin torsión accidental y con torsión accidental.

Desplazamiento lateral máximo inelástico en cada piso, en centro de masa, en base a las fuerzas finales del análisis.

Deriva de piso, evaluada en el centro de masa de cada piso.

Deriva máxima de piso sin y con control de efecto ∆−P .

Índices de estabilidad iθ en cada piso de la estructura.

Fuerzas estáticas equivalentes en cada uno de los pórticos, considerando la torsión

accidental y luego del control de cortante basal mínimo, deriva de los pórticos y efecto ∆−P

Cortante Basal V

function [V]=modalespacial3gdlnew(iejes,alt,pesoD,pesoL,KL,KLG,r) % % Analisis modal espacial considerando tres grado de libertad por planta % empleando el Espectro Inelastico del CEC-2000 % Factor de reduccion de las fuerzas sismicas de acuerdo a lo encontrado % en el proyecto de investigacion cientifica finalizado en 2007 en la ESPE. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Diciembre de 2007




181

%----------------------------------------------------------------------- % [V]=modalespacial3gdlnew(u,iejes,alt,pesoD,pesoL,KL,KLG,r) %----------------------------------------------------------------------- % R Factor de reduccion de las fuerzas sismicas % Z Factor de Zona % iejes # de ejes de columnasen direccion de analisis sismico. % alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde la base. % pesoD Vector que contiene la carga muerta D de cada piso. % pesoL Vector que contiene el porcentaje de carga viva L de cada piso. % KL Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de todos los % porticos, con inercias agrietadas. Primero los de sentido X. % KLG Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de todos los % porticos con inercias gruesas. Primero los de sentido X. % r Vector que contiene la distancia del portico al centro de masa, de % cada uno de los porticos, con signo, positivo antihorario. % PESO Peso total Reactivo. V Cortante Basal % NP=length(alt); for i=1:NP-1; j=NP-i+1; alt(j)=alt(j)-alt(j-1);end; ntot=input ('\n Numero total de porticos de la estructura :'); fprintf ('\n Codigos para analisis sismico: Sentido X=1 Sentido Y=2'); isismo=input ('\n Ingrese codigo de sentido de analisis sismico :'); if isismo==1;nx=iejes; ny=ntot-nx;else;ny=iejes; nx=ntot-ny;end; %Submatrices de rigidez: KEE, con inercias agrietadas Kxx=zeros(NP,NP);Kyy=zeros(NP,NP);Kteta=zeros(NP,NP);cero=zeros(NP,NP); Kxt=zeros(NP,NP);Kyt=zeros(NP,NP);for k=1:NP;identidad(k,k)=1;end; for i=1:ntot for k=1:NP rtet(k,k)=r(i); end rteta=rtet*rtet; ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP; if i<=nx Kxx=Kxx+KL(ji:jf,1:NP);Kxt=Kxt+KL(ji:jf,1:NP)*rtet; Kteta=Kteta+KL(ji:jf,1:NP)*rteta; A(ji:ji+NP-1,:)=[identidad cero rtet]; else Kyy=Kyy+KL(ji:jf,1:NP);Kyt=Kyt+KL(ji:jf,1:NP)*rtet; Kteta=Kteta+KL(ji:jf,1:NP)*rteta; A(ji:ji+NP-1,:)=[cero identidad rtet]; end end %Matriz de rigidez espacial con 3 grados de libertad por planta KE=[Kxx cero Kxt;cero Kyy Kyt;Kxt Kyt Kteta]; %Matriz de masas disty=abs(r(1))+abs(r(nx));distx=abs(r(nx+1))+abs(r(ntot)); for i=1:NP; masaD(i)=pesoD(i)/9.8; masaL(i)=pesoL(i)/9.8; mas(i)=masaD(i)+masaL(i);end masa=zeros(NP,NP);for i=1:NP; masa(i,i)=mas(i);end mj=zeros(NP,NP);for i=1:NP, mj(i,i)=mas(i)*(distx^2+disty^2)/12;end MASA=[masa cero cero;cero masa cero;cero cero mj]; PESO=0;for i=1:NP; PESO=PESO+pesoD(i);end; fprintf ('\n Codigos para zonas sismicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 04g=4'); ic=input ('\n Ingrese el codigo de la zona sismica :'); if ic==1; Ao=0.15*9.8;Z=0.15;elseif ic==2;Ao=0.25*9.8;Z=0.25; elseif ic==3;Ao=0.30*9.8;Z=0.30;else;Ao=0.40*9.8;Z=0.4;end fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4'); is=input('\n Indique el codigo del tipo de suelo :');




182

if is==1 T1=0.50;T2=2.50;beta=2.5;S=1;R=6; elseif is==2 T1=0.52;T2=3.11;beta=3.0;S=1.2;R=6; elseif is==3 T1=0.82;T2=4.59;beta=2.8;S=1.5;R=6; else T1=2.0;T2=10;beta=2.5;S=2;R=5; end I=input('\n Indique el factor de importancia :'); % Periodos de vibracion y periodo fundamental [V,D]=eig(KE,MASA);W=sqrt(diag(D)); % Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor [Wn,II]=sort(W);for i=1:3*NP; fi(:,i)=V(:,II(i)); T(i)=2*pi/Wn(i);end; %Factores de participacion modal for i=1:NP;bb(i)=1;cer(i)=0;end;bb=bb';cer=cer'; if isismo==1 B=[bb; cer; cer]; else B=[cer; bb; cer]; end NUM=fi'*MASA*B;DEN=diag(fi'*MASA*fi); for i=1:3*NP; gama(i)=abs(NUM(i)/DEN(i));end if gama(1)==0 Tf=T(2); else Tf=T(1); end fip=input('\n Indique el factor de irregularidad en planta :'); fie=input('\n Indique el factor de irregularidad en elevacion :'); R=R*fip*fie; %Coeficiente C C=(1.25*S^S)/Tf; if C >=beta; C=beta; end;if C <= 0.5; C=0.5; end fprintf ('\n Valor de reduccion de las fuerzas sismicas R');R % Cortante Basal Minimo Vmin=(Z*I*C*PESO)/(R*fip*fie);fprintf ('\n Cortante Basal Minimo ');Vmin %Aceleraciones modales for i=1:3*NP if T(i)<=T1;Ad(i)=I*beta*Ao/R;elseif T(i)>T1 & T(i)<=T2; Ad(i)=(1.25*I*Ao*S^S)/(T(i)*R);else;Ad(i)=I*Ao/(2*R);end end %Fuerzas modales en centro de masas masafi=MASA*fi;gamaAd=(gama.*Ad)'; for i=1:3*NP; for j=1:3*NP; P(j,i)=gamaAd(i)*masafi(j,i); end end %Cortantes modales en centro de masas VV=zeros(3*NP,3*NP); for i=1:3*NP; for j=1:NP; k=NP+1-j; if k==NP; VV(k,i)=VV(k,i)+P(k,i); VV(k+NP,i)=VV(k+NP,i)+P(k+NP,i); else




183

VV(k,i)=VV(k+1,i)+P(k,i); VV(k+NP,i)=VV(k+NP+1,i)+P(k+NP,i); end end end %Criterio de Norma Tecnica de Peru de 2003 se aplica en cortantes for i=1:3*NP RRR(i)=0; RR(i)=0; for j=1:3*NP RRR(i)=RRR(i)+abs(VV(i,j)); RR(i)=RR(i)+VV(i,j)*VV(i,j); end Corte(i)=0.25*RRR(i)+0.75*sqrt(RR(i)); end;Corte=Corte'; %Calculo de las Fuerzas Laterales en centro de masas for i=1:NP j=NP+1-i; if j==NP F(j)=Corte(j);F(j+NP)=Corte(j+NP);F(j+2*NP)=0; else F(j)=Corte(j)-Corte(j+1);F(j+NP)=Corte(j+NP)-Corte(j+NP+1); F(j+2*NP)=0; end end F=F'; fprintf ('\n Fuerzas laterales en centro de masa sin torsion accidental');F %Calculo de la torsion accidental con matriz de rigidez hallada % con inercias gruesas Kxx=zeros(NP,NP);Kyy=zeros(NP,NP);Kteta=zeros(NP,NP); Kxt=zeros(NP,NP);Kyt=zeros(NP,NP); for i=1:ntot for k=1:NP rtet(k,k)=r(i); end rteta=rtet*rtet; ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP; if i<=nx Kxx=Kxx+KLG(ji:jf,1:NP);Kxt=Kxt+KLG(ji:jf,1:NP)*rtet; Kteta=Kteta+KLG(ji:jf,1:NP)*rteta; else Kyy=Kyy+KLG(ji:jf,1:NP);Kyt=Kyt+KLG(ji:jf,1:NP)*rtet; Kteta=Kteta+KLG(ji:jf,1:NP)*rteta; end end %Matriz de rigidez espacial con 3 grados de libertad por planta KEG=[Kxx cero Kxt;cero Kyy Kyt;Kxt Kyt Kteta];Axmax=1; for jj=1:10; if isismo==1 for i=1:NP; Fx(i)=0; Ft(i)=F(i); end; Ft=Ft'; Momtor=0.05*disty*Axmax*Ft;Q=[Fx'; Fx'; Momtor]; else for i=1:NP; Fy(i)=0; Ft(i)=F(i+NP);end; Ft=Ft'; Momtor=0.05*distx*Axmax*Ft;Q=[Fy'; Fy'; Momtor]; end q=KEG\Q; for i=1:NP; FTx(i)=0; FTy(i)=0; MTxy(i)=0; qmax(i)=0; end; FTx=FTx';FTy=FTy';MTxy=MTxy'; qmax=qmax'; for i=1:ntot




184

ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;a=A(ji:jf,1:3*NP);p=a*q; Klateral=KLG(ji:jf,1:NP);FT=abs(Klateral*p); if isismo==1 if i<=nx if i==1 for j=1:NP q1(j)=abs(p(j)); end elseif i==iejes for j=1:NP q2(j)=abs(p(j)); end end FTx=FTx+FT; for j=1:NP if qmax(j)>=abs(p(j)); continue else qmax(j)=abs(p(j)); end end else FTy=FTy+FT; end else if i<=nx FTx=FTx+FT; else if i==ny for j=1:NP q1(j)=abs(p(j)); end elseif i==nx+ny for j=1:NP q2(j)=abs(p(j)); end end for j=1:NP if qmax(j)>=abs(p(j)); continue else qmax(j)=abs(p(j)); end end FTy=FTy+FT; end end end for j=1:NP qavg(j)=(q1(j)+q2(j))/2;Ax(j)=qmax(j)/(1.2*qavg(j)); if Ax(j)<=1; Ax(j)=1; end; if Ax(j)>3; Ax(j)=3; end; end Axmax=max(Ax);Ft=Ft';FTx=FTx';FTy=FTy'; qmax=qmax'; end if isismo==1 for i=1:NP FTy(i)=0;




185

end else for i=1:NP FTx(i)=0; end end MTxy=MTxy';FTx=FTx';FTy=FTy'; FTOR=[FTx;FTy;MTxy];F=F+FTOR; fprintf ('\n Fuerzas laterales en centro de masas, con torsion accidental');F %Control del Cortante Basal Minimo V=0; if isismo==1 for i=1:NP V=V+F(i); end else for i=1:NP V=V+F(i+NP); end end if Vmin > V; factor1=Vmin/V; F=factor1*F; end %Control de la deriva de la estructura en centro de masas %Matriz de rigidez de la estructura en coordenadas de piso con inercias gruesas q=KEG\F; qine=R*q; fprintf ('\n Desplazamientos laterales inelasticos en Centro de Masas');qine %Calculo de la deriva de los pisos en centro de masas for i=1:NP j=NP+1-i; if j==1 if isismo==1 drift(j)=qine(j)/alt(j); else drift(j)=qine(j+NP)/alt(j); end else if isismo==1 drift(j)=(qine(j)-qine(j-1))/alt(j); else drift(j)=(qine(j+NP)-qine(j+NP-1))/alt(j); end end end fprintf ('\n Derivas de piso evaluadas en centro de masas');drift=drift' driftmaximo=max(drift); fprintf ('\n Deriva maxima de piso sin control de P-Delta');driftmaximo %Control de efecto P-Delta for i=1:NP j=NP-i+1; if j==NP Peso(j)=masa(j,j)*9.8; if isismo==1 Corte(j)=F(j); else Corte(j)=F(j+NP); end else Peso(j)=masa(j,j)*9.8+Peso(j+1);




186

if isismo==1 Corte(j)=F(j)+F(j+1); else Corte(j)=F(j+NP)+F(j+NP+1); end end theta(j)=(Peso(j)/Corte(j))*(drift(j)/R); if theta(j)>=0.30 fprintf ('\n Estructura debe ser reforzada'); elseif theta(j)>=0.10 & theta(j)<0.30 fpd(j)=1/(1-theta(j)); else fpd(j)=1; end end fprintf ('\n Indice de estabilidad de piso');theta=theta' F=max(fpd)*F;V=sum(F);driftmaximo=max(fpd)*driftmaximo; fprintf ('\n Deriva maxima de piso con control de P-Delta');driftmaximo fprintf ('\n Fuerzas laterales finales en centro de masas luego de controles');F % fuerzas laterales en los porticos, if isismo==1 for i=1:nx ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP; a=A(ji:jf,1:3*NP); p=a*q;Klateral=KLG(ji:jf,1:NP); fprintf ('\n Fuerza lateral en portico :');i FT=Klateral*p end else for i=nx+1:nx+ny ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP; a=A(ji:jf,1:3*NP); p=a*q;Klateral=KLG(ji:jf,1:NP); fprintf ('\n Fuerza lateral en portico :');i FT=Klateral*p end end %---fin

• EJEMPLO 2

Presentar la entrada de datos y la forma de ejecución de los programas RLAXINFI y MODALESPACIAL3GDLMAX para realizar el análisis sísmico en sentido X, de la vivienda de dos pisos ubicada en la ciudad de Quito sobre un perfil de suelo S2, descrito en el ejemplo 1.

• SOLUCIÓN

El archivo de datos de las secciones del pórtico en sentido longitudinal se denomina casa y del pórtico transversal casay, para encontrar la matriz de rigidez lateral. Los dos se hallan en la partición c.

>> load c:\casa % Carga del archivo de datos de pórtico en sentido X >> [KL] = rlaxinfi(casa) % Cálculo de matriz de rigidez de pórtico en sentido X Número de nudos: 9 Número de pisos: 2




187

Número de nudos restringidos: 3 Módulo de elasticidad: 1738965.21 Calcula con: Inercias gruesas, código=0. Con inercias agrietadas, código=1 Ingrese código de inercias: 1 % Se obtiene primero con inercias agrietadas. Matriz de rigidez lateral: KL = 1.0e+003 * 1.2435 -0.4926 -0.4926 0.3179 >> KL1=KL >> load c:\casay % Carga de archivo de datos de pórtico en sentido Y. >> [KL]=rlaxinfi(casay) % Cálculo de matriz de rigidez de pórtico en sentido Y Número de nudos: 6 Número de pisos: 2 Número de nudos restringidos: 2 Módulo de elasticidad: 1738965.21 Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1 Ingrese codigo de inercias :1 % Se obtiene con inercias agrietadas. Matriz de rigidez lateral : KL = 404.8093 -171.7738 -171.7738 124.7962 >> KLA=[KL1; KL1; KL; KL; KL] % Matrices de rigidez lateral con inercias agrietadas KLA = 1.0e+003 * 1.2435 -0.4926 -0.4926 0.3179 1.2435 -0.4926 -0.4926 0.3179 0.4048 -0.1718 -0.1718 0.1248 0.4048 -0.1718 -0.1718 0.1248 0.4048 -0.1718 -0.1718 0.1248 >> [KL]=rlaxinfi(casa) % Cálculo de matriz de rigidez con inercias gruesas Numero de nudos:9 Numero de pisos:2 Numero de nudos restringuidos:3




188

Modulo de elasticidad:1738965.21 Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1 Ingrese codigo de inercias :0 Matriz de rigidez lateral : KL = 1.0e+003 * 1.6510 -0.6848 -0.6848 0.4806 >> KL1G=KL >> [KL]=rlaxinfi(casay) % Cálculo de matriz de rigidez con inercias gruesas Numero de nudos:6 Numero de pisos:2 Numero de nudos restringuidos:2 Modulo de elasticidad:1738965.21 Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1 Ingrese codigo de inercias :0 Matriz de rigidez lateral : KL = 534.4669 -236.2586 -236.2586 185.2500 >> KLG=[KL1G; KL1G; KL; KL; KL] % Matrices de rigidez lateral con inercias gruesas KLG = 1.0e+003 * 1.6510 -0.6848 -0.6848 0.4806 1.6510 -0.6848 -0.6848 0.4806 0.5345 -0.2363 -0.2363 0.1853 0.5345 -0.2363 -0.2363 0.1853 0.5345 -0.2363 -0.2363 0.1853 >> pesoD=[18; 18]; % Pesos debidos a carga muerta por pisos >> pesoL=[1.8; 1.8]; % Fracción del peso de carga viva por piso >> altura=[3.0; 6.0]; % Altura de los pisos >> r=[-2; 2; -4.5; -0.5; 4.5]; % Distancia del centro de masa a los pórticos >> [V]=modalespacial3gdl (2,altura,pesoD,pesoL,KLA,KLG,r)




189

Número total de pórticos de la estructura: 5 Códigos para análisis sísmico: Sentido X=1 Sentido Y=2 Ingrese código de sentido de análisis sísmico: 1 Códigos para zonas sísmicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 04g=4 Ingrese el código de la zona sísmica: 4 Códigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4 Indique el código del tipo de suelo: 2 Indique el factor de importancia: 1 Indique el factor de irregularidad en planta: 1 Indique el factor de irregularidad en elevación: 1

Los resultados que reporta el programa son los indicados en el ejemplo 2 y se resumen de la tabla 6.7 a 6.9.

Tabla 6.7 Vector de cargas y de coordenadas inelásticas en el Centro de Masa. Grado de Libertad

Fuerzas laterales y momentos, sin torsión

accidental

Fuerzas laterales y momentos, con torsión

accidental

Desplazamientos y giros inelásticos

1 1.8143 T. 1.9062 T. 0.0364 m. 2 4.2843 T. 4.4100 T. 0.0794 m. 3 0 0 0 4 0 0 0 5 0 0 0 6 0 0 0

6.0533.60 == RTV MIN

Tabla 6.8 Derivas de piso e índice de estabilidad de piso. Piso Deriva de piso

iγ Índice de estabilidad de

piso iθ 1 0.0121 0.0760 2 0.0143 0.0643 0143.0=γ (Deriva de piso máxima considerando el control de efecto ∆−P .

Tabla 6.9 Fuerzas laterales máximas probables en los pórticos en sentido X. Piso Pórtico 1 Pórtico 2

1 0.9531 T. 0.9531 T. 2 2.2050 T. 2.2050 T.

6.6 EFECTO ∆−P

Con el propósito de entender un poco más sobre el efecto ∆−P , en la figura 6.5 a la izquierda, se presenta un sistema de un grado de libertad sobre el que actúa una fuerza sísmica F . Por efecto de esta fuerza el sistema se desplaza horizontalmente . El sistema tiene un peso total

∆P , el mismo que genera un momento de volteo en la estructura deformada,

que vale: . ∆P




190

Figura 6.5 Descripción del efecto ∆−P en un sistema de un grado de libertad.

Este momento de volteo genera un par de cortantes, que se indican a la derecha de la

figura 6.5, los mismos que al multiplicarse por la altura se oponen al momento de volteo. De tal manera que existe un momento de volteo de magnitud

h∆P y un momento resistente .

La relación de estos momentos define el índice de estabilidad de piso. hV

hVP ∆

=θ

En la figura 6.5 se aprecia que ∆ es el desplazamiento relativo del piso con respecto

al suelo. Esto debido a que se trata de una estructura de 1 piso, si fuera de más pisos es el desplazamiento relativo de piso, también conocido como deriva, a secas. El desplazamiento ∆ es calculado en forma elástica.

En la figura 6.6 se presenta el modelo numérico de cálculo de una estructura de tres

pisos, donde las fuerzas F mostradas a la izquierda, son las fuerzas equivalentes debidas a la acción sísmica. Estas fuerzas F generan los desplazamientos horizontales de piso . q

Figura 6.6 Cálculo del efecto ∆−P en una estructura de varios pisos.




191

La forma de cálculo de estos desplazamientos ha sido ya descrita anteriormente. Sin embargo se lo repite muy rápidamente. El vector de cargas Q (transpuesto) es

. Los desplazamientos se hallan de la solución del sistema de ecuaciones . Donde es la matriz de rigidez de la estructura.

[ 321 FFFQt = ]qKQ = K Ahora en la estructura deformada se genera en cada piso unos cortantes V indicados

en la figura 6.5 y 6.6. Estos cortantes producen un nuevo vector de cargas . ∆−PQ

∆−PQ( )

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3

233

2

122

1

11

3

2

1

hqqP

hqqP

hqP

VVV

( 6.19 )

Este vector produce nuevos desplazamientos en la estructura deformada y por

ende nuevas fuerzas en todos sus elementos. Lo más apropiado es calcular estos desplazamientos con análisis no lineal.

∆−PQ

El efecto ∆−P es muy importante en estructuras esbeltas, de varios pisos. En

estructuras de pocos pisos y con dimensiones adecuadas el índice de estabilidad de piso será bajo y se puede ignorar el efecto ∆−P .

• EJEMPLO 3 Presentar los resultados del análisis sísmico en sentido Y de la estructura del ejemplo

anterior.

• SOLUCIÓN

Dos cambios se deben realizar en la entrada de datos, el primero que en sentido Y se

tienen 3 pórticos, y el segundo cambio es referente al código del sentido de análisis sísmico que ahora es 2. >> [V]=modalespacial3gdl (4,3,altura,pesoD,pesoL,KLI,KLG,r) Número total de pórticos de la estructura: 5 Códigos para análisis sísmico: Sentido X=1 Sentido Y=2 Ingrese código de sentido de análisis sísmico: 2

Los restantes datos son los ya indicados.




192

6.7 TORSIÓN ACCIDENTAL

En apartados anteriores de este capítulo, se ha visto como se aborda la torsión accidental a la luz de lo estipulado por el CEC-2000 pero ahora se presentan causas que dan origen a la torsión accidental. Estas son: a) Variación del Centro de Rigidez; y, b) Variación del Centro de Masa.

Se obtiene el Centro de Rigidez C.R., para unas determinadas dimensiones de los

elementos estructurales, para un determinado módulo de elasticidad, para una geometría determinada de los pórticos. Ahora, cuando se construye la estructura las secciones de los elementos estructurales pueden sufrir ligeras modificaciones, lo propio con la calidad de los materiales utilizados y la geometría de los pórticos. Este tema de la incertidumbre de la rigidez en la torsión accidental ha sido estudiado por varios autores entre ellos De La Llera y Chopra (1994). En efecto, la figura izquierda de 6.7, se indica en que porcentaje varía el C.R., , con respecto a la dimensión perpendicular a la del análisis sísmico

( )CRe∆B por la incertidumbre de

la rigidez, para estructuras de hormigón armado; se aprecia que el C.R. puede llegar a variar hasta en un 6% con un valor medio de 1.4%.

Figura 6.7 Variación del Centro de Rigidez y del Centro de Masas.




193

Por otra parte, existe también incertidumbre en la variación del Centro de Masa C.M., debido a que no se cumplen las hipótesis con las cuales se obtuvieron ciertas fórmulas, como el momento de inercia de la masa, debido también a que en la vida de la estructura las masas no están distribuidas como se realizó el análisis sísmico. Todo esto conlleva a que el C.M. experimente una variación y no se halle donde el proyectista estructural ha calculado. En la figura de la derecha de 6.7. Hernández y López (2003) se observa que la variación del C.M., puede llegar a ser hasta del 7% y el valor medio es del 2%.

Si, el C.M., y el C.R., se utilizan para medir la excentricidad estática y si tanto el C.M.,

como el C.R., varían es lógico pensar que se tiene una incertidumbre, la misma que es cubierta por la torsión accidental.

Otras fuentes de incertidumbre, que dan origen a la torsión accidental, son: a) La

incorporación de la rotación del suelo en el análisis sísmico; b) la respuesta inelástica de una estructura; c) la determinación del Centro de Resistencia de una estructura en base a la capacidad sísmica resistente de los pórticos; entre otros. Lo cierto que es un tema que todavía se sigue investigando. De la Colina y Almeida (2004).

Como se ha indicado en el capítulo 4, la torsión accidental se la cubre por medio del

parámetro β . En la tabla 6.10 se indica este valor de algunas normativas sísmicas. Se destaca que no se puede comparar a secas los valores de β sino también con los valores de α y δ que son los factores de amplificación dinámica y el factor de control, es decir la comparación debe hacerse en la forma total como se obtiene el momento de torsión y por que no decirlo en la forma como se realiza el análisis sísmico.

Tabla 6.10 Parámetros que definen la excentricidad de diseño. Normativa Sísmica α δ β

México (1995) 1.5 1.0 0.10 Nueva Zelanda (1992) 1.0 1.0 0.10 Canadá (1985) 1.5 0.5 0.10 Venezuela (2001) Ec. Indicadas en Cap 4 Ec. Indicadas en Cap 4 0.06 CEC-2000 1.0 1.0

xA∗05.0

REFERENCIAS




3. De la Colina J., and Almeida C., (2004), “Probabilistic study on accidental torsión of low-rise buildings”, Earthquake Spectra, 20 (1), 25-41.

4. De La Llera J., and Chopra A., (1994), Accidental and natural torsión in earthquake

response and designo f buildings, Earthquake Engineering Research Center. University of California at Berkeley, UCB/EERC-94-07, 291 p.

5. Gaceta Oficial del Distrito Federal, (1995), Normas Técnicas Complementarias para

diseño por sismo, México.




194

6. Hernández J., y López O., (2003), “Evaluación de reglas de combinación de respuestas

estructurales ante dos componentes sísmicas cuasi-horizontales y una cuasi-vertical”, Instituto de Materiales y Modelos Estructurales. Universidad Central de Venezuela, 41 (1), 1-16, Caracas, Venezuela.




9. NRCC., (1990, National Building Code of Canada, Associate Committee on the National

Building Code. National Research Council of Canada, Ottawa.

10. SANZ (1992), Code of practice for general structural design and design loadings for buildings. NZS 4203: 1992, Standards Association of New Zealand, Wellington.



CAPÍTULO 8

RESPUESTA EN EL TIEMPO Y CENTROS DE: RIGIDEZ, CORTE Y DE GIRO

RESUMEN

Se presenta el programa denominado BASERIGIDANEW, elaborado en MATLAB que sirve para encontrar la respuesta en el tiempo de estructuras espaciales de varios pisos, con base empotrada, en el rango elástico, considerando tres grados de libertad por planta. El usuario tiene la opción de seleccionar si desea la respuesta en desplazamientos o en fuerzas, en los pórticos extremos de los pórticos.

De igual forma puede pedir la respuesta para todo el tiempo de duración del sismo o

para cierto intervalo. En ésta último opción se visualiza mejor la respuesta para el intervalo seleccionado.

Existen tres definiciones que se han venido utilizando para determinar la excentricidad

estática de una estructura, ellas son: el Centro de Rigidez, el Centro de Giro y el Centro de Corte; cada una de estas definiciones son presentadas en éste capítulo. Se destaca que el Centro de Rigidez siempre existe en estructuras de un piso, en estructuras de varios pisos solo existe en estructuras compensadas.

El Centro de Giro, es otra definición utilizada para cuantificar la excentricidad estática y

por ende la torsión en planta de una estructura, se presenta la forma de evaluar y se destaca que el Centro de Giro depende de las fuerzas aplicadas o de los momentos de torsión aplicados.

Finalmente se presentan algunas propuestas para hallar el Centro de Corte, todo esto

para determinar la excentricidad estática en el rango elástico.

8.1 INTRODUCCIÓN

En los capítulos anteriores se ha estudiado, el análisis sísmico de estructuras ante un espectro inelástico; para el efecto, se ha encontrado las respuestas máximas probables




216

empleando el Método de Superposición Modal. Ahora interesa ilustrar el cálculo de la respuesta en el tiempo, en el rango elástico, de una estructura ante un acelerograma.

El objetivo que se persigue, en los próximos capítulos, es ver como influyen los

aisladores de base y/o disipadores de energía en el comportamiento estructural de edificios. Para ello se necesita conocer en primer lugar su comportamiento con base empotrada, para comparar este comportamiento con el de estructuras con aisladores de base y/o disipadores de energía. Por este motivo se cambia la nomenclatura que se ha venido utilizando para incorporar en el próximo capítulo los aisladores de base. En la figura 8.1 se presenta la nueva nomenclatura utilizada para definir los grados de libertad.

Figura 8.1 Grados de libertad considerados en el estudio

Se denomina al vector que contiene a los grados de libertad del modelo numérico de

análisis, adoptado. El mismo que está compuesto por los sub vectores u

)( xu que contiene todos los desplazamientos horizontales en sentido X, medidos desde el primer piso hasta el último piso; )( yu que contiene los desplazamientos horizontales en sentido Y, y por último )(θu que contiene las rotaciones de piso ( torsión).

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=)(

)(

)(

θuuu

u y

x

=)( xu

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

)(

)(2

)(1

xn

x

x

u

u

u

=)( yu

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

)(

)(2

)(1

yn

y

y

u

u

u

=)(θu

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

)(

)(2

)(1

θ

θ

θ

nu

u

u

El sistema de ecuaciones diferenciales que gobierna el problema dinámico es el siguiente:




217

gsssss urMuKuCuM )()()()()( −=++ ( 8.1 )

Donde son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez,

respectivamente; son los vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración,

respectivamente; es el vector que relaciona los grados de libertad con el sentido del análisis sísmico; es el vector que contiene la aceleración del registro para el cual se desea realizar el análisis sísmico.

)()()( ,, sss KCMuuu ,,

)(srgu

Si se desea realizar un análisis sísmico en sentido X, el vector transpuesto, será: )(sr[ 001=

tsr )( ]; para el análisis sísmico en Y, el vector es: )(sr [ ]010=tsr )( ;

para encontrar la respuesta ante una componente torsional de movimiento de suelo

[ ]100=tsr )( . Siendo 10, los vectores compuestos por ceros y unos de orden igual

al número de pisos de la estructura. Estos tres casos de posible análisis sísmico se los puede agrupar de la siguiente manera:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

100010001

)(sr ( 8.2 )

En los capítulos anteriores se tenía sin ningún índice ya que no se pensaba

incluir aisladores de base. Ahora se coloca el índice para hacer referencia que es de la estructura.

