teoria de la decision

5/13/2018 Teoria de La Decision - slidepdf.com

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Simulación

Universidad del CEMA, LDE 700

Teoría de la Decisión

Evaluación y análisis deriesgos

La evaluación de riesgos es la cuantificación de laprobabilidad de ocurrencia y del impactopotencial de diferentes fuentes de riesgo.

El análisis de riesgos es el proceso de:

identificación de fuentes de riesgo,

evaluación cuantitativa y cualitativa del riesgo, administración del riesgo,

comunicación a las partes interesadas de la

evaluación hecha y las decisiones tomadas.

Riesgo e incertidumbre

Dos factores explican nuestra incapacidad parapredecir en forma precisa un evento futuro:

Riesgo: es un efecto aleatorio propio del sistema

bajo análisis. Se puede reducir alterando el sistema. Incertidumbre: es el nivel de ignorancia del

evaluador acerca de los parámetros quecaracterizan el sistema a modelar. Se puede reducir

a veces con mediciones adicionales o mayorestudio, o consulta a expertos.

La variabilidad total es la combinación de riesgo eincertidumbre.

Riesgo e incertidumbre (cont.)

Tanto el riesgo como la incertidumbre sedescriben mediante distribuciones deprobabilidad.

Por lo tanto, una distribucion de probabilidadpuede reflejar en parte el carácter estocástico delsistema analizado y en parte la incertidumbre

acerca del comportamiento de la variable. Los resultados que se obtengan de un modelo

de este tipo reflejarán la variabilidad total: elefecto conjunto de riesgo e incertidumbre.

Riesgo e incertidumbre (cont.)

Separar el riesgo de la incertidumbre permiteentender qué pasos podrían tomarse que seanmás efectivos para reducir la variabilidad total.

Si una proporción importante de la variabilidadtotal se debe a incertidumbre, entonces nuestraestimación acerca del futuro podría mejorarserecopilando mejor información.

Si una proporción importante de la variabilidadtotal se debiera a riesgo, la única manera dereducir la variabilidad total es modificando elsistema analizado.

Probabilidad:frecuentista y subjetiva

Para eventos repetibles y medibles, laprobabilidad representa la frecuencia relativade ocurrencia de un evento.

Para eventos no repetibles o mensurables, laprobabilidad es la expresión del grado decreencia que tiene un individuo acerca de laocurrencia de un evento incierto.

Desde este punto de vista, las probabilidadesson subjetivas por naturaleza y es posible quedos personas asignen diferente probabilidad deocurrencia a un mismo evento.

Administración del riesgo

Aumentar el compromiso

Buscar más información

Tomar precauciones adicionales

Agregar un margen de contingencia

Compartir el riesgo

Transferir el riesgo

Cancelar el proyecto

Formular planes de contingencia

No hacer nada

Presentación de modelos

Un modelo es una herramienta de análisis y decomunicación. Como tal, debe ser entendido no sólopor quien lo diseñó sino también por terceros.

Presentar claramente la estructura lógica y lossupuestos empleados.

Incluir solamente las estadísticas indispensables.

Usar gráficos para transmitir conceptos.

Los resultados obtenidos deben responder a losinterrogantes planteados.

No incluir en el informe más información que la

necesaria. Derivar los datos de apoyo a los anexos.

Simulación

1. Diseñar el modelo lógico de decisión.

2. Especificar distribuciones de probabilidad para lasvariables aleatorias relevantes.

3. Incluir posibles dependencias entre variables.

4. Muestrear valores de las variables aleatorias.

5. Calcular el resultado del modelo según los valoresdel muestreo (iteración) y registrar el resultado.

Simulación (cont.)

6. Repetir el proceso hasta tener una muestraestadísticamente representativa.

7. Obtener la distribución de frecuencias delresultado de las iteraciones.

8. Calcular media, desvío y curva de percentilesacumulados.

Ley de los Grandes Números(desigualdad de Tschebycheff)

Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra,

mayor será el ajuste entre la distribuciónmuestral y la distribución teórica sobre la quese basa la muestra.

Teorema Central del Límite(TCL)

La media muestral de un conjunto de n variablesmuestreadas en forma independiente a partir deuna misma distribución f(x) se ajusta a una

distribución aprox. Normal con los siguientesparámetros:

x = Normal ( mu, sigma / n1/2 )

En otras palabras, la distribución del promedio de

un conjunto de variables aleatorias depende tantode la cantidad de variables aleatorias promediadascomo de la incertidumbre aportada por cadavariable.

Teorema Central del Límite(cont.)

La suma de n variables aleatorias independientesda como resultado una distribuciónaproximadamente Normal, sin importar la forma de

la distribución de las variables sumadas (siempre ycuando no haya una variable cuya contribución ala variabilidad total sea dominante).

El producto de n variables aleatorias

independientes da como resultado una distribuciónaproximadamente Lognormal,independientemente de la forma de la distribuciónde las variables intervinientes.

Generación de valoresmuestrales

Las computadoras son capaces de generarnúmeros aleatorios entre 0 y 1.

Los algoritmos para generar númerosaleatorios comienzan con cualquier valor entre0 y 1. Todos los números aleatorios que se

generen a continuación dependerán de estevalor inicial (semilla ).

Generación de valoresmuestrales

La función de Distribución Acumulada F(x) deuna variable aleatoria indica la probabilidad p que la variable X tome un valor menor o igual

que x .F(x) = p (X ≤ x)

A toda Función de Probabilidad Acumulada F(x)

le corresponde una Función InversaG (F(x)) = x

La Función Inversa indica los valores de x

asociados a distintos valores de F(x).

Generación de valoresmuestrales (cont.)

Para generar un valor muestral a partir deuna distribución de probabilidad:

1. Se genera un número aleatorio entre 0 y 1 apartir de una distribución Uniforme

2. El valor obtenido se usa para alimentar la

ecuación correspondiente a la FunciónInversa de la distribución de probabilidadmuestreada, de modo de generar un valor x

para la variable aleatoria.

Métodos de Muestreo:Monte Carlo

El muestreo Monte Carlo es totalmentealeatorio.

Si el número de iteraciones no es losuficientemente alto, es posible que sesobremuestreen algunos segmentos de la

distribución que se quiere replicar y sesubmuestreen otros segmentos.

Métodos de muestreo:Hipercubo Latino

Es un método de muestreo estratificado sinreemplazo (muestreo con memoria):

1. Se segmenta la distribución de probabilidad

acumulada F(x) en n intervalos (donde n es elnúmero de iteraciones a realizar)

2. Se genera un número aleatorio quecorresponderá a un determinado segmento de

F(x).3. Se genera un segundo número aleatorio para

determinar el punto preciso del muestreo dentro

de ese intervalo F(x).

Métodos de muestreo:Hipercubo Latino (cont.)

4. Se calcula el valor de x correspondiente a laFunción Inversa G (F(x)).

5. Se repite el proceso en la segunda iteración,pero descartando el segmento yamuestreado.

6. Se repite el proceso hasta completar el númerode iteraciones de la muestra.

Intervalo de confianza parael resultado esperado

Para un tamaño de muestra n > 30 el intervalodel resultado esperado es:

IC 100*(1-alfa) = x +/- t (alfa/2,n-1)* s / (n)1/2

t(alfa,n) es el valor de x tal que P(t>x)=alfa

x - t * s / (n)1/2 < x < x + t * s / (n)1/2

Tamaño de muestranecesario para lograr estimacionesdentro de tolerancia

Si la estimación del valor esperado debe teneruna precisión representada por una tolerancia

de desvío D en valor absoluto un porcentaje100*(1-alfa) de las veces, entonces el tamañode la muestra n necesario es:

n = (zalfa/2)2 * (sigma)2 / (D) 2

Distribuciones deprobabilidad

Fuentes de información para cuantificar laincertidumbre en variables aleatorias:

Series de datos

Opinión de expertos

Cuando se procura caracterizar una variablealeatoria a partir de los datos disponibles separte del supuesto que los datos observadosson una muestra aleatoria de una distribuciónde probabilidad que trataremos de identificar.

Distribuciones deprobabilidad (cont.)

Discretas

Una variable aleatoria representada mediante una

distribución discreta de probabilidad puede tomarun valor de entre un conjunto de valores, cada unode los cuales tiene asignada una determinadaprobabilidad de ocurrencia.

1 2 3 4 5

Continuas

Una variable aleatoria representada mediante una

distribución continua de probabilidad puede tomarcualquier valor dentro de un rango determinado.

0 20 40 60 80 100

No Limitadas

La variable aleatoria puede tomar valores entre+infinito y -infinito.

Limitadas

Los valores de la variable aleatoria quedanconfinados entre dos valores extremos.

Parcialmente limitadas

Los valores de la variable aleatoria quedanlimitados en uno de los extremos de la distribución.

La distribución de probabilidad se ajusta a ladescripción matemática de un procesoaleatorio que cumple con determinadossupuestos teóricos.

Los parámetros que definen la distribución en

general no guardan relación intuitiva con laforma de la distribución.

Ejemplos: Normal, Lognormal, Exponencial.

Paramétricas

Son de aplicación cuando:

1. la teoría sobre la que se fundamenta una

determinada distribución es aplicable alproblema.

2. se acepta que esa distribución da un buenajuste de la variable aleatoria aunque no haya

una teoría para explicarlo. 3. la distribución se ajusta aproximadamente a

la opinión del experto y no se requiere muchaprecisión.

Paramétricas (cont.)

Los parámetros que se usan para definir estasdistribuciones describen la forma de la

distribución.

No se apoyan en una teoría que describa elproceso de generación de valores aleatorios.

Ejemplos: Triangular, Histograma, General,Uniforme, Acumulada

No Paramétricas

Estas distribuciones en general son másútiles cuando se busca recabar la opinión

subjetiva de expertos, con las siguientesexcepciones:

el experto puede estar muy familiarizado

con los parámetros que definen unadistribución paramétrica

a veces los parámetros de una distribuciónparamétrica son intuitivos (p.ej. Binomial)

No Paramétricas (cont.)

El uso de estas distribuciones de probabilidades la única alternativa para describir una

variable aleatoria cuando:1. No hay una base de antecedentes.

2. Los datos del pasado no son relevantes.

3. Los datos son escasos y no cubren todo elrango de posibles valores.

4. Es demasiado caro generar datos.

5. Generar valores llevaría demasiado tiempo.

Subjetivas

En las estimaciones subjetivas hay dosfuentes de incertidumbre:

Variabilidad asociada a la variablealeatoria en sí.

Incertidumbre asociada a la falta de

conocimiento sobre el comportamiento dela variable.

La distribución subjetiva especificada agrega

ambas fuentes de incertidumbre

Subjetivas (cont.)

Distribuciones a partir deopinión de expertos

Una técnica básica para obtener distribucionessubjetivas consiste en desagregar elproblema en las variables que lo componen:

pone en evidencia la estructura lógica delproblema de decisión

las variables del problema son algo mástangible de estimar que el resultado.

la desagregación facilita el reconocimiento dedependencias entre componentes delproblema.

Distribuciones a partir deopinión de expertos (cont.)

Desagregación (cont.) el análisis de riesgo es menos dependiente de

las estimaciones hechas para cada

componente la estimación de la distribución del resultado

del modelo a partir de la agregación de los

componentes será más precisa que lo quepodría haber sido de tratar de estimarladirectamente

la agregación tendrá en cuenta los efectos del

TCL en forma automática.

Uniforme

Todos los valores dentro del rango factible tienenla misma densidad de probabilidad.

Parámetros : Uniform (min,max) Aplicaciones: U(0,1) se usa en la generación de

los valores de todas las demás distribuciones de

probabilidad en el muestreo aleatorio. Es una aproximación muy cruda para usar como

estimación de la incertidumbre percibida de unparámetro.

30 40 50 60 70 80 90

Triangular

Aplicaciones: estimar subjetivamente la

distribución de la variable aleatoria cuandotodo lo que puede precisarse de la misma esel valor mínimo, el valor más probable y el

valor máximo. Parámetros: Triang (min, +probable, max )

20 30 40 50 60 70 80

Triangular (cont.)

Sus propiedades estadísticas se derivan desu forma, no de una teoría subyacente.

Es de definición intuitiva y de gran flexibilidaden cuanto a geometrías posibles.

La forma de la distribución usualmente lleva

a sobreestimar la densidad de las colas y asubestimar la densidad en el “tronco” de ladistribución.

Triangular (cont.)

Se pueden definir el valor mínimo y el valormáximo como umbrales de ocurrenciapráctica. En vez de tomarlos como valores

absolutos, se los toma como percentiles,dejando “abiertas las colas” (triangulargeneral).

