analisis matematico ii - ecuaciones diferenciales 1

Análisis Matemático II – Apoyo Teórico

UNIDAD I. Ecuaciones diferenciales ordinarias

1.A. Ecuaciones diferenciales. Introducción. Ecuaciones diferenciales de primer orden. i

La física y la ingeniería son disciplinas que se basan en la experimentación para

elaborar teorías que explican los fenómenos que ocurren en la realidad. Muy frecuentemente cuando se quiere estudiar una magnitud la experiencia no la revela directamente, sino que da su variación con respecto a otra magnitud (por ejemplo el tiempo). Por eso, las ecuaciones a las que se recurre para el análisis de la magnitud contienen derivadas de la misma con respecto a la otra variable. A este tipo de ecuaciones se las llama ecuaciones diferenciales.

DEFINICIÓN

Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación o más en la que aparecen

funciones y sus derivadas. ��, �, ��, ��, … , �� 0

Resolver una ED implica encontrar las funciones que la satisfacen. Hay una serie de conceptos que permiten identificar y clasificar a las ED según sus

características: orden, grado, linealidad, homogeneidad, ED ordinaria, ED parcial.

CARACTERÍSTICAS DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

• El orden de una ED es el orden de la derivada más alta que aparece en ella.

• El grado de una ED es el exponente natural al que está elevado la derivada de mayor orden.

• Si en la ED interviene una única variable independiente, se la denomina ED ordinaria. Si aparecen dos o más variables independientes, aparecen derivadas parciales de la función desconocida en distintas variables, y la ecuación es una ED en derivadas parciales. �� 2� � �� 2� � �� ! "��#��$�!

Las ED ordinarias se clasifican en EDO de primer orden y EDO de orden superior.

Universidad Nacional de Cuyo Análisis Matemático II

Facultad de Ingeniería

Juan Manuel Leiva Butti

Secretaría de Asuntos Académicos del CEI

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• Una ED es lineal si es de la forma(o puede expresarse como): �%��% � �%&'��%&' � ( � �'�� )�� *��

Por lo tanto, cumple con las siguientes condiciones: � Los exponentes a los que están elevadas la variable y sus derivadas son

únicamente 1 ó 0. � No hay productos de la variable con sus derivadas o de las derivadas

entre sí. � No aparecen funciones trascendentes de la variable ni de sus derivadas.

• Una función + � +��, � es homogénea de grado , si cumple con que +�-�, -� � -%+��, � para cualquier número - . /.

TIPOS DE SOLUCIONES Una ED puede tener muchas soluciones (como se verá más adelante). Existen tres

tipos de soluciones. Cuando una ED es resuelta analíticamente, se obtiene una solución general, que

involucra constantes arbitrarias0', 0�, … , 0: � � +��', ��, … , �%, 0', 0�, … , 0 Al sustituirlas por valores, se llega a una solución particular. Al conjunto de las soluciones particulares que satisfacen una misma solución

general se lo llama familia de soluciones. A una solución de la ED que no pertenece a la familia de soluciones de una

solución general, se la llama solución singular.

CONDICIONES INICIALES Y DE CONTORNO Para particularizar una solución general, los valores por los que hay que sustituir a

las constantes se obtienen haciendo cumplir a dicha solución ciertas condiciones. Éstas pueden ser condiciones iniciales, es decir, que determinen el valor de la función y sus derivadas en un punto dado, o condiciones de contorno, que son los valores que toma la variable independiente en los extremos del intervalo sobre el que está definida +.

Para poder determinar unívocamente la solución particular son necesarias tantas condiciones (iniciales o de contorno) como orden de la ED.





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ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE PRIMER ORDEN Una ecuación diferencial ordinaria (EDO), de primer orden, puede expresarse de

las siguientes formas:

Explícita: 121� � +��, �

Implícita: ��, �, �� 0

Diferencial: "��, �� *��, �� 0

La solución de una ED de primer orden tiene la forma: ��, �, 0 � 0 .

TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD (SIN DEMOSTRACIÓN) Para las EDO de primer orden con condición inicial, este teorema garantiza la

existencia de una solución, y que la misma es única. “Dado el problema de valor inicial: �� +��, �

�� 3

Si +��, � y 112 +��, � (derivada tomando

a � como constante) son continuas en algún rectángulo 4 en el plano �� que contiene al punto ��, 3, entonces el problema de valor inicial tiene una y sólo una solución definida en el intervalo 5 que contiene al punto �.”

Como se ilustra en la figura, el intervalo 5 puede no abarcar todo el ancho del

rectángulo 4.

CAMPO DE PENDIENTES, CURVAS ORTOGONALES, ISOCLINAS

Al observar la EDO de primer orden 121� � +��, �, se ve que +��, � es la derivada

de la función � � ��. Por lo tanto, para obtener el valor de la pendiente de la curva � � �� en el punto ��), �) simplemente se calcula +��), �). En base a este razonamiento se puede asignar a varios puntos del plano �� su pendiente y crear así un campo de pendientes. A partir de él se pueden inferir soluciones particulares a la

EDO. Ejemplo: 121� � '� . Las pendientes aparecen en el gráfico a la izquierda, y las

curvas solución en el de la derecha.





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Las isoclinas son las curvas que cumplen que en todos sus puntos, la función +��, � (pendiente) tiene el mismo valor 6. Es decir, en todos sus puntos la pendiente

de las curvas solución es la misma. Siguiendo el ejemplo anterior, las isoclinas son:

Si se toma la isóclina nula 6 � 0, ésta proporciona las líneas en las que pueden

estar los máximos y los mínimos de cada solución, pues se verifica la condición necesaria de punto estacionario: derivada primera nula.

Las curvas ortogonales son aquéllas cuya recta tangente en cada punto es

perpendicular a la tangente de la solución de la EDO en ese punto. Por lo tanto, se

obtienen a partir de 121� � &'7��,2. En el ejemplo son:

−2 −1 1 2

−2

−1

1

x

y

−2 −1 1 2

−2

−1

1

x

y

−2 −1 1 2

−2

−1

1

x

y

−2 −1 1 2

−2

−1

1

x

y





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MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE EDO DE PRIMER ORDEN De acuerdo con la EDO de primer orden de que se trate, es posible clasificarla en

EDO de variables separables, EDO lineal, EDO exacta y EDO homogénea. En ocasiones, EDO que no responden a esta clasificación son reducibles a ellas por alguna sustitución particular, como por ejemplo, el método de Bernoulli.

• Variables Separables

Dada la EDO 121� � +��, �, si � � +��, � puede escribirse como un producto

de una función de � y una función de �, es decir +��, � � 8��9��, la EDO es de variables separables. Por lo tanto:

�� 8��9�� 19�� 8��

; 19�� ; 8��

Resolviendo las integrales y agrupando en un solo miembro se llega a la

solución de la EDO: ��, �, 0 � 0. Ejemplo: �� 2� � 6�� 6� � 2

1�6� � 2 ��

; 1�6� � 2 �� ; ��

6 · >��6� � 2 � 0' � �� 0�

>��6� � 2 � ��6 � 0?

��@A BCD � 6� � 2 ��@A · �CD � 26 � �

� � 0 · ��@A � 13





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• EDO homogéneas

Si una EDO es homogénea, se la puede expresar como una función de � �F o

de � �F . Para el caso:

�� 9 G��H

Se puede hacer la sustitución I � JK , que implicará � � � ; 121� � � � 1L1�.

Con esto, la EDO queda: � � � �� 9�

� �� 9� � · 1�

Se puede resolver por variables separables. Una vez que se tiene la solución

se vuelve a la variable � haciendo � 2�.

Ejemplo: �� 0 Es homogénea, pues cumple con +�-�, -� � -%+��, �: ��-�� -�� -�-�� -��

-�� -�� -��

-�� -��

Reordenándola y multiplicando y dividiendo por '�@

�� · '�@'�@

�� 2�1 � �2��

Haciendo la sustitución � 2�:

� � � �� 1 � �





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� �� G 1 � � � H 1�

Operando: M 1 ? � 1 N � � 1� ��

Resolviendo por variables separables: �2 � � >�� >��

Volviendo a 2� :

�2 M��N� � >� G��H � >��

Operando:

�O@P@ � Q��

• EDO lineales

Si una EDO de primer orden es lineal, puede ser escrita como: �� R�� S��

El método consiste en multiplicar toda la expresión por un factor integrante,

de modo que se pueda identificar en el miembro izquierdo de la misma a la derivada del producto de J con dicho factor.

Si llamamos � � �� al factor integrante, tenemos: �� R�� S��

Queremos que el miembro izquierdo sea la derivada del producto de � con �, por lo tanto: �� R��

�� R��

R��





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; R�� ; ��

; R�� >��

Así que el factor integrante es: �� T U��1� � 0

Si se multiplica ambos miembros de la EDO lineal por el factor integrante, se

identifica inmediatamente del lado izquierdo a la derivada de � · �T U��1�. Integrando ambos miembros se llega a que la solución es:

� � �& T U��1� ;�S��T U��1�� 0

• Bernoulli

Una ecuación de Bernoulli tiene la forma �� R�� S��% , � V 0 , � V 1

Si � � 0 ó � � 1 se trata de una EDO lineal de primer orden. Si no, se la

puede llevar a esa forma realizando la sustitución I � JW&,, para cualquier � distinto de cero y de uno.

� �'&% X � � ' �'&%⁄ Z �� 11 � � % �'&%⁄ · � ��

Reemplazando en la EDO: [ % �'&%⁄1 � � · � ��\ � R�� ' �'&%⁄ � � S�� ' �'&%⁄ �%

% �'&%⁄ � �� 1 � �R�� ' �'&%⁄ � �1 � �S�� % �'&%⁄

% �'&%⁄ % �'&%⁄ � �� 1 � �R�� ' �'&%⁄ % �'&%⁄ � �1 � �S��

� �� 1 � �R�� 1 � �S��

Se resuelve para �� como lineal y luego se vuelve a �� con la sustitución

inicial.





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• EDO exactas (ver primero Forma Diferencial Exacta)

Si se tiene una función +��, � � 0, su diferencial �+ es nulo, porque la

función es constante y no sufre ningún incremento. El diferencial está dado por �+ � +�� +2��, en este caso:

+�� +2�� 0

Si se expresa una EDO en su forma diferencial "��, �� *��, �� 0 y se lo compara con lo anterior, se ve inmediatamente que si fueran: "��, � � +� y *��, � � +2

entonces +��, � � 0 sería solución de la EDO. Con más detalle:

Diferenciación de +: +��, � � 0

��+��, �� 0

+�� +2�� 0

Integracion de la EDO exacta: "��, �� *��, �� 0 +�� +2�� 0 ��+��, �� 0 ; ��+��, �� ; �0 +��, � � 0

Es decir, si podemos probar que "��, � y *��, � son las derivadas parciales

de una función (desconocida) +��, �, entonces podemos asegurar que +��, � � 0 es una solución de la EDO. A una EDO que cumple con esto se la denomina exacta.

Para determinar la exactitud o no exactitud, se tiene en cuenta que +�2 � +2�. Por lo tanto:

“La EDO es exacta ^ __2 "��, � � __� *��, � ”

Si esto se verifica, se puede obtener la solución +��, � � 0 utilizando el

hecho de que "��, � � +� y *��, � � +2 ; + estará dada por:

+ � ; "��, �� `�� $ ��a�8�� +� ��

Pero también por: + � ; *��, �� b�� $ ��a�8�� +2 ��





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Por lo tanto, +��, � estará formada por todos los términos que aparezcan en las integrales, tanto los comunes (sin repetir) como los no comunes. La solución de la EDO será: +��, � � 0.

1.B. Ecuaciones diferenciales de orden superior ii

Ahora veremos las ecuaciones diferenciales de orden mayor a 1 o “de orden

superior”. Estudiaremos únicamente las EDO de orden superior lineales con coeficientes constantes. Primero veremos cómo se resuelven las EDO lineales de orden superior homogéneas con coeficientes constantes, y luego nos centraremos en las no homogéneas.

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

Si una ED de orden � es lineal, puede ser expresada de la siguiente forma: R)��% � R'��%&' � ( � R%&'�� R%�� Se asume que las funciones Rc��, �1 d � d � y �� son continuas en el

intervalo 5 donde se quiere resolver la ED. Si R)�� V 0 en cada punto de 5, se puede dividir a toda la ED entre R)�� para obtener la forma normalizada:

��% � "'��%&' � ( � "%&'�� "%�� +��

Dada una ED lineal no homogénea R)��% � R'��%&' � ( � R%&'�� R%�� su ED homogénea asociada es: R)��% � R'��%&' � ( � R%&'�� R%�� 0 Para encontrar el método de solución de las EDO homogéneas, necesitamos tres

teoremas: el principio de superposición, el wronskiano, y el teorema de la solución general.

• Principio de superposición para ED homogéneas (Teorema)

“Si �', ��, … , �% son � soluciones de una ED (lineal) homogénea de orden superior en intervalo 5, una combinación lineal de ellas � � #'�' � #�� ( �#%�% (donde #', #�, … , #% son constantes) también es solución de la ED homogénea en el intervalo 5.”





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TEOREMA DE LA EXISTENCIA Y UNICIDAD PARA ECUACIONES LINEALES (SIN DEMOST.)

Ya vimos un teorema similar para las EDO de orden uno. Este es válido para EDO lineales de orden � (incluso uno). Hay que destacar que existe una diferencia con respecto al intervalo donde es seguro encontrar la solución única.

Si la ED es homogénea, es decir, +�� 0, la única solución que satisface el problema con 3), 3', … , 3% todos iguales a cero es �� 0, llamada “solución trivial”.

e��% � "'��%&' � ( � "%&'�� "%�� +�� 3), �� 3' , … , ��%&'�� 3%&' f “Dado el problema de valor inicial:

Si las funciones "', "�, … , "% y + son continuas en el intervalo abierto 5 que

contiene al punto �, el problema tiene una solución única en todo el intervalo 5 que satisface las � condiciones iniciales.”

�� "�� *� � 0

X �#'�' � #�� "�#'�' � #�� *�#'�' � #�� 0 �#'�'�� #�� "�#'�'� � #�� *�#'�' � #�� 0 #'��'�� "�'� � *�' � #�� "�� *�� 0

#' · 0 � #� · 0 � 0 0 � 0

Demostración:

(Se realiza para EDO de orden dos, pero la demostración para orden � sigue el mismo mecanismo)

Si la ED homogénea es de orden 2, y se reemplaza la combinación lineal de

soluciones #'�' � #�� en la ED:

Como �' e ��son solución de la ED, los términos entre paréntesis de la

expresión anterior son cero.

Y la combinación lineal también satisface la ED, por lo que el teorema queda demostrado para EDO de orden dos.g





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INDEPENDENCIA LINEAL DE FUNCIONES Es necesario definir el concepto de independencia lineal de funciones. Se dice que las � funciones +', +�, … , +% son linealmente independientes en el

intervalo 5 sólo si #'+' � #�+� � ( � #%+% � 0 X #' � #� � ( � #% � 0 en el intervalo 5. Es decir, NO existe ninguna combinación de constantes #', #�, … , #% no todas

nulas, tales que la combinación lineal de las funciones +', +�, … , +% sea nula. Si existe alguna combinación de constantes #', #�, … , #% no todas nulas que haga

cero a la expresión anterior en todo 5, las funciones +', +�, … , +% son linealmente dependientes en 5.

Se puede probar la independencia lineal de dos o más funciones aplicando

directamente la definición, pero existe un teorema que ofrece un método más sencillo para hacerlo, que es el del wronskiano de funciones.

• Wroskiano de funciones (Teorema)

El wroskiano de � funciones +', +�, … , +% se define como:

h � ii +'+'�j+'�%&'+�+��j+��%&'

(((

+%+%�j+%�%&'ii

��% � "'��%&' � ( � "%&'�� "%�� 0

�', ��, … , �% !�� >. 5. ^ h V 0

Teorema:

“Si �', ��, … , �% son � soluciones de la ED (lineal) homogénea de orden �

en intervalo abierto 5, donde cada "c �1 d � d � es continua, se cumple que:

en cualquier punto de 5.”





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TEOREMA DE LA SOLUCIÓN GENERAL

Es decir, si se tiene una ED homogénea de orden � y � soluciones linealmente

independientes, cualquier solución a la ED se puede expresar como una combinación lineal de ellas. La combinación lineal es una solución general, y no hay soluciones singulares.

Demostración:

Se toman las soluciones L.I �', ��, … , �%. y la combinación lineal de ellas �� #'�'�� #�� ( � #?�%��, que por el principio de superposición

también es solución. Se arma el sistema, con � . 5, para encontrar nuevas soluciones a la EDO.

l #'�'�� #�� ( � #%�%�� #'�'�� #�� ( � #%�%�� j #'�'�%&'�� #��%&'�� ( � #%�%�%&'�� %&'��f El determinante de este sistema es el wronskiano de las �', ��, … , �% evaluado

en �, y es distinto de cero debido a que las funciones son L.I. Por álgebra lineal, esto implica que existe una solución única al sistema, es decir, existen #', #�, … , #% que cumplen con sus ecuaciones. Hay entonces una única nueva solución, que está dada por los #', #�, … , #% que son solución al sistema. Los que llamamos #m', #m�, … , #m%. La nueva solución es entonces 8�� #m'�'�� #m�� ( � #m%�%��. Basta demostrar que 8�� , es decir, que la nueva solución no es nueva, sino que es la inicial.

Por el sistema de ecuaciones se tiene que 8�� , 8�� , … , 8�%&'�� %&'�� es decir, 8 y � tienen las mismas condiciones iniciales. Por el teorema de

existencia y unicidad, la solución a la ED en 5 con esas condiciones iniciales es única. Por lo tanto �� 8��. Esto demuestra que cualquier solución a la ED en 5 se puede expresar como una combinación lineal de soluciones �', ��, … , �% L.I. g

��% � "'��%&' � ( � "%&'�� "%�� 0

“Sean �', ��, … , �% � soluciones linealmente independientes de la ED homogénea de orden �

en intervalo abierto 5 donde cada "c es continua. Si 8 es cualquier (otra)

solución a la ED en 5, entonces existen constantes #', #�, … , #% tales que 8�� #'�'�� #�� ( � #%�%��.”





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ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES: SOLUCIONES Ahora estamos en condiciones de encontrar un método de solución para las ED

lineales homogéneas de orden superior con coeficientes constantes. Una ED lineal homogénea con coeficientes constantes puede escribirse como: �)��% � �'��%&' � ( � �%&�� %&'�� %� � 0

donde los coeficientes �), �', … , �% son constantes reales con �% V 0. La solución a este tipo de ED se obtiene proponiendo como solución

� � �n� , � . o (sustitución de D’Alambert), ya que �p��p ��n� � �p�n�

Es decir, cualquier derivada de �n� es un múltiplo constante de �n�. Para que sea solución, debe cumplir con la ED: �)��n��% � �'��n��%&' � ( � �%&��n�� %&'��n�� %��n� � 0

�)�%�n� � �'�%&'�n� � ( � �%&��n� � �%&'�'�n� � �%�)�n� � 0 ��)�% � �'�%&' � ( � �%&�� %&'�' � �%�n� � 0

Pero �n� V 0, entonces, para que la ecuación se cumpla debe ser: �)�% � �'�%&' � ( � �%&�� %&'�' � �% � 0

Esta es la ecuación característica de una ED lineal homogénea con coeficientes

constantes. Si � la satisface, �n� es una solución de la ED. Como es un polinomio R�� de grado �, tiene � raíces (reales o complejas conjugadas, simples o múltiples).

• Raíces reales simples

Si la ecuación característica produce � raíces reales y distintas �', ��, … , �%,

entonces las soluciones a la ED serán �nq�, �n@�, … , �nr�. Todas ellas son linealmente independientes (ninguna se puede expresar como una combinación lineal de las otras), y por el teorema de la solución general, haciendo una combinación lineal de ellas se tendrá a todas las soluciones de la ED (solución general). �� #'�nq� � #��n@� � ( � #%�nr�





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• Raíces reales múltiples

Si la ecuación característica produce una raíz �p de multiplicidad 6, no se

tendrán � soluciones L.I. de la ED. Para producir las 6 � 1 que faltan (porque �p es sólo una raíz y ocupa el lugar de 6 raíces), se multiplica sucesivamente a la solución �ns� por �, 6 � 1 veces, y se obtiene

��ns�, ��ns�, �?�ns� , (, �p&'�ns� Se puede verificar que estas expresiones también son solución

reemplazándolas en la ED. También se puede verificar que son L.I. con las demás soluciones a través del wronskiano. La parte (los términos) de la solución general correspondiente a la raíz múltiple �p será:

( � #'�ns� � #��ns� � �#��ns� … � #%�p&'�ns� � (

• Raíces complejas conjugadas simples

Si la ecuación característica tiene raíces complejas � � � t �3, las soluciones

correspondientes serán ��uBcv� y ��u&cv�. La fórmula de Euler dice que �cw � #�!�b � � !��b . Por lo tanto: ��utcv� � �u��tcv� � �u��#�!�3� t � !��3��

Por lo tanto, la parte de la solución general correspondiente a las raíces

complejas simples será: ( � #'��uBcv� � #��u&cv� � ( ( � #'�u��#�!�3� � � !��3�� #��u��#�!�3� � � !��3�� ( ( � �#' � #��u�#�!�3� � ��#' � #��u�!��3� � ( ( � x�u�#�!�3� � y�u�!��3� � ( ( � �u��x#�!�3� � y!��3�� (

donde las constantes #',#�, x y y pueden ser complejas.

• Raíces complejas conjugadas múltiples

Si la ecuación característica produce las raíces complejas de multiplicidad 6, �p' � � � �3 y �p� � � � �3. Habrá que producir las 26 � 2 que faltan (porque �p' y �p� son dos raíces, y ocupan el lugar de 26 raíces). Para ello se procede

igual que con las raíces múltiples reales: se multiplica sucesivamente a las soluciones �nsq� y �ns@�por �, 6 � 1 veces, y se obtiene





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��nsq�, ��nsq�, �?�nsq� , (, �p&'�nsq� ��ns@�, ��ns@�, �?�ns@� , (, �p&'�ns@� La parte correspondiente de la solución general será: ( � �x' � x�� x?�� ( � xp�p&'�u�#�!�3� � ��y' � y�� y?�� ( � yp�p&'�u�!��3� � (

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS

Continuamos con el análisis de las ED lineales de orden superior con coeficientes

constantes no homogéneas. Necesitamos primero enunciar el teorema de la solución general para este tipo de ED.

• Teorema de la solución general para ED no homogéneas

Es decir, cualquier solución �� de una EDO lineal no homogénea se puede

expresar como la suma de la solución general �z�� de la EDO lineal homogénea asociada (llamada solución complementaria) y una solución particular �{�� a la

EDO lineal no homogénea: � � �z � �{

Esto es de suma utilidad, porque ya sabemos cómo encontrar las soluciones a una EDO lineal con CC homogénea, de modo que si queremos encontrar la solución a una no homogénea basta con hallar una solución particular a la misma.

Demostración:

Se tiene la ecuación no homogénea 1 ��% � "'��%&' � ( � "%&'�� "%�� +�� y su ecuación homogénea asociada

�� #'�'�� #�� ( � #?�%��|}}}}}}}}}}~}}}}}}}}}}�2�� {��

“Sea �{ una solución particular de la ecuación no homogénea ��% �"'��%&' � ( � "%&'�� "%�� +�� en el intervalo 5 donde las funciones "c y + son continuas. Sean �', ��, … , �% soluciones L.I. de su ED homogénea asociada. Si �� es una solución de la ED no homogénea en 5, entonces existen valores de #', #�, … , #% tales que

para toda � en 5.”





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2 ��% � "'��%&' � ( � "%&'�� "%�� 0

Se supone que �{ es una solución particular de la no homogénea 1 y que �

es cualquier otra solución de 1 . Se define 3 �z � � � �{ y se la sustituye en el

primer miembro (que es el mismo para 1 y 2 ): 4 �z�% � "'�z�%&' � ( � "%&'�z� � "%�z 5 �� {��% � "'�� {��%&' � ( � "%&'�� {�� "%�� {�

Como la derivada es un operador lineal 5 queda ��% � "'��%&' � ( � "%&'�� "%�� {�% � "'�{�%&' � ( � "%&'�{� � "%�{�

Pero como tanto � como �{ satisfacen la ED no homogénea 1 , la expresión

anterior queda �+�� +�� 0

Ahora, por 3 , la expresión 4 debe ser igual a 5 , así que: �z�% � "'�z�%&' � ( � "%&'�z� � "%�z � 0 Esto permite concluir que �z es una solución de la ED homogénea asociada 2 , y por lo tanto � � �z � �{