KCM ,,s

8.2 MATRICES DE RIGIDEZ, MASA Y AMORTIGUAMIENTO

La matriz de rigidez )(sK se había denominado en el capítulo 3 como y se lo ha venido utilizando en los capítulos anteriores, razón por la cual se la copia a continuación sin necesidad de describir las submatrices que contiene. Únicamente es a nivel de recordatorio.

EK

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==

θθ

θ

θ

KKKKKK

KK YYY

XXYXX

Es)( ( 8.3 )

La matriz de masa también se ha indicado en otros capítulos. Sin embargo se la

presenta nuevamente pensando en el siguiente capítulo en que se realice el análisis sísmico de estructuras con aisladores de base.

)(sM

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=)(

)(

)(

)(

s

s

s

s

Jm

mM

( 8.4 )




218

=)(sm

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

i

m

m

mm

2

1

( 8.5 )

=)(sJ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

i

J

J

JJ

2

1

( 8.6 )

( )22

12 iii

i bam

J += ( 8.7 )

Donde es la masa del piso i; es el momento de inercia de la masa con respecto al Centro de Masa C.M..; , son las dimensiones en planta de la losa del piso i.

im iJ

ia ib La matriz de amortiguamiento se halla empleando el algoritmo de Wilson y

Penzien (1972) la misma que se obtiene de la siguiente manera.

)(sC

∑=

=n

ii

s CC1

)( ( 8.8 )

( )( ))()(2 stii

s

i

niii MM

MW

C φφξ

∗= ( 8.9 )

ist

ii MM φφ )(* = ( 8.10 )

Siendo iφ , el modo de vibración i; es la frecuencia natural del modo i; niW iξ es el factor de amortiguamiento del modo i.

• EJEMPLO 1

Encontrar la matriz de amortiguamiento tipo Wilson y Penzien (1972) para la estructura de dos pisos del capítulo 6, cuyas matrices de rigidez y de masas, se indican a continuación. Considerar que

C

ξ es igual en todos los modos de vibración y vale 0.05.




219

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−

=

7629109400.26444

0.620.864.3740.860.2023.5154.12140.00.00.00.08.6350.00.00.00.01.9851.2487

)(sK

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

3316.163316.16

0204.20204.2

0204.20204.2

)(sM

• SOLUCIÓN

Para desarrollar el ejemplo y para que se entienda la forma de cálculo de la matriz de amortiguamiento, se ha desarrollado el programa AMORTIGUAMIENTOGENERAL, que se indica a continuación. Se deben dar como datos las matrices de rigidez y de masas. Al igual que el vector zeda. Para este caso el vector zeda transpuesto vale:

]05.005.005.005.005.005.0[=tzeda

function [C]=amortiguamientogeneral(K,M,zeda) % % Calculo de la matriz de amortiguamiento para cualquier estructura % Empleando el Algoritmo de Wilson y Penzien. El usuario debe dar % como datos las matrices de rigidez y amortiguamiento, al igual que % zeda que se considera igual para todos los modos de vibracion. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI ESPE % Enero de 2008 % ----------------------------------------------------------------- % [C]=amortiguamientogeneral(K,M,zeda) % ----------------------------------------------------------------- % K Matriz de rigidez de la estructura. % M Matriz de masas de la estructura. % T Periodos de vibracion. % C Matriz de amortiguamiento. % zeda Vector que contiene los coeficientes de amortiguamiento. % NP=length (K);C=zeros(NP,NP); [V,D]=eig(K,M); Wn=sqrt(D); W=diag(Wn);




220

for i=1:NP fi=V(:,i); mi=fi'*M*fi; aux=2*zeda(i)*W(i)/mi; C=C+aux.*M*fi*fi'*M; end fprintf ('\n Matriz de amortiguamiento') C % ---fin

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−

=

5167.293506.191485.00963.00.00.07973.620935.02971.00.00.0

3194.24768.10.00.07268.40.00.0

9431.20455.27871.6

C

8.3 RESPUESTA EN EL TIEMPO

Para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales, definido en ( 8.1 ) por el Método denominado Procedimiento de Espacio de Estado. Se denomina al término de la derecha. )(sQ

gsss urMQ )()()( −=

Luego la ecuación ( 8.1 ) queda:

)()()()( ssss QuKuCuM =++ ( 8.11 )

Al multiplicar la ecuación ( 8.11 ) por 1)( −sM , por la izquierda, se halla:

)(1)()(1)()(1)( ssssss QMuKMuCMu −−−=++ ( 8.12 )

Como artificio numérico de cálculo se introduce la siguiente ecuación:

0=− uu ( 8.13 )

Se introduce la siguiente notación:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

uu

Xuu

X ( 8.14 )

Con esta notación, las ecuaciones ( 8.13 ) y ( 8.12 ), se convierten en:

rXFX += ( 8.15 )




221

Donde:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−= −− )()()()( ssss CMKM

IF 11

0 ( 8.16 )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= − )()( ss QM

r 1

0 ( 8.17 )

La solución del sistema es la siguiente:

( )kkkkk rrPrPXAX −++= +++ 12111 ( 8.18 ) Siendo:

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∆

=

−=

=

−

−

∆

APt

FP

IAFPeA Ft

11

2

11

1

( 8.19 )

( 8.20 )

( 8.21 )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−=−−

−

0

111

IMKCKF

ssss )()()()(

En la ecuación ( 8.18 ) el subíndice k corresponde al instante de tiempo k y el subíndice k+1 al instante de tiempo k+1. En la ecuación ( 8.19 ), t∆ es el incremento de tiempo con el cual se desea hallar la respuesta en el tiempo. López et al (1988).

8.4 PROGRAMA BASERIGIDANEW

El programa que halla la respuesta en el tiempo de una estructura, ante un sismo

definido por su acelerograma, se denomina BASERIGIDANEW. En este programa se han obtenido las matrices de rigidez, masa, amortiguamiento y vector de cargas generalizadas en la forma indicada en los apartados anteriores. La solución dinámica del sistema de ecuaciones diferenciales se lo ha realizado con el método denominado: Procedimiento de Espacio de Estado.




222

Figura 8.2 Geometría en planta que considera el programa BASERIGIDANEW

En zonas de alta peligrosidad sísmica, es conveniente que las estructuras tengan una configuración en planta rectangular, lo ideal es que sean cuadradas en planta. Si se tiene geometrías en forma de “C” o de “L”, mediante el empleo de juntas de construcción se pueden tener bloques rectangulares.

Pero en caso de que se mantenga la planta en forma de “C” o de “L”, hay que

encontrar el centro de masa y evaluar el momento de inercia de la masa . Este cálculo demanda cierto tiempo, para evitar esto el programa BASERIGIDANEW lo determina, las geometrías indicadas en la figura 8.2 de acuerdo al código de la tabla 8.1

J

Tabla 8.1 Códigos para distintas configuraciones en planta. PLANTA CÓDIGO

Rectangular 1 En forma de “L” 2 En forma de “C” 3 Usuario ingresa momentos de inercia 4

La información del tipo de planta se indica por consola, al igual que los datos que deben indicarse de acuerdo a la nomenclatura de la figura 8.2. Con esta acotación la forma de entrada de datos es la siguiente: >> [T]=baserigida(NP,seda,iejes,pesoD,pesoL,KLG,r,sismo,dt)

• NP Número de pisos. • seda Factor de amortiguamiento de la estructura. • iejes Número de ejes en el sentido de análisis sísmico. • pesoD Vector que contiene los pesos, de piso, debido al estado de carga D. • pesoL Vector que contiene el porcentaje del peso de piso debido a carga L. • KLG Matriz que contiene las matrices de rigidez de cada uno de los pórticos

con inercias gruesas. • r Vector que contiene la distancia del C.M. a cada pórtico, con signo. • sismo Nombre del archivo para el cual se realiza el análisis sísmico. • dt Incremento de tiempo del acelerograma. Se encuentra la respuesta en el

tiempo para este incremento de tiempo.

Para ejecutar el programa BASERIGIDA se debe tener también instalado el programa PSE3, que encuentra la respuesta por el Procedimiento de Espacio de Estado.




223

function [T]=baserigidanew(NP,seda,iejes,pesoD,pesoL,KLG,r,sismo,dt) % % Analisis sismico en el tiempo, espacial de estructuras con base empotrada % por el Metodo de procedimiento de espacio de estado considerando 3 gdl por planta. % % Por: Roberto Aguiar Falconi y Cristina Carrillo % CEINCI-ESPE % Junio de 2007 %---------------------------------------------------------------------------------- % [T]=baserigidanew(NP,seda,iejes,pesoD,pesoL,KLG,r,sismo,dt) %---------------------------------------------------------------------------------- % % seda Factor de amortiguamiento de la superestructura. % iejes # de ejes de columnas en el sentido de analisis sismico. % alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde la base. % pesoD Vector que contiene la carga muerta D de cada piso. % pesoL Vector que contiene la carga viva L de cada piso. % KLG Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de todos los % porticos con inercias gruesas. Primero los de sentido X. % r Vector que contiene la distancia del portico al centro de masa, de % cada uno de los porticos, con signo, positivo antihorario. % rs Matriz de colocacion de la aceleracion del suelo en gdl superestructura % rb Vector de colocacion de la aceleracion del suelo en gdl de la base % sismo Archivo que contiene el acelerograma % dt Incremento de tiempo del acelerograma % ace aceleracion total en la superestructura % F Fuerza estatica que actua en cada piso de la superestructura % utot Matriz que contiene los desplazamientos de superestructura en cada % incremento de tiempo. En las filas estan los incrementos de tiempo. % p Matriz que contiene la respuesta en el tiempo de cada portico. % La fila 1 es para el portico 1, la 2 para el 2, etc. % A Matriz de paso de coordenadas de piso a coordenadas de portico. Las % primeras filas son para el portico 1 las siguientes para el 2, etc. % NP Numero de pisos % KS Matriz de rigidez de superestructura en coordenadas de piso. % MS Matriz de masa de superestructura en coordenadas de piso. % CS Matriz de amortiguamiento de superestructura en coordenadas de piso. % qt Matriz que contiene desplazamientos de la base para todos los gdl. % vt Matriz que contiene velocidades de la base para todos los gdl. % q Vector que contiene solo historia de desplazamientos de la base. % Ax Factor de mayoracion de la torsion accidental en edificios con % irregularidades torsionales % % Programa facilita el calculo del momento de inercia de la masa en: % Plantas en forma de L, en forma de C. para ello debe indicar los códigos % 1 para planta rectangular, 2 para planta en “L”, 3 para planta en “C” % y 4 cuando el usuario desea dar los momentos de inercia. % ntot=input ('\n Numero total de porticos de la estructura :'); fprintf ('\n Codigos para analisis sismico: Sentido X=1 Sentido Y=2'); isismo=input ('\n Ingrese codigo de sentido de analisis sismico :'); rs=zeros(3*NP,3); if isismo==1;nx=iejes; ny=ntot-nx; var=2;for j=1:NP; rs(j,1)=1; end; else;ny=iejes; nx=ntot-ny;var=1;for j=1:NP; rs(j+NP,2)=1; end; end; %Submatrices de rigidez: KEE, con inercias gruesas




224

Kxx=zeros(NP,NP);Kyy=zeros(NP,NP);Kteta=zeros(NP,NP);cero=zeros(NP,NP); Kxt=zeros(NP,NP);Kyt=zeros(NP,NP);for k=1:NP;identidad(k,k)=1;end; for i=1:ntot for k=1:NP rtet(k,k)=r(i); end rteta=rtet*rtet; ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP; if i<=nx Kxx=Kxx+KLG(ji:jf,1:NP);Kxt=Kxt+KLG(ji:jf,1:NP)*rtet; Kteta=Kteta+KLG(ji:jf,1:NP)*rteta; A(ji:ji+NP-1,:)=[identidad cero rtet]; else Kyy=Kyy+KLG(ji:jf,1:NP);Kyt=Kyt+KLG(ji:jf,1:NP)*rtet; Kteta=Kteta+KLG(ji:jf,1:NP)*rteta; A(ji:ji+NP-1,:)=[cero identidad rtet]; end end %Matriz de rigidez espacial con 3 grados de libertad por planta KS=[Kxx cero Kxt;cero Kyy Kyt;Kxt Kyt Kteta]; fprintf ('\n Matriz de rigidez con base empotrada') KS %Matriz de masas disty=abs(r(1))+abs(r(nx));distx=abs(r(nx+1))+abs(r(ntot)); for i=1:NP; masaD(i)=pesoD(i)/9.8; masaL(i)=pesoL(i)/9.8; mas(i)=masaD(i)+masaL(i);end masa=zeros(NP,NP);for i=1:NP; masa(i,i)=mas(i);end mj=zeros(NP,NP); fprintf ('\n Si la planta de su estructura es rectangular digite 1, si se trata de una "L" digite 2,'); fprintf ('\n si es una "C" digite 3 y si no concuerda con ninguna de las anteriores digite 4'); inercia=input('\n Ingrese codigo :'); if inercia==1 for i=1:NP, mj(i,i)=mas(i)*(distx^2+disty^2)/12;end else if inercia==2 aa=input ('\n Ingrese a :'); a1=input ('\n Ingrese a1 :'); b=input ('\n Ingrese b :'); b1=input ('\n Ingrese b1 :'); Area1=a1*b; Area2=(aa-a1)*b1; At=Area1+Area2; x1=a1/2; y1=b/2; x2=a1+(aa-a1)/2; y2=b1/2; xg=(Area1*x1+Area2*x2)/At; yg=(Area1*y1+Area2*y2)/At; d1=sqrt((x1-xg)^2+(y1-yg)^2); d2=sqrt((x2-xg)^2+(y2-yg)^2); for i=1:NP, mj(i,i)=mas(i)*Area1/At*(a1^2+b^2)/12+mas(i)*Area2/At*((aa-a1)^2+b1^2)/12+mas(i)*Area1/At*(d1^2)+mas(i)*Area2/At*(d2^2); end else if inercia==3 aa=input ('\n Ingrese a :'); a1=input ('\n Ingrese a1 :'); a2=input ('\n Ingrese a2 :'); b=input ('\n Ingrese b :'); b1=input ('\n Ingrese b1 :'); b2=input ('\n Ingrese b2 :'); Area1=aa*b; Area2=a1*b1; Area3=a2*b2; At=Area1+Area2+Area3;




225

x1=aa/2; y1=b/2; x2=aa+a1/2; y2=b-b1/2; x3=aa+a2/2; y3=b2/2; xg=(Area1*x1+Area2*x2+Area3*x3)/At; yg=(Area1*y1+Area2*y2+Area3*y3)/At; d1=sqrt((x1-xg)^2+(y1-yg)^2); d2=sqrt((x2-xg)^2+(y2-yg)^2); d3=sqrt((x3-xg)^2+(y3-yg)^2); for i=1:NP, mj(i,i)=mas(i)*Area1/At*(aa^2+b^2)/12+mas(i)*Area2/At*(a1^2+b1^2)/12+mas(i)*Area3/At*(a2^2+b2^2)/12+mas(i)*Area1/At*(d1^2)+mas(i)*Area2/At*(d2^2)+mas(i)*Area3/At*(d3^2); end else for i=1:NP fprintf ('\nIndique el momento de inercia del piso %i',i) mj(i,i)=input ('\nMomento de inercia: '); end end end end mj MS=[masa cero cero;cero masa cero;cero cero mj]; fprintf ('\n Matriz de masa con base empotrada') MS % Matriz de amortiguamiento, tipo Wilson y Penzien (1982) for i=1:3*NP; zeda(i)=seda; end;zeda=zeda'; CS=zeros(3*NP,3*NP);[V,D]=eig(KS,MS);W=sqrt(diag(D)); % Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor [Wn,II]=sort(W); for i=1:3*NP; fi(:,i)=V(:,II(i));end; T=2*3.141592/Wn(1); for i=1:3*NP ff=fi(:,i);mi=ff'*MS*ff;aux=2*zeda(i)*Wn(i)/mi; CS=CS+aux.*MS*ff*ff'*MS; end fprintf ('\n Matriz de amortiguamiento con base empotrada') CS % Analisis con desplazamientos o fuerzas fprintf ('\n Si desea realizar el analisis con desplazamientos digite 1, si desea el analisis con fuerzas digite 2') fprintf ('\n Si desea realizar el analisis de Ax digite 3') dof=input ('\n Ingrese el codigo de desplazamientos, fuerzas o Ax:'); % Determinacion del intervalo de analisis fprintf ('\n Si desea obtener el grafico del comportamiento de la estructura en un cierto intervalo de tiempo digite 1,') fprintf ('\n caso contrario digite 2'); intervalo=input ('\n Ingrese el codigo de intervalo de analisis sismico :'); if intervalo==1 inf=input ('\n Ingrese el limite inferior (segundos) :'); ii=inf/dt; sup=input ('\n Ingrese el limite superior (segundos) :'); jj=sup/dt; end fprintf ('\n Tenga paciencia el programa esta corriendo, se demora unos segundos \n') if isismo==1 rs=rs(:,1); else rs=rs(:,2); end Qo=MS*rs*(-1); % Procedimiento de Espacio de Estado [qt,vt,q]=pse3(MS,CS,KS,Qo,sismo,dt,var);




226

npuntos=length(sismo); % Respuestas en porticos extremos, en ultimo piso for i=1:npuntos-1; t(i)=i*dt; end % Matrices de rigidez lateral de porticos extremos KLGx1=KLG(1:NP,1:NP); KLGxnx=KLG((NP*(nx-1)+1):NP*nx,1:NP); KLGy1=KLG(NP*nx+1:NP*(nx+1),1:NP); KLGynt=KLG(NP*(ntot-1)+1:NP*ntot,1:NP); % Desplazamientos y Fuerzas de cada portico for i=1:ntot ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;a=A(ji:jf,1:3*NP); for j=1:npuntos-1; for k=1:3*NP; dd(k)=qt(j,k); end dd=dd';p=a*dd;dd=dd'; desp(j,i)=abs(p(NP)); despNP(j,i)=abs(p(NP)); if i==1 & isismo==1 p1(j)=p(NP);P1=KLGx1*p; for k=1:NP; PP1(j,k)=P1(k);end end if i==nx & isismo==1; pnx(j)=p(NP); PNX=KLGxnx*p; for k=1:NP; PPNX(j,k)=PNX(k);end end if i==nx+1 & isismo==2; p2(j)=p(NP); P2=KLGy1*p; for k=1:NP; PP2(j,k)=P2(k);end end if i==ntot & isismo==2; pnt(j)=p(NP); PNY=KLGynt*p; for k=1:NP; PPNY(j,k)=PNY(k);end end end end if isismo==1 desp1=desp(:,1:nx); despav(:,1)=desp(:,1); despav(:,2)=desp(:,nx); else desp1=desp(:,nx+1:ntot); despav(:,1)=desp(:,nx+1); despav(:,2)=desp(:,ntot); end despavg=mean(despav,2); despmax=max(desp1,[],2); for j=1:npuntos-1 AAx(j,1)=(despmax(j,1)/(1.2*despavg(j,1)))^2; end davg=max(despavg) dmax=max(despmax) Ax=(dmax/(1.2*davg))^2 Axmax=max(AAx) % Fuerzas en porticos extremos, ultimo piso




227

if isismo==1 for j=1:npuntos-1 F1(j)=PP1(j,NP); Fnx(j)=PPNX(j,NP); end else for j=1:npuntos-1 F2(j)=PP2(j,NP); Fny(j)=PPNY(j,NP); end end % Determinacion de intervalos y dibujo de respuestas maximas de % desplazamiento (m) en el ultimo piso if intervalo==1 & dof==1 if isismo==1 for n=1:jj-ii tint(n)=t(ii); p1int(n)=p1(ii); pnxint(n)=pnx(ii); ii=ii+1; end p1int=p1int';pnxint=pnxint'; subplot (2,1,1);plot(tint,p1int); ylabel ('Desplazamiento (m)');title('Desplazamiento ultimo piso. Portico 1'); subplot (2,1,2); plot(tint,pnxint); xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Desplazamiento (m)'); title ('Desplazamiento ultimo piso. Portico Extremo en sentido X'); else for n=1:jj-ii tint(n)=t(ii); p2int(n)=p2(ii); pntint(n)=pnt(ii); ii=ii+1; end p2int=p2int';pntint=pntint'; subplot (2,1,1);plot(tint,p2int); ylabel ('Desplazamiento (m)');title('Desplazamiento ultimo piso. Portico 1'); subplot (2,1,2); plot(tint,pntint); xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Desplazamiento (m)'); title ('Desplazamiento ultimo piso. Portico Extremo en sentido Y'); end end % Dibujo de respuestas maximas en porticos exteriores en ultimo piso if intervalo==2 & dof==1 if isismo==1 p1=p1';pnx=pnx'; subplot (2,1,1);plot(t,p1); ylabel ('Desplazamiento (m)');title('Desplazamiento ultimo piso. Portico 1'); subplot (2,1,2); plot(t,pnx); xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Desplazamiento (m)'); title ('Desplazamiento ultimo piso. Portico Extremo en sentido X'); else p2=p2';pnt=pnt'; subplot (2,1,1);plot(t,p2); ylabel ('Desplazamiento (m)');title('Desplazamiento ultimo piso. Portico 1'); subplot (2,1,2); plot(t,pnt); xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Desplazamiento (m)'); title ('Desplazamiento ultimo piso. Portico Extremo en sentido Y'); end end % Determinacion de intervalos y dibujo de respuestas maximas de




228

% fuerzas (Ton) en el ultimo piso if intervalo==1 & dof==2 if isismo==1 for n=1:jj-ii tint(n)=t(ii); F1int(n)=F1(ii); Fnxint(n)=Fnx(ii); ii=ii+1; end F1int=F1int';Fnxint=Fnxint'; subplot (2,1,1);plot(tint,F1int); ylabel ('Fuerza (Tn)');title('Fuerza ultimo piso. Portico 1'); subplot (2,1,2); plot(tint,Fnxint); xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Fuerza (Tn)'); title ('Fuerza ultimo piso. Portico Extremo en sentido X'); else for n=1:jj-ii tint(n)=t(ii); F2int(n)=F2(ii); Fnyint(n)=Fny(ii); ii=ii+1; end F2int=F2int';Fnyint=Fnyint'; subplot (2,1,1);plot(tint,F2int); ylabel ('Fuerza (Tn)');title('Fuerza ultimo piso. Portico 1'); subplot (2,1,2); plot(tint,Fnyint); xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Fuerza (Tn)'); title ('Fuerza ultimo piso. Portico Extremo en sentido Y'); end end % Dibujo de respuestas maximas en porticos exteriores en ultimo piso if intervalo==2 & dof==2 if isismo==1 F1=F1';Fnx=Fnx'; subplot (2,1,1);plot(t,F1); ylabel ('Fuerza (Tn)');title('Fuerza ultimo piso. Portico 1'); subplot (2,1,2); plot(t,Fnx); xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Fuerza (Tn)'); title ('Fuerza ultimo piso. Portico Extremo en sentido X'); else F2=F2';Fny=Fny'; subplot (2,1,1);plot (t,F2);ylabel ('Fuerza (Tn)');title('Fuerza ultimo piso. Portico 1'); subplot (2,1,2);plot (t,Fny);xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Fuerza (Tn)'); title ('Fuerza ultimo piso. Portico Extremo en sentido Y'); end end % Determinacion de intervalos y dibujo de respuestas maximas de % Ax en el ultimo piso if intervalo==1 & dof==3 for n=1:jj-ii tint(n)=t(ii); AAxint(n)=AAx(ii); ii=ii+1; end AAxint=AAxint'; plot(tint,AAxint); ylabel ('Ax');title('Ax'); title ('Ax'); end % Dibujo de respuestas maximas en porticos exteriores en ultimo piso if intervalo==2 & dof==3 B=AAx';




229

plot(t,B); ylabel ('Ax');title('Ax'); end %---fin

PROGRAMA PSE3 function [qt,vt,q]=pse3(M,C,K,Qo,p,dt,var) % % Procedimiento de Espacio de Estado para sistemas de n grados de libertad % Programa general en que se requiere la respuesta ante un acelerograma. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI ESPE % Marzo de 2007 % ----------------------------------------------------------------- % [qt,vt,q]=pse3(M,C,K,Qo,p,dt,var) % ----------------------------------------------------------------- % M Matriz de masas. % C Matriz de amortiguamiento. % K Matriz de rigidez. % Qo Coeficiente del vector de cargas que multiplica a la aceleracion % del suelo. % p Acelerograma para el cual se calcula la respuesta en el tiempo. % Previamente el usuario habrá calculado las matrices de masa, % amortiguamiento, rigidez, así como el coeficiente Qo. % F Matriz de orden 2nx2n % qt Matriz que almacena los desplazamientos en cada grado de libertad % en cada instante de tiempo. % vt Similar a qt pero con las velocidades % dt Incremento de tiempo con el cual se obtiene la respuesta. % q Reporta el desplazamiento en la base del aislador. % ngl=length(K); % Matriz F CERO=zeros(ngl,ngl); IDENT=eye(ngl,ngl);MIK=(-1)*inv(M)*K;MIC=(-1)*inv(M)*C; F=[CERO IDENT; MIK MIC]; % Exponencial de la matriz F multiplicado por dt A=expm(dt*F); % Matrices P1 y P2 IDEN=eye(2*ngl,2*ngl); P1=inv(F)*(A-IDEN); P2=inv(F)*((1/dt)*P1-A); % Vector r de cargas sísmicas for i=1:ngl; NULO(i)=0; end; MIQ=inv(M)*Qo; % respuesta en el tiempo n=length(p); for i=1:2*ngl; Xk(i)=0;end; Xk=Xk';q=Xk(ngl); for i=1:n-1 t(i)=i*dt; MCARGA=MIQ*p(i); MCARGA2=MIQ*p(i+1);rk=[NULO'; MCARGA];rk2=[NULO'; MCARGA2]; Xk2=A*Xk+P1*rk2+P2*(rk2-rk); % Almacena la respuesta en el tiempo en el sentido de analisis. q(i)=Xk2(ngl-var); Xk=Xk2; v(i)=Xk2(2*ngl-var); for j=1:ngl qt(i,j)=Xk2(j); vt(i,j)=Xk2(j+ngl); end




230

end % ---fin

El programa BASERIGIDANEW considera que los valores de iξ son iguales en todos

los modos de vibración, por esta razón se da como dato un solo valor.

• EJEMPLO 2

Encontrar la respuesta en el tiempo, de desplazamientos, para el pórtico 1 y para el pórtico 5, de la estructura cuya configuración en planta se indica en la figura 8.3, que fue analizada en el capítulo anterior, es una edificación de un piso. Encontrar la respuesta en el tiempo desde los 0.5 segundos hasta 1.5 segundos, ante la componente E-W del registro de La Molina, ubicado en Lima, del sismo del 15 de agosto de 2007, que tuvo una magnitud MW = 7.9 la aceleración máxima del registro fue 78.7 gals. El archivo del acelerograma se llama MOLINA y viene con un .01.0 sdt =

En la figura 8.4 se indica el acelerograma, que tuvo una duración de tres minutos

aproximadamente. Este sismo tuvo una rotura tectónica muy compleja y es así como se aprecian dos eventos en uno solo, que se han denominado E1 y E2. En los registros de Lima la rotura E2 fue mayor que E1, contrario a lo observado en los registros de la ciudad de Ica que estaban más próximos al epicentro.

A

4 .0 0 m

4 .0 0 m

4 .0 0 m

4 .0 0 m

4 .50 m 4 .5 0 m

B C

1

2

3

4

5

Figura 8.3 Distribución en planta de edificio de un piso.

Si el origen de coordenadas se coloca en la intersección de los ejes A y 5, el centro de masas tiene las siguientes coordenadas ..15.3 CMCM YmX = Las distancias r y la rigidez lateral, hallada con inercias gruesas de cada uno de los pórticos se indica en la tabla 8.2.

Tabla 8.2 Distancia del C.M. a los pórticos y rigidez lateral.




231

Pórtico r (m)

LK (T/m)

1 -9.20 153.7568 2 -5.20 153.7568 3 -1.20 365.1317 4 2.80 587.8617 5 6.80 587.8617 A -3.15 521.0324 B 1.35 521.0324 C 5.85 215.0817

Se considera una carga muerta y una carga viva . El

valor de

2/400 mkgD = 2/100 mkgL =05.0=ξ

Figura 8.4 Componente E-W del registro de La Molina del sismo del 15 de agosto de 2007.

• SOLUCIÓN

Se indica la solución, mediante el uso del programa BASERIGIDANEW

>> KLG=[153.7568; 153.7568; 365.1317; 587.8617; 587.8617; 521.0324; 521.0324; 215.0817] >> pesoD=[36] >> pesoL=[4.5] >> r=[-9.2; -5.2; -1.2; 2.8; 6.8; -3.15; 1.35; 5.85] >> load c:\MOLINA >> [T] =baserigidanew(1,0.05,5,pesoD,pesoL,KLG,r,MOLINA,0.01)

El primer dato corresponde al número de pisos; el segundo al factor de amortiguamiento de la estructura; el tercero al número de pórticos en el sentido de análisis sísmico, en este caso se realiza el análisis con respecto al eje X; el cuarto el vector que contiene los pesos totales de cada piso debido a carga muerta; el quinto el vector que contiene los pesos totales de cada piso debido al % de carga viva; el sexto la matriz que contiene a las matrices de rigidez lateral de cada uno de los pórticos; el séptimo es un vector que contiene la distancia del centro de masa a los pórticos; el octavo el archivo del acelerograma y el noveno el incremento de tiempo de ese archivo.

Por pantalla se indica que corresponde a una planta tipo “L”, asignándole el código 2.

Luego se indican las siguientes dimensiones: 0.4;16;5.4;0.9 11 ==== bbaa . También se debe escoger la opción de que se requiere la respuesta en el intervalo de tiempo que va desde 0.5 s., hasta 1.5 s.




232

En la figura 8.5 se indica la respuesta en el tiempo para los pórticos exteriores, en sentido X, que son el pórtico 1, que es un pórtico débil y el pórtico 5 que es un pórtico fuerte. Nótese que el pórtico 1 se mueve hacia la derecha y en ese mismo instante de tiempo el pórtico 5 se mueve a la izquierda lo que genera problemas de torsión. Los desplazamientos son muy pequeños debido a que la aceleración máxima del registro fue menor al 10 de la aceleración de la gravedad.

st 5.0=

El programa calcula el momento de inercia de la masa con respecto al C.M., para

este caso J

8004.115=J

Figura 8.5 Respuesta en el tiempo del pórtico 1 y del pórtico 5.

• EJEMPLO 3 Encontrar, paso a paso el momento de inercia J, de la estructura del ejemplo anterior.

