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Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas I - Notas de aula
Universidade Salgado de Oliveira – UNIVERSO BH
Engenharia de Produção
Análise de Sistemas/Sistemas de Informação
Pesquisa Operacional em Sistemas I
Os conceitos e desenvolvimentos apresentados neste arquivo baseiam-se, principalmente em Silva e
outros (1998), Prado (1999) e Andrade (2002) conforme referências indicadas e não substitui os
textos originais.
Notas de aula
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas I - Notas de aula
Conteúdo 1 Pesquisa Operacional - Introdução ................................................................................................... 2
1.1 Conceito ..................................................................................................................................... 2 1.2 Fases de um Estudo em P.O. ..................................................................................................... 2
1.2.1 Formulação do Problema: ................................................................................................... 2 1.2.2 Construção do modelo do sistema: ..................................................................................... 2 1.2.3 Cálculo da solução através do modelo: .............................................................................. 2 1.2.4 Teste do modelo e da solução: ............................................................................................ 3 1.2.5 Estabelecimento de controles da solução: .......................................................................... 3 1.2.6 Implantação e acompanhamento: ....................................................................................... 3
1.3 Programação Matemática .......................................................................................................... 3 1.3.1 Problemas de otimização .................................................................................................... 3 1.3.2 Programação Linear (PL) ................................................................................................... 3 1.3.3 Programação Inteira ............................................................................................................ 4 1.3.4 Programação não-linear ...................................................................................................... 4 1.3.5 Convenção da Solução ....................................................................................................... 4
2. Programação Linear ......................................................................................................................... 4 2.1 Modelo em programação linear ................................................................................................. 4 2.2 Solução para Modelos de Programação Linear - Método gráfico ............................................. 5 2.3 Solução para Modelos de Programação Linear – Método Simplex .......................................... 5
2.3.1 Descrição do Método Simplex (Problemas de Maximização) ........................................... 5 2.4 Exercícios. ................................................................................................................................. 7
3 Dualidade. ....................................................................................................................................... 12 3.1 Montagem do Problema Dual .................................................................................................. 12 3.2 Propriedades ............................................................................................................................ 13
4 Análise de Sensibilidade. ................................................................................................................ 13 4.1 Variação dos Recursos ............................................................................................................ 14 4.2 Inclusão de uma nova variável ................................................................................................ 16 4.3 Mudança nos coeficientes das variáveis da função objetivo. .................................................. 17
4.3.1 Variável básica. ................................................................................................................ 17 4.3.2 Variável não básica. .......................................................................................................... 19
5 Referências. .................................................................................................................................... 20
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas I - Notas de aula
2
1 Pesquisa Operacional - Introdução
1.1 Conceito
Método científico de tomada de decisões. Consiste na descrição de um sistema
organizado com o auxílio de um modelo, e através da experimentação com o modelo, na
descoberta da melhor maneira de operar o sistema.
1.2 Fases de um Estudo em P.O.
1.2.1 Formulação do Problema:
O administrador e o responsável pelo estudo em P.O. deverão analisar o problema
para obter uma formulação clara e coerente, definindo os objetivos a alcançar e quais os
possíveis caminhos alternativos para que isso ocorra.
Levantar limitações técnicas do sistema e as relações com outros sistemas da
empresa ou do ambiente externo.
Validar as possíveis soluções considerando esses obstáculos.
Estabelecer uma medida de eficiência para ordenar as soluções encontradas.
1.2.2 Construção do modelo do sistema:
Construir modelos formados por equações e inequações (modelos matemáticos).
Uma das equações serve para medir a eficiência do sistema para cada solução
proposta (função objetivo ou função de eficiência). As outras equações descrevem as
restrições ou limitações técnicas do sistema
As variáveis que compõem as equações são de dois tipos:
a) Variáveis controladas ou de decisão: seus valores estão sob o controle do
administrador.
b) Variáveis não controladas: seus valores são arbitrados por sistemas fora do
controle do administrador.
1.2.3 Cálculo da solução através do modelo:
É feito por meio de técnicas matemáticas específicas. A construção de um modelo
deve considerar uma técnica para o cálculo da solução.
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas I - Notas de aula
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1.2.4 Teste do modelo e da solução:
É realizado com dados empíricos do sistema. Usar dados históricos para comparar
o desempenho do modelo com o desempenho do sistema.
Reformular ou abandonar o modelo.
1.2.5 Estabelecimento de controles da solução:
Identificar parâmetros fundamentais para a solução do problema. Controlar a
mudança desses parâmetros para garantir a validade da solução adotada.
Cálculo de nova solução ou reformulação do modelo.
1.2.6 Implantação e acompanhamento:
Apresentação da solução ao administrador sem usar a linguagem técnica do
modelo.
Observar o comportamento do sistema com a solução adotada.
Ajustes.
1.3 Programação Matemática
1.3.1 Problemas de otimização
Maximização ou minimização de uma quantidade específica, chamada objetivo,
que depende de um número finito de variáveis de entrada. Estas variáveis podem ser
independentes umas das outras ou podem ser relacionadas por meio de uma ou mais
restrições.
Um problema de programação matemática é um problema de otimização em que o
objetivo e as restrições são expressos como funções matemáticas e relações funcionais.
Nesse contexto a palavra programação significa planejamento e não deve ser
confundida com programação de computadores.
1.3.2 Programação Linear (PL)
Um problema de programação matemática é linear se a função objetivo e as
restrições são equações/inequações lineares. Será a ênfase do nosso curso.
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas I - Notas de aula
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1.3.3 Programação Inteira
É um problema de programação linear com a restrição adicional de que os valores
das variáveis de entrada são números inteiros.
1.3.4 Programação não-linear
É utilizada em modelos contendo funções não- lineares. Isto é, tanto a função
objetivo como o conjunto de restrições podem ser funções de grau maior que 1.
1.3.5 Convenção da Solução
Nos problemas de programação matemática busca-se uma solução. Se existir mais
de uma solução igualmente ótimas, qualquer uma delas serve. Não há preferência entre
soluções igualmente ótimas se não houver preferência estipulada nas restrições.
Uma característica presente em quase todas as técnicas de programação
matemática é que a solução ótima do problema não pode ser obtida em um único passo,
devendo ser obtida iterativamente. É escolhida uma solução inicial (que geralmente não
é a solução ótima). Um algoritmo é especificado para determinar, a partir desta, uma
nova solução, que geralmente é superior à anterior. Este passo é repetido até que a
solução ótima seja alcançada (supondo que ela existe).
2. Programação Linear
2.1 Modelo em programação linear
A programação linear é uma das técnicas mais utilizadas na abordagem de
problemas em pesquisa operacional. Justifica-se sua aplicação pela simplicidade do
modelo envolvido e a disponibilidade de uma técnica de solução programável em
computador.
O modelo matemático de programação linear é composto de uma função objetivo
linear e de restrições técnicas representadas por um grupo de inequações também
lineares. A função objetivo ou função de eficiência mede o desempenho do sistema. As
restrições garantem que essas soluções estão de acordo com as limitações técnicas
impostas pelo sistema.
A construção do modelo matemático é a parte mais complicada de nosso estudo.
Não regra fixa para esse trabalho, mas podemos seguir um roteiro que ajuda ordenar o
raciocínio. O roteiro contém as seguintes etapas:
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas I - Notas de aula
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Etapa 1: Definir as variáveis de decisão.
Explicitar as decisões que devem ser tomadas e representar as possíveis decisões
por meio de variáveis de decisão.
Etapa 2: Definir o objetivo.
Identificar o objetivo da tomada de decisão. A função objetivo é a expressão que
calcula o valor do objetivo em função das variáveis de decisão.
Etapa 3: Estabelecer as restrições.
Cada restrição imposta na descrição do sistema deve ser expressa como uma
relação linear (igualdade ou desigualdade), formuladas com as variáveis de decisão.
As etapas 1 e 2 do roteiro podem ser executadas simultaneamente.
2.2 Solução para Modelos de Programação Linear - Método gráfico
Resolve modelos de programação linear com duas variáveis de decisão. Essa
técnica consiste em representar num sistema de eixos ortogonais o conjunto das
possíveis soluções do problema, isto é, representar o conjunto de pontos que obedecem
ao grupo de restrições impostas pelo sistema. O desempenho do modelo é avaliado pela
representação gráfica da função objetivo.
2.3 Solução para Modelos de Programação Linear – Método Simplex
O Método Simplex é composto por critérios de escolha de soluções básicas que
melhorem o desempenho do modelo e de um teste de “otimalidade”. Assim, o problema
deve apresentar uma solução básica inicial e as soluções básicas subseqüentes são
calculadas com a troca de variáveis básicas por não básicas, gerando novas soluções.
2.3.1 Descrição do Método Simplex (Problemas de Maximização)
Passo 1: Transformação do modelo.
Transformar as restrições do problema de programação linear de inequações em
equações com a introdução das variáveis de folga e transformar a função objetivo (z =
0).
Passo 2: Montar um quadro para calcular as soluções.
Montar um quadro para os cálculos, colocando os coeficientes de todas as
variáveis com os respectivos sinais e, na última linha, incluir os coeficientes da função
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas I - Notas de aula
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objetivo transformada. Acrescente uma coluna a esquerda para indicar quais são as
variáveis básicas.
Passo 3: Escolher a solução inicial.
Estabelecer uma solução básica inicial, usualmente atribuindo valor zero às
variáveis originais (variáveis de decisão) e calculando valores positivos para as
variáveis de folga. As variáveis igualadas a zero são as variáveis não-básicas e aquelas
que os valores foram calculados são as variáveis básicas.
Verifique na última linha do quadro se os coeficientes das variáveis não - básicas
não são negativos (maiores ou iguais a zero). Se isto ocorrer, a solução calculada é
ótima, senão deve-se calcular outra solução.
Passo 4: Substituir uma variável na base.
Para determinar a substituição determine:
a) Variável que entra na base.
Observe a última linha do quadro e escolha a variável com coeficiente negativo de
maior valor absoluto. Essa variável oferece a maior contribuição para o aumento da
função objetivo e entrará na base.
b) Variável que sai da base.
Divida os elementos da última coluna pelos correspondentes elementos positivos
da coluna da variável que vai entrar na base. O menor valor indica que a variável básica
dessa linha sairá da base. Caso não haja elemento algum positivo nesta coluna, o
processo deve parar, já que a solução seria ilimitada.
Passo 5: Calcular uma nova solução.
Calcular a nova solução básica do sistema empregando-se operações válidas com
as linhas da matriz.
Passo 6: Teste de otimalidade.
Ao final do cálculo, verifique na última linha do quadro se os coeficientes das
variáveis não básicas não são negativos (maiores ou iguais a zero). Se isto ocorrer, a
solução calculada é ótima. Caso contrário, volte ao passo 4 para iniciar outra repetição.
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2.4 Exercícios.
Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a
seguir:
1. Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por
hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de
sapato e 1 unidade couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total
disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 5 unidades
monetárias e o do cinto é de 2 unidades monetárias, pede-se: o modelo do sistema de
produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora.
2. Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de 100
u.m. e o lucro unitário de P2 é de 150 u.m. A empresa necessita de 2 horas para fabricar
uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal
disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os 2
produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não
devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo
do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa.
3. Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de
vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranjas a 20 u.m. de lucro por caixa,
pelo menos 100 caixas de pêssegos a 10 u.m. de lucro por caixa, e no máximo 200
caixas de tangerinas a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o
caminhão para obter o lucro máximo? Construa o modelo do problema.
4. Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o
programa “A" com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de
30.000 telespectadores, enquanto o programa "B", com 10 minutos de música e 1
minuto de propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma
semana, o patrocinador insiste no uso de no mínimo, 5 minutos para sua propaganda e
que não há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas I - Notas de aula
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programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores?
Construa o modelo do sistema.
5. Um empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor
qualidade, requer o dobro do tempo de fabricação em relação ao modelo M2. Se todos
os cintos fossem do modelo M2, a empresa poderia produzir 1.000 unidades por dia. A
disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os
cintos empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 para M1 e 700
para M2. Os lucros unitários são de $ 4,00 para M1 e $ 3,00 para M2. Qual o programa
ótimo de produção que maximiza o lucro total diário da empresa? Construa o modelo do
sistema descrito.
6. Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, ficou com
disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um estudo sobre o uso desses
recursos indicou a possibilidade de se fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos
e consultando o departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado,
verificou-se que P1 daria um lucro de $ 120,00 por unidade e P2, $ 150,00 por unidade.
O departamento de produção forneceu a seguinte tabela de uso de recursos.
Produto Recurso R1 por Recurso R2 por Recurso R3 por
unidade unidade unidade P1 2 3 5 P2 4 2 3
Disponibilidade de recursos por
mês 100 90 120
Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa? Construa o
modelo do sistema.
7. Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes
atividades produtivas:
A (Arrendamento) - Destinar certa quantidade de alqueires para a plantação de
cana-de-açúcar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da
terra $ 300,00 por alqueire por ano.
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas I - Notas de aula
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P (Pecuária) - Usar outra parte para a criação de gado de corte. A recuperação das
pastagens requer adubação (100 kg/Alq) e irrigação (100.000 litros de água/Alq) por
ano. O lucro estimado nessa atividade é de $ 400,00 por alqueire por ano.
S (Plantio de Soja) - Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura
requer 200 kg por alqueire de adubos e 200.000 Iitros de água/Alq para irrigação por
ano. O lucro estimado nessa atividade é de $ 500,00/alqueire no ano.
Disponibilidade de recursos por ano:
12.750.000 litros de água.
14.000 kg de adubo.
100 alqueires de terra.
Quantos alqueires deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor
retorno? Construa o modelo de decisão.
8. O departamento de marketing de uma empresa estuda a forma mais econômica
de aumentar em 30% as vendas de seus dois produtos P1 e P2.
As alternativas são:
a) Investir em um programa institucional com outras empresas do mesmo ramo.
Esse programa requer um investimento mínimo de $ 3.000,00 e deve proporcionar um
aumento de 3% nas vendas de cada produto, para cada $ 1.000,00 investidos.
b) Investir diretamente na divulgação dos produtos. Cada $ 1.000,00 investidos
em P1 retomam um aumento de 4% nas vendas, enquanto que para P2 o retorno é de
10%.
A empresa dispõe de $ 10.000,00 para esse empreendimento. Quanto deverá
destinar a cada atividade? Construa o modelo do sistema descrito.
9. Uma liga especial constituída de ferro, carvão, silício e níquel pode ser obtida
usando a mistura desses minerais puros além de 2 tipos de materiais recuperados.
Material Recuperado 1- MR1- Composição:
ferro - 60%
carvão - 20%
silício - 20%
Custo por kg: $ 0,20
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Material Recuperado 2 - MR2 - Composição:
ferro - 70%
carvão - 20%
silício - 5%
níquel- 5%
Custo por kg: $ 0,25
A liga deve ter a seguinte composição final:
Matéria-prima % mínima % máxima Ferro 60 65
Carvão 15 20 Silício 15 20 Níquel 5 8
Os custos dos materiais puros são (por kg): ferro: $ 0,30; carvão: $ 0,20; silício: S
0,28; níquel: $ 0,50. Qual deverá ser a composição da mistura em termos dos materiais
disponíveis, com menor custo por kg? Construa o modelo de decisão.
10. Uma rede de depósitos de material de construção tem 4 lojas que devem ser
abastecidas com 50 m3 (loja 1),80 m3 (loja 2),40 m3 (loja 3) e 100 m3 (loja 4) de areia
grossa. Essa areia pode ser carregada em 3 portos P1, P2 e P3, cujas distâncias às lojas
estão no quadro (em km):
L1 L2 L3 L4
P1 30 20 24 18 P2 12 36 30 24 P3 8 15 25 20
O caminhão pode transportar 10 m3 por viagem. Os portos tem areia para suprir
qualquer demanda. Estabelecer um plano de transporte que minimiza a distância total
percorrida entre os portos e as lojas e supra as necessidades das lojas. Construa o
modelo linear do problema.
11. Resolva o problema 1 pelo método gráfico. Qual a ociosidade de recursos na
solução ótima?
12. Resolva o problema 2 pelo método gráfico. Qual a ociosidade de recursos na
solução ótima?
13. Resolva o problema 3 pelo método gráfico.
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14. Resolva o problema 4 pelo método gráfico.
15. Resolva o problema 5 pelo método gráfico. Existe disponibilidade de recursos
na solução ótima?
Resolver graficamente os modelos de programação linear dos exercícios 16, 17 e
18.
16. Maximizar LUCRO = 2x1 + 3x2
Sujeito a:
− x1 + 2x2 ≤ 4
x1 + 2x2 ≤ 6
x1 + 3x2 ≤ 9
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
17. Maximizar RECEITA = 0,3x1 + 0,5x2
Sujeito a:
2x1 + x2 ≤ 2
x1 + 3x2 ≤ 3
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
18. Minimizar CUSTO = 10x1 + 12x2
Sujeito a:
x1 + x2 ≤ 20
x1 + x2 ≥ 10
5x1 + 6x2 ≥ 54
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0
19. Resolva os problemas anteriores pelo método simplex.
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas I - Notas de aula
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3 Dualidade. O termo dualidade refere-se ao fato de que cada modelo de programação linear
consiste de duas formas. A primeira, ou original, é chamada de primal e a segunda
forma do modelo é chamada de dual. Os modelos primal e dual são completamente
inter-relacionados de tal maneira que a solução ótima de um fornece informações
completas sobre o outro. Isto quer dizer que ao se calcular a solução ótima de uma das
formas do modelo, é possível calcular a solução ótima do outro modelo.
Em determinadas situações, a quantidade de cálculos necessária para resolver um
modelo linear pelo método Simplex pode ser reduzida. O modelo primal pode ser
substituído por um modelo dual com solução mais rápida.
Observações:
a) Variáveis de decisão do modelo dual: indicam o valor do recurso por unidade.
b) Função objetivo: calcula o valor total do estoque de recursos.
c) O modelo dual permite determinar o valor mínimo, por exemplo, do estoque
total pelo menos iguais aos lucros unitários fornecidos.
3.1 Montagem do Problema Dual
Seja o seguinte problema de programação linear, em forma literal:
3 e 2 1, para com
:a sujeito
Maximizar
=≥≤++≤++≤++
++=
ix
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
xcxcxcZ
i 0
3333232131
2323222121
1313212111
332211
O dual desse problema pode ser escrito da seguinte maneira:
3 e 2 1, para com
:a sujeito
Minimizar
=≥≥++≥++≥++
++=
iy
cyayaya
cyayaya
cyayaya
ybybybW
i 03333223113
2332222112
1331221111
332211
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas I - Notas de aula
13
Para modelos que as restrições são desigualdades do tipo ≤ , o modelo dual é
construído a partir do primal da seguinte maneira:
1. Cada restrição em um problema corresponde a uma variável no outro.
2. Os elementos do lado direito das restrições em um problema são os
coeficientes da função objetivo do outro problema.
3. Se o objetivo de um problema é maximizar, do outro será minimizar.
4. O problema de maximização tem restrições com sentido ≤ e o problema de
minimização tem restrições com sentido ≥.
5. As variáveis de ambos os problemas são não negativas.
3.2 Propriedades
1. A solução ótima primal corresponde à solução ótima dual (Z = W).
2. O coeficiente da variável de decisão na função objetivo primal é o valor da
variável de folga correspondente na solução dual.
Coeficiente de xi = valor de yFi
3. O coeficiente da variável de folga da função objetivo primal é o valor da
variável de decisão correspondente na solução dual.
Coeficiente de xFi = valor de yi
4. O dual do modelo dual é o modelo primal.
Como conseqüência da propriedade 4 temos que
Coeficiente de yi = valor de xFi e Coeficiente de yFi = valor de xi
4 Análise de Sensibilidade. Um modelo de programação linear inclui dados cujos valores dependem do
mercado e do processo usado na elaboração dos produtos. Estes dados podem sofrer
variações com o tempo ou com a inclusão de novas informações. É importante
pesquisar a estabilidade da solução adotada, em face dessas variações.
A análise de sensibilidade ou de pós−otimização da solução ótima tem o objetivo
de determinar as condições para as quais a solução ótima obtida é válida. O seguinte
modelo servirá de exemplo para o estuda da análise de sensibilidade.
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Variáveis de decisão:
x1: quantidade a produzir do produto P1.
x2: quantidade a produzir do produto P2.
x3: quantidade a produzir do produto P3.
Maximizar Lucro = x1 +2x2 +3x3
Restrições
x1 + x2 + x3 ≤ 10 (Recurso 1)
2x1 + x2 +4 x3 ≤ 12 (Recurso 2)
x1 + 3x2 − x3 ≤ 9 (Recurso 3)
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 e x3 ≥ 0
O Quadro inicial para aplicação do método SIMPLEX é
Base x1 x2 x3 f1 f2 f3 b
1 1 1 1 0 0 10
2 1 4 0 1 0 12
1 3 −1 0 0 1 9
Lucro −1 −2 −3 0 0 0 0
A aplicação do método SIMPLEX na solução gera o seguinte quadro
Base x1 x2 x3 f1 f2 f3 b
f1 0,154 0 0 1 −0,308 −0,231 4,231
x3 0,385 0 1 0 0,231 −0,077 2,077
x2 0,462 1 0 0 0,077 0,308 3,692
Lucro 1,077 0 0 0 0.846 0,385 13,615
4.1 Variação dos Recursos
Determinação do intervalo de variação do Recurso 1 que mantém a solução ótima.
No quadro inicial da resolução do SIMPLEX é possível indicar a variação do
recurso 1 do seguinte modo
∆+
=
∆+
0
0
1
9
12
10
9
12
10
No quadro final a variação do Recurso 1 pode ser indicada assim
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas I - Notas de aula
15
∆+=
∆+
692,3
077,2
231,4
0
0
1
692,3
077,2
231,4
Para que a solução se mantenha ótima é preciso que
4,231 + ∆ ≥ 0, logo ∆ ≥ −4,231
Voltando a situação inicial, obteremos o seguinte intervalo
10 + (−4,231) = 5,769 → [5,769; +∞)
Qualquer valor maior ou igual a 5,679 mantém a solução ótima.
De maneira análoga é possível determinar o intervalo de variação do Recurso 2
que mantém a solução ótima. Do quadro inicial a variação do Recurso 2
∆+
=
∆+0
1
0
9
12
10
9
12
10
No quadro final a variação pode ser indicada assim
∆+∆+∆−
=
−∆+
077,0692,3
231,0077,2
308,0231,4
077,0
231,0
308,0
692,3
077,2
231,4
Mas para que a solução seja ótima é necessário que:
4,231 – 0,308∆ ≥ 0, 2,077+0,231∆ ≥ 0 e 3,692+0,077∆ ≥ 0
Resolvendo as inequações temos que −8,991 ≤ ∆ ≤ 13,737.
E o intervalo de variação do recurso 2 será:
12 − 8,991 = 3,009 e 12 + 13,737 = 25,737 → [3,009 ; 25,737]
Determinação do intervalo de variação do Recurso 3. Do quadro inicial
∆+
=
∆+ 1
0
0
9
12
10
9
12
10
E do quadro final
∆+∆−∆−
=
−−
∆+
308,0692,3
077,0077,2
231,0231,4
308,0
077,0
231,0
692,3
077,2
231,4
Em que é necessário
4,231 − 0,231∆ ≥ 0; 2,077 – 0,077∆ ≥ 0 e 3,692 + 0,308∆ ≥ 0.
Resolvendo as inequações: −11,987 ≤ ∆ ≤ 18,316.
E o intervalo de variação do recurso é [−2,98; 27,316]
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas I - Notas de aula
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4.2 Inclusão de uma nova variável
Suponha a fabricação de um novo produto P4, que usa os mesmos recursos dos
outros três produtos já existentes e que não é possível aumentar a disponibilidade desses
recursos. Isto significa que o produto P4 concorrerá em termos de recursos com os
outros produtos. Qual deve ser o lucro mínimo de P4 para justificar sua fabricação?
É preciso incluir uma nova variável x4 (que indica a quantidade a produzir do
produto P4) e a função objetivo fica
Lucro = x1 +2x2 +3x3+c4x4
O lucro unitário é o coeficiente c4 que precisamos calcular.
Suponha que um levantamento de dados indicou que a produção de P4 requer uma
unidade do recurso 1, uma unidade do recurso 2 e duas unidades do recurso 3. Com
estas informações é possível escrever as restrições da seguinte maneira
x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 10 (Recurso 1)
2x1 + x2 +4 x3 + x4 ≤ 12 (Recurso 2)
x1 + 3x2 − x3 + 2x4 ≤ 9 (Recurso 3)
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 e x4 ≥ 0
A restrição gerada por essa nova variável no modelo dual pode ser escrita assim
y1 + y2 + 2y3 ≥ c4
Pelo quadro final do SIMPLEX, sabe-se que y1 = 0, y2 = 0,846 e y3 = 0,385.
Substituindo esses valores na restrição do dual temos
0 + 0,846 + 2(0,385) ≥ c4
0,846 + 0,770 ≥ c4
1,616 ≥ c4 ou c4 ≤ 1,616
E o lucro unitário do novo produto seria de 1,616, isto é, para que a restrição do
dual referente ao produto P4 seja uma sentença verdadeira deve-se ter
c4 ≤ 1,616
Observação: Se a solução do dual deixar de ser ótima a do primal também deixará
de ser ótima.
Suponha c4 = 1,5 e verifique se a solução permaneceria ótima.
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas I - Notas de aula
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4.3 Mudança nos coeficientes das variáveis da função objetivo.
4.3.1 Variável básica.
Nessa seção serão estudados os intervalos de variação dos coeficientes das
variáveis x2 e x3 de modo a não alterar a solução ótima.
A solução de um quadro se altera quando uma variável não básica entra na base.
No caso do quadro final, a entrada das variáveis x1, f2 ou f3. Como o objetivo é
maximizar o lucro, a solução permanecerá ótima se o aumento do lucro em
consequência dessa inclusão pelo menos compensar a diminuição devido às alterações
nas outras variáveis.
Assim, o intervalo de estabilidade para o coeficiente de x2 será determinado a
partir da análise da entrada das variáveis não básicas.
Determinação do intervalo de estabilidade do coeficiente de x2.
a) Entrada de x1.
O quadro final, na coluna dos coeficientes de x1, mostra as alterações referentes às
variáveis básicas do modelo se o valor de x1 aumentar de 0 para 1. Analisando o quadro
concluímos que f1 diminui em 0,154, x3 diminui em 0,385 e x2 diminui em 0,462. Logo,
se x1 aumenta de 0 para 1, o lucro aumentará de 1 × 1 = 1 unidade (o coeficiente de x1 é
1) e a diminuição devido as outras variáveis é dada por: 0,154× 0 + 0,385×3 + 0,462c2.
Como já vimos, o aumento do lucro deve pelo menos compensar a alteração das
outras variáveis. Logo,
1,155 + 0,462c2 = 1
0,462c2 = 1 − 1,155
0,462c2 = − 0,155
c2 = − 0,155/0,462
c2 = − 0,335
b) Entrada de f2.
Supondo que f2 aumenta de 0 para 1, o lucro aumentará 0× 1 = 0 e a diminuição
devido as outras variáveis é dada por: −0,308 × 0 + 0,231 × 3 + 0,077c2.
Como o aumento do lucro deve pelo menos compensar a alteração das outras
variáveis,
0,693 + 0,077c2 = 0
Engenharia de Produção Pesquisa Operacional em Sistemas I - Notas de aula
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0,077c2 = −0,693
c2 = −0,693/0,077
c2 = −9
c) Entrada de f3.
Supondo o aumento de f3 de 0 para 1, o aumento do lucro será 0× 1 = 0 e a
diminuição devido as outras variáveis é dada por: −0,231 × 0 − 0,077 × 3 + 0,308c2.
Como o aumento do lucro deve pelo menos compensar a alteração das outras
variáveis,
−0,231 + 0,308c2 = 0
0,308c2 = 0,231
c2 = 0,231/0,308
c2 = 0,75
Ordenando os valores encontrados em (a), (b), (c) e o coeficiente atual:
−9 ≤ −0,335 ≤ 0,75 ≤ 2
A partir dessa ordenação é possível concluir que a solução é estável para c2 ≥ 0,75
(observe que o coeficiente atual, 2, é maior que todos os outros valores encontrados).
Determinação do intervalo de estabilidade do coeficiente de x3.
De modo análogo, é possível determinar o intervalo para o coeficiente da variável
x3.
a) Entrada de x1.
0,154 × 0 + 0,385c3 + 0,462 × 2 = 1
0,385c3 + 0,924 = 1
0,385c3 = 1 − 0,924
0,385c3 = 0,076
c3 = 0,076/0,385
c3 = 0,197
b) Entrada de f2.
−0,308 × 0 + 0,231c3 + 0,077 × 2 = 0
0,231c3 + 0,154 = 0
0,231c3 = −0,154
c3 = −0,154/0,231
c3 = −0,667
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c) Entrada de f3.
− 0,231 × 0 − 0,077 c3 + 0,308 × 2 = 0
− 0,077 c3 + 0,616 = 0
− 0,077 c3 = − 0,616
c3 = 0,616/0,077
c3 = 8
Ordenando os valores encontrados em (a), (b), (c) e o coeficiente atual:
−0,667 ≤ 0,197 ≤ 3 ≤ 8
A partir dessa ordenação conclui-se que a solução é estável para 0,197 ≤ c3 ≤ 8
(observe que o coeficiente atual, 3, é um valor entre 0,197 e 8).
4.3.2 Variável não básica.
Usar o modelo dual com a restrição gerada pela variável de decisão.
Determinação do intervalo de estabilidade do coeficiente de x1.
A restrição do dual é y1 + 2y2 + y3 ≥ 1. Para estudar a variação do coeficiente
usaremos a restrição da seguinte maneira
y1 + 2y2 + y3 ≥ 1 + ∆
Substituindo os valores
0 + 2 (0,846) + 0,385 ≥ 1 + ∆
1,692 + 0,385 ≥ 1 + ∆
2,077 ≥ 1 + ∆
∆ ≤ 2,077 − 1
∆ ≤ 1,077
Fazendo c1 = 1 + ∆
c1 ≤ 1 + 1,077
c1 ≤ 2,077
E a solução é estável para c1 ≤ 2,077.
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5 Referências.
ANDRADE, E. L., Introdução à Pesquisa Operacional: Métodos e Modelos para
Análise de Decisões. 3ª. Edição. LTC Editora. Rio de Janeiro, 2002.
BRONSON, R. .Pesquisa Operacional, McGraw-Hill ,1985
GOLDBARG, M. C. & LUNA, H. P. L. Otimização Combinatória e Programação
Linear, Campus, 2000.
PRADO, D. Programação Linear. Belo Horizonte, Ed. Desenvolvimento Gerencial,
1999.
SILVA, Ermes Medeiros et al.. Pesquisa Operacional. Atlas, 1998
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