análisis estadístico

Escuela de Ingeniera Industrial y Estadstica

Introduccin Al

Anlisis Exploratorio de Datos

Roberto Behar Gutirrez.

Introduccin al Anlisis Exploratorio de datos

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R. Behar

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Introduccin al Anlisis Exploratorio de Datos

Por

Roberto Behar Gutirrez

Universidad del Valle


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Titulo: Introduccin al Anlisis Exploratorio de Datos

Roberto Behar Gutirrez, 2008

Email: [email protected] [email protected]

Versin 2.0 , Cali, Colombia, 2009

Edicin Intrauniversitaria, Universidad del Valle

R. Behar

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Prologo El Anlisis Exploratorio de Datos, (AED) es un enfoque, una actitud frente a los datos,

apoyado en un conjunto de herramientas grficas y sntesis de los datos. El profesor John

Tukey acuo este nombre, Exploratory Data Analysis en la dcada de los setenta, cuando

public su famoso libro que lleva ese nombre, a travs de la editorial Addison-Wesley.

Anlisis Exploratorio en contraposicin con el Anlisis Confirmatorio. En este ltimo, se

supone que previo a la toma de los datos, estn planteadas unas hiptesis que pretenden ser

confrontadas con la observacin de la naturaleza, a travs de diseos de experimentos o de

estudios observacionales meticulosamente planeados para obtener datos que permitan

contrastar las hiptesis preestablecidas.

Las ideas de Tukey, en este enfoque, restan importancia a las hiptesis enunciadas a

priori. Tukey dice: Hay que dejar que los datos hablen, en este sentido el Anlisis

Exploratorio de Datos puede convertirse en una mina generadora de hiptesis plausibles.

El libro de Tukey mencionado anteriormente, surge en una poca en la que la computacin

estaba desarrollndose, no haban grandes desarrollos de Software. Sin embargo hoy en da,

todos los paquetes de software estadstico, incluyen sus ahora conocidos diagramas de caja

y alambres, los diagramas de tallos y hojas, los diagramas de puntos, entre otros. La

mayora de las ideas planteadas por Tukey en su libro, estn por ser difundidas y usadas.

Esta obra, se ha llamado Introduccin al Anlisis Exploratorio de Datos, pues trata solo

unas pocas herramientas muy tiles, entre las cientos de ideas plantadas por Tukey.

Un par de discpulos de Tukey, Valleman y Hoaglin, escribieron en 1981 un libro que

llamaron The ABC's of EDA: Applications, Basics, and Computing of Exploratory, muy

seguramente con los mismos argumentos.


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Mi colega y amigo Jorge Martnez Collantes, profesor de la Universidad Nacional de

Colombia, uno de los primeros doctores en estadstica en el pas, tambin discpulo del

profesor Tukey fue el primero en difundir las ideas sobre Anlisis Exploratorio en

Colombia.

En este libro, se desarrollan las ideas bsicas del Anlisis Exploratorio de Datos, a travs

de situaciones problema que pretenden poner en contexto las herramientas grficas y

algunos indicadores estadsticos.

Este material ha sido usado por varios cientos de estudiantes de pregrado y de posgrado. Se

ha usado en el curso de Anlisis de Datos de la Especializacin en Estadstica Aplicada y

en el programa de Posgrado en Ingeniera Industrial.

Esta que he llamado versin 2.0, fue mejorada en su estilo, con respecto a la versin

anterior, gracias al apoyo de Nancy Jelen Valencia, estudiante de la maestra de ingeniera

Industrial quien revis la versin 1.0.

Creo que todo producto es mejorable y en particular este libro. El proceso de mejora es

dinmico y es justamente de la observacin del proceso de enseanza-aprendizaje, el

escenario ms idneo para detectar posibles oportunidades de hacerlo mejor, por

sugerencia de colegas y estudiantes que lo usen.

El autor

Santiago de Cali, Julio 13 de 2009.

R. Behar

7

El ABC del Anlisis Exploratorio de

Datos. Introduccin. En el captulo anterior, se ha hecho nfasis en el aporte de la estadstica en la bsqueda del

conocimiento, proporcionando un marco y herramientas para detectar el mensaje, la

informacin que los datos contienen, pero que se encuentra mezclada con un ruido, que se

hace homlogo a una variacin aleatoria.

La estadstica y el pensamiento estadstico, intentan descubrir patrones de comportamiento

en lo datos, en un ambiente de variabilidad e incertidumbre. En el captulo 1, se present un

modelo de pensamiento estadstico propuesto por Wild y Pfunnkuch (1999), que nos hace

conscientes de la complejidad del proceso de pensamiento, de una jerarqua tan alta, que

trasciende el clsico uso de frmulas y algoritmos estadsticos. Queda muy claro, que al

enfrentar una situacin problema, es necesario recorrer un camino de reflexin, de

comprensin del contexto, de valoracin de la naturaleza del problema, de conocimiento de

las consecuencias del mismo, de precisin en la definicin operativa de conceptos y

caractersticas, de sus procesos medicin, de claridad en el objetivo que se propone. Todo

esto, es necesario para el proceso de transnumeracin, para buscar exprimir la informacin


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contenida en los datos. En este sentido es muy til, el recurso grfico, la medicin de

algunos rasgos de los datos, que nos ayudan a establecer diferencias, a conformar grupos a

sacar el diamante en bruto del fango. A esta fase se le conoce frecuentemente como anlisis

exploratorio de datos. Este nombre y muchas de las herramientas grficas asociadas con l,

son aportes del famoso estadstico John Tukey.

Se ilustran a continuacin algunas de estas herramientas exploratorias, a travs de algunos

casos. No siempre se requiere aplicar todas estas herramientas. Al igual que el cirujano, o el

mecnico, cada instrumento surge de una necesidad y un propsito. Es natural, que para un

mismo propsito estn disponibles varios instrumentos y ser el criterio particular de quien

decide, usar el que considere ms conveniente. En los casos que se presentan algunas veces

se muestra el uso de dos o ms instrumentos para lograr el mismo propsito, con la

intencin de ilustrar su uso.

Ejemplo. Caso de la fabricacin de Chocolates

La fbrica de chocolate, tiene indicios que el peso de las barras que produce, presenta una

variabilidad ms alta que la deseada, no obstante que el peso nominal es de 30 gramos.

Se desea estudiar esta situacin e identificar algunas acciones que permitan generar una

mejora en cuanto a la heterogeneidad.

Qu tan grave es la situacin. Dado que la variabilidad es inevitable, qu quiere decir una

variabilidad ms alta que la deseada? Cul es la deseada? Cul es el peso de las barras

de chocolate que se producen?

La respuesta a esta ltima pregunta no es un solo nmero, porque existe variabilidad,

porque se sabe que es inevitable que todas las barras de chocolate salgan con peso

diferente.

R. Behar

9

Una muestra aleatoria de barras de chocolate es obtenida, los pesos registrados aparecen a

continuacin:

30,44 29,96 30,14 29,96 29,83 30,47 30,26 29,77 30,13 29,91 30,02 29,76 30,3 30,01 30,2 30,1 30,1 30,35 30,07 29,85 29,67 29,67 29,95 30,05 30,15 30,22 30,07 30,06 29,69 29,67

No obstante que son solo 30 datos, obtener alguna conclusin solo mirando los datos

anteriores es difcil. Para tener una primera mirada de la situacin podemos recurrir al ms

sencillo de los grficos un diagrama de puntos. (dot plot).

Diagrama de puntos.

Figura 1. Diagrama de puntos para el peso de barras de chocolate en una muestra aleatoria de 30

unidades.

El diagrama de puntos consiste en ir colocando los valores de la muestra sobre un eje

metrizado, de tal manera que si dos valores coinciden o estn muy cercanos se coloca un

punto arriba del otro. Es un grfico muy sencillo, que permite ver de un solo golpe de vista

todos los datos, su ubicacin relativa, las zonas donde estn ms concentrados y si aparecen

algunas posibles anomalas (puntos atpicos). Este grfico es muy til, sobre todo cuando la

muestra no es demasiado grande. En tal caso, es una mejor herramienta grfica, el

histograma que presentaremos mas adelante.


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Se detecta que los datos varan entre los valores extremos de 29.67 gramos (mnimo) y

30,47 gramos (mximo). A la diferencia se le denomina rango.

Rango = Mximo-Mnimo=30,47 gr - 29,67 gr = 0,8 gr

Podemos responder ahora la pregunta? Existe demasiada variabilidad?

Sabemos que la diferencia entre la barra ms pesada y la ms liviana es de 0,8 gramos. Es

grande este valor? Para intentar responder, como clientes de los chocolates, hacemos

conciencia que si en el mercado nos dieran una barra de chocolate de 29, 7 gramos, cuando

en el empaque dice 30 gramos, muy seguramente no lo notaramos, de la misma manera si

la barra pesara 30,5 gramos, tampoco nos enteraramos del exceso. La reflexin anterior,

nos hara pensar, en calidad de consumidores, que la variabilidad revelada en la muestra no

es exagerada.

Sin embargo, desde el punto de vista del fabricante otro podra ser el panorama, pues por un

lado, para la industria de alimentos y los procesos de empacado, existe la legislacin que

toma en consideracin la variabilidad, pero que define normas muy precisas para su

control. En esta situacin la pregunta podra convertirse en: estamos cumpliendo con las

normas legales?

Por otro lado, dependiendo de la capacidad de los procesos de la fbrica y de las polticas

de la empresa frente a la competitividad, la propia empresa podra tener normas internas de

calidad, mucho ms exigentes que las normas legales. En este casos la pregunta sera:

estamos cumpliendo con las normas y polticas de la empresa?

En ambos casos, para emitir un juicio, requeriramos de las especificaciones para el

producto.

R. Behar

11

Imaginemos que la empresa por todas las consideraciones anteriores, ha definido el

siguiente lmite de especificacin: una barra de chocolate se considera conforme si su peso

se encuentra entre 29,7 gramos y 30,3 gramos.

Qu nos dice la muestra frente a estas especificaciones?

Calculemos pues, con este criterio, qu porcentaje de las barras de chocolate de la muestra

no cumplen con las especificaciones.

La respuesta puede deducirse a partir del siguiente diagrama de puntos en el que se han

marcado los lmites de especificacin para las barras de chocolate.

Figura 2. Valoracin de la variabilidad al confrontar la muestra con los lmites de especificacin del

producto.

Observemos que de las 30 barras de chocolate hay 5 que no cumplen con las

especificaciones definidas por la fbrica, lo cual representa aproximadamente es un 17%, lo

cual denota una situacin delicada.


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Esta exploracin, nos ha permitido corroborar la sensatez de la presuncin que ha dado

origen a estas pesquisas.

Antes de seguir adelante, conviene plantear una reflexin, a la cual daremos curso en el

ltimo captulo de este libro. Si tomramos de nuevo una muestra aleatoria de 30 barras,

obtendramos exactamente los mismos resultados?

El equipo humano que est abordando este problema se rene con el propsito de especular

sobre las posibles causas que pueden estar dando origen a este problema de variabilidad.

Despus de mltiples consideraciones, creen que:

Una posible causa es la variabilidad de la viscosa colada de chocolate. Siendo los moldes de volumen constante, al variar la densidad la colada, se producen barras

con diferente peso.

La variabilidad de la densidad puede ser debida a una falta de control en la temperatura de coccin.

Para contrastar estas hiptesis se decide tomar nuevos datos, esta vez midiendo

simultneamente la temperatura de coccin y la densidad de la colada.

En una muestra aleatoria de 50 datos se obtiene lo siguiente valores:

Fabricacin barras de chocolate Temperatura Densidad Temperatura Densidad

102.1 1.55 104.5 1.49 106.7 1.45 103.3 1.54 97.3 1.62 107.7 1.46 100.6 1.59 94.7 1.70 94.3 1.67 95.9 1.66

R. Behar

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Fabricacin barras de chocolate Temperatura Densidad Temperatura Densidad

101.1 1.56 97.8 1.64 94.7 1.72 97.3 1.66 104.1 1.52 99.7 1.60 98.7 1.63 100.6 1.59 104.4 1.51 98.0 1.63 98.9 1.63 108.7 1.43 102.3 1.56 108.3 1.43 91.1 1.79 96.2 1.67 100.3 1.57 100.8 1.60 105.3 1.51 100.2 1.59 99.6 1.65 98.6 1.64 100.0 1.59 97.8 1.63 104.1 1.51 104.5 1.50 102.6 1.56 100.2 1.57 100.6 1.59 97.2 1.65 92.1 1.74 100.6 1.59 94.9 1.69 101.6 1.58 96.1 1.67 103.4 1.56 107.7 1.42 104.2 1.55 102.3 1.55 102.3 1.53

Con base en estos datos, hay evidencia de excesiva variabilidad en los valores de la

densidad?

De nuevo requerimos referentes para emitir un juicio sobre la magnitud de la variabilidad

de la densidad.

Para ello se procedi a la siguiente manera: conociendo el volumen de los moldes, se hizo

la pregunta: cul debe ser la densidad de la colada para que una barra de chocolate tenga

un peso igual al lmite inferior de especificacin, es decir 29,7 gramos? Anlogamente para


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lmite superior 30,3 gramos? Al responder esta pregunta surgieron de manera natural los

lmites de especificacin para la densidad:

Limite inferior: 1.52 gramos/c.c Lmite Superior: 1.68 gramos/c.c Valor nominal: 1.60 gramos/c.c

Esto significa que cuando la densidad es 1,60 gramos/CC, el peso de la barra de chocolate

coincide con el Valor nominal 30 gramos.

Cuando la densidad alcanza el Valor 1,52 gramos/CC, el peso de la barra de chocolate

coincide con el lmite inferior 29,7 gramos y cuando la densidad es 1,68 gramos/CC el

peso de la barra de chocolate queda en 30,3 gramos.

Con base en estos nuevos lmites de especificacin para la densidad juzguemos la nueva

muestra de la 50 barra de chocolate.

Como puede apreciarse en el diagrama de puntos de la Figura 3, 11 de los 50 valores no

cumplen con las especificaciones, lo cual representa el 22%, es decir casi una de cada 4

resultaron no conformes, lo cual es una evidencia que no contradice la hiptesis que se

haba planteado. El problema es grave y la variabilidad en la densidad es un factor

importante.

Puede observarse sin embargo que el valor nominal 1,60 gramos/CC est ubicado en el

centro de los datos, lo cual habla bien del centramiento del proceso. En otras palabras, se

estn produciendo barras de chocolate que en promedio tienen 30 gramos, pero la

variabilidad supera lo deseable.

R. Behar

15

Este es una buena ilustracin de lo peligroso que podra ser controlar un proceso y en

general tomar decisiones solo con el promedio. La dupla centramiento y variabilidad debe

ser siempre inseparable.

Figura 3. Confrontacin de los valores de la muestra de 50 valores de la densidad contra sus lmites de

especificacin

Queda pendiente una importante pesquisa, definida con la pregunta:

Est relacionada la variabilidad de la densidad con la variabilidad de la

temperatura?

Para dar respuesta esta pregunta, construiremos el grfico conocido como diagrama de

dispersin o diagrama bivariante, que consiste en dibujar los puntos de las parejas:

(temperatura y densidad), en un plano cartesiano en cuyo eje X, colocaremos la temperatura

y en el eje Y. la densidad.

El diagrama de dispersin se muestra en la Figura 4.


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Diagrama Bivariante o Diagrama de Dispersin

Figura 4. Relacin fuerte entre Densidad y Temperatura, evidenciada por un diagrama de dispersin.

En el grfico de la Figura 4, se pone en evidencia una muy fuerte relacin estadstica entre

la temperatura y la densidad. El diagrama de dispersin pone en evidencia que dicha

relacin es rectilnea y adems inversa, es decir que la densidad decrece proporcionalmente

con el aumento de la temperatura.

R. Behar

17

Se ha trazado sobre la nube de puntos una recta que marca la tendencia y que se conoce

como Recta de Regresin. Como puede observarse no siempre para una misma temperatura

se genera exactamente la misma densidad, aunque los valores, en este caso estn bastante

cercanos. Por esa razn los valores de la densidad que se calculen con base en la recta,

puede interpretarse como la densidad media que se produce para una temperatura

especfica, si se repitiera muchas veces la observacin de la densidad a esa misma

temperatura.

As por ejemplo, vemos que cuando la temperatura es 100C, la densidad est alrededor de

1,60 gr/CC, que es el valor ideal de la densidad, con la cual se producen barras de chocolate

de 30 gramos.

Los valores crticos de la temperatura, como se sealan en el grfico, corresponden a 96C

y a 104C, con las cuales se logran las densidades crticas, de 1,52 gr/CC y de 1,68 gr/CC.

Conclusin

De este anlisis exploratorio puede recomendarse controlar la temperatura del

proceso de tal manera que se mantenga entre 96C y 104C, y preferiblemente muy

cerca de 100C.

Recta de Regresin

En el grfico de la Figura 4, se hace explcita la ecuacin de la recta de Regresin

lineal, que pasa siempre por el centro de gravedad de los puntos y logra hacer

mnima la suma de los cuadrados de las desviaciones verticales de los datos a la

recta. Valindonos de dicha expresin, podramos estimar la densidad media que se


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obtendra para cualquier temperatura dentro del rango estudiado. As por ejemplo

para una temperatura T= 98C, se obtendra una densidad media de:

Densidad media = 3,548 -0,01952 (98) = 1,63 gr/CC

Lo cual significa que si se controla la temperatura a 98 C, se espera que la media de la

densidad de la colada se encuentre alrededor de 1,63 gr/CC.

Como puede apreciarse disponer de una recta de Regresin es bastante til para hacer

predicciones en el rango observado.

En el grfico tambin se aprecia un valor asociado con algo llamado coeficiente de

correlacin lineal. Dicho valor es -0,98. Cul es su significado?

Coeficiente de Correlacin Lineal.

Este coeficiente, es muy usado desde hace casi un siglo, su valor siempre se encuentra en el

rango entre - 1 y 1. Su significado est asociado con el grado en que la nube de puntos se

acomoda en un espacio geomtrico rectilneo. As por ejemplo, el coeficiente de correlacin

lineal toma los valores extremos 1 o +1, cuando la nube de puntos se deja atrapar en

forma perfecta por una recta, es decir todos los puntos del diagrama de dispersin cae sobre

la recta. A medida que la nube de puntos se hace ms dispersa alrededor de alguna recta,

este coeficiente se acerca al valor 0. Veamos algunos casos, para hacernos una idea ms

precisa. Cuando la nube de puntos se ajusta alrededor de una recta con pendiente positiva,

el coeficiente de correlacin lineal tendr signo positivo, en caso contrario, tendr signo

negativo, como se ilustra en laFigura 5.

R. Behar

19

Cuando una nube de puntos es amorfa, como una bola o con una configuracin alrededor de

una recta horizontal, el correlacin lineal muy seguramente estar prximo a cero.

Veamos algunas situaciones:

Figura 5. Diagramas de dispersin y sus coeficientes de correlacin lineal.

Cmo se calcula el coeficiente de correlacin lineal?

Se tienen n unidades de observacin en la muestra aleatoria y cada una de ellas se miden

dos caractersticas X e Y, como en el ejemplo la temperatura y la densidad.


20

Individuo ( , )i ii X Y

( )( )( )

1

22

1( )

n

i ii

n

i ii

X X Y Yr

X X Y Y

=

=

=

Hoy en da, hasta las calculadoras ms baratas lo incluyen. Observe alguna tecla que tenga

la letra r.

Comentarios. Una pobre relacin entre dos variables, puede darse por mucha razones como las siguientes:

a) Cuando el rango de variacin de una de ellas no es suficientemente amplio como para observar cambios en la otra. Por ejemplo edad y estatura. Si en la muestra el rango de edades est entre 11 y 12 aos, se percibir un diagrama de dispersin amorfo y por lo tanto un pobre coeficiente de correlacin lineal. Sin embargo si la muestra considera un rango de edades entre 6 y 12 aos, la forma del diagrama de dispersin ser muy distinta y estamos haciendo referencia a las mismas variables.

b) Otra razn puede ser la no consideracin de otras variables de inters en la explicacin de la variacin. En el mismo ejemplo anterior, de la edad y la estatura, si adems de un rango amplio de edades, consideramos el gnero y hacemos diagramas de dispersin separados para hombres y mujeres, seguramente mejorar la asociacin.

c) Otra razn puede ser que efectivamente las dos variables no est asociadas, como podra ser la estatura de un adulto y sus ingresos mensuales.

R. Behar

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Ejemplo. El caso de Moto Pizza1.

Antecedentes.

Motopizza es un negocio de pizzas a domicilio que fue lanzado en octubre de 2001.

La estrategia de negocios se basaba en tener tiempos de entrega menor que sus

competidores (25 minutos), si se exceda este plazo se haca un descuento a favor del

cliente de 25%. Slo se atiende a clientes de una zona cercana en la cual se concentra la

publicidad local.

La propuesta fue bien recibida por el pblico y la red se extendi rpidamente. A finales de

2003 ya contaba con 14 establecimientos en tres ciudades. Los establecimientos pertenecan

a Motopizza siendo socios los encargados que pasaban por un proceso de formacin.

Las instalaciones y los procesos eran comunes en los 14 establecimientos.

El negocio marchaba viento en popa hasta que finales de 2003 comenzaron a incrementarse

en forma alarmante las quejas de los clientes por retraso en la entrega de los pedidos, con el

consiguiente impacto sobre la economa del negocio, por su poltica de descuento por

retraso.

1 Este caso est basado en un caso del mismo nombre que usan los colegas de la Universidad Politcnica de

Catalua, en los cursos de capacitacin Seis Sigma.


22

La direccin decidi emprender un programa de bsqueda cientfica de las causas (seis

sigma) involucrando los socios encargados. Uno de los primeros proyectos piloto tena

como objetivo reducir el porcentaje de entrega es con retraso.

La informacin cuantificada disponible era muy escasa, ya que el rpido crecimiento haba

desbordado los sistemas y no exista cultura de gestin con base en datos.

Tras una fuerte discusin en el comit de direccin se estim que el porcentaje de entrega

con retraso estaba entre un 10% y un 15% y que el nivel aceptable era mximo un 3%. Se

cree que este nivel puede alcanzarse si los tiempos de entrega tienen magnitud de 20 5

minutos.

Se estima que las prdidas econmicas al ao, ascienden a Col$ 500 millones. El 80% de

este dinero podra recuperarse si se mejora en los tiempos de entrega.

Con esta informacin de partida se puso en marcha un equipo de cinco encargados de

establecimientos que se consideraban representativos liderados por un Black Belt2

entrenado por la UPC.

A continuacin se presenta un mapa del proceso llamado normalmente SIPOC por su

iniciales en Ingls: Suppliers, Inputs, Process, Outputs, Customers. Que podra traducirse

respectivamente como Proveedores, Entradas al Proceso, Proceso, Salidas del Proceso Y

Clientes.

Veamos el SIPOC para el proceso de fabricacin de Pizzas de Motopizza.

2 Un Black Belt es un funcionario con una muy fuerte capacitacin en herramientas cuantitativas, especialmente en Estadstica. Esta denominacin es tpica en los procesos de capacitacin conocidos como Seis Sigma.

R. Behar

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Mapa del proceso (SIPOC)

Figura 6. Mapa de Proceso SIPOC para Motopizza.

En ocasiones se comete un grave error y es suponer que ya se sabe lo que el cliente quiere.

El Black Belt, que dirige el proyecto lo sabe muy bien. La voz del cliente es el insumo ms

importante. Por esta razn organiza dos Focus Group en dos ciudades diferentes. Las

ideas se organizaron con base en un diagrama de afinidad llegando a un gran

descubrimiento.

La voz del cliente.

Se descubri que 30 minutos es un tiempo de entrega aceptable para el cliente siempre y

cuando la pizza llegue caliente.


24

Dado que esta informacin result de Focus Group se program para ms adelante una

encuesta estratificando por ciudad y por establecimiento, con los siguientes propsitos:

Validar el descubrimiento del Focus Group

Averiguar cuestiones relacionadas con los tipos de Pizza.

Explorar la posibilidad de ofrecer productos complementarios.

Determinacin de las Caractersticas Crticas para el Cliente (CCC).

Las caractersticas crticas para el cliente deben ser expresadas de manera medible de tal

forma que el impacto de algn programa o una estrategia pueda ser valorado. No se puede

mejorar lo que no se puede medir.

Figura 7. Determinacin de las Caractersticas Crticas para el Cliente (CCC) a parir de impulsores.

R. Behar

25

La facturacin anual conjunta de todos los establecimientos asciende a 13.000 millones y se

estima que el 15% de las entregas se hacen con retraso, lo cual representa una perdida

aproximada de 500 millones.

El local B2, del cual es encargado el hijo del dueo, tiene contabilizadas las perdidas por

retrasos sin trampas y sus nmeros alrededor de 3 millones mensuales, son bastante

coherentes con las cifras estimadas. El procedimiento usados para la estimacin global de

las perdidas fue avalado por el director financiero de la empresa.

Una sntesis de la situacin se resume en el siguiente cuadro, en el cual se expresa la

problemtica en forma sinttica, se caracterizan las mtricas claves, para las cuales se

intenta definir su punto de partida y adems se establecen las metas que se quieren lograr

con el proyecto y la ganancia que se tendr si estas metas se cumplen.

Descripcin del Problema Retrasos en las entregas originando importantes prdidas econmicas valoradas en Col$ 500 millones y otros perjuicios relacionadas con la prdida de clientes Objetivos Mtrica Valor de partida Valor Objetivo

1. Retrasos % 10-15 3 2. Tiempo de

entrega Minutos ? 25-30

3. Temperatura C ? 80C Resultados Econmicos Esperados Ahorros por aumento en la puntualidad de Col$ 500 millones.

Preguntas Claves a resolver.

En realidad, Cunto se retrasan las pizzas?

A qu temperatura le estn llegando las pizzas a los clientes?

Ocurre lo mismo en todos los establecimientos?


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Unos das de la semana son ms crticos que otros?

Hay ms retrasos en algunas horas especiales del da?

Se retrasan ms los pedidos ms caros?

Se retrasan ms unos motoristas que otros?

Observe que las dos primeras preguntas hacen referencia a lo que hemos llamado variable

de respuesta (Y) y estn orientadas a definir de manera precisa nuestro punto de partida.

Cmo estamos ahora antes de emprender estrategia de mejoramiento?

La respuesta a estas dos preguntas es indispensable, pues si no conocemos el punto de

partida, no podemos valorar el impacto de nuestras acciones o programas.

La restante preguntas estn orientadas a detectar posibles causas, que nos permitan de

manera racional priorizar nuestras acciones tendientes a neutralizar su efecto.

Tener explcitas y bien planteadas un conjunto de preguntas relacionadas con nuestro

propsito, es muy importante, pues a partir de las preguntas, surgirn las caractersticas que

es necesario observar o medir para responderlas. Nos obligan a reflexionar acerca de los

procedimientos idneos para obtener datos vlidos y nos hace prever algunas opciones de

anlisis, a partir de las cuales daremos respuesta a las preguntas.

Surge de manera natural conocer el proceso que empieza con un evento desencadenante

que es una llamada de un cliente y termina con la entrega del pedido. Conocer el proceso,

nos permitir detectar oportunidades de mejora.

R. Behar

27

Diagrama del proceso.

Figura 8. Diagrama de flujo del proceso en Motopizza.

El diagrama del flujo es una importante herramienta, que nos permitir planear nuestra

observacin del proceso, identificacin de actividades, deteccin de acciones redundantes y

posiblemente otras que no produce ningn valor agregado.

En el diagrama se han planteado tres etapas: recepcin de llamadas, fabricacin de la pizza,

distribucin y entrega de la misma.

En la fase de distribucin se observa que los clientes estn clasificados por zona (A y B) y

que se van agrupando los pedidos, para armar una ruta para hacer varias entregas.

Existen datos para responder las preguntas formuladas?


28

Las mediciones disponibles eran escasas, incompletas y adems muy poco fiables.

Para evitar problemas con la central, se disfrazaban muchas causas de retraso, razn por la

cual la poca informacin disponible estaba distorsionada.

Slo el local B2 dispone de algunos datos relacionados con el monto de dinero perdido por

retrasos, pues por motivacin propia, al percatarse de la gravedad de la situacin, puso en

marcha un estudio.

Durante un mes (Noviembre) el telefonista anot la hora del pedido y los motoristas

anotaron la hora de entrega. No estamos muy seguros de la fiabilidad del sistema de medida

utilizado.

Validacin del sistema de medida

Dado que todo el proyecto y la valoracin de cualquier estrategia de mejora dependen de un

registro vlido de las variables de respuesta o caractersticas crticas para el cliente (CCC),

tiempo de entrega y temperatura de la pizza, en este caso, no es de poca monta garantizar

que las mediciones de esta variables sean vlidas, carentes de sesgos.

Para lograr esto se convierte la hoja de pedido en una plantilla itinerante, y se construye

una definicin operativa del sistema de medida.

Se coloca un reloj digital visible para todos, se dota a todos los motoristas de relojes

digitales sincronizados pide termmetros para situar en una ranura establecida en la caja de

la pizza, para la medicin de la temperatura.

Se explica a los implicados (telefonistas, cocineros, motoristas) la importancia de tomar

buenos datos y los beneficios que se desprenden del proyecto.

R. Behar

29

Como procedimiento para la validacin de los datos, se ofrece un descuento en la prxima

orden que realicen, a los clientes que llamen para informar no hora de recepcin del pedido

y su opinin sobre s estaba caliente o no.

Se confrontan los registros obtenidos con este procedimiento, con los datos registrados por

los motoristas en la plantilla itinerante, revelando que el sistema de medida es bastante

fiable.

Recoleccin de nuevos datos

Durante un mes se recogieron datos, con el nuevo sistema de medida validado, al cual se le

realizaron algunas mejoras. Los datos fueron registrados para cinco de los 14

establecimientos, que se consideraron bastante representativos.

A continuacin, se describen las caractersticas de los establecimientos observados.

Establecimiento Antigedad Volumen Ubicacin Tipo

M1 2 aos Mas de Col$ 1500 millones Madrid A

M6 4 meses Col$ 600-1500 millones Madrid C

B2 2 aos Mas de Col$ 1500 millones Barcelona A

B3 1,5 aos Col$ 600-1500 millones Barcelona B

V1 3 meses Menos de Col$ 600 millones Valencia A

Se consider ms conveniente, recoger datos de todos los pedidos en lugar de hacer

Muestreo. Se continu validando el sistema de medida durante el proceso de recoleccin.

Al registrar los datos en la hoja de pedido, se poda estratificar por: hora, tipo de pizza,

zona de la ciudad, motorista.

Se proporcion un espacio para escribir observaciones.


30

Responder Preguntas (datos existentes).

Los datos recogidos, por el local B2, antes del estudio, nos permiten tener una primera

respuesta sobre el impacto del da de la semana en el volumen de ventas.

Son todos los das iguales?

Figura 9. Serie de Tiempo para el nmero de entregas segn da de la semana en el local B2 de

Motopizza.

Del grfico de serie de tiempo que muestra la Figura 9, se obtiene informacin muy

importante. Se ve claro que hay gran diferencia entre los das laborables y los fines de

semana. Se detecta un da atpico, pero se le encuentra explicacin, ese da hubo un partido

(clsico). Hace falta hacer un anlisis especial para las horas del da.

Qu ocurre con los tiempos de entrega? Cmo se comportan?

R. Behar

31

Se dispone de 1354 observaciones del local B2, en este caso el diagrama de puntos no es

prctico. En este caso conviene representar la distribucin de los tiempos de entrega con un

histograma.

Histograma para la distribucin de los tiempos de entrega

Cuando se dispone de una variable continua como el Tiempo, en lugar de reportar los

valores individuales de las observaciones como lo hicimos en el diagrama de puntos,

pueden construirse intervalos, para ir contando cuantas observaciones caen en cada uno

de ellos, el resultado de ste conteo, representa lo que se conoce como frecuencia absoluta

para un intervalo dado.

Si se presenta como porcentaje del total de observaciones, nos referimos a la frecuencia

relativa. Una manera de representar estos intervalos y sus frecuencias es a travs del

histograma que se construye colocando en el eje X, los intervalos definidos y construyendo

sobre cada intervalo un rectngulo cuya rea representa el porcentaje de datos que

pertenecen a dicho intervalo. De esta manera el rea de histograma es siempre ciento por

ciento, que se distribuye en los distintos intervalos.


32

Figura 10. Representacin de la distribucin de los tiempos de entrega por medio de un histograma.

Si con base en el histograma de la Figura 10, quisiramos conocer que porcentaje de de los

tiempos de entrega resultaron mayores que 25 minutos, bastara con calcular el rea del

histograma que queda despus de 25, suponiendo que toda la rea es un 100%.

R. Behar

33

En la siguiente figura se ilustra esta afirmacin.

Figura 11. Interpretacin del rea en un histograma. Porcentaje de retrasos en la entrega.


34

Como puede apreciarse, el rea sombreada representa aproximadamente un 16% del rea

total, lo cual significa que el porcentaje de tiempo de entrega superiores a 25 minutos tres

aproximadamente un 16%.

Este valor es preocupante, dada la poltica de hacer un descuento el cliente del 25% cuando

se produce retraso en la entrega. En este caso Motopizza estara dejando de recibir la cuarta

parte de ese 16%, decir se est perdiendo el 4% de los ingresos.

Un hecho que se destaca en el histograma es que la barra ms alta se produce alrededor de

24 minutos, justo antes del valor crtico (25 minutos). ste es un comportamiento raro,

cuando los errores de medicin varan de manera aleatoria, sobre todo cuando se tiene un

volumen grande de datos, como el nuestro caso. Comportamiento como ste, merece la

bsqueda de explicaciones. Aqu por ejemplo, se descubri que los motoristas que

entregaron a tiempo el pedido, pero olvidaron anotar al momento de la entrega el tiempo el

minutos, deciden colocar en casi todas las ocasiones de olvido, el registro 24 minutos.

Es importante destacar que lo que da significado porcentual en un histograma es el rea y

no la lectura de los rectngulos.

Cuartiles Q1 ,Q2 ,Q3 de una distribucin

Podemos aprovechar la idea de histograma para empezar a definir algunos indicadores muy

tiles al momento de describir el comportamiento de la distribucin de frecuencias de

alguna variable, ste es el caso de los llamados cuartiles de una distribucin.

Para encontrar los tres cuartiles Q1 ,Q2 ,Q3 de una muestra de datos, bastara con ordenar

los datos en forma no decreciente y descubrir tres nmeros que dividan esa muestra

ordenada y cuatro conjuntos de igual tamao, de tal manera en cada uno de estos se

encuentre el 25% de las observaciones.

R. Behar

35

Si ligamos sta idea con la idea de histograma, lo que requerimos es encontrar tres valores

de tiempo de entrega, que dividan el rea del histograma en cuatro partes iguales, cmo se

muestra en la Figura 12.

El grfico de la Figura 12, ensea los cuartiles de la distribucin de los tiempos de entrega.

Ellos son Q1 =19 minutos,Q2 = 22 minutos ,Q3 = 24 minutos. Cul es su significado?

Figura 12. Ilustracin el significado de los cuartiles de una distribucin


36

Estos cuartiles nos indican que el 25% de las entregas se realizan en 19 minutos o menos,

que el 50% de las entregas se realizan en 22 minutos o menos y que el 25% de las entregas

se realizan en tiempos que superan los 24 minutos. Esto nos proporciona una primera idea,

bastante buena acerca el comportamiento de los tiempos de entrega.

Un grfico muy usado que involucra los tres cuartiles junto con el mnimo y el mximo de

los datos, se conoce como diagrama de caja y alambres (Box Plot) y lo explicaremos

enseguida.

Diagrama de Caja y Alambres.

Antes hablamos del riesgo de tomar decisiones o hacer descripciones usando slo los

promedios. Una manera de salir al paso de esta tendencia que pretende resumir la

complejidad de una muestra en un solo nmero, es asumir como costumbre, adems de la

media y de las medidas clsicas, reportar cinco indicadores que proporcionan

complementariamente una muy buena idea de la distribucin: los tres cuartiles y los valores

extremos. Con estos cinco nmeros, podemos construir el llamado diagrama de caja y

alambres, que es una herramienta extraordinaria sobre todo al momento de comparar la

distribucin de una caracterstica en varias subpoblaciones.

La Figura 13 nos ensea cmo construir un diagrama de caja y alambres.

Nuestro punto de partida, es el clculo de los tres cuartiles, el nuestro caso estos son Q1=19

minutos,Q2 = 22 minutos ,Q3 = 24 minutos.

Observe que la caja est delimitada por los cuartiles extremos, es decir, Q1 y Q3. En el

interior de la caja aparece una lnea divisoria que corresponde al segundo cuartil Q2.

R. Behar

37

Figura 13. Construccin de un diagrama de caja y alambres a partir de los tres cuartiles.

Hasta este momento tenemos construida a la caja, pero hasta dnde van los alambres?

Para responder esta pregunta y completar as la construccin de la caja, debemos marcar un

par de cercos, que van a servir para definir cules datos deben considerarse atpicos o

anmalos y cuales parecen provenir de la misma poblacin (datos tpicos).


38

En el grfico se marca la longitud de la caja a la cual hemos llamado RIC, para abreviar

la expresin Rango Inter Cuartlico, que no es otra cosa que la diferencia entre los

cuartiles extremos.

RIC= Q3 - Q1 = 24-19 =5 minutos.

Los cercos se encuentran a una distancia de 1,5 veces el RIC, medida a partir de los

cuartiles extremos. Veamos:

Cerco Inferior = Q1 -1,5*RIC = 19-1,5*5= 11,5 minutos.

Cerco Superior = Q3 +1,5*RIC = 24+1,5*5= 31,5 minutos.

Esto significa que todo dato menor que 11,5 minutos o mayor que 31,5 minutos se

considerar atpico y se marcarn con asterisco (*). Los alambres van desde los extremos

de la caja hasta los datos menor y mayor que quedan atrapados entre los cercos.

Ms adelante, volveremos con los diagrama de caja para usarlos en la comparacin de

poblaciones.

Hasta ahora se ha trabajo con todos los datos sin hacer la diferenciacin por el tipo de da

de la semana. Surge ahora la pregunta:

Hay diferencia en la distribucin de los tiempos de entrega de los das laborables

frente a los fines de semana?

Esta pregunta puede ser respondida de varias maneras distintas. Alguien podra calcular

para cada una de las dos subpoblaciones que se comparan, el tiempo promedio de entrega, y

tambin algunas medidas que acompaen la media y que indiquen el grado de variabilidad,

sin embargo, dichas medidas, aunque son muy importantes y los referiremos a ella ms

R. Behar

39

tarde, no nos dan informacin sobre la condicin crtica de inters, es decir, el porcentaje de

entregas por encima de los 25 minutos. Es distinto este porcentaje de retrasos los das

laborales y los das de fin de semana?

Esto podra responderse contando para cada conjunto de das, en forma directa, el nmero

de veces que result por encima de 25 y convertirlo en porcentaje. Pero tambin lo

podemos apreciar comparando las respectivas reas en los dos histogramas como se

muestra a continuacin.

Observando la Figura 14 y considerando las variaciones aleatorias, podramos decir, que

tanto en das laborales como en das de fin de semana el porcentaje de retrasos est

alrededor del 15%.

De la comparacin se deduce que el promedio en bastante similar, sin embargo los fines de

semana varan mucho ms que lo que varan los das laborales.

De nuevo se observa que el rectngulo alrededor de 24 minutos es sistemticamente ms

alto en ambos histogramas corroborando la explicacin dada anteriormente


40

Figura 14. Comparaciones de la distribucin de los tiempos de entrega segn sea das laborables o fines

de semana.

.Para que la comparacin de histogramas sea realmente til, es necesario asegurarse que los

histogramas que se comparan tenga la misma escala horizontal, pues de lo contrario

podramos incurrir el error de apreciacin, sobre todo en la dispersin como se muestra en

la Figura 15 que pretende ilustrar la misma situacin descrita en la Figura 14.

R. Behar

41

Figura 15. Percepcin equivocada de la dispersin cuando no se unifica la escala horizontal.

Ahora se percibe menos diferencia en las dispersiones.


42

Debemos recordar que hasta ahora hemos estado trabajando con datos existentes, producto

de la iniciativa del encargado del local B2. Ms adelante confrontaremos estos resultados

con los obtenidos con los nuevos datos.

Para practicar la interpretacin de los diagrama de caja, hagamos la comparacin anterior

pero usando ste tipo de diagramas.

Figura 16. Comparacin de distribuciones usando diagrama de caja.

Observe la utilidad de los diagrama de caja al momento de comparar, muy fcilmente se

detecta que no hay diferencias el centramiento, sin embargo, de un solo golpe de vista se

aprecia que los das laborales hay menor variacin.

R. Behar

43

Respondiendo preguntas (datos Nuevos).

Ahora que hemos tomado nuevos datos con el propsito especfico de responder nuestras

preguntas y que adems hemos validado los sistemas de medida, estamos listos para

realizar un anlisis exploratorio.

Qu tan calientes llegan las pizzas a nuestros clientes?

n=610 observaciones Media= 82,3C Desviacin Estndar=5,0C

Figura 17. Distribucin de la temperatura de la Pizza al momento de la entrega.


44

32% de las entregas no cumplen con las especificaciones de temperatura, lo cual es bastante

preocupante. Observe lo importante que disponer de esta medicin inicial, pues ser el

punto de partida para valorar el impacto de nuestras acciones de mejora. Si no hubiera una

medida fiable de nuestra situacin actual, cmo podramos saber si nuestros esfuerzos

funcionan?

Un par de valores que calcularemos siempre ser la media y la desviacin estndar, pues en

la mayora de los casos de medicin, conociendo este par de valores, podemos calcular los

porcentajes que necesitemos. ste maravilloso privilegio, lo tenemos cuando nuestra

variable puede modelarse razonablemente como una distribucin normal.

En este caso slo tuvo una media de 82,4 C con una desviacin estndar de 5C.

Calculados con una muestra de 610 observaciones.

Ms adelante abordaremos ms en detalle el significado y la utilidad de este par de

indicadores, quizs los ms importantes en estadstica. Dedicaremos tambin un captulo

para sacar provecho de la distribucin normal y sus propiedades.

Cul es la distribucin de los tiempos de entrega, a la luz de los nuevos datos?

El panorama que muestra el histograma de la Figura 18, es bastante fiable, toda vez que se

ha sido muy celoso en la validacin del sistema de medida y adems se dispuso de una

muestra de cerca de 2000 datos, lo cual nos da la confianza acerca de la estabilidad en las

cifras calculadas, en el sentido de que si repitiramos el estudio en las mismas condiciones,

se esperara que las cifras variarn relativamente poco, llegando, con alta confianza, a las

mismas conclusiones

R. Behar

45

Figura 18. Distribucin de los tiempos de entrega con los nuevos datos.

.

La forma que presenta el histograma que se ajusta bastante bien a la llamada distribucin

normal, es compatible con la idea de ausencia de sesgos sistemticos.

El porcentaje de retrasos, 12%, es un poco menor que el que habamos estimado con los

datos existentes. En ocasiones, la sola conciencia, de que se est midiendo con seriedad y se

est controlando el estudio, empieza a producir resultados. Por supuesto es ms creble esta


46

estimacin que la anterior, pues aqu no solo se dispone de un nmero mayor de datos, sino

tambin de datos con mayor calidad.

En cuanto al tiempo de entrega todos los establecimientos tienen el mismo

comportamiento?

Intentemos responder esta pregunta usando diagrama de cajas y alambres para hacer la

comparacin pertinente.

Figura 19. Diagramas de caja para la comparacin de la Distribucin del tiempo de entrega segn

localidad

Es la Figura 19 hemos agregado un hay referencias en 25 minutos, que define el punto

crtico para el tiempo entrega. Se aprecia que la localidades M1, B2 y B3 tienen tendencia a

R. Behar

47

tardarse un poco ms en la entrega que las dems localidades. Aunque a decir verdad sera

muy conveniente disponer de herramientas para saber si hay evidencia de una verdadera

diferencia, o si por el contrario, es razonable pensar que dichas diferencias pueden

atribuirse al azar. En el ltimo captulo de este libro abordaremos esta problemtica.

Sin embargo puedo adelantarles que al investigar ms en detalle en busca de posibles

explicaciones, se descubri que los que ms tardaban eran los ms antiguos, pues haban

ido ampliando poco a poco su radio de operacin y tenan un porcentaje de clientes lejanos,

mucho mayor que las localidades nuevas.

Dejemos registrados para estas localidades la correspondiente media y desviacin estndar,

que como ya dijimos sern valiosos indicadores para realizar la comparacin despus de

haber implementado algunas estrategias para reducirlo.

Tiempos de Entrega segn Localidades (Nuevos datos) Localidad Media Desviacin estndar Nmero de datos

M1 21,7 4,0 370 M6 19,0 3,9 370 B2 20,9 3,8 331 B3 21,1 3,8 370 V1 19,3 3,9 385 M1 21,7 4,0 370

Cmo se comportan los tiempos asociados con el proceso de fabricacin de la

Pizza?

El sentido que tiene el diagrama de proceso que elaboramos, es entre otro, detectar las

actividades que se realizan en el proceso de fabricacin.


48

En este caso, dichas actividades son de nuestro inters, en la medida en que nuestro

propsito es la reduccin del tiempo transcurrido desde que el cliente hace la llamada para

colocar el pedido, hasta que recibe su orden.

Si atendemos al diagrama, existen bsicamente tres componentes que consumen tiempo: la

recepcin del pedido, la fabricacin de la pizza y la distribucin. Para esta ltima hemos

dedicado la mayor parte de nuestro esfuerzo, pues las otras tienen menos impacto, dada la

proporcin de sus magnitudes y de sus variabilidades, razn por la cual destacamos como

problema prioritario el tiempo de distribucin.

Esto no quiere decir que las etapas del proceso de fabricacin y preparacin de la

distribucin, no sean importantes. Por ejemplo sera de inters valorar la poltica que ha

definido la empresa para realizar una ruta de distribucin. Se espera a que hayan al menos

tres pedidos que vayan para la misma zona, antes de asignar una ruta a un motorista.

Midiendo estos tiempos, podra realizarse un proceso de simulacin, de tal manera que

podamos encontrar, por ejemplo, cul es el nmero ptimo de pedidos de una zona, que

deben quedar en espera, antes de despachar un motorista en una determinada ruta.

Qu tenemos hasta ahora?

Corresponde ahora, hacer un balance de lo que hemos logrado hasta ahora. Una sntesis de

cmo hemos respondido las preguntas originales, con el propsito de orientar estrategias

para mejorar en de las variables crticas del cliente, satisfaciendo los niveles establecidos

como lmites de especificacin.

Hemos reportado siempre la media y la desviacin estndar de las variables de inters,

porque como ya dijimos, son dos de los indicadores ms importantes al momento de

reportar el comportamiento de una caracterstica que vara. A ellas nos dedicaremos de

R. Behar

49

manera particular en breve, para conocer sobre todo, como ellas pueden ayudarnos en los

procesos de descripciones y de comparacin de poblaciones.

A continuacin en la Figura 20 se presenta un cuadro con la sntesis de las respuestas a

nuestras preguntas.


50

Sntesis

delasrespuestas

alaspreguntas.

Los hallazgos

Los hallazgos que tenemos hasta ahora son los siguientes: Un problema crtico, que merece ser abordado con vistas a su mejoramiento es el tiempo de reparto Parecen existir diferencias en las localidades en cuanto al tiempo de reparto. Las localidades M6 y V1, son las ms rpidas. De acuerdo con el estudio realizado al comparar la distribucin de los tiempos de los motoristas puede concluirse que hay evidencia suficiente para pensar que hay diferencias importantes entre ellos. Los tiempos de entrega varan segn sea da laboral o fin de semana. Un estudio el margen, mostr que no haba evidencias de que la hora del da por el tamao del pedido fueran causantes de retrasos. A los clientes les parece razonable un tiempo de entrega de 30 minutos siempre que la pizza llegue caliente. (Esto podra cambiar el lmite de especificacin)

El Diagrama del Proceso de Fabricacin

Punto de partida Tiempo de entrega Temperatura en la entrega

Porcentaje de Retrasos= 12% Media = 20,4 minutos Desviacin Estndar = 4,0 minutos

% No conformes= 32%. Media= 82,3C Desviacin Estndar=5,0C

Figura 20. Cuadro de sntesis sobre los hallazgos preliminares y el punto de partida

R. Behar

51

Generacin de hiptesis sobre posibles factores (causas) que pueden afectar las caractersticas crticas.

Entramos ahora en una importante etapa, que podramos llamar etapa de anlisis, en la cual

nos interesa sobre todo detectar posibles asociaciones de algunos factores, preferiblemente

sobre los que actuar, con las variables de respuesta de inters: tiempo entrega y

temperatura.

El grupo de estudio se ha reunido usando la metodologa de Brain Storming (Lluvia de

ideas), ha planteado por un lado una hiptesis para explicar la distribucin de la

temperatura de la pizza al momento de la entrega:

La temperatura de la pizza est bastante relacionada con el tiempo de reparto

Con respecto al tiempo de reparto, las reflexiones del equipo pueden plasmarse en el

siguiente diagrama de causa y efecto.

El diagrama de causa-efecto, que se muestra en la Figura 21 tendr tantas ramas cmo se

requiera, en este caso las posibles causas se agruparon en: fallas humanas, fallas mecnicas,

mtodos o procedimientos, y las relacionadas con el medio ambiente


52

Diagrama de Causa y Efecto.

Figura 21. Diagrama de causa efecto para el retraso en los tiempos de entrega

.

R. Behar

53

Si el problema fuese muy complejo, cada una de esas causas que aparecen en cada rama,

podran convertirse en ramas. As por ejemplo, en la rama de maquinaria, el tem de no

arranca, podra descomponerse en falta de mantenimiento, equipo obsoleto.

Recordemos que en la indagacin a los clientes, se descubri que aceptaran de buen agrado

un tiempo entrega de 30 minutos, siempre y cuando la pizza llegue caliente. Este solo

hecho, es decir, modificar el lmite de especificacin para el tiempo entrega, ya cambia la

situacin. Si el descuento del 25% para los predios con retardo, se mantuviera pero

cambiando el lmite a 30 minutos, el porcentaje de retrasos bajara inmediatamente a un

valor sorprendente bajo, menos del 1%, lo cual, nos pondra dentro de la meta del proyecto.

Este panorama, hace que nuestros esfuerzos se centren en mejorar la situacin actual con

respecto a la Temperatura, pues en la actualidad no se cumple con la especificacin en el

32% de las entregas y si la hiptesis de relacin de Tiempo y Temperatura fuere cierta, lo

que significa es que poner el lmite en 30 minutos en el tiempo de entrega, eventualmente

podra agravar el problema de la temperatura.

Urge contrastar la hiptesis:

Hiptesis: La temperatura de la pizza est bastante relacionada con el tiempo de

reparto

Con los datos disponibles intentemos contrastar esta hiptesis. Para ello una herramienta

muy til es el diagrama de dispersin o diagrama bivariante, adems del coeficiente de

correlacin lineal.


54

Figura 22. Relacin entre el tiempo de entrega y la temperatura

El diagrama de dispersin de la Figura 22, no contradice la hiptesis. El grfico muestra

asociacin estadstica entre el tiempo entrega y la temperatura de la pizza. El coeficiente de

de correlacin lineal, toma un valor de 0,81, que calculado con base en 100 datos, en

bastante fiable. Este valor nos estara indicando que aproximadamente el 66% (0,812) de la

variabilidad la temperatura, es explicada por la variabilidad en los tiempos de entrega.

Con la lnea punteada en el grfico, se muestra que cuando el tiempo entrega est alrededor

de 22 minutos, la temperatura de la pizza es en promedio 80C.

En esta etapa de anlisis, puede usarse una batera de herramientas estadsticas ms

potentes, como el anlisis de regresin lineal, que se sale del alcance de este captulo. Sin

R. Behar

55

embargo a manera de informacin, puede ser conveniente saber que para poder usar el

modelo lineal hallado y que se muestra la figura, es necesario validar algunos supuestos.

Para ello corrientemente se usan herramientas grficas, como las que aparecen en la Figura

23.

Figura 23. Diagnostico grfico para el ajuste de un modelo de regresin lineal.

Con los indicadores asociados al modelo de regresin ajustado, podemos afirmar por

ejemplo en nuestro caso que en las ocasiones en las cuales el tiempo de entrega es de 22

minutos, la temperatura promedia de entrega es de 81C aproximadamente. Adems,

podemos afirmar que en esa misma situacin el 95% de las veces la temperatura de la pizza

estar entre 75C y 87C.

Anlogamente en las entregas que tardan 20 minutos, el 95% de las veces la temperatura de

la pizza se haya entre 77C y 89C.


56

Esta informacin es realmente til, pues permite no solo trabajar con las medias sino con

intervalos de confianza para los parmetros o de prediccin para las variables.

Una primera

conclusin

Lo que resulta de este anlisis es que si queremos que la pizza

llegue caliente (al menos 80C), debe reducirse el tiempo de

entrega o mejorar el proceso de la conservacin de la

temperatura o una combinacin de ambos

Otras Hiptesis

A partir del diagrama causa efecto de la Figura 21, se plantearon la siguiente hiptesis:

Hiptesis: existe diferencia en la distribucin de los tiempos de entrega segn

motoristas.

Para contrastar esta hiptesis, se construyeron diagrama de caja, para el tiempo entrega

asociado con cada uno de los motoristas, ponindose en evidencia la existencia de tal

diferencia.

Por otro lado se analizaron los registros, la parte de Observaciones y se detect que los

errores en la direccin y en la localizacin del piso, representan el cuatro por ciento de los

retrasos.

Un descubrimiento interesante lo constituye el hecho de que la diferencias entre motoristas,

se debe principalmente a la diferencias en el conocimiento de la zona.

R. Behar

57

Al describir en detalle el diagrama del proceso, surge la necesidad de valorar la poltica de

cola antes del despacho, pues en la actualidad, se espera que haya tres pedidos para la

misma zona, o que transcurran tres minutos, lo que ocurra primero.

Estrategias para Mejorar.

Alguna de las opciones de mejora del proceso planteadas por los miembros del equipo son

las siguientes:

1. Definir mecanismos para la verificacin de la direccin y del piso

2. Capacitar a los motoristas.

3. Aumentar el nmero de motoristas.

4. No recibir pedidos de la zona B, que es la ms lejana.

5. Disear mtodos para la conservacin de la Temperatura. (Aislar cajas en la moto y

hacer uso de bolsas plsticas).

Pruebas Piloto y evaluacin de riesgos

Una vez se han generado estrategias de mejora, existen mecanismos para valorar su

impacto y para medir los riesgos de su implementacin, una opcin muy recomendable son

las llamadas pruebas piloto.

Antes de invertir grandes cantidades de dinero, llevando la prctica alguna de las

alternativas, conviene probarlas a pequea escala. Esto permite entre otras cosas, descubrir

algunas posibles limitaciones en su aplicacin, as como tambin valorar su impacto en

relacin con su costo, posiblemente a travs de un anlisis de costo beneficio. Se detectan


58

con ensayo piloto, algunos efectos secundarios no deseables, que podran ser difciles de

detectar a priori.

De esta manera se realizaron pruebas piloto para las siguientes propuestas de mejoramiento:

DiseodeunnuevoProcesoparadisminuirerroresenladireccin.

Este nuevo proceso se ensay en las localidades B2 y M1 y se tomaron como control para

la comparacin las localidades B3 y M6 que usaban el sistema tradicional.

Se pas de 1,7% de direcciones erradas a tan slo 0,5%, resultando sta diferencia

estadsticamente significativa, al aplicar las pruebas estadsticas correspondientes para

decidir si esta diferencia puede producirse por azar o si por el contrario es una diferencia

estructural.

Redefinicindelaszonasaatender.

Las zonas a servir se redefinieron, estudiando la distancia y los tiempos de entrega a partir

de los registros observados. Esto implicar, entre otras cosas, no atender algunos clientes

que antes se atenda. Para ello se realizar un estudio de costo beneficio.

Conservacindelatemperatura

Se probaron distintos tipos de bolsa trmica caliente , con criterios tcnicos y de costos se

seleccion una para ser probada en un ensayo piloto. Cada vez que haba pedido para una

misma zona, se haca una rifa de manera totalmente aleatoria para decidir a cual pone bolsa

y a cual no, esto para evitar sesgos por posible variables no controladas y evitar se

convirtieran en factores de confusin.

R. Behar

59

Los resultados se presentan a continuacin:

Figura 24. Valoracin del impacto de la bolsa trmica caliente.

La Figura 24 pone en evidencia de manera contundente, el impacto de la bolsa en el control

de la temperatura, pues pasamos de una situacin en la cual el 35,5% de las entregas no

cumplan con la especificacin, a tan slo un, 3,7%.

Estos resultados correspondientes a la media y a la desviacin estndar, son bastante

estables, toda vez que han sido calculados con una muestra suficientemente grande, como


60

para garantizar que la diferencias observadas no se presentan de chiripa. Las herramientas

sobre este tema, las trataremos en el ltimo captulo.

Implantacin de las mejoras.

Una vez se han realizado los ensayos piloto, se han validado las opciones de mejoramiento

que realmente funcionan, y se ha medido su impacto econmico a travs de anlisis de

costo beneficio, estn listas para ser implantadas en la organizacin.

Para ello, se estableci un calendario de actividades, con responsables especficos y con los

recursos requeridos para implantarlas.

Se realiz una muy fuerte capacitacin sobre nuevo el proceso a los encargados de los 14

establecimientos y se compraron bolsas trmicas para todos los motoristas.

Se hizo una intensa formacin a los motoristas en el manejo de mapas, directorios y

callejeros, con entrenamiento en la calle y con su correspondiente evaluacin para

garantizar la efectividad de su capacitacin.

Se estableci un espacio de reunin de los motoristas, para intercambiar experiencias e

informacin sobre rutas.

Establecimiento de controles

Cuando se implementar un nuevo sistema, es muy importante garantizar la nueva inercia,

que impida que el sistema vuelva a su estado anterior, es necesario, que todos en la

organizacin se familiaricen con los nuevos estndares y especificaciones, con los nuevos

procedimientos, con los nuevos instrumentos de registro de datos. Hay que evitar que las

mejoras sean transitorias, es necesario consolidar el nuevo sistema.

R. Behar

61

Todo esto debe hacerse de manera organizada definiendo un sistema de monitoreo y

control.

Corresponde ahora la prctica, ya no ha escala piloto, si no con la empresa funcionando,

validar las cifras, los indicadores, y los beneficios esperados.

Elementos esenciales del sistema de control podran ser entre otros los siguientes:

Estandarizacin. Documentacin de los nuevos procesos.

Control de los procesos a los nuevos niveles. Dado que pueden haberse cambiado las especificaciones, es necesario monitorear los procesos para asegurarse que se

cumple. Esto puede hacerse a travs de los llamados grficos de control.

Documentacin del proyecto. Es la historia del proyecto, que incluyen dificultades y sus soluciones, que plantea de forma explcita las mtricas utilizadas, sus

definiciones, los instrumentos de medicin, sus especificaciones, clculos de

rentabilidad financiera, supuestos, preguntas pendientes de resolver.

Control al nuevo nivel

Se puso en marcha en forma paulatina un sistema de seguimiento de tiempo y temperatura

en la misma tarjeta de pedido.

Se estableci el cuadro de mando que se muestran en la Error! No se encuentra el origen

de la referencia., en el cual se presenta de una manera precisa, la forma como deben ser

controladas cada una de las variables crticas, incluyendo responsables, frecuencia de

control, mtodo evaluacin, tolerancias y propsito.


62

Xs Objetivo Tolerancias Mtodo de Evaluacin Frecuenci

a

Responsable de la medida

Formacin Conocimiento de la ciudad >70% en el

examen Examen nueva incorporacin

Todos los motoristas Supervisor

Zona Utilizar la Zona asignada segn carga de trabajo

Cero Zona/Carga Cada entrega Supervisor

Respuestas Y

Tiempo de Entrega

Satisfaccin del cliente >99,7%

Encuesta de satisfaccin Anual Central

30 minutos Min 99% Nmero de descuentos Todas Supervisor

Temperatura 80C >76C Ficha Todas Supervisor Figura 25. Cuadro de mando para controlar los procesos

R. Behar

63

Valoracin de Resultados No financieros

Tiempo de Entrega de los Pedidos

Aunque la media no ha cambiado mucho, la variabilidad se ha reducido notablemente, haciendo que el lmite de especificacin ahora se cumpla holgadamente. Esta reduccin de los tiempos grandes traern mejoras tambin en la temperatura

Temperatura de la Pizza

Se ha mejorado no solo en la media, que ahora es mayor, sino tambin en la dispersin que ahora es menor, a tal punto que el 100% de los pedidos llegan con temperatura superior a los 78C.


64

Calculo de los cuartiles para datos crudos.

Ilustraremos el proceso de clculo de los cuartiles con un ejemplo.

Ejemplo.

Los siguientes datos corresponden a las edades de 14 personas seleccionadas al azar, entre

cierta clase de empleados de la poblacin objetivo de un estudio.

25, 38, 29, 42, 39, 54, 23, 33, 45, 45, 26, 34, 30, 31.

Paso #1; Ordenar los datos de menor a mayor:

Observe que cuando los nmeros indican posicin, los colocamos entre parntesis.

Los cuartiles los descubrimos calculando la posicin que ocupan; es conveniente empezar

por el segundo cuartil

Segundo cuartil Q2. (Mediana)

Para calcular la posicin que ocupa el segundo cuartil, promediamos las posiciones

extremas: (14)+(1) / 2 = (7.5). Como no existe la posicin 7.5, porque un dato queda en la

R. Behar

65

posicin 7 o en la 8, entonces interpretaremos que queda en el medio de los datos que

estn de 7 y 8 , para evitar esta ria, hacemos el promedio de los dos datos que ocupan

esas posiciones:

2(33 34) 33,5 aos

2Q += =

Primer Cuartil3, Q1. El primer cuartil se obtiene considerando solo los datos que

quedan antes de la mediana. Para este grupo de datos se calcula la media .Se trata pues de

encontrar la posicin de la mitad de la mitad.

La posicin que ocupara el primer cuartil ser la mediana de este primer grupo de datos:

que es el que ocupe la posicin

3 Note que si el nmero de datos es impar, el segundo cuartil Q2, no sera necesariamente un dato de la

muestra. En este caso, para calcular la ubicacin del primer cuartil Q1, se toman en cuenta los datos que

quedaron antes del segundo cuartil, excluyendo el dato que result ser el segundo cuartil Q2. Anlogamente

para el tercer cuartil Q3.


66

(7) (1) (4)2+ =

La Cuarta posicin la ocupa el dato 29. Este es el primer cuartil.

Es decir que el primer cuartil, Q1 es el dato que ocupa la 4 posicin, o sea que Q1 = 29

Aos

Si aplicamos este mismo procedimiento a los datos mayores que la mediana, se obtiene el

tercer cuartil

El tercer cuartil Q3.

La posicin que ocupar el tercer cuartil ser la mediana de este segundo grupo de datos:

Es decir, ser el valor que ocupe la posicin:

(8) (14) (11)2

+ =

La posicin once (11) la ocupa el dato 42. Este es el tercer cuartil.

Q3 = 42 Aos

R. Behar

67

Para la construccin de un diagrama de caja y alambres, se requiere de algunos clculos

adicionales, basados en los cuartiles ya encontrados:

Rango Intercuartlico. (RIC)

RIC = Q3-Q1 = 42-29= 13 Aos

Edad mnima = 23 Aos

Edad mxima = 54 Aos

Cerco interno inferior = Q1- 1.5(RIC) = 29-1.5(13) = 9.5

Cerco interno superior = Q3 + 1.5(RIC) = 42 + 1.5(13)= 61.5

Construya usted el diagrama de caja para este caso4

Otro ejemplo (Sntesis)

Se tiene una muestra aleatoria sobre cierta caracterstica de la Poblacin y se quiere hacer

una descripcin de la misma, usando los cuartiles y construyendo un diagrama de caja y

alambres.

Para ello, se ordena la muestra de menor a mayor, como se muestra enseguida.

4 Note que en este caso particular, todos los puntos quedaron dentro de los dos (2) cercos, lo cual no ocurre

siempre, por esta razn los puntos interiores ms cercanos al cerco son el mnimo y el mximo de los datos,

que definen la longitud de los alambres que van pegados a la caja.


68

Se empieza calculando el segundo cuartil y despus los otros dos, siguiendo los pasos que

se explican abajo.

Figura 26. Ilustracin de los pasos para el clculo de los cuartiles

En resumen puede decirse que los diagramas de cajas y alambres son tiles, entre otros para

los siguientes propsitos:

1. Para identificar la localizacin de los datos alrededor de la mediana.

R. Behar

69

2. Para hacerse una muy buena idea de la dispersin de los datos, basndose en la

longitud de la caja (rango intercuartlico), pues siempre la caja, corresponde al 50% de los

datos que estn en la parte central. Adems se aprecia el rango de los datos, el cual

corresponde a la distancia entre las observaciones ms extremas.

3. El diagrama de cajas y alambres, nos permite hacernos una muy buena idea sobre el

grado de asimetra de una distribucin, al comparar la proporcin de la caja que queda a la

izquierda de la mediana, con la que queda a la derecha, igualmente la longitud de los

alambres respectivos. En el ejemplo de la figura, se observa que los datos estan ms

concentrados en entre Q1 y Q2 que entre Q2 y Q3, lo cual es una muestra de cierto grado

de asimetra.

4. El diagrama es til para identificar posibles puntos atpicos ( fuera de los cercos

internos pero dentro de los externos) o puntos atpicos o outliers (fuera de los cercos

externos).

5. Una utilidad grande de los diagramas de caja y alambres, es comparar varias

poblaciones, a travs de sus distribuciones. En este caso se construye un diagrama para

cada distribucin y se dibujan en una misma escala (sobre un mismo plano), lo cual permite

muy fcilmente hacerse una idea de las semejanzas y las diferencias de los rasgos ms

importantes de las distribuciones. Como se ilustrara en un ejemplo ms adelante.


70

La Media y la Desviacin Estndar. Su significado y su Utilidad

Prctica.

La media aritmtica y la desviacin estndar, son las medidas mas frecuentemente usadas

en estadstica y, en parte, la razn es que corresponden por suerte a los parmetros de la

distribucin mas famosa y mas til de la estadstica: La Distribucin Normal. Por esta

razn esperamos a estar justo antes del tratamiento de la distribucin normal ( prximo

captulo) para hablar de estos indicadores.

Figura 27. La Media y la desviacin Estndar. Una mirada intuitiva.

En Las dos situaciones que se ilustran en la Figura 27, la media tiene el mismo valor que

pretende indicar dnde est el centro del conjunto de datos respectivo, sin embargo, en la

situacin B, la media parece representar mejor los datos que en la situacin A. Dicho de

otra manera: En la situacin B, los datos son ms parecidos a su media. Dicho de otra

manera, la media es mejor representante de los datos en la situacin B quede en la situacin

A.

R. Behar

71

La desviacin estndar es una medida de la cercana de los datos a la media que los

representa. En cierta forma la desviacin estndar es una medida de la credibilidad de la

media aritmtica en su intencin de representar los datos.

La media y la desviacin ser estndar son una pareja inseparable, la primera informa sobre

la magnitud de los datos y la segunda da cuenta del crdito que hay que darle dicha

magnitud, en trminos de su similaridad con los datos que representa.

Decimos que en la situacin B, la desviacin estndar de los datos es menor que en la

situacin A.

Es claro que pueden existir varias maneras de definir la cercana (o alejamiento) de los

datos a un cierto valor central.

La desviacin estndar tiene una definicin muy especfica, que aunque a primera vista

tiene una complejidad para su interpretacin intuitiva, tiene como contraparte un rico

tratamiento matemtico, que ha permitido el desarrollo de abundante teora en la llamada

inferencia estadstica.

Origen de la media y la desviacin estndar.

El criterio de cercana que da origen a la definicin de la media y de la desviacin

estndar es el siguiente:

Utilizaremos los datos representados en la Figura 28, en la que tambin hemos representado

un valor a, en principio arbitrario, con el propsito de descubrir donde conviene

colocarlo para que sea un buen representante del conjunto de los datos.

Empezaremos diciendo que a puede ser cualquier nmero real y despus le vamos a

exigir algunos requisitos asociados con nuestra idea de lo que significa buen


72

representante, lo cual restringir el conjunto de valores que pueda asumir. Veamos un

criterio para seleccionar el valor de a.

Figura 28. Muestra aleatoria de 10 valores, con sus distancias a un presunto valor central

De todos los posibles valores de a, vamos a escoger aquel que haga menor la media de

los cuadrados de la distancia de los datos a dicho valor a. Es decir, el que minimiza la

funcin:

( )( )2

1

n

ii

x ag a

n=

=

En este caso el mejor valor de a puede deducirse derivando g(a) con respecto de a,

igualando a cero y despejando su valor. Veamos:

R. Behar

73

( )1

( ) 2 0n

ii

g a x aa n =

= =

Por tanto ( )1

0n

ii

x a=

= .

De donde se deduce que ix n a= y despejando a tenemos: ix

a xn

= =

Si hacemos la segunda derivada vemos que siempre es positiva, lo cual confirma que el

punto crtico es xa = (media aritmtica) es el nmero que produce el valor ms bajo para g(a). Dicho valor ( )g x es la varianza de X.

Con los datos de nuestro ejemplo = 15,1 y el valor mnimo de g(a), es decir,

( ) ( )2

ix xg xn= es la varianza, que representaremos por S2 = 7,89. Sacando raz

cuadrada se obtiene la llamada desviacin estndar S = 2,81.

Esto muestra como la media aritmtica y la desviacin estndar son medidas hermanas.

La media como centro de gravedad de los datos.

Observe de la demostracin anterior que el valor hallado para a, es decir xa = , satisface

que ( ) 01

==

N

ii xx , lo cual se expresa en la Figura 29, haciendo que la suma de las

distancias de la media a los datos que quedan a su izquierda es exactamente igual a la suma

de los que quedan a su derecha.


74

Figura 29. Propiedad de la media aritmtica

Esta propiedad de la media, la caracteriza como el centro de gravedad de los datos.

Si se dispone de un histograma y se desea saber en qu punto queda la media, basta

identificar su centro de gravedad, como se muestra en la Figura 30

Figura 30. La media como centro de gravedad

Notacin: Se usara el smbolo X (X-barra), cuando se hace referencia a la media de una

muestra. El smbolo (mu), representa la media de toda la poblacin de Inters.

R. Behar

75

Con la media X de una muestra, se pretende estimar (conocer aproximadamente) la media

de la poblacin, por esta razn, se dice que X es un estimador del parmetro .

La varianza de la poblacin (2) y desviacin estndar poblacional (). Su contraparte muestral se representa por la letra S.

Observaciones.

En realidad las definiciones que se usan con el propsito de realizar estimaciones de los parmetros poblacionales varianza (2) o desviacin estndar () son un poco distintas a las planteadas, pues en lugar del denominador n, se usa el denominador

(n-1) as:

( )

( )

1 2

22

2

... Media Muestral

Varianza Muestral1

Desviacin Estndar Muestral1

n

i

i

X X XXn

x xS

n

x xS

n

+ + +== =

Observe que en caso extremo en que todos los datos son idnticos, es decir, no existe variabilidad, la media tambin seria idntica a los datos y por tanto la

desviacin estndar S sera nula. Por otro lado a medida que los datos se alejan mas

de la media, las distancias al cuadrado se hacen ms grandes y por lo tanto crecera

la desviacin estndar. Por estas razones, la desviacin estndar es una medida de

variabilidad o dispersin de los datos. Sin embargo, la interpretacin directa no es

fcil, pues no es posible emitir un juicio sobre su tamao al margen del contexto,


76

ms an cuando su valor depende de las unidades en las que se mide en las variables

correspondientes.

No obstante, una muy buena interpretacin surge del llamado principio deTshevichev, y

tambin cuando se asocia con la distribucin normal.

Interpretacin de la desviacin estndar

Aunque la interpretacin y la utilidad ms contundente de la desviacin estndar est

asociada con la distribucin normal que trataremos en otro captulo, su carcter de medida

de dispersin puede apreciarse a travs del conocido Principio de Schebyshev.

Principio de Schebyshev.

Si a cualquier conjunto de datos le calculamos su media X y su desviacin estndar S y

luego construimos un intervalo con centro en la media X , restndole y sumndole un

numero k de desviaciones estndar, este intervalo atrapa una fraccin de los datos igual a

211 k

As por ejemplo entre la media y dos desviaciones estndar (k=2), estar por lo menos

75.0211 2 =

, el 75% de los datos.

Entre la media y tres desviaciones estndar siempre habr al menos 88.0311 2 =

, el

88% de los datos.

Y para 4 desviaciones estndar, por lo menos 93.8%.

R. Behar

77

En los siguientes captulos, tendremos la oportunidad de apreciar la importancia de estas

dos medidas.

Observe que este principio se cumple siempre, no importa cual distribucin tiene la variable

de inters y nos proporciona una cota mnima para el porcentaje de datos que se encuentren

a una distancia de a los mas k veces la desviacin estndar.

Propiedades Operativas de la media

1. Si xi = k, para todo i, o sea que si todos los datos son iguales a k, entonces: x = k.

Veamos:

xx

n

k

nnkn

ki

i

m

i

n

= = = == =

1 1

2. Si todos los datos de una muestra se multiplican por una constante, el promedio de

dicha muestra resulta multiplicando por la misma constante, es decir:

si yi = axi , i = 1, 2, ..., n; entonces y = a x

yy

n

ax

na

x

nax

ii

n

ii

n

ii

n

= = = == = =

1 1 1

3. Si Zi = axi + byi , i = 1, 2, ..., n; donde a, b son constantes, entonces

Z ax b y= +


78

Veamos:

( )1 1

n n

i i ii i i i

Z ax byx yZ a b

n n n nZ ax b y

= =+ = = = +

= +

Esta propiedad puede generalizarse a la combinacin lineal de k variables y puede

resumirse diciendo que la media aritmtica es un operador lineal.

Ejemplo: Ingreso econmico de parejas de casados

Se ha tomado una muestra de parejas de casados y se han observado las variables X e Y.

X : Ingreso mensual del esposo

Y : Ingreso mensual de la esposa

Se encontr que el ingreso promedio mensual de los esposos es

X = $100.000 y de las esposas Y = $80.000.

Si se define la variable ingreso familiar Z, como la suma de los ingresos de los esposos,

entonces el ingreso familiar de la pareja i ser: Zi = Xi + Yi y el ingreso familiar promedio

ser:

Z X Y= + = $100.000 + $80.000 = $180.000

R. Behar

79

6. Si una muestra de n elementos, se divide en k submuestras excluyentes y exhausti-

vas, que tienen n1, n2,..., nk, elementos (n1 + n2 + ... + nk = n), con promedios x 1, x 2,..., x k

respectivamente, entonces el promedio de la muestra global estar dado por:

x n x n x n xn

k k= + + +1 1 2 2 ...

es decir: xn x

n

i ii

k

= =

1

El promedio x i, de los datos del grupo i, est dado por: xx

nij

G

i

i=

por tanto: x n xjG

i ii

=

Por otro lado:

x x x x

n x n x n x

jj

n

jG

jG

jG

k k

k= = + + +

= + + +1

1 1 2 2

1 2

...

...

Entonces: xx

nn x n x n x

n

jj

n

k k= = + + +=

1 1 1 2 2 ...

Ejemplo


80

Una muestra de 500 trabajadores tienen un salario promedio de $108.000, si el salario

promedio de los hombres es $120.000, y el de las mujeres $100.000, cuntos hombres y

mujeres hay?

Si n1 es el nmero de hombres y n2 el de mujeres, entonces:

n1 + n2 = 500 (1)

Adems:

$108. . .000 120 000 100 000500

1 2= + n n (2)

Resolviendo (1) y (2) se obtiene: n1 = 200 y n2 = 300

Clculo de la media aritmtica para los datos agrupados en intervalos de

clase.

Se sabe que cuando los datos estn agrupados en clases, se pierde la individualidad de la

informacin, as por ejemplo puede conocerse que en el intervalo (10,20] hay 3 datos, pero

no conocemos cul es el valor de cada uno de estos datos; esto plantea una dificultad para

el clculo de la media usando la definicin presentada.

Se puede calcular en este caso la media, en forma aproximada, usando la propiedad 6 y el

supuesto de que los datos en cada intervalo estn uniformemente distribuidos, puesto que si

esto sucede , la media aritmtica de los datos del intervalo i, coincide con el punto medio

del intervalo (marca de clase), de esta manera se puede considerar la muestra total, dividida

en "m" submuestras constituidas por los datos que pertenecen a cada uno de los intervalos,

as aplicando la propiedad 6, se obtiene que:

R. Behar

81

x n x n x n xn

m m= + + +1 1 2 2 ...

Como: ' ; entonces :ix x

'

'

'1

1

; entonces :im

i i mi

i ii

x x

n xx f x

n=

=

= =

Ejemplo

Dada la siguiente distribucin de frecuencias:

La media aritmtica de esta distribucin ser:

x = + + + + =12 15 16 30 42 50 25 65 5 85100

481.

O en forma equivalente:

x = 0.12 x 15 + 0.16 x 30 + 0.42 x 50 + 0.25 x 65 + 0.05 x 85


82

x = 48.1

Propiedades Operativas de la varianza.

Las propiedades que se presentan a continuacin pueden ser heredadas por la desviacin

estndar con las limitaciones que genera la funcin raz cuadrada.

1. ( )S xn xi

i

n

2

2

2=

Esta, ms que una propiedad es una forma alternativa de calcular la varianza,

realizando menos clculos numricos que con la expresin que proporciona la

definicin. Su demostracin es la siguiente:

( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )

Sn

x xn

x xx x

nx

nx x

nx

nx x

x

n nn x

nx x x

Sn

x x

i i ii

n

i

n

i ii

n

i

n

i

ii

n

i

i

2 2 2 2

11

2

1 1

2

2 1 2

2 2 2

2 2 2

1 1 2

1 1 2 1

1 2 1

1 2

1

= = +

= +

= +

= +

=

==

= =

=

S2 = Promedio de los cuadrados, menos, promedio al cuadrado

R. Behar

análisis estadístico

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