turunan fungsi trigonometri - · pdf filesman 3 jkt/xii-ipa/matematika p/turunan...
Post on 05-Feb-2018
843 Views
Preview:
TRANSCRIPT
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 1
SOAL-JAWAB MATEMATIKA PEMINATAN
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Soal 1
Jika xxxxf tancossin)( maka ....)0( f
Jawab:
Ingatlah rumus-rumus turunan trigonometri:
xyxy cossin
xyxy sincos
xyxy 2sectan
Karena xxxxf tancossin)(
maka xxxxf 2secsincos)(
0sec0sin0cos)0( 2 f
0cos
101
2
.21
101
Oya, jangan lupa tabel nilai fungsi trigonometri ya…!
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 2
2
Soal 2
Jika xxxf cos42sin)( maka ....)( xf
Jawab:
Perhatikan fungsi pada soal mengandung unsur 2x dan x yang merupakan bentuk
u = fungsi dari (x).
Ingat rumus:
uuyuy )(cossin
uuyuy )(sincos
Karena xxxf cos42sin)(
maka 1
21
21).sin(42).2(cos)(
xxxxf
21
21).(sin42cos2
xxx
21
1)(sin22cos2
xxx
)(sin2
2cos2 xx
x .
Keterangan:
Karena 21
xx maka turunan dari x adalah x
xx1
212
1
21
121
21
.
Perhatikan pada perkalian 2)2(cos x tidak bisa menjadi )4(cos x , juga perkalian
x
x1
)(sin tidak bisa menjadi .1sin
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 3
Soal 3
Diketahui xaxxxf cosecsec2cot)( dan 2)(41 f . Tentukan nilai a.
Jawab:
Perhatikan iklan pada kereta cepat berikut ini!
xyxy 2coseccot
xxyxy sectansec
xxyxy coseccotcosec
Dengan menggunakan rumus tersebut, maka
xaxxxf cosecsec2cot)(
xxaxxxxf cosec cotsectan2cosec)( 2
)(cosec )cot()sec()tan(2)(cosec)(41
41
41
41
412
41 af
)sin(
1
)tan(
1
)cos(
1)tan(2
)(sin
12
41
41
414
1
412
a
Ingat 41
rad = 4518041
, sehingga persamaan menjadi:
)2(
1
1
1
)2(
112
2
12
21
212
21
a
2
2
2
412
)21(
a
2
2422
a
2
244
a
a2424
a2424 222 a .
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 4
Soal 4
Diketahui )2sin(5)( 2 xxxf . Tentukan )(xf .
Jawab:
Gunakan formula: uuaxfuaxf )(cos)(sin)(
Karena )2sin(5)( 2 xxxf
maka )22)](2[cos(5)( 2 xxxxf
)2cos()1010( 2 xxx
)2cos()1(10 2 xxx .
Soal 5
Diketahui xxf 3cos)( . Tentukan )(91 f .
Jawab:
Gunakan formula: UUnxfUxf nn ..)()( 1
Karena 21
)3(cos3cos)( xxxf
maka 3)3sin()3(cos2
1)(
121
xxxf
)3(sin)3(cos2
3 21
xx
x
x
3cos2
3sin3 .
(Di atas kita gunakan turunan dari cos 3x adalah (–sin3x).3)
Sehingga
60cos2
60sin3
3cos2
3sin3)(
91
91
91f
62
6
2
33
432
3
21
21
.
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 5
Soal 6
Diketahui xxxf 2tan)( 2 . Tentukan )(xf .
Jawab:
Gunakan formula: VUVUxfVUxf )(.)(
dengan 2xU dan xV 2tan .
Jadi, VUxxxf .2tan)( 2
VUVUxf )(
2).2(sec2tan2 22 xxxx
xxxx 2sec22tan2 22 .
Soal 7
Diketahui x
xxf
sin1
6cos)(
. Tentukan )
2(
f .
Jawab:
Gunakan formula: 2)()(
V
VUVUxf
V
Uxf
dengan xU 6cos dan 21
)(sin1sin1 xxV .
Cari dulu U dan V :
xxU 6sin66).6(sin
x
xxxxxV
sin
cos)(cos)(sin)(cos)(sin
212
1
21
121
21
Maka 2
21
2 )sin1(
sin
cos).6(cos)sin1)(6(sin6
)(x
x
xxxx
V
VUVUxf
Masukkan
902
x ,
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 6
2
21
)90sin1(
90sin
90cos).540(cos)90sin1)(540(sin6
)90()2
(
ff
.04
00
)11(
1
0).1()11(06
)2
(2
21
f
Soal 8
Jelasin aku dong tentang titik maksimum global (mutlak), titik maksimum lokal (relatif),
titik minimum global (mutlak), titik minimum lokal (relatif), titik ekstrim, titik
stasioner, titik singular, fungsi naik, fungsi turun, cekung ke atas, cekung ke bawah dan
titik belok dari fungsi y = f (x) ! Maaf ya merepotkan…!
Jawab:
Titik maksimum global (atau disebut juga titik maksimum mutlak) dari grafik
)(xfy adalah titik yang paling tinggi pada grafik tersebut. Tidak ada titik lain yang
lebih tinggi dari titik tersebut (catatan: yang sama mungkin saja ada).
Nilai y dari titik maksimum global disebut nilai maksimum global.
Titik minimum global (atau disebut juga titik minimum mutlak) dari grafik
)(xfy adalah titik yang paling rendah pada grafik tersebut. Tidak ada titik lain
yang lebih rendah dari titik tersebut (catatan: yang sama mungkin saja ada).
Nilai y dari titik minimum global disebut nilai minimum global.
Titik maksimum lokal (atau disebut juga titik maksimum relatif) dari grafik
)(xfy adalah titik yang paling tinggi pada bagian grafik di dekat titik tersebut,
tetapi (mungkin) bukan paling tinggi pada semua bagian grafik.
Nilai y dari titik maksimum lokal disebut nilai maksimum lokal.
Titik minimum lokal (atau disebut juga titik minimum relatif) dari grafik
)(xfy adalah titik yang paling rendah pada bagian grafik di dekat titik tersebut,
tetapi (mungkin) bukan paling rendah pada semua bagian grafik.
Nilai y dari titik maksimum lokal disebut nilai maksimum lokal.
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 7
Perhatikan grafik )(xfy pada (GAMBAR 1) di bawah ini!
Fungsi )(xfy tersebut didefinisikan pada selang [2, 16] yaitu pada selang
162 x saja. Titik A dan D di sini merupakan titik-titik ujung grafik.
Titik A adalah titik maksimum global, titik yang paling tinggi pada grafik.
Titik B adalah titik minimum global, titik yang paling rendah pada grafik.
Titik C adalah titik maksimum lokal, titik yang paling tinggi di daerah sekitar titik C
tersebut, namun kalah tinggi dengan titik A.
Titik D adalah titik minimum lokal, titik yang paling rendah di daerah sekitar titik D
tersebut, namun kalah rendah dengan titik B.
Nilai maksimum globalnya adalah 14, nilai minimum globalnya 5.
Nilai maksimum lokalnya 10 (maksimum hanya “lokal” di daerah sekitar titik C) dan
nilai minimum lokalnya 6 (minimum hanya “lokal” di daerah sekitar titik D)
CATATAN CUKUP PENTING!!
Jika suatu titik (misal titik P) adalah titik maksimum global, maka titik P juga bisa
disebut titik maksimum lokal, karena titik P juga paling tinggi di daerah sekitar titik
P tersebut.
Namun jika diketahui titik P adalah titik maksimum lokal, maka belum tentu titik P
adalah titik maksimum global. Ada kemungkinan titik P adalah titik maksimum
global, namun mungkin juga bukan.
