um modelo para a flexÃo de placas de concreto armado
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA - UEFS
DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA - DTEC
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL E
AMBIENTAL-PPGECEA
Marcos Venicios Almeida Lima
UM MODELO PARA A FLEXÃO DE PLACAS DE CONCRETO
ARMADO UTILIZANDO A MECÂNICA DO DANO
Dissertação apresentada como parte do pré-
requisito para a obtenção do título de mestre em
ciências pelo programa de pós-graduação em
engenharia civil e ambiental
Orientador: D.Sc. José Mário Feitosa Lima
Feira de Santana – BA
2013
UM MODELO PARA A FLEXÃO DE PLACAS DE CONCRETO ARMADO
UTILIZANDO A MECÂNICA DO DANO
Marcos Venicios Almeida Lima
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO PROGRAMA DE PÓS-
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA UNIVERSIDADE
ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA, COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA
CIVIL EM AMBIENTAL.
Aprovada por:
______________________________________________
Prof. José Mário Feitosa Lima, D.Sc.
(UEFS)
______________________________________________
Prof. Michèle Cristina Resende Farage, D.Sc.
(UFJF)
______________________________________________
Prof. Paulo Roberto Lopes Lima, D.Sc.
(UEFS)
______________________________________________
Prof. Koji de Jesus Nagahama, D.Sc.
Feira de Santana, BA - Brasil.
Outubro de 2013
Ficha Catalográfica – Biblioteca Central Julieta Carteado
Lima, Marcos Venicios Almeida
L699m Um modelo para a flexão de placas de concreto armado utilizando a
mecânica do dano / Marcos Venicios Almeida Lima. – Feira de Santana,
2013.
98 f. : il.
Orientador: José Mário Feitosa Lima.
Dissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Feira de Santana,
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil e Ambiental 2013.
1. Concreto armado. 2. Mecânica do dano. 3. Diferenças finitas. I.
Lima, José Mário Feitosa, orient. II. Universidade Estadual de Feira de
Santana. III. Título.
CDU: 624.012.45
i
Resumo da Dissertação apresentada ao PPGECEA/UEFS como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
UM MODELO PARA A FLEXÃO DE PLACAS DE CONCRETO ARMADO
UTILIZANDO A MECÂNICA DO DANO
Marcos Venicios Almeida Lima
Outubro/ 2013
Orientador: José Mário Feitosa Lima
Programa: Engenharia Civil e Ambiental
Neste trabalho é apresentado um modelo para previsão do comportamento à flexão de
lajes de concreto armado, combinando o modelo de dano de Mazars, para simulação da
perda de rigidez do concreto durante o processo de fissuração, o modelo elastoplástico
perfeito na consideração do escoamento e ruptura do reforço de aço, e a Teoria Clássica
de Laminados, para reger a flexão do elemento estrutural. Uma formulação variacional
com base no princípio dos trabalhos virtuais foi desenvolvida para o modelo, sendo em
seguida tratada numericamente segundo o Método das Diferenças Finitas Energéticas,
tendo como resultado final um programa desenvolvido em Fortran. Para validar o
modelo assim proposto foram simulados, com o programa, alguns casos de lajes sob
flexão encontrados na literatura. A avaliação dos resultados obtidos nas análises
demonstrou a potencialidade do modelo, tendo em vista a boa capacidade de previsão
do comportamento de lajes sob flexão, varrendo a trajetória de equilíbrio até a ruptura
do elemento estrutural. Além da satisfatória previsão do comportamento observou-se
como aspectos positivos do modelo a sua relativa simplicidade e o número reduzido de
parâmetros experimentais necessários à modelagem.
Palavras Chave: Lajes de concreto armado, mecânica do dano, método das diferenças
finitas energéticas.
ii
Abstract of Dissertation presented to PPGECEA/UEFS as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
A MODEL FOR PLATE BENDING OF REINFORCED CONCRETE USING A
MECHANICAL OF DAMAGE
Marcos Venicios Almeida Lima
October/2013
Advisor: José Mário Feitosa Lima
Department: Civil and Environment Engineering
In this study a model for the flexural behavior of reinforced concrete slabs is shown
prediction by combining the Mazars damage model to simulate the loss of rigidity of the
concrete during the cracking process, the perfect elastoplastic model in consideration of
the flow and rupture reinforcing steel, and the Classical Theory of Laminates, to govern
the bending of the structural element. A variational formulation based on the principle
of virtual work was developed for the model, and then treated numerically according to
the Finite Difference Method Energy, with the end result a program developed in
Fortran. To validate the model were simulated proposed well with the program, some
cases of slabs in flexure in the literature. The evaluation of the results obtained in this
study demonstrated the capability of the model, in view of the good capability of the
behavior of slabs under bending prediction, sweeping the equilibrium path until failure
of the structural element. Besides the satisfactory prediction of the behavior was noted
as positive aspects of the model to its relative simplicity and the small number of
experimental parameters necessary for modeling.
Keywords: Reinforced Concrete Slabs, mechanics of damage, finite difference energy.
iii
Aos meus pais, Bartolomeu
Soares de Lima e Jandira
Fonseca de Almeida Lima, por
todo amor, carinho, apoio e
compreensão.
iv
AGRADECIMENTOS
A Deus por iluminar meus caminhos, e me dar força para vencer os momentos
de desânimo e dúvidas que surgiram ao longo desse caminho.
Ao meu irmão João Carlos pelas dúvidas tiradas, conselhos, amizade e
confiança.
Ao meu orientador José Mário Feitosa Lima pelos ensinamentos, confiança,
estímulo, compreensão e amizade.
À minha namorada Josiane Freires Gomes pelo incentivo, amor, carinho e
companheirismo e por sempre apoiar minhas decisões, mesmo quando elas não
mostravam tanta sensatez.
Aos meus amigos Alex Borges e Clélia Assis, pelos ótimos momentos de
convivência, e pela grande amizade construída aqui em Feira de Santana.
Aos meus amigos da cidade de Rodelas (em especial a toca), pela amizade
(irmandade) de tantos anos, e que com certeza se estenderá por toda a vida.
Aos meus amigos Josevan (BB), Leidiane, Ellysson e Laélson, pela amizade
também de muitos anos, por me proporcionar um convívio rodelense, a tantos
quilômetros de distância, e pelos momentos de divertimento e apoio.
Aos meus amigos do PPGECEA (em especial a Thiago Mendonça) e do curso
de engenharia civil da UEFS que compartilharam comigo das angustias e alegrias que o
ambiente acadêmico proporciona.
Aos muitos professores que tive durante minha vida, em especial a Neto e
Dadinho, por constantemente apresentarem desafios que me motivaram a esforçar-me
cada vez mais e mostrarem que o melhor caminho é o conhecimento, mesmo em uma
sociedade onde este não é tão valorizado quanto deveria.
A todos que direta ou indiretamente contribuíram para a realização do trabalho
aqui apresentado.
Por fim, agradeço a CAPES pelo apoio financeiro.
v
Quem tem consciência para ter coragem
Quem tem a força de saber que existe
E no centro da própria engrenagem
Inventa a contra mola que resiste
Quem não vacila mesmo derrotado
Quem já perdido nunca desespera
E envolto em tempestade decepado
Entre os dentes segura a primavera
(João Apolinário)
vi
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO 1
1.1 JUSTIFICATIVA 3
1.2 OBJETIVOS 4
1.2.1 Geral 4
1.2.2 Específicos 5
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 7
2.1 COMPORTAMENTO MECÂNICO DO CONCRETO 7
2.1.1 Microestrutura e fases da matriz cimentícea 7
2.1.2 Não linearidade e assimetria do comportamento à tração e à compressão do
concreto 8
2.2 BREVE EXPOSIÇÃO SOBRE MODELOS CONSTITUTIVOS PARA
CONCRETO 10
2.2.1 Modelos de Plasticidade 11
2.2.2 Modelos de fissuração 13
2.3 MECÂNICA DO DANO CONTÍNUO 14
2.3.1 Considerações Gerais 14
2.4 CONSIDERAÇÕES SOBRE O COMPORTAMENTO MECÂNICO DO
REFORÇO DE AÇO 19
2.4.1 Diagrama tensão-deformação 20
2.5 APLICAÇÃO DOS MODELOS NÃO LINEARES FÍSICOS PARA
CONCRETO NA MODELAGEM DE LAJES DE CONCRETO ARMADO 21
vii
2.5.1 Jiang e Mirza (1997) 21
2.5.2 Fernandes (1998) 23
2.5.3 Cresce (2003) 25
2.5.4 Krätzig e Pölling (2004) 26
3 MODELO DE DANO ISOTRÓPICO DE MAZARS (1984) 29
3.1 DECOMPOSIÇÃO DAS DEFORMAÇÕES PRINCIPAIS 29
3.2 DEFORMAÇÃO EQUIVALENTE 30
3.3 CRITÉRIO DE DANO 31
3.4 CÁLCULO DA VARIÁVEL DE DANO 33
4 FORMULAÇÃO ANALÍTICA DO PROBLEMA 36
4.1 SISTEMA DE REFERÊNCIA 36
4.2 HIPÓTESES CONSIDERADAS E CAMPO DE DESLOCAMENTOS 37
4.3 RELAÇÕES DEFORMAÇÃO-DESLOCAMENTO 38
4.4 RELAÇÕES CONSTITUTIVAS 40
4.5 INTEGRAIS DE TENSÕES (ESFORÇOS INTERNOS) 42
4.6 TRABALHO VIRTUAL DAS FORÇAS INTERNAS 48
4.7 TRABALHO REALIZADO PELAS FORÇAS EXTERNAS 49
4.8 APLICAÇÃO DO PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS (PTV) 50
4.9 EQUAÇÃO DIFERENCIAL E CONDIÇÕES DE CONTONO 52
5 TRATAMENTO NUMÉRICO DO PROBLEMA 54
5.1 OPERADORES DE DIFERENÇAS FINITAS ENERGÉTICAS 54
viii
5.1.1 Representação Centrada 54
5.1.2 Representação Reduzida 54
5.2 DISCRETIZAÇÃO E SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO LOCAL 55
5.3 SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO GLOBAL 58
5.4 AVALIAÇÃO DO TRABALHO VIRTUAL INTERNO 59
5.5 AVALIAÇÃO NUMÉRICA DO TRABALHO REALIZADO PELAS FORÇAS
EXTERNAS 63
5.6 INTRODUÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO 64
5.7 FLUXOGRAMA DA SOLUÇÃO INCREMENTAL – ITERATIVA BASEADA
NO MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON REGULAR 65
6 RESULTADOS E DISCUSSÕES 69
6.1 CASO 01 – LAJE SIMPLESMENTE APOIADA COM CARREGAMENTO
UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDO 71
6.2 CASO 02 – LAJE QUADRADA APOIADA NOS CANTOS, COM
CARREGAMENTO APLICADO NO CENTRO (ARMADURA INFERIOR). 77
6.3 CASO 03 – PLACA QUADRADA APOIADA NOS CANTOS COM
CARREGAMENTO APLICADO NO CENTRO (ARMADURA SUPERIOR E
INFERIOR). 81
6.4 CASO 04 – LAJE EM FLEXÃO DE QUATRO PONTOS 86
7 CONCLUSÕES 90
REFERÊNCIAS 93
ix
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 - Seção polida de um corpo de prova de concreto 7
Figura 2.2 - Representação da zona de transição e da matriz de pasta e cimento do
concreto 8
Figura 2.3 - Comportamentos típicos de tensão x deformação da pasta de cimento,
agregados e concreto 9
Figura 2.4 - Formas de evolução possíveis para os modelos plásticos 11
Figura 2.5 - Modelo Plástico e critério de falha de Chen e Chen 12
Figura 2.6 - Modelo Plástico e critério de falha Mour-Coulomb 12
Figura 2.7 - Modelos de comportamento para representar o amolecimento do Concreto13
Figura 2.8 - Elemento representativo de área S, 16
Figura 2.9 - Deformação equivalente, 17
Figura 2.10 - Abertura de fissuras secundárias entre fissuras principais em barras de
concreto armado submetidas a tração 19
Figura 2.11 - Diagrama tensão x deformação esquemático para aços dúcteis 20
Figura 2.12 - Diagrama tensão x deformação típicos para metais: a) com patamar de
escoamento b) sem patamar de escoamento 21
Figura 2.13 - Detalhamento da laje (a) vista superior (b) carregamento (c) distribuição
das armaduras 22
Figura 2.14 - Carga x deslocamento no centro da placa 23
Figura 2.15 - Diagrama Carga x Deslocamento para o modelo de plasticidade 24
Figura 2.16 - Diagrama Carga x Deslocamento para o modelo de Dano de Mazars 25
Figura 2.17 - Diagrama Carga x Deslocamento 26
x
Figura 2.18- Características da placa ensaiada 27
Figura 2.19 - DIagrams carga x deslocamento 27
Figura 3.1 - Diagrama tensão x deformação do concreto à tração 31
Figura 3.2 - Superfície de Danificação 32
Figura 3.3 - Influência dos parâmetros Ac e Bc no diagrama uniaxial à compressão 34
Figura 3.4 - Influência do εdo At e Bt no diagrama uniaxial à tração 35
Figura 4.1 - Sistema de referência 36
Figura 4.2 - Geometria de deformação da placa no plano xz 38
Figura 4.3 - Esforços internos 43
Figura 4.4 - Camadas de um laminado 44
Figura 4.5 - Carregamento da placa 50
Figura 5.1 - Função 𝒇𝒙 utilizada nas representações em diferenças finitas 55
Figura 5.2 - Malha de discretização e tipos de elementos 56
Figura 5.3 - Sistema de representação local 57
Figura 6.1 - Modelo padrão para o diagrama tensão-deformação à tração uniaxial para o
concreto 70
Figura 6.2 - Características geométricas e posicionamento do reforço 71
Figura 6.3 - Diagrama tensão x deformação para o concreto à tração 72
Figura 6.4 - Diagrama tensão x deformação para o concreto à compressão 72
Figura 6.5 - Carga x deslocamento do ponto central 73
Figura 6.6 - Deformação ao longo da espessura no ponto central da laje 75
xi
Figura 6.7 - Influência do número de camadas no comportamento carga-flecha do
elemento 76
Figura 6.8 - Modelo proposto comparado com outros modelos 77
Figura 6.9 - Características geométricas da laje estudada 77
Figura 6.10 - Diagrama tensão x deformação para o concreto à tração 78
Figura 6.11 - Diagrama tensão x deformação para o concreto à compressão 79
Figura 6.12 - Influência do número de camadas no comportamento carga-flecha do
elemento 79
Figura 6.13 - Diagrama carga x deslocamento 80
Figura 6.14 - Diagrama carga x deslocamento 80
Figura 6.15 - Deformação ao longo da espessura no ponto central da laje 81
Figura 6.16 - Características da placa em estudo 82
Figura 6.17 - Diagrama tensão x deformação para o concreto à tração 83
Figura 6.18 - Diagrama tensão x deformação para o concreto à compressão 84
Figura 6.19 - Diagrama carga x deslocamento 85
Figura 6.20 - Características geométricas da placa em estudo 86
Figura 6.21 - Diagrama tensão x deformação para o concreto à tração 87
Figura 6.22 - Diagrama tensão x deformação para o concreto à compressão 87
Figura 6.23 - Diagrama carga x deslocamento 88
Figura 6.24 - Deformação ao longo da espessura no ponto central da laje 89
xii
LISTA DE TABELAS
Tabela 2-1 - Propriedades dos materiais utilizados 22
Tabela 5-1 - Representação em Diferenças Finitas considerando o sistema de
representação local 58
Tabela 5-2-Área de cada trecho de integração 61
Tabela 5-3-Condições de contorno do problema 64
Tabela 5-4 - Condições de canto 65
Tabela 6-1 - Propriedades dos materiais utilizados 71
Tabela 6-2 - Propriedades dos materiais constituintes 78
Tabela 6-3 - Propriedades dos materiais constituintes 82
Tabela 6-4 - Propriedades dos materiais constituintes 86
1
1 INTRODUÇÃO
Placas são elementos estruturais que apresentam duas dimensões muito
maiores que a terceira (espessura), e que estão sujeitos principalmente a carregamentos
transversais à sua superfície. Esses elementos possuem aplicações diversas na
Engenharia Estrutural, como em lajes de edifícios, reservatórios, componentes
automotivos, aeronaves, navios entre outros, podendo ser compostos por diversos
materiais como: aço, polímeros ou materiais compósitos. Por este motivo torna-se
importante o conhecimento prévio do comportamento estrutural, para uma utilização
segura e econômica da estrutura.
A esse respeito verifica-se que várias teorias foram desenvolvidas ao longo dos
anos. A primeira foi proposta por Kirchhoff em 1850, que a partir de uma série de
hipóteses simplificadoras (entre estas a adoção de pequenas deformações e pequenos
deslocamentos) representou, através de uma equação diferencial de quarta ordem, o
comportamento de placas esbeltas submetidas a carregamentos transversais. Exatamente
por ser a precursora nesse tipo de estudo essa teoria ficou conhecida como Teoria
Clássica de Flexão de Placas. Posteriormente, em 1945, Reissner, e em 1951, Mindlin,
desenvolveram teorias sobre a flexão de placas chegando a equações diferenciais que,
diferentemente da teoria de Kirchhoff, levam em consideração as deformações por
cisalhamento, estendendo a sua aplicação para placas com maiores espessuras.
É possível agregar a essas formulações o conceito de estratificação da placa em
camadas para, dessa forma, possibilitar a análise de placas compostas por mais de um
material, e/ou reforçadas com fibras. Dentro desse escopo pode-se citar a Teoria
Clássica de Laminados (TCL) e a Teoria de Primeira Ordem de Laminados (TPOL),
respectivamente, que acresceram o conceito de estratificação em camadas as teorias de
Kirchhof e Mindlin, respectivamente.
Como é de conhecimento geral, juntamente com a geometria de deformação do
elemento, o comportamento mecânico do material influencia no comportamento do
sistema como um todo. Cada material possui características mecânicas distintas
influenciadas por suas ligações químicas, existência e propagação de defeitos, utilização
de reforço dentre outros fatores. Dessa forma a escolha do modelo associado ao material
2
torna-se preponderante na precisão dos resultados obtidos em uma análise. Um material
amplamente utilizado na construção civil é o concreto, que consiste na inclusão de
agregados em uma matriz cimentícia. Sua capacidade de se moldar as mais diversas
formas entra em conformidade com o caráter único dos produtos gerados pela indústria
da construção civil, embora a utilização de elementos pré-moldados de concreto
também venha crescendo nos últimos tempos. Ao concreto geralmente são incorporadas
fibras longas de forma a aumentar sua resistência e/ou tenacidade. As fibras mais
utilizadas são fibras de aço (Concreto Armado), porém também vem sendo utilizadas e
estudadas fibras poliméricas, cerâmicas e vegetais. Para alguns casos são incorporadas
fibras curtas de forma a possibilitar uma múltipla fissuração do concreto, aumentando
sua durabilidade, tenacidade e resistência ao impacto.
Por possuir um comportamento influenciado diretamente pela pré-existência e
surgimento de micro fissuras além da alta heterogeneidade, o concreto apresenta
variabilidade em seu comportamento, o que para Álvares (1993) dificulta a obtenção de
modelos de comportamento completos e simples. Os primeiros modelos de análise para
lajes de concreto (simples ou reforçado) consideravam apenas o seu comportamento
linear físico e a existência de um único material, o concreto, este considerado como
homogêneo e isotrópico, desconsiderando assim, a influência do reforço no
comportamento do elemento em questão, como mostra o trabalho de Czerny, que,
baseado na Teoria Clássica desenvolveu um conjunto de tabelas que fornecem valores
de momentos fletores, reações de apoio e deslocamentos transversais em função da
geometria, carregamento e condições de apoio da placa (laje). Esse modelo é capaz de
fornecer bons resultados para pequenas adições de reforço, em lajes sujeitas a pequenas
deformações e deslocamentos.
Nos últimos anos muitas pesquisas têm sido desenvolvidas com o objetivo de
apresentar modelos para o comportamento não linear físico do concreto. Revisões
detalhadas sobre os vários modelos adotados podem ser encontradas em Álvares (1993)
e Penna (2011), sendo os de maior destaque aqueles baseados na Teoria da Plasticidade
e na incorporação do processo de fissuração do concreto. Quanto à aplicação desses
modelos à flexão de lajes de concreto armado, constata-se certa carência de trabalhos,
quando se compara com a literatura de mesmo fim voltada às vigas de concreto armado.
Entre os encontrados destacam-se: Jiang e Mirza (1997), que modelaram placas
3
retangulares de concreto armado através de uma formulação envolvendo o método dos
elementos finitos e um modelo elastoplástico desenvolvido por Pietruszczak, Jiang e
Mirza (1988); Fernandes (1998), que modelou lajes de concreto armado por duas
alternativas, ora baseando-se em um modelo de plasticidade, ora utilizando o modelo de
dano de Mazars (1984), e em ambos os casos através do método dos elementos de
contorno; Cresce (2003), que modelou placas de concreto armado utilizando para o
concreto o modelo de dano de Mazars (1986) e um modelo elastoplástico uniaxial com
endurecimento para as armaduras, também com base no método dos elementos de
contorno, porém combinando com o método dos elementos finitos; Krätzig e Pölling
(2004) que modelaram placas de concreto armado utilizando um modelo de Mecânica
do Dano; Bandeira (2006), que modelou lajes de concreto armado utilizando o
programa comercial Diana utilizando diversos modelos baseados na Mecânica da
Fratura; e Zhang, Bradford e Gilbert (2007), que modelaram lajes de concreto armado,
considerando a não linearidade física do material através de um modelo elastoplástico
perfeito com posterior amolecimento para o concreto à compressão utilizando o método
dos elementos finitos.
1.1 JUSTIFICATIVA
A análise do conjunto de resultados obtidos por estes autores revela que tanto
os modelos baseados na Mecânica do Dano, a exemplo dos utilizados por Fernandes
(1998) e Krätzig e Pölling (2004) quanto os demais, baseados na Teoria da Plasticidade,
apresentam-se como uma boa alternativa. Portanto, visando apresentar uma contribuição
ao tema aqui focalizado propõe-se a geração de um modelo de flexão de placas de
concreto armado combinando a Teoria Clássica de Laminados com o modelo de dano
de Mazars (1984), em função tanto dos bons resultados obtidos por Fernandes (1998)
quanto por se considerar que esse modelo de dano ainda não foi suficientemente
explorado pelos poucos autores que o utilizaram no caso de placas. Cabe ressaltar que
outra razão para a adoção desse modelo de dano é o fato de requerer poucos parâmetros
experimentais, todos de obtenção relativamente simples.
Acrescenta-se ainda, como justificativa, os bons resultados relatados por alguns
autores no estudo de vigas de concreto armado, a exemplo de Álvares (1993), Sanches e
Venturini (2007) e Santos (2009), este último fruto de uma linha de pesquisa do
4
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil e Ambiental da UEFS, que modelou
vigas de concreto armado utilizando um modelo combinando a variável de dano de
Mazars (1984) e uma formulação para vigas laminadas, considerando a não linearidade
geométrica (no âmbito de rotações moderadas) e os efeitos de cisalhamento (Teoria de
Viga de Timoshenko), obtendo bons resultados no confronto com diversas respostas
experimentais.
Cabe informar, em relação aos materiais constituintes da placa, que o reforço
(aço) será modelado como um material elástoplástico perfeito, assumindo patamares de
escoamento idênticos à tração e à compressão. Tal escolha está perfeitamente
enquadrada nos trabalhos acima mencionados.
O uso da Teoria de Laminados, por possibilitar incorporar e combinar materiais
distintos, também se destacou em alguns dos modelos acima estudados, sendo natural a
sua adoção na presente proposta. Além disso, a utilização da Teoria de Laminados
permite a consideração de lâminas formadas por materiais ortotrópicos, o que possibilita
alterar a rigidez do material em duas direções de forma distinta, acarretando em uma
maior facilidade de inserção do reforço. Cabe ainda evidenciar como uma vantagem do
emprego dessa teoria, que a divisão da placa em lâminas permite a detecção de fissuras
em vários pontos da placa.
Por fim, ainda com base na linha de pesquisa já evidenciada anteriormente,
será escolhido o método das diferenças finitas energéticas para tratar as equações
oriundas da aplicação do princípio dos trabalhos virtuais ao modelo ora proposto, tendo
em vista os bons resultados obtidos por alguns autores na aplicação desse método
computacional a problemas de flexão de placas como Graça (2000), Lima (2010) e
Santos (2013) e de flexão de vigas, a exemplo de Lima (2004) e Neves (2012).
1.2 OBJETIVOS
1.2.1 Geral
Apresentar um modelo de flexão de placas de concreto armado, baseado na
Teoria Clássica de Laminados e no modelo de dano isotrópico de Mazars (1984).
5
1.2.2 Específicos
a) Verificar a validade do modelo proposto na previsão do comportamento à
flexão de placas de concreto armado de geometria retangular;
b) Apresentar uma ferramenta computacional segundo o método das diferenças
finitas energéticas, para proceder à análise de placas retangulares de concreto armado.
Com base na exposição acima, conclui-se que a pesquisa aqui desenvolvida
pode ser classificada como tipicamente exploratória, com caráter teórico-experimental.
Sua parte teórica consistirá no desenvolvimento de uma formulação para a flexão de
placas de concreto armado. A outra parte diz respeito aos experimentos numérico-
computacionais, qual seja a simulação computacional das equações geradas para o
modelo, associadas ao princípio variacional, quando aplicadas aos diversos casos
estudados durante a fase de validação. Portanto, visando atingir os objetivos da
pesquisa, o trabalho foi desenvolvido em etapas ordenadas, quais sejam:
1) A primeira diz respeito aos estudos iniciais relacionados ao tema,
efetivada através de uma revisão bibliográfica, visando primeiramente estabelecer o
estado da arte atual e, em seguida, apontar os caminhos para a solução do problema em
estudo. Portanto, esta fase foi materializada no Exame de Qualificação ao mestrado.
Nesse sentido, considerando-se o exposto nos capítulos 1 e 2 do presente texto, após a
realização dos estudos da literatura ficou definida a opção de se apresentar um modelo
para flexão de lajes de concreto armado, formulado através da combinação da Teoria
Clássica de Laminados com o modelo de dano escalar de Mazars (1986), utilizando-se
como princípio variacional o princípio dos trabalhos virtuais (PTV). O desenvolvimento
dessa formulação analítica está apresentado no Capítulo 4, cabendo observar que, como
uma consequência natural da aplicação do procedimento variacional, foram instituídas
para o modelo proposto, as equações diferenciais e as respectivas condições de
contorno.
2) Na segunda etapa foi desenvolvido o tratamento numérico do problema,
através da formulação computacional via método das diferenças finitas energéticas. Para
tanto, o primeiro passo foi a escolha das representações em diferenças finitas para as
derivadas dos deslocamentos presentes nas equações associadas ao trabalho interno e
externo, do PTV, e a respectiva discretização do domínio da placa, sob a forma de
6
trechos de integração. Em seguida foram geradas as expressões numéricas para o
cômputo dos trabalhos interno e externo do PTV e as expressões associadas às
condições de contorno. Finalmente, por conta da consideração da não linearidade física
dos materiais envolvidos na constituição da placa de concreto armado, foram
estabelecidas as equações numéricas de equilíbrio a serem satisfeitas no âmbito do PTV,
para cada nível de carga dentro do processo incremental-iterativo ( Newton-Raphson ou
controle de deslocamentos). Todo esse estudo está detalhado no Capítulo 5
3) A terceira etapa envolveu o desenvolvimento do programa em linguagem
Fortran baseado na formulação desenvolvida na etapa anterior
4) A última etapa referiu-se à validação do modelo teórico-computacional
em estudo, através da simulação de lajes estudadas experimentalmente, conforme
estudos registrados na literatura, com o programa construído na etapa anterior. De fato,
validou-se o modelo a partir de resultados carga-deslocamento oriundos de situações
diversas de carregamento, condições de apoio e taxas de reforço, ampliando assim as
condições de aferição do modelo.
Para finalizar o presente capítulo cabe mencionar que, dado o escopo da
pesquisa, esta foi realizada em grande parte no Laboratório de Mecânica Computacional
(LAMEC) do Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil e Ambiental da
Universidade Estadual de Feira de Santana.
7
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Neste capítulo é apresentado de forma resumida o embasamento teórico
levantado para o desenvolvimento da pesquisa, englobando alguns conceitos que
influenciam nas propriedades mecânicas do concreto, apreciadas no modelo de dano
contínuo. Apresenta ainda uma breve revisão sobre alguns modelos para
comportamento do concreto, e o modelo utilizado para a modelagem do reforço
metálico.
2.1 COMPORTAMENTO MECÂNICO DO CONCRETO
2.1.1 Microestrutura e fases da matriz cimentícea
O concreto é um material compósito, macroscopicamente constituído por uma
matriz cimentícia com inclusões de agregado graúdo, como pode ser observado na
figura a seguir:
Figura 2.1 - Seção polida de um corpo de prova de concreto
FONTE: Mehta e Monteiro (2008)
Em âmbito microscópico a complexidade da estrutura de concreto se torna
mais evidente. Primeiramente é notado que existe uma Zona de Transição entre o
agregado graúdo e a matriz cimentícia. Mehta e Monteiro (2008) relatam que esta fase é
normalmente mais fraca que as outras duas fases constituintes, sendo caracterizada
como um ponto de fragilidade para o concreto, apresentando então, grande importância
8
nas características mecânicas do mesmo. Além disso, cada uma das três fases possui sua
própria heterogeneidade. O agregado, por exemplo, pode ser composto por vários
minerais e microfissuras. Já a matriz e zona de transição possuem diversas fases sólidas
como o hidróxido de cálcio, etringita e CSH (Silicatos de Cálcio Hidratado) entre
outros, existentes em proporções distintas, além de poros e fissuras pré-existentes. Esta
microestrutura complexa é responsável por diversas características peculiares
apresentadas pelo concreto, as quais serão discutidas mais adiante.
2.1.2 Não linearidade e assimetria do comportamento à tração e à compressão
do concreto
Mehta e Monteiro (2008) explicam que durante o processo de hidratação filmes
de água se acumulam nas proximidades do agregado graúdo, fazendo com que a relação
água/cimento seja maior nessa região do que nas demais. Devido à maior relação
água/cimento, os cristais de hidróxido de cálcio e etringita formados apresentam
tamanhos maiores nessa área, o que corrobora para uma maior porosidade na região,
como pode ser observado na Figura 2.2.
Figura 2.2 - Representação da zona de transição e da matriz de pasta e cimento do concreto
FONTE: Mehta e Monteiro (2008)
De acordo com a ciência e engenharia dos materiais, a resistência de um
material está relacionada com a pré-existência de defeitos e descontinuidades. Nos
9
materiais cimentícios estes defeitos e descontinuidades são representados pelas fissuras
pré-existentes. O fato da zona de transição possuí-los em maior número, quando
comparado com a matriz cimentícia e agregado, faz com que a mesma seja a fase de
menor resistência presente no concreto. A partir disso, pode-se observar que a zona de
transição caracteriza-se como a região limitante para a resistência e rigidez do material
compósito. Santos (2009) salienta que a zona de transição está presente não somente na
interface entre matriz e agregados, como em qualquer inclusão no mesmo, como por
exemplo, na interface entre a fibra e matriz.
Os materiais compósitos têm como principal característica possuírem
propriedades intermediárias entre seus materiais constituintes. O concreto como um
material compósito apresenta rigidez situada entre seus constituintes: agregado e matriz,
como pode ser observado na Figura 2.3. Porém, algumas características do diagrama
tensão-deformação do concreto diferenciam-se demasiadamente do apresentado pelos
seus materiais constituintes de forma isolada.
Figura 2.3 - Comportamentos típicos de tensão x deformação da pasta de cimento, agregados e
concreto
FONTE: Mehta e Monteiro (2008)
É sabido que tanto a matriz cimentícia quanto o agregado, quando ensaiados à
compressão, apresentam comportamento geralmente linear elástico até a ruptura, já o
concreto apresenta um comportamento não linear e inelástico (Figura 2.3). Esse
fenômeno existe devido ao concreto ser composto por materiais com diferentes
10
resistências e rigidezes, o que para Mehta e Monteiro (2008) gera um processo de
microfissuração progressiva.
Por possuir maior fragilidade, a zona de transição acaba desempenhando um
papel importante neste aspecto, pois a partir de 30% da carga última essa começa a
apresentar aumento na quantidade, tamanho e abertura das microfissuras, possibilitando
maiores deformações para o mesmo nível de carga, o que macroscopicamente é
observado através da redução da inclinação do diagrama tensão-deformação do concreto
(não linearidade). Somente a 70% da carga última é que se inicia o processo de
fissuração da matriz, provocando uma nova mudança de inclinação no diagrama, e
culminando na ruptura do material quando as fissuras da matriz unem-se às existentes
na zona de transição. Este fenômeno explica também a menor resistência do concreto
quando comparada aos seus constituintes (Figura 2.3).
Algumas propriedades mecânicas do concreto, como módulo de elasticidade e
coeficiente de Poisson são equivalentes para o material sobre tensões de tração ou
compressão, porém sua resistência e forma do diagrama tensão-deformação são
distintas. Para Callister (2000) essa é uma característica comum de materiais frágeis,
como, por exemplo, os cerâmicos onde a ruptura ocorre pela propagação de trincas,
característica também válida para o concreto. A explicação para tal fenômeno está na
necessidade de maior energia para criação e propagação de trincas, em carregamentos à
compressão do que à tração. Esse efeito, juntamente com a existência de pontos de
discordâncias (zona de transição), confere ao concreto um comportamento
aproximadamente dúctil à compressão e frágil à tração.
2.2 BREVE EXPOSIÇÃO SOBRE MODELOS CONSTITUTIVOS PARA
CONCRETO
Os modelos mais conhecidos para a modelagem do comportamento mecânico
do concreto são os baseados na teoria de plasticidade e os modelos de fissuração.
11
2.2.1 Modelos de Plasticidade
Os modelos de plasticidade foram desenvolvidos inicialmente com o objetivo
de representar o comportamento de materiais dúcteis, principalmente os metais,
incorporando a resposta não linear do material, causada pelo movimento de
discordâncias em sua rede cristalina. Embora o comportamento não linear do concreto
ocorra devido à propagação de fissuras, e não pelo movimento de discordâncias, muitos
modelos para este material foram desenvolvidos com base nas teorias de plasticidade,
pois macroscopicamente o concreto apresenta comportamento próximo ao de materiais
dúcteis.
Segundo Penna (2011) para formular um modelo plástico é necessário seguir
os seguintes passos:
Separar as etapas elásticas e plásticas do material, e dessa forma a
deformação do material 휀𝑖𝑗 será expressa pela soma de suas parcelas
elásticas 휀𝑖𝑗𝑒 e plásticas 휀𝑖𝑗
𝑝;
Definir uma lei elástica, um critério de escoamento (ou falha);
Definir uma lei para o ramo plástico do material que pode ser do tipo
endurecimento, perfeita ou amolecimento. Na Figura 2.4 são
apresentadas as possíveis formas de evolução dos modelos de plasticidade
para o caso uniaxial.
Figura 2.4 - Formas de evolução possíveis para os modelos plásticos
FONTE: Penna (2011)
Os modelos de plasticidade para concreto que consideram a regra de
endurecimento são utilizados para descrever o comportamento anterior ao pico de
12
tensão do concreto à compressão, onde se consegue ganho de tensão com o aumento das
deformações. Muitos modelos foram desenvolvidos com essa premissa, dentre eles
pode-se citar a titulo de exemplo, o de Chen e Chen (Figura 2.5) e Mour-Coulomb
(Figura 2.6). Observa-se que os modelos apresentados também podem representar
comportamento à tração do material.
Figura 2.5 - Modelo Plástico e critério de falha de Chen e Chen
FONTE: Santos (2009)
Figura 2.6 - Modelo Plástico e critério de falha Mour-Coulomb
FONTE: Santos (2009)
No trecho posterior ao pico de tensão o concreto apresenta o comportamento de
amolecimento, com característica perda de rigidez e declividade negativa no diagrama
tensão-deformação do material. Na Figura 2.7 são apresentados três modelos para
13
representação do comportamento do concreto. Santos, 2009 destaca que dentre estes
modelos o sólido elastoplástico não representa a perda de rigidez do concreto pelo
processo de fissuração, e que o modelo de fraturamento progressivo possui similaridade
com o modelo de dano que será apresentado a seguir.
Figura 2.7 - Modelos de comportamento para representar o amolecimento do Concreto
FONTE: Santos (2009)
2.2.2 Modelos de fissuração
Os modelos ditos de fissuração têm como principais os baseados na Mecânica
da Fratura e na Mecânica do Dano. Os modelos inseridos nessa filosofia incorporam a
alteração no comportamento do material ocasionada pelo surgimento e propagação de
fissuras, e podem ser divididos em dois principais tipos: os de modelagem discreta das
trincas; e os de fissuração distribuída (PENNA, 2011). O primeiro consiste em assumir
que, após a tensão última ser atingida, surge uma descontinuidade geométrica,
acarretando na sua inserção na geometria do elemento. Já o segundo tipo baseia-se na
degradação das propriedades do material em função do surgimento de fissuras. Essas
14
propriedades são então modificadas (reduzidas) por um conjunto de parâmetros que
interferem na rigidez do material a depender do nível de fissuração. A Mecânica do
Dano Contínuo está inserida nos modelos de fissuração distribuída, porém,
diferentemente do que é apresentado na Mecânica da Fratura, a Mecânica do Dano
considera que ainda existirá continuidade no meio, mesmo após o início da fissuração,
não possuindo então associação direta com a definição do tipo de trinca desenvolvido, o
que a coloca de certa forma entre a Mecânica da Fratura e a Teoria da Plasticidade, por
possuir princípios teóricos parecidos com a primeira, porém com uma abordagem no
diagrama tensão-deformação e superfície de ruptura, compatíveis com a segunda.
2.3 MECÂNICA DO DANO CONTÍNUO
2.3.1 Considerações Gerais
Conforme apresentado por Fernandes (1998) o conceito de dano surgiu no final
de década de 50 com o trabalho de Kachanov, que estudou metais sujeitos a altas
temperaturas e carregamentos elevados. Esse autor propôs que falhas de fluência
ocorridas no material após ciclos longos de carregamento ocorriam pela existência de
microfissuras entre outros defeitos, propondo então, um parâmetro para caracterizar o
estado do material. Esse parâmetro varia de 0 a 1, sendo 1 para o material íntegro e 0
para o material completamente danificado, podendo ser aplicado diretamente na
relações tensão-deformação do material.
Para o concreto, os modelos de dano podem ser divididos em isotrópicos, onde
a variável de dano é representada por uma ou duas variáveis escalares (tração e
compressão), e anisotrópicos, onde a variável de dano é representada por um tensor.
Entre os isotrópicos destaca-se o modelo de dano de Mazars (1984), por apresentar uma
formulação relativamente simples, que consiste em quantificar o dano através de uma
variável escalar medida em função das deformações principais positivas (tração),
requerendo para tanto a obtenção de cinco parâmetros experimentais de fácil obtenção,
já que são determinados diretamente do diagrama tensão-deformação completo do
concreto (tração e compressão).
