tugas kalkulus 2 r

TUGAS KALKULUS 2Dosen pembimbing : HETTY ROHAYANI.AH,ST,M.Kom

OLEH

NAMA :RAHMAT PRYADI

NIM ; 8020130172

MATA KULIAH : KALKULUS 2

STIKOM DINAMIKA BANGSA 2014

DIFERENSIAL/TURUNAN

f(x)=y pada x=a atau turunan f pada x=a, dilambangkan

1)

2)

3)

1.)Sifat-Sifat Turunan

2.)Turunan Fungsi Trigonometri

3.)Persamaan Garis Singgung Pada Kurva

Gradien garis singgung pada kurva y=f(x) di x=a

Jadi persamaan garis singgung y=f(x) di titik (a,b) adalah y-b=m(x-a)

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Jenis-jenis Nilai Stasioner disekitar x=a

Nilai Balik maximum, jika:

Nilai Balik minimum, jika:

Bukan nilai ekstrem, jika:

Atau:

Menentukan nilai max dan min fungsi dalam interval tertutup

1. Jika ada, tentukan nilai balik maximum dan minimum

2. Tentukan nilai-nilai fungsi pada ujung-ujung interval, yaitu nilai f(a) dan f(b)

3. Nilai-nilai yang diperoleh dari langkah 1 dan 2 dibandingkan, kemudian ditetapkan sbb:

Nilai terbesar = nilai max fungsi x

Nilai terkecil = nilai min fungsi x

Kecekungan Fungsi

Jika dalam interval I maka grafik fungsi f(x) lengkung ke atas

Jika dalam interval I maka grafik fungsi f(x) lengkung ke bawah

Menggambar grafik Fungsi y=f(x)

1. Menentukan titik potong dengan sumbu x , y=0

2. Menentukan titik potong dengan sumbu y , x=0

3. Menentukan titik-titik stasioner dan jenisnya

4. Menentukan nilai-nilai y untuk nilai x yang besar positif dan nilai x yang besar negatif

Aplikasi Turunan

Laju pada waktu

Teorema L'Hôpital

Jika g′(x)≠0 untuk setiap x≠a pada I dan jika mempunyai bentuk tak tentu atau

pada x=a, maka:

Jika hasinya masih maka harus diturunkan lagi.

A.

1. Turunan pertama dari adalah……

A.

B.

C.

D.

E.

Jawab :

Jawaban = A

2. (p, q) adalah salah satu titik stasioner dari fungsi f , maka q – p sama dengan

A. 0 D. 8

B. 5 E. 12

C. 6

Jawab :

f’

karena titik stasioner maka

f’

maka p = 2 maka q = 2

Jawaban = A

3. Diketahui pernyataan-pernyataan sebagai berikut:

1) Jika y = √sin x , maka 4 y3 d

2 ydx2

+ y 4+1=0

2) Jika y2 = 1 + sin x, maka 2 y3 d

2 ydx2

+2( dydx )2

+ y2=1

3) Jika y =

cos x−sin xcos x+sin x , maka

d2 ydx2

+2 ydydx

=0

4) Jika xy = a sin 2x, maka xd

2

y

dx2+2dydx

+4 xy=0

Keempat pernyataan di atas yang benar adalah....

A. 1), 2), dan 3)

B. 1) dan 3)

C. 2) dan 4)

D. Hanya 4)

E. 1), 2), 3) dan 4)

Jawab:

1) y = √sin x

y = (sin x)1/2

y=dydx

=12

(sin x )1

12 .cos x

¿cos x2√sin x

Misal, u = cos x u = - sin x

v = 2 sin1/2x v = 2. ½ .sin1/2x.cos x =

cos x

√sin x

y=d

2 ydx2

¿2 sin

12 x . (−sin x )−cos x .

cos x√sin x

(2√sin x )2

¿−2sin

32 x−cos2 x

√sin x4 sin x

¿−2sin2 x−cos2 x

4 sin3

2 x

4 y2d2 ydx2

+ y 4+1=0

4 (√sin x )3 .(−2 sin2 x−cos2 x

4 sin3

2x )+(√sin x )4+1=0

−2 sin2 x−cos2 x+sin2 x+1=0−sin2x−cos2 x+1=0−(sin2 x+cos2 x )+1=0−1+1=0 (benar )

2) y2 = 1 + sin x

y = (1 + sin x) ½

y =

dydx

= ½ (1 + sin x) -1/2.cos x

=

cos x2√1+sin x

Misal, u = cos x u = - sin x

v = 2 (1 + sin x) -1/2 v = (1 + sin x) -1/2 .cos x =

cos x

√1+sin x

y” =

d2 ydx2

=2 (1+sin x )

12 .(−sin x )−cos x (cos x

√1+sin x )(2√1+sin x )2

=−2 sin x (1+sin x )

12−

cos 2x

√1+sin x

( 2√1+sin x )2

2 yd2 y

dx2+2(dydx )

2

+ y 2=1

2(1+sin x )1

2[−2 sin x(1+sin x )1

2−cos2 x√1+sin x

4 (1+sin x ) ]+2(cos x2√1+sin x )

2

+1+sin x=1

−2 sin x (1+sin x )1

2−cos2 x

(1+sin x )1

2

2(1+sin x )1

2

+cos2 x2(1+sin x )

+1+sin x=1

−2 sin x (1+sin x )−cos2 x2(1+sin x )

+cos2 x2(1+sin x )

+1+sin x=1

−2 sin x (1+sin x )−cos2 x+cos2 x2(1+sin x )

+1+sin x=1

−sin x+1+sin x=1 (benar )

3) y =

cos x−sin xcos x+sin x

Misal, u = cos x – sin x u = - sin x – cos x

v = cos x + sin x 2 v = - sin x + cos x

y=

(cos x+sin x )(−sin x−cos x )−(cos x−sin x )(−sin x+cos x )(cos x+sin x )2

¿−cos x sin x−cos2 x−sin2 x−cos x sin x−(−cos x sin x+cos2 x+sin2 x−cos x sin x )(cos x+sin x )2

¿−cos x sin x−cos2 x−sin2 x−cos x sin x+cos x sin x+cos2 x+sin2 x−cos x sin x

(cos x+sin x )2

¿−2 cos2x−2sin2 x(cos x+sin x )2

=−2(cos2 x+2 sin2 x )(cos x+sin x )2

¿−2

(cos x+sin x )2

Misal, u = -2 u = 0

v = (cos x + sin x) 2 v = 2(cos2 x-sin2x)

y”

=

(cos x+sin x )2 . 0−(−2) .2(cos2 x−sin2x

[(cos x+sin x )2 ]24 (cos x−sin x )(cos x+sin x )(cos x+sin x )4

d2 ydx2

+2 ydydx

=0

4 (cos x−sin x )(cos x+sin x )3

+2(cos x−sin xcos x+sin x )( −2

( cos x+sin x )2 )=0

4 cos x−4 sin x−4 cos x+4 sin x(cos x+sin x )3

=0 (benar )

4) xy = a sin x2

y =

a sin 2xx

y =x (2acos2 x )−a sin 2x

x2

¿2ax cos2x−a sin 2xx2

y”=x2 [2ax (−2sin 2 x )]+cos2 x . 2a−(2ax . cos2 x−a sin2 x ) .2 xx 4

¿−4ax3 sin 2x+2ax2 cos2 x−4 ax2 cos2x+2ax sin 2xx 4

¿−4ax3 sin 2x−2ax 2cos2 x+2ax sin 2 xx 4

¿−4ax2 sin 2x−2ax cos2 x+2ax sin 2 xx3

x .d2 ydx2

+2dydx

+4 xy=0

x (−4ax2 sin 2x−2axcos2 x2asin 2 xx3 )+2

2ax cos2 x−a sin 2 xx 2

+4 (a sin 2x )

−4ax2 sin 2x−2ax cos2 x2asin 2 x+4 axcos2 x−2a sin 2 x

x2+4 a sin 2x=0

4 ax2 sin 2x−2ax cos2 x+4 ax2sin 2 x

x2=0

−2axcos 2x

x2≠0

(Salah)

Jawaban = A

4. Jika , maka adalah….

A.

