1

BAB 1

ERROR

1.1. Angka Penting

Dalam suatu perhitungan dibedakan antara nilai eksak / sejati dan nilai aproksimasi /

pendekatan. Nilai nilai 2,, e adalah nilai nilai eksak dan nilai nilai tersebut dapat didekati dengan nilai aproksimasi misalkan 3.14 , 2.7183, 1.414 .

Angka penting adalah tiap angka / digit dari angka angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan

0. Jika 0 digunakan untuk menentukan titik desimal maka 0 bukan angka penting.

Contoh :

Bilangan 0.00263 maka angka angka pentingnya ada 3, yaitu : 2, 6 dan 3

Bilangan 3809 maka angka angka pentingnya ada 4, yaitu 3, 8, 0 dan 9

Bilangan 4.63 x 104 maka angka angka pentingnya ada 3, yaitu : 4, 6 dan 3

Bilangan 4.630 x 104 maka angka angka pentingnya ada 4, yaitu : 4, 6,3 dan 0

Bilangan 4.6300 x 104 maka angka angka pentingnya ada 5, yaitu : 4, 6,3,0 dan 0

1.2. Error

Error / kesalahan / galat numerik muncul akibat penggunaan nilai aproksimasi /

pendekatan / hampiran untuk menyatakan hasil operasi atau besaran matematika yang

eksak atau nilai sejatinya. Hubungan antara nilai aproksimasi dan nilai sejati (true value)

dirumuskan dengan :

att xxE = dimana

tE = error sejati

tx = nilai sejati

ax = nilai aproksimasi

2

Error relatif diperoleh dengan menormalkan error terhadap nilai sejatinya,

biasanya dinyatakan dalam persentase, sehingga diperoleh hubungan :

%100t

tt x

E=

dimana t = persentase error relatif sejati Contoh :

Seseorang melakukan pengukuran panjang sebuah jembatan dan paku. Jika hasil

pengukuran panjang jembatan dan paku masing - masing 9999 cm dan 9 cm, sedangkan

nilai sejati masing masing dalah 10000 cm dan 10 cm maka tentukan error dan

persentase error relatif masing masing ?

Penyelesaian :

Error untuk pengukuran jembatan tE = 10000 9999 = 1 cm

Error untuk pengukuran paku tE = 10 9 = 1 cm

Presentase error relatif untuk pengukuran jembatan =t %100100001 =0.01 %

Presentase error relatif untuk pengukuran paku =t %100101 =10 %

Jadi walaupun kedua pengukuran itu mempunyai error yang sama 1 cm, tetapi

persentase error untuk paku lebih besar dari pada persentase error untuk jembatan. Dapat

diambil kesimpulan bahwa error pengukuran jembatan lebih baik dari paku.

Untuk metode numerik nilai sejati hanya akan diketahui jika fungsi yang

ditangani berupa fungsi yang dapat diselesaikan secara analitik / eksak. Untuk itu jika

nilai sejatinya tidak diketahui maka digunakan penormalan error dengan menggunakan

taksiran terbaik yang tersedia dari nilai sejati, yaitu dari nilai aproksimasi itu sendiri.

a

aa x

E=

dimana aE = error aproksimasi

3

Secara iterasi nilai aproksimasi sekarang diperoleh dari perhitungan nilai

aproksimasi sebelumnya. Dengan demikian maka :

%1001

i

ii

a

aaa x

xx =

dimana

a = persentase error relatif aproksimasi =

iax nilai aproksimasi sekarang

=1iax nilai aproksimasi sebelumnya Nilai aproksimasi benar sampai suatu nilai toleransi s dengan n angka penting / digit signifikan jika sa < dimana ( )%105.0 2 ns x =

4

BAB 2

AKAR AKAR PERSAMAAN

Untuk mencari akar akar real dari suatu persamaan 0)( =xf jika tidak dapat diselesaikan secara analitik / eksak dapat digunakan penyelesaian aproksimasi /

pendekatan dengan metode numerik.

2.1. Metode Pengurung

Metode pengurung adalah suatu metode pencarian akar akar persamaan berdasarkan

fakta bahwa nilai fungsi akan berubah tanda di sekitar akar akar persamaan yang dicari,

sehingga metode ini memerlukan 2 nilai / tebakan awal yang mengurung akar akar

tersebut.

2.1.1. Meode Biseksi

Jika lx dan ux nilai / tebakan awal sehingga ( ) 0)(

5

Langkah langkah Metode Biseksi :

a. Tentukan nilai awal lx dan ux sedemikian hingga ( ) 0)(

6

2.1.2. Metode Regula Falsi

Andaikan akar persamaan 0)( =xf terletak diantara lx dan ux .Dibuat garis lurus yang melalui ( )[ ]ll xfx , dan ( )[ ]uu xfx , yang memotong sumbu X di rx .Persamaan garis yang melalui dua titik ini adalah :

( )

( ) ( ) ulu

ul

u

xxxx

xfxfxfy

=

Garis ini melalui titik ( )0,rx sehingga nilai rx dapat dicari, yaitu :

( )( )( ) ( )ul

uluur xfxf

xxxfxx

=

Akar ini lebih dekat dengan akar sejatinya daripada lx atau ux .

Langkah langkah Metode Regula Falsi :

a. Tentukan nilai awal lx dan ux sedemikian hingga ( ) 0)(

7

c. Evaluasi nilai rx

Jika ( ) 0)( rl xfxf maka rl xx = Jika ( ) 0)( =rl xfxf maka nilai akar sejati rx

d. Iterasi berhenti jika salah satu kriteria dibawah ini terpenuhi :

sa < banyaknya iterasi terlampaui

8

2.2.1. Metode Iterasi Satu Titik Sederhana

Metode ini bekerja dengan cara menyusun kembali persamaan 0)( =xf sedemikian hingga menjadi persamaan ( )xgx = . Proses iterasi konvergen jika 1)(' 0

9

Penyelesaian :

Kriteria berhenti sampai 2 angka signifikan berarti %5.0=s . Persamaan disusun kembali menjadi 4 2 22 +== xxx dan dengan menggunakan program komputer dapat ditabelkan sbb :

Iterasi ix ( )ixg ( )ixg ' ( )ixf %,a 0 1.0000000 1.3160740 0.3290185 -2.0000000 1 1.3160740 1.4271197 0.3667804 -1.1480276 24.02 2 1.4271197 1.4681654 0.3719595 -0.4981941 7.78 3 1.4681654 1.4834583 0.3731472 -0.1966321 2.80 4 1.4834583 1.4891676 0.3735027 -0.0749849 1.03 5 1.4891676 1.4913004 0.3736239 -0.0282338 0.38

