trigonometrÍa matemáticas preuniversitarias consuelo díaz torres

TRIGONOMETRÍA

Matemáticas PreuniversitariasConsuelo Díaz Torres

Medición de distancias en la tierra

La distancia entre dos puntos A y B de la tierra se mide a lo largo de una circunferencia cuyo centro es C, situado en el centro del globo, y radio igual a la distancia de C a la superficie. Si el diámetro del planeta es aproximadamente 8000 millas, ¿cómo se puede calcular la distancia entre A y B si el ángulo ACB mide 45°?

B

A

C

Movimiento del péndulo

El péndulo del reloj mide 4 pies de largo y se mueve en ambos sentidos a lo largo de un arco de 6 pies ¿Cómo se puede calcular el ángulo por el que pasa el péndulo durante un movimiento?

Distancia al Monte Fuji El Monte Fuji, en Japón, mide aproximadamente 12400 pies de altura.

Un turista que está a varias millas de distancia de esa montaña (y que sabe trigonometría) desea calcular la distancia que le falta para llegar a la base de ésta, para lo cual observa que el ángulo entre el nivel del suelo y la cima de la montaña es de 30°. ¿Cuál es la distancia que le falta para llegar?

30°

Angulos Angulo: Conjunto de puntos determinados por 2

semirectas, l1 y l2, con un punto extremo en común llamado vértice.

Los ángulos se denotan como o por letras griegas , , , etc.

O l1

l2

A

B

AOB

Clasificación de ángulos

Agudo entre 0° y 90°

Obtuso entre 90° y 180°

Recto 90°

Llano 180°

Complementariossuma = 90°

Suplementarios suma = 180°

Medición de ángulos Grados hasta milésimas 38.425° Grados, minutos y segundos 38°25’30’’ Radianes 0.6706 radianes

Radián: es la medida del ángulo central de un círculo subtendido por un arco igual en longitud al radio del círculo.

La circunferencia del círculo de radio r es 2r, entonces el número de veces que r unidades se pueden trazar en la circunferencia es 2. Por tanto en 360° se puede trazar 2 veces el radio, es decir

360° = 2 radianes

1 radián

Relación entre grados y radianes

1801

180

180

radianes

radianes

1 radián

Ejercicios: Haz las siguientes conversiones 45° =

90° =

150° =

236

32

Funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo

caco

tan

hca

cos

hco

sen

caco

cot

cah

sec

coh

csc

Estas definiciones son independientes del tamaño del triángulo, solamente dependen del ángulo.

3 6

4 85

10

6

8

3

4tan

10

6

5

3cos

10

8

5

4sen

Ejercicios:

1. Considera un triángulo equilátero de longitud 2. Calcula los valores de las funciones trigonométricas de

= 30°y = 60°

2. Considera un triángulo rectángulo de longitud 1 en ambos catetos. Calcula los valores de las funciones trigonométricas de = 45°.

2 2

2

1

1

Funciones trigonométricas de ángulos que no son rectángulos

En un sistema de coordenadas rectangulares se acostumbra representar un ángulo en “forma estándar” se colocando el vértice en el origen y el lado inicial en el semieje positivo de las absisas.

-

ángulo positivo ángulo negativo

Círculo unitario

Círculo con un radio de una unidad

(1,0 )

(0,1)

(-1,0)

(0,-1)

(x2,y2)

(x1,y1)

1

1

1

1

1

1

1

1

yx

cot

x1

sec

y1

csc

xy

tan

xcos

ysen

2

2

2

2

2

2

2

2

yx

cot

x1

sec

y1

csc

xy

tan

xcos

ysen

Ejercicios:

1. Traza en tu cuaderno un circulo unitario y calcula los valores de las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos

a) 90° b) 180°

c) 270° d) 360°

d) 45° e) 135°

g) 225° h) 315°

h) 60° i) 150°

j) 240° k) 330°

l) 0°

2. Haz una tabla en la que se indique la medida del ángulo en grados, en radianes y los valores de las funciones trigonométricas.