15
Outros modelos isotrópicos são encontrados na literatura. Dentre eles:
Chaboche (1988), Lublineret al (1989), citados por Voyiadjis, Taqieddin e Kattan
(2008), Mazars e Pijaudier-Cabot (1989), Mazars e Pijaudier-Cabot (2001) e Wu. et AL
(2006). Porém, após o processo de fissuração, o concreto passa a ter comportamento
anisotrópico, o que faz com que muitos fenômenos não sejam levados em consideração
como, por exemplo, a resposta do material as tensões cisalhantes (FICHANT,
PIJAUDIER-CABOT E LA BORDEIRE,1997). Com o objetivo de se levar esses
fenômenos em consideração, alguns modelos anisotrópicos foram desenvolvidos, dentre
eles, os trabalhos de: LaBorderie, Mazars&Pijaudier-Cabot (1991), Mazars e Pijaudier-
Cabot (2001), Voyiadjis, Taqieddin,Kattan (2008), Pavan, Creus e Maghous (2009) e
Pituba (2010).
Os motivos que levam o material ao processo de dano podem ser os mais
variados. Sendo assim, Santos (2009) cita uma série de tipos de dano, como o dano por
fluência, por plasticidade, por fadiga, por corrosão e por fim o dano do concreto. De
forma a entender de maneira simplificada o conceito de dano contínuo observa-se a
Figura 2.8, na qual se mostra um sólido do qual é retirado um elemento representativo
de área S, que deve ter a capacidade de representar os defeitos presentes no sólido como
um todo.
Se 𝑆 é a área efetiva, ou seja, a área total menos os defeitos pode-se dizer que:
𝑆0 = 𝑆 − 𝑆 (2.1)
onde 𝑆0 é a área de defeitos.
16
Figura 2.8 - Elemento representativo de área S,
FONTE: Álvares (1993)
Considerando que o elemento deve possuir continuidade geométrica, pode-se
aplicar o limite:
𝜔 = lim𝑠→0
𝑆0𝑆
(2.2)
que fornece então uma medida para o dano que varia de 0 a 1, tendo 0 (zero) como valor
totalmente íntegro e 1 (um) como totalmente degradado. A partir do explicitado
anteriormente, pode-se chegar ao conceito de tensão efetiva escrevendo a área efetiva 𝑆
em função do parâmetro 𝜔:
𝑆 = 𝑆(1 − 𝜔) (2.3)
e substituindo na expressão de tensão tem-se:
𝜎 =𝐹
𝑆=
𝐹
𝑆(1 − 𝜔)→ 𝜎 =
𝜎
(1 − 𝜔)
(2.4)
17
onde:
𝜎 é a tensão efetiva no material danificado;
𝜎 é a tensão no material integro.
Observa-se que a partir do processo de danificação do material a tensão efetiva
que atua no elemento aumenta gradativamente tendendo ao infinito quando o material se
aproxima da total danificação, o que é perfeitamente aceitável considerando que uma
redução de área gera aumento de tensões.
A variável de dano pode ser associada também com a rigidez do material. Para
tanto, a hipótese de deformação equivalente proposta por Lemaitre e Chaboche em 1985
deve ser considerada. Essa hipótese considera que o estado de deformação do material
danificado é equivalente ao obtido na seção íntegra substituindo a tensão usual pela
tensão efetiva, conforme ilustrado a seguir:
Figura 2.9 - Deformação equivalente,
FONTE: Adaptado de CRESCE(2003)
Dessa forma:
휀 =𝜎
𝐸=
𝜎
𝐸(1 − 𝜔)
(2.5)
onde 𝐸 é o módulo de elasticidade da seção íntegra. Por outro lado, a deformação
também pode ser expressa da seguinte forma:
18
휀 =𝜎
�� (2.6)
onde �� é o módulo de elasticidade longitudinal da seção danificada.
Associando as equações (2.5) e (2.6) chega-se à seguinte relação entre os
módulos de elasticidade:
�� = 𝐸(1 − 𝜔) (2.7)
Esse modelo é interessante, pois torna possível, através do gráfico tensão-
deformação do material ensaiado, encontrar o nível de danificação para determinada
deformação, podendo-se posteriormente utilizar esse fator para determinar a redução de
rigidez do mesmo em uma simulação de comportamento.
Outro ponto importante a ser considerado é a forma como ocorre a redução da
rigidez ao cisalhamento. Alguns autores como Fichant, Pijaudier-Cabot e La Bordeire
(1997) e Pituba (2010), consideram que os Modelos de Dano Isotrópico não
representam de forma satisfatória a perda de Rigidez ao cisalhamento, por
implicitamente associá-la às deformações extensionais. Porém, em modelagens
computacionais, verifica-se que em vigas normalmente armadas e pouco armadas o
efeito da perda de rigidez ao cisalhamento não é significativo, como mostram os
resultados de Santos (2009) e do próprio Pituba (2010), fazendo com que a suposição,
de que o módulo de rigidez transversal permanece associado ao módulo de Rigidez
longitudinal, através da fórmula 𝐺 =𝐸
2(1+𝜐), ou simplesmente a desconsideração de sua
perda de rigidez após o início da fissuração possibilite bons resultados. Porém para
alguns casos de lajes, tal efeito torna-se preponderante na previsão do seu
comportamento.
Observando o mecanismo de fissuração das vigas de concreto, percebe-se que,
por se tratar de um problema uniaxial, existe a predominância do dano por tração,
caracterizado por abertura de fissuras na direção da aplicação da tensão, enquanto que
em placas (problema biaxial) o dano é formado pela composição entre os danos por
tração e por compressão representado pela abertura de fissuras na direção perpendicular
19
à aplicação da tensão), o que gera a suspeita de que a perda de rigidez transversal não
pode ser relacionada aos alongamentos causados por tensões de compressão a partir da
relação apresentada anteriormente.
De fato, em alguns trabalhos, como em Crisfield (1982) e Zhang, Bradford e
Gilbert (2007), a redução do módulo de elasticidade transversal é associada ao diagrama
tensão-deformação de tração do concreto. Portanto, considerando os poucos trabalhos
encontrados na literatura versando sobre análise de placas com considerações a respeito
desse tema, será realizada uma investigação da validade dessas propostas no Capítulo 6
da presente pesquisa.
2.4 CONSIDERAÇÕES SOBRE O COMPORTAMENTO MECÂNICO DO
REFORÇO DE AÇO
Fibras longas atuam como meio de redistribuição de tensões ao longo da
matriz, possibilitando o processo de múltipla fissuração (Figura 2.10), melhorando
assim as características de tenacidade do material, além de contribuir com a absorção
dos esforços. Dessa forma a incorporação de reforço adicional surge como uma
alternativa para melhorar a resistência do concreto, em especial, à tração, porém sua
incorporação também melhora as resistências à compressão e ao cisalhamento do
material.
Figura 2.10 - Abertura de fissuras secundárias entre fissuras principais em barras de concreto
armado submetidas a tração
20
FONTE: LEONHARDT (2003)
Na construção civil, o reforço mais utilizado é o aço, sendo adequado por
possuir elevada resistência, um coeficiente de expansão térmica similar ao concreto, boa
durabilidade quando inserido em meios alcalinos e boa adesão à matriz (CALLISTER,
2000). Esse reforço pode ser incorporado através de malhas ou barras, sendo que na
construção civil os meios mais comuns são as barras.
2.4.1 Diagrama tensão-deformação
As ligas de aço são caracterizadas por um comportamento mecânico dúctil no
diagrama tensão-deformação (Figura 2.11), o qual está associado ao tipo de ligações
químicas e ao movimento de discordâncias. A depender do processo de conformação do
aço (conformado a quente ou a frio) entre outros fatores, os aços podem apresentar ou
não um patamar de escoamento bem definido, como é exemplificado na Figura 2.12.
Figura 2.11 - Diagrama tensão x deformação esquemático para aços dúcteis
21
Figura 2.12 - Diagrama tensão x deformação típicos para metais: a) com patamar de escoamento b)
sem patamar de escoamento
Para o modelo apresentado neste trabalho, será considerado para o aço um
comportamento elastoplástico perfeito, que consiste em admitir o material como linear
até a deformação de início de escoamento, mantendo a partir desde momento a tensão
constante até uma deformação última, onde a rigidez do material é então reduzida a
zero. Cabe ressaltar que esta escolha teve por base a ampla utilização por outros autores
como Fernandes (1998), Bandeira (2006), e inclusive em trabalhos oriundos do próprio
PPGECEA, como Santos (2009) e Neves (2012), todos esses autores relatando o
alcance de bons resultados
2.5 APLICAÇÃO DOS MODELOS NÃO LINEARES FÍSICOS PARA
CONCRETO NA MODELAGEM DE LAJES DE CONCRETO ARMADO
Neste item serão apresentados resultados obtidos por alguns autores que
utilizaram modelos não lineares físicos na análise de lajes de concreto armado, bem
como suas conclusões a respeito da utilização.
2.5.1 Jiang e Mirza (1997)
Esses autores criaram um modelo discreto em elementos finitos de uma laje e
suas armaduras, de forma a considerar os efeitos de deslizamento e aderência entre as
interfaces. Para a modelagem do material, utilizaram para o concreto o modelo
elastoplástico com amolecimento de Pietruszczak et al. (1968). Já para as armaduras
consideraram uma relação tensão-deformação uniaxial, admitindo o comportamento das
armaduras similar ao de uma viga. Para a validação foi simulada uma laje simplesmente
apoiada ensaiada experimentalmente por Taylor, Mather e Hayes (1966). A placa possui
22
armaduras com diâmetro de 4,76 mm nas duas direções, mas com espaçamentos
distintos. As características da laje estudada são mostradas na Figura 2.13, e as
propriedades dos materiais utilizados estão na Tabela 2-1.
Figura 2.13 - Detalhamento da laje (a) vista superior (b) carregamento (c) distribuição das
armaduras
FONTE: Jiang e Mirza (1993)
Tabela 2-1 - Propriedades dos materiais utilizados
Concreto Aço
E 32,42 GPa E 206,91 GPa
ν 0,18 fy 375,90 MPa
fC 35,04 MPa
fT 3,60 Mpa
Os resultados carga-deslocamento obtidos (Figura 2.14) mostram a capacidade
do modelo de acompanhar os resultados experimentais, desde a fase linear até a fase
final do experimento, possuindo diferença significativa, apenas pelo registro de uma
etapa de amolecimento logo após a fase linear, não presente no resultado experimental
de referência.
23
Figura 2.14 - Carga x deslocamento no centro da placa
FONTE: Jian e Mirza (1993)
Cabe antecipar que este mesmo problema foi modelado no presente trabalho,
figurando como Caso 01, conforme será visto no Capítulo 6.
2.5.2 Fernandes (1998)
A autora desenvolveu uma formulação linear para placas, baseada na teoria
clássica de Kirchhoff (1850), através do método dos elementos de contorno, e a
estendeu para a análise não linear de placas de concreto armado, através de dois
modelos constitutivos, um elastoplástico com encruamento isotrópico negativo e outro
baseado no modelo de dano de Mazars.
Para fins de validação dos modelos foi estudada uma placa quadrada,
simplesmente apoiada, com carga aplicada no centro. Para o modelo elastoplástico foi
utilizado um refinamento de malha de 8 e 16 elementos. Já para o modelo de dano de
Mazars, foi adotado um refinamento de 8 elementos, porém considerando diferentes
limitações para a variável de dano. Os resultados para a deflexão no centro da placa
24
apresentados pela autora para o modelo elastoplástico e de Dano estão apresentados nas
Figura 2.15 e Figura 2.16, respectivamente.
Observa-se que o modelo de dano apresenta resultados mais precisos que o
obtido para o modelo elastoplástico, tanto para a fase linear, quanto na percepção do
inicio da danificação do material. A autora concluiu que embora os modelos estudados
sejam simples tendem a obter boas respostas, principalmente à medida que se refina a
malha. Por fim, a autora constata o potencial do uso dos modelos de dano, sugerindo
que o uso de modelos mais complexos apresentariam respostas mais precisas. Cabe
ressaltar que para a obtenção de resultados mais precisos foi necessária a limitação da
variável de dano, proporcionando uma rigidez adicional ao material, o que se pode fazer
necessário por razões do módulo de elasticidade transversal, que aparentemente foi
alterado proporcionalmente a redução do módulo de elasticidade longitudinal.
Figura 2.15 - Diagrama Carga x Deslocamento para o modelo de plasticidade
FONTE: Fernandes (1998)
25
Figura 2.16 - Diagrama Carga x Deslocamento para o modelo de Dano de Mazars
FONTE: Fernandes (1998)
2.5.3 Cresce (2003)
Nesse trabalho o autor desenvolveu uma formulação não linear para lajes de
pavimentos de concreto armado, baseada na Teoria de Reissner e no acoplamento do
método dos elementos finitos e método dos elementos de contorno. Para o
comportamento do concreto foi considerado o modelo de dano de Mazars, e para o aço
um modelo elastoplástico perfeito.
Para a validação, o autor simulou uma laje quadrada ensaiada
experimentalmente por Campos (2000), com vão de 4 m e espessura de 7 cm, com
armaduras de diâmetro de 5,0 mm dispostas a cada 20 cm nas duas direções. Os valores
para deslocamento no centro da placa são apresentados na Figura 2.17 a seguir:
26
Figura 2.17 - Diagrama Carga x Deslocamento
FONTE CRESCE (2003)
Avaliando-se a Figura 2.17, observa-se a boa capacidade de previsão da parte
linear da resposta experimental, e da detecção do início do processo de danificação.
Porém, após esse ponto, passa a existir uma divergência entre o resultado experimental
e o teórico.
2.5.4 Krätzig e Pölling (2004)
Os autores simularam o comportamento carga-deslocamento no centro de uma
placa com as características mostradas na Figura 2.18, e compararam com o resultado
experimental obtido por Jofriet e McNeice (1971). Para a modelagem, os autores
consideraram para o aço o comportamento elastoplástico perfeito, e para o concreto à
tração e à compressão, um modelo de dano elastoplástico.
Os resultados para o diagrama carga-deslocamento no centro da placa são
mostrados na Figura 2.19:
27
Figura 2.18- Características da placa ensaiada
FONTE: Krätzig e Pöling (2004)
Figura 2.19 - DIagrams carga x deslocamento
FONTE: Krätzig e Pöling (2004)
Observam-se bons resultados encontrados pelos autores. Todavia, estes
ressaltam que o modelo necessita de nove parâmetros que podem ser estimados através
da resistência à compressão, o que possibilita sua utilização em situações práticas de
análise. Esse aspecto chama atenção e nesse sentido vale lembrar que o modelo de dano
de Mazars requer apenas cinco parâmetros experimentais, de fácil obtenção, como
28
mencionado no capítulo introdutório. Cabe informar que esse resultado experimental
também foi modelado no presente trabalho, figurando como Caso 02 no Capítulo 6.
Após finalizar a apresentação desses resultados, frutos do estado da arte atual,
observa-se que existe um grande esforço na obtenção de resultados precisos à luz de
modelos constitutivos não lineares para o concreto, considerando inclusive sua
anisotropia após a fissuração. Portanto, formular um modelo de placa que leve em
consideração a não linearidade física do concreto e sua interação com o reforço significa
uma melhor previsão do comportamento das lajes de concreto reforçado, propiciando
assim o uso mais adequado e econômico desses elementos estruturais. E como um
aspecto adicional, o estudo e aplicação de modelos mais amplos também são
importantes para a compreensão das vantagens e limitações de utilização de modelos
mais simplificados, muitas vezes não percebidas em situações práticas mais simples.
29
3 MODELO DE DANO ISOTRÓPICO DE MAZARS (1984)
O modelo de dano de Mazars (1984) é um modelo relativamente simples
quando comparado a outros modelos propostos. A variável de dano é medida em função
do alongamento do material e possui as seguintes hipóteses básicas:
O processo de dano do concreto (𝐷𝑐) ocorre no estado elástico, não
apresentando deformações plásticas;
O concreto é considerado isotrópico mesmo após o início da danificação;
A evolução do dano ocorre quando o limite de deformação elástica de
alongamento é atingido.
Antes de prosseguir com a apresentação do modelo de dano em foco, é
necessário introduzir alguns aspectos relacionados ao cômputo de tensões e
deformações utilizados pelo modelo, os quais serão mostrados nos dois sub-itens
seguintes.
3.1 DECOMPOSIÇÃO DAS DEFORMAÇÕES PRINCIPAIS
As tensões em uma dada direção principal podem ser representadas em função
de suas parcelas positiva e negativa da seguinte forma:
𝜎𝑖+ = 𝜎𝑖 se 𝜎𝑖 > 0 e 𝜎𝑖
+ = 0se 𝜎𝑖 < 0 (3.1a)
𝜎𝑖− = 𝜎𝑖 se 𝜎𝑖 < 0 e 𝜎𝑖
− = 0 se 𝜎𝑖 > 0 (3.1b)
onde:
𝜎𝑖+são as tensões que geram deformações de alongamento;
𝜎𝑖+são as tensões que geram deformações de encurtamento;
𝑖 = 1, 2, 3
30
Dessa forma as deformações por tração e por compressão (휀𝑇𝑖 e 휀𝐶𝑖
respectivamente) podem ser escritas em função das tensões, através da lei de Hooke,
como a seguir:
휀𝑇𝑖 =1 + 𝜐
𝐸𝜎𝑖+ −
𝜐
𝐸∑𝜎𝑗
+
3
𝑗=1
(3.2)
휀𝐶𝑖 =1 + 𝜐
𝐸𝜎𝑖− −
𝜐
𝐸∑𝜎𝑗
−
3
𝑗=1
(3.3)
onde 𝜐 é o Coeficiente de Poisson do concreto. A deformação principal em cada direção
pode então ser expressa por:
휀𝑖 = 휀𝑇𝑖 + 휀𝐶𝑖 (3.4)
3.2 DEFORMAÇÃO EQUIVALENTE
Os alongamentos referentes a cada direção principal 𝑖são dados por:
휀𝑖+ =
1
2(휀𝑖 + |휀𝑖|)
(3.5)
Nota-se que, dessa forma, só são contabilizadas as deformações que geram
alongamento. Sendo assim, com as deformações apresentadas na equação 3.2, a
deformação equivalente pode ser assim definida:
휀 = √(휀1+)2 + (휀2
+)2 + (휀3+)2
(3.6)
31
Para compatibilizar o modelo de Dano com a Teoria Clássica de Laminados,
será adotada a medição das deformações em pontos da superfície média de cada camada
que constitui a placa.
3.3 CRITÉRIO DE DANO
Segundo o modelo de Mazars (1984), o processo de dano inicia quando o
material atinge a deformação correspondente à tensão máxima determinada no ensaio de
tração uniaxial, como mostrado na Figura 3.1. Dessa forma, pode-se considerar que o
processo de dano do material só inicia-se quando o mesmo atingir a deformação de pico
εdo, sendo o critério para permanência no regime linear expresso pela seguinte
inequação:
휀 − 휀𝑑𝑜 ≤ 0 (3.7)
Figura 3.1 - Diagrama tensão x deformação do concreto à tração
FONTE: Cresce (2003)
Baseando-se nos conceitos oriundos da Teoria da Plasticidade, busca-se definir
uma superfície para o critério de danificação do material. Para tanto, considera-se uma
função para a deformação de pico:
32
𝑆(𝐷𝑐) = 휀𝑑𝑜 (3.8)
Substituindo (3.8) em (3.7), tem-se:
휀 − 𝑆(𝐷𝑐) ≤ 0 (3.9)
Igualando (3.9) a zero, define-se a superfície de danificação, que representa
todos os estados limites para o início do dano:
휀 = 𝑆(𝐷𝑐) (3.10a)
𝑆(𝐷𝑐) = √(휀1+)2 + (휀2
+)2 + (휀3+)2
(3.10b)
A função 𝑆(𝐷𝑐) representa uma função na forma de um oitavo de esfera, como
mostra a Figura 3.2, a seguir:
Figura 3.2 - Superfície de Danificação
FONTE: Fernandes (1998)
33
3.4 CÁLCULO DA VARIÁVEL DE DANO
Devido ao comportamento do concreto ser assimétrico em relação à tração e à
compressão, existe a necessidade de determinação de duas variáveis distintas para o
dano, uma para compressão DCC, e outra para tração DCT. Para o caso multiaxial, o dano
do concreto Dc deve ser obtido através de uma combinação linear dessas duas variáveis,
ficando representado pela equação a seguir:
𝐷𝑐 = 𝛼𝑡𝐷𝐶𝑇 + 𝛼𝑐𝐷𝐶𝐶 (3.12)
onde:
𝛼𝑡 =∑ 휀𝑇𝑖
+3𝑖=1
휀𝑣+
(3.13a)
𝛼𝑐 =∑ 휀𝐶𝑖
+3𝑖=1
휀𝑣+
(3.13b)
휀𝑣+ =∑(휀𝑇𝑖
+ + 휀𝐶𝑖+ )
3
𝑖=1
(3.13c)
cabendo observar que: 0 ≤ 𝛼𝑡 ≤ 1; 0 ≤ 𝛼𝑐 ≤ 1; 𝑒 𝛼𝑡 + 𝛼𝑐 = 1.
As equações definidas por Mazars para a evolução do dano por tração 𝐷𝐶𝑇 e
compressão 𝐷𝐶𝐶 são apresentadas a seguir:
𝐷𝐶𝑇 = 1 −휀𝑑𝑜(1 − 𝐴𝑡)
휀−
𝐴𝑡𝑒𝑥𝑝[𝐵𝑡(휀 − 휀𝑑𝑜)]
(3.14a)
𝐷𝐶𝐶 = 1 −휀𝑑𝑜(1 − 𝐴𝑐)
휀−
𝐴𝑐𝑒𝑥𝑝[𝐵𝑐(휀 − 휀𝑑𝑜)]
(3.14b)
34
informando-se que as constantes 𝐴𝑡 , 𝐴𝑐 , 𝐵𝑡 𝑒 𝐵𝑐 são parâmetros do material
determinados através das curvas tensão-deformação do concreto, à tração e à
compressão uniaxial. Para melhor compreender a influência desses parâmetros no
diagrama tensão-deformação do material, Álvares (1993) fez um estudo simulando o
material à tração e à compressão, sintetizando os resultados através de figuras, as quais
foram reproduzidas a seguir:
Figura 3.3 - Influência dos parâmetros Ac e Bc no diagrama uniaxial à compressão
FONTE: Álvares (1993)
35
Como pode ser observado na Figura 3.3, o parâmetro Ac influencia diretamente
na tensão de pico alterando também a inclinação da zona de amolecimento do concreto,
enquanto o parâmetro Bc também influencia a tensão de pico, porém sem alterar a
inclinação da zona de amolecimento.
Figura 3.4 - Influência do εdo At e Bt no diagrama uniaxial à tração
FONTE: Álvares (1993)
Considerando a Figura 3.4, observa-se que 휀𝑑𝑜 influencia diretamente na
tensão de pico à tração do concreto, e o parâmetro At influencia na inclinação inicial do
trecho não linear e no valor referente a tendência horizontal da curva. Já o parâmetro Bt
influencia na taxa de inclinação do trecho não linear e na tensão de pico à tração.
1
2
3
4
36
4 FORMULAÇÃO ANALÍTICA DO PROBLEMA
No presente capítulo será desenvolvida a formulação variacional para o
problema de placa laminada retangular, com base no princípio dos trabalhos virtuais
(PTV), e com a inserção da não linearidade física do concreto a partir do modelo de
dano isotrópico de Mazars (1986).
4.1 SISTEMA DE REFERÊNCIA
A Figura 4.1 apresenta o sistema de coordenadas para uma lâmina k do
laminado que será utilizado na formulação apresentada nesse capítulo
Figura 4.1 - Sistema de referência
FONTE: Reddy (2004)
onde:
é a inclinação das fibras do material em relação aos eixos globais;
x, y e z são os eixos globais de referência (eixos da estrutura);
37
x1, x2 e x3 são os eixos locais de referência (eixos de uma lâmina qualquer do laminado).
4.2 HIPÓTESES CONSIDERADAS E CAMPO DE DESLOCAMENTOS
Adotam-se para o laminado as seguintes hipóteses tendo por base Jones (1999)
e Reddy (2004):
1. O laminado consiste de lâminas perfeitamente coladas entre si, isto é,
sem deslizamento ou descolamento. Isto significa que os deslocamentos são descritos
por funções contínuas;
2. A placa é considerada delgada, ou seja, a espessura é relativamente
pequena em relação às outras duas dimensões (superfície média);
3. Linhas inicialmente retas e perpendiculares à superfície que define a
geometria da estrutura (superfície média da placa) permanecem retas e perpendiculares
a essa superfície, quando o laminado for solicitado;
4. As linhas normais à superfície de referência são consideradas
inextensíveis, isto é, têm comprimentos constantes;
5. Supõe-se que o carregamento aplicado a placa acarrete rotações e
deformações pequenas perante a unidade, enquadrando o problema no âmbito da
elasticidade linear.
6. As lâminas são formadas por materiais ortotrópicos de comportamento
linear elástico (observa-se que o comportamento deixa de ser linear, por conta das
considerações feitas para o concreto e o aço, porém são consideradas como lineares nos
intervalos de cada incremento de carga ou deslocamento);
7. Admite-se que todas as cargas são aplicadas na superfície média da
placa.
As hipóteses dois a quatro, usadas na teoria de Kirchhoff para placas delgadas,
juntamente com a hipótese um, permitem deduzir as relações mostradas a seguir, entre
as componentes de deslocamento u, v, w (deslocamentos nas direções x, y e z
respectivamente) de um ponto qualquer da placa, e as componentes u0, v0 e w0 de um
ponto situado sobre a superfície média, como indicado para estes últimos na Figura 4.2.
38
𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑢0(𝑥, 𝑦) − 𝑧𝜕𝑤0𝜕𝑥
(4.1. 𝑎)
𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑣0(𝑥, 𝑦) − 𝑧𝜕𝑤0𝜕𝑦
(4.1. 𝑏)
𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤0(𝑥, 𝑦) (4.1. 𝑐)
onde as derivadas 𝜕𝑤0
𝜕𝑥 e
𝜕𝑤0
𝜕𝑦 são, respectivamente, as declividades da superfície média
nas direções x e y.
Figura 4.2 - Geometria de deformação da placa no plano xz
FONTE: Reddy (2004)
4.3 RELAÇÕES DEFORMAÇÃO-DESLOCAMENTO
Com base na hipótese cinco têm-se as seguintes relações deformação-
deslocamentos:
휀𝑥 =𝜕𝑢
𝜕𝑥 (4.2. 𝑎)
39
휀𝑦 =𝜕𝑣
𝜕𝑦 (4.2. 𝑏)
휀𝑧 =𝜕𝑤
𝜕𝑧 (4.2. 𝑐)
𝛾𝑥𝑦 =𝜕𝑢
𝜕𝑦+𝜕𝑣
𝜕𝑥 (4.2. 𝑑)
𝛾𝑥𝑧 =𝜕𝑢
𝜕𝑧+𝜕𝑤
𝜕𝑥 (4.2. 𝑒)
𝛾𝑦𝑧 =𝜕𝑣
𝜕𝑧+𝜕𝑤
𝜕𝑦 (4.2. 𝑑)
Substituindo o campo dos deslocamentos (4.1) nessas expressões resultam as
seguintes relações:
휀𝑥 =𝜕𝑢0𝜕𝑥
− 𝑧𝜕2𝑤0𝜕𝑥2
(4.3. 𝑎)
휀𝑦 =𝜕𝑣0𝜕𝑦
− 𝑧𝜕2𝑤0𝜕𝑦2
(4.3. 𝑏)
𝛾𝑥𝑦 =𝜕𝑢0𝜕𝑦
+𝜕𝑣0𝜕𝑥
− 2𝑧𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦
(4.3. 𝑐)
휀𝑧 = 0 (4.3. 𝑑)
𝛾𝑥𝑧 = 0 (4.3. 𝑒)
𝛾𝑦𝑧 = 0 (4.3. 𝑓)
que são as mesmas relações deformações-deslocamentos da teoria clássica de placas.
40
4.4 RELAÇÕES CONSTITUTIVAS
Considerando que as lâminas estão em um estado plano de tensões, como é
usual na teoria de laminados, tem-se para uma lâmina k do laminado as seguintes
relações entre tensões e deformações atuantes:
[
𝜎𝑥𝜎𝑦𝜏𝑥𝑦
] = [
��11 ��12 ��16��12 ��22 ��26��16 ��26 ��66
] [
휀𝑥휀𝑦𝛾𝑥𝑦]
(4.4)
com as propriedades mecânicas das lâminas (ortotrópicas), como mostra a hipótese 6,
calculadas por:
��11 = 𝑄11 cos4 𝜃 + 2(𝑄12 + 2𝑄66) sin
2 𝜃 cos2 𝜃 + 𝑄22 sin2 𝜃 (4.5. 𝑎)
��12 = (𝑄11 +𝑄22 − 4𝑄66) sin2 𝜃 cos2 𝜃 + 𝑄12(sin
4 𝜃 + cos4 𝜃) (4.5. 𝑏)
��22 = 𝑄11 sin2 𝜃 + 2(𝑄12 + 2𝑄66) sin
2 𝜃 cos2 𝜃 + 𝑄22 cos4 𝜃 (4.5. 𝑐)
��16 = (𝑄11 − 𝑄12 − 2𝑄66) sin 𝜃 cos3 𝜃 + (𝑄12 − 𝑄22 + 2𝑄66) sin
3 𝜃 cos 𝜃 (4.5. 𝑑)
��26 = (𝑄11 − 𝑄12 − 2𝑄66) sin3 𝜃 cos 𝜃 + (𝑄12 − 𝑄22 + 2𝑄66) sin 𝜃 cos
3 𝜃 (4.5. 𝑒)
��66 = (𝑄11 + 𝑄22 − 2𝑄12 − 2𝑄66) sin2 𝜃 cos2 𝜃 + 𝑄66(sin
4 𝜃 + cos4 𝜃) (4.5. 𝑓)
com 𝜃 representando o ângulo de orientação das fibras de reforço na camada k e:
𝑄11 = (
𝐸11 − 𝜐12𝜐21
)
(4.6. 𝑎)
𝑄12 = (
𝜐12𝐸21 − 𝜐12𝜐21
)
(4.6. 𝑏)
𝑄22 = (
𝐸21 − 𝜐12𝜐21
)
(4.6. 𝑐)
𝑄66 = 𝐺12
(4.6. 𝑑)
41
onde:
𝐸1 é o módulo de elasticidade longitudinal na direção x1 da camada;
𝐸2 é o módulo de elasticidade longitudinal na direção x2 da camada;
𝜐12 𝑒 𝜐21 são coeficientes de Poisson associados as direções x1 e x2 da camada;
𝐺12 é o módulo de elasticidade transversal associado às direções x1 e x2;
Cabe ressaltar que as componentes mecânicas 𝑄11, 𝑄12, 𝑄22 e 𝑄66 são medidas
em relação aos eixos da camada k. Essas grandezas, quando convertidas para o sistema
de referência x, y e z, geram as propriedades mecânicas apresentadas nas expressões
(4.5).
Para a análise não linear física, o dano contínuo de Mazars (concreto) e o
modelo elastoplástico perfeito (aço), são inseridos diretamente nas relações constitutivas
da lâmina, sendo as mesmas então apresentadas da seguinte forma:
𝑄22 = [
𝐸1(1 − 𝐷)
1 − 𝜐12𝜐21]
(4.6. 𝑒)
𝑄12 = [
𝜐12𝐸2(1 − 𝐷)
1 − 𝜐12𝜐21]
(4.6. 𝑓)
𝑄22 = [
𝐸2(1 − 𝐷)
1 − 𝜐12𝜐21]
(4.6. 𝑔)
𝑄66 = 𝐺12
(1 − 𝐷) (4.6. ℎ)
onde 𝐷 representa o dano no material constituinte da camada estudada (ou, em outras
palavras a relação entre a perda de rigidez do material e sua rigidez inicial).
Para o caso das camadas constituídas de concreto, a variável 𝐷 representa a
própria variável de dano (Dc), porém para as camadas constituídas por aço, a mesma
pode ser apresentada como segue:
42
𝐷 =(𝐸𝑖 − 𝐸 )
𝐸𝑖
onde:
𝐸𝑖 = Módulo de Elasticidade inicial do material;
𝐸 = Módulo de Elasticidade atual do material.
Essa alternativa possibilita representar os diferentes modelos constitutivos
citados em torno de variáveis compatíveis, possibilitando assim maior facilidade na
implementação. Além disso, esta consideração permite aplicar os dois modelos
simultaneamente na camada compósita através da regra da mistura.
Como visto no capítulo anterior, o dano na lâmina é função das deformações
medidas em cada ponto da superfície média da mesma, que por sua vez, são
dependentes das coordenadas x, y e z do referido ponto. Sendo assim, observa-se que as
relações constitutivas da lâmina após o desenvolvimento do dano também são função da
posição do ponto em estudo, observação esta que, conforme será visto no próximo
capítulo, estender-se-á conseqüentemente para as equações 5.5.
4.5 INTEGRAIS DE TENSÕES (ESFORÇOS INTERNOS)
Na presente formulação são definidas as seguintes integrais de tensões por
unidade de comprimento, avaliadas na espessura h da placa laminada e mostradas na
Figura 4.3 com seus sentidos positivos.
43
Figura 4.3 - Esforços internos
FONTE: Reddy (2004)
𝑁𝑥𝑥 = ∫ 𝜎𝑥𝑑𝑧
ℎ2⁄
−ℎ2⁄
(4.7. 𝑎)
𝑁𝑦𝑦 = ∫ 𝜎𝑦𝑑𝑧
ℎ2⁄
−ℎ2⁄
(4.7. 𝑏)
𝑁𝑥𝑦 = ∫ 𝜏𝑥𝑦𝑑𝑧
ℎ2⁄
−ℎ2⁄
(4.7. 𝑐)
𝑀𝑥𝑥 = ∫ 𝜎𝑥𝑧𝑑𝑧
ℎ2⁄
−ℎ2⁄
(4.7. 𝑑)
𝑀𝑦𝑦 = ∫ 𝜎𝑦𝑧𝑑𝑧
ℎ2⁄
−ℎ2⁄
(4.7. 𝑒)
44
𝑀𝑥𝑦 = ∫ 𝜏𝑥𝑦𝑧𝑑𝑧
ℎ2⁄
−ℎ2⁄
(4.7. 𝑓)
Com base na Figura 4.4 pode-se escrever essas integrais de tensões em função
das lâminas do laminado:
Figura 4.4 - Camadas de um laminado
FONTE: Reddy (2004)
{
𝑁𝑥𝑥𝑁𝑦𝑦𝑁𝑥𝑦
} = ∑∫ {
𝜎𝑥𝜎𝑦𝜏𝑥𝑦
}
𝑑𝑧𝑧𝑘+1
𝑧𝑘
𝑛
𝑘=1
(4.8. 𝑎)
{
𝑀𝑥𝑥
𝑀𝑦𝑦
𝑀𝑥𝑦
} = ∑∫ {
𝜎𝑥𝜎𝑦𝜏𝑥𝑦
}
𝑧𝑑𝑧𝑧𝑘+1
𝑧𝑘
𝑛
𝑘=1
(4.8. 𝑏)
onde 𝑁𝑥𝑥, 𝑁𝑦𝑦 𝑒 𝑁𝑥𝑦 são os esforços de membrana, 𝑀𝑥𝑥 𝑒 𝑀𝑦𝑦 os esforços flexionais e
𝑀𝑥𝑦 o esforço torsional, todos por unidade de comprimento.
45
Substituindo as equações (4.4) nas equações (4.8) tem-se:
{
𝑁𝑥𝑥𝑁𝑦𝑦𝑁𝑥𝑦
} = ∑∫ {[
𝑄11 𝑄12 𝑄16
𝑄12 𝑄22 𝑄26
𝑄16 𝑄26 𝑄66 ] [
휀𝑥휀𝑦𝛾𝑥𝑦]}
𝑑𝑧𝑧𝑘+1
𝑧𝑘
𝑛
𝑘=1
(4.9. 𝑎)
{
𝑀𝑥𝑥
𝑀𝑦𝑦
𝑀𝑥𝑦
} = ∑∫ {[
𝑄11 𝑄12 𝑄16
𝑄12 𝑄22 𝑄26
𝑄16 𝑄26 𝑄66 ] [
휀𝑥휀𝑦𝛾𝑥𝑦]}
𝑧𝑑𝑧𝑧𝑘+1
𝑧𝑘
𝑛
𝑘=1
(4.9. 𝑏)
Substituindo agora as expressões (4.3) das deformações tem-se:
{
𝑁𝑥𝑥𝑁𝑦𝑦𝑁𝑥𝑦
} =∑∫
{
[
𝑄11 𝑄12 𝑄16
𝑄12 𝑄22 𝑄26
𝑄16 𝑄26 𝑄66 ]
[
𝜕𝑢0𝜕𝑥
− 𝑧𝜕2𝑤0𝜕𝑥2
𝜕𝑣0𝜕𝑦
− 𝑧𝜕2𝑤0𝜕𝑦2
𝜕𝑢0𝜕𝑦
+𝜕𝑣0𝜕𝑥
− 2𝑧𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦]
}
𝑑𝑧𝑧𝑘+1
𝑧𝑘
𝑛
𝑘=1
(4.10. 𝑎)
{
𝑀𝑥𝑥
𝑀𝑦𝑦
𝑀𝑥𝑦
} =∑∫
{
[
𝑄11 𝑄12 𝑄16
𝑄12 𝑄22 𝑄26
𝑄16 𝑄26 𝑄66 ]
[
𝜕𝑢0𝜕𝑥
− 𝑧𝜕2𝑤0𝜕𝑥2
𝜕𝑣0𝜕𝑦
− 𝑧𝜕2𝑤0𝜕𝑦2
𝜕𝑢0𝜕𝑦
+𝜕𝑣0𝜕𝑥
− 2𝑧𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦]
}
𝑧𝑑𝑧𝑧𝑘+1
𝑧𝑘
𝑛
𝑘=1
(4.10. 𝑏)
Também é possível escrever as integrais de tensões da seguinte forma:
46
{
𝑁𝑥𝑥𝑁𝑦𝑦𝑁𝑥𝑦
} = [
𝐴11 𝐴12 𝐴16𝐴12 𝐴22 𝐴26𝐴16 𝐴26 𝐴66
]
[
𝜕𝑢0𝜕𝑥𝜕𝑣0𝜕𝑦
𝜕𝑢0𝜕𝑦
+𝜕𝑣0𝜕𝑥 ]
+ [𝐵11 𝐵12 𝐵16𝐵12 𝐵22 𝐵26𝐵16 𝐵26 𝐵66
]
[ −
𝜕2𝑤0𝜕𝑥2
−𝜕2𝑤0𝜕𝑦2
−2𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦]
(4.11. 𝑎)
{
𝑀𝑥𝑥
𝑀𝑦𝑦
𝑀𝑥𝑦
} = [𝐵11 𝐵12 𝐵16𝐵12 𝐵22 𝐵26𝐵16 𝐵26 𝐵66
]
[
𝜕𝑢0𝜕𝑥𝜕𝑣0𝜕𝑦
𝜕𝑢0𝜕𝑦
+𝜕𝑣0𝜕𝑥 ]
+ [𝐷11 𝐷12 𝐷16𝐷12 𝐷22 𝐷26𝐷16 𝐷26 𝐷66
]
[ −
𝜕2𝑤0𝜕𝑥2
−𝜕2𝑤0𝜕𝑦2
−2𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦]
(4.11. 𝑏)
onde a matriz contendo os coeficientes 𝐴ij é denominada matriz de rigidez extensional, a
que contém os elementos 𝐷ij é a matriz de rigidez flexional e a composta pelos
elementos Bij é a matriz de rigidez de acoplamento flexo-extensional. Esses coeficientes
são definidos em termos da matriz de rigidez de cada lâmina, conforme a seguir:
(𝐴𝑖𝑗 , 𝐵𝑖𝑗, 𝐷𝑖𝑗) = ∫ ��𝑖𝑗(1, 𝑧, 𝑧2)𝑑𝑧
ℎ2⁄
−ℎ 2⁄
=∑∫ ��𝑖𝑗(𝑘)(1, 𝑧, 𝑧2)𝑑𝑧 (4.12. 𝑎)
𝑧𝑘+1
𝑧𝑘
𝑛
𝑘=1
ou ainda:
𝐴𝑖𝑗 =∑��𝑖𝑗(𝑘)(𝑧𝑘+1 − 𝑧𝑘)𝑑𝑧
𝑛
𝑘=1
𝐵𝑖𝑗 =1
2∑ ��𝑖𝑗
(𝑘)((𝑧𝑘+1)
2 − 𝑧𝑘2)𝑑𝑧
𝑛
𝑘=1
𝐷𝑖𝑗 =1
3∑��𝑖𝑗
(𝑘)((𝑧𝑘+1)
3 − 𝑧𝑘3)𝑑𝑧
𝑛
𝑘=1
(4.12. 𝑏)
Desenvolvendo as expressões matriciais dos esforços (4.11), obtêm-se:
47
𝑁𝑥𝑥 = 𝐴11𝜕𝑢0𝜕𝑥
+ 𝐴12𝜕𝑣0𝜕𝑦
+ 𝐴16 (𝜕𝑢0𝜕𝑦
+𝜕𝑣0𝜕𝑥) − 𝐵11
𝜕2𝑤0𝜕𝑥2
− 𝐵12𝜕2𝑤0𝜕𝑦2
−
−2𝐵16𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦
(4.13. 𝑎)
𝑁𝑦𝑦 = 𝐴12𝜕𝑢0𝜕𝑥
+ 𝐴22𝜕𝑣0𝜕𝑦
+ 𝐴26 (𝜕𝑢0𝜕𝑦
+𝜕𝑣0𝜕𝑥) − 𝐵12
𝜕2𝑤0𝜕𝑥2
− 𝐵22𝜕2𝑤0𝜕𝑦2
−
−2𝐵26𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦
(4.13. 𝑏)
𝑁𝑥𝑦 = 𝐴16𝜕𝑢0𝜕𝑥
+ 𝐴26𝜕𝑣0𝜕𝑦
+ 𝐴66 (𝜕𝑢0𝜕𝑦
+𝜕𝑣0𝜕𝑥) − 𝐵16
𝜕2𝑤0𝜕𝑥2
− 𝐵26𝜕2𝑤0𝜕𝑦2
−
−2𝐵66𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦
(4.13. 𝑐)
𝑀𝑥𝑥 = 𝐵11𝜕𝑢0𝜕𝑥
+ 𝐵12𝜕𝑣0𝜕𝑦
+ 𝐵16 (𝜕𝑢0𝜕𝑦
+𝜕𝑣0𝜕𝑥) − 𝐷11
𝜕2𝑤0𝜕𝑥2
− 𝐷12𝜕2𝑤0𝜕𝑦2
−
−2𝐷16𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦
(4.13. 𝑑)
𝑀𝑦𝑦 = 𝐵12𝜕𝑢0𝜕𝑥
+ 𝐵22𝜕𝑣0𝜕𝑦
+ 𝐵26 (𝜕𝑢0𝜕𝑦
+𝜕𝑣0𝜕𝑥) − 𝐷12
𝜕2𝑤0𝜕𝑥2
− 𝐷22𝜕2𝑤0𝜕𝑦2
−
−2𝐷26𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦
(4.13. 𝑒)
𝑀𝑥𝑦 = 𝐵16𝜕𝑢0𝜕𝑥
+ 𝐵26𝜕𝑣0𝜕𝑦
+ 𝐵66 (𝜕𝑢0𝜕𝑦
+𝜕𝑣0𝜕𝑥) − 𝐷16
𝜕2𝑤0𝜕𝑥2
− 𝐷26𝜕2𝑤0𝜕𝑦2
−
−2𝐷66𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦
(4.13. 𝑓)
Como se vê essas integrais de tensões (ou esforços internos) são definidas para
todos os pontos do plano médio da placa, dependendo tanto dos deslocamentos do plano
médio, quanto das propriedades mecânicas dos materiais da placa. Portanto, ao
48
incorporar o modelo de dano para o concreto e o regime elastoplástico perfeito para o
aço as propriedades mecânicas são afetadas à medida que a não linearidade física é
atingida, modificando também as inúmeras rigidezes 𝐴ij, 𝐵ij e 𝐷ij da estrutura.
4.6 TRABALHO VIRTUAL DAS FORÇAS INTERNAS
Pode se escrever o trabalho realizado pelas forças internas da seguinte forma:
𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡 = ∫(𝜎𝑥𝛿휀𝑥 + 𝜎𝑦𝛿휀𝑦 + 𝜏𝑥𝑦𝛿𝛾𝑥𝑦)𝑑𝑣 (4.14)
𝑉
onde 𝑉 é o volume da placa em estudo, e 𝛿휀𝑥, 𝛿휀𝑦 e 𝛿𝛾𝑥𝑦 são as variações das
componentes de deformação.
O cômputo dessas variações fornece:
𝛿휀𝑥 = 𝛿 (𝜕𝑢0𝜕𝑥
) − 𝑧𝛿 (𝜕2𝑤0𝜕𝑥2
) (4.15. 𝑎)
𝛿휀𝑦 = 𝛿 (𝜕𝑣0𝜕𝑦) − 𝑧𝛿 (
𝜕2𝑤0𝜕𝑦2
) (4.15. 𝑏)
𝛿𝛾𝑥𝑦 = 𝛿 (𝜕𝑢0𝜕𝑦
) + 𝛿 (𝜕𝑣0𝜕𝑥) − 2𝑧𝛿 (
𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦
) (4.15. 𝑐)
Substituindo as equações (4.15) em (4.14), e observando que a integração em
volume pode ser decomposta em termos da área da superfície média e da espessura da
placa, procedimento bem conhecido da teoria clássica de placas delgadas, resulta:
𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡 = ∫ ∫ (𝜎𝑥 [𝛿 (𝜕𝑢0𝜕𝑥
) − 𝑧𝛿 (𝜕2𝑤0𝜕𝑥2
)] + 𝜎𝑦 [𝛿 (𝜕𝑣0𝜕𝑦) − 𝑧𝛿 (
𝜕2𝑤0𝜕𝑦2
)]
ℎ2⁄
−ℎ2⁄
Ω0
+ 𝜏𝑥𝑦 ⌈𝛿 (𝜕𝑢0𝜕𝑦
) + 𝛿 (𝜕𝑣0𝜕𝑥) − 2𝑧𝛿 (
𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦
)⌉) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 (4.16)
com Ω0 representando a área da superfície média da placa.
49
Reconhecendo as integrais de tensões (esforços) na expressão de trabalho
interno, tem-se:
𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡 = ∫ {𝑁𝑥𝑥𝛿 (𝜕𝑢0𝜕𝑥
) − 𝑀𝑥𝑥𝛿 (𝜕2𝑤0𝜕𝑥2
) + 𝑁𝑦𝑦𝛿 (𝜕𝑣0𝜕𝑦) −𝑀𝑦𝑦𝛿 (
𝜕2𝑤0𝜕𝑦2
)
Ω0
+ 𝑁𝑥𝑦 [𝛿 (𝜕𝑢0𝜕𝑦
) + 𝛿 (𝜕𝑣0𝜕𝑥)] − 2𝑀𝑥𝑦𝛿 (
𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦
)}𝑑𝑥𝑑𝑦 (4.17)
4.7 TRABALHO REALIZADO PELAS FORÇAS EXTERNAS
Considerando-se a Figura 4.5, onde as cargas atuantes no domínio e no
contorno são mostradas com seus sentidos positivos, pode-se escrever para o trabalho
virtual realizado pelas forças externas a seguinte expressão:
𝛿𝑊𝑒𝑥𝑡 = ∫ 𝑞𝑧(𝑥, 𝑦)𝛿𝑤0𝑑𝑥𝑑𝑦
Ω0
+∫ (��𝑥𝑥𝛿𝑢0 + ��𝑥𝑦𝛿𝑣0 + ��𝑥𝑧𝛿𝑤0 − ��𝑥𝑥𝛿 (𝜕𝑤0𝜕𝑥
))
𝑥=0
𝑥=𝑎𝑏
0
𝑑𝑦
+∫ (��𝑦𝑥𝛿𝑢0 + ��𝑦𝑦𝛿𝑣0 + ��𝑦𝑧𝛿𝑤0 − ��𝑦𝑦𝛿 (𝜕𝑤0𝜕𝑦
))
𝑦=0
𝑦=𝑏
𝑑𝑥𝑎
0
(4.18)
onde:
𝑞𝑧(𝑥, 𝑦) é a força transversal à superfície média por unidade de área aplicada no
domínio;
��𝑥𝑥, ��𝑥𝑦 , ��𝑥𝑧 são as forças por unidade de comprimento ao longo dos bordos x=0 e x=a,
segundo as direções x, y e z respectivamente;
��𝑥𝑥 é o Momento de flexão por unidade de comprimento, aplicado ao longo do bordo
x=0 e x=a;
��𝑦𝑥, ��𝑦𝑦 , ��𝑦𝑧 são as forças por unidade de comprimento ao longo dos bordos y=0 e y=b,
segundo as direções x, y e z respectivamente;
50
��𝑦𝑦 - Momento de flexão por unidade de comprimento, aplicado ao longo do bordo
y=0 e y=b.
Embora momentos torsores tenham sido considerados no âmbito dos esforços
internos (montagem do trabalho realizado pelas forças internas), não foram
consideradas carga-momentos de torção no trabalho externo, por não ser usualmente
aplicado nas lajes estudadas.
Figura 4.5 - Carregamento da placa
4.8 APLICAÇÃO DO PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS (PTV)
De forma à compatibilizar o trabalho interno com o trabalho externo, integra-se
por partes os termos da equação 4.17, ficando o mesmo expresso da seguinte forma:
51
𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡 = ∫ (–(𝜕2𝑀𝑥𝑥
𝜕𝑥2+𝜕2𝑀𝑦𝑦
𝜕𝑦2+ 2
𝜕2𝑀𝑥𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦)𝛿𝑤0 − (
𝜕𝑁𝑥𝑥𝜕𝑥
+𝜕𝑁𝑥𝑦
𝜕𝑦)𝛿𝑢0
Ω0
− (𝜕𝑁𝑦𝑦
𝜕𝑦+𝜕𝑁𝑥𝑦
𝜕𝑥)𝛿𝑣0)𝑑𝑥𝑑𝑦
+ ∫ ((𝑁𝑥𝑦)𝛿𝑢0 + (𝑁𝑦𝑦)𝛿𝑣0 + (𝜕𝑀𝑦𝑦
𝜕𝑦+ 2
𝜕𝑀𝑥𝑦
𝜕𝑥)𝛿𝑤0
𝑎
0
− (𝑀𝑦𝑦)𝛿𝜕𝑤0𝜕𝑦
)
𝑦=𝑎
𝑦=𝑏
𝑑𝑥
+ ∫ ((𝑁𝑥𝑥)𝛿𝑢0 + (𝑁𝑥𝑦)𝛿𝑣0 + (𝜕𝑀𝑥𝑥
𝜕𝑥+ 2
𝜕𝑀𝑥𝑦
𝜕𝑦)𝛿𝑤0
𝑏
0
− (𝑀𝑥𝑥)𝛿𝜕𝑤0𝜕𝑥
)
𝑥=0
𝑥=𝑎
𝑑𝑦 − 2𝑀𝑥𝑦𝛿𝑤0𝑦=0;𝑦=𝑏;
𝑥=0
𝑥=𝑎 (4.19)
Igualando o Trabalho realizado pelas forças internas (4.19) ao trabalho
realizado pelas forças externas (4.18) obtêm-se a seguinte equação:
∫ [−(𝜕2𝑀𝑥𝑥
𝜕𝑥2+𝜕2𝑀𝑦𝑦
𝜕𝑦2+ 2
𝜕2𝑀𝑥𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦) − 𝑞𝑧(𝑥, 𝑦)] 𝛿𝑤0𝑑𝑥𝑑𝑦
Ω0
+∫ ((𝑁𝑥𝑦 − ��𝑦𝑥)𝛿𝑢0 + (𝑁𝑦𝑦 − ��𝑦𝑦)𝛿𝑣0
𝑎
0
+ [(𝜕𝑀𝑦𝑦
𝜕𝑦+ 2
𝜕𝑀𝑥𝑦
𝜕𝑥) − ��𝑦𝑧] 𝛿𝑤0 + (−𝑀𝑦𝑦 + ��𝑦𝑦)𝛿
𝜕𝑤0𝜕𝑦
)
𝑦=𝑎
𝑦=𝑏
𝑑𝑥
+ ∫ ((𝑁𝑥𝑥 − ��𝑥𝑥)𝛿𝑢0 + (𝑁𝑥𝑦 − ��𝑥𝑦)𝛿𝑣0
𝑏
0
+ [(𝜕𝑀𝑥𝑥
𝜕𝑥+ 2
𝜕𝑀𝑥𝑦
𝜕𝑦) − ��𝑥𝑧] 𝛿𝑤0 + (−𝑀𝑥𝑥 + ��𝑥𝑥)𝛿
𝜕𝑤0𝜕𝑥
)
𝑥=0
𝑥=𝑎
𝑑𝑦
− 2𝑀𝑥𝑦𝛿𝑤0𝑦=0;𝑦=𝑏;
𝑥=0
𝑥=𝑎= 0 (4.20)
52
4.9 EQUAÇÃO DIFERENCIAL E CONDIÇÕES DE CONTONO
Através das variações 𝛿𝑤0,𝛿𝑢0 e 𝛿𝑣0 presente no domínio, obtém-se as
seguintes equações diferenciais:
(𝜕2𝑀𝑥𝑥𝜕𝑥2
+𝜕2𝑀𝑦𝑦
𝜕𝑦2+ 2
𝜕2𝑀𝑥𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦) = 𝑞𝑧(𝑥, 𝑦) (4.21𝑎)
𝜕𝑁𝑥𝑥𝜕𝑥
+𝜕𝑁𝑥𝑦
𝜕𝑦= 0
(4.21𝑏)
𝜕𝑁𝑦𝑦
𝜕𝑦+𝜕𝑁𝑥𝑦
𝜕𝑥= 0
(4.21𝑐)
A partir das equações independentes da equação (4.20) 𝛿𝑢0, 𝛿𝑣0, 𝛿𝑤0 𝑒 𝛿(𝜕𝑤0
𝜕𝑥) (ao
longo dos bordos x=0 e x=a) e 𝛿(𝜕𝑤0
𝜕𝑦) (bordos y=0 e y=b), obtêm-se as condições de
contorno do problema:
Bordos x=0 e x=a:
��𝑥𝑥 = 𝑁𝑥𝑥 𝑜𝑢 𝑢 = �� (4.22. 𝑎)
��𝑥𝑦 = 𝑁𝑥𝑦 𝑜𝑢 𝑣 = �� (4.22. 𝑏)
��𝑥𝑧 = 2𝜕𝑀𝑥𝑦
𝜕𝑦+𝜕𝑀𝑥𝑥
𝜕𝑥 𝑜𝑢 𝑤 = �� (4.22. 𝑐)
��𝑥𝑥 = 𝑀𝑥𝑥 𝑜𝑢 𝜕𝑤
𝜕𝑥=𝜕𝑤
𝜕𝑥
(4.22. 𝑑)
Bordos y=0 e y=b:
��𝑦𝑥 = 𝑁𝑥𝑦 𝑜𝑢 𝑢 = �� (4.22. 𝑒)
��𝑦𝑦 = 𝑁𝑦𝑦 𝑜𝑢 𝑣 = �� (4.22. 𝑓)
53
��𝑦𝑧 = 2𝜕𝑀𝑥𝑦
𝜕𝑥+𝜕𝑀𝑦𝑦
𝜕𝑦 𝑜𝑢 𝑤 = �� (4.22. 𝑔)
��𝑦𝑦 = 𝑀𝑦𝑦 𝑜𝑢 𝜕𝑤
𝜕𝑥=𝜕𝑤
𝜕𝑥
(4.22. ℎ)
A equação (4.20) também pode fornecer quatro condições de canto:
(2𝑀𝑥𝑦)(0,0)= 0 𝑜𝑢 (𝑤)(0,0) = (��)(0,0) (4.23𝑎)
(2𝑀𝑥𝑦)(𝑎,0)= 0 𝑜𝑢 (𝑤)(𝑎,0) = (��)(𝑎,0) (4.23𝑏)
(2𝑀𝑥𝑦)(0,𝑏) = 0 𝑜𝑢 (𝑤)(0,𝑏) = (��)(0,𝑏) (4.23𝑐)
(2𝑀𝑥𝑦)(𝑎,𝑏) = 0 𝑜𝑢 (𝑤)(𝑎,𝑏) = (��)(𝑎,𝑏) (4.23𝑑)
54
5 TRATAMENTO NUMÉRICO DO PROBLEMA
Nesse capítulo é desenvolvido o tratamento numérico para o problema, segundo o
método das diferenças finitas energéticas. Portanto, são apresentadas as representações
em diferenças finitas, forma de discretização, montagem numérica dos trabalhos interno
e externo, bem como a inserção das condições de contorno da placa retangular de
concreto armado, objeto do modelo aqui estudado.
5.1 OPERADORES DE DIFERENÇAS FINITAS ENERGÉTICAS
Na formulação numérica do problema em questão são utilizados dois tipos de
representações para as derivadas dos deslocamentos, a representação centrada e a
representação reduzida. A seguir são apresentadas as correspondentes expressões para
cada tipo de representação por diferenças finitas.
