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Analisi Matematica IILimiti e continuità in RN

Claudio Saccon1

1Dipartimento di Matematica, Via F. Buonarroti 1/C,56127 PISAemail: claudio.sacconCHIOCCIOLAunipi.itsito web: http://pagine.dm.unipi.it/csblog1

orario di ricevimento: Venerdì mattina alle 9.30

Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II 1 / 24

Topologia di RN

Conveniamo di usare il bold per indicare i punti di RN : x = (x1, . . . , xN).

DiscoSe x0 ∈ RN e r > 0 chiamiamo disco di centro x0 e raggio r l’insieme

B(x0, r) :={x ∈ RN : ‖x− x0‖ < r

}Diremo anche che B(x0, r) è un intorno di x0 in RN .

Se A ⊂ RN e x ∈ RN diciamo che:x è interno ad A se esiste r > 0tale che B(x, r) ⊂ A;x è esterno ad A se esiste r > 0tale che B(x, r) ∩ A = ∅;x è di frontiera per A se non èné interno né esterno ad A

xrx

r

xr

Apunto esterno

punto di frontierapunto interno


Topologia di RN

È chiaro che le tre definizioni date sopra si escludono mutuamente e cheogni punto di RN ricade in una delle tre. Quindi, dato A ⊂ RN , lo spazioRN si spezza in tre insiemi disgiunti.

Sia A un sottoinsieme di RN . Definiamo:la parte interna di A: int(A) :=

{x ∈ RN : x è interno ad A

};

la frontiera di A: ∂A :={x ∈ RN : x è di frontiera per A

};

la parte esterna di A: ext(A) :={x ∈ RN : x è esterno ad A

}.

Se CA = RN \ A è il complementare di A:

∂A = ∂(CA), ext(A) = int(CA)

A si dice aperto se tutti i suoi punti sono interni, cioè A = int(A).


Topologia di RN

Diremo che x è aderente ad A se x è interno oppure di frontiera perA: x ∈ int(A) ∪ ∂A.Chiamiamo chiusura di A l’insieme dei punti aderenti ad A:A := int(A) ∪ ∂A.Diremo che A è chiuso se A = A (tutti punti aderenti ad A sono in A).

Se A è un insieme generico non è detto che sia né aperto nè chiuso; si ha:

A = A ∪ ∂A da cui int(A) ⊂ A ⊂ A.

Diremo che x è di accumulazione per A se per ogni r > 0 esiste un puntox1 6= x tale che x1 ∈ B(x, r).Chiameremo derivato di A l’insieme A′ dei punti di accumulazione per A.


Topologia di RN

Esempio Consideriamo in R2 il disco unitario A := B(0, 1) ={x ∈ R2 : ‖x‖ < 1

}. Allora

A è aperto;∂A = S :=

{x ∈ R2 : ‖x‖ = 1

}(la sfera unitaria);

S è chiuso;A =

{x ∈ R2 : ‖x‖ ≤ 1

}.

In generale ∂A è chiuso, per qualunque insieme A.


Limiti in RN

definizione di limiteSiano A ⊂ RN un insieme, f : A→ R una funzione e x0 in RN un punto diaccumulazione per A.Un numero reale l si dice limite di f per x che tende a x0, e si scrive

limx→x0

f (x) = l

se per ogni ε > 0 esiste ρ > 0 tale che

x 6= x0, x ∈ A, ‖x− x0‖ < ρ =⇒ |f (x)− l | < ε

Spesso, quando il punto x0 è chiaro dal contesto useremo la scrittura piùconcisa f (x)→ l . Con il linguaggio degli intorni l = lim

x→x0f (x) se:

per ogni intorno V di l in R esiste un intorno U di x0 in RN tale che:

x ∈ A ∩ U, x 6= x0 =⇒ f (x) ∈ V .


Limiti in RN

limiti infinitiSiano A ⊂ RN , f : A→ R e x0 in RN un punto di accumulazione per A.Dico che f (x) tende a più (meno) infinito per x che tende a x0 e scrivo

limx→x0

f (x) = +∞ (−∞)

se per ogni c ∈ R esiste ρ > 0 tale che

x 6= x0, x ∈ A, ‖x− x0‖ < ρ =⇒ f (x) > c (f (x) < c).

Se ricordiamo che gli intorni di +∞ (−∞) sono le semirette ]c ,+∞[(]−∞, c[) al variare di c in R, anche i casi infiniti rientrano nelladefinizione con gli intorni.


Limiti in RN

Non ha senso fare il limite per x→ ±∞ se N > 1. Si può però definire illimite “all’infinito” di f :

l = lim‖x‖→∞

f (x) (l ∈ R oppure l = ±∞)

se per ogni intorno V di l esiste R > 0 tale che:

‖x‖ > R, x ∈ A =⇒ f (x) ∈ V .

Per questa definizione è necessario che A sia illimitato (“∞ diaccumulazione per A”).

LimitatezzaDiremo che A è limitato se esiste una costante M tale che ‖x‖ ≤ M perogni x ∈ A. In caso contrario diciamo che A è illimitato.


Proprietà dei limiti in RN

valgono tutte le “vecchiè” proprietàQui sotto sottintendiamo che x → x0

Se il limite esiste, allora è unico: se f (x)→ l1 e f (x)→ l2, alloral1 = l2.Se f (x)→ l e f (x) ≥ 0 in un intorno di x0, allora l ≥ 0.Se f (x)→ l > 0, allora f (x) > 0 in un intorno di x0.Se f1(x)→ l , f2(x)→ l e f1(x) ≤ f (x) ≤ f2(x), allora f (x)→ l .Se f1(x)→ l1 ∈ R e f2(x)→ l2 ∈ R, allora:

f1(x) + f2(x)→ l1 + l1, f1(x)f2(x)→ l1l1

In particolare il limite è lineare: c1f1(x) + c2f2(x)→ c1l1 + c2l2, dovec1, c2 ∈ R; inoltre se l2 6= 0 f1(x)

f2(x)→ l1

l2 .



È ancora vero che infinitesima per limitata è infinitesima:

f1(x)→ 0, f2(x) limitata ⇒ f1(x)f2(x)→ 0.

Le proprietà rispetto alla somma e al prodotto si estendono ai casi infiniti(come in analisi 1) usando le solite convenzioni

+∞+∞ = +∞, −∞−∞ = −∞,l(+∞) = +∞, l(−∞) = −∞, se l ∈]0,+∞],

l(+∞) = −∞, l(−∞) = +∞, se l ∈ [−∞, 0[,

1+∞

= 0+,1−∞

= 0−,10+

= +∞, 10−

= −∞.

Qui la scrittura f (x)→ l+ (f (x)→ l−) indica che f (x)→ l e f (x) > l(f (x) < l)per x in un intorno di l .

Al solito, nei casi non coperti sopra, non è possibile determinare a priori illimite risultante; in questo caso si parla di forme indeterminate



La seguente è una facile conseguenza della definizione.

Si ha:lim

x→x0f (x) = l se e solo se lim

x→x0|f (x)− l | = 0

Un’altra proprietà semplice è la seguente:

Se indichiamo x = (x1, . . . , xN) e x0 = (x0,1, . . . , x0,N), allora:

limx→x0

xi = x0,i se i = 1, . . . ,N


Limiti sulle restrizioni

Siano B ⊂ A ⊂ RN e supponiamo che x0 sia di accumulazione per B (equindi per A). Se f : A→ R, allora:

limx→x0

f (x) = l ⇒ limx→x0

f |B(x) = l(

limx→x0,x∈B

f (x) = l)

(f |B indica la restrizione di f a B e l ∈ [−∞,+∞].)

restrizione alle curveSiano A ⊂ RN , f : A→ R e x0 ∈ A′. Se lim

x→x0f (x) = l (∈ [−∞,+∞]),

allora per ogni curva γ : [a, b]→ RN tale che γ(a) = x0, γ(t) ∈ A pert ∈]a, b], si ha lim

t→a+f (γ(t)) = l .

Per fare il limite di f (x), per x che tende a x0, bisogna esplorare tutti ipossibili modo di avvicinarsi a x0 dentro A.


Esercizi

Studiare i limiti:1 lim

(x ,y)→(0,0)

xyx2+y2 ;

2 lim(x ,y)→(0,0)

xy2

x2+y2 ;

3 lim(x ,y)→(0,0)

|x−y2|x2+y2 ;

4 lim(x ,y)→(0,0)

y sin(

xy

);

5 lim(x ,y)→(0,0)

x(x−y2)x2+y4 .


Limiti in RN di funzioni vettoriali

Possiamo anche trattare il caso generale di f : A→ RM , dove A ⊂ RN –anche qui usiamo il bold per indicare che f(x) = (f1(x), . . . , fM(x)).

definizione generale di limite

Se x0 ∈ A′ e l ∈ RM diciamo che l è il limite di f per x che tende a x0, escriviamo

limx→x0

f (x) = l

se per ogni ε > 0 esiste ρ > 0 tale che

x 6= x0, x ∈ A, ‖x− x0‖N < ρ =⇒ ‖f(x)− l‖M < ε

Anche qui scriveremo spesso f(x)→ l (per x→ x0). Potremmo usare ladefinizione con gli intorni che sarebbe identica a quella scritta prima.

Nel caso generale non hanno senso i limiti infiniti neanche in arrivo. Si puòtrovare la scrittura lim

x→x0f(x) =∞ per dire che lim

x→x0‖f(x)‖M = +∞


limite per componenti

Non è difficile ricondurre il limite di funzioni vettoriali a quello di funzioniscalari.

limite delle componenti

Se f : A→ RM , con A ⊂ RN , x0 ∈ A′ e l ∈ RM , allora sono equivalenti:lim

x→x0f(x) = l

per ogni j = 1, . . . ,M si ha limx→x0

fj(x) = lj ;

dove abbiamo indicato f(x) = (f1(x), . . . , fM(x)) e l = (l1, . . . , lM).

La vera novità sta nelle N variabili in partenza.


Proprietà dei limiti nel caso generale

Se il limite esiste, allora è unico.Se f1(x)→ l1 e f2(x)→ l2 e se c1, c2 ∈ R allora:

c1f1(x) + c2f2(x)→ c1l1 + c2l1 (x→ x0)

Se f1(x)→ l1 ∈ R e f2(x)→ l2 ∈ RM , allora f1(x)f2(x)→ l1l2.Se f1(x)→ l1 ∈ RM e f2(x)→ l2 ∈ RM , allora f1(x) · f2(x)→ l1 · l2 ef1(x)⊗ f2(x)→ l1 ⊗ l2.Supponiamo A ⊂ RN , B ⊂ RM , f : A→ Be g : B → RK . Se x0 ∈ A′,l ∈ B ′, l1 ∈ RK e se f(x)→ l (per x→ x0), g(y)→ l1 (per y→ l) ese f(x) 6= l per ogni x, allora g(f(x))→ l1 (per x→ x0).


Continuità

Definizione di funzione continuaSiano A ⊂ RN , f : A→ RM e x0 un punto di A.

Diciamo che f è continua in x0 se:lim

x→x0f(x) = f(x0), nel caso in cui x0 sia di accumulazione per A,

SEMPRE, se x0 non è di accumulazione per A.Al solito diciamo che f è continua in A se f è continua in tutti ipunti di A.

f è continua in x0 se e solo se tutte le componenti f1, . . . , fM sono continuein x0.


Proprietà delle funzioni continue

Siano A ⊂ RN , x0 ∈ A e f, f1, f2 : A→ RM continue in x0. .(linearità) Se c1, c2 ∈ R, allora c1f1 + c2f2 è continua in x0.(prodotto per una funzione scalare) Se g : A→ R è continua inx0, allora g f è continua in x0.(prodotti scalare e vettoriale) f1 · f2 e f1 ⊗ f2 sono continue in x0.(composizione) Se f(A) ⊂ B , f(x0) = y0, se g : B → RK è continuain y0, allora g ◦ f (x 7→ g(f(x))) è continua in x0

continuità dell’inversaIl problema della continuità della funzione inversa f−1 : f(A)→ A, qualoraessa esista, non è per nulla elementare (già in una variabile c’è qualcheproblema, ma in quel caso l’invertibilità è legata alla monotonia, cosa chenon si traduce in più variabili).


Controesempio

Consideriamo γ : [0, 2π[→ R2 definita da γ(t) = cos(t)~i + sin(t)~j. È chiaroche γ è continua e manda l’intervallo I = [0, 2π[ nella circonferenzaS =

{(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1

}. Inoltre γ è bigettiva tra I ed S (perché

2π /∈ I ) e quindi esiste γ−1 : S → I . Notiamo che γ−1 manda il punto P dicoordinate (0, 1) in t = 0.Però γ−1 non è continua in P , infatti preso un intorno V di 0 in R non c’ènessun intorno U di P in R2 che sia mandato tutto dentro V da γ−1.Intuitivamente γ−1 “rompe” la circonferenza nel punto P .


Proprietà delle funzioni continue

Theorem (Weierstrass)Supponiamo che f : A→ R (f è scalare !) sia continua in A e che A sia unsottoinsieme limitato e chiuso di RN . Allora f ammette massimo eminimo in A, cioè esistono due punti xmax e xmin in A tali che:

f (xmin) ≤ f (x) ≤ f (xmax) ∀x ∈ A.

Al solito xmax e xmin (non necessariamente unici) sono detti punto diminimo e punto di massimo. Il valore min

Af = min

x∈Af (x) := f (xmin) è

detto minimo di f su A mentre il valore maxA

f = maxx∈A

f (x) := f (xmax) è

detto massimo di f su A.

Theorem (invertibilità)

Sia f : A→ RM continua in A con A sia un sottoinsieme limitato e chiusodi RN . Se esiste f−1 : f(B)→ A, allora f−1 è continua.


Una versione di Weierstrass

Supponiamo che A sia un aperto di RN e che f : A→ R sia una funzionecontinua. Supponiamo anche:

per ogni x0 in ∂A si ha limx→x0

f (x) = +∞ (−∞);

inoltre lim‖x‖→∞

f (x) = +∞ (−∞) (questo ha senso se A è illimitato).

Allora f ha un punto di minimo (un punto di massimo) in A.


Connessione

Insiemi connessiUn insieme A ⊂ RN si dice connesso (per archi) se comunque dati duepunti P,Q in A esiste una curva γ in A che li congiunge:

∃γ : [a, b]→ A (continua), γ(a) = P, γ(b) = Q

Theorem (Teorema degli zeri)

Sia A ⊂ RN connesso e sia f : A→ R unafunzione continua. Supponiamo che P e Q sianodue punti di A tali che f (Q) < 0 e f (P) > 0.Allora ogni curva γ in A, che congiunge P a Qdeve incontrare uno zero di f :

se γ : [a, b]→ A, γ(a) = P, γ(b) = Q alllora ∃t ∈]a, b[ t.c. f (γ(t)) = 0.


Altri esercizi

Studiare il limite lim(x ,y)→(0,0)

f (x , y) per le seguenti funzioni di due variabili,

dopo aver trovato il dominio di f .1 f (x , y) := x2y

x4+3y2 ;

2 f (x , y) := x4+y4

2x3+3xy2 ;

3 f (x , y) := x3

x2+y2

4 f (x , y) := x2+y2

x+y ;

5 f (x , y) := x3y2

x2+y4 ;

6 f (x , y) := (x2+y2)α

x4+y4 (al variare di α > 0).7 f (x , y) := xy√

x2+y2−1


Altri esercizi - soluzioni

1 Dominio={x 6= 0, y 6= 0}, il limite non esiste. Provare le restrizionisulle rette y = mx e sulla parabola y = x2.

2 Dominio={x 6= 0}, il limite non esiste. Provare le restrizioni sullaretta y = 0 e sulla parabola x = y2.

3 Dominio={x 6= 0, y 6= 0}, il limite fa zero.4 Dominio={x 6= −y}, il limite non esiste. Provare le restrizioni sulle

rette y = mx e sulla curva y = x2 − x .5 Dominio={x 6= 0, y 6= 0}, il limite fa zero.Usare la disuguaglianza

|x3y2| ≤ x2

2(x2 + y4) (come mai vale?).

6 Dominio={x 6= 0, y 6= 0}. Il limite fa +∞ se α < 2 – per questo si usiche x2 + y2 ≥

√x4 + y4 (come mai vale?). Il limite non esiste se

α = 2 – provare le restrizioni sulle rette y = mx . Il limite fa zero seα > 2 – usare che x2 + y2 ≤

√2√

x4 + y4.7 Dominio={x2 + y2 > 1}. Il limite non ha senso visto che (0, 0) non è

di accumulazione.Claudio Saccon (Dipartimento di Matematica) Analisi Matematica II 24 / 24

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