uma sequÊncia didÁtica para o ensino e aprendizagem de...
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Samara da Silva Corrêa
UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA OENSINO E APRENDIZAGEM DE
PROPORCIONALIDADE NO ENSINOMÉDIO
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE
DARCY RIBEIRO - UENF
CAMPOS DOS GOYTACAZES - RJ
ABRIL DE 2019
Samara da Silva Corrêa
UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O ENSINO E
APRENDIZAGEM DE PROPORCIONALIDADE NO
ENSINO MÉDIO
“Dissertação apresentada ao Centro de Ciên-cias e Tecnologia da Universidade Estadual doNorte Fluminense Darcy Ribeiro, como partedas exigências para obtenção do título de Mes-tre em Matemática.”
Orientador: Prof. Nelson Machado Barbosa
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE
DARCY RIBEIRO - UENFCAMPOS DOS GOYTACAZES - RJ
ABRIL DE 2019
UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O ENSINO E APRENDIZAGEM DEPROPORCIONALIDADE NO ENSINO MÉDIO / Samara da Silva Corrêa. - Campos dosGoytacazes, RJ, 2019.
Corrêa, Samara da Silva.C824
212 f. : il.Bibliografia: 149 - 157.
Dissertação (Mestrado em Matemática em Rede Nacional) - UniversidadeEstadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro, Centro de Ciência e Tecnologia, 2019.
Orientador: Nelson Machado Barbosa.
1. Proporcionalidade. 2. Sequência Didática. 3. Tecnologia no Ensino deMatemática. 4. Aplicativos Educativos. 5. Ensino e Aprendizagem. I. UniversidadeEstadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro. II. Título.
CDD - 510
FICHA CATALOGRÁFICAUENF - Bibliotecas
Elaborada com os dados fornecidos pela autora.
Dedico este trabalho a Deus, pela sua infinita misericórdia;
ao meu namorado Adolfo, pelo carinho, compreensão e
por me dar forças sempre que precisei; a minha mãe que
sempre esteve comigo me apoiando e auxiliando nessa
caminhada; e a todos os familiares e amigos que torceram
por mim.
Agradecimentos
Agradeço primeiramente a Deus, por sempre estar comigo.
Ao meu namorado, Adolfo pelo amor, apoio, confiança e motivação incondicional,
por ter sido tão presente em todos os momentos que precisei. Obrigada por ter me ajudado
a chegar até aqui.
A minha mãe, Margarida, por me auxiliar e cuidar de tudo para que eu tivesse mais
tempo para estudar, pela preocupação e amor dedicados a mim todo esse tempo.
Aos meus irmãos, Savia e Saul, por entenderem minha ausência, pelo apoio e por
acreditarem em mim, meus sobrinhos Nicolly, Davi Lucas e Luna que tanto amo.
A todos meus familiares e amigos, pela força, pelas orações e por torcerem para
que tudo desse certo. Em especial meu primo Guilherme, minha avó Jurema, minha tia
Noemia, minha amiga Cíntia, minha sogra Margarida e meu sogro Alcione.
Ao meu orientador, Prof. Dr Nelson Machado Barbosa por confiar no meu trabalho,
pelo apoio, paciência e competência.
Aos colegas de curso: Bárbara, Bruna, Carla, Emanuel, Érika, Gilmar, Raul, Thiago
e Victor, pelos momentos agradáveis. Em especial, Eliete, Rackel e Diógenes, pelo com-
panheirismo, pelo saber compartilhado, pelos momentos divertidos que compartilhamos
juntos, e por toda ajuda durante o mestrado.
Aos professores do PROFMAT pelos ensinamentos e colaboração.
A Diretora do IFFluminense campus Itaperuna, Michelle Maria Freitas Neto, pelo
incentivo e ajuda.
A todos que, direta ou indiretamente, contribuíram para a realização dessa pesquisa.
De maneira especial, agradeço aos colegas de trabalho Flávia, Paulo Cesar, Josiene,
Angélica, Maria de Fátima, Bruna, Junio, Gilmara, Karen, Altobelly, Laila e Fabielson.
Aos professores do IFFluminese campus Itaperuna, Patrício do Carmo, José Antônio
de Oliveira, Patricia Schettino, Juliana Simões, Jéssica Rohem, Adriano Ferrarez, Emilene
Pereira, pela ajuda indispensável ao disponibilizar suas aulas para aplicação de minha
pesquisa.
Aos alunos do 1º ano do Curso Técnico em Química Integrado ao Ensino Médio e a
todos os professores que participaram da pesquisa.
A professora Cristiane de Paula Bouzada pela ajuda com o inglês.
A professora Schirlane, e as colegas Tuane, Marcelly e Aline pela atenção e pelo
material emprestado.
Ao Instituto Federal Fluminense, pela concessão de Bolsa de Apoio à Formação
Continuada e pelo afastamento para capacitação.
À sociedade Brasileira de Matemática-SBM e UENF pelo oferecimento deste curso.
O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento
de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001.
Enfim, a todos que, de alguma forma, estiveram ao meu lado me apoiando e
auxiliando na realização desse trabalho.
Porque o Senhor dá a sabedoria; da sua boca vem o conhecimento e o entendimento.
Provérbios 2: 6
Resumo
O ensino de matemática possui diversos desafios, e dentre eles está a busca por novas me-
todologias que aprimorem o ensino e aprendizagem da disciplina. Diante disso, a presente
pesquisa tem como objetivo principal analisar a contribuição do uso de uma sequência
didática composta por atividades investigativas suportadas por recurso tecnológico para o
estudo de proporcionalidade. Para compor a sequência didática foram selecionados diferen-
tes aplicativos objetivando potencializar o aprendizado, e a mesma foi aplicada a alunos
do 1º Ano do Curso Técnico em Química Integrado ao Ensino Médio, do Instituto Federal
Fluminense campus Itaperuna. Para melhor compreender as dificuldades do trabalho com
proporcionalidade, foi aplicado um questionário a professores de matemática. Além disso,
foram aplicados um questionário específico e um pré-teste aos alunos da turma onde a
sequência didática foi desenvolvida. Através de um pós-teste e de um questionário investi-
gativo, buscou-se mensurar a apreensão dos conteúdos trabalhados com os alunos durante
a sequência didática e objetivou-se sondá-los quanto a diferentes aspectos do presente
trabalho. Os dados obtidos por meio dos diferentes instrumentos utilizados foram analisados
à luz do referencial teórico consultado, e constatou-se que de fato a aprendizagem foi mais
significativa após a aplicação da sequência didática.
Palavras-chaves: Proporcionalidade; Sequência Didática; Tecnologia no Ensino de Mate-
mática.
Abstract
The teaching of mathematics has several challenges, and among them is the search for new
methodologies that improve the teaching and learning of the discipline. Therefore, the present
research has as main purpose to analyze the contribution of the use of a a didactic sequence
composed of investigative activities supported by technological resources for the study of
proportionality. To compose the didactic sequence different applications were selected in
order to maximize learning, and it was applied to students of the 1st Year of the Technical
Course in Integrated Chemistry High School, Instituto Federal Fluminense, Itaperuna campus.
For a better understanding of the difficulties of working with proportionality, a questionnaire
to math teachers was apllied. In addition, were also apllied a specific questionnaire and a
pre-test to the students in the class where the didactic sequence was developed. Through a
post-test and an investigative questionnaire, to measure the seizure of the contents worked
with the students during the didactic sequence and it was aimed to probe them about
different aspects of the present job. The data obtained through the different instruments
used were analyzed in the light of the theoretical reference consulted, and it was verified that
the learning was more significant after the application of the didactic sequence.
Key-words: Proportionality; Didatic sequence; Technology in Teaching Mathematics.
Lista de ilustrações
Figura 1 – Principais modelos epistemológicos e suas teorias da aprendizagem . . 35
Figura 2 – A prática pedagógica predominante no ensino da Matemática é caracteri-
zada por transmissão verbal, cópia, treino e repetição . . . . . . . . . . 39
Figura 3 – Pirâmide de aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Figura 4 – Esquema de uma Sequência Didática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Figura 5 – Aspecto visual do aplicativo utilizado na “Atividade 1 – Razão no Cotidiano”
da sequência didática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Figura 6 – Aspecto visual do aplicativo utilizado na “Atividade 2 – Cortando a pizza
em diferentes proporções” da sequência didática. . . . . . . . . . . . . . 56
Figura 7 – Aspecto visual do aplicativo utilizado na “Atividade 3 – Construindo con-
ceitos” da sequência didática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Figura 8 – Aspecto visual do aplicativo utilizado na “Atividade 4 – Balançando" . . . 57
Figura 9 – Aspecto visual do software Geogebra, usado na “Atividade 5 - Proporcio-
nalidade e função”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Figura 10 – Fluxograma básico elaborado para a execução do presente projeto. . . . 60
Figura 11 – Laboratórios de informática utilizados para a aplicação da sequência
didática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Figura 12 – Resolução da questão 1 do pré-teste, registrada pelo aluno A20 . . . . . 98
Figura 13 – Resolução da questão 2 do pré-teste, registrada pelo aluno A25 . . . . . 99
Figura 14 – Resolução da questão 3 do pré-teste, registrada pelo aluno A26 . . . . . 99
Figura 15 – Resolução da questão 4 do pré-teste, registrada pelo aluno A30 . . . . . 100
Figura 16 – Resolução da questão 5 do pré-teste, registrada pelo aluno A25 . . . . . 100
Figura 17 – Resolução da questão 6 do pré-teste, registrada pelo aluno A10 . . . . . 101
Figura 18 – Resolução da questão 7 do pré-teste, registrada pelo aluno A6 . . . . . 102
Figura 19 – Resolução da questão 8 do pré-teste, registrada pelo aluno A7 . . . . . 103
Figura 20 – Resolução da questão 9 do pré-teste, registrada pelo aluno A2 . . . . . 104
Figura 21 – Resolução da questão 10 do pré-teste, registrada pelo aluno A24 . . . . 104
Figura 22 – Resolução da questão 11 do pré-teste, registrada pelo aluno A8 . . . . . 105
Figura 23 – Resolução da questão 12 do pré-teste, registrada pelo aluno A27 . . . . 106
Figura 24 – Resolução da questão 13 do pré-teste, registrada pelo aluno A2 . . . . . 106
Figura 25 – Resolução da questão 14 do pré-teste, registrada pelo aluno A1 . . . . . 107
Figura 26 – Aluna realizando a Atividade 1 no aplicativo “Suco, néctar ou refresco” . 108
Figura 27 – Exemplo de desafio proposto da simulação no aplicativo "Suco, néctar e
refresco" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Figura 28 – Registro do aluno A34 - Atividade 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Figura 29 – Exemplo de desafio proposto da simulação no aplicativo "Cortando a pizza"112
Figura 30 – Alunas realizando a Atividade 2 no aplicativo "Cortando a pizza" . . . . 113
Figura 31 – Registro do aluno A8 - Atividade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Figura 32 – Tela inicial do aplicativo "Lei de Ohm" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Figura 33 – Alunos manipulando o aplicativo - Atividade 3 "Construindo Conceitos" . 116
Figura 34 – Registro do aluno A22 - Atividade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Figura 35 – Registro do aluno A8 - Atividade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Figura 36 – Registro do aluno A18 - Atividade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Figura 37 – Tela inicial do aplicativo "Balançando" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Figura 38 – Registro do aluno A8 - Atividade 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Figura 39 – Registro do aluno A23 - Atividade 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Figura 40 – Registro do aluno A34 - Atividade 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Figura 41 – Alunos realizando a Atividade 5 no Geogebra - Etapa I "Copos descartáveis"121
Figura 42 – Reta construída no GeoGebra - Atividade 5 - Etapa I . . . . . . . . . . . 122
Figura 43 – Alunos realizando a Atividade 5 no Geogebra - Etapa II "Funções custo e
receita" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Figura 44 – Retas construídas no GeoGebra - Atividade 5 - Etapa II . . . . . . . . . 124
Figura 45 – Alunos realizando a Atividade 5 no Geogebra - Etapa III "Vazão" . . . . 125
Figura 46 – Hipérbole construída no GeoGebra - Atividade 5 - Etapa III . . . . . . . 125
Figura 47 – Registro do aluno A9 - Atividade 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Figura 48 – Registro do aluno A22 - Atividade 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Figura 49 – Registro do aluno A23 - Atividade 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Figura 50 – Resolução correta da questão 1 do pós-teste, registrada pelo aluno A14 129
Figura 51 – Resolução correta da questão 2 do pós-teste, registrada pelo aluno A21 129
Figura 52 – Resolução correta da questão 3 do pós-teste, registrada pelo aluno A33 130
Figura 53 – (A) Resolução correta da questão 4 do pós-teste, registrada pelo aluno
A22 e (B) resolução correta da questão 5 do pós-teste, registrada pelo
aluno A22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Figura 54 – (A)Resolução incorreta da questão 4 do pós-teste, registrada pelo aluno
A2 e (B) resolução incorreta da questão 4 do pós-teste, registrada pelo
aluno A17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Figura 55 – (A)Resolução correta da questão 6 do pós-teste, registrada pelo aluno
A27 e (B) resolução correta da questão 10 do pós-teste, registrada pelo
aluno A22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Figura 56 – (A)Resolução correta da questão 7 do pós-teste, registrada pelo aluno
A14 e (B) resolução correta da questão 8 do pós-teste, registrada pelo
aluno A27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Figura 57 – (A)Resolução correta da questão 9 do pós-teste, registrada pelo aluno
A20 e (B) resolução correta da questão 11 do pós-teste, registrada pelo
aluno A8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Figura 58 – Resolução correta da questão 12 do pós-teste, registrada pelo aluno A26 137
Figura 59 – (A)Resolução correta da questão 13 do pós-teste, registrada pelo aluno
A9 e (B) resolução correta da questão 14 do pós-teste, registrada pelo
aluno A12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Lista de quadros
Quadro 1 – Habilidades da matriz do ENEM diretamente relacionadas à Proporcio-
nalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Quadro 2 – Ficha técnica dos instrumentos empregados na presente pesquisa . . . 63
Quadro 3 – Ficha técnica das atividades do 1º Ano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Lista de gráficos
Gráfico 1 – Idade dos professores participantes da pesquisa . . . . . . . . . . . . 72
Gráfico 2 – Respostas dos professores quanto às suas formações na área em que
atuam ou outras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Gráfico 3 – Respostas dos professores à questão sobre o tempo de atuação . . . . 73
Gráfico 4 – Respostas dos professores à questão sobre o tipo de instituição em que
trabalham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Gráfico 5 – Respostas dos professores à questão “Quais estratégias de ensino você
utiliza em suas aulas? Assinale-as” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Gráfico 6 – Respostas dos professores à questão “Referente a opção outros assina-
lado na questão anterior, descreva-os” . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Gráfico 7 – Respostas dos professores à questão “Considerando sua prática e os
recursos utilizados, como os alunos reagem à aula de Matemática?” . . 77
Gráfico 8 – Respostas dos professores à questão “Há algum aspecto que você
gostaria de mudar na sua prática em sala de aula? Qual?” . . . . . . . 77
Gráfico 9 – Respostas dos professores à questão “Considerando que o papel do
educador vem mudando ao longo do tempo no processo de ensino-
aprendizagem, como você analisa sua postura frente aos desafios con-
temporâneos do ensino da Matemática?” . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Gráfico 10 – Respostas dos professores à questão “Atualmente, você utiliza algum
dos recursos abaixo em suas aulas? Assinale-os” . . . . . . . . . . . . 79
Gráfico 11 – Respostas dos professores à questão “Descreva como você utiliza os
recursos assinalados na questão anterior” . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Gráfico 12 – Respostas dos professores à questão “Qual seu nível de conhecimento
em relação ao uso do computador?” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Gráfico 13 – Respostas dos professores à questão “Você gosta de trabalhar os con-
ceitos de proporcionalidade? Por quê?” . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Gráfico 14 – Respostas dos professores à questão “As dificuldades com os conceitos
de proporcionalidade devem ser tratadas de forma constante e insistente
durante toda a vida escolar do aluno.” Você concorda ou discorda da
afirmação? Justifique sua resposta.” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Gráfico 15 – Respostas dos professores à questão “Qual a sua maior dificuldade ao
trabalhar estes conceitos?” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Gráfico 16 – Respostas dos professores à questão “Quais recursos você utiliza para
trabalhar os conceitos de proporcionalidade?” . . . . . . . . . . . . . . 85
Gráfico 17 – Respostas dos professores à questão “Quais as maiores dificuldades que
você observa em seus alunos? Em sua opinião, qual(is) a(s) causa(s)
para estas dificuldades?” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Gráfico 18 – Respostas dos professores à questão “O que você considera que pode
ser feito para que o aprendizado dos conceitos de proporcionalidade se
torne mais motivador e significativo?” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Gráfico 19 – Idade dos participantes da pesquisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Gráfico 20 – Sexo dos participantes da pesquisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Gráfico 21 – Respostas dos alunos à questão “Você possui computador em casa?” . 89
Gráfico 22 – Respostas dos alunos à questão “Para que utilizam a internet?” . . . . 90
Gráfico 23 – Respostas dos alunos à questão “Você utiliza algum recurso tecnológico
educacional? Em caso afirmativo, qual?” . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Gráfico 24 – Respostas dos alunos à questão “Você gosta de estudar Matemática?” 92
Gráfico 25 – Respostas dos alunos à questão “Quanto a dificuldade, o que você acha
do conteúdo de Proporcionalidade?” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Gráfico 26 – Respostas dos alunos à questão “Você utiliza o conceito de Proporciona-
lidade em outras disciplinas do Ensino Médio (curso técnico)? Em caso
afirmativo, descreva em qual(is)? Dê exemplo(s)?” . . . . . . . . . . . . 94
Gráfico 27 – Respostas dos alunos à questão “Você utiliza o conceito de Proporcio-
nalidade no seu dia-a-dia? Em caso afirmativo, descreva como.” . . . . 95
Gráfico 28 – Respostas dos alunos à questão “Nas aulas de Matemática, seu profes-
sor . . . Apenas resolve exercícios; Utiliza atividades contextualizadas;
Promove atividades lúdicas; Utiliza recursos tecnológicos.” . . . . . . . 96
Gráfico 29 – Respostas dos alunos à questão “O que você gostaria que o professor
fizesse para tornar as aulas de Matemática mais interessantes?” . . . . 97
Gráfico 30 – Análise do pré-teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Gráfico 31 – Análise do pós-teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Gráfico 32 – Comparação entre os totais de erros, acertos e questões deixadas em
branco pelos alunos ao resolverem o pré-teste e o pós-teste . . . . . . 139
Gráfico 33 – Respostas dos alunos à questão “Após a realização das atividades você
se acha mais capaz de resolver problemas que envolvem o conceito de
proporcionalidade?” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Gráfico 34 – Respostas dos alunos à questão “Em sua opinião, a utilização dos
aplicativos e do programa Geogebra foi” . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Gráfico 35 – Respostas dos alunos à questão “O uso dos aplicativos nas atividades
ajudou no seu aprendizado?” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Gráfico 36 – Respostas dos alunos à questão “De todas as atividades propostas qual
foi a sua preferida? Por quê?” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Gráfico 37 – Respostas dos alunos à questão “Você acredita que se as aulas usassem
mais a tecnologia seu interesse em aprender aumentaria? Por quê?” . 144
Lista de abreviaturas e siglas
EJA Educação de Jovens e Adultos
ENEM Exame Nacional do Ensino Médio
IFF Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense
INEP Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira
PCN Parâmetros Curriculares Nacionais
PISA Programa Internacional de Avaliação de Estudantes
TICs Tecnologias de Informação e Comunicação
Lista de símbolos
< Menor que
> Maior que
∈ Pertence
N Conjunto dos Números Naturais
Z Conjunto dos Números Inteiros
Q Conjunto dos Números Racionais
R Conjunto dos Números Reais
R+ Conjunto dos Números Reais não-negativos
→ Implicação
= Igual
6= Diferente
+ Adição
− Subtração
/ Divisão
· Multiplicação
Sumário
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1 O ESTUDO DA PROPORCIONALIDADE . . . . . . . . . . . 261.1 Principais definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2 Aspectos do estudo da Proporcionalidade . . . . . . . . . . . . . 321.3 Teorias da Aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.4 A Aprendizagem Significativa de David Ausubel . . . . . . . . . 371.5 Aspectos do ensino da Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.6 Parâmetros Curriculares Nacionais e Orientações Curriculares
para o Ensino Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.7 Sequências Didáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2 TECNOLOGIA E EDUCAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.1 A tecnologia e a Educação Matemática . . . . . . . . . . . . . . . 502.2 Tecnologias Digitais no Ensino da Matemática . . . . . . . . . . 522.3 Recursos Tecnológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.3.1 Aplicativo 1 – “Suco, néctar ou refresco” . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.3.2 Aplicativo 2 – “Cortando a pizza” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.3.3 Aplicativo 3 – “Lei de Ohm” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.3.4 Aplicativo 4 – “Balançando” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.3.5 Aplicativo 5 – “GeoGebra” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 METODOLOGIA DA PESQUISA . . . . . . . . . . . . . . . . 593.1 Tipo de pesquisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2 Caracterização da escola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.3 Os alunos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.4 Autorizações e coleta de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.5 Instrumentos empregados para a coleta de dados . . . . . . . . 633.6 A elaboração da Sequência Didática . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.6.1 Atividade 1 - Razão no cotidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.6.2 Atividade 2 – Cortando pizza em diferentes proporções . . . . . . . . . 663.6.3 Atividade 3 – Construindo conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.6.4 Atividade 4 – Balançando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.6.5 Atividade 5 – Proporcionalidade e função . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.6.6 Justificativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 DESENVOLVIMENTO E RESULTADOS DA PESQUISA . . 714.1 Análise do questionário do professor . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2 Análise do questionário do aluno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.3 Análise do pré-teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.4 Aplicação da Sequência Didática e análise de dados . . . . . . . 1084.4.1 Atividade 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.4.2 Atividade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.4.3 Atividade 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.4.4 Atividade 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.4.5 Atividade 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.5 Análise do Pós-teste e Questionário investigativo . . . . . . . . 128
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
APÊNDICES 158
APÊNDICE A – SOLICITAÇÃO PARA REALIZAÇÃO DE ATI-VIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
APÊNDICE B – AUTORIZAÇÃO - DIRETOR . . . . . . . . . . . 161
APÊNDICE C – AUTORIZAÇÃO - RESPONSÁVEIS . . . . . . 163
APÊNDICE D – QUESTIONÁRIO DO PROFESSOR . . . . . . . 165
APÊNDICE E – QUESTIONÁRIO DO ALUNO . . . . . . . . . . 173
APÊNDICE F – PRÉ-TESTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
APÊNDICE G – ATIVIDADES DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA . 180
APÊNDICE H – PÓS-TESTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
APÊNDICE I – QUESTIONÁRIO INVESTIGATIVO . . . . . . 210
21
Introdução
O aprendizado da Matemática, assim como o domínio das técnicas de leitura e
escrita, são pilares fundamentais da Educação Básica, justamente por seus papéis na
formação cidadã do indivíduo (BRASIL, 2013). A partir da capacidade de ler, escrever e
manipular números, é possível ao sujeito compreender os demais conteúdos do currículo
escolar, fazendo uso dos mesmos em variadas situações da vida cotidiana. Sem o domínio
dos conhecimentos básicos, todo o percurso escolar (e pós-escolar) do indivíduo é poten-
cialmente prejudicado. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), no
Ensino Médio, a Matemática possui
[...] um valor formativo, que ajuda a estruturar o pensamento e o raciocíniodedutivo, porém também desempenha um papel instrumental, pois é umaferramenta que serve para a vida cotidiana e para muitas tarefas específicasem quase todas as atividades humanas (BRASIL, 1996b, p. 40).
Contudo, no cotidiano escolar, a Matemática pode representar uma grande dificul-
dade para o aluno (ZATTI; AGRANIONIH; ENRICONE, 2010). A partir do 6º Ano (primeira
série dos Anos Finais do Ensino Fundamental) as dificuldades se acentuam, pois o aprendi-
zado passa a ir além das quatro operações básicas, abordando conceitos mais complexos
e abstrações.
Para Pacheco e Andreis (2018), as dificuldades em aprender Matemática podem es-
tar relacionadas a: experiências negativas do aluno; falta de incentivo familiar; metodologias
do professor; problemas cognitivos; falta de estudos; falta de compreensão dos conteúdos,
dentre outros. Diversas características próprias da Matemática podem contribuir para as
dificuldades de seu aprendizado: os conceitos são de natureza lógico-matemática, e não
empírica; a formação dos conceitos fundamentais se dá por dedução, não por indução; a
Matemática é eminentemente abstrata e há a necessidade de expressar os conceitos em
linguagem própria, dentre outros. Por fim, a relação construída pelo aluno com a Matemática
ao longo dos anos escolares pode ser extremamente negativa, interferindo no processo de
ensino-aprendizagem (ZATTI; AGRANIONIH; ENRICONE, 2010).
Entender as razões que levam o aluno a gostar ou não de Matemática, assim como
estudar as fontes de seus erros são tarefas importantes. Lopes (2008) afirma que a análise
Introdução 22
de textos matemáticos, produzidos pelos alunos, pode oferecer pistas de como ele entende
determinados conteúdos, auxiliando na busca por soluções.
Um dos primeiros e mais importantes passos para ajudar a solucionar os problemas
do ensino-aprendizagem de Matemática é alterar a visão negativa que os alunos têm desta
disciplina, tendendo a culpar a si mesmos, seus professores ou a própria Matemática
por seus insucessos, como foi verificado por Gonçalves Conceição e Almeida (2012),
trabalhando com alunos da Educação de Jovens e Adultos (EJA). Além disso, os alunos
precisam perceber qual o verdadeiro papel da Matemática em suas vidas, a relação dos
números com a realidade, e é função do professor fazer o aluno perceber essas nuances
(RAMOS, 2017).
Muitas vezes o professor é questionado pelo aluno sobre o porquê de ter que
aprender determinados conceitos, com a justificativa de que nunca precisará deles na “vida
real”. De acordo com Gonçalves Conceição et al. (2016), esse distanciamento da realidade
do aluno é resultado da forma como se tem ensinado Matemática, com metodologias
que não promovem a mobilização do aluno para a construção do conhecimento e nem
evidenciam as aplicabilidades do que é aprendido no cotidiano.
O conceito de proporcionalidade possui muitas aplicações na vida cotidiana, porém
alguns trabalhos apontam que o estudo da proporcionalidade é meramente trabalhado
pelos professores em sua prática na forma do algoritmo da regra de três. Esses mesmos
professores, durante suas formações iniciais, também tiveram limitações na apresentação
do conceito de proporcionalidade (COSTA JÚNIOR, 2010) e (SILVA; ALENCAR, 2012).
O conceito de proporcionalidade geralmente são trabalhados no 7º Ano do Ensino
Fundamental (TINOCO; PORTELA; SILVA, 2010). Contudo, a noção de proporcionalidade é
anterior a isso, iniciado quando o pensamento multiplicativo é trabalhado com a criança,
já nas primeiras séries do Ensino Fundamental. A proporcionalidade possui importância
fundamental no ensino-aprendizado da Matemática, pois sua utilidade se estende pelas
diversas outras áreas do conhecimento, porém necessita de métodos eficientes de trabalho,
de forma a superar o simples emprego do algoritmo da regra de três, assim como o erro de
aplicação de estratégias de proporcionalidade em questões onde não existe essa relação
entre as grandezas (BRASIL, 2006) e auxiliar alunos e professores a um aprendizado
mais eficiente, mais amplo e menos simplista. Compreender como a proporcionalidade é
trabalhado no Ensino Médio, pode auxiliar no entendimento das dificuldades dos alunos
quanto a esse conteúdo, que deveria ser aprendido ainda no Ensino Fundamental, mas
cujas deficiências de aprendizagem se estendem até final da Educação Básica, e para além
desta (NASCIMENTO, 2017).
As avaliações externas certamente impactam no trabalho docente, na organização
pedagógica e na organização do currículo (MACIEL; DIAS, 2018). Uma das principais
avaliações brasileiras da contemporaneidade é o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM),
Introdução 23
que atualmente é utilizado como critério de seleção para o acesso do jovem ao Ensino
Superior. Devido a essa função, acaba por ser de interesse da escola que os conteúdos
trabalhados nas disciplinas contemplem as habilidades constantes nas provas do ENEM.
A matriz de Referência do ENEM traz as seguintes habilidades associadas direta-
mente à proporcionalidade (Quadro 1):
Quadro 1 – Habilidades da matriz do ENEM diretamente relacionadas à Proporcionalidade
Código Habilidade
H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do
cotidiano.H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta
ou inversamente proporcionais.H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso
para a construção de argumentaçãoH18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de
grandezas.H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre gran-
dezasH20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
Fonte: Quadro elaborado pela pesquisadora a partir da matriz do INEP (INEP, 2012)
Como é possível observar a resolução de situações-problema envolvendo a variação
de grandezas, direta ou inversamente proporcionais, é um conteúdo presente na matriz de
habilidades do ENEM, o que exige que aluno tenha aprendido adequadamente o conceito de
proporcionalidade e saiba aplicá-los na resolução de questões. O professor de Matemática
precisa desenvolver um trabalho com qualidade em se tratando de proporcionalidade, um
dos temas que mais são cobrados no ENEM (SILVA et al., 2016).
Diante de tudo isso, o presente trabalho é guiado pelo seguinte questionamento:
Como uma sequência didática composta por atividades investigativas a serem realizadas
com auxílio de tecnologias digitais pode contribuir para o estudo de proporcionalidade
direta e inversa, com alunos do 1º ano do Ensino Médio? Propõe-se a organização de
uma sequência didática que procura ir além do conceito de regra de três, oferecendo
subsídios para um trabalho articulado com o dia a dia do aluno, levando em consideração a
aplicabilidade da proporcionalidade no seu cotidiano e formas mais ativas de se aprender
Matemática.
Souza (2014) aborda a resolução de problemas como uma alternativa à tradicional
aula expositiva, e os contextualiza para o estudo do conteúdo proporcionalidade. O autor
apresenta diversas questões-problema, porém não os aplica em sala de aula. Luiz Junior
Introdução 24
(2016) aborda as formas pelas quais é possível resolver questões-problema que envolvam
grandezas proporcionais. Em seu trabalho, o autor mostra que é preciso, primeiro, descobrir
se realmente se trata de uma questão de proporcionalidade, para então, decidir a melhor
forma de resolvê-la. Além disso, ele questiona a importância de se conhecer diferentes
técnicas de resolução de problemas. Faria (2016) realizou uma pesquisa com professo-
res, explorando o Raciocínio Proporcional por meio de atividades com o GeoGebra. Essa
abordagem envolvendo recurso tecnológico, segundo a autora, permitiu explorar diferentes
vertentes do tema proporcionalidade. Nascimento (2017) realizou uma análise dos erros
cometidos por alunos do 3º Ano do Ensino Médio, ao resolverem questões envolvendo pro-
porcionalidade, e concluiu que a maioria dos alunos errava as questões por não interpretar
corretamente os enunciados. Isso levou a pesquisadora a questionar se uma abordagem
menos tradicional, com suporte de recurso tecnológico, não poderia resultar em melhor
aprendizagem.
As análises dos trabalhos dos autores anteriormente citados levaram a pesquisadora
a optar pela elaboração de uma sequência didática para o ensino de proporcionalidade,
com o uso de questões-problema e apoio de recursos tecnológicos, uma vez que os
mesmos constituem estratégias que fogem ao tradicional ensino de matemática. Souza
(2014) propôs os problemas, mas não os aplicou no contexto da realidade educacional.
Diante disso, é interessante o desenvolvimento de um trabalho que aborde o ensino de
proporcionalidade através da resolução de questões, desta vez aplicado em uma sala
de aula. Faria (2016) estudou o uso do GeoGebra com professores de Matemática, e a
abordagem serviu de inspiração para a elaboração de atividades exploratórias, suportadas
por recurso tecnológico, para alunos do Ensino Médio, como forma de analisar o outro
agente do processo de ensino-aprendizagem (o aluno). Luiz Junior (2016) e Nascimento
(2017), ao abordarem a importância de resolver questões-problema e as análises de erros
cometidos pelos alunos, respectivamente, suscitaram a necessidade de pesquisar o ensino
de proporcionalidade através de uma estratégia ativa, como forma de melhor entender os
tais erros e contribuir para a obtenção de novas estratégias educacionais.
O presente trabalho tem como objetivo geral investigar a contribuição do uso de uma
sequência didática composta por atividades investigativas para o estudo de proporcionali-
dade direta e inversa, com alunos do 1º Ano do Curso Técnico em Química Integrado ao
Ensino Médio.
De forma a alcançar o objetivo geral definido, foram delineados os seguintes objetivos
específicos:
• Promover estudos sobre o conceito de proporcionalidade;
• Promover e despertar o senso crítico com relação ao uso da proporcionalidade;
Introdução 25
• Verificar o nível de conhecimento de alunos do 1º Ano do Curso Técnico em Química
Integrado ao Ensino Médio acerca do conteúdo proporcionalidade;
• Identificar as principais dificuldades dos alunos do 1º Ano do Curso Técnico em
Química Integrado ao Ensino Médio na resolução de questões envolvendo proporcio-
nalidade;
• Aplicar uma sequência didática abordando proporcionalidade e questões investiga-
tivas, com suporte de recursos tecnológicos, para os alunos do 1º Ano do Curso
Técnico em Química Integrado ao Ensino Médio;
• Verificar o potencial educacional de uma sequência didática envolvendo recursos
tecnológicos e questões investigativas que sirva como recurso para o trabalho do
professor de Matemática.
A estruturação dos capítulos foi feita da seguinte forma:
O Capítulo 1 aborda aspectos do estudo da proporcionalidade, assim como os concei-
tos de proporcionalidade; o papel das atividades contextualizadas no ensino-aprendizagem
da Matemática e a aprendizagem significativa; as orientações dos Parâmetros Curriculares
Nacionais (PCN) e a importância das sequências didáticas no ensino.
O Capítulo 2 aborda o papel da tecnologia no processo de ensino-aprendizagem;
as tecnologias digitais e a educação matemática; o uso de recursos digitais no ensino da
Matemática e a descrição dos softwares empregados no presente trabalho.
O Capítulo 3 apresenta os aspectos metodológicos da pesquisa, assim como as
etapas da sequência didática elaborada.
No Capítulo 4 são apresentados os dados obtidos a partir das análises do questio-
nário aplicado aos professores de Matemática; das respostas do pré-teste e do questionário
aplicado aos alunos; da sequência didática; do questionário investigativo e do pós-teste.
No Capítulo 5 estão as considerações finais relacionadas à proposta do trabalho,
a avaliação das conclusões obtidas, as dificuldades encontradas e as sugestões para
possíveis aplicações posteriores.
Ao final, encontram-se a lista de Referências bibliográficas e os Apêndices.
26
Capítulo 1
O Estudo da Proporcionalidade
Neste capítulo serão apresentadas as definições de proporcionalidade, assim como
serão discutidos alguns aspectos de seu ensino-aprendizado; serão brevemente abordadas
as Teorias da Aprendizagem, com destaque para a importância da Aprendizagem Signi-
ficativa de Ausubel no cenário educacional; serão abordados alguns aspectos do ensino
da Matemática; serão discutidas as orientações dos Parâmetros Curriculares Nacionais e
Orientações Curriculares para o Ensino Médio referentes ao ensino de proporcionalidade e,
por fim, a importância das sequências didáticas para o ensino.
1.1 Principais definições
As definições abaixo foram retiradas do trabalho de (LIMA et al., 2010) e (LIMA,
2012).
Definição 1.1. Diz-se que duas grandezas são proporcionais quando existe uma corres-
pondência x 7→ y, que associa a cada valor x de uma delas um valor y bem definido da
outra, de tal modo que sejam cumpridas as seguintes condições:
1) Quanto maior for x, maior será y. Em termos matemáticos: se x 7→ y e x′ 7→ y′
então x < x′ implica y < y′.
2) Se dobramos, triplicarmos etc. o valor de x, então o valor correspondente de y
será dobrado, triplicado etc. Na linguagem matemática: se x 7→ y então nx 7→ ny para todo
n ∈ N.
Nas condições acima, a correspondência x 7→ y chama-se uma proporcionalidade.
Exemplo 1.1. Sejam x o volume e y o peso de uma porção de um líquido homogêneo. A
correspondência x′ 7→ y′ cumpre claramente as duas condições acima, logo o volume é
proporcional ao peso.
Capítulo 1. O Estudo da Proporcionalidade 27
Considerando apenas grandezas que têm medida positiva, o modelo matemático da
proporcionalidade leva em consideração apenas números reais positivos.
Definição 1.2. Uma proporcionalidade (numérica) é uma função f : R+ → R+ com as
seguintes propriedades:
1) f é uma função crescente, isto é x < x′ ⇒ f(x) < f(x′) para quaisquer
x, x′ ∈ R+.
2) Para todo x ∈ R+ e todo n ∈ N tem-se f(nx) = n · f(x).
Numa proporcionalidade a propriedade 2), acima admitida apenas quando n ∈ N,
vale para um número real positivo qualquer. Este é o conteúdo do teorema a seguir:
Teorema 1.1 (Teorema Fundamental da proporcionalidade I). Seja f : R+ → R+ uma
função com as seguintes propriedades:
1) x < x′ ⇒ f(x) < f(x′);
2) f(nx) = n · f(x) para todo n ∈ N e todo x ∈ R+.
Então f(cx) = c · f(x) para todo c ∈ R+ e todo x ∈ R+. Consequentemente,
f(x) = ax para todo x ∈ R+ com a = f(1).
Demonstração: Em primeiro lugar, para todo número racional r = m/n, com m,n ∈ N, e
todo x ∈ R+ vale
n · f(rx) = f(n · rx) = f(mx) = m · f(x),
por 2), logo f(rx) =m
nf(x) = r · f(x). Assim, a igualdade f(cx) = c · f(x) é válida quando
c é racional. Suponhamos, por absurdo, que exista c > 0 irracional tal que f(cx) 6= c ·f(x) para algum x ∈ R+. Então ou f(cx) < c · f(x) ou f(cx) > c · f(x). Consideremos
o primeiro caso. Temos então f(cx)/f(x) < c. Seja r um valor racional aproximado de c,
de modo que f(cx)/f(x) < r < c, logo f(cx) < r · f(x) < c · f(x). Como r é racional,
vale r · f(x) = f(rx). Assim, podemos escrever f(cx) < f(rx) < c · f(x). Em particular
f(cx) < f(rx). Mas, como r < c, tem-se rx < cx e, pela propriedade 1), isso obriga
f(rx) < f(cx) e não f(cx) < f(rx). Esta contradição mostra que não é possível ter-se
f(cx) < c · f(x). De modo inteiramente análogo se vê que f(cx) > c · f(x) é impossível.
Portanto deve ser f(x) = c · f(x) para quaisquer c, x ∈ R+.
Observação 1.1. Um teorema análogo, com a mesma demonstração, vale para f : R→ R,
escrevendo, na propriedade 2), n ∈ Z em vez de n ∈ N.
O fato de que uma proporcionalidade f satisfazer a igualdade f(cx) = c · f(x) para
qualquer número real positivo c tem importantes consequências, como pode-se ver no
corolário a seguir:
Capítulo 1. O Estudo da Proporcionalidade 28
Corolário 1.1. Se f : R+ → R+ é uma proporcionalidade então tem-se , para todo x > 0,
f(x) = ax, onde a = f(1).
Com efeito, pelo Teorema Fundamental, para quaisquer x, c ∈ R+, vale f(xc) =
x·f(c) = f(c)·x. Em particular, tomando c = 1, obtemos f(x) = a · x, onde a = f(1).
Uma função R→ R definida por f(x) = ax, onde a ∈ R é uma constante, chama-
se uma função linear. Quando a > 0, a função linear f(x) = ax transforma um número
real positivo x no número positivo ax, logo define, por restrição, uma proporcionalidade
f : R+ → R+. Acabamos de ver que, reciprocamente, toda proporcionalidade é a restrição
de uma função linear a R+. O coeficiente a chama-se o fator de proporcionalidade.
Esta última observação nos permite concluir que se f : R+ → R+ é uma proporcio-
nalidade, então, para quaisquer x1, x2 com f(x1) = y1, f(x2) = y2, tem-se y1/x1 = y2/x2.
Com efeito, ambos esses quocientes são iguais ao fator de proporcionalidade a. A igualdade
y1/x1 = y2/x2 chama-se uma proporção.
Definição 1.3. Diz-se que duas grandezas são inversamente proporcionais quando existe
uma correspondência x 7→ y que associa a cada valor x de uma delas um valor bem definido
y da outra, de tal modo que sejam cumpridas as seguintes condições:
1) Quanto maior for x, menor será y. Em termos matemáticos: se x 7→ y e x′ 7→ y′
então x < x′ ⇒ y′ < y;
2) Se dobrarmos, triplicarmos etc. o valor de x, então o valor correspondente de y
será dividido por dois, por três etc. Em linguagem matemática: se x⇒ y então nx 7→ y/n,
para todo n ∈ N".
Portanto, dizer que y é inversamente proporcional a x equivale a dizer que y é
proporcional a 1/x. Segue-se então do Teorema Fundamental da Proporcionalidade que se
y é inversamente proporcional a x então tem-se y = a/x, onde o fator de proporcionalidade
a é o valor de y que corresponde a x = 1.
Exemplo 1.2. Entre os retângulos de base x, altura y e área igual a 1, tem-se y inversamente
proporcional a x, com y = 1/x.
Suponhamos que duas grandezas x, y achem-se de tal modo relacionadas que a
cada valor especificado de x corresponda um valor bem determinado de y. Neste caso,
diz-se que y é função de x e escreve-se y = f(x).
A dois valores x′, x′′ correspondem então os valores y′ = f(x′) e y′′ = f(x′′). Se a
desigualdade x′ < x′′ implicar sempre que y′ < y′′, diremos que y é uma função crescente
de x. Se, entretanto, x′ < x′′ acarretar y′ > y′′, diremos que y é uma função decrescente de
x. Em qualquer destes dois casos, diz-se que y é uma função monótona de x.
Capítulo 1. O Estudo da Proporcionalidade 29
Definição 1.4. Suponhamos que a grandeza y seja função da grandeza x, isto é, y = f(x).
Diremos que y é diretamente proporcional a x quando as seguintes condições forem
satisfeitas:
1ª) y é uma função crescente de x;
2ª) se multiplicarmos x por um número natural n, o valor correspondente de y
também fica multiplicado por n. Em termos matemáticos: f(n · x) = n · f(x) para todo valor
de x e todo n ∈ N.
Analogamente, temos a definição a seguir:
Definição 1.5. Diz-se que y é inversamente proporcional a x quando as seguintes condi-
ções forem satisfeitas:
1ª) y = f(x) é uma função decrescente de x;
2ª) se multiplicar x por um número natural n, o valor correspondente de y fica dividido
por n, isto é, f(n · x) = 1/n · f(x) para todo valor de x e todo n ∈ N.
Observação 1.2. Para simplificar nossa discussão, em tudo o que se segue nos limitaremos
a considerar grandezas cuja medida é um número positivo. Excluiremos de nossas consi-
derações grandezas como temperaturas abaixo de zero, que são medidas com números
negativos. Isto torna as nossas demonstrações mais curtas, evitando a consideração de
casos, e os resultados ficam mais simples.
Se existissem apenas números racionais, ou seja, se duas grandezas da mesma
espécie fossem sempre comensuráveis, então da igualdade f(nx) = n · f(x) válida para
todo x e todo n ∈ N, poderíamos concluir que y = f(x) é uma função crescente e,
analogamente, de f(nx) = f(x)/n se concluiria que y = f(x) é uma função decrescente.
Isto é o que mostraremos agora. Em primeiro lugar, vejamos o lema adiante:
Lema 1.1. Se f(n · x) = n · f(x) para todo x > 0 e todo n ∈ N, então f(r · x) = r · f(x)para todo número racional r = p/q, onde p, q ∈ N.
Demonstração: Temos:
q · f(r · x) = f(q · r · x) = f(q · pq· x) = f(p · x) = p · f(x).
Logo f(r · x) = p
q· f(x) = r · f(x), como queríamos demonstrar.
Usando o mesmo tipo de raciocínio, pode-se demonstrar que, analogamente, se
f(nx) = f(x)/n para todo x > 0 e todo n ∈ N então f(r · x) = f(x)/r para todo número
racional r > 0.
Capítulo 1. O Estudo da Proporcionalidade 30
Em seguida, tentemos provar que a condição f(n ·x) = n ·f(x) implica que a função
y = f(x) é crescente. Para isto, consideremos x < x′. Então x′ = c · x onde c > 1. Se o
número c fosse racional (ou seja, se as grandezas x e x′ fossem comensuráveis), teríamos
f(x′) = f(c · x) = c · f(x) e daí f(x) < f(x′) porque c > 1. Entretanto, pode ocorrer que c
seja irracional (por exemplo, x pode ser o lado e x′ a diagonal de um quadrado) e então
não podemos utilizar o lema acima.
O teorema a seguir, que é o resultado do fundamental a respeito de grandezas
proporcionais, esclarece a questão.
Teorema 1.2. As seguintes afirmações a respeito de y = f(x) são equivalentes:
1) y é diretamente proporcional a x;
2) para todo número real c > 0, tem-se f(c · x) = c · f(x);
3) existe um número k, chamado a "constante de proporcionalidade"entre x e y, tal
que f(x) = k · x para todo x.
Demonstração: Provaremos que 1)⇒ 2)⇒ 3)⇒ 1). Para mostrar que 1)⇒ 2), suponha-
mos, por absurdo, que y = f(x) seja diretamente proporcional a x mas que se consiga
achar um número real c tal que f(c · x) 6= c · f(x). Para fixar ideias, seja f(c · x) < c · f(x)isto é, f(cx)/f(x) < c. Entre dois números reais quaisquer existe sempre um número
racional. Podemos então achar r racional tal que f(cx)/f(x) < r < c, o que significa
f(cx) < r · f(x) < c · f(x). O lema que provamos acima nos permite reescrever estas
desigualdades como f(cx) < f(rx) < c · f(x). Mas a desigualdade f(cx) < f(rx), junta-
mente com o fato de ser r < c, está em contradição com a hipótese de y ser diretamente
proporcional a x, e ser, portanto, uma função crescente de x. Analogamente se prova que
não pode ser f(cx) > c · f(x). Logo temos f(cx) = cf(x), o que mostra que 1)⇒ 2).
Para provar que 2) ⇒ 3), tomemos k = f(1). Então, em virtude da hipótese 2),
usada com x em lugar de c, temos f(x) = f(x · 1) = x · f(1) = x · k, logo f(x) = k · x.
Finalmente, completamos o ciclo da demonstração provando que 3)⇒ 1). Primeiro
relembramos o acordo feito anteriormente: só lidamos com grandezas cujas medidas são
números positivos. Logo k = f(1) > 0. Então x < x′ implica k · x < k · x′, ou seja,
f(x) < f(x′), portanto y = f(x) é uma função crescente de x. Além disso, f(n · x) =
k · nx = n · kx = n · f(x). Conclusão: y é diretamente proporcional a x.
Raciocínio análogo ao anterior demonstra o teorema a seguir:
Teorema 1.3. As seguintes afirmações a respeito de y = f(x) são equivalentes:
1) y é inversamente proporcional a x;
2) para todo número real c, tem-se f(cx) =f(x)
c;
Capítulo 1. O Estudo da Proporcionalidade 31
3) existe um número k, chamado a "constante de proporcionalidade"entre x e y, tal
que f(x) =k
xpara todo x.
Uma atividade interessante (e bastante educativa) consiste em esboçar o gráfico da
função y = f(x).
No caso de y ser diretamente proporcional a x, temos y = k · x. Quando y é
inversamente proporcional a x, temos y = k/x. No primeiro caso, o gráfico é uma reta que
passa pela origem do sistema de coordenadas e no segundo é uma hipérbole.
O teorema a seguir é a chave para determinar, em todas as situações, se uma dada
função é ou não linear.
Teorema 1.4 (Teorema Fundamental da proporcionalidade II). Seja f : R → R uma
função crescente. As seguintes afirmações são equivalentes:
(1) f(nx) = n · f(x) para todo n ∈ Z e todo x ∈ R.
(2) Pondo a = f(1), tem-se f(x) = ax para todo x ∈ R
(3) f(x+ y) = f(x) + f(y) para quaisquer x, y ∈ R
Demonstração: Provaremos as implicações (1)⇒ (2), (2)⇒ (3) e (3)⇒ (1). A fim demons-
trar que (1) ⇒ (2), provaremos inicialmente que, para todo número racional r = m/n, a
hipótese (1) acarreta que f(rx) = rf(x), seja qual for x ∈ R. Com efeito, como nr = m,
tem-se:
n · f(rx) = f(nrx) = f(mx) = m · f(x),
logo
f(rx) =m
nf(x) = r · f(x).
Seja a = f(1). Como f(0) = f(0 · 0) = 0 · f(0) = 0, a monotonicidade de f nos dá
a = f(1) > f(0) = 0. Assim, a é positivo. Além disso, temos f(r) = f(r · 1) = r · f(1) =r · a = ar para todo r ∈ Q.
Mostremos agora que se tem f(x) = ax para todo x ∈ R.
Suponha, por absurdo, que exista algum número real x (necessariamente irracional)
tal que f(x) 6= ax. Para fixar ideias, admitamos f(x) < ax. (O caso f(x) > ax seria tratado
de modo análogo.) Temos
f(x)
a< x.
Tomemos um número racional r tal que
f(x)
a< r < x.
Capítulo 1. O Estudo da Proporcionalidade 32
Então f(x) < ar < ax, ou seja, f(x) < f(r) < ax. Mas isto é absurdo, pois f é crescente
logo, como r < x, deveríamos ter f(r) < f(x). Esta contradição completa a prova de que
(1)⇒ (2). As implicações (2)⇒ (3) e (3)⇒ (1) são óbvias.
Em algumas situações, o Teorema Fundamental da Proporcionalidade precisa ser
aplicado a grandezas (como área ou massa, por exemplo) cujas medidas são expressas
apenas por números positivos. Então temos uma função crescente f : R+ → R+, onde
R+ = x ∈ R;x > 0 é o conjunto dos números positivos. Neste caso, as afirmações do
Teorema leem-se assim:
(1+) f(nx) = n · f(x) para todo n ∈ N e todo x ∈ R+.
(2+) Pondo a = f(1), tem-se f(x) = ax para todo x ∈ R+.
(3+) f(x+ y) = f(x) + f(y) para quaisquer x, y ∈ R.
Neste novo contexto, o Teorema Fundamental da Proporcionalidade continua válido,
isto é, as afirmações (1+), (2+) e (3+) são ainda equivalentes. Isto se mostra introduzindo a
função F : R→ R, onde F (0) = 0, F (x) = f(x) e F (−x) = −f(x) para todo x > 0. Cada
uma das afirmações (1+), (2+) e (3+) para f equivale a uma das afirmações (1), (2) e (3)
para F .
Deve-se observar que a função f do teorema acima sendo crescente, tem-se
a = f(1) > 0. No caso de se supor f decrescente vale um resultado análogo, com a < 0.
A importância deste teorema está no seguinte ponto: se queremos saber se f : R→R é uma função linear basta verificar duas coisas.
Primeira: f deve ser crescente ou decrescente. (Estamos deixando de lado o caso
trivial de f identicamente nula.)
Segunda: f(nx) = nf(x) para todo x ∈ R e todo n ∈ Z. No caso de f : R+ → R+
basta verificar esta última condição para n ∈ N.
1.2 Aspectos do estudo da Proporcionalidade
A proporcionalidade faz parte do nosso dia a dia. Quando se dobra a quantidade
de ingredientes de uma receita busca-se cozinhar para o dobro de pessoas. Quando
se dobra a velocidade no percurso de carro até o trabalho, por outro lado, objetiva-se
diminuir pela metade do tempo despendido. Esses são apenas dois exemplos simples e
diretos de sua aplicação no dia a dia. Proporcionalidade é um conceito matemático que
não se limita à Matemática. Quando se calcula a densidade populacional; na cartografia
(mapeamento); na engenharia, mecânica, robótica, informática, enfim, diversas áreas fazem
uso da proporcionalidade (ANDINI; JUPRI, 2017).
Contudo, apesar do cotidiano estar permeado por exemplos que envolvem proporci-
Capítulo 1. O Estudo da Proporcionalidade 33
onalidade, nem sempre o aluno é levado a refletir sobre o conceito, mas submetido a um
aprendizado mecânico e sem aparente função real. É preciso, portanto, pensar novas formas
de ensinar e de se aprender Matemática, em específico nos estudos de proporcionalidade.
Segundo Garcez (2016, p. 3):
O tema da proporcionalidade é, sem dúvida, um dos que se revelam maisdifíceis para os alunos do ensino básico. A sensação com que se ficaquando se termina este conteúdo é de que apesar de muito se aplicar eresolver tarefas que envolvam o raciocínio proporcional, este pode nãoter sido desenvolvido tanto quanto se pretendia. Deste modo, este temarequer ainda muita investigação para que o professor saiba como o facilitare promover nos seus alunos este tipo de raciocínio.
Investigações sobre o ensino de Matemática e temas relacionados à proporcionali-
dade não são recentes, mas vêm sendo feitos há algum tempo, e têm levado a descobertas
interessantes, das quais destacam-se quatro trabalhos: trabalhando com material manipu-
lável, Kurtz e Karplus (1979) desenvolveram um trabalho com metodologia ativa (onde o
professor trabalha com material manipulável, e não apenas caneta e papel), incentivando o
envolvimento com o grupo, o que gerou resultados mais satisfatórios do que o aprendizado
individual; Küchemann (1981) constatou que, quando são apresentados problemas que
envolvem proporcionalidade a alunos que já dominam a regra de três sem, contudo, avisá-
los ser possível utilizar esse método para resolução, tais alunos normalmente não fazem
uso dele, o que mostra o quanto a metodologia do professor pode influenciar no erro do
aluno; Carraher, Carraher e Schliemann (1986) concluíram que o uso de material concreto
não é, por si só, um elemento propiciador do aprendizado mas, como afirmam, é possível
aproveitar das situações para dar significado ao uso do material; Kamii e Livingston (1995)
concluíram que aprendizado mecânico e aplicação automática do algoritmo formal fazem
com que o aprendizado da Matemática se resuma a “fazer contas”, na percepção do aluno.
Esses trabalhos mostram uma preocupação antiga dos pesquisadores com o ensino da
Matemática, da qual é possível destacar os seguintes aspectos:
1º - Metodologias ativas e trabalho em grupo são estratégias de ensino que auxiliam
no interesse do aluno, potencializando o aprendizado;
2º - A metodologia utilizada pelo professor para o ensino de proporcionalidade, tem
relação com a forma como os mesmos encaram os problemas;
3º - O simples uso de material concreto não é suficiente para que o ensino-
aprendizado seja mais eficiente, porém, o material concreto pode ajudar a dar significado
ao processo;
4º - O aprendizado mecânico, limitado a aplicação de fórmulas, cria no aluno a
impressão de que a Matemática se resume a fazer contas por fazer, sem uma aplicação
prática, uma utilidade na vida real.
Capítulo 1. O Estudo da Proporcionalidade 34
Em relação à metodologia, o professor deve estar atento ao modo como ensina
proporcionalidade. Segundo Menduni-Bortoloti e Barbosa (2017), pesquisas apontam que
os professores, abordando proporcionalidade, priorizam algoritmo da regra de três e, com
isso, deixam de considerar a relação entre as grandezas, que é o aspecto mais importante
deste estudo.
Os recursos empregados pelo professor nas aulas sobre proporcionalidade também
devem ser alvo de investigação e reflexão por parte do docente. O livro didático, por
exemplo, pode influenciar na forma como o aluno constrói seus saberes, pois os conceitos
neles apresentados podem gerar limitações no aprendizado (SOARES; NEHRING, 2012).
Soares e Nehring (2012) analisaram a forma como o conceito de proporcionalidade é
apresentado em livros didáticos do Ensino Médio, em coleções aprovadas pelo Programa
Nacional do Livro Didático (PNLD/2012), e concluíram que todos os livros traziam atividades
abordando grandezas proporcionais como apresentação do tema, se limitando a analisar as
relações de dependência entre as grandezas sem, contudo, sugerir uma reflexão sobre a
proporcionalidade envolvida.
Outra forma de tornar o estudo matemático mais compreensível para os alunos é
mostrar a relação da Matemática com as outras disciplinas, por meio da interdisciplinaridade.
Castro (2015) elaborou uma sequência didática que busca mostrar aos alunos o conceito
de proporcionalidade e suas aplicações na matemática e em outras disciplinas (geografia,
ciências, física e química), rompendo com a ideia de que não há relação entre os conceitos
aprendidos dentro da disciplina Matemática e outras áreas do conhecimento.
Por fim, tem-se que considerar uma reflexão sobre os erros que os alunos cometem
ao resolver questões sobre proporcionalidade. Longe de constituir apenas erros conceituais
diretamente relacionados ao conteúdo, dificuldades de outras naturezas se encontram
intimamente associadas, como, por exemplo, a interpretação das questões. Nascimento
(2017) faz uma análise dos erros cometidos por alunos do 3º ano do Ensino Médio de duas
escolas do Oeste do Estado do Pará, ao resolverem questões envolvendo proporcionalidade,
e concluiu que a maioria dos erros se dava pela dificuldade de interpretação dos enunciados
das questões, ou seja, os alunos não conseguiam entender o que estava sendo pedido e,
dessa forma, resolviam a questão incorretamente.
Também existem os erros conceituais, que aparecem quando os alunos não domi-
nam o conteúdo. Tobias (2018, p. 103), trabalhando proporcionalidade com uma turma de
9º ano em uma escola da rede municipal de Belo Horizonte, Minas Gerais, verificou que
um dos erros conceituais “é o de dizer que: dadas duas grandezas x e y se x aumenta
e y também aumenta, isso significa que são proporcionais". Trata-se de um erro comum,
justificável a alunos que começaram a estudar Proporcionalidade, mas que pode persistir
até o nível universitário, o que é preocupante.
Capítulo 1. O Estudo da Proporcionalidade 35
1.3 Teorias da Aprendizagem
Ao longo de sua história a humanidade vem construindo diferentes arquétipos, que
buscam explicar os mais variados aspectos da realidade, na forma das disciplinas classica-
mente construídas (biologia, física, química, filosofia entre outras). Tais construções, em
conjunto, constituem o arcabouço de conhecimento que deve ser transmitido às futuras
gerações. Porém, alguns indivíduos têm dificuldade em assimilar tais conhecimentos, o que
leva à necessidade de intervenção psicopedagógica (DISTLER, 2015). Buscando entender o
processo de aprendizagem surgiram diversas teorias da aprendizagem e modelos epistemo-
lógicos, cada qual com suas potencialidades e limitações: Inatismo, Comportamentalismo
(ou Behaviorismo), Interacionismo, Construtivismo, Empirismo, Gestaltismo (ou Humanismo)
entre outras (QUEIROZ, 1998).
Qualquer ação pedagógica, mesmo que inconscientemente, está revestida por uma
teoria ou modelo epistemológico, pois a educação não é neutra (SAVARIS; LAZZARIN; TRE-
VISOL, 2016). Na figura 1 a seguir encontramos um resumo dos modelos epistemológicos
mais adotados na educação:
Figura 1 – Principais modelos epistemológicos e suas teorias da aprendizagem
Fonte: Caliani e Bressa (2017)
No Empirismo, a gênese do conhecimento humano se dá a partir das experiências
do sujeito que, através dos órgãos sensoriais, constrói os saberes (CALIANI; BRESSA,
2017). O Behaviorismo atribui a criação do conhecimento ao comportamento do indivíduo
ou, em outras palavras, à mudança de comportamento mediante os estímulos adequados
Capítulo 1. O Estudo da Proporcionalidade 36
(BOCK; FURTADO; TEIXEIRA, 1999). A psicologia científica proposta pelo Behaviorismo,
embora edifique o comportamento como objeto de estudo, considera que a relação de
aspectos do comportamento com o meio é necessária para explicar o aprendizado (KELLER;
SCHOENFELD, 1974). Por essa teoria da aprendizagem o professor direciona o aprendizado
do aluno, logo a pedagogia é diretiva. O Inatismo (ou Apriorismo) afirma que o conhecimento
do indivíduo já nasce com ele, e vai aparecendo ao longo do processo de maturação.
Por essa teoria, o sujeito é responsável pela gênese do seu conhecimento (CALIANI;
BRESSA, 2017). Segundo o Humanismo, o professor apenas auxilia o aluno a despertar
o conhecimento que ele já possui, uma vez que todos os organismos têm uma tendência
interna a desenvolver todo o seu potencial (JINGNA, 2012).
O Interacionismo, por outro lado, atribui a gênese do conhecimento à interação
entre o sujeito e o objeto. A teoria epistemológica de Piaget; a teoria histórico-cultural de
Vygotsky e a Teoria da Aprendizagem Significativa de Ausubel fazem parte do modelo
epistemológico e constituem de teorias cognitivistas (FACIN, 2015) e (PERES et al., 2014).
Jean Piaget descreveu as fases do desenvolvimento infantil (estádios do desenvolvimento
cognitivo) e estudou profundamente o pensamento da criança Goulart (2008) e Munari
(2010), elaborando a teoria Construtivista, onde o conhecimento é elaborado a partir da
interação do sujeito com o meio. O sujeito epistêmico, que busca o conhecimento, se
desenvolve até alcançar o raciocínio lógico-científico. Para Piaget, o indivíduo, quando
confrontado por um problema, sai de um estado de equilíbrio (adaptação) para um estado
de desequilíbrio. Através de dois processos, a assimilação e a acomodação, o indivíduo vai
se desenvolvendo até a vida adulta (PIAGET, 2013).
Lev Semionovich Vygotsky desenvolveu uma teoria que atribui a gênese do conheci-
mento à cultura, ao meio social e à dimensão histórica do desenvolvimento (IVIC, 1999).
Para Vygotsky o ser humano é eminentemente social, sendo esta sociabilidade, inicialmente
a responsável pelas interações da criança com o meio que a cerca. A hereditariedade,
portanto, não é a única responsável pelo conhecimento que a criança desenvolverá, mas o
meio também tem uma parte significativa nessa construção. Para ele, a aprendizagem é um
processo contínuo, e a educação promove saltos qualitativos no conhecimento (COELHO;
PISONI, 2012). Vygotsky identifica um desenvolvimento real e um desenvolvimento potencial,
cuja interferência de outro sujeito é capaz de auxiliar a criança a criar o conhecimento.
David Paul Ausubel elaborou a Teoria da Aprendizagem Significativa, segundo a
qual uma estrutura cognitiva preexistente é a responsável por servir de “âncora” para novas
informações (MOREIRA; DIONISIO, 1975). A educação não pode ser, portanto, um processo
arbitrário, mas parte de conhecimentos que o aluno já possui. Devido a esse aspecto (de
procurar por interseções da escola com a vida cotidiana, de forma a criar ligações do novo
conhecimento com conhecimentos que o indivíduo já possui), o cognitivismo de Ausubel
apresenta-se como uma teoria que tem muito a oferecer ao presente trabalho, pois fornece
Capítulo 1. O Estudo da Proporcionalidade 37
subsídios para a criação de instrumentos diretamente ligados à prática do professor de
Matemática, disciplina esta que depende de habilidades e conhecimentos interligados mais
do que qualquer outra.
1.4 A Aprendizagem Significativa de David Ausubel
David Paul Ausubel nasceu em 1918, em Nova York. Judeu e pobre cresceu insa-
tisfeito com a educação oferecida à época, permeada de castigos físicos e psicológicos.
Estudou Medicina e Psicologia, graduando-se nesta última. Após obter formação univer-
sitária, dedicou-se à Educação, em uma busca pelo verdadeiro aprendizado (DISTLER,
2015). A principal contribuição de Ausubel para a educação é a proposição de uma teoria
que explica a aprendizagem humana como uma organização cognitiva, centralizando-se no
conhecimento e entendimento da informação, e não apenas na própria informação. Aprender
é agregar conhecimento de forma organizada, e não decorar ou memorizar mecanicamente
(GOMES et al., 2010).
Brum (2015, p. 189) justifica a importância de David Ausubel para a Educação:
Nessa linha de pensamento, a Teoria da Aprendizagem Significativa deAusubel configura-se como adequada e harmoniosa, por privilegiar osconhecimentos prévios dos alunos antes da aplicação de uma sequênciade ensino, a forma de organização de um conteúdo obedecendo o processode diferenciação progressiva e reconciliação integrativa e a valorizaçãoda avaliação formativa e processual, entendendo a aprendizagem comocontínua e progressiva.
Tem-se então, a Aprendizagem Significativa, que é aquela que vai além do momento
em que o aluno se encontra, sendo duradoura, e constituindo uma fonte acessada sempre
que necessário, inclusive para a ampliação do repertório do próprio conhecimento. Tudo o
que não possui significado para o aluno é descartado facilmente, pois não sofreu ancoragem
e, consequentemente, não houve aprendizado.
De acordo com Moreira (2012, p. 2), a Aprendizagem Significativa na teoria de
Ausubel é
aquela em que ideias expressas simbolicamente interagem de maneirasubstantiva e não-arbitrária com aquilo que o aprendiz já sabe. Substantivaquer dizer não-literal, não ao pé-da-letra, e não-arbitrária significa que a in-teração não é com qualquer ideia prévia, mas sim com algum conhecimentoespecificamente relevante já existente na estrutura cognitiva do sujeito queaprende.
Distler (2015, p. 195), discorrendo sobre a teoria de Ausubel, afirma que “a apren-
dizagem significativa ocorre quando as ideias novas vão se relacionando na mente do
indivíduo de forma não arbitrária e substantiva com as ideias já internalizadas”.
Capítulo 1. O Estudo da Proporcionalidade 38
Na teoria de Ausubel, duas condições devem ser satisfeitas para que o aprendizado
ocorra: o indivíduo deve estar disposto a aprender e o conteúdo precisa possibilitar uma
experiência pessoal (PELIZZARI et al., 2002). Há uma organização da estrutura cognitiva em
diferentes níveis: abstração, generalidade e inclusividade de conteúdo (MOREIRA, 2011).
Nesta teoria, o conceito de subsunçor tem importância fundamental, pois o mesmo é o
responsável por facilitar o processo de ensino-aprendizagem. Subsunçor é um conhecimento
específico, que já existe no indivíduo, e que permite ao sujeito dar novo significado a um
novo conhecimento aprendido ou descoberto (MOREIRA, 2012).
O Modelo de aprendizagem de Ausubel é explicado da seguinte forma, por Moreira
e Dionisio (1975, p. 246):
Seja A a ideia âncora (conceito abrangente já estabelecido na estruturacognitiva) e, a, o novo conceito, a nova ideia (menos abrangente), a seraprendida. Da interação entre a e A, emerge a’, o significado de a. Tam-bém, em decorrência dessa interação, a ideia A é ligeiramente modificada,originando A’ (em alguns casos A’ é praticamente a mesma que A).
Aqui, percebe-se a intencionalidade que o ensino deve ter, no sentido de superar
arbitrariedades, ou seja, deve haver um planejamento do professor, de forma a considerar o
que o aluno já sabe como âncora para os saberes que devem ser construídos. Portanto,
para Ausubel o aprendizado deve ser construído com significado, ou seja, ele deve ter
um sentido para o aluno. Para isso, é preciso utilizar-se de elementos facilitadores da
aprendizagem, pois a mesma não é espontânea, mas resultado do esforço do professor e
do aluno.
Nesse contexto, as atividades contextualizadas e as situações-problema podem ser
utilizadas pelo professor. Quando os alunos são colocados diante de situações-problema e
questões que envolvem algum material concreto, sendo desafiados a mobilizar conhecimen-
tos prévios e realizar ações que vão além de decorar e repetir mecanicamente fórmulas,
tem-se a formação de conhecimento matemático dotado de sentido para o aluno (POMMER,
2013).
1.5 Aspectos do ensino da Matemática
A prática pedagógica do professor de Matemática, sobretudo nos primeiros anos do
Ensino Fundamental, é eminentemente pautada na transmissão verbal, cópia de conteúdos
e treino para resolução de questões (CORDEIRO; OLIVEIRA, 2015). Tais práticas não
permitem a participação ativa do aluno e não estimulam sua criatividade, criando resistência
e desgosto em relação ao aprendizado dos conteúdos da disciplina (Figura 2).
Capítulo 1. O Estudo da Proporcionalidade 39
Figura 2 – A prática pedagógica predominante no ensino da Matemática é caracterizadapor transmissão verbal, cópia, treino e repetição
Fonte: Cordeiro e Oliveira (2015)
Contudo, como aponta Valente (2014), a formação de professores de Matemática no
Brasil passou recentemente por uma transição, com novos cursos de pós-graduação sendo
oferecidos, formando mais mestres e doutores, com pesquisas em educação matemática
e alçando novos horizontes em termos de ensino. Isso tende a melhorar a qualidade do
ensino, pois os novos professores formados, mais críticos e pesquisadores da própria
prática, trazem consigo ideias e posicionamentos diferentes daqueles que foram formados
nos moldes tradicionais.
