thomas telford- eneergy methods in structural mechanics by f guarracino chapter7- the method trial...
Post on 07-Dec-2015
224 Views
Preview:
TRANSCRIPT
�� ��� ���� � �� �� ����� ��
������������ �� ������ �� ��� ������� �� � ����� ��������� � ����������������� �� ��� ��� ���� �������� � ������� � ���� ����� �������� �� ���� ������� � ��������� �������� �� ��������� ���������� ���������� �������� ��� ������������� � ��� ������� �������������� � ����� ��������� ��� ����� ���� �� ��� �������� ���� �������� �� � ��� � �� � ��� ��� �� ��� �� � ���� ��������� � �� ��������� ����� ������ ��� ������� �������� � ��������� ����� �� �� ���������� ��� �� ����� �� ���� �������� � �������� ������ ����� ����� �� �������� � ���� ������� �� ����� ������� ���� �� �� ����������� �� ����������� ���� ��� �������� ������� �� ��� ��� � �������
� ��� ������ ��� ��� ������ ������� ����� �� ��� ����� ��������� ���� ���� �� ����� � ��� ���������� ����� ��� � �� ���� ��������� ��� ��������� � ���������� ��������� ���� ������ ��������� ��� �� �� � ����� ���� ������� � ������� ����������������� �� ���������� �� ����� �� ���� ����� ��� �����!������ ��������� ���������� � ��� ���� ������ ����� ����������������� �� ���� �� � ����� �������� ���������� ������� ������� ����������� ���������� �� � �� ������� ���� ����� �� ��������� ���������� ��� ������� ��� ������� ��� ��� � ����� ������ ����������� ��� ��������� � ��������� �� ������ ����� �� � ����������� �������� ���� �������� ������ ���������� ����������������� ���� �������� � �� ����������� ��� � ������� �������� ������� ������� � ��� �� � ��� "��� ��� �� ���������� ��� ��������� � �� �������� �������� �� ����� ������ ����� ������ ������� ������� ��� ����� � ����� ������� ���������� �������� ����� ������ �� �� �����"�� �� ���� ����� ��������� �� �������� ��� ��� "��� ��� �� ����� �� �#�������� ����� ���� ��� � ����������� ������� ����� ������ � ������������������
�� ��� ���� �� ��� ������ �� ���� �������$�� ��� ������ �� ��� �� ����� ���� ��� ����� � ����� ������ ��� ������� ��� �������� ���� ������ ������� �� ����� ������������ ��� ������� � �� ���� ���������� �� ��������� ������ ����� ������ ������� �� ��� ��������� � ��� ���������� ���� �� ���������� ��� ������ � ������� ���� �� ��� �� ���� ��� ���� ����������� � ��� ������� �����%� �� �� ���� ����� ���� ����� ����� � ��� ������ � ������� ������
����� �� � ���������� ���� ��� ����� �� � ��� &������� ���� ��� ��� � ���� �� � ������������ �� ��� ���� � ��� ��������� � ������ ������ ���������� ���� � ������� ���� �� ��� ����� ������������ ���� �� !���� ����������� �� � �������� ���� � ����� '��� ���� ��� � ������� (� ��� ������ ��������� �� ��� �������� ��"��� � � ������ ��� ���� ������ ����� ���#��� ��� �� ������� ����� ����������� ��#������� �!����� )(�(*+�,������� ��� � ��� �� ��� ���� � ����� �� ��� �� �� � ��� ���
��������� � �������� ��� ����� ������ �� �������� ���� ��� ���� �����-����� �� � ����������� ���� ����� ��� ����� � ����� �� ������� ��� �� ���� ��� � ������ (�� ���� �� ��� ��� �� � ��#���� �� ����� �������� �!������ �!����� )(�.�+� ���� �� �� ���� ������ ��
�/
��/
�������
�/�������/
�� ���� �0�1�
��� ������� � ���� �!����� ���� �� �� ��������� �� � ����������� ����� ��� �� ��� ��� ���� �� �!����� )(�((+� �� ��� ������������ � ������� � ������ �� �� �������� ������� � ��� �������������������� � ��� ������ �������� �)�+ �� ��� ������ �� �������� � ��� ������ ���� �� �� ������������� ��� ���� ���� �� ��� ���� ������� ����������� ��� �������� ��
����������� � ������� ��� ����� � �������� '� ��� ������ ���� ������� �� ��� ������� �� ������� ������� ��� �������� �� �� ���� ��� � ������ ����������� � ��� �������� � ��������� ������ ����� �������� ������ ���� ����� ��� ������� ��� �������� ����� ������ � ������� �!�������� � ���� � ������ ���������� � ����������� � ��������� �������� ����� �� ��� �� ���� �� �!������)��/+ �� )��*+ �� ������� ����� �� � �� ��� � ����� ������� �������������� �� ��������� ��������� ����� ����� �� ���������� � ������ ������������ � ���
� �� !������ ���� ��� ��� ���� �� �������� ��� ����� ������������� �������� � ������ ���� !������ �� ��� �������� �� "��� ���� ��������� �� ��� ��� ���� 2��� �� � ����� ������� ��� !�������� ���� ������ � � � ��� �� ���������� ���������
��� ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����
� ����� �� ������ ��� ������ ��� �� ������� ��� �� ��� ������������ ������� ������� � ������� ( �� �������� � $��� (�13� 4���� ���� ��� ����� ������� �� ���� ������ �� ���� �� �!����� )(�51+
����� ��
/(�����( � /�* � *��
�� �� � ����������� ����� ��� ���������� ��� ��"������� ��!�������� � ���� ��� �� ���� �� ��������� � ��� � � ��� ������������� ����� �������� ����
������ � 3 �0�/������ ��� �������� ���������� �������� �� �!����� )��/+� �� ���� ��
����� �1
/
�
3
������/� ���
�
3
��� �� �0�*�
���� ��������� �� ������� � ������� )���� � ����� � � �����+ ���� ������� �������� �� ����� � ��� ���� � ��� ��� � � ������� ������� ����� ������ � ��� �������� � ���������� ��� ������� � �!������ )0�/+ ����� ���� �� �� ��� 6���� �!����� � ��� ���� ����� ����!����� )(�(*+� �������� ���� ��� ������� ��������
�� � 3 �� � � 3 �� � � �0�(���� � �����
��� � 3 �� � � 3 �� � � �0�5�
,������� ��� �� �� � ���� ���� ����� �� �������� � �� ��� ��������� ���� ���������� ���� ����� �� �!������ )(�(*+� )0�(+ �� )0�5+� ����� ����� ����� �� ����� ��� ��� �������� ��������� � ��� ��������� �� � ��� � ���-����� �� ������� ������ �� ����� � ���������������� �� ����� ���� ����� ��� �� � ����� �������� �� "���� ���������� ������� �� �������� �� ����������� ��� ����� �������� �� "��������� � �!����� )0�*+� � ����� �� �� �� �������� ��� ����� �������� ��"��� ��� ������ ��� ��� ������� ������� �������� � �!�����)0�(+� 4� �� � ����� ���� ������ � �� ��� �������� �� "��� ����� ����"�� � ����� ��� �� � � �������� �� ��� ���
��� � � ����
� ��0���
�� �� ���� � $��� 0�1�%���������� ��� ����� ������ �!����� )0��+� ��� ��� ��������
����� ������ �!����� )0�*+� �� ����
������ ��
3
1
/��� � ��
��
� �� ���/���
�
3
�� ����
� ��� �0�0�
� � ��� �� �� ���� ��������� ���
���� ������� �������� � ���� � ������ �� ���"����� � ��� �������
�� ���� ����� ��� � ��� �� �� ��� ����� ���� ���� � ���� �� � ������ � ��� �� ������������ �� ���� �������� ��� �������� �� ��� ����� � ��� � ������ ������
���� ��� ���� ��� ������� � �!�������� )�!����� )0�/++ �� �������"�� �� �� ���� � �� ��� ����� ������ ��� � ������������ ��� ������� � ��� ����� � ��� ���� ���� �� ���� �� � ������������ ��� ��� � ����� �� ��������� ��������� ��� �� ���������� �!����� �� �!�������� � �!����� )0�/+����� � ��� ������ ���� �� ����
���� � 1
/
�
3
��� � ����
� �� ���/���
�
3
�� ����
� ���
�� 1
/
�
3
����/ �
(
(��/
��
� ����
�
3
�� ����
� ���
� �(
(*����
/ � /�
�� �0�.�
�� ��� ������� � �!�������� � �!����� )0�/+� ������
�������
� 3 � � (�(
����5
�0�7�
���� ����������� ��"�� ��� ����� � ��� ���� ���� � � ��� � ���� ������� ���� �� ��� ��� ����� �� ������� ������� ���� ������ ��� ��� �� �� ��� � ������� � ��� ����� �������� �� "��� ����
q
aA B
l
uy* = a sin πzl
���� ���
��� ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����
4� ���� ���� ������� ��� ������� � ��� ������ ������� � ��������� �� ��� �������� � �������� �� ������ ��#������� �!��������8 ������� �� ��� ���� � �� ���� ���� �� ��� � ������� ���
������� �� ��� ���������� ���� � ��� ��� � ������������ �� ������� ����������� ���� �������� $�� ��� ���� � �� �� ���� ����������� �������� �� ��� ����� � ��� ��� ������� �� ��� ���������� ����� ����� �� ��� ����� �������� ���� �� �!����� )(�51+ ��� � �/� �� ����
����/� � 3�31*3/3.�(
���)����� �������+
�����/� � 3�31*3011�(
���)����� �����+
�0�13�
���� �� ��� ������� ����� ����� �������� � �������� �� ��� ������� ��� ��� ���� � ����� � �3�*79 �� ����� �� ��� ����� ������4��� ������ �� ��� ����� � �� �� �����
��/� � ����������/� � 3�3/5333�/
���/� � �����������/� � 3�3/5.31�/
�0�13��
���� ��� ��� ������� ��� ����� �������� ���� ��� ��� � � ��� ���� � ����� � �*�/9� 8 ������ ���� �� � ���� �� ������ ��� �� � ������� ����� ��� �� ��� ��� ���� ��� ����� �������!����� )0��+� ������ �� "� ��� ����� �������� �� "��� ���� ���� ���� �� �������� � ���� ������� :�������� ������� ������� ����� ������������ ���� � ���� ������� �� �������� ��� �������� ����� � ������� ����� ���� ���� ����� � ����� ��������� ��� ��� ������ ���������� ���� ������� �� � �������� ����� �� ;�������< � ���������������� ����� �� ��� ����� ����� ��������� ������ ,������� �������� �� �� �� ������ �� �� ������� � ��� ������ � ����� ������ �� ��� ��� ���� �� ��� ��� ��� ������� ���������� �� �� ��������� � ���� ���� � ������� �� ��� ��������� ���� �� �������� � ���������� �������
��� ��� ������ �� ������������ ��� �������� ������ �� ���� �� � � "��� �������� �� ��� ����� ������ ����� �� ��� ������� � ��� ������ � ������� �!�������� ���� ���� � � �� ��� ��������� ��� �4� �� ��������� ��� ����� ���������� � ��� �� ��������� ��������� ���� �� �� ����������� ��� �� ��� ���� ��������� �����= ���� �� ������ � � ��� �� ��
� � ��� �� �� ���� ��������� ��
!����� "!����1�/ %����� 0�1 ��� ���� ���� ��� ���� � ��� ����� ������ ������ ������� � �� ���� ��� �� ������ � � ������������� ��!����� � ���������� ����� �� �� ����� �� � ��#��������� ������� �� ��� �� ������ � � ������ ����� �� �������� �� ��� � ��� ����� ����������� �� ����� �� � ��������� ������ �'�������� �� ������� ��� ���� ��� ������ �� ����� ��� ��� �������� ������������ >�������?>��@ ��������� ������� � ��� ������� �����
)�+ 4���� ��� ������� � � ��� ����� �������� ����� � �������� �
)+ A����� � ����� ����� �� ��� �������� �� "���� ��� ����� ��� ������ ��� ��� ������� ������� �������� )� ��� ����� � ��� ����� �������� �� �������� �� �����+ ��� �� �� �� �� �� ������ ��� �������� ������� �������� )������������ � �� �� �����+� ���� ����� ����� ��� ��������� � � "��� � ��� � ���� ����� �1� � � � � ���
)�+ ����� ��� ����� ����� � ��� �������� ����� ������� ��� �������� ���� ��� �� ���� � ��� ����������
)�+ B�� ��� ��� ������� ����� ���1� � � � � ��� ���� ������� ����� ���� ����� �1� � � � � ��� 4� �� ���� � ����� ����� � ��!������ � ��� � � ��� �1� � � � � �� ���� ��
����1
� � �����
� 3
)�+ ��� ������� � ���� ����� � �!������ ��"�� ��� ����������� � ��� ����� ����� �� ���������� ��� ������� ���������� � ��� ������ � ������� �!�������� �� ����
'�������� ��� ������� ��������� �������� ��� ����� � ��� ��� ���������� ���� � ��� �������� ������� ���� ��� ��#����� ���� �� ���� ���� � ����� ����� ������� � ������� ���� ����� �� ��������� �������� ���� ��� �� ���������� ��������������� ��������� ������� ����� �� ��� ���"�� �� �� ��� ���� � �
��� �������C �� �� �� �� �� ��� ��������� �� ��� ������ ������ � $��� 0�/� 4� ������� ���� ��� ���-����� �� � ��������������� � � ������ ������ ����� ���� ����� �� �� �� ���� ��� ����������� �� ��� >�������?>��@ ����� ���� ��� ����� ������� � ��� �����
1 D��� >������� )%������ E��4����� + )D����� :����� 6����� 1.(/ ? 4���� � 6�����1717+� 6����� ����������/ >��@� 4������ )%��� F������ 1.0. ? :�G ������ 1737+� %���� ����������
��# ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����
$�� ��� �� � � ������� � ����������� �� ���� ������� ���� �� ����������� ��� ��!���� �������� ������
)�+ ��� ������� � ��� ����� �������� ����� � ��� ����� ��
����� �1
/
�
3
������/� ���
�
3
���� �0�11�
)+ %����� � ����� ����� ���� ������� ������� � ����� � �� ��� ���� �� ������ ���� "�� ��������� � ��� ����
��� � �3 � �1 ��
���
�� 1 ���
���
�
� �/ ��
�/��
�� / ���
�/��
��0�1/�
����� ��� ��������� ��� �3� �1� 1� �/� /����� ����� ����� ��� ������ ��� ��� ������� ������� �����
���� �� $ �� % � $��� 0�/� ����
�� � 3 �� ���� � 3 �� � � 3 �0�1*������ � 3 �� � � �0�1(�
'� �� ����
���� � �1
�
���
���
�� 1
�
��
���
�
� �//�
���
�/��
�� /
/�
��
�/��
��0�15�
��� ��� ������� �������� )0�1*+ �� )0�1(+ ���� �� ��� �����
����3� � �3 � 1 � / � 3
����� � �3 � 1 � / � 3
������3� � ��1 � /�/ � 3
��� �0�1��
q
A Bl
���� ���
� � ��� �� �� ���� ��������� ��&
���� ����� ������ ��� �� ��� ���� �� ������� �3� �1 �� 1 �� ������� �/ �� / �� �� ��� ��� ���� � ����� ����� ���� �� ��"�� �� ����������� ������� � ����� ���� ���� ��
�� � � /
�1 � �/�/ �0�10� 1 � 3
�� ����!����� ��� �������� ����� ����� ��
��� � /
����
�/��
�� 1
�� �/
���
�/��
�� / ��
���
���0�1.�
)�+ 4� ���������� ��� ����� ������ �!����� )0�1.+� ��� ��� ������������� �!����� )0�11+ �� �������� ���� ��� ����� � ������
������ �1
/
�
3
��������/ ���
�
3
��� ��
� 1
/
�
3
���
/
�(�/
/���
�/��
��
��/
�(�/
/��
�/��
�� /�/
/��
���
���/
��
��
3
�
/
����
�/��
�� 1
�
� �/
���
�/��
�� / ��
���
����� �0�17�
�������� ��� ��� ��� ���� ������ ��������� ���� ��� ����� ���
���/� /� �5���5
�(�// �(���*
�( // �1����**
�*�/ / �(�
��/ � � /
�0�/3�4� ���� �������� ���� ������� ��� ������� �� � ��� ���������!����� )0�17+ �� ��� ������� ���� ����� � ��� ��� ���� ������/ �� /� ���� � �!����� )0�/3+�
��' ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����
)� + 4� �� ��� ��� ������� ����� � �/� /� � ���� ������� �� ������� ����� �/ �� /� ������ ��� ����� �����
����/
� 13���*
�(�/ �1����**
�* / �(�
�� 3
��� /
� 1����**
�*�/ �.���*
�( / � � � 3
�0�/1�
���� ����� � ��� �� �������� ��������� �!������ �� ���� �� ������� ����� �� � ��
13 1��*�
1��*� .
� ��/
/
� �� �(
�(���
(��
1
� �
)�+ ��� ������� � ��� ����� � �!������ )0�/1+ ������ ��� ������ ���� ���� ����� �/ �� /
�/ �1
����*
15�(
1�� (5�/�0�//�
/ ��(
����/
� 1/
1��/ � (5�(� (5
1/.� *�3�/
� ��0�/*�
&�� ����������� ��� ������� � �!������ )0�//+ �� )0�/*+ � ��� ����������� �!����� )0�1.+ �� ���� ��� ��������� �� ��� ������� ���������� � ��� ������ � ��� ������� �!�������� �� ��� ��� ���� � $��� 0�/��� �� ���������� �� �� ���� ��� ������ � ��� ��������� � ��� �����
�� � ��� ����� � �� �� ��� ����� � ��� ��� ������� �� ������ ��� ����� ������ �!����� )0�1.+� ���� ����� ������� �� �������� �������� ��� �!����� )5�/+� 4��� ������ �� ��� �������� ����� ������ �� ����
����/� � 3�335/3.*�(
���)����� �������+
�����/� � 3�33(*(�.�(
���)����� �����+
�0�/(�
���� �� ��� ����� ����� ������� ���� ��� �������� ���� � ����� ��1��59� >������� ��� ����� �� ����
���/� � ������/� � �3�335/3.* �*
���)����� �������+
�����/� � �������/� � �3�330377. �*
���)����� �����+
�0�/5�
� � ��� �� �� ���� ��������� ���
���� ��� ��� ����� ����� ��������� ���� ��� ����� �� ��� ������ ����� �������� ����� � �*��*9� $������ ���� ������ �� ��� ����� � �� �� ����
��/� � ����������/� � 3�3�/5333�/ )����� �������+
���/� � �����������/� � 3�3�*(7..�/ )����� �����+
�0�/��
������ ���� ��� ����� ����� �������� � ���� ���� ��� �� ��� � �� �� ������ �� ��� � ����� � �1��9��� �� ����� ���� ����� ������� ��� ��� ���� �� ���� � ������ � �����
����� ���� "�� ������� � ����� � �� ���� ������� � �������� ��� �������� ���� �� 1���9 ������ ���� ��� ����� ��� ����� � ����������� ������ �� ��� � ����� � 3�*79 ���� � ����� ����� ������� �� ������ � ����� � B�������� � ��� ��� ��� ���� �������� ������� ���� �� ��� ����� �� ��� ����� ��� ���� �� ��� ��������� �� ��� ������� ���� �� ��� ����� � �� �� �� ������ �������� �� ��� �������� �� ��� ������ ���� ����������� � ��� ������ ��������� � ��� ������� ��� ������� �� ��� �� ��� ���������� � ������������� ����� ����� ����� �� "� ��� ����� ������� �� ��� ������������� ���� ������ � ��� ����� �������� ��� � ��� ������ � ����������� ���� ������� ���� �����!��� � ���������� ������� �� ������ ��������� �� ��� ������ � ��� ��� �������
��� ��� ������ �� ��� ���� ������%� �� �� ���� �������� ��� ������� ������� �� ��� ��� ���� �$��� 0�/ �� ��� � ��� ����� ����� ��������� � �!����� )0�1/+ ��� ������ �� ��� ����� ������� ���� �� ��� ��������� )�!�����)5�/++� � ����� �� � � �� � �� ��� ����������� ����� ��� !������� ��� ������� ������� �� ��� >�������?>��@ ������ ��� �� �� � ��������� ������ ����� ������ ��� ���� � ��� ����
��� � �3 � �1 ��
���
�� 1 ���
���
�� � �� ��
����
�
� � ���
����
��0�/0�
�� �� ������ �� ������ ���� ��� !������ � ��� ������� ���� ������ ������� ���� ���� ��� � ��� � ������� � ����� ���� ������������ ��� � �� �� ������� � �� ����� ������� ���������� �� ��������� �� ��� ��� ��!���� ��� �� ��� �� � ����� ���������� �� ���� ���� ���������� �� ���� � � ���� ������� � �����
��( ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����
����� ������ ����
��� � �3 � �1 ��
���
�� 1 ���
���
�� �/ ��
�/��
�
� / ���
�/��
�� �* ��
�*��
�� * ���
�*��
��0�/.�
$������� ������� ��� �� � ��������� � ��� �������� ������ �� ������� �� ���� � ����� 0�1� ��� ������ � ��� ��������� ����� �� ������ � �� �� ��� ����� � ��� ��� � ��� ��� � $��� 0�/� ��������� ����� ��� ������ �� ������ � ��� ������� � ��� )�� � /�� 1� � ������� � ����� ���� �� ������ ��� ����� ����������� ��� ���� ��� ����� ��� ����� ��������� ������� ����/�� ����/������/�� $�� ��� �� � � �� ������� ����� 0�1 �� �� ���� ���������� ��� � � ��������� ��#������ ������ ��� ������� ��� ���������� ����� ����� ����������� �� ���� � ����� 0�/������ 0�/ ������ �� �� � � �� � ��������� ������������ �����
��� !������ � ��� ������� ����� ����������� �� ��� ��#���������� � )� $���� � ���� ��� �� "� ��� ������� � ��� ��������� ��������� ���� �� �� ��� ������ ��� ��� ������� � ����� ������� � ������ ������� ���� �� ��� ����� ������ ,������� �� �� ����������� ������ ������ � ���� ����� ����� ��� ������� ���� ������� ��� � ��� ���� � ��� �� ��� ��������� ��� � ��� "��� ������������ �� � ������ ��� � ����� ������ � ����� ����� �����H4� �� �������� ������� ���� � ��� >�������?>��@ ����� �
�-�� ���� �� ������ �� ��� ����� � ��� ����� ����� ������ � ��������� �� ���� ��� �� ��� ����� �������� ��� !������ � ��� ���������������� ���� ���� �� �� ����������� ��� ���� � � ��� � ��� �������� � ����� �
��� ���
) �����/� ����/� ����/�
5 3�33(*(0� (���� �3�330133� *���� 3�3�*(77� /
0 3�335370� (���� �3�33(011� *���� 3�35771(� /
����� 3�335/3.� (���� �3�335/3.� *���� 3�3�/533� /
��� ���
) ����� � ���9 ����� � ���9 ���� ���9
5 �1��5(9 �*��*/9 �1��390 �/�1*9 �7�5(9 �(�1(9
� � ��� �� �� ���� ��������� ��*
%������� ��� �� ������� ��� ��������� ��#������ ������� �� �������� � ��� ,��� ��� �������� �� !���� ��#���� ������� ��������� ��� � ��� � ������� � ����� ���� �� ���� �� � ������ �������� ����� &� ��� � � ����� ����� ���� "�� ������� � ����� ������ � ����� � 1��39 ���� ����� �� ��� � � ����� ����� �������� ������� � ����� ��� ����� ������ ��� �� �������� � ��������� ����� �� (�1(9� ���� ��������� �� �� ������ �������� �� ���������� ��� ���� ��� ����� ����� �����"�� ��� ��� ������� ������� ��������� �� �� �������� ��� � ����� �� ��� ����� ������� ���� ������������ � ��� ���������� � ���� ������� ���� �� ��� ������������ ����� )���� ����� ������� ��� ������ �����+� ���� �� �������� � ��� ����� ������ � ��� ����������� � ��� ��������������� ����� ������ �� ���� � $��� 0�*� �� �� ���� ����� ������
����� �� �� ��#�� ���� ��� �� ��� ����� ����� � �������� �������� �������� �� ��#�� ����"����� �� ��� ����� �� �� ��������'� � ����!���� � ���� ��������� �� ��� �� ������ ��� ����
