- matemática - conjuntos numéricos

Conjuntos Conjuntos NuméricosNuméricos

Ao final dessa aula você saberá:

O que é um conjunto e suas representações

Subconjuntos notáveis dos conjuntos N, Z, Q e R.

Tudo sobre o conjunto dos números reais

Representações por intervalo e as operações de união, interseção e conjunto complementar.

O que é conjunto?O que é conjunto?Exemplos:Exemplos:

{ a,b,c,d,e}{ a,b,c,d,e}

{1,2,3,4,5,6,7,8}{1,2,3,4,5,6,7,8}

{laranja, banana, maçã}{laranja, banana, maçã}

É uma coleção de qualquer coisa.

Como Como representamosrepresentamos os os conjuntos?conjuntos?

a) Entre chaves (a) Entre chaves (enumeraçãoenumeração))

A = {0,1,2,3,4,5}A = {0,1,2,3,4,5}

b) Pelo b) Pelo diagramadiagramaA

5.4. 3.2. 1.

0.

O que é conjunto O que é conjunto vaziovazio??É um conjunto É um conjunto sem elementossem elementos..

Como Como representamosrepresentamos o o conjunto vazioconjunto vazio??

O que é conjunto O que é conjunto unitáriounitário??

É o conjunto que É o conjunto que sósó apresenta apresenta umum elementoelemento..

Exemplos:Exemplos: A = {3}A = {3}

BB. 19

Atenção! O conjunto { } é um conjunto

unitário.

O que é O que é subconjuntosubconjunto??

É um É um conjuntoconjunto que está que está contidocontido em em outrooutro..

Exemplo: A = {t,u,v,x,z} e B = Exemplo: A = {t,u,v,x,z} e B = {u,v,x} , então B é um subconjunto {u,v,x} , então B é um subconjunto de Ade A O conjunto vazio é

subconjunto de qualquer conjunto.

Todo conjunto é subconjunto dele mesmo.

Como calculamos a Como calculamos a quantidadequantidade de de subconjuntossubconjuntos

de um conjunto? de um conjunto? Basta efetuar a conta o Basta efetuar a conta o 22nn, sendo , sendo nn igualigual

a a quantidade quantidade de de elementoselementos do do conjunto.conjunto.

Exemplo: Sendo A = {6,7,8,9}, então Exemplo: Sendo A = {6,7,8,9}, então o número de subconjuntos de A é:o número de subconjuntos de A é:

22nn = 2 = 244 = 16 subconjuntos. = 16 subconjuntos.

Qual é a representação do Qual é a representação do conjuntoconjunto dos dos números números

naturaisnaturais??N = {0,1,2,3,4,5,...}N = {0,1,2,3,4,5,...}

Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

E a representação do E a representação do conjunto conjunto dos dos números números

inteirosinteiros??

O conjunto N é um subconjunto de Z.

Quais são os Quais são os subconjuntos notáveissubconjuntos notáveis de de ZZ??

,...3,2,1,1,2,3...,*

* é o conjunto dos números inteiros sem o zero.

é o conjunto dos números inteiros não-negativos. ,...3,2,1,0

é o conjunto dos números inteiros não-positivos. 0,1,2,3...,

* é o conjunto dos números inteiros

positivos. ,...3,2,1* * é o conjunto dos números inteiros

negativos. 1,2,3...,*_

E o conjunto dos E o conjunto dos números números racionaisracionais??

É o conjunto dos números que É o conjunto dos números que podempodem

ser escritos sob forma de ser escritos sob forma de fraçãofração..

É representado por É representado por QQ e também e também incluiinclui

as as dízimasdízimas..

Os conjuntos N e Z são

subconjuntos de Q.N

Z

Q

Você já percebeu que:Você já percebeu que:

Entre Entre dois números dois números inteirosinteiros existem existem infinitosinfinitos

números números racionaisracionais??43

initosinf

;...999,3;...;00001,3...;

O conjunto Q também apresenta os subconjuntos

notáveis:** ,,*, QeQQQQ

Quais os Quais os elementoselementos do do conjunto dos números conjunto dos números

irracionaisirracionais??São números São números decimais infinitosdecimais infinitos, que , que nãonão

são são periódicosperiódicos. É representado por . É representado por II..

Exemplos:Exemplos:

N Z

QI

...414213,12 ...1416,3

0,1234...0,1234...

O conjunto R também

apresenta os subconjuntos

notáveis!

E o conjunto dos números E o conjunto dos números reaisreais??

É a É a uniãounião do conjunto do conjunto QQ com o com o conjunto conjunto II..

N

Z

Q

R

I

A reta numérica, agora, é chamada de reta real!

O que é O que é intervalointervalo??É a É a representaçãorepresentação de alguns de alguns subconjuntossubconjuntos

de Rde R, determinados por uma , determinados por uma desigualdadedesigualdade..

Exemplos:Exemplos:

I) Números reais maiores que -1 e I) Números reais maiores que -1 e menores que 4, ou seja, menores que 4, ou seja,

Representação por intervalo:Representação por intervalo:

[1,4][1,4]

-1 4

}41/{ xRx

II)II)

III)III)

IV)IV)

V)V)

VI) VI)

2,121/ xRxB

1 2

C x R / 2x 0 2,0 -2 0

3,333/ xRxD

-3 3

,11/ xRxE1

5,5/ xRxF

5

Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!Analise a reta abaixo e faça o que se Analise a reta abaixo e faça o que se

pede:pede:

a) Escreva o subconjunto de A formadoa) Escreva o subconjunto de A formado

pelos números inteiros.pelos números inteiros.

b) Escreva o subconjunto de A formadob) Escreva o subconjunto de A formado

pelos números naturais.pelos números naturais.

c) Quantos elementos tem o c) Quantos elementos tem o

conjunto A?conjunto A?

-2,6 6

SoluçãoSolução

a) {-2,-1,0,1,2,3,4,5}a) {-2,-1,0,1,2,3,4,5}

b) {0,1,2,3,4,5}b) {0,1,2,3,4,5}

c) Infinitos.c) Infinitos.

Que Que símbolossímbolos usamos para usamos para relacionar um relacionar um elementoelemento

com um com um conjuntoconjunto?? pertence ou não-pertencepertence ou não-pertence

Exemplos: Exemplos: Sendo o conjunto A = {a,b,c}, Sendo o conjunto A = {a,b,c}, podemospodemos

dizer que:dizer que:

aa A A c Ac A d Ad A

Que Que símbolossímbolos usamos para usamos para relacionar um relacionar um conjuntoconjunto com com

outrooutro conjuntoconjunto?? ContémContém

Não contémNão contém

Está contidoEstá contido

Não está contidoNão está contido

Se liga!Contém começa

com c, mas quem fica com ele é o

está contido.

Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!

Quais afirmativas são verdadeiras?Quais afirmativas são verdadeiras?

Ze

QNd

QZc

Qb

Qa

3

2)

*)

)

...2555,0)

25,0)

Respostas:A, D e E.

O que é O que é uniãounião de de conjuntos?conjuntos?

É a É a soma soma de conjuntos. É de conjuntos. É indicada peloindicada pelo

símbolo símbolo UU..

Exemplos:Exemplos:

I) Sendo A = {3,4,5} e B = {5,6,7}.I) Sendo A = {3,4,5} e B = {5,6,7}.

A U B = {3,4,5,6,7}A U B = {3,4,5,6,7}

II) Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4]. II) Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4].

BB

AA

A U BA U B

-5 6

-6 4

-6 6

66/

6,6

xRxAUB

AUB

O que é O que é interseçãointerseção de de conjuntos?conjuntos?

É o subconjunto que representa É o subconjunto que representa todos ostodos os

elementoselementos que que pertencempertencem a todos osa todos os

conjuntosconjuntos dados. dados.

Exemplos:Exemplos:

I) A = conjunto dos números naturaisI) A = conjunto dos números naturais

B = conjunto dos números inteiros B = conjunto dos números inteiros ABA

BA

II) Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4]. Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4].

-5 6AA

-6 4BB

4,5BA

45/ xRxBA

-5 4

Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!(UFS-SE) Considere os conjuntos:(UFS-SE) Considere os conjuntos:

Para analisar as afirmações que se Para analisar as afirmações que se seguem:seguem:

42/

351/

6431/

xRxC

xexRxB

xouxRxA

3,2)

]6,1[)

)

CAc

BAb

CBa

BB

CA

A U BA U B

CC

AA

Solução

3 51

2 4

1 6

1 63 4

2 43

3,2)

]6,1[)

)

CAc

BAb

CBa

VV

FF

FF

Como representamos a diferença entre conjuntos?

Excluindo do primeiro todos os elementos

do segundo.

Exemplos:

I) Sendo A = {0,1,2,3,4,5,...} e B = {20,21,22}.

A – B={0,1,2,3,...,19} U {23,24,...} Ou A – B = N - B

A -BA -B

II) Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4]. Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4].

-5 6AA

-6 4BB

4 6

64/

6,4

xRxBA

BA

O que é conjunto complementar?

É a diferença entre um conjunto e umsubconjunto dele.

Exemplos:I) Sendo A = {0,1,2} e B = {2}.

CAB = {0,1}

Pode ser representado pelos seguintes símbolos:

BAouC BA

CCAABB

BB

AA

II) Sendo A = [-1,4] e B = ]0,2[.

-1 4

0 2

6201/

6,20,1

xouxRxC

CBA

BA

O complemento de um conjunto A é a diferença entre o conjunto

Universo e o conjunto A. É indicado pelos seguintes símbolos:

AAUAC AU ,,',

2 60-1

Tente fazer sozinho!1) (UFPI) Considerando os conjuntos A, B

e C na figura abaixo, a região pintada representa:

)()

)()

)()

)()

)()

CABe

CABd

CABc

CABb

CABa

a) b)

c) d)

Resposta: E

Solução

1/)

3/)

11/)

01/)

01/)

:)(

,0/

31/

,1/

))(2

xRxe

xRxd

xRxc

xRxb

xRxa

éCBArepresentaqueconjuntooentão

xRxC

exRxB

xRxASe

RJCesgranrio

Solução

-1 3BB

0CC

AA1

CBA )(-1 0

-1 1BA

Resposta: A

3) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistados consumidores sobre suas preferências em relação aos produtos A e B. Os resultados da pesquisa indicaram que:

• 310 pessoas compraram o produto A• 220 pessoas compraram o produto B• 110 pessoas compraram os produtos A e B• 510 pessoas não compraram nenhum dos

dois

Indique o número de consumidores entrevistados, dividido por 10.

Solução

110 110200 510

200 + 110 + 110 + 510 = 930

930 : 10 = 93

A B