Porém, enquanto isso não acontece, tem-se um cenário desolador, com estudantes
chegando ao Ensino Médio sem o conhecimento adequado em Matemática, como revelam
os resultados da Prova Brasil (KIMAK; BASNIAK, 2016). De acordo com os PCN (BRASIL,
1998, p. 37), o tradicional ensino de matemática obedece ao seguinte roteiro: "o profes-
sor apresenta o conteúdo oralmente, partindo de definições, exemplos, demonstração de
propriedades, seguidos de exercícios de aprendizagem, fixação e aplicação"e essa metodo-
logia não tem apresentado resultados satisfatórios, principalmente quando se observa o
desempenho dos alunos brasileiros em exames nacionais e internacionais.
É interessante refletir sobre o potencial dos recursos utilizados pelo professor nas
aulas. A pirâmide de aprendizagem (Figura 3) é um modelo teórico criado pelo NTL Institute
for Applied Behavioral Science. Através dele, é possível inferir que, quanto mais ações
forem integradas ao ensino, maior é a retenção de conhecimento pelo aluno, sendo que a
aula expositiva é a técnica que menos agrega conhecimento, por este modelo.
Capítulo 1. O Estudo da Proporcionalidade 40
Figura 3 – Pirâmide de aprendizagem
Fonte: Siqueira (2013)
Analisando a pirâmide, percebe-se que atividades de “praticar fazendo” e “ensinar
os outros”, assim como a aplicação imediata do conteúdo aprendido, são as estratégias que
mais tem impacto positivo sobre o aprendizado. Percebe-se, então, a importância de se
planejar aulas que fujam à tradicional exposição de conteúdos, e investir em estratégias que
coloquem os alunos como protagonistas do próprio aprendizado. Nesse cenário, a resolução
de problemas é uma das metodologias mais dinâmicas, possibilitando ao aluno, inclusive,
exercitar o raciocínio lógico e tornando as aulas mais dinâmicas (BOSSLER, 2016).
A resolução de problemas, como alternativa ao método tradicional expositivo, en-
controu adeptos ao longo do tempo. Resolver problemas desloca o aluno da passividade
de esperar pelas respostas do professor. Ao mesmo tempo, se esta técnica for associada
a outras estratégias (trabalho em grupo e estudo dirigido, por exemplo), onde os alunos
têm a oportunidade de ajudarem uns aos outros, o potencial de aprendizado é ampliado. O
ensino da Matemática por meio da resolução de problemas é recomendado pelos PCN, os
quais afirmam que o professor, ao utilizar de tais recursos, exerce o papel fundamental de
organizar, facilitar, mediar e incentivar o processo de ensino-aprendizagem (BRASIL, 1998).
Souza (2014, p. 14) defende a resolução de problemas como uma possível saída à
tradicional aula expositiva, porém, alerta que os professores podem não estar preparados
para essa metodologia:
A resolução de problemas como um método de ensino dos conteúdos mate-máticos, tem sido recomendada por muitos educadores. A literatura contémmuitos elementos descritivos do que deve ser incluído no processo deresolução de problemas, mas não define e exemplifica, em termos práticos,
Capítulo 1. O Estudo da Proporcionalidade 41
como uma aula de algum conteúdo matemático possa ser desenvolvida.Além disso, a literatura é vaga quanto ao arranjo sistemático destes ele-mentos, de modo que um professor em sala de aula, normalmente, temdificuldades em conduzir uma classe por meio da abordagem de resoluçãode problemas.
Pode-se questionar também, se as tradicionais aulas expositivas devem ser com-
pletamente descartadas da rotina escolar do professor de Matemática. Beiral (2017, p. 53)
defende um ensino híbrido, mesclando aulas expositivas e outras atividades:
Deve-se mesclar as atividades propostas com aulas expositivas, uma vezque construir um novo conceito a partir de exemplos e situações cotidianasleva muito tempo, já que o estudante não é trabalhado nesse sentidonas séries iniciais. Há estudantes que se apropriam do conhecimento deforma muito rápida e há aqueles que levam um tempo muito grande paraapropriação.
Segundo essa autora, as aulas expositivas não devem ser substituídas por outros
recursos, pois são essenciais para o aprendizado inicial do aluno e daqueles que têm
maiores dificuldades. Nesse caso, o ideal é que o professor encontre o meio termo entre
a exposição de conteúdos e as atividades inovadoras. Babinski (2017, p. 58) tem um
posicionamento parecido:
[...] não se pode desfazer totalmente das metodologias já existentes, poismuito acrescentam no que diz respeito ao entendimento de fórmulas erepetição de exercícios. Porém não se pode também utilizar somente umaúnica forma de trabalhar os conteúdos em sala de aula, pois somenteexercícios repetitivos, muitas vezes, não são compreendidos por algunsalunos, afinal, cada estudante tem seu modo particular de compreender.
Uma abordagem puramente expositiva não é a mais adequada pois, como já foi
extensamente discutido, o conhecimento que é produzido por professores e alunos por
meio de estratégias ativas é mais duradouro e significativo. Depois de tudo o que foi dito,
tem-se de reconhecer que o ensino, em especial de Matemática, precisa de renovação,
pois já não corresponde aos anseios de uma sociedade em constante evolução, sendo,
necessário superar a forma tradicional e mecanizada com a qual os professores têm
trabalhado (CASTEJON; ROSA, 2017).
Segundo Silva (2014, p. 34):
O educador deve estar preocupado em levar metodologias inovadoras paraa sala de aula. O professor de Matemática deve mostrar que é possíveldinamizar suas aulas com jogos, formas lúdicas para ilustrar e contar ahistória da matemática e outros recursos didáticos-pedagógicos. Estassão algumas das ferramentas didáticas consideradas poderosas nesseprocesso de ensino, despertando nos alunos prazer pelos conteúdos queos levam a uma aprendizagem significativa e motivadora.
Capítulo 1. O Estudo da Proporcionalidade 42
Portanto, cabe ao professor em um primeiro momento, despertar o interesse do
aluno pelo conteúdo, e não esperar que o aluno possua um interesse natural. Se o professor
não tomar para si a responsabilidade de, por meio de atividades inovadoras e interessantes,
chamar a atenção do aluno, perde-se a intencionalidade do ensino, ficando o mesmo por
conta do improviso.
1.6 Parâmetros Curriculares Nacionais e Orientações Curricu-
lares para o Ensino Médio
A Matemática é uma disciplina muito importante, devendo ser satisfatoriamente
desenvolvida desde os anos iniciais do Ensino Fundamental (ALVES, 2016). Os estudos
iniciais de Matemática servem de base para os posteriores, tanto dentro da disciplina
quanto de outras disciplinas. Trata-se, portanto, de uma disciplina que deve contribuir para
a formação cidadã do indivíduo, por meio de pensamento e atitude investigativa, análise
de novas situações, formação científica e desenvolvimento do pensamento lógico, dentre
outras.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) constituem um conjunto de docu-
mentos que buscam servir como guia para o planejamento escolar. Eles explicitam as
habilidades básicas e competências específicas que o estudante deverá ter desenvolvido
ao final do Ensino Médio. De acordo com os PCN:
O conhecimento prévio dos alunos, tema que tem mobilizado educado-res, especialmente nas últimas duas décadas, é particularmente relevantepara o aprendizado científico e matemático. Os alunos chegam à escolajá trazendo conceitos próprios para as coisas que observam e modeloselaborados autonomamente para explicar sua realidade vivida, inclusivepara os fatos de interesse científico. É importante levar em conta tais conhe-cimentos, no processo pedagógico, porque o efetivo diálogo pedagógico sóse verifica quando há uma confrontação verdadeira de visões e opiniões;o aprendizado da ciência é um processo de transição da visão intuitiva,de senso comum ou de auto-elaboração, pela visão de caráter científicoconstruída pelo aluno, como produto do embate de visões (BRASIL, 1996b,p. 52).
Como é possível perceber, os PCN evocam o cerne da Aprendizagem Significativa
quando afirmam que os alunos já chegam à escola com conceitos próprios, os quais devem
ser levados em consideração pelos professores, de forma a tornar o aprendizado dos
conteúdos mais eficiente. Essa recomendação, contudo, não tem sido seguida durante
todos esses anos ou não tem surtido efeito, visto os resultados insatisfatórios dos alunos
no PISA (Programa Internacional de Avaliação de Estudantes) (SASSAKI et al., 2018) e
(WAISELFISZ, 2009).
Capítulo 1. O Estudo da Proporcionalidade 43
De acordo com os PCN (BRASIL, 1996b, p. 42), o ensino de Matemática tem como
principais objetivos:
• compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que permitam a ele desen-volver estudos posteriores e adquirir uma formação científica geral;
• aplicar seus conhecimentos matemáticos a situações diversas, utilizando-os na interpretação daciência, na atividade tecnológica e nas atividades cotidianas;
• analisar e valorizar informações provenientes de diferentes fontes, utilizando ferramentas ma-temáticas para formar uma opinião própria que lhe permita expressar-se criticamente sobreproblemas da Matemática, das outras áreas do conhecimento e da atualidade;
• desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas, de comunicação, bemcomo o espírito crítico e criativo;
• utilizar com confiança procedimentos de resolução de problemas para desenvolver a compreen-são dos conceitos matemáticos;
• expressar-se oral, escrita e graficamente em situações matemáticas e valorizar a precisão dalinguagem e as demonstrações em Matemática;
• estabelecer conexões entre diferentes temas matemáticos e entre esses temas e o conhecimentode outras áreas do currículo;
• reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito, relacionando procedimentosassociados às diferentes representações;
• promover a realização pessoal mediante o sentimento de segurança em relação às suas capaci-dades matemáticas, o desenvolvimento de atitudes de autonomia e cooperação.
A aplicação dos conhecimentos é um dos objetivos do ensino da Matemática no
Ensino Médio. Outros objetivos são o uso de conceitos matemáticos para a resolução
de problemas cotidianos de Matemática e de outras áreas do conhecimento. Isso vai ao
encontro do que aqui se discute como o caminho possível de se trilhar para alcançar
um ensino-aprendizado mais eficiente, para o trabalho do professor de Matemática, em
específico com o tema proporcionalidade.
Uma preocupação constantemente resgatada pelos PCN é o estabelecimento de
relações entre os conteúdos estudados, de forma a evidenciar para o aluno que os conceitos
abordados não estão isolados, mas são inter-relacionados. Especificamente sobre a propor-
cionalidade, é indicado evidenciar as conexões deste conceito com diferentes estratégias,
como, por exemplo: problemas multiplicativos; problemas com porcentagem; estudos de
geometria; semelhança entre figuras, somente para citar alguns exemplos (BRASIL, 1998).
Dentre as estratégias de trabalho sugeridas pelos PCN (BRASIL, 1997), temos:
resolução de problemas; história da Matemática; tecnologias da informação e jogos. Essas
estratégias obviamente, buscam romper com o ensino tradicional da Matemática, pautado
na transmissão oral de conteúdos por meio de aulas expositivas e exercícios repetitivos, os
quais têm recebido inúmeras críticas ao longo dos anos.
Como procedimentos para o ensino da proporcionalidade os PCN (BRASIL, 1998,
p. 87) trazem as seguintes sugestões:
Capítulo 1. O Estudo da Proporcionalidade 44
• Identificação da natureza da variação de duas grandezas diretamente proporcionais, inversa-mente proporcionais ou não-proporcionais (afim ou quadrática), expressando a relação existentepor meio de uma sentença algébrica e representando-a no plano cartesiano.
• Resolução de problemas que envolvem grandezas diretamente proporcionais ou inversamenteproporcionais por meio de estratégias variadas, incluindo a regra de três.
Percebe-se uma preocupação com o uso de “estratégias variadas”, ainda que em
seguida se evidencie, também, o trabalho com abordagens que incluem regra de três. As
estratégias diversificadas, como está implícito no documento, devem ser empregadas antes
da regra de três. Nas escolas públicas brasileiras, o ensino de proporcionalidade geralmente
não é acompanhado de fundamentação teórica, mas se limita à resolução de questões
(em sua maioria com a aplicação de regra de três simples e composta), e verificação se
as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Mesmo os livros didáticos
normalmente se limitam a apresentar questões resolvidas de forma direta, sem procurar
desenvolver um trabalho que conduza o aluno ao entendimento do raciocínio matemático
que existe por detrás das questões (BITENCOURT, 2017).
Referências à proporcionalidade aparecem em diferentes contextos nos PCN (BRA-
SIL, 1998):
• De forma semelhante, nem sempre são observadas recomendações insistentemente feitaspara que conteúdos sejam veículos para a aprendizagem de idéias fundamentais (como as deproporcionalidade, equivalência etc.) (p. 22)
• O estudo detalhado das grandes questões do Meio Ambiente poluição, desmatamento, limitespara uso dos recursos naturais, sustentabilidade, desperdício, camada de ozônio pressupõe que oaluno tenha construído determinados conceitos matemáticos (áreas, volumes, proporcionalidadeetc.) (p. 31)
• Ao relacionar idéias matemáticas entre si, podem reconhecer princípios gerais, como proporcio-nalidade, igualdade, composição, decomposição, inclusão (p. 37)
• São contextos muito ricos para o trabalho com os significados dos números e das operações, daidéia de proporcionalidade e um campo fértil para uma abordagem histórica (p. 52)
• O fato de que muitas situações da vida cotidiana funcionam de acordo com leis de proporcio-nalidade evidencia que o desenvolvimento do raciocínio proporcional é útil na interpretação defenômenos do mundo real (p. 67)
• É importante que essas atividades sejam conduzidas, de forma que mantenha ligações estreitascom o estudo de outros conteúdos, em particular com as atividades numéricas, métricas e com anoção de proporcionalidade (p. 69)
• Além disso, é uma atividade que leva o aluno a observar as relações entre tamanhos e aproximar-se da noção de proporcionalidade, o que permitirá, num momento posterior, a utilização dasescalas na construção de maquetes (p. 123)
É evidente em todas estas passagens a importância que os PCN dão para o estabele-
cimento de relações entre os diferentes conteúdos, tanto matemáticos, quanto pertencentes
às demais disciplinas que compõem o currículo escolar. Este aspecto interdisciplinar é
de fundamental importância para a formação do educando, que deve ser capaz de apli-
car aquilo que aprende em situações reais, tornando o aprendizado significativo, dotado
Capítulo 1. O Estudo da Proporcionalidade 45
de utilidade. Essa questão prática é ainda mais evidente na passagem “interpretação de
fenômenos do mundo real”, que deixa claro a relevância de se estabelecer conexões do
conteúdo escolar com o mundo compõe realidade do aluno.
A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (BRASIL, 1996a) trouxe novos
desafios ao ensino. A partir dela, Ensino Médio passa a ter explicitamente, os seguintes
objetivos: aprofundar os conteúdos das séries anteriores, preparando o indivíduo para
a continuidade dos estudos; preparar para o mercado de trabalho; formar o indivíduo
para exercer sua cidadania e, por fim, formar o indivíduo cientificamente. Percebe-se uma
indefinição da função do Ensino Médio, que se reflete em seu currículo, muitas vezes falho
e pouco prático.
As Orientações Curriculares para o Ensino Médio (BRASIL, 2006, p. 70), dividem
os conteúdos de Matemática do Ensino Médio em quatro blocos: “Números e operações;
Funções; Geometria; Análise de Dados e Probabilidade”. Dentro do bloco “Funções”, é
sugerida uma forma de se trabalhar proporcionalidade discutindo modelos de crescimento e
decrescimento:
As ideias de crescimento, modelo linear (f(x) = a · x) e proporcionalidadedireta devem ser colocadas em estreita relação, evidenciando-se que a pro-porcionalidade direta é um particular e importante modelo de crescimento.Nesse momento, também é interessante discutir o modelo de decresci-mento com proporcionalidade inversa (f(x) = a/x). O professor deve estaratento ao fato de que os alunos identificam sistematicamente, de formaequivocada, crescimento com proporcionalidade direta e decrescimentocom proporcionalidade inversa, e aqui é interessante trazer situações doquotidiano para ilustrar diferentes tipos de crescimento/decrescimento degrandezas em relação. Situações em que se faz necessária a função afim(f(x) = a · x + b) também devem ser trabalhadas (BRASIL, 2006, p. 73).
Percebe-se, ainda nas Orientações Curriculares para o Ensino Médio, uma preo-
cupação com o entendimento equivocado dos alunos quanto a propriedade fundamental
da proporcionalidade, equívoco este que, como já foi discutido, leva ao erro sistemático
de considerar quaisquer duas grandezas que crescem/decrescem como proporcionais.
Destaca também, a já discutida importância de se abordar exemplos do cotidiano do aluno,
assim como trabalhar o conceito com situações que envolvam função afim, fugindo das
limitações do trabalho com apenas exemplos envolvendo regra de três.
1.7 Sequências Didáticas
As sequências são instrumentos de ensino-aprendizado que permitem incluir as três
fases da prática pedagógica do professor: planejamento, aplicação e avaliação. Elas repre-
sentam, em seu bojo, a unidade indissociável existente no processo educativo, demarcado
Capítulo 1. O Estudo da Proporcionalidade 46
neste caso, por um começo, meio e fim, ou seja, demarcando o processo de forma clara
para alunos e professores (CABRAL, 2017).
De acordo com Peretti e Costa (2013, p. 6), sequência didática é
um conjunto de atividades ligadas entre si, planejadas para ensinar umconteúdo, etapa por etapa, organizadas de acordo com os objetivos que oprofessor quer alcançar para aprendizagem de seus alunos e envolvendoatividades de avaliação que pode levar dias, semanas ou durante o ano. Éuma maneira de encaixar os conteúdos a um tema e por sua vez a outrotornando o conhecimento lógico ao trabalho pedagógico desenvolvido.
As atividades que compõem a sequência didática devem ser cuidadosamente esco-
lhidas pelo professor, de forma a tornar o processo de aprendizado dos conteúdos previstos
o mais encadeado possível. Por isso, o primeiro cuidado a se tomar ao organizar uma
sequência didática é o planejamento da mesma. É importante em uma sequência didática,
trabalhar o conteúdo com várias ferramentas diferentes, além é claro, trabalhar nos alunos
a noção de que eles não devem esperar passivamente pelas respostas do professor, mas
atuar ativamente na construção dos próprios saberes (LIMA, 2018).
Uma sequência didática, de forma bem simplificada, possui uma apresentação; uma
produção inicial; desenvolvimento e a produção final (Figura 4).
Figura 4 – Esquema de uma Sequência Didática
Fonte: Dolz, Noverraz e Schneuwly (2004)
As sequências didáticas surgem nos moldes da Engenharia Didática, que nasceu a
partir da Didática da Matemática no início dos anos 80.
A Engenharia Didática foi inicialmente concebida como uma forma deconcretizar os ideais e pressupostos de investigação da escola da Didáticada Matemática Francesa. Ela possui duas funções: ser utilizada comometodologia qualitativa de pesquisa na área de Matemática e ser utilizadapara a elaboração de situações didáticas que configurem um quadro deaprendizagem significativa em sala de aula (CARVALHO, 2017, p. 55).
Tal qual um engenheiro planejando a construção de um prédio, o professor deve
planejar a construção do saber junto com o aluno. Contudo, não basta planejar se o
Capítulo 1. O Estudo da Proporcionalidade 47
professor não souber como trabalhar o tema dentro da sequência didática. É aconselhável
que o professor utilize diferentes materiais concretos para a elaboração de sequências
didáticas, de forma a tornar o aprendizado mais significativo (PERETTI; COSTA, 2013).
A diversificação de recursos é primordial para se conseguir resultados diferentes dos
tradicionais:
Sabe-se que a utilização de recursos didáticos diversificados se justificapelo fato de que, ao utilizar tais recursos, consegue-se atingir o maiornúmero de alunos em sala de aula, uma vez que possibilita o contato comdiferentes formas de aprendizado. Assim, é necessário que o professorprocure combinar vários recursos metodológicos para desenvolver umaSD, como: software, lápis, papel, calculadora, material concreto, medições,plantas, etc., com o objetivo de abranger uma maior compreensão dosconteúdos ministrados (BABINSKI, 2017, p. 30).
Apesar de ser direcionada ao aprendizado do aluno, a sequência didática tam-
bém pode servir para o professor melhorar seus conhecimentos sobre o tema que está
trabalhando:
Por meio da sequência didática, o docente que tenha fragilidade em algumconhecimento pode ter a oportunidade de adquiri-lo enquanto se preparapara lecionar tal tema. A sequência didática vem como uma sugestão daação pedagógica. A todo momento, o docente pode intervir para a melhoriano processo ensino e aprendizagem, oportunizando situações para que oeducando assuma uma postura reflexiva e se torne sujeito do processo deensino e aprendizagem (LIMA, 2018, p. 153).
De acordo com esse autor, os benefícios da sequência didática vão além do aluno,
mas também podem auxiliar o docente a estudar os conteúdos que ele precisa ensinar e
que, porventura, talvez não sejam de total domínio do mesmo.
Apesar dos aspectos positivos da aplicação de sequências didáticas, é preciso con-
siderar também, que muitas vezes esse recurso não é suficiente para mudar a postura do
professor ou o teor das aulas. Morelatti et al. (2014, p. 644), comparando sequências didáti-
cas de professores de Matemática e Ciências Naturais de escolas do Ensino Fundamental
e do Ensino Médio de Presidente Prudente, São Paulo, atestaram que:
Em Matemática, 44,7% das atividades desenvolvidas no início da aula sãocentradas no professor, 35,5% são compartilhadas entre professor e aluno,e apenas 9,3% são desenvolvidas pelo aluno. [...] Em Matemática, a aulaexpositiva (61,8%) e exemplos, comparações e contextualizações (26,5%)foram os procedimentos mais frequentes quando o início da aula é centradono professor [...] Outros procedimentos somam 11,7%.
Ou seja, mesmo com o objetivo de desenvolver um trabalho diferenciado e centrado
no aluno, alguns professores durante o planejamento de sequências didáticas, criaram
atividades centradas em si mesmos, semelhante à organização das aulas expositivas. Os
Capítulo 1. O Estudo da Proporcionalidade 48
professores dedicaram o maior tempo das aulas a estas atividades que mantinham o aluno
em posição passiva diante da construção do conhecimento.
Ainda segundo Morelatti et al. (2014, p. 649), há muita resistência às mudanças
por parte dos professores pesquisados, a maioria com 11 a 25 anos de carreira, e que
“certamente, realizaram, em cursos de formação continuada, discussões sobre a impor-
tância da participação do aluno no processo de ensino e aprendizagem em Matemática
e em Ciências Naturais”. Apesar da formação continuada que tiveram, os professores se
mostram pouco receptivos a mudanças em suas práticas pedagógicas. Deve-se levar em
consideração também, que os professores geralmente possuem uma alta carga horária
semanal de trabalho (dentre os pesquisados, grande parte tinha 30 horas semanais), sem
contar o trabalho levado para casa, fator este que tem relação direta com a disposição do
professor para investir na própria formação e em diferentes metodologias.
Não faltam exemplos de experiências bem sucedidas com sequências didáticas, e
aqui são resumidas três delas: (LUTZ, 2012); (SANTOS; SOUZA, 2016) e (BITENCOURT,
2017).
Lutz (2012) trabalhou com uma sequência didática para o ensino de Estatística com
uma turma do Ensino Médio da modalidade PROEJA do Instituto Federal Farroupilha –
Campos Alegrete, Rio Grande do Sul, e concluiu que houve melhoria no aprendizado de
conteúdos de Estatística. Na avaliação dos alunos, os mesmos consideraram a sequência
interessante e satisfatória, ainda que muito extensa e cansativa. Isso serve de alerta para a
importância de se considerar a extensão da sequência didática, de forma a não prejudicar o
desempenho dos alunos.
Santos e Souza (2016), ao aplicarem uma sequência didática para alunos do 7º
Ano do Ensino Fundamental, concluíram que a sequência didática proporcionou aos alunos
vivências que foram além do aprendizado da aula de Matemática:
Proposta na área de Matemática e suas Tecnologias, a sequência didática,em seu desenvolvimento, na realização das atividades e na resolução dosproblemas, proporcionou que os estudantes pesquisassem sobre conteúdosrelacionados a diferentes áreas do conhecimento, além dos relacionadosespecificamente à Matemática (SANTOS; SOUZA, 2016, p. 3).
Bitencourt (2017), trabalhando com alunos do 2º ano do Ensino Médio, de uma
escola pública da Rede estadual do município de Macapá, Amapá, após aplicação de
uma sequência didática envolvendo proporcionalidade, elaborada seguindo os princípios
da Engenharia Didática, verificou que os alunos apresentaram melhoras no desempenho
de resolução de questões envolvendo proporcionalidade. A porcentagem de questões
incorretas e questões deixadas em branco sofreu uma queda após a aplicação da sequência
didática, o que foi verificado por meio de um teste inicial e um final.
Capítulo 1. O Estudo da Proporcionalidade 49
Logo, conclui-se que a sequência didática constitui um importante instrumento para
o ensino de Matemática, porém o professor deve planejar adequadamente esta atividade,
sob o risco de não atingir os objetivos pretendidos.
50
Capítulo 2
Tecnologia e Educação
Neste capítulo serão discutidas questões sobre a Tecnologia e a Educação Mate-
mática; sobre o uso de Tecnologias Digitais no Ensino da Matemática e a descrição dos
recursos tecnológicos (aplicativos) selecionados para o desenvolvimento da sequência
didática.
2.1 A tecnologia e a Educação Matemática
Muito já se ouviu falar da educação do futuro, pautada no uso inteligente da tec-
nologia, tornando o que se tem na atualidade, a simples inserção do computador na sala
de aula apenas um rascunho do que pode ser feito. Esse vislumbre de algo que começou
com a invenção do computador e a popularização da internet, ainda parece distante de
se concretizar. É preciso primeiro, superar alguns desafios, como por exemplo, o papel da
educação na era digital Scaico e Queiroz (2013), a negatividade desenvolvida por muitos
indivíduos em relação à Matemática e a questão da utilidade do conhecimento para o aluno,
somente para citar alguns.
O ensino de Matemática no Brasil deixa marcas muito negativas em alguns alunos,
inclusive alterando seus percursos escolares, por exemplo, por meio de reprovações (SAN-
TOS; FRANÇA; SANTOS, 2007). Outro aspecto é a questão da utilidade do conhecimento
matemático. Os alunos questionam: “Para que serve isso? Onde eu utilizarei isso? Isso não
serve para nada!”. Enquanto houver tal posicionamento quase niilista sobre a Matemática,
ficará difícil desenvolver um trabalho de qualidade. E a superação deste quadro está justa-
mente no professor, que pode mostrar ao aluno por meio de atividades contextualizadas, a
importância da Matemática para a vida das pessoas. Babinski (2017, p. 27) afirma que:
A matemática ajuda de certa forma a estruturar o pensamento e o racio-cínio relativo, ou seja, tem valor formativo, porém desempenha um papelinstrumental, pois é uma ferramenta útil para a vida cotidiana, ademais paratarefas específicas em quase todas as atividades humanas. Nesse sentido,é preciso que o aluno perceba a matemática como um sistema de códigos
Capítulo 2. Tecnologia e Educação 51
e regras que a torna uma linguagem de comunicação de ideias. Com isso,o aluno tem a possibilidade de modelar a realidade e interpretá-la, poistodas as pessoas sofrem influências da Matemática, de modo que cada umtem uma ferramenta a empregar, uma máquina a utilizar, um aparelho apôr em funcionamento, sem falar dos arquitetos, contadores, engenheiros,agrimensores, entre outros, para os quais o uso profissional da Matemáticatem um caráter permanente.
Estão nas mãos dos professores as ferramentas necessárias para o entendimento
de que a Matemática faz parte de todas as outras disciplinas, em maior ou menor grau e,
mais do que isso, seus códigos e regras permeiam a comunicação. Para isto, é preciso
investir em uma nova forma de se trabalhar os conteúdos matemáticos, rompendo com o
simples ato de resolver por resolver, o que esvai de sentido qualquer atividade.
Os recursos tecnológicos, apesar de importantes e cada vez mais utilizados no
ensino, não são a solução definitiva de todos os problemas educacionais, inclusive porque se
espera um novo posicionamento do professor neste cenário que se descortina. No contexto
do uso de tecnologias na educação, o professor deve ser um mediador do processo.
O professor, enquanto mediador, cria situações aumentando a autoestimados alunos, além de permitir novos valores, verifica a dificuldade de apren-dizagem de determinados conteúdos, oportunizando situações propíciasà aprendizagem. O professor mediador tem papel significativo, é dele amissão de buscar alternativas viáveis para estimular o interesse dos alu-nos, tornando-os participativos nas aulas, se transformando em sujeitoscolaborativos no processo de ensino e aprendizagem (VAZ; JESUS, 2014,p. 61).
Não é uma educação das máquinas que se busca quando se insere computadores
em sala de aula mas, sobretudo, uma educação dos homens, feita por pessoas que
levam em consideração a formação do aluno enquanto cidadão, em detrimento do simples
acúmulo de conhecimento. O professor perdeu o status de centro do processo educacional
(na pedagogia tradicional) para o aluno, mas o aluno não pode perder esse espaço para os
recursos tecnológicos, ou não fará sentido algum empregá-los.
Indo um pouco além, é preciso também, instrumentalizar os alunos para o pensa-
mento e a reflexão sobre o aprendizado:
Desde os primeiros anos da vida escolar o educando está acostumado aestudar apenas o que é necessário para as provas, ou para passar de ano,não se habituando a pensar, menos ainda a desenvolver um raciocínio maislógico ou habilidades de argumentação, tão pouco fazer uso do que aprendepara tomar decisões. Domina as tecnologias, até onde compreende o queela apresenta, porém se as mesmas oferecem uma linguagem diferenteda qual estão acostumados (representações de gráficos ou tabelas, porexemplo) os mesmo não compreendem nem tão pouco sabem fazer umaleitura adequada das informações ali contidas (CASTOLDI; DANYLUK,2014, p. 5).
Capítulo 2. Tecnologia e Educação 52
Como os autores deixam claro, os alunos estão acostumados a não pensarem sobre
o próprio conhecimento, por causa de uma cultura escolar burocrática, que não cabe discutir
neste momento. Além disso, não se preocupam em interpretar o que leem ou veem, apenas
seguem em frente. Esse é outro desafio a se superar para o estabelecimento de uma
educação matemática na escola.
Dito isto, não basta ao professor apenas dominar os conteúdos a serem ensinados,
mas também é necessário
que o professor seja capaz de identificar as dificuldades de aprendizagem,os conhecimentos que os alunos têm sobre uma determinada noção ma-temática e as eventuais fontes de erros cometidos. Ele deve, sobretudo,ser capaz de criar boas situações didáticas que propiciem a superação doserros e que favoreçam a aprendizagem de novos conhecimentos (LIMA,2011, p. 2).
Segundo Lima (2011), é preciso que o educador consiga criar situações didáticas
que possibilitem diferentes formas de aprender, de modo a superar as dificuldades gerais
do ensino e as especificidades da Matemática. Para isto, é necessário antes de tudo, que o
professor veja o aluno com outros olhos, com olhos de pesquisador que investiga a própria
prática pedagógica e busca corrigi-la. Segundo Silva (2016, p. 34):
A escola precisa se adequar aos recursos tecnológicos usados hoje pe-los alunos nos mais diversos ambientes extraescolares para potencializara aprendizagem de forma autônoma e transformar o ambiente escolarnum lugar atrativo, onde os discentes têm a possibilidade de transmutarinformações em conhecimento, mediados pelo professor.
É necessário portanto, que se faça uma nova educação matemática, no sentido de
formar indivíduos que refletem sobre os problemas, e não simplesmente os resolvem de
forma mecânica. Os recursos tecnológicos podem ajudar nessa revolução, desde que seu
uso seja planejado e crítico.
2.2 Tecnologias Digitais no Ensino da Matemática
O uso de recursos tecnológicos já não representa o centro das discussões no
processo de ensino-aprendizagem, mas sim a forma de utilização dos mesmos (MONTEIRO
et al., 2013). Isso porque a simples utilização de um recurso tecnológico não significa
necessariamente, a mudança do método de trabalho do professor. É o caso, por exemplo, do
uso do projetor (datashow) para a exibição de conteúdos de forma expositiva (transposição
da aula expositiva para um recurso tecnológico).
É necessário, portanto, que o professor antes de tudo, tenha a curiosidade de
pesquisar e estudar a melhor forma de utilizar as tecnologias digitais. Mais do que dominar
Capítulo 2. Tecnologia e Educação 53
o conteúdo, é preciso conhecer os recursos que se pretende utilizar. Segundo Vaz e Jesus
(2014, p. 61):
Constatamos que para o professor, independente da disciplina, é essencialseu preparo em relação a especificidade de seu conhecimento, conhecerbem o conteúdo de sua disciplina, para ministrar uma aula a contento. Oeducador deve dominar bem o software para assim, realizar um ensino doconteúdo com qualidade. Por fim, só podemos ter uma atitude de professorconstrutivista se realmente nos apropriarmos desse conhecimento. Masnão basta ter o conhecimento matemático, o conhecimento tecnológico e oconstrutivismo, é necessário fazer a integração desses três elementos paraque a proposta funcione.
Fioreze (2010), trabalhando conceitos de proporcionalidade por meio de atividades
digitais, com alunos da 8ª série de uma escola municipal, da zona rural do município de
Silveira Martins, Rio Grande do Sul, verificou que os alunos foram mais coerentes ao
aplicar conhecimentos relativos ao tema proporcionalidade em diferentes situações, quando
aprendiam por meio de recursos tecnológicos. O autor destaca também, a importância do
professor no processo durante a seleção das atividades e também no desenvolvimento
das mesmas como mediador, tornado o processo de ensino-aprendizagem mais natural e
significativo.
Ferreira (2013) aplicou uma sequência didática a alunos do terceiro ano do Ensino
Médio de uma escola pública da cidade de Imperatriz, Maranhão, utilizando o programa
GeoGebra e outros recursos como cartões, palitos e bastões, e concluiu que os alunos
tiveram progresso nos estudos de proporcionalidade.
Monteiro (2016) constatou que recursos lúdicos e tecnológicos contribuíram para
a aprendizagem de Álgebra de alunos do 6º ano do Ensino Fundamental de uma escola
municipal de Campos dos Goytacazes, Rio de Janeiro, fazendo com que os mesmos
ficassem mais motivados durante o processo. Com a pesquisa a autora também concluiu
que tais recursos não faziam parte das aulas de Matemática direcionadas para a turma, o
que mostra a falta de aproveitamento dos recursos disponíveis.
Villaça e Santos (2018) analisaram o chamado Ensino Híbrido, especificamente
com os temas “relação entre Grandezas Diretamente Proporcionais e Função Linear e
entre Grandezas Inversamente Proporcionais e Hipérbole”, com alunos do 1º Ano do
Ensino Médio. O Ensino Híbrido, também chamado Blended Learning, é uma modalidade
educacional que combina o que funciona do ensino presencial com os aspectos vantajosos
da educação a distância. Mesmo utilizando recursos tecnológicos, os autores iniciaram
as atividades com uma revisão oral de conteúdos (grandezas proporcionais, função afim
e função linear), ou seja, da forma tradicional. Os pesquisadores elaboraram atividades
organizadas em blocos chamados de “estações”. Cada qual com certo número de questões
que deveriam ser resolvidas antes de dar continuidade. Desta forma os alunos em grupos,
Capítulo 2. Tecnologia e Educação 54
realizavam as atividades autonomamente, guiados pelo que estava programado para cada
estação. A experiência dos autores foi bastante positiva, porém também constataram que,
nas atividades onde era exigido que os alunos tomassem decisões e saíssem da posição
passiva imposta pelo ensino tradicional, os mesmos tinham dúvidas e pediam auxílio dos
pesquisadores.
Como nem todas as experiências são positivas, destacamos o trabalho de Silva
(2015), que aplicou uma sequência didática sobre proporcionalidade a alunos do 7º ano
do Ensino Fundamental, com a utilização do programa GeoGebra. A primeira dificuldade
descrita pelo pesquisador foi o fato de os alunos não conhecerem o programa, o que
atrapalhou o andamento das atividades. O objetivo do pesquisador era verificar se os
alunos, ao final da sequência didática, seriam capazes de reconhecer quais grandezas eram
direta ou inversamente proporcionais. O pesquisador não observou melhora no desempenho
dos alunos que, a priori, foram diagnosticados com dificuldades no conteúdo. Os alunos
que já possuíam facilidade conseguiram cumprir as atividades satisfatoriamente. O autor
destaca também, que muitos dos alunos que apresentaram dificuldades eram deficientes
em outros conteúdos matemáticos, como as operações básicas. Esse foi um dos poucos
trabalhos identificados que afirma não ter encontrado vantagens claras no uso de tecnologia
para o ensino de um tema específico de Matemática.
Por fim, constatou-se que os recursos tecnológicos têm sido apontados como auxili-
ares ao trabalho do professor, e por meio de diferentes pesquisas, têm se mostrado como
potencializadores do aprendizado. Contudo, é preciso utilizá-los de forma crítica.
2.3 Recursos Tecnológicos
Foi escolhido o computador como hardware para acessar os programas por causa
da praticidade, pois a instituição educacional onde a sequência didática foi aplicada possui
laboratórios de informática com máquinas preparadas para o uso e acesso à Internet. Foram
selecionados programas gratuitos e de livre acesso para o desenvolvimento da sequência
didática. Estes programas funcionam diretamente no navegador de Internet, o que tem a
vantagem de dispensar instalação. O programa GeoGebra, inclusive, foi selecionado por ser
gratuito; simples de operar; possuir uma interface amigável e comandos fáceis de aprender
e executar. Em relação aos conteúdos abordados, os programas são compostos por jogos,
desafios e alguns trazem informações que auxiliam os alunos a aprender os conceitos
abordados.
Adiante, são apresentadas as descrições dos aplicativos utilizados para a resolução
das atividades da sequência didática aplicada.
Capítulo 2. Tecnologia e Educação 55
2.3.1 Aplicativo 1 – “Suco, néctar ou refresco”
Este aplicativo permite que o aluno de forma ativa, realize a resolução da questão
envolvendo razão (Figura 5). Durante a resolução, caso perceba que não é possível chegar
a uma resposta correta com as misturas já feitas, o aluno poderá refazer o problema clicando
no botão “Esvaziar Recipiente Final”. Desta forma é possível que o aluno realize várias
tentativas de resolução do problema. Há ainda o botão “Mostrar explicação” (não aparece na
imagem abaixo), que revela a resposta final do problema proposto, encerrando a atividade.
Figura 5 – Aspecto visual do aplicativo utilizado na “Atividade 1 – Razão no Cotidiano” dasequência didática.
Fonte: Portaldosaber (2018b)
2.3.2 Aplicativo 2 – “Cortando a pizza”
O objetivo do uso deste aplicativo é trabalhar o conceito de proporção, visando a
divisão de uma pizza entre um determinado número de pessoas (Figura 6). A resolução
termina quando o aluno tiver “cortado” a pizza no número de pedaços determinados. É
Capítulo 2. Tecnologia e Educação 56
possível reverter ações (cortes individuais ou todos os cortes) clicando nos botões “Desfazer
último corte” ou “Desfazer todos os cortes” (não aparecem na imagem abaixo). Logo após
realizar todos os cortes, aparecerá uma mensagem parabenizando o usuário, caso a
resposta esteja correta ou solicitando uma nova tentativa, caso a solução apresentada
pelo aluno esteja incorreta. Em ambos os caso, a questão é encerrada e a resolução do
problema é apresentada.
Figura 6 – Aspecto visual do aplicativo utilizado na “Atividade 2 – Cortando a pizza emdiferentes proporções” da sequência didática.
Fonte: Portaldosaber (2018a)
2.3.3 Aplicativo 3 – “Lei de Ohm”
Este aplicativo permite que o aluno descubra o que acontece quando os valores da
tensão e da resistência de um sistema elétrico são alterados (Figura 7). É possível alterar
Capítulo 2. Tecnologia e Educação 57
os valores da tensão e da resistência separadamente, verificando a medida da corrente
para diferentes valores. O aluno pode reiniciar o aplicativo clicando no botão específico ao
lado do botão de som.
Figura 7 – Aspecto visual do aplicativo utilizado na “Atividade 3 – Construindo conceitos” dasequência didática.
Fonte: PhetInteractiveSimulations (2018b)
2.3.4 Aplicativo 4 – “Balançando”
Este aplicativo apresenta situações envolvendo proporcionalidade inversa (Figura 8).
Em cada nível de dificuldade (Níveis 1 a 4) são apresentados diferentes desafios ao aluno,
onde é preciso descobrir o peso dos objetos, o que exige o uso do raciocínio proporcional a
fim de obter a resposta adequada.
Figura 8 – Aspecto visual do aplicativo utilizado na “Atividade 4 – Balançando"
Fonte: PhetInteractiveSimulations (2018a)
Capítulo 2. Tecnologia e Educação 58
2.3.5 Aplicativo 5 – “GeoGebra”
GeoGebra é um programa gratuito e de código aberto, que permite abordar concei-
tos geométricos e algébricos, da marcação de pontos ao cálculo de derivadas e integrais,
construção de gráficos, cálculos de raízes e equações, dentre outras, com a possibilidade
de manipulação dinâmica dos objetos, o que torna o uso do software bastante ilustrativo e
intuitivo (Figura 9). Os alunos são convidados a resolver questões que relacionam propor-
cionalidade com o cotidiano, como: cálculo da quantidade de copos descartáveis usados;
função custo e receita de brigadeiro e vazão de água para encher um tanque.
Figura 9 – Aspecto visual do software Geogebra, usado na “Atividade 5 - Proporcionalidadee função”.
Fonte: Elaboração própria
59
Capítulo 3
Metodologia da Pesquisa
Neste capítulo são descritos a pesquisa desenvolvida; a caracterização da escola; o
perfil socioeconômico dos alunos; a forma de coleta de dados, com as respectivas descri-
ções dos instrumentos utilizados; a elaboração da sequência didática, com as respectivas
descrições das atividades desenvolvidas e a justificativa do trabalho.
3.1 Tipo de pesquisa
A presente pesquisa apresenta aspectos qualitativos e quantitativos, com predo-
minância qualitativa, uma vez que há uma maior preocupação com a reflexão sobre os
resultados obtidos, em detrimento de representatividade numérica, embora a análise numé-
rica se faça necessária em determinados momentos (GÜNTHER, 2006). Segundo Moreira
(2002), a pesquisa qualitativa é aquela na qual o pesquisador tem interesse em interpretar
situação do estudo, de forma subjetiva, e o interesse se deposita principalmente sobre o
processo da pesquisa, e não nos resultados.
Trata-se de uma pesquisa aplicada, que utiliza técnicas e instrumentos para um
objetivo específico, investigando o processo de ensino-aprendizado de proporcionalidade
de uma turma de alunos do Ensino Médio de uma instituição pública federal (Figura 10).
Capítulo 3. Metodologia da Pesquisa 60
Figura 10 – Fluxograma básico elaborado para a execução do presente projeto.
Fonte: Elaboração própria
Esta é uma pesquisa de campo. Após reflexão sobre o tema, concluiu-se ser neces-
sária a pesquisa de campo, como forma de verificar a aplicação prática dos instrumentos
propostos, em especial da sequência didática elaborada. Além da aplicação prática, a pes-
quisa de campo possibilitou conhecer facetas do ambiente escolar que estão além da teoria,
como a dificuldade de trabalhar os temas junto aos alunos, assim como os desafios do uso
de recursos tecnológicos na escola – um espaço onde o novo e o tradicional convivem lado
a lado, com aulas expositivas e aplicativos de celulares, computadores e provas tradicionais.
A presente pesquisa foi realizada em sete etapas: I – revisão bibliográfica inicial,
objetivando atualização quanto ao tema abordado; II – aplicação de questionários a alunos e
professores, buscando coletar dados sobre o público-alvo da pesquisa; III – aplicação de pré-
teste, com o objetivo de sondar os alunos quanto ao domínio de conteúdos relacionados ao
tema da pesquisa; IV – aplicação da sequência didática, trabalhando conteúdos pertinentes
ao tema; V – aplicação do Pós-teste, buscando mensurar a apreensão dos conceitos
trabalhados; VI – aplicação do Questionário Investigativo, objetivando sondar o aluno quanto
a aspectos da sequência didática aplicada (aprendizado de proporcionalidade, uso do
GeoGebra e demais aplicativos, atividade que mais gostou e uso da tecnologia) e VII –
análise dos dados obtidos.
3.2 Caracterização da escola
A presente pesquisa foi desenvolvida no Instituto Federal de Educação, Ciência e
Tecnologia Fluminense (IFF), campus Itaperuna - RJ, localizado à margem da BR 356, km
3, Cidade Nova, Itaperuna. A escolha se justifica pelo fato da pesquisadora ser servidora
desta instituição (técnico administrativo), o que facilita o acesso às dependências para o
Capítulo 3. Metodologia da Pesquisa 61
desenvolvimento da pesquisa.
Inaugurado em 2009 e atendendo a aproximadamente 1.073 alunos, o IFF Itaperuna
oferece os seguintes cursos:
• Curso Técnico Integrado ao Ensino Médio em Administração (manhã e tarde)
• Curso Técnico Integrado ao Ensino Médio em Eletrotécnica (manhã e tarde)
• Curso Técnico Integrado ao Ensino Médio em Informática (manhã e tarde)
• Curso Técnico Integrado ao Ensino Médio em Química (manhã e tarde)
• Curso Técnico Concomitante ao Ensino Médio em Química (tarde)
• Curso Técnico Concomitante ao Ensino Médio em Eletrotécnica (noite)
• Curso Técnico Concomitante ao Ensino Médio em Mecânica (noite)
• Curso Superior Bacharelado em Sistemas de Informação (noite)
Atualmente o IFF Itaperuna possui 80 professores e 46 servidores técnico- adminis-
trativos, em um campus de 156.000 metros quadrados e composto por: uma biblioteca, com
mais de 7.000 livros; um parque industrial de 8.000 metros quadrados, com um miniauditório
e 18 laboratórios, onde os alunos reforçam suas formações técnicas; auditório-cineteatro
em fase final de construção, que terá capacidade para 150 pessoas; dois miniauditórios
climatizados e equipados com computador e projetor; tecnoteca, inaugurada em 2015 e
equipada com recursos tecnológicos diversos; restaurante estudantil e cantina/refeitório;
micródomo, onde os discentes têm acesso livre e gratuito à internet; piscina, quadra polies-
portiva, campo de futebol e academia. Todas as salas de aula são equipadas com projetores
e caixas de som. Além disso, o campus disponibiliza a seus alunos e servidores uma série
de recursos, como TVs, aparelhos leitores de DVD e Blu-Ray, tablets, computadores, mesa
digitalizadora, e impressora 3D, entre outros.
Capítulo 3. Metodologia da Pesquisa 62
As atividades aplicadas pela pesquisadora foram desenvolvidas em dois laboratórios
de informática (B20 e B25) equipados com 41 computadores no total e com acesso à
internet (Figura 11):
Figura 11 – Laboratórios de informática utilizados para a aplicação da sequência didática.
Fonte: Elaboração própria
3.3 Os alunos
A pesquisadora obteve autorização para desenvolver o trabalho na turma de 1º Ano
do Curso Técnico em Química Integrado ao Ensino Médio. Com um total de 37 alunos
matriculados com idades entre 15 e 17 anos, consideradas adequadas para esta série
escolar. Muitos alunos são oriundos de cidades vizinhas, e procuram o IFF por causa da
possibilidade de cursarem o Ensino Médio profissionalizante, além da qualidade atribuída à
educação oferecida nos institutos federais.
Decidiu-se aplicar a sequência didática a alunos do 1º ano do Ensino Médio por
este representar um momento de transição entre dois níveis de ensino (do Ensino Funda-
mental para o Ensino Médio). Os alunos, teoricamente, aprenderam proporcionalidade no
Ensino Fundamental (7º ano), contudo, precisarão mobilizar habilidades específicas para a
resolução de questões envolvendo proporcionalidade no Ensino Médio.
3.4 Autorizações e coleta de dados
As autorizações para a realização da pesquisa foram solicitadas à direção da
instituição, Apêndice A e B, e aos responsáveis, Apêndice C. Ambas as partes foram bem
receptivas e autorizaram prontamente a realização do trabalho.
A coleta de dados foi realizada por meio dos seguintes instrumentos: questionário
do professor; questionário do aluno; pré-teste; sequência didática; pós-teste e questionário
Capítulo 3. Metodologia da Pesquisa 63
investigativo, descritos na próxima seção.
A data e o tempo de aplicação de todas as etapas do presente trabalho é detalhada
no Quadro 2:
Quadro 2 – Ficha técnica dos instrumentos empregados na presente pesquisa
Atividades Tempo utili-zado
Alunos par-ticipantes
Datas das aplicações
Questionário do aluno 30min 33 19/07/18Pré-teste 1h40min 31 24/07/18Sequência didática 6h40min 34 17/09/18, 19/09/18 e 20/09/18Pós-teste 1h40min 28 11/10/18Questionário investigativo 30min 28 11/10/18
Fonte: Elaboração Própria
3.5 Instrumentos empregados para a coleta de dados
Foram utilizados nesta pesquisa os seguintes instrumentos: questionários do profes-
sor, questionário do aluno, pré-teste, sequência didática e pós-teste. Estes instrumentos
têm como objetivo otimizar a coleta de dados e, com isso, acredita-se, aumentar a validade
dos resultados obtidos.
Adiante, são descritos os instrumentos empregados para a coleta de dados da
presente pesquisa, os quais constituem os Apêndices D, E, F, G, H, I deste trabalho.
Questionário do Professor: Foi elaborado um questionário a ser respondido por
professores de Matemática, e o mesmo foi dividido em três seções: “Seção I – Identificação”
(com 5 questões); “Seção II - Sobre suas aulas” (com 7 questões) e “Seção III - Sobre o
ensino-aprendizado de proporcionalidade” (com 6 questões). O questionário foi criado por
meio de formulário eletrônico do Google enviado por mensagem de e-mail. O questionário
do professor foi elaborado objetivando coletar dados sobre a formação dos mesmos; área
e tempo de atuação em sala de aula; informações sobre as aulas, os recursos didáticos
utilizados, assim como sobre os conhecimentos do professor em relação ao computador
e sua aplicação nas aulas. Os professores também foram questionados especificamente
sobre o tema proporcionalidade, se gostam de trabalhar o tema e as dificuldades de trabalho
a ele associadas. Com isso, pretende-se traçar um perfil destes professores de Matemática
quanto ao trabalho com proporcionalidade.
Questionário do Aluno: Foi elaborado um questionário destinado aos alunos, e o
mesmo foi dividido em seções: “Seção I – Identificação” (com 4 questões); “Seção II – Uso
de tecnologias” (com 5 questões); “Seção III – Estudo da Matemática e Proporcionalidade”
(com 7 questões). Os questionários foram impressos e aplicados pela pesquisadora. Com a
Capítulo 3. Metodologia da Pesquisa 64
aplicação destes questionários, além de obter informações socioeconômicas importantes
para a caracterização do público-alvo da pesquisa, pretendia-se analisar o posicionamento
dos alunos diante dos recursos tecnológicos, como smartphones e computadores; se eles
gostam de estudar Matemática; se conheciam o conceito de proporcionalidade, além de
aspectos sobre as aulas de seus professores de Matemática.
Pré-teste: Foi elaborado um Pré-teste com 14 questões discursivas, oriundas do
portal da OBMEP e do ENEM; extraídas de trabalhos sobre proporcionalidade ou elaboradas
pela pesquisadora. O Pré-teste foi impresso e aplicado pela pesquisadora. Os alunos não
foram auxiliados enquanto tentavam resolver as questões. A aplicação do pré-teste teve
como objetivo verificar os conhecimentos dos alunos em relação a proporcionalidade,
buscando melhor caracterizar o público-alvo da pesquisa e direcionar ações a serem
colocadas em prática durante a sequência didática.
Sequência Didática: Foi elaborada uma sequência didática com 5 atividades: “Ativi-
dade 1 – Razão no cotidiano”, com 3 questões; “Atividade 2 – Cortando a pizza em diferentes
proporções”, com 3 questões; “Atividade 3 – Construindo conceitos”, com 14 questões divi-
didas em 2 etapas; “Atividades 4 - Balançando”; “Atividade 5 – Proporcionalidade e função”,
com 40 questões, divididas em 3 etapas. A sequência didática elaborada, teve como objetivo
principal trabalhar proporcionalidade com os alunos, de forma diferenciada da abordagem
tradicional da aula expositiva, utilizando para isso, atividades contextualizadas e suportadas
por recursos tecnológicos, os quais inegavelmente, são capazes de fugir da estrutura das
aulas tradicionais. Durante a aplicação da sequência didática, a pesquisadora auxiliou os
alunos na resolução das atividades.
Pós-teste: Foi elaborado um Pós-teste com 14 questões (discursivas e objetivas),
buscando mensurar a apreensão dos conteúdos trabalhados com os alunos durante a
sequência didática. Os alunos não foram auxiliados enquanto tentavam resolver as questões.
Questionário Investigativo: Foi elaborado um Questionário Investigativo, objeti-
vando sondar os alunos quanto a diferentes aspectos do presente trabalho: posicionamento
dos mesmos quanto a resolução de questões, abordando proporcionalidade; opinião sobre
o GeoGebra e demais aplicativos utilizados; atividade que mais gostaram; uso de recursos
tecnológicos para despertar o interesse em sala e o significado das atividades para o
ensino-aprendizagem de proporcionalidade.
3.6 A elaboração da Sequência Didática
Após análise das respostas dos alunos ao pré-teste, a pesquisadora percebeu que
os mesmos possuem algumas deficiências, tanto a conceitos diretamente ligados ao tema
proporcionalidade, quanto a outros conceitos matemáticos. Levando em consideração os
dados obtidos por meio da análise dos questionários (do professor e do aluno) e do pré-
Capítulo 3. Metodologia da Pesquisa 65
teste, foi elaborada uma sequência didática para ser aplicada na turma de 1º ano do Curso
Técnico em Química Integrado ao Ensino Médio.
Todas as atividades se encontram disponíveis no Apêndice G deste trabalho. No
Quadro 3 são apresentadas as informações técnicas das atividades desenvolvidas, incluindo
o material necessário, o tempo e data de aplicação de cada atividade.
Quadro 3 – Ficha técnica das atividades do 1º Ano
Atividades Material Necessário Tempo utili-zado
Data da apli-cação
1 - Razão no cotidiano Folha de ativida-des;computador comacesso à internet
50min 17/09/2018
2 - Cortando pizza emdiferentes proporções
Folha de ativida-des;computador comacesso à internet
50min 17/09/2018
3 - Construindo concei-tos
Folha de ativida-des;computador comacesso à internet
1h40min 19/09/2018
4 - Balançando Folha para regis-tro;computador comacesso à internet
50min 19/09/2018
5 - Proporcionalidade efunção
Folha de atividades;computador com soft-ware Geogebra insta-lado
2h30min 20/09/2018
Fonte:Elaboração Própria
A sequência didática foi elaborada para aplicação na mesma turma que respondeu
ao questionário do aluno e ao pré-teste. As atividades foram escolhidas com o objetivo de
trabalhar habilidades específicas, diagnosticadas como ausentes ou pouco desenvolvidas,
de acordo com o desempenho dos alunos no pré-teste. Na ocasião da aplicação das Ativi-
dades 1 e 2 da sequência didática, a pesquisadora fez uma breve revisão sobre Razão e
Proporção, de forma a contextualizar o trabalho inicial. Os alunos haviam, recentemente,
estudado função afim, e isso auxiliou no desenvolvimento do trabalho, uma vez que este
conteúdo estava presente em algumas das atividades aplicadas. Ao final da aplicação, as
atividades foram recolhidas e arquivadas para análises posteriores. Levando em considera-
ção as dificuldades que os alunos demonstraram ao resolverem as questões do pré-teste,
optou-se por uma postura ativa durante a aplicação da sequência didática, orientando os
alunos no desenvolvimento das atividades e respondendo a possíveis dúvidas. A escolha
do suporte tecnológico para o desenvolvimento das atividades da sequência didática se deu
após a revisão bibliográfica para a escrita desta dissertação, revisão esta que apontou a
importância do uso de recursos diferentes da aula tradicional, principalmente tecnológicos,
Capítulo 3. Metodologia da Pesquisa 66
como forma de tornar o aprendizado mais significativo, concepção presente também nas
falas dos professores entrevistados, que veem os recursos tecnológicos como potencializa-
dores do aprendizado e capazes de aumentar o interesse dos alunos. No início de cada
atividade, antes de começarem a resolver as questões, os alunos poderão manipular o
aplicativo livremente. Ao final de cada uma delas, a pesquisadora conversará com os alunos
sobre os conceitos trabalhados, buscando sedimentá-los.
3.6.1 Atividade 1 - Razão no cotidiano
Na Atividade 1 será utilizado o objeto digital “Suco, néctar ou refresco”, do Portal
do Saber (PORTALDOSABER, 2018b). O tempo previsto desta atividade é 50 minutos,
e ela será desenvolvida em duplas. Para esta atividade, são necessários computadores
com acesso à internet, o aplicativo e a folha de respostas. A pesquisadora preparará os
computadores, deixando os navegadores de internet já abertos na página do aplicativo.
Explicará os objetivos das atividades, os conceitos que serão trabalhados e apresentará o
software, explicitando as funções dos botões e outros comandos importantes. Os objetivos
desta atividade são: relembrar o conceito de razão; demonstrar uma aplicação prática
do conceito de razão e trabalhar proporcionalidade com uso de porcentagens de forma
diferente da tradicional.
Na primeira questão, os alunos deverão preparar, utilizando o aplicativo, certa
quantidade de líquido, na proporção solicitada. Para isso, é preciso transferir líquido de um
dos quatro recipientes (água, refresco, néctar ou suco), escolhendo a quantidade desejada
e a transferindo para o recipiente final. É possível esvaziar o recipiente final e começar
novamente a qualquer momento (botão "Esvaziar Recipiente final"). Pode-se trocar de
desafio a qualquer momento (botão "Novo Preparo"), assim como ver a solução para o
desafio atual (botão "Mostrar explicação"). Na folha de atividades na primeira questão, os
alunos deverão registrar todas as etapas das suas soluções para o preparo das misturas.
Na segunda questão os alunos deverão refletir e identificar as dificuldades que tiveram
ao realizar cada etapa. Escrevendo suas considerações a respeito delas e, também, se
aprenderam algum conceito novo. Na terceira questão, os alunos deverão registrar o que
acharam da utilização do aplicativo na atividade.
3.6.2 Atividade 2 – Cortando pizza em diferentes proporções
Na Atividade 2 será utilizado o objeto digital “Cortando a pizza”, do Portal do Saber
(PORTALDOSABER, 2018a). O tempo previsto desta atividade é 50 minutos, e ela será
desenvolvida em duplas. Para esta atividade, são necessários computadores com acesso à
internet, o aplicativo e a folha de respostas. A pesquisadora preparará os computadores
previamente, deixando a página do aplicativo aberta. Explicará os objetivos das atividades,
os conceitos que serão trabalhados e apresentará o software, explicitando as funções
Capítulo 3. Metodologia da Pesquisa 67
dos botões e outros comandos importantes. Os objetivos desta atividade são: relembrar o
conceito de proporção e resolver questões do cotidiano envolvendo proporção.
Na primeira questão é apresentada uma pizza, um número de pessoas e a proporção
de pizza para cada uma delas. O aluno precisa cortar a pizza, no aplicativo, de forma que
cada pessoa receba a proporção determinada. Pra isso os alunos precisam começar
escolhendo um ângulo apropriado utilizando a ferramenta "faca". Uma vez selecionado o
ângulo, deve ser feito o corte (botão “Cortar”). Ao final dos cortes, é apresentada a solução
da atividade. É possível também desfazer o último corte ou todos eles. As instruções
desta primeira parte se encontram no próprio aplicativo. Na folha de atividades na primeira
questão, os alunos deverão registrar todas as etapas das suas soluções para o corte da
pizza. Na segunda questão os alunos deverão refletir e identificar as dificuldades que
tiveram ao realizar cada etapa. Escrevendo suas considerações a respeito delas e, também,
se aprenderam algum conceito novo. Na terceira questão, os alunos deverão registrar o que
acharam da utilização do aplicativo na atividade. Esta questão permitirá à pesquisadora
analisar cada dificuldade encontrada pelos alunos.
3.6.3 Atividade 3 – Construindo conceitos
A Atividade 3 é composta por 14 questões, realizadas com suporte do aplicativo “Lei
de Ohm”, do Phet – Interactive Simulations (PHETINTERACTIVESIMULATIONS, 2018b). O
tempo previsto desta atividade é dois tempos de aula (1h40min), e ela será desenvolvida
individualmente. Para esta atividade, são necessários computadores com acesso à internet,
o aplicativo e a folha de respostas. A pesquisadora preparará os computadores, deixando
os navegadores de internet já abertos na página do aplicativo. A pesquisadora explicará
os objetivos das atividades, os conceitos que serão trabalhados e apresentará o software,
explicitando as funções dos botões e outros comandos importantes. Os objetivos desta
atividade são: trabalhar os conceitos de grandezas diretamente proporcionais e inversa-
mente proporcionais; entender o conceito de proporcionalidade; identificar variações de
proporcionalidade direta e inversa; diferenciar grandezas direta e inversamente proporci-
onais; proporcionar um objeto visualmente manipulável para que os alunos verifiquem as
características das grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais e
apresentar um exemplo de aplicação multidisciplinar de proporcionalidade.
Em um primeiro momento, os alunos deverão manipular os botões da tensão e
da resistência no aplicativo, observando o comportamento das grandezas envolvidas,
percebendo a possibilidade de prever como a corrente muda quando a resistência de um
circuito é fixa e a tensão sofre alterações. Após este momento inicial, os alunos deverão
responder às questões da folha, manipulando o aplicativo sempre que necessário. As sete
questões iniciais trabalham o conceito de proporcionalidade direta, e as outras sete abordam
o conceito de proporcionalidade inversa.
Capítulo 3. Metodologia da Pesquisa 68
3.6.4 Atividade 4 – Balançando
Na Atividade 4 será utilizado o objeto digital “Balançando”, do Phet – Interactive
Simulations (PHETINTERACTIVESIMULATIONS, 2018a). O tempo previsto desta atividade
é 50 minutos, e ela será desenvolvida individualmente. Para esta atividade, são necessários
computadores com acesso à internet, o aplicativo e a folha de registro. A pesquisadora
explicará os objetivos das atividades, os conceitos que serão trabalhados e apresentará o
software, explicando as funções dos botões e outros comandos importantes. Os objetivos
desta atividade são: aplicar o conceito de proporcionalidade inversa; possibilitar uma me-
lhor compreensão das aplicações do conceito de proporcionalidade inversa e trabalhar o
raciocínio proporcional.
Nas atividades, os alunos devem utilizar o conceito de proporcionalidade inversa
para: prever como objetos de massas diferentes devem ser posicionados para equilibrar
uma balança; predizer como a mudança dos objetos sobre prancha da balança afetam o
movimento da mesma; determinar regras para predizer a direção da inclinação da prancha
quando os objetos são movimentados e testar as regras para a resolução das questões.
3.6.5 Atividade 5 – Proporcionalidade e função
O Geogebra é um software utilizado para o ensino-aprendizagem de Álgebra e de
Geometria. Criado por Markus Hohenwarter, que iniciou o projeto em 2001 na Universidade
de Salzburg, o programa apresenta uma janela algébrica e outra geométrica, possibilitando
observar as duas representações de um mesmo objeto. As representações interagem entre
si, e isso permite ao aluno realizar investigações e testes, estimulando a criatividade e a
curiosidade matemática. Geogebra possibilita uma abordagem diferenciada dos conceitos
matemáticos, permitindo ao aluno experimentar um espaço onde os objetos podem ser
manipulados dinamicamente. Nesta atividade, o Geogebra foi utilizado por possibilitar a
fácil construção e manipulação de gráficos.
Dentro desta atividade serão trabalhados três tópicos, todos com uso do software
Geogebra para preenchimento de tabela e construção/visualização do gráfico referente a
cada tabela: I – Copos descartáveis, com 11 questões; II – Funções custo e receita, com 18
questões e III – Vazão, com 11 questões. O tempo previsto desta atividade é três tempos de
aula (2h30min), e ela será desenvolvida em duplas. Para esta atividade, são necessários
computadores com o Geogebra instalado e a folha de respostas. A pesquisadora explicará
os objetivos das atividades, os conceitos que serão trabalhados e apresentará o software,
explicando os comandos mais importantes. Neste momento também serão discutidos os
conceitos de proporcionalidade (atividade 3). Os objetivos desta atividade são: estudar os
conceitos de proporcionalidade direta e inversa e sua relação com função linear f(x) = ax
e hipérbole f(x) = a/x; explorar situações em que as relações não sejam proporcionais;
analisar situações de proporcionalidade direta e inversa como funções do tipo y = kx
Capítulo 3. Metodologia da Pesquisa 69
e y = k/x; representar algebricamente situações de proporcionalidade direta e inversa;
analisar gráficos que traduzam casos de proporcionalidade direta e inversa em contextos
da vida real; abordar a função linear (caso especial da função afim) como modelo da
proporcionalidade direta; abordar a representação gráfica de uma hipérbole como modelo
da proporcionalidade inversa; propor situações que requerem a verificação da existência de
grandezas proporcionais a partir da análise da representação gráfica e diferenciar grandezas
direta e inversamente proporcionais.
Seguem as descrições individuais dos tópicos trabalhados:
I – Copos descartáveis – Neste tópico busca utilizar-se de uma situação do cotidiano
(produção de resíduos sólidos, no caso os copos descartáveis) para levar o aluno a aplicar
o conceito de proporcionalidade e resolver os problemas. As dez primeiras atividades bus-
caram trabalhar grandezas diretamente proporcionais. A última questão procurou despertar
a consciência ecológica dos alunos, convidando-os a opinar sobre o impacto dos copos
descartáveis no meio ambiente.
II – Funções custo e receita – Neste tópico procura abordar um assunto do cotidiano
(venda de brigadeiro) para despertar o interesse do aluno. A primeira questão solicita
a expressão algébrica do custo total mensal de produção. A segunda questão solicita
a expressão algébrica da receita (faturamento bruto). A terceira questão solicita que os
alunos completem duas planilhas, uma referente ao custo total e a outra referente a receita
(faturamento bruto). A quarta questão solicita que os alunos descrevam qual foi o raciocínio
utilizado para completar as planilhas. Da quinta questão a décima primeira, as perguntas
direcionam para a análise e a verificação das grandezas envolvidas na planilha 1 (Custo total
de produção), a fim de saber: que grandezas variam; se há uma relação de proporcionalidade
entre as grandezas envolvidas; se há uma constante de proporcionalidade; construção do
gráfico no Geogebra com os pares de valores da planilha; verificar se a expressão algébrica
no Geogebra é a mesma encontrada no item 1); descrever que tipo de figura geométrica o
gráfico representa e verificar se ele passa por todos os pontos e pela origem.
Da décima segunda à décima oitava questão as perguntas direcionam para os
seguintes questionamentos: análise e verificação das grandezas envolvidas na planilha 2
(receita, faturamento bruto); quais grandezas variam; se há uma relação de proporcionali-
dade entre as grandezas envolvidas; se há uma constante de proporcionalidade; construção
do gráfico no Geogebra com os pares de valores da planilha; verificar se a expressão
algébrica no Geogebra é a mesma encontrada no item 2); descrever que tipo de figura
geométrica o gráfico representa e verificar se ele passa por todos os pontos e pela origem.
III – Vazão – Neste tópico, as dez primeiras questões abordaram as característi-
cas das grandezas inversamente proporcionais. A última pergunta solicita que os alunos
apliquem os conhecimentos adquiridos nas atividades anteriores, de forma contextualizada.
Capítulo 3. Metodologia da Pesquisa 70
3.6.6 Justificativa
Proporcionalidade está presente em muitas situações do nosso cotidiano, como,
por exemplo: estimativas de preços do supermercado; necessidade de reduzir ou ampliar
uma fotografia; interpretação de mapas; ao cozinhar uma receita para certo número de
pessoas ou na necessidade de calcular o tempo de uma viagem, dentre diversos contextos.
Compreender como grandezas se relacionam é de extrema importância para a resolução
de inúmeros problemas cotidianos. Logo, não se trata de um conceito matemático abstrato
e distante da realidade. Ao mesmo tempo, o desempenho dos alunos brasileiros em Mate-
mática, principalmente no Ensino Médio, não é de excelência (INEP, 2016). Os processos
de ensino tradicionais, que já não correspondem às exigências do nosso tempo, aliados
às dificuldades de aprendizado dos alunos, acabam por criar um cenário de desolação.