10 30 50 70 90

Parámetros:TriGen (min, +probable,max, prob Min<min, prob

Max>max)

Histograma

Aplicaciones: representar la forma de ladistribución de una serie de datos o la opinión

de un experto acerca de la forma de ladistribución de una variable.

Parámetros: Histogram (min, max, {p i })

Todos los intervalos de la distribución tienen elmismo “ancho”.

General

Aplicaciones: reflejar la opinión de expertos.Es la más flexible de las distribucionescontinuas. Es un histograma “estilizado”.

Parámetros: General (min, max, {x i } , {p i })

Es posible, aunque no es recomendable,especificar intervalos de distinto “ancho”.

45 50 60 70 80 85

Acumulada

Aplicaciones: recabar opinión de expertos. Parámetros: Cumulative (min,max,{x i },{P i })

Puede ser de utilidad cuando se procura

estimar una variable cuyo rango cubre variosórdenes de magnitud.

Desventajas: insensibilidad de la escala deprobabilidades. Es más facil representar lavariabilidad que se quiere reflejar cuando setrabaja con distribuciones de frecuenciarelativa.

BetaPert

Es una versión de la distribución Beta queusa los mismos supuestos acerca de la

media de una variable aleatoria que las redes

Parámetros: BetaPert (min,+prob,max)

30 40 50 60 70 80

BetaPert (cont.)

La media de una distribución BetaPert escuatro veces más sensible al valor medio quea los valores extremos.

El desvío standard de una distribuciónBetaPert es menos sensible a los valoresextremos que la distribución Triangular.

El desvío standard de una distribuciónBetaPert es sistemáticamente menor que elde una Triangular, particularmente cuando

las distribuciones son sesgadas.

Discreta

Aplicaciones:

Describir una variable aleatoria que puede tomaruno de entre un conjunto de valores discretos.

Describir probabilidades condicionales para

distintos estados de la naturaleza, donde cadaestado de la naturaleza tiene una probabilidad deocurrencia p.

Armar distribuciones de probabilidad compuestasa partir de la opinión de dos o más expertos,donde a la opinión de cada experto se le otorgauna ponderación p.

Parámetros: Discrete ({x i },{p i })

0.150.20

1 2 3 4 5

Obtenciónde distribuciones de probabilidada partir de opiniones diferentes

Definir una distribución Discreta donde {xi}representa la opinión de los expertos y {pi} esla ponderación asignada a cada opinión.

Enfoques incorrectos:

Tomar la opinión más conservadora (no seusa toda la información disponibles, se generauna distribución sesgada)

Promediar los valores de las opiniones: sesubestima la variabilidad (recordar TCL)

Normal

Aplicaciones: una variedad de situaciones, como

se desprende del Teorema Central del Límite. Es útil en finanzas porque la suma o diferencia

de distribuciones normales resulta también en

una distribución normal con parámetros quepueden ser determinados a partir del TCL.

Parámetros: Normal (mu,sigma )

0 20 40 60 80 100

Estimación subjetiva de losparámetros de una normal

• Media: Valor más probable• Desvío: el intervalo +/- 2*sigma contiene el

95% de los valores, por lo tanto:

Sigma: (máximo - más probable) / 2

• La distribución Normal se extiende de -infinitoa +infinito, aunque si CV < 1/3 la probabilidad

de que ocurra un valor negativo es menor que0.14%.

Lognormal

Aplicaciones: modelizar variables que son elproducto de una cantidad de otras variablesaleatorias que ocurren naturalmente.

Generalmente brinda una buena representaciónde variables que se extienden de 0 a +inf y quetienen un sesgo positivo.

Parámetros: Lognormal (mu,sigma)

Se usan como parámetros la media aritmética yel desvío standard de los datos disponibles.

Condiciones subyacentes deuna distribución Lognormal

La variable aleatoria puede tomar valores queaumentan sin límites pero no puede tomarvalores negativos.

La variable aleatoria tiene un sesgo positivo(hacia la derecha) con la mayor parte de losvalores cerca del límite inferior.

El logaritmo natural de la variable se ajusta auna distribución Normal.

Series de datos: selección dedistribuciones

¿Se trata de una variable discreta ocontinua?

¿Es realmente necesario ajustar los datos a

una distribución de probabilidad teórica? ¿Hay correspondencia entre el rango teórico

de la variable y la distribución a ajustar?

¿La variable es independiente, estácorrelacionada, o es dependiente de otrasvariables del modelo?

Ajuste de los datos a unadistribución teórica

Los parámetros de la distribución que permitanlograr el mejor ajuste a los datos se determinanusualmente mediante alguno de los siguientes dosmétodos:

Estimadores de Máxima Verosimilitud:maximizan la probabilidad que la distribucióndefinida con estos parámetros sea capaz degenerar los datos observados.

Minimización de las diferencias absolutas entrelos valores de probabilidad acumulada observadosy los derivados de la distribución teórica (usando

programas de optimización)

Indicadores debondad de ajuste

Los indicadores estadísticos de Bondad de Ajustemás usados son tres:

Para distribuciones discretas y continuas, tantonuméricas como no numéricas: Chi cuadrado.Es el indicador menos potente.

Para distribuciones continuas: Kolmogorov-Smirnov (K-S). No es muy sensible para

detectar discrepancias en las colas de ladistribución.

Anderson-Darling (versión sofisticada de K-S),pone más énfasis en las colas.

Indicadores debondad de ajuste (cont.)

Cuanto menor sea el valor de cada indicador,mayor será el ajuste aparente entre ladistribución teórica y los datos observados.

Los valores standard de K-S y A-D son de usolimitado para comparar valores críticos cuandohay menos de 30 observaciones. Esto se puede

corregir usando K-S y A-D modificados. Hay muchas distribuciones que tienen formas

similares y que pueden ser capaces degenerar los datos observados.

Ajuste empírico:variables discretas

Si la cantidad de datos no es muy elevada, lafrecuencia de datos para cada valor de x puedeser usada directamente para definir unadistribución Discreta.

Si hay muchos datos, es más fácil ordenar losdatos en forma de histograma y definir entoncesuna distribución Acumulada con parámetros {xi} ,

{F(xi)} , min , max. Se puede reintroducir el carácter discreto de la

variable incluyendo la distribución Acumuladadentro de una función ROUND (redondeo).

Ajuste empírico:variables continuas

1. Se plotea la frecuencia acumulada de los datosobservados.

2. Se hace un ranking de los datos en ordenascendente.

3. Se estima un mínimo y un máximo en formasubjetiva.

4. Se calcula la probabilidad acumulada para cada

valor de x según la fórmula: F(x i ) = i / (n +1)i = rango del dato observado

n = cantidad de datos observados

{xi} , {F(xi)} , min , max serán parámetros que se

usen para definir una distribución Acumulada.

Dependencia y Correlación

Una relación de dependencia ocurre cuandoel valor muestreado de una variable(independiente) tiene una relación estadísticaque determina aproximadamente el valor que

va a ser generado para la otra variable(dependiente).

La dependencia presupone una relación

causal. La correlación no presupone una relación

causal (puede haber un factor externo que

afecta a ambas variables).

Correlación Lineal (Pearson)

El coeficiente r da una medida de lacovarianza entre dos conjuntos de datos.

r puede tomar valores desde -1 a +1

Al dividir por los desvíos standard de cadaconjunto de datos se logra un índice decovarianza que no depende de las unidadesde medida en que están expresados losdatos.

Supuestos: la relación entre variables es detipo lineal.

Correlación por orden derango (Spearman)

Es un método no paramétrico para cuantificar larelación entre variables.

r puede tomar valores desde -1 a +1

Ventajas:

Las variables se correlacionan de acuerdo alrango de valores generados en cada distribución.Esto significa que todas las distribucionescorrelacionadas preservan su forma original.

Como no depende de supuestos acerca de larelación matemática de las variables acorrelacionar, puede ser aplicable a cualquier tipode relación entre distribuciones (lineal, no lineal).

Correlación

El coeficiente de correlación de Pearson mide laintensidad de la relación lineal entre variables.

Si dos variables aleatorias no tienen la mismadistribución de probabilidad, es improbable quese relacionen en forma lineal, por lo que elcoeficiente de correlación tendrá pocosignificado.

Si se toman los valores según rangos y no segúnvalores absolutos, el coeficiente de correlaciónasí calculado tiene sentido incluso para variablescon diferentes distribuciones.

Desventajasde correlacionar variables mediante elcoeficiente Spearman

Es difícil estimar el coeficiente de correlaciónentre dos distribuciones de formas diferentes.

El mismo coeficiente de correlación puederesultar en diferentes gráficos de puntos paradiferentes distribuciones correlacionadas. Estopuede ser aún más marcado si lasdistribuciones a correlacionar son diferentes.

Recomendaciones

Recomendacionesrespecto al uso de coeficientes decorrelación de Spearman

Usar estos coeficientes para correlacionarvariables que tengan un impacto menor sobre losresultados del modelo.

Tratar de restringir su uso a correlacionardistribuciones de geometría similar.

Si se correlacionan distribuciones de geometríadiferente, antes de aceptar el coeficiente observar

el gráfico de puntos resultante. Evitar correlacionar distribuciones cuando no haya

una razón lógica que permita suponer unacorrelación.

Matrices de correlación

Permiten correlacionar varias distribucionesde probabilidad mediante coeficientes deSpearman.

Como la fórmula de los coeficientes decorrelación por orden de rango es simétrica,los elementos de la matriz son simétricosalrededor de la diagonal.

Tiene que haber una cierta lógica en loscoeficientes ingresados (p.ej. condicióntransitiva)

Efectos de la correlaciónsobre los resultados del modelo

El efecto de la correlación sobre los resultadosde un modelo es función de:

Relación entre las variables correlacionadas yel resultado

Forma de las distribuciones correlacionadas

Efecto de la correlación

Efecto de la correlaciónsobre el resultado de la suma de dosvariables correlacionadas (modelos aditivos)

El valor esperado del resultado no se veafectado por la presencia de correlación.

El desvío standard del resultado aumenta amedida que aumenta r (si las variablescorrelacionadas “tiran” el resultado para elmismo lado).

El valor esperado del resultado aumenta amedida que aumenta r (toda la distribución sedesplaza hacia la derecha a medida que

aumenta r ).

No se pueden hacer generalizacionesrespecto al desvío standard, aunque engeneral aumenta a medida que aumenta r .

Efecto de la correlaciónsobre el resultado del producto de dos variablescorrelacionadas (modelos multiplicativos)

Coeficientes de correlacióna partir de la opinión de expertos

1. Determinar la lógica de la relación entre lasvariables a correlacionar

2. Determinar cuál es la variable independiente

3. Definir la distribución de la variableindependiente

4. Seleccionar varios valores de la variable

independiente (incluyendo mínimo, máximo yal menos otros dos puntos relevantes)

Coeficientes de correlacióna partir de la opinión de expertos (cont.)

5. Preguntar al experto por algunos valores deinterés de la variable dependiente (mínimos,máximos, más probable) que estima secorresponderían con cada valor de la variable

independiente.

6. Plotear estos valores y encontrar lasecuaciones que unan cada conjunto de valores.

7. Usar estas ecuaciones en una distribuciónTriangular o BetaPert para definir la variabledependiente.

Contribución relativa de cadavariable a la variabilidad del resultado

Los coeficientes de correlación entre elresultado y las variables dan una idea de lainfluencia de cada variable, pero no

cuantifican esta influencia.

Si el modelo es aditivo, la contribución relativa decada variable a la variabilidad total puedeestimarse de la siguiente manera:

1. Calcular el coeficiente de correlación entre cadavariable y el resultado.

2. Calcular la suma de estas correlaciones.

3. Dividir cada coeficiente por la suma. Lasfracciones resultantes representanaproximadamente la contribución relativa decada variable a la variabilidad total.

Cuando el modelo no es aditivo y/o las variables noson independientes:

1. Correr una simulación inicial, con todas lasvariables especificadas.

2. Correr luego varias simulaciones, en cada unade las cuales se “congela” una variable en suvalor esperado.

3. Anotar el desvío standard del resultado de cadasimulación.

Modelo no aditivo y/o variables no independientes(cont.):

4. Calcular la reducción en la variabilidad delresultado para cada simulación en la cual se

haya “congelado” una variable.

5. Normalizar dividiendo el valor absoluto de lareducción por la suma de todas las reducciones.

Las fracciones resultantes darán una estimaciónde la contribución porcentual de cada variable ala variabilidad total.

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