5.1.1 Representação Centrada
Considere o esquema da Figura 5.1, onde 𝑓(𝑥) representa as funções u0, v0, w0
no ponto no qual são avaliadas as derivadas, também chamado de ponto pivotal. Todos
os pontos são igualmente espaçados de uma distância λ. As derivadas de primeira e
segunda ordem da função 𝑓(𝑥), avaliadas no ponto m, portanto na forma centrada, são
assim expressas:
𝑓′𝑚 =1
2𝜆(𝑓𝑚+1 − 𝑓𝑚−1) (5.1. 𝑎)
𝑓′′𝑚 =1
𝜆2(𝑓𝑚+1 − 2𝑓𝑚 + 𝑓𝑚−1) (5.1. 𝑏)
5.1.2 Representação Reduzida
Em trechos localizados junto aos bordos da placa, o uso da representação
centrada para as derivadas primeiras dos deslocamentos u0 e v0 podemcausar
55
singularidade na matriz dos coeficientes, impossibilitando a resolução do problema. Por
esse motivo, para essas derivadas na região dos bordos da placa será adotada a
representação reduzida, conforme sugerido por Graça (2000). Esta representação pode
ser definida por:
𝑓′𝑚 =1
𝜆(𝑓𝑚+1 − 𝑓𝑚) (5.2)
Figura 5.1 - Função 𝒇(𝒙) utilizada nas representações em diferenças finitas
FONTE: Autor
5.2 DISCRETIZAÇÃO E SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO LOCAL
Para a discretização do domínio da placa, o MDFE prevê a geração de trechos
de integração obtidos a partir de subdivisões nas direções x e y, qual seja 𝑛𝑥 e 𝑛𝑦
respectivamente. Desse modo um trecho de integração genérico apresenta a forma
retangular de dimensões 𝜆𝑥 = 𝐿𝑎/𝑛𝑥 e 𝜆𝑦 = 𝐿𝑏/𝑛𝑦, com um total de (𝑛𝑥 + 3) ×
(𝑛𝑦 + 3) nós e (𝑛𝑥 + 1) × (𝑛𝑦 + 1) trechos de integração distribuídos em nove tipos
diferentes de trechos, conforme mostrado na Figura 5.2.
Cada trecho de integração é composto por nove pontos nodais (Figura 5.3) e
para cada um desses pontos nodais são associados três graus de liberdade u0, v0 e w0, o
56
que gera, para cada trecho, 27 deslocamentos. Observa-se que as derivadas de segunda
ordem dos deslocamentos associados aos nós presentes nos bordos da placa, necessitam
de nós externos à mesma. E, por esse motivo, são denominados de nós virtuais. Cabe
destacar ainda que os nós da estrutura podem compor mais de um trecho de integração.
Na Tabela 5-1 são definidas as representações em diferenças finitas das
derivadas primeiras para cada um dos nove tipos de trechos em relação ao sistema de
representação local.
Figura 5.2 - Malha de discretização e tipos de elementos
FONTE: Autor
57
Figura 5.3 - Sistema de representação local
FONTE: Lima (2010)
Na Tabela 5-1 são definidas as representações em diferenças finitas das
derivadas de primeira ordem para cada um dos nove tipos de trechos em relação ao
sistema de representação local.
𝑁ó1 → 𝑢 = 𝐺1; 𝑣 = 𝐺2; 𝑤 = 𝐺3
𝑁ó2 → 𝑢 = 𝐺4; 𝑣 = 𝐺5; 𝑤 = 𝐺6
𝑁ó3 → 𝑢 = 𝐺7; 𝑣 = 𝐺8; 𝑤 = 𝐺9
𝑁ó4 → 𝑢 = 𝐺10; 𝑣 = 𝐺11; 𝑤 = 𝐺12
𝑁ó5 → 𝑢 = 𝐺13; 𝑣 = 𝐺14; 𝑤 = 𝐺15
𝑁ó6 → 𝑢 = 𝐺16; 𝑣 = 𝐺17; 𝑤 = 𝐺18
𝑁ó7 → 𝑢 = 𝐺19; 𝑣 = 𝐺20; 𝑤 = 𝐺21
𝑁ó8 → 𝑢 = 𝐺22; 𝑣 = 𝐺23; 𝑤 = 𝐺24
𝑁ó9 → 𝑢 = 𝐺25; 𝑣 = 𝐺26; 𝑤 = 𝐺27
58
FONTE: Autor
Tabela 5-1 - Representação em Diferenças Finitas considerando o sistema de representação local
Representação em Diferenças Finitas
Derivadas de primeira ordem
Trecho1 Trecho 2 Trecho 3 Trecho 4 Trecho 5 Trecho 6 Trecho 7 Trecho 8 Trecho 9
𝜕𝑢
𝜕𝑥 𝐺16 − 𝐺13
𝜆𝑥 𝐺16 − 𝐴102𝜆𝑥
𝐺13 − 𝐺10
𝜆𝑥 𝐺13 − 𝐺10
𝜆𝑥 𝐺16 − 𝐺102𝜆𝑥
𝐺13 − 𝐺10
𝜆𝑥 𝐺16 − 𝐺13
𝜆𝑥 𝐺16 − 𝐺102𝜆𝑥
𝐺13 − 𝐺10
𝜆𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦 𝐺22 − 𝐺13
𝜆𝑦 𝐺22 − 𝐺13
𝜆𝑦 𝐺22 − 𝐺13
𝜆𝑦 𝐺22 − 𝐺42𝜆𝑦
𝐺22 − 𝐺42𝜆𝑦
𝐺22 − 𝐺
2𝜆𝑦
𝐺13 − 𝐺4𝜆𝑦
𝐺13 − 𝐺4𝜆𝑦
𝐺13 − 𝐺4𝜆𝑦
𝜕𝑣
𝜕𝑥 𝐺17 − 𝐴14
𝜆𝑥 𝐺17 − 𝐴112𝜆𝑥
𝐺17 − 𝐺112𝜆𝑥
𝐺17 − 𝐺14
𝜆𝑥 𝐺17 − 𝐺112𝜆𝑥
𝐺14 − 𝐺11
𝜆𝑥 𝐺17 − 𝐺14
𝜆𝑥 𝐺17 − 𝐺112𝜆𝑥
𝐺14 − 𝐺11
𝜆𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑦 𝐺23 − 𝐺14
𝜆𝑦 𝐺23 − 𝐺14
𝜆𝑦 𝐺23 − 𝐺14
𝜆𝑦 𝐺23 − 𝐺52𝜆𝑦
𝐺23 − 𝐺52𝜆𝑦
𝐺23 − 𝐺52𝜆𝑦
𝐺14 − 𝐺5𝜆𝑦
𝐺14 − 𝐺5𝜆𝑦
𝐺14 − 𝐺5𝜆𝑦
A seguir são definidas as representações em diferenças finitas para as derivadas
de segunda ordem dos deslocamentos que, conforme já informado, são avaliadas apenas
na forma centrada:
𝜕2𝑤0𝜕𝑥2
=1
𝜆𝑥2(𝐺18 − 2𝐺15 + 𝐺12) (5.3. 𝑎)
𝜕2𝑤0𝜕𝑦2
=1
𝜆𝑦2(𝐺24 − 2𝐺15 + 𝐺6) (5.3. 𝑏)
𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦
=1
4𝜆𝑥𝜆𝑦(𝐺27 − 𝐺21 − 𝐺9 + 𝐺3) (5.3. 𝑐)
5.3 SISTEMA DE REPRESENTAÇÃO GLOBAL
Cada nó do trecho está associado ao sistema de numeração global da placa
através das seguintes expressões:
𝑛º 𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 = (𝑛𝑛𝑥 − 2)(𝐼 − 1) + 𝑗 (5.4)
𝑁ó 1𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = 𝑛º 𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 + 2(𝐼 − 1) (5.5. 𝑎)
59
𝑁ó 2𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = 𝑁ó 1 + 1 (5.5. 𝑏)
𝑁ó 3𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = 𝑁ó 1 + 2 (5.5. 𝑐)
𝑁ó 4𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = 𝑁ó 1 + 𝑛𝑛𝑥 (5.5. 𝑑)
𝑁ó 5𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = 𝑁ó 4 + 1 (5.5. 𝑒)
𝑁ó 6𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = 𝑁ó 4 + 2 (5.5. 𝑓)
𝑁ó 7𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = 𝑁ó 4 + 𝑛𝑛𝑥 (5.5. 𝑔)
𝑁ó 8𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = 𝑁ó 7 + 1 (5.5. ℎ)
𝑁ó 9𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = 𝑁ó 7 + 2 (5.5. 𝑖)
onde:
i e j são, respectivamente, a posição vertical e horizontal do trecho de integração;
𝑛𝑛𝑥 = 𝑛𝑥 + 3, é o número de nós na direção x.
Para cada nó estão associados três deslocamentos que se relacionam com o
sistema global através das seguintes expressões:
𝑢𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = 3𝑁ó𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 − 2 (5.6. 𝑎)
𝑣𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = 3𝑁ó𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 − 1 (5.6. 𝑏)
𝑤𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = 3𝑁ó𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 (5.6. 𝑐)
5.4 AVALIAÇÃO DO TRABALHO VIRTUAL INTERNO
A expressão analítica para o trabalho interno, apresentada no capítulo 4 em
função dos esforços internos (equação 4.16), pode ser reescrita em função dos
deslocamentos; para tanto basta substituir na equação (4.16) os esforços internos,
apresentados na equação (4.13), ficando o trabalho interno como apresentado a seguir:
60
𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡 = ∫ {[𝐴11
𝜕𝑢0𝜕𝑥
+ 𝐴12𝜕𝑣0𝜕𝑦
+ 𝐴16 (𝜕𝑢0𝜕𝑦
+𝜕𝑣0𝜕𝑥) − 𝐵11
𝜕2𝑤0𝜕𝑥2
− 𝐵12𝜕2𝑤0𝜕𝑦2
𝑟
− 2𝐵16𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦
] 𝛿 (𝜕𝑢0𝜕𝑥
) −
− [𝐵11𝜕𝑢0𝜕𝑥
+ 𝐵12𝜕𝑣0𝜕𝑦
+ 𝐵16 (𝜕𝑢0𝜕𝑦
+𝜕𝑣0𝜕𝑥) − 𝐷11
𝜕2𝑤0𝜕𝑥2
− 𝐷12𝜕2𝑤0𝜕𝑦2
− 2𝐷16𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦
] 𝛿 (𝜕2𝑤0𝜕𝑥2
)−
+ [𝐴12𝜕𝑢0𝜕𝑥
+ 𝐴22𝜕𝑣0𝜕𝑦
+ 𝐴26 (𝜕𝑢0𝜕𝑦
+𝜕𝑣0𝜕𝑥) − 𝐵12
𝜕2𝑤0𝜕𝑥2
− 𝐵22𝜕2𝑤0𝜕𝑦2
− 2𝐵26𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦
] 𝛿 (𝜕𝑣0𝜕𝑦)−
− [𝐵12𝜕𝑢0𝜕𝑥
+ 𝐵22𝜕𝑣0𝜕𝑦
+ 𝐵26 (𝜕𝑢0𝜕𝑦
+𝜕𝑣0𝜕𝑥) − 𝐷12
𝜕2𝑤0𝜕𝑥2
− 𝐷22𝜕2𝑤0𝜕𝑦2
− 2𝐷26𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦
] 𝛿 (𝜕2𝑤0𝜕𝑦2
)−
+ [𝐴16𝜕𝑢0𝜕𝑥
+ 𝐴26𝜕𝑣0𝜕𝑦
+ 𝐴66 (𝜕𝑢0𝜕𝑦
+𝜕𝑣0𝜕𝑥) − 𝐵16
𝜕2𝑤0𝜕𝑥2
− 𝐵26𝜕2𝑤0𝜕𝑦2
− 2𝐵66𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦
] [𝛿 (𝜕𝑢0𝜕𝑦
) + 𝛿 (𝜕𝑣0𝜕𝑥)]−
− 2 [𝐵16𝜕𝑢0𝜕𝑥
+ 𝐵26𝜕𝑣0𝜕𝑦
+ 𝐵66 (𝜕𝑢0𝜕𝑦
+𝜕𝑣0𝜕𝑥) − 𝐷16
𝜕2𝑤0𝜕𝑥2
− 𝐷26𝜕2𝑤0𝜕𝑦2
−
− 2𝐷66𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦
] 𝛿 (𝜕2𝑤0𝜕𝑥𝜕𝑦
)}𝑑𝑥𝑑𝑦 (5.7)
Para a avaliação numérica do trabalho virtual interno, sua expressão analítica,
equação (5.7) pode ser definida como o somatório das contribuições de cada um dos
(𝑛𝑥 + 1) × (𝑛𝑦 + 1) trechos de integração, podendo ser escrita como a seguir:
𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡 = ∑ 𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡(𝑛º 𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜)
(𝑛𝑥+1)×(𝑛𝑦+1)
𝑛º 𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜=1
(5.8. 𝑎)
61
Em seguida, utilizando as representações em diferenças finitas da Tabela 5-1 e
a equação (5.3), juntamente com os sistemas de numeração local e global, definem-se as
seguintes expressões:
𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡 = ∑ ∑∑[𝐶(𝑝, 𝑞, 𝑛º 𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜)]𝐴𝑞𝑛º 𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜𝛿𝐴𝑝𝑛º 𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜
27
𝑞=1
27
𝑝=1
(𝑛𝑥+1)×(𝑛𝑦+1)
𝑛º 𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜=1
(5.8. 𝑏)
𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡 = ∑ ∑ ∑∑[𝐶(𝑝, 𝑞)]𝐴𝑞[(𝑁𝑁𝑥−2)(𝑖−1)+𝑗]𝛿𝐴𝑝[(𝑁𝑁𝑥−2)(𝑖−1)+𝑗]
27
𝑞=1
27
𝑝=1
(𝑛𝑥+1)
𝑗=1
(𝑛𝑦+1)
𝑖=1
(5.8. 𝑐)
onde C representa os coeficientes relacionados às propriedades geométricas e mecânicas
de cada trecho da placa, além da área do trecho de integração 𝜆𝑥𝜆𝑦. Os índices p e q
estão associados ao sistema de numeração local e representam, respectivamente, a
posição de um deslocamento e de uma variação de deslocamento.
Tabela 5-2-Área de cada trecho de integração
Área dos trechos de integração
Tipo 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Área 𝜆𝑥𝜆𝑦
4 𝜆𝑥𝜆𝑦
2 𝜆𝑥𝜆𝑦
4 𝜆𝑥𝜆𝑦
2 𝜆𝑥𝜆𝑦
𝜆𝑥𝜆𝑦
2 𝜆𝑥𝜆𝑦
4 𝜆𝑥𝜆𝑦
2 𝜆𝑥𝜆𝑦
4
Para ilustração apresenta-se a seguir a obtenção dos coeficientes para um
trecho de integração tipo 5. Para tanto toma-se por base a representação em diferenças
finitas energéticas (Tabela 5-1 e Figura 5.3) e o sistema de numeração local.
62
𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡 = {[𝐴11 (
𝐺16 − 𝐺10
2𝜆𝑥) + 𝐴12 (
𝐺23 − 𝐺5
2𝜆𝑦) + 𝐴16 (
𝐺22 − 𝐺4
2𝜆𝑦+𝐺17 − 𝐺11
2𝜆𝑥)
−𝐵11
𝜆𝑥2(𝐺18 − 2𝐺15 + 𝐺12) −
𝐵12
𝜆𝑦2(𝐺24 − 2𝐺15 + 𝐺6)
−2𝐵164𝜆𝑥𝜆𝑦
(𝐺27 − 𝐺21 − 𝐺9 + 𝐺3)] (𝛿𝐺16 − 𝛿𝐺10
2𝜆𝑥) −
− [𝐵11 (𝐺16 − 𝐺10
2𝜆𝑥) + 𝐵12 (
𝐺23 − 𝐺5
2𝜆𝑦) + 𝐵16 (
𝐺22 − 𝐺4
2𝜆𝑦+𝐺17 − 𝐺11
2𝜆𝑥)
−𝐷11
𝜆𝑥2(𝐺18 − 2𝐺15 + 𝐺12) −
𝐷12
𝜆𝑦2(𝐺24 − 2𝐺15 + 𝐺6)
−2𝐷164𝜆𝑥𝜆𝑦
(𝐺27 − 𝐺21 − 𝐺9 + 𝐺3)] (1
𝜆𝑥2(𝛿𝐺18 − 2𝛿𝐺15 + 𝛿𝐺12))−
+ [𝐴12 (𝐺16 − 𝐺10
2𝜆𝑥) + 𝐴22 (
𝐺23 − 𝐺5
2𝜆𝑦) + 𝐴26 (
𝐺22 − 𝐺4
2𝜆𝑦+𝐺17 − 𝐺11
2𝜆𝑥)
−𝐵12
𝜆𝑥2(𝐺18 − 2𝐺15 + 𝐺12) −
𝐵22
𝜆𝑦2(𝐺24 − 2𝐺15 + 𝐺6)
−2𝐵264𝜆𝑥𝜆𝑦
(𝐺27 − 𝐺21 − 𝐺9 + 𝐺3)] (𝛿𝐺23 − 𝛿𝐺5
2𝜆𝑦)−
− [𝐵12 (𝐺16 − 𝐺10
2𝜆𝑥) + 𝐵22 (
𝐺23 − 𝐺5
2𝜆𝑦) + 𝐵26 (
𝐺22 − 𝐺4
2𝜆𝑦+𝐺17 − 𝐺11
2𝜆𝑥)
−𝐷12
𝜆𝑥2(𝐺18 − 2𝐺15 + 𝐺12) −
𝐷22
𝜆𝑦2(𝐺24 − 2𝐺15 + 𝐺6)
−2𝐷264𝜆𝑥𝜆𝑦
(𝐺27 − 𝐺21 − 𝐺9 + 𝐺3)](1
𝜆𝑦2(𝛿𝐺24 − 2𝛿𝐺15 + 𝛿𝐺6))−
+ [𝐴16 (𝐺16 − 𝐺10
2𝜆𝑥) + 𝐴26 (
𝐺23 − 𝐺5
2𝜆𝑦) + 𝐴66 (
𝐺22 − 𝐺4
2𝜆𝑦+𝐺17 − 𝐺11
2𝜆𝑥)
−𝐵16
𝜆𝑥2(𝐺18 − 2𝐺15 + 𝐺12) −
𝐵26
𝜆𝑦2(𝐺24 − 2𝐺15 + 𝐺6)
−2𝐵664𝜆𝑥𝜆𝑦
(𝐺27 − 𝐺21 − 𝐺9 + 𝐺3)] [𝛿𝐺22 − 𝛿𝐺4
2𝜆𝑦+𝛿𝐺17 − 𝛿𝐺11
2𝜆𝑥]−
− 2 [𝐵16 (𝐺16 − 𝐺10
2𝜆𝑥) + 𝐵26 (
𝐺23 − 𝐺5
2𝜆𝑦) + 𝐵66 (
𝐺22 − 𝐺4
2𝜆𝑦+𝐺17 − 𝐺11
2𝜆𝑥)
−𝐷16
𝜆𝑥2(𝐺18 − 2𝐺15 + 𝐺12) −
𝐷26
𝜆𝑦2(𝐺24 − 2𝐺15 + 𝐺6)−
63
−2𝐷664𝜆𝑥𝜆𝑦
(𝐺27 − 𝐺21 − 𝐺9 + 𝐺3)] (1
4𝜆𝑥𝜆𝑦(𝛿𝐺27 − 𝛿𝐺21 − 𝛿𝐺9
+ 𝛿𝐺3))}𝜆𝑥𝜆𝑦 (5.9)
onde 𝐺𝑖 representa determinado grau de liberdade associado ao trecho de integração,
𝐴𝑖𝑗 , 𝐵𝑖𝑗 𝑒 𝐷𝑖𝑗 representam a rigidez do laminado, e 𝜆𝑥 𝑒 𝜆𝑦 são os comprimentos do
trecho de integração nas direções x e y, respectivamente.
5.5 AVALIAÇÃO NUMÉRICA DO TRABALHO REALIZADO PELAS
FORÇAS EXTERNAS
A avaliação do trabalho virtual externo também é feita somando-se as
contribuições dos diversos trechos de integração, associados à expressão a seguir:
𝛿𝑊𝑒𝑥𝑡 = ∫ 𝑞𝑧(𝑥, 𝑦)𝛿𝑤0𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐴+ ∫ (��𝑥𝑥𝛿𝑢0 + ��𝑥𝑦𝛿𝑣0 + ��𝑥𝑧𝛿𝑤0 −
𝑏
0
��𝑥𝑥𝛿 (𝜕𝑤0
𝜕𝑥))
𝑥=0
𝑥=𝑎
𝑑𝑦 + +∫ (��𝑦𝑥𝛿𝑢0 + ��𝑦𝑦𝛿𝑣0 + ��𝑦𝑧𝛿𝑤0 −𝑎
0
−��𝑦𝑦𝛿 (𝜕𝑤0
𝜕𝑦))
𝑦=0
𝑦=𝑏
𝑑𝑥 (5.10)
que pode ser reescrita a partir da discretização da placa e do sistemas de representação
global e local, além das representações em diferenças finitas energéticas, do mesmo
modo que para 𝛿𝑊𝑖𝑛𝑡, obtendo a expressão a seguir, particularizada para os trechos do
tipo 5, tipo 2 e tipo 4 para a representação das cargas de domínio, bordos y=0 e x=0,
respectivamente:
𝛿𝑊𝑒𝑥𝑡(5) = 𝑞𝑧𝜆𝑥𝜆𝑦𝛿𝐺15 (5.11a)
𝛿𝑊𝑒𝑥𝑡(2) = [��𝑦𝑥𝛿𝐺13 + ��𝑦𝑦𝛿𝐺14 + ��𝑦𝑧𝛿𝐺15 − ��𝑦𝑦𝛿 (𝐺24 − 𝐺62𝜆𝑦
)] 𝜆𝑥 (5.11b)
64
𝛿𝑊𝑒𝑥𝑡(4) = [��𝑥𝑥𝛿𝐺13 + ��𝑥𝑦𝛿𝐺14 + ��𝑥𝑧𝛿𝐺15 − ��𝑥𝑥𝛿 (𝐺18 − 𝐺122𝜆𝑥
)] 𝜆𝑦 (5.11c)
5.6 INTRODUÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO
As condições de contorno e de canto, que devem ser aplicadas antes da
resolução do sistema linear, são expressas nas Tabela 5-3 e Tabela 5-4,
respectivamente. Observar que os deslocamentos dos nós virtuais que não participam
efetivamente da solução do problema são mantidos com valor nulo.
Tabela 5-3-Condições de contorno do problema
Condições de contorno
x=0 x=La
u=0 𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+1]−2 = 0 →
𝛿𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+1]−2 = 0
𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+𝑁𝑁𝑥−1]−2 = 0 →
𝛿𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+𝑁𝑁𝑥−1]−2 = 0
v=0 𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+1]−1 =→
𝛿𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+1]−1 = 0
𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+𝑁𝑁𝑥−1]−1 = 0 →
𝛿𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+𝑁𝑁𝑥−1]−1 = 0
w=0 𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+1] = 0 →
𝛿𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+1] = 0
𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+𝑁𝑁𝑥−1] = 0 →
𝛿𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+𝑁𝑁𝑥−1] = 0
𝝏𝒘𝟎𝝏𝒙
= 𝟎 𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+2] − 𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)] = 0 →
𝛿𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+2] − 𝛿𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)] = 0
𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+𝑁𝑁𝑥] − 𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+𝑁𝑁𝑥−2] = 0 →
𝛿𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+𝑁𝑁𝑥] − 𝛿𝐴3[𝑖(𝑁𝑁𝑥)+𝑁𝑁𝑥−2] = 0
y=0 y=Lb
u=0 𝐴3[𝑁𝑁𝑥+1+𝑗]−2 = 0 →
𝛿𝐴3[𝑁𝑁𝑥+1+𝑗]−2 = 0
𝐴3[(𝑁𝑁𝑥)(𝑁𝑁𝑦−2)+1+𝑗]−2 = 0 →
𝛿𝐴3[(𝑁𝑁𝑥)(𝑁𝑁𝑦−2)+1+𝑗]−2 = 0
v=0 𝐴3[𝑁𝑁𝑥+1+𝑗]−1 = 0 →
𝛿𝐴3[𝑁𝑁𝑥+1+𝑗]−1 = 0
𝐴3[(𝑁𝑁𝑥)(𝑁𝑁𝑦−2)+1+𝑗]−1 = 0 →
𝛿𝐴3[(𝑁𝑁𝑥)(𝑁𝑁𝑦−2)+1+𝑗]−1 = 0
w=0 𝐴3[𝑁𝑁𝑥+1+𝑗] = 0 →
𝛿𝐴3[𝑁𝑁𝑥+1+𝑗] = 0
𝐴3[(𝑁𝑁𝑥)(𝑁𝑁𝑦−2)+1+𝑗] = 0 →
𝛿𝐴3[(𝑁𝑁𝑥)(𝑁𝑁𝑦−2)+1+𝑗] = 0
𝝏𝒘𝟎𝝏𝒚
= 𝟎 𝐴3[2𝑁𝑁𝑥+1+𝑗] − 𝐴3[1+𝑗] = 0 →
𝛿𝐴3[2𝑁𝑁𝑥+1+𝑗] − 𝛿𝐴3[1+𝑗] = 0
𝐴3[(𝑁𝑁𝑥)(𝑁𝑁𝑦−2)+1+𝑗+𝑁𝑁𝑥]
− 𝐴3[(𝑁𝑁𝑥)(𝑁𝑁𝑦−2)+1+𝑗+𝑁𝑁𝑥]
= 0 →
65
𝛿𝐴3[(𝑁𝑁𝑥)(𝑁𝑁𝑦−2)+1+𝑗+𝑁𝑁𝑥]
− 𝛿𝐴3[(𝑁𝑁𝑥)(𝑁𝑁𝑦−2)+1+𝑗+𝑁𝑁𝑥]
= 0
Tabela 5-4 - Condições de canto
Condições de Canto
Canto (0,0) (0,La)
w=0 𝐴3(𝑁𝑁𝑥+2) = 0 →
𝛿𝐴3(𝑁𝑁𝑥+2) = 0
𝐴3(2𝑁𝑁𝑥−1) = 0 →
𝛿𝐴3(2𝑁𝑁𝑥−1) = 0
Canto (Lb,0) (Lb,La)
w=0 𝐴3[(𝑁𝑁𝑥)(𝑁𝑁𝑦−1)+2] = 0 →
𝛿𝐴3[(𝑁𝑁𝑥)(𝑁𝑁𝑦−2)+2] = 0
𝐴3[(𝑁𝑁𝑥)(𝑁𝑁𝑦−1)−1] = 0 →
𝛿𝐴3[(𝑁𝑁𝑥)(𝑁𝑁𝑦−1)−1] = 0
5.7 FLUXOGRAMA DA SOLUÇÃO INCREMENTAL – ITERATIVA
BASEADA NO MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON REGULAR
Este item descreve de forma sucinta o programa desenvolvido com base na
formulação apresentada anteriormente. Para tal foi elaborado um fluxograma
simplificado para a solução incremental-iterativa, juntamente com alguns comentários a
respeito das principais etapas do processo.
66
Início
Entra com as propriedades
geométricas e mecânicas da
placa (D = 0)
Entra com o carregamento,e
condições de contorno e a
tolerância
Montagem da matriz dos
coeficientes dependentes do
dano [K(Dj)]
Montagem do Vetor de
Cargas [Rj]
Resolução do Sistema
Linear
[K(Dj)]δDeslj=[Rj]
Ocorreu
Dano?
Atualização das variáveis:
휀𝑥, 휀𝑦, 𝛾𝑥𝑦, 𝜎𝑥, 𝜎𝑦, 𝜏𝑥𝑦 𝑒 𝐷
j=j+1
1
NÃO
SIM
2
A
B
C
67
1
Montagem da matriz dos
coeficientes com o Dano
atualizado [K(Dja)]
Determinação do resíduo
[Rja]
[Rj] - [K(Dja)]=[Rja]
Resolução do Sistema
Linear
[K(Dja)]δDeslja=[Rja]
Deslja=Deslj+δDeslja
Atualização das variáveis:
휀𝑥, 휀𝑦 , 𝛾𝑥𝑦, 𝜎𝑥, 𝜎𝑦, 𝜏𝑥𝑦 𝑒 𝐷
(|| Deslja-
Deslj||)/||Deslj||≤tole
rância
NÃO
2
Limite de
Desl.
Atingido?
NÃO
FIM
SIM
SIM
D
E
68
BLOCO A – Este bloco compreende a entrada de dados do programa. Neste
momento são inseridas as dimensões da placa, nível de discretização, quantidade de
materiais e propriedades dos mesmos, número de camadas, espessura e material
constituinte de cada camada. Ainda no bloco A, são definidos os tipos de carregamento,
passo de carga, limite máximo de deslocamento, e as condições de contorno do
problema.
BLOCO B – Neste bloco é realizada a análise do problema, com a montagem
da matriz dos coeficientes (que pode ou não ter sido afetada pelo processo de dano) e do
vetor de cargas. Em seguida faz-se a resolução do sistema linear e a atualização dos
resultados de Deformações, Tensões e Dano na camada e trecho estudado.
BLOCO C – Esse bloco é responsável por definir o início ou não da não
linearidade física. Cabe ressaltar que, de acordo com as premissas do modelo de dano,
após o início do dano a não linearidade dar-se-á até o final do processo.
BLOCO D – Nesse bloco ocorre o processo iterativo de convergência. A
matriz dos coeficientes é atualizada em função dos níveis de dano, para que se possa
definir o desequilíbrio entre o trabalho interno e externo, gerado pela liberação de
energia no processo de fissuração e, a partir disto, é resolvido um novo sistema linear
buscando equilibrar o sistema. O processo é repetido até que o resíduo seja
suficientemente pequeno, atendendo a tolerância.
BLOCO E – Este bloco é responsável por definir os critérios para o fim da
análise. O processo será finalizado quando o deslocamento limite definido pelo usuário
for atingido. É importante salientar que esta é a forma do usuário limitar o processo,
porém a finalização do mesmo pode=se dar-se de outras formas, como, por exemplo, a
impossibilidade de resolução do sistema linear ou a divergência no processo iterativo, as
quais caracterizando a impossibilidade de se estabelecer uma condição de equilíbrio,
representando o colapso do elemento.
69
6 RESULTADOS E DISCUSSÕES
No presente capítulo serão apresentados e simulados alguns casos de lajes sob
flexão, encontrados na literatura, visando confirmar a capacidade do modelo aqui
apresentado de prever o comportamento de tais elementos estruturais. Para tanto a
simulação das lajes será baseada no diagrama carga-deslocamento, e na previsão do
colapso da estrutura.
Antes de se passar para os casos acima referidos cabe informar a metodologia
empregada na obtenção dos cinco parâmetros de dano associados aos concretos
utilizados nas lajes. A partir das características apresentadas para o concreto de ambas
as lajes, foram obtidos diagramas tensão-deformação teóricos (Figura 6.1), utilizando as
equações de dano, com a escolha de valores adequados para os parâmetros 𝐴𝑡, 𝐵𝑡, 𝐴𝑐 e
𝐵𝑐. Para tanto, inicialmente determina-se o parâmetro de deformação 휀𝑑𝑜 a partir da
tensão máxima de tração do concreto (𝑓𝑡), pela aplicação direta da forma uniaxial da Lei
de Hooke. Em seguida, passa-se a geração das curvas teóricas tensão-deformação
buscando-se ajustá-las às curvas experimentais correspondentes (tração uniaxial e
compressão uniaxial), pela manipulação das constantes 𝐴𝑡, 𝐵𝑡, 𝐴𝑐 e 𝐵𝑐.
No caso da tração, as constantes 𝐴𝑡 e 𝐵𝑡 são determinadas de modo a gerar um
diagrama tensão-deformação associado ao comportamento frágil do concreto, sendo 𝑓𝑡 a
tensão máxima observada (onde ocorre 휀𝑑𝑜). Cabe mencionar, nesse ponto, que os
valores adotados para 𝐴𝑡 foram similares aos encontrados por Lemaitre e Mazars (1982)
e Challamel (2010), na modelagem de vigas de concreto armado. No tocante à
compressão, os parâmetros 𝐴𝑐 e 𝐵𝑐 são determinados de forma a se obter a tensão
máxima de compressão do material (𝑓𝑐) associada a uma deformação (de pico) entre 2‰
e 3‰.
Deve ser informado que para os concretos assim modelados não foram
apresentadas as curvas experimentais correspondentes, em razão de não terem sido
determinadas pelos autores dos respectivos experimentos. Todavia, isto não se mostrou
uma dificuldade já que foi levado em consideração apenas o conhecimento já
estabelecido para a forma do diagrama tensão-deformação de concretos convencionais,
conforme descrito na metodologia acima. Este aspecto pode ser destacado como uma
vantagem de se empregar o modelo de dano aqui utilizado na modelagem de lajes.
70
Figura 6.1 - Modelo padrão para o diagrama tensão-deformação à tração uniaxial para o concreto
Cabe registrar ainda, também como um aspecto metodológico, a estratégia
adotada nas análises para inserir as armaduras de aço das lajes na discretização
utilizada. De fato, para todos os casos estudados a armadura foi modelada como uma
camada uniaxial (com módulo de elasticidade longitudinal apenas na direção das
barras), sendo o centro da camada coincidente com o centro geométrico da armadura, e
a espessura da camada foi definida de forma a resultar na área de aço. Nesse ponto deve
ser esclarecido, que embora o programa possibilite a inserção do conceito de camada
compósita, como definido em Jones (1999), este artifício não será utilizado nas análises,
ainda que proporcione resultados equivalentes aos obtidos com a consideração de
camada uniaxial, por apresentar o inconveniente de não fornecer de forma direta, uma
saída tensão-deformação para os materiais constituintes de forma separada, já que nessa
abordagem a camada é compósita.
O nível de discretização do domínio da placa teve por base os resultados da
análise linear obtidos por Lima (2010), que testou as condições de contorno e
carregamentos presentes nos casos de 01 a 03. Baseado nos resultados obtidos no
referido trabalho, adotou-se discretizações iguais ou superiores às de convergência. Para
o Caso 04 a discretização foi definida de forma a possibilitar as condições de
Ten
são
Deformação
εdo
ft
0.2ft
At = 0.8Bt = 10000
71
carregamento, considerando que por questões de programação as cargas devem ser
aplicadas diretamente nos pontos da placa.
Por fim, cabe informar que, como todos os casos estudados apresentam dupla
simetria, os testes foram realizados a partir da modelagem de ¼ de placa, por
possibilitar um menor esforço computacional, o que permitiu uma melhor discretização
das placas.
6.1 CASO 01 – LAJE SIMPLESMENTE APOIADA COM CARREGAMENTO
UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDO
Foi simulada uma laje simplesmente apoiada ensaiada experimentalmente por
Taylor, Mather e Hayes (1966), a qual possui armaduras com diâmetro de 4,76 mm nas
duas direções, mas com espaçamentos distintos. As características da laje são mostradas
na Figura 6.2, e as propriedades dos materiais utilizados estão listados na Tabela 6-1:
Figura 6.2 - Características geométricas e posicionamento do reforço
FONTE: Jiang e Mirza (1993)
Tabela 6-1 - Propriedades dos materiais utilizados
Concreto Aço
E 32,42 GPa E 206,91 GPa
ν 0,18 fy 375,90 MPa
fC 35,04 MPa
fT 3,60 Mpa
Os parâmetros de dano utilizados para a simulação foram:
𝐴𝑡= 0,80
72
𝐵𝑡 = 10000
휀𝑑𝑜= 0,00011
𝐴𝑐 = 1
𝐵𝑐 = 1600
A partir desses parâmetros foram gerados os dois diagramas tensão-
deformação apresentados a seguir:
Figura 6.3 - Diagrama tensão x deformação para o concreto à tração
Figura 6.4 - Diagrama tensão x deformação para o concreto à compressão
0,0E+00
5,0E+05
1,0E+06
1,5E+06
2,0E+06
2,5E+06
3,0E+06
3,5E+06
4,0E+06
0,0E+00 2,0E-04 4,0E-04 6,0E-04 8,0E-04 1,0E-03
Ten
são
(P
a)
Deformação
0,0E+00
5,0E+06
1,0E+07
1,5E+07
2,0E+07
2,5E+07
3,0E+07
3,5E+07
4,0E+07
0,0E+00 5,0E-03 1,0E-02 1,5E-02 2,0E-02
Ten
são
(P
a)
Deformação
73
Para a modelagem foi utilizada uma discretização da placa em 8 x 8
subdivisões. Além do confronto com o resultado experimental, também foi realizado um
estudo da influência das diferentes formas de avaliação da redução do módulo de
elasticidade transversal durante o processo de fissuração. Para tanto, foram então
experimentadas três situações:
1. A consideração da redução do módulo de elasticidade transversal em
função do dano do concreto, ou seja: 𝐺12 =𝐸1(1−𝐷𝑐)
2(1+𝜐) , onde 𝐸1 = 𝐸𝑐, 𝜐 = 𝜐𝑐 e 𝐷𝑐 =
𝛼𝑡𝐷𝑐𝑡 + 𝛼𝑐𝐷𝑐𝑐;
2. A consideração de que o módulo de elasticidade transversal mantém-se
constante, mesmo após o início do processo de fissuração, e proporcional ao módulo de
elasticidade longitudinal inicial: 𝐺12 =𝐸1
2(1+𝜐) , com 𝐸1 = 𝐸𝑐 e 𝜐 = 𝜐𝑐;
3. A consideração da redução do módulo de elasticidade transversal em
função do dano por tração, ou seja, 𝐺12 =𝐸1(1−𝛼𝑡𝐷𝑐𝑡)
2(1+𝜐) , sendo 𝐸1 = 𝐸𝑐 e 𝜐 = 𝜐𝑐.
O resultado comparativo para o diagrama carga-deslocamento no centro da
placa é apresentado na Figura 6.5.
Figura 6.5 - Carga x deslocamento do ponto central
0
20
40
60
80
100
120
140
0 10 20 30 40 50
Carg
a e
quiv
ale
nte
(kN
)
Deslocamento do ponto central (mm)
Experimental
Situação 01
Situação 02
Situação 03
74
A partir do exposto na figura observa-se que o módulo de elasticidade
transversal do concreto exerce uma influência bastante significativa para os problemas
caracterizados por essa condição de contorno. Além disso, percebe-se a que a situação
02 ocasiona uma resposta demasiadamente rígida na modelagem, tornando-a uma opção
inviável para o modelo. Por outro lado, a situação 01 representa bem o início da não
linearidade, porém fornece respostas pouco rígidas e com ruptura anterior a verificada
experimentalmente. Já a situação 03 consegue representar de forma satisfatória o início
da fissuração, mantendo certa proximidade com a curva experimental e boa precisão na
ruptura. Portanto, constata-se que a situação 03 é a melhor alternativa para uma
simulação com bons resultados.
Cabe ressaltar que, do ponto de vista teórico, o ideal seria a adoção de um
modelo específico para a representação dessa variável, como por exemplo, o visto em
Pituba (2010). Porém, considerando que modelos desse tipo necessitam de ensaios
específicos e como o presente trabalho foca na obtenção de um modelo cuja obtenção
dos parâmetros seja a mais simples possível, será aplicado nos demais casos a
consideração da situação 03, ficando desde já como proposta para trabalhos futuros, a
implementação de um modelo específico para tal situação.
Partindo para a avaliação do resultado obtido para a situação 03, nota-se uma
perda de rigidez no início do dano, seguida de uma recuperação, com posterior
estabilização em relação ao resultado experimental. A simulação prosseguiu até o
programa não encontrar mais solução, sendo que o encerramento coincidiu com a
ruptura experimental, o que caracteriza a ausência de uma nova configuração de
equilíbrio.
Uma investigação mais detalhada da ruptura revelou que de acordo com os
resultados apresentados pelo programa, o escoamento da armadura teve início a uma
carga de 83,72 kN, e o colapso da estrutura ocorreu após a ruptura da armadura (ε =
0,01), com uma deformação do concreto da camada mais comprimida no valor de
aproximadamente 2x10-3 (Figura 6.6), o que caracteriza uma ruptura do tipo super
armada para a laje. Portanto, pode-se concluir que os resultados obtidos para o presente
caso foram satisfatórios, tanto do ponto de vista carga-deslocamento quanto da previsão
do colapso.
75
Figura 6.6 - Deformação ao longo da espessura no ponto central da laje
Para concluir os estudos do presente caso, foi realizada uma análise da
influência do número de camadas no resultado apresentado pelo programa. Na Figura
6.7 é apresentado o comparativo entre os resultados carga-deslocamento para uma
estratificação da placa em 10, 15, 22 e 36 camadas de concreto.
Pode ser observado na figura que a partir de 15 camadas de concreto não
ocorreram alterações significativas nos resultados. Com base no exposto, compreende-
se que é aceitável admitir espessuras situadas dentre esses intervalos sem alterações
significativas no resultado final das modelagens.
-2,39E-002
-1,89E-002
-1,39E-002
-8,90E-003
-3,90E-003
1,10E-003
6,10E-003
1,11E-002
1,61E-002
2,11E-002
-0,004 -0,002 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012
Espessura
(m
)
Deformação
Perfil de deformações
aço
76
Figura 6.7 - Influência do número de camadas no comportamento carga-flecha do elemento
Por fim, é apresentado na Figura 6.8, um comparativo do modelo proposto
utilizando 36 camadas com os resultados apresentados por Jiang e Mirza (1997)
utilizando modelagem em Elementos Finitos com 4 (2 x 2) e 36 (6 x 6) elementos
finitos. Conforme apresentado em 2.5.1 no trabalho de Jiang e Mirza (1997) foi
desenvolvido um modelo combinando o MEF, através de um elemento finito
quadrilátero, com 20 graus de liberdade por elemento, a Teoria Clássica de Flexão de
Placas e um modelo de plasticidade para o comportamento mecânico do concreto. O
comparativo entre os resultados novamente evidencia a eficiência do modelo baseado
no MDFE, tendo em vista que o modelo baseado no MEF e o baseado em MDFE
apresentam convergência para um número próximo de graus de liberdade (245 e 283
graus de liberdade respectivamente).
0
20
40
60
80
100
120
140
0 10 20 30 40 50 60
Carg
a e
quiv
ale
nte
(kN
)
Deslocamento no centro da placa (mm)
Experimental
10 Camadas
15 camadas
22 camadas
36 camadas
77
Figura 6.8 - Modelo proposto comparado com outros modelos
6.2 CASO 02 – LAJE QUADRADA APOIADA NOS CANTOS, COM
CARREGAMENTO APLICADO NO CENTRO (ARMADURA INFERIOR).
Neste exemplo foi simulado o comportamento carga-deslocamento no centro de
uma laje ensaiada experimentalmente por Jofriet e McNeice (1971), com as
características mostradas na Figura 6.9 e Tabela 6-2.
Figura 6.9 - Características geométricas da laje estudada
FONTE: Krätzig e Pöling (2004)
0
20
40
60
80
100
120
140
0 10 20 30 40 50 60
Carg
a e
quiv
ale
nte
(kN
)
Deslocamento no centro da laje (mm)
Experimental
Jiang e Mirza (1997) 6 x 6
Jiang e Mirza (1997) 2 x 2
Modelo proposto
78
Tabela 6-2 - Propriedades dos materiais constituintes
Concreto Aço
E 28,613 GPa E 201,30 GPa
ν 0,15 fy 345,40 MPa
fC 37,92 MPa
fT 2,90 Mpa e 3,80 Mpa (adotado)
Os parâmetros de Dano utilizados na simulação foram:
𝐴𝑡= 0,80
𝐵𝑡 = 10000
휀𝑑𝑜= 0,000101 (2,90 MPa) e 0,000132 (3,80 MPa)
𝐴𝑐 = 1
𝐵𝑐 = 1550 (2,90 MPa) e 1650 (3,80 MPa)
A adoção desses parâmetros proporciona os diagramas tensão deformação
idealizados e apresentados a seguir para fT de 3,80 MPa:
Figura 6.10 - Diagrama tensão x deformação para o concreto à tração
0,00E+00
5,00E+05
1,00E+06
1,50E+06
2,00E+06
2,50E+06
3,00E+06
3,50E+06
4,00E+06
4,50E+06
0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03
Ten
são
(P
a)
Deformação
79
Figura 6.11 - Diagrama tensão x deformação para o concreto à compressão
Foi utilizada uma discretização de 14 x 14 subdivisões, para o estudo também
foi realizada a simulação para 10, 15, 22 e 36 camadas (Figura 6.12), observando-se
convergência a partir de 15 camadas. O resultado comparativo para o diagrama carga-
deslocamento no centro da placa é apresentado na Figura 6.13:
Figura 6.12 - Influência do número de camadas no comportamento carga-flecha do elemento
0,00E+00
5,00E+06
1,00E+07
1,50E+07
2,00E+07
2,50E+07
3,00E+07
3,50E+07
4,00E+07
4,50E+07
0,00E+00 5,00E-03 1,00E-02 1,50E-02 2,00E-02
Ten
são
Deformação
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Carg
a a
plic
ada (
kN
)
Deslocamento no centro da laje (mm)
Experimental
10 camadas
15 camadas
22 camadas
36 camadas
80
Figura 6.13 - Diagrama carga x deslocamento
Figura 6.14 - Diagrama carga x deslocamento
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Carg
a a
plic
ada (
kN
)
Deslocamento no centro da laje (mm)
Experimental
Simulação Krätzig e Pöling (2004) (Ft = 2,90 MPa)
Modelo Proposto (Ft = 3,80 MPa)
Modelo Proposto (Ft = 2,90 MPa)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Carg
a a
plic
ada (
kN
)
Deslocamento no centro da laje (mm)
Experimental
Simulação Crisfield (1981) (Ft = 2 MPa)
Simulação Doulah e Kabir (2001) (Ft = 3,80 MPa)
Simulação Krätzig e Pöling (2004) (Ft = 2,90 MPa)
Zhang et al (2007) (Ft = 3,80 Mpa)
Modelo Proposto (Ft = 3,80 MPa)
Modelo Proposto (Ft = 2,90 MPa)
81
Observa-se novamente uma perda de rigidez após a danificação, com posterior
recuperação e ruptura coincidente com o observado experimentalmente. Nas Figura 6.14
são apresentados comparativos entre o modelo de 36 camadas com diversos outros
autores que também modelaram a referida laje, demonstrando mais uma vez a eficiência
do modelo. A respeito da ruptura do elemento, conforme mostrado na Figura 6.15,
informa-se que na última condição de equilíbrio o aço encontrava-se em estágio de
escoamento, com deformação na ordem de 6,3 x 10-3, e o concreto com deformação
máxima de 5,7 x 10-3. Portanto, o colapso da estrutura aconteceu após o escoamento do
reforço, caracterizando uma ruptura de laje normalmente armada.
Novamente considera-se o resultado encontrado satisfatório, ressaltando-se a
simplicidade do modelo e a facilidade de obtenção dos parâmetros adotados.
Figura 6.15 - Deformação ao longo da espessura no ponto central da laje
6.3 CASO 03 – PLACA QUADRADA APOIADA NOS CANTOS COM
CARREGAMENTO APLICADO NO CENTRO (ARMADURA SUPERIOR
E INFERIOR).
Para esse caso foi simulado o resultado obtido experimentalmente por Duddeck
et. al (1978), que consiste em uma placa apoiada nos cantos, com carregamento pontual
-2,14E-002
-1,64E-002
-1,14E-002
-6,40E-003
-1,40E-003
3,60E-003
8,60E-003
1,36E-002
1,86E-002
-1,00E-002 -5,00E-003 0,00E+000 5,00E-003 1,00E-002 1,50E-002
Espessura
(m
)
Deformação
Perfil de deformações
Aço
82
aplicado no centro da mesma. A Figura 6.16 mostra as dimensões da placa em estudo,
enquanto as propriedades dos materiais são mostradas na Tabela 6-3:
Figura 6.16 - Características da placa em estudo
FONTE: Adaptado de Zhang Bradford e Gilber (2007)
Tabela 6-3 - Propriedades dos materiais constituintes
Concreto Aço
E 1.64 × 104 N/mm2 E 2.01 × 105 N/mm2
ν 0,15 (Adotado) fy 670 N/mm2
FC 43 N/mm2
fT 3 N/mm2
A laje ensaiada possui reforço nas duas direções tanto em sua parte inferior
quanto superior, sendo distribuídos da seguinte forma:
Armadura superior na direção x = 2,94 cm²;
Armadura superior na direção y = 1,07 cm²;
Armadura inferior na direção x = 6,05 cm²;
Armadura inferior na direção y = 2,20 cm².
Os parâmetros de Dano utilizados para a simulação foram:
𝐴𝑡= 0,80
Carga pontual
Suporte
Suporte
Suporte
Suporte
83
𝐵𝑡 = 10000
휀𝑑𝑜= 0,000182
𝐴𝑐 = 1
𝐵𝑐 = 1200
A adoção desses parâmetros acarreta nos seguintes diagramas tensão-
deformação:
Figura 6.17 - Diagrama tensão x deformação para o concreto à tração
0,00E+00
5,00E+05
1,00E+06
1,50E+06
2,00E+06
2,50E+06
3,00E+06
3,50E+06
0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03
Ten
são
(P
a)
Deformação
84
Figura 6.18 - Diagrama tensão x deformação para o concreto à compressão
Nota-se aqui, diferentemente dos casos anteriores, que não foi possível gerar
um diagrama tensão-deformação à compressão do concreto que associa à resistência
máxima uma deformação de pico na faixa de 2‰ a 3‰. Isto é explicado pelas equações
(3.11) de Mazars, que não conseguem representar a relação entre módulo de elasticidade
e resistência à compressão informada pelos autores, por tratar-se de uma relação não
usual.
Quanto à discretização da placa foram adotadas 11 x 11 subdivisões e a seção
foi modelada como um laminado de 34 camadas. O resultado comparativo carga-
deslocamento no centro da placa é apresentado na Figura 6.19:
0,00E+00
5,00E+06
1,00E+07
1,50E+07
2,00E+07
2,50E+07
3,00E+07
3,50E+07
0,00E+00 5,00E-03 1,00E-02 1,50E-02 2,00E-02
Ten
são
(P
a)
Deformação
85
Figura 6.19 - Diagrama carga x deslocamento
Observa-se a perda de rigidez após a fissuração já presente nas outras análises,
porém para o caso em questão, nota-se uma maior dificuldade em acompanhar a
trajetória da curva experimental. Tal situação pode ser explicada, provavelmente, pela
dificuldade do modelo de Mazars em representar a curva tensão-deformação do
concreto à compressão. Porém, ressalta-se que mesmo assim o modelo conseguiu
determinar com razoável precisão a carga e o deslocamento associados à ruptura.
De acordo com os resultados apresentados pelo programa, no momento da
ruptura o ponto mais comprimido apresentava deformações em torno 9,3 x 10-3 na
direção “x” e 13 x 10-3 na direção “y”, não fornecendo praticamente mais nenhuma
rigidez ao sistema, que consistia basicamente no equilíbrio das armaduras superiores e
inferiores. O colapso então ocorreu, após a ruptura da armadura secundária inferior
(direção y), sendo que as demais armaduras já se encontravam em regime de
escoamento. Esse resultado justifica a boa precisão na previsão de colapso da estrutura,
mesmo não havendo uma adequada representação do comportamento do concreto, tendo
em vista que, para a presente análise, o colapso está mais relacionado com o
comportamento do reforço, do que necessariamente com o concreto.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6
Carg
a (
kN
)
Deslocamento central (cm)
Experimental
Modelo Proposto
86
6.4 CASO 04 – LAJE EM FLEXÃO DE QUATRO PONTOS
Para este item foi simulada uma laje ensaiada experimentalmente por Jain e
Kennedy (1974). As características geométricas da laje estão apresentadas na Figura
6.20, e as propriedades dos materiais constituintes na Tabela 6-4. A laje possui
espessura de 3,8 cm com reforço apenas em sua parte inferior na direção longitudinal,
com relação entre área de aço e área total de 0,00716.
Figura 6.20 - Características geométricas da placa em estudo
FONTE: Crisfield (1982)
Tabela 6-4 - Propriedades dos materiais constituintes
Concreto Aço
E 28,96 GPa E 200 GPa
ν 0,15 (Adotado) fy 211 MPa
fC 31,6 MPa
fT 2 MPa
Os parâmetros de Dano utilizados para a simulação foram:
𝐴𝑡= 0,80
𝐵𝑡 = 10000
휀𝑑𝑜= 0,000069
𝐴𝑐 = 1
𝐵𝑐 = 1980
A adoção desses parâmetros acarretou os diagramas tensão-deformação
idealizados apresentados a seguir:
87
Figura 6.21 - Diagrama tensão x deformação para o concreto à tração
Figura 6.22 - Diagrama tensão x deformação para o concreto à compressão
Para o problema foi adotada uma discretização de 10 x 14 subdivisões, com a
seção formada por 21 camadas. O resultado carga-deslocamento no centro da placa está
apresentado na Figura 6.23:
0,00E+00
5,00E+05
1,00E+06
1,50E+06
2,00E+06
2,50E+06
0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 1,00E-03
Ten
são
(P
a)
Deformação
-5,00E+06
0,00E+00
5,00E+06
1,00E+07
1,50E+07
2,00E+07
2,50E+07
3,00E+07
3,50E+07
0,00E+00 5,00E-03 1,00E-02 1,50E-02 2,00E-02
Ten
são
(P
a)
Deformação
88
Figura 6.23 - Diagrama carga x deslocamento
O resultado segue a tendência dos demais, com perda de rigidez após o início
da fissuração e posterior ganho de rigidez. O colapso da estrutura ocorre após o
escoamento do aço, e com o concreto apresentando deformações da ordem de 4,5 x 10-4
, ainda em regime linear, conforme destacado na Figura 6.24, caracterizando uma
ruptura padrão para lajes pouco armadas.
O resultado apresenta boa previsão de colapso da estrutura, e embora não
apresente igual precisão ao representar a trajetória de equilíbrio experimental, apresenta
boa correlação com o resultado computacional encontrado por Crisfield (1982).
0
2
4
6
8
10
12
14
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Carg
a (
kN
/m)
Deslocamento central (mm)
Experimental
Modelo proposto
Simulação Crisfield
89
Figura 6.24 - Deformação ao longo da espessura no ponto central da laje
-1,81E-002
-1,31E-002
-8,10E-003
-3,10E-003
1,90E-003
6,90E-003
1,19E-002
1,69E-002
-1,00E-003 -5,00E-004 0,00E+000 5,00E-004 1,00E-003 1,50E-003
Espessura
(m
)
Deformações
Perfil de deformações
aço
90
7 CONCLUSÕES
O presente trabalho teve como objetivo principal apresentar um modelo de
flexão de placas de concreto armado baseado na Teoria Clássica de Laminados e no
modelo de dano isotrópico de Mazars (1986), e conseqüentemente, verificar sua
capacidade de representar de forma satisfatória a trajetória de equilíbrio de lajes sob
flexão, a partir do confronto com resultados experimentais presentes na literatura. Nesse
sentido, foram apresentadas formulações para o modelo de dano utilizado e
posteriormente para o problema de placas levando em consideração a resposta não
linear dos materiais (concreto e aço) em um modelo de placa laminada baseado na teoria
Clássica de Laminados, tendo por base a aplicação do princípio dos trabalhos virtuais.
Posteriormente foi apresentado o tratamento numérico do problema, realizado através
do MDFE, e o fluxograma do processo incremental-iterativo utilizado. Com base no
tratamento anteriormente mencionado, foi desenvolvido um programa em linguagem
Fortran, o qual foi em seguida utilizado na simulação de vários casos encontrados na
literatura, dentre os quais foram escolhidos quatro casos de ensaios experimentais de
lajes sob flexão, sendo os principais resultados apresentados aqui de forma sucinta à
seguir.
O primeiro caso abordou uma laje apoiada nos quatro bordos e com
carregamento uniformemente distribuído. Para este exemplo foi estudada a influência da
forma de correlacionar a redução do módulo de elasticidade transversal G com o dano
de Mazars, este associado às deformações extensionais. Conforme os resultados
apontaram, concluiu-se que seria mais conveniente considerar que a redução do módulo
de elasticidade transversal está associada ao dano ocasionado por tração (Dct), com a
ressalva de que o ideal seria a consideração de um modelo específico para esta
grandeza. Com esta conclusão em mente, partiu-se para o confronto com o resultado
experimental, e neste contexto observou-se uma boa previsão da trajetória de equilíbrio
e da ruptura do elemento estrutural. Por fim foi realizada a verificação da influência da
quantidade de camadas na resposta, ficando constatado que a partir de 15 camadas não
se observa mudança significativa na resposta, sendo este, portando um bom número
para a discretização vertical do elemento estrutural.
91
O segundo caso estudado consistiu em uma laje apoiada nos quatro cantos com
carregamento pontual aplicado no centro. Para a modelagem desse caso e de todos os
demais, foram aplicadas as considerações verificadas no exemplo anterior para o G e
para a discretização das camadas. Os resultados apresentados constataram mais uma vez
a eficiência do modelo em descrever a trajetória de equilíbrio e a ruptura do elemento.
O terceiro caso estudado foi similar ao caso anterior no que se refere às
condições de contorno e carregamento, porém com a diferença de apresentar reforço
inferior e superior. Devido à relação não usual entre o módulo de elasticidade e a
resistência de pico à compressão do concreto apresentada pelos autores do ensaio
experimental, não foi possível criar uma curva teórica para o diagrama de compressão
uniaxial que compreendesse a tensão de pico especificada. No entanto, a simulação
apresentou bons resultados, ainda que previsão da trajetória de equilíbrio tenha sido
menos precisa que a previsão de ruptura do sistema estrutural.
No último exemplo foi simulada uma laje sobre flexão de quatro pontos,
sendo os resultados obtidos também satisfatórios. De fato, a ruptura foi prevista com
boa precisão, enquanto a trajetória de equilíbrio seguiu de forma razoável o apresentado
experimentalmente. Porém, esta última se assemelhou bastante a determinada por
Crisfield (1982), este utilizando um outro modelo de comportamento em sua simulação.
A partir do conjunto de resultados acima, pode-se concluir que os objetivos do
presente trabalho foram atendidos, pois ficou evidenciado que o modelo consegue
prever de forma satisfatória o comportamento de lajes de concreto armado sob flexão,
caracterizando assim sua potencialidade, destacando-se ainda a vantagem desse modelo
requerer um número reduzido de parâmetros experimentais e a relativa facilidade de
obtenção dos mesmos.
Por fim apresentam-se algumas sugestões para a continuação do presente
estudo:
Simulação do comportamento de placas reforçadas por outros tipos de
fibras longas;
Aplicação do dano isotrópico de Mazars a uma formulação de placas
que considere o efeito das deformações por cisalhamento;
92
Inserir um modelo específico para a redução do módulo de elasticidade
transversal durante o processo de fissuração;
Implementar à não linearidade geométrica no campo de deslocamentos;
Incorporar modelos de dano ortotrópicos ou anisotrópicos, e compará-
los com os resultados obtidos pelo modelo isotrópico aqui apresentado.
93
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