B.

C.

D.

E.

Pembahasan:

Jawaban : B

5. Jarak yang ditempuh dalam t dari suatu partikel dinyatakan dengan rumus :

. Pada saat kecepatannya 21 maka percepatannya adalah ....

A. 10

B. 12

C. 16

D. 18

E. 20

Jawab :

V = 21, maka a = ?

t = 2

S( t )=t3+2t2+t+1

v=3 t2+4 t+121=3 t2+4 t+13t2+4 t−20(3 t2−6 t )+(10t−20 )3t ( t−2)+10 ( t−2)(3 t−10)( t−2 )=6 . t2+4¿6 .2+4¿16

Jawaban = C

6. Jika maka …….

A.

B.

C.

D.

E.

Jawab :

v=3 t2+4 t+1

a=dvdx

=6 . t2+4¿6 .2+4¿16

Jawaban = D

7.

A. cosec2x (cotx + cosec x)

B. -cosec2x (cotx + cosec x)

C. cot2x (cosecx + cotx)

D. -cot2x (cosecx - cotx)

E. -cosec2x (cosecx - cotx)

Jawab :

Jawaban = B

9. Garis singgung lingkaran di titik (1, -1) memiliki persamaan…..

A. x + 2y = 3

B. x + 2y = -1

C. x + 4y = -3

D. x + 4y = 3

E. x - 4y = 3

Jawab :

Jawaban= C

10. Diketahui f ( x )= 1

x2−√ x

. Persamaan garis singgung yang melalui titik berabsis

1 pada kurva tersebut adalah…

a. 3 x−4 y=3

b. 3 x+2 y=3

c. 5 x−2 y=5

d. 5 x+2 y=5

e. 5 x+2 y=−5

Pembahasan :

f ( x )= 1

x2−√ x

= x−2−x

12

= −2 x3−1

2x−1

2

=

−2

x3−1

2√x

f (1) = −2−1

2

= −5

2

y− y1=m( x−x1 )

y−0=−5

2( x−1 )

y=−5

2x+ 5

2

2 y=−5 x+5

2 y+5x=5 Jawaban : D

11. Fungsi , turun pada interval….

A.

B.

C.

D. atau

E. atau

Pembahasan

Nilai turun apabila

Jadi turun pada interval Jawaban : B

12. Nilai minimum fungsi f(x) =

13 x3 + x2 – 3x + 1 pada interval 0 x 3 adalah ….

A. -

53

B. -1

C. -

23

D.

12

E. 1

Pembahasan:

f(x) =

13 x3 + x2 – 3x + 1

y’ = x2 + 2x – 3 y’ = 0

(x + 3) (x – 1) = 0

x = -3 x = 1

x = -3 ™, karena intervalnya 0 x 3

f(1) =

13(1 )3+(1)2−3(1)+1=1

3+1−3+1=1

3−1=−2

3 Jawaban = C

13. Jika f(x) = 2 sin x + cos x, maka nilai sama dengan ……….

A. 2 D. -1

B. 1 E. -2

C. 0

Jawab :

= f’(x) = 2 cos x - sin x

Jawaban = D

14. Titik balik maksimum dari adalah……

A. (3,81)

B. (-3,81)

C. (1,12)

D. (1,5)

E. (-1,5)

Jawab :

(x = 3) (x = -1)

(x = -1) merupakan nilai balik maksimum, jadi

= 5

Jadi titik balik maksimumnya adalah (-1,5) Jawaban = E

15.

A.

B.

C.

D.

E.

Jawab :

Jawaban = A

16. Diketahui persamaan parameter . Tentukan dalam.

Jawab :

17. Diketahui persamaan parameter:

x = a ( - sin) dan y = a (1-cos )

tentukan

dydx dalam

jawab:

x = aθ - a sinθ

dxdθ

=a−acos θ

y= a – a cosθ

dydθ

=0+a sin θ

dydx

=

dydθdxdθ

=a sinθ

a(1−cosθ )=

sinθ1−cosθ

18. Diketahui fungsi

a. Tentuksn batas-batas sehingga kurva monoton :

i. naik

ii. turun

b. Tentukan koordinat titik balik dan jenisnya

c. Tentukan nilai maksimum dan minimum mutlak dalam interval

d. Gambarlah grafik kurva f dalam interval (-3,5)

Pembahasan

a. fungsi naik apabila

Jadi fungsi naik pada interval

fungsi turun apabila

Jadi fungsi turun pada interval atau

b. Koordinat titik balik dan jemisnya

Nilai stasioner fungsi diperoleh untuk dan adalah

merupakan titik balik minimum

merupakan titik balik minimum

c. Nilai maksimum dan minimum mutlak dalam interval

Untuk →

→

→

→

→

→

→

→

→

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

11

18

13

2 -9

-14 -7

18

67

Dari tabel dapat disimpulkan bahwa

Nilai maksimum dicapai pada titik (5,67)

Nilai minimum dicapai pada titik (2,-14)

INTEGRAL

Integral adalah lawan diferensiasi. Penulisan simbol integral:

Rumus – rumus dasar integrasi :

1.

2.

3.

4.

5

INTEGRAL

1.Integral Tertentu

Integral tertentu biasa digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva y=f(x) dan sumbu x, dengan batas tertentu

Sifat – sifat integral tertentu

1.

2.

1.Sifat – sifat integral tertentu

3.

4.

5.

6.

Luas daerah yang dibatasi kurva y=f(x) dan sumbu xDengan batas x1=a dan x2=b

Luas Daerah Antara Dua Kurva

Untuk interval [a,b] dengan f(x)>=g(x), maka:

Metode Integrasi

Integral dengan Substitusi

contoh:

Diusahakan menjadi bentuk

Substitusi u=2x-3

Cari turunan dari u =

Cari nilai dx:

Maka:

Hasil akhir, dikembalikan ke nilai awal u = 2x-3, yaitu:

Integral Parsial

Bila bertemu dengan integran yang pengintegralannya tidak dapat dibawa ke bentuk dasar. Salah satu cara penyelesaiannya dengan metode integral parsial.

Dengan pemisalan: u = f(x) dan v = g(x). Metode integral parsial memiliki bentuk:

Keterangan:

u = f(x) - du = turunan dari u

v = g(x) - dv = turunan v

Contoh:

Jawab:

Jadikan bentuk

Pemisalan:

u = dv =

Cari du dan v

du = 2x dx v =

v =

Masukan ke bentuk

Integral Parsial Tahap 2:

VOLUME BENDA PUTAR

Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar volume adalah hasilkali luas alas ( luas lingkaran ) dan tinggi tabung. Volume dari benda putar secara umum dapat dihitung dari hasilkali antara luas alas dan tinggi.

Bila luas alas kita nyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adalah panjang selang [ a,b ], maka volume benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut :

Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah metode yaitu metode cakram dan kulit tabung.

Metode Cakram

Misal daerah dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a dan x = b diputar dengan sumbu putar sumbu X. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang [a,b].

Misal pusat cakram dan jari-jari r = f(xo). Maka luas cakram dinyatakan :

: Oleh karena itu, volume benda putar :

Dapat juga ditulis

f(x) = y