una proposición es un enunciado u oración declarativa

Una proposición es un enunciado u oración declarativa de la cual se puede afirmar que es falsa o verdadera perono ambas cosas a la vez

Ejemplos:

¿ Son los siguientes enunciados proposiciones?.

1. La tierra es cuadrada.2. ¿Habla usted francés?.3. ¿Qué hora es?.4. Buenas tardes5. 1+1=3.6. !Ayúdeme por favor!.7. 7 es mayor que 9.8. Luisa estudia medicina.

Los conectivos lógicos son las palabras como y, o, no, si…entonces,que permiten combinar proposiciones simples para producir otras, llamadas proposiciones compuestas. Sus símbolos son:

~ negación

conjunción

disyunción

condicional

bicondicional

disyunción exclusiva

Negación

VF

FV

p p~

V V

V F

F V

F F

p qp q

Conjunción

p : Martha estudia medicinaq : Luisa estudia ingeniería

V V V

V F F

F V F

F F F

p qp q

Conjunción

V V

V F

F V

F F

p qp q

p : Martha estudia medicinaq : Luisa estudia ingeniería

Disyunción

V V V

V F V

F V V

F F F

p qp q

Disyunción

V V

V F

F V

F F

p q

p: El niño va al circoq : El niño va al parque

Disyunción exclusiva

p q

V V F

V F V

F V V

F F F

p q

Disyunción exclusiva

p q

Cuál será el valor de verdad de:

•Si 4<6 entonces 16<36 V

•Si 4<6 entonces 16>36 F

•Si 4>6 entonces 16<36 V

•Si 4>6 entonces 16>36 V

V V V

V F F

F V V

F F V

p q

Implicación o condicional

p q

V V

V F

F V

F F

p q

p: El triángulo es equiláteroq: El triángulo es equiángulo

p q

V V V

V F F

F V F

F F V

p q

Doble implicación, bicondicional o equivalencia

p q

Una tautología es una proposición cuyo valor de verdad es verdadero independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la componen. Si la proposición es una equivalencia, se dice que las dos proposiciones que ella conecta son lógicamente equivalentes. Si es una implicación, la primera proposición implica lógicamente a la segunda.

V F V V

F V F V

p ( )p p ( )p p

Ejemplo:( )p p

Ejemplos de tautologías:

1) ( ) ( )p q q p 2) ( ) ( )p q q p 4) ( ) ( )p q q p 5) ( ) ( )p q p q 6) [( ) ( )] ( )p q q r p r

7) [( ) ( )] [( ) ( )]p q r s p r q s

Un predicado es una frase en la cual intervienen variables,se transforma en proposición al ser reemplazadas las variables por constantes.

Ejemplos:

1( ) :p x x tiene las orejas largas

2 ( ) :p x x persigue a los conejos

4 ( ) :p x a x le da rabia

tiene la cola corta3( ) :p x x

La muerte de Tarzán

Nos dan las siguientes proposiciones:

a) Los perros que tienen las orejas largas, tienen la cola corta.

b) A los perros que persiguen a los conejos, nunca les da rabia.

c) Los perros que no persiguen a los conejos, tienen la cola larga.

Hipótesis: Tarzán murió de rabia.

Pregunta: ¿Cómo tenía las orejas Tarzán?.

Desarrollo:

Como ( ) ( )p q q p entonces a), b), y c) se pueden

escribir en la forma

2 1( ) ( )p x p x 4 3( ) ( )p x p x

3 2( ) ( )p x p x

Por lo tanto:

4 1( ) ( )p x p x

Para x= Tarzán 4 ( )p x es verdadera, de donde se desprende que

1( )p x es verdadera. Por lo tanto

Tarzán tenía las orejas cortas

El dilema de la música

Si voy a cine o trasnocho, entonces, me enfermo.

Si voy a cine o me enfermo, entonces, sufro mucho.

Si escucho música en la noche, entonces, trasnocho.

Hipótesis: !Yo no sufro!.

Pregunta: ¿Escuché música en la noche?.

Desarrollo:

Sean:

Las hipótesis nos conducen a las siguientes proposiciones.

|No escucho música!

( )p q r ( )p r s h q

:p voy a cine :q trasnocho

:r me enfermo :s sufro

:h Escucho música

Como s es falso p r es falso, luego p es falso y

es falso. Por lo tanto r p q es falso, de donde

q hes falso, y por lo tanto es falso, luego:

El estado de ánimo

Si no tomo leche y fumo, entonces, no crezco.

Si tomo leche o no crezco, entonces, me pongo triste.

Si estoy melancólico, entonces, fumo.

Hipótesis: !Estoy contento!.

Pregunta: ¿Estaré melancólico?.

Desarrollo:

Sean:

Las hipótesis nos conducen a las siguientes proposiciones.

|No estoy melancólico|

( )p q r ( ( ))p r s h q

:p Tomo leche :q Fumo

:r Crezco :s Estoy triste

:h Estoy melancólico

Como s es falso ( )p r es falso, luego p es falso y

es verdadera. Por lo tanto r p q es falso, de donde

q hes falso, y por lo tanto es falso, luego:

LA SELECCION IDEAL

El entrenador de la Selección Colombia de fútbol ha llamado a los siguientes cuatro jugadores: Adolfo, Bernardo, Carlos y Diego para que jueguen en los puestos de Portero, Defensa Central, Medio Campo y Puntero Derecho aunque no necesa-riamente en correspondencia con el orden enunciado. Despuésde observarlos en varios entrenamientos ha llegado a las siguientes conclusiones:

Si Adolfo no es defensa central, Carlos no juega en el medio campo.

Si Bernardo juega en el Medio Campo o en la punta derecha, Adolfo es defensa central.

Si Carlos no es Portero, Bernardo es puntero derecho.

Si Diego juega en el medio campo, Bernardo no es defensa central.

Si Diego no es defensa central, Bernardo es defensa central.

¿En que puesto debe jugar cada uno?.

Solución : Sean:

A=Adolfo, B=Bernardo, C=Carlos y D=Diego

p(x)= x es portero

dc(x)= x es defensa central

mc(x)= x juega en el medio campo

pd(x)= x es puntero derecho.

Así el problema escrito en forma simbólica se transforma en:

dc(A) mc(C) (2) (mc(B) pd(B)) dc(A)

(3) p(C) pd(B) (4) mc(D) dc(B)

(5) dc(D) dc(B)

Si mc(D) es V entonces dc(B) es V, luego dc(B) es F y

en (5) tenemos que dc(D) es F, luego dc(D) es V lo cual

es imposible ya que mc(D) es V, por lo tanto mc(D) es F.

Supongamos que mc(C) es V, entonces mc(C) es F por (1),

luego dc(A) es F y por lo tanto dc(A) es V, de donde dc(B)

es F y dc(D) es F, pero esto implica que (4) es F, lo cual es

una contradicción. De donde mc(C) es F.

Supongamos que mc(B) es V, entonces dc(A) es V por (2),

Luego dc(D) es F y dc(B) es F, lo cual nos conduce a una

contradicción por (4), por lo tanto mc(B) es F.

De lo anterior se deduce que mc(A) es V.

Por otra parte, como mc(B) y dc(A) son F, entonces por (2) se tiene que pd(B) es F. Luego de (3) podemos concluir quep(C) es F, de donde p(C) es V.

Como pd(B) es F, pd(A) es F y pd(C) es F entonces pd(D) es V y por exclusión tenemos que dc(B) es V.

De lo anterior se concluye que:

Adolfo debe jugar en el medio campo

Bernardo debe jugar de defensa central

Carlos debe jugar de portero

Diego debe jugar de puntero derecho.

Dado el predicado p(x) el enunciado

21) , 0x x x

Se lee “para todo x p(x)”, y es verdadero si el conjuntode verdad de p(x) es el universo completo.

El símbolo se denomina el cuantificador universal

Ejemplos:

( )x p x

22) n n n n es un número par

23) 2r r r

Dado el predicado p(x) el enunciado

21) 2 0x x x

Se lee “existe x tal que p(x)”, y es verdadero si el conjuntode verdad de p(x) no es vacío.

El símbolo se denomina el cuantificador existencial

Ejemplos:

( )x p x

2 2 22) ( 1) ( 1)n n n n n

23) 2 0r r r r

EJERCICIO:

Escribir las siguientes proposiciones en forma simbólica:

1. Existe un número primo que no es impar.2. Existe en Colombia una inteligencia superior.3. Todos los que no están de acuerdo conmigo son terroristas.4. Existe un número natural que es el menor de todos5. Todo número real positivo es un cuadrado.6. Todos los perros ladran.

Dada la proposición condicional p(x) el enunciado

Se lee “existe un único x tal que p(x)”, y es verdadero si el conjuntode verdad de p(x) consta exactamente de un solo elemento.

! ( )x p x

La negación de la proposición es:, ( )x p x

( )x p x

La negación de la proposición es:, ( )x p x( )x p x

EJERCICIO:

Escribir la negación de las proposiciones dadas en el ejercicio anterior

EJERCICIO:

Escribir la negación de las siguientes proposiciones:

2 2 22) ( )x y x y x y

1) 1x y xy

2 2 23) ( ) 2x y x y x xy y

DefiniciónUn conjunto es una colección de objetos.

EjemplosA = {a, e, i, o, u}

B = {blanco, gris, negro}C = {2, 4, 6, 8, 9}

D = {x|x es un país de América Latina

Extensión y ComprensiónCuando un conjunto es descrito por un propiedad que comparten sus elementos se dice que está determinado por comprensión. Cuando damos una lista explícita de los elementos del conjunto, decimos que está determinado por extensión.

Conjuntos determinados por extensión y porComprensión

A = {x|x es un número primo menor que 50}

A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}

B = {x|x es un entero mayor que -3}

B = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }

C = {x|x es un número par y primo}C = {2}

Consideremos el conjunto

D = {x | x es par, primo y mayor que 5}

El conjunto que no tiene elementos se conoce como el conjunto vacío y se acostumbra a notar por ∅ o { }.

OJO { } NO es el conjunto vacío, es un conjunto con ∅un elemento.

A

B

A B si x A x B

A B si A B y A B

U

Conjunto Potencia o conjunto de Partes

Sea A un conjunto. Definimos la colección

P(A) := {X | X A}.⊆

Se conoce como el conjunto de Partes de A, o el conjunto Potencia de A.

Ejemplos:Sea A = {a, b}.

P(A) = { , {a}, {b}, {a, b}}.∅

Sea A = {a, b, c}.

P(A) = { , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.∅

Si A B entonces P(A) P(B).⊆ ⊆

Si A es un conjunto finito con n elementos, entonces P(A) tiene

2n

elementos.

A BA B

U

{ | }A B x U x A x B

A B

A B

{ | }A B x U x A x B

U

{ | }B A x U x B x A

B A

A BU

A

CA

{ | }CA x U x A

Algunas propiedades de las operaciones entre conjuntos

1)A A A 2)A A A 3)A A

4)A

5) CA A

6) CA A U 7)A B B A

8)A B B A

Algunas propiedades de las operaciones entre conjuntos

15)( )C CA A

16) C U

17) C CA B B A

18)A A

19)A A

6) CA A A

21)A B B A A B 22)( ) ( )A B F A B F

DIAGRAMAS DE VENN

Ejemplo: Sean los siguientes cuatro conjuntos: A = {1,3,5,7,9}, B ={1, 2}, C={2,4,6,9} y D={ 5, 6}

Construimos un Diagrama de Venn, tratando en lo posibleque exista la mayor cantidad de intersecciones entre los diferentesconjuntos.

DIAGRAMAS DE VENNAhora, procedemos a efectuar las operaciones:

1) A U B Para determinar A U B buscamos los elementos que están dentro del circulo amarillo más los que están dentro del azul.

A U B = {1, 3, 5, 7, 9} U { 1, 2} = {1, 2, 3, 5, 7,9}

13 5

7

9

2

2) A U C

Para determinar A U C buscamos los elementos están dentro del circulo amarillo más los que están dentro del rosado.

A U C = {1, 3, 5, 7, 9} U {2, 4, 6, 9} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}

DIAGRAMAS DE VENN

13 5

7

9

2

4 6

DIAGRAMAS DE VENN

3) B U DB U D contiene los elementos que están dentro del circulo azul más los que están dentro del violeta.

52

6

B U D = {1, 2} U {5, 6} = {1, 2, 5, 6}

1

DIAGRAMAS DE VENN

3) A U B U D. Contiene los elementos que están dentro de los círculos amarillo, azul y violeta.

13 5

7

9

2

6

A U B U D = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9}

15

13 5

7

9

2

4 6

9

8

10

A

B

C

U