������ ������ � ����� �� ��������� �� ��� �������� ������� ���������� ���� �� ��� �������� ������� �� ��� ����� �� ��� ���������� ����� � �������� ������� ���� ��� ����� � >�������?>��@ ���� ����!���� ��� ������� � ��� �������� ������� ���������� ��� ���� �� ���� ���� ��� &������� ���� � ��� ��� � ����� ���
������ ������ ��� ����������� � ��� �������� �� "��� � ��� ��� ����� $�� ��� ���� �� �� �� ��� ���� ����� ��� � ��� ����� ����������� �!����� )0�/0+ �������� ��� �������� ������� �� � 3�� %� '�������� �� �������� � �����
������� �� ��� ����� ����������
� �!����� )0�/0+ �� �� @��� �� � � �� � ������ ��� � ������ � ������� ����� �3� �1� 1� � � � � ��� �� ,������� �� ����� ��� �� ������ ���
y
z
b
a
y0
da (y0)dz
db (y0)dz
���� ��
�(� ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����
�������� �������� �������� ���� ��� ��� ������� ���� ��������������� ������ ������ � � ������ ������� ���� ��� �� ��� ������ �������� ��������� ��� � ,������� �� �� ��� ���� �� ���� ���� �� ������������ ��� ������ ����� �� ���������� ���� ����� ��� �� �� ��� �� �!����� )0�1/+
�� � ���� ��� ��!���� �� � ���������� � ��� �������� �������
� � ��������� � 3 �� � � �0�/7�
�� ���� �� ��� ��� ����� ��!���� ��� � �!������ )0�1*+ �� )0�1(+�I�� �� ���� ��� ������� ����� � ��� �!������ � ��� "�� ����� ����� �3� �1� 1� �/� /
����3� � �3 � 1 � / � 3����� � �3 � 1 � / � 3����
��3� � ��1 � /�/ � 3����
���� � 1 � ( / � 3
�����
�0�*3�
����� �� �� ������ � ��� � � �3� �1� 1� /� ����� �� ���
�3 � 3
�1 � �/�/ 1 � 3
/ � 3
�0�*1�
'� � ����!����� ��� ����� ����� ���� ��
��� � �/
���
�/��
�� / ��
���
���0�*/�
� �� ���������� �!����� )0�*/+ � �������� ����� �������� �!������ )0�11+ �� ��������� �� ������ ���� ��� ����� � ��� ��� � �������
���/� �5����
(
*�// �
(�
��/ �0�**�
�� ������ �� ���� ���� �� � ����� � ��������� �������� ���� ��� � �� ��!���� ��� ������ ������ � ����� ��� ��� ������������ �� ��� ����������� � ��� ������� ���� ������ �!����� )0�*/+���� ��� ����� �������� �!����� )0�11+ ������� � � ����� ��� ���� ���� ����� �/�4� �� ��� ��� ����� � �/� � ���� ������� �� ��� ���� ���� �/�
�� ���
��
��/� 13����
(
*�/ �
(�
�� 3 �0�*(�
� � ��� �� �� ���� ��������� �(�
����� ����� ��� ����� � ��� ���� ���� �/ ��
�/ � � /�(
5����5
�0�*5�
$������ ��� ����������� ��� ������ � �!����� )0�*5+ � ��� ����������� �!����� )0�*/+ �� ���� ��� ������� ����������� �� �������� � ����� ��� ��� ��� ������� �� �������� ������� ����������� �����"���,������� � �� �� � ��� ������ �� �� ������ ��� ������ � ���
��������� ����� �� ����� � �� �� ��� ����� � ��� ���� ������ �� �������� ���� ��� ������� ����� �������� ����
�����/� � 3�33/�1(/�(
����0�*��
����/� � 3�33./1/.�*
����0�*0�
���/� � �����������/� � 3�3/5.31/�/ �0�*.�
������ � ������ � �(7�.9� �50�09 �� �5.�09� ��������������� �� ����� ���� ����� ������� ��� �� ����� ��� ����� � ��� ���� �
������ ���� ��� �� � ����� ������ ��� ��� ������� ������� ��������� ���� ��� ��"�����6�� � ���� �� � �� ���� ���� )���� �� ���� ���� �� ��� �� ������� �
����� +� ����������� �� ��� �� �������� ���� ��� ����� ��� �� �������� � ��� ����� ����� �� �������� ���� ��� �� ���� ���������� ��� ������� ��������� ����� �� �� �� ����������� ���� ������ ����� �������� ���� ��� �������� ������� �������� ������ ������ ������� �� ����� ���� � ����� ���� �����"�� ��� ��� �������� ������� �������� ��� ��� �� �������� ����� � ����� �� �������� ����������� �������� �� ���� ������ �� � ��� ����� � ����� ������
�� ���� �� ��� ������ ��� ������ ���� ����� ���� �� ���� ��������� ��� ��� � ��� ���� � ��� �������� ���� ����� ���� ���������� 6�� ��� �� �� �������� ���� ��� ������� ���� �� ���������� ������� ���� ��� ����� �������� I������������ ��� ���� �������� � ����� ����� ����� ��� ����� �������� � !��� ������������� �� ���������� ������ � ���� �� �� ���� �� ��� ����� �������� ��� ��"�� ������� ,������� �� �� ������ ���� �� ����� ���������� � � ����� ���� �������� ����� �� ������� �� ����� ��������� � ����� ������� ���� �� ��� ���-��� � ������� 0�5 �� 0���� ����� � ���� ���� �������� �� ��������� �� ��� � ��� ������� � ��������� �������
�(� ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����
��� ������ �!��"��# ��� ������ �� ���� ��������""��� �� � �����$�� %�� ������� $����� ��"��
2� �� �� ��� ����������� ���� ��� ������� ���� ��� � ��������� ����� ������� �� ������� ���������� ���� �� �� �������� ��� ��� �4� �� �� ��� �� � ��� ��� � ��� ���� � �!�����)0�1+ �� ����� � ���� �� ���������� ��� ���������� � ��� ����� ����� ����� �� ������� � �� ������ ���� �� ��� �������� � � ������������ � ����� ��� ����� � ��� ������ ������ ������� ���� ��� ��������� ��������� ������� �� ���� ��� ��� �������� � ������ (��� ������ ��� ��� ����� � ����� ������� ���� ����� �� ���� ���� � �� �������� ���� ������ ������ �� ��� �������� ,������� �� �� ���� ������� �������� � ��� ��������� �� ��� ���� ����� �� �� ������ ������������ �� ��� ������� ��� �� ������� �������������������� ��� �� �� ������ � ������ ��� ������� � ��� ��� ����
��� ������� ����� ���� ��� ����� � ����� ������ $����� � �������� � ����� ����� �� �����4� ������ ���� ��� ������ ������� �������� ��� ���� �� ���
�!������ )(�7�+ �� )(�131+� ����
�� � 3 �� � � ������
� 3 �� � � 3
� ��� � � ��� ���� ������ �������� � � ��� � �� ������ ������ ����� ����� ���� �����"�� ����� �������� ��
������ � �1
�1� ���
���
/
���0�*7�
����� �1 � ����1� �� ��� �������� � ��� ��� � ��� ��������� ��� ���� ������� ����� ����� � ��� ��� ��
� ��
3
������/
��/�������/
�/�� �
�1
3
������/*
��/�������/
�/�� �0�(3�
�� ��� ���� ���� ��� ������� ���#��� ������ ��� �� ������������ ��� ������� ��� ���� �� ���� ��� ��� ���#��� ������ ������� ��� �$�� �!������ )(�./+ �� )(�.*+ �� �� ����� ��� ����� � �� �
���� �� ��� ��� ��
�� �� �*11/
�1� � 1� ��� *� ��� 1� � 1� ��� * �0�(1�
����� ��� �� ��� ����� � �� � ���� ����������� �� ��� ������������ ��� ���� � ��� ��������� �� ��� ������� �� �� � �/��1�
