vibraciones forzadas

INTRODUCCIÓNLas vibraciones mecánicas con que se tropieza en la mayor parte de los problemas de

ingeniería son movimientos periódicos, por lo general de pequeña amplitud, que se repiten en un intervalo determinado de tiempo, al que se denomina periodo; cada repetición del movimiento recibe el nombre de ciclo y el numero de ciclos por unidad de tiempo se llama Frecuencia de la Vibración. El desplazamiento o separación del sistema de su posición de equilibrio se conoce con el nombre de Elongación y su valor máximo es la Amplitud de la vibración. En la actualidad, el análisis de las vibraciones es muy extenso, debido a las grandes velocidades que desarrollan las maquinas y a las grandes luces con las que construyen las estructuras.

En general, las vibraciones Forzadas se producen cuando un sistema se desplaza de su posición de equilibrio estable por medio de una fuerza que puede variar periódicamente con el tiempo. Por ejemplo durante un sismo un edificio sufre vibraciones forzadas inducidas por fuerzas oscilatorias ejercidas en su cimentación. Cuando el sismo pasa el edificio vibra libremente hasta que su movimiento cesa por amortiguamiento.

VIBRACIONES FORZADAS

Definición:

El termino vibraciones forzadas significa que fuerzas externas afectan las vibraciones de un sistema. Una vibración forzada, mantenida por una fuerza excitadora, tiene una frecuencia y una amplitud que depende de la frecuencia y la amplitud de la fuerza excitadora.

La vibración forzada la origina y mantiene una fuerza periódica aplicada exteriormente que no depende de la posición ni del movimiento del cuerpo, como sucede en el caso de la fuerza que mantiene en movimiento al péndulo de un reloj. La fuerza se puede generar cuando oscile el soporte al cual está unido el cuerpo, como ocurre en el caso de la fuerza aplicada al automóvil por los muelles de suspensión cuando el vehículo va por una calzada con baches.

Cuando un cuerpo que está vibrando se pone en contacto con otro, el

segundo cuerpo se ve forzado a vibrar con la misma frecuencia que el original. Por ejemplo, (ver video…)

2 1

x

Equilibrio

=

=k(

=

=m

Fig.01

2 1

x

Equilibrio

=

=k(

=

=m

Fig.01

Considerando un cuerpo de masa m suspendido de un resorte y sujeto a una fuerza F de magnitud donde es la frecuencia circular de F y se conoce como frecuencia circular forzada del movimiento. Esta fuerza puede ser una fuerza externa real aplicada al cuerpo o una fuerza centrífuga producida por la rotación de alguna parte desbalanceada del cuerpo. Denotando mediante X el desplazamiento.

La ecuación del movimiento quedará:

Recordando que ,se tiene.

Considerando el caso de un cuerpo de masa m suspendido de un resorte unido a un soporte móvil cuyo desplazamiento 𝛿 es igual a

Al medir el desplazamiento X del cuerpo desde la posición de equilibrio estático correspondiente a , se encuentra la elongación total del resorte en el tiempo t es

La ecuación del movimiento es entonces.

Como , se tiene:

Las ecuaciones (1) y (2) tienen la misma forma por lo que una solución de la primera ecuación satisfará a la segunda si despejamos .

La ecuaciones diferenciales (1) y (2) se dice que son no homogéneas ya que poseen un miembro derecho diferente de cero. Su solución general se obtiene al sumar una solución particular de la ecuación dada a la solución general de la ecuación homogénea correspondiente (Con el miembro de lado derecho igual a cero). Para obtener la solución particular de (1) y (2) tratando la solución de la forma.

Sustituyendo por X en la ecuación (1), obtenemos.

Que puede resolverse para la amplitud:

Sabemos que la frecuencia natural del sistema , de lo cual:

, Sustituyendo en (a).

Al sustituir la ecuación (3) en la (2), obtenemos de manera similar:

La ecuación homogénea correspondiente a (1) y (2) es la ecuación la ecuación que define la vibración libre de un cuerpo.

Sumando la solución particular (3) a la función complementaria (5), se obtiene la solución general de las ecuaciones (1) y (2).

Las dos vibraciones obtenidas consisten en dos vibraciones superpuestas:

……..Vibración libre del sistema.

Representa a una vibración de estado estable producida y mantenida por la fuerza aplicada

Su frecuencia es frecuencia forzada impuesta por esta fuerza o movimiento, su amplitud definida por (4) Y (4”), depende de la razón de frecuencias

El factor de amplificación

VIBRACIONES FORZADAS NO AMORTIGUADAS

La vibración forzada sin amortiguamiento es considerada uno de los tipos más importantes de movimiento vibratorio en los trabajos de ingeniería. Los principios que describen la naturaleza de este movimiento pueden ser usados para analizar las fuerzas que causan vibraciones en muchos tipos de máquinas y estructuras.

k

c

m

x

La ecuación diferencial del movimiento será:

Ecuación diferencial de las vibraciones forzadas amortiguadas.

Resolviendo, será la solución de la forma:

Cálculo de corresponde a la solución de:

Que ya sabemos es:  Cálculo de

Reemplazamos en (1):

En (2):

Corresponde a la vibración libre.

Corresponde a la excitación.

..(3)

Características de la vibración forzada del estado permanente sin amortiguamiento:

de

Entonces:

De:

(4)

El segundo término de la ecuación (4) es el llamado factor de Amplificación Dinámica:

Si Infinito A Infinito (Resonancia)

VIBRACIONES FORZADAS AMORTIGUADAS

El caso más general de movimiento vibratorio de un solo grado de libertad ocurre cuando el sistema incluye los efectos de movimiento forzado y amortiguamiento inducido. El análisis de este tipo particular de vibración es de valor práctico cuando se aplica a sistemas con características importantes de amortiguamiento.

•Si un amortiguador es unido al bloque y al resorte mostrados en la figura, la ecuación diferencial que describe el movimiento se convierte en:

Masa M

k c

x

Si el sistema considerado está sujeto a una fuerza periódica F de magnitud , la ecuación del movimiento quedará definida mediante la siguiente ecuación.

, es el factor de amortiguamiento para sistemas con amortiguamiento viscoso, el cual esta definido como el cociente entre el coeficiente de amortiguamiento c y el amortiguamiento crítico.

Amortiguamiento crítico

De donde se tiene que:

Donde ; es el coeficiente de amortiguamiento del sistema con vibraciones forzadas. 

Y la solución para esta ecuación diferencial será de la forma:

El Cálculo de :Corresponde a la solución de:

(3)

Cálculo de Xp :

Reemplazando en (1).

Resolviendo para A y B

Por lo tanto:

Se puede expresar de la siguiente manera:

Reemplazando en (2):

(4)

En la ecuación (4) se presentan dos movimientos:

Uno de periodo , cuya amplitud decrece espacialmente con el tiempo.

Otra de amplitud constante y de periodo

Como decrece, después de un tiempo suficiente se puede decir que se ha amortiguado y que solo persiste el segundo término de la ecuación (4) por eso el primer término se le llama transitorio

El término transitorio depende de las condiciones iniciales, en cambio las vibraciones i de estado constante son independientes de las condiciones iniciales y depende solamente de la función de la fuerza y de los parámetros del sistema.

Gráfica de la ecuación (4)

Zona transitoria con frecuencia.Zona de estado constante

1. El instrumento que aparece en la figura está unido rígidamente a una plataforma P, que a su vez es soportada por cuatro resortes, cada cual con una rigidez k = 800 N/m. En principio la plataforma se halla en reposo cuando el piso experimenta un desplazamiento , donde t se expresa en segundos. Si el instrumento se limita a moverse verticalmente, y su masa total y la de la plataforma es de 20 kg, determine el desplazamiento vertical y de la plataforma, medido a partir de la posición de equilibrio, como una función del tiempo. ¿Qué vibración en el piso se requiere para provocar resonancia?

PROBLEMAS DE APLICACION

SoluciónComo la vibración inducida es provocada por el desplazamiento de los

apoyos, el movimiento es descrito por la siguiente ecuación donde es reemplazada por , es decir:

………….. (1)

Aquí , de modo que

Con reemplazando a , la amplitud de la vibración provocada por el

desplazamiento del piso es:

…………(2)

Por lo tanto, la ecuación 1 y su derivada temporal se convierte en:

Las constantes A y B se evalúan con base en estas ecuaciones. Como y cuando , entonces:

Por lo tanto, el movimiento de vibración se describe por medio de la ecuación:

(Respuesta)

La resonancia tendrá lugar cuando la amplitud de la vibración causada por el desplazamiento del piso se aproxima al infinito. Con base en la ecuación 2, esto requiere que:

(Respuesta)

2. Un motor de 350 lb está sostenido por cuatro resortes con constante de 750 lb/in cada uno. El desbalanceo del rotor equivale a un peso de 1 oz. Localizado a 6 in. del eje de rotación. Si el motor está restringido a moverse verticalmente, determínese a) la velocidad en rpm a la que ocurrirá la resonancia, b) la amplitud de la vibración del motor a 1200 rpm. g=32.2 ft/s²

Solución:

a. Velocidad de resonancia

La velocidad de resonancia es igual a la frecuencia circular natural n (en rpm) de la vibración libre del motor. La masa de éste y la constante equivalente de los resortes de sustentación son:

Velocidad de resonancia = 549 rpm

b. Amplitud de la Vibración a 1200 rpm

La velocidad angular del motor y la masa equivalente al peso de 1 oz. son:

ω = 1200 rpm = 125.7 rad/s

La magnitud de la fuerza centrífuga provocada por el desbalanceo del rotor es:

La deflexión estática que una carga constante Pm provocaría es:

La frecuencia circular forzada del movimiento es la velocidad angular del motor:

0.00511in3000lb/in15.33lb

kPm

Si sustituyen los valores de Pm/k, y en la ecuación, se obtiene:

Nota: Como > , la vibración está 180° fuera de fase con la fuerza centrífuga debida al desbalanceo del rotor. Por ejemplo, cuando la masa desbalanceada está directamente debajo del eje de rotación, la posición del motor es xm = 0.001352 in. sobre la posición de equilibrio.

0.001352in5)(125.7/57.1

0.00511in)/ω(ω1

/kPx 22

nf

mm

3. El motor eléctrico de 30kg que aparece en la figura , se halla sostenida por cuatro resortes, cada cual con una rigidez de 200 N/m. si el rotor R no está balanceado de modo que su efecto sea equivalente al de una masa de 4 kg localizada 60 mm fuera del eje de rotación, determine la amplitud de la vibración cuando el rotor gira a ω = 10 rad/s. El factor de amortiguamiento es

SoluciónLa fuerza periódica que hace que el motor vibre es la fuerza centrifuga

debida a un rotor desbalanceado. Esta fuerza tiene una magnitud constante de:

La oscilación en la dirección vertical puede expresarse en la forma periódica , donde ω = 10 rad/s. Así:

La rigidez del sistema entero de cuatro resortes es:

.Por lo tanto, la frecuencia circular de vibración es:

Como se conoce el factor de amortiguamiento, es posible determinar la amplitud del estado estacionario por medio de la siguiente ecuación: