testes de hipóteses – 2 médias - instituto de matemática e...
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Testes de Hipóteses – 2 Médias
Airlane P. AlencarIME-USP
Airlane P. Alencar2
Possibilidades
2 Amostras
Independentes
2 populações
Variâncias iguais Variâncias diferentes
Pareadas
Medidas repetidas
Airlane P. Alencar3
Desafio: Salários segundo o sexo
Wooldridge: wage1
Airlane P. Alencar4
Situação problema Bussab,Morettin seção 13.7. ex.39
Em um estudo sobre um novo método para ensinar Matemática a alunos do primeiro grau, dez crianças foram selecionadas ao acaso e ensinadas pelo novo método, enquanto outra amostra de dez serviram como controle e foram ensinadas pelo método tradicional. Após dez semanas o desempenho dos alunos em um teste foi avaliado e obtiveram-se as seguintes notas:
Airlane P. Alencar5
Notas: 2 métodos
Airlane P. Alencar6
Duas amostras independentes
Coletamos dados em cada uma das populações
População 1: média pop. , var. pop.
Amostra 1: X1, …, Xn
População 2: média pop. , var. pop.
Amostra 2: Y1, …, Ym
μX σX2
X=
∑i=1
nX i
nSX2=
∑i=1
n(X i− X )
2
n−1
μX
μY σY2
Y=
∑i=1
mY i
mSY2=
∑i=1
m(Y i−Y )
2
m−1
Airlane P. Alencar7
Variâncias iguais ou diferentes?
Teste para decidir
Estatística de teste se X e Y são normais:
Sob H0:
Rejeito se F muito pequeno ou grande
se Fobs<f1 ou Fobs>f2
H 1 :σX2≠σY
2H 0 :σX2=σY
2
F=SX2
SY2
F=SX2
SY2
∼H 0Fn−1 ,m−1
H 0 :σX2=σY
2
Airlane P. Alencar8
Observação para usar tabela da F
Pode procurar os valores na tabela da Fn-1,m-1 e achar o valor f2.
Para fixado, encontre na tabela F(m-1; n-1) (observe que os g.l. foram trocados) um valor g1 tal que P(F (m-1; n-1) > g1) = /2 e calculamos f1=1/g1.
Airlane P. Alencar9
Procurar os valores na dist. F9,9
Rejeito H0: var. iguais se Fobs<0.2484 ou Fobs>4.0260 como observamos 2,2556, não rej. H0.
Calculo P(F9,9>2.2557)=0,1207 eP(F9,9<2.2557)=1-0,1207=0,0,8793.Valor-p= 2.min(0,1207,0,8703)= 0,2414Rej. H0 se Valor-p < alfa = 5% => não rej. H0
Não há diferença significativa entre as variâncias (p=0,2414).
Airlane P. Alencar10
Teste duas médias com variâncias iguaisSabemos que se X e Y têm dist. Normal ou se n e m são grandes, as médias amostrais têm distribuição normal e
As variâncias são desconhecidas e estimadas usando as variâncias amostrais.
Se as variâncias são iguais, vamos estimar uma só variância.
Variância comum:
=>Z=
X−Y−(μX−μY)
√σX2
n+σY2
m
∼N (0,1)X−Y∼N (μX−μY ,
σX2
n+
σY2
m)
S p2=
(n−1)SX2+(m−1)SY
2
n+m−2
Airlane P. Alencar11
Teste duas médias com variâncias iguais
1) Hipóteses
2) Estatística do teste:
sob H0
3) Rejeito se |T|> tc
4) Valor-p = 2P(T>|Tobs|)
5) Escolho =nível de sig.
6) Se Valor-p< => Rejeito
H 0 :μX=μY H 1 :μX≠μY
H 0 :μX=μY
H 0.
T=X−Y
√S p2 ( 1n+1m
)
T∼tn+m−2
Airlane P. Alencar12
Saída do teste do gnumeric
Valor p= 0,1892 => Não rejeito
As médias não tem diferença significativa (p=0,1892)
H 0 :μX=μY
Airlane P. Alencar13
Teste duas médias com variâncias diferentes
1) Hipóteses
2) Estatística do teste:
sob H0, T ~ t com v graus de lib.
3) Rejeito se |T| > tc
4) Valor-p = 2P(T>|Tobs|)
5) =nível de sig. Se Valor-p< => Rej
H 0 :μX=μY H 1 :μX≠μY
H 0.
. / 1)]()(1)()[(
)]()[(22
222
mmsnns
msns
YX
YX
///
//22
H 0 :μX=μY
T=X−Y
√ SX2
n+SY2
m
Airlane P. Alencar14
Teste duas médias com variâncias diferentes
Não rej. H0
Tc=2,12
Não há diferença significativa entre as médias usando os dois métodos (p=0,1917).
Airlane P. Alencar15
Teste t pareado
Uma amostra de n unidades amostrais e são feitas as medidas X e Y em cada unidade.
As medidas são ditas pareadas.
Medidas feitas antes e depois de uma cirurgia
Airlane P. Alencar16
Airlane P. Alencar17
Medidas pré e pós
Perfis Individuais Perfis médios ( 2EP)
±¿
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Teste t pareado
Rejeitamos H0
O peso médio pós cirurgia é menor do que antes (p<0,0001).
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Bibliografia
Bussab e Morettin. Estatística Básica.
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