COPPE/UFRJ COPPE/UFRJ ANLISE DE ENRIJECEDORES FLEXO COM CONCENTRADOR DE TENSES Rodrigo Daflon Leite DissertaodeMestradoapresentadaao ProgramadePs-graduaoemEngenharia Ocenica,COPPE,daUniversidadeFederaldo RiodeJaneiro,comopartedosrequisitos necessriosobtenodottulodeMestreem Engenharia Ocenica.Orientadores: Murilo Augusto Vaz Marysilvia Ferreira da Costa Rio de Janeiro Maro de 2010 ANLISE DE ENRIJECEDORES FLEXO COM CONCENTRADOR DE TENSES Rodrigo Daflon Leite DISSERTAOSUBMETIDAAOCORPODOCENTEDOINSTITUTOALBERTO LUIZCOIMBRADEPS-GRADUAOEPESQUISADEENGENHARIA(COPPE) DAUNIVERSIDADEFEDERALDORIODEJANEIROCOMOPARTEDOS REQUISITOSNECESSRIOSPARAAOBTENODOGRAUDEMESTREEM CINCIAS EM ENGENHARIA OCENICA. Examinada por: ________________________________________________ Prof. Murilo Augusto Vaz, Ph.D. ________________________________________________ Prof. Marysilvia Ferreira da Costa, D.Sc. ________________________________________________ Prof. Julio Csar Ramalho Cyrino, D.Sc. ________________________________________________ Prof. Clio Albano da Costa Neto, Ph.D. ________________________________________________ Dr. Anderson Barata Custdio, D.Sc. RIO DE JANEIRO, RJ -BRASIL MARO DE 2010 iii Leite, Rodrigo Daflon Anlise de Enrijecedores Flexo com Concentrador deTenses/RodrigoDaflonLeite.RiodeJaneiro: UFRJ/COPPE, 2010. XIII, 108 p.: il.; 29,7 cm. Orientadores: Murilo Augusto Vaz Marysilvia Ferreira da Costa Dissertao(mestrado)UFRJ/COPPE/Programa de Engenharia Ocenica, 2010. Referencias Bibliogrficas: p. 99-102. 1.EnrijecedoresFlexo,BendStiffeners.2. Concentrador de tenses. I. Vaz, Murilo Augusto, et al. II. UniversidadeFederaldoRiodeJaneiro,COPPE, Programa de Engenharia Ocenica. III. Titulo. iv Aos meus pais, Orisvaldo Pereira Leite e Maria Helena Daflon Leite, av,Edith Daflon da Silva e minhanamorada, Amanda Revoredo Vicentino. v AGRADECIMENTOS Aos meus orientadores, Murilo Augusto Vaz e Marysilvia Ferreira da Costa pelo apoio, orientaoeconselhosduranteaexecuodadissertaoepelacredibilidadee confiana depositados em mim. Aosmeuspais,OrisvaldoPereiraLeiteeMariaHelenaDaflonLeite,peloincentivoe apoio sempre com muito amor e carinho. minhanamoradaAmandaVicentino,peloseuapoio,carinho,compreensoepela fora na fase final deste trabalho. Aosamigosdelaboratrio,MarceloCaireeNicolauRizzopelassugestese orientaes que contriburam para o desenvolvimento deste trabalho. Ao professor Clio da Costa Neto pela ajuda nos ensaios de trao. Ao colega Fabio Sousa pela ajuda na usinagem e preparao dos corpos de prova. Planave,PromoneEletrobras,empresasdasquaiseutrabalheinodecorrerdo curso, em especial ao Gerardo Penna, Wilson Boechat, Pascoal Bracco, Pauline Staib, Luis Claudio Frade e Thales Lopes, por possibilitarem que eu investisse minhas foras e dedicasse mais tempo s pesquisas. E a todos que direta ou indiretamente contriburam para a realizao deste trabalho. vi ResumodaDissertaoapresentadaCOPPE/UFRJcomopartedosrequisitos necessrios para a obteno do grau de Mestre em Cincias (M.Sc.) ANLISE DE ENRIJECEDORES FLEXO COM CONCENTRADOR DE TENSES Rodrigo Daflon Leite Maro/2010 Orientadores: Murilo Augusto Vaz Marysilvia Ferreira Costa Programa: Engenharia Ocenica Enrijecedores ou bend stiffeners permitem a transio suave de rigidez entre o riserflexveleopontodeconexocomaplataforma,pormsabidoqueaflexo excessiva pode causar danos ao enrijecedor. Estes danos podem ser agravados caso haja um concentrador de tenses, como uma trinca, no enrijecedor. Apropostadestetrabalhoanalisarenrijecedoresflexocomconcentrador de tenses e propor uma metodologia para definio da carga mxima admissvel ao enrijecedor.Nesteestudo,ensaiosdetraouniaxiaissorealizadoscomcorposde provaretiradosdeenrijecedoresreaiscomesemconcentradordetensescomo objetivodecaracterizaromaterialatravsdeummodelohiperelsticoedefinira tensoadmissveldomaterial.Osresultadosdosensaiosexperimentaisso comparados com um modelo em elementos finitos. Almdisso,ummodeloemelementosfinitosdeumenrijecedorfoiutilizado para verificar a tenso que o enrijecedor submetido com a aplicao de uma carga no riser com ngulos variados. Foi simulado tambm uma trinca como concentrador de tenses no enrijecedor. Comestesresultados, foipossvelestabeleceracargamximaadmissvelno riser para cada ngulo de aplicao. vii AbstractofDissertationpresentedtoCOPPE/UFRJasapartialfulfillmentofthe requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.) ANALYSIS OF BEND STIFFENERS WITH STRESS CONCENTRATION Rodrigo Daflon Leite March/2010 Advisors: Murilo Augusto Vaz Marysilvia Ferreira Costa Department: Ocean Engineering Bend stiffeners allow the soft transistion of stiffeness between the flexible riser andthepointofconnectionwiththeplatform,howeverweknowthattheextreme bending can cause damages to the bend stiffener. These damages can be aggravated if it has a stress concentration, as a crack, in the bend stiffener. Theproposeofthisworkisanalyzebendstiffenerswithstressconcentration and propose a methodology to define the maximum permissible load. In this study, uni-axial tensile strength tests have been carried out with specimens cut from actual bend stiffeners with and without stress concentrator in order to characterize the material by a hyperelasticmodelanddefinethepermissibletensileofthematerial.Theresultsof experimental tests were compared with a finite element model. Moreover,afiniteelementsmodelofabendstiffenerwasusedtoverifythe tensile that the bend stiffener is submitted with the application of a load in the riser with variedangles.Itwasalsosimulatedacrackasastressconcentrationonbend stiffener. Nevertheless, it was possible to establish the maximum permissible load on the riser for each angle of application. viii Sumrio 1.INTRODUO....................................................................................................... 1 2.REVISO BIBLIOGRFICA................................................................................... 3 3.POLMEROS ......................................................................................................... 8 3.1.POLIURETANOS........................................................................................ 10 3.1.1.Propriedades ....................................................................................... 11 3.2.ELASTICIDADE NO-LINEAR.................................................................... 13 3.2.1.Movimento........................................................................................... 13 3.2.2.Medidas de deformao ...................................................................... 16 3.2.3.Medidas de tenso .............................................................................. 23 3.2.4.Relaes constitutivas para material isotrpico elstico....................... 27 3.2.5.Modelos hiperelsticos ........................................................................ 34 3.3.OBTENO DA CURVA TENSO X DEFORMAO................................ 38 3.3.1.Preparao dos dados do ensaio de trao uniaxial ............................ 39 3.3.2.Ajuste dos modelos hiperelsticos....................................................... 41 3.3.3.Concentrao de tenses.................................................................... 42 3.3.4.Ensaio de Trao Uniaxial ................................................................... 46 3.3.5.Avaliao do erro dos modelos hiperelsticos ..................................... 50 4.ANLISE DE ENRIJECEDORES ........................................................................ 