INTRODUCCIÓNContando con el modelo matemático de un sistema de control, es conveniente el análisis del desempeño del sistema (Respuesta transitoria y Respuesta en estado estable).

Si las entradas para un sistema de control son funciones del tiempo que cambian en forma gradual, una función rampa sería una buena señal de prueba. Si el sistema está sujeto a perturbaciones repentinas, una función escalón sería la adecuada; y para un sistema sujeto a entradas de choque, una función impulso sería la mejor.

INTRODUCCIÓN

Función impulso unitario

(en el tiempo)

f(t) = (t)

(en la frecuencia)

F(s) = 1

INTRODUCCIÓN

Función escalón unitario

(en el tiempo)

f(t) = (t)

(en la frecuencia)

F(s) = 1/s

INTRODUCCIÓN

Función rampa unitaria

(en el tiempo)

f(t) = t

(en la frecuencia)

F(s) = 1/s^2

INTRODUCCIÓN

La respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta en estado estable. Por respuesta transitoria nos referimos a la que va del estado inicial al estado final. Por respuesta en estado estable, nos referimos a la manera en la cual se comporta la salida del sistema conforme t tiende a infinito.

INTRODUCCIÓN

Y(t) = YT(t) + YEE(t)

Ejemplo:

Y(t) = - exp(-2t) + 1

INTRODUCCIÓN

Si la salida de un sistema de control en estado estable no coincide exactamente con la entrada, se dice que el sistema tiene un error de estado estable. Este error indica la precisión del sistema. Al analizar un sistema de control, debemos examinar el comportamiento de la respuesta transitoria y el comportamiento en estado estable.

INTRODUCCIÓN

Se define el orden de un sistema cuya función de transferencia es

F(s)=b(s)/a(s)

como el grado del polinomio del denominador a(s).

RESPUESTA TRANFERENCIA DE PRIMER ORDEN

Considerando el sistema de la figura. La relación entrada-salida es la siguiente:

Vo/Vi = 1/(Ts+1)

donde T es la constante de tiempo definida como T=RC

RESPUESTA TRANFERENCIA DE PRIMER ORDEN

La figura muestra el diagrama a bloques del sistema de primer orden. A continuación alimentaremos este bloque con algunas de las funciones previamente vistas y analizaremos su salida.

RESPUESTA TRANFERENCIA DE PRIMER ORDEN

Para la entrada impulso unitario Vi(s)=1, se obtiene a la salida del sistema

Vo(s)=1/(Ts+1)

vo(t)=(1/T)exp(-t/T)

RESPUESTA TRANFERENCIA DE PRIMER ORDEN

En una constante de tiempo, la curva de respuesta exponencial ha ido de 0 a 63.2% del valor final. En dos constantes de tiempo, la respuesta alcanza el 86.5% del valor final. En t=3T, 4T y 5T, la respuesta alcanza 95, 98.2 y 99.3%, respectivamente del valor final. Para t4T, la respuesta permanece dentro del valor final.

RESPUESTA TRANFERENCIA DE PRIMER ORDEN

De la ecuación vo(t)=(1/T)exp(-t/T), se observa que el estado estable se alcanza matemáticamente sólo después de un tiempo infinito. Sin embargo, en la práctica, una estimación del tiempo de respuesta para alcanzar el valor final es de cuatro o cinco constantes de tiempo.

t

RESPUESTA TRANFERENCIA DE PRIMER ORDEN

Para la entrada escalón unitario Vi(s)=1/s, se obtiene a la salida del sistema

Vo(s)=1/(Ts+1)s

vo(t)=1-exp(-t/T)

RESPUESTA TRANFERENCIA DE PRIMER ORDEN

Para la entrada rampa unitaria Vi(s)=1/s^2, se obtiene a la salida del sistema

Vo(s)=1/(Ts+1)s^2

vo(t)=t-T+Texp(-t/T)

RESPUESTA TRANFERENCIA DE PRIMER ORDEN

Observamos que la salida del sistema excitado con la rampa presenta un error de estado estable.

e(t)=vi(t)-vo(t)

e(t)=T(1-exp(-t/T))

Conforme t la señal de error tiende a T. Y mientras T sea mas pequeño, también lo será el error.

RESPUESTA TRANFERENCIA DE PRIMER ORDEN

En el análisis anterior, se demostró que para la entrada rampa unitaria, la salida es

vo(t) = t - T + Texp(-t/T)

Para la entrada escalón unitario, que es la derivada de la entrada rampa unitaria, la salida es

vo(t) = 1 - exp(-t/T)

RESPUESTA TRANFERENCIA DE PRIMER ORDEN

Por último, para la entrada impulso unitario, que es la derivada de la entrada escalón unitario, la salida es

vo(t)=(1/T)exp(-t/T)

Claramente podemos deducir que la respuesta a la derivada de una señal de entrada se obtiene diferenciando la respuesta del sistema para la señal original.

EJERCICIOS 01:

EJERCICIOS 02: