analisis sismico de edificios

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CAP. 8: VIBRACIN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

VIBRACIN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

En las secciones iniciales del presente captulo se fundamentar, basados en los conceptos bsicos del anlisis dinmico de edificios, las simplificaciones hechas a ciertos sistemas. Dichas simplificaciones son aceptadas por muchos reglamentos modernos de construccin cuando hacen uso de mtodos dinmicos de diseo. En la Secc. 8.2 se ver la diferencia entre un modelo de acoplamiento cercano y lejano, usando para esto un prtico de 3 niveles. Despus en la Secc. 8.3 y 8.4 con la finalidad de que los conceptos fundamentales y procedimientos numricos sean asimilados con facilidad haremos uso de una estructura sencilla ( prtico de 2 niveles mostrado en la Fig. 8.3 ). Ello significa que para sistemas ms complejos los conceptos tambin son vlidos, tal como se ver en la Secc 8.4., con la nica diferencia de que en la mayora de los casos se tendr que recurrir a programas de computo avanzados para realizar el anlisis, sin embargo, la ltima palabra la tiene el Ingeniero a cargo del anlisis y no la computadora que no es mas que una herramienta [ Ref. 11 ]. Finalmente, en la Secc. 8.5 se tocar el tema acerca de los sistemas continuos que son los que en realidad nos permiten representar a los sistemas estructurales con su masa y rigidez a lo largo de los elementos que los componen. 8.2 MODELOS El modelo ms simple de un sistema de varios grados de libertad corresponde a una serie de masas interconectadas por resortes sin peso, como se muestra en la Fig. 8.1. Este modelo se denomina un sistema de acoplamiento cercano. Estrictamente slo es aplicable a las vibraciones laterales de un prtico con vigas infinitamente rgidas y despreciando la deformacin axial de las columnas, o tambin a algn sistema vibratorio cuyas deformaciones sean principalmente desplazamientos laterales. Por esa razn tambin se lo denomina modelo tipo cortante.P3 m3 k3 P2 m2 k2 P1 m1 k1 && m2u2 k3 (u3 u2 ) m2 k2 (u2 u1 ) P2

8.1 INTRODUCCIN Cuando se trata con sistemas estructurales reales es necesario, en general, considerar varios grados de libertad, cada uno correspondiente a una coordenada independiente. En general podra pensarse que una estructura real tiene infinitos grados de libertad, sin embargo es posible reducir su nmero a uno finito considerando el hecho que los desplazamientos intermedios de los elementos pueden ser expresados en funcin de los desplazamientos de los nudos extremos. El nmero de grados de libertad debera ser igual al nmero de componentes de desplazamiento necesario para definir adecuadamente la deformada del sistema bajo el tipo de excitacin de inters, y como consecuencia poder determinar las fuerzas internas de manera suficientemente aproximada. En el caso de los edificios sometidos a cargas ssmicas, la excitacin principal son aceleraciones horizontales (y una vertical que es poco importante en general o que en caso de serlo puede ser tratada independientemente). Esto se traduce en fuerzas de inercia horizontales que imprimen a la estructura una deformacin lateral y cuyos grados de libertad independientes importantes son los desplazamientos horizontales de los nudos. Existen otras consideraciones aplicables a este caso, como el hecho que la masa est principalmente concentrada en el nivel de cada entrepiso y por consiguiente las fuerzas de inercia son fuerzas horizontales aplicadas al nivel de cada entrepiso. Esto sugiere que los grados de libertad dinmicos independientes son aquellos asociados con la direccin de las fuerzas. Lo cierto es que un edificio sometido a la accin de un sismo es un sistema de varios grados de libertad por lo que es importante analizar tericamente el tratamiento de dichos sistemas.

Fig. 8.1 Modelo de acoplamiento cercano

En una estructura real, sin embargo, las masas estn conectadas por elementos flexibles y el modelo anterior no es aplicable. El modelo real sera uno en que las

SECC. 8.3: GRADOS DE LIBERTAD DINMICOS

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masas se encuentran todas interconectadas dando origen a lo que se denomina modelo de acoplamiento lejano. Este modelo se representa en la Fig. 8.2.P3 P2 P1 y zx( a ) Modelo de una edificacin de 2 niveles. [Figura obtenida del programa SAP 2000 versin educacional]

m3 m2 y m1x

L1

L1

L1 L2 L2 L2 L2 y z

( b ) Planta de la edificacin.

( c ) Prtico secundario tpico. Elevacin y .

Fig. 8.2 Modelo de acoplamiento lejano

8.3 GRADOS DE LIBERTAD DINMICOS Los grados de libertad dinmicos son aquellos en los cuales se generan las fuerzas inerciales ( masa por aceleracin o momento de inercia por aceleracin angular). Por ende, dichos grados son los que interesarn para realizar el anlisis. En la Fig. 8.3.a se muestra se muestra el modelo de una edificacin de 2 niveles, conformada por vigas y columnas. Su planta esta esquematizado en la Fig. 8.3.b, en ella se resalta las columnas cuyos ejes fuertes son paralelos al eje y . En la Fig. 8.3.c se muestra un prtico secundario tpico. Finalmente en la Fig. 8.3.d se puede apreciar un prtico principal tpico, el cual ser usado, de aqu en adelante, para poder explicar los conceptos.

zx

L1

L1

L1

( d ) Prtico Principal Tpico. Elevacin x .

Fig. 8.3 Edificacin de 2 niveles: ( a ) Modelo. ( b ) Planta. ( c ) Prtico Secundario.( d ) Prtico Principal.

Dr. JAVIER PIQU DEL POZO

SECC. 8.3: GRADOS DE LIBERTAD DINMICOS

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Si se quisiera analizar el prtico plano principal ( ver la Fig. 8.3.d ) considerando todos sus grados de libertad (GDL) , vemos que este tendra 24 GDL estticos tal como se muestra en la Fig. 8.4.13 14 15 1 2 3 4 5 6 16 17 18 7 19 20 21 8 9 10 22 23 24 11 12

Es comn que cuando se analicen edificaciones se suponga que los pisos son diafragmas rgidos en su plano ( Fig. 8.5 ), lo que permitira expresar el movimiento de cualquier punto del piso en trminos de tres grados de libertad: un giro alrededor de un eje vertical y dos desplazamientos horizontales. Cuando un prtico, en este caso el de la Fig. 8.5, esta ligado a un piso rgido, los valores que tomen los tres GDL mencionados son los que definirn el desplazamiento lateral en cada nivel. Por otro lado, debido a que mayor parte de las masas estn directamente soportada por los pisos, es aceptable suponer que las masas estn concentradas en los mismos, de manera que las fuerzas de inercia generadas por desplazamientos laterales se pueda expresar como productos de la masa en cada piso por sus aceleraciones lineales ( en dos direcciones horizontales perpendiculares, para nuestro caso ejes x e y ) y del momento de inercia de dicha masa por la aceleracin angular alrededor del eje vertical que pasa por el centro de masas. Segn lo anterior, realizar el anlisis dinmico de un edificio con modelos que tiene tres grados de libertad por piso(un giro en planta y un desplazamiento en x e y) es aceptable. Pero se debe tener presente que la hiptesis de que los pisos se comportan como diafragmas rgidos implica que las vigas no tienen deformaciones axiales. Cuando por simetra los pisos no rotan alrededor de ejes verticales, el edificio o sus componentes se puede modelar como un sistema de 1 GDL (desplazamiento lateral ) por piso ( u1 y u2 ) como se puede ver en la Fig. 8.6, que es una simplificacin del prtico plano principal con 2 GDL dinmicos mostrado en la Fig. 8.3. En la Fig. 8.4 se puede observar adems que k1 y k2 son las rigideces laterales de cada piso (el clculo aproximado de dichas rigideces fue enseado en el Cap. 7).m2

Fig. 8.4 Prtico plano principal con sus 24 GDL estticos.

Sin embargo, al ocurrir movimiento lateral, solo seran importantes las fuerzas de inercias generadas por el peso de cada piso (ver Fig. 8.5 ) en los que adems las deformaciones en su plano son despreciables. Lo cual indicara que ahora tenemos un sistema de 2 GDL dinmicos, que son precisamente los desplazamientos laterales 1 y 2.

m2

2

u2u1

m1

1

k2 m1 k1

Fig. 8.5 Prtico plano principal con 2 GDL dinmicos. Fig. 8.6 Simplificacin del prtico plano principal con 2 GDL dinmicos

Lo dicho en el prrafo anterior no implica que los restantes giros y desplazamientos se anulen, sino que, aunque asuman valores distintos a cero, las fuerzas de inercia son tan pequeas que pueden despreciarse.

Se ha podido apreciar como se redujo un sistema de 24 GDL, lo cual implicaba una matriz de rigidez de 24x24, a uno de 2 GDL que implica el trabajar con una matriz de rigidez de 2x2. En resumen lo hecho fue una condensacin esttica , quedando as matrices de rigideces y de masas que corresponden a los mismos grados de libertad.

Dr. JAVIER PIQU DEL POZO

SECC. 8.4: VIBRACIN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GDL. AMORTIGUAMIENTO

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CAP. 8: VIBRACIN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

8.4 VIBRACIN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD (GDL). AMORTIGUAMIENTO En esta seccin nuestro estudio estar basado en el sistema simplificado de 2 GDL Dinmicos visto en la Fig. 8.6, en el que adems de las fuerzas inerciales tambin se considerarn fuerzas actuantes en cada GDL tal como se puede observar en la Fig..8.7. Primeramente obtendremos una expresin general para la vibracin forzada del sistema no amortiguado. Luego haremos algunas simplificaciones para poder obtener la vibracin libre (en la Secc. 8.4.2 presentaremos la expresin general que considera el amortiguamiento). Para poder estudiar las propiedades bsicas de un sistema como el que se muestra en la Fig. 8.7 se har uso del modelo tipo cortante (ver Secc. 8.2).m2 k2 m1 k1u1

u2

1&& m2