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Statistik ABeschreibende Methodenund Wirtschaftsstatistik

Prof. Dr. Alois KneipUniversität BonnWirtschaftswissenschaftlicher FachbereichStatistische AbteilungAdenauerallee 24-2653113 Bonnhttp://www.statistik.uni-bonn.de

unter der Mitarbeit von Dr. Jens-Uwe Scheer, Dr. Jür-gen Arns, Oualid Bada

Statistik_A@statistik.uni-bonn 0�1

Inhalt

1. Grundlagen• Einführung

• Wirtschaftsstatistik: Ziele, Arbeitsweise und In-stitutionen

• Grundbegri�e der Statistik

• Datenmaterial in der statistischen Praxis

• Datengewinnung und Erhebungsarten

2. Univariate Deskription und Explora-tion von Daten• Verteilungen und ihre Darstellungen

• Lagemaÿe

• Streuungsmaÿe

• Quantile und Boxplot

• Maÿe für Schiefe und Wölbung

• Lorenzkurven und Konzentrationsmaÿe

3. Bivariate Deskription und Explorati-on von DatenStatistik_A@statistik.uni-bonn 0�2

• Kontingenztabellen

• Zusammenhangsanalyse in Kontingenztabellen

• Gra�sche Darstellung quantitativer Merkmale

• Zusammenhangsmaÿe bei metrischen Merkmalen

• Lineare Einfachregression

• Erweiterungen der Einfachregression

4. Zeitreihen• Grundlagen: gra�sche Darstellung, Komponenten-

modelle

• Schätzung von Trendkomponenten

• Schätzung von Saisonkomponenten

• Autoregression

5. Indexzahlen• Grundlagen

• Preisindizes, Mengenindizes, Wertindizes

• Indexprobleme, Indexkriterien und Indexumrech-nungen

• Beispiele für Indexzahlen in der Wirtschaftsstati-stik

6. Einführung in die Wahrscheinlichkeits-theorie

Literatur:• Fahrmeier, Künstler, Pigeot, Tutz: Statistik, Sprin-

ger Verlag

Einige Institutionen derWirtschaftsstatistikAmtliche Statistik:

Statistisches Bundesamtwww.destatis.de

Statisches Amt der EU - EUROSTATepp.eurostat.ec.europa.eu/

Wirtschaftsforschungsinstitute:

Ifo-Institut (München)www.ifo.de

Deutsches Institut f. Wi.-Forschung (Berlin)www.diw-berlin.de

HWWA (Hamburg)www.hwwa.de

Institut für Weltwirtschaft (Kiel)www.uni-kiel.de/ifw

RWI (Essen)www.rwi-essen.de

Institut für Wirtschaftsforschung (Halle)www.iwh.uni-halle.de

1 Grundlagen

1.1 Einführung

Was ist Statistik?

Ziel: Informationsgewinnung aus Daten

Voraussetzung: Vorliegen einer gröÿeren Grundgesamt-heit�Wenn ein Mensch stirbt, ist es ein Unglück, bei 100Toten ist es eine Katastrophe, bei 1000 Toten eineStatistik� (G. Calot)

Der Begri� �Statistik� besitzt mehrere Bedeutungen:

• Ergebnis eines Zähl- oder Messprozesses; Resul-tate einer Erhebung (Statistische Jahrbücher, Ar-beitslosenstatistik, Bevölkerungsstatistik)

• Gesamtheit des methodischen Instrumen-tariums der statistischen Analyse und Infe-renz ⇒ eigener Wissenschaftszweig

Erkenntnisziele der Statistik

Statistische Deskription und Exploration

Die deskriptive Statistik dient zur beschreibendenund gra�schen Aufbereitung und Komprimierung vonDaten. Die explorative Statistik befasst sich mitdem Au�nden von Strukturen und Zusammenhängeninnerhalb des Datenmaterials⇒ Vorlesung Statistik I

Statistische Inferenz

Die induktive (oder schlieÿende) Statistik ver-sucht, über die erhobenen Daten hinaus allgemeinereSchlussfolgerungen für umfassendere Grundgesamt-heiten zu ziehen. Wichtige Werkzeuge sind die Wahr-scheinlichkeitstheorie und stochastische Modelle.⇒ Vorlesung Statistik II

Beispiel: Einkommensdaten• Quelle: U.K. Family Expenditure Survey

• Ungefähr 7000 britische Haushalte pro Jahr

• Für jeden Haushalt: Einkommen aus verschiede-nen Quellen, Ausgaben für verschiedene Güter,Alter, Familiengröÿe, Berufe, etc.

Verfügbares Einkommen im Jahr 1976 (76 von 7202Haushalten; Einheit: Pfund pro Woche):66.49 14.40 43.54 36.50 18.34 117.23 31.10 26.78 79.3958.36 72.88 40.22 45.87 70.99 31.28 54.58 40.72 17.8726.09 62.87 90.52 5.92 99.39 27.72 50.24 17.62 53.1050.47 77.94 87.60 34.85 70.53 57.46 60.30 15.52 23.2026.56 66.91 54.17 116.41 43.64 62.05 46.57 86.96 46.1250.13 22.97 89.37 71.37 107.94 45.21 43.26 34.39 17.17115.67 19.85 68.32 56.18 74.29 33.44 18.64 24.11 18.5148.27 14.15 17.87 49.00 34.90 16.37 87.58 103.58 68.4851.21 33.52 71.21 55.21

Statistische Deskription: Für die gegebene Stich-probe von 7202 Haushalten

• Durchschnittseinkommen (arithmetisches Mittel): 58, 75

• Einkommensverteilung (Histogramm)

0 40 80 120 160 200 240 280

Einkommen

Induktive Statistik: Durchschnittseinkommen allerHaushalte in GB?⇒ Konstruktion eines 95% Kon�denzintervalls:Durchschnittseinkommen in GB = 58, 75± 0, 84

Wozu braucht man Statistik?

• Politische Umfragen und Wahlprognosenz.B. Sonntagsfrage, Politbarometer

• Klinische und epidemologische Studienz.B. Extraktion von Risikofaktoren für bestimmteKrankheiten, Studien zur Überprüfung der Wirk-samkeit eines Medikaments

Statistik im volks- und betriebswirtschaftlichenBereich (Beispiele):

• Kreditwürdigkeitsprüfung und Insolvenzprognosez.B. Extraktion von relevanten Merkmalen, die eserlauben, die Kreditwürdigkeit eines Kunden ein-zustufen

• Marktforschungsstudienz.B. Exploration von Konsumgewohnheiten zur op-timalen Positionierung eines neuen Produkts aufdem Markt

• Analyse von Aktienkursen zur Steuerung von Ak-tienportfolios

• Einkommensstatistik, Bevölkerungsstatistik

1.2 Grundbegri�e der Statistik

Statistische Einheit (Merkmalsträger):Einzelobjekt einer statistischen Untersuchung,an dem interessierende Gröÿen erfasst werden

Grundgesamtheit (Statistische Masse):Menge aller für die Fragestellung relevantenstatistischen Einheiten

Teilgesamtheit:Teilmenge der Grundgesamtheit

Stichprobe:tatsächlich untersuchte Teilmengeder Grundgesamtheit

Statistisches Merkmal (Variable):interessierende Gröÿe, deren Ausprägungen an deneinzelnen statistischen Einheiten beobachtet werden

Merkmalsausprägung:konkreter Wert des Merkmals für einebestimmte statistische Einheit

Merkmal Merkmalsausprägungen

X x1, x2, . . . , xn

Beispiel

statistische Einheit:jeder Bürger von Bonn per 31.12.1995

Grundgesamtheit:Bevölkerung von Bonn am 31.12.1995

Erfassungsmerkmale:X1 - AlterX2 - GeschlechtX3 - FamilienstandX4 - monatliches Einkommen. . .

mögliche Merkmalsausprägungen:X1: 1, 13, 84, . . .

X2: männlich, weiblichX3: ledig, verheiratet, geschieden, . . .

X4: 800, . . ., 2555.56, . . .

1.2.1 Merkmalstypen

Eine grundlegende Unterscheidung erfolgt anhand desSkalenniveaus, auf dem ein Merkmal gemessen wird.

NominalskalaEin Merkmal ist nominalskaliert, wenn dieAusprägungen Namen oder Kategorien sind,die den Einheiten zugeordnet werden

Beispiele:Geschlecht, Familienstand, erlernter Beruf

Spezialfall: Ein Merkmal heiÿt dichotom (oder bi-när), falls es nur zwei sich gegenseitig ausschlieÿendeAusprägungen aufweist.

Man beachte: Aus technischen Gründen wird oft ei-ne Kodierung durchgeführt, d.h. den Ausprägungenwerden Zahlen zugewiesen; diese Zahlen haben danneine reine Bezeichnungsfunktion (Rechenoperationennicht sinnvoll!); Nominalskalierung bleibt erhaltenBeispiele:Geschlecht: männlich=1, weiblich=2PKW-Farbtöne: grün=117, blau=440, . . .

OrdinalskalaEine Ordinalskala liegt vor, wenn Merkmals-ausprägungen nicht nur eine Verschiedenartigkeit,sondern auch eine natürliche Rangfolge zumAusdruck bringen; Abstände zwischen den Aus-prägungen sind jedoch nicht interpretierbar

Beispiele:Schulnotenmilitärischer DienstgradWind- und ErdbebenstärkenGüteklassen für Produktesozialer Status

Kardinalskala oder metrische Skala:Eine Kardinalskala oder metrische Skala liegt vor,wenn Merkmalsausprägungen durch zugeordneteZahlen sowohl Verschiedenartigkeit und Rangfolge,als auch mess- und quanti�zierbare Unterschiedezum Ausdruck bringen

Metrisch skalierte Merkmale lassen sich zusätzlich inintervallskalierte und verhältnisskalierte Merkmale un-terteilen.

Intervallskala:Eine Intervallskala liegt vor, wenn Abstände(Di�erenzen) zwischen Merkmalsausprägungenmessbar und plausibel interpretierbar sind

• kein natürlicher Nullpunkt

• Quotienten nicht interpretierbar

Beispiele:Temperatur in ◦C, Kalenderzeitrechnung, Breiten- undLängengrade der Erde

Verhältnisskala:Eine Verhältnisskala liegt vor, wenn Quotientenvon Merkmalswerten berechenbar und plausibelinterpretierbar sind

• natürlicher Nullpunkt

• Quotientenbildung sinnvoll

Beispiele:Wertvolumen eines Warenkorbes, Längenmaÿe, Ge-wichtsmaÿe, Alter, Einkommen

Sinnvolle Berechnungen:Skala auszählen ordnen Di�erenzen Quotienten

nominal ja nein nein neinordinal ja ja nein neinintervall ja ja ja neinverhältn. ja ja ja ja

Eine zusätzliche, eher grobe, Einteilung besteht in derUnterscheidung zwischen qualitativen und quanti-tativen Merkmalen. Hierbei existiert ein enger Bezugzum Skalenniveau.

Qualitative (kategoriale) Merkmale:Unter qualitativen Merkmalen versteht man Gröÿen,deren Ausprägungen eine Qualität und nicht einAusmaÿ widerspiegeln; qualitative Merkmale sindentweder nominal- oder ordinalskaliert

Quantitative Merkmale:Die Ausprägungen eines quantitativen Merkmalsgeben eine Intensität bzw. ein Ausmaÿ wieder,in dem die interessierende Gröÿe realisiert ist;metrisch skalierte Merkmale sind immer quantitativ

Achtung: Zwitterstellung mancher ordinalskalierter Merk-male (z.B. Schulnoten)

Eine weitere, praktisch relevante Unterscheidung vonMerkmalen basiert auf der Anzahl von Ausprägungen.

Diskretes Merkmal:Ein Merkmal heiÿt diskret, falls es nur endlichoder abzählbar unendlich viele Ausprägungenannehmen kann.

Beispiele: Geschlecht, Rasse, Anzahl der Autounfällein Bonn innerhalb eines MonatsNominal- oder ordinalskalierte Merkmale sind immerdiskret

Stetiges Merkmal:Ein (metrisch skaliertes) Merkmal heiÿt stetig,wenn alle Werte eines Intervalls möglicheAusprägungen sind.

Beispiele: Körpergröÿe, Menge des verkauften Ben-zins an einer Tankstelle pro Tag

In der Praxis oft: Quasi-stetige MerkmaleManche metrisch skalierten Merkmale sind zwar imPrinzip diskret, die Anzahl aller möglichen Ausprä-gungen ist jedoch so groÿ, dass es auch bei sehr groÿenGrundgesamtheiten äuÿerst unwahrscheinlich ist, dasszwei verschiedene statistische Einheiten die gleiche Aus-prägung (Zahlenwert) besitzen. Solche quasi-stetigenMerkmale werden in der Praxis wie stetige Merkmalebehandelt.

Beispiel: Monatliches NettoeinkommenMögliche Ausprägungen:x1 = 645, 53 Eurox2 = 3215, 60 Eurox3 = 1450, 35 Euro...

1.3 Datenmaterial in der statistischenPraxis

In der Praxis können die für eine statistische Ana-lyse verwendeten Daten aus unterschiedlichen Quel-len stammen. Neben eigenen Erhebungen kann auchDatenmaterial verwendet werden, das dem Statistikervon amtlichen oder nichtamtlichen Institutionen zurVerfügung gestellt wurde.

• Primärstatistische Untersuchung:Die Erhebung wurde speziell im Hinblick auf diezu untersuchende Fragestellung durchgeführt

• Sekundärstatistische Untersuchung:Zur statistischen Analyse werden bereits vorhan-dene Originaldaten benutzt (z.B. aus statistischenJahrbüchern)

• Tertiärstatistische Untersuchung:Es werden bereits transformierte oder komprimier-te Daten (etwa in Form von Mittelwerten) zurAnalyse herangezogen

Auf den verschiedenen Ebenen kann das Datenmate-rial in unterschiedlicher Form vorliegen.

1.3.1 Urliste, Häu�gkeitdaten und gruppierteDaten

Die nachfolgende Unterscheidung hinsichtlich der Form derdurch die Daten gegebenen Informationen über ein interes-sierendes Merkmal ist von groÿer Bedeutung für praktischeBerechnungen.