Queda demostrado el teorema. g

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES: SOLUCIONES

El teorema anterior nos permite encontrar un método de solución para las EDO

lineales con CC no homogéneas. Una ED lineal no homogénea con coeficientes constantes puede escribirse como: �)��% � �'��%&' � ( � �%&�� %&'�� %� � +��

donde los coeficientes �), �', … , �% son constantes reales con �) V 0. Para obtener las soluciones a unas ED de este tipo, se utiliza el teorema de la

solución general para ED no homogéneas. La solución � � �� estará dada por � � �z � �{, por lo que para obtenerla se resuelve la ED homogénea asociada, y luego

se encuentra una solución particular a la ED no homogénea. Para esto último,





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estudiaremos dos métodos: el método de coeficientes indeterminados y el de variación de parámetros.

• Método de coeficientes indeterminados

Este método sólo puede utilizarse si todas las derivadas de +�� tienen la

misma forma que +��, o sea, sólo puede aplicarse cuando +�� es una combinación lineal finita de productos de:

• Un polinomio en �

• Una función exponencial �n�

• #�!�6� ó !��6� Por ejemplo: +�� 3 � 4�� 4�?#�!�10�

Este método consiste en proponer una solución (para la ED no homogénea)

de la forma de +�� pero con los coeficientes de cada término indeterminados (como incógnitas). Por ejemplo, si +�� 2� � 3, se propone �{ � x� � y. Al

reemplazar la solución propuesta en la ED, se obtienen términos similares en cada miembro, y se puede igualar coeficientes para determinar �{.

Además, ningún término de la solución propuesta debe aparecer en la

solución �{ de la ED homogénea asociada, porque de lo contrario el primer

miembro de la ED no homogénea se anulará para ese coeficiente. Entonces, se puede aplicar este método siguiendo los siguientes pasos:

1. Determinar �z.

2. Si ningún término de +�� o de sus derivadas satisface la ecuación homogénea asociada (ninguno se “repite” en �z, se propone �{

como una combinación lineal de esos términos L.I.

3. Si algún término de +�� o de sus derivadas se “repite” en �z, se propone �{ como una combinación lineal de los términos de +�� y

de sus derivadas multiplicados por ��, donde ! es el entero no negativo más pequeño que evita la repetición. En la siguiente tabla se ilustran las posibilidades. Si +�� es la suma de algunas de las que aparecen en la tabla, se propone �{ como la suma de las �{

correspondientes en la tabla.





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4. Reemplazar la �{ propuesta en la ED no homogénea, operar, e

igualar coeficientes para obtener la verdadera solución �{ de la ED.

Ejemplo: Determine una solución particular de ��? � �� 3�� 4��.

La ecuación característica �? � �� 0 tiene raíces �' � �� 0 y �? � �1, de modo que la función complementaria es �z�� #' � #�� #?�&� Como primer paso hacia la solución particular, se propone �x�� y � 0� � ��

La parte �x�� correspondiente a 3�� no repite parte alguna de la función complementaria, pero la parte �y � 0� � �� debe multiplicarse por �� (! � 2 para eliminar la repetición. De allí se tiene: �{�� x�� y�� 0�? � �� {�� x�� 2y� � 30�� 4��? �{�� x�� 2y � 60� � 12�� {�?�� x�� 60 � 24��

Si se sustituyen estas derivadas en la ED original, se tiene: �x�� 60 � 24�� x�� 2y � 60� � 12�� 3�� 4�� 2x�� 2y � 60 � �60 � 24�� 12�� 3�� 4��

Comparando los coeficientes que acompañan a los términos iguales de cada miembro (que deben ser iguales para que se cumpla la ecuación), se obtiene el sistema:

l 2x � 3�2y � 60 � 0�60 � 24� � 0�12� � 4 f





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Éste da: x � @D , y � 4 , 0 � ��D y � � qD . Por lo tanto, la solución

particular es: �{�� 23 �� 4�� 43 �? � 13 ��

Y la solución general a la ED es � � �z � �{:

�� #' � #�� #?�&� � 23 �� 4�� 43 �? � 13 ��

• Método de variación de parámetros

Este método consiste en que, una vez que se tiene la solución �z de la ED

homogénea asociada, se sustituyen sus coeficientes o parámetros #', #�, … , #% por funciones �'��, ��, … , �%��. Se pretende escoger estas funciones de manera de que �{ � �'�' � �� ( � �?�%

sea una solución particular de la ED no homogénea.