� � ��� �� �� ���� ��������� �(
��� ����� ����� � ������ �� �� �� ������ ��
� � � ���/*
�1
3
1� � 1� ��� *��/��
��/
��� �0�(/�
%���������� ��� ����� ����� � ��� ����� ����� �����
� � � ���/*
�/
1/.��/ � 1/��1� � / � *�
� *
1���/�1� � � /�1� *� � ��1� �
��/1 �0�(*�
��� ����� �������� ����� � � ��� ���� ���� � ��� ��������� �� ������� ��� ����� ����� ��� �� ��� ������ � ��� ��� �� ��� ���� ��������� � ��� ���� + ������� �� ��� ��� � ��� ���������� ����
� � � � ����� � � � ��1 �0�((���� �!�������� ������� �� ������� �� ��� ��������� ����� � ����������� ����� ���� ������� �� ��� ������ � ����� �1� ���� ��
��
��1� 3 �0�(5�
����� ��� ������� � ����������� � ��� �������� ����� �����
� ���*
�/
1/.��/ � 1/��1� � / � *�
� *
1���/�1� � � /�1� *� � ��1� �
��1 � � � 3
)0�(�+
%���������� ��� ������� ����� �� �� � ���������� ��� ��� ���� ����� �!�������� �!����� ������ ��� ����� �� ��� �������� �� ��� ��� ���� ��������� �� ��� ����� � ��� �������� ���� ��� ����� � ������ � 6�� ��� ������ ���
� 1 ���1� ��*
*�3/��1
� 3�5 ���1� ��*
1�75��1
� 3 ���1� ��*
1�*1��1
�0�(0�
�(# ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����
�� �� �� ��� ���� � �� ������ ���� ��� ����� ������� ��������� ��� ������� � ��� ��#������� �!������ ��� �������� �� ������ � � ��������� ���� ���� ����� � � 1� ������� �� ��� ���� ����� ����� �������� � ���� ���� ������� ��� ���� �� ��� ������ �� ������� ��� ������� �� ��� ������� ��� ����� ��������� ��� ����� ������ ���� �� ���� ����������� � $��� 0�( �������� ����� �� ��� ��� �������� �� ��� �� ������ � ����� ���������� �� �� ����� �� ��� ����� ������ �� ����������� ������� ���� ������� ���� �� ���������� ���� �� ����� 59� �� �� � ����� �
� 3�5�'���� �� �� ��� �� � ����� ��� �������� � ��� ������ �� ���
������� ��� ����� �� �������� ��� � ��� � ������� � ����� � ��� ����� ������ ���� ������ ������� ���������� �� ��� ����� ������� "� ��� ����� �������� ����� � ��� ���������� ��� ������� ������������ ���� �� ���� � ��� ������ � ����� ����� ������ ����
������ � �1
�1� ���
���
/
��� �/ 1� ���
�*��
/
����0�(.�
����� �1 �� �/ ��� ��� ������� � ����� � �� ���������� ����������� ��� ����� ������ ��� ������ � ��� ������ ����������� ������� ���������� ��� ���� � $��� 0�5����� ����� �� ����������� � ��� ����� �������� ����� �������
� �� ��� �!�������� �!������ ��� �������� �� ������ �� ���
���� ��#
� � ��� �� �� ���� ��������� �(&
��������� ������� � ��� �������� ������ � ���� ���� ��� �!��������� ������� �� ��� ��������
����1
� 3�����/
� 3 �0�(7�
��� �!�������� �!������ �� �� ��������� � ����� ������ ��
�1�� �/���*�� �(��
� ��1
�/
� �� �*
/� ���
1
1
� �� 3 �0�53�
����� �1��� � � � � �(�� ��� ������ ��� � ��� �������� ������������ ������ � ����� � ��� ��� � ����� ������ ���
�1�� � *1��
/�1� � / � *� � *( �1� *� */ � *�
� 1�(�
(�1� � / � *��/�� � 1*5
�( �/�1� � /
*/ � /
**� � /0
( �1� *� */ � *��*�� � 1*5
�( �/�1� � /
*/ � /
**� � /0
( �1� *� */ � *��(�� � /0
1��/�1� � / � *� � 7
( �*� � / � **�� .1
�(�(�1� � / � *� �0�51�
[1 – cos πζ/2]
2·0
1·5
1·0
0·5
00 0·2 0·4 0·6 0·8 1·0
ζ
[1 – cos 3πζ/2]
���� ��&
�(' ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����
��� ������ �� ��� ���������� ���������� � ��� ����� ����� ����� ��� ���������� ����
�1 ��*
/��1
�1� �/���1��
�
�/ ��*
/��1
��*�� � �1��
�/���*�� � �(���1��� �0�5/�
�� ��� �������� �� ��� ��� � ��� ��������� �� ������� ��
���1� � �1 � �/ �0�5*�$����� 0�� ����� ��� �#��� � ������� ��� ������� � ����� �
��� ����� ������ ��� ����� �� �� ����� 59 � ��� ����� ����� ����� �������� �� ��� ��� � ��� ��������� �� ������ � ��� ����3�/ 1�� ������� �������� ��� ��!����� ������ ��� ��� ���� � ��� �����
���� �� ����� �� �������� �� �������� ��� � ���� � ������� ������ � ��� ����� ������ 8 ������� �� ������� ���� ���� ��������� �� �� ��� ������ � ������� �������� ��������� �� ������� ���� ��������
��& ��� �������� ����� ��� � ���� ������8 ��� ����� � ���� �� ���� ������ � ��� �������� ������� � ������������ �� ������ �� ����� ���� � ������ ��� � �� "� � ����� �������� � ��� "��� ������� � ����� � ���� -���� ��� ��������� �� �
Exact solution
Two degrees of freedom
One degree of freedom
2·5
2·0
1·5
1·0
0·5
00 0·2 0·4 0·6 0·8 1·0
α
u y(1
)
���� ��'
� � ��� �� �� ���� ��������� �(�
����������� � ��� �������� ���� � ��� ������ � :�������� �������� ������� ���� �������� � ���� ;���< �� ��� �������� ������ ������������ ,������� �� �� ����� � ����� �� � ����� ���� ��� �"��� ���� � ����� ��� ��� � ��������� � ���� ����� ������ ������� �� ��� ����� ������� ���� ���� ��� ������� � ���� ��� � ������� � ����� �� � ��� ��������������� ����� �� ���� ��� ���������� ���� �� � !���� �� ��������
����� �� ���� �� ������� � ��� ����� � �� ��� ���� �������� ����� ���� ��� �� ����������� 4� ���� �� ��� ����� ���� � ����� ����������� �� � �������� � ��������� �� ��� ����� ������ � ���"��� ������ �� ��� ���� ���� � ������� ��� � ������� ���� �������� ���� � �� ���������� ��������������� ��������� ������ �� ��� ������������� �� ��� �������
����������
� ���� �� �����"�� ��� ��� ������� ������� ��������� �� �� �� ��� ��� ��� �1� �/� � � � � �� ��� ������� ��������� �� �� ������� � � ��� ������ � �� �� ������ "� � �������
� ���� ����� �1 �1 � �/ �/ � � �� �� ����� ��#������������ �� � ������ ������� �"����� ������ �� ��
2��� ������ ���� ������ �� �� �������� �� �� ������� ���� ��� ���������� � � ��� � ��������� ������ ����� ��� ��������� ���� >�������?>��@ ������� ���� �� ��� ����� ������� � ��� �� ���,������� �� �� ����� ���� �� � "��� � ��� � ��������� ��������� �� ������ � ������ ���� ���� ������ �������� ���� ��� �������B�������� �� � �������� ���� � ����� �� ��� ���� �� ������������ �� �� ����� ����������� ������� )���� ����H+ ��� �� � ������� ������� ���� ������ ���� ��� �� ��������� �������:��� ��� �� ��� ��� ���� �������� ������ �� ����� ���� �� ��
������� ���� �� ��� ��� ���� � $��� 0�1 �� ����� ���� ��� ���������� �� ��� ����� ������� � ��� ������� ��� �����
������ �����1
�� ��
����
������ � �� ��� �0�5(�
���� �� ��
����
���0�55�
�� � ��� � ��������� ������� 6��� � ��� ��� � � ��� ������� �!������ )0�5(+ ��"�� ��� ��� ������� ������� �������� �����"�� ��!����� )0�(+� 8 ��� ����� ���� ���� ������ �� ��� ��� ���� �$��� 0�/ ��� ������ � ��� ������� ��� ����� ��������� � �!�����
�(( ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����
)0�/0+� ����
��� � �3 � �1 ��
���
�� 1 ���
���
�� � �� ��
����
�
� � ���
����
��0�5��
�� �� ���������� �� � ��� � ��������� ������� � ���� �� ��� ��� ��� � ���������� �����"�� ��� ��� ������� ������� ��������� �����"�� � �!������ )0�1*+ �� )0�1(+�
��' (������ ������� ��������� �� ����� ������ �� ��� ������� ��� ���� �� ������� ���� ���>�������?>��@ �����!�� ���� �� �� ��� �� �������� ���� ���� �������� ��� � ��������� ���������� �������� I������������ ��� ����� ���� ����� ���� ����� �� ��� ������ �� � ���� ���� ��������������� ������ ������� ��� ����� ������� ��� ����� � ����� ���
����� �� ������� �� ��� �� �� ���������� �� ��� ������ ������������ ��� ��������� �������� � ��� �������� ����� � ������������� �� �� ��� �� �������� ��� �������� ����� � ��� � ����� ������� � ������� �� ������ �������� �� � ���� ������ � ���������� ��� �������� �� ��������� ���� �� ��� ������� !����� "!��������!��� ��� �� �� �� ��� ���������� �� ��� ��������� � ���"��� ��� �� ������%������ �� ���������� � ��� ��� � � ��� � ������� ��� ��
����� � ����� ������ ��� ������ ����� �� ��� � ����� ��!������������ ��� ��� � �� ���� � $��� 0�0�I��� �� ������� � ����� ����� ������ � �� � ����� ����� �� ��
���� � $��� 0�.���� ����� ����� ��� ��� ������� ����������
� ��� �������� �� ��� �� @��� �������� �� ��� ����� ����� @��� ����� �� ��� �����
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
l
region 2 node 5
���� ���
� � ��� �� �� ���� ��������� �(*
��� ������� �� �� ���"�� � �� ������ � ����� ��������� ����� ����� ����� � ������ ���� � ��� � �� ���� � $��� 0�.� ��� �������������� ��
3 � ���1 � ��1 3 � �� � � �0�50���� ���������� �� ������ �� ���"�� � �� ���� ���� ������������ ��������� ����� �� ��"��
���1 ����1
��1
�� �� ����
�0�5.�
����� ��� ��������� ����� �� )�� ���� � $��� 0�7+
3 � ���1 � 1 �� 3 � �� � 1 �0�57���� ����� ����� ������ ���� � � 1 �� � �� ������� ���� ���������� ������� �������� ���� ����� ��� ����� ����� ��� � ������
z
y
fi
zi–1 zi
i–2 i–1 i i+2i+1
1
li–1 li
���� ��(
z
y
ζi–1 ζi
i–1 i i+1
Element i–1
ui–1 ui
0 0
���� ��*
�*� ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����
� ����� �� ��� � �� ������ ����� ���
���1����1� � 3 �� ���1 � 3
���1����1� � 1 �� ���1 � 1
����1����1�����1
� 3 �� ���1 � 3 �� 1
�0��3�
' �� ��� ����� ��� ����� �������� ����� ��!���� ��� ��
���1����1� � �*�/��1 � /�*��1� �0��1���� ����� ����� �� ������ ���� � �� �J1 �� ������� � ��� �� ����� �� ��� ����������� ����� ��� ����� ��
������ � 1� *�/� � /�*� �0��/����� �����"�� ��� ��!���� ���
������ � 1 �� �� � 3
������ � 3 �� �� � 1
����������
� 3 �� �� � 3 �� 1
�0��*�
4��� ���� ����� ����� ��� �������� � ��� ��� �� ������� �� ���������� ��� ����� ����� �� ��� ��������� ���� �� ��� � �� ���� �$��� 0�7��� �� ����� � ��� "���� ���� ��� �������� � ��� ��� � ��� �����
������ ���� � � 1 �� � �� ������� ��� �� ��� ������ � ��� ���������� �� ����� ��������� ����� ������ ��� ���� �� ������ � ������ �� ��� ��������
����� �� ��� �� � � 1 �� �� ������� �� �� ���� �!������)0��1+ �� )0��/+� ����
���1� ��1� � ����1�1� *�/��1 � /�*��1� � ����*�/��1 � /�*��1� �0��(�
��� ������� ����� ����� � ���� ��� �� � ��� ��� ��
���1 ����/
��� 1
3
��/���1
� ����1���/��1
�/����1
� ���/*��1
�1
3
��/���1
� ����1���/��1
�/����1
� ���/*��1
1/������1 � ����/ �0��5�
� � ��� �� �� ���� ��������� �*�
��� �������� �� ���� ���� ���� �������� �� �� ������ �������� ��� �� ��� ��� �� � �� � ������� ����� ����� ���� ��������� ��� ����� � ��� ��� �� �� ��� ��������� �� ��� ���� ��������� ��� ��� 4� �� ��� ���� ��� ���������� � ���� �������� ������ ��� ��� ���� � $��� 0�13� ����� �� �������� ��� ��� �������� ��� ��� �!������� ����� ����� � ��� ����� ��� ��
� � ���
/��(�* 1/�����1 � ��/�/ � ����/ � ��*�/
� ����* � ��(�/ � ����( � ��5�/ �0������ ��� �������� ����� � � ������ � ��� ���������� ���� + �� ������ ��
� � � � ���* �0��0�I��� ��� ������� �������� �� ��� �� ��� ��������� ��� ���
��1 � 3 �� ��5 � 3 �0��.�,��� ��� �������� ����� � ��� ��� � ����� ��� � ��
� � *.(���*
���// � ����/ � ��*�/ � ����* � ��(�/ � ����(�/ � ���*
�0��7���� �!�������� �������� ������ �� ��� ��������� ����� � ��� ������������� ������ ���� ��
�����/
� 3������*
� 3������(
� 3 �0�03�
l
P
1 2 3 4
1 2 3 4 5
Elements
Nodes
���� ����
�*� ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����
,��� ��� �!�������� �������� �� �� ��� � ����� �� ��
/ �1 3
�1 / �13 �1 /
���
���
��/
��*
��(
���
���� �*
0�.���
3
1
3
���
��� � 3 �0�01�
$�� ���� �� ����� ��� �������
��* ��*
0�.����� ��/ � ��( �
��*/
�0�0/�
�� �� ������ ���� ���� ����� �� ��� �������� �� ��� �������� � ������ �� !���� ��#���� �� ��� ����� ��������� ������� � 6����<��!����� � ��� ���� ����� ����
����/� ��*
(.���0�0*�
'� ���� ���� � �� ���� �� � ����� ��� �������� � ��� �������������� � ��� �������� �� ���� � ������� �� �� ������
� ������� ��� �� ������� � ��� �� ���� ����� ������ ��������������� ��� ������� � ����� �� ��� ���� ��� � ��� ���� ���� ��
� ������� ��� �� ������� � ��� ����� ������ �� ��� � ��� �������� � ����� ����� ���� ��� ���
D�� �� �� � ��� "��� ��������� �� �� ������ ���� � �� ������ ���� ��� � ��� ��� � ��� ��� � �� ���� � $��� 0�11� ��� �!�������� �������� ���
/ �1 3 3 3 3 3
�1 / �1 3 3 3 3
3 �1 / �1 3 3 3
3 3 �1 / �1 3 3
3 3 3 �1 / �1 3
3 3 3 3 �1 / �13 3 3 3 3 �1 /
����������������
����������������
��/
��*
��(
��5
���
��0
��.
����������������
����������������
� �*
15*����
3
3
3
1
3
3
3
����������������
����������������
� 3
)0�0(+
� � ��� �� �� ���� ��������� �*
��� ������ �� ���� ��� �������� �� ������ ��
��5 ��*
0�.�����
��/ � ��. ���5(� ��* � ��0 �
��5/� ��( � ��� �
*��5(
�0�05�
����� ���� �� ��#�� �� �!����� )0�0/+� �� �� �������� ����� �������� �������� �� �� ���� ������� ��� ����� ���� � ��� ��� ���� ��������� � ��� ��������� ����� ����� ��� ���� �� �� �� ����� �� ��������� �� ��� ����� �� � ������ � ��� ����� � ��� ������� ����������!������ )0��3+ �� )0��*+� � ����� ������ ��� ������������ � ����������� � �� ��� ��� �������������� ��������#����'� ������ ������ ��� ���������� �������� �� � ����� ��� �����
���� � ��� ��������� ����� �� �� ������� ��� �� ������� � ��� ���������� ����� � ��� ��� ����� �� �� ����� ��� ����� ������� � ��� �� � ��� ����� � ��� ��� �� ������ ��� ������� � ������ �� ���� ���� ����� ������� � ����� ������ �� ��� �������� ����� ��� �� ���� �� ��� ����� �� ���� ���� ����$������� ��� �������� ���� ����� �� ��� ��������� � ��� �����
����� �� ��� ��������� ��� ����� �� ��� ����� ����� �� ��� ������� ��� � �� ���� � $��� 0�1/���� ����������� ������� �������� ���
���1����1� � 3 �� ���1 � 3� 1
����1����1�����1
� 3 �� ���1 � 3
� � ���1����1�����1
� 1 �� ���1 � 1
�0�0��
l
P
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Elements
Nodes
1 2 3 4 5 6 7 8
���� ����
�*# ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����
������ � 3 �� �� � 3� 1
� ����������
� 1 �� �� � 3
����������
� 3 �� �� � 1
�0�0�� ����
��� �� ����� ����� ��� ���������� ���� "� ����� ������� ��������� ���
���1����1� � ��/��1 � �*��1�
������ � ���� � /�/� � �*� ��0�00�
��� �������� ����� ���� � ���������� ��� �� �� �� � ����� � ������������ �� ������ �� ��� ���� ������ ��� ��� ��� ����� ����� �� � � 1� ������ �� ���� � � 1 �� �� �� ����� �� �� �����!������ )0��1+ �� )0�00+ )����� ���� �� � � ��������� � �1���� ���� ������� � ��� ���������� �� ��"� ��� � ���+
���1� ����1� � ����1�1� *�/��1 � /�*��1�
� ����1�����1 � /�/��1 � �*��1�
� ����*�/��1 � /�*��1� � �����/��1 � �*��1� �0�0.�
z
y
gi
ζi–1 ζi
i–2 i–1 i i+2i+1
1
g (ζi–1) g (ζi)
���� ����
� � ��� �� �� ���� ��������� �*&
'� ������ ��� ������� ����� ����� ���1 �� ���� ��� �� ��
���1 ����/*��1
�1
3
��/���1
� ����1���/��1
�/����1
� ���/*��1
�1/��/��1 � 1/����1����1 � 1/����1
��� � ( ��/��1
� 1/��� ����1 � ( ����1��� � 1/��/� � 1/��� ��� � ( ��/
� �� �� ����� ������ ���� ��� ������� �� ��������� ��� ������� ������������ � ��� ����� ����� ���� ������� �� ��� ������� � ����� ����1�����1� ��� �� ���� � ����� ������ ���
����1
�����1
����1
� ����1
����1
��������1
� ���
�������������
�������������
� ���/*��1
/( �1/ �/( �1/�1/ . 1/ (
�/( 1/ /( 1/
�1/ ( 1/ .
�����
�����
����1
����1
������
�����
����� �0�07�
6��������� ���� �� ��� ����� �� ��� ���#��� ����� �� � ������� ���� ��� � ��� ������� � ��� �� ��� ��������� ��� � ���� ��� ���������� ������� � ��� ����� ������ �� �� �������� ��������� ���� � ����������� � ��� ��� ��� ��� ��� ������� �� ���� � $��� 0�1*���� ����� �������� ����� ��
� � � � ���/ �0�.3��� ����� ��� ��� ������� �������� �� ��� �� ��� ������������ � ���� ��1 � 3 �� ��* � 3� ���� ��� � ������ ��� �!��������
l
P
1 2 3
Elements
Nodes
1 2
���� ���
�*' ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����
�������� ������ �� ��� ��������� ����� � ��� ����� �������������� ���� ��
��� ��1
� 3������/
� 3���� ��/
� 3���� ��*
� 3 �0�.1�
� ����� �� ��� ������ ���� "� �� ���� �� ��"� ���� �� ����
. 1/ ( 3
1/ (. 3 �1/( 3 1� (
3 �1/ ( .
�����
�����
��1
��/��/��*
�����
������ �*
(���
3
1
3
3
�����
����� � 3 �0�./�
��� ������� � ���� ����� �!����� ��
��1
��/��/��*
�����
����� � �*
(���
�3�1/53�3.***
3
3�1/5
�����
�����
�� ��� �������� �� ������ ��
��/ ��*
(.����0�.*�
���� ���������� ������� ���� ��� ������ �� ��� ��������� ������� �6����<� ��� ���� ���� �!������ ��� ����� ������� ���� ������������ ��� ��� ���� ���� �� �� ��������� �� � ����� ����� �� �� ��� ��������� ����� ������ ���� ���� ������ ����� ��� ��� ��������� �� �� ����� ���� ���� � ������ ���� �� �������� ���
���� ���� � ��� ��������� �� ������ � ������� ��� ������������� �������� ���� ��� ����������� � ��� ����� ������������� ��� ��� ��!������ � ��� ���� �� ��� �� ����� ���� ���"��� ������ ��� ������� � �!����� )0�.1+ ��
/( �1/ /( �1/ 3 3
�1/ . 1/ ( 3 3
�/( 1/ (. 3 �/( �1/�1/ ( 3 1� 1/ (
3 3 �/( 1/ /( 1/
3 3 �1/ ( 1/ .
����������
����������
��1��1
��/��/
��*��*
����������
����������� �*
(���
3
3
1
3
3
3
����������
����������� 3
�0�.(�
� � ��� �� �� ���� ��������� �*�
�� ��� ������ ��1 � 3 �� ��* � 3 �� ��� ����� ��� ���� ������ � ������� �� ��1 �� ��*� ����� ����� ��� ����� ���� ��!����� )0�./+�� ���� ��� ��� �� ������ �� ���� ������ �� ��-����� �� �����
��� ������� � ��� ���� ����� ������� �������� ��� �� ������������� ���� �� �� ��� ���"�� ���� ������ �� � ��������� ��� ��������C �� ��� 1 �� ����� � ���������� ���� + �� ��� *� ���$��� 0�1(���� ������ ������� �������� ���
��1 � 3 �� ��1 � 3 �� ��� 1 �0�.5������ �� �� �� ��� ��� ���� ��� "��� ��� ���� �� ���� � �� ��� ����� )0�.(+ �� ��� ��� ���������� � ��� ���� � �� ��� *� ��� �!��������� �!������ ���
(. 3 �/( �1/3 1� 1/ (
�/( 1/ /( 1/
�1/ ( 1/ .
�����
�����
��/��/
��*��*
�����
������ �*
(���
3
3
1
3
�����
����� � 3 �0�.��
�� ��� ������ �� ���� ����� �!����� ��
��* ��*
*����0�.0�
�� �� ��� �� ��� ���� ���� � �������� ������ � ��� ����� ���������� ���� ��� ��� ��� ��� ���� �������� � ��������� ������ ��������� ��� ����� ����� �� ��� �������� � ��� ��������� �� ��� �������������� � � �� ��� ��������� ��� � ,������� ������� ��� ���� �������� �� ��� ���� ���� ����� ��� �������� ����� �� ������ ���� �������������� �� ���������� ��� ������� ������� �������� ����� ���������� �� �� ���� ���������� � ��� ��������� >�������?>��@
l
P
1 2 3
Elements
Nodes
1 2
���� ���#
�*( ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����
������ ���� ��� ������ �� �� �� ������ �� �� �� ������ �� ����� ���� � ���� ��� �� ������� �� � ����� ������� � ����� � ������������ A������ 11 � ���� ��� ��������� �� ���� ��� "��� ��� �� ����� ����� �������� ������� �� ��� ��������� ����� ����� ���������� �� ������� �������� �����
��� ������ �!��"��# �""����� �� �������������� ���� ������� �� ��� ������� �� � �����
���� ��� ��� ����������� ��� ���������� � ��� ����� � ��������� ����������� �� ��� ������� � ��� �� � ���� ���������� ��� ��� ����������� ��� A��������?A��������� ������ � ��� ������ ��5� ��� �� � ��������� ��� � � ��� � ������ ��� �� ���� �� ��� ������� � ������0��� ��������� ������ ��� �������� �� ����� ���������� ������ �� � �� �� ������� ���� �� ���� � $��� 0�15� 6���
��� �� �� ���������� ��� ��� ������� �� ��� ���� ���� � �!��������� ���� � � �/���� �� ���� �� ������� � �� �� � ��� ������ � ���� �������
�� ������ ��� � ��� � ������� � ����� � '���� �� ������� ������ ��� �� �� ������� ����� �����4� ������ �� �!����� )0�07+ ���� �� � ������� ��� �� ��� �������
����������� �������� �� ��� ����� ������ ����� ���� �� ��� ��"���� �
A
B C
l/2
l/2
l/2
Region 2
Region 1
Region 3
Symmetry
Node 1
Node 2
Node 3
Node 4
I1
I2I2
l = 5 m
I =I1
I2= 2·68
P
���� ���&
� � ��� �� �� ���� ��������� �**
��� ���#��� ������ �� �� ������ ��
��� � ���/*�
/( �1/ �/( �1/�1/ . 1/ (
�/( 1/ /( 1/
�1/ ( 1/ .