Jadi, pada grafik di (GAMBAR 1), titik A adalah titik maksimum global, namun titik A
juga bisa dikatakan titik maksimum lokal.
Begitu pula dengan titik minimum!!
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 8
Logikanya, mirip dengan TNI yang terdiri dari Angkatan Udara (AU), Angkatan
Darat (AD), dan Angkatan Laut (AL). Kita anggap Angkatan Udara (AU) adalah
anggota TNI yang khusus, yaitu yang bisa mengendarai pesawat terbang.
Aku adalah
anggota AU
Berarti kamu termasuk
anggota TNI juga dong..!
Aku adalah
anggota TNI
Kamu belum tentu
anggota AU ….!
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 9
Aku adalah titik
maksimum global.
Berarti kamu juga titik
maksimum lokal dong…!
Sebab di daerah lokal
sekitar kamu, kamu juga
paling tinggi…!
Aku adalah titik
maksimum lokal.
Kamu belum tentu titik
maksimum global.
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 10
Perhatikan grafik )(xfy pada (GAMBAR 2) di bawah ini!
Fungsi f (x) di atas didefinisikan pada semua x bilangan real x dengan
bagian grafik makin tinggi pada sisi kiri dan kanan. Titik G dan I terletak sejajar sama
rendah.
Pada grafik ini, kita katakan:
Titik E adalah titik minimum lokal. Titik F adalah titik maksimum lokal.
Titik G dan titik I adalah dua titik minimum global, sebab tidak ada bagian grafik
lainnya yang lebih rendah dari titik G dan titik I.
Titik H adalah titik maksimum lokal, bukan global, sebab ada bagian grafik yang lebih
tinggi dari titik H, misalnya titik J dan K.
Grafik tidak memiliki titik maksimum global, sebab kedua sisi grafik kiri dan
kanannya makin meninggi.
Titik Ekstrim adalah titik maksimum atau titik minimum. Jadi, titik maksimum
maupun titik minimum termasuk titik ekstrim.
Titik Stasioner adalah titik yang garis singgung di titik tersebut mendatar. Dengan
kata lain, titik stationer adalah titik yang berlaku 0)( xf .
Pada grafik di atas, titik B dan C adalah titik-titik stationer, tetapi A dan D bukan.
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 11
Titik Singular adalah titik dimana )(xf nya tidak ada. Bisa berupa:
a) Titik dengan sudut tajam
b) Titik dengan garis singgung vertikal (asymptot)
c) Titik lompatan
d) Titik yang di dekatnya fungsi bergetar(bergoyang) sangat hebat, seperti grafik
fungsi x
xf 1sin)( di x = 0.
Titik Kritis adalah titik yang merupakan salah satu dari:
1) Titik ujung
2) Titik stasioner
3) Titik singular
TEOREMA: Titik Ekstrim (Maksimum atau Minimum) terjadi pada titik kritis,
yaitu salah satu dari titik ujung, titik stasioner, atau titik singular.
Perhatikan grafik pada (Gambar 3) berikut ini:
Pada grafik di samping, titik Q
adalah titik ujung, titik R adalah titik
singular (denga sudut tajam), titik S
adalah titik singular (dengan
lompatan) dan titik T adalah titik
ujung.
Titik maksimum global terjadi
pada R dan titik minimum global
terjadi pada Q.
Perhatikan pula grafik (GAMBAR 4) di bawah ini!
Pada grafik di samping,
grafik didefinisikan pada
selang ),0[ .
Titik O adalah titik ujung
kiri. Titik ujung kanan tidak
ada.
Titik U (titik di x = 4)
adalah titik stasioner, juga
merupakan titik maksimum
lokal
Titik V (titik di x = 6)
adalah titik minimum, juga
merupakan titik minimum
lokal
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 12
Titik di x = 7 adalah titik singular (dengan garis singgung vertikal (asymptot)).
Garis x = 7 merupakan garis asymptot yang semakin didekati grafik dari sebelah kiri
maupun kanan, tapi tidak pernah disentuh.
Fungsi naik yaitu fungsi yang jika dilihat dari kiri ke kanan, grafiknya naik.
Pada fungsi naik, berlaku: 0)( xf .
Fungsi turun yaitu fungsi yang jika dilihat dari kiri ke kanan, grafiknya turun.
Pada fungsi turun, berlaku: 0)( xf .
Pada grafik fungsi yang bentuknya cekung ke atas, berlaku: 0)( xf .
Sedangkan jika cekung ke bawah, berlaku: 0)( xf .
Titik belok adalah titik dimana terjadi perubahan dari cekung ke atas ke cekung ke
bawah, atau sebaliknya. Pada titik belok berlaku: 0)( xf .
Perhatikan grafik pada (GAMBAR 5) berikut ini:
Pada grafik di atas, fungsi f (x) naik pada selang 81 x , dan turun pada selang
14 x juga .128 x
Cekung ke atas pada 44 x dan cekung ke bawah pada 124 x .
Titik belok berada pada x = 4.
Soal 9
Tentukan nilai maksimum dari fungsi:
xxxf cos6sin321)(
untuk selang 20 x .
Jawab:
Kita cari turunannya terlebih dahulu.
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 13
xxxxxf sin6cos32)sin(6cos320)( .
Fungsi )(xf mencapai maksimum saat 0)( xf
0sin6cos32 xx
xx sin6cos32
x
x
cos
sin
6
32
xtan3
3
30x atau 150x
(Cek tanda positif-negatifnya: Ambil x =0 masukkan ke f ’(x), kita peroleh:
)( 0320320sin60cos32)0( positiff
Maka daerah paling kiri (yang memuat x = 0) bertanda positif. Untuk daerah lain tinggal
disesuaikan)
Jadi, fungsi f (x) mencapai maksimum saat x = 30o.
30cos630sin321)30(ffmaks
3632121
21
3413331 .
CARA LAIN:
Soal ini dapat diselesaikan tanpa menggunakan turunan. Tapi menggunakan rumus
trigonometri yang menawan berikut ini!
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 14
)cos(cossin xkxbxa
dengan 22 bak dan
b
atan .
Karena xxxf cos6sin321)( maka di sini 32a dan 6b .
Sehingga
343164836126)32( 2222 bak
Jadi, )cos(341cos6sin321)( xxxxf
Fungsi )(xf mencapai maksimum jika 1)cos( x .
Jadi, 341maksf .
Soal 10
Tentukan persamaan garis singgung kurva )sin(2 xy di titik berabsis 3
.
Jawab:
Kita gunakan teorema berikut:
Teorema
Misalkan garis singgung kurva y = f
(x) di titik (x1, y1) adalah y = mx + c.
Maka berlaku:
1 di
)(xx
xfm
Eh kawan, rumusnya
menawan nggak sih? Hhmmmm…..
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 15
Pada soal, kurvanya )sin(2)( xxfy dan 31x .
Gradien garis singgungnya adalah:
3
di)(
x
xfm
3
di)cos(2
xx
12240cos2)180cos(2)cos(2)cos(221
34
34
3
Maka persamaan garis singgungnya berbentuk:
cxy 1
cmxy
cxy ……………(*)
Karena 31x maka )sin(2)sin(2)sin(2
34
311 xy
332)240sin(221
Masukkan nilai )3,(),(311yx ke persamaan (*) untuk mendapatkan nilai c.
c
33
3
3 c
Jadi, persamaan garis singgungnya:
cxy
3
3 xy .
Soal 11
Untuk selang x , tentukan daerah dimana fungsi xxf 2sin)( naik !
Jawab:
Ingat bahwa:
0)(xf fungsi f naik
0)(xf fungsi f turun
0)(xf fungsi f mencapai nilai stasioner
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 16
Karena fungsi f naik, maka 0)( xf
0)(cos)(sin2 12 xx
0))(cos(sin2 xx
02sin x
Untuk titik nol (titik batas),
02sin x
0sin2sin x
2.02 kx atau 2.)0(2 kx
.kx
.2
kx
xk 1 22
1
xk
00 xk 2
0
xk
xk 1
Buat garis bilangan:
Untuk mengisi tanda positif-negatifnya, cek saja daerah antara 0 dan /2.
Misal kita ambil x = /4.
Lalu kita masukkan ke fungsi xxf 2sin)( .
01)2
sin()4
2sin()4
(
f (positif)
Jadi daerah antara 0 dan /2 tandanya positif. Untuk daerah lain tinggal disesuaikan (selang-
seling positif-negatifnya)
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 17
Fungsi f naik pada daerah f ’ nya yang positif.
Jadi, fungsi f naik pada daerah 2
x dan daerah
20
x .
Tambahan: Berikut adalah grafik xxf 2sin)( .
Soal 12
Untuk selang [0, ] tentukan interval dimana fungsi xxf cos)( cekung ke
bawah!
Jawab:
Teorinya pakai turunan kedua:
bawah ke cekung 0)(
atas ke cekung 0)(
fxf
fxf
Karena 21
coscos)( xxxf
maka )sin(cos)(
121
21 xxxf
V
U
x
xxx
21
21
21
)(cos2
sin)sin(cos
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 18
Dan turunan keduanya,
2)(
V
VUVUxf
2
21
21
212
1
)(cos2
)sin()(cos2)sin()(cos2cos
x
xxxxx
x
x
xxx
cos4
cos
)(sincoscos2
2
xx
xx
coscos4
sincos2 22
Untuk selang [0, /2] (yaitu 2
0 x ) nilai cos x dan sin x selalu positif , sehingga
bentuk )()(
)(
coscos4
sincos2)(
22
xx
xxxf , selalu negatif.
Dengan demikian, pada selang [0, /2], fungsi f selalu cekung ke bawah.
Jadi, jawabannya interval [0, /2] = Rxxx ,02
.
Tambahan: Berikut adalah sketsa grafik xxf cos)( .
xy cos
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 19
Soal 13
Tentukan koordinat titik ekstrim dari fungsi:
x
xxf
cos2
sin)(
pada interval 20 x .
Gambarkan pula sketsa grafiknya!
Jawab:
Titik ekstrim adalah titik maksimum dan minimum. Pertama, kita cari turunannya dahulu:
V
U
x
xxf
cos2
sin)(
22 )cos2(
)sin)((sin)cos2)((cos)(
x
xxxx
V
VUVUxf
22
22
)cos2(
1cos2
)cos2(
sincoscos2
x
x
x
xxx
(Ingat 1sincos 22 xx )
Untuk mencari titik ekstrim, kita cari titik stasionernya, yaitu saat:
0)( xf
0)cos2(
1cos22
x
x
01cos2 x
21cos x
Nilai x pada interval 20 x yang nilai cos nya – ½ adalah:
120x atau 240x
32x atau
34x .
Buat garis bilangan:
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 20
Lalu tentukan tanda positif-negatif daerahnya. Misal kita ambil daerah yang
mengandung x = 0. Cek ke 2)cos2(
1cos2)(
x
xxf
, kita peroleh
03
1
9
3
)12(
112
)0cos2(
10cos2)0(
22
f (positif)
Jadi, daerah paling kiri positif ! Daerah lainnya disesuaikan (selang-seling positif
negatifnya)
Dari bagan di atas, jelaslah titik maksimum tercapai saat 32x dan titik minimum
saat 34x .
Untuk titik maksimum,
)(2
3
120cos2
120sin
cos2
sin)(
21
21
32
32
32
xffmaks
33
31
23
21
.
Untuk titik minimum,
)(2
3
240cos2
240sin
cos2
sin)(
21
21
34
34
34
min
xff
33
31
23
21
.
Jadi, koordinat titik maksimumnya 3 ,31
32 sedangkan titik minimumnya
3 ,31
34 - .
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 21
Sketsa grafiknya:
(Catatan: titik potong grafik dengan sumbu X (yakni yang berkaitan dengan nilai x = 0,
, dan 2diperoleh dari persamaan y = 0 f (x) = 0)
Soal 14
Gambarlah sketsa grafik fungsi x
xxf
cos
sin1)(
.
Jawab:
Untuk menentukan naik-turunnya fungsi, kita gunakan turunan pertama.
xxx
x
xx
xxf tansec
cos
sin
cos
1
cos
sin1)(
.
xxxxf 2secsectan)(
xxx
x2cos
1
cos
1
cos
sin
x
x2cos
1)(sin …………………….. (*)
Titik stasioner saat 0)( xf
0cos
1)(sin2
x
x
331
331
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 22
01)(sin x
1sin x
270sinsin x
360.270 kx atau 360.90 kx
,....810,450,90
,...990 ,630 ,270
x (jarak terdekat 360o)
Perhatikan persamaan(*). Asymptot (tegak) saat:
[penyebut )(xf ] = 0
0cos2 x
0cos x
90coscos x
360.90 kx atau 360.90 kx
,...450,90,270,630..., x atau ,...630,270,90,450..., x
Dihimpun, ,...630,450,270,90 x (jarak terdekat 180o)
Bandingkan hasil )( dengan )( , ternyata semua nilai )( terkandung di dalam
)( .
Untuk menentukan apakah nilai pada )( ini titik stasioner atau asymptot, atau bukan,
kita hitung langsung saja nilai )(xf nya dengan mengambil limit. Sebagai contoh,
untuk titik
90x kita hitung:
)sin)((cos2
coslim
cos
1)(sinlim)(lim
9029090 xx
x
x
xxf
xxx
2
1
)1(2
1
sin2
1lim
90
xx.
Hasilnya bukan 0 dan bukan pula , maka bukan titik stasioner bukan pula
asymptot.
Untuk nilai-nilai lainnya pada )( , kita dapatkan hasil yang sama. Bukan titik
stasioner bukan pula asymptot.
)(
)(
Digunakan Teorema l’Hopital
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 23
Kesimpulan:
Asymptot saat ,...630,450,270,90 x
Titik stasioner tidak ada!
Gambar garis bilangan:
Garis putus-putus menunjukkan asymptot.
Karena turunan pertama berbentuk x
xxf
2cos
1)(sin)(
terlihat bahwa )(xf
selalu positif , dan tidak pernah negatif karena x2cos merupakan bilangan kuadrat
sehingga selalu positif atau nol, dan 1)(sin x juga selalu positif atau nol karena nilai
xsin selalu berada di antara –1 dan 1.
Kemungkinan 0)( xf dihapus karena tidak ada titik stasioner. Nilai-nilai x pada
)( menghasilkan 2
1)( xf > 0 yang juga positif !
Sehingga pengisian tanda daerah selalu positif fungsi f (x) selalu naik.
Untuk menggambar grafiknya, coba cari titik potong antara grafik dengan sumbu X,
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 24
yaitu saat
0cos
sin1)(
x
xxf
0sin1 x dengan syarat 0cos x
1sin x
270sinsin x
360.270 kx atau 360.90 kx
,....810,450,90
,...990 ,630 ,270
x (&&)
Untuk semua nilai-nilai x ini, ternyata tidak memenuhi syarat 0cos x .
Jadi, nilai-nilai x menunjukkan titik singular yang tidak terdefinisi (karena
menghasilkan nilai fungsi 0
0)( xf ).
Namun kita bisa menghitung nilai limitnya. Contoh, untuk x = –90o :
01
0
sin
coslim
cos
sin1lim)(lim
909090
x
x
x
xxf
xxx.
Untuk semua nilai x pada (&&) juga menghasilkan limit yang sama.
Jadi, nilai-nilai x pada (&&) merupakan titik potong grafik dengan sumbu X,
dalam pengertian limit!
Kita simpulkan sketsa grafiknya adalah sebagai berikut:
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 25
Soal 15
Pada selang (–270o, 90o) tentukan kapan fungsi x
xxf
cos
sin1)(
cekung ke atas dan
kapan cekung ke bawah? Tentukan pula titik beloknya!
Jawab:
Fungsi pada soal ini sama dengan fungsi pada Soal 12, yaitu x
xxf
cos
sin1)(
.
Untuk menentukan cekung ke atas, cekung ke bawah atau titik belok, kita lihat dari
turunan kedua dari f (x).
Review : Cekung ke atas 0)( xf
Cekung ke bawah 0)( xf
Titik belok 0)( xf
Turunan pertama sudah kita dapatkan dari Soal 12, yaitu:
x
xxf
2cos
1)(sin)(
V
U
Maka turunan keduanya:
2)(
V
VUVUxf
22
2
)(cos
)sin.(cos.2)1)((sincos)(cos
x
xxxxx
x
xxxxx4
23
cos
sincos2sincos2cos
x
xxxx4
22
cos
)sin2sin2)(cos(cos
x
xxxx3
222
cos
)sin2sinsin(cos
x
xx3
2
cos
)sin2sin1(
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 26
Inget:
x
x3
2
cos
)sin1(
Bagian pembilang, yaitu 2)sin1( x selalu positif atau nol.
Maka positif-negatif x
xxf
3
2
cos
)sin1()(
sekarang tergantung pada positif-
negatif bagian penyebutnya, yaitu x3cos .
Untuk titik batas, 0cos3 x
0cos x
,...450,270,90 x
Buat garis bilangan memuat titik-titik batas:
Sementara itu,
Pembilang = nol jika 0)sin1( 2 x
1sin x ,....810,450,90
,...990 ,630 ,270
x
Untuk nilai-nilai x ini, 0cos x . Jadi, untuk nilai-nilai ini 0
0)( xf tidak
terdefinisi.
Kita coba hitung limitnya, misalkan pada x = 270o
)sin(cos3
))(cossin1(2lim
cos
)sin1(lim)(lim
22703
2
270270 xx
xx
x
xxf
xxx
xx
x
x sincos3
)sin1(2lim
270
x
x
x 2sin
sin22lim
23270
xxx cossin22sin
Digunakan Teorema l’Hopital
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 27
2)2(cos
cos20lim
23270
x
x
x (digunakan teorema l’Hopital lagi)
02)1(
02lim
23270
x.
Bisa diperiksa untuk nilai-nilai ,....810,450,90
,...990 ,630 ,270ˆ
x
berlaku 0)(limˆ
xfxx
.
Jadi, untuk nilai-nilai
,....810,450,90
,...990 ,630 ,270ˆ
x
f ’’(x) tidak terdefinisi, namun kita bisa anggap itu adalah titik belok dalam
pengertian limit, yaitu 0)(limˆ
xfxx
.
Sekarang kita isi positif-negatif pada garis bilangannya:
Cek untuk x =0,
karena x
xxf
3
2
cos
)sin1()(
maka 011
)01(
0cos
)0sin1()0(
3
2
3
2
f (positif)
Untuk daerah lain tinggal disesuaikan positif-negatifnya (selang-seling)
Kesimpulan:
Fungsi f (x) cekung ke atas pada interval (–90o, 90o) + k.360o
Fungsi f (x) cekung ke bawah pada interval (90o, 270o) + k.360o
Fungsi f (x) tidak memiliki titik belok, namun jika dianggap ada dalam pengertian limit,
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 28
maka titik beloknya terjadi pada ,....810,450,90
,...990 ,630 ,270ˆ
x
Soal 16
Sebuah talang air terbuat dari papan aluminium selebar 3 m, ditekuk kedua tepinya
sehingga membentuk sudut terhadap bidang horizontal seperti pada gambar.
Tentukan sudut agar kapasitas talang air maksimum!
Jawab:
Kapasitas talang air menjadi maksimum jika volum talang air maksimum. Misalkan
panjang talang air adalah t meter (lihat gambar!)
Untuk menyederhanakan gambar, kita lihat dari depan:
Jika bagian berwarna hijau dipindahkan ke kiri seperti pada gambar di atas, kita
dapatkan bangun balok (dengan penampang persegi panjang)
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 29
Ingat: turunan dari UV
adalah U’V+UV’
Ingat:
Maka volume talang tinggilebarpanjangV
))()(sincos1( t
sincossin tt
Volume mencapai maksimum sa’at turunannya nol,
0d
dV
0cos)(cossin)sin(cos tt
0cossincos 22 tt
0cos1coscos 22 tt
01cos2cos 2 tt
01coscos2 2 t
0)1)(cos1cos2( t
01cos2 atau 01cos
21cos atau 1cos
60 atau 180cos
Volume mencapai maksimum saa’t 60 .
22
22
sin1cos
1cossin
panjang
lebar
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 30
Soal 17
Sebuah kertas karton berbentuk lingkaran dengan jari-jari 8 cm, dipotong sebuah
sektornya dengan sudut pusat . Dengan kertas karton yang telah terpotong ini dibuat
selimut kerucut. Tentukan sudut agar volume kerucut yang terbentuk sebesar-
besarnya!
Jawab:
Perhatikan bahwa jari-jari karton terpotong dengan panjang 8 cm akan menjadi garis
pelukis kerucut, dan keliling karton terpotong s (lihat gambar!) akan menjadi keliling
lingkaran alas kerucut.
Misal panjang busur yang terpotong = b (lihat gambar di atas!). Misalkan pula jari-jari
dan tinggi kerucut yang terbentuk berturut-turut adalah r dan t (lihat gambar di
atas!)
Misal K = keliling kertas karton lingkaran mula-mula, maka:
168.2K cm
Dari definisi sudut dalam radian,
lingkaran jari-jari
sudut depan dibusur panjang
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 31
8
b 8b cm.
Karena s menjadi keliling lingkaran alas kerucut yang terbentuk, maka berlaku:
rs 2
Hubungan antara K, s dan b adalah:
bsK
8216 r
8162 r
48
2
816r .
Karena t, r dan garis pelukis 8 cm membentuk segitiga siku-siku, berlaku:
222 648 rrt
Volume kerucut yang terbentuk:
22
312
31 64 rrtrV
Volume akan mencapai maksimum ketika turunannya nol,
0d
dV
0d
dr
dr
dV
0d
dr
dr
dV
0)()2()64(642 421
2
2122
31
rrrrr
(Di sini gunakan turunan u.v yaitu u’v+uv’ dengan 2ru dan 264 rv ,
sedangkan )( 4
d
drdidapat karena
48r )
0
64
1642
2
32
34
r
rrr
0
64
1642
2
32
r
rrr
SMAN 3 Jkt/XII-IPA/Matematika P/Turunan F.Trigonometri (www.papankecil.wordpress.com) Hal. 32
2
32
64
1642
r
rrr
2
22
64
1642
r
rr
22)64(2 rr
222128 rr
23128 r
3
1282 r
63
3
3
28
3
28
3
12838r
Untuk mendapatkan sudut , kita gunakan persamaan yang sudah ada:
48r
4
38 86
68384
)68(38
4
)62(32
rad.
Atau jika diukur dalam satuan derajat, maka :
66180)449,22(180)6(2rad )62(32
32
32
.
top related