tema 3 Àlgebra de boole
Post on 18-Feb-2017
273 Views
Preview:
TRANSCRIPT
3
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
1
ÀLGEBRA DE BOOLE3.1 Definició d’Àlgebra de Boole
3.2 Funcions lògiques i taules de veritat
3.3 Formes Standard i canòniques
3.4 Suficiència NOT-AND-OR, NAND i NOR
3.5 Simplificació de funcions per Karnough
Dr. Joaquim Salvi, Dr. Arnau OliverEscola Politècnica Superior
Universitat de Girona
2
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
3.1 Definició d’Àlgebra de Boole
Una mica d’història:
L’àlgebra de Boole és un conjunt de postulats i teoremes que permeten manipular funcions lògiques de forma sistemàtica.
Les funcions lògiques són funcions que només prenen dos valors: CERT/FALS que simbolitzem per 1/0 o Vcc/GND
Fou proposada per George Boole el 1854 en el seu “tractament sistemàtic de la lògica”
El 1904 Huntington en va extreure una sèrie de postulats que permeten donar una definició formal de l’àlgebra de Boole
3
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Definició d’Àlgebra de Boole
Definició d’Àlgebra de Boole: Un conjunt 𝐵 = 0,1 amb les operacions binàries + i · contingudes en 𝐵 𝑐 = 𝑎 + 𝑏; 𝑑 = 𝑎 ·𝑏; ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝐵 és una àlgebra de Boole sí i només sí compleix els postulats de Huntington.
Els postulats són tautologies i formen part de la definició de l’àlgebra.
+ ·
00 0 0
01 1 0
10 1 0
11 1 1
4
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Postulats de Huntington:
P1: Les operacions + i · són commutatives:∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐵 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 𝑎 · 𝑏 = 𝑏 · 𝑎
P2: Existeix un element neutre per + i · i aquest ∈ 𝐵:
∃ 𝑒+ ∈ 𝐵 ∶ ∀𝑎 ∈ 𝐵 𝑎 + 𝑒+ = 𝑎 𝑒+=0
∃ 𝑒· ∈ 𝐵 ∶ ∀𝑎 ∈ 𝐵 𝑎 · 𝑒· = 𝑎 𝑒·=1
P3: Cada operació es distributiva respecte l’altra:
∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐵 𝑎 · 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 · 𝑏 + 𝑎 · 𝑐
∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐵 𝑎 + 𝑏 · 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 · (𝑎 + 𝑐)
P4: ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 existeix l’element complementari 𝑎′ per + i · i aquest ∈ 𝐵: ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑎′ ∈ 𝐵 𝑎 + 𝑎′ = 𝑒·
∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∃𝑎′ ∈ 𝐵 𝑎 · 𝑎′ = 𝑒+
5
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Teoremes
A partir d’aquests postulats es defineixen una sèrie de teoremes. Aquests teoremes han de ser demostrats a partir dels postulats o de teoremes anteriors per a confirmar la seva validesa.
T1 – Principi de Dualitat. Qualsevol funció deduïda a partir de postulats i teoremes continua essent valida si intercanviem les operacions +↔·, 0 ↔ 1, i totes les variables 𝑎 ↔ 𝑎′
