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ANALISIS DE FRECUENCIA EN ANALISIS DE FRECUENCIA EN HIDROLOGIA (3)HIDROLOGIA (3)
Profesor Luis F. Carvajal
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Minas
Escuela de Geociencias y Medio Ambiente
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• Distribuciones discretasDistribuciones discretas
– Distribución Binomial– Distribución Poisson– Distribución Geométrica
• Distribuciones continuasDistribuciones continuas
– Distribución Exponencial– Distribución Normal– Distribución Log Normal– Distribución Gamma– Distribución Log Pearson tipo III– Distribución General de Valor Extremo
Distribuciones de Probabilidad
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DISTRIBICIONES DE DISTRIBICIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAPROBABILIDAD DISCRETA
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Distribución Binomial
Un ejemplo de los ensayos de Bernoulli es lanzar una moneda. Los ensayos operan bajo tres condiciones:
1. Cualquier ensayo solo puede tener uno o dos posibles resultados, éxito o falla, llueve o no llueve.
2. Ensayos sucesivos son independientes.3. Las probabilidades son constantes.
Bajo estas tres condiciones la probabilidad de x éxitos en n ensayos, está dada por la distribución Binomial como:
Donde: Es el número de combinaciones de n eventos
tomando x a la vez.
xnxqpx
nxp
)(
x
n
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p es la probabilidad de ocurrencia de un evento, por ejemplo la probabilidad de éxito en lanzar una moneda, q es la probabilidad de falla.
x es la variable o el número de ensayos con éxito.
)!(!!xnx
nxn
pq 1
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Ejemplo: Distribución Binomial
Suponga que una presa tiene una vida útil de 50 años y se desea evaluar la probabilidad que una inundación, con un periodo de retorno de 100 años, ocurra una vez durante la vida útil de la presa.
Por lo tanto, es alrededor de 31% de probabilidad que un evento de tal magnitud pueda ocurrir una vez en la vida útil de la presa
50
1
99.01
01.0/1
n
x
pq
Tp
306.099.01.01
50)1( 491
p
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Distribución Poisson
Una expansión binomial es un pequeño inconveniente para calcular números grandes.
• P es pequeño (p < 0.1)• n es grande (n > 30)• La media np es constante.• p 0, q 1, n ∞
Esta es conocido como la expansión Poisson y es generalmente escrita como:
.....!2
)(2
eeeeeqp n
!)(
xe
xpx
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Donde:
= np es la media.
La distribución binomial finita puede ser aproximada por la distribución Poisson infinita, siempre que se apliquen las siguientes 4 condiciones:
1. Número de eventos es discreto2. Dos eventos no pueden coincidir3. La media del número de eventos en el tiempo es
constante4. Los eventos son independientes
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Ejemplo: Distribución Poisson
Tomando el ejemplo anterior, la probabilidad que una inundación con periodo de retorno de 100 años pueda ocurrir una vez en 50 años será:
Comparado con el resultado de la distribución binomial, p(1) = 0.306, es similar.
303.0!1
5.0)1(
5.01
e
p
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Distribución Geométrica
RECORDANDO:
En una secuencia de Bernoulli, el número de ensayos hasta que un evento específico ocurra por primera vez es modelado por la distribución geométrica.
Éxito ensayo t + nFalla ensayo t – 1
Si T v.a. apropiada:
Periodo de retorno Tiempo de recurrencia promedio para que un evento de cierta magnitud sea igualado o excedido.
....,2,1)( 1 tpqtTP T
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DISTRIBICIONES DE DISTRIBICIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAPROBABILIDAD CONTINUA
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Distribución Exponencial
Consideraciones:
• Proceso de eventos aleatorios (los parámetros no cambian con el tiempo).
• No es posible tener mas de un evento en cualquier instante.
• Descripción de un proceso Poisson.
• La v.a. t representa el tiempo entre tormentas.
Función de Densidad:
La media es:
La varianza es:
La función de distribución acumulada es:
22 /1)( t
tetf )( , t0 /1)( tE
tt t edetF 1)(0
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Ejemplo: Distribución exponencial
En un año en un sitio determinado ocurren 110 tormentas independientes con una duración promedio (todas) de 5.3 h. El intervalo entre tormentas es:
= 1/ λ λ = 1/74.3 = 0.0135 h-1
a) Cuál es la probabilidad de que pasen al menos 4 días (96 h) entre tormentas?
P(t 96) =1- F(96)
ht 3.74110
3.51108760
27.011)96(
1)96(
96*0135.0
96
0
eetP
edteF
t
tt
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b) Cual es la probabilidad de que el tiempo entre dos tormentas sea exactamente 12 horas?
P(t = 12)= 0 la probabilidad que una V.A continua valga cero en un intervalo es cero.
c) Cual es la probabilidad que la separación entre 2 tormentas sea menor o igual que 12 h?
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Distribución Log Normal
En general, cuando la variable aleatoria X es el producto de un
gran número de otras variables aleatorias, la distribución de
los logaritmos de X puede aproximarse a la Normal, ya que los
logaritmos de X son la suma de los logaritmos de los factores
contribuyentes.
Si se tiene una variable aleatoria X y ln X = Y, se ajusta a una
distribución Normal, se dice que la variable aleatoria X es log
normalmente distribuida.
• Función de Distribución de ProbabilidadFunción de Distribución de Probabilidad
Asumiendo Y = loga (X)
σ
μ-y
21
- exp 2πxσ
1 = f(x)
2y
y
2
y
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Parámetros y Factor de frecuencia
• Media (Parámetro de escala)• Desviación estandar (Parámetro de forma)
Estimación de parámetros: Método de los momentos
K es la misma de la distribución normal
Si se quiere trabajar con la variable no transformada en el campo logarítmico se tiene que:
N
1iiaY )X(log
N1
ˆ 21N
1i
2YiaY ˆ)X(log
N1
ˆ
yyT K+=Xln
Cv
1-2
Cv+1ln-Cv+1lnKexp
= K
22 1/2
T
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TFu
111
Es el inverso de la función de distribución Normal estandarizada acumulada y Cv es el coeficiente de variación
T
1-1F=K
r
1-T u
SXln T2-1T u
N=S Y
T
2K+1=
2T
1/2
• Intervalos de confianzaIntervalos de confianza
: Nivel de confianza o significancia
ST: Error estándar
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Ejemplo: Distribución Log Normal
La media y desviación estándar de los Qmax anuales de la estación del río Nare son:
μ=94.35 m3/s y σ=22.45 m3/s
μY=4.52 y σY=0.2337
Hallar el QTR=100 si los Qmax tienen una distribución Log Normal.
K=2.326
QY Tr=100=4.52+2.326*0.237
QTr=100=159 m3/s
Intervalos de Confianza: Ln(QTR=100) μ95ST
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Es un intervalo de dos colas, con una probabilidad en cada una de 5%
δ=1.92ST=0.075
5.0711.6*0.0754.94 QY 5.14 139159 170 m3/s
N=S Y
T
2K+1=
2T
1/2
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Distribución Gamma (2 Parámetros)
Una de las mas usadas en Hidrología.
• Crecientes máximas anuales• Caudales mínimos• Volúmenes de flujo anuales y
estacionales• Valores de precipitaciones
extremas• Volúmenes de lluvia de corta
duración
Tiene 2 ó 3 parámetros (Pearson Tipo III).
ex
)(||1
=f(x)x-
1-
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Parámetros y Factor de frecuencia
(Parámetro de escala) > 0 (Parámetro de forma) () es la función Gamma completa
Estimación de parámetros: Método de los momentos
dzez=)( z-1-
0
=
22 =
ˆˆ
ˆ
C
1=ˆ
2v
6ˆ
31
6ˆK+
6ˆ1)(K
6ˆ)6KK(
31
+6ˆ1)(K+KK
54
T
32
T
2
TT32
tT
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Distribución Gamma (3 Parámetros)
• Función de distribución de probabilidadFunción de distribución de probabilidad
• Función de densidad acumuladaFunción de densidad acumulada
• ParámetrosParámetros y , parámetros de escala y forma respectivamente.xo parámetro de localización.
αx-x
-expαx-x
Γ(β)|α|
1=f(x) oo
1-β
dzez=)( z-1-
0
X xx
dxxx
exXP0
10
0
)(
1)(
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Parámetros e Intervalos de confianza (Función Gamma)
• Estimación de Parámetros: Estimación de Parámetros: Método de los momentos
Que tan cercano puede estar el estimado al verdadero valor desconocido de la población: Conocer con cierta certeza. Franja grande: mucha incertidumbre.
: Nivel de confianza o nivel de probabilidadST: Error estándar
2
ˆ
2=ˆ
SuX T21T
N=ST
2ˆ
ˆ=ˆ ˆˆˆ=X0
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Tabla Factor de frecuenciaPearson tipo III
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Valores de para la Distribución Gamma ó Pearson tipo III
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Ejemplo: Distribución Gamma
Hallar el QTR=100. Si la distribución de los caudales de la estación
de Nare es Gamma.
μ = 94.35 m3/s y σ = 22.45 m3/s, γ = 0.845
μY = 4.52 y σY = 0.2337, Y = 0.0069
De tabla: K = 2.32
QTR=100 = 94.35 + 2.32*22.45 = 146.4
Intervalos de confianza:
SuX T21T
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De tabla δ=4.7, N= 36 datos.
ST = 17.6
De tabla 95=1.6 146,4 1.6*17.6
146.4 28.16 m3/s
NST
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Distribución Log Pearson Tipo III
• Función de distribución de probabilidadFunción de distribución de probabilidad
• ParámetrosParámetros
y , parámetros de escala y forma
y yo parámetro de localización
• Estimación de ParámetrosEstimación de Parámetros
Método de los momentos
e y-(x)ln
)( x 1
=(x)o y-(x)ln
-o
1-
xf
2
yˆ
2ˆ
2ˆ
ˆ=ˆy
y
ˆˆˆy y0
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• Factor de Frecuencia:Factor de Frecuencia:
• Intervalos de Confianza: Intervalos de Confianza: Que tan cercano puede estar el estimado al verdadero valor desconocido de la población: Conocer con cierta certeza. Franja grande: mucha incertidumbre.
: Nivel de confianza o nivel de probabilidadST: Error estándar
ˆK+ˆ=Xln=Y yyTT
T2/1T SXln
SuX T2-1T
Nˆ=S
yT
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Distribución General de Valor Extremo
Los valores extremos son valores máximos y mínimos seleccionados de un conjuntos de datos.
Las distribuciones de valores extremos seleccionados de conjuntos de muestras de cualquier distribución de probabilidad convergen en una de las tres formas de distribución de valor extremo, llamadas:
• Tipo I: Gumbel, g=1.14• Tipo II: Frechet g<=1.14• Tipo III: Weibull g>=1.14
• Función de Distribución de probabilidad para la GEVFunción de Distribución de probabilidad para la GEV
/1
-1-exp=F(x)x
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Donde:, y son parámetros que deben ser determinados.
Los tres casos limitantes son:
1. = 0 Distribución de Valor Extremo Tipo I (Gumbel)
Rango:
Estimación de parámetros:
-x
-exp--x
-exp1
=f(x)
x-
5772.0x
ˆ6
=ˆ
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2. < 0 Distribución de Valor Extremo Tipo II (Frechet)
Rango:
3. > 0 Distribución de Valor Extremo Tipo III (Weibull)
Rango:
/1
-1-exp=f(x)x
x)/(
/1
-1-exp=f(x)x
)/(x
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Distribución Gumbel
• Intervalos de confianza: Intervalos de confianza: Que tan cercano puede estar el estimado al valor verdadero desconocido de la población.
: Nivel de confianza o nivel de probabilidadST: Error estándar
1-Tln-Tlnln+0.5776
-=K rr
SuX T2-1T
N=ST
^ K1.1+1.1396K+1= 2 1/2
xx
exp-expF(x)
La fda y el factor de frecuencias es:
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Ejemplo: Distribución Gumbel
Si los caudales de la estación del río Nare tienen una distribución Gumbel:
KTr=100 = 3.13
Intervalos de confianza:
TTr SQ 95
)1ln(lnln577.06
100 RR TTK
77.16445.2213.335.94100
100
Tr
Tr
Q
KQ
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N=ST
K1.1+1.1396K+1= 2 1/2
δ = 3.91
ST = 14.62
QTR 1.6*14.62
141.4 164.77 188.17 m3/s
Ejemplo: Distribución Gumbel