unidad 4. paralelismo · teorema: en un plano, si dos rectas son paralelas entonces toda secante a...
Post on 28-Sep-2018
242 Views
Preview:
TRANSCRIPT
UNIDAD 4. PARALELISMO
RECTAS PARALELAS
Se dice que dos rectas L1 y L2 son paralelas si
son coplanares y no tienen ningún punto en
común. Se denota por L1 L2 o L2 L1 . Dos
segmentos (semirrectas) son paralelos si
pertenecen a rectas paralelas.
TEOREMA: (1er Criterio de paralelismo) Si
en un mismo plano, dos rectas son
perpendiculares a una tercera entonces ellas
son paralelas.
Dm: Sean L1, L2 y L3 rectas coplanares tales
que L1 L3 y L2 L3. Si L1 y L2 no fueran
paralelas entonces tendrían un punto común A,
por el cual pasarían dos perpendiculares a L3, y
esto contradice que por un punto exterior a
una recta pasa solamente una perpendicular a
ella. Luego L1 L2 .
NOTA: Si las tres
rectas no son
coplanares, entonces
dos perpendiculares a
una tercera en lugar de
ser paralelas son
secantes o cruzadas.
Por ejemplo en el
espacio se tiene, DC BC y EC BC sursur sur sur
, sin
embargo DC y ECsursur
son secantes, también
AB BC y EC BC sursur sursuur
pero AB y ECsursuur
son
cruzadas.
EXISTENCIA DE UNA PARALELA
TEOREMA: Por un punto exterior a una recta,
pasa por lo menos una paralela a dicha recta.
Dm: Consideremos el plano determinado por
una recta L1 y un punto A exterior a L1. Por A
tracemos la recta L2 L1 y después por A
tracemos la recta L3 L2, resulta L3 L1 (s a
3a). Por lo tanto por A pasa por lo menos una
recta paralela a L1.
POSTULADO DE EUCLIDES
AXIOMA: Por un punto exterior a una recta
solamente pasa una paralela a dicha recta.
Este postulado garantiza la unicidad de la
paralela a una recta por un punto exterior a
ella, es decir, si por un punto A exterior a una
recta L, pasan las rectas L1 y L2 , con L1 L y
L2 L, entonces L1 y L2 deben coincidir.
TEOREMA: En un plano, si dos rectas son
paralelas entonces toda secante a una de ellas
también es secante a la otra.
Dm: Ejercicio
TEOREMA: (Criterio de perpendicularidad) En
un plano, si dos rectas son paralelas entonces
toda perpendicular a una de ellas es
perpendicular a la otra.
Dm: Sean L1 L2 y L3 L1, entonces L3
también será secante a L2. Sea A el punto
común entre L3 y L2. Tracemos por A la recta
L4 L3 y como L1 L3 entonces L4 L1 (s a
3ª). En suma, por A se tienen L2 L1 y L4 L1
L3
L1
L2
A
B C
A
E
D
Unidad cuatro paralelismo, Página 1 de 43
entonces por el postulado de Euclides L2 y L4
deben coincidir y en definitiva L3 L2 .
TEOREMA: En un plano, dos rectas
respectivamente perpendiculares a dos rectas
secantes, son secantes. (Ejercicio)
TRANSITIVIDAD
TEOREMA: (2o Criterio de paralelismo) Dos
rectas paralelas a una tercera son paralelas,
es decir, la relación de paralelismo es
transitiva.
Dm: Sean L1 L2 y L2 L3 . Si L1 y L3 no
fueran paralelas, entonces tendrían un punto
en común A, y por él estarían pasando dos
paralelas a L2 , lo cual contradice el postulado
de Euclides, luego L1 L3.
ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS
Y UNA TRANSVERSAL A ELLAS
TRANSVERSAL: Es una recta secante a dos
rectas coplanares, pero en puntos distintos.
Si T es una transversal a L1 y L2 (secante a L1
en A y a L2 en B), entonces se forman cuatro
ángulos internos: (1, 2, 3 y 4), y cuatro
ángulos externos: (5, 6, 7 y 8), que se
clasifican en:
ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS: Son
dos ángulos internos de distinto vértice
situados en distinto semiplano con respecto a
la transversal: 1 y 4 ; 2 y 3.
ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS: Son dos
ángulos externos de distinto vértice situados
en distinto semiplano con respecto a la
transversal: 5 y 8 ; 6 y 7.
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES: Son dos
ángulos de distinto vértice, uno interno y otro
externo y situados en un mismo semiplano con
respecto a la transversal: 5 y 3 ; 1 y 7;
6 y 4 ; 2 y 8.
ÁNGULOS COLATERALES INTERNOS: Son
dos ángulos internos de distinto vértice y
situados en un mismo semiplano con respecto a
la transversal: 1 y 3 ; 2 y 4.
ÁNGULOS COLATERALES EXTERNOS: Son
dos ángulos externos de distinto vértice y
situados en un mismo semiplano con respecto a
la transversal: 5 y 7 ; 6 y 8.
PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS ENTRE
DOS PARALELAS Y UNA TRANSVERSAL
TEOREMA: Entre dos paralelas y una
transversal se forman ángulos alternos
internos congruentes.
Dm: Sean L1 L2 y T una transversal, secante
a L1 en A, a L2 en B. Tracemos por el punto
medio C de AB la recta L3 L1 en D y si L1L2
entonces L3 L2 en un punto E.
L1
L2
T
A
B
1 2
6 5
4 3
7 8
Unidad cuatro paralelismo, Página 2 de 43
B
L
A
C D
Por RHA, se tiene DACEBC, luego
DACEBC (sHs) y por lo tanto los ángulos
alternos internos entre paralelas resultan
congruentes.
COROLARIO: Entre dos paralelas y una
transversal se forman pares de ángulos:
1. Alternos internos congruentes.
2. Alternos externos congruentes.
3. Correspondientes congruentes.
4. Colaterales internos suplementarios.
5. Colaterales externos suplementarios.
Dm: Ejercicio.
TEOREMA: (3er Criterio de paralelismo) Si
entre dos rectas y una transversal, se forma
algún par de ángulos alternos internos
congruentes entonces las dos rectas son
paralelas.
Dm: Sea T una transversal a las rectas L1 y L2,
secante a L1 en A, a L2 en B. Supongamos que
los ángulos alternos internos CAB y DBA,
(CL1 y DL2) son congruentes,
Tracemos por A la recta L3 L2 entonces para
E sobre L3 en el semiplano opuesto de D
respecto a T, resulta EABDBA, (por ser
Alt.Int. entre L3 L2) . Luego CABEAB,
y por lo tanto AC coincide con AE y las
rectas L1 y L3 coinciden. En definitiva L1 L2 .
COROLARIO: Si entre dos rectas y una
transversal se forma algún par de ángulos
alternos externos congruentes, o
correspondientes congruentes, o colaterales
internos (externos) suplementarios entonces
las dos rectas son paralelas. (Ejercicio)
TEOREMA: Dos ángulos agudos (obtusos) con
sus lados respectivamente paralelos son
congruentes. (Ejercicio)
COROLARIO: Dos ángulos, uno agudo y otro
obtuso, con sus lados respectivamente
paralelos son suplementarios. (Ejercicio)
TEOREMA: En un plano, dos ángulos agudos
(obtusos) con sus lados respectivamente
perpendiculares son congruentes. (Ejercicio)
COROLARIO: En un plano, dos ángulos, uno
agudo y otro obtuso, con sus lados
respectivamente perpendiculares son
suplementarios. (Ejercicio).
DISTANCIA ENTRE PARALELAS
TEOREMA: Dadas dos rectas paralelas
entonces la distancia de cualquier punto, (de
una de ellas), a la otra es una constante.
Dm: Supongamos que L1 L2. Tomemos
A,BL1. Tracemos 2AC L , 2BD L y AD ,
(C,DL2 ). Luego CDABAD (Alt.Int.
L1L2) y como AC BD (s a 3a) resulta
CADBDA (Alt.Int. ACBD). Entonces
por ALA, ACDDBA y por lo tanto AC=BD
(LsHs).
TEOREMA: (4o Criterio de paralelismo) Si
dos puntos A y B, en el mismo semiplano con
respecto a una recta L, equidistan de ella
entonces la recta AB es paralela a L.
Dm: Sean A y B puntos
en el mismo semiplano con
respecto a una recta L,
C
A
B E
D L1
L2
T L3
Unidad cuatro paralelismo, Página 3 de 43
B C
E A D
tales que AC=BD, AC L , BD L , con C,
DL.
Como AC BD (s a 3a), entonces
CADBDA (Alt.Int. AC BD ) y por LAL,
CADBDA, luego ACDDBA (sHs) y
como ACD es recto entonces DBA también
lo es y por lo tanto BD ABsuur
, y como BD L ,
luego AB L (s a 3a).
SUMA DE ÁNGULOS EN EL TRIÁNGULO
TEOREMA: La suma de los ángulos interiores
de un triángulo mide 180°.
Dm: En un ABC, por
A tracemos DEsur
BC y
resultan
DABABC y
EACACB, (Alt.
Int. entre DEsur
BC ) .
Como DAB+BAC+CAE=180°, reemplazando
se obtiene que: A +B +C = 180°.
COROLARIOS:
1. En todo triángulo equilátero cada ángulo
interior mide 60°.
2. En todo triángulo rectángulo los ángulos
agudos son complementarios.
3. En todo triángulo, cada ángulo exterior es
congruente con la suma de los dos ángulos
interiores no adyacentes a él.
4. En todo triángulo, la suma de sus ángulos
exteriores mide 360°.
5. En todo polígono convexo de n lados, los n
ángulos interiores suman 180°(n2).
6. En todo polígono convexo de n lados, los n
ángulos exteriores suman 360°.
7. En todo triángulo rectángulo 60º-30º la
hipotenusa es el doble del cateto menor.
Dm: Ejercicio
BASE MEDIA EN UN TRIÁNGULO
BASE MEDIA: En un triángulo se llama
base media al segmento que une los puntos
medios de dos lados. Cada triángulo tiene tres
bases medias.
TEOREMA: (5o Criterio de paralelismo) La
base media de un triángulo es paralela al
tercer lado y mide la mitad de dicho lado.
Dm:
En un ABC, sea
DE la base media
prolongada hasta F
tal que DE=EF y
tracemosFC .
Por LAL, se obtiene
que AED CEF, luego AD = CF (LsHs) y
también DAE FCE (sHs) y como son
alternos internos entre AB y FC , resulta
AB FCsursuur
P . Además, como AD=DB entonces DB =
FC.
Tracemos DC y se obtiene que BDCFCD,
(Alt.Int. AB FCsursuur
P ) y por LAL, BDCFCD
luego BCD FDC (sHs) y DF = BC (LsHs).
Como BCD FDC y son alternos internos
entonces DE BCsur sur
P . Además DE = ½DF = ½BC.
TEOREMA: Si por el punto medio de un lado
de un triángulo se traza una paralela a un
C
E
A
D F
B
Unidad cuatro paralelismo, Página 4 de 43
segundo lado, entonces se obtiene la base
media con respecto a dicho lado.
Dm: (Ejercicio)
MEDIANA RELATIVA A LA HIPOTENUSA
TEOREMA: En todo triángulo rectángulo la
mediana relativa a la hipotenusa es congruente
con la mitad de la hipotenusa.
Dm: En el ABC rectángulo en A, sea AM la
mediana sobre la hipotenusa BC , (BM=MC).
Tracemos MH AB , HAB ,
luego MH CAP , (s a 3a), y H
punto medio de AB, ( por el
punto medio M). Entonces en
el MAB se tiene que MH es
altura y mediana y por lo
tanto el MAB es isósceles
con MA=MB. En definitiva
AM=½BC.
TEOREMA: Si en un triángulo un lado es el
doble de su respectiva mediana, entonces el
triángulo es rectángulo. (Ejercicio)
PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
BARICENTRO
TEOREMA: Las tres medianas de un triángulo
concurren en un punto que se llama
BARICENTRO, el cual está, sobre cada
mediana, a dos terceras partes de mediana
desde el vértice o a una tercera parte de
mediana desde su pie.
Dm: En el ABC tracemos
las medianas BE y CD que
se cortan en G, (D y E
puntos medios de
AB y AC ). Tracemos DE y resulta DE BC y
DE=½BC.
Sean P y Q los puntos medios de BG y CG
respectivamente. Tracemos PQ , entonces en
el GBC resulta PQ BC y PQ=½BC, luego DE
PQ y DE=PQ. También GPQGED y
GQPGDE (Alt.Int.DE PQ ), y por ALA,
GPQGED, luego GP=GE y GQ=GD. En
definitiva GE=BE/3 y GD=CD/3.
De un modo similar se demuestra que las
medianas AM y BE se cortan en un punto G’
tal que G’M=AM/3 y G’E=BE/3, entonces los
puntos G y G’ coinciden y por lo tanto las tres
medianas concurren en el punto G, el cual está
sobre cada mediana, situado a una tercera
parte de mediana desde el pie o a dos
terceras partes de mediana desde el vértice.
CIRCUNCENTRO
TEOREMA: Las tres mediatrices de un
triángulo concurren en un punto que se llama
CIRCUNCENTRO, el cual equidista de los tres
vértices y es el centro de la circunferencia
circunscrita al triángulo:
Dm: En el ABC sea J el punto de
intersección de las mediatrices de los lados
M
A H B
C
E
B C
D
G
P Q
A
A
B C N
M J
Unidad cuatro paralelismo, Página 5 de 43
AB y BC , luego JA=JB y JB=JC (mediatriz es
LG), entonces JA=JC y por lo tanto J también
está sobre la mediatriz de AC . En definitiva
las tres mediatrices concurren en el punto J,
el cual equidista de los tres vértices del
triángulo.
ORTOCENTRO
LEMA: Si por cada vértice de un triángulo se
traza la paralela al lado opuesto, entonces se
forma un triángulo cuyos lados tienen por
puntos medios los vértices del triángulo dado.
(Ejercicio)
TEOREMA: Las tres alturas de un triángulo
concurren en un punto que se llama
ORTOCENTRO.
Dm: En el ABC, tracemos por los vértices A,
B y C las paralelas a sus lados opuestos, y se
obtiene el DEF en el cual A, B y C son los
puntos medios de sus lados.
Las mediatrices del DEF son las alturas del
ABC y como dichas mediatrices concurren
entonces las alturas del ABC concurren.
INCENTRO
TEOREMA: Las tres bisectrices interiores de
un triángulo concurren en un punto que se
llama INCENTRO, el cual equidista de los
lados del triángulo y es el centro de la
circunferencia inscrita en el triángulo.
Dm: En el ABC sea I el punto de corte de las
bisectrices de los A y B interiores.
Tracemos ID AB , IE BC , IF AC , (D, E
y F sobre AB , BC y CA ). Luego IF=ID e
ID=IE (bisectriz es LG), entonces IF=IE y por
lo tanto I también está sobre la bisectriz del
C interior. En definitiva las tres bisectrices
interiores concurren en el punto I, el cual
equidista de los tres lados del triángulo.
EXINCENTRO
TEOREMA: En todo triángulo, la bisectriz de
un ángulo interior y las bisectrices de los dos
ángulos exteriores no adyacentes a él,
concurren en un punto que se llama
EXINCENTRO, el cual equidista de los lados
del triángulo y es el centro de una
circunferencia exinscrita al triángulo. El
triángulo tiene tres exincentros. (Ejercicio).
A D F
C
E
B R
P
Q
H
E C B
D
F
I
A
Unidad cuatro paralelismo, Página 6 de 43
CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS
1. Trazar la paralela a una recta dada, por un
punto exterior dado, por medio de:
a. Perpendiculares a una tercera.
b. Alternos internos congruentes.
c. Correspondientes congruentes.
d. Puntos equidistantes.
2. Trazar la bisectriz de un ángulo con
vértice inaccesible.
3. Construir un triángulo rectángulo
conocidos un cateto y su ángulo opuesto.
4. Construir un triángulo conocidos un lado,
su ángulo opuesto y la altura relativa a
otro de los lados.
5. Construir un triángulo conocidos dos de
sus ángulos y la altura relativa al lado
común de dichos ángulos.
6. Construir un triángulo conocidos un lado,
la mediana relativa a otro lado y el ángulo
desde el que parte dicha mediana.
7. Construir un triángulo conocidos dos de
sus ángulos y la bisectriz de uno de ellos.
8. Construir un triángulo conocidos un lado,
un ángulo no opuesto a él y la bisectriz de
dicho ángulo.
9. Encontrar el circuncentro de un triángulo
dado y trazar la circunferencia
circunscrita.
10. Encontrar el ortocentro de un triángulo
dado.
11. Encontrar el incentro de un triángulo dado
y trazar la circunferencia inscrita.
12. Encontrar los exincentros de un triángulo
dado y trazar las circunferencias
exinscritas.
13. Encontrar el baricentro de un triángulo
dado.
14. Construir un triángulo conocidas las tres
medianas.
A
B C
Unidad cuatro paralelismo, Página 7 de 43
CRUCIGRAMA PARALELISMO
(ELABORÓ: Carlos Alberto Ríos Villa)
1 2
3
4
5 6 7 8
9 10
11
12
13
14 15
16
17
18
19
20
21 22 23
24
25 26
27
28
29
30 31
Unidad cuatro paralelismo, Página 8 de 43
HORIZONTALES
1 Así es la distancia en toda su extensión entre dos rectas paralelas.
4 En un mismo plano si Dos rectas son perpendiculares a una tercera entonces éstas serán paralelas
6 Este punto, siempre interior al triángulo equidista de los tres lados.
7 En un triángulo, En este punto concurren la bisectriz de un ángulo interior y las bisectrices de los ángulos exteriores no adyacentes al primero.
8 El mismo teorema de la base media pero simplificando
10 Dos ángulos agudos u obtusos son iguales si sus lados son así.
12 Este teorema nos permite deducir que al trazar por el punto medio de uno de los lados de un triángulo una paralela a otro lado, dicha paralela cortará al tercer lado en su punto medio.
14 así son los ángulos 1 y 7 3 y 5 6 y 4 ó 2 y 8 pero además solo si L1 y L2 son paralelas estos ángulos son iguales
17 lo son Los ángulos 5 y 8 ó 6 y 7 pero además solo si l1 y l2 son paralelas estos ángulos son iguales
19
Estas rectas parece que no se entendieran, pues lo único que tienen en común es que están en el mismo plano, pero a pesar de ello cada una puede estar en planos distintos, O sea que solo existe un plano que las contiene a ambas, que... que... como así, y... echo que checho ?????.
20 Aunque ni siquiera se toquen, Si así son respectivamente los lados de dos ángulos podemos sacar conclusiones muy interesantes y útiles.
21 También esta propiedad se cumple entre dos paralelas y una tercera paralela a cualquiera de ellas
22 El teorema fundamental de triángulo, pero escrito simplificadamente
23 El teorema de la base media, pero con la hipótesis y la tesis invertidas y escrito simplificadamente.
24 El quinto postulado de Euclides garantiza que por un punto exterior a una recta solo hay una paralela a ésta.
26 Este punto que puede ser interior (¿en qué caso?), exterior (¿en qué caso?) o estar sobre uno de los lados (¿en qué caso?) del triángulo, equidista de los tres vértices de éste.
27 Reciproco del teorema fundamental del triángulo, simplificándolo.
28 Podemos asegurar que si se tienen dos rectas paralelas, una secante a una de ellas también es??????
29 Este teorema nos prueba que en un triángulo éste ángulo mide lo mismo que la suma de los interiores no adyacentes a él.
30 Este punto esta sobre cada mediana a dos tercios del vértice y a uno del lado de la respectiva mediana.
31 Lo son los ángulos 1 y 4 ó 2 y 3, pero además solo si l1 y l2 son paralelas estos ángulos son iguales
VERTICALES
2 El teorema fundamental del triángulo y el del triángulo isósceles me permiten concluir que en este triángulo cada ángulo interior mide 60°
3 Los ángulos 1 y 3 ó 2 y 4 además solo si L1 y L2 son paralelas estos ángulos son suplementarios
5 Por fin podemos usar este teorema que casi todos nos sabíamos, que dice que los ángulos interiores de un triángulo suman 180°
9
En el triángulo rectángulo este segmento mide la mitad de la hipotenusa, del que se concluye también que el punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices, en otras palabras es el circuncentro, además divide el triángulo en dos triángulos isósceles, no necesariamente congruentes (¿Cuándo lo serán?), pero iso, además si el triángulo es 60-30 uno de ellos es equilátero. ¡Vaya segmentico!
11 Estos, nos permiten probar que dos rectas son paralelas
13 El teorema fundamental del triángulo nos permite concluir que los ángulos agudos de un triángulo rectángulo siempre serán así.
15 nos dice que por un punto exterior a una recta pasa una y solo una paralela a ella
16 los ángulos 5, 6, 7 y 8
18 Lo son los ángulos 5 y 7 ó 6 y 8 pero además solo si l1 y l2 son paralelas estos ángulos son suplementarios.
25 es necesario saber si L1 y L2 lo son, púes, solo en éste caso resultan ángulos congruentes o suplementarios
Unidad cuatro paralelismo, Página 9 de 43
UNIDAD 4
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
Para afrontar la solucion de los ejercicios correspondientes a esta unidad debes tener
presente nuevamente la importancia de la gráfica con sus correspondientes datos de tal
forma que puedas determinar fácilmente lo que es hipótesis y lo que es la tesis. En la
solucion de los ejercicios es necesario recordar los siguientes aspectos:
1. Primer y segundo criterio de paralelismo
2. Criterio de perpendicularidad
3. ángulos formados por dos rectas y una transversal a ellas
4. propiedades de los ángulos entre dos paralelas y una transversal
5. Teoremas y corolarios sobrela base media en el triangulo
6. Teoremas y corolarios sobre la mediana relativa a la hipotenusa
7. Teoremas sobre los puntos notables en el triangulo
Se hace recomendable la realización de un resumen sobre dicho tema.
Unidad cuatro paralelismo, Página 10 de 43
1. En un XOY se traza su bisectriz . Por un punto A sobre el lado se traza la paralela a
, que corta a en B. Probar que el AOB es isósceles.
GRAFICA 32
AFIRMACION RAZON
1
2
3 ( ) ( )
4 ( )
2. En un ABC se trazan las bisectrices del B y del C que se cortan en un punto I. Por I se
traza , D sobre y E sobre . Probar que:
a. DBI y ECI son isósceles.
b. Perímetro ADE = AB + AC.
GRAFICA 33
D-I-E
( )
( )
AFIRMACION RAZON
1
2
3
OZ OX
OY OZ
DE ll BC AB AC
Unidad cuatro paralelismo, Página 11 de 43
4
5 ( ) ( )
6 ( ) ( )
7 ( )
8 ( )
9 ( )
10 ( )
11
12 ( )
13 ⏟ + ⏟ ( ) ( )
14
3. En un ABC se prolongan los lados y , tales que AB'=AB y AC'=AC. Probar que
.
GRAFICA 34
B'C'
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
5 ( )
6
7 ( ) ( )
BA CA
B'C'll BC
Unidad cuatro paralelismo, Página 12 de 43
4. Probar que si dos ángulos, uno agudo y otro obtuso, tienen sus lados respectivamente paralelos,
entonces sus bisectrices son perpendiculares.
GRAFICA 35
AFIRMACION RAZON
1
2 AOP
3
4
5
6
7 ( )
8
9 ( ) ( ) ( )
10 ( )
11
12 ( ) ( )
13
14
5. Si dos ángulos, uno agudo y otro obtuso tienen sus lados respectivamente perpendiculares,
entonces sus bisectrices son paralelas.
GRAFICA 36
Unidad cuatro paralelismo, Página 13 de 43
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4 Tracemos
5
6
7 ( ) ( )
( ) ( )
8
9 90 ( ) ( ) ( ) en ( )
10 2 ( )
11
12 ( )
13 ( ) ( )
14 ( )
15
16
6. Probar que la recta que une los pies de las alturas iguales de un triángulo isósceles, es paralela a
la base.
GRAFICA 37
AFIRMACION RAZON
1
2 =90
3
4
5 ( )
6
7 ( ) ( )
8
9 ( )
Unidad cuatro paralelismo, Página 14 de 43
10 ( )
11
12 de ( ) ( )
13 =180
14 ( ) ( )
15 ( ) ( )
16 ( )
17
7. Si en un cuadrilátero convexo dos ángulos opuestos son rectos, entonces las bisectrices de los
otros dos ángulos son paralelas.
GRAFICA 38
Podemos observar fácilmente que el ejercicio planteado es similar al ejercicio 5 de dicha
unidad, veamos que la gráfica 36 cobija los mismos elementos (realízalo)
8. En ABC, isósceles de base , se toma un punto cualquiera P sobre , y por los puntos
medios M y N de los segmentos y se trazan y , E sobre y F sobre
. Demostrar que EPF = A.
GRAFICA 39
AFIRMACION RAZON
1
2
3
BC BC
BP PC ME BC NF BC AB
AC
Unidad cuatro paralelismo, Página 15 de 43
4 ( )
5 ( )
6 6. ( )
7 ( )
8
9 ( ) ( ) ( )
10
11 ( ) ( )
12
9. Si en un triángulo rectángulo, la altura y la mediana relativas a la hipotenusa forman un ángulo de
20°, hallar sus ángulos agudos.
GRAFICA 40
AFIRMACION RAZON
1
2 20
3 ( )
4
5
6
7
8 ( )
9
10 ( )
11 ( )
12
13
14
Unidad cuatro paralelismo, Página 16 de 43
10. Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 30° entonces la mediana y la altura relativas a la
hipotenusa, dividen al ángulo recto en tres ángulos iguales.
GRAFICA 41
Si tenemos presente lo visto al solucionar el ejercicio 9 tenemos que el ADC Isosceles con
ahora si realizamos la suma de los angulos
interiores en el obtenemos que , por lo tanto si realizamos la suma de los
angulos interiores en el obtenemos que y como el recto en A
entonces CAB=90 , con los datos de CAD , obtenemos que necesariamente
DEA=30 Con la explicación anterior realiza la demostración utilizando afirmación-razon.
11. Probar que en todo triángulo rectángulo la bisectriz del ángulo recto es bisectriz del ángulo
formado por la mediana y la altura relativas a la hipotenusa. Construir un triángulo rectángulo
dadas las longitudes de la altura y la bisectriz que parten del vértice del ángulo recto.
Recordemos que la línea más corta desde un punto a una recta es un segmento perpendicular por lo
tanto
GRAFICA 42
AFIRMACION RAZON
1
2
3 ( )
4
5
6 ( ) ( )
7 ( ) ( )
Unidad cuatro paralelismo, Página 17 de 43
8 ( ) ( )
9 ( )
12. Demostrar que las tres alturas de un triángulo dividen a sus ángulos en ángulos iguales dos a dos.
GRAFICA 43
Podemos observar fácilmente que al trazar las alturas sobre el ortocentro se forman tres
pares de ángulos congruentes por ser opuestos por el vértice y sobre el pie de cada altura
se forman ángulos congruentes de medida de 90 , al realizar la suma de los angulos
interiores igual a 180 podemos obtener la congruencia de los ángulos pedidos (realízalo con
afirmación razón).
13. En un ABC, B=72° y C=30°. Hallar los ángulos que forman:
a. Las alturas de dos en dos.
b. Las bisectrices de dos en dos.
GRAFICA 44
El siguiente ejercicio es fácil de determinar si tomamos los triángulos formados por cada
altura y los ángulos conocidos, aplicando el teorema fundamental de la suma de los ángulos
interiores por ejemplo en el
g=
Unidad cuatro paralelismo, Página 18 de 43
14. En un ABD se tiene que B=2D. Se traza la altura y se prolonga hasta E con
BE=BH. Se traza la recta que corta a en F. Demostrar que: FHD=FDH y
FAH=AHF.
GRAFICA 45
con
AFIRMACION RAZON
1
2
3 ( )
4
5 2
6
7 ( )
8
9 ( )
10
11 ( )
12 ( ) ( )
AH AB
EH AD
Unidad cuatro paralelismo, Página 19 de 43
15. En un ABC, isósceles de base , se prolonga tal que CD=AB y se prolonga tal que
BE=BC/2. Se traza la recta , con H punto medio de y F sobre . Probar que:
a. ADB= 1/2 ABC
b. EA=HD
c. FA=FD=FH
d. Si BAC=58°, calcular el valor del AFH y del ADB.
GRAFICA 46
B-C-D ,
a.
b.
c.
d. si
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4 ( )
5
6
( ) ( ) ( )
7
( ) ( ) ( )
8 ( ) ( )
9
10
11
12 ( ) ( )
13
14
15
16
17 si
BC BC AB
EHF BC AD
Unidad cuatro paralelismo, Página 20 de 43
18
16. En un ABC, rectángulo en A, se prolonga en una longitud igual a AD. Por D se traza
con H sobre y cortando a la recta en I. Probar que .
GRAFICA 47
AFIRMACION RAZON
1
2
3
4
5
17. ¿En un triángulo isósceles podrá ocurrir que las bisectrices de los ángulos iguales sean
perpendiculares? ¿Por qué?
GRAFICA 48
Determina la hipótesis, la tesis y realízalo por
medio de la afirmación – razón
Si las bisectrices de los ángulos de la base son al mismo tiempo alturas entonces
necesariamente podemos demostrar que son medianas y nos lleva a que también sean
mediatrices; por lo tanto el triángulo isósceles tiene que ser equilátero.
CA
DH BC BC AB CG DB
Unidad cuatro paralelismo, Página 21 de 43
EJERCICIOS UNIDAD 4 – PARALELISMO
1. En un ABC se traza la bisectriz del A. Por cualquier punto E sobre el lado se traza
la paralela a , que corta a la prolongación de en F. Demostrar que el AEF es isósceles.
Grafica 37
1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado
del problema determina la hipótesis y la
tesis
2. Dada las afirmaciones determina la
razón de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 ∢ CAD CFG
02 ∢ DAB=∢CAD
03 ∢DAB=∢AEF
04 ∢CFG=∢AEF
05 Δ AEF isósceles
AD AB
AD CA
Unidad cuatro paralelismo, Página 22 de 43
2. En un ABC se trazan las bisectrices de los ángulos exteriores B y C, y la del A interior, que
concurren en I. Por I se traza, D y E respectivamente sobre las prolongaciones de y . Probar
que DE = BD + CE
Grafica 38
1. De acuerdo a la gráfica y al
enunciado del problema determina
la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina
la razón de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 ∢ PBY = YAB
02 ∢ACX = ∢XCQ
03 ∢PBY= , ∢YAB=
∢ACX= , ∢XCQ=
04 ∢ = , =
05 ∢ =∢ ∧ ∢ =
06 Δ BDI, ΔCEI isósceles
07 BD =DI, CE=EI
08 DE=DI+IE
09 DE=BD+CE
Unidad cuatro paralelismo, Página 23 de 43
3. Probar que si dos ángulos agudos tienen sus lados respectivamente paralelos, entonces sus
bisectrices son paralelas.
Grafica 39
1. De acuerdo a la gráfica y al
enunciado del problema determina
la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina
la razón de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 ∢ YCX= ∢ BPX =2𝜶=θ
02 ∢AOB= ∢XPB= β=θ
03 𝜶 =
=β
04 Θ ext al Δ POM
05 Θ=β+ ∢ OMP
β=β+∢OMP
β = ∢OMP
06 ∢ BCP=𝜶=β=∢OMP
07 ∢BCP∧∢OMP A.I
08 CB ∥OM
Unidad cuatro paralelismo, Página 24 de 43
4. Probar que dos ángulos agudos con sus lados respectivamente perpendiculares, tienen sus bisectrices
perpendiculares.
Grafica 40
1. De acuerdo a la gráfica y al
enunciado del problema determina
la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones
determina la razón de cada paso.
Por teorema dos ángulos con lados respectivamente perpendiculares son congruentes implica ∢
O ∢β ⇒𝜶=β
AFIRMACION RAZON
01 𝜶+90°+∢OQP= 80°
02 ∢ OQP ∢BQG
03 β + ∢BGQ+ ∢BQG= 80°
04 𝜶=β=90°-∢ OQP
05 90°-∢ OQP+∢BGQ+∢BQG= 80°
06 ∢BQG= 80°-90°
07
Unidad cuatro paralelismo, Página 25 de 43
5. En un ABC, isósceles de base , se toman sobre los lados iguales, las longitudes iguales y
. Demostrar que .
Grafica 41
1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis
2 .Dada las afirmaciones determina la razón
de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 AB=AC
02 BM=CN
03 AB-BM=AC-CN
AM AN
04
05 ∢AMN ∢ANM
06 + + =180°
2 + =180°
07 ∢AMN+∢ANM+ =180°
∢AMN+ =180°
08 ∢B=∢AMN
09 ∢B∧∢AMN correspondientes
10 ∥
BC BM
CN MN ll BC
Unidad cuatro paralelismo, Página 26 de 43
6. Dado un punto P sobre una recta se toman de longitudes iguales, en un mismo
semiplano con respecto a la recta y con igual inclinación con respecto a ella. Probar que
.
Grafica 42
1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis
2 .Dada las afirmaciones determina la razón
de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 θ+𝜶=180°
02 ΔPMN isósceles
03 PMN PNM = β
04 2β + = 80°
05 2θ + = β +
06 θ = β
07 θ = β Alternos internos
08 MN ∥ AB
AB PM y PN
AB
MN ll AB
Unidad cuatro paralelismo, Página 27 de 43
7. En un cuadrilátero convexo ABCD, tal que AB=AD, BC=DC y AB < BC, los lados opuestos
prolongados se cortan en M y N. Probar que .
Grafica 43
1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina la razón
de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 ∢ CDB=∢CBD
02 Δ ACB ΔACD
03 ∢ABC ∢ADC
04 ∢ABM ∢ADN
05 AB=AD
06 ∢MAB ∢NAD
07 ΔMAB NAD
08 MB = ND
09 BC = CD
10 MB + BC = ND + DC
MC NC
11 ΔMCN isósceles
12 ∢CNM=∢CMN
13 ∢CNM+C = C + CDB=180° Por qué?
14 ∢CNM=∢CDB⇒NM∥ DB
MN ll BD
Unidad cuatro paralelismo, Página 28 de 43
8. Probar que en todo cuadrilátero convexo la suma de las diagonales es mayor que la suma de cada
par de lados opuestos.
Grafica 44
1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina la razón
de cada paso.
Este ejercicio puede ser resuelto por desigualdad triangular
01 DO + OA AD
02 BO + OC BC
03
(DO + BO + (OA + OC AD + BC
04 DB + AC AD + DO + BC
05 De igual forma
DB + AC AB + DC
Unidad cuatro paralelismo, Página 29 de 43
9. Dado un cuadrilátero no convexo BADC con el D interior mayor que un llano, probar que el
ADC (exterior) es igual a A + B + C (interiores).
Grafica 45
1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina la razón
de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 =∢A+β
02 =∢C+β
03 + =∢A+β +C+β
04 ∢ACD=∢A+(β +β )+ C
05 ∢ACD=∢A+B+ C
10. Probar que en un triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa divide al ángulo recto en
dos ángulos iguales a los ángulos agudos del triángulo.
Grafica 46
1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis.
2. Dada las afirmaciones determina la razón
de cada paso.
Unidad cuatro paralelismo, Página 30 de 43
AFIRMACION RAZON
01 𝜶+β=90° ΔABC recto en A
02 ω+𝜶=90° ΔABC recto en D
03 Θ+β=90° ΔADC recto en D
04 𝜶+β= Θ+β ①=③
05 𝜶=Θ De ④
06 𝜶+β=ω+𝜶 ①=②
07 β=ω De ⑥
11. Si el ángulo entre las bisectrices de los ángulos de la base de un triángulo isósceles es igual al
ángulo opuesto a la base, ¿ cuánto mide cada uno de los ángulos del triángulo ?.
Grafica 47
1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis
2. Dada las afirmaciones determina la
razón de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 ∢ABC=∢ACB= 𝜶
02
∢ =
∢ = ∢ = =𝜶
∢ACN=∢MCB
03 Θ+ω= 80°
04 ω +2𝜶=180°
05 Θ+ 𝜶=180°
Unidad cuatro paralelismo, Página 31 de 43
06 (180°-4𝜶)+(180°-2𝜶)=180°
07 360°-180°=6𝜶
08 𝜶=30°
09 Θ= 0°
12. Sobre los lados y de un ángulo recto, se toman los puntos A y B. Se trazan las rectas
, (M sobre , N sobre ), que forme cada una un ángulo de 30° con un lado del
ángulo recto y que se corten en D. Demostrar que el AND y el BMD son isósceles.
Grafica 48
1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis.
2. Dada las afirmaciones determina la razón
de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 30°+90°+ω=180°
ω =60°
02 ω =30°+𝜶
𝜶=30°
03 ΔNDA Isósceles
04 𝜶=β
05 ΔBDM Isósceles
OX OY
AM y BN OY OX
Unidad cuatro paralelismo, Página 32 de 43
13. Calcular los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, si la bisectriz del ángulo recto es
congruente con el cateto menor. Construir un triángulo rectángulo que cumpla esta propiedad,
conociendo únicamente la medida de la altura sobre la hipotenusa.
Grafica 49
1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis.
2. Realiza el problema identificando los
triángulos formados y el teorema fundamental
AFIRMACION RAZON
01 AD bisectriz =
02 2ω+45°=130°
03 ω = °
04 𝜶+ω=180°
05 β+ω=90°
Unidad cuatro paralelismo, Página 33 de 43
14. En un ABC se designan los ángulos por 2a, 2b y 2c. La bisectriz forma con , dos ángulos
adyacentes m y n, (m > n).
a. Probar que m - n = 2 b - 2 c
b. Se traza la altura sobre . Probar que HAE = b – c
PARTE A
1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado
del problema determina la hipótesis y la
tesis.
2. Realiza el problema identificando
los triángulos formados y el
teorema fundamental
Grafica 50
a+m+2c=180 restando
a+n+2b=180
0 (m-n)+(2c-2b)=0
PARTE B
1. De acuerdo a la gráfica y al
enunciado del problema determina
la hipótesis y la tesis.
2. Realiza el problema identificando
los triángulos formados y el
teorema fundamental
Grafica 51
Θ+ω= ⇒ -θ=ω
90°-θ=2b ΔACH
90°-ω- =2c ΔAHB
90°-θ-90°+ω+ =2b-2c
ω+ -θ=2b-2c
ω
2ω=2b-2c
ω=b-c
AE BC
AH BC
m-n=2b-2c
Unidad cuatro paralelismo, Página 34 de 43
15. AH relativa a BC , HD AB y HE AC .
Probar que:
a. DE=AH.
b. (M punto medio de BC ) AB DE
Grafica 52
1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la
tesis.
2. Dada las afirmaciones determina la razón
de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 CA AB ∧ HD AB ⇒ CA∥HD
02 AB AC ∧ HE AC ⇒ HD∥EA
03 ADHE rectángulo ⇒ Por qué?
04 AH=ED ⇒ Por qué?
05 ∢EAH=∢HAD ∢A.I.P
∢EAH=∢AHD
06 AH=AH
07 ΔEAH ΔDAH
08 EA=HD ∧ EH=DA
09 ∢EAD=∢AEH=90°
10 ΔAEH ΔEAD
11 AH ED
12 B = ∢EHC =
13 ∢C=∢AHB=β
14 𝜶+β=90° ΔABC
15 AHC = 90° =𝜶+ ∢EHA ∢EHA =β
Unidad cuatro paralelismo, Página 35 de 43
16 ∢AHB = 90° =β+ ∢AHD ∢ AHD =𝜶
17 ΔEHD ΔADH
18 ∢EDH ∢AHD=𝜶
19 ∢AJE=∢HJD= 80°-2𝜶
20 ∢MAB=∢MBA=𝜶 por qué?
21 ∢ACM=∢CAM=β por qué?
22 ∢AIJ+∢IJM+∢IAJ= 80°
23 ∢AIJ+(AJE +( ∢MAB-∢HAB = 80°
24 ∢AIJ+(180°-2𝜶)+(𝜶+β = 80°
25 ∢AIJ=180°-180°+2𝜶-𝜶+β
26 ∢IAJ=𝜶+β=90°
27 AM ED
16. En un ABC, rectángulo en A, el B es igual a 2/5 del ángulo recto, calcular los ángulos que la
hipotenusa forma con su mediana y con la bisectriz del ángulo recto.
Grafica 53
1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis.
2. Dada las afirmaciones determina la razón
de cada paso.
∢B=
(∢CAB ⇒ ∢B= °
𝜶+ °+ °= 80° ΔABE
𝜶+ω= 80°
ΔAEC isósceles ∢C= ∢CAE
∢C+ ∢B+90°= 80° ⇒ ∢CAE= ∢C= °
⇒ θ= ∢CAE-CAD
Θ= °-45
𝜶=99°
ω=81°
θ=9°
Unidad cuatro paralelismo, Página 36 de 43
17. En un ABC, rectángulo en A, se construye MAB=B, con M sobre . Pruebe que AM=BM=CM.
Grafica 54
1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del
problema determina la hipótesis y la tesis.
2. Dada las afirmaciones determina la razón
de cada paso.
AFIRMACION RAZON
01 𝜶+β=90° ΔABC
02 Θ+β=90° ΔABC
03 𝜶+β=β+θ ①=②
04 𝜶=θ De ③
05 ΔAMC isósceles De ④
06 AM = MC De ⑤
07 AM = MB ΔABC isósceles
08 AM = MB = MC
BC
Unidad cuatro paralelismo, Página 37 de 43
18. En un ABC, rectángulo en A, AB < AC, se traza la altura y se toma D sobre la hipotenusa
con HD=HB. Desde C se traza . Demostrar que es la bisectriz del ACE.
Grafica 55
Determinar la hipótesis y la tesis
Determinar la razón en cada afirmación
AFIRMACION RAZON
01 AH mediana
02 AH altura
03 ΔABC isósceles
04 = β
05 β = ω
06 = ω
07 + θ = 90°
08 ω + = 90°
09 + θ = ω +
10 θ =
11 CB bisectriz del ∢ACE
AH
CE AD BC
Unidad cuatro paralelismo, Página 38 de 43
EJERCICIOS SOBRE PARALELAS
GEOMETRÍA C.A.V.A.
EJERCICIOS UNIDAD 4. PARALELISMO
1. En un XOY se traza su bisectriz OZ
. Por
un punto A sobre el lado OX
se traza la
paralela a OY
, que corta a OZ
en B. Probar
que el AOB es isósceles.
2. En un ABC se traza la bisectriz AD del
A. Por cualquier punto E sobre el lado AB
se traza la paralela a AD , que corta a la
prolongación de CA en F. Demostrar que el
AEF es isósceles.
3. En un ABC se trazan las bisectrices del B
y del C que se cortan en un punto I. Por I
se traza DE ll BC , D sobre AB y E sobre
AC . Probar que:
a. DBI y ECI son isósceles.
b. Perímetro ADE = AB + AC.
4. En un ABC se trazan las bisectrices de los
ángulos exteriores B y C, y la del A
interior, que concurren en I. Por I se traza
DE ll BC , D y E respectivamente sobre las
prolongaciones de AB y AC . Probar que DE
= BD + CE
5. En un ABC se prolongan los lados BA y
CA , tales que AB'=AB y AC'=AC. Probar
que B'C'll BC .
6. Probar que si dos ángulos agudos tienen sus
lados respectivamente paralelos, entonces
sus bisectrices son paralelas.
7. Probar que si dos ángulos, uno agudo y otro
obtuso, tienen sus lados respectivamente
paralelos, entonces sus bisectrices son
perpendiculares.
8. Probar que dos ángulos agudos con sus lados
respectivamente perpendiculares, tienen sus
bisectrices perpendiculares.
9. Si dos ángulos, uno agudo y otro obtuso
tienen sus lados respectivamente
perpendiculares, entonces sus bisectrices
son paralelas.
10. En un ABC, isósceles de base BC , se
toman sobre los lados iguales, las longitudes
iguales BM y CN . Demostrar que MN ll BC .
11. Probar que la recta que une los pies de las
alturas iguales de un triángulo isósceles, es
paralela a la base.
12. Dado un punto P sobre una recta AB
se
toman PM y PN de longitudes iguales, en un
mismo semiplano con respecto a la recta AB
y con igual inclinación con respecto a ella.
Probar que MN ll AB .
13. Si en un cuadrilátero convexo dos ángulos
opuestos son rectos, entonces las bisectrices
de los otros dos ángulos son paralelas.
14. En un cuadrilátero convexo ABCD, tal que
AB=AD, BC=DC y AB < BC, los lados
opuestos prolongados se cortan en M y N.
Probar que MN ll BD .
15. Probar que en todo cuadrilátero convexo la
suma de las diagonales es mayor que la suma
de cada par de lados opuestos.
16. Dado un cuadrilátero no convexo BADC con el
D interior mayor que un llano, probar que el
ADC (exterior) es igual a A + B + C
(interiores).
17. En ABC, isósceles de base BC , se toma un
punto cualquiera P sobre BC , y por los puntos
medios M y N de los segmentos BP y PC se
trazan ME BC y NF BC , E sobre AB y F
sobre AC . Demostrar que EPF = A.
18. Probar que en un triángulo rectángulo la
altura relativa a la hipotenusa divide al ángulo
recto en dos ángulos iguales a los ángulos
agudos del triángulo.
19. Si en un triángulo rectángulo, la altura y la
mediana relativas a la hipotenusa forman un
ángulo de 20°, hallar sus ángulos agudos.
20. Si el ángulo entre las bisectrices de los
ángulos de la base de un triángulo isósceles
Unidad cuatro paralelismo, Página 39 de 43
GEOMETRÍA C.A.V.A.
es igual al ángulo opuesto a la base, ¿ cuánto
mide cada uno de los ángulos del triángulo ?.
21. Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo de
30° entonces la mediana y la altura relativas
a la hipotenusa, dividen al ángulo recto en
tres ángulos iguales.
22. Sobre los lados OX
y OY
de un ángulo
recto, se toman los puntos A y B. Se trazan
las rectas AM y BN
, (M sobre OY
, N sobre
OX
), que forme cada una un ángulo de 30°
con un lado del ángulo recto y que se corten
en D. Demostrar que el AND y el BMD son
isósceles.
23. Probar que en todo triángulo rectángulo la
bisectriz del ángulo recto es bisectriz del
ángulo formado por la mediana y la altura
relativas a la hipotenusa. Construir un
triángulo rectángulo dadas las longitudes de
la altura y la bisectriz que parten del vértice
del ángulo recto.
24. Calcular los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo, si la bisectriz del ángulo recto es
congruente con el cateto menor. Construir
un triángulo rectángulo que cumpla esta
propiedad, conociendo únicamente la medida
de la altura sobre la hipotenusa.
25. Demostrar que las tres alturas de un
triángulo dividen a sus ángulos en ángulos
iguales dos a dos.
26. En un ABC se designan los ángulos por 2a,
2b y 2c. La bisectriz AE forma con BC , dos
ángulos adyacentes m y n, (m > n).
a. Probar que m - n = 2 b - 2 c
b. Se traza la altura AH sobre BC .
Probar que HAE = b – c
27. En un ABC, B=72° y C=30°. Hallar los
ángulos que forman:
a. Las alturas de dos en dos.
b. Las bisectrices de dos en dos.
28. En un ABC, rectángulo en A, se trazan la
altura AH relativa a BC , HD AB y
HE AC . Probar que:
a. DE=AH.
b. AM DE (M punto medio de BC )
29. En un ABC, rectángulo en A, el B es igual
a 2/5 del ángulo recto, calcular los ángulos
que la hipotenusa forma con su mediana y con
la bisectriz del ángulo recto.
30. En un ABD se tiene que B=2D. Se
traza la altura AH y se prolonga AB hasta E
con BE=BH. Se traza la recta EH
que corta
a AD en F. Demostrar que: FHD=FDH y
FAH=AHF.
31. En un ABC, rectángulo en A, AH es la altura
relativa a BC , HD AB , HE AC y AM
mediana. Prolongando EH y AM se cortan
en F. Se traza BF . Probar que:
a. AHB=BFA
b. BF ll DE
c. Las rectas AH
, BF
y MN
concurren,
(N punto medio de AB )
32. En un ABC, isósceles de base BC , se
prolonga BC tal que CD=AB y se prolonga AB
tal que BE=BC/2. Se traza la recta EHF
,
con H punto medio de BC y F sobre AD .
Probar que:
a. ADB= 1/2 ABC
b. EA=HD
c. FA=FD=FH
d. Si BAC=58°, calcular el valor del
AFH y del ADB.
33. En un ABC, rectángulo en A, se construye
MAB=B, con M sobre BC . Pruebe que
AM=BM=CM.
34. En un ABC, rectángulo en A, se prolonga
CA en una longitud igual a AD. Por D se
traza DH BC con H sobre BC y cortando a
la recta AB
en G. Probar que CG DB .
35. En un ABC, rectángulo en A, AB < AC, se
traza la altura AH y se toma D sobre la
hipotenusa con HD=HB. Desde C se traza
Unidad cuatro paralelismo, Página 40 de 43
EJERCICIOS SOBRE PARALELAS
GEOMETRÍA C.A.V.A.
CE AD . Demostrar que BC es la bisectriz
del ACE.
36. ¿ En un triángulo isósceles podrá ocurrir que
las bisectrices de los ángulos iguales sean
perpendiculares ?. ¿ Porqué ?.
37. Encontrar con regla y compás los puntos del
plano que están a una distancia dada de dos
rectas secantes dadas.
Unidad cuatro paralelismo, Página 41 de 43
TALLER N°5- PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
1. En un triángulo ABC se trazan las bisectrices de los ángulos exteriores B y C, las
cuales concurren en un punto I. Por I se traza , estando D y E sobre las
prolongaciones de AB y AC respectivamente. Probar que CEBDDE
2. En un triángulo ABC se traza AD con B-D-C y tal que D equidiste de AB y AC; se
traza la mediatriz de AD que corta a AC en G; demuestre que DG es paralelo a
AB.
3. Dado un triángulo ABC , trazar las bisectrices BE y CD de los ángulos B y
C respectivamente; con BCDE , se prolonga DE hasta F tal que BCEF .
Demostrar que: BE y CF son paralelas
4. En un se toman A y B sobre DE y CE respectivamente, tales que: DA=BC
y DB = CA, DB y AC se cortan en E. Demuestre que .
5. En un los puntos medios de los lados son respectivamente
, se traza la altura . Demostrar que y .
6. En el , la bisectriz del ángulo interseca a en , y la mediatriz de
interseca a en . Demuestre que .
7. Sobre el lado OX del ángulo XOY se toma un punto A. Desde A se traza la AH
perpendicular a OY y la bisectriz del ángulo HAO corta al lado OY en C. En C se
levanta una perpendicular que corta a OX en B. Probar que el triángulo ABC es
isósceles.
8. Se da un y se toma un punto D en el semiplano opuesto a A respecto a BC tal
que AB =CD y AC=BD, se trazan AF y DE con C - F - E - B tal que
. Demuestre que .
9. Considere un . Sean y puntos de y respectivamente, tales que
y . Pruebe que .
10. Se dan A – E – B y C – F – D sobre dos rectas distintas. Se trazan EF y las
bisectrices de y que se cortan en G. Probar que si es recto
entonces .
Unidad cuatro paralelismo, Página 42 de 43
11. En un ABC se prolongan los lados y hasta B’ y C’ tales que y
. Probar que .
12. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos colaterales internos son
perpendiculares.
13. Se prolonga el cateto CA de un triángulo ABC rectángulo en A, en una longitud
AD=AC. Se traza que corta AB en G. Demostrar que .
14. Desde un punto D de la base AC de un triángulo isósceles, se traza DH
perpendicular a BC, demostrar que
15. Demostrar que en un triángulo rectángulo la bisectriz del ángulo recto es también
bisectriz del ángulo formado por la mediana y la altura que parten del ángulo
recto.
16. Encontrar la medida de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo si la
bisectriz del ángulo recto tiene la misma medida del cateto menor. Encontrar la
medida de los ángulos que forma la bisectriz con la hipotenusa.
17. Se da en un triángulo rectángulo BAC, se trazan la bisectriz AD del y los
segmentos DE, DQ y DR perpendiculares a BC, AB y AC respectivamente.
Demuestre que BD=DE.
18. En un triángulo ABC rectángulo en A, con , se traza la altura AH sobre la
hipotenusa y se toman dos segmentos HD y HB sobre la hipotenusa tales que
HD=HB, se traza CE perpendicular a la prolongación de AD. Demostrar que BC es
bisectriz del .
19. Demostrar que la recta que une los pies de las alturas iguales de un triángulo
isósceles es paralela a la base.
20. En un ABC , se trazan las medianas AM y BN , por N se traza una
paralela a BC y por C una paralela a ;BN estas dos paralelas se cortan en P.
Sea D el punto medio de NP demostrar que .
B'C'll BC
Unidad cuatro paralelismo, Página 43 de 43
top related