𝑎 + 𝑎′ = 1 → 𝑎′ · 𝑎 = 0
L’operació · normalment s’obvia per a simplificar les funcions:
𝑎′ · 𝑎 = 𝑎′𝑎
6
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Teoremes
T2 – Idempotència: 𝑎 + 𝑎 = 𝑎 → 𝑎𝑎 = 𝑎
Dem:𝑎𝑃2𝑎 + 0
𝑃4𝑎 + 𝑎𝑎′
𝑃3𝑎 + 𝑎 𝑎 + 𝑎′
𝑃4𝑎 + 𝑎 1
𝑃2𝑎 + 𝑎
𝑎𝑃2𝑎1𝑃4𝑎 𝑎 + 𝑎′
𝑃3𝑎𝑎 + 𝑎𝑎′
𝑃4𝑎𝑎 + 0
𝑃2𝑎𝑎
T3 – 𝑎 + 1 = 1 → 𝑎 · 0 = 0
Dem:1𝑃4𝑎 + 𝑎′
𝑃2𝑎 + 𝑎′1
𝑃3𝑎 + 𝑎′ 𝑎 + 1
𝑃41 𝑎 + 1
𝑃2,1𝑎 + 1
0𝑃4𝑎𝑎′𝑃2
𝑎 𝑎′ + 0𝑃3𝑎𝑎′ + 𝑎0
𝑃40 + 𝑎0
𝑃2,1𝑎0
7
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Teoremes
T4 – Absorció: 𝑎 + 𝑎𝑏 = 𝑎 → 𝑎 · (𝑎 + 𝑏) = 𝑎
Dem:𝑎𝑃1,21𝑎𝑃1,𝑇31 + 𝑏 𝑎
𝑃1,31𝑎 + 𝑏𝑎
𝑃1,2𝑎 + 𝑏𝑎
𝑃1𝑎 + 𝑎𝑏
𝑎𝑃1,20 + 𝑎
𝑃1,𝑇30𝑏 + 𝑎
𝑃1,30 + 𝑎 𝑏 + 𝑎
𝑃1,2𝑎 𝑏 + 𝑎
𝑃1𝑎(𝑎 + 𝑏)
T5 – Associativitat: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 → 𝑎(𝑏𝑐) = 𝑎𝑏 𝑐
Dem: El demostrarem més endavant a partir de taules de veritat
T6 – L’element complementari de 𝑎 és únic∀𝑎 ∈ 𝐵, ∃! 𝑎′ ∈ 𝐵 𝑎 + 𝑎′ = 1 → 𝑎𝑎′ = 0
8
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Teoremes
T7 – Involució: 𝑎′ ′ = 𝑎
T8 - 0′ = 1 → 1′ = 0
T9 – Teorema de De Morgan: 𝑎𝑏 ′ = 𝑎′ + 𝑏′ → 𝑎 + 𝑏 ′ = 𝑎′𝑏′
Dem:0𝑃1,2𝑎𝑏 𝑎𝑏 ′
𝑇9𝑎𝑏 𝑎′ + 𝑏′
𝑃3𝑎𝑏𝑎′ + 𝑎𝑏𝑏′
𝑃1,2,40𝑏 +
𝑎0𝑇30 + 0
𝑇20
1𝑃1,2𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 ′
𝑇9𝑎𝑏 + 𝑎′ + 𝑏′
𝑃3(𝑎 + 𝑎′ + 𝑏′)(𝑏 +
𝑎′ + 𝑏′)𝑃1,2,4(1 + 𝑏′)(𝑎′ + 1)
𝑇31 + 1
𝑇21
Hem demostrat que es cert per 𝑎𝑏 ′ = 𝑎′ + 𝑏′ tant per 0 com per 1, també ho podríem demostrar per → 𝑎 + 𝑏 ′ = 𝑎′𝑏′
9
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Teoremes
T10 – 𝑎 + 𝑎′𝑏 = 𝑎 + 𝑏 → 𝑎 𝑎′ + 𝑏 = 𝑎𝑏
Dem: 𝑎 + 𝑎′𝑏 = 𝑎 + 𝑎′ 𝑎 + 𝑏 = 1 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏
𝑎 𝑎′ + 𝑏 = 𝑎𝑎′ + 𝑎𝑏 = 0 + 𝑎𝑏 = 𝑎𝑏
T11 – 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏′ = 𝑎 → 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏′ = 𝑎
Dem: 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏′ = 𝑎 + 𝑎 𝑎 + 𝑏′ 𝑏 + 𝑎 𝑏 + 𝑏′ =
𝑎 𝑎 + 𝑏′ 𝑏 + 𝑎 1 = 𝑎 (𝑎 + 𝑏′)(𝑎 + 𝑏) =𝑎 𝑎𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑏′𝑎 + 𝑏′𝑏 = 𝑎 𝑎 + 𝑎(𝑏 + 𝑏′) = 𝑎
10
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Teoremes
T12 – 𝑎𝑏 + 𝑎′𝑐 = 𝑎 + 𝑐 𝑎′ + 𝑏 → 𝑎 + 𝑏 𝑎′ + 𝑐 = 𝑎𝑐 + 𝑎′𝑏
Dem: 𝑎𝑏 + 𝑎′𝑐 = 𝑎 + 𝑎′ 𝑎 + 𝑐 𝑏 + 𝑎′ 𝑏 + 𝑐= 𝑎 + 𝑐 𝑎′ + 𝑏 𝑎𝑎′ + 𝑏 + 𝑐= 𝑎 + 𝑐 𝑎′ + 𝑏 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑎′ + 𝑏 + 𝑐= 𝑎 + 𝑐 + 0𝑏 𝑎′ + 𝑏 + 0𝑐 = (𝑎 + 𝑐)(𝑎′ + 𝑏)
T13 – 𝑎𝑏 + 𝑎′𝑐 + 𝑏𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎′𝑐 →
𝑎 + 𝑏 𝑎′ + 𝑐 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 𝑎′ + 𝑐
Dem: 𝑎𝑏 + 𝑎′𝑐 + 𝑏𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎′𝑐 + 𝑎 + 𝑎′ 𝑏𝑐= 𝑎𝑏 + 𝑎′𝑐 + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑎′𝑏𝑐 = 𝑎𝑏 1 + 𝑐 + 𝑎′𝑐 1 + 𝑏= 𝑎𝑏 + 𝑎′𝑐
11
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Demostrar que 𝑩 = ( 𝟎, 𝟏 , +,·) és una àlgebra de Boole
Serà una àlgebra de Boole si compleix els postulats de Huntington:
P1 – Conmutativitat: Obvi, les taules per + i · són simètriques
P2 – Existència d’element neutre:
0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 L’element neutre de la suma és el 0
0 · 1 = 0, 1 · 1 = 1 L’element neutre del producte és el 1
+ 0 1
0 0 1
1 1 1
· 0 1
0 0 0
1 0 1
12
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Demostrar que 𝑩 = ( 𝟎, 𝟏 , +,·) és una àlgebra de Boole
P3 – Distributivitat:
𝑎 · 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 → 𝑎 + 𝑏𝑐 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑐)
P4 – Existència d’element complementari per la + i · 𝑎 + 𝑎′ = 1: 𝑎 = 0 → 𝑎′ = 1; 𝑎 = 1 → 𝑎′ = 0𝑎 · 𝑎′ = 0: 𝑎 = 0 → 𝑎′ = 1; 𝑎 = 1 → 𝑎′ = 0
abc b+c a(b+c) ab ac ab+ac
000 0 0 0 0 0
001 1 0 0 0 0
010 1 0 0 0 0
011 1 0 0 0 0
100 0 0 0 0 0
101 1 1 0 1 1
110 1 1 1 0 1
111 1 1 1 1 1
13
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Mètodes de demostració de funcions: Taula de veritat
Ex: 𝑎 · 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐
Taula de veritat
abc b+c a(b+c) ab ac ab+ac
000 0 0 0 0 0
001 1 0 0 0 0
010 1 0 0 0 0
011 1 0 0 0 0
100 0 0 0 0 0
101 1 1 0 1 1
110 1 1 1 0 1
111 1 1 1 1 1
14
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Mètodes de demostració de funcions: Elements commutats
𝑎 + 𝑏 𝑎 · 𝑏
Ex: 𝑎 · 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐
b
a
a b
a
b
c
a
a
b
c
15
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Mètodes de demostració de funcions: Diagrames de Venn
𝑎 + 𝑏 𝑎 ∪ 𝑏 𝑎 · 𝑏 𝑎 ∩ 𝑏
Ex: 𝑎 · 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐
b
c
a b
c
a
16
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Funcions lògiques i taules de veritat
Funcions de 1 variable: tenim 4 funcions diferents
𝑓 𝑥 = 0 𝑓 𝑥 = 1
𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥′ = 𝑥
x f(x)
0 0 0 1 1
1 0 1 0 1
17
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
3.2 Funcions lògiques i taules de veritat
Funció: 𝑓 𝑥 = 0
Funció: 𝑓 𝑥 = 1
x f(x)
0 0
1 0
f(x)x
Fals
x f(x)
0 1
1 1
f(x)xCert
GND
Vcc
18
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Funcions lògiques i taules de veritat
Funció: 𝑓 𝑥 = 𝑥
Funció: 𝑓 𝑥 = 𝑥′ = 𝑥 Porta NOT
x f(x)
0 0
1 1
f(x)x
x f(x)
0 1
1 0
f(x)xNOT
x
x
19
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Funcions lògiques i taules de veritat
Funcions de 2 variables: tenim 16 funcions diferents. Nomes unes poques corresponent a funcions lògiques
En funcions de 𝑛 variables el pes (el codi binari és un codi ponderat) de cada variable el marca l’alfabet (𝑎, 𝑏, 𝑐), (𝑥, 𝑦, 𝑧) o el subíndex de la variable de major a menor (𝑥2, 𝑥1, 𝑥0), (𝑥0, 𝑥1, 𝑥2). En aquest cas 𝑎, 𝑥, i 𝑥2 son les variables de més pes.
