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VARIABLES ALEATORIAS Y FUNCIÓN DE

DISTRIBUCIÓN

BIBLIOGRAFIA

Walpole, Ronal E., Myres, Raymond H., Myres,

Sharon L.: Probabilidad y Estadística para

Ingenieros. McGraw Hill-Interamericana.

Canavos G. Probabilidad y Estadística,

Aplicaciones y Métodos. México: Editorial Mc

Graw Hill.

VARIABLES ALEATORIAS

En muchas situaciones, los resultados de un

fenómeno aleatorio son valores no numéricos.

Ejemplo:

Se prueban tres componentes electrónicos, y se

observa si son defectuoso o no.

S NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD

VARIABLES ALEATORIAS

Es conveniente que los resultados de un experimento aleatorio estén expresados numéricamente poder responder a preguntas planteadas con respecto al fenómeno en estudio.

Por lo que se requiere que los resultados de la observación se registren como valores numéricos, es decir se asigne un número real a cada uno de los eventos del espacio muestral.

VARIABLES ALEATORIAS

Ejemplo: Se prueban tres componentes

electrónicos, y se observa si son defectuosos (D)

o no (N).

Se define X: Número de componentes

defectuosos

VARIABLE ALEATORIA

Definición

Una variable aleatoria es un función que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral.

Es el conjunto de todos los posibles valores que puede tomar una variable aleatoria se denomina Rango de la Variable Aleatoria. Si una variable aleatoria se denota por entonces el rango se denota .

X :S / X s x

X

XR

RANGO DE UNA VARIABLES ALEATORIAS

X: Número de componentes defectuosos

XR 0,1, 2, 3

Eventos de Espacio Muestral

Valores de X

NNN 0

NND 1

NDN 1

DNN 1

DDN 2

DND 2

NDD 2

DDD 3

X NNN 0

X NND X NDN X DNN 1

X DDN X DND X NDD 2

X DDD 3

VARIABLE ALEATORIA

Ejemplos:

El resultado obtenido al lanzar un dado.

El número de personas que llegan a un local en un periodo de tiempo dado.

El número de piezas defectuosas obtenidas en una muestra de 200 unidades de un proceso productivo.

El tiempo que tardan en ser atendidas las personas que llegan a un banco.

CLASIFICACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS

Variable Aleatoria Discreta

Si toma sólo un conjunto de valores enteros.

Ejemplos:

El número de caras en diez lanzamientos de

una moneda

Número de llamadas telefónicas por hora que

ingresan a un Call Center.

El número de camiones que llegan por hora al

Puerto del Callao

CLASIFICACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS

Variable Aleatoria Continua

Si toma cualquier valor dentro de un conjunto o

rango de valores.

Ejemplos:

Peso de recién nacidos

Tiempo de atención en una agencia bancaria

Ingreso mensual

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

La Función de Probabilidad o Función de Densidad de una variable aleatoria discreta esta dado por:

La función de probabilidad asigna a valor x de la variable aleatoria X la probabilidad de que X tome el valor x.

Importante:

Xf x P X x

Xf x 0

X

X

x R

f x 1

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

El conjunto de pares de la forma , recibe

el nombre de Distribución de Probabilidad de la

Variable Aleatoria X.

Valores de X (Rango)

Probabilidad de que X tome el valor x

P X x

0 Xf 0 P X 0 1 8

1 Xf 1 P X 1 3 8

2 Xf 2 P X 2 3 8

3 Xf 3 P X 3 1 8

Total X X

X

R R

f x P X x 1

X 0 1 2 3

Xf x 0.125 0.375 0.375 0.125

Distribución de Probabilidad de X

Xx,f x

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

La asignación de probabilidades para la variable

aleatoria están en términos de las probabilidades

de los elementos del espacio muestral S.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

Si X es una variable aleatoria discreta con función de probabilidad , entonces la Función de Distribución o Función de Distribución Acumulada esta dado por:

Expresado en términos de la función de probabilidad

Xf x

X

x a

F a P X a P X x

X X

x a

F a P X a f x

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

Para variable aleatorias discretas se cumple:

P X a 1 P X a

X XP a X b F b F a

X X XP a X b F b F a f a

P X a P X a P X a

P X a 1 P X a

VALOR ESPERADO Y VARIANZA

Sea X es una variable aleatoria discreta con

función de probabilidad entonces:

La media o valor esperado de X es:

La varianza de X es:

X

X

x R

E X xf x

Xf x

X

2

X

x R

V X x E X f x

VALOR ESPERADO Y VARIANZA

Ejemplo:

X: Número de componentes electrónicos

defectuosos.

X 0 1 2 3

Xf x 0.125 0.375 0.375 0.125

Distribución de Probabilidad de X

x 3

X

x 0

E X xf x

E X 0 0.125 1 0.375 2 0.375 3 0.125

E X 1.5

VALOR ESPERADO Y VARIANZA

Ejemplo:

X: Número de componentes electrónicos

defectuosos.

X 0 1 2 3

Xf x 0.125 0.375 0.375 0.125

Distribución de Probabilidad de X

x 3

2

X

x 0

V X x E X f x

2 2

2 2

V X 0 1.5 0.125 1 1.5 0.375

2 1.5 0.375 3 1.5 0.125

V X 0.75

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

La Función de Probabilidad o Función de

Densidad de una variable aleatoria continua es

una función que cumple :

Xf x 0

Xf x dx 1

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

Si X es una variable aleatoria continua con

función de probabilidad , entonces la Función

de Distribución o Función de Distribución

Acumulada esta dado por:

Xf x

a

X XF a P X a f x dx

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

Ejemplo: El contenido de magnesio de una determinada aleación es una variable aleatoria dada por la siguiente función de densidad de probabilidad:

¿Cuál es la probabilidad de que una aleación tenga un contenido de magnesio entre 2.2 y 4.8?

X

x0 x 6

f x 18

0 en otro caso

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

Probabilidad de que una aleación tenga un

contenido de magnesio entre 2.2 y 4.8

Lo cual es equivalente a:

X XP 2.2 X 4.8 F 4.8 F 2.2

4.8 2.2

x xP 2.2 X 4.8 dx dx

18 18

4.8

2.2

xP 2.2 X 4.8 dx

18

P 2.2 X 4.8 0.5055

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

Para variable aleatorias continuas se cumple:

X XP a X b F b F a

P X a P X a

P X a 1 P X a

P a X b P a X b P a X b

VALOR ESPERADO Y VARIANZA

Sea X es una variable aleatoria continua con

función de probabilidad entonces:

La media o valor esperado de X es:

La varianza de X es:

XE X xf x dx

Xf x

2

XV X x E X f x

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

Ejemplo: El contenido de magnesio de una determinada aleación es una variable aleatoria dada por la siguiente función de densidad de probabilidad:

Calcular, el valor esperado y la varianza

X

x0 x 6

f x 18

0 en otro caso

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

Valor esperado del contenido de magnesio

Varianza del contenido de magnesio

6 6 2

X

0 0

x xE X xf x dx x dx dx

18 18

E X 4

6

2 2

X

0

xV X x E X f x dx x 4 dx

18

V X 2

PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO

Sea X y Y dos variables aleatorias y c una

constante real, para toda variable aleatoria se

cumple:

E X Y E X E Y

E c c

E cX cE X

E X c E X c

PROPIEDADES DE LA VARIANZA

Sea X y Y dos variables aleatorias y c una

constante real, para toda variable aleatoria se

cumple:

V X Y V X V Y 2Cov XY

V c 0

2V cX c V X

V X c V X