• SOLUCIÓN Para encontrar el momento de inercia de la masa con respecto al C.M. se aplica el

teorema de los ejes paralelos. J




233

( )∑ +=j

jCM

jjCM

iCM dmJJ ( 8.22 )

Donde es el momento de inercia de la masa en el C.M. en el piso i ; es el

momento de inercia de la masa de la figura en su C.M.; es la masa de la figura ; es la distancia desde el C.M. de la figura al C.M. de todo el piso i . En la figura 8.6 se

presentan los C.M. de cada figura y las distancias que se han denominado , respectivamente. En la tabla 8.3 se presenta el cálculo de

iCMJ j

CMJj jm j j

CMdj

jCMd 21 , dd

.J

Tabla 8.3 Cálculo del momento de inercia de la masa jm j

CMJ jCMd ( )2j

CMj dm

Fig.

(T s2/m) (T s2 m) (m) (T s2 m) 1 306.3

8.945.05.416

=∗∗ ( ) 107.765.416

12306.3 22 =+

( ) ( ) 5.125.215.388.6 22 =−+− 439.7

2 827.08.9

45.045.4=

∗∗ ( ) 498.20.45.412827.0 22 =+

( ) ( ) 0.68.6215.375.6 22 =−+−

772.29

78.605 37.211 msTJCM /81.11521.3760.78 2=+=

Figura 8.6 Determinación del momento de inercia J.




234

• EJEMPLO 4

Con relación al ejemplo 2, encontrar la variación del factor de amplificación dinámica

por torsión, , para el intervalo comprendido entre 0.5 y 1.5 s. es el factor adimensional que viene definido por:

xA xA

0.32.1

0.12

max ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≤

avgxA

δδ


desplazamiento promedio de los pórticos extremos de la estructura.

• SOLUCIÓN

En la figura 8.7 se aprecia la variación del factor en el intervalo de 0.5 s., a 1.5 s. Se aprecia que para 0.5 s., el valor de es mayor que 2, que pone en evidencia una vez más que la estructura tiene problemas de torsión.

xA

xA

Figura 8.7 Variación de para xA st 5.0= y st 5.1= .




235

8.5 CENTRO DE RIGIDEZ EN RANGO ELÁSTICO

En capítulos anteriores, se estudió que una forma de cuantificar los efectos de torsión en un edificio es mediante la excentricidad estática, que es la distancia entre el Centro de Masas CM., y el Centro de Rigidez C.R. Este apartado está dedicado al estudio del C.R., en el rango elástico, para ello se hace un recuento histórico y se presentan varias formas de cálculo aproximadas.

Se define el C.R. como el punto en el cual al aplicar las fuerzas sísmicas la

estructura se desplaza y no rota. Solo hay traslación pura.

8.5.1 Propuesta de Lin (1951)

Lin (1951) propuso la definición del C.R., en estructuras de un piso y se puede calcular en la forma indicada en el capítulo anterior.

Para estructuras de un piso el C.R., siempre existe pero para estructuras de varios

pisos el C.R. no siempre existe, como se verá en el apartado siguiente.

8.5.2 Propuesta de Vásquez y Ridell (1984)

Vásquez y Ridell (1984) básicamente demuestran que el C.R., existe únicamente

en estructuras compensables. Definen las estructuras compensables como aquellas estructuras que son simétricas o bien las rigideces de sus elementos son proporcionales entre si. Además el C.R., es colineal en todos los pisos, para las estructuras compensables.

Lo propuesto por Vásquez y Ridell (1984) se va a demostrar de acuerdo a la forma

como lo hicieron Villafañe y Crisafulli (1986). Para ello se parte de la ecuación básica de estructuras en el rango elástico y ante cargas estáticas.

qKQ = ( 8.23 )

Ahora, si se considera un modelo numérico de cálculo de tres grados de libertad por

planta (Piso y rígido) y se considera que cada pórtico es un miembro de la estructura (Análisis seudo espacial) La ecuación ( 8.23 ) para el caso en que se tienen pórticos ortogonales, queda:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

θθθθθ

θ

θ

θ qqq

KKKKKKK

QQQ

Y

X

YX

YYY

XXX

Y

X

00

( 8.24 )

La solución de este sistema de ecuaciones lineales. Villafañe y Crisafulli (1986) es la

siguiente:

[ ] ∗−= θθθθ QKq

1* ( 8.25 )




236

[ ] [ ][ ] [ ]

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −=

∗−−

∗−−

θθθθ

θθθθ

QKKQKq

QKKQKq

YYYYY

XXXXX

11

11

*

*

( 8.26 ) ( 8.27 )

Siendo:

YYYt

YXXXt

X

YYYt

YXXXt

X

QKKQKKQQ

KKKKKKKK11

11

−−∗

−−∗

−−=

−−=

θθθθ

θθθθθθθθ

De la definición del C.R. se desprenden las siguientes condiciones:

a) Las rotaciones son nulas en todos los pisos 0=θq . b) Las fuerzas laterales son nulas en todos los pisos ecepto en aquel piso en el cual se

desea obtener el centro de rigidez.

La ecuación ( 8.25 ) puede escribirse como solución de sistema de ecuaciones lineales de la siguiente manera.

θθθθ qKQ ∗∗ =

De acuerdo a la condición a) 0=θq . Luego para que se cumpla esta condición

. Que implica lo siguiente: 0=∗θQ

YYYt

YXXXt

X

YYYt

YXXXt

X

QKKQKKQ

QKKQKKQQ11

11 0−−

−−∗

−=⇒

=−−=

θθθ

θθθθ ( 8.28 )

Cálculo de en el piso j ye

De acuerdo a la condición b) para hallar la excentricidad estática en el piso j. Solo

en ese piso actúa la fuerza sísmica en el C.M., que se ha denominado en la figura 8.8;

como existe la excentricidad estática que se ha llamado se tiene un momento de torsión de

magnitud .

ye

jF

yje

yjj eF

Figura 8.8 Cálculo de en el piso j. ye

Luego, para el cálculo de se tiene: yje




237

0=YQ =XQ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0

...0

jF =θQ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0

0

yjj eF

Al reemplazar en la ecuación (8.28) se encuentra:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∑

∑

∑

=

−

=

−

=

−

0

0

0

0

1

1

1

1

1

11

n

iijXXniX

j

n

iijXXjiX

n

iijXXiX

yjj

KK

FKK

KK

eF

θ

θ

θ

( 8.29 )

Donde representan el elemento i-ésimo de la fila j de las matrices

y . Si bien se puede hallar la excentricidad del piso con la siguiente ecuación: ijXXjiX KK ,θ θXK

XXK ye j

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

=

−n

iijXXjiXyj KKe

1

1θ ( 8.30 )

Las restantes (n-1) ecuaciones de (8.29) no se cumplen, en forma general.

Vásquez y Ridell (1984) demostraron lo indicado en forma analítica a partir de las ecuaciones de equilibrio dinámico y concluyeron que solo se cumple en estructuras compensadas (Proportional Structures).

Cálculo de en el piso j xe

Para el cálculo de la excentricidad se procede en forma similar, aplicando una fuerza en sentido Y, en el piso j, como lo ilustra la figura 8.9. Se llega a lo mismo que el C.R. solo existe en estructuras compensables y que:

Xe

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑

=

−n

iijYYjiYXj KKe

1

1θ ( 8.31 )

Figura 8.9 Cálculo de en el piso j. xe




238

Estrictamente Vásquez y Ridell (1984) demuestran que el C.R., solo existe en

estructuras compensables en las cuales el C.R. es colineal en todos los pisos, de tal manera que se cumple:

YYXY

XXYX

KeKKeK

==

θ

θ ( 8.32 )

De donde:

[ ][ ] θ

θ

YYYX

XXXY

KKe

KKe1

1

1

1−

−

=

= ( 8.33 )

Siendo [ la matriz unitaria. Lo demostrado por Vásquez y Ridell (1984) y también por

Cheung y Tso (1986) es una seria limitación para la definición del Centro de Rigidez como una medida de la excentricidad de una estructura. Es por esto que mucha gente prefiere calcular la excentricidad estática a partir de la definición del Centro de Resistencia, tema que no se aborda en el presente capítulo.

]1

8.5.3 Propuesta de Cheung y Tso (1986)

Definen el Centro de Rigidez C.R. en estructuras conformadas por pórticos ortogonales como el conjunto de puntos localizados en cada piso en los cuales la aplicación de las cargas laterales no causa rotación en ninguna planta. Por lo tanto, 0=θq , para el efecto parten de las ecuaciones de equilibrio ( 8.24 ) que nuevamente se escriben pero con . 0=θq

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

00

0

Y

X

YX

YYY

XXX

Y

X

qq

KKKKKKK

QQQ

θθθθ

θ

θ

θ

Cálculo de vector ye

En este caso la excitación sísmica o las fuerzas laterales actúan en sentido X. De tal manera que ; ; 0≠XQ 0=YQ [ ] yX eQQ =θ . Donde [ ]XQ es una matriz diagonal compuesta

por las fuerzas laterales en cada piso; es el vector de fuerzas horizontales actuando en el Centro de Masa; es un vector que contiene las excentricidades estáticas en cada nivel. La

primera ecuación matricial de ( 8.24 ) considerando

XQ

ye0=θq resulta:

XXXXXXXX QKqqKQ 1−=⇒=

De la tercera ecuación de ( 8.24 ) se halla:

[ ] [ ] XXXyyXXX qKQeeQqKQ θθθ1−=⇒==

Al reemplazar en esta última ecuación se halla: Xq




239

[ ] XXXXXy QKKQe 11 −−= θ ( 8.34 )

Cálculo de vector xe

Se procede en forma similar pero la acción sísmica actúa en sentido Y, o las fuerzas que se apliquen actúan en ésta dirección. De tal manera que se tiene: ; 0=XQ 0≠YQ ;

. Al trabajar con las ecuaciones matriciales dos y tres de ( 8.24 ) se halla: [ ] xY eQQ =θ

[ ] YYYYYx QKKQe 11 −−= θ ( 8.35 )

Siendo el vector de fuerzas, en el C.M., en sentido Y; YQ [ ]YQ la matriz diagonal de las fuerzas en sentido Y.

Para aplicar las ecuaciones ( 8.34 ) y ( 8.35 ) primero se debe realizar el análisis

sísmico en sentido X o en sentido Y, para hallar [ ] [ ]YYXX QQQQ ;;; . Si se aplican fuerzas laterales en el C.M. se obtiene en forma directa estos vectores o matrices.

Con la propuesta de Cheung y Tso (1986) el Centro de Rigidez depende de la

excitación sísmica. Existen otros modelos para el cálculo del C.R., uno de ellos es el de Humar (1984)

quien define el C.R., en cualquier piso, como el punto en el piso en el cual al aplicar la carga lateral ese piso no rota pero los demás pisos pueden rotar.

8.6 CENTRO DE GIRO

Como se aprecia en el apartado anterior, el Centro de Rigidez solo existe en cierto tipo de estructuras, lo que limita su uso, razón por la cual se ha propuesto el Centro de Giro, que siempre existe para esto se define el Centro de Giro como aquel punto de una planta que no experimenta desplazamiento alguno ante una acción sísmica determinada.

En esta definición, el Centro de Giro C.G. depende de la acción sísmica, o de las

fuerzas aplicadas o de los momentos de torsión aplicados. Una propuesta es que se apliquen fuerzas laterales unitarias en cada uno de los pisos y se hallen los desplazamientos y giros

mediante la ecuación ( 8.24 ) y luego se halle el Centro de Giro teniendo en cuenta la definición dada.

θqqq YX ,,

Sean las excentricidades del C.G., con respecto al C.M. Para el cálculo de la

se considera que solo existen fuerzas laterales en sentido X, aplicadas en el C.M., las mismas que han generado los desplazamientos y giros . En la figura 8.10 se indica la fuerza aplicada en el piso j.

YX ee ,

Ye

θqqq YX ,,




240

Figura 8.10 Cálculo del Centro de Giro

Se debe formular una ecuación para hallar el desplazamiento horizontal en el punto C.G., e igualar a cero ya que esta es la definición de C.G. En capítulos anteriores se había definido con la los desplazamientos laterales de un pórtico cualquiera. Ahora se usará para determinar los desplazamientos de C.G.

p

qAp =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

j

n

j

rsen

rsen

rsen

p

p

p

αα

αα

αα

cos

cos

cos 11

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

θqqq

Y

X

( 8.36 )

Donde es el desplazamiento lateral del C.G.; jp α es el ángulo que forma el punto

C.G. con el eje de las X. Como se está analizando en sentido X, el valor de 0=α ; es la

distancia del C.G. al C.M., tiene signo, para la figura es negativo. Luego .

Desarrollando ( 8.36 ) para el piso j y considerando

jr

yjj er −=0=α se tiene

jyjxjj qeqp θ−= ( 8.37 )

Pero por la definición de C.G. 0=jp . Luego de ( 8.37 ) se halla:

j

xjyj q

qe

θ= ( 8.38 )

Donde es el desplazamiento horizontal en sentido X, del C.M., en el piso j. es

el giro medido en el C.M. en el piso j. xjq jqθ

Para hallar la excentricidad de C.G. se procede en forma similar pero con las

fuerzas aplicadas en sentido Y. Llegando a tener la siguiente expresión: xje

j

yjxj q

qe

θ−= ( 8.39 )




241

De tal manera que el Centro de Giro, siempre existe ya que se divide el desplazamiento horizontal de cada piso para el giro de piso, empleando ( 8.38 ) y ( 8.39 ). Se destaca una vez más que depende de la excitación aplicada.

8.7 CENTRO DE CORTE

Se define el Centro de Corte C.C. como el punto de aplicación de la resultante de las fuerzas laterales resistidas por cada elemento, o por cada pórtico. En este apartado se presenta el cálculo del C.C. de las siguientes formas:

Rigidez “t”

Rigidez de piso.

Fórmulas de Wilbur.

Fórmulas de Rosenblueth y Esteva El Centro de Corte en cada planta se halla por equilibrio de fuerzas y de momentos.

8.7.1 Rigidez “t”

Se define la rigidez “t” en un elemento como la fuerza necesaria que se debe aplicar para tener un desplazamiento horizontal unitario.

312

hEIt = ( 8.40 )

Donde EI es la rigidez a flexión y es la longitud o altura del elemento. h El cálculo del C.C. se realiza en dos etapas, en una primera se obtienen las rigideces

en sentido X, y se halla por equilibrio de fuerzas y momentos el valor de , de acuerdo a la

nomenclatura indicada en la figura 8.11. De la sumatoria de fuerzas en sentido X, se halla aplicado en el C.C. y de la sumatoria de momentos con respecto a la intersección de los ejes A y 3, se halla que es la distancia desde este origen de coordenadas al Centro de Corte.

tcY

∑ t

cY En una segunda etapa, se hallan las rigideces t en sentido Y, y se procede en forma

similar encontrando que es la coordenada en X del C.C. medido a partir de A-3. cX En lugar de trabajar con la rigidez t se puede trabajar con las fuerzas horizontales que

actúan en cada elemento. Fuerzas debido a una acción sísmica dada o a unas fuerzas dadas que actúan en el C.M. Al trabajar con rigideces se encuentra el C.C. independiente de las fuerzas aplicadas.




242

Figura 8.11 Esquema de cálculo del C.C. mediante la rigidez t.

8.7.2 Rigidez de piso

Se define la rigidez de piso como la relación entre el cortante de piso con respecto

al desplazamiento relativo de piso. Con esta definición depende de la excitación sísmica o de las fuerzas actuantes.

pK

pK

Se procede en forma similar, al cálculo mediante la rigidez t . Con la diferencia de que

ahora se tiene la rigidez de piso en cada pórtico en lugar de la rigidez en cada elemento. t Por lo tanto, para hallar las coordenadas del C.C. se debe hacer equilibrio de fuerzas y

equilibrio de momentos, en cada una de las direcciones de análisis.

8.7.3 Fórmulas de Wilbur

El formulario que a continuación se presenta es valido para pórticos planos con

elementos de sección constante y se basa en las siguientes hipótesis:

i. Los giros en todos los nudos de un piso y de los dos pisos adyacentes son iguales, a excepción de la planta baja en donde puede suponerse empotramiento o articulación en los apoyos.

ii. Las fuerzas de corte en los dos entrepisos adyacentes al que interesa son iguales a la

de éste. Bazan y Meli (1983).




243

Figura 8.12 Esquema de cálculo del C.C. mediante la rigidez de piso

Con estas acotaciones las fórmulas de Wilbur (1948), son las siguientes:

• Para el primer piso con columnas empotradas en la base

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∑+∑

++

∑

=

12

4

48

11

21

1

11

1

Kckt

hhKch

h

EK ( 8.41 )

• Para el primer piso con columnas articuladas en la base

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∑+

+∑

=

1

21

1

11

1 2824

Kthh

Kch

h

EK ( 8.42 )

• Para el segundo piso con columnas empotradas en la base

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∑+

+∑

+∑

++

∑

=

2

32

11

21

2

22

2

12

4

48

Kthh

Kckt

hhKch

h

EK ( 8.43 )




244

• Para el segundo piso con columnas articuladas en la base

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∑+

+∑+

+∑

=

2

32

1

21

2

22

2 2448

kthh

Kthh

Kch

h

EK ( 8.44 )

• Para entrepisos intermedios

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∑+

+∑+

+∑

=

n

n

m

nm

n

nn

n

Kthh

Kthh

Kch

h

EK04

48 ( 8.45 )

Donde es la rigidez del entrepiso ; es la rigidez nK n nKt ( )LI / de las vigas del nivel

; es la rigidez ( de las columnas del nivel n ¸ es la altura del nivel n ; , índices que identifican tres pisos consecutivos desde abajo hacia arriba. n nKc )LI / nh 0,, nm

• Para el último piso

Se emplea la ecuación (8.45) con mm hh 2= y 00 =h . Esto implica suponer que el cortante del penúltimo piso es el doble del cortante del último piso.

8.7.4 Fórmulas de Rosenblueth y Esteva

Las fórmulas que se indican a continuación son adecuadas para edificios conformados

por vigas y columnas, sin muros de corte. Rosenblueth y Esteva (1962).


⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∑+∑

+∑

=

12

12

24

11

1

2

1

KcktKc

h

EK ( 8.46 )


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∑

+∑

+∑

=

nmn

n

KtKtKch

EK

11224

2 ( 8.47 )

El significado de las variables es el indicado en el apartado anterior. Ya que estas

ecuaciones son un caso particular de las de Wilbur, únicamente consideran que la altura de todos los entrepisos es igual y vale . h




245

REFERENCIAS 1. Bazan E., y Meli R., (1983) Manual de diseño sísmico de edificios, de acuerdo con el

reglamento de construcciones para el Distrito Federal, Instituto de Ingeniería. Universidad Autónoma de México, 238 p., más figuras.

2. Cheung W., and Tso W., (1986), “Eccentricity in irregular multistory buildings”,

Canadian Journal of Civil Engineering, 13, 46-52.

3. Humar J., (1984), “Design for seismic torsional forces”, Canadian Journal of Civil Engineering, 11 (2), 150-163.

4. López F., Rodellar J., y Barbat A., (1988), Procedimientos de espacio de estado en

dinámica de estructuras. Universidad Politécnica de Cataluña, Monografía ES 017 1987, Barcelona.

5. Rosenblueth E., y Esteva L., (1962), Diseño sísmico de edificios, Folleto

complementario al Reglamento de Construcciones del Distrito Federal, México.


7. Villafañe E., y Crisafulli F., (1986), “Sobre la introducción de las normas antisísmicas

para el análisis de la torsión en modelos tridimensionales de edificios”, VI Jornadas Argentinas de Ingeniería Estructural, 14 p., Buenos Aires.

8. Wilbur J., y Norris C., (1948), Elementary Structural Analysis, Mc Graw-Hill Book Co,

Inc. New York.

9. Wilson E., and Penzien J., (1972), “Evaluation of orthogonal damping matrices”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 4, 5-10.



CAPÍTULO 7

TORSIÓN EN EDIFICIOS

RESUMEN

Una de las fallas frecuentes que se presentan durante la acción de un sismo es la denominada, edificios abiertos, razón por la cual se inicia este capítulo con la identificación de estos edificios, se define el problema y se presentan casos de edificios que tuvieron un mal comportamiento durante el terremoto del 15 de agosto de 2007, ocurrido en el Perú.

Posteriormente se presenta el marco teórico del problema de torsión en edificios de un solo

piso, se muestra como se obtiene el centro de rigidez, la excentricidad estática, se plantea el sistema de ecuaciones diferenciales que gobiernan el problema dinámico y se resuelve este problema en forma paramétrica.

Se ha elaborado el programa denominado BALANCETORSIONALSINAISLAMIENTO que

encuentra la respuesta de desplazamientos, en el tiempo, de los pórticos extremos de una estructura de un piso. De igual manera muestra la respuesta en el Centro de Masas del desplazamiento horizontal con la rotación de piso y encuentra el Coeficiente de Variación. Este programa tiene como objetivo fundamental enseñar como afecta la torsión a los edificios.

7.1 EDIFICIOS ABIERTOS

Un edificio abierto, es un edificio esquinero, con paredes medianeras a los dos lados, como el indicado en la figura 7.1, las paredes están construidas monolíticamente con las columnas. Las fachadas tienen grandes ventanales y la puerta de ingreso. Lo cierto es que los pórticos posteriores, que contienen las paredes medianeras tienen mayor rigidez que los pórticos de las fachadas; esto ocasiona que el Centro de Rigidez C.R. se encuentre a una distancia considerable del Centro de Masa C.M., como se ilustra en la figura 7.2.

La excentricidad estática, distancia del C.M., al C.R., es la que produce momentos de torsión que conducen a un mal comportamiento sísmico de la estructura, cuando el proyectista estructural ignora la mampostería en el análisis sísmico pero en el proceso constructivo le acoplan a la estructura.



Figura 7.1 Vista frontal de un edificio abierto.

Figura 7.2 Vista en planta de edificio abierto.

En la figura 7.3 se presenta un edificio de hormigón armado, ubicado en la ciudad de Pisco, Perú, que colapsó durante el sismo del 15 de agosto de 2007. Este edificio colapsó por dos problemas que son: edificio abierto y piso blando. En la figura 7.3, a la izquierda se aprecia la una pared medianera, acoplada a la estructura, en el sentido largo del edificio y a la derecha se observa la otra pared medianera en el sentido corto del edificio.

A más de ser edificio abierto, la planta baja estaba destinada a parqueaderos, con lo que se

generó otro problema adicional que se denomina piso blando, ya que esta planta tiene menor rigidez que las plantas superiores. Lo cierto es que estos dos problemas, de edificio abierto y de piso blando, llevaron al colapso de este edificio ubicado en Pisco.

En un edificio abierto, se tiene en cualquier sentido, dos tipos de pórticos en sus extremos. Un

pórtico débil que no tiene mampostería y un pórtico fuerte que tiene la mampostería. El pórtico débil se mueve mucho más que el pórtico fuerte y esto ocasiona que se muevan en desface, es decir mientras el un pórtico se mueve en determinado sentido el otro lo hace más lentamente o se está moviendo en sentido contrario, generándose la torsión en planta.



Figura 7.3 Edificio que colapsó durante el sismo del 15 de agosto de 2007 en Pisco.

Lo ideal es que el C.M., coincida con el C.R. En este caso todos los pórticos que están en un

determinado sentido se mueven lo mismo, no hay problema de torsión. Lo indicado en estos dos últimos párrafos de lo va a ver en forma analítica con el desarrollo de un ejemplo.

7.2 CENTRO DE RIGIDEZ EN ESTRUCTURAS DE UN PISO

Para estructuras de un piso, el C.R. se evalúa a partir de la matriz de rigidez lateral, como es un piso, esta matriz tiene un solo elemento. Se recuerda que el C.R. es el lugar geométrico donde al aplicar las fuerzas sísmicas la estructura se traslada y no rota.

• EJEMPLO 1

Encontrar el C.R., de la estructura en forma de “L” indicada en la figura 7.4. La altura del entrepiso es de 3.0 m. Las columnas A1, B1, A2 y B2 son de 20/20 cm., y todas las restantes columnas son de 20/30. La dimensión de 30 cm., es paralela a las luces de 4.5 m. Las vigas son todas de 20/25, en los dos sentidos. Considerar un módulo de elasticidad . 2/21.1738965 mTE =

• SOLUCIÓN

La matriz de rigidez lateral de cada uno de los pórticos, encontrados con el programa

RLAXINFI se indica en la figura 7.5, en forma de vector. Así la matriz de rigidez lateral del pórtico 1 vale 153.7568 T/m

LK

2. Conceptualmente es la fuerza necesaria para obtener un desplazamiento unitario. Sean las coordenadas del C.R. medidas a partir de un eje de coordenadas cuyo

origen coincide con la intersección de los ejes A y 5. CRCR YX ,

El C.R. se obtiene del equilibrio de fuerzas y momentos, en sentido X, y en sentido Y. En primer

lugar se colocan las fuerzas en sentido X y se halla la ordenada . Luego las fuerzas en sentido Y y se halla .

CRY

CRX



A

4 .0 0 m

4 .0 0 m

4 .0 0 m

4 .0 0 m

4 .5 0 m 4 .50 m

B C

1

2

3

4

5

Figura 7.4 Distribución en planta de edificio analizado de un piso.

Sentido X

153.7568 153.7568 365.1317 587.8617 587.8617

2271.1185X

X

F

F

= + + + +

=∑∑

La sumatoria de momentos se obtiene con respecto al eje A5.

153.7568 16 153.7568 12 365.1317 8 587.8617 4 2271.1185

5.18 .CR

CR

M YY m

= ∗ + ∗ + ∗ + ∗ = ∗

=∑

Sentido Y

521.0324 521.0324 215.9817

1387.7551

521.0324 4.5 215.9817 9 1387.75513.41 .

Y

Y

CR

CR

F

F

M XX m

= + +

=

= ∗ + ∗ = ∗

=

∑∑∑



Figura 7.5 Coordenadas del Centro de Rigidez.

• EJEMPLO 2 Determinar la excentricidad estática de la estructura en forma de “L” que se ha venido

resolviendo. Si las coordenadas del C.M., son: .15.3 mX CM = .80.6 mYCM =

• SOLUCIÓN

Se define a la excentricidad estática a la distancia que existe entre el C.M., y el C.R. Se define la distancia en sentido X, como y la excentricidad en sentido Y, como . Xe Ye

.62.118.580.6.26.015.341.3

meme

Y

X

=−==−=


En el capítulo anterior se estudio la matriz de rigidez de la estructura en coordenadas de piso la misma que se va a volver a escribir en función de la excentricidad estática. EK



⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

θθ

θ

θ

KKKKKK

K YYY

XXYXX

E

Para pórticos ortogonales XY YX= = 0K K . Por otra parte, si se recuerda la forma como se

obtuvo las diferentes submatrices de en el capítulo anterior y se tiene presente la forma en que se encontró el C.R. Se demuestra fácilmente, para el caso de una estructura de un piso, que:

EK

Y X

X YYY XX

K Ke eK K

θ θ= = ( 7.1 )

2 2 C RX YY Y XXK e K e K K . .

θθ = + + θθ

C RK

( 7.2 )

El único término nuevo es .. que es la rigidez Kθθ pero evaluada con respecto al C.R. θθ

• EJEMPLO 3

La matriz de rigidez en coordenadas de piso, de la estructura en forma de “L” es:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

0.629694.3202.29914.3201.12570.02.29910.04.1848

K

Se pide encontrar la excentricidad estática y el valor de Kθθ utilizando las ecuaciones (7.1) y (7.2).

• SOLUCIÓN

320.4 2991.20.254 . 1.618 .1257.1 1848.4X Ye m e= = = = m

)2

2

( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2. .

2 2 2

153.7568 10.82 153.7568 6.82 365.1317 2.82 587.8617 1.18

587.8617 5.18 521.0324 3.41 521.0324 1.09 215.9817 5.59

C RKθθ = − + − + − +

+ + − + +

. 58074.91C RKθθ =

( ) ( )2 20.254 *1257.1 1.618 *1848.4 58074.9162994.98 62969.0

KK

θθ

θθ

= + +

= ≈



• EJEMPLO 4

En la figura 7.6 se presenta la configuración en planta de una estructura esquinera de un piso, a la izquierda se la observa sin mampostería y a la derecha con mampostería en los lados que son colindantes con otras construcciones. Todas las columnas son de 30/30 cm., todas las vigas de 20/25 cm., el módulo de elasticidad del hormigón es . La mampostería es de 15 cm., de

ancho y tiene un módulo de elasticidad . La altura del entrepiso es de 3 m. Se pide calcular el C.M. y el C.R. para los dos casos.

2/2.1738965 mTE =2/175000 mTEm =

Figura 7.6 Estructura sin mampostería a la izquierda y con mampostería a la derecha.

• SOLUCIÓN

Para el caso de que no se considera la mampostería en los pórticos, la rigidez lateral se halla con el programa RLAXINFI. Para el ejemplo la mTK L /93.805= . A la izquierda de la figura 7.7 se indica esta rigidez en cada pórtico y en base a estos valores se ha determinado que el C.M., coincide con el C.R.

La matriz de rigidez lateral, de un pórtico con mampostería es mTK L /90.9205= Esta matriz se ha obtenido con el programa RLAXINFIMAMPOSTERIA donde se obtiene la diagonal equivalente con un ancho igual a la longitud de la diagonal dividido para cuatro. Hay una diferencia muy notable de valores entre la rigidez lateral de un pórtico sin mampostería y la misma rigidez pero con mampostería.

AL considerar la mampostería el C.M., esta ligeramente desplazado hacia el lugar donde se halla

la mampostería. Para encontrar el C.M. se debe aplicar las siguientes ecuaciones:



J

JJCM W

xWx ∑=

J

JJCM W

yWy ∑=

Donde el subíndice J corresponde al elemento en que se ha dividido la planta, puede ser una

viga, una losa, la mampostería, etc. es el peso del elemento J . son las coordenadas del centro de masas de una de las figuras en que se ha dividido la planta con respecto al origen de coordenadas que se considera como referencia. En la figura 7.8 se indican las coordenadas del C.M. En esta gráfica también se indica la resultante de las fuerzas en sentido X, y en sentido Y. Estas son 10817.76=805.93+805.93+9205.90. Con estas fuerzas se halla las coordenadas el C.R., por equilibrio de momentos.

JW JJ yx ,

Figura 7.7 C.M. y C.R. en estructura sin mampostería y con mampostería.

En la figura 7.8, se indican las coordenadas del C.M., y C.R., para el edificio abierto, medidas con respecto al punto o (se encuentra en la parte inferior izquierda). En base a estos resultados, a la derecha de la figura 7.7 se indica la excentricidad estática.



Figura 7.8 Coordenadas del C.M. y C.R., para el caso del edificio abierto.

• EJEMPLO 5

Presentar la respuesta en el tiempo del edificio abierto de un piso, indicado a la derecha de la figura 7.6, ante el acelerograma que se muestra en la figura 7.9 y que corresponde al registro de la componente N-S del sismo del 15 de Agosto de 2007, de Perú. Este registro fue obtenido en la Universidad San Luis Gonzaga de la ciudad de Ica, que se halla a 138 km., del epicentro.

Figura 7.9 Componente N-S del registro obtenido en la Universidad San Luis Gonzaga. Se denomina pórtico con mampostería a los pórticos medianeros, que están colindando con

edificaciones vecinas y que tienen paredes y pórticos sin mampostería a los que no tienen paredes.



Figura 7.10 Respuesta en el tiempo

En la figura 7.10 se ve la respuesta para el tiempo comprendido entre 19.5 s., y 21.5 s.; como

era de esperarse el pórtico sin mampostería se mueve más que el pórtico con mampostería. Pero lo importante, es notar en el círculo que mientras uno de los pórticos se mueve en un sentido, el otro lo hace en sentido contrario originando los problemas de torsión. Carrillo (2008).

7.4 ANÁLISIS SÍSMICO DE UNA ESTRUCTURA DE UN PISO

En la figura 7.11 se presenta una estructura de un piso, que tiene tres pórticos en el sentido X, y 4 pórticos en el sentido Y. La rigidez lateral de cada pórtico está representada por un resorte. La planta

es rectangular de dimensiones . Se indica además el sistema de coordenadas con el cual se ha venido trabajando y que será modificado en el siguiente apartado.



Figura 7.11 Coordenadas de piso y simbología a utilizar.

El sistema de ecuaciones diferenciales que gobierna el problema dinámico está definida por:

gurMqKqCqM &&&&& −=++ ( 7.3 )

Donde son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez; son los vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración. El vector de desplazamientos, transpuesto, contiene

;

qqq &&&,,

][ θqqqq yxt = es el vector que relaciona los grados de libertad con el movimiento del suelo.

Así para sismo en sentido X, el vector transpuesto , para sismo en sentido Y, el 1 va en

la mitad; es la aceleración del suelo. Estrictamente se debió escribir en la ecuación ( 7.3 ). Las matrices de masa y rigidez son:

EK

( 7.4 )

Como se ha estudiado, la matriz de amortiguamiento se encuentra en función de las matrices de

masa y rigidez. Para estructuras con pórticos ortogonales . Al reemplazar ( 7.1 ) en la matriz de rigidez, el sistema de ecuaciones diferenciales ( 7.3 ) para el caso de que el sismo actúa en la dirección Y, queda:



gy

x

yyxxxy

yyxyy

xxyxx

y

x

y

x

u

m

mm

q

qq

kkeke

kek

kek

q

qq

C

q

qq

m

mm

&&

&

&

&

&&

&&

&&

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

010

00

0000

0

0

00

0000

22 ρρ θθθθθ

Al desarrollar los productos matriciales indicados se tiene:

0

0

)3(2

)2(

)1(

=++++

−=+++

=+++

θθθθ

θ

θ

ρ qkqkeqkeCqm

umqkeqkCqm

qkeqkCqm

yyyxxxxy

gyyxyyyy

xxyxxxx

&&

&&&&

&&

Donde son las filas uno, dos y tres que resultan del producto de . Ahora si

las dos primeras ecuaciones se dividen para

qC &

y la tercera ecuación para . Se tiene:

0

0

)3(2

)2(

)1(

=++++

−=+++

=+++

θθθ

θ

θ

θ

ρ qlm

kq

lmk

eqlm

ke

lmCq

l

uqm

keq

mk

mCq

qm

keq

mk

mCq

xy

x

yyxx

x

xxy

xx

gyy

xyyy

y

xxyx

xxx

&&

&&&&

&&

Se definen las frecuencias de vibración desacopladas, de la siguiente manera:

( 7.5 )

En función de ( 7.5 ) y de la ecuación ( 7.2 ) el sistema de ecuaciones diferenciales, queda:

( )0

0

222222

)3(2

22)2(

22)1(

=++

++++

−=+++

=+++

θθ

θ

θ

θ

ρρ qlm

mwkekeqw

le

qwle

lmCq

l

uqweqwm

Cq

qweqwm

Cq

x

xxyyyxyy

x

xxx

x

y

xx

gyxyyy

xyxxx

&&

&&&&

&&

( 7.6 )

Se normalizan las excentricidades estáticas, como sigue:



( 7.7 )

A los términos de la tercera ecuación diferencial que contienen la aceleración rotacional y la

rotación y se multiplica y divide por y al reemplazar ( 7.7 ) en esta ecuación diferencial se halla:

θq&& θq xl

0ˆˆˆˆ 22

222222)3(

2

2=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++++ θθθ

ρρ qlwl

weweqweqwelm

Cqll

xx

xyyxyyxxxyx

xx

&&

Se realiza el siguiente cambio de variable:

θqlq xr = ( 7.8 )

Con el cambio de variable indicado el sistema de ecuaciones diferenciales definido en ( 7.6 )

queda:

0ˆˆˆˆ

ˆ

0ˆ

222

222222)3(2

22)2(

22)1(

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡Ω⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=+++

=+++

ryx

xyyxyyxxxyx

rx

gryxyyy

rxyxxx

qwl

weweqweqwelm

Cql

uqweqwm

Cq

qweqwm

Cq

θρρ

&&

&&&&

&&

( 7.9 )

Se denomina:

( 7.10 )

Con lo que:

0ˆˆˆˆ12

1

ˆ

0ˆ

22

222222)3(2

22)2(

22)1(

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++++

+

−=+++

=+++

rx

xyyxyyxxxyx

r

gryxyyy

rxyxxx

qwl

weweqweqwelm

Cq

uqweqwm

Cq

qweqwm

Cq

θρα

&&

&&&&

&&



En forma matricial se puede escribir:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+ r

y

x

xxyyxyxxy

yxy

xyx

r

y

x

r

y

x

q

qq

wl

wewewewe

wew

wew

q

qq

mC

q

qq

22

222222

22

22

2

ˆˆˆˆ

ˆ0

ˆ0ˆ

12100

010001

θρα &

&

&

&&

&&

&&

Donde es la matriz de amortiguamiento en la cual los elementos de la tercera fila y tercera

columna están divididos para . La primera y segunda fila y sus respectivas columnas de están divididas para .

C

xlm Cm

Se definen las siguientes relaciones de frecuencias, desacopladas:

( 7.11 )

xx

y

ww

Ω = ( 7.12 )

En función de la relación de frecuencias, el sistema de ecuaciones diferenciales, queda:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+Ω+Ω

ΩΩ

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+ 0

0

ˆˆˆˆ

ˆ10

ˆ0ˆ

12100

010001

22

2222

22

2

2g

r

y

x

x

sxyxxxy

x

xyx

y

r

y

x

r

y

x

u

q

qq

wl

eeee

e

e

w

q

qq

mC

q

qq

&&

&

&

&

&&

&&

&&

θρα

7.5 ANÁLISIS SÍSMICO DE UNA ESTRUCTURA MONO SIMÉTRICA



Se define una estructura mono simétrica, a aquella que solo tiene una excentricidad estática. Por lo tanto, en un sentido es completamente simétrica. En la figura 7.12 se indica una estructura mono simétrica que tiene solo excentricidad . xe

Figura 7.12 Estructura mono simétrica

Para el análisis sísmico en sentido Y, es posible trabajar con los dos grados de libertad que se

indican en la figura 7.12. En este caso el sistema de ecuaciones diferenciales, queda:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+ 0ˆˆ

ˆ1ˆ

1210

01

22

222 g

r

y

x

sxx

x

yr

y

r

y u

q

q

wl

ee

e

wq

qmC

q

q &&

&

&

&&

&&

θρα ( 7.13 )

Para poder encontrar las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez, indicadas en la ecuación

( 7.13 ) se necesitan los siguientes datos: ξα ,,,ˆ, 0Ωyx we . El procedimiento de cálculo de estas matrices es el siguiente:

1. Se determina la matriz de masas M

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

1210

012αM

Siendo xy ll /=α , relación de luces de la losa.

2. Se halla la matriz de rigidez K .



⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= 22

22

ˆˆ

ˆ1

θρ

wl

ee

e

wK

x

sxx

x

y

y

x

s

wwl

0

2

0 121

Ω=

+Ω=

θ

αρ

3. Se determina la matriz de amortiguamiento C aplicando el algoritmo de Wilson y Penzien. Para

ello se requiere el factor de amortiguamiento ξ . 4. Se encuentra la respuesta en el tiempo aplicando el Procedimiento de Espacio de Estado o

cualquier otro método de cálculo.

7.6 PROGRAMA BALANCETORSIONALSINAISLAMIENTO

El programa denominado BALANCETORSIONALSINAISLAMIENTO encuentra la respuesta

sísmica en una estructura rectangular, mono simétrica, que solo tiene excentricidad estática , con base empotrada. Realiza el análisis sísmico en sentido Y para el modelo indicado en la figura 7.12. El programa realiza lo siguiente:

xe

• Encuentra la respuesta en desplazamientos en una estructura completamente simétrica y halla la respuesta máxima en absoluto del desplazamiento horizontal, . maxyq

• Para una excentricidad estática dada encuentra la historia en el tiempo de los desplazamientos

de los pórticos extremos, que corresponden al pórtico débil y al pórtico fuerte. Estas respuestas se normalizan para y los presenta en forma gráfica. maxyq

• Encuentra la respuesta en el C.M., para una excentricidad estática determinada, y se

normalizan con respecto a y se grafica en el eje de las X, y en el eje de las

Y, .

ry qq ,

maxyq max/ yy qq

max/ yr qq

• Halla el coeficiente de correlación de la respuesta normalizada de y de . max/ yy qq max/ yr qq


[correlacion]=balancetorsionalsinaislamiento(alfa,exs,Ty,omega,seda,sismo,dt)

alfa Es el valor de xy ll /=α exs Es la excentricidad normalizada xxx lee /ˆ = Ty Es el período de vibración de la estructura en sentido Y. omega Es el valor de yww /θθ =Ω .



seda Es el factor de amortiguamiento ξ que se considera igual en todos los modos. sismo Archivo que contiene el acelerograma de análisis. dt Incremento de tiempo del acelerograma, con este valor se halla la respuesta en

el tiempo.

function [correlacion]=balancetorsionalsinaislamiento(alfa,exs,Ty,omega,seda,sismo,dt) % % Balance Torsional en el dominio del tiempo en estructuras retangulares de % un piso, Mono simetrica % Respuesta en el tiempo de porticos extremos normalizados con % respecto a respuesta maxima de desplazamiento, de estructura simetrica. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Agosto-2007 %--------------------------------------------------------------------- % [correlacion]=balancetorsionalsinaislamiento(alfa,exs,Ty,omega,seda,sismo,dt) %--------------------------------------------------------------------- % alfa : Relacion de lado corto a largo de estructura rectangular % exs : excentridad estatica normalizada con respecto a Lx. % Ty : Periodo de vibracion de estructura en sentido Y. % omega : Relacion de frecuencia wteta con respecto a wy. % sismo : Archivo que contiene acelerograma. % dt : Incremento de tiempo en que viene el acelerograma. % seda : Factor de amortiguamiento (se sonsidera igual en todos los % modos) % uymax : Respuesta maxima en absoluto de estructura completamente % simetrica % urmax : Respuesta maxima en absoluto rotacional de estructura % completamente simetrica. % correlacion : Matriz que reporta los coeficientes de correlacion, % interesa entre desplazamiento horizontal y rotacional. % % Primero se encuentra la respuesta en el tiempo para estructura simetrica % Matriz de masas MS(1,1)=1; MS(1,2)=0; MS(2,1)=0; MS(2,2)=(1+alfa*alfa)/12; % Matriz de rigidez wy=2*pi/Ty;factor=wy*wy; KS(1,1)=factor; KS(1,2)=factor*exs; KS(2,1)=KS(1,2); KS(2,2)=(exs*exs+((1+alfa*alfa)/12)*omega*omega)*factor; KSI(1,1)=factor;KSI(1,2)=0.0;KSI(2,1)=0.0; KSI(2,2)=((1+alfa*alfa)/12)*omega*omega*factor; % Matriz de amortiguamiento tipo Wilson y Penzien [VS,DS]=eig(KSI,MS); Wn=sqrt(DS); W=diag(Wn); zeda(1)=seda; zeda(2)=seda; CSI=zeros(2,2); for i=1:2 fi=VS(:,i); mi=fi'*MS*fi; aux=2*zeda(i)*W(i)/mi; CSI=CSI+aux.*MS*fi*fi'*MS; end % Respuesta en el tiempo por Procedimiento de Espacio de Estado Qo(1)=-1; Qo(2)=0;var=1;Qo=Qo'; npuntos=length(sismo); % Procedimiento de Espacio de Estado [qt,vt,q]=pse3(MS,CSI,KSI,Qo,sismo,dt,var); % Respuestas en porticos extremos,



for j=1:npuntos-1; t(j)=j*dt; uys(j)=qt(j,1);urs(j)=qt(j,2); dfuerte(j)=uys(j)+0.5*urs(j); ddebil(j)=uys(j)-0.5*urs(j); end dfuermax=max(abs(dfuerte));ddebmax=max(abs(ddebil)); uymax=max(abs(uys)); % % Respuesta en el tiempo de estructura asimetrica % % Matriz de amortiguamiento tipo Wilson y Penzien [V,D]=eig(KS,MS); Wn=sqrt(D); W=diag(Wn); CS=zeros(2,2); for i=1:2 fi=V(:,i); mi=fi'*MS*fi; aux=2*zeda(i)*W(i)/mi; CS=CS+aux.*MS*fi*fi'*MS; end % Procedimiento de Espacio de Estado [qt,vt,q]=pse3(MS,CS,KS,Qo,sismo,dt,var); % Respuestas en porticos extremos, for j=1:npuntos-2; tt(j)=j*dt; uy(j)=qt(j,1);uyy(j)=uy(j)/uymax; ur(j)=qt(j,2);urr(j)=ur(j)/uymax; dfuertenor(j)=(uy(j)+0.5*ur(j))/dfuermax; ddebilnor(j)=(uy(j)-0.5*ur(j))/ddebmax; end correlacion=corrcoef(uyy,urr); clf; subplot (2,1,1); plot (tt,dfuertenor); hold on; plot (tt,ddebilnor,':'); xlabel ('Tiempo (s)');ylabel('Desp. Normalizado'); subplot (2,1,2); plot (uyy,urr); xlabel ('uy/uymax');ylabel('ur/uymax'); % ---fin---

• EJEMPLO 6

En la figura 7.13, a la izquierda, se presenta un acelerograma sintético cuyo espectro elástico se indica a la derecha y es aproximado al espectro del Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 para la zona de mayor peligrosidad sísmica del Ecuador, en un perfil de suelo S1. A este acelerograma artificial se denominará SISMO. Para este evento se desea encontrar la respuesta en desplazamientos de los pórticos extremos y la respuesta que relaciona con en el C.M para los siguientes datos:

max/ yy qq max/ yr qq

05.0;8.0;0.1;10.0ˆ;5.0 ==Ω=== ξα θsTe yx .



Figura 7.13 Acelerograma sintético denominado SISMO y espectro de respuesta elástico.

• SOLUCIÓN

En la figura 7.14 se indica las respuestas que reporta el programa. En la parte superior se observa los desplazamientos de los pórticos exteriores, normalizados con respecto al desplazamiento máximo de la estructura simétrica, se aprecia que están desfasados debido a la excentricidad estática.

Figura 7.14 Historia en el tiempo que reporta programa BALANCETORSIONALSINAISLAMIENTO. En la parte inferior se aprecia que existe acoplamiento entre la respuesta horizontal y rotacional

por la excentricidad estática. En el eje de las X, se tiene el desplazamiento horizontal normalizado, y en el eje de las Y la rotación normalizado . Se observa claramente que hay

acoplamiento en la respuesta de traslación con la respuesta de rotación. max/ yy qq max/ yr qq

7.7 COMENTARIOS



El desarrollo matemático presentado en este capítulo tiene muchas aplicaciones entre las que se destacan las dos siguientes:

• Sirve para el cálculo de los parámetros βδα ,, que se ha estudiado en capítulos anteriores para encontrar la excentricidad de diseño. Para el efecto se halla la respuesta en el tiempo en los pórticos débil y fuerte, normalizados con respecto a los desplazamientos hallados en la estructura completamente simétrica.

• Sirve para estudiar un tema muy actual que se conoce con el nombre de Balance Torsional cuyo

objetivo es minimizar los problemas de torsión mediante la colocación de disipadores de energía. Vial (2003) o mediante aisladores de base. De La Llera et al (2005). Lógicamente, es un inicio para esta temática mediante el análisis sísmico de la estructura con base empotrada.

REFERENCIAS

1. Carrillo C., (2008) Comprobación de la respuesta sísmica incorporando y desacoplando la mampostería y técnicas de reforzamiento, Tesis de Grado para obtener el título de Ing. Civil. Escuela Politécnica del Ejército, 200 p. Quito.

2. Vial I., (2003), Torsional balance of planasymmetric structures with frictional dampers: Analytical

and experimental results”, Tesis de Maestría en Ciencias. Escuela de Ingeniería. Pontificia Universidad Católica de Chile, 100 p. Santiago de Chile.

3. De la Llera J., Almazán J., Seguín C., (2005), “Control de estructuras asimétricas mediante

aislamiento sísmico”, IX Congreso Chileno de Sismología e Ingeniería Antisísmica. Universidad Nacional de Concepción, 12 p., Concepción, Chile.



CAPÍTULO 9

AISLADORES DE BASE ELASTO MÉRICOS

RESUMEN

Este capítulo se considera un inicio para aquel lector que desea incursionar en el análisis sísmico de estructuras con aisladores de base. Por este motivo se presenta como funcionan las estructuras con aislación sísmica y se indican algunos detalles constructivos.

Posteriormente se presentan tres modelos para el análisis sísmico espacial de estructuras con aisladores de base sin núcleo de plomo. Estos son el Modelo Cuasi-Estático, el Modelo con Corrección de Masa y el Modelo Dinámico Exacto. Para este último modelo se propone una metodología de solución del sistema de ecuaciones diferenciales acopladas.

Para facilitar el análisis se presentan los programas: CUASIESTATICOAISLAMIENTO

y MASACORREGIDAAISLAMIENTO, que hallan la respuesta en el tiempo con los dos primeros métodos. Se destaca que para utilizar estos programas debe estar en la partición work de MATLAB el programa PSE3, que fue indicado en el capítulo anterior. Se indica la forma de uso de éstos programas mediante el desarrollo de ejemplos.

Posteriormente se compara la respuesta en el tiempo de los desplazamientos en un

edificio de tres pisos, con estos tres modelos; tanto a nivel del sistema de base de los aisladores como a nivel del desplazamiento lateral en el último piso.

9.1 INTRODUCCIÓN Los aisladores de base, son una excelente opción para el diseño sísmico de

estructuras. Lastimosamente en el Ecuador, al 2007 todavía no existe una sola estructura con aisladores de base. Recién en el 2008, el Cuerpo de Ingenieros del Ejército está construyendo el puente que une las ciudades de Bahía de Caráquez con San Vicente con aisladores de base los mismos que están ubicados bajo el tablero del puente, que dicho sea de paso tiene aproximadamente dos kilómetros de longitud.




248

Este capítulo, es un punto de partida para quien se inicia en esta temática de los aisladores de base y que mejor empezar con los más sencillos de analizarlos como son los aisladores elastoméricos.

Los aisladores elastoméricos, que se están estudiando, están compuestos por una

serie de láminas de goma intercaladas con láminas de acero a manera de un sandwich, como se aprecia en la figura 9.1. En la parte superior e inferior del aislador se colocan placas de anclaje las mismas que van conectadas a la superestructura (la superior) y a la cimentación (la inferior) por medio de pernos de anclaje.

Figura 9.1 Detalle de un aislador elastomérico.

Durante su construcción, las láminas de goma se intercalan con las láminas de acero,

dentro de un molde de acero que tiene la forma final del aislador y luego se le aplica presión a una temperatura muy alta, alrededor a los 140 oC, por un tiempo que varía entre 4 y 8 horas, para que la goma se vulcanice y adquiera el conjunto su propiedad elástica, que le permita ser muy flexible horizontalmente debido a la goma y muy rígido verticalmente por la presencia de las láminas de acero, que impiden la deformación lateral de la goma.

Figura 9.2 Edificio San Agustín de la Escuela de Ingeniería de la U. Católica de Chile.




249

En la figura 9.1 se ha presentado un aislador con un orificio cilíndrico en la parte central. Ahora bien, no es necesario dejar este orificio se lo puede fabricar todo lleno. Si se deja el orificio se tiene la posibilidad de colocar un núcleo de plomo para darle mayor eficiencia al aislador. De igual manera no es necesario que el aislador sea circular puede ser rectangular sin ningún orificio.

En la figura 9.2 se observa la fachada principal del Edificio San Agustín, de la Escuela

de Ingeniería de la Pontificia Universidad Católica de Santiago de Chile, que está construido sobre aisladores de base elastoméricos. En la figura 9.3 se muestra uno de los aisladores utilizados en la estructura se nota la cimentación sobre la cual se asienta el aislador y en la parte superior se aprecia una losa sobre vigas. Es fundamental la presencia de esta losa sobre el aislador para que toda la estructura se mueva en forma uniforme.

Figura 9.3 Detalles de la unión entre la cimentación y la estructura mediante un aislador.

En el Edificio San Agustín los aisladores se hallan en un entrepiso de 2 m., de alto, aproximadamente, esto garantiza un buen mantenimiento de los aisladores ya que están protegidos.

En la figura 9.4 se aprecia el comportamiento de un aislador, en el laboratorio ante

fuerzas laterales. Nótese el gran desplazamiento lateral del aislador y es así como se va a comportar una estructura con aisladores de base, durante un sismo. El aislador es el que experimenta grandes desplazamientos y la estructura se va a mover muy poco. El aislador es el que experimenta grandes deformaciones y la estructura muy poco. Es muy probable que después de un sismo el aislador sufrió tanto daño que se requiere cambiarlo, para el efecto en la construcción se debe tener en cuenta los lugares donde se van a colocar los gatos hidráulicos para levantar el edificio y proceder a cambiar el aislador.

En la figura 9.4 se nota que el aislador trabaja al corte y que se ha deformado

lateralmente más del 100% de la altura del aislador. Esto es lo bueno de los edificios con aislación sísmica son los aisladores los que disipan la mayor cantidad de energía y la superestructura permanece en el rango elástico.




250

Figura 9.4 Ensayo en laboratorio de un aislador elastomérico.

La construcción del edificio debe ser realizada de acuerdo a la forma como va a

trabajar la estructura con los aisladores de base. Si se espera que la losa de la planta baja va a tener grandes desplazamientos laterales, se debe en primer lugar permitir que la losa se desplace lateralmente como se aprecia en la figura 9.5, que corresponde al Edificios San Agustín, donde la losa sobresale del nivel del terreno y se ha dejado una junta de construcción adecuada, para la circulación peatonal. En fin hay una serie de detalles que se deben tener en cuenta durante la construcción de un edificio sobre aisladores de base.

Figura 9.5 Detalles constructivos en un edificio con aisladores de base.




251

9.2 FUNDAMENTO GENERAL

Se tiene mejor respuesta sísmica en las estructuras con aisladores de base, por las siguientes razones:

1) Se flexibiliza notablemente a la estructura con los aisladores de base. Si una estructura sin

aisladores de base tiene un período de vibración T al colocarle los aisladores tendrá un período . El proyectista estructural determina las dimensiones de los aisladores para que la estructura tenga el período , llamado también período objetivo.

TTa >>

aT En la figura 9.6 se presentan los espectros de respuesta elásticos de los sismos de: México 1985, Chile 1985 y El Centro 1940. También se ha colocado los períodos fundamentales de tres estructuras de tres, seis y nueve pisos, sin aisladores de base, construidos con base empotrada. Ahora bien, si se considera como período objetivo , y para este período se diseñan los aisladores, las tres estructuras ante los sismos de El Centro y de Chile tendrán menores respuestas sísmicas ya que las ordenadas espectrales son más bajas.

.2 sTa =

En cambio para el sismo de México es preferible no colocar aisladores en la base ya que se van a incrementar la respuesta sísmica. Esto debe llamar la atención ya que no siempre son beneficiosas las estructuras con aislación sísmica. Es fundamental conocer las formas de los espectros para tomar decisiones.

Figura 9.6 Espectros de respuesta elásticos de los sismos de México 1985, Chile 1985 y Centro 1940.

2) Con los aisladores de base se proporciona mayor amortiguamiento a la estructura.

Consecuentemente las ordenadas espectrales van a ser menores y por ende la respuesta de la estructura es menor.




252

9.3 MARCO TEÓRICO

En la figura 9.7, se indica el modelo numérico de cálculo, que considera tres grados de

libertad por planta, medidos en el Centro de Masa C.M., de cada planta, estos son dos desplazamientos horizontales y una rotación de piso con respecto a un eje perpendicular a la losa. Es importante notar que los grados de libertad se agrupan en dos vectores que son: , para los grados de libertad del sistema de aislamiento y para los grados de libertad de la superestructura.

qu

Figura 9.7 Modelo de tres grados de libertad por planta

=q⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

)(

)(

)(

θqqq

y

x

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=)(

)(

)(

θuuu

u y

x

=)( xu

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

)(

)(2

)(1

xn

x

x

u

u

u

=)( yu

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

)(

)(2

)(1

yn

y

y

u

u

u

=)(θu

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

)(

)(2

)(1

θ

θ

θ

nu

u

u

Donde es la componente de desplazamiento horizontal del sistema de aislamiento

en sentido X; es similar a pero en sentido Y; es la rotación de piso con respecto

a un plano perpendicular a la losa.

)(xq)( yq )(xq )(θq

)()()( ,, θuuu yx , son vectores que contienen a los desplazamientos horizontales en sentido X de cada uno de los pisos de la superestructura;




253

desplazamientos horizontales en sentido Y; rotaciones con respecto a un eje perpendicular a la losa, respectivamente.

El sistema de ecuaciones diferenciales, está definido por las siguientes ecuaciones,

para el sistema de aislamiento y la superestructura, respectivamente.

uMrurMqKqCqM stsg

btbbt )()()()()()()( −−=++ ( 9.1 )

[ ]g

bsssss urqrMuKuCuM )()()()()()( +−=++ ( 9.2 )

Donde es la matriz de masa total de la estructura completa como cuerpo rígido;

es la matriz de amortiguamiento del sistema de aislamiento;

)( tM)(bC )(bK es la matriz de rigidez

del sistema de aislamiento; es un vector de colocación de en los grados de libertad de

la base; es la aceleración del suelo, definida por su acelerograma; , y

)(br gu

gu )( sM )(sC )(sK ,

son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez de la superestructura; es la matriz de colocación de en los grados de libertad de la estructura; u es la aceleración en la superestructura.

)(srgu

Al despejar de la ecuación (9.1), el vector de aceleraciones del sistema de aislamiento

, se tiene: q

[ ]uMrqKqCMurq stsbbtg

b )()()()(1)()( ++−−=−

Al sustituir en ecuación (9.2) se encuentra, luego de simplificar , el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales.

q gb ur )(

( )uMrqKqCMrMuKuCuM stsbbtsssss )()()()(1)()()()()()( ++=++−

( 9.3 ) Kulkarni y Jangrid (2002) analizan e interpretan la interacción entre el sistema de

aislamiento y la superestructura y concluyen que la flexibilidad de la estructura no influye mayormente en la respuesta del sistema de aislamiento especialmente cuando el período de vibración de la superestructura con base empotrada es menor a 1.0 s.; en este caso, se puede

ignorar el término de la ecuación ( 9.1). Nótese que únicamente en ésta ecuación se considera . En efecto al desarrollar la ecuación (9.3) se tiene:

uMr sts )()(

0=u

( ) uMrMrMqKqCMrMuKuCuM ststssbbtsssss )()()()()()()()()()()()()( 11 −−++=++

( )qKqCMrMuKuCuMrMrMuM bbtssssststsss )()()()()()()()()()()()()( +=++−−− 11

( )qKqCMrMuKuCuMrMrMM bbtssssststsss )()()()()()()()()()()()()( +=++⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

−− 11

Se denomina Matriz de Masa corregida , a: )(~ sM

)()()()()()()(~ ststssss MrMrMMM 1−−= ( 9.4 )




254

Luego, el sistema de ecuaciones diferenciales para la superestructura, queda:

( )qKqCMqqa

qqarMuKuCuMbbt

sssss

)()(1)(

)()()()()(

),(~),(~~

+=

=++− ( 9.5 )

( 9.6 ) Donde es el vector de aceleración de la superestructura. ),(~ qqa

9.4 MÉTODO CUASI-ESTÁTICO

En el Método Cuasi-Estático, De la Llera et al (2005), la respuesta de sistema de

aislamiento se obtiene en forma dinámica con la ecuación (9.7) en que no se toma en cuenta la aceleración de la superestructura . Se recomienda utilizar el Procedimiento de Espacio de Estado, PEE, para encontrar la respuesta q y .

uq

gbtbbt urMqKqCqM )()()()()( −=++ ( 9.7 )

Por otra parte, la respuesta de la superestructura se halla en forma estática mediante

las ecuaciones (9.8) y (9.9)

),(~),(),(

)()()(

)()(

qqarMqqFqqFuK

sss

ss

=

=

( 9.8 )

( 9.9 ) La ecuación (9.8) es la ecuación básica de equilibrio de estructuras estáticas pero aquí

se debe calcular en cada incremento de tiempo, que son las fuerzas que actúan en la superestructura en cada piso y en cada instante de tiempo de duración del sismo.

),()( qqF s

En estos métodos se considera que la masa de la superestructura está rígidamente

vinculada al aislamiento, por este motivo se calcula como la suma de la masa de la superestructura más la masa del aislamiento.

)(bM

9.4.1 Procedimiento de análisis El procedimiento de análisis sísmico empleando el Método Cuasi-Estático, se resume

en los siguientes pasos:

1. Se encuentra la respuesta en el tiempo del sistema de aisladores q , resolviendo el sistema de ecuaciones diferenciales descrito en ( 9.1 ), que se repite a continuación.

gbtbbt urMqKqCqM )()()()()( −=++

2. Se halla el vector de aceleración total de la estructura completa como cuerpo rígido

( )qqa ,~

( ) ( )qKqCMqqa bbt )()(1)(,~ +=−




255

3. Se encuentran las fuerzas laterales en cada piso )(sF

( )qqarMF sss ,~)()()( =

Donde es la matriz de masa de la superestructura; es la matriz de colocación de en los grados de libertad de la estructura.