x y f(x,y)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
20
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Funcions lògiques i taules de veritat
Funció: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 · 𝑦 Porta AND
Funció: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 Porta OR
x y f(x,y)
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
f(x)x
y x y
x y f(x,y)
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
f(x)x
y x y
21
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Funcions lògiques i taules de veritat
Funció: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 ⊕ 𝑦 Porta XOR
Funció: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 · 𝑦 Porta NAND
x y f(x,y)
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
f(x)x
y
x y f(x,y)
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
f(x)x
y
x y
x y
22
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Funcions lògiques i taules de veritat
Funció: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 Porta NOR
Funció: 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 ⊕ 𝑦 Porta XNOR
x y f(x,y)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
f(x)x
y
x y f(x,y)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
f(x)x
y
x y
x y
23
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Funcions lògiques i taules de veritat
74LS08 74LS32
74LS04 74LS30
24
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Implementar en portes lògiques la següent funció:
𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 = 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝐵𝐷 + 𝐴 𝐵 𝐶
A B C D
f
25
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Implementar en portes lògiques la següent funció:
𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 = 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝐵𝐷 + 𝐴 𝐵 𝐶 =
𝐴 𝐵𝐶 + 𝐴 𝐵𝐵𝐷 + 𝐴 𝐵 𝐶 = 𝐴 𝐵𝐶 + 0 + 𝐴 𝐵 𝐶 =
𝐴 𝐵𝐶𝐶 + 𝐴 𝐵𝐶 = 𝐵𝐶 𝐴 + 𝐴 = 𝐵𝐶A B C D
f
26
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Extensió del teorema de De Morgan:
𝐴𝐵 = 𝐴 + 𝐵
𝐴 + 𝐵 = 𝐴 𝐵
Es extensiu a 𝑛 variables:
𝐴𝐵𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 𝐵 𝐶
Donat que:
𝐴𝐵𝐶 = 𝐴 + 𝐵𝐶= 𝐴 + 𝐵 + 𝐶
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 𝐵𝐶 = 𝐴 𝐵 𝐶
27
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Exemple: Simplifica la següent funció
𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 = 𝐴 + 𝐵 𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐵 𝐶
𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 = 𝐴 + 𝐵 𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐵 𝐶 = 𝐴 · 𝐵 𝐶 · 𝐶𝐷 + 𝐵 𝐶=
= 𝐴 · 𝐵 𝐶 · ( 𝐶 + 𝐷) + 𝐵 + 𝐶= 𝐴𝐵 𝐶 𝐶+ 𝐴𝐵 𝐶 𝐷 + 𝐵 + 𝐶 =
= 𝐴𝐵 𝐶 1+ 𝐷 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴𝐵 𝐶 + 𝐵 + 𝐶𝑇10 𝐴 𝐶 + 𝐵 + 𝐶
𝑇10 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 =
Simplificar les següents funcions:
𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 = 𝐴 𝐵 + 𝐴𝐵 𝐷 + 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶𝐷 + 𝐴𝐶𝐷 Sol: 𝐴 + 𝐶𝐷
𝑓 𝑋, 𝑌, 𝑍,𝑊 = 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 𝑊 + 𝑋 + 𝑌 𝑍 + 𝑋𝑌 + 𝑋 Sol:𝑋 + 𝑌 + 𝑍 +𝑊
𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 = 𝐴𝐵𝐶 + 𝐶𝐴𝐵𝐷𝐸 + 𝐶𝐵𝐴 + 𝐷 𝐸𝐶𝐴𝐵 Sol:AB + CD
𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 = 𝐴𝐵𝐶𝐷 + 𝐴𝐵𝐶𝐷 + 𝐴𝐵𝐶𝐷 Sol:AB + CD
28
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Demostració d’igualtats:
Ex: 𝑓 𝐴, 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐴𝐵 𝐴 + 𝐵 𝐴𝐵 = 0
Per simplificació de funcions:𝐴 + 𝐵 + 𝐴𝐵 𝐴 + 𝐵 𝐴𝐵 = 0𝐴 + 𝐵 + 𝐴𝐵 𝐴 𝐴𝐵 + 𝐵 𝐴𝐵 = 0𝐴 + 𝐵 + 𝐴𝐵 0𝐵 + 0 𝐴 = 0𝐴 + 𝐵 + 𝐴𝐵 0 = 00 = 0
Per taula de veritat:
A B AB B’ A+B’+AB A+B’ A’ A’B f
0 0 0 1 1 1 1 0 0
0 1 0 0 0 0 1 1 0
1 0 0 1 1 1 0 0 0
1 1 1 0 1 1 0 0 0
29
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Demostrar les següents igualtats per teoremes i taules de veritat:
𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐴𝐵 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴 𝐵𝐶
𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 𝐶 + 𝐷 𝐶 + 𝐷 + 𝐸= 𝐴 + 𝐵 𝐷 + 𝐶
𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 = 𝐴𝐵 𝐷 + 𝐷 𝐶 + 𝐴 + 𝐷 𝐴𝐶 𝐵 = 𝐵
30
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Complement d’una funció:
Donada una funció 𝑭, el seu complementari es 𝑭
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦 𝑧 + 𝑥 𝑦𝑧
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦 𝑧 + 𝑥 𝑦𝑧 = 𝑥𝑦 𝑧 · 𝑥 𝑦𝑧 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 =
= 𝑥𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑧 + 𝑦x + 𝑦𝑦 + 𝑦 𝑧 + 𝑧𝑥 + 𝑧𝑦 + 𝑧 𝑧== 𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑧 + 𝑦𝑥 + 𝑦 𝑧 + 𝑧𝑥 + 𝑧𝑦 == (𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑧 + 𝑧𝑥 + 𝑦𝑥)+ 𝑦 𝑧 + 𝑧𝑦 = 𝑥 + 𝑦 𝑧 + 𝑧𝑦
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 𝑧 + 𝑧𝑦 = 𝑥 · 𝑦 𝑧 · 𝑧𝑦 = 𝑥 𝑦 + 𝑧 𝑧 + 𝑦 =
= ( 𝑥y+ 𝑥𝑧) 𝑧 + 𝑦 = 𝑥y 𝑧 + 𝑥𝑦 𝑦 + 𝑥𝑧 𝑧 + 𝑥𝑧 𝑦 = 𝑥𝑦 𝑧 + 𝑥 𝑦𝑧
31
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
3.3 Formes Standard i canòniques:
Suma de productes: Una funció està expressada com a suma de productes (SdP) quan està expressada com una conjunt de termes sumats entre sí on cada terme està format per un producte de variables o d’una sola variable.
Ex: expressa la següent funció com a suma de productes:
𝐹 𝑎, 𝑏, 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑐 𝑏 = 𝑎𝑎 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑎 + 𝑏𝑐 𝑏 == 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐
32
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Formes Standard i canòniques:
Producte de sumes: Una funció està expressada com a producte de sumes (PdS) quan està expressada com una conjunt de termes multiplicats entre sí on cada terme està format per la suma de variables o d’una sola variable.
Ex: expressa la següent funció com a producte de sumes:
𝐹 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 = 𝑎 + 𝑏𝑐 𝑑 + 𝑏𝑒 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑑 𝑏𝑒 =
= 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑑 ( 𝑏 + 𝑒)
33
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Formes Standard i canòniques:
Els dispositius Programmable Logic Array (PLA) estan formats per una estructura de portes AND i OR en forma de suma de productes.
𝐹 𝐴,𝐵, 𝐶 = 𝐴 𝐵 + 𝐶 𝐴 + 𝐵 𝐶
A B C
...
34
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Formes Standard i canòniques:
Minterns: Una funció està expressada com a suma de minternsquan és una suma de productes i cada terme té totes les variables de les que depèn la funció.
Ex: expressa la següent funció com a suma de minterns:
𝐹 𝐴, 𝐵, 𝐶 = 𝐴 + 𝐵𝐶 = 𝐴 𝐵 + 𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴 𝐵 + 𝐵𝐶 =
= 𝐴𝐵 𝐶 + 𝐶 + 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝐶 + 𝐴 + 𝐴 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐵 𝐶 + 𝐴 𝐵𝐶 +𝐴 𝐵 𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐵 𝐶 + 𝐴 𝐵𝐶 + 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 =
= 𝑚7 +𝑚6 +𝑚5 +𝑚4 +𝑚3 = 𝑚(3,4,5,6,7)
Els minterns equivalen a les caselles de la taula de veritat on la funció val 1.
35
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Formes Standard i canòniques:
Maxterns: Una funció està expressada com a producte de maxterns quan és un producte de sumes i cada terme té totes les variables de les que depèn la funció.
Ex: expressa la següent funció com a producte de maxterns:
𝐹 𝐴, 𝐵, 𝐶 = 𝐴 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 𝐵 + 𝐶 𝐶 𝐴 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 == 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 == 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 =
= 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 == 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 =
= 𝑀0 · 𝑀1 · 𝑀2 · 𝑀3 · 𝑀6 = 𝑀(0,1,2,3,6)
Els maxterns equivalen a les caselles de la taula de veritat on la funció val 0. I aplicant el teorema de la dualitat les variables estan negades.
36
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Relació entre minterns i maxterns
𝐹 𝐴, 𝐵, 𝐶 = 𝑚5,6,7 = 𝑚5 +𝑚6 +𝑚7
Si neguem la funció, on la funció valia 1 ara
valdrà 0 i viceversa, per tant:
𝐹 𝐴, 𝐵, 𝐶 = 𝑚0 +𝑚1 +𝑚2 +𝑚3 +𝑚4
Si tornem a negar la funció tindrem la funció
original:
𝐹 𝐴, 𝐵, 𝐶 = 𝐹 𝐴, 𝐵𝐶 = 𝑚0 +𝑚1 +𝑚2 +𝑚3 +𝑚4 == 𝑚0 · 𝑚1 · 𝑚2 · 𝑚3 · 𝑚4 =
= 𝑀0 · 𝑀1 · 𝑀2 · 𝑀3 · 𝑀4= 𝑀(0,1,2,3,4)
A B C F(A,B,C)
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
37
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Donada la següent funció, expressa-la en mínterns i màxterns:
𝐹 𝑋, 𝑌, 𝑍 = 𝑋𝑌 + 𝑍 𝑌 + 𝑋𝑍
38
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Donada la següent funció, expressa-la en minterns i maxterns:
𝐹 𝑋, 𝑌, 𝑍 = 𝑋𝑌 + 𝑍 𝑌 + 𝑋𝑍 = 𝑋 + 𝑍 𝑌 + 𝑍 𝑌 + 𝑋 𝑌 + 𝑍 == 𝑋 + 𝑍 𝑌 + 𝑍 𝑌 + 𝑋 = 𝑋 + 𝑌 𝑌 + 𝑍 𝑋 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 𝑍 == 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 == 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 = Π𝑀(0,1,2,4)
𝐹 𝑋, 𝑌, 𝑍 = 𝑋𝑌 + 𝑍 𝑌 + 𝑋𝑍 = 𝑋𝑌 + 𝑋𝑌𝑍 + 𝑌𝑍 + 𝑋𝑍= 𝑋𝑌 𝑍 + 𝑍 + 𝑋𝑌𝑍 + 𝑋 + 𝑋 𝑌𝑍 + 𝑋 𝑌 + 𝑌 𝑍 == 𝑋𝑌𝑍 + 𝑋𝑌 𝑍 + 𝑋𝑌𝑍 + 𝑋𝑌𝑍 + 𝑋𝑌𝑍 + 𝑋𝑌𝑍 + 𝑋 𝑌𝑍 == 𝑋𝑌𝑍 + 𝑋𝑌 𝑍 + 𝑋𝑌𝑍 + 𝑋 𝑌𝑍 = Σ𝑚(3,5,6,7)
A B C F(A,B,C)
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
39
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
3.4 Suficiència de la NAND i de la NOR
Fins ara hem vist que qualsevol funció es pot implementar emprant només portes AND, OR i NOT.
Això és així per la pròpia definició de l’àlgebra de Boole.
Volem ara demostrar que qualsevol funció es pot implementar a partir de només portes NAND o de només portes NOR.
Això serà cert si amb NANDs podem implementar les portes AND, OR i NOT i d’igual manera amb NORs.
L’avantatge d’utilitzar un únic tipus de porta es que només utilitzem un únic tipus de circuit integrat (enlloc de 3 de diferents) i això pot abaratir costos.
40
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Suficiència de la NAND i de la NOR
𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑥
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑦 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑦
NAND NORFunció NOT
Funció ANDFunció AND
Funció OR
41
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Suficiència de la NAND i de la NOR
Expressa la següent funció nomes amb portes NAND i només amb portes NOR
𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴 + 𝐵 𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴𝐵𝐶
𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 = 𝐴 + 𝐵 𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 =
= 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐴 + 𝐵 + 𝐶
42
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
3.5 Simplificació de funcions per Karnough
El mapa de Karnaugh va ser inventat el 1950 per Maurice Karnaugh, un físic i matemàtic dels estats units, treballador dels laboratoris Bell.
Un mapa de Karnough de 𝑛 variables està compost per 2𝑛 cel·les adjacents, on cada cel·la representa una combinació de les 𝑛variables de les que depèn la funció en forma de míntern (1) o de màxtern (0).
Entre dues cel·les adjacents (Nord, Sud, Est i Oest) només canvia de valor un única variable. Emprarem doncs un codi continuo i cíclic per a codificar les files i les columnes: el codi gray. Els mapes de Karnough es pleguen com si fossin una esfera: el mínterns/màxterns de la primera columna tenen adjacència amb la darrera columna (i de la mateixa manera per files).
43
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Mapa de Karnough de 1 variable
𝑓 𝑥0 1
m0 (M0) m1 (M1)
x
x
Mapa de Karnough de 2 variables
𝑓 𝑥, 𝑦
0 1
0 m0 (M0) m2 (M2)
1 m1 (M1) m3 (M3)
x
x
y
y
44
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Mapa de Karnough de 3 variables
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧
Mapa de Karnough de 4 variables
𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷
00 01 11 10
0 m0 (M0) m2 (M2) m6 (M6) m4 (M4)
1 m1 (M1) m3 (M3) m7 (M7) m5 (M5)
xy
y
z
z
x
00 01 11 10
00 m0 (M0) m4 (M4) m12 (M12) m8 (M8)
01 m1 (M1) m5 (M5) m13 (M13) m9 (M9)
11 m3 (M3) m7 (M7) m15 (M15) m11 (M11)
10 m2 (M2) m6 (M6) m14 (M14) m10 (M10)
AB
B
CD
D
A
C
45
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Mapa de Karnough de 5 variables 𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸
00 01 11 10
00 m0 m4 m12 m8
01 m1 m5 m13 m9
11 m3 m7 m15 m11
10 m2 m6 m14 m10
BC
DE
A = 0
00 01 11 10
m16 m20 m28 m24 00
m17 m21 m29 m25 01
m19 m23 m31 m27 11
m18 m22 m30 m26 10
BCDE
A = 1
000 001 011 010 110 111 101 100
00 m0 m4 m12 m8 m24 m28 m20 m16
01 m1 m5 m13 m9 m25 m29 m21 m17
11 m3 m7 m15 m11 m27 m31 m23 m19
10 m2 m6 m14 m10 m26 m30 m22 m18
ABC
DE
o bé:
46
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Mapa de Karnough de 6 variables 𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹
00 01 11 10
00 m0 m4 m12 m8
01 m1 m5 m13 m9
11 m3 m7 m15 m11
10 m2 m6 m14 m10
CD
EF
A = 0
00 01 11 10
m32 m36 m44 m40 00
m33 m37 m45 m41 01
m35 m39 m47 m43 11
m34 m38 m46 m42 10
CDEF
A = 1
00 m16 m20 m28 m24
01 m17 m21 m29 m25
11 m19 m23 m31 m27
10 m18 m22 m30 m26
00 01 11 10CD
EF
B = 0
m48 m52 m60 m56 00
m49 m53 m61 m57 01
m51 m55 m63 m59 11
m50 m54 m62 m58 10
00 01 11 10
B = 1
CDEF
47
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
000 001 011 010 110 111 101 100
000 m0 m8 m24 m16 m48 m56 m40 m32
001 m1 m9 m25 m17 m49 m57 m41 m33
011 m3 m11 m27 m19 m51 m59 m43 m35
010 m2 m10 m26 m18 m50 m58 m42 m34
110 m6 m14 m30 m22 m54 m62 m46 m38
111 m7 m15 m31 m23 m55 m63 m47 m39
101 m5 m13 m29 m21 m53 m61 m45 m37
100 m4 m12 m28 m20 m52 m60 m44 m36
ABC
DEF
o bé: 𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹
48
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Mètode de simplificació de funcions per Karnough
1.- Obtenir la funció a simplificar en mínterns (o màxterns). És equivalent a disposar de la taula de veritat.
2.- Transportar els mínterns i/o els màxterns al mapa de Karnough.
3.- Decidir si agrupem només per mínterns (1) o per màxterns (0).
4.- Agrupar les cel·les que continguin només mínterns (o màxterns) amb grups de 2𝑛 cel·les com més grans millor. Per cada grup de 2𝑛
cel·les només canvien 𝑛 variables. Cada grup produeix un terme de la funció simplificada format per les variables que no canvien de valor.
5.- Els grups poden solapar-se si contenen algun míntern (o màxtern) no comú.
6.- Repetir el procés (de 4 a 5) fins tenir tots els mínterns (o màxterns) agrupats, obtenint el menor nombre de grups possible.
7.- Els grups representen una SdP (per mínterns) o PdS (per màxterns) de la funció simplificada.
49
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Simplificació de funcions per Karnough
𝑓 𝐴, 𝐵 = 𝑚1,2,3 =
𝑀(0)
50
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Simplificació de funcions per Karnough
𝑓 𝐴, 𝐵 = 𝑚1,2,3 =
𝑀(0)
𝑓 𝐴, 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 agrupant per minterns
𝑓 𝐴, 𝐵 = (𝐴 + 𝐵) agrupant per maxterns
0 1
0 0 1
1 1 1
A
B
A
B
(A+B)
51
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Simplificació de funcions per Karnough
𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶 = 𝑚0,1,2,3,6
52
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Simplificació de funcions per Karnough
𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶 = 𝑚0,1,2,3,6
𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 𝐶 agrupant per minterns
𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶 = ( 𝐴 + 𝐵)( 𝐴 + 𝐶) agrupant per maxterns
00 01 11 10
0 1 1 1 0
1 1 1 0 0
AB
C
𝐴𝐵 𝐶
( 𝐴 + 𝐵)
( 𝐴 + 𝐶)
53
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Simplificació de funcions per Karnough
00 01 11 10
00 1 1 1
01 1 1
11 1 1
10 1 1 1
AB
CD𝐴 𝐷
𝐵
00 01 11 10
00 1 1
01 1 1
11 1
10 1 1
AB
CD𝐴 𝐷
𝐴𝐵
𝐵 𝐶𝐷
00 01 11 10
00 1 1
01
11
10 1 1
AB
CD 𝐵 𝐷
54
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Simplificació de funcions per Karnough
Múltiples solucions:
Grups redundants:
00 01 11 10
00 1
01 1 1
11 1
10 1 1
AB
CD𝐴𝐵 𝐶
𝐴 𝐵𝐷
00 01 11 10
00 1
01 1 1
11 1
10 1 1
AB
CD 𝐴𝐵 𝐷
𝐴 𝐵𝐶
A 𝐶𝐷
00 01 11 10
00 1
01 1 1 1
11 1 1 1
10 1
AB
CD
𝐴𝐶 𝐷
Aquest grup no
agrupa cap 1 no
agrupat en altres
grups. Es prescindible.
55
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Simplificació de funcions per Karnough
00 01 11 10
00 1 1
01 1 1 1
11 1
10 1 1
BC
DE
A = 0
00 01 11 10
1 00
1 01
1 11
1 1 10
BCA = 1
000 001 011 010 110 111 101 100
00 1 1 1
01 1 1 1 1
11 1 1
10 1 1 1 1
ABC
DE
56
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Simplificació de funcions per Karnough
00 01 11 10
00 1 1
01 1 1 1
11 1
10 1 1
BC
DE
A = 0
00 01 11 10
1 00
1 01
1 11
1 1 10
BCDE
A = 1
000 001 011 010 110 111 101 100
00 1 1 1
01 1 1 1 1
11 1 1
10 1 1 1 1
ABC
DE
CD 𝐸
𝐵 𝐶𝐷𝐸
𝐴𝐶 𝐷𝐸
𝐴𝐵 𝐷
𝐵 𝐶 𝐷
Aquest grup no és vàlid.
Té 2𝑛 cel·les i no canvien
𝑛 variables.
CD 𝐸
𝐵 𝐶𝐷𝐸
𝐵 𝐶 𝐷𝐴𝐵 𝐷
𝐴𝐶 𝐷𝐸
57
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Simplificació de funcions per Karnough
00 01 11 10
00 1 1 1
01 1 1
11
10 1 1
CD
EF
A = 0
00 01 11 10
1 1 1 00
01
11
1 1 10
CDEF
A = 1
00 1
01
11
10
00 01 11 10CD
EF
B = 0
1 00
01
11
10
00 01 11 10
B = 1
CDEF
58
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Simplificació de funcions per Karnough
00 01 11 10
00 1 1 1
01 1 1
11
10 1 1
CD
EF
A = 0
00 01 11 10
1 1 1 00
01
11
1 1 10
CDEF
A = 1
00 1
01
11
10
00 01 11 10CD
EF
B = 0
1 00
01
11
10
00 01 11 10
B = 1
CDEF
𝐵𝐷 𝐹
𝐶 𝐷 𝐸 𝐹
𝐴 𝐵 𝐶 𝐸
59
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Simplificació de funcions per Karnough
Condicions no importa:
En determinades funcions es pot donar el cas que determinats mínterns (o màxterns) no es puguin donar o en el cas de que es donin no ens importa si són 0 o 1.
Aquestes combinacions les anomenem condicions no importa (don’t care → dc) i els hi associarem una X en el mapa de Karnough.
Les X les podem agrupar amb els 1s o amb els 0s, per ajudar a simplificar aquests, però no estem obligats a agrupar totes les X.
60
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Simplificació de funcions per Karnough
Condicions no importa:
𝑓 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 = 𝑚1,2,4,5,6,9 + 𝑑𝑐(7,13,15)
Un cop haguem simplificat la funció, les X agrupades amb 1s faran que la funció doni 1 en aquelles condicions (𝑑𝑐(7,13)) i les que no s’han agrupat doni 0 (𝑑𝑐(15)).
00 01 11 10
00 1
01 1 1 X 1
11 X X
10 1 1
AB
CD 𝐴𝐵
𝐴𝐶 𝐷
𝐶𝐷
00 01 11 10
00 1
01 1 1 1 1
11 1 0
10 1 1
AB
CD 𝐴𝐵
𝐴𝐶 𝐷
𝐶𝐷
61
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Problema de simplificació de funcions per KarnoughA3 A2 A1 A0 a b c d e f g
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1
0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 X X X X X X X
1 0 1 1 X X X X X X X
1 1 0 0 X X X X X X X
1 1 0 1 X X X X X X X
1 1 1 0 X X X X X X X
1 1 1 1 X X X X X X X
Es demana implementar un
codificador de BCD a 7-segments,
de manera que l’entrada sigui un
nombre del 0 al 9 en BCD i la
sortida siguin els 7 leds
(a,b,c,d,e,f,g) que il·luminen un
display 7-segments.
62
ÀLGEBRA DE BOOLE
ESTRUCTURA I TECNOLOGIA DE COMPUTADORS
Més informació:
Estructura i Tecnologia de Computadors, tema 3
https://www.documentauniversitaria.cat/botiga.php?a=llibre&id=809
www.unigrades.eu
Floyd, Thomas L. (2009). Digitals Fundamentals. PearsonInternational. – Capítols 3, 4 i 5
top related