A continuación se demuestra que esto siempre es posible, mientras las integrales involucradas puedan llevarse a cabo. La demostración es para � � 2, pero el mecanismo es igual para � � 2.

Se tiene la ED no homogénea �� "�� *� � +��

y su solución complementaria �z � #'�' � #�� en un intervalo abierto 5 en donde " y * son continuas. Se propone: �{ � �'�' � ��

�{ debe satisfacer la ED no homogénea, pero para determinar las dos

funciones �' y �� se requieren dos condiciones. Debido a esto, se puede imponer libremente una condición más. Esta condición es:

��'�' � �� 0

Las derivadas de �{ son:





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�{� � ��'��' � �� '�' � �� '��' � �� 0

�{�� '��' � �� '��' � ��

Pero �'�� R�'� � S�' � 0 y �� R�� S�� 0 por ser soluciones de la ED homogénea asociada. Entonces �{�� resulta

�{�� "��'��' � �� *��'�' � �� '��' � ��

A partir de la solución propuesta (�{ y �{� ), se desprende que �{�� es igual a:

�{�� "�{� � *�{ � ��'��' � ��

X �{�� "�{� � *�{ � ��'��' � ��

Ahora, el primer miembro de la expresión anterior es �{ reemplazada en la

ED no homogénea, y por lo tanto debe ser igual a +��: �{�� R�{� � S�{ � +�� '��' � ��

Y se tiene entonces la condición que deben cumplir �' y �� '��' � �� +��

Queda entonces conformado un sistema: e ��'�' � �� 0��'��' � �� +��f

cuyo determinante es el wronskiano de las funciones �' e ��. Si son L.I, la solución existe y es única.

Entonces, para aplicar el método de variación de parámetros, se siguen los

siguientes pasos: 1. Determinar �z.

2. Resolver el sistema (para el caso de � � 2 ) e ��'�' � �� 0��'��' � �� +��f

Para � � 6, el sistema es de orden 6, y se van imponiendo condiciones similares a la primer ecuación del sistema anterior en cada derivación de �{, siempre para facilitar los cálculos.

3. Una vez que se tienen las derivadas de las funciones �c, se las integra

para encontrar las �'��, ��, ( , �p��. Con ellas queda determinada la solución particular a la ED no homogénea �{��.

Universidad Nacional de Cuyo




Esquema de la Unidad

Bibliografía: i EDWARDS Y PENNEY. “Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera.” Cuarta

edición. Pearson Educación, 2009.“ANÁLISIS MATEMÁTICO II -

Ingeniería, UNCuyo. iiEDWARDS Y PENNEY. “Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera.” Cuarta

edición. Pearson Educación, 2009.

1º Orden

Teor. de Exist. y Unic. para EDOL de 1º

orden

Tipos

Variables Separables

Homogéneas

Lineales

Bernoulli

reducibles a

Universidad Nacional de Cuyo


de Asuntos Académicos del CEI

EDWARDS Y PENNEY. “Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera.” Cuarta edición. Pearson Educación, 2009. Capítulo 1.

- Guía de trabajos prácticos 2010”, Trabajo Práctico Nº1. Facultad de

EDWARDS Y PENNEY. “Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera.” Cuarta edición. Pearson Educación, 2009. Capítulo 3.

EDO

Teor. de Exist. y Unic.

Exactas

Orden Superior

Lineales

Teor. de Exist. y Unic. para EDOL

Homogéneas

Ppio. de Superpos.

Teorema del

Wronskiano

Teor. de la Sol. Gral. para EDOL

homog.

Sustitución de D'Alambert

Coeficientes Indeterm.

Análisis Matemático II

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EDWARDS Y PENNEY. “Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera.” Cuarta

Guía de trabajos prácticos 2010”, Trabajo Práctico Nº1. Facultad de

EDWARDS Y PENNEY. “Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera.” Cuarta

Teor. de Exist. y Unic.

No homogéneas

Teor. de la Sol. Gral. para EDOL no

homog.

Soluciones

Coeficientes Indeterm.

Variación de Parámetros

analisis matematico ii - ecuaciones diferenciales 1

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