Dengan demikian akar persamaan =x 1.4891676

2.2.2. Metode Newton Raphson

X

Y

ix

( )xfy =

( )ixf

1+ix

10

Dari gambar diatas persamaan garis singgung ( )xf dengan gradien garis singgung ( )ixf ' yang melalui titik ( )[ ]ii xfx , adalah ( ) ( ) ( )iii xxxfxfy = ' . Garis singgung ini

memotong sumbu X di ( )0,1+ix sehingga ( )( )ii

ii xfxf

xx'1

=+

Langkah langkah Metode Newton Raphson :

a. Tentukan nilai awal 0x

b. Lakukan iterasi ( )( )i

iii xf

xfxx

'1=+ dimana ....,3,2,1=i

c. Iterasi berhenti jika salah satu kriteria dibawah ini terpenuhi :

sa < banyaknya iterasi terlampaui

11

2.2.3. Metode Secant

Persamaan garis yang melalui ( )[ ]ii xfx , dan ( )[ ]11 , ii xfx seperti tampak pada gambar berikut adalah :

( )( ) ( ) ii

i

ii

i

xxxx

xfxfxfy

=

11

Garis ini melalui titik ( )0,1+ix sehingga nilai 1+ix dapat dicari, yaitu :

( ) ( )( ) ( )ii

iiiii xfxf

xxxfxx

==

+

1

11 dimana ....,3,2,1=i

Langkah langkah Metode Secant :

a. Tentukan nilai awal 0x dan 1x

b. Lakukan iterasi ( ) ( )( ) ( )ii

iiiii xfxf

xxxfxx

==

+

1

11 dimana ....,3,2,1=i

c. Iterasi berhenti jika salah satu kriteria dibawah ini terpenuhi :

sa < banyaknya iterasi terlampaui

12

Contoh :

Dengan menggunakan Metode Secant tentukan akar real dari ( ) 22 24 += xxxxf dengan nilai awal 20 =x dan 31 =x sampai 2 angka signifikan Penyelesaian :

Kriteria berhenti sampai 2 angka signifikan berarti %5.0=s dan dengan menggunakan program komputer dapat ditabelkan sbb :

Itrs 1ix ix 1+ix ( )1ixf ( )ixf ( )1+ixf a , % 1 2.0000000 3.0000000 1.8571429 8.0000000 64.0000000 4.8546439 2 3.0000000 1.8571429 1.7633373 64.0000000 4.8546439 3.2127299 -5.32 3 1.8571429 1.7633373 1.5797881 4.8546439 3.2127299 0.8169974 -11.62 4 1.7633373 1.5797881 1.5171938 3.2127299 0.8169974 0.2120773 -4.13 5 1.5797881 1.5171938 1.4952490 0.8169974 0.2120773 0.0223754 -1.47 6 1.5171938 1.4952490 1.4926606 0.2120773 0.0223754 0.0007322 -0.17

Dengan demikian akar persamaan =x 1.4926606

13

BAB 3

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Diketahui sistem persamaan linear (SPL) dengan n persamaan dan n variabel :

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

........

................

21211

22222121

11212111

M

Ditulis dalam bentuk perkalian matriks bxA =

dengan

=

=

=

nnnnnn

n

n

b

bb

b

x

xx

x

aaa

aaaaaa

A MML

MMMMLL

2

1

2

1

21

22221

11211

,,

Ada 3 metode yang akan dibahas disini, yaitu : Metode Dekomposisi LU, Metode Jacobi

dan Metode Gasuss Seidel.

3.1. Metode Dekomposisi LU

Dalam metode ini SPL bxA = disusun kembali menjadi bentuk dxU = dimana U adalah matriks segitiga atas sehingga 0= dxU , kemudian dikalikan matriks segitiga bawah L sehingga bxAdxUL = )( . Dengan demikian ALU = dan bdL = Jika diagonal U bernilai 1 maka dekomposisi LU disebut Dekomposisi Crout.

LUA = sehingga

=

100

101

000

2

112

21

2221

11

21

22221

11211

LMMMM

LL

LMMMM

LL

LMMMM

LL

n

n

nnnnnnnn

n

n

uuu

lll

lll

aaa

aaaaaa

Jika diagonal L bernilai 1 maka dekomposisi LU disebut Dekomposisi Doolittle

LUA = sehingga

=

nn

n

n

nnnnnnnn

n

n

u

uuuuu

lll

llll

aaa

aaaaaa

LMMMM

LL

LMMMM

LL

LMMMM

LL

00

000

222

11211

21

2221

1211

21

22221

11211

14

Dari bdL = dengan substitusi maju diperoleh d dan dari dxU = dengan substitusi mundur diperoleh penyelesaian untuk x .

Alur Metode Dekomposisi Crout : LUA =

=

1...00

...10

...1

...

0...0...0

...

...

...

2

112

21

2221

11

21

22221

11211

MMMMMMMMMn

n

nnnnnnnn

n

n

uuu

lll

lll

aaa

aaaaaa

11 ii al = untuk ni ,...,2,1=

11

1

la

u jij = untuk nj ,...,3,2= Untuk 1,..,3,2 = nj

kj

j

kikijij ulal

==

1

1 untuk njji ,...,1, +=

jj

j

iikjijk

jk l

ulau

=

=

1

1 untuk njjk ,..2,1 ++=

dan knn

knknnnn ulal

==

1

1

Contoh :

Lakukan dekomposisi LU Crout dan tentukan penyelesaian dari SPL :

1624383

1252

321

321

321

=+=+

=+

xxxxxxxxx

Penyelesaian :

( )( )( )( )( )

( ) ( )( ) 415.35.0321

5.05.011

5.35.2345.05.213

5.021;5.2

25

3;1;2

233213313333

22

13212323

12313232

12212222

11

1313

11

1212

312111

======

======

=========

ululall

ulau

ulalulal

lau

lau

lll

15

Dengan demikian LUA = sehingga

=

1001105.05.21

05.3305.01002

243131

152

bdL = sehingga

=

168

12

45.3305.01002

3

2

1

ddd

122 1 =d sehingga 61 =d 85.0 21 =+ dd sehingga 42 =d

1645.33 321 =++ ddd sehingga 33 =d

Dengan demikian

=

=

34

6

3

2

1

ddd

d

dxU = sehingga

=

34

6

1001105.05.21

3

2

1

xxx

33 =x 432 = xx sehingga 12 =x

65.05.2 321 =+ xxx sehingga 21 =x

3.2. Metode Jacobi

Andaikan SPL dengan n persamaan dan n variabel dinyatakan dalam bentuk perkalian

matriks bxA = . SPL tersebut disusun kembali dengan memperhatikan elemen pivot menjadi bentuk :

.....,2,1,0,)(,1

)1( == =

+ kxaa

abx kj

n

ijj ii

ij

ii

iki dan ni .....,,2,1=

Jika diberikan nilai / penyelesaian awal )0(

x maka proses perhitungan secara iterasi

ini terus dilakukan sampai error yang dikehendaki tercapai.