53 4.1.INTRODUO............................................................................................ 53 4.2.PROJETO DE ENRIJECEDORES .............................................................. 55 4.3.MODELAGEM............................................................................................. 56 4.3.1.Elemento ............................................................................................. 57 4.3.2.Caractersticas do Enrijecedor ............................................................. 60 4.3.3.Condies de contorno e carregamento .............................................. 68 4.4.ANLISE DO ENRIJECEDOR SEM CONCENTRADOR DE TENSES..... 70 4.5.ANLISE DO ENRIJECEDOR COM CONCENTRADOR DE TENSES .... 74 4.5.1.Trinca .................................................................................................. 76 4.5.2.Submodelamento................................................................................. 77 4.5.3.Posio 1............................................................................................. 82 4.5.4.Posio 2............................................................................................. 85 4.5.5.Posio 3............................................................................................. 88 4.5.6.Comparao dos resultados ................................................................ 91 5.CONCLUSES.................................................................................................... 97 6.REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS..................................................................... 99 APNDICE A............................................................................................................ 103 ix A. rea infinitesimal deformada em funo da rea infinitesimal indeformada.......... 103 APNDICE B............................................................................................................ 105 B. Teorema de Cayley-Hamilton............................................................................... 105 APNDICE C............................................................................................................ 106 C. Constantes para os ajustes das curvas dos modelos hiperelsticos .................... 106 APNDICE D............................................................................................................ 108 D. Valores do erro normalizado e do coeficiente de determinao (R2) .................... 108 x ndice de Figuras Figura 3.1. Cadeia linear, cadeia ramificada e cadeia cruzada (FELIPETTO, 2003)..... 9 Figura 3.2. (a) Polmero amorfo; (b) Polmero semicristalino (MANO, MENDES, 1999)................................................................................................................................... 10 Figura 3.3. Formao de um poliuretano (CANGEMI, 2009)....................................... 11 Figura 3.4. (a) Segmentos rgidos; (b) Segmentos flexveis (VILAR, 2002)................. 12 Figura 3.5. Cinemtica do processo de deformao (BONNET e WOOD, 1997) ........ 14 Figura 3.6. Movimento de um corpo (BONNET e WOOD, 1997) ................................ 15 Figura 3.7. Seo de um corpo em equilbrio esttico (LAI et al., 1993) ..................... 23 Figura 3.8. Traes sobre as configuraes inicial e deformada................................. 25 Figura 3.9. Extenso uniaxial (MARCZAK, 2006) ....................................................... 33 Figura 3.10. Exemplo de comparao entre tenso x deformao verdadeiros( ) x 41 Figura 3.11. Corpo de prova ....................................................................................... 44 Figura 3.12. Corpo de prova 1 com aumento de 100 vezes........................................ 45 Figura 3.13. Corpo de prova 1 com aumento de 500 vezes........................................ 45 Figura 3.14. Corpo de prova 3 com aumento de 100 vezes........................................ 45 Figura 3.15. Corpo de prova 3 com aumento de 500 vezes........................................ 45 Figura 3.16. Grfico tenso x deformao para o CP1 ............................................... 46 Figura 3.17. Grfico tenso x deformao para o CP2 ............................................... 46 Figura 3.18. Grfico tenso x deformao para o CP3 ............................................... 46 Figura 3.19. Grfico tenso x deformao para o CP4 ............................................... 46 Figura 3.20. Grfico tenso x deformao para o CP5 ............................................... 47 Figura 3.21. Grfico tenso x deformao para o CP6 ............................................... 47 Figura 3.22. Grfico tenso x deformao para os corpos de prova com entalhe....... 48 Figura 3.23. Ajuste da curva para o CP1 .................................................................... 48 Figura 3.24. Ajuste da curva para o CP1 .................................................................... 48 Figura 3.25 Ajuste da curva para o CP2 ..................................................................... 49 Figura 3.26 Ajuste da curva para o CP2 ..................................................................... 49 Figura 3.27. Ajuste da curva para o CP3 .................................................................... 49 Figura 3.28. Ajuste da curva para o CP3 .................................................................... 49 Figura 3.29. Ajuste da curva para o CP4 .................................................................... 49 Figura 3.30. Ajuste da curva para o CP4 .................................................................... 49 Figura 3.31. Ajuste da curva para o CP5 .................................................................... 50 Figura 3.32. Ajuste da curva para o CP5 .................................................................... 50 Figura 3.33. Ajuste da curva para o CP6 .................................................................... 50 Figura 3.34. Ajuste da curva para o CP6 .................................................................... 50 xi Figura 4.1. Linhas flexveis (SOUZA, 2008) ................................................................ 54 Figura 4.2. Enrijecedor conectado a linha flexvel (http://www.fesltd.co.uk) ................ 55 Figura 4.3. Famlias de elementos (HIBBITT et al., 2002)........................................... 57 Figura 4.4. Tipos de elementos de acordo com o nmero de ns (HIBBITT et al., 2002)................................................................................................................................... 58 Figura 4.5. Exemplo de conector usado no enrijecedor (BIRCH , 1989) ..................... 60 Figura 4.6. Comparao fora x deslocamento entre as anlises dos modelos computacionais dos corpos de prova sem entalhe...................................................... 62 Figura 4.7. Comparao tenso x deformao entre as anlises dos modelos computacionais dos corpos de prova sem entalhe...................................................... 63 Figura 4.8. Comparao fora x deslocamento entre o modelo .................................. 63 Figura 4.9. Comparao tenso nominal x deformao nominal entre........................ 64 Figura 4.10. Comparao tenso nominal x deformao nominal entre o modelo computacional e experimental at uma deformao de 30%...................................... 64 Figura 4.11. Entalhe com geometria quadrada ........................................................... 65 Figura 4.12. Entalhe com geometria semi circular ...................................................... 65 Figura 4.13. Entalhe com geometria com chanfro....................................................... 65 Figura 4.14. Grfico Tenso x Deformao comparando os ensaios do CP com entalhe de 1 mm com as simulaes computacionais com entalhe de geometria quadrada ... 66 Figura 4.15. Grfico Tenso x Deformao comparando os ensaios do CP com entalhe de 1 mm com as simulaes computacionais com entalhe de geometria semi circular................................................................................................................................... 66 Figura 4.16. Grfico Tenso x Deformao comparando os ensaios do CP com entalhe de 1 mm com as simulaes computacionais com entalhe de geometria com chanfro66 Figura 4.17. Grfico Tenso x Deformao comparando os ensaios do CP com entalhe de 1 mm com o entalhe com chanfro e semi circular de abertura igual a 0,175 mm... 67 Figura 4.18. Condio de contorno 1 Superfcie do Bend stiffeners engastada ....... 69 Figura 4.19. Condio de contorno 2 Simetria no eixo z .......................................... 69 Figura 4.20. Tenso no enrijecedor sem entalhe submetido flexo.......................... 71 Figura 4.21 Grfico tenso x deformao no ponto de maior tenso do enrijecedor sem entalhe com malha utilizando elemento hexadrico.................................................... 72 Figura 4.22 Grfico tenso x deformao no ponto de maior tenso do enrijecedor sem entalhe com malha utilizando elemento tetradrico .................................................... 73 Figura 4.23 Comparao dos grfico tenso x deformao no ponto de maior tenso do enrijecedor sem entalhe......................................................................................... 74 Figura 4.24. Posies das trincas analisadas no enrijecedor ...................................... 75 Figura 4.25. Sentido das trincas analisadas no enrijecedor ........................................ 75 xii Figura 4.26. Trinca como concentrador de tenses (SILVA, 2006) ............................. 77 Figura 4.27. Densidade da malha de um submodelo .................................................. 78 Figura 4.28. Malha da viga.......................................................................................... 79 Figura 4.29. Configurao deformada da viga ............................................................ 79 Figura 4.30. Malha do primeiro submodelo da viga..................................................... 80 Figura 4.31. Configurao deformada do primeiro submodelo da viga ....................... 80 Figura 4.32. Malha do segundo submodelo da viga.................................................... 81 Figura 4.33. Configurao deformada do segundo submodelo da viga....................... 81 Figura 4.34. Malha do terceito submodelo da viga...................................................... 81 Figura 4.35. Configurao deformada do terceiro submodelo da viga ........................ 81 Figura 4.36. Grfico tenso de Mises em cada incremento da anlise dos 3 modelos82 Figura 4.37. Malha usada para simulao da menor trinca transversal na posio 1.. 84 Figura 4.38. Configurao deformada da anlise da menor trinca transversal na posio 1 com carga aplicada a 45 ........................................................................... 84 Figura 4.39. Malha do submodelo da menor trinca transversal na posio 1.............. 84 Figura 4.40. Configurao deformada do submodelo da menor trinca transversal na posio 1 .................................................................................................................... 84 Figura 4.41. Grfico Carga mxima admissvel x ngulo de aplicao da fora para a anlise do modelo na Posio 1 ................................................................................. 85 Figura 4.42. Malha usada para simulao da menor trinca transversal na posio 2.. 87 Figura 4.43. Configurao deformada da anlise da menor trinca transversal na posio 1 com carga aplicada a 45 ........................................................................... 87 Figura 4.44. Malha do submodelo da menor trinca transversal na posio 2.............. 87 Figura 4.45. Configurao deformada do submodelo da menor trinca transversal na posio 2 .................................................................................................................... 87 Figura 4.46. Grfico Carga mxima admissvel x ngulo de aplicao da fora para a anlise do modelo na Posio 2 ................................................................................. 88 Figura 4.47. Malha usada para simulao 2 ............................................................... 90 Figura 4.48. Configurao deformada da anlise da menor trinca transversal na posio 3 com carga aplicada a 45 ........................................................................... 90 Figura 4.49. Malha do submodelo da menor trinca transversal na posio 3.............. 90 Figura 4.50. Configurao deformada do submodelo da menor trinca transversal na posio 3 .................................................................................................................... 90 Figura 4.51. Grfico Carga mxima admissvel x ngulo de aplicao da fora para a anlise do modelo na Posio 3 ................................................................................. 91 Figura 4.52. Grfico Carga mxima admissvel x ngulo de aplicao da fora para a anlise da trinca no sentido transversal e tamanho menor.......................................... 92 xiii Figura 4.53. Grfico Carga mxima admissvel x ngulo de aplicao da fora para a anlise da trinca no sentido transversal e tamanho maior........................................... 92 Figura 4.54. Grfico Carga mxima admissvel x ngulo de aplicao da fora para a anlise da trinca no sentido longitudinal e tamanho menor ......................................... 93 Figura 4.55. Grfico Carga mxima admissvel x ngulo de aplicao da fora para a anlise da trinca no sentido longitudinal e tamanho maior .......................................... 93 Figura 4.56. Grfico Carga mxima admissvel x ngulo de aplicao da fora para a anlise da trinca no sentido transversal e tamanho menor comparando os critrios de tenso admissvel e deformao admissvel ............................................................... 94 Figura 4.57. Grfico Carga mxima admissvel x ngulo de aplicao da fora para a anlise da trinca no sentido transversal e tamanho maior comparando os critrios de tenso admissvel e deformao admissvel ............................................................... 95 Figura 4.58. Grfico Carga mxima admissvel x ngulo de aplicao da fora para a anlise da trinca no sentido longitudinal e tamanho menor comparando os critrios de tenso admissvel e deformao admissvel ............................................................... 95 Figura 4.59. Grfico Carga mxima admissvel x ngulo de aplicao da fora para a anlise da trinca no sentido longitudinal e tamanho maior comparando os critrios de tenso admissvel e deformao admissvel ............................................................... 