Neste contexto, a falta de interpretação das questões e de domínio das operações básicas
criam dificuldades ao aprendizado de conceitos relativamente mais complexos, como é
o caso de proporcionalidade, dificuldades estas que se estendem até o Ensino Superior,
como atestado por (FIOREZE, 2010). Especificamente em se tratando de proporcionalidade,
Rezende (2013), trabalhando com alunos dos 7º ano do Ensino Fundamental, mostrou
que os mesmos cometem erros persistentes ao usarem relações de proporcionalidade em
grandezas não proporcionais, fenômeno chamado de “ilusão da lineariade” (termo cunhado
pelos pesquisadores Dirk De Bock, Wim Van Dooren, Dirk Janssens e Lieven Verschaffel).
Nesse caso, os alunos tendem a aplicar relações lineares em qualquer situação, mesmo
nos casos inadequados. Esse erro persiste mesmo diante de novas metodologias ou abor-
dagens, em parte devido: a forma como a proporcionalidade é normalmente ensinada;
uso excessivo de questões resolvidas por meio da regra de três e falta de pré-requisitos
dos alunos de conteúdos que poderiam ajudar a entender proporcionalidade. É preciso
portanto, melhor entender como o tema proporcionalidade é visto por alunos e professores,
e investigar novas metodologias de ensino, de forma a contribuir para o aprendizado deste
importante conteúdo.
71
Capítulo 4
Desenvolvimento e Resultados da
Pesquisa
Neste capítulo serão apresentadas as análises do questionário do professor; do
questionário do aluno; do pré-teste; da sequência didática; do pós-teste e do questionário
investigativo.
4.1 Análise do questionário do professor
O questionário do professor foi dividido em três seções para melhor organização
do trabalho: I - Identificação; II - Sobre suas aulas e III - Sobre o ensino/aprendizado
de Proporcionalidade. O objetivo da aplicação do questionário foi levantar dados sobre
a formação do professor de matemática, os recursos por ele utilizados, assim como os
conceitos de proporcionalidade presentes em suas aulas. Conhecer a formação e aspectos
da atuação do professor pode ajudar a melhor compreender os acertos e erros dos alunos.
As questões do questionário do professor foram baseadas no trabalho de (FONSECA,
2017).
Os questionários foram enviados por mensagem de e-mail, por meio de formulário
eletrônico do Google. Responderam ao questionário 50 docentes, pertencentes aos estados
do Rio de Janeiro e Espírito Santo, cujas análises das respostas nos permitiram traçar um
perfil destes profissionais.
Vale ressaltar que o total percentual de participantes nos gráficos de coluna aparece
maior que o total de pesquisados (professores/alunos), ou seja, maior que 100%. Isso
ocorre porque os entrevistados podem ter mais de uma opção em sua escolha (questões
fechadas) ou resposta (questões abertas).
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 72
Parte I: Identificação
No Gráfico 1 é possível observar a idade dos professores participantes da pesquisa.
Percebe-se que a maioria deles (68%) é composta por adultos jovens (faixa de idade
compreendida de 20 a 40 anos).
Gráfico 1 – Idade dos professores participantes da pesquisa
Fonte: Dados da pesquisa
Quando perguntados sobre a formação, percebe-se que a maior parte dos entrevis-
tados possui mestrado (42%), a segunda parcela mais representativa possui especialização
latu sensu (28%) e a terceira possui apenas graduação em Matemática (18%) (Gráfico 2).
O alto índice de professores com mestrado é algo que chama a atenção. De acordo com
Pereira (2013), os cursos de pós-graduação têm sofrido franco crescimento no Brasil, ainda
que de forma bastante assimétrica quando se consideram as regiões brasileiras, sendo as
regiões Sul e Sudeste privilegiadas em relação a cursos e desenvolvimento de pesquisas.
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 73
Gráfico 2 – Respostas dos professores quanto às suas formações na área em que atuamou outras.
Fonte: Dados da pesquisa
No Gráfico 3 é possível observar o tempo de atuação dos professores em sala de
aula. A maioria possui entre 5 e 9 anos de trabalho docente (40%). Somente 8% possuem
mais de 30 anos de carreira.
Gráfico 3 – Respostas dos professores à questão sobre o tempo de atuação
Fonte: Dados da pesquisa
Este dado é importante para ajudar a entender a situação do professor, onde
profissionais com formação diariamente deixam as salas de aula por não estarem satisfeitos
com as condições de trabalho. Souto e Paiva (2013), estudando os egressos do curso de
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 74
Licenciatura em Matemática da Universidade Federal de São João del-Rei – UFSJ/MG,
concluíram que quase metade dos licenciados abandonou ou está prestes a abandonar o
magistério. Os autores também destacam o problema do desinteresse pelas licenciaturas
em geral, que a cada ano, se veem menos procuradas pelos estudantes. Moreira (2012),
estudando os perfis de ingressantes no cursos de Licenciatura em Matemática de 10
diferentes estados brasileiros, constataram que os ingressantes em sua maioria, são jovens
que estudaram em escolas públicas e escolheram a Licenciatura em Matemática pela
afinidade com a matemática, e não necessariamente com a docência. A falta de perspectivas
reduz o tempo de atuação do professor, que procura outras áreas de atuação ou outros
cursos para fugir dos inúmeros problemas do magistério.
No Gráfico 4 é possível observar o tipo de instituição na qual os professores traba-
lham. A maioria (70%) trabalha em instituição pública estadual, e parcelas iguais trabalham
em instituição Privada (24%) ou Pública Federal (24%). A menor parcela de professores
pesquisados (22%) trabalha em escola Pública Municipal.
Gráfico 4 – Respostas dos professores à questão sobre o tipo de instituição em que traba-lham
Fonte: Dados da pesquisa
Parte II – Sobre suas aulas
No Gráfico 5 é possível observar as estratégias de ensino que os professores
utilizam em suas aulas, e as aulas expositivas são apontadas como as mais utilizadas
(98%), seguidas por trabalho em grupo (80%) e pelo trabalho individual (76%).
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 75
Gráfico 5 – Respostas dos professores à questão “Quais estratégias de ensino você utilizaem suas aulas? Assinale-as”
Fonte: Dados da pesquisa
Segundo Giraldo (2018), faz-se necessário a formação de professores para uma
abordagem problematizadora, que rompa com a dicotomia da universidade ser local de
produção de saberes e a escola somente de aplicação. A tradicional aula expositiva por si
só, sem acréscimos de outras metodologias, e apontada como um dos recursos utilizados
pelos professores, vai de encontro com que o autor diz, exatamente por não possibilitar um
ensino mais instigante e problematizador. Percebe-se, portanto que, a despeito de muitos
outros recursos e tecnologias desenvolvidas no meio educacional ao longo dos anos, a
tradicional exposição de conteúdos ainda é a mais utilizada. Cabe, ainda, um parêntese
sobre um recurso que não é muito explorado: a História da Matemática. A História da
Matemática pode ser usada como agente de formação cultural ou cognitivo em sala de aula,
proporcionando reflexão sobre a construção do conhecimento, e mostrando que o mesmo
vai além das salas de aula (RODRIGUES, 2016).
Quando se analisa quais recursos são mais utilizados pelos professores, percebe-se
que recursos tecnológicos aparecem em primeiro lugar dentre as respostas dadas (58%),
seguido de Softwares/Geogebra/Winplot (29%) e jogos (21%) (Gráfico 6). Como se trata
de uma questão aberta, onde o professor deveria citar os recursos utilizados, uma grande
parcela respondeu apenas “recursos tecnológicos”, sem especificar quais.
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 76
Gráfico 6 – Respostas dos professores à questão “Referente a opção outros assinalado naquestão anterior, descreva-os”
Fonte: Dados da pesquisa
Apesar de jogos se confundirem com recursos tecnológicos quando se tratam de
jogos de computador, percebe-se que a maior porcentagem de recursos utilizados pelos
professores está ligada à tecnologia. Os PCN de Matemática (BRASIL, 1997) já traziam a
importância de se considerar o computador como um instrumento capaz de integrar várias
mídias e auxiliar no ensino-aprendizado. Contudo, segundo Neves, Dióginis e Cunha (2015),
apesar de chamar a atenção do aluno, a simples presença do computador (e aqui estende-
se essa definição ao recurso tecnológico) não é suficiente para que ocorra o aprendizado.
O professor deve, portanto, sempre refletir sobre o uso do recurso tecnológico, de forma a
não fazê-lo simplesmente por fazer.
No Gráfico 7 é possível observar a reação dos alunos quanto aos recursos utilizados
pelos professores. Segundo 52% dos professores, os alunos se mostram interessados e
se envolvem bastante com as aulas. Porém, uma parcela relevante de professores (24%),
disse que os alunos se mostram desinteressados e não se envolvem com as aulas.
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 77
Gráfico 7 – Respostas dos professores à questão “Considerando sua prática e os recursosutilizados, como os alunos reagem à aula de Matemática?”
Fonte: Dados da pesquisa
Quando se analisa as respostas dos professores, percebe-se que eles desejam
mudar algum aspecto de suas práticas pedagógicas, em sua maioria (74%). Uma segunda
parcela representativa (20%) afirma não querer mudar nenhum aspecto de suas práticas, e
uma menor parcela (6%) afirma já tentar novas experiências (Gráfico 8).
Gráfico 8 – Respostas dos professores à questão “Há algum aspecto que você gostaria demudar na sua prática em sala de aula? Qual?”
Fonte: Dados da pesquisa
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 78
Como exemplo de resposta negativa sobre a necessidade de modificar a própria
prática pedagógica, temos a seguinte fala de um professor: “Não, porque sinto que minhas
práticas pedagógicas facilitam o aprendizado do meu aluno.” Como resposta positiva à
mudança, temos os seguintes exemplos: “"Proporcionar aos alunos mais aulas dinâmicas
e interativas."; “Trabalhar mais com tecnologias digitais.”; “Utilizar mais softwares mate-
máticos.”, dentre muitas outras. Tardif (2000) afirma que não se deve confundir o que
foi transmitido aos professores durante sua formação inicial (notavelmente a licenciatura)
com aquele que ele constrói durante sua carreira. Entende-se que o saber do professor é
construído ao longo de sua trajetória, sendo portanto, passível de constante modificação.
Quando perguntados sobre a postura em relação aos desafios do ensino de Ma-
temática, percebe-se que a maior parte dos professores participantes da pesquisa (50%),
afirma sempre buscar novas metodologias de ensino (Gráfico 9).
Gráfico 9 – Respostas dos professores à questão “Considerando que o papel do educadorvem mudando ao longo do tempo no processo de ensino-aprendizagem, comovocê analisa sua postura frente aos desafios contemporâneos do ensino daMatemática?”
Fonte: Dados da pesquisa
A segunda parcela mais representativa (46%) afirma tentar novas metodologias de
ensino ocasionalmente, e a terceira parcela (4%) afirma manter a mesma prática pedagógica
de sempre. Rezende, Lopes e Egg (2003), analisando os discursos de professores de física
e matemática, concluíram que os professores reconhecem que ensinam de forma tradicional,
ao mesmo tempo em que demonstram desejo de modificar suas práticas pedagógicas.
Afirmam não mudar por causa de diversos fatores, entre eles: falta de recursos, falta de
apoio da escola e falta de interesse do aluno.
No Gráfico 10 é possível observar os recursos que os professores utilizam em suas
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 79
aulas. Como é possivel constatar, “YouTube” (58%), Geogebra (54%) e Smartphone(54%)”
são apontados como os mais utilizados. O uso de recursos tecnológicos em uma escola
pública do Município de Mirante do Paranapanema – São Paulo, feito por Neves, Dióginis e
Cunha (2015), mostrou que os professores possuíam uma visão instrucionista da tecnologia,
e isso refletia na forma como ela era empregada, com o computador como uma “máquina
de ensinar”. Essa abordagem reduz enormemente o potencial do recurso tecnológico, que
passa a servir como transmissor de saberes, em detrimento de ajudar a construí-lo.
Gráfico 10 – Respostas dos professores à questão “Atualmente, você utiliza algum dosrecursos abaixo em suas aulas? Assinale-os”
Fonte: Dados da pesquisa
Como é possível observar no Gráfico 11, a maioria dos professores utiliza os
recursos tecnológicos para exibir vídeos ou filmes educativos (34%) e a segunda parcela
mais representativa utiliza para trabalhar equações/funções/geometria (20%). Uma parcela
considerável (14%) utiliza os recursos tecnológicos nas aulas expositivas. Segundo Kotz et
al. (2017), a aula expositiva, quando acrescida de metodologias que permitam ao educando
dialogar com o professor, pode ser bem proveitosa.
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 80
Gráfico 11 – Respostas dos professores à questão “Descreva como você utiliza os recursosassinalados na questão anterior”
Fonte: Dados da pesquisa
Analisando o Gráfico 12, percebe-se que a maioria dos professores afirma possuir
domínio do computador (80%), e uma parcela considerável (14%), afirma saber apenas
o básico. Silva (2016), trabalhando em um curso de extensão voltado para professores
da Educação Básica de escolas de Pernambuco, constatou diferentemente deste trabalho
que uma grande parcela dos professores, tanto de escolas privadas quanto públicas,
possuía pouco conhecimento em informática. Grande parte, inclusive, nunca havia recebido
capacitações na área, muito menos tido contato com computador antes do curso.
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 81
Gráfico 12 – Respostas dos professores à questão “Qual seu nível de conhecimento emrelação ao uso do computador?”
Fonte: Dados da pesquisa
Observou-se com a análise da questão 7 que todos os professores participantes
são favoráveis ao uso dos recursos tecnológicos na educação. Ressaltam-se algumas
declarações dos professores sobre as dificuldades de uso da tecnologia na escola, a
qual na maioria das vezes, não tem os recursos minimamente necessários, como por
exemplo, acesso à internet de qualidade. Rodrigues (2008) analisou o uso de computador
em aulas de matemática de um grupo de professores da rede pública do Paraná, mais
especificamente sobre o uso do programa Geogebra nas aulas. Concluiu que a simples
presença do computador não garante maior qualidade da educação, mas depende de como
o recurso é empregado. A percepção dos professores foi, inclusive, de decepção frente
ao programa, o qual eles acharam muito simples, pois esperavam encontrar a tecnologia
como algo cheio de cores, vibrante. Apesar deste desencanto inicial com o programa, a
maioria dos professores, ao final do curso analisado por Rodrigues (2008), mostrou-se mais
motivada do que antes.
Parte: III – Sobre o ensino/aprendizado de Proporcionalidade
Analisando as respostas dos professores, constata-se que a maioria (90%) afirma
gostar de trabalhar com proporcionalidade (Gráfico 13). Analisando o questionário, encontra-
mos as seguintes justificativas dadas pelos professores: “O conceito de proporcionalidade
está presente no cotidiano de qualquer pessoa e, em diversas situações”; “Sim, por que é
fácil associar ao dia a dia”; “Sim, pois dá para dinamizar inserindo exemplos do cotidiano”;
“Pode-se trabalhar com exemplos do cotidiano do aluno.” Percebe-se que os professores
tem uma ideia muito clara da aplicabilidade dos conceitos de Proporcionalidade no dia a dia
das pessoas, o que por si só, já justificaria seu uso.
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 82
Gráfico 13 – Respostas dos professores à questão “Você gosta de trabalhar os conceitosde proporcionalidade? Por quê?”
Fonte: Dados da pesquisa
Analisando as respostas dos professores, percebe-se que a maioria (90%) concorda
que o tema proporcionalidade seja trabalhado de forma constante com os alunos (Gráfico
14). Como exemplos de respostas dos professores, têm-se: “Concordo. A começar pelo
conceito. Qual o conceito de proporcionalidade? Como ele deve ser tratado no ensino
fundamental? E no médio? E no superior? Por experiência, vejo que muitos alunos não
sabem, de fato, o conceito de proporcionalidade e, portanto, carregam, erroneamente, esse
conceito ao longo de suas vidas”; “Acho que sempre que se tiver um ambiente favorável, ou
seja, que outros conteúdos derem abertura para tal, a proporcionalidade deve ser trazida
à tona até mesmo para que não pareça isolado, desassociado de outros conhecimentos
da Matemática”; "Concordo. É um conceito com inúmeras aplicações tanto na matemática
quanto em outras áreas do conhecimento e o não domínio do raciocínio proporcional
pode trazer grandes prejuízos para a aprendizagem de diversos conteúdos”.Uma pequena
parcela (8%), contudo, não concorda com a afirmação, e trás as seguintes falas: “Insistente
não... mas cada um tem seu tempo de aprendizagem”; “Acho que não. Se um dia o aluno
achar que precisa ele vai buscar a informação”; “Não sei dizer. Acredito que existam muitos
conteúdos na matemática que deveriam ser abordados constantemente”. Aqui, percebe-se
que, ao mesmo tempo em que os professores acreditam que o tema é pertinente, uma
parcela afirma existir outros conteúdos que precisam ser trabalhados.
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 83
Gráfico 14 – Respostas dos professores à questão “As dificuldades com os conceitos deproporcionalidade devem ser tratadas de forma constante e insistente durantetoda a vida escolar do aluno.” Você concorda ou discorda da afirmação?Justifique sua resposta.”
Fonte: Dados da pesquisa
Analisando as respostas dos professores, constata-se que falta de pré-requisitos
(30%) e dificuldade de interpretação dos alunos (26%) são apontados como as maiores
dificuldades em trabalhar o tema proporcionalidade (Gráfico 15). Como exemplos de falas
dos professores, tem-se: “Minha maior dificuldade é fazer com que os alunos entendam
que nem tudo na vida pode ser resolvido com ‘regra de três simples’. Costumo trabalhar os
não exemplos de grandezas diretamente ou inversamente proporcionai”; “Tempo, mediante
a grande carga de conteúdos do currículo e necessidade de maturação do conceito”; “Na
hora de explicar quando as grandezas são diretamente ou inversamente proporcional”; “Os
alunos geralmente chegar ao ensino médio sem dominar as quatro operações básicas”.
Os professores em sua maioria (56%), portanto, responsabilizam os próprios alunos pelas
dificuldades.
Zacarias (2008) desenvolveu uma pesquisa sobre fracasso escolar em matemática,
e concluiu que os alunos possuem os mais variados motivos para não gostar da disciplina,
desde medo, sentimentos negativos, experiências anteriores ruins e outros. Com isso,
entende-se que as dificuldades em matemática, que geram a falta de pré-requisitos, fazem
parte de toda uma vida escolar.
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 84
Gráfico 15 – Respostas dos professores à questão “Qual a sua maior dificuldade ao traba-lhar estes conceitos?”
Fonte: Dados da pesquisa
No Gráfico 16, analisando as respostas dos professores, percebe-se que a maioria
deles (30%) utiliza de material concreto, e uma segunda parcela representativa (28%)
de aulas expositivas para trabalhar o tema Proporcionalidade. A terceira parcela mais
representativa (22%) afirma utilizar aplicações em situações reais como recurso. Como já
foi discutido, o uso de situações reais, do cotidiano do aluno, pode auxiliar no processo de
aprendizagem significativa.
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 85
Gráfico 16 – Respostas dos professores à questão “Quais recursos você utiliza para traba-lhar os conceitos de proporcionalidade?”
Fonte: Dados da pesquisa
Analisando as respostas dos professores, percebe-se que uma parcela representa-
tiva deles (46%) aponta a falta de pré-requisitos como a principal dificuldade dos alunos
no estudo de proporcionalidade. A segunda parcela mais representativa (28%) aponta a
dificuldade de interpretação como um fator negativo (Gráfico 17). Os professores justificam
suas respostas com as seguintes falas: “São capazes porém desinteresse persiste por parte
dos alunos”; “Uso mecânico da regra de três, ou seja falta interpretação e reflexão”; “A
falta da família em pegar firmes com seu filho em casa.”; “Falta do apoio familiar e falta de
estudos em casa”; “Dificuldades em operações básicas. Defasagem de séries anteriores”.
Mais uma vez é possível constatar que os professores responsabilizam os alunos pelas
dificuldades em aprender proporcionalidade.
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 86
Gráfico 17 – Respostas dos professores à questão “Quais as maiores dificuldades que vocêobserva em seus alunos? Em sua opinião, qual(is) a(s) causa(s) para estasdificuldades?”
Fonte: Dados da pesquisa
Analisando as respostas dos professores percebe-se que a maioria (46%), afirma
que utilizar-se de situações do cotidiano do aluno pode ajudar a tornar o ensino-aprendizado
de proporcionalidade mais significativo. Uma parcela considerável (26%) aponta o uso de
material concreto como uma opção, e parcelas iguais (16%) apontam o uso de tecnologias
e aulas práticas como capazes de melhorar o aprendizado de proporcionalidade (Gráfico
18).
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 87
Gráfico 18 – Respostas dos professores à questão “O que você considera que pode serfeito para que o aprendizado dos conceitos de proporcionalidade se torne maismotivador e significativo?”
Fonte: Dados da pesquisa
As análises das respostas do questionário do professor permitem constatar que os
mesmos possuem formação mínima adequada para lecionar matemática, e uma grande par-
cela possui mestrado. Aulas expositivas e trabalhos em grupo são citados pelos professores
como os mais utilizados em suas práticas e, segundo os docentes, com o uso dos mesmos
a maioria dos alunos se mostra interessados. A maioria dos professores afirma querer
modificar sua prática pedagógica, e é favorável ao uso de recursos tecnológicos nas aulas
de matemática. Os docentes concordam que o tema proporcionalidade seja trabalhado
insistentemente com os alunos, e afirmam que a falta de pré-requisitos e de interpretação
são os principais motivos das dificuldades de aprendizagem dos alunos. Os professores
também acreditam que o uso de situações do cotidiano do aluno pode ajudar a tornar o
ensino-aprendizado de proporcionalidade mais efetivo.
4.2 Análise do questionário do aluno
Responderam ao questionário do aluno um total de 33 estudantes, com idades entre
15 e 17 anos, como se pode observar no Gráfico 19 a seguir:
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 88
Gráfico 19 – Idade dos participantes da pesquisa
Fonte: Dados da pesquisa
Os alunos apresentam-se na série prevista para a faixa etária condizente com o
Ensino Médio (15 a 17 anos), o que constitui o cenário educacional ideal pois, somente
em 2010, aproximadamente metade dos jovens brasileiros nesta faixa etária não estava
matriculada no Ensino Médio. Eram 4,9 milhões de jovens fora da escola ou ainda cursando
o Ensino Fundamental (COSTA, 2013).
Como é possível observar no Gráfico 20, a maior parte dos participantes da pesquisa
é de indivíduos do sexo feminino (73%).
Gráfico 20 – Sexo dos participantes da pesquisa
Fonte: Dados da pesquisa
A maior parte dos entrevistados (85%) possui computador em casa, como é possível
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 89
observar no Gráfico 21:
Gráfico 21 – Respostas dos alunos à questão “Você possui computador em casa?”
Fonte: Dados da pesquisa
No Brasil, em 2017, 69,9% das pessoas utilizavam a internet (IBGE, 2018). Embora
a simples constatação de computador em casa não ofereça muitas informações sobre a
inclusão digital do aluno, ela nos indica que ele possui algum grau de alfabetização digital,
o que pode influenciar diretamente na performance do mesmo nas atividades mediadas
por tecnologia aplicadas pela presente pesquisadora. Como a maioria dos alunos possui
computador, esse fator não representa, pelo menos a princípio, uma limitação à aplicação
da sequência didática. Além disso, todos os entrevistados possuem smartphone e acessam
a internet.
Quando perguntados para que utilizam a internet, a resposta “acessar redes sociais“
foi a mais citada (97%) e “pesquisas escolares” aparece em segundo lugar (94%) (Gráfico
22). Trata-se, portanto, de um público familiarizado com o uso da internet.
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 90
Gráfico 22 – Respostas dos alunos à questão “Para que utilizam a internet?”
Fonte: Dados da pesquisa
O uso das Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs) constituem, por si
só, um novo paradigma educacional. Os alunos não aprendem como seus professores
aprenderam, e isso é muito evidente quando analisamos a forma como eles estudam: majo-
ritariamente pela internet. Logo, o professor não é a principal, ou pelo menos não constitui a
única fonte de (in)formação do aluno. Uma pesquisa realizada por Ricoy e Couto (2009)
com alunos do Ensino Secundário de uma escola de Portugal, mostrou que o interesse
dos alunos não está diretamente relacionado ao uso do computador/tecnologia, mas antes
disso: a interesses próprios; desenvolvimento de capacidades; conteúdos relacionados à
profissão que gostariam de exercer e conteúdos aplicados no dia-a-dia.
Quando questionados sobre o uso de recursos tecnológicos educacionais, os recur-
sos “Google” e “YouTube” (vídeoaulas) foram os mais citados (39%), e uma igual parcela de
alunos (39%) afirmou não utilizar nenhum recurso (Gráfico 23).
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 91
Gráfico 23 – Respostas dos alunos à questão “Você utiliza algum recurso tecnológicoeducacional? Em caso afirmativo, qual?”
Fonte: Dados da pesquisa
A familiaridade dos alunos com aparelhos do tipo smartphone pode ser um ponto
positivo para o professor utilizar a tecnologia em sala de aula, pois muitos aplicativos
educacionais são produzidos para serem utilizados nestes aparelhos. Contudo, algumas
leis municipais e estaduais dispõem sobre o uso de aparelhos eletrônicos em sala, inclusive,
proibindo-os Mateus e Brito (2011), o que gera discussões a respeito do uso pedagógico da
tecnologia. O ponto central é a dificuldade da escola em lidar com as novas tecnologias,
com o digital. Porém, a tecnologia deve ser aproveitada para auxiliar o trabalho do professor,
e não depreciada e evitada a todo custo.
Quando perguntados se gostam de estudar Matemática, a maioria dos participantes
(49%) respondeu “mais ou menos”; 15% afirmaram não gostar e parcelas iguais (18%)
afirmam gostar ou gostar muito de estudar Matemática (Gráfico 24).
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 92
Gráfico 24 – Respostas dos alunos à questão “Você gosta de estudar Matemática?”
Fonte: Dados da pesquisa
Indo um pouco além do gosto pessoal de cada um, que é diferente, pode-se levantar
diversas razões para o desgosto dos alunos pelo estudo da Matemática. Uma delas é a
dificuldade associada à disciplina, junto ao mito perpetuado de que a falta de estudo é
a única responsável pelo fracasso (SILVA, 2008). Ainda segundo Silva (2008), os alunos
tendem a acreditar que só se é bom em Matemática quando se é “inteligente”, e nem todos
podem ser bons nesta disciplina.
Quando perguntados sobre o que entendem por Proporcionalidade, as respostas dos
alunos foram as mais variadas possíveis: “Existem grandezas diretamente proporcionais,
inversamente proporcionais e regra de três”; “Que deve ser relacionado, ou a relação de
duas ou mais coisas”; “Relação de grandezas”; “Relação entre duas grandezas, ou, das
razões”, estas respostas associando proporcionalidade como relação entre grandezas; “Algo
proporcional”; “Que é algo em proporção a outro”; “Proporção”; “Que é algo proporcional ao
outro”; “Uma proporção de algo sendo diretamente ou inversamente proporcional”, estas
respostas associando Proporcionalidade à proporção. Parte dos alunos respondeu: “Que
algo proporcional é algo que é diretamente ligado a outra coisa, por exemplo, se a largura
de um retângulo aumentar, a sua área também vai aumentar”; “Entendo que é uma relação
entre valores (porções), tanto para aumentar como para diminuir” ou “Uma coisa que esta
bem dividida (proporcional)”. Muitos alunos não responderam à questão (15%), outros, se
julgaram sem conhecimento sobre o assunto (18%).
Analisando as respostas dos alunos a esta pergunta, é possível identificar possíveis
falhas no aprendizado de Proporcionalidade, por exemplo, associação direta e imediata
com o aumento/diminuição de valores, sem considerar outras análises a fim de se deter-
minar se duas grandezas são ou não proporcionais. É possível identificar, também, certa
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 93
indefinição conceitual, quando, por exemplo, os alunos afirmam que “proporcionalidade é
algo proporcional a outro”. Estes alunos, portanto, não estão familiarizados com o conceito
de Proporcionalidade.
Como é possível observar no Gráfico 25, quando perguntados sobre a dificuldade
com o conteúdo de proporcionalidade, proporções iguais dos alunos responderam possuir
dificuldade em toda matemática (36%) ou deixaram a questão em branco (36%); 12%
afirmam não possuir dificuldades.
Gráfico 25 – Respostas dos alunos à questão “Quanto a dificuldade, o que você acha doconteúdo de Proporcionalidade?”
Fonte: Dados da pesquisa
Quando questionados se utilizam os conceitos de Proporcionalidade em outras
disciplinas do Ensino Médio, a maioria das respostas (55%) fazem referência a utilização do
conceito em Química; 48% em Física; 6% não sabem responder e 3% afirmam não utilizar
(Gráfico 26).
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 94
Gráfico 26 – Respostas dos alunos à questão “Você utiliza o conceito de Proporcionalidadeem outras disciplinas do Ensino Médio (curso técnico)? Em caso afirmativo,descreva em qual(is)? Dê exemplo(s)?”
Fonte: Dados da pesquisa
Quando perguntados se utilizavam os conceitos de Proporcionalidade no dia-a-dia,
a maioria das respostas (55%) foi sim (Gráfico 27). Os alunos justificaram com os seguintes
exemplos, dentre outros: "Sim. Na hora de cozinhar"; "Sim. Como receita de comidas ou
então quando for comprar algo"; "Sim. Na hora de minhas refeições. Uso proporções de
arroz e feijão"e "Sim, em receitas, em compras, etc". Como é possível perceber, os alunos
reconhecem a aplicabilidade da proporcionalidade no dia a dia, e isso pode ser aproveitado
pelo professor como forma de tornar o aprendizado deste conteúdo mais significativo,
incorporando o que os alunos já sabem às atividades das aulas. Esse cuidado do professor,
de considerar o que aluno já sabe como ponto de partida, pode dar novo significado ao
aprendizado de proporcionalidade.
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 95
Gráfico 27 – Respostas dos alunos à questão “Você utiliza o conceito de Proporcionalidadeno seu dia-a-dia? Em caso afirmativo, descreva como.”
Fonte: Dados da pesquisa
A questão da aplicabilidade/utilidade é um tema recorrente sempre que se discutem
conceitos matemáticos. De acordo com Lima (2003), questionar a utilidade dos conceitos
matemáticos é uma atitude sempre vista com empatia, associada à aversão ao aprendizado
da disciplina, ao contrário por exemplo, de se questionar a utilidade da poesia, que é uma
atitude pouco culta. De acordo com Ruiz (2001), a falta de significado gera analfabetismo
matemático, e o indivíduo não consegue perceber que a Matemática faz parte de várias
áreas do conhecimento.
Quando questionados sobre as práticas do professor de Matemática, a maioria das
respostas (94%) foi que o professor “utiliza atividades contextualizadas”; 64% das respostas
foi que ele “apenas resolve exercícios”; apenas 3% das respostas afirmam que ele utiliza
“recursos tecnológicos” (Gráfico 28).
A forma como o professor ensina Matemática está diretamente ligada à forma
como ele aprendeu, ainda que não se limite a isso, pois os processos são indissociáveis
(CAMPÊLO, 2017). Ainda segundo os autores, a busca por tecnologias e novas formas de
ensinar é incentivada pelos PCN, e isto tem influência direta na prática dos docentes.
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 96
Gráfico 28 – Respostas dos alunos à questão “Nas aulas de Matemática, seu professor. . . Apenas resolve exercícios; Utiliza atividades contextualizadas; Promoveatividades lúdicas; Utiliza recursos tecnológicos.”
Fonte: Dados da pesquisa
Por fim, os alunos foram perguntados sobre o que gostariam que o professor de
Matemática fizesse para tornar as aulas mais interessantes, e a maioria (36%) apontou
a necessidade do uso de atividades lúdicas ou jogos; 21% pedem que o professor utilize
recursos tecnológicos; 15% sugerem abordagens diferentes/aulas mais divertidas e a quarta
porcentagem mais expressiva (12%) sugerem aulas práticas (Gráfico 29).
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 97
Gráfico 29 – Respostas dos alunos à questão “O que você gostaria que o professor fizessepara tornar as aulas de Matemática mais interessantes?”
Fonte: Dados da pesquisa
As análises das respostas do questionário do aluno nos permitiram constatar que
a maioria possui computador em casa, e todos possuem smartphone e acesso à internet,
que utilizam majoritariamente para acessar redes sociais e para pesquisas escolares.
Constatou-se também, que a maioria dos alunos entende proporcionalidade simplesmente
como a relação entre grandezas, um entendimento limitado do conceito, e acredita que os
professores possam melhorar suas aulas com atividades lúdicas e recursos tecnológicos.
4.3 Análise do pré-teste
No Gráfico 30, são apresentados os totais de erros, acertos e questões deixadas
em branco pelos alunos ao responderem o pré-teste. Neste trabalho, os alunos foram
denominados A1, A2, A3... A31.
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 98
Gráfico 30 – Análise do pré-teste
Fonte: Dados da pesquisa
A questão 1, extraída do portal da OBMEP, foi escolhida para verificar se os alunos
eram capazes de expressar a ideia de razão entre duas grandezas. Dos dezenove alunos
que erraram esta questão, nove subtraíram as grandezas, como é possível observar na
resposta do aluno A20 (Figura 12); cinco dividiram as grandezas de forma inversa (área
livre para a área construída); um aluno somou as grandezas e quatro deles responderam
de forma incorreta sem registrar o método de resolução utilizado. Apenas nove alunos
demonstraram conhecer o conceito de razão.
Figura 12 – Resolução da questão 1 do pré-teste, registrada pelo aluno A20
Fonte: Dados da pesquisa
A questão 2, também extraída do portal da OBMEP, foi escolhida para verificar o
raciocínio proporcional dos alunos, buscando relacionar razão e proporção. Dezoito alunos
erraram a questão pelos seguintes motivos: doze deles resolveram por meio da regra de três,
utilizando todos os dados do problema, porém, sem interpretá-lo de forma correta, como é
possível observar na resposta do aluno A25 (Figura 13); um deles dividiu o total de alunos
participantes por 4 (7 reprovados menos 3 aprovados); um deles dividiu total de alunos
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 99
participantes por 10 (7 reprovados mais 3 aprovados) e quatro deles responderam de forma
incorreta sem explicitar o processo utilizado para obtenção do resultado. Apenas quatro
alunos conseguiram chegar à resposta correta. Fioreze (2010) relata, em sua pesquisa,
as dificuldades de interpretação dos alunos que, por não compreenderem o enunciado de
determinadas questões, registram de forma incompreensível o método de resolução ou
simplesmente deixam de responder o que é solicitado.
Figura 13 – Resolução da questão 2 do pré-teste, registrada pelo aluno A25
Fonte: Dados da pesquisa
A questão 3 foi elaborada pela pesquisadora de forma a contemplar a competência
H11 do ENEM: “Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do
cotidiano” (INEP, 2012). Nove alunos erraram a questão e onze deixaram em branco. Dos
onze alunos que acertaram a questão, cinco resolveram utilizando a regra de três, conforme
é possível observar na resposta do aluno A26 (Figura 14). Fonseca (2017), analisando a
resolução de uma questão equivalente, concluiu que alguns alunos não conseguiram montar
a regra de três, necessária para a resolução da questão por este método. Verificou-se que a
maioria dos alunos não domina essa habilidade, conforme também foi visto por (FIOREZE,
2010).
Figura 14 – Resolução da questão 3 do pré-teste, registrada pelo aluno A26
Fonte: Dados da pesquisa
A questão 4 foi extraída da prova do ENEM – 2012, e selecionada objetivando
testar a capacidade dos alunos em resolverem questões com o envolvimento de grandezas
diretamente proporcionais. Vinte e cinco alunos acertaram a questão e, destes, quatorze
empregaram a regra de três (Figura 15), sendo que os demais utilizaram estratégias
diversas. Seis alunos erraram a questão, e não foi possível analisar os procedimentos por
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 100
eles utilizados, pois a maioria deixou apenas a resposta final registrada. Esta é a questão
com o maior número de acertos.
Figura 15 – Resolução da questão 4 do pré-teste, registrada pelo aluno A30
Fonte: Dados da pesquisa
A questão 5 foi elaborada pela pesquisadora com o objetivo de analisar a capacidade
dos alunos em diagnosticarem relações não-proporcionais, ou seja, de perceberem que nem
todas as relações entre grandezas são proporcionais. Para cada item, tem-se a seguinte
distribuição de respostas: item a) 19 acertos; 11 erros e uma questão em branco; item b) 18
acertos e 13 erros. Tanto o item a) quanto o item b) não representam relações proporcionais.
Quando a altura ou a massa de uma pessoa dobra, não é verdade que sua idade também
dobra, logo, não são proporcionais. No item c) nenhum aluno apresentou uma resposta
coerente, respondendo de forma vaga (Figura 16).
Figura 16 – Resolução da questão 5 do pré-teste, registrada pelo aluno A25
Fonte: Dados da pesquisa
Os alunos poderiam explicar, no item c), que duplicando, triplicando, quadruplicando,
etc. a medida do lado, o perímetro fica, respectivamente, duplicado, triplicado, quadrupli-
cado, etc. O perímetro de um quadrado é igual a quatro vezes seu lado. Se o lado aumenta
o perímetro aumenta proporcionalmente. Nesta questão, objetivou-se atestar se o aluno
era capaz de reconhecer que a proporção não está presente em todas as relações entre
grandezas. Pretendeu-se, também, diagnosticar a manifestação da ilusão da linearidade,
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 101
presente no trabalho de Rezende (2013), pela qual os alunos tendem a encontrar propor-
cionalidade em quaisquer relações entre duas grandezas, o que também foi verificado na
presente pesquisa.
A ilusão da linearidade é um fenômeno profundamente enraizado e resistente a
diferentes metodologias de ensino, o que faz com que sua desconstrução seja muito difícil.
As principais razões para sua ocorrência são: a proporcionalidade é simples e intuitiva, e
as pessoas tendem a empregá-la de forma automática, e só percebem o erro quando se
deparam com uma situação na qual não é possível utilizá-la; a segunda razão é a forma
como a proporcionalidade é ensinada, com ênfase a comparações em relações não-lineares
e problemas do tipo “dados três valores, encontre o valor que falta”, solucionados por meio
de regra de três; e, por fim, a terceira razão para a persistência deste fenômeno é a falta de
compreensão de conteúdos específicos, necessários para a resolução das questões que
envolvem proporcionalidade mas que, em virtude de sua ausência, são substituídos por
uma forma mais simples e, obviamente, incorreta de resolução (BOCK et al., 2007 apud
REZENDE, 2013).
Em seu trabalho, Rezende (2013) afirma que a ilusão da linearidade foi mais en-
fraquecida com a aplicação de atividades de Geometria com manipulação de material
concreto. Porém os estudantes voltam a empregar o conceito inadequadamente quando
são confrontados por situações mais tradicionais. Por fim, se os alunos são avisados que,
nas atividades propostas, serão apresentadas tanto situações proporcionais quanto não
proporcionais, a taxa de acertos de questões que envolvem grandezas proporcionais dimi-
nui, pois os alunos passam a empregar estratégias não proporcionais para a resolução de
problemas proporcionais.
A questão 6 foi elaborada com o objetivo de verificar a compreensão dos conceitos
de proporcionalidade direta e inversa. Doze alunos deixaram a questão em branco, e
dezenove respostas foram consideradas incorretas por não apresentarem o conceito de
forma completa (Figura 17). A grande porcentagem de alunos que deixou a questão em
branco pode não conhecer ou ter esquecido os conceitos de proporcionalidade. Além disso,
nem sempre os conceitos matemáticos são explicitados formalmente pelo professor, o que
pode fazer com que o aluno, embora saiba resolver a questão, não tenha condições de
formalizar definições.
Figura 17 – Resolução da questão 6 do pré-teste, registrada pelo aluno A10
Fonte: Dados da pesquisa
Na questão 7 os alunos deveriam verificar se as grandezas envolvidas eram ou não
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 102
proporcionais, ou seja, mais uma vez perceber que nem todas as relações entre grandezas
são proporcionais. Vinte alunos erraram ao afirmarem que as medidas do lado e da área de
um quadrado são diretamente proporcionais, como o exemplo da Figura 18. Nesse caso, o
perímetro é proporcional à medida do lado, não a área, pois quando se dobra a medida do
lado de um quadrado sua área quadruplica.
Figura 18 – Resolução da questão 7 do pré-teste, registrada pelo aluno A6
Fonte: Dados da pesquisa
A questão 8 foi extraída do trabalho de Tinoco (2018), “Como e quando os alunos
utilizam o conceito de proporcionalidade”, e foi escolhida para testar a habilidade dos alunos
resolverem questões envolvendo grandezas diretamente proporcionais. Dos dezesseis
alunos que acertaram, dez justificaram que as respostas foram obtidas por meio da regra de
três; quatro simplesmente escreveram que “em cada lata de tinta se coloca 1,5 L de água”
e dois não justificaram suas respostas. Dos quatorze alunos que erraram a questão, seis
deles utilizaram soma ou subtração (provavelmente empregando o raciocínio aditivo), como
é possível ver o exemplo do aluno A7 na Figura 19; quatro alunos não justificaram e quatro
deles responderam apenas a primeira linha da tabela, deixando a resposta incompleta. O
uso da diferença para a resolução da questão é a apropriação de um falso teorema, “a
proporcionalidade conserva as diferenças”, enquanto um teorema aplicável seria de que a
“proporcionalidade conserva as relações” (Vergnaud apud Fioreze, 2010). Essa aplicação
incorreta pode ser resultado da forma como esse conceito foi construído no aluno, onde a
diferença frequentemente é empregada em comparações.
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 103
Figura 19 – Resolução da questão 8 do pré-teste, registrada pelo aluno A7
Fonte: Dados da pesquisa
A questão 9 foi extraída do trabalho de Giongo et al. (2018), “Atividades envolvendo
proporcionalidade direta e inversa” e foi escolhida para verificar a capacidade dos alunos
de resolverem questões envolvendo grandezas inversamente proporcionais. No item a) a
maioria dos erros ocorreu porque os alunos acreditaram que as grandezas eram diretamente
proporcionais (número de pessoas que queriam participar e quantia que cabia a cada um),
como é possível ver no exemplo do aluno A2 (Figura 20), quando na verdade, as grandezas
eram inversamente proporcionais, e a maioria dos alunos empregaram regra de três para a
resolução. Nenhum aluno acertou o item b), pois não foram capazes de identificar o valor
do presente como a constante de proporcionalidade. Segundo Fioreze (2010), o uso da
regra de três pode ser empregado mecanicamente, segregado do raciocínio proporcional, o
que limita a aplicação do mesmo em questões futuras, ou pode haver uma sistematização
do processo, com o raciocínio proporcional associado à resolução de problemas com o uso
de regra de três.
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 104
Figura 20 – Resolução da questão 9 do pré-teste, registrada pelo aluno A2
Fonte: Dados da pesquisa
A questão 10 foi elaborada para verificar a ilusão da linearidade, discutida no traba-
lho de (REZENDE, 2013). Dos vinte e um alunos que acertaram, cinco não apresentaram
justificativa de como encontraram a resposta. Alguns alunos empregaram a função afim
para resolver a questão. Dos nove alunos que erraram a questão, seis utilizaram proporci-
onalidade direta, considerando que o passageiro pagaria o dobro do valor pelo dobro do
trajeto percorrido, como é possível ver no exemplo da Figura 21, e não foi possível identificar
o tipo de raciocínio utilizado para a resolução das questões de três alunos. Nesse caso,
muitos alunos não foram capazes de perceber que não há linearidade entre as grandezas.
Esse confronto entre situações lineares e não-lineares representa um importante passo na
compreensão da proporcionalidade.
Figura 21 – Resolução da questão 10 do pré-teste, registrada pelo aluno A24
Fonte: Dados da pesquisa
A questão 11 (Figura 22) foi elaborada para verificar se os alunos conseguem dife-
renciar quando duas sequências são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais
ou não-proporcionais. Nenhum aluno acertou esta questão por inteiro (cinco deixaram em
branco e, dos que responderam, erraram ou escreveram uma resposta incompleta). Falta
aos alunos a compreensão de que, nem sempre que as grandezas crescem ou decrescem
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 105
é devido a uma relação de proporcionalidade. Fioreze (2010) verificou que, muitas vezes,
os alunos utilizam procedimentos aditivos em detrimento de multiplicativos, em problemas
que envolvem um raciocínio proporcional.
Figura 22 – Resolução da questão 11 do pré-teste, registrada pelo aluno A8
Fonte: Dados da pesquisa
As questões 12, 13 e 14 foram escolhidas para testar a percepção dos alunos quanto
à relação entre Grandezas Diretamente Proporcionais e Função Linear e entre Grandezas
Inversamente Proporcionais e Hipérbole. A questão 12 foi respondida corretamente por
apenas três alunos que identificaram o "3"como a constante de proporcionalidade, dois
deles, inclusive, com justificativas muito simplistas, como visto na Figura 23, e um deles não
colocou a justificativa, apenas respondeu "3". Dos alunos que erraram, colocaram respostas
diversas como "x, pois x é quem vai coordenador os pontos", "y, pois ele sempre continuará
o mesmo", ou "f(x) = 3x". Segundo BRASIL (2006) é importante discutir com os alunos
ideias de crescimento, modelo linear (f(x) = ax) e proporcionalidade direta dentre outras,
e isso pode ser feito com questões similares a esta. Contudo, observa-se pelo resultado,
que os alunos apresentam dúvidas sobre o assunto.
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 106
Figura 23 – Resolução da questão 12 do pré-teste, registrada pelo aluno A27
Fonte: Dados da pesquisa
Apenas um aluno acertou a questão 13, e apresentou uma justificativa, porém,
usando um vocabulário muito restrito, o que pode ser observado na Figura 24. A maioria
respondeu usando o método de substituição, substituindo o número 3 nas funções. Dos que
erraram, onze marcaram a letra (a) da questão, a maioria justificou substituindo o número 3
na função, e dois marcaram a letra (d) sem colocar justificativa.
Figura 24 – Resolução da questão 13 do pré-teste, registrada pelo aluno A2
Fonte: Dados da pesquisa
Nenhum aluno respondeu corretamente à questão 14 (Figura 25). Segundo BRASIL
(2006), pode-se trabalhar proporcionalidade inversa discutindo o modelo de decrescimento
(f(x) = a/x). É essencial essa discussão nas aulas, uma vez que os alunos não demons-
traram possuir as habilidades necessárias para a resolução da questão.
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 107
Figura 25 – Resolução da questão 14 do pré-teste, registrada pelo aluno A1
Fonte: Dados da pesquisa
Após a análise das questões do pré-teste, chegou-se às seguintes constatações,
que merecem atenção do pesquisador:
• Muitos alunos desconhecem o conceito de razão;
• Grande parte dos alunos tem dificuldade em resolver questões que envolvem propor-
cionalidade por meio de regra de três, desconhecendo essa estratégia de resolução;
• A ilusão da linearidade foi constatada quando alguns alunos empregaram proporcio-
nalidade para resolver questões onde o conceito não se aplica;
• Os alunos demonstram desconhecer os conceitos de proporcionalidade direta e
inversa;
• Grande parte dos alunos tem dificuldade em diferenciar grandezas diretamente pro-
porcionais de grandezas inversamente proporcionais;
• Os alunos tendem a acreditar que duas grandezas são diretamente proporcionais,
quando na verdade são inversamente proporcionais;
• Os alunos desconhecem o conceito de constante de proporcionalidade;
• A relação entre Grandezas Diretamente Proporcionais e Função Linear e entre Gran-
dezas Inversamente Proporcionais e Hipérbole não é do domínio de nenhum aluno
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 108
4.4 Aplicação da Sequência Didática e análise de dados
As atividades desta sequência didática, disponíveis no Apêndice G, foram aplicadas
em uma turma com total de 37 alunos matriculados e, no total, 34 deles participaram da
pesquisa. Os alunos foram denominados A1, A2, A3... A34.
4.4.1 Atividade 1
A Atividade 1 foi desenvolvida no laboratório de informática, em um tempo de aula
(50min), objetivando recordar o conceito de razão pois, conforme verificado nas análises
do pré-teste, este conteúdo não era de total domínio dos alunos. A atividade é composta
por vários desafios, e os alunos foram divididos em 17 duplas (denominadas por letras
maiúsculas de A a Q).
Os alunos já se mostraram bastante animados somente por estar em um laboratório
de informática, o que levou a pesquisadora a questionar o uso deste espaço, com o potencial
para o desenvolvimento das mais variadas atividades suportadas por recursos tecnológicos.
A atividade foi iniciada com a apresentação de seus objetivos, buscando situar os alunos e
despertá-los para o que se espera que eles aprendam e introduzindo o uso do aplicativo
(Figura 26). Após uma introdução sobre o conceito de razão, os alunos foram questionados
sobre a aplicação de tais conceitos. Em seguida, lançou-se uma pergunta para despertar a
curiosidade dos alunos: O que diferencia suco, refresco e néctar?
Figura 26 – Aluna realizando a Atividade 1 no aplicativo “Suco, néctar ou refresco”
Fonte: Registros da atividade
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 109
Poucos alunos tentaram responder à pergunta, então foram entregues as folhas de
atividades. Foi solicitado que os alunos acessassem o aplicativo e lessem as instruções
da folha. A pesquisadora explicou a atividade e também instruiu os alunos sobre o funci-
onamento do aplicativo. Quando uma dupla apresentava alguma dúvida, a pesquisadora
buscava saná-la. Na atividade, os alunos deveriam conseguir separar no Recipiente Final a
quantidade de líquido na porcentagem solicitada, como é possível ver no exemplo da Figura
27:
Figura 27 – Exemplo de desafio proposto da simulação no aplicativo "Suco, néctar e re-fresco"
Fonte: Portaldosaber (2018b)
Os alunos não apresentaram muitas dificuldades. Porém, quando foi apresentado um
desafio onde não era possível usar a opção "100% de suco", muitos não conseguiram obter
o resultado adequado. Então foi solicitado aos alunos que conseguiram obter a resposta
correta que compartilhassem a forma de resolução com seus colegas, potencializando o
aprendizado com os pares e valorizando o saber dos outros alunos.
Enquanto resolviam, os alunos deveriam registrar o processo de resolução nas
folhas de atividades, que mais tarde foram analisadas pela pesquisadora. A análise desses
registros possibilitou constatar que os alunos souberam calcular a quantidade de cada
líquido para fazer a mistura na porcentagem solicitada. É válido destacar que a maioria
das duplas solicitou o auxílio da pesquisadora para tirar dúvidas sobre a questão, quando
não tinha o recipiente contendo "100% de suco"disponível para utilizá-lo. Nesse modelo
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 110
do desafio a pesquisadora teve que intervir. Após intervenções, os alunos conseguiram
concluir a atividade.
Como é possível observar na Figura 28, o relato do aluno sobre o aplicativo foi
extremamente positivo, pois ele destaca em sua fala uma importante característica do
recurso tecnológico em questão: tornar o desafio mais ilustrativo, diminuindo a abstração do
texto. A imagem tem um grande poder sobre a percepção, e a fala do aluno destaca este
aspecto.
Figura 28 – Registro do aluno A34 - Atividade 1
Fonte: Dados da pesquisa
A pesquisadora observou que as duplas estavam conversando umas com as outras,
tornando o processo de aprendizagem colaborativo. Esse aprendizado colaborativo é muito
importante por mostrar que o conhecimento não se encontra apenas no professor, mas
está disseminado por todos os participantes do processo de ensino-aprendizado. Em
alguns momentos, a pesquisadora observou que alguns alunos estavam tentando resolver
os problemas por meio da regra de três, e então ela sugeriu que eles tentassem outros
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 111
métodos.
Ao final da primeira etapa a pesquisadora pediu que as duplas realizassem as
questões 1, 2 e 3, que constituem: a elaboração escrita de todas as etapas da solução para
o preparo de duas misturas; refletir e identificar as dificuldades que tiveram em realizar cada
etapa; registrar suas considerações a respeito delas e o que acharam do uso do aplicativo
na atividade. Todas as duplas fizeram os relatos.
4.4.2 Atividade 2
A Atividade 2 foi desenvolvida no laboratório de informática, em um tempo de aula
(50min), com os seguintes objetivos: introduzir o conceito de proporção; resolver problemas
do cotidiano envolvendo proporções; possibilitar uma melhor compreensão da aplicação do
conceito de proporção e relacionar os dados de um problema real, abstraindo os conceitos
envolvidos. Os alunos foram divididos em 17 duplas (denominadas por letras maiúsculas de
A a Q).
A atividade foi iniciada com a apresentação de seus objetivos, buscando situar os
alunos e despertá-los para o que se espera que eles aprendam. Após uma introdução
sobre o conceito de proporção, a pesquisadora questionou os alunos sobre a aplicação dos
mesmos. Foi lançado o questionamento: Como fazer para cortar uma pizza segundo uma
proporção dada? Depois de algumas sugestões dos alunos, os mesmos foram direcionados
iniciar a atividade. Foi solicitado que os alunos acessassem o aplicativo e lessem as
instruções da folha de respostas. A pesquisadora explicou a atividade e também instruiu
os alunos sobre o funcionamento do aplicativo. Quando uma dupla apresentava alguma
dúvida, a pesquisadora buscava saná-la. Os alunos deveriam cortar uma pizza para um
determinado número de pessoas, em proporções definidas (Figura 29).
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 112
Figura 29 – Exemplo de desafio proposto da simulação no aplicativo "Cortando a pizza"
Fonte: Portaldosaber (2018a)
Os alunos realizaram esta atividade sem grandes dificuldades. As intervenções se
deram na conferência dos cálculos e no manuseio do aplicativo. Uma dupla solicitou auxílio
para entender como deveriam movimentar a faca e, após o atendimento, eles começaram a
resolver os problemas. Outra dupla chamou a pesquisadora para verificar os cálculos, uma
vez que haviam calculado corretamente, porém o aplicativo indicava que o resultado estava
incorreto (na tela aparecia a seguinte mensagem “Errado! Tente de novo"). Ao analisar
os cálculos dessa dupla, a pesquisadora pôde constatar que não havia erro, mas que a
dupla não havia considerado a ordem dos cortes. Os cortes devem ser feitos no sentido
anti-horário, e na ordem que foram apresentados os pedidos de cada pessoa do problema.
Então os alunos fizeram outro problema com os cortes na ordem certa. Esta atividade
prendeu bastante a atenção dos alunos (Figura 30).
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 113
Figura 30 – Alunas realizando a Atividade 2 no aplicativo "Cortando a pizza"
Fonte: Registros da atividade
Os alunos conseguiram cumprir o desafio, como pode ser visto na Figura 31. Nesta
mesma figura, podemos observar que os alunos relatam um pouco de dificuldades para
“interpretar e aplicar”, mas que, a despeito disso, conseguiram cumprir o que foi proposto.
Os alunos também destacaram que a atividade foi “dinâmica e pouco cansativa”. Isso, de
certa forma, explicita um importante papel dos recursos tecnológicos: tornar o aprendizado
mais agradável do que os velhos métodos expositivos.
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 114
Figura 31 – Registro do aluno A8 - Atividade 2
Fonte: Dados da pesquisa
Ao final da atividade a pesquisadora pediu que as duplas realizassem as questões 1,
2 e 3 da atividade, constituída pelas seguintes partes: elaboração escrita de todas as etapas
das soluções para o corte de duas pizzas; refletir e identificar as dificuldades que tiveram
em realizar cada etapa; escrever suas considerações a respeito delas e o que acharam do
uso do aplicativo na atividade. Todas as duplas realizaram os relatos.
4.4.3 Atividade 3
A Atividade 3 foi desenvolvida no laboratório de informática, em dois tempos de
aula (1h40min), com os seguintes objetivos: trabalhar o conceito de proporcionalidade;
investigar e identificar variações de proporcionalidade direta e inversa; diferenciar grandezas
diretamente e inversamente proporcionais; proporcionar um objeto de manipulação para
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 115
que os alunos verifiquem as características das grandezas diretamente proporcionais e
inversamente proporcionais e apresentar um exemplo de aplicação multidisciplinar de
proporcionalidade. A atividade é composta por duas etapas: a primeira contendo sete
questões que abordam o conceito de proporcionalidade direta e a segunda contendo
outras sete que abordam o conceito de proporcionalidade inversa, que foram realizadas
individualmente por 30 alunos, denominados A1, A2, A3... A30.
A pesquisadora iniciou a atividade explicando brevemente a lei. Em seguida, apre-
sentou os objetivos da atividade. Pediu que os alunos lessem a introdução da atividade
para compreenderem um pouco mais sobre a Lei de Ohm, e explicou que o foco não era
estudar sobre essa Lei, mas através dela, estudar o conceito de proporcionalidade. Foi
solicitado que os alunos acessassem o aplicativo e lessem as instruções contidas na folha
de atividades. A pesquisadora explicou a atividade e também instruiu os alunos sobre o
funcionamento do aplicativo. Quando alguém apresentava dúvidas, a pesquisadora buscava
saná-las. Na tela do aplicativo aparece um circuito elétrico, onde é possível movimentar o
botão da tensão e da resistência (Figura 32). Os alunos deveriam seguir os passos descritos
na folha de atividades elaborada pela pesquisadora, manuseando o aplicativo sempre que
necessário.
Figura 32 – Tela inicial do aplicativo "Lei de Ohm"
Fonte: PhetInteractiveSimulations (2018b)
Considerando os resultados após análise do pré-teste a pesquisadora resolveu
iniciar esta atividade questionando os alunos sobre o conceito de proporcionalidade. Além
disso, escreveu no quadro uma situação problema que é a cópia da questão 11 aplicada no
pré-teste, e pediu que os alunos respondessem. Apesar de alguns alunos terem respondido
de forma correta, utilizaram de justificativas incompletas, e outros continuavam a empregar
o princípio aditivo para resolver a questão, demonstrando um aprendizado mecânico,
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 116
empregado sem um entendimento mais profundo. Os alunos realizaram as questões sem
maiores dificuldades (Figura 33).
Figura 33 – Alunos manipulando o aplicativo - Atividade 3 "Construindo Conceitos"
Fonte: Registros da atividade
Na realização da sétima questão, a pesquisadora pediu que a turma pausasse tem-
porariamente a atividade. Em seguida propôs alguns questionamentos, como por exemplo:
Havia dado algum número constante? Vocês sabem o que representa esse número? Após
os alunos levantarem algumas hipóteses, a pesquisadora disse que ele representava a
constante de proporcionalidade. Ao final dos passos da atividade e das intervenções da
pesquisadora, os alunos já tinham informações suficientes para deduzir as implicações das
características. Entretanto, considerando o conhecimento matemático como um processo
de descobertas, as deduções não ocorreram de imediato.
Durante a execução da atividade, a pesquisadora observou uma situação que
merece ser relatada, pois ilustra a importância de promover a reflexão dos alunos sobre
as questões, em detrimento de oferecer respostas prontas. O aluno A14 perguntou se, na
questão 6 da primeira etapa, também poderia colocar a seguinte resposta: "Elas apresentam
uma relação “diretamente” proporcional, visto que se “somarmos” a tensão (V) por um
número natural n, a corrente elétrica (I) fica “somada” por n."A pesquisadora compartilhou
essa pergunta com a turma, e alguns alunos responderam “não, pois no momento que somar
a tensão por um número, a corrente elétrica não fica somada por esse mesmo número".
O aluno, então, conferiu no aplicativo esta possibilidade e chegou à seguinte conclusão,
"Elas apresentam uma relação “diretamente” proporcional, visto que se “multiplicarmos” a
tensão (V) por um número natural n, a corrente elétrica (I) fica “multiplicada” por n". Ao final
da realização da atividade a pesquisadora pediu que as duplas realizassem as questões
1, 2 e 3, que constituem: relatar o que acharam do modo como foi abordado o conteúdo
na atividade; se a atividade estava muito básica, muito avançada ou adequada; registrar
se aprenderam novos conceitos ou se relembraram aspectos importantes relacionados a
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 117
proporcionalidade. Todas alunos fizeram os relatos como se pode ver três exemplos nas
Figuras 34, 35, 36.
Figura 34 – Registro do aluno A22 - Atividade 2
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 35 – Registro do aluno A8 - Atividade 2
Fonte: Dados da pesquisa
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 118
Figura 36 – Registro do aluno A18 - Atividade 2
Fonte: Dados da pesquisa
Na Figura 35, o aluno A8 afirma que a forma como o conteúdo foi abordado foi
“dinâmica”, e ele considerou a atividade adequada. A atividade o permitiu, também, recordar
os conceitos de proporcionalidade direta e inversa. Isso explicita a importância destas
atividades, permitindo que os alunos resgatem conhecimentos esquecidos. Esta atividade
possibilitou trabalhar de forma multidisciplinar, abordando conceitos de Física, porém com
enfoque na relação proporcional entre os valores, buscando reforçar a importância de
proporcionalidade não apenas para a matemática.
4.4.4 Atividade 4
A Atividade 4 (Figura 37 ) foi desenvolvida no laboratório de informática, em um
tempo de aula (50min), com os seguintes objetivos: aplicar o conceito de grandezas inver-
samente proporcionais, abordado na Atividade 3; oportunizar um melhor entendimento do
conceito de proporcionalidade e trabalhar o raciocínio proporcional. A atividade foi realizada
individualmente por 30 alunos, denominados A1, A2, A3... A30.
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 119
Figura 37 – Tela inicial do aplicativo "Balançando"
Fonte: PhetInteractiveSimulations (2018a)
Durante a execução da atividade, a pesquisadora observou que os alunos se aju-
davam mutuamente, discutindo os conceitos e solucionando as dúvidas uns dos outros.
Uma das características dos jogos e atividade lúdicas em geral, que é proporcionar uma
maior aproximação das pessoas, foi verificada durante a execução desta atividade. Todos
concluíram a atividade sem maiores dificuldades. Após todos os grupos terem concluído a
totalidade dos desafios, a pesquisadora pediu que eles elaborassem um parágrafo avaliando
o aplicativo. Nesses depoimentos, os alunos destacaram o potencial do jogo como um
recurso didático lúdico e divertido, como é possível observar nos exemplos das Figuras 38,
39, 40.
Figura 38 – Registro do aluno A8 - Atividade 4
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 39 – Registro do aluno A23 - Atividade 4
Fonte: Dados da pesquisa
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 120
Figura 40 – Registro do aluno A34 - Atividade 4
Fonte: Dados da pesquisa
4.4.5 Atividade 5
A Atividade 5 foi desenvolvida no laboratório de informática, em três tempos de
aulas (2h30min), com os seguintes objetivos: estudar a relação de grandezas diretamente
proporcionais e função linear (f(x) = ax); estudar a relação de grandezas inversamente
proporcionais e hipérbole (f(x) = a/x); identificar relações proporcionais a partir de gráficos
e explorar situações em que as relações não sejam proporcionais. A atividade foi realizada
por 12 duplas, identificadas pelas letras maiúsculas de A a L.
A atividade foi adaptada de uma atividade feita por Faria (2016), com introdução de
cada atividade adaptada de (IEZZI et al., 2013). A pesquisadora iniciou a atividade com
uma discussão sobre os conceitos estudados na Atividade 3 – Lei de Ohm. A atividade foi
dividida em três etapas, descritas a seguir.
Etapa I
A pesquisadora solicitou que os alunos abrissem o arquivo "Atividade copo descar-
tável I.ggb", de elaboração própria, com base na tese de (FARIA, 2016). Seguiu-se uma
conversa sobre consumo do copo descartável. Após esse momento inicial, a pesquisadora
pediu que os alunos seguissem seus comandos para a realização da atividade (Figura 41).
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 121
Figura 41 – Alunos realizando a Atividade 5 no Geogebra - Etapa I "Copos descartáveis"
Fonte: Registros da atividade
Esta atividade é composta de onze questões, nas quais os alunos executavam
ações e faziam registros de suas observações para chegarem à relação entre Grandezas
Diretamente Proporcionais e Função Linear. Esta primeira etapa tem como objetivo principal
estudar a relação entre Grandezas Diretamente Proporcionais e Função Linear. As dez
primeiras questões foram para trabalhar as características das grandezas diretamente
proporcionais. A última questão foi de conscientização, pedindo a opinião dos alunos sobre
o impacto do consumo do copo descartável nas condições ambientais. Como ferramenta
pedagógica para resolução da atividade foi utilizado o arquivo do GeoGebra elaborado pela
pesquisadora que foi denominado "Atividade copo descartável I.ggb". Na questão 1 as du-
plas deveriam preencher a planilha contida no arquivo, nas questões 2, 3, 4, 5 e 6 as duplas
deveriam respondê-las a partir da observação da relação entre os valores encontrados
na planilha do arquivo. Nas questões 7, 8, 9 e 10 nos quais os alunos executam ações e
respondem perguntas com o objetivo de fazer com que os mesmos investiguem se há uma
relação entre Grandezas Diretamente Proporcionais e Função Linear. Na oitava questão
(Figura 42) os alunos deveriam construir o gráfico da quantidade de copos consumidos por
pessoa em função da quantidade de dias frequentado por ela.
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 122
Figura 42 – Reta construída no GeoGebra - Atividade 5 - Etapa I
Fonte: Elaboração própria
Os comandos para construir o gráfico foram:
• Selecione as colunas A e B das linhas 2 a 5 e clique com o botão direito do mouse
em “criar” > “lista de pontos”;
• Selecione a ferramenta "reta";
• Marque quaisquer dois dos quatro pontos representados na janela de visualização.
No final a pesquisadora promoveu discussões e socialização dos resultados obtidos,
de modo a reforçar os conceitos trabalhados na atividade.
Etapa II
Nesta etapa a pesquisadora optou pelo uso do GeoGebra pela facilidade do mesmo
em gerar gráficos a partir de funções, assim como pela flexibilidade do programa, que
permite aos alunos fazerem experimentações, verificando rapidamente os resultados.
Inicialmente solicitou que os alunos abrissem o arquivo "Atividade brigadeiro I.ggb",
de elaboração própria, baseado na tese de (FARIA, 2016). A primeira questão solicita
a expressão algébrica do custo total mensal de produção. A segunda questão solicita
a expressão algébrica da receita (faturamento bruto). A terceira questão solicita que os
alunos completem duas planilhas uma referente ao custo total e a outra referente a receita
(faturamento bruto). A quarta questão solicita que os alunos descrevam qual foi o raciocínio
utilizado para completar as planilhas. Da quinta questão à décima primeira as perguntas
direcionam para a análise e a verificação das grandezas envolvidas na planilha 1 (Custo total
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 123
de produção), questionando: que grandezas variam; se há uma relação de proporcionalidade
entre as grandezas envolvidas; se há uma constante de proporcionalidade; construção do
gráfico no GeoGebra com os pares de valores da planilha; verificar se a expressão algébrica
no GeoGebra é a mesma encontrada no item 1); descrever que tipo de figura geométrica o
gráfico representa e verificar se ele passa por todos os pontos e pela origem. Da décima
segunda à décima oitava questão, as perguntas direcionam para a análise e a verificação
das grandezas envolvidas na planilha 2 (Receita, faturamento bruto), questionando: que
grandezas variam; se há uma relação de proporcionalidade entre as grandezas envolvidas;
se há uma constante de proporcionalidade; construção do gráfico no GeoGebra com os
pares de valores da planilha; verificar se a expressão algébrica no GeoGebra é a mesma
encontrada no item 1); descrever que tipo de figura geométrica o gráfico representa e
verificar se ele passa por todos os pontos e pela origem (Figura 43).
Figura 43 – Alunos realizando a Atividade 5 no Geogebra - Etapa II "Funções custo ereceita"
Fonte: Registros da atividade
Os comandos para construir o gráfico (Figura 44) representado pela quantidade de
brigadeiros produzidos e custo total foram:
• Selecione as colunas A e B das linhas 2 a 5 e clique com o botão direito do mouse
em “Criar” > “Lista de pontos”;
• Selecione a ferramenta "reta";
• Marque quaisquer dois dos quatro pontos representados na janela de visualização.
Os comandos para construir o gráfico representado pela quantidade de brigadeiros
produzidos e receita (faturamento bruto) foram:
• Selecione as colunas A e B das linhas 9 a 12 e clique com o botão direito do mouse
em “Criar” > “Lista de pontos”;
• Selecione a ferramenta "reta";
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 124
• Marque quaisquer dois dos quatro pontos representados na janela de visualização.
Figura 44 – Retas construídas no GeoGebra - Atividade 5 - Etapa II
Fonte: Elaboração própria
No final a pesquisadora promoveu discussões e socialização dos resultados obti-
dos, sempre buscando sintetizar o que foi estudado, de forma a facilitar a apreensão do
conhecimento pelos alunos.
Etapa III
A pesquisadora solicitou que os alunos abrissem o arquivo "Atividade vazão I.ggb"e
seguissem os comandos contidos na folha de atividade. As dez primeiras questões foram
para trabalhar as características de grandezas inversamente proporcionais. A última per-
gunta é contextualizada, para que os alunos apliquem os conhecimentos adquiridos nas
experimentações anteriores. Os alunos não tiveram muitas dificuldades em resolver as
questões (Figura 45).
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 125
Figura 45 – Alunos realizando a Atividade 5 no Geogebra - Etapa III "Vazão"
Fonte: Registros da atividade
Como é possível observar na Figura 46, os alunos deveriam obter um gráfico
representando o tempo em função da vazão:
Figura 46 – Hipérbole construída no GeoGebra - Atividade 5 - Etapa III
Fonte: Elaboração própria
Os comandos para construir o gráfico foram:
• Selecione as colunas A e B das linhas 2 a 7 e clique com o botão direito do mouse
em “Criar”, “Lista de pontos”;
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 126
• Clique no ícone de expansão, no canto inferior direito do botão “elipse”, localizado na
barra de ferramentas. Após selecione a ferramenta “Cônica por cinco pontos";
• Crie uma cônica passando por cinco dos seis pontos criados na janela de visualização.
Após a realização de toda atividade, os alunos foram convidados, por meio de uma
questão, a definirem as características de grandezas diretamente proporcionais e grandezas
inversamente proporcionais, como é possível ver nos exemplos das Figuras 47, 48, 49.
Figura 47 – Registro do aluno A9 - Atividade 5
Fonte: Dados da pesquisa
Figura 48 – Registro do aluno A22 - Atividade 5
Fonte: Dados da pesquisa
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 127
Figura 49 – Registro do aluno A23 - Atividade 5
Fonte: Dados da pesquisa
No final a pesquisadora promoveu discussões e socialização acerca do tema pro-
posto e dos resultados obtidos nas questões. Foi possível observar um avanço dos alunos
que aqui, diferentemente do questionário inicial, foram capazes de descrever as característi-
cas das grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais.
Após a análise das atividades da sequência didática, chega-se às seguintes consta-
tações:
• As atividades desenvolvidas no laboratório de informática despertaram o ânimo dos
alunos para o estudo do tema, que se mostraram bem dispostos frente às atividades
propostas;
• Os alunos demonstraram compreender o conceito de razão;
• Os alunos demonstraram entender o conceito de constante de proporcionalidade;
• Os alunos conseguiram diferenciar proporcionalidade direta de proporcionalidade
inversa;
• Os alunos conseguiram aplicar corretamente, os conceitos de proporcionalidade direta
e proporcionalidade inversa em questões contextualizadas;
• Os alunos conseguiram representar graficamente relações de proporcionalidade entre
grandezas;
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 128
• Os recursos tecnológicos facilitaram o desenvolvimento das atividades, despertando
o interesse dos alunos, como os mesmos relataram.
4.5 Análise do Pós-teste e Questionário investigativo
No Gráfico 31, é possível observar os totais de erros, acertos e questões deixadas
em branco pelos alunos ao responderem o pós-teste. Responderam ao teste 28 alunos, no
presente trabalho denominados A1, A2, A3... A28.
Gráfico 31 – Análise do pós-teste
Fonte: Dados da pesquisa
A questão 1 foi extraída do portal da OBMEP, e é semelhante à questão 1 do
pré-teste. Comparando as duas questões, o novo item tem um nível um pouco maior
de dificuldade. Contudo, mesmo diante do pequeno aumento de dificuldade, a maioria
dos alunos acertou a questão. Não foi possível compreender o raciocínio utilizado pelos
alunos que erraram. O aluno A14 resolveu corretamente a questão, utilizando estruturas
multiplicativas (Figura 50).
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 129
Figura 50 – Resolução correta da questão 1 do pós-teste, registrada pelo aluno A14
Fonte: Dados da pesquisa
A questão 2 também foi extraída do portal da OBMEP, é semelhante à questão 2 do
pré-teste (Figura 51). Em comparação com o pré-teste, houve uma melhora significativa nos
resultados desta questão, pois, dos 28 alunos, 12 resolveram corretamente (no pré-teste,
de um total de 31 alunos, somente quatro souberam responder). Oito alunos erraram esta
questão, destes cinco não justificaram suas respostas, deixando apenas a resposta final;
dois usaram regra de três para resolver, empregando todos os dados do problema sem
interpretá-lo de forma correta e um aluno dividiu 77 por 4. Oito alunos não resolveram a
questão.
Figura 51 – Resolução correta da questão 2 do pós-teste, registrada pelo aluno A21
Fonte: Dados da pesquisa
A questão 3, extraída da prova do ENEM - 2011, é semelhante à questão 3 do
pré-teste (Figura 52). No pré-teste, 11 alunos não resolveram à equivalente desta questão,
enquanto que no presente pós-teste apenas um aluno não resolveu a questão. Nove
alunos resolveram a questão incorretamente, pelas seguintes razões: três transformaram
quilômetros (km) para centímetros (cm) ou cm para km de forma incorreta, ou seja, não
souberam colocar na mesma unidade de medida, mesmo a pesquisadora tendo anotado no
quadro todas as unidades de medida em ordem, para facilitar as conversões; cinco alunos
responderam colocando simplesmente o resultado da divisão dos valores encontrados, ou
seja, não apresentaram na forma de escala e, além desse erro, também não souberam
converter para a mesma unidade de medida. Um aluno não concluiu a questão.
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 130
Figura 52 – Resolução correta da questão 3 do pós-teste, registrada pelo aluno A33
Fonte: Dados da pesquisa
As questões 4 e 5 foram extraídas da prova do ENEM –2011. A questão 4 é
semelhante à questão 4 do pré-teste, porém com um nível maior de dificuldade, e a questão
5 é equivalente à questão 8 do pré-teste (Figura 53). Nestas atividades procurou-se verificar
as habilidades dos alunos em resolverem questões envolvendo grandezas diretamente
proporcionais e, na questão 5, também trabalhou-se a constante de proporcionalidade.
Figura 53 – (A) Resolução correta da questão 4 do pós-teste, registrada pelo aluno A22 e(B) resolução correta da questão 5 do pós-teste, registrada pelo aluno A22
Fonte: Dados da pesquisa
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 131
Na questão 4, dos dezessete alunos que erraram, quatorze usaram "o princípio
aditivo", ou seja, somaram as grandezas. Em duas respostas não foi possível compreender
o raciocínio utilizado e um aluno usou de forma errônea a regra de três. Na questão 5 no
item (a) apenas um aluno errou, marcando a opção B e no item (b) houve apenas um erro.
Analisando mais atenciosamente os resultados desta questão, é possível perceber que
alguns erros persistem. O aluno A2 por exemplo, resolveu a questão de forma errônea
empregando a regra de três, e o aluno A17 também errou ao empregar o “princípio aditivo”
(Figura 54).
Figura 54 – (A)Resolução incorreta da questão 4 do pós-teste, registrada pelo aluno A2 e(B) resolução incorreta da questão 4 do pós-teste, registrada pelo aluno A17
Fonte: Dados da pesquisa
A questão 6, equivalente à questão 9 do pré-teste, e a questão 10 do pós-teste,
foram escolhidas para verificar a habilidade dos alunos de resolverem questões envolvendo
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 132
grandezas inversamente proporcionais (Figura 55). Na questão 6, no item a), apenas três
alunos erraram, por não conseguirem interpretar de forma correta o problema, e apenas
cinco alunos erraram o Item b). Cabe aqui destacar que, dos vinte e um alunos que
acertaram o item a), dezenove deles responderam corretamente o item b. Apenas cinco
alunos responderam incorretamente à questão 10 do pós-teste, com a seguinte distribuição:
dois alunos acharam corretamente a constante de proporcionalidade e a expressão da
proporcionalidade inversa, mas na resposta indicaram que era diretamente proporcional; dois
responderam que não há proporcionalidade e uma resposta não foi possível compreender o
raciocínio utilizado.
Figura 55 – (A)Resolução correta da questão 6 do pós-teste, registrada pelo aluno A27 e(B) resolução correta da questão 10 do pós-teste, registrada pelo aluno A22
Fonte: Dados da pesquisa
A questão 7 foi extraída da prova do ENEM –2010, e é equivalente à questão 6 do
pré-teste, e a questão 8 é semelhante à questão 11 do pré-teste, porém solicitando um maior
número de informações (questionando se as grandezas eram uma relação proporcional ou
não, solicitando a constante de proporcionalidade e a expressão algébrica que relaciona
as duas variáveis), e foram selecionadas para verificar a compreensão do conceito de
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 133
proporcionalidade (Figura 56).
Figura 56 – (A)Resolução correta da questão 7 do pós-teste, registrada pelo aluno A14 e(B) resolução correta da questão 8 do pós-teste, registrada pelo aluno A27
Fonte: Dados da pesquisa
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 134
Na questão 7, dos três alunos que erraram, um observou o tamanho da figura e
não os dados contidos nela, sem justificar a resposta; um marcou a resposta errada sem
justificativa e o terceiro deles marcou a resposta errada com justificativa incoerente. Na
questão 8, no item a),apenas quatro alunos resolveram incorretamente, consideraram que
as grandezas envolvidas eram diretamente proporcionais e um aluno deixou a questão
em branco. No item b) apenas dois alunos responderam incorretamente, dizendo que as
grandezas envolvidas não eram proporcionais e um deles deixou a questão em branco. No
item c) obteve-se apenas quatro respostas incorretas e uma em branco. Teve um número
expressivo de acertos; no pré-teste apenas no item b) teve dois alunos que responderam
corretamente, nos itens a), c) e d) não houve acertos no pré-teste, no pós-teste, esse
número passou de 23 a 25 alunos que acertaram.
A questão 9, extraída do site da Khan Academy, e a questão 11, extraída da prova
do ENEM - 2009, são equivalentes às questões 5, 7 e 10 do pré-teste e foram escolhidas
para explorar situações em que as relações não fossem proporcionais e identificar relações
proporcionais a partir de gráficos (Figura 57).
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 135
Figura 57 – (A)Resolução correta da questão 9 do pós-teste, registrada pelo aluno A20 e(B) resolução correta da questão 11 do pós-teste, registrada pelo aluno A8
Fonte: Dados da pesquisa
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 136
Apenas três alunos erraram a questão 9, com as seguintes justificativas: "Sim, pois
quanto mais asas comer, mais pagará"; "Sim, elas vão adicionando 8 asas a cada vez que
aumenta o preço"; "Sim, a cada 8 asas - 5 reais". Alguns alunos empregaram novamente "o
princípio aditivo". Apenas cinco alunos responderam incorretamente à questão 11, sendo
que quatro deles marcaram a opção (b) "o consumo diário de cigarros e o número de casos
de câncer de pulmão são grandezas que não se relacionam"e um aluno marcou a opção (d)
"uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada com câncer de pulmão".
Neste caso, os alunos deveriam perceber que o consumo diário de cigarros e o número de
casos de câncer de pulmão são grandezas relacionadas, porém não são proporcionais.
A questão 12 é semelhante a questão 9 do pré-teste, com alteração de alguns dados
e acréscimo do item (b), no qual trabalhou-se com o gráfico da proporcionalidade inversa
(Figura 58). A questão 13 foi extraída do trabalho de Jordane et al. (2014), e é equivalente à
questão 14 do pré-teste (Figura 59). A questão 14 foi extraída do site da Khan Academy, e
é equivalente a questão 12 do pré-teste (Figura 59). As questões foram escolhidas para
identificar relações proporcionais a partir de gráficos e analisar gráficos que traduzam casos
de proporcionalidade direta e inversa em contextos da vida real.
Na questão 12 (Figura 58), dos nove alunos que erraram o item (a), oito consideraram
que as grandezas envolvidas no problema eram diretamente proporcionais e um aluno
montou a expressão da proporcionalidade inversa mas, na hora de fazer os cálculos, se
equivocou, ou seja, cometeu um erro algébrico. No item (b), dos dez que erraram, dois
marcaram a alternativa (a) e oito marcaram a alternativa (b), sem apresentar qualquer
justificativa.
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 137
Figura 58 – Resolução correta da questão 12 do pós-teste, registrada pelo aluno A26
Fonte: Dados da pesquisa
Na questão 13 (Figura 59), dos oito alunos que erraram, três marcaram a alternativa
(a), três marcaram a alternativa (b) e dois marcaram a alternativa (d), sem qualquer justifica-
tiva. Na questão 14, apenas dois alunos erraram, um aluno errou e deu uma justificativa
incoerente, e o outro achou corretamente a expressão da proporcionalidade direta, mas
cometeu um erro algébrico.
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 138
Figura 59 – (A)Resolução correta da questão 13 do pós-teste, registrada pelo aluno A9 e(B) resolução correta da questão 14 do pós-teste, registrada pelo aluno A12
Fonte: Dados da pesquisa
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 139
O Gráfico 32 a seguir compara o total de acertos, erros e questões deixadas em
branco no pré-teste e no pós-teste.
Gráfico 32 – Comparação entre os totais de erros, acertos e questões deixadas em brancopelos alunos ao resolverem o pré-teste e o pós-teste
Fonte: Dados da pesquisa
Como pode-se observar, houve um aumento do número de acertos quando compara-
se pré-teste e pós-teste, assim como um expressivo decréscimo dos erros e questões
deixadas em branco. Isso sugere, que a sequência didática contribuiu para que os alunos
dominassem conceitos relacionados ao estudo de proporcionalidade, que antes eles não
dominavam.
Após a análise dos resultados, é possível constatar que:
• Alguns erros cometidos pelos alunos não estavam relacionados diretamente a propor-
cionalidade, mas por exemplo, a erros algébricos ou montagem equivocada da regra
de três;
• Apesar das questões do pós-teste terem um nível de dificuldade um pouco maior
do que o pré-teste, o número de acertos aumentou, o que indica que, a sequência
didática contribuiu para melhoria do “raciocínio proporcional” dos alunos;
• O número de questões deixadas em branco caiu consideravelmente;
• O número de erros também caiu consideravelmente;
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 140
• Foi fundamental a aplicação da sequência didática, pois, ao final, os alunos que
não demonstravam ter noção de proporcionalidade demonstraram uma evolução,
conseguindo resolver as questões propostas.
O Questionário investigativo foi aplicado após os alunos terminarem o pós-teste,
buscando captar a percepção dos mesmos acerca do trabalho desenvolvido e da reflexão
sobre o impacto das atividades.
A análise das respostas da questão 1, mostrou que a maioria dos alunos se sentem
mais capazes de resolver questões envolvendo proporcionalidade após a aplicação da
Sequência Didática (Gráfico 33). Eles apresentaram justificativas, como: “Pois tirei dúvidas
que tinha no começo da pesquisa “; “Depois da realização das atividades, aprendi várias
coisas.”; “Antes, eu nem sabia do que se tratava proporcionalidade.” Porém, uma pequena
porcentagem dos alunos marcou “mais ou menos”, com justificativas como: “Não mudou
muita coisa”; “Eu tenho muita dificuldade em matemática”; “Entendi mas ainda confundi um
pouco”. Percebe-se, por meio destas falas, que os alunos realmente avançaram, porém,
alguns ainda não se sentem completamente seguros.
Gráfico 33 – Respostas dos alunos à questão “Após a realização das atividades você seacha mais capaz de resolver problemas que envolvem o conceito de proporcio-nalidade?”
Fonte: Dados da pesquisa
A análise das respostas da questão 2, mostrou que a maioria dos alunos considerou
o uso dos aplicativos e do software Geogebra como bom ou ótimo (Gráfico 34). Eles
apresentaram justificativas, como: “Pude aprender de uma maneira divertida e dinâmica.”;
“Foi mais interessante fazer os exercícios pelo computador.”; “Não estava acostumada com
a ideia por não ter usado antes, mas adorei a experiência. Achei bom aprender de maneira
divertida”. Essas falas ilustram o impacto positivo que as atividades suportadas pelo recurso
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 141
tecnológico tiveram no aprendizado dos alunos, além de proporcionarem, em alguns deles,
uma mudança de visão a respeito das aulas. Porém, um aluno considerou a utilização dos
aplicativos e do software Geogebra apenas regular, com a seguinte justificativa: “Não achei
tão interessante.” Entende-se que alguns alunos podem não ter o interesse despertado para
a Matemática, por questão de gosto pessoal.
Gráfico 34 – Respostas dos alunos à questão “Em sua opinião, a utilização dos aplicativose do programa Geogebra foi”
Fonte: Dados da pesquisa
A análise das respostas da questão 3, mostrou que a maioria dos alunos acredita que
o uso dos aplicativos ajudou no aprendizado (Gráfico 35). Eles apresentaram justificativas
como: “Incentivou a fazer de uma forma divertida.”; “Aprendemos de uma forma mais
divertida.”; “Porque tornou a atividade mais interessante e mais fácil de entender”. Porém,
alguns alunos assinalaram “mais ou menos”, com justificativas como: “Prefiro atividade na
folha, mas o aplicativo também ajudou.”; “Ajudou, mas na hora da realização do que era
pedido, me deixou com dúvida”; “Não vi muita diferença se fosse só no teórico.”; “Porque
ainda aprendo melhor com revisão e explicação no quadro”.
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 142
Gráfico 35 – Respostas dos alunos à questão “O uso dos aplicativos nas atividades ajudouno seu aprendizado?”
Fonte: Dados da pesquisa
A análise das respostas da questão 4, mostrou que a maioria dos alunos gostou
mais da atividade “Balançando” (Gráfico 36). Eles apresentaram as seguintes justificativas:
“No começo tive um pouco de dificuldade pois não estava conseguindo balancear direito
a gangorra, mas depois de entender se tornou muito divertido.” ; “Porque usava também
o raciocínio lógico”; “Porque foi a atividade que eu tive mais facilidade de aprender e eu
achei bem divertido”; “Porque é um jogo que além de ser útil na aprendizagem, é divertido”.
Percebe-se por meio destas falas, que esta atividade possui um caráter lúdico e divertido, o
que prende a atenção dos alunos e os auxiliam a aprender com maior motivação.
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 143
Gráfico 36 – Respostas dos alunos à questão “De todas as atividades propostas qual foi asua preferida? Por quê?”
Fonte: Dados da pesquisa
A análise das respostas da questão 5, mostrou que a maioria dos alunos acredita
que, se fossem empregados mais recursos tecnológicos nas aulas, o interesse dos mesmos
aumentariam (Gráfico 37). Eles apresentaram justificativas como: “Pois todo mundo gosta de
tecnologia.”; “Porque é uma maneira muito mais divertida de aprender.”; “Pois é mais intuitivo
e dinâmico.” ; “Porque a tecnologia faz parte da vida dos adolescentes e usar a mesma
para aprender seria melhor.” Percebe-se, por meio destas falas, que os estudantes, pelo
contato íntimo com a tecnologia no dia a dia, encontram-se à vontade em manipulá-la. Isso
pode ser usado de forma positiva pelo professor, empregando mais recursos tecnológicos
no ensino e proporcionando mais momentos como esse aos alunos. Um aluno assinalou a
opção “Talvez” e apresentou a justificativa “Dependendo da atividade as aulas poderiam
ser mais interessantes”. Outro assinalou “não” e apresentou a seguinte justificativa “Não
acredito que a tecnologia fosse mudar muita coisa.” A aplicação de recursos tecnológicos
na educação pode ter efeitos positivos ou negativos, dependendo de como o processo é
executado, e é normal a descrença de alguns diante do incomum.
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 144
Gráfico 37 – Respostas dos alunos à questão “Você acredita que se as aulas usassem maisa tecnologia seu interesse em aprender aumentaria? Por quê?”
Fonte: Dados da pesquisa
A análise das respostas da questão 6, mostrou que todos os alunos consideram que
as atividades contribuíram para o processo de ensino-aprendizagem de proporcionalidade.
Eles apresentaram justificativas como: “Foi ótimo aplicar o que foi aprendido, com atividades
legais de fazer”; “Com as atividades eu percebi minha dificuldade, e então prestei atenção
e consegui.”; “A gente tem uma visão melhor de como funciona o conceito.”; “Porque foi
possível aplicar os conhecimentos ensinados na sala em situações diárias”. Percebe-se
pelas falas dos alunos, que as atividades serviram não apenas para ensinar conceitos, mas
também para ajudar os alunos a perceberem suas próprias dificuldades. A aplicação prática
dos conceitos também mostrou ser um ponto forte das atividades, aumentando o interesse
dos alunos pelos conceitos estudados.
As análises das respostas do questionário investigativo permitem chegar às seguin-
tes constatações:
• O uso dos recursos tecnológicos despertou a atenção dos alunos;
• As atividades da sequência didática contribuíram para que a maioria dos alunos se
sentisse mais capaz de resolver questões envolvendo proporcionalidade;
• A maioria dos alunos acredita que a utilização dos aplicativos e do software Geogebra
foi fundamental para o aprendizado;
• A maioria dos alunos acredita que o uso da tecnologia tornaria as aulas mais interes-
santes;
Capítulo 4. Desenvolvimento e Resultados da Pesquisa 145
• Todos os alunos consideram que as atividades da sequência didática contribuíram
para o processo de ensino-aprendizagem de proporcionalidade.
146
Capítulo 5
Considerações Finais
Inúmeros desafios permeiam o cenário educacional brasileiro, e melhorar o desem-
penho dos alunos em Matemática é apenas um deles. Exames como o ENEM e a Prova
Brasil evidenciam o baixo desempenho dos estudantes da educação básica na resolu-
ção de problemas matemáticos, e levantam o seguinte questionamento: como ajudar a
solucionar este quadro preocupante? A pesquisa é o primeiro passo para se melhor conhe-
cer uma determinada situação e auxiliar na busca por soluções. Neste caso, o processo
de ensino-aprendizagem de questões envolvendo proporcionalidade motivou o presente
estudo.
Apesar de a proporcionalidade estar presente em muitas situações, o conceito ainda
não é aprendido adequadamente pelos estudantes. Isso acarreta em deficiências que se
estendem por toda a vida escolar do aluno. Além disso, apesar de fazer parte do dia a dia do
aluno, a proporcionalidade ainda é trabalhada de forma pouco envolvente e desarticulada de
exemplos do cotidiano do aluno, o que leva ao desinteresse e falta de desejo de aprender.
Desenvolver uma sequência didática composta por atividades investigativas e su-
portada por recursos tecnológicos não foi uma tarefa simples, pois envolveu romper com
a tradicional forma de ensino da Matemática, ainda predominante nas escolas brasileiras:
a aula expositiva, onde o aluno recebe passivamente o conhecimento do professor. Isso
alterou até mesmo o papel do aluno no processo de ensino-aprendizagem, saindo da
passividade de esperar pelas respostas prontas e tendo de, ele mesmo, por meio dos
programas, tentar encontrar as soluções para os problemas propostos. O uso de tecnologia
também rompeu com o ensino clássico, baseado em copiar e resolver questões. Na tela do
computador as questões adquirem forma, cor e movimento.
Por meio da aplicação de questionários, descobrimos o que pensam os professores
e alunos a respeito do uso da tecnologia nas aulas de Matemática, assim como em relação
a outros aspectos dos sujeitos. Os professores afirmam que a maior dificuldade no trabalho
com proporcionalidade é a falta de pré-requisitos dos alunos, seguida pela dificuldade de
interpretação das questões. Os docentes concordam que o tema proporcionalidade seja
Capítulo 5. Considerações Finais 147
trabalhado insistentemente com os alunos, e acreditam que aplicações cotidianas/reais
e material concreto possam auxiliar no aprendizado. Quanto aos alunos, a maioria gosta
de matemática moderadamente, e uma parcela significativa afirma não ter uma boa base
para estudar proporcionalidade. A maior parte dos alunos afirma utilizar a proporcionalidade
no dia a dia. Segundo a maioria dos alunos, o professor de matemática da turma utiliza
de atividades contextualizadas nas aulas, porém, eles também gostariam que fossem
empregadas atividades lúdicas/jogos e recursos tecnológicos.
O uso de recursos tecnológicos se mostrou uma escolha acertada, pois tornaram
o estudo mais atrativo para os alunos, segundo relatos dos próprios. Não existem muitos
trabalhos descrevendo o uso de aplicativos para o estudo de proporcionalidade, e os resul-
tados da presente pesquisa indicam que eles impactaram positivamente no aprendizado
dos alunos, uma vez que a comparação do desempenho dos alunos no pré-teste e no
pós-teste mostrou que os mesmos apresentaram avanços na compreensão do conceito
de proporcionalidade, uma vez que o número de acertos das questões aumentou consi-
deravelmente. É imprescindível ressaltar que os recursos tecnológicos, por si só, não são
suficientes para solucionar os problemas estudados, mas constituem recursos que podem
auxiliar o professor no desenvolvimento de atividades diferentes das aulas tradicionais de
cópia e resolução de problemas.
O número de aulas empregado para o desenvolvimento da sequência didática foi
suficiente, porém seriam necessárias mais algumas para que os alunos pudessem usar cada
aplicativo mais vezes, de forma a sedimentar ainda mais o aprendizado, pois alguns alunos
declararam ainda não estar completamente seguros quanto aos conteúdos estudados.
Entende-se que, para o desenvolvimento de um trabalho mais contundente, é preciso
dedicar mais tempo.
O presente trabalho trouxe diversos benefícios para as turmas onde a sequência
didática foi aplicada, aumentando o interesse dos alunos, melhorando o aprendizado e
expondo a presença do conceito de proporcionalidade em situações cotidianas, de forma a
envolver o aluno e motivá-lo. Isso reforça a importância de se investir na prática pedagógica
do professor, de forma a romper com a estagnação já tantas vezes discutida.
Considerando o tamanho do público pesquisado não é possível generalizar os
resultados obtidos, porém, com base nos resultados e nos relatos dos professores e alunos
que participaram da pesquisa, pode-se dizer que o principal objetivo foi alcançado: investigar
a contribuição do uso de uma sequência didática composta por atividades investigativas
para o estudo de proporcionalidade direta e inversa, com alunos do 1º ano do Ensino Médio.
Ao longo do desenvolvimento do trabalho, algumas questões surgiram, e podem ser
consideradas em futuros desdobramentos do trabalho:
• Desenvolver um aplicativo ou recurso tecnológico baseado na sequência didática do
Capítulo 5. Considerações Finais 148
presente trabalho para o estudo de proporcionalidade;
• Experimentar a sequência didática com alunos do ensino regular e com outras modali-
dades de ensino.
Espera-se que este trabalho contribua para o desenvolvimento de novas abordagens
do tema proporcionalidade, oferecendo subsídios para que professores mudem suas práticas
pedagógicas, proporcionando aos alunos um aprendizado mais significativo e duradouro
com o uso de recursos tecnológicos e atividades investigativas.
149
Referências
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ZACARIAS, S. M. Z. A matemática e o fracasso escolar: medo, mito ou dificuldade.Dissertação (Mestrado) — Universidade do Oeste Paulista - UNOESTE, PresidentePrudente, 2008. Citado na página 83.
ZATTI, F.; AGRANIONIH, N. T.; ENRICONE, J. R. B. Aprendizagem matemática:Desvendando dificuldades de cálculo dos alunos. Perspectiva, v. 34, n. 128, p. 115–132,dezembro 2010. Citado na página 21.
Apêndices
159
APÊNDICE A
Solicitação para realização de
atividades
___________________________________________________________________________________________________________
Av. Alberto Lamego, 2000 - Parque Califórnia - Campos dos Goytacazes/ RJ - CEP: 28013-602 Tel.: (22) 2793-
Campos dos Goytacazes, 18 de julho de 2018.
De Nelson Machado Barbosa Professor Associado do Laboratório de Ciências Matemáticas – CCT/UENF Para Direção do Ensino Básico e Profissionalizante do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense - IFF
Ass.: Solicitação para realização de atividades
Prezada Diretora,
Ao cumprimentá-la cordialmente venho por meio deste, solicitar a V.
Senhoria, a autorização para que a discente SAMARA DA SILVA CORRÊA,
regularmente matriculado no curso de Pós-Graduação em Matemática, pela
Universidade Estadual do Norte Fluminense, possa desenvolver seu experimento de
mestrado na turma do ensino médio, do IFF campus Itaperuna. Vale ressaltar que
essas atividades contribuirão de forma significativa para o ensino e aprendizado do
conceito de proporcionalidade, pela sua característica lúdica e motivadora.
Atenciosamente,
Campos dos Goytacazes, 18 de julho de 2018.
Assinatura: ___________________________
Nelson Machado Barbosa Matrícula: 10.874-1
RECEBIDO Data ___/___/___ Hora ___:___
Rubrica ______ Matr.: _______
161
APÊNDICE B
Autorização - Diretor
TRABALHO DE PESQUISA CIENTÍFICA
AUTORIZAÇÃO
Prezada Diretora,
Os alunos do 1º ano da turma Química Integrado do Curso Técnico em Química do Instituto
Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense, campus Itaperuna, estão sendo
convidados a participarem de uma pesquisa do Mestrado Profissional em Matemática,
PROFMAT, da Universidade Estadual Norte Fluminense Darcy Ribeiro (UENF), realizado pela
mestranda e servidora no referido instituto, Samara da Silva Corrêa. A pesquisa será realizada
na própria Escola, durante algumas aulas, com o seguinte título: UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA
PARA O ENSINO E APRENDIZAGEM DE PROPORCIONALIDADE NO ENSINO MÉDIO, aonde os
alunos irão aprender e aplicar o conceito de proporcionalidade através de atividades
contextualizadas e tecnológicas. Tendo como objetivo principal a melhora no ensino
aprendizagem dos alunos, gostaria de pedir sua autorização para que a Instituição e a referida
turma possam participar da pesquisa, e que os registros das atividades possam ser publicados.
Desde já, agradeço, e se estiver de acordo, peço que destaque e preencha o formulário a
seguir:
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Eu, ____________________________________________, diretora do Instituto Federal de
Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense campus Itaperuna, autorizo a participação da
turma ____________ na pesquisa sobre PROPORCIONALIDADE NO ENSINO MÉDIO: UMA
SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA O SEU ENSINO E APRENDIZAGEM, desenvolvida pela mestranda
Samara da Silva Corrêa.
__________________________________________
Assinatura
Itaperuna, 18 de julho de 2018.
163
APÊNDICE C
Autorização - Responsáveis
TRABALHO DE PESQUISA CIENTÍFICA
AUTORIZAÇÃO
Prezados Pais ou Responsáveis,
Os alunos do 1º ano da turma Química Integrado do Curso Técnico em Química do Instituto
Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Fluminense, campus Itaperuna, estão sendo
convidados a participarem de uma pesquisa do Mestrado Profissional em Matemática,
PROFMAT, da Universidade Estadual Norte Fluminense Darcy Ribeiro (UENF), realizado pela
mestranda e servidora no referido instituto, Samara da Silva Corrêa. A pesquisa será realizada
na própria Escola, durante algumas aulas, com o seguinte título: UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA
PARA O ENSINO E APRENDIZAGEM DE PROPORCIONALIDADE NO ENSINO MÉDIO, aonde os
alunos irão aprender e aplicar o conceito de proporcionalidade através de atividades
contextualizadas e tecnológicas. Tendo como objetivo principal a melhora no ensino
aprendizagem do seu filho(a), pedimos sua autorização para que ele(a) possa participar das
atividades, e que os registros das atividades possam ser publicados.
Desde já, agradeço, e peço que aprovando a participação do seu filho(a), destaque e preencha
o formulário a seguir:
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Eu, ________________________________________________, autorizo a participação de meu
filho(a) na pesquisa desenvolvida pela mestranda Samara da Silva Corrêa.
Nome do aluno:________________________________________________________________
__________________________________________
Assinatura
Itaperuna, 18 de julho de 2018.
165
APÊNDICE D
Questionário do Professor
18/03/2019 Questionário do Professor
https://docs.google.com/forms/d/167k4BCYSyMtuJTlY7Hdn0RaqXbo-qa5Sf9jQA6aNb5s/edit 1/7
Questionário do ProfessorPrezado(a) educador(a), Este questionário é uma das etapas da minha pesquisa para escrita da dissertação do Mestrado Profissional em Matemática (PROFMAT) e objetiva analisar e melhor compreender as dificuldades encontradas no ensino de Proporcionalidade em turmas do Ensino Médio. Suas respostas me auxiliarão a desenvolver atividades e recursos que tornem a aprendizagem deste conteúdo mais significativa. Os dados obtidos serão utilizados unicamente na presente pesquisa e o anonimato dos entrevistados é garantido.
Obrigada por sua colaboração! Samara da Silva Corrêa
*Obrigatório
I - Identificação
1. 1) Idade: *
2. 2) Formação (Curso de Graduação/ Pós-Graduação): *
18/03/2019 Questionário do Professor
https://docs.google.com/forms/d/167k4BCYSyMtuJTlY7Hdn0RaqXbo-qa5Sf9jQA6aNb5s/edit 2/7
3. 3) Área de atuação: *
4. 4) Tempo de atuação em sala deaula: *
5. 5) Qual o tipo de instituição que você trabalha: *Marque todas que se aplicam.
Privada
Pública Municipal
Pública Estadual
Pública Federal
II - Sobre suas aulas
18/03/2019 Questionário do Professor
https://docs.google.com/forms/d/167k4BCYSyMtuJTlY7Hdn0RaqXbo-qa5Sf9jQA6aNb5s/edit 3/7
6. 1) Quais estratégias de ensino que você utiliza em suas aulas?Assinale-as: *Marque todas que se aplicam.
Aula expositiva
Debate
Estudo dirigido
Trabalho individual
Trabalho em grupo
Seminário
Outros
Prefiro não responder
7. 1.1 Referente a opção outros assinalado na questão anterior,descreva-as:
8. 2) Considerando sua prática e os recursos utilizados, como osalunos reagem à aula de Matemática? *Marcar apenas uma oval.
Não sei responder
Os alunos demonstram apatia em relação às aulas
Os alunos se mostram desinteressados e não se envolvem com asaulas
Os alunos se mostram interessados e se envolvem bastante comas aulas
Prefiro não responder
18/03/2019 Questionário do Professor
https://docs.google.com/forms/d/167k4BCYSyMtuJTlY7Hdn0RaqXbo-qa5Sf9jQA6aNb5s/edit 4/7
9. 3) Há algum aspecto que você gostaria de mudar na sua prática emsala de aula? Qual? *
10. 4) Considerando que o papel do educador vem mudando ao longo dotempo no processo de ensino-aprendizagem, como você analisa suapostura frente aos desafios contemporâneos do ensino daMatemática? *Marcar apenas uma oval.
Não sei responder
Mantenho a mesma prática pedagógica desde sempre
Às vezes procuro tentar novas metodologias de ensino
Sempre busco novas metodologias de ensino
Prefiro não responder
11. 5) Atualmente, você utiliza algum dos recursos abaixo em suasaulas? Assinale-os: *Marque todas que se aplicam.
Wiki
Geogebra
Blog
YouTube
Rede Social
Smartphone
Outro
Prefiro não responder
18/03/2019 Questionário do Professor
https://docs.google.com/forms/d/167k4BCYSyMtuJTlY7Hdn0RaqXbo-qa5Sf9jQA6aNb5s/edit 5/7
12. 5.1 Descreva como você utiliza os recursos assinalados na questãoanterior: *
13. 6) Qual seu nível de conhecimento em relação ao uso docomputador? *Marcar apenas uma oval.
Não utilizo
Sei apenas o básico (escrever texto, enviar mensagem de e-mailetc)
Domino perfeitamente o uso do computador
Prefiro não responder
14. 7) Qual seu posicionamento sobre o uso de recursos tecnológicos noensino-aprendizagem da Matemática? *
III. Sobre o ensino/aprendizado deProporcionalidade
18/03/2019 Questionário do Professor
https://docs.google.com/forms/d/167k4BCYSyMtuJTlY7Hdn0RaqXbo-qa5Sf9jQA6aNb5s/edit 6/7
15. 1)Você gosta de trabalhar os conceitos de proporcionalidade? Porquê? *
16. 2) “As dificuldades com os conceitos de proporcionalidade devemser tratadas de forma constante e insistente durante toda a vidaescolar do aluno.” Você concorda ou discorda da afirmação?Justifique sua resposta. *
17. 3) Qual a sua maior dificuldade ao trabalhar estes conceitos? *
18/03/2019 Questionário do Professor
https://docs.google.com/forms/d/167k4BCYSyMtuJTlY7Hdn0RaqXbo-qa5Sf9jQA6aNb5s/edit 7/7
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18. 4) Quais recursos você utiliza para trabalhar os conceitos deproporcionalidade? *
19. 5) Quais as maiores dificuldades que você observa em seus alunos?Em sua opinião, qual(is) a(s) causa(s) para estas dificuldades? *
20. 6) O que você considera que pode ser feito para que o aprendizadodos conceitos de proporcionalidade se torne mais motivador esignificativo? *
173
APÊNDICE E
Questionário do Aluno
QUESTIONÁRIO DO ALUNO
Prezado(a) aluno(a), sua resposta a este questionário contribuiráDissertação de Mestrado. Seu empenho nas respostas e resoluções compreender as dificuldades do tema proposto e sugerir atividades e recursos para a melhoria do processo de ensino-aprendizado.
Conto com sua colaboração! Obrigada!
I. Identificação
1) Idade: anos 2) Sexo: ( ) Masculino ( ) Feminino 3) Escola: 4) Ano de escolaridade (série):
II. Uso de tecnologias
1) Você possui computador em casa?2) Possui Smartphone? 3) Utiliza a internet? 4) Na questão anterior, em caso afirmativo, para quê? a) ( ) acessar redes sociais b) ( ) realizar pesquisas escolaresc) ( ) outros fins. Especifique: 5) Você utiliza algum recurso te
III. Estudo da Matemática e Proporcionalidade
1) Você gosta de estudar Matemática?a) ( ) Gosto muito b) ( ) Gosto c) ( ) Mais ou Menos d) ( ) Não gostoPor quê?
2) O que você entende sobre proporcionalidade
3) Quanto à dificuldade, o que você a
4) Você utiliza o conceito de Proporcionaltécnico)? Em caso afirmativo, descreva em qual(is)? Dê exemplo(s)?
QUESTIONÁRIO DO ALUNO
io contribuirá para o desenvolvimento de minha pesquisa. Seu empenho nas respostas e resoluções me auxiliará a melhor
compreender as dificuldades do tema proposto e sugerir atividades e recursos para a melhoria aprendizado.
Conto com sua colaboração!
Samara da Silva Corrêa
( ) Feminino
: Modalidade: ( ) Regular ( ) Técnico em
computador em casa? a) ( ) Sim b) ( ) Não a) ( ) Sim b) ( ) Não a) ( ) Sim b) ( ) Não
Na questão anterior, em caso afirmativo, para quê?
( ) realizar pesquisas escolares
Você utiliza algum recurso tecnológico educacional? Em caso afirmativo, qual?
e Proporcionalidade
de estudar Matemática? b) ( ) Gosto c) ( ) Mais ou Menos d) ( ) Não gosto
sobre proporcionalidade?
que você acha do conteúdo de Proporcionalidade?
roporcionalidade em outras disciplinas do Ensino Mtécnico)? Em caso afirmativo, descreva em qual(is)? Dê exemplo(s)?
para o desenvolvimento de minha pesquisa de me auxiliará a melhor
compreender as dificuldades do tema proposto e sugerir atividades e recursos para a melhoria
Samara da Silva Corrêa
b) ( ) Gosto c) ( ) Mais ou Menos d) ( ) Não gosto
idade em outras disciplinas do Ensino Médio (curso
5) Você utiliza o conceito de Proporcionalidade no seu dia-a-dia? Em caso afirmativo, descreva como.
6) Nas aulas de Matemática, seu professor… (Pode selecionar mais de uma alternativa) a) ( ) Apenas resolve exercícios b) ( ) Utiliza atividades contextualizadas c) ( ) Promove atividades lúdicas d) ( ) Utiliza recursos tecnológicos 7) O que você gostaria que o professor fizesse para tornar as aulas de Matemática mais interessantes?
176
APÊNDICE F
Pré-teste
Aluno: ________________________________________ Turma: __________ Data: ____/____/______________
Pré-Teste
1. Uma escola tem 1200 de área construída e 3000 de área livre. A razão da área construída para a área livre é de.
2. A primeira fase da Olimpíada de Matemática contou com a participação de 520 mil alunos. Os organizadores determinaram que a proporção entre aprovados e reprovados fosse de 3 para 7. Quantos estudantes passarão para a próxima fase da Olimpíada?
3. A distância entre a cidade mineira Muriaé e a cidade fluminense Itaperuna, em um mapa representado em escala 1 : 5.000.000, é de 2 cm. Segundo esse mapa, qual a distância real entre essas duas cidades?
4. Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 horas. Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é de:
5. Em cada item a seguir, examine se existe ou não proporcionalidade.
a) A idade de uma pessoa é diretamente proporcional a sua altura? Justifique.
b) A massa de uma pessoa é diretamente proporcional a sua idade? Justifique.
c) O perímetro p de um quadrado é diretamente proporcional ao seu lado a? Justifique.
6. O que você entende por grandezas diretamente e inversamente proporcionais?
7. A área de um quadrado é calculada elevando-se ao quadrado a medida do seu lado. Se dobrarmos a medida do lado de um quadrado, dobramos a sua área? Justifique sua resposta.
8. Para preparar a tinta, um pintor mistura, a cada 4 latas de tinta concentrada, 6 latas de água. Ou seja, a quantidade de água necessária para a diluição correta depende da quantidade da tinta concentrada.
a) Agora, completa a tabela abaixo:
Tinta concentrada Água Tinta diluída
4 6 10
8
2
1
b) A cada linha preenchida, especifiquem como foram obtidos os números?
9. No dia do aniversário de Miro, os seus amigos compraram um presente, sem saber ainda qual o número de pessoas que queriam participar. A tabela a seguir relaciona esse número (n) com a quantia que cabe a cada um (q).
a) Completar a tabela.
n 2 3 5 10 12
q 1800
b) Ocorre proporcionalidade inversa entre os valores de n e q? Se sim, o que representa a constante?
10. Um taxista cobra R$ 4,00 a bandeirada, mais R$ 1,00 por quilômetro percorrido. Um passageiro, ao pegar o táxi, paga R$ 10,00 pelo trajeto. Quanto ele pagaria se tivesse percorrido o dobro do trajeto?
11. Observe as tabelas seguintes e verifique se existe proporcionalidade direta, inversa ou nenhum tipo de proporcionalidade. Justifique suas respostas.
a)
b)
x 1 2
y 8 4
c)
x 2 4
y 8 10
d)
x 2 3
y 6 9
x 4 5
y 12 13
12. Considera a função de proporcionalidade direta f, representada graficamente no referencial cartesiano da figura abaixo. O ponto de coordenadas (1; 3), pertence ao gráfico da função f. Qual é a constante de proporcionalidade? Justifique sua resposta.
13. Seja f uma função de proporcionalidade inversa. Sabe-se que f(3) = 9.
Em qual das opções se apresenta uma expressão que define a função f? Justifique sua resposta.
a) f(x) = 3x b) f(x) = 27x c) f(x) =
d) f(x) =
14. Considera a função de proporcionalidade inversa f, representada graficamente no referencial cartesiano da figura abaixo. O ponto de coordenadas (3; 6), pertence ao gráfico da função f. Qual é a constante de proporcionalidade?Justifique sua resposta.
180
APÊNDICE G
Atividades da Sequência Didática
Nome: ________________________________________ Turma: ________________________________________ Data: ____/____/______________
Atividade 1 – Razão no cotidiano
Suco, néctar ou refresco
No supermercado, existem várias bebidas, por exemplo: suco, néctar e refresco. Você sabe a
diferença entre eles? Basicamente é a concentração de suco presente no líquido. Se for de
100%, é suco. Se estiver entre 20% a 30%, é néctar. E é chamado de refresco, se a
concentração de suco estiver de 2% a 10%. Você saberia misturá-los para conseguir uma
bebida de determinada concentração?
Nesta primeira atividade, vamos usar o aplicativo “Suco, néctar ou refresco”, disponível em:
https://portaldosaber.obmep.org.br/index.php/modulo/ver?modulo=57&tipo=5
No lado esquerdo da página inicial deste endereço eletrônico vemos uma imagem semelhante
a que é apresentada a seguir:
Clique em “Interagir”. Após ler as instruções, responda dois desafios. Clique em “Novo
Preparo” para um novo desafio.
1. Escreva aqui todas as etapas das suas soluções para o preparo das duas misturas.
2. Ao concluir esta questão, reflita e identifique as dificuldades que você teve em realizar cada
etapa. Escreva aqui suas considerações a respeito delas e, também, se você aprendeu algum
novo conceito.
3. O que você achou da utilização do aplicativo na atividade?
Nome: ________________________________________ Turma: ________________________________________ Data: ____/____/______________
Atividade 2 – Cortando pizza em diferentes proporções
Cortando a pizza
Você já se deparou com a situação de ter de cortar uma pizza para diferentes pessoas, que
comem em diferentes proporções. Gostaria de tentar?
Na atividade a seguir, disponível em:
https://portaldosaber.obmep.org.br/index.php/modulo/ver?modulo=57&tipo=5, vamos cortar
uma pizza em diferentes proporções.
No lado direito da mesma página temos o aplicativo “Cortando a pizza”, clique em “Interagir”.
Após ler as instruções, responda dois desafios. Clique em “Nova Configuração” para fazer o
próxima desafio. Neste endereço eletrônico temos uma imagem semelhante a que é
apresentada a seguir.
Agora é com você!
1. Escreva aqui todas as etapas das suas soluções para o corte das duas pizzas.
2. Ao concluir esta questão, reflita e identifique as dificuldades que você teve em realizar cada
etapa. Escreva aqui suas considerações a respeito delas e, também, se você aprendeu algum
novo conceito.
3. O que você achou da utilização do aplicativo na atividade?
Nome: ________________________________________ Turma: ________________________________________ Data: ____/____/______________
Atividade 3 – Construindo conceitos
Lei de Ohm
Você sabe o que é e como se comporta a Lei de Ohm?
A Lei de Ohm, assim designada em homenagem ao seu formulador, o físico alemão Georg Simon Ohm (1789-1854), afirma que, para um condutor mantido à temperatura constante, a razão entre a tensão entre dois pontos e a corrente elétrica é constante. Essa constante é denominada resistência elétrica. Quando essa lei é respeitada por um determinado condutor mantido à temperatura constante, este se denomina condutor ôhmico. A resistência de um dispositivo condutor é dada pela equação:
=
ou V = RI
onde:
V é a diferença de potencial elétrico (ou tensão, ou d.d.p.) medida em volt (V);
I é a intensidade da corrente elétrica medida em ampère (A) e
R é a resistência elétrica medida em ohm (Ω).
Na atividade a seguir, disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/html/ohms-
law/latest/ohms-law_en.html temos disponível uma simulação que permitirá fazer
alguns experimentos. Na página inicial deste endereço eletrônico vemos uma imagem
semelhante a que é apresentada a seguir:
1. Clique no botão da tensão (V) indicado pela seta verde na imagem acima e responda:
O que acontece com os valores da tensão (V), da corrente elétrica (I) e da resistência (R) ao
arrastar o botão da tensão (V) para cima?
Tensão:
Corrente elétrica:
Resistência:
2. O que acontece com os valores da tensão (V), da corrente elétrica (I) e da resistência (R) ao
arrastar o botão da tensão (V) para baixo?
Tensão:
Corrente elétrica:
Resistência:
3. Estando a tensão (V) em 4.5 V e a resistência (R) em 500 Ω, responda:
a) Marque, abaixo, o que ocorre com o valor da corrente elétrica (I) quando dobra o valor da
tensão (V)? Justifique.
( ) Aumenta três vezes
( ) Diminui pela metade
( ) Dobra
( ) Quadruplica
b) E o que ocorre com o valor da resistência (R)? Justifique.
4. Agora estando a tensão (V) em 8.0 V e a resistência (R) em 500 Ω. Qual a alteração que
ocorre com a corrente elétrica (I), e com a resistência (R) quando a tensão (V) é dividida por 4?
Justifique.
Corrente elétrica:
Resistência:
5. Se multiplicarmos por um número natural k a tensão (V), e mantivermos a resistência (R)
com um valor fixo, qual alteração que ocorre com a corrente elétrica (I)? Justifique.
6. Quanto à relação entre a tensão (V) e a corrente elétrica (I), complete a frase utilizando as
opções abaixo:
Somarmos Multiplicarmos Somada Diretamente Multiplicada Diminuirmos
Dividirmos Inversamente Dividida Diminuída Não
Elas apresentam uma relação ______________________________ proporcional, visto que se
____________________________ a tensão (V) por um número natural n, a corrente elétrica (I)
também fica ____________________________ por n.
7. Mantendo a resistência (R) em 500 Ω, preencha o quadro abaixo com três valores aleatórios
para a tensão (V) e suas referentes correntes (I) em ampères (A) – observe que no aplicativo a
corrente é exibida em Miliampère (mA). Após, na terceira coluna, calcule a razão entre a
tensão (V) aplicada e a corrente elétrica (I), sendo a razão igual
.
Obs: 1 mA = 0,001 A.
V I(A) Razão (
)
1 0,002
, = 500
Agora responda:
a) Que grandezas variam na tabela?
b) Descreva o que você observa quanto aos valores da terceira coluna (
).
c) Com base nas respostas dos itens anteriores, é possível notar algum padrão? Qual?
SEGUNDA ETAPA:
1. Agora clique no botão da resistência (R) indicado pela seta vermelha na imagem acima.
Observe o que acontece com os valores da tensão (V), da corrente elétrica (I), e da resistência
(R) ao arrastar o botão para cima. Registre abaixo:
Tensão:
Corrente elétrica:
Resistência:
2. Agora arraste o mesmo botão para baixo. O que acontece com os valores da tensão (V), da
corrente elétrica (I) e da resistência (R)?
Tensão:
Corrente elétrica:
Resistência:
3. Estando a tensão (V) em 4.5 V e a resistência (R) em 500 Ω, responda:
a) Qual a alteração que ocorre com a corrente elétrica (I) quando dobra o valor da resistência
(R)?
b) E o que ocorre com o valor da tensão (V)?
4. Agora estando a tensão em 4.5 V e a resistência em 500 Ω. Em quantas vezes o valor da
corrente elétrica (I) e da tensão (V) se alteram quando o valor da resistência (R) é dividido por
50?
Corrente elétrica:
Tensão:
5. Se multiplicarmos por um número natural k o valor da resistência (R), e mantivermos o valor
da tensão(V) fixo, qual a alteração que ocorre com a corrente elétrica (I)?
6. Quanto à relação entre a resistência(R) e a corrente elétrica(I), complete a frase utilizando
as opções abaixo:
Somarmos Multiplicarmos Somada Diretamente Multiplicada Diminuirmos
Dividirmos Inversamente Dividida Diminuída Não
Elas apresentam uma relação ______________________________ proporcional, visto que se
____________________________ a resistência (R) por um número natural n, a corrente
elétrica (I) fica ____________________________ por n.
7. Mantendo o valor da tensão (V) fixo em 4,5V, complete o quadro abaixo com o valor da
corrente elétrica (I) referente a cada valor da resistência (R). Após, na terceira coluna, calcule o
produto entre a resistência (R) aplicada e a corrente elétrica (I), sendo produto R.I.
R I Produto (R.I)
10
500
1000
Agora responda:
a) Que grandezas variam na tabela?
b) Descreva o que você observou quanto aos valores da terceira coluna (R.I)?
c) Com base nas respostas dos itens anteriores, é possível notar algum padrão? Qual?
1 - O que você achou do modo como foi abordado o conteúdo na atividade?
2 - A atividade estava muito básica, muito avançada ou adequada?
3 - Você aprendeu novos conceitos ou pelo menos relembrou aspectos importantes que vão te
ajudar na aprendizagem sobre proporcionalidade?
Nome: ________________________________________ Turma: ________________________________________ Data: ____/____/______________
Atividade 4 – Balançando
Na atividade a seguir, disponível em: https://phet.colorado.edu/sims/html/balancing-
act/latest/balancing-act_pt_BR.html temos disponível uma simulação, brinque com objetos
em uma gangorra para aprender sobre equilíbrio. Teste o que você aprendeu sobre o conceito
de proporcionalidade. Na página deste endereço eletrônico vemos uma imagem semelhante a
que é apresentada a seguir:
Após realizar a atividade, relate o que você achou do aplicativo?
Nome: ________________________________________ Turma: ________________________________________ Data: ____/____/______________
Atividade 5 – Proporcionalidade e Função
1. Copos descartáveis
[...] O copo plástico descartável é um produto muito consumido pela população, devido à sua praticidade e ao seu baixo custo para o consumidor. São muito utilizados em escritórios, festas infantis e eventos diversos, tendo ainda a vantagem de ser um produto que não provoca acidentes como os copos de vidro. [...] Disponível em: <http://www.inmetro.gov.br/consumidor/produtos/copos_plasticos.asp>. Acessado em: 30 de julho de 2018.
Sabemos que o plástico, por exemplo, é o resíduo sólido urbano de maior potencial para reciclagem no mundo. O Brasil produz cerca de 100 mil toneladas de copos plásticos por ano, mas infelizmente as práticas de descarte adotadas não exploram de maneira satisfatória o potencial de reciclagem do produto, de modo que grandes quantidades de copos descartáveis acabam em aterros sanitários (no caso de cidades que possuem esse tipo de instalação) ou, infelizmente, são descartados de maneira inadequada no meio ambiente. Disponível em: <https://www.ecycle.com.br/3475-copo-descartavel-impactos>. Acessado em: 04 de setembro de 2018.
Segundo a figura adiante, um cartaz informativo, localizado no bebedouro na área de recepção do IFFluminense Itaperuna – RJ, são em média 3 copos descartáveis usados por pessoa diariamente nesse campus.
1. Abra o arquivo “Atividade copo descartável I.ggb”. Observe a planilha que se encontra no
lado direito do arquivo, nela temos quantidade de copos consumidos por pessoa e quantidade
de dias freqüentados por ela no IFF. Nota-se que alguns valores não foram preenchidos.
Complete-a.
2. Descreva qual foi raciocínio utilizado para completar a planilha.
3. Que grandezas variam na tabela?
4. Em relação ao item anterior podemos dizer que são grandezas diretamente proporcionais,
inversamente proporcionais ou não proporcionais? Justifique analisando o que ocorre com a
quantidade de copos, ao dobrar, triplicar e quadruplicar a quantidade de dias.
5. Observe os valores de cada coluna da planilha. A multiplicação ou a divisão, entre a quantidade de copos e os dias freqüentados, é constante? Justifique.
Dias Quantidade de copos consumidos por uma
pessoa
1 3
5
20
44 (dias letivos)
6. Se a resposta à questão anterior for sim, qual é a constante de proporcionalidade? O que esse valor representa neste contexto?
7. Escrevam uma igualdade que relacione a quantidade de copos consumidos por pessoa (representado por f(x)), com a quantidade de dias freqüentada por ela (representado por x).
8. Agora novamente no arquivo “Atividade copo descartável I.ggb”, com a planilha toda
preenchida, vamos construir o gráfico da quantidade de copos consumidos por pessoa em
função da quantidade de dias frequentados por ela. Selecione as colunas A e B das linhas 2 a 5
e clique com o botão direito do mouse em “Criar”, “Lista de pontos”. Em seguida, selecione a
ferramenta . Marque quaisquer dois dos quatro pontos representados na janela de
visualização.
Depois, na barra de menu clique em “Exibir”, “Janela de álgebra” . Observe se a expressão
encontrada no item anterior é a mesma na “Janela de álgebra”.
9. O gráfico esboçado representa uma:
10. O gráfico encontrado passa por todos os pontos? E pela origem?
11. Redija um pequeno texto, opinando sobre o impacto do consumo do copo descartável nas condições ambientais.
2. Funções custo e receita
Alunos de uma turma do 1º ano do ensino médio decidiram realizar uma confraternização no
final do ano. Para isso, decidiram produzir e vender brigadeiros durante alguns meses para
arrecadar dinheiro. Para fabricá-los a um custo fixo mensal de R$ 120,00 representado por
(CF), que inclui gás, conta de luz, água, etc. Além desse, há um custo variável (CV), que depende
da quantidade de brigadeiros preparados (x). Estima-se que o custo de produção de cada
brigadeiro seja R$ 0,90.
1. Assim, o custo total mensal (C(x) = CF + CV), é dado pela expressão algébrica:
O preço de venda unitário do brigadeiro é R$ 2,40. Admitiremos, neste momento, que o preço
de venda independe de outros fatores. Lembrando que a quantidade de brigadeiros
preparados é representada por x.
2. A receita (faturamento bruto) R(x) dessa doçaria é definida por:
3. Abra o arquivo “Atividade brigadeiro I.ggb”. Observe as planilhas que se encontram no lado
direito do arquivo. A primeira planilha, contendo uma coluna com a quantidade de brigadeiros
preparados (x), e a outra com o custo total de produção (C(x)); A segunda planilha, uma coluna
contendo a quantidade de brigadeiros preparados (x) e a outra coluna com os valores da
receita (faturamento bruto), representado por R(x). Nota-se que alguns valores não foram
preenchidos. Complete-a.
Planilha 1 (Custo) Planilha 2 (Receita)
x R(x)
1
100 240
720
500
4. Descreva qual foi raciocínio utilizado para completar as planilhas.
5. Na planilha 1 que grandezas variam?
6. Em relação ao item anterior podemos dizer que essas grandezas são diretamente
proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais? Justifique analisando o que
ocorre com o custo total mensal (C(x)), ao dobrar, triplicar e quadruplicar a quantidade de
brigadeiros preparados (x).
7. Observe os valores de cada coluna da planilha 1. A multiplicação ou a divisão, entre o custo
total e a quantidade de brigadeiro, é constante? Justifique.
x C(x)
1 120,9
10
100
300
8. Se a resposta for sim à questão anterior. O que esse número representa neste contexto?
9. Agora voltando no arquivo “Atividade brigadeiro I.ggb”. Com a tabela toda preenchida,
vamos construir um gráfico do custo total mensal gasto em função da quantidade de
brigadeiros produzidos. Selecione as colunas A e B das linhas 2 a 5 e clique com o botão direito
do mouse em “Criar”, “Lista de pontos”. Em seguida, selecione a ferramenta . Marque
quaisquer dois dos quatro pontos representados na janela de visualização.
Depois, na barra de menu clique em “Exibir”, “Janela de álgebra” . Observe se expressão
encontrada no item “1” é a mesma na janela de álgebra.
10. O gráfico esboçado representa uma:
11. O gráfico encontrado passa por todos os pontos? E pela origem?
12. Agora na planilha 2, que grandezas variam?
__________________________________________________________________________
13. Em relação ao item anterior podemos dizer que essas grandezas são diretamente
proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais? Justifique analisando o que
ocorre com a receita (R(x)), ao dobrar, triplicar e quadruplicar a quantidade de brigadeiros
preparados(x).
14. Observe os valores de cada coluna da planilha 2. A multiplicação ou a divisão, entre a receita (faturamento bruto) e a quantidade de brigadeiros preparados, é constante? Justifique.
15. Se a resposta da questão anterior for sim, qual a constante de proporcionalidade? O que esse valor representa neste contexto?
16. Agora no arquivo “Atividade brigadeiro I.ggb”, com a planilha toda preenchida, vamos
construir um gráfico da receita em função da quantidade de brigadeiros produzidos. Selecione
as colunas A e B das linhas 9 a 12 e clique com o botão direito do mouse em “criar”, “lista de
pontos”. Selecione a ferramenta . Marque quaisquer dois dos quatro pontos
representados na janela de visualização.
Em seguida na barra de menu clique em “Exibir”, “Janela de álgebra” e observe se expressão
encontrada no item “2” é a mesma na “Janela de álgebra”.
17. O gráfico esboçado representa uma:
18. O gráfico encontrado passa por todos os pontos? E pela origem?
3. Vazão
Em uma experiência, pretende-se medir o tempo necessário para se encher de água um
tanque inicialmente vazio. Para isso, são feitas várias simulações que diferem entre si pela
vazão da fonte que abastece o tanque. Em cada simulação, no entanto, a vazão não se alterou
do início ao fim da experiência.
Abra o arquivo “Atividade vazão.ggb”. Observe a planilha que se encontra no lado direito do
arquivo. Nota-se que alguns valores não foram preenchidos. Complete-a.
1.
Simulação Vazão (l/min) Tempo (min)
1 0,5 240
2 120
3 2
4 30
5 6 20
6 10
2. Descreva qual foi raciocínio utilizado para completar a planilha.
3. Observando os pares de valores; é possível notar alguma regularidade? Justifique.
4. Em relação às grandezas vazão e tempo da planilha, podemos dizer que são grandezas
diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais? Justifique
analisando o que ocorre com o tempo, ao dobrar, triplicar e quadruplicar a vazão.
5. Observe os valores das grandezas na planilha. A multiplicação ou a divisão, entre a vazão e o
tempo, é constante? Justifique.
6. Se a resposta for sim à questão anterior. Qual a constante de proporcionalidade? O que essa
constante representa neste contexto?
7. Escreva uma expressão que modele a relação vazão da fonte que abastece o tanque
(representado por v), com o tempo necessário para encher o tanque (representado por t).
8. Agora voltando no arquivo “Atividade vazão.ggb”. Com a planilha toda preenchida, vamos
construir um gráfico do tempo em função da vazão. Selecione as colunas A e B das linhas 2 a 7
e clique com o botão direito do mouse em “Criar”, “Lista de pontos”. Clique sobre a
ferramenta e selecione cônica por cinco pontos. Crie uma cônica passando por
cinco dos seis pontos criados na janela de visualização.
Em seguida na barra de menu clique em “Exibir”, “Janela de álgebra” e observe se expressão
encontrada no item anterior é a mesma na “Janela de álgebra”.
9. O gráfico esboçado representa uma:
10. O gráfico encontrado passa por todos os pontos? E pela origem?
11. Como determinamos o tempo t necessário para encher o tanque se a vazão da fonte é de
13l/min.?
- Em relação a todas as atividades realizadas descreva nas tabelas abaixo as características das
grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais.
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Características
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Características
202
APÊNDICE H
Pós-teste
Nome: ________________________________________ Turma: ________________________________________ Data: ____/____/______________
Pós-teste
1. Um caminhão pode levar 300 sacos de cimento ou 7290 tijolos. Se o veículo já foi carregado com 100 sacos de cimento, quantos tijolos ainda poderão colocar?
2. O dono de uma revenda de veículos tem um total de 77 automóveis. A razão entre veículos novos e usados é de 4 : 3. Quantos são os carros novos?
3. (Enem 2011) Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de São Paulo, e uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2000 km. Um estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas duas cidades, A e B, era 8 cm. Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de:
4. (Enem 2011) Nos últimos cinco anos, 32 mil mulheres de 20 a 24 anos foram internadas nos hospitais do SUS por causa de AVC. Entre os homens da mesma faixa etária, houve 28 mil internações pelo mesmo motivo. Época. 26 abr. 2010 (adaptado).
Suponha que, nos próximos cinco anos, haja um acréscimo de 8 mil internações de mulheres e que o acréscimo de internações de homens por AVC ocorra na mesma proporção. De acordo com as informações dadas, o número de homens que seriam internados por AVC, nos próximos cinco anos, corresponderia a:
5. Analise a tabela e responda:
Padarias Números de Pães
1 pão 2 pães 5 pães 10 pães 20 pães
A R$ 0,50 R$ 1,00 R$ 2,45 R$ 4,90 R$ 10,00
B R$ 0,50 R$ 1,00 R$ 2,50 R$ 5,00 R$ 9,60
C R$ 0,49 R$ 0,98 R$ 2,45 R$ 4,90 R$ 9,60
D R$ 0,50 R$ 1,00 R$ 2,50 R$ 5,00 R$ 10,00
a) O preço é diretamente proporcional à quantidade de pães na padaria:
( )A ( )B ( )C ( ) D Justifique sua resposta.
b) A constante de proporcionalidade é igual a:
6. Analise a tabela e responda:
Carros Tempo gasto para percorrer um percurso rodando
com velocidade média.
A 60 km/h A 180 km/h
A 8 horas 2,7 horas
B 4 horas 2 horas
C 3 horas 1 hora
a) Qual dos carros percorreu o mesmo percurso com velocidade diferente? Justifique sua resposta.
b) A constante de proporcionalidade é igual a:
7. (Enem 2010) A relação da resistência elétrica com as dimensões do condutor foi estudada por um grupo de cientistas por meio de vários experimentos de eletricidade. Eles verificaram que existe proporcionalidade entre: • resistência (R) e comprimento (l), dada a mesma secção transversal (A);
• resistência (R) e área da secção transversal (A), dado o mesmo comprimento (l) e
• comprimento (l) e área da secção transversal (A), dada a mesma resistência (R).
Considerando os resistores como fios, pode-se exemplificar o estudo das grandezas que influem na resistência elétrica utilizando as figuras seguintes.
(Foto: Disponível em: http://www.efeitojoule.com. Acesso em: abr. 2010 (adaptado).
As figuras mostram que as proporcionalidades existentes entre resistência (R) e comprimento (l), resistência (R) e área da secção transversal (A), e entre comprimento
(l) e área da secção transversal (A) são, respectivamente,
a) direta, direta e direta b) direta, direta e inversa c) direta, inversa e direta
d) inversa, direta e direta e) inversa, direta e inversa
Justifique sua resposta.
8. Averigue se as grandezas x e y são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais. Justifique sua resposta.
x 2 4 6 8
y 6 8 10 12
x 1 3 5 10
y 60 20 12 6
x 1 4 5 6
y 3 12 15 18
Em caso de haver proporcionalidade indique a constante de proporcionalidade e descubra uma expressão que relacione as duas variáveis. 1ª tabela
2ª tabela
3ª tabela
9. No restaurante Asa Milanesa, o preço das asas de frango depende do número de asas que você pede.
Asas 8 16 24
Preço R$ 5,00 R$ 8,00 R$ 10,00
Seguem marcado no plano cartesiano os pares ordenados da tabela.
No restaurante Asa Milanesa, o preço das asas de frango é proporcional ao número de asas de frango pedidas? Justifique sua resposta.
10. Determine se os dados na tabela são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais. Justifique sua resposta.
x y
1 12
2 6
3 4
4 3
11. (Enem 2009) A suspeita de que haveria uma relação causal entre tabagismo e câncer de pulmão foi levantada pela primeira vez a partir de observações clínicas. Para testar essa possível associação, foram conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre esses, houve o estudo do número de casos de câncer em relação ao número de cigarros consumidos por dia, cujos resultados são mostrados no gráfico a seguir. Justifique sua resposta.
Foto: Reprodução De acordo com as informações do gráfico, a) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas inversamente proporcionais. b) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que não se relacionam. c) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas diretamente proporcionais. d) uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada com câncer de pulmão. e) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão relacionadas, mas sem proporcionalidade.
12. No dia do aniversário de Miro, os seus amigos juntos compraram um presente, sem saber ainda qual o número de pessoas que queriam participar. A tabela a seguir relaciona esse número de pessoas (n) com a quantia que cabe a cada um (q).
a) Completar a tabela.
n 2 3 5 10 12
q 18
b) Qual dos gráficos seguintes pode representar a relação entre a quantia que cabe a cada um (q) e o número de pessoas (n).
13. O tempo em horas, que se leva para encher uma caixa d'água é inversamente proporcional a vazão em m3 de água que uma torneira jorra por hora. Sabendo que a caixa fica completamente cheia com 60 m3 de água, em 12 horas, com a torneira jorrando 5m³ por hora.
Analise e responda a seguinte questão:
Qual dos gráficos abaixo representa a relação entre a vazão da torneira em m3 por hora que enche a caixa e o tempo horas que é necessário para encher a caixa? Justifique sua resposta.
(A) (B)
(C) (D)
14. O gráfico abaixo apresenta informações sobre a relação entre quantidade comprada (x) e o valor total pago (y) para um terminado produto que é comercializado para revendedores. Um comerciante que pretende comprar 2350 unidades desse produto para revender pagará, nessa compra, o valor total de:
Justifique sua resposta:
210
APÊNDICE I
Questionário investigativo
Nome: ________________________________________ Turma: ________________________________________ Data: ____/____/______________
Questionário Investigativo (pós-pesquisa)
1. Após a realização das atividades você se acha mais capaz de resolver problemas que envolvem o conceito de proporcionalidade? ( ) Sim ( ) Mais ou Menos ( ) Não Comente:
2. Em sua opinião, a utilização dos aplicativos e do software Geogebra foi: ( ) Ótima ( ) Boa ( ) Regular ( ) Ruim ( ) Péssimo ( ) Indiferente
Comente:
3. O uso dos aplicativos nas atividades ajudou no seu aprendizado? ( ) Sim ( ) Mais ou menos ( ) Não Comente:
4. De todas as atividades propostas qual foi a sua preferida? Por quê? ( ) Razão no cotidiano (Suco, néctar ou refresco) ( ) Cortando pizza em diferentes proporções ( ) Construindo conceitos (Lei de Ohm) ( ) Balançando (Gangorra) ( ) Copo descartável ( ) Função custo e receita (brigadeiro) ( ) Vazão ( ) Atividades utilizando o software Geogebra Comente:
5. Você acredita que se as aulas usassem mais a tecnologia seu interesse em aprender aumentaria? Por quê?
6. Você considera que as resoluções das atividades contribuíram para o processo de ensino e aprendizagem do tema em estudo (conceito de proporcionalidade)? ( ) Sim ( ) Não Comente:
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