16

Contoh

Selesaikan SPL berikut :

88 321 =+ xxx ...................(1) 1292 321 =++ xxx .................(2) 427 321 =+ xxx .................(3) Dengan memperhatikan elemen pivot maka SPL ini disusun kembali menjadi bentuk :

321 125.0125.01 xxx += ............. dari persamaan (1) 312 286.0143.0571.0 xxx ++= ..............dari persamaan (3) 213 111.0222.0333.1 xxx = ..............dari persamaan (2)

Andaikan diberikan nilai awal )0,0,0()0( =x maka perhitungan secara iterasi

dapat ditabelkan sbb :

)0(x )1(

x )2(

x )3(

x )4(

x )5(

x )6(

x )7(

x

1x 0 1.000 1.095 0.995 0.993 1.002 1.001 1.000

2x 0 0.571 1.095 1.026 0.990 0.998 1.001 1.000

3x 0 1.333 1.048 0.969 1.000 1.004 1.001 1.000

Dengan demikian penyelesaiannya 11 =x , 12 =x dan 13 =x

3.3. Metode Gauss Seidel

Andaikan SPL dengan n persamaan dan n variabel dinyatakan dalam bentuk perkalian

matriks bxA = .Penyelesaian dengan metode ini analog dengan Metode Jacobi, hanya saja nilai yang baru ketemu dari perhitungan langsung dimasukkan tanpa menunggu satu

iterasi selesai sehingga penyusunan kembali SPL menjadi :

.....,2,1,0,)(1

)1(1

1

)1( == +=

+

=+ kx

aa

xaa

abx kj

n

ij ii

ijkj

i

j ii

ij

ii

iki dan ni .....,,2,1=

17

Jika diberikan nilai / penyelesaian awal )0(

x maka proses perhitungan secara iterasi

ini terus dilakukan sampai error yang dikehendaki tercapai.

Contoh

Selesaikan SPL berikut :

88 321 =+ xxx ...................(1) 1292 321 =++ xxx .................(2) 427 321 =+ xxx .................(3) Dengan memperhatikan elemen pivot maka SPL ini disusun kembali menjadi bentuk :

)(3

)(2

)1(1 125.0125.01

kkk xxx +=+ ............. dari persamaan (1) )(

3)1(

1)1(

2 286.0143.0571.0kkk xxx ++= ++ ............dari persamaan (3)

)1(2

)1(1

)1(3 111.0222.0333.1

+++ = kkk xxx ..........dari persamaan (2)

Andaikan diberikan nilai awal )0,0,0()0( =x maka perhitungan secara iterasi

dapat ditabelkan sbb :

)0(x )1(

x )2(

x )3(

x )4(

x )5(

x

1x 0 1.000 1.041 0.997 1.001 1.000

2x 0 0.714 1.014 0.996 1.001 1.000

3x 0 1.032 0.990 1.002 1.001 1.000

Dengan demikian penyelesaiannya 11 =x , 12 =x dan 13 =x

18

BAB 4

SISTEM PERSAMAAN NON LINEAR

Penyelesaian dari sistem persamaan non linear (SPNL) dengan n persamaan dan n

variabel dapat diperoleh dengan menggunakan Metode Newton Raphson atau Metode

Iterasi.

4.1. Metode Newton Raphson

Diketahui SPNL dengan n persamaan dan n variabel yang ditulis dalam bentuk sbb:

0),.....,(

0),.....,(0),.....,(

21

212

211

=

==

nn

n

n

xxxf

xxxfxxxf

M

Jika nilai awal diberikan ( ))0()0(2)0(1)0( ,.....,, nxxxx = maka ekspansi Deret Taylor di sekitar ( ))0()0(2)0(1)0( ,.....,, nxxxx = dari fungsi fungsi pada SPNL tersebut akan menghasilkan :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0.....),...,(

0.....),...,(

0.....),...,(

)0()0()0(

2

)0(2

)0(

1

)0(1

)0()0()0()0(1

)0(1

)0(2)0()0(

2

2)0(2

)0(

1

2)0(1

)0(

2)0()0()0(

1)0(

12

)0(1)0()0(

2

1)0(2

)0(

1

1)0(1

)0(

1)0()0()0(

1)0(

11

=++

++=++

=++

++=++

=++

++=++

xxfex

xfex

xfexfexexf

xxfex

xfex

xfexfexexf

xxfex

xfex

xfexfexexf

n

nn

nnnnnn

nnnn

nnnn

M

Dengan demikian penyelesaian untuk iterasi pertama :

=)1(1x )0(1)0(1 ex + =)1(2x )0(2)0(2 ex +

M =)1(nx )0()0( nn ex +

19

dimana :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )x

xfx

xfx

xf

xxfx

xfx

xf

xxfx

xfx

xf

xxfx

xfxf

xxfx

xfxf

xxfx

xfxf

e

n

nnn

n

n

nnn

n

n

=

LMMMM

L

L

LMMMM

L

L

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

22

2

2

22

1

2

11

)0(1

)( ,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )x

xfx

xfx

xf

xxfx

xfx

xf

xxfx

xfx

xf

xxfxfx

xf

xxfxfx

xf

xxfxfx

xf

e

n

nnn

n

n

nn

n

n

n

=

LMMMM

L

L

LMMMM

L

L

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

21

22

1

2

11

1

1

)0(2

)(,

.,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )x

xfx

xfx

xf

xxfx

xfx

xf

xxfx

xfx

xf

xfxxfx

xf

xfxxfx

xf

xfxxfx

xf

e

n

nnn

n

n

nnn

n

=

LMMMM

L

L

LMMMM

L

L

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

21

22

2

1

2

12

1

1

1

)0(

)(

20

Secara umum untuk iterasi yang ke i diperoleh :

=)(1ix )1(1)1(1 + ii ex =)(2ix )1(2)1(2 + ii ex

M =)(inx )1()1( + inin ex

Contoh :

Dengan Metode Newton Raphson tentukan penyelesaian dari SPNL berikut :

0152

0log3

12121

2211

=+=+

xxxxxxx

dengan nilai awal ( ) )2.2,4.3(, )0(2)0(1)0( == xxx . Lakukan sampai 3 iterasi ! Penyelesaian

2211211 log3),( xxxxxf += maka 10ln

311

1

xxf +=

dan 221

1 2xxf =

152),( 12121212 += xxxxxxf maka 54 21

1

2 = xxxf dan 1

2

2 xxf =

Setelah dimasukkan untuk ( ) )2.2,4.3(, )0(2)0(1)0( == xxx maka untuk iterasi pertama diperoleh :

157.0

4.34.64.4383.1

4.372.04.41545.0

)0(1 =

=e sehingga 557.3157.04.3)0(1)0(1)1(1 =+=+= exx

085.0

4.34.64.4383.1

72.04.61545.0383.1

)0(2 =

=e sehingga 285.2085.02.2)0(2)0(2)1(2 =+=+= exx

21

Dengan demikian jika ditabelkan :

Iterasi 1e 1x 2e 2x

1 0.157 3.557 0.085 2.285

2 -0.0685 3.4885 -0.0229 2.2621

3 -0.0013 3.4782 -0.00056 2.26154

4.2. Metode Iterasi

Diketahui SPNL dengan n persamaan dan n variabel yang ditulis dalam bentuk sbb:

0),.....,(

0),.....,(0),.....,(

21

212

211

=

==

nn

n

n

xxxf

xxxfxxxf

M

dengan nilai awal diberikan ( ))0()0(2)0(1)0( ,.....,, nxxxx = SPNL ini disusun kembali menjadi bentuk :

),.....,(

),.....,(),.....,(

21

2122

2111

nnn

n

n

xxxFx

xxxFxxxxFx

=

==

M

Seperti halnya Metode Gauss Seidel maka secara iterasi hasil yang baru dihitung

langsung masuk pada perhitungan berikutnya tanpa menunggu hasil satu iterasi selesai

semua sehingga proses iterasi dapat ditulis menjadi :

),.....,(

),.....,(

),.....,(

)()1(2

)1(1

)1(

)()(2

)1(12

)1(2

)()(2

)(11

)1(1

kn

kkn

kn

kn

kkk

kn

kkk

xxxFx

xxxFxxxxFx

+++

++

+

=

==

M

22

Contoh :

Dengan Metode Iterasi tentukan penyelesaian dari SPNL berikut

017

0108

022

32

21

32

22

1

322

22

1

==+

=+

xxx

xxx

xxxx

dengan nilai awal ( ) )10.0,39.0,55.0(,, )0(3)0(2)0(1)0( == xxxx . Lakukan 2 iterasi saja !

Penyelesaian :

SPNL tersebut disusun kembali menjadi bentuk iterasi sbb :

)1(2

)1(21)1(

3

)(3

)1(21)1(

2

)(3

)(22

)(2

)1(1

7

810

22

+

++

++

+

=

+=

+=

k

kk

kkk

kkkk

xxx

xxx

xxxx

Jika ditabelkan akan diperoleh hasil perhitungannya sbb:

)0(x )1(

x )2(

x

1x 0.55 0.534602656 0.532106322

2x 0.39 0.400905225 0.403352621

3x 0.10 0.101840956 0.100279905

23

BAB 5

POLINOMIAL INTERPOLASI

5.1. Beda Hingga

Jika )(xf merupakan fungsi yang dapat dideferensialkan maka beda hingga

pertama dari )(xf dapat didefinisikan sebagai :

)()()( xfhxfxf += dimana xh = = nilai beda x yang uniform. Secara indeks beda hingga pertama didefinisikan sebagai :

iii fffffffff === +1232121 ,.....,, Beda hingga ke dua didefinisikan :

( ) ( ) ( ) ( ) 1231223121212 2 fffffffffffff i +===== iIii ffff += ++ 122 2

Beda hingga ke tiga didefinisikan :

( ) 12341213 33 ffffff +== ( ) iiiiii ffffff +== +++ 12323 33

M Dengan demikian beda hingga ke n menjadi :

.........!3

)2()1(!2

)1(321 ++= ++++ ninininiin fnnnfnnfnff

dimana ( )ii xff =

24

Tabel Beda Hingga menggunakan simbol :

s x f(x) )(xf )(2 xf )(3 xf )(4 xf -2 2x 2f

2f -1 1x 1f 2

2 f

1f 23 f 0 0x 0f 1

2 f 24 f

0f 13 f 1 1x 1f 0

2 f 14 f 1f 03 f 2 2x 2f 1

2 f 04 f 2f 13 f 3 3x 3f 2

2 f 3f 4 4x 4f

s = indeks dari x

Jika )(xf berbentuk polinomial dari data yang diberikan maka tabel beda hingga

mempunyai bentuk yang khusus.

25

Contoh :

Tabel beda hingga untuk fungsi 3)( xxf =

s x f(x) )(xf )(2 xf )(3 xf )(4 xf 0 0 0

1

1 1 1 6

7 6

2 2 8 12 0

19 6

3 3 27 18 0

37 6

4 4 64 24 0

61 6

5 5 125 30

91

6 6 216

Dapat dilihat bahwa beda hingga ke tiga konstan sehingga beda hingga ke empat

dan selanjutnya akan bernilai 0. Untuk menunjukkan bahwa beda hingga ke n dari

polinomial derajad n adalah konstan dapat dilakukan dengan cara sbb:

( ) ( ) nnn xahxaxa += nnnn xahahxnaxa +++= ........1 ......1 += nxhna (suku suku dengan derajad lebih rendah )

( ) ( ) ......1 221 += nn xhnnaxhna (suku suku dengan derajad lebih rendah )

26

Selanjutnya untuk polinomial derajad n

( )1121 ......)( + ++++= nnnnn axaxaxaxP ...........11 += nnhxa (suku suku dengan derajad lebih rendah )

( ) ( ) .......1 2212 += nn xhnnaxP (suku suku dengan derajad lebih rendah ) M

( )( ) nnnnnn hnaxhnnnaxP !.1.2.3....21)( 11 == Ini menunujukkan bahwa selain beda hingga ke n konstan nilainya diketahui nhna !1

Contoh :

Untuk ( ) ( ) 61!3.1 333 == xP jika 1=h

5.2. Polinomial Interpolasi Newton - Gregory

Jika fungsi yang ditabelkan seperti berbentuk polinomial ( dengan melihat beda

hingga ke n konstan ) maka fungsi itu dapat didekati dengan polinomial yang

menyerupainya. Problemnya adalah dengan menentukan bentuk polinomial derajad n

yang melalui (n+1) pasangan titik titik ( )[ ] ( )1,.....,2,1;, += nixfx ii . Jadi hanya ada satu polinomial derajad n yang melalui (n+1) titik.

Salah satu cara untuk menuliskan sebuah polinomial yang melalui titik titik

yang sudah dibuat dalam tabel , yaitu dengan menggunakan rumus polinomial maju

Newton Gregory :

( )( ) ( )( ) .......

621

21

........3210

03

02

00

03

02

00

++++=

+

+

+

+

=

fsssfssfsf

fs

fs

fs

fs

xP sn

dengan ( ) !!!

nnss

ns

=

Jika 0=s maka ( ) 00 fxPn = Jika 1=s maka ( ) ( ) 1010001 ffffffxPn =+=+= Jika 2=s maka ( ) 202002 2 ffffxPn =++=

27

Perlu ditekankan disini bahwa umumnya )(xf dan ( )xPn bukan fungsi yang sama. Oleh karena itu ada error taksiran interpolasi yang berhingga, sedangkan nilai

h

xxs 0=

Contoh :

Tentukan polinomial maju Newton Gregory derajad tiga yang cocok dengan tabel

berikut untuk empat titik dari 4.0=x sampai 0.1=x . Gunakan interpolasi itu untuk memperoleh ( )73.0f ! x f(x) )(xf )(2 xf )(3 xf )(4 xf 0 0

0.203

0.2 0.203 0.017

0.220 0.024

0.4 0.423 0.041 0.020

0.261 0.044

0.6 0.684 0.085 0.052

0.346 0.096

0.8 1.030 0.181 0.211

0.527 0.307

1.0 1.557 0.488

1.015

1.2 2.572

Penyelesaian :

Untuk membuat polinomial yang cocok maka indeks s dicari dengan mengambil nilai

4.00 =x sehingga 096.0,085.0,261.0,423.0 030200 ==== ffff

65.12.0

4.073.00 ===h

xxs

( ) ( ) ( )( )6

212

10

2003

+++= sssfssfsfxP s

28

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 893.0096.06

35.065.065.1085.02

65.065.1261.065.1423.073.0 =+++=f

Jika diambil sampai derajad empat maka ditambah dengan

( )( )( )( ) ( ) 0044.0211.024

35.135.065.065.14 0

4 ===

fs

Dengan demikian

( ) 8974.00044.0893.073.0 =+=f

Cara lain untuk menuliskan sebuah polinomial yang melalui titik titik yang

sudah dibuat dalam tabel , yaitu dengan menggunakan rumus polinomial mundur Newton

Gregory :

( )( ) ( )( ) .......

621

21

........3

22

11

33

22

10

33

22

10

+++++++=

+

++

++

+=

=

fsssfssfsf

fs

fs

fs

fxP sn

Contoh :

Tentukan polinomial mundur Newton Gregory derajad tiga yang cocok dengan tabel

diatas untuk empat titik dari 4.0=x sampai 0.1=x . Gunakan interpolasi itu untuk memperoleh ( )73.0f ! Penyelesaian

Untuk membuat polinomial yang cocok maka indeks s dicari dengan mengambil nilai

0.10 =x sehingga 096.0,181.0,527.0,557,1 332210 ==== ffff

35.12.0

0.173.00 ===h

xxs

( ) ( ) ( )( ) 332210 621

21

= ++++++= fsssfssfsfxP sn

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 893.0096.06

65.035.035.1181.02

35.035.1527.035.1557.173.0 =+++=f

29

Jika diambil sampai derajad empat maka ditambah dengan

( )( )( )( )( ) ( ) 001.0052.024

65.165.035.065.035.14

34

4 ==

+

fs

Dengan demikian

( ) 894.0001.0893.073.0 =+=f

Error untuk polinomial maju Newton Gregory ini adalah :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 1111 !1....21

1++++

+=

+=nnnn

s fhnnssssfh

ns

xE , nxx 0

Contoh :

Data berikut ini untuk xsin . Interpolasikan menggunakan kuadratik dari tiga titik

pertama untuk menaksir nilai ( )8.0sin dan tentukan juga errornya !

x f(x) )(xf )(2 xf )(3 xf 0.1 0.09983

0.37960

0.5 0.47943 -0.07570

0.30390 -0.04797

0.9 0.78333 -0.12367

0.18023 -0.02846

1.3 0.96356 -0.18023

0.02810

1.7 0.99166

30

Penyelesaian :

Ambil 1.00 =x dan 75.14.00.18.0 ==s maka

( ) ( ) 02002 21 fssfsfxP s ++=

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 71445.007570.02

75.075.137960.075.10983.08.0 =++=f

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) cos4.0

625.075.075.1

!1221 31212 =+

= ++ fhsssxE s , 9.01.0

Karena cos monoton pada interval ini maka dapat ditentukan nilai maksimum dan minimum untuk cos ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 00348.01.0cos4.0

625.075.075.1 3 =sxE

( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 00218.09.0cos4.06

25.075.075.1 3 =sxE Dengan demikian errornya adalah 00218.0 error 00348.0

5.3. Polinomial Lagrange

Jika beda hingga diantara x tidak sama polinomial maju / mundur Newton

Gregory tidak dapat dipakai. Pendekatan polinomial yang digunakan untuk menentukan

interpolasi polinomial menggunakan polinomial Lagrange.

Andaikan diberikan data dari nilai x dan )(xf dalam tabel berikut :

x 0x 1x 2x ........... 1nx nx

( )xf 0f 1f 2f ........ 1nf nf

Maka polinomial Lagrangenya adalah :

( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( ) nnnnn

nn

nnnn

n

n

n

n

nn

fxxxxxx

xxxxxxfxxxxxx

xxxxxx

fxxxxxx

xxxxxxfxxxxxx

xxxxxxxP

110

1101

11101

10

112101

200

02010

21

............

............

..........

...................

............

)(

++

++

=

31

Contoh :

Dengan interpolasi Lagrange tentukan )(2 xP kemudian hitung ( )3.2f dari data berikut : x 1.1 1.7 3.0

)(xf 10.6 15.2 20.3

Penyelesaian :

( )( )( )( ) ( )

( )( )( )( ) ( )

( )( )( )( ) ( )3.207.10.31.10.3

7.11.12.150.37.11.17.1

0.31.16.100.31.17.11.1

0.37.1)(2 +

+= xxxxxxxP

( )( )( )( ) ( )

( )( )( )( ) ( )

( )( )( )( ) ( )

38.18

3.207.10.31.10.37.13.21.13.22.15

0.37.11.17.10.33.21.13.26.10

0.31.17.11.10.33.27.13.2)3.2(

=+

+=f

32

BAB 6

DIFERENSIASI NUMERIK

6.1. Derivatif Pertama

Jika sebuah fungsi dapat didekati dengan polinomial interpolasi maka diferensial /

turunan fungsi tersebut dapat didekati dengan diferensial polinomial . Untuk polinomial

maju Newton Gregory :

( ) ( ) ( ) ( )( ) errorfsssfssfsferrorxPxf sns +++++=+= .......621

21

03

02

00

Error ( )sn xP = ( ) ( ) ( ) nnns xxfhns

xE

+=++ 011 ,1

Jika persamaan ini dideferensialkan pertama diperpleh :

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

++++++=

====

...24

6221846

2632

121

1''

04

23

03

2

02

0 fsssfssfsf

h

hxP

dsd

dxdsxP

dsdxP

dxdxPxf snsnsnsns

Untuk 0=s derivatif yang berhubungan denga 0x

( )

++= 004030200 1.......41

31

211' f

nffff

hxf n

Error dari derivatif pertama ini adalah :

Error ( ) ( ) ( ) ( ) nnnn

n xxfhnxP +

= + 010' ,11

33

Contoh :

Pada tabel berikut taksirlah derivatif pertama dari y pada 7.1=x dengan menghitung sampai suku pertama , suku kedua , suku ketiga dan suku keempat dan errornya.

x y y y2 y3 y4 1.3 3.669

0..813

1.5 4.482 0.179

0.992 0.041

1.7 5.474 0.220 0.007

1.212 0.048

1.9 6.686 0.268 0.012

1.480 0.060

2.1 8.166 0.328 0.012

1.808 0.072

2.3 9.974 0.400

2.208

2.5 12.182

Penyelesaian :

Sampai suku pertama

( ) 00 1' yhxy = sehingga ( ) 060.6212.12.017.1' ==y

Error = ( ) ( ) ( ) 9.17.1,2.011

1 ''11

+ f

Sampai suku kedua

( )

= 0200 211' yy

hxy sehingga ( ) ( ) 390.5268.0

21212.1

2.017.1' =

=y

Error = ( ) ( ) ( ) 1.27.1,2.031 '''2

2

f

34

Sampai suku ketiga

( )

+= 030200 31

211' yyy

hxy sehingga

( ) ( ) ( ) 490.5060.031268.0

21212.1

2.017.1' =

+=y

Error = ( ) ( ) ( ) ( ) 3.27.1,2.041 43

3

f

Sampai suku keempat

( )

+= 04030200 41

31

211' yyyy

hxy sehingga

( ) ( ) ( ) ( ) 475.5012.041060.0

31268.0

21212.1

2.017.1' =

+=y

Error = ( ) ( ) ( ) ( ) 5.27.1,2.051 54

4

f

6.2. Derivatif Kedua Dan Lebih Tinggi

Untuk memperoleh derivatif kedua maka hasil derivatif pertama diturunkan lagi

sehingga diperoleh :

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( )

++++=

====

...24

22361211

1''''''

04

2

03

02

2

22

2

fssfsfh

hxP

dsd

dxdsxP

dsdxP

dxdxPxf snsnsnsns

Untuk 0=s derivatif kedua yang berhubungan denga 0x

( )

+= .......65

12111'' 0

50

40

30

20 ffffh

xf

Demikian juga untuk memperoleh derivatif ketiga didapatkan dari derivatif kedua

diturunkan lagi, derivatif keempat diperoleh dari derivatif ketiga diturunkan lagi.

Demikian seterusnya.

35

Contoh :

Dari tabel diatas tentukan ( )7.1''y sampai suku kedua dan hitung errornya ! Penyelesaian :

( ) [ ]030220 1'' yyhxy = sehingga ( ) ( ) [ ] 200.5060.0268.02.017.1'' 2 ==y Error = ( ) ( ) 1.27.1,

12111 44

2

yhh

36

BAB 7

INTEGRASI NUMERIK

7.1. Integrasi Newton Cotes

Cara yang umum untuk membentuk formula integrasi numerik hampir sama

dengan cara membentuk formula untuk diferensiasi numerik.

Untuk polinomial maju Newton Gregory maka :

( ) ( ) dxxPdxxf ba

sn

b

a =

Formula ini tidak eksak karena polinomialnya tida identik dengan ( )xf dan ada errornya, yaitu sebesar :

Error = ( ) ( ) dxfhn

s nnb

a

111

++

+

Akan dibangun formula Newton Cotes dengan mengubah variabel integrasi x menjadi

variabel s . Dari h

xxs 0= maka dsdx = Untuk 1=n

( ) ( ) ( ) ( )101

00

20

1

00000 22

11

0

1

0

ffhfsfshdsfsfhdxfsfdxxfs

x

x

x

x

+=

+=+=+= =

error = ( ) ( ) ( ) ( ) 1031

0

23''2 ;''

121

2''

211

0

xxfhdsssfhdxfhss

s

x

x

== =

Untuk 2=n

( ) ( ) ( )2102

0

2

0002

00 4322112

0

2

0

fffhdsssfsfhdxfssfsfdxxfs

x

x

x

x

++=

++=

++=

=

Karena error = ( )( ) ( ) 06

21 '''32

0

= dxfhsssx

x

maka diambil suku berikutnya sehingga :

error = ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 204544 ;901

243212

0

xxfhdxfhssssx

x

=

37

Untuk 3=n

( ) ( ) ( )( ) ( )3210030200 3383

621

213

0

3

0

ffffhdxfsssfssfsfdxxfx

x

x

x

+++=

+++=

error = ( ) ( ) 3055 ;803 xxfh

7.2. Aturan Trapezoidal

Formula Newton Cotes pertama didasarkan pendekatan ( )xf di ( )10 , xx dengan sebuah garis lurus. Aturan ini disebut juga sebagai Aturan Trapezoidal.

Untuk menghitung ( )dxxfba interval dari a ke b dibagi menjadi n subinterval

subinterval. Luasan dibawah kurva ( )xf didekati dengan Aturan Trapezoidal. Andaikan xh = maka :

( ) ( ) ( ) ( )11 221

++ +=+=+ iiii

x

x

ffhxxfxfdxxfi

i

0xa = 1x bxn =

( )xfy =

x

y

38

Dengan demikian untuk semua integral antara [ ]ba, dengan n subinterval diperoleh : ( ) ( ) ( )[ ]nniin

i

b

a

fffffhffhdxxf +++++=+= +

= 121011

0......2

22

error = ( ) bafhab ;''12

2

Contoh :

Pada tabel berikut diberikan nilai nilai dari x dan ( )xf : x ( )xf x ( )xf

1.6 4.953 2.8 16.445

1.8 6.050 3.0 20.086

2.0 7.389 3.2 24.533

2.2 9.025 3.4 29.964

2.4 11.023 3.6 36.598

2.6 13.464 3.8 44.701

Tentukan integral ( )xf dari 8.1=x sampai 4.3=x Penyelesaian :

( ) ( )[ ]9944.23

964.29553.24086.20445.16464.13023.11025.9389.72050.622.04.3

8.1

=++++++++= dxxf

error = ( ) 4.38.1;'')2.0(12

8.14.3 2 f

39

7.3. Aturan Simpson 31

Formula Newton Cotes kedua didasarkan pendekatan ( )xf di ( )20 , xx dengan sebuah polinomial parabolik. Aturan ini disebut juga sebagai Aturan Simpson

31

Untuk menghitung ( )dxxfba interval dari a ke b dibagi menjadi n subinterval

subinterval. Luasan dibawah kurva ( )xf dapat didekati dengan Aturan Simpson 31 .

Andaikan xh = maka :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2121 43342

++++ ++=++=+ iiiiii

x

x

fffhxxfxfxfdxxfi

i

Dengan demikian untuk semua integral antara [ ]ba, dengan n genap subinterval diperoleh :

( ) ( ) ( ) ( )[ ]nnniiini

b

a

ffffffffhfffhdxxf +++++++++=++= ++

= 1422310212

0......2...4

34

3

error = ( ) ( ) bafhab ;180

44

Contoh :

Tentukan integral ( )xf dari 8.1=x sampai 4.3=x dari tabel diatas jika menggunakan Aturan Simpson

31

Penyelesaian :

( ) ( ) ( )[ ]9149.23

964.29086.20464.13025.92553.24445.16023.11389.74050.632.04.3

8.1

=++++++++= dxxf

40

7.4. Aturan Simpson 83

Formula Newton Cotes ketiga didasarkan pendekatan ( )xf di ( )30 , xx dengan sebuah polinomial kubik . Aturan ini disebut juga sebagai Aturan Simpson

83

Untuk menghitung ( ) dxxfba interval dari a ke b dibagi menjadi n subinterval

subinterval. Luasan dibawah kurva ( )xf dapat didekati dengan Aturan Simpson 83 .

Andaikan xh = maka :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )321321 33833

843

++++++ +++=+++= iiiiiiii

x

x

ffffhxxfxfxfxfdxxfi

Dengan demikian untuk semua integral antara [ ]ba, dengan n kelipatan tiga subinterval diperoleh :

( ) ( )( ) ( )[ ]nnn

iiii

n

i

b

a

ffffffffffh

ffffhdxxf

+++++++++++=

+++=

+++

=

363154210

321

3

0

......2...38

3

338

3

error = ( ) ( ) bafhab ;80

44

Contoh :

Tentukan integral ( )xf dari 6.1=x sampai 4.3=x dari tabel diatas jika menggunakan Aturan Simpson

83

Penyelesaian :

( ) ( ) ( )[ ]013.25

964.29455.16025.92)533.24086.20464.13023.11389.7050.6(3953.48

2.034.3

6.1

=+++++++++= dxxf

41

7.5. Kuadratur Gauss

Formulasi integrasi numerik dengan menggunakan Kuadratur Gauss adalah

mencari parameter paramerter yang tidak diketahui dari fungsi yang akan diintegralkan.

( ) ( ) ( ) ( ) ......3211

1

+++=

tcftbftafdttf

dimana .....,,, cba adalah pemberat dan ....,,, 321 ttt nilai-nilai t yang akan ditentukan.

Sebagai contoh akan ditentukan parameter parameter pada formula dua suku yang

mengandung empat parameter yang tidak diketahui.

( ) ( ) ( )211

1

tbftafdttf +=

Formula ini berlaku untuk polinomial derajad tiga sehingga bila dimasukkan :

( ) 3ttf = maka 32311

1

3 0 btatdtt +==

( ) 2ttf = maka 22211

1

2

32 btatdtt +==

( ) ttf = maka 211

1

0 btatdtt +==

( ) 1=tf maka badt +==

211

1

Dari empat persamaan ini diperoleh 5773.03

1,5773.03

1,1,1 21 ====== ttba

Andaikan batas integrasinya dari a sampai b bukan dari -1 sampai 1 maka batas

integrasinya harus diubah menjadi -1 sampai 1.

( )2

abtabx ++= sehingga dtabdx2= . Dengan demikian :

( ) ( ) dtabtabfabdxxfba

++=1

1 22

42

Contoh :

Tentukan nilai = 20

sin

dxxI

Penyelesaian :

42

02

02

+=

++

= t

tx sehingga dtdx

4= . Dengan demikian :

( ) 99847.039434.0sin10566.0sin44

sin4

sin1

1

2

0

=+=

+==

dttdxxI

error = 0.00153

Untuk memperoleh parameter Kuadratur Gauss yang lebih tinggi derajadnya

dapat digunakan polinomial Legendre yang berbentuk :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0121 11 =+++ + xLnxLxnxLn nnn dengan ( ) 10 =xL dan ( ) xxL =1 maka ( ) ( ) ( ) 2

123

23 201

2 == xxLxLxxL

Akar akarnya adalah 3

1 yang merupakan nilai parameter 1t dan 2t

Dengan relasi rekursi diperoleh :

( )( )

833035

235

24

4

3

3

+=

=xxxL

xxxL

dan seterusnya

43

Jika ditabelkan maka nilai nilai parameter Kuadratur Gauss

Jumlah Suku Nilai t Faktor pemberat Derajad Polinomial

-0.57735027 1.00000000 2

0.57735027 1.00000000 3

-0.77459667 0.55555555

0 0.88888889 3

0.77459667 0.55555555

5

-0.86113631 0.34785485

-.033998104 0.65214515

033998104 0.65214515 4

0.86113631 0.34785485

7

-0.90617985 0.23692688

-0.53846931 0.47862867

0 0.56888889

0.53846931 0.47862867

5

0.90617985 0.23692688

9

-0.93246951 0.17132449

-0.66120939 0.36076157

-0.23861919 0.46791393

0.23861919 0.46791393

0.66120939 0.36076157

6

0.93246951 0.17132449

11

Contoh :

Tentukan nilai = 5.12.0

2

dxeI x dengan mengunakan Kuadratur Gauss tiga suku

44

Penyelesaian :

( ) 85.065.02

2.05.12.05.1 +=++= ttx sehingga dtdx 65.0= . Dengan demikian :

( )

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ][ ]6586.0

55555555.088888889.055555555.065.0

65.0

222

22

85.077459667.065.085.0065.085.077459667.065.0

1

1

85.065.05.1

2.0

=++=

==+++

+ eee

dtedxeI tx

45

BAB 8

PENCOCOKAN KURVA

8.1. Metode Kuadrat Terkecil

Andaikan diberikan data data dari suatu hasil percobaan yang menyatakan

hubungan antara x dan Y . Data data tersebut diberikan dalam tabel berikut :

x 1x 2x ........... 1nx nx

Y 1Y 2Y ........ 1nY nY

Dari data data tersebut jika diplot dan akan dicari garis lurus terbaik baxy += yang mendekati data data tersebut seperti tampak pada gambar dibawah ini :

Error dari setiap titik data adalah niyYe iii ,......,3,2,1, == . Error ini bisa bernilai positip maupun negatip. Metode kuadrat terkecil digunakan untuk mendapatkan

konstanta a dan b diatas. Metode ini didasarkan bahwa garis lurus terbaik diperoleh jika

jumlah kuadrat errornya minimum.

nx X

Y

2x 1x

1e

2e

ne baxy +=

1Y

2Y

3Y

46

( )==

==+++=n

iii

n

iin baxYeeeeS

1

2

1

2222

21 .....

Agar S minimum maka :

0=

aS sehingga ( ) ( ) 02

1

==

i

n

iii xbaxY dan

0=

bS sehingga ( ) ( ) 012

1=

=

n

iii baxY

Dari dua syarat diatas maka diperoleh SPL :

i

n

i

n

ii

i

n

ii

n

ii

n

ii

Ybnxa

Yxxbxa

==

===

=+

=+

11

111

2

Dengan menyelesaikan SPL maka nilai a dan b dapat didapatkan, yaitu :

nx

xx

nY

xYx

a

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

=

==

=

==

=

1

11

2

1

11

dan

nx

xx

Yx

Yxx

b

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

=

==

==

==

=

1

11

2

11

11

2

Contoh :

Dengan Metode kuadrat terkecil dapatkan garis lurus terbaik yang mendekati data data

dalam tabel berikut :

x 20.5 32.7 51.0 73.2 95.7

Y 765 826 873 942 1032

47

Penyelesaian :

39.3

51.2731.27327.18607

544381.2735.254932

5

5

5

1

5

1

5

1

2

5

1

5

1

5

1

===

=

==

=

==

ii

ii

ii

ii

iii

ii

x

xx

Y

xYx

a

702

51.2731.27327.18607

44381.2735.25492327.18607

55

1

5

1

5

1

2

5

1

5

1

5

1

5

1

2

===

=

==

==

==

ii

ii

ii

ii

ii

iii

ii

x

xx

Yx

Yxx

b

Dengan demikian garis lurus terbaik adalah : 70239.3 += xy

Secara umum untuk pencocokan kurva terbaik yang berbentuk polinomial derajad

n yang berbentuk nn xaxaxaay ++++= ........2210 dilakukan dengan cara yang identik seperti mencari garis lurus terbaik diatas. Nilai niai ,....,3,2,1, = dapat dicari dengan menyelesaikan SPL :

=

=

=

=

=

==+

=

=+

==

==

n

ii

ni

n

iii

n

ii

nn

i

ni

n

i

ni

n

i

ni

n

i

ni

n

ii

n

ii

n

i

ni

n

ii

Yx

Yx

Y

a

aa

xxx

xxx

xxn

A

1

1

1

1

0

1

2

1

1

1

1

1

1

2

1

11

MM

LMMMM

L

L

48

8.2. Pencocokan Kurva Mengandung Eksponen

Metode kuadrat terkecil banyak digunakan untuk pencocokan kurva dalam bentuk

polinomial. Meskipun begitu kurva yang berhubungan dengan eksponen dapat pula

didekati dengan Metode Kuadrat Terkecil ini dengan memodifikasi persamaan sehingga

menjadi bentuk linear.

Andaikan suatu data data mendekati bentuk kurva axeby = . Kurva ini dengan Metode Kuadrat Terkecil dimodifikasi denga cara di logaritmakan sehingga menjadi

bentuk linear. xabeby ax +== lnlnln . Contoh :

Diberika data data sbb:

x 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

Y 5.10 5.79 6.53 7.45 8.46

Data data ini jika diplot pada kertas semilog akan berbentuk linear. Tentukanlah fungsi

terbaik berbentuk axeby = Penyelesaian :

axeby = setelah dilogaritmakan akan berbentuk xaby += lnln . Akan dicari nilai a dan bln dengan Metode Kuadrat Terkecil.

i ix iY iYln 2ix ii Yx ln

1 1.00 5.10 1.629 1.0000 1.629

2 1.25 5.79 1.756 1.5625 2.195

3 1.50 6.53 1.876 2.2500 2.814

4 1.75 7.45 2.008 3.0625 3.514

5 2.00 8.46 2.135 4.0000 4.270

5=n 50.7

5

1=

=iix

404.9ln

5

1=

=iiY 875.11

5

1

2 ==i

ix 422.14ln5

1=

=iii Yx

49

Identik dengan Metode Kuadrat Terkecil maka :

5056.0

550.750.7875.115404.950.7422.14

5

5ln

ln

5

1

5

1

5

1

2

5

1

5

1

5

1

===

=

==

=

==

ii

ii

ii

ii

iii

ii

x

xx

Y

xYx

a

122.1

550.750.7875.11

404.950.7422.14875.11

5

ln

ln

ln

5

1

5

1

5

1

2

5

1

5

1

5

1

5

1

2

===

=

==

==

==

ii

ii

ii

ii

ii

iii

ii

x

xx

Yx

Yxx

b

Karena 122.1ln =b maka 071.3122.1 == eb Dengan demikian kurva terbaik yang berbentuk axeby = adalah xey 5056.0071.3=

50

DAFTAR PUSTAKA

1. Atkinson, K.E., An Introduction To Numerical Analysis, John Willey & Sons,

New York, 1978.

2. Burden, R.L., J.D, Faires & A.C. Reynolds, Numerical Analysis, Prindle Weber

& Schmidt Publshers, Boston, Mssachussetts, 1981.

3. Chapra, S.C. & R.P. Canale, Numerical Methods for Engineers, Mac Graw Hill,

Inc., New York, 1988.

4. Gerald, C.F, Applied Numerical Analysis, Addison Wesley Publishing

Company, 1980.

5. Mathews, J.H. & K.D. Fink, Numerical Methods Using Matlab, Pearson,

Prentice Hall, New Jersey, 2004.

6. Soehardjo, Analisa Numerik, ITS, Surabaya, 1985.