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Analise
Matemática 1
Aula 12
Funções Contínuas
Ano académico 2017
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Bibliografia Básica
Autor Título Editorial Data
Stewart, James Cálculo, Volume 1
5ta. Edição,
Pioneira
Thompson
Learning
2006
Zuma Medeiros ,
Valéria
Pré-Cálculo
2ª edição revista actualizada
CENGAGE
Learning 2012
Demana,
Franklin... (et al.) Pré-Cálculo
Pearson
Education do
Brasil
2011
Larson, Ron Cálculo Aplicado
1 Edição,
Pioneira
Thomson
Learning
2011
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Tema 1. Cálculo Diferencial
A ideia da continuidade.
Definição de função contínua.
Propriedades da continuidade.
Propriedades fundamentais das Funções
Contínuas.
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A ideia de Continuidade
• Ao definir Lim f(x), x→a, analisamos o
comportamento da função f(x) para valores de x
próximos de a, porem diferentes de a.
• Vimos que Lim f(x) pode existir, mesmo que f(x)
não esteja definida no ponto a.
• Se f está definida em x=a e Lim f(x) existe, ainda
pode ocorrer que este limite seja diferente de
f(a).
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A idea de Continuidade
Uma ideia muito simple de como saber se
uma função real é contínua, é se pode
ser traçada a função numa folha sem
retirar a caneta do papel. Caso se
interrompa o gráfico da função e se
comece em outro local do papel, ocorre
uma "descontinuidade“.
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A ideia de Continuidade
A função f contínua (sem interrupção)
A função g descontínua
1. Não existe Lim g(x), se x→b, pois os limites laterais de g=g(x) são diferentes
2. Não existe Lim g(x) quando x→c
3. Em x=d, temos que f(d)=s e se x→d e os limites laterais são iguais a s
4. Em x=e, o valor que se obtém não é o esperado, pois g(e)=z e os limites laterais são iguais a k
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A idéia de Continuidade
A análise dos quatro casos nos leva a uma caracterização do que significa uma função não ser contínua num intervalo (a,b). A partir desses exemplos, parece que as descontinuidades surgem quando:
• o limite da função não existe, • existe mas não coincide com o
valor da função naquele ponto.
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A idéia de Continuidade
Para que uma função f seja contínua em um ponto x = a é necessário que: •a função esteja definida em a; •e que os valores de f(x), para x próximos de a, estejam próximos de f(a).
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Definição de função contínua
Definição: Uma função f é contínua no ponto a se:
Se uma o mais de uma dessas condicões não forem verificadas em a, a função f será descontínua no ponto a.
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Definição de função contínua. Exemplos
Verifique a continuidade das funções, nos pontos indicados:
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Definição de função contínua. Exemplos
Verifique a continuidade das funções, nos pontos indicados:
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Definição de função contínua. Exemplos
Verifique a continuidade das funções, nos pontos indicados:
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Definição de função contínua. Exemplos
Verifique a continuidade das funções, nos pontos indicados:
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Definição de função contínua. Exemplos
Verifique a continuidade das funções, nos pontos indicados:
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Definição de função contínua. Exemplos
Verifique a continuidade das funções, nos pontos indicados:
Observação: Se uma função não é contínua em um ponto a, dizemos que ela é descontínua neste ponto.
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Tipos de descontinuidades
Se f é uma função descontínua em um ponto x=c do seu domínio, dizemos que: i) f tem descontinuidade de salto finito (1a. espécie) em x=c, se os limites laterais de f em c existem (são finitos) e são distintos. ii) f tem descontinuidade infinita (2a. espécie) em x=c, se a função toma valores arbitrariamente grandes ou arbitrariamente pequenos próximos de c. iii) f tem descontinuidade evitável ou removível em x=c, se existe o limite da função no ponto x=c (a função pode ou não pode ser definida no ponto).
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Continuidade
Vimos que a definição de continuidade de uma
função no ponto x=c, exige o conceito de limite
lateral à esquerda e à direita, portanto só pode
ser aplicada a pontos c de um intervalo aberto.
Podemos mesmo estender esta definição a
intervalos fechados, semi-abertos ou infinitos.
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Uma função f é contínua em um intervalo aberto
se for contínua em todos os pontos desse intervalo.
f é contínua em um intervalo fechado se for
contínua no aberto, e além disso, e
Continuidade de uma função em um intervalo
Continuidade
ba,
ba,
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Continuidade
Como verificar se uma função é contínua em um intervalo, se ele contém infinitos elementos?
Existem duas maneiras:
1. Tomar um ponto genérico do intervalo, por exemplo,
x0 , e verificar, usando a definição, se f é contínua
neste ponto. Se for, será em todo o intervalo, uma
vez que x0 representa um ponto qualquer do
intervalo em questão.
2. Utilizar as propriedades válidas para continuidade.
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Propriedades da Continuidade
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Exemplos
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Exemplos
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Exemplos
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Propriedades fundamentais das Funções Contínuas
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Propriedades fundamentais das Funções Contínuas
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Propriedades fundamentais das Funções Contínuas
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Propriedades fundamentais das Funções Contínuas
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Propriedades fundamentais das Funções Contínuas
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Propriedades fundamentais das Funções Contínuas
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Propriedades fundamentais das Funções Contínuas
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Propriedades fundamentais das Funções Contínuas
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Propriedades fundamentais das Funções Contínuas