96 1 1.INTRODUO Hoje em dia, um dos setores com maior quantidade de sistemas produtivos que maisempregaaltatecnologiaaindstriadepetrleo.OBrasilvemocupandouma posiodedestaquemundialemextraodepetrleo,especialmenteemguas profundas. Grande parte dos investimentos atuais so gastos em desenvolvimento de tecnologiasnestarea,principalmenteempesquisasrelacionadasarisersde produo. Oobjetivodosrisersdeproduotransportarofluido,desdeacabeado poo at a unidade estacionria de produo, sendo que pela sua constituio podem ser classificados em rgidos ou flexveis. Considerando extrao em guas profundas, aslinhasflexveistmexercidoumimportantepapelemrazodemuitasvantagens oferecidas. Tais vantagens so a sua alta flexibilidade, facilidade de lanamento com a possibilidadedearmazenargrandescomprimentosemcarretis,pr-fabricaoe baixo custo de instalao e transporte quando comparados aos dutos rgidos. Osdutosflexveissoemgeralconstitudosdecamadasdeaointercaladas compolmerosformandoumaestruturacomgranderigidezaxialetorsional,porm baixarigidezflexo.Ascamadasdeaoproporcionamflexibilidadeaoriser, enquantoascamadaspolimricasproporcionamestanqueidade,protegemcontra corrosoeimpedemaabrasodascamadasmetlicas.Linhasflexveisso, certamente,umdoscomponentesmaiscrticosdesistemasdeproduoemguas profundas. Quandoumcomponentesubmarinoestconectadoaalgumaoutraestrutura comoumaplataformaflutuante,muitasvezesdesejvellimitaraflexodo componentenaregiodeconexocomaestrutura,umavezqueaflexoexcessiva podecausardanosaocomponente.Estasituaocomumenteencontradana indstria de extrao de petrleo. Na juno entre o riser e a plataforma, o riser est sujeito flexo e tambm est exposto a grande carga axial. Se no forem utilizados meios de proteo adequados h riscos de danos ao riser devido flexo excessiva e fadiga.umatcnicacomumusarenrijecedoresparamelhoraracapacidadede flexo de risers. O enrijecedor flexo ou bend stiffener uma estrutura cnica com medida aproximada de 1 m de dimetro para pequenos enrijecedores e de 1 a 5 m de comprimentototal.Seumaterialopoliuretano,poisapresentapropriedades indispensveis a esta aplicao como flexibilidade, resistncia mecnica e imunidade gua do mar. 2 Tem-se conhecimento de diversos trabalhos publicados ao longo dos anos que fazemanlisedeenrijecedoresdepoliuretanosujeitosaflexo.Estestrabalhos,em suamaioria,nolevamemconsideraoalgumasnolinearidadesinerentesao processo,comoporexemploomaterialhiperelstico.Nofoiencontradoregistrode critrios de falha para materiais hiperelsticos.Apropostadestetrabalhoanalisarenrijecedoresflexocomconcentrador de tenses e propor uma metodologia para definio da carga mxima admissvel ao enrijecedorapartirdatensomximaadmissvel.Paraistorealizou-seensaiode traouniaxialemdiversoscorposdeprovadepoliuretano,sendoalgunscorposde prova com um entalhe, e em seguida, com os dados coletados, realizou-se a anlise em elementos finitos do enrijecedor com uma trinca. Soapresentadosnocaptulo2,osprincipaistrabalhoscientficosparauma perfeita compreenso da resposta dos enrijecedores. No captulo 3 apresentada uma introduo aos polmeros e aos poliuretanos proporcionandoumamelhorcompreensodestematerial.Emseguida,mostradaa teoriaparamateriaishiperelsticosealgunsmodelospropostosparaoclculoda funodeenergiadedeformaodestesmateriais.Arespostahiperelsticadeste material, assim como sua tenso mxima admissvel foram determinados com ensaios detraoemamostrasextradasdeenrijecedoresreais.Realizaram-seensaiosde trao em diversos corpos de prova, sendo alguns deles com entalhes simulando um concentrador de tenses. Ocaptulo4apresentaasanlisesdoenrijecedor.Primeiramenteso mostradosalgunsdadosparaprojetoemodelagemdoenrijecedor.Osdados coletados nos ensaios experimentais so validados fazendo uma comparao com os dadosdasimulaodosensaiosdetraosementalheecomentalhenosoftware Abaqus.feitotambmumestudosobreaspossveisformasgeomtricasdos entalhes nos corpos de prova. Logo aps, as anlises so descritas. A primeira delas com o enrijecedor sem entalhe e as outras anlises so com uma trinca posicionada emdiferentespontosdocorpodoenrijecedorvariandoseutamanhoeseusentido. Paraumamelhoranlisedastrincas,utilizou-seorecursodosubmodelamento,este recursoexemplificadocomumavigabiengastada,ondefez-setrssubmodelos. Este captulo traz tambm uma comparao de diferentes malhas possveis de serem utilizadas na modelagem computacional em elementos finitos. Por fim, so apresentadas, no captulo 5, as concluses e algumas sugestes para desenvolvimento de trabalhos futuros. 3 2.REVISO BIBLIOGRFICA Os principais trabalhos que apresentam a anlise, projeto e caractersticas dos enrijecedores so descritos a seguir. BOEFeOUT(1990)desenvolvemummodeloparaoprojetoeanlisede enrijecedoresbaseadonateoriadevigasesbeltassujeitasaflexopura,grandes deslocamentosepequenasdeformaes. Oresultadodomodelo foicomparado com umaanliseemelementosfinitosqueconsideratambmano-linearidadedo material. O modelo em elementos finitos consiste de um grupo de elementos de viga no eixo do modelo, representando o tubo flexvel. Chegam concluso que o modelo de viga esbelta uma ferramenta eficiente para o projeto preliminar de enrijecedores, emboracontinuesendonecessriaaanliseemelementosfinitosparaverificao final do projeto. LANE et al. (1995) revisam o estado da arte em materiais e fabricao de Bend stiffener.DescrevemumsoftwarepersonalizadoparaoprojetointerativodeBend stiffenersbaseadonomodelodevigaesbeltapropostoporBOEFeOUT(1990). ComparamseusresultadoscomoutrosobtidospelosoftwarecomercialABAQUS. NestesmodelosconstrudosnoABAQUS,adotamopoliuretanocomomaterial hipoelastico.Astensesfornecidaspelosoftwarepropostoparecemsuavesebem comportadasquandocomparadasaosmodelosqueconsideramoutrasno-linearidades.Agrandevantagemdosoftwareasuarapidezdecomputaoe preciso no clculo de deslocamento. MENICONIeLOPES(2003)apresentamaanlisedefadigarealizadaem enrijecedoresdaFPSO-P34,quetemomesmoprojetoqueosenrijecedoresque falharamporfadigaemoperaonocampodeMarlimem1998e1999namonobia IMODCO-III.Realizamdoistiposdeensaios:monotnicoecclicos.Anatureza viscoelasticadomaterialfoiconfirmadaapsacomparaodocomportamentodo materialnosdoistestes.Nostestesrealizados,consideramocomportamento assimtricoentretraoecompresso.Verificamtambm,atravsdeensaios experimentais, a reduo do mdulo de elasticidade com o aumento da deformao e comparam os resultados para diferentes ciclos de carregamento. Atravs de testes de compresso, determinam a taxa de variao do coeficiente de Poisson.Osautoresfazemumaanliseemelementosfinitos,ondeconsideramo comportamentodomaterialcomolineareelstico,jqueaordemdedeformao muito pequena durante a operao. O objetivo foi encontrar a relao entre uma dada deformao no enrijecedor e a deformao no ponto de interesse onde iniciou a trinca 4 de fadiga. Adotam uma anlise baseada em deformao e levantam a curva de fadiga e-N, identificando que a rugosidade das perfuraes executadas nos corpos de prova alteravam significativamente os resultados do teste. VAZ e LEMOS (2004) apresentam uma formulao matemtica e uma soluo numricaparaaanliseno-lineargeomtricaematerialdoBendstiffener.Usam equaes diferenciais resultantes da compatibilidade geomtrica, equilbrio de foras e momentosedasrelaesconstitutivasdomaterial,quepodemserlinearelstica simtricaouno-linearelsticaassimtrica.Comparamosresultadosdasduas relaes constitutivas e concluem que uma anlise precisa de Bend stiffeners depende da correta caracterizao das propriedades do material. KIEPPER (2004) revisa a tecnologia de enrijecedores e apresenta uma anlise do conjunto tubo flexvel e enrijecedor pelo mtodo dos elementos finitos utilizando o softwareABAQUS.Comparaosresultadosobtidoscomosdeumprograma numrico produzido pela COPPE/Petrobras. CAIRE(2005)apresentaosresultadosdeensaiosrealizadospara levantamentodascaractersticasdopoliuretanodeenrijecedoresaflexo.Realiza ensaios de trao, compresso e fluncia (sob trao e compresso). Com as curvas ecoeficientesdosensaiosdefluncia,oautornotaqueocomportamentodo poliuretano viscoelstico no-linear e sugere uma teoria muito mais complexa que o modeloviscoelsticolinearporeleadotado.Ressaltatambmqueoefeitoda temperatura sobre a resposta mecnica do poliuretano no fora levado em conta. Desenvolvemodelosdevigaquerepresentamosistemalinha flexvel/enrijecedorcomcomportamentodopoliuretanoseapresentandolinear elstico, no linear elstico assimtrico e viscoelstico linear. Compara o modelo linear elstico com solues em elementos finitos em duas e trs dimenses. Mostra que o efeitodoesforocortantesetornamaisevidentequantomaiorocarregamento analisado, considerando um mesmo ngulo de aplicao da fora. Concluiu que, para anlisesmaissimples,pode-seutilizaromodeloconsiderandoapenasano linearidade do material com tenses simtricas, pois o efeito da no linearidade mais expressivoqueodaassimetria.Mostraqueocomportamentodependentedotempo afeta de forma significativa a resposta do sistema linha flexvel/enrijecedor. Desenvolvetambmummodeloparagrandesreasdecontatopermitindo estimar as presses de contato ao longo do comprimento do enrijecedor. Observa que apressodecontatosempreseapresentacommaioresvaloresquandoseutilizaa maior folga(gap).Concluiqueparaseevitarpossveisproblemasdevidoaocontato, deve-se procurar utilizar sempre o menor gap entre a linha flexvel e o enrijecedor. 5 LEMOS(2005)apresentaumametodologiadeanlisedefadigaemrisers flexveis conectados FPSOs com turret e aponta o ponto de conexo com a unidade flutuantecomoopontomaisimportanteparaavaliaodefadigaderisersflexveis. Apresentaoefeitodadistribuiodecurvaturasprovenientedarepresentaodo enrijecedorconsiderandomateriallinearelstico,no-linearelstico,assimtrico,e material viscoelstico. Lemosdescrevemecanismosdefadiga,curvasS-N,critriosparaanlisede fadigacomcarregamentosmultiaxiais,danoacumulado,fadigaemcondies elastoplsticasefadigaemrisersflexveis.Apresentaumaampladiscussosobrea utilizaodeumprojetobaseadoemrespostaaplicadofadigaefazumestudode caso da FPSO P33 da Petrobras. Oautorfazumaanlisedainterfaceriser-bendstiffener,descreveos polmeros,propriedadeselsticaseocomportamentoviscoelastico.Resolveo problemadecontornoapresentadoporBOEFeOUT(1990)comumasoluo numrica utilizando o mtodo Rosembrock (denominado ODE23S) no pacote Matlab e o mtodo de shoooting com ajuda do usurio no Mathcad. Verifica que o ponto de maiorcurvaturavariadeacordocomocarregamentoaplicado,sendoqueno necessariamenteopontodemaiordeformaonomaterialcoincidecomapior curvatura, mas o pior momento est sempre no engaste. Lemosapresentatambm,avariaodadeformaomximaaolongodo comprimentodoBendstiffenervariandoarigidezdopoliuretanoeconcluiquea variao de deformao no linear com a variao de rigidez do material. Avaliaocomportamentoelsticono-linearassimtrico,fazendousodeuma aproximaoporsriedepotnciaspolinomialcomcoeficientesinterpolados previamenteeresolvenovamenteoproblemadevalordecontornonumericamente, comparando-os com os resultados dos softwares STIFFENER e ANFLEX. Lemosreformulaoproblemaparaocasoviscoelsticolinear,reescreveas equaesdomodeloincluindosuadependnciacomotempoeapresentaos resultados da aplicao de sua formulao. MBAYE (2006) desenvolve um pr-processador para o sistema ANSYS para geraoeediodemalhasdeelementosfinitosdelinhasflexveisutilizadasem plataformas. Descreve a modelagem de uma linha flexvel que utiliza elementos finitos para a simulao das camadas da linha flexvel e a interao entre elas. Utiliza elementos decascaparamodelaracarcaaintertravada,aarmaduradepresso,ascamadas polimricas e a tampa de fechamento; elementos de prtico espacial para modelar os 6 aramesdasarmadurasdetraoeelementosdecontatoparaviabilizarainterao entre as camadas que compe a linha flexvel. ElaboraumprogramaemFortranusandoo mtodoRunge-Kuttade4 ordem para calcular a variao da curvatura ao longo de um segmento de linha flexvel-bend stiffener. Compara os resultados entre o modelo numrico e o sistema ANFLEX, de propriedadedaPetrobrasenotaque,paratodososcasosdecargaanalisados,os valoresdecurvaturaobtidospeloprogramaANFLEXsomaioresqueosobtidos pelo programa numrico (Runge-Kutta). Mbaye apresenta tambm a anlise de flexo de uma linha flexvel pelo mtodo de elementos finitos atravs de vrios tipos de malhas. Conclui que modelos de linhas flexveisemelementosfinitossobastantesensveisvariaodocomprimentoda malha a ser utilizado. CAIREeVAZ(2007)avaliamainflunciadeumarespostabi-lineardotubo flexvelnarelaomomento-curvaturadoconjuntoenrijecedor-tuboflexvelsob carregamentos extremos. Descrevem uma formulao analtica do problema e, devido avariaoconsiderveldacurvaturacriticacomascondiesdecarregamento impostas pelo riser (tenso interna e presso externa), usam avaliaes paramtricas da distribuio da curvatura do conjunto em funo da curvatura crtica, com 2,5; 5; 10 e 20% da curvatura limite. Considerando a rigidez do riser, utilizam os valores de EIns iguaisa100,1.000e10.000kNm2.eEIfsiguala10kNm2,ondensindicasem escorregamentoentreascamadasefsindicacomescorregamentoentreas camadas.Osresultadossocomparadoscommodelosdiscretizadosnosoftware ABAQUS para casos de carregamento extremo. Avaliamtambmainflunciadafolga(gap)entreoenrijecedoreotubona fadigadoconjunto.Apresentamosresultadosdeummodelocomelementosfinitos para duas opes de folga entre o riser e o enrijecedor: 5 e 20 mm.CaireeVazconcluemquetantoocomportamentobi-linearflexodotubo quantoafolgaentreotuboeoenrijecedornoinfluenciamexpressivamentea distribuio da curvatura em carregamentos extremos, porm estes parmetros podem ser significativos caso seja considerado o carregamento por fadiga. Concluem tambm queapresenadafolgaentreoscomponenteseabi-linearidadedarigidezdotubo levam a resultados menos conservadores e sugerem a sua incorporao na avaliao da fadiga do conjunto. SOUZA (2008) apresenta uma anlise estrutural esttica de Bend stiffeners por meiodeummodelolinearelstico,analiticamenteformulado,quegovernadopor umaequaodiferencialno-lineardesegundaordemcomcoeficientesvariveis, resultando em um problema de valor de contorno. Desenvolveu um cdigo escrito em 7 Matlabparasoluonumricadoproblemadevalordecontorno,comestecdigo realizou uma avaliao estrutural paramtrica (geomtrica) de um enrijecedor flexo degeometriacomplexaemumainstalaotpica,sujeitaacarregamentosextremos. Com o resultado desta avaliao conclui que, dentre sete parmetros geomtricos de umenrijecedorcnicocomplexo,ocomprimentototaleodimetromximotm influenciamaissignificativanadistribuiodacurvaturadoconjuntolinhaflexvel-enrijecedor. 8 3.POLMEROS Historicamente,odesenvolvimentoeoavanodassociedadestmestado ligadosshabilidadesdosseusmembrosemproduziremanipularmateriaispara satisfazerassuasnecessidades.Ascivilizaesmaisantigas,porexemplo,foram designadaspelonveldeseudesenvolvimentoemrelaoaosmateriais(Idadeda Pedra, Idade do Bronze). ApalavraPolmerosoriginriadogregoquesignifica:poli(muitos)emeros (partes).Sodefinidoscomooconjuntodepequenasmolculasdenominadas monmerosqueseligampormeiodeumareaodenominadapolimerizaopara formar macromolculas. Ospolmerospodemsernaturaisousintticos.Dentreosvriospolmeros naturais possvel citar a celulose (plantas), casena (protena do leite), ltex natural e seda.Dentreospolmerossintticos,querevolucionaramosculoXXeficaram popularmenteconhecidoscomoplsticostem-seopolicloretodevinila(PVC),a poliamida (Nylon) e o acrlico, entre muitos outros. Comrelaoaotipodereaodepolimerizao,ospolmerosso classificadosbasicamenteemdoisgrupos:deadioedecondensao,conforme ocorra uma simples adio, sem subprodutos, ou uma reao em que so abstradas dos monmeros pequenas molculas, como HCl eH2O. Como exemplo de polmeros deadiotem-seopolicloretodevinila(PVC),ecomoexemplodepolmerosde condensao tem-se a poliamida. SegundoCANGEMI(2009),ospolmerospodemserclassificadosquanto fusibilidadeemtermoplsticos,quepodemserfundidosporaquecimentoe solidificadosporresfriamentoetermorrgidosquesoinfusveiseinsolveis.Os termoplsticos,deacordocomsuadurabilidadeedesempenhopodemser convencionaisoudeengenharia.Ostermoplsticosdeengenhariaapresentam melhores propriedades trmicas e mecnicas que os convencionais. So exemplos de termoplsticosdeengenharia,opolicarbonatoPC(utilizadosnafabricaodeCD, janelasdeaeronaves,ginsiosdeesporteselentesdeculos)easpoliamidas Nylons (usados em engrenagens plsticas, tecidos impermeveis etc). Como exemplo determoplsticosconvencionaistem-seopolietilenoeopolipropileno.Os termoplsticosconvencionaissoencontradosprincipalmentenasembalagens plsticas como garrafas, copos descartveis, potes, sacos plsticos etc. De acordo com o seu comportamento mecnico, os polmeros so divididos em trsgrandesgrupos:borrachasouelastmeros,plsticosefibras.Asborrachasou 9 elastmeros so materiais macromoleculares que exibem elasticidade em longa faixa temperaturaambiente.Deformam-senomnimo2vezesoseucomprimento retornando ao inicial quando o esforo retirado. Os plsticos se fundem quando so aquecidosesolidificamporresfriamento.Asfibraspossuemcorpoflexvel,cilndrico, compequenaseotransversalecomelevadarazoentrecomprimentoedimetro (LOPES,2007).Agrandediferenaentreestestrsgruposestnomdulode elasticidade: borrachas ou elastmeros (70 700 KPa), plsticos (7 70 MPa) e fibras (700 7000 MPa), de acordo com MANO (2000). Ospolmerospodemserclassificadosaindacomolinearesquandotemsuas cadeiassemramificaesoupodemapresentarramificaes,cujograue complexidade pode ir at o extremo da formao de retculos, resultando ento no que sedenominapolmeroreticulado,oupolmerocomligaescruzadas.Estascadeias podem ser vistas no esquema da Figura 3.1. Figura 3.1. Cadeia linear, cadeia ramificada e cadeia cruzada (FELIPETTO, 2003) Comoconseqncia,cadatipodecadeia,gerapropriedadesdiferentesno produto,especialmenteemrelaofusibilidadeesolubilidade.Osramoslaterais dificultamaaproximaodascadeiaspolimricas,oquediminuiasinteraes intercadeias, prejudicando assim as propriedades mecnicas. A formao de retculos, devido s ligaes covalentes entre molculas, impede o seu deslizamento e amarra as cadeias umas s outras, aumentando a resistncia mecnica at formar o polmero infusvel e insolvel. Outrofatorqueafetaaspropriedadesdospolmerosasuaestrutura macromolecular. Os polmeros podem existir em estado amorfo ou semicristalino. Em umpolmeroamorfo,asmolculasestoorientadasaleatoriamenteeesto entrelaadas.Ospolmerosamorfosso,geralmente,transparentes.Nospolmeros semicristalinos,asmolculasexibemumempacotamentoregular,ordenado,em determinadasregies,sendomaiscomumempolmeroslineares,devidosua estruturaregular.Devidosfortesinteraesintermoleculares,ospolmeros 10 semicristalinosso maisduroseresistentes;comoasregiescristalinasespalham a luz, estes polmeros so mais translcidos. O surgimento de regies cristalinas pode, ainda,serinduzidoporumestiramentodascadeias,nosentidodealinharas molculas.Umpolmeronuncasercompostointegralmentederegiescristalinas. Uma representao esquemtica da estrutura pode ser vista na Figura 3.2. Figura 3.2. (a) Polmero amorfo; (b) Polmero semicristalino (MANO, MENDES, 1999) 3.1.POLIURETANOS O crescimento da cincia e da tecnologia do plstico leva ao desenvolvimento denovosmateriaiscomdiferentestiposdepropriedadesdesejveis.Em1848 Wurtz descobriuqueosgruposisocianatosreagiamquantitativamentecomosgrupos hidroxilas primrios originando grupos uretanos. Os poliuretanos (PUs) fazem parte de umgrupoextensodepolmeroscomdiferentescomposieseperfisdepropriedade queforamdescobertosporOttoBayer,em1937.Elessonormalmenteproduzidos pelareaodeumisocianato(dioupolifuncional)eumpoliolououtrosreagentes, contendodoisoumaisgruposreativos(MARIANO,2009).Oscompostoscontendo hidroxilas podem variar quanto ao peso molecular, natureza qumica e funcionalidade. Osisocianatospodemseraromticos,alifticos,ciclo-alifticosoupolicclicos.Esta flexibilidadedeescolhadereagentespermiteobterumainfinitavariedadede compostoscomdiferentespropriedadesfsicasequmicas,conferindoaos poliuretanosumaposioimportantenomercadomundialdepolmerossintticosde 11 alto desempenho. A Figura 3.3 mostra o esquema de uma reao tpica de obteno de um poliuretano. Figura 3.3. Formao de um poliuretano (CANGEMI, 2009) 3.1.1.Propriedades As caractersticas fsicas de um polmero dependem no apenas da sua forma edoseupesomolecular,mastambmdasdiferenasnaestruturadascadeias moleculares.Astcnicasmodernasdesntesedepolmerospermitemumcontrole considervel sobre vrias possibilidades estruturais.Poliuretanossomateriaisversteis,edependendodosmonmerosedo catalisador,umagrandevariedadedemateriaispodeserobtida(cercade77mil tipos),comtexturamaciaoucelular,podendoresultaremborrachas,plsticosou fibras,denaturezatermoplsticaoutermorrgida(MANOeMENDES,1999).O poliuretanoconhecidopelassuasexcelentespropriedadesmecnicastaiscomo resistnciamecnica,resistnciaabraso,resistnciaaleosealtaresilincia. Duranteareaodepolimerizao,haformaodecopolmeroscompostospor blocos de segmentos flexveis e segmentos rgidos ligados em compostos de uretano. Alguns materiaispossuemlongascadeias flexveisunidasporsegmentosaromticos rgidosdepoliuretanoepoliuria,estessooselastmeroseespumasflexveis.Os poliuretanosrgidostmumaltoteordeligaescruzadasenoapresentamas estruturas segmentadas, presentes nos poliuretanos flexveis. Os segmentos flexveis so formados por poliis e so responsveis pela flexibilidade e estiramento. Por outro lado,ossegmentosrgidossoderivadosdareaodeisocianatoseextensoresde cadeia e, contribuem no travamento e na ligao das cadeias polimricas tendendo a se aglomerar em domnios que agem como precipitado e fornecem ao materal rigidez e resistncia mecnica. Na Figura 3.4 pode-se ver uma representao esquemtica da estrutura de fases do poliuretano com os segmentos rgidos e os segmentos flexveis. 12 Figura 3.4. (a) Segmentos rgidos; (b) Segmentos flexveis (VILAR, 2002) Segundo VILAR (2002), a baixas temperaturas os poliuretanos tornam-se duros equebradios.Opoliuretanotambmtermaiordurezasepossuirumelevado percentualdesegmentosrgidosealtograudereticulao,pormcomuma ocorrncia de pequenas variaes de dureza devido s imperfeies do material. O poliuretano um material de engenharia bastante utilizado na indstria. At 2008, o Brasil produzia cerca de 335 mil toneladas de poliuretano anuais e estima-se que at 2012 este nmero seja 441 mil toneladas com uma evoluo mdia de 4,7% aoano(Novasaesembuscadaproduolimpa,RevistaPlsticoSul,2008).Na siderurgia, o poliuretano utilizado em revestimentos de cilindros de laminao a frio que tem a funo de tracionar a linha. Na metalurgia, utilizado tambm para revestir cilindros e tambores e em algumas molas dos moldes de estamparia. Na indstria de papel e celulose, o poliuretano utilizado para revestir cilindros de prensa e rolos guia. Aindstriametro-ferroviriausaopoliuretanoemtalasisolantesinstaladasemvias sinalizadasoueletrificadas.Osmercadosdemaiorusodopoliuretanosoode petrleoeminerao.Neste,opoliuretanobastanteusadonorevestimentointerno detubulaesdevidoasuaproteoanti-abrasiva.Estastubulaestransportamo rejeito e a polpa de minrio gerados na produo de uma mineradora. Na indstria do petrleo,opoliuretanobastanteutilizadosnosenrijecedoresdecurvatura(Bend stiffeners)localizadosnaconexocomotopodaplataforma,emproteesanti-abrasivas e outros tipos de protees. Uma plataforma de petrleo chega a ter mais de 20toneladasdepoliuretanodistribudosemalgumaspeas (http://pt.wikipedia.org/wiki/Poliuretano). 13 3.2.ELASTICIDADE NO-LINEAR Anolinearidadedemuitos fenmenos quenoscercamestimulapessoasno mundointeiroaestudartaisfenmenosatravsdemodelosmatemticose experimentais.Emgrandepartedosmateriaisutilizadosnaengenharia,percebe-se umalinearidadenoinciodatrajetriadeequilbrioentreaforaaplicadaeo deslocamento.Noentanto,sempreexistiralgumgraudenolinearidadepresente aps este trecho linear, que dependendo do material pode ser maior ou menor. A partir domomentoqueaforanoproporcionalaodeslocamento,tem-seano-linearidadegeomtrica.Quandoumcorpoapresentaralgunspontoscomtenses maioresqueastenseslimitesdeescoamentoeestedemonstraralgumgraude escoamento, mesmo que o restante do corpo permanea em regime elstico, tem-se a no-linearidade material ou no-linearidade fsica.Outrotipodeno-linearidadeencontradaemmateriaisdeengenhariadiz respeitorelaoconstitutivadomaterial.Algunsmateriais,comoopoliuretano, independente do nvel de solicitao, possuem uma relao no-linear entre tenso e deformao e so capazes de recuperar-se, rapidamente de uma grande deformao. Estesmateriaismanifestamgrandesdeformaeselsticas(normalmente acompanhadas de no-linearidade geomtrica), bem maiores que as encontradas em materiais convencionais. Neste caso, a Lei de Hooke no aplicvel, isto , as foras deformantes no so proporcionais s deformaes elsticas produzidas.O comportamento de peas e componentes fabricados a partir de poliuretano, comoosenrijecedores,nolinearquandosefazumestudoentretensoe deformao. 3.2.1.Movimento SegundoHOSS(2009),paradescreveromovimentodocorpoaolongodo processo de deformao, torna-se necessria uma forma de especificar a posio de cadapartculaaolongodotempo.ComopodeservistonaFigura3.5,umcorpo idealizado como um conjunto de partculas descritas pelas coordenadas (X1, X2, X3) do vetorposioX,comasrespectivasbasescartesianasEinaposioinicialt=0.A posiodestaspartculasnoinstantetdescritopelascoordenadas(x1,x2,x3)do vetor posio x nas bases cartesianas ei. 14 Figura 3.5. Cinemtica do processo de deformao (BONNET e WOOD, 1997) Emqualquermomento,cadapartculadoconjuntoocupaumpontodeuma regio fechada e cada ponto desta regio ocupado por somente uma partcula, no podendo haver superposio ou desaparecimento de matria. O movimento do corpo podesermatematicamentedescritocomoumafunoentreasposiesiniciale atual da partcula atravs da equao: ( ) t X x , = ( 3.2.1 ) Onde: i ie x x = Para um valor fixo de t, a equao ( 3.2.1 ) representa um mapeamento entre a configuraoindeformadaeaconfiguraodeformadadocorpo.Paraumapartcula X,estaequaodescreveomovimentooutrajetriadestapartculaemfunodo tempo.DeacordocomHOSS(2009),omapeamentox X umatransformao matemtica, e implica em um Jacobiano correspondente: 15 jiXxJ= Comonopodehaversuperposiooudesaparecimentodematria,a condiodeexistnciaparaomovimentodadaporJ>0,oqueresultaem deformao contnua. Nodecorrerdestetrabalho,asbasescartesianasEieeisoconsideradas iguais, conforme pode ser visto na Figura 3.6. Figura 3.6. Movimento de um corpo (BONNET e WOOD, 1997) EmproblemasdeMecnicadosSlidos,tradicionalmentesetrabalhacomos deslocamentos sofridos pelo corpo. Da Figura 3.6 fcil verificar que: ( ) X t X X x u = = , ( 3.2.2 ) Ondeascomponentesdeusoosdeslocamentosdospontosnasdirees cartesianas: 16 i ie u u = 3.2.2.Medidas de deformao 3.2.2.1.Tensor gradiente de deformao Aanlisedocomportamentodeumafibrainfinitesimaldematerial,de comprimentoinicialdX,quesedeformaemdxnaconfiguraofinalaformamais direta de se medir deformao. Da Figura 3.6, verifica-se que: ( ) t X xP p, =( ) t X xQ q,1 1 =( ) t X xQ q,2 2 =( 3.2.3 ) E os correspondentes vetores, tornam-se: ( ) ( ) t X t dX X x x dxp P p q, ,1 11 + = =( ) ( ) t X t dX X x x dxp P p q, ,2 22 + = =( 3.2.4 ) A definio do tensor gradiente de deformao (LAI et al., 1993): ==XF ( 3.2.5 ) Ento, os vetores dx1 e dx2 so obtidos em termos de dX1 e dX2: 1 1FdX dx =2 2FdX dx =( 3.2.6 ) As equaes de movimento ( 3.2.3 ) podem ser escritas tambm como: ( ) t X x x , = ( 3.2.7 ) 17 E o tensor gradiente de deformao pode ser escrito como: XxF= ( 3.2.8 ) Substituindo-se a equao ( 3.2.2 ) em ( 3.2.5 ), reescreve-se F em funo dos deslocamentos (LAI et al., 1993): u I F + = ( 3.2.9 ) Onde: Xuu= ( 3.2.10 ) OtensorFumamedidaprimriadedeformao,chamadagradientede deformao. Arelaodoscomprimentosindeformadoedeformadodeumafibra infinitesimal de material dado pela expresso ( 3.2.6 ). Partindo-se das definies de rea infinitesimal nas duas configuraes, tem-se: 2 1dX dX dA =2 1dx dx da = OndedAareainfinitesimalindeformadaedaareainfinitesimal deformada. possvel provar, conforme APNDICE A, que: dA F F daT = ( 3.2.11 ) De forma anloga, pode-se definir os volumes infinitesimais: 3 2 1dX dX dX dV=3 2 1dx dx dx dv = 18 Tem-se ento a expresso: dV F dv = ( 3.2.12 ) Ouseja,J F= ,oqueevidenciaqueoJacobianodadeformaodeveser semprepositivo.Emfunodestarestrio,otensorFpermiteaseguinte decomposio: RU F =VR F =( 3.2.13 ) OndeUeVsotensoressimtricospositivoschamados,respectivamente, como tensores de alongamento direita e esquerda. A matriz ortogonal R descreve as rotaes do corpo rgido: I RR R RT T= =1 = R( 3.2.14 ) Para problemas submetidos a deformaes homogneas extensonais, tem-se: V U F = = ( 3.2.15 ) I R = ( 3.2.16 ) 3.2.2.2.Tensores de deformao de Cauchy-Green Ogradientededeformaoestudadonoitemanteriorpodeserconsiderado umamedidadedeformaodocorpo.Contudo,conformevisto,eleincorpora informaes sobre deformaes e rotaes. Sendo assim, torna-se complicada a sua aplicaoemrelaesconstitutivasjqueasmesmasdevemserconstrudasde modoquenosejamprevistastensesdevidoamovimentodecorporgido.Os tensoresdedeformaodeCauchy-GreeneliminamafaltadesimetriadeFea varincia com rotaes. Pode-se reescrever a equao ( 3.2.6 ) como: 19 ( ) CdX dX FdX F dX FdX dxT T T= = =2 2( 3.2.17 ) Onde: 2U F F CT= =( 3.2.18 ) Pode-se observar que o tensor C representa uma medida de deformao, uma vez que relaciona o comprimento do segmento na configurao instantnea (dx) a seu comprimentonaconfiguraoindeformada (dX).OtensorCdenominadotensorde deformao de Cauchy- Green direita. Pode-se definir tambm: ( ) ( ) dX B dx dx FF dx dX F dXT T T 11 21 2 = = =( 3.2.19 ) Onde: 2V FF BT= =( 3.2.20 ) OtensorBdefinidocomotensordedeformaodeCauchy-Green esquerda(outensordeFinger)(BITTENCOURT,2005).Todosestestensores deformaodefinidosnasequaesacima(U,V,BeC)aindacaracterizammala deformao,poisassimcomoF,nofornecemumvalornuloquandosubmetidoa deslocamentos de corpo rgido, fornecendo como resposta a matriz identidade. Utilizando ( 3.2.9 ), reescreve-se ( 3.2.18 ) e ( 3.2.20 ) como: jkikijjiijjKiKijXuXuXuXuXxXxC++++ == jkikijjiijjKiKijxuxuxuxuxXxXB++++ ==1 Onde: 20 trC C Iii= =1 ( ) ( ) ( )2 22212121trC trC C C C C Iji ij jj ii = =C I =3 ( 3.2.21 ) As equaes ( 3.2.21 ) representam os invariantes de C. 3.2.2.3.Tensores de deformao de Green-Lagrange Parafornecerumamedidadedeformaoqueseanulequandonoh deformao(porexemplomovimentodecorporgido),define-seotensordeGreen-Lagrangeapartirdadiferenadoquadradodocomprimentodeumafibramaterial antes e depois da deformao: dX dX dx dx dX dxT T = 2 2 ( 3.2.22 ) ( ) ( ) dX I F F dX dX I F F dX dX dxT T T T((

= = 2122 2( 3.2.23 ) OtensordeformaodeGreen-LagrangeEdefinidocomootermoentre colchetes na equao ( 3.2.23 ), ou seja: [ ](((

||

\| ||

\|+ ||

\|+ ||

\|= =XuXuXuXuI F F ET TT2121( 3.2.24 ) Combinando a equao ( 3.2.24 ) com a equao ( 3.2.18 ): ( ) I C E =21( 3.2.25 ) Sendo assim, ( )dX E dX dX dxT22 2= ( 3.2.26 ) 21 3.2.2.4.Tensores de deformao de Almansi OequivalenteEulerianodeEotensordedeformaodeAlmansiG.A equao ( 3.2.22 ) pode ser reescrita conforme as equaes abaixo: ( )dx F F I dx dX dxT T 1 2 2 = ( 3.2.27 ) ( ) dx F F I dx dX dxT T((

= 1 2 2212 ( 3.2.28 ) O tensor deformao de Almansi G definido como o termo entre colchetes na equao ( 3.2.28 ), ou seja: [ ](((

||

\| ||

\|+ ||

\|+ ||

\|= = xuxuxuxuF F I GT TT21211( 3.2.29 ) Combinando a equao ( 3.2.29 ) com a equao ( 3.2.20 ): ( )121 = B I G ( 3.2.30 ) 3.2.2.5.Alongamento Outramedidadedeformaooalongamento(stretch).Oalongamento corresponderazoentreoscomprimentosdeumafibradematerialnas configuraes deformada e indeformada: dXdxstretch = ou I E + = ( 3.2.31 ) Para os casos de deformaes homogneas, o alongamento em cada direo pode ser obtido diretamente dos valores principais de F (ATKIN e FOX, 1980): 22 ((((

=((((

3213322110 00 00 00 00 00 0FFF( 3.2.32 ) e, neste caso: ((((

= =2322210 00 00 0B C ( 3.2.33 ) 3.2.2.6.Tensor deformao infinitesimal Nositensanterioresdestecaptulo,foramdefinidascincomedidasde deformao(F,C,B,EeG),dadaspelasequaes(3.2.9),(3.2.18),(3.2.20),(3.2.25)e(3.2.30 ).Nofoiimpostanenhumalimitaoquantoextensodessas deformaes, porm, na soluo de problemas de engenharia, comum a adoo da hiptese de deslocamentos infinitesimais. Considerando esta hiptese, a extenso dos deslocamentosmuitomenorqueasdimensesdocorpo.Nestescasos,ostermos de ordem superior do gradiente do campo de deslocamentos tornam-se desprezveis: ( ) ( ) ( ) u u u u I F FT T T + + + =( ) ( ) 1