�����
�����
����1
����1
������
�����
�����
����� ��� �� ��� �������� �� ��� ��� � �� �� �� ��� ���� � ��� ��� ���� ��� �� ��� ����� � ����� �� ���� ������� -����� � ��� ������ 1 �� / �� ��� / �� ���� ���� ��� ����
��� ���� �� � ������ � �������� �� ����� � ������ ���-����� � ��� �������� �� ����@���� � ���� �� % �� ���� ���� ����������� � ����� / �� ��� * �� @��� �� ��� ����� � ����� �������� / �� * �� �� � �� ��� *� ���� �� ���� ��� ���#��� ������� � ��� ����� ������ �� ������� ��� ��������� ������� ����� ����� ����� � ��� ������ �� �
� �� � (��/*
/( �1/ �/( �1/ 3 3 3
�1/ . 1/ ( 3 3 3
�/( 1/ (. 3 �1/ 3 3
�1/ ( 3 1� ( 3 3
3 3 �1/ ( .�1� �� 1/� (�
3 3 3 3 1/� /(� 1/�
3 3 3 3 (� 1/� .�
����������������
����������������
��1
��1
��/
��/
��*
��(
��(
����������������
����������������
����� � � �1��/���� ������� �������� ���
��1 � ��1 � 3 �� �� ��* � 3 �� � �� ��( � 3 �� �
'������ ����� ������� �������� �� �� �� ��� ������ ��� ��� �������� �� ��� �������� � ��� �������� ���� + ��� ������� � �!��������� � �� ��� � ��� �� ����� �� � ��
(��/*
(. 3 �1/ 3
3 1� ( 3
�1/ ( .�1� �� 1/�
3 3 1/� /(�
�����
�����
��/��/��*
��(
�����
������ �
/
3
3
3
1
�����
����� � 3
��� ����� �!����� �� �� ������ �� ���� ��� �������� ����� �� ��������� �� � ����������� �� ������� ������ � ,�
��� ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����
'� � ��� ���� ��� ����� � � � 3�3331 �� ������� �� ��� ������!����� ����� ��� �������
��( �1
171�70
�*
��1
���� ����� � , � ����� ���� ��� ������� ���#��� � ��� ����@���� � ��� � ��� �� � �� ���� ��� ���� ��� ���� � ��� �������� � ����� ���� ��� ����@���� � ��� ������ ����� �� ��� ����������� ��� ���� �� � �� ���� � ��� ���� �������C �� ���� ���� I��� ���� ������ � � � 3 ����� ����� ��� ����� �!����� ����������� ��������� �� ������ �� ��� �������� �� ������ �� ���� �
��� ��
��( �1
17/
�*
��1
���� ��� ������� �� ����� ����� ������� ���� ��� ��������� �� �������� ���� �� ������� ��� ��������� ������� ����� ��������� ���������� ���� ����� � ��� � ���� � ��� �� � �� � ����� ����� ������� ����� ����� �������� �� ���� � ����� ����� ��� �� ���������� ������� �����"�� ��� ��!���� ���A������ �� ��� ������� � ��� ������ �� � ���� � $��� ��5�
����� ��� ��� ���� � ������ ��5 �� ���� � � /��.� 4� ���� ��������� �� ��� ����� ������� ��
��/��/��*
��(
�����
����� � �*
.��/
�3�31*(3�31*(
�3�35*(3�3(/*
�����
�����
,��� ��� �������� ��( �� ������ � ��� ����@���� � ���� �� ������ � � �(�0 I� ��
��( � 3�3(/*�*
.��/
� 3�3(/*� ��(0� 13( � 5333*
.� /�1� 135 � 1�51� 130� 1*�(7
���� �� ����� ������� ���� ����������� ����� ���������� ���� ���A��������?A��������� ������ ���� ����� �� ��� ������ �� �� ���������� ���� ��� ��������� �
��� � ��� �� �� ���� ����� � ���� ������ ����������� ���
� � ��� �� �� ���� ��������� ���
��������� � � ��� �� �� ������� ��
� �/��
��/�� �/
��/�����1�1� *�/ � /�*� � ����1��� � /�/ � �*�
� ����*�/ � /�*� � �����/ � �*� �������1���� 1/�� � ����1�(� ���
� ������ 1/�� � ����/� ��� ��� ��������� � � ��� %- ��
� �/��
��/�� 1
/�
�/��
��/
�� (
/���*���� 1/�� � ��*�(� ���
� ��(��� 1/�� � ��(�/� ��� �����
� � 3 �� ��� *� � � 1 �� ��� ( �� ���� ��* � ��( � 3�
��� ������ �� ��� ������� �� � � /��. ����� ��� ��������� �� - ��
� �/��
��/� � �
/��/�/�3�35*(� � ��3�3(/*� � �
1*��35��/
��� ����� �� ��� ����� ��� � ��� � ��� %- �� ���� - ��
�� ���(0� 13( � 5333� 11/
1*��35� /�1� 135 � 1�51� 130� 3�.(� 13�*
���� �� ����� ������� ���� ��� ����������� ����� �� ���A��������?A��������� �������� ��� ������ ��5��� �� ������ ���� ��� ����� � ����� ������ �� �� ������ �������
�� ��� ������� � �� ��� ' ��� �����"� �� � ����������� �������� �� �� �� �� �������� � ������� 7� ���� �� ����� � ��� ������ �������� � 6����<� �!����� �� ��� ���� ���� �� �� ��� ����� ������ ������� ���� � ���������� �������� ��������� ,������� ����� ���� ����� ������� ���� �� ��� �� ����� � ��� �� � ����� ����������� ���� ���� ����� �� ������� ��� ����� �� � �������� � ���� ��������� ��� ����� � ��������� ����� ������� ���� ��� "��� ��� �� ������ �� �� ���� �� ������� �������� �������� �� ��� ������ ������ ����� � ��� �� ��
��� ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����
)�������� �!���� "�������1� $����� 0�1� ����� � ��� ���� � ���� ������� ���#��� � �,
�� ������� �� ���� ���� ��� ��� �� ���-����� �� � ���� ������������� ���� � �K��� ������ 2�� ��� ����� � ����� ������� ������ � ��������� �� ��� �������� ����� �� ��� ����� ���� �������� �� �� ��������� A� ���� ��� ������ ����������� ��� ����� ��� �� ��� ��������� ������� � 6����<� �!������ �� ��� ���� �����L'�= ����� ����� �� � �(�*73�� � '�������� ����� �� ��(�*.(�� M
/� ��� ��� ���� � $��� 0�10 ��� � ������� ���#��� � �, �� ������ ����� �� /�, �� ��� ����� ���� ��� ��� �� ���-����� �� ����� �� ����������� ���� �� 2�� ��� ����� � ����� �������� ������� � ��������� �� ��� �������� �� ��������� '������� ����� � ��������� ����� ������ �� ������� � �� ������������ �� ��� ���������L'�= 8� ��� ����� ������� � �(�1��1�� � ��������� ����� ������ ���� ��� ��� ��� ���� ��� ��� � �� � �(�/��*�� � �������������� ����� ���� ��� ��� ��� ���� ��� ��� � �� � �(�1��3�� M
*� ��� ��� ���� � $��� 0�1. �� ���-����� �� � ����������� ����������� �� .K��� ����� �� ��� �� $ ����� �� �� ��� ����������� �� 3 �� ��� �� % ����� �� �������� ��� ��� ��� � ����
A B
q
l
EI
���� ���'
q
l l
EI2EI
���� ����
� � ��� �� �� ���� ��������� ��
������� ���#��� 6�� 2�� ��� ����� � ����� ������ �� ������������ �������� � ��� ��� �� ������� A��� ��� ����� ������ ���� ��� �� ��������� ����� ����� �����L'�= �� ��� ����� ������ �� � �(�*77�3�� � ��� ��� ����������� ����� ������ �� � �(�*(0�.�� M
AB
Q
l
EI
���� ���(
��# ������ ��� ��� �� ��������� ��� �����
top related