)( sM )(srgu

4. Se obtienen los desplazamientos laterales y giros en el centro de masas de cada piso,

resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones lineales.

)()( ss FuK =

Siendo )(sK la matriz de rigidez de la superestructura.

5. Se hallan los desplazamientos laterales en cada pórtico . )( jp

uAp jj )()( = ( 9.10 )

Donde )( jA es la matriz de compatibilidad de deformaciones entre las coordenadas laterales y las coordenadas del centro de masa . La j representa el pórtico j. )( jp u

Las matrices )( jA , )(sK , , para la superestructura son las siguientes. )( sM

)( jA⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

nrSenCos

rSenCos

αα

αα...................

1

( 9.11 )

Donde α es el ángulo que forma la dirección positiva del pórtico j con el eje de las X.

es la distancia del centro de masas al pórtico 1r j en el primer piso, es similar a pero en

el último piso. La matriz nr 1r

)( jA tiene filas y 3 por columnas. Siendo el número de pórticos de la estructura. Para el ejemplo se tiene:

NP NP NP

∑=

=NP

j

jjL

tjs AKAK1

)()()()( ( 9.12 )

Siendo la matriz de rigidez lateral del pórtico )( j

LK j . También se puede obtener )(sK de la siguiente manera.




256

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

===

===

===

NP

i

jjL

NP

i

jjL

NP

i

jjL

NP

j

jjL

NP

j

jL

NP

j

jL

NP

j

jjL

NP

j

jL

NP

j

jL

s

rKrKSenrKCos

rKSenKSenKCosSen

rKCosKCosSenKCos

K

1

2)()(

1

)()(

1

)()(

1

)()(

1

)(2

1

)(

1

)()(

1

)(

1

)(2

)(

αα

ααα

ααα

α

α

( 9.13)

=)( jr

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

i

r

r

r1

Siendo una matriz diagonal de orden por conformada por las distancias

desde el centro de masa al pórtico, con su respectivo signo. La matriz de masa es:

)( jr NP NP)( sM

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=)(

)(

)(

)(

s

s

s

s

Jm

mM

( 9.14 )

=)(sm

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

i

m

m

mm

2

1

( 9.15 )

=)(sJ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

i

J

J

JJ

2

1

( 9.16 )

( )22

12 iii

i bam

J += ( 9.17 )

Donde es la masa del piso i; es el momento de inercia de la masa con respecto al C.M.; , son las dimensiones en planta de la losa del piso i.

im iJ

ia ib




257

• EJEMPLO 1

Realizar el análisis sísmico de la estructura de un piso indicada en la figura 9.8, ante el sismo de El Centro de 1940, cuyo acelerograma se muestra en la figura 9.9. Todas las columnas son iguales y son de 30/30 cm., las vigas también son iguales y son de 20/30 cm. Las luces de la estructura son de 5.0 m., y la altura del entrepiso es de 3.0 m.

La carga muerta es . La carga viva . El centro de masas C.M. es colineal entre la losa superior al aislamiento de base y la losa del primer piso.

2/500 mKgD = 2/200 mKgL =

Figura 9.8 Estructura de análisis de ejemplo 1.

La rigidez de cada aislador es de ./20 mTkb = La masa del aislador más la

cimentación más la masa de la losa bajo la cual están los aisladores, es .

El amortiguamiento del aislador

msTmb /10.0 2=10.0=bξ . Presentar en un gráfico la respuesta en el tiempo

para el movimiento horizontal de la base y para el desplazamiento horizontal del primer

piso .

)(xq)(1 xu

• SOLUCIÓN

Al utilizar el programa RLAXINFI, con un módulo de elasticidad del hormigón

considerado es . Se halla que la matriz de rigidez lateral de los

pórticos con inercias gruesas. Esta vale:

2/21.1738965 mTE =mTK L /5.554= . Al ser todos los pórticos iguales,

esta es la matriz de rigidez lateral de cada uno de ellos.




258

Figura 9.9 Acelerograma del sismo de El Centro de 1940.

El peso D del primer piso vale .5.1225*5.0 TD == La estructura en estudio es una

vivienda, se tomará el 25% de la carga viva para el análisis sísmico. Luego .25.125*2.0*25.0 TL ==

La masa que llega a cada aislador proveniente de la superestructura es el peso total

debido a carga muerta más porcentaje de carga viva dividida para la aceleración de la gravedad y dividida para 4 aisladores. ( ) msTmi /35.04/8.9/25.15.12 2=+= . A esta masa se debe añadir la masa de los aisladores más la cimentación que se considera igual a

. msT /10.0 2

Figura 9.10 Identificación de los pórticos.




259

La distancia del centro de masas C.M. a cada uno de los pórticos es de 2.5 m., pero tienen signo, para hallar las matrices de rigidez )(sK y )(bK . Para explicar los signos en la figura 9.10 se han identificado los pórticos y se ha definido la orientación positiva ya que la distancia será positiva si la orientación positiva del pórtico rota con relación al C.M. en forma antihorario.

En la tabla 9.1 se indican los valores del vector r de cada uno de los pórticos y los

valores del ángulo α , que se mide a partir del eje X hasta la orientación positiva del pórtico. Con estos valores se forma la matriz de compatibilidad A , ecuación ( 9.11 ). Estas son:

Tabla 9.1 Valores r y α de los pórticos para hallar la matriz de compatibilidad A.

Pórtico Distancia del C.M. al pórtico. r Ángulo α 1 -2.5 m. 0 2 2.5 m. 0 A -2.5 m. 90 B 2.5 m. 90

[ ][ ][ ][ ]5.210

5.2105.2015.201

)(

)(

)2(

)1(

=

−=

=

−=

B

A

AAAA

La matriz de rigidez de la superestructura )(sK que se encuentra con la ecuación

(9.12) o con la ecuación (9.13) es:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1386300011090001109

)(sK

El programa CUASIESTATICOAISLAMIENTO calcula esta matriz de rigidez )(sK al igual que todas las matrices que intervienen en el análisis sísmico. La matriz de masa para el ejemplo., es:

)( sM

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

8461.50004031.10004031.1

)(sM

Las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez del sistema de aislamiento de base,

para este ejemplo, son diagonales y valen.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100080

80

0.304.2

4.2

5.2280.1

80.1)()()( bbt KCM

( )[ ] ( )[ ]45.25.220100045.25.245.05.22 2222 ∗+∗=∗+∗=




260

Al utilizar el programa CUASIESTÁTICOAISLAMIENTO se halla la respuesta en el tiempo solicitada. Esta se presenta en la figura 9.11. Es importante notar como el sistema de aislamiento experimenta grandes desplazamientos laterales, alcanzando los 8 cm., para los primeros instantes de tiempo. En cambio la estructura prácticamente no se desplaza lateralmente. Esta es la ventaja de construir estructuras con aisladores de base.

Figura 9.11 Desplazamientos del sistema de aislamiento y del primer piso, en el C.M.

9.4.2 Programa CUASIESTÁTICOAISLAMIENTO El programa CUASIESTATICOAISLAMIENTO tiene una subrutina que se denomina

PSE3. Por lo tanto, antes de usar el programa se debe verificar que en la carpeta Work de MATLAB se tenga grabado esta subrutina que fue listada en el capítulo anterior.

Los datos de entrada del programa CUASIESTATICOAISLAMIENTO son:

>> [NP]=cuasiesticoaislamiento(NP,Sedabase,Iejes,PesoD,PesoL,KLG,r,Sismo,dt)

• NP Número de pisos del edificio. • Sedabase Factor de amortiguamiento de los aisladores de base. • Iejes Número de pórticos de la estructura en el sentido de análisis sísmico. • PesoD Vector en el que se indica el peso total de cada uno de los pisos, desde

el primer piso al último, debido a carga muerta D. • PesoL Vector en el que se indica el peso de cada planta debido al porcentaje de

carga viva L, que se considera en el análisis de acuerdo al uso de la estructura.

• KLG Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de cada uno de los pórticos de la estructura.




261

• r Vector que contiene la distancia desde el Centro de Masas a cada pórtico, con signo. Se da un solo dato por pórtico debido a que el programa CUASIESTATICOAISLAMIENTO contempla que el centro de masas es colineal.

• Sismo Archivo que contiene el acelerograma del sismo que se analiza. Este archivo tiene una sola columna y el número de filas es igual al número de puntos del sismo. Se recomienda que esté en m/s2.

• dt Incremento de tiempo del acelerograma. La respuesta en el tiempo de la estructura se la obtiene para este incremento de tiempo.

En el listado del programa que se indica a continuación, el programa dibuja la

respuesta en el tiempo del último piso de la estructura y del sistema de aislamiento de base, medido en el Centro de Masa.

El programa puede también hallar la respuesta en el tiempo de los pórticos externos en

el sentido de análisis sísmico, halla la respuesta para el último piso y para el primer piso. Si se desea esta opción se deberá quitar los % en la parte correspondiente, que está cerca del final y colocar % en las últimas líneas.

function [NP]=cuasiestaticoaislamiento(NP,sedabase,iejes,pesoD,pesoL,KLG,r,sismo,dt) % % Analisis sismico en el tiempo, espacial de estructuras con aislamiento de base % por el Metodo cuasiestatico, considerando 3 gdl por planta. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Marzo-2007 % Version corregida Julio-2007 %---------------------------------------------------------------------------------- % [NP]=cuasiestaticoaislamiento(NP,sedabase,iejes,pesoD,pesoL,KLG,r,sismo,dt) %---------------------------------------------------------------------------------- % % sedabase Factor de amortiguamiento de los aisladores. % iejes # de ejes de columnas en el sentido de analisis sismico. % alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde la base. % pesoD Vector que contiene la carga muerta D de cada piso. % pesoL Vector que contiene la carga viva L de cada piso. % KLG Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de todos los % porticos con inercias gruesas. Primero los de sentido X. % r Vector que contiene la distancia del portico al centro de masa, de % cada uno de los porticos, con signo, positivo antihorario. Primero % se ingresan las distancias a los porticos en sentido X. luego a los % porticos en sentido Y. % % rs Matriz de colocacion de la aceleracion del suelo en gdl superestructura % rb Vector de colocacion de la aceleracion del suelo en gdl de la base % sismo Archivo que contiene el acelerograma % dt Incremento de tiempo del acelerograma % ace aceleracion total en la superestructura % F Fuerza estatica que actua en cada piso de la superestructura % u Vector de desplazamientos laterales de cada piso de la superestructura % umax Vector que contiene los maximos desplazamientos del ultimo piso % utot Matriz que contiene los desplazamientos de superestructura en cada % incremento de tiempo. En las filas estan los incrementos de tiempo. % p Matriz que contiene la respuesta en el tiempo de cada portico. % La fila 1 es para el portico 1, la 2 para el 2, etc.




262

% A Matriz de paso de coordenadas de piso a coordenadas de portico. Las % primeras filas son para el portico 1 las siguientes para el 2, etc. % NP Numero de pisos % % KS Matriz de rigidez de superestructura en coordenadas de piso. % MS Matriz de masa de superestructura en coordenadas de piso. % KB Matriz de rigidez del sistema de aislamiento. % MB Matriz de masas del sistema de aislamiento. % CB Matriz de amortiguamiento del sistema de aislamiento. % qt Matriz que contiene desplazamientos de la base para todos los gdl. % vt Matriz que contiene velocidades de la base para todos los gdl. % q Vector que contiene solo historia de desplazamientos de la base. % ntot=input ('\n Numero total de porticos de la estructura :'); fprintf ('\n Codigos para analisis sismico: Sentido X=1 Sentido Y=2'); isismo=input ('\n Ingrese codigo de sentido de analisis sismico :'); rs=zeros(3*NP,3);rb=[0;0;0]; if isismo==1;nx=iejes; ny=ntot-nx;rb(1)=1; var=2;for j=1:NP; rs(j,1)=1; end; else;ny=iejes; nx=ntot-ny;rb(2)=1;var=1;for j=1:NP; rs(j+NP,2)=1; end; end; %Submatrices de rigidez: KEE, con inercias gruesas Kxx=zeros(NP,NP);Kyy=zeros(NP,NP);Kteta=zeros(NP,NP);cero=zeros(NP,NP); Kxt=zeros(NP,NP);Kyt=zeros(NP,NP);for k=1:NP;identidad(k,k)=1;end; for i=1:ntot for k=1:NP rtet(k,k)=r(i); end rteta=rtet*rtet; ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP; if i<=nx Kxx=Kxx+KLG(ji:jf,1:NP);Kxt=Kxt+KLG(ji:jf,1:NP)*rtet; Kteta=Kteta+KLG(ji:jf,1:NP)*rteta; A(ji:ji+NP-1,:)=[identidad cero rtet]; else Kyy=Kyy+KLG(ji:jf,1:NP);Kyt=Kyt+KLG(ji:jf,1:NP)*rtet; Kteta=Kteta+KLG(ji:jf,1:NP)*rteta; A(ji:ji+NP-1,:)=[cero identidad rtet]; end end %Matriz de rigidez espacial con 3 grados de libertad por planta KS=[Kxx cero Kxt;cero Kyy Kyt;Kxt Kyt Kteta]; fprintf ('\n Matriz de rigidez con base empotrada') KS %Matriz de masas de superestructura disty=abs(r(1))+abs(r(nx));distx=abs(r(nx+1))+abs(r(ntot)); for i=1:NP; masaD(i)=pesoD(i)/9.8; masaL(i)=pesoL(i)/9.8; mas(i)=masaD(i)+masaL(i);end masa=zeros(NP,NP);for i=1:NP; masa(i,i)=mas(i);end mj=zeros(NP,NP);for i=1:NP, mj(i,i)=mas(i)*(distx^2+disty^2)/12;end MS=[masa cero cero;cero masa cero;cero cero mj]; fprintf ('\n Matriz de masa con base empotrada') MS contx=0;conty=0;cont=0; for i=1:nx for j=1:ny contx=contx+1;rx(contx)=r(i); end end




263

for i=1:ny for j=1:nx conty=conty+1;ry(conty)=r(i+nx); end end % Matriz de rigidez del sistema de aislamiento en coordenadas de piso nd=nx*ny; fprintf ('\nSi los aisladores son circulares e iguales digite 1, caso contrario 2') cod= input ('\nIndique el codigo, sobre si los aisladores son iguales o diferentes: '); Kx=0; Ky=0; Kt=0; Kxte=0; Kyte=0; if cod==1 kais=input ('Rigidez del aislador: '); for i=1:nd kx(i)=kais; Kx=Kx+kx(i); end else for i=1:nd fprintf ('\nIndique la rigidez para el aislador %i',i) kx(i)=input ('\nRigidez del aislador: '); Kx=Kx+kx(i); end end for i=1:nx for j=1:ny cont=cont+1; kxy(i,j)=kx(cont) end end kyx=kxy';cont=0; for i=1:ny for j=1:nx cont=cont+1; ky(cont)=kyx(i,j); Ky=Ky+ky(cont); end end for i=1:nd Kt=Kt+kx(i)*rx(i)*rx(i);Kxte=Kxte+kx(i)*rx(i); end for i=1:nd Kt=Kt+ky(i)*ry(i)*ry(i);Kyte=Kyte+ky(i)*ry(i); end KB=zeros(3); KB(1,1)=Kx; KB(2,2)=Ky; KB(1,3)=Kxte; KB(2,3)=Kyte;KB(3,3)=Kt; KB(3,1)=KB(1,3); KB(3,2)=KB(2,3); fprintf ('\n Matriz de rigidez del sistema de aislacion') KB % Matriz de masas del sistema de aislamiento en coordenadas de piso ij=0;M=0;Jm=0; for i=1:nx for j=1:ny ij=ij+1;d(ij)=sqrt(r(i)*r(i)+r(j+nx)*r(j+nx)); end end fprintf ('\nSi todas las masas son iguales, digite 1, caso contrario 2') icod= input ('\nIndique el codigo, sobre las masas: '); if icod==1 masa=input ('\nIndique la masa sobre el aislador: '); for i=1:nd m(i)=masa;M=M+m(i);Jm=Jm+m(i)*d(i)*d(i); end




264

else for i=1:nd fprintf ('\nIndique la masa sobre el aislador %i',i) m(i)=input('\nMasa sobre el aislador: '); M=M+m(i); Jm=Jm+m(i)*d(i)*d(i); end end MB=zeros(3); MB(1,1)=M;MB(2,2)=M;MB(3,3)=Jm; fprintf ('\n Matriz de masas en coordenadas de piso') MB % Matriz de amortiguamiento del aislamiento en coordenadas de piso % Tipo Wilson y Penzien (1982) for i=1:3; zed(i)=sedabase; end; CB=zeros(3,3);[VV,DD]=eig(KB,MB);WW=sqrt(diag(DD)); % Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor [Wwn,JJ]=sort(WW); for i=1:3; fj(:,i)=VV(:,JJ(i));end for i=1:3 fff=fj(:,i);mi=fff'*MB*fff; aux=2*zed(i)*Wwn(i)/mi; CB=CB+aux.*MB*fff*fff'*MB; end fprintf ('\n Matriz de amortiguamiento del sistema de aislacion') CB fprintf ('\n Tenga paciencia el programa esta corriendo, se demora unos segundos') % Respuesta en el tiempo de aisladores de base Qo=MB*rb*(-1); [qt,vt,q]=pse3(MB,CB,KB,Qo,sismo,dt,var); npuntos=length(sismo);MBI=inv(MB); for i=1:npuntos-1; t(i)=i*dt; for j=1:3 qpb(j)=vt(i,j);qb(j)=qt(i,j); end if i==1 qpb=qpb';qb=qb'; end ace=MBI*(CB*qpb+KB*qb);F=MS*rs*ace;u=KS\F;umax(i)=u(NP); for j=1:3*NP utot(i,j)=u(j); end end % Respuestas en porticos extremos, en ultimo piso y en primer piso for i=1:ntot ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;a=A(ji:jf,1:3*NP); for j=1:npuntos-1; for k=1:3*NP; dd(k)=utot(j,k); end dd=dd';p=a*dd;dd=dd'; if i==1 & isismo==1; p1(j)=p(NP); end if i==nx & isismo==1; pnx(j)=p(1); end if i==nx+1 & isismo==2; p2(j)=p(NP); end if i==ntot & isismo==2; pnt(j)=p(1); end end end hold on % Dibujo de respuestas maximas en porticos exteriores en ultimo y 1 piso




265

%if isismo==1 % p1=p1',pnx=pnx'; % subplot (2,1,1);plot(t,p1); ylabel ('Desplazamiento (m)');title('Desplazamiento ultimo %piso. Portico 1'); % subplot (2,1,2); plot(t,pnx); xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Desplazamiento (m)'); % title ('Desplazamiento primer piso. Portico Extremo en sentido X'); %else % p2=p2';pnt=pnt'; % subplot (2,1,1);plot (t,p2);ylabel ('Desplazamiento (m)'); % subplot (2,1,2);plot (t,pnt);xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Desplazamiento (m)'); %end %Dibujo de respuestas maximas de la base y de ultimo piso plot (t,q); plot (t,umax,'r'); xlabel ('Tiempo (s)'); ylabel ('Desplazamiento (m)'); %---fin

• EJEMPLO 2

Con los datos del ejemplo 1, indicar la forma de ejecutar el programa CUASIESTATICOAISLAMIENTO.

• SOLUCIÓN

>> load c:centro >> KLG=[554.50; 554.50; 554.50; 554.50] >> r = [-2.5; 2.5; -2.5; 2.5] >> [NP]=cuasiestaticoaislamiento(1,0.10,2,12.5,1.25,KLG,r,centro,0.02) Numero total de porticos de la estructura :4 Codigos para analisis sismico: Sentido X=1 Sentido Y=2 Ingrese codigo de sentido de analisis sismico :1 Matriz de rigidez con base empotrada KS = 1.0e+004 * 0.1109 0 0 0 0.1109 0 0 0 1.3863 Matriz de masa con base empotrada MS = 1.4031 0 0 0 1.4031 0 0 0 5.8461 Si los aisladores son circulares e iguales digite 1, caso contrario 2 Indique el codigo, sobre si los aisladores son iguales o diferentes: 1 Rigidez del aislador: 20 Matriz de rigidez del sistema de aislacion




266

KB = 80 0 0 0 80 0 0 0 1000 Si todas las masas son iguales, digite 1, caso contrario 2 Indique el codigo, sobre las masas: 1 Indique la masa sobre el aislador: 0.45 Matriz de masas en coordenadas de piso MB = 1.8000 0 0 0 1.8000 0 0 0 22.5000 Matriz de amortiguamiento del sistema de aislacion CB = 2.4000 0 0 0 2.4000 0 0 0 30.00

El programa presenta la figura 9.11.

9.5 MÉTODO MASAS CORREGIDAS

Únicamente para tener presente las ecuaciones se indica el procedimiento de cálculo a seguir con el Método de Masas Corregidas.

i. Se halla la matriz de masas corregidas )(~ sM

)()()()()()()(~ ststssss MrMrMMM 1−

−=

ii. Se encuentra la respuesta en el sistema de aislamiento q y , resolviendo la siguiente ecuación.

q


Para cada instante de tiempo se hallan los vectores y , empleando el PEE o cualquier otro método de análisis dinámico.

q q

iii. Se halla el vector de aceleraciones de la superestructura ),(~ qqa

( )qKqCMqqa bbt )()()(),(~ +=−1




267

iv. Se encuentra la respuesta dinámica en la superestructura, empleando el PEE.

),(~~ )()()()()( qqarMuKuCuM sssss =++

9.5.1 Programa MASACORREGIDAAISLAMIENTO Los datos de entrada del programa MASACORREGIDAAISLAMIENTO son:

>>[rel]=masacorregidaaislamiento(NP,seda,sedabase,iejes,pesoD,pesoL,KLG,r,sismo,dt)

• NP Número de pisos del edificio. • seda Factor de amortiguamiento de la superestructura. • sedabase Factor de amortiguamiento de los aisladores de base. • iejes Número de pórticos de la estructura en el sentido de análisis sísmico. • PesoD Vector con los pesos de cada piso debido a carga muerta. • PesoL Vector con los pesos de cada pido debido al porcentaje de carga viva. • KLG Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de cada uno de los

pórticos de la estructura. • r Vector que contiene la distancia desde el Centro de Masas a cada pórtico,

con signo. Se da un solo dato por pórtico debido a que el programa MASACORREGIDAAISLAMIENTO contempla que el centro de masas es colineal.



Como se aprecia la entrada de datos del programa MASACORREGIDAAISLAMIENTO es similar al CUASIESTATICOAISLAMIENTO y el reporte de resultados también es similar. De tal manera que hay dos opciones para la respuesta en el tiempo, la primera que presente los desplazamientos de los pórticos externos del último y del primer piso. La segunda que presente los desplazamientos del último piso y del sistema de aislamiento, medidos en el C.M.

function [rel]=masacorregidaaislamiento(NP,seda,sedabase,iejes,pesoD,pesoL,KLG,r,sismo,dt) % % Analisis sismico en el tiempo, espacial de estructuras con aislamiento de base % por el Metodo de la masa corregida, considerando 3 gdl por planta. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Marzo de 2007 %---------------------------------------------------------------------------------- % [rel]=masacorregidaaislamiento(NP,seda,sedabase,iejes,pesoD,pesoL,KLG,r,sismo,dt) %---------------------------------------------------------------------------------- % % rel Relacion entre periodo superestructura con relacion a periodo aislamiento % seda Factor de amortiguamiento de la superestructura. % sedabase Factor de amortiguamiento de los aisladores.




268

% iejes # de ejes de columnas en el sentido de analisis sismico. % alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde la base. % pesoD Vector que contiene la carga muerta D de cada piso. % pesoL Vector que contiene la carga viva L de cada piso. % KLG Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de todos los % porticos con inercias gruesas. Primero los de sentido X. % r Vector que contiene la distancia del portico al centro de masa, de % cada uno de los porticos, con signo, positivo antihorario. % rs Matriz de colocacion de la aceleracion del suelo en gdl superestructura % rb Vector de colocacion de la aceleracion del suelo en gdl de la base % sismo Archivo que contiene el acelerograma % dt Incremento de tiempo del acelerograma % ace aceleracion total en la superestructura % F Fuerza estatica que actua en cada piso de la superestructura % u Vector de desplazamientos laterales de cada piso de la superestructura % umax Vector que contiene los maximos desplazamientos del ultimo piso % utot Matriz que contiene los desplazamientos de superestructura en cada % incremento de tiempo. En las filas estan los incrementos de tiempo. % p Matriz que contiene la respuesta en el tiempo de cada portico. % La fila 1 es para el portico 1, la 2 para el 2, etc. % A Matriz de paso de coordenadas de piso a coordenadas de portico. Las % primeras filas son para el portico 1 las siguientes para el 2, etc. % NP Numero de pisos % % KS Matriz de rigidez de superestructura en coordenadas de piso. % MS Matriz de masa de superestructura en coordenadas de piso. % MSC Matriz de masa corregida. % KB Matriz de rigidez del sistema de aislamiento. % MB Matriz de masas del sistema de aislamiento. % CB Matriz de amortiguamiento del sistema de aislamiento. % qt Matriz que contiene desplazamientos de la base para todos los gdl. % vt Matriz que contiene velocidades de la base para todos los gdl. % q Vector que contiene solo historia de desplazamientos de la base. % qs Matriz que contiene desplazamientos de la estructura para los gdl. % vs Matriz que contiene velocidades de la estructura para todos los gdl % Son matrices porque cada fila corresponde a un instante de tiempo. % ntot=input ('\n Numero total de porticos de la estructura :'); fprintf ('\n Codigos para analisis sismico: Sentido X=1 Sentido Y=2'); isismo=input ('\n Ingrese codigo de sentido de analisis sismico :'); rs=zeros(3*NP,3);rb=[0;0;0]; if isismo==1;nx=iejes; ny=ntot-nx;rb(1)=1; var=2;for j=1:NP; rs(j,1)=1; end; else;ny=iejes; nx=ntot-ny;rb(2)=1;var=1;for j=1:NP; rs(j+NP,2)=1; end; end; %Submatrices de rigidez: KEE, con inercias gruesas Kxx=zeros(NP,NP);Kyy=zeros(NP,NP);Kteta=zeros(NP,NP);cero=zeros(NP,NP); Kxt=zeros(NP,NP);Kyt=zeros(NP,NP);for k=1:NP;identidad(k,k)=1;end; for i=1:ntot for k=1:NP rtet(k,k)=r(i); end rteta=rtet*rtet; ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP; if i<=nx Kxx=Kxx+KLG(ji:jf,1:NP);Kxt=Kxt+KLG(ji:jf,1:NP)*rtet; Kteta=Kteta+KLG(ji:jf,1:NP)*rteta; A(ji:ji+NP-1,:)=[identidad cero rtet]; else




269

Kyy=Kyy+KLG(ji:jf,1:NP);Kyt=Kyt+KLG(ji:jf,1:NP)*rtet; Kteta=Kteta+KLG(ji:jf,1:NP)*rteta; A(ji:ji+NP-1,:)=[cero identidad rtet]; end end %Matriz de rigidez espacial con 3 grados de libertad por planta KS=[Kxx cero Kxt;cero Kyy Kyt;Kxt Kyt Kteta]; fprintf ('\n Matriz de rigidez con base empotrada') KS %Matriz de masas de superestructura disty=abs(r(1))+abs(r(nx));distx=abs(r(nx+1))+abs(r(ntot)); for i=1:NP; masaD(i)=pesoD(i)/9.8; masaL(i)=pesoL(i)/9.8; mas(i)=masaD(i)+masaL(i);end masa=zeros(NP,NP);for i=1:NP; masa(i,i)=mas(i);end mj=zeros(NP,NP);for i=1:NP, mj(i,i)=mas(i)*(distx^2+disty^2)/12;end MS=[masa cero cero;cero masa cero;cero cero mj]; fprintf ('\n Matriz de masa con base empotrada') MS % Matriz de amortiguamiento, tipo Wilson y Penzien (1982) for i=1:3*NP; zeda(i)=seda; end;zeda=zeda'; CS=zeros(3*NP,3*NP);[V,D]=eig(KS,MS);W=sqrt(diag(D)); % Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor [Wn,II]=sort(W); for i=1:3*NP; fi(:,i)=V(:,II(i));end;T1s=2*pi/Wn(1); for i=1:3*NP ff=fi(:,i);mi=ff'*MS*ff;aux=2*zeda(i)*Wn(i)/mi; CS=CS+aux.*MS*ff*ff'*MS; end fprintf ('\n Matriz de amortiguamiento con base empotrada') CS % Matriz de rigidez del sistema de aislamiento en coordenadas de piso nd=nx*ny; fprintf ('\nSi los aisladores son circulares e iguales digite 1, caso contrario 2') cod= input ('\nIndique el codigo, sobre si los aisladores son iguales o diferentes: '); Kx=0; Ky=0; Kt=0; Kxte=0; Kyte=0; if cod==1 kais=input ('Rigidez del aislador: '); for i=1:nd kx(i)=kais; ky(i)=kais; Kx=Kx+kx(i); Ky=Ky+ky(i); end else for i=1:nd fprintf ('\nIndique la rigidez para el aislador %i',i) kx(i)=input ('\nRigidez del aislador: '); Kx=Kx+kx(i); ky(i)=kx(i); Ky=Ky+ky(i); end end for i=1:nx Kt=Kt+kx(i)*r(i)*r(i);Kxte=Kxte+kx(i)*r(i); end for i=1:ny Kt=Kt+ky(i)*r(i+nx)*r(i+nx);Kyte=Kyte+ky(i)*r(i+nx); end KB=zeros(3); KB(1,1)=Kx; KB(2,2)=Ky; KB(1,3)=Kxte; KB(2,3)=Kyte;KB(3,3)=Kt; KB(3,1)=KB(1,3); KB(3,2)=KB(2,3); fprintf ('\n Matriz de rigidez del sistema de aislacion') KB % Matriz de masas del sistema de aislamiento en coordenadas de piso




270

ij=0;M=0;Jm=0; for i=1:nx for j=1:ny ij=ij+1; d(ij)=sqrt(r(i)*r(i)+r(j+nx)*r(j+nx)); end end fprintf ('\nSi todas las masas son iguales, digite 1, caso contrario 2') icod= input ('\nIndique el codigo, sobre las masas: '); if icod==1 masa=input ('\nIndique la masa sobre el aislador: '); for i=1:nd m(i)=masa;M=M+m(i);Jm=Jm+m(i)*d(i)*d(i); end else for i=1:nd fprintf ('\nIndique la masa sobre el aislador %i',i) m(i)=input('\nMasa sobre el aislador: '); M=M+m(i); Jm=Jm+m(i)*d(i)*d(i); end end MB=zeros(3); MB(1,1)=M;MB(2,2)=M;MB(3,3)=Jm; fprintf ('\n Matriz de masas en coordenadas de piso') MB % Matriz de amortiguamiento del aislamiento en coordenadas de piso % Tipo Wilson y Penzien (1982) for i=1:3; zed(i)=sedabase; end; CB=zeros(3,3);[VV,DD]=eig(KB,MB);WW=sqrt(diag(DD)); % Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor [Wwn,JJ]=sort(WW); for i=1:3; fj(:,i)=VV(:,JJ(i));end; T1b=2*pi/Wwn(1);rel=T1s/T1b; for i=1:3 fff=fj(:,i);mi=fff'*MB*fff; aux=2*zed(i)*Wwn(i)/mi; CB=CB+aux.*MB*fff*fff'*MB; end fprintf ('\n Matriz de amortiguamiento del sistema de aislacion') CB fprintf ('\n Tenga paciencia el programa esta en aislamiento de base, se demora unos segundos') % Respuesta en el tiempo de aisladores de base Qo=MB*rb*(-1); [qt,vt,q]=pse3(MB,CB,KB,Qo,sismo,dt,var); % Correccion de masa npuntos=length(sismo);MBI=inv(MB);MBBI=inv(MB'); MSC=MS-MS*rs*MBBI*rs'*MS; MSSC=zeros(3*NP,3*NP); for i=1:3*NP; MSSC(i,i)=MSC(i,i); end for i=1:npuntos-1; tt(i)=i*dt; for j=1:3 qpb(j)=vt(i,j);qb(j)=qt(i,j); end if i==1 qpb=qpb';qb=qb'; end ac=MBBI*(CB*qpb+KB*qb); if isismo==1; acelera(i)=ac(1); else; acelera(i)=ac(2); end end fprintf ('\n Tenga paciencia el programa esta en la estructura, se demora unos segundos')




271

% Respuesta en el tiempo de superestructura. Qo=MS*rs; if isismo==1; Qs=Qo(:,1); else; Qs=Qo(:,2); end [qs,vs,qq]=pse3(MSSC,CS,KS,Qs,acelera,dt,var); % Respuestas en porticos extremos, en ultimo piso y en primer piso for i=1:ntot ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;a=A(ji:jf,1:3*NP); for j=1:npuntos-2; t(j)=j*dt; for k=1:3*NP; dd(k)=qs(j,k); end dd=dd';p=a*dd;dd=dd'; if i==1 & isismo==1; p1(j)=p(NP); end if i==nx & isismo==1; pnx(j)=p(1); end if i==nx+1 & isismo==2; p2(j)=p(NP); end if i==ntot & isismo==2; pnt(j)=p(1); end end end hold on % Dibujo de respuestas maximas en porticos exteriores en ultimo y 1 piso if isismo==1 p1=p1';pnx=pnx'; subplot (2,1,1);plot(t,p1); ylabel ('Desplazamiento (m)');title('Desplazamiento ultimo piso. Portico 1'); subplot (2,1,2); plot(t,pnx); xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Desplazamiento (m)'); title ('Desplazamiento primer piso. Portico Extremo en sentido X'); else p2=p2';pnt=pnt'; subplot (2,1,1);plot (t,p2);ylabel ('Desplazamiento (m)'); title('Desplazamiento ultimo piso. Portico A'); subplot (2,1,2);plot (t,pnt);xlabel ('Tiempo (s)');ylabel ('Desplazamiento (m)'); title ('Desplazamiento primer piso. Portico Extremo en sentido Y'); end % Dibujo de respuestas maximas de la base y de ultimo piso %plot (tt,q); %plot (t,p1,'r'); %---fin

• EJEMPLO 3

Resolver el ejemplo 1, utilizando el programa MASACORREGIDAAISLAMIENTO y presentar la respuesta en los pórticos 1 y 2.

• SOLUCIÓN

En general, el programa presenta la respuesta en el tiempo de los pórticos exteriores del último piso y del primer piso. En este caso, se tiene una estructura de un piso con dos pórticos en cada dirección de análisis. Luego el programa reporta la respuesta en el tiempo de los pórticos 1 y 2, las mismas que se presentan en la figura 9.12. Como la estructura es simétrica las dos respuestas son iguales y es igual a la respuesta en el Centro de Masa.




272

Figura 9.12 Respuesta del pórtico 1, gráfica superior y del pórtico 2, gráfica inferior.

9.6 MÉTODO DINÁMICO EXACTO

Al comportarse en el rango elástico el sistema de aislamiento, el sistema de ecuaciones diferenciales ( 9.1 ) puede descomponerse en dos problemas, a saber:

gbt

bb

bb

bt urMqKqCqM )()()()()( −=++ ( 9.18 )

uMrqKqCqM stss

bs

bs

t )()()()()( −=++ ( 9.19 )

Siendo y la solución de los sistemas de ecuaciones ( 9.18 ) y ( 9.19 ) respectivamente. De tal manera que el vector es igual a la suma de estos dos vectores.

bq sqq

sb qqq += ( 9.20) El procedimiento propuesto para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales

acoplado (9.1) y (9.2). Es el siguiente:

i. Se resuelve (9.18) y se hallan los vector y empleando el PEE. bq bqii. En base a y se encuentra el vector bq bq ),(~

bb qqa

( )bb

bbt

bb qKqCMqqa )()()(),(~ +=−1

iii. Se halla la respuesta en la superestructura u y empleando el PEE, en: u




273

),(~~ )()()()()(bb

sssss qqarMuKuCuM =++

iv. Se encuentra el vector de aceleraciones de la superestructura u , a partir de la ecuación diferencial de paso iii.

( ) ( )uKuCMqqarMMu sssbb

sss )()()()()()( ~,~~ +−=−− 11

v. Se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales ( 9.19 ) y se halla empleando el PEE.

sq

vi. Una vez conocidos y se obtiene el vector mediante la ecuación ( 9.20 ). bq sq q

Este momento se tiene el vector en el sistema de aislamiento y el vector en la

superestructura con lo que se termina la primera iteración. A partir de este instante el procedimiento de cálculo se repite en forma cíclica hasta lograr que las respuestas tanto del sistema de aislamiento como de la superestructura en un ciclo n sean parecidas a las del ciclo anterior.

q u

vii. Se determina la aceleración de la superestructura . u

( ) ( )uKuCMqKqCMrMMu sssbbtsss )()()()()()()()()( ~~ +−+=−−− 111

viii. Se halla la respuesta en la superestructura u y empleando el PEE. u

( )uMrqKqCMrMuKuCuM stsbbtsssss )()()()()()()()()()( ++=++−1

ix. Se obtiene la aceleración en la superestructura pero únicamente con los vectores

y , ya que se va a determinar en el sistema de aislamiento. su

u u sq

( )uKuCMu sss )()()(~ +−=−1

x. Se encuentra aplicando el PEE en: sq

uMrqKqCqM stss

bs

bs

t )()()()()( −=++

xi. Se halla el vector en el sistema de aislamiento empleando ( 9.20 ) q

El vector se determina una sola vez, en el primer paso. Lo que se obtiene en los

ciclos posteriores es el vector . Si la respuesta tanto del sistema de aislamiento como de la superestructura no son parecidas a las del ciclo anterior se repite el procedimiento desde el paso vii.

bq

sq qu




274

Figura 9.13 Distribución en planta de estructura analizada, de tres pisos.

• EJEMPLO 4

Se analiza la estructura de tres pisos, cuya configuración en planta es la mostrada en la figura 9.13 y las dimensiones de los elementos estructurales se indican en la tabla 9.2; la altura de los entrepisos es de 3.0 m. El sistema de aisladores está conformado por una goma que tiene un módulo de corte y un peso específico de 1.23 T/m2/0.7 cmkgGa =

3. La geometría de los aisladores circulares, han sido obtenidos para que el período objetivo sea de 2 segundos y se indica en la tabla 9.3. El factor de amortiguamiento de la superestructura es

y de los aisladores . Se desea encontrar la respuesta en el tiempo ante el sismo de El Centro de 1940 si este actúa en sentido X, empleando la solución exacta.

05.0)( =sξ 10.0)( =bξ

Tabla 9.2 Dimensiones de elementos estructurales y pesos en edificio de tres pisos

PESO Eje TOTAL

Piso Tn1 30/30 35/35 35/35 30/30 25/30 141.752 30/30 35/35 35/35 30/30 25/30 132.753 30/30 35/35 35/35 30/30 25/30 123.75

COLUMNASVIGAS1 2 3 4

La tabla 9.3 contiene, el número de aislador, su área cooperante [m2], la masa que aporta la estructura a cada aislador, los diámetros exterior e interior [cm], la altura del aislador [cm], el área de corte [cm2], la rigidez del aislador [T/m] y la masa que aporta cada aislador y finalmente la masa total. En la figura 9.14 se presenta la numeración de los aisladores.

• SOLUCIÓN

Sea KL1 la matriz de rigidez lateral del pórtico 1, que es igual a la matriz de rigidez lateral del pórtico 4; KL2 la matriz de rigidez lateral del pórtico 2, que es igual a la matriz de rigidez lateral del pórtico 3. KLA la matriz de rigidez lateral del pórtico A, que es igual a la matriz de rigidez lateral de los pórticos B, C y D. Las matrices de rigidez lateral inferior, son las siguientes.




275

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

1.10129.13533.4092.28912.2038

0.36241KL

Tabla 9.3 Dimensiones de aisladores de base y aporte de masas en edificio de tres pisos. mi A me De Di Hr Ac Kb mb mT1 6,25 1,1288 40 10 40 1178,10 20,62 0,0059 1,13472 12,50 2,2577 40 10 40 1178,10 20,62 0,0059 2,26363 12,50 2,2577 40 10 40 1178,10 20,62 0,0059 2,26364 6,25 1,1288 40 10 40 1178,10 20,62 0,0059 1,13475 12,50 2,2577 40 10 40 1178,10 20,62 0,0059 2,26366 25,00 4,5153 55 10 40 2297,29 40,20 0,0115 4,52687 25,00 4,5153 55 10 40 2297,29 40,20 0,0115 4,52688 12,50 2,2577 40 10 40 1178,10 20,62 0,0059 2,26369 12,50 2,2577 40 10 40 1178,10 20,62 0,0059 2,2636

10 25,00 4,5153 55 10 40 2297,29 40,20 0,0115 4,526811 25,00 4,5153 55 10 40 2297,29 40,20 0,0115 4,526812 12,50 2,2577 40 10 40 1178,10 20,62 0,0059 2,263613 6,25 1,1288 40 10 40 1178,10 20,62 0,0059 1,134714 12,50 2,2577 40 10 40 1178,10 20,62 0,0059 2,263615 12,50 2,2577 40 10 40 1178,10 20,62 0,0059 2,263616 6,25 1,1288 40 10 40 1178,10 20,62 0,0059 1,1347

Figura 9.14 Numeración de los aisladores y ubicación del C.M. del sistema de aislación.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

5.14516.21327.8446.47518.3706

9.64842KL




276

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

3.12750.17914.6280.38958.2888

3.5080KLA

Se considera que el archivo del sismo de análisis ha sido cargado y se denomina

centro. La forma de correr el programa para la estructura de la figura 2, es como sigue. En la figura 9.15 se presenta la respuesta en el tiempo del sistema de aislamiento en

sentido X. Se aprecia que únicamente en la segunda iteración la respuesta es diferente a la que se obtiene en las iteraciones (1), (3) y (4). Las respuestas para las iteraciones (3) y (4) son prácticamente las mismas.

Figura 9.15 Respuesta del sistema de aislamiento en cuatro iteraciones.

Se puede indicar que con la metodología propuesta en la tercera iteración se tiene

resultados satisfactorios tanto en el sistema de aislamiento como en la superestructura. En la figura 9.16, se presenta la respuesta de desplazamientos en el tercer piso del pórtico 1 y se aprecia que las respuestas de las iteraciones (2) y (3), son prácticamente las mismas. Nótese que la respuesta de la primera iteración reporta resultados muy altos.

• EJEMPLO 5

Encontrar y comparar las respuestas en el tiempo, del sistema de aislamiento de la estructura del ejemplo 4, empleando los tres métodos de análisis. En realidad para el sistema de aislamiento son solo dos ya que para el Método Cuasi estático y de Masa Corregida, el procedimiento de solución para el sistema de base, es el mismo.




277

Figura 9.16 Desplazamiento horizontal de tercer piso en las tres primeras iteraciones.

• SOLUCIÓN

En la figura 9.17 se muestra la respuesta en el tiempo en el sistema de aislamiento, con los tres métodos. Se aprecia que el Método Dinámico Exacto reporta valores ligeramente superiores para cuando se tienen las respuestas máximas, que están entre los 3 y 8 segundos. Después los tres métodos presentan resultados muy similares.




278

Figura 9.17 Respuestas en sistema de aislamiento con los tres métodos. • EJEMPLO 6

Comparar las respuestas en el tiempo, que se hallan en el último piso de la estructura

del ejemplo 4, con los tres métodos de análisis sísmico.

• SOLUCIÓN

En la figura 9.18 en que se indica la respuesta de desplazamientos, del tercer piso del pórtico 1. Se aprecia que con el Método de Masa Corregida se tienen las mayores respuestas y lo contrario sucede con el Método Dinámico Exacto. El Método Cuasi-estático presenta valores intermedios.

Figura 9.18 Respuesta en tercer piso de pórtico 1 con los tres métodos.

Lo importante es notar que en la superestructura las respuestas que se hallan con los

diferentes métodos son diferentes.

La relación entre el período de vibración de la superestructura con relación al período de vibración del sistema de aislamiento de base, de la estructura analizada es 0.222. Es importante tener en cuenta esta relación ya que para relaciones menores a 0.4; la aproximación entre los métodos es bastante buena.

REFERENCIAS

1. De La Llera J. Almazán J., y Seguín C., (2005), “Control de Estructuras asimétricas mediante aislamiento sísmico”, IX Congreso Chileno de Sismología e Ingeniería Antisísmica, 12 p., Concepción.




279

2. Kulkarni J., y Jangrid R., (2002), “Rigid body response of base-isolated structures”, Journal of Structural Control, 9, 171-188.



CAPÍTULO 10

DISIPADORES DE ENERGÍA VISCO ELÁSTICOS

RESUMEN







10.1 INTRODUCCIÓN El 4 de agosto de 1988 un sismo superficial de magnitud 1.7=SM se registró frente a

la costa de Bahía de Caráquez causando gran daño en siete estructuras, dos de ellas de seis pisos, tres de cinco pisos, una de dos y otra de un piso. De estas siete una colapsó durante el sismo y tres más fueron derrocadas posteriormente al sismo ya que en la planta baja se habían rotulado todas las columnas en cabeza y pie. Aguiar et al ( 1998 ). Por otra parte, doce edificios de cuatro a once pisos sufrieron un daño apreciable en la mampostería y ligero agrietamiento en los elementos de hormigón armado. Todo esto en la ciudad de Bahía de Caráquez.




280

El reforzamiento estructural de los edificios que fueron afectados por el sismo,

básicamente se lo realizó de dos formas, la primera incorporando elementos estructurales como muros de corte o columnas y la segunda encamisando las columnas y vigas como lo muestra la figura 10.1. De esta forma se incrementó la capacidad sísmica resistente de los edificios.

Figura 10.1 Encamisado de columna y vigas de un edificio de Bahía de Caráquez.

El encamisado de los elementos estructurales tiene gran complejidad ya que se deben tomar especiales precauciones para garantizar una muy buena adherencia entre el hormigón viejo y nuevo. La colocación del hormigón en el encamisado, es bastante difícil por las limitaciones de espacio que se tiene y el poco tiempo con que se cuenta para que se adhiera al hormigón antiguo.

Una alternativa para reforzar contra sismos los edificios es colocar disipadores de

energía, con esta opción el reforzamiento se lo realiza en menor tiempo, además no se daña el piso ni los acabados como sucede cuando se encamisa o se coloca un nuevo elemento estructural.

10.2 DISIPADOR VISCO ELÁSTICO En este capítulo no se va a mostrar los Disipadores de Energía que se han producido a

nivel mundial, la lista es muy extensa, lo que se presenta es el disipador de energía visco elástico que ha sido desarrollado en el Centro de Investigaciones Científicas de la Escuela Politécnica del Ejército en el 2007, el mismo está compuesto por un perfil tubular de lámina delgada doblado en frío, en su parte central, rodeando al perfil cajón se tiene la goma y tapando la goma se tiene un perfil canal “U” en cada cara. En la figura 10.2 se tiene una vista longitudinal del disipador visco elástico, para una mayor fijeza en los extremos se coloca una placa de acero debidamente empernada y entre la placa y la goma existe una distancia para permitir las deformaciones por corte de la goma. La goma está vulcanizada a los perfiles de lámina delgada, de tal manera que ante movimientos sísmicos no se desprenda.




281

Figura 10.2 Sección transversal de disipador de energía visco elástico.

PERFIL CANAL

PERFIL CANAL

PERFIL CAJÓN

PERNOS

PLACAS DE ACERO

GOMA

PERNOS

Figura 10.3 Vista longitudinal de disipador de energía visco elástico.

10.3 VENTAJAS DE LOS DISIPADORES

La forma del espectro elástico depende del factor de amortiguamiento ξ , si este valor es pequeño las ordenadas espectrales serán altas y viceversa. En la figura 10.4, se presentan tres espectros para un acelerograma artificial, para factores de amortiguamiento de 3, 5 y 9%. Se aprecia que las mayores ordenadas espectrales se obtienen para el espectro correspondiente a 03.0=ξ ; en consecuencia si se diseña para ese espectro se tendrán fuerzas sísmicas muy altas. El caso contrario se tiene con el espectro para 09.0=ξ en este caso las fuerzas sísmicas son bajas.




282

Figura 10.4 Espectros de respuesta elásticos para diferentes niveles de amortiguamiento.

La mayor parte de las normativas sísmicas, para estructuras de hormigón armado,

establecen espectros de diseño para 05.0=ξ . Con este valor de ξ se espera un considerable agrietamiento en la estructura. Si no se desea ningún daño en la estructura habrá que considerar un 02.0=ξ o menor pero esto implica que se debe diseñar para fuerzas sísmicas muy altas y esto conduce a tener elementos estructurales de dimensiones considerables, debido a que las ordenadas espectrales son altas.

Finalmente si se utiliza un espectro para un 09.0=ξ se obtendrán elementos

estructurales de pequeñas dimensiones pero se espera un gran daño en la estructura. Todo esto en la forma tradicional de diseñar y construir las estructuras.

Con la incorporación de los disipadores de energía lo que se pretende es tener

amortiguamientos altos, debido a la presencia de estos dispositivos de disipación de energía sísmica. El factor de amortiguamiento de una estructura con disipadores es igual al factor de amortiguamiento de la estructura más el factor de amortiguamiento de los disipadores. Se desea que el factor de amortiguamiento de la estructura con disipadores sea muy alto para tener ordenadas espectrales y fuerzas sísmicas bajas pero en la estructura el factor de amortiguamiento debe ser bajo para no tener daño y es en los disipadores donde se tienen factores de amortiguamiento altos.

10.4 ENSAYOS PRELIMINARES

En la figura 10.5 se presentan las curvas de histéresis obtenidas en laboratorio, con el

prototipo indicado en la figura 10.2, para frecuencias de excitación que varían desde 0.05 Hz., hasta 0.20 Hz., que demuestran el comportamiento no lineal del material; el área encerrada en estas curvas es la energía disipada. En base a estas curvas se obtuvo la rigidez equivalente del disipador y el factor de amortiguamiento equivalente. Aguiar y Jiménez (2007).

A pesar de que el espesor de la goma del prototipo fue de 6 mm., el amortiguamiento

equivalente obtenido es del orden del 0.5%. Al aumentar el espesor de la goma se incrementa el amortiguamiento. Los ensayos se realizaron para deformaciones de la goma que varían del 10 al 150%. En la medida que se incrementa la deformación al corte de la goma, la rigidez




283

equivalente del disipador disminuye y en la medida que se aumenta la frecuencia de la excitación la rigidez equivalente se incrementa. Chang et al (1992, 1993).

Figura 10.5 Curvas de histéresis para diferentes frecuencias de excitación.

10.5 RIGIDEZ EQUIVALENTE DEL DISIPADOR

En la figura 10.6 se presenta la sección transversal de un disipador de energía visco elástico, el objetivo que se persigue en éste apartado es presentar los formularios con los cuales se obtienen la rigidez equivalente de este disipador.

i. Se determina el Área de corte CA

( ) 4. LbAC = ( 10.1 )

Donde b es el ancho de la goma y es la longitud de la goma. L

ii. Se halla la rigidez del disipador 'K

eAG

K Ca=' ( 10.2 )




284

Siendo el módulo de corte o también conocido como módulo de almacenamiento de la goma; e es el espesor de la goma.

aG

PERFIL CAJON

GOMA

PERFIL CANAL

b

b

b b

e

Figura 10.6 Disipador: Perfil cajón – canal

iii. Se encuentra la rigidez de la diagonal de acero como un material compuesto. dK

2

2

1

1

AL

AL

EKd

+= ( 10.3 )

Donde E es el módulo de elasticidad del perfil cajón o del perfil canal; son las longitudes del perfil cajón y de los perfiles canal; son las áreas transversales de los perfiles cajón y perfiles canal.

21 , LL

21 , AA

iv. Se halla la rigidez equivalente para el conjunto compuesto por la diagonal de acero

que tiene rigidez y la goma que tiene rigidez

'eK

dK 'K . Para el efecto se trabaja con las flexibilidades pero en el campo de las frecuencias, llegándose a obtener:

( )( )( )

'2

2'

2'

11

11

KK

KK

e

ee

d

e

ηηηη

η

ηη

+

+=

++

=

( 10.4 )

( 10.5 )

Siendo η el factor de pérdida de la goma definido por ap GG /=η , donde es el

módulo de pérdida de la goma; pG

eη es el factor de pérdida equivalente.




285

• EJEMPLO 1

En el pórtico plano, de un piso y un vano, indicado en la figura 10.7 se ha colocado un disipador viscoelástico en la diagonal, cuya geometría se indica a la derecha de la figura 10.8 . Se desea encontrar la rigidez equivalente del disipador si la longitud de la goma es el ancho de la goma , el espesor de la goma

.100 cmL =.14 cmb = .1cme = ; la longitud del perfil cajón ;

; la longitud del perfil canal cmL 3001 = .3502 cmL =

Figura 10.7 Geometría del disipador de energía viscoelástico.

El perfil cajón es de 17.5 x 42.3 y tiene un área transversal de 53.9 cm2 y el perfil canal es de 17.5 x 14.4 con un área transversal total de 18.3 cm2. El módulo de elasticidad del material acero es 2100000 kgf/cm2. Por otra parte, para una deformación del 50% los módulos

, y de la goma, son 6.36 kgf/cmaG pG 2 y 1.25 kgf/cm2.

• SOLUCIÓN

19.025.136.6 22 ====a

ppa G

G

cmkgfG

cmkgfG η

Al considerar el 90% de eficiencia, los valores de y aG η son:

17.019.09.0

72.536.69.0 2

=∗=

=∗=

ηcmkgfGa

Se considera 90% de eficiencia ya que los valores de , y datos son obtenidos

en laboratorio y adicionalmente se toma en cuenta los efectos de temperatura que pueden afectar al disipador.

aG pG




286

cmkgf

eAG

K

cmbLAcmecmbcmL

a 320320.1560072.5

56001410044114100

'

2

=∗

==

=∗∗=∗∗=

===

cmkgf

AL

AL

EKd 56.85049

3.18350

9.533002100000

2

2

1

1=

+=

+=

( ) ( )1225.0

17.0156.85049

320321

17.0

11 22' =

++=

++=

η

ηη

d

e

KK

( )( )

( )( ) cm

kgfKK

e

ee 56.8504932032*

1225.0117.017.011225.0

11

2

2

2

'2' =

++

=++

=ηηηη

10.6 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL

En varios capítulos de este libro se ha obtenido la matriz de rigidez lateral, de una

estructura conformada por vigas y columnas. Ahora cuando se tiene un disipador de energía este se modela como un elemento de una armadura plana. Luego el sistema de coordenadas globales del elemento es el indicado en la figura 10.8 y la matriz de rigidez del elemento es:

=k

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

α

ααα

αααα

αααααα

2

2

22

22

'

coscos

cos

coscoscoscos

sen

sen

sensensen

sensen

Ke ( 10.6 )

Donde α es el ángulo que forma la diagonal del disipador con el eje de las X.

Figura 10.8 Elemento Diagonal para el disipador de energía.




287

10.6.1 Programa RLVISCOELASTICONEW

El programa RLVISCOELASTICONEW determina la matriz de rigidez lateral de un pórtico plano con disipadores de energía viscoelásticos de las siguientes formas:

Con disipadores y con inercias gruesas. Con disipadores y con inercias agrietadas.

Cuando se determina la matriz de rigidez lateral, de la estructura sin disipadores de energía, se considera, de acuerdo al CEC-2000: gV II 5.0= y que gC II 8.0= . Donde ,

son las inercias de la viga y columna, respectivamente; es la inercia de la sección gruesa.

VI

CI gI

Ahora cuando se obtiene la matriz de rigidez lateral de la estructura con disipadores de

energía y con inercias agrietadas se considera que gV II 8.0= y que . Consecuentemente se admite ligero daño únicamente en las vigas, las columnas no se van a dañar. Esto es debido a que los disipadores de energía mejoran sustancialmente el desempeño de la estructura.

gC II =

Antes de emplear el programa RLVISCOELASTICONEW, se debe crear un archivo de

datos con la siguiente información: o Datos de la base, altura de la sección transversal y longitud de los elementos. Se

empieza a dar los datos de todas las columnas y después de todas las vigas. o Rigidez de la diagonal incluido el disipador de energía, ángulo que forma la diagonal

con respecto al eje de las X. Finalmente se colocará un cero.

Por pantalla se debe indicar el nudo inicial y el nudo final de los elementos que tienen disipadores.

• EJERCICIO 2

Determinar la matriz de rigidez lateral, obtenida con inercias gruesas y con inercias agrietadas, que reporta el programa RLVISCOELASTICONEW para la estructura de hormigón armado, indicada en la figura 10.9. En la figura 10.10 se indican las secciones transversales de los perfiles de acero de las diagonales y en la tabla 10.1 se indica las dimensiones de la goma y las longitudes del tubo cajón y de los perfiles canal.

Se ha utilizado para el Perfil Cajón 2 perfiles U 15 cm., x 5 cm., de 4mm de espesor,

que tiene un área (9.48cm2x2=18.96 cm2) y perfiles canal 10 cm., x 5 cm., de 3mm de espesor que tiene un área de 5.71 cm2 cada uno, luego el área de los 4 perfiles es 22.84 cm2

como se muestra en la figura 10.10. Son perfiles producidos por DIPAC en Ecuador. El módulo de elasticidad del material acero es 2100000 kgf/cm2 y el módulo de elasticidad del hormigón es . 2/21.1738965 mTE =

Considera y 2/72.5 cmkgfGa = 17.0=η cantidades en las que se ha considerado el

90% de eficiencia.




288

Figura 10.9 Estructura con disipadores de energía visco elástico.

Figura 10.10 Geometría de perfil cajón y perfil canal de las diagonales.

Para utilizar el programa RLVISCOELASTICONEW es obligatorio numerar primero todas las columnas, luego todas las vigas y finalmente las diagonales, como se muestra en la figura 10.11. De ahí que en la tabla 10.1 se ha identificado con los números 11 y 12 a las dos diagonales que contienen a los disipadores de energía.

Tabla 10.1 Dimensiones goma y longitudes de los perfiles Elemento Longitud

Goma (m) Ancho Goma

(m)

Espesor Goma

(m)

Longitud Cajón

(m)

Longitud de Canal

(m) 11 2.00 0.08 0.01 4.50 3.00 12 2.00 0.08 0.01 4.50 3.83




289

• SOLUCIÓN

Primero se debe encontrar la rigidez equivalente y el factor de perdidas equivalentes del conjunto diagonal goma. Estos valores se indican en la tabla 10.2

Tabla 10.2 Rigidez equivalente del conjunto perfiles disipador espesor goma 1cm Elemento Longitud

Goma (m) Ancho Goma

(m)

Espesor Goma

(m)

Longitud Cajón

(m)

Longitud de Canal

(m)

'Ke

(kg/cm)

'Ke

(T/m)

eη

11 2.00 0.08 0.01 4.50 3.00 22438 2243.8 0.1023 12 2.00 0.08 0.01 4.50 3.83 21607 2160.7 0.0985

El archivo de datos para el programa RLVISCOELASTICONEW se indica a continuación y está en concordancia con la numeración de nudos y elementos del pórtico indicado en la figura 10.11.


% Indique la base, la altura y la longitud de columnas y vigas 0.20 0.30 3.00 0.20 0.30 3.00 0.20 0.30 3.00 0.20 0.30 3.00 0.20 0.30 3.00 0.20 0.30 3.00 0.25 0.25 4.00 0.25 0.25 5.00 0.25 0.25 4.00 0.25 0.25 5.00 % Rigidez de la diagonal, ángulo de inclinación en grados, coloque 0 2243.8 36.87 0 2160.7 149.04 0




290

Se ha denominado casad al archivo de datos el mismo que se halla en la partición C.

Para ejecutar el programa se procede de la siguiente manera: >> load c:\casad >> [KL]=rlviscoelasticonew (casad) Numero de nudos: 9 Numero de pisos: 2 Numero de nudos restringuidos: 3 Numero de diagonales: 2 Modulo de elasticidad del hormigón (T/m2): 1738965.21 Diagonal numero, 11 Nudo inicial de diagonal con disipador: 4 Nudo final de diagonal con disipador: 8 Diagonal numero, 12 Nudo inicial de diagonal con disipador: 6 Nudo final de diagonal con disipador: 8 Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1 Ingrese codigo de inercias :1

El programa reporta:

• MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL CON INERCIAS GRUESAS, CON DISIPADORES

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

5.35057.37097.37099.4675

LK

• MATRIZ DE RIGIDEZ LATERL CON DISIPADORES E INERCIAS AGRIETADAS

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

6.34644.36764.36768.4629

LK

Para encontrar las dos matrices de rigidez lateral, se debe ejecutar dos veces el

programa. A continuación se presenta el programa RLVISCOELASTICO

function[KL]=rlviscoelasticonew(nombre) % % Programa para encontrar la matriz de rigidez lateral de un portico plano % considerando que todos los elementos son axialmente rigidos. % Con disipadores de energia viscoelasticos % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------- % [KL]=rlviscoelasticonew(nombre)




291

%------------------------------------------------------------- % CG Matriz de coordenadas generalizadas % VC Vector de colocacion % E Modulo de elasticidad del material del portico. % SS Matriz de rigidez de la estructura % b: base de la seccion transversal. % h: altura de la seccion transversal. % long: longitud del elemento. % ke Rigidez equivalente de la diagonal con disipador de energia. % nombre Archivo de datos que contiene la base, la altura y la longitud % de cada uno de los elementos. El nombre debe tener extension .txt % Para los disipadores de energia se indica la rigidez equivalente % del conjunto acero-goma; el angulo de la diagonal en grados y un % cero. % nod=input('\n Numero de nudos:'); np=input(' Numero de pisos:'); nr=input(' Numero de nudos restringuidos:'); ndiag=input(' Numero de diagonales:'); E=input(' Modulo de elasticidad:'); % Coordenadas Generalizadas CG=zeros(nod,2);ngl=0;k=nr; for i=1:np ngl=ngl+1; for j=1:nr k=k+1; CG(k,1)=ngl; end end for i=1:nod-nr ngl=ngl+1; k=nr+i; CG(k,2)=ngl; end ncol=np*nr; mbr=ncol+(nr-1)*np;nvig=mbr-ncol;mbr1=mbr+ndiag; ici=0;icf=nr; for i=1:ncol ici=ici+1; icf=icf+1;ini(i)=ici;fin(i)=icf; end ii=ncol; for j=1:np ici=j*nr; for i=1:nr-1 ii=ii+1;ici=ici+1;ini(ii)=ici;fin(ii)=ici+1; end end % Arreglo VC. Vectores de colocacion for i=1:mbr for k=1:2 VC(i,k)= CG(ini(i),k); VC(i,k+2) = CG(fin(i),k); end end % Arreglo VC de diagonales for i=1:ndiag fprintf ('\n Diagonal numero, %d ',mbr+i); nidiag=input ('\n Nudo inicial de diagonal con disipador:'); nfdiag=input ('Nudo final de diagonal con disipador:'); for k=1:2




292

VC(mbr+i,k)=CG(nidiag,k); VC(mbr+i,k+2)=CG(nfdiag,k); end end % Matriz de rigidez de miembro y de la estructura for i=1:mbr B(i)=nombre(i,1);H(i)=nombre(i,2);L(i)=nombre(i,3); end for i=1:ndiag kd(i)=nombre(i+mbr,1); alfa(i)=nombre(i+mbr,2); end % Calculo de la matriz de rigidez de la estructura fprintf ('\n Calcula con: Inercias gruesas, codigo=0. Con inercias agrietadas, codigo=1'); icod=input('\n Ingrese codigo de inercias :'); SS=zeros(ngl,ngl); for i=1:mbr b=B(i);h=H(i);long=L(i);iner=b*h^3/12;ei=E*iner; if i<=ncol if icod==1 iner=1.0*iner;ei=E*iner; end k(1,1)=12*ei/long^3;k(1,2)=-6*ei/long^2;k(1,3)=-k(1,1);k(1,4)=k(1,2); k(2,1)=k(1,2);k(2,2)=4*ei/long;k(2,3)=-k(1,2);k(2,4)=2*ei/long; k(3,1)=k(1,3);k(3,2)=k(2,3);k(3,3)=k(1,1);k(3,4)=6*ei/long^2; k(4,1)=k(1,4);k(4,2)=k(2,4);k(4,3)=k(3,4);k(4,4)=k(2,2); else if icod==1 iner=0.8*iner;ei=E*iner; end k=zeros(4,4);k(2,2)=4*ei/long;k(2,4)=2*ei/long;k(4,2)=k(2,4);k(4,4)=k(2,2); end for j=1:4 jj=VC(i,j); if jj==0 continue end for m=1:4 mm=VC(i,m); if mm==0 continue end SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m); end end end % Contribucion de las diagonales a la matriz de rigidez for i=1:ndiag k=zeros(4,4);k(1,1)=cos(alfa(i)*pi/180)^2*kd(i);k(3,3)=k(1,1); k(1,3)=-k(1,1); k(3,1)=-k(1,1); for j=1:4 jj=VC(mbr+i,j); if jj==0 continue end for m=1:4 mm=VC(mbr+i,m); if mm==0




293

continue end SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m); end end end % Matriz de rigidez lateral na=np;nb=ngl-np; Kaa=SS(1:na,1:na);Kab=SS(1:na,na+1:ngl);Kba=Kab';Kbb=SS(na+1:ngl,na+1:ngl); KL=Kaa-Kab*inv(Kbb)*Kba; fprintf ('\n Matriz de rigidez lateral :'); save a:\KL %---fin---

Una vez que se halla la matriz de rigidez lateral del pórtico con disipadores de energía, se halla la matriz de rigidez de la estructura en coordenadas de piso, en la forma vista en capítulos anteriores.

10.7 MÉTODO DE LA ENERGÍA MODAL DE DEFORMACIÓN

Una vez que se tiene la matriz de rigidez de la estructura, se encuentra la matriz de masas y la matriz de amortiguamiento, en coordenadas de piso. Todo esto en la forma como se ha estudiado en capítulos anteriores. Ahora, se debe encontrar el amortiguamiento equivalente de la estructura con disipadores de energía jς en cada modo de vibración, para ello se trabaja con el método de la energía modal de deformación. Inaudi et al (1993).

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−+=

∩∩ 2

2____

12

j

j

j

jjj

w

w

w

w ηβζ ( 10.7 )

Donde η es el factor de pérdida de la goma, no es el factor de pérdida equivalente eη .

jw es la frecuencia natural de vibración de la estructura, sin disipadores de energía, en el

modo j; es la frecuencia natural de la estructura con disipadores en el modo j. jw∩

jβ es el amortiguamiento de la estructura sin disipadores en el modo j.

function[seda]=amortiguamientoviscoelastico(nombre,pesoD,pesoL) % % Programa para encontrar el amortiguamiento en cada modo de vibracion % de una estructura con disipadores de energia viscoelasticos. % Se aplica el Metodo de Energia Modal de Deformacion % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE %------------------------------------------------------------- % [seda]=amortiguamientoviscoelastico(nombre,pesoD,pesoL) %-------------------------------------------------------------




294

% seda Vector que contiene los amortiguamientos del sistema. % CG Matriz de coordenadas generalizadas % VC Vector de colocacion % E Modulo de elasticidad del material del portico. % SS Matriz de rigidez de la estructura % b: base de la seccion transversal. % h: altura de la seccion transversal. % long: longitud del elemento. % ke Rigidez equivalente de la diagonal con disipador de energia. % nombre Archivo de datos que contiene la base, la altura y la longitud % de cada uno de los elementos. El nombre debe tener extension .txt % Para los disipadores de energia se indica la rigidez, el angulo de % la diagonal del disipador y se coloca un cero. % pesoD Vector que contiene la carga muerta D de cada piso. % pesoL Vector que contiene el porcentaje de carga viva L de cada piso. nod=input('\n Numero de nudos:'); np=input(' Numero de pisos:'); nr=input(' Numero de nudos restringuidos:'); ndiag=input(' Numero de diagonales:'); E=input(' Modulo de elasticidad:'); %Matriz de masas for i=1:np; masaD(i)=pesoD(i)/9.8; masaL(i)=pesoL(i)/9.8; mas(i)=masaD(i)+masaL(i);end masa=zeros(np,np);for i=1:np; masa(i,i)=mas(i);end % Coordenadas Generalizadas CG=zeros(nod,2);ngl=0;k=nr; for i=1:np ngl=ngl+1; for j=1:nr k=k+1; CG(k,1)=ngl; end end for i=1:nod-nr ngl=ngl+1; k=nr+i; CG(k,2)=ngl; end ncol=np*nr; mbr=ncol+(nr-1)*np;nvig=mbr-ncol;mbr1=mbr+ndiag; ici=0;icf=nr; for i=1:ncol ici=ici+1; icf=icf+1;ini(i)=ici;fin(i)=icf; end ii=ncol; for j=1:np ici=j*nr; for i=1:nr-1 ii=ii+1;ici=ici+1;ini(ii)=ici;fin(ii)=ici+1; end end % Arreglo VC. Vectores de colocacion for i=1:mbr for k=1:2 VC(i,k)= CG(ini(i),k); VC(i,k+2) = CG(fin(i),k); end end % Arreglo VC de diagonales for i=1:ndiag




295

fprintf ('\n Diagonal numero, %d ',mbr+i); nidiag=input ('\n Nudo inicial de diagonal con disipador:'); nfdiag=input ('Nudo final de diagonal con disipador:'); for k=1:2 VC(mbr+i,k)=CG(nidiag,k); VC(mbr+i,k+2)=CG(nfdiag,k); end end % Matriz de rigidez de miembro y de la estructura for i=1:mbr B(i)=nombre(i,1);H(i)=nombre(i,2);L(i)=nombre(i,3); end for i=1:ndiag kd(i)=nombre(i+mbr,1); alfa(i)=nombre(i+mbr,2); end % Calculo de la matriz de rigidez de la estructura SS=zeros(ngl,ngl); for i=1:mbr b=B(i);h=H(i);long=L(i);iner=b*h^3/12;ei=E*iner; if i<=ncol k(1,1)=12*ei/long^3;k(1,2)=-6*ei/long^2;k(1,3)=-k(1,1);k(1,4)=k(1,2); k(2,1)=k(1,2);k(2,2)=4*ei/long;k(2,3)=-k(1,2);k(2,4)=2*ei/long; k(3,1)=k(1,3);k(3,2)=k(2,3);k(3,3)=k(1,1);k(3,4)=6*ei/long^2; k(4,1)=k(1,4);k(4,2)=k(2,4);k(4,3)=k(3,4);k(4,4)=k(2,2); else k=zeros(4,4);k(2,2)=4*ei/long;k(2,4)=2*ei/long;k(4,2)=k(2,4);k(4,4)=k(2,2); end for j=1:4 jj=VC(i,j); if jj==0 continue end for m=1:4 mm=VC(i,m); if mm==0 continue end SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m); end end end % Matriz de rigidez lateral na=np;nb=ngl-np; Kaa=SS(1:na,1:na);Kab=SS(1:na,na+1:ngl);Kba=Kab';Kbb=SS(na+1:ngl,na+1:ngl); KL=Kaa-Kab*inv(Kbb)*Kba; % Frecuencia de vibracion de estructura sin disipadores [V,D]=eig(KL,masa);W=sqrt(diag(D)); % Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor [Wsin]=sort(W); % Contribucion de las diagonales a la matriz de rigidez for i=1:ndiag k=zeros(4,4);k(1,1)=cos(alfa(i)*pi/180)^2*kd(i);k(3,3)=k(1,1); k(1,3)=-k(1,1); k(3,1)=-k(1,1); for j=1:4 jj=VC(mbr+i,j); if jj==0 continue




296

end for m=1:4 mm=VC(mbr+i,m); if mm==0 continue end SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m); end end end % Matriz de rigidez lateral de estructura con disipadores na=np;nb=ngl-np; Kaa=SS(1:na,1:na);Kab=SS(1:na,na+1:ngl);Kba=Kab';Kbb=SS(na+1:ngl,na+1:ngl); KL=Kaa-Kab*inv(Kbb)*Kba; % Frecuencia de vibracion de estructura con disipadores [V,D]=eig(KL,masa);W=sqrt(diag(D)); % Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor [Wcon]=sort(W); % Calculo del amortiguamiento del sistema eta=input('\n Indique el factor de perdida (igual para todos los modos) : '); beta=input('\n Indique el amortiguamiento de la estructura sin disipadores : '); fprintf (' Factores de amoriguamiento '); for i=1:np aux=Wsin(i)/Wcon(i); sedaes(i)=beta*aux; sedadis(i)=(eta/2)*(1-aux*aux); seda(i)=beta*aux+(eta/2)*(1-aux*aux); end fprintf (' Factores de amortiguamiento de estructura '); sedaes fprintf (' Factores de amortiguamiento de disipadores '); sedadis fprintf (' Factores de amortiguamiento total ');

%---fin---

10.8 ANÁLISIS MODAL ESPECTRAL Las estructuras con disipadores de energía visco elásticos de goma, tienen comportamiento no lineal pero se puede analizar con teoría elástica lineal por dos motivos: el primero que las columnas y vigas van a trabajar en el rango elástico o tendrán una pequeña incursión en el rango no lineal y segundo que el comportamiento del disipador, indicado en la figura 10.5 a pesar de que es no lineal se puede modelar como un oscilador Kelvin Voight de la forma:

)()()( tftqKtqC =+ ( 10.8 )

Donde es la fuerza aplicada al oscilador; )(tf K es la rigidez del oscilador; C es el amortiguamiento del oscilador; son el desplazamiento y velocidad del oscilador. La ecuación ( 10.8 ) es lineal sin embargo de ello al encontrar las curvas de histéresis que relacionan el desplazamiento con la fuerza se halla un comportamiento no lineal similar al de la figura 10.5.

)(),( tqtq

)(tq )(tf

Por todo esto, se puede aplicar el Método de Superposición Modal, descrito en capítulos anteriores, para el análisis sísmico utilizando un espectro de diseño. Como este




297

método ha sido ya explicado con mucho detenimiento se realiza un ejemplo orientado al uso del programa VISCOELASTICOESPECTRO.

• EJEMPLO 3

Realizar un análisis sísmico seudo espacial, considerando tres grados de libertad por

planta de la estructura de tres pisos, cuya configuración en planta se indica en la figura 10.12. Si tiene disipadores viscoelásticos, en todos los vanos de 2.0 m., de los pórticos exteriores. La rigidez equivalente de estos disipadores es T/m. y el factor de pérdida de la goma

84739.1333' =eK15642.0=η .

Figura 10.12 Distribución en planta de estructura de 3 pisos.

En la figura 10.13 se indica a la izquierda, la geometría de un pórtico exterior que contiene los disipadores viscoelásticos (1, 5, A, E) y a la derecha, la de un pórtico interior que no contiene disipadores (2, 3, 4, B, C, D).

Las dimensiones de todas las columnas del primer piso son de 35/35; las del segundo

y tercer piso de 30/30. Por otra parte, todas las vigas son de 25/40. El módulo de elasticidad del hormigón es . 2/21.1738965 mTE =

El amortiguamiento de la estructura sin disipadores de energía es 03.0=jβ se

considera igual en todos los modos de vibración. Realizar el análisis sísmico si la estructura se halla en la zona de mayor peligrosidad sísmica del Ecuador sobre un perfil de suelo




298

S4. Considerar que se trata de una vivienda, cuya carga viva es y cuya carga

muerta es , en cada piso.

2/2.0 mT2/6.0 mT

Figura 10.13 Pórtico exterior y pórtico interior.

• SOLUCIÓN

Antes de utilizar el programa VISCOELASTICOESPECTRO se debe encontrar las matrices de rigidez lateral de los pórticos, para las siguientes casos:

Estructura sin disipadores con inercias agrietadas (Para el pórtico de la derecha de la figura 10.13). Se considera gCgV IIII == 8.0 . Se ha denominado a esta matriz.

2LAK

2

1.19541.22256.3112.45426.2836

9.6863

LAL KK =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

Para el programa VISCOELASTICOESPECTRO se debe dar como dato una matriz que contiene a todas las matrices de rigidez lateral con inercias agrietadas y sin disipadores de energía, empezando por los pórticos en sentido X. Se denomina a esta matriz, la misma que se obtiene en MATLAB de la siguiente forma:

KLS

>> ];;;;;;;;;[ 2222222222 LALALALALALALALALALA KKKKKKKKKKKLS =

Estructura con disipadores con inercias agrietadas (Para el pórtico de la izquierda de la figura 10.3. A esta matriz se denomina y para el pórtico derecha de la figura 10.3, que ya fue calculada)

1LDAK

1

9.27740.30466.3118.61835.3657

6.8505

LDAL KK =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=




299

Se denomina a la matriz de rigidez que contiene a todas las matrices de rigidez

lateral, con inercias agrietadas, de todos los pórticos en la estructura con disipadores de energía.

KL

>> ];;;;;;;;[ 12221;12221 LDALALALALDALDALALALALDA KKKKKKKKKKKL =

Estructura con disipadores con inercias gruesas (Para los dos pórticos de la figura

10.3. Sea la matriz de rigidez lateral del pórtico con disipadores y la matriz de rigidez lateral del pórtico sin disipadores).

1LDK 2LK

1

0.28687.31060.2701.62835.3631

9.8588

LDL KK =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

2

1.20478.22850.2704.46417.2810

2.6947

LL KK =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

Sea la matriz que contiene a las matrices de rigidez lateral con inercias gruesas, de todos los pórticos de la estructura con disipadores de energía.

KLG

>> ];;;;;;;;;[ 1222112221 LDLLLLDLDLLLLD KKKKKKKKKKKLG =

Ahora se debe encontrar el vector que contiene a los pesos de la estructura debido a carga muerta y al 25% de la carga viva. Se denominan a estos vectores PesoD y PesoL, respectivamente.

]4.86;4.86;4.86[4.8612*12*6.0 === PesoDTD ]2.7;2.7;2.7[2.712*12*2.0*25.0 === PesoLTL

Se debe hallar la matriz r con la distancia del Centro de Masas C.M. al pórtico. Para

cada pórtico se da una fila de datos que corresponde al valor de distancia del C.M. al pórtico en cada piso. En el ejemplo el C.M. se halla en el centro de gravedad de la planta.

>> ]666;444;000;444;666

;666;444;000;444;666[−−−−−−

−−−−−−=r

Se determina el vector que contiene la altura desde la base a cada piso. Para el

ejemplo la altura de piso es de 3.0 m. Se denomina altura a este vector. >> altura =[3; 6; 9]




300

Resultados

En la tabla 10.3 se presenta las respuestas máximas probables que reporta el programa en el Centro de Masas. Se indican las fuerzas laterales sin el efecto de la torsión accidental; las fuerzas laterales con la torsión accidental, los desplazamientos inelásticos hallados de acuerdo al CEC-2000, la deriva máxima de piso iγ , el índice de estabilidad de piso

iθ y las fuerzas finales.

Tabla 10.3 Respuestas máximas en el Centro de Masas Piso Fuerzas

sin Torsión (T.)

Fuerzas con Torsión

(T.)


(m.) iγ iθ Fuerzas

Finales (T.)

1 9.1788 9.7379 0.0154 0.0051 0.0106 9.7379 2 16.6329 17.5579 0.0388 0.0078 0.0062 17.5579 3 28.0822 29.6448 0.0534 0.0049 0.0031 29.6448

El programa VISCOELASTICOESPECTRO también reporta los desplazamientos laterales en cada uno de los pórticos.

10.9 PROGRAMA VISCOELASTICOESPECTRO

Como se ha indicado el programa VISCOELASTICOESPECTRO sirve para el análisis sísmico de estructuras espaciales con disipadores de energía visco elásticos de goma, ante el espectro de diseño inelástico del CEC-2000. En el programa se ha considerado lo siguiente:

• El factor de reducción de las fuerzas sísmicas R es 6 para los perfiles de suelo S1, S2

y S3. Para el perfil de suelo S4 es 5.

• En estructuras con disipadores de energía, la inercia agrietada de vigas y columnas es igual a ; . Donde es la inercia gruesa. De tal manera que se admite un ligero daño en las vigas. Los disipadores de energía deben trabajar en rango elástico.

gV II 8.0= gC II = gI

• Para encontrar el amortiguamiento equivalente de la estructura con disipadores de

energía se ha utilizado el Método de la Energía Modal de Deformación. Para el efecto se debe calcular la matriz de rigidez de la estructura en coordenadas de piso de dos formas, sin disipadores de energía y con disipadores de energía. Para los dos casos se ha trabajado con inercias agrietadas en las vigas.

• Con los amortiguamientos equivalentes de la estructura en cada modo de vibración se

encontró el amortiguamiento promedio ξ y para este amortiguamiento se halló el espectro con el que se realiza el análisis sísmico. La ecuación utilizada para el efecto es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

= 865.068.14112

ξξ

af

( 10.9 )

Donde es el factor por el cual se debe multiplicar las ordenadas del espectro elástico del CEC-2000. El espectro del CEC-2000 está obtenido para un

af05.0=ξ . La




301

ecuación ( 10.9 ) fue presentada en el capítulo 2 y sirve para encontrar formas espectrales para cualquier factor de amortiguamiento ξ a partir de un espectro cuyo

05.0=ξ .

• Una vez que se tiene el espectro para el ξ promedio se dividen las ordenadas espectrales para el factor R .

• El programa permite analizar estructuras con Centros de Masa que no sean colineales.

Pero lo que se deben tener pórticos ortogonales.

• El programa sirve para el análisis sísmico de estructuras sin orificios ya que el momento de inercia de la masa , de cada planta se halló con la siguiente ecuación. iJ

[ ]22

12 iii

i bam

J += ( 10.10 )

Donde son las dimensiones en planta de la losa y es la masa total del piso. Si se tienen orificios en la losa es conveniente que el usuario calcule manualmente e ingrese esta cantidad como dato para lo que debe modificar el programa pero es muy sencillo.

ii ba , im

iJ

• El usuario tiene la posibilidad de escoger entre nueve criterios de combinación modal,

el que más le convenga. Los criterios fueron indicados en el capítulo 65 Se recomienda trabajar con el criterio de la normativa de Perú de 2003, que es una combinación lineal de los criterios del valor máximo probable y de la superposición directa.

• El detalle del método de superposición modal que realiza el programa se describió en

los capítulos 5 y 6 de este libro.

La forma de uso del programa es la siguiente: >> [seda]=viscoelasticoespectro(ejes,altura,PesoD,PesoL,KLS,KL,KLG,r)

ejes es el número de ejes de la estructura en la dirección analizada. altura vector que contiene la altura desde el piso a cada uno de los pisos de la

estructura. PesoD vector con los pesos totales de cada uno de los pisos, debido a carga muerta. PesoL vector con los pesos totales de cada uno de los pisos, debidos al 25% de la

carga viva. KLS matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de la estructura sin

disipadores de energía, hallada con inercias agrietadas. LK

KL similar a KLS pero en la estructura con disipadores de energía y con inercias agrietadas.

KLG similar a KLS pero en la estructura con disipadores de energía y con inercias gruesas.

r matriz que contiene la distancia del centro de masas a cada uno de los pórticos. Cada fila es para un pórtico. Y en cada fila se debe indicar esta distancia para cada piso, con su signo.




302

function [seda]=viscoelasticoespectro(iejes,alt,pesoD,pesoL,KLs,KL,KLG,r) % % Programa para el analisis sismico de estructuras con disipadores % viscoelasticos, se realiza analisis modal espacial considerando tres % grado de libertad por planta empleando el Espectro Inelastico del CEC-2000 % y el factor de reduccion de las fuerzas sismicas hallados en el proyecto % de investigacion desarrollado en CEINCI-ESPE en 2005-2007 % % Por: Roberto Aguiar Falconi y Marcos Zevallos Loor % CEINCI-ESPE % Febrero de 2008 %----------------------------------------------------------------------- % [seda]=viscoelasticoespectro(iejes,alt,pesoD,pesoL,KLs,KL,KLG,r) %----------------------------------------------------------------------- % % H Altura total de edificio Z Factor de Zona % iejes # de ejes de columnas en el sentido de analisis sismico % alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde la base. % pesoD Vector que contiene la carga muerta D de cada piso. % pesoL Vector que contiene el porcentaje de carga viva L de cada piso. % KLS Matriz de rigidez de estructura sin disipadores de energia con % inercias agrietadas. Iv = 0.8 Ig; Ic = 1.0 Ig. De todos porticos. % KL Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de los porticos % con disipadores de energia, con inercias agrietadas.Iv = 0.8 Ig; Ic = 1.0 Ig. % KLG Matriz que contiene las matrices de rigidez lateral de los porticos % en un solo sentido, con inercias gruesas. % r Matriz que contiene la distancia del portico al centro de masa, de % cada uno de los porticos, con signo, positivo antihorario. % Para cada piso se indica el valor de r. La primera fila % corresponde al portico 1, se dan los r de cada piso. % PESO Peso total Reactivo. V Cortante Basal eta = input ('\n Factor de perdida de la goma (igual para todos los modos) :'); bbeta = input ('\n El amortiguamiento de la estructura sin disipadores :'); ntot = input ('\n Número total de pórticos de la estructura:'); % NP=length(alt); for i=1:NP-1; j=NP-i+1; alt(j)=alt(j)-alt(j-1);end fprintf ('\n Si el analisis es en sentido X, el codigo es 1; para sentido Y es 2'); isismo= input ('\ Indique el codigo del sentido de analisis sismico'); if isismo==1; nx=iejes; ny=ntot-nx; else ny=iejes; nx=ntot-ny; end %Submatrices de rigidez: KEE, con inercias agrietadas sin disipadores Kxxs=zeros(NP,NP);Kyys=zeros(NP,NP);Ktetas=zeros(NP,NP); ceros=zeros(NP,NP);Kxts=zeros(NP,NP);Kyts=zeros(NP,NP); for k=1:NP; identidad(k,k)=1; end; for i=1:ntot for k=1:NP rtet(k,k)=r(i,k); end rteta=rtet*rtet;




303

ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP; if i<=nx Kxxs=Kxxs+KLs(ji:jf,1:NP); Kxts=Kxts+KLs(ji:jf,1:NP)*rtet; Ktetas=Ktetas+KLs(ji:jf,1:NP)*rteta; A(ji:ji+NP-1,:)=[identidad ceros rtet]; else Kyys=Kyys+KLs(ji:jf,1:NP); Kyts=Kyts+KLs(ji:jf,1:NP)*rtet; Ktetas=Ktetas+KLs(ji:jf,1:NP)*rteta; A(ji:ji+NP-1,:)=[ceros identidad rtet]; end end %Matriz de rigidez espacial con 3 grados de libertad por planta sin disipadores KEs=[Kxxs ceros Kxts;ceros Kyys Kyts;Kxts Kyts Ktetas]; %Submatrices de rigidez: KEE, con inercias agrietadas con disipadores Kxx=zeros(NP,NP);Kyy=zeros(NP,NP);Kteta=zeros(NP,NP); cero=zeros(NP,NP);Kxt=zeros(NP,NP);Kyt=zeros(NP,NP); for i=1:ntot for k=1:NP rtet(k,k)=r(i,k); end rteta=rtet*rtet; ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP; if i<=nx Kxx=Kxx+KL(ji:jf,1:NP); Kxt=Kxt+KL(ji:jf,1:NP)*rtet; Kteta=Kteta+KL(ji:jf,1:NP)*rteta; A(ji:ji+NP-1,:)=[identidad cero rtet]; else Kyy=Kyy+KL(ji:jf,1:NP); Kyt=Kyt+KL(ji:jf,1:NP)*rtet; Kteta=Kteta+KL(ji:jf,1:NP)*rteta; A(ji:ji+NP-1,:)=[cero identidad rtet]; end end %Matriz de rigidez espacial con 3 grados de libertad por planta con disipadores KE=[Kxx cero Kxt;cero Kyy Kyt;Kxt Kyt Kteta]; %----------------------------------------------------------- % Calculo de matriz de masa. Unicamente para plantas llenas %----------------------------------------------------------- for i=1:NP; disty(i)=abs(r(1,i))+abs(r(nx,i));distx(i)=abs(r(nx+1,i))+abs(r(ntot,i)); end for i=1:NP; masaD(i)=pesoD(i)/9.8; masaL(i)=pesoL(i)/9.8; mas(i)=masaD(i)+masaL(i); end masa=zeros(NP,NP); for i=1:NP; masa(i,i)=mas(i); end mj=zeros(NP,NP); for i=1:NP; mj(i,i)=mas(i)*(distx(i)^2+disty(i)^2)/12; end




304

MASA=[masa cero cero;cero masa cero;cero cero mj]; %---------------------------------------------------- PESO=0; for i=1:NP; PESO=PESO+pesoD(i); end; H=alt(NP); % Frecuencia de vibracion de estructura sin disipadores % Periodos de vibracion y periodo fundamental [Vs,Ds]=eig(KEs,MASA);Wns=sqrt(diag(Ds)); % Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor [Wsin,II]=sort(Wns); for i=1:3*NP; fii(:,i)=Vs(:,II(i)); Tsin(i)=2*pi/Wsin(i); end; fprintf ('\n Frecuencia de vibracion de estructura sin disipadores '); Wsin fprintf ('\n Periodos de vibracion de estructura sin disipadores '); Tsin % Frecuencia de vibracion de estructura con disipadores % Periodos de vibracion y periodo fundamental [Vcon,D]=eig(KE,MASA);Wnc=sqrt(diag(D)); % Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor [Wcon,II]=sort(Wnc); for i=1:3*NP; fiii(:,i)=Vcon(:,II(i)); Tcon(i)=2*pi/Wcon(i); end; fprintf ('\n Frecuencia de vibracion de estructura con disipadores '); Wcon fprintf ('\n Periodos de vibracion de estructura con disipadores '); Tcon % Calculo del amortiguamiento del sistema for i=1:NP aux=Wsin(i)/Wcon(i); seda(i)=bbeta*aux+(eta/2)*(1-aux*aux); end fprintf (' Factores de amoriguamiento '); zeda=mean(seda) zzeda=zeda; BO=2*((1+zeda)/(1+(14.68*zeda^0.865))) ic=input ('\n Códigos para zonas sismicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 0.40g=4:'); if ic==1; Ao=0.15*9.8;Z=0.15;elseif ic==2;Ao=0.25*9.8;Z=0.25; elseif ic==3;Ao=0.30*9.8;Z=0.30;else;Ao=0.40*9.8;Z=0.4;end is= input ('\n Códigos para perfiles de suelos: S1 = 1; S2 = 2; S3 = 3; S4 = 4:'); if is==1 T1=0.50;T2=2.50;beta=2.5;S=1;R=6; elseif is==2 T1=0.52;T2=3.11;beta=3.0;S=1.2;R=6; elseif is==3 T1=0.82;T2=4.59;beta=2.8;S=1.5;R=6; else T1=2.0;T2=10;beta=2.5;S=2;R=5; end I=input ('\n Factor de importancia:'); % Periodos de vibracion y periodo fundamental




305

[V,D]=eig(KE,MASA);W=sqrt(diag(D)); % Se ordenan las frecuencias y los modos de vibracion de menor a mayor [Wn,II]=sort(W); for i=1:3*NP; fi(:,i)=V(:,II(i)); T(i)=2*pi/Wn(i);end %Factores de participacion modal for i=1:NP;bb(i)=1;cer(i)=0;end;bb=bb';cer=cer'; if isismo==1 B=[bb; cer; cer]; else B=[cer; bb; cer]; end NUM=fi'*MASA*B;DEN=diag(fi'*MASA*fi); for i=1:3*NP; gama(i)=abs(NUM(i)/DEN(i));end if gama(1)==0 Tf=T(2); else Tf=T(1); end fip=input ('\n Factor de irregularidad en planta:'); fie=input ('\n Factor de irregularidad en elevación:'); R=R*fip*fie; %Coeficiente C C=BO*(1.25*S^S)/Tf; if C >=BO*beta; C=BO*beta; end;if C <= BO*0.5; C=BO*0.5; end fprintf ('\n Valores de R, C'); R, C, % Cortante Basal Minimo Vmin=(Z*I*C*PESO)/(R*fip*fie);fprintf ('\n Cortante Basal Mínimo '); Vmin % %Aceleraciones modales for i=1:3*NP if T(i)<=T1; Ad(i)=BO*I*beta*Ao/R; elseif T(i)>T1 & T(i)<=T2; Ad(i)=BO*(1.25*I*Ao*S^S)/(T(i)*R); else Ad(i)=BO*I*Ao/(2*R); end end %Fuerzas modales en centro de masas masafi=MASA*fi;gamaAd=(gama.*Ad)'; for i=1:3*NP; for j=1:3*NP; P(j,i)=gamaAd(i)*masafi(j,i); end end %Cortantes modales en centro de masas VV=zeros(3*NP,3*NP); for i=1:3*NP; for j=1:NP; k=NP+1-j; if k==NP; VV(k,i)=VV(k,i)+P(k,i); VV(k+NP,i)=VV(k+NP,i)+P(k+NP,i); else VV(k,i)=VV(k+1,i)+P(k,i); VV(k+NP,i)=VV(k+NP+1,i)+P(k+NP,i); end




306

end end %Criterio de de criterio que se aplica en cortantes fprintf ('\n Codigos Para Criterios de Combinacion Modal'); fprintf ('\n Máximo Valor Probable = 1'); fprintf ('\n Superposición Directa = 2'); fprintf ('\n Propuesta de Alejandro Gómez = 3'); fprintf ('\n Norma Tecnica de Peru de 2003 = 4'); fprintf ('\n Método NRL-SUM (Naval Research Laboratory) = 5'); fprintf ('\n Combinacion Cuadratica Completa = 6'); fprintf ('\n Grouping Method = 7'); fprintf ('\n Doble Suma = 8'); fprintf ('\n Norma de Guatemala 1996 = 9'); fprintf ('\n '); cm=input ('\n Criterio de Combinación Modal Escogido:'); %Criterio del Maximo Valor Probable if cm==1 for i=1:3*NP RR(i)=0; for j=1:3*NP RR(i)=RR(i)+VV(i,j)*VV(i,j); end Corte(i)=sqrt(RR(i)); end; Corte=Corte' %Criterio de Superposición directa elseif cm==2 for i=1:3*NP RRR(i)=0; for j=1:3*NP RRR(i)=RRR(i)+abs(VV(i,j)); end Corte(i)=RRR(i); end; Corte=Corte' %Propuesta de Alejandro Gómez elseif cm==3 for i=1:3*NP RRR(i)=0; for j=1:1 RRR(i)=RRR(i)+abs(VV(i,j)); end end for i=1:3*NP RR(i)=0; for j=2:3*NP RR(i)=RR(i)+abs(VV(i,j)); end end for i=1:3*NP Corte(i)=sqrt(RRR(i)*RRR(i)+RR(i)*RR(i)); end Corte=Corte' %Criterio de Norma Tecnica de Peru de 2003 elseif cm==4 for i=1:3*NP RRR(i)=0; RR(i)=0;




307

for j=1:3*NP RRR(i)=RRR(i)+abs(VV(i,j)); RR(i)=RR(i)+VV(i,j)*VV(i,j); end Corte(i)=0.25*RRR(i)+0.75*sqrt(RR(i)); end; Corte=Corte' %Propuesta de NRL-SUM elseif cm==5 for i=1:3*NP RRR(i)=0; for j=1:1 RRR(i)=RRR(i)+abs(VV(i,j)); end end for i=1:3*NP RR(i)=0; for j=2:3*NP RR(i)=RR(i)+VV(i,j)*VV(i,j); end end for i=1:3*NP Corte(i)=RRR(i)+ sqrt(RR(i)); end Corte=Corte' %Criterio Combinacion Cuadratica Completa elseif cm==6 for i = 1:3*NP for j = 1:3*NP b(i,j)=Wn(i)/Wn(j); zeda(i,j)=zzeda; end end for i = 1:3*NP for j = 1:3*NP uno(i,j)=8*((zeda(i)*zeda(j))^0.5); dos(i,j)=zeda(i)+(b(i,j)*zeda(j)); tres(i,j)= (b(i,j))^1.5; num(i,j) = uno(i,j)*dos(i,j)*tres(i,j); cuatro(i,j)=(1-(b(i,j)^2))^2; cinco(i,j)=(4*zeda(i)*zeda(j))*b(i,j)*(1+(b(i,j)^2)); seis(i,j)=4*(((zeda(i)^2)+(zeda(j)^2))*(b(i,j)^2)); den(i,j)= cuatro(i,j)+ cinco(i,j)+ seis(i,j); p(i,j)=num(i,j)/den(i,j); end end for m=1:3*NP suma(m)=0; end for m=1:3*NP for i=1:3*NP for j=1:3*NP suma(m)=suma(m)+(p(i,j)*VV(m,i)*VV(m,j)); end end




308

suma(m)=sqrt(suma(m)); end Corte = suma'; %Criterio Grouping Method elseif cm==7 for i = 1:3*NP for j = 1:3*NP b(i,j)= (Wn(j)-Wn(i))/Wn(i); zeda(i,j)=zzeda; if b(i,j)> 0.1 p(i,j)=0.0; else p(i,j)=1.0; end end end for m=1:3*NP suma(m)=0; end for m=1:3*NP for i=1:3*NP for j=1:3*NP suma(m)=suma(m)+(p(i,j)*abs(VV(m,i))*abs(VV(m,j))); end end suma(m)=sqrt(suma(m)); end Corte = suma'; %Criterio Doble Suma elseif cm==8 for i = 1:3*NP for j = 1:3*NP zeda(i,j)=zzeda; end end for i = 1:3*NP for j = 1:3*NP uno(i,j)=((1-zeda(i))^0.5); dos(i,j)=Wn(i)-Wn(j); tres(i,j)= zeda(i); cuatro(i,j)=Wn(i)+Wn(j); num(i,j) = uno(i,j)*dos(i,j); den(i,j)= tres(i,j)*cuatro(i,j); p(i,j)=num(i,j)/den(i,j); end end for m=1:3*NP suma(m)=0; end for m=1:3*NP for i=1:3*NP




309

for j=1:3*NP suma(m)=suma(m)+((VV(m,i)*VV(m,j))/(1+((p(i,j))^2))); end end suma(m)=sqrt(suma(m)); end Corte = suma'; %Normas Estructurales de Diseño y Construcción de Guatemala 1996 elseif cm==9 for i=1:3*NP RRR(i)=0; RR(i)=0; for j=1:3*NP RRR(i)=RRR(i)+abs(VV(i,j)); RR(i)=RR(i)+VV(i,j)*VV(i,j); end Corte(i)=0.5*(RRR(i)+sqrt(RR(i))); end; Corte=Corte' end %-------------------------------------------------------------------------- %Calculo de las Fuerzas Laterales en centro de masas sin torsion accidental %-------------------------------------------------------------------------- for i=1:NP j=NP+1-i; if j==NP F(j)=Corte(j);F(j+NP)=Corte(j+NP);F(j+2*NP)=0; else F(j)=Corte(j)-Corte(j+1); F(j+NP)=Corte(j+NP)-Corte(j+NP+1); F(j+2*NP)=0; end end F=F'; disp ('FUERZAS LATERALES EN CENTRO DE MASAS, SIN TORSION ACCIDENTAL'); if isismo==1 FSTL=F(1:NP); elseif isismo==2 TV1=NP+1; TV2=TV1+NP-1; FSTL=F(TV1:TV2); end disp(FSTL) %----------------------------------------------- % Calculo de factor Ax %----------------------------------------------- %----------------------------------------------- %Calculo de la torsion accidental primera etapa %----------------------------------------------- for k=1:NP Ax(k)=1; end Ax=Ax'; %----------------------------------------------- %Calculo de las interaciones 101 %-----------------------------------------------




310

for jjj=1:101 if isismo==1 for i=1:NP; Fx(i)=0; Ft(i)=F(i); end; Ft=Ft'; for i=1:NP Momtor(i)=0.05*Ax(i,1)*disty(i)*Ft(i); end Q=[Fx'; Fx'; Momtor']; else for i=1:NP; Fy(i)=0; Ft(i)=F(i+NP); end; Ft=Ft'; for i=1:NP Momtor(i)=0.05*Ax(i,1)*distx(i)*Ft(i); end Q=[Fy'; Fy'; Momtor']; end q=KE\Q; for i=1:NP; FTx(i)=0; FTy(i)=0; MTxy(i)=0; end; FTx=FTx'; FTy=FTy'; MTxy=MTxy'; DESP=zeros(NP,ntot); for i=1:ntot ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;a=A(ji:jf,1:3*NP);p=a*q; for k=1:NP DESP(k,i)=abs(p(k)); end end if isismo==1 for i=1:NP FTy(i)=0; end else for i=1:NP FTx(i)=0; end end for i=1:NP for j=1:ntot DESP1(j,1)=DESP(i,j); end if isismo==1 DESP2(i,1)=(DESP1(1,1)+DESP1(nx,1))/2; DESP3(i,1)=max(DESP1); elseif isismo==2 DESP2(i,1)=(DESP1((nx+1),1)+DESP1(ntot,1))/2; DESP3(i,1)=max(DESP1);




311

end Ax(i,1)=(DESP3(i,1)/(1.2*DESP2(i,1)))^2; end Ax=Ax; end %----------------------------------------------- %Fin de las interaciones 101 %----------------------------------------------- for i=1:NP if Ax(i,1)<=1 Ax(i,1)=1; elseif Ax(i,1)>=3 Ax(i,1)=3; else Ax(i,1)=Ax(i,1); end end Ax=Ax'; %----------------------------------------------- %Calculo de la torsion accidental segunda etapa %----------------------------------------------- if isismo==1 for i=1:NP; Fx(i)=0; Ft(i)=F(i); end; Ft=Ft'; Momtor=0.05*Ax(i)*disty(i)*Ft;Q=[Fx'; Fx'; Momtor']; else for i=1:NP; Fy(i)=0; Ft(i)=F(i+NP); end; Ft=Ft'; Momtor=0.05*Ax(i)*distx(i)*Ft;Q=[Fy'; Fy'; Momtor']; end q=KE\Q; for i=1:NP; FTx(i)=0; FTy(i)=0; MTxy(i)=0; end; for i=1:ntot ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP;a=A(ji:jf,1:3*NP);p=a*q; Klateral=KL(ji:jf,1:NP);FT=abs(Klateral*p); if i<=nx FTx=FTx+FT; else FTy=FTy+FT; end end if isismo==1 for i=1:NP FTy(i)=0; end else for i=1:NP




312

FTx(i)=0; end end FTOR=[FTx;FTy;MTxy]; F=F+FTOR; disp('FUERZAS LATERALES EN CENTRO DE MASAS, CON TORSION ACCIDENTAL'); FCTL=F(1:NP); if isismo==1 FCTL=F(1:NP); elseif isismo==2 TV1=NP+1; TV2=TV1+NP-1; FCTL=F(TV1:TV2); end disp(FCTL) %--------------------------------- %Control del Cortante Basal Minimo %--------------------------------- V=0; if isismo==1 for i=1:NP V=V+F(i); end else for i=1:NP V=V+F(i+NP); end end if Vmin > V; factor1=Vmin/V; F=factor1*F; end %-------------------------------------------------------------- %Control de la derivas de la estructura en centro de masas %Matriz de rigidez lateral de los porticos con inercias gruesas %-------------------------------------------------------------- KxxG=zeros(NP,NP);KyyG=zeros(NP,NP);KtetaG=zeros(NP,NP); KxtG=zeros(NP,NP);KytG=zeros(NP,NP);cero=zeros(NP,NP); for i=1:ntot for k=1:NP rtet(k,k)=r(i,k); end rteta=rtet*rtet; ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP; if i<=nx KxxG=KxxG+KLG(ji:jf,1:NP);KxtG=KxtG+KLG(ji:jf,1:NP)*rtet; KtetaG=KtetaG+KLG(ji:jf,1:NP)*rteta; else KyyG=KyyG+KLG(ji:jf,1:NP);KytG=KytG+KLG(ji:jf,1:NP)*rtet; KtetaG=KtetaG+KLG(ji:jf,1:NP)*rteta; end end %-------------------------------------------------------------- %Matriz de rigidez espacial con 3 grados de libertad por planta %--------------------------------------------------------------




313

KEG=[KxxG cero KxtG;cero KyyG KytG;KxtG KytG KtetaG]; q=KEG\F; qine=R*q; disp('DESPLAZAMIENTOS LATERALES INELASTICOS EN CENTRO DE MASAS'); if isismo==1 qine=qine(1:NP); elseif isismo==2 TV1=NP+1; TV2=TV1+NP-1; qine=qine(TV1:TV2); end disp(qine) %----------------------------------------------------- %Calculo de la derivas de los pisos en centro de masas %----------------------------------------------------- for i=1:NP j=NP+1-i; if j==1 if isismo==1 drift(j)=qine(j)/alt(j); else drift(j)=qine(j)/alt(j); %drift(j)=qine(j+np)/alt(j); end else if isismo==1 drift(j)=(qine(j)-qine(j-1))/alt(j); else drift(j)=(qine(j)-qine(j-1))/alt(j); %drift(j)=(qine(j+np)-qine(j+np-1))/alt(j); end end end disp('DERIVAS DE PISO EVALUADAS EN CENTRO DE MASAS'); deriva = drift'; deriva=deriva(1:NP); disp(deriva) driftmaximo=max(drift); disp('DERIVA MAXIMA DE PISO'); disp(driftmaximo) if driftmaximo>=0.015 disp('NO PASA LA DERIVA DE PISO, MAYOR A 1.5% (REFORZAR ESTRUCTURA)'); end %-------------------------- %Control de efecto P-Delta %-------------------------- for i=1:NP j=NP-i+1; if j==NP Peso(j)=masa(j,j)*9.8; if isismo==1 Corte(j)=F(j); else Corte(j)=F(j+NP); end else Peso(j)=masa(j,j)*9.8+Peso(j+1);




314

if isismo==1 Corte(j)=F(j)+F(j+1); else Corte(j)=F(j+NP)+F(j+NP+1); end end theta(j)=(Peso(j)/Corte(j))*(drift(j)/R); if theta(j)>=0.30 fprintf ('\n Estructura debe ser reforzada'); elseif theta(j)>=0.10 & theta(j)<0.30 fpd(j)=1/(1-theta(j)); else fpd(j)=1; end end theta; theta = theta'; fprintf ('\n '); disp(' INDICE DE ESTABILIDAD DE PISO') theta=theta(1:NP); disp(theta) %----------------------------------------------------------------- %Fuerzas laterales finales en centro de masas luego de controles %----------------------------------------------------------------- F=max(fpd)*F; disp('FUERZAS LATERALES FINALES EN CENTRO DE MASAS, LUEGO DE CONTROLES'); FF=F; if isismo==1 FF=FF(1:NP); elseif isismo==2 TV1=NP+1; TV2=TV1+NP-1; FF=FF(TV1:TV2); end disp(FF) V=sum(FF); disp('CORTANTE BASAL'); disp(V) %------------------------------------------------------------------------ % fuerzas laterales en los Porticos %------------------------------------------------------------------------ for i=1:ntot ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP; a=A(ji:jf,1:3*NP); p=a*q;Klateral=KLG(ji:jf,1:NP); FT=Klateral*p; fprintf ('\n FUERZA LATERAL EN PORTICO :') disp(i) disp(FT) end % fin

Después en el transcurso del programa, por pantalla el programa solicita información adicional como la zona sísmica en la cual está la estructura, el tipo de suelo, el factor de




315

importancia, el factor de amortiguamiento de la goma, el factor de irregularidad en planta y en elevación y el criterio de combinación modal.

El programa reporta los desplazamientos, fuerzas, derivas, índice de estabilidad de

piso en el centro de masas. También las fuerzas laterales en cada pórtico pero el usuario con la omisión del punto y coma puede solicitar la información que desee. La variable seda que se encuentra en la instrucción.


El Método de Superposición Modal, descrito en el apartado anterior para el análisis sísmico de estructuras con disipadores de energía demanda cierto tiempo en encontrar las matrices de rigidez lateral de la estructura sin disipadores, de la estructura con disipadores, de la estructura con inercias agrietadas y con inercias gruesas. Para evitar esto se tiene método estático que es aproximado pero puede utilizarse a nivel de prediseño.

10.10.1 Período Fundamental

Se encontró el período de vibración en 108 edificios de 1 a 6 pisos, con disipadores de energía visco elásticos del tipo que se ha venido estudiando en este capítulo. Para el efecto se halló la matriz de rigidez con inercias agrietadas y la matriz de masas, en coordenadas de piso; luego se hallo el período fundamental mediante la solución del problema de valores y vectores propios. García (2008)

Figura 10.14 Períodos de vibración encontrados en el estudio.

Los resultados obtenidos en el estudio se indican en la figura 10.14. Con estos valores

se encontró la ecuación de mejor ajuste que es la siguiente.

6993.00865.0 HT = ( 10.11 ) Donde H es la altura total del edificio en metros y T el período fundamental de la

estructura con disipadores de energía visco elásticos.




316

En la figura 10.15 se presenta la ecuación que el CEC-2000 recomienda para hallar el período fundamental en estructuras conformadas por vigas y columnas sin disipadores de energía, esta es ha sido identificada como (1). Con el número (2) se identifica a la ecuación ( 10.10 ) que es la propuesta del estudio y con ( 3) a la ecuación del CEC-2000 multiplicada por 1.3, la razón está indicada en el capítulo 4. El factor 1.3 también es recomendado por el CEC-2000 para tener una ecuación más exacta. Lo importante es notar que la ecuación propuesta para hallar el período fundamental en estructuras con disipadores visco elásticos se aproxima bastante bien a la ecuación del CEC-2000 sin el factor 1.3.

75.00731.0 HT =

Figura 10.15 Comparación de períodos con propuesta.

10.10.2 Descripción del Método Estático Propuesto

Para estructuras con disipadores de energía visco elásticos de goma, como el estudiado en el presente capítulo se propone el siguiente procedimiento de análisis para hallar las fuerzas estáticas en el Centro de Masa debido a una acción sísmica definida por un espectro de diseño.

i. Se halla el período fundamental de la estructura con disipadores de energía, mediante la ecuación (10.11).

ii. Se determina el amortiguamiento equivalente de la estructura con disipadores de

energía visco elásticos. Para el efecto se repite la ecuación (10.7)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−+=

∩∩ 2

2____

12

j

j

j

jjj

w

w

w

w ηβζ

Se trabaja solo con el primer modo de vibración, razón por la cual se omitirá el índice . Se denomina a la relación de la frecuencia natural de vibración de la estructura

sin disipadores con respecto a la frecuencia natural de vibración de la estructura con disipadores visco elástico. De tal manera que:

j wr

( )212 ww rr −+=ηβζ ( 10.12 )




317

Siendo β el factor de amortiguamiento de la estructura (de las vigas y columnas); η es el factor de pérdida de la goma. En base a lo expuesto en el capítulo 2 y a la ecuación (10.11) se tiene:

( ) 0507.0

6993.0

75.091024.0

0865.020731.03.12

ˆ−=

∗== H

H

Hww

rj

jw π

π

( 10.13 )

iii. Se halla af con la ecuación (10.9). es el factor por el cual se deben multiplicar las

ordenadas del espectro para un 5% de amortiguamiento. af

iv. Se determina el coeficiente C con la siguiente expresión que fue indicada en el

capítulo 4.

β≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= a

Sf

TSC 25.1

( 10.14 )

Donde es el factor de amplificación por efecto del tipo de suelo; S T es el período fundamental; β es un factor que depende del tipo de suelo al igual que . S

v. Se encuentra el cortante basal 0V

WR

CIZVep φφ

=0 ( 10.15 )

Donde Z es el factor de zonificación sísmica, I es el coeficiente de importancia, es el coeficiente definido en (10.14),

CR es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas

que están indicados en el capítulo 2, ep φφ , factores que toman en cuenta las

irregularidades en planta y elevación. W es el peso total reactivo. Los valores de β,, SZ fueron indicados en el capítulo 2.

vi. Se hallan las fuerzas estáticas en cada piso.

( )

∑=

−= n

iii

iiti

hw

hwFVF

1

0 ( 10.16 )

TVFt 007.0= ( 10.17 )

Donde es la fuerza en el último piso; es el peso reactivo del piso i, es la altura desde la base hasta el piso i.

tF iw ih

vii. Las fuerzas laterales obtenidas se incrementan en un 10% por efecto de la

torsión accidental.




318

viii. Se efectúa el control de la deriva de piso inelástica γ , en la forma indicada en

capítulos anteriores para verificar que γ sea menor al 1.5%. Para esto se necesita la matriz de rigidez de lateral de los pórticos con inercias gruesas.

ix. Se efectúa el control del efecto ∆−P en la forma indicada en los capítulos anteriores.

10.10.3 Programa VISCOELASTICOESTATICO

El programa VISCOELASTICOESTATICO efectúa el análisis sísmico en estructuras regulares en planta y elevación con disipadores de energía visco elásticos de goma, siguiendo los lineamientos descritos en el apartado anterior y considerando los factores de reducción de las fuerzas sísmicas indicados en el capítulo 2. La forma de uso del programa es la siguiente: >> [V]=viscoelasticoestatico(ejes,altura,Peso,KL)

• ejes es el número de ejes de la estructura en la dirección del análisis sísmico. • altura es el nombre de un vector que contiene la altura de cada piso, medida desde

la base hasta el piso. • Peso vector que contiene los pesos totales de cada piso, debidos a carga muerta. • KL Matriz que contiene a las matrices de rigidez lateral de los pórticos con inercias

gruesas. Pero solo en el sentido de análisis. function [V]=viscoelasticoestatico(iejes,alt,peso,KL) % % Analisis Estatico de acuerdo al CEC-2000 de edificios aporticados regulares % % Factor de reduccion de las fuerzas sismicas de acuerdo a Proyecto de % Investigacion desarrollado en CEINCI-ESPE 2005-2007. % Periodo de vibracion de estructuras con disipadores de energia el % obtenido por Aguiar y Garcia (2008) % % Se mayoran las fuerzas sismicas por torsion accidental en 10%. % % Por: Roberto Aguiar Falconi % CEINCI-ESPE % Marzo de 2008 %----------------------------------------------------------------------- % [V]=analisisestaticonew(iejes,alt,peso,KL) %----------------------------------------------------------------------- % R Factor de reduccion de las fuerzas sismicas % H Altura total de edificio Z Factor de Zona % iejes # de ejes de columnas en direccion de analisis sismico % alt Vector que contine las alturas a cada piso medido desde el suelo. % peso Vector que contiene los pesos reactivos de cada piso. % PESO Peso total Reactivo. V Cortante Basal % gama Deriva maxima de piso que el programa calcula. % KL Matriz que contiene la matriz de rigidez lateral de cada portico % en la direccion del analisis sismico con inercias gruesas es para % deriva de piso. % NP=length(alt); PESO=0;for i=1:NP; PESO=PESO+peso(i);end; H=alt(NP);




319

fprintf ('\n Codigos para zonas sismicas: 0.15g=1 0.25g=2 0.30g=3 04g=4'); ic=input ('\n Ingrese el codigo de la zona sismica :'); if ic==1; Z=0.15;elseif ic==2; Z=0.25;elseif ic==3;Z=0.30;else;Z=0.40;end fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4'); is=input('\n Indique el codigo del tipo de suelo :'); if is==1 T1=0.50;T2=2.50;beta=2.5;S=1;R=6.0; elseif is==2 T1=0.52;T2=3.11;beta=3.0;S=1.2;R=6.0; elseif is==3 T1=0.82;T2=4.59;beta=2.8;S=1.5;R=6.0; else T1=2.0;T2=10;beta=2.5;S=2;R=5.0; end I=input('\n Indique el factor de importancia :'); % Periodo fundamental, T=0.0865*H^(0.6993); rp=input('Estructura es regular en planta; si(s) o no(n):','s'); if rp=='s';fip=1;else;fip=0.8;end re=input('Estructura es regular en elevacion; si(s) o no(n):','s'); if rp=='s';fie=1;else;fie=0.8;end rw=0.91024*H^(-0.0507) eta=input ('Factor de perdida de la goma :'); bbeta=input ('Amortiguamiento de la estructura sin disipadores :'); % amortiguamiento equivalente de la estructura con disipadores seda=bbeta*rw+(eta/2)*(1-rw*rw); % factor fa para reducir el espectro por el amortiguamiento BO=2*((1+seda)/(1+(14.68*seda^0.865))); %Coeficiente C C=(1.25*S^S)/T; if C >=beta;C=beta;end if C <= 0.5;C=0.5;end C=C*BO; % Cortante Basal V=(Z*I*C*PESO)/(R*fip*fie); % Fuerzas horizontales en cada piso if T <= 0.7;Ft=0;else;Ft=0.07*T*V;end Ftmax=0.25*V;sum=0; if Ft >= Ftmax;Ft=Ftmax;end for i=1:NP;sum=sum+peso(i)*alt(i);end for i=1:NP if i==NP F(i)=(((V-Ft)*peso(i)*alt(i)/sum)+Ft); else F(i)=((V-Ft)*peso(i)*alt(i)/sum); end end % Calculo de la deriva de piso. Kxx=zeros(NP,NP); % Determinacion de matriz de rigidez espacial for i=1:iejes ji=NP*(i-1)+1;jf=NP*(i-1)+NP; Kxx=Kxx+KL(ji:jf,1:NP); end F=F'; q=Kxx\F; qine=R*q; % Desplazamientos elasticos e inelastico for i=1:NP




320

j=NP+1-i; if j==1 drift(j)=qine(j)/alt(j); else drift(j)=(qine(j)-qine(j-1))/(alt(j)-alt(j-1)); end end gama=0; for i=1:NP; if gama>=drift(i); continue else gama=drift(i); end end gama=gama*100; end %-------------------------- %Control de efecto P-Delta %-------------------------- for i=1:NP j=NP-i+1; if j==NP Corte(j)=F(j); else peso(j)=peso(j)+peso(j+1); Corte(j)=F(j)+F(j+1); end theta(j)=(peso(j)/Corte(j))*(drift(j)/R); if theta(j)>=0.30 fprintf ('\n Estructura debe ser reforzada'); elseif theta(j)>=0.10 & theta(j)<0.30 fpd(j)=1/(1-theta(j)); else fpd(j)=1; end end FPD=max(fpd); fprintf ('\n Valor de reduccion de las fuerzas sismicas R'); R fprintf('\n Fuerzas laterales en cada piso sin torsion accidental'); F fprintf ('\n Cortante Basal '); V fprintf ('\n Desplazamiento Inelastico'); qine fprintf ('\n Deriva de piso'); drift fprintf ('\n Deriva maxima de piso en porcentaje'); gama if gama >= 1.5 fprintf ('\n Deriva de piso mayor a 1.5% repita el analisis sismico') end fprintf ('\n Indice de estabilidad de piso'); theta % Mayoracion de las fuerzas laterales por torsion accidental F=1.1*F; fprintf('\n Fuerzas laterales en cada piso con torsion accidental'); F F=FPD*F; fprintf ('\n Fuerzas finales en centro de masa');F %---fin

• EJEMPLO 4




321

Realizar el análisis sísmico de la estructura del ejemplo 3, empleando el Método Estático, con el programa VISCOELASTICOESTATICO.

• SOLUCIÓN

Las matrices de rigidez lateral, con inercias gruesas, del pórtico con disipador de energía y del pórtico sin disipador son las siguientes:

1

0.28687.31060.2701.62835.3631

9.8588

LDL KK =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

2

1.20478.22850.2704.46417.2810

2.6947

LL KK =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

>> ];;;;[ 12221 LDLLLLD KKKKKKL =>> Peso = [86.4; 86.4; 86.4] >> altura = [3.0; 6.0; 9.0] >> [V]=viscoelasticoestatico(5,altura,Peso,KL)

El programa reporta los resultados indicados en la tabla 10.4

Tabla 10.4 Respuestas máximas en el Centro de Masas con Método Estático Piso Fuerzas

sin Torsión (T.)


(T.)



Finales (T.)

1 8.5863 9.445 0.0139 0.0046 0.0094 9.445 2 17.1727 18.890 0.0352 0.0071 0.0057 18.890 3 25.7590 28.3349 0.0480 0.0043 0.0029 28.3349

REFERENCIAS

1. Aguiar R., Torres M., Romo M., y Caiza P., (1998), El sismo de Bahía, Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 125 p., Quito.

2. Aguiar R., y Jiménez M., (2007), “Estudio experimental de un disipador visco elástico

con goma de 6 milímetros”, XIX Jornadas Nacionales de Ingeniería Estructural. Universidad Nacional del Chimborazo, 10 p., Riobamba.

3. Chang K., Soong T., Oh S., Lai M., (1992), “Effect of ambient temperature on

viscoelastically damped structure”, Journal of Structural Engineering, ASCE, 118 (7), 1955-1973.




322

4. Chang K., Soong T., Lai M., Nielsen E., (1993) “Development of a design procedure for structures with added viscoelastic dampers”, Proc. ATC-17-1 Seminar on Seismic Isolation, Passive Energy Dissipation and Active Control, A.T.C., Vol 2, 473-484, Redwood City, California.



6. García L., (2008), Comparación entre el Método Estático y el Método Dinámico de estructuras con disipadores de energía visco elásticos, Tesis de Maestría en Ciencias. Universidad Técnica de Manabí, Portoviejo.

7. Inaudi J., Zambrano A., and Kelly J., (1993), On the analysis of structures with

viscoelastic dampers, Earthquake Engineering Research Center. UBC/EERC-93/06, 119 p.