Erhebung ⇒ Stichprobe des Umfangs n

1) Urliste (Rohdaten, Primärdaten):Es sind die Ausprägungen x1, . . . , xn eines interessie-renden Merkmals X für alle in der Stichprobe be�nd-lichen statistischen Einheiten gegeben.

Beispiel:Grundgesamtheit: Alle im WS 2009/2010 eingeschrie-benen Studierenden der Universität BonnStatistische Einheit: Ein imWS 2009/2010 eingeschrie-bener Student oder eine eingeschriebene Studentin derUniversität BonnStichprobe: n = 5 zufällig ausgewählte StudierendeMerkmal: Geschlecht (männlich= 0, weiblich= 1)Urliste: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 1, x4 = 0, x5 = 1

Merkmal: AlterUrliste: x1 = 22, x2 = 20, x3 = 27, x4 = 25, x5 = 31

2) Häu�gkeitsdaten: Es sind nur die relativenoder absoluten Häu�gkeiten der einzelnen Ausprägun-gen eines diskreten Merkmals gegeben.

Beispiel:Grundgesamtheit: Alle im WS 2009/2010 eingeschrie-benen Studierenden der Universität BonnStatistische Einheit: Ein imWS 2009/2010 eingeschrie-bener Student oder eine eingeschriebene Studentin derUniversität BonnStichprobe: n = 5 zufällig ausgewählte Studierende

Merkmal: Geschlecht

beobachtete absolute Häu�gkeiten in der Stichprobe:2 männliche Studierende, 3 weibliche Studierende

beobachtete relative Häu�gkeiten in der Stichprobe:40% männlich, 60% weiblich

3) Gruppierte Daten: Insbesondere bei sekundär-und tertiärstatistischen Untersuchungen liegen ursprüng-lich metrisch skalierte Merkmale oft in gruppierterForm vor.

Gruppierung: Einteilung eines metrischskalierten Merkmals in k Klassen

Klassen: benachbarte Intervalle(c0, c1], (c1, c2)], . . . , (ck−1, ck]

Gruppierte Daten: Gegeben sind nurdie Häu�gkeiten der Originalbeobachtungeninnerhalb der einzelnen Klassen

• c0, c1, c2, . . . , ck heiÿen Klassengrenzen

• Klassenbreiten:

δj = cj − cj−1

• Klassenmitten:

cj =cj + cj−1

Beispiel:Einkommensverteilung 1986 nach der Lohn- und Ein-kommenssteuerstatistik

Gesamtbetrag Steuerp�ichtige Gesamtbetragder Einkünfte der Einkünfte

DM (1000) (Mill. DM)

1 - 4000 1445.2 2611.34000 - 8000 1455.5 8889.28000 - 12000 1240.5 12310.912000 - 16000 1110.7 15492.716000 - 25000 2762.9 57218.525000 - 30000 1915.1 52755.430000 - 50000 6923.7 270182.750000 - 75000 3876.9 234493.175000 -100000 1239.7 105452.9100000-250000 791.6 108065.7250000-500000 93.7 31433.8500000- 1 Mill 26.6 17893.31 Mill - 2 Mill 8.3 11769.92 Mill - 5 Mill 3.7 10950.85 Mill -10 Mill 0.9 6041.810 Mill- mehr 0.5 10749.8

1.3.2 Klassi�zierung nach Datenarten

Im Rahmen von sekundär- und tertiärstatistischen Un-tersuchungen werden zu analysierende Merkmale inder Wirtschaftsstatistik oft im Hinblick auf die Artund Weise ihres Zustandekommens klassi�ziert.

Mikrodaten (individuelle Daten): StatistischeEinheiten sind einzelne Haushalte, Firmen, etc.Gemessene Merkmale geben Charakteristikadieser Einheiten wieder.

Aggregierte Daten: Interessierende Merk-male sind Maÿzahlen, die durch geeignete Zu-sammenfassung von Mikrodaten entstanden sind

Beispiel: Mittlerer Konsum aller Haushalte in Deutsch-land

Formen der Aggregation

1. Sachliche Aggregation

2. Räumliche Aggregation

3. Zeitliche Aggregation

Wichtige Maÿzahlen: Indexzahlen, diedie zeitliche Entwicklung einer Gesamtheitvon Objekten wiedergeben. Sie enstehen durchsinnvolle Aggregation von Einzelwerten.

Beispiele: Deutscher Aktienindex (Dax), Preisindizes,etc.

Eine weitere Klassi�zierung erfolgt im Hinblick dar-auf, ob sich die Daten auf einen einzelnen, festgelegtenZeitpunkt beziehen, oder ob sie Informationen überdie Veränderungen eines Merkmals über einen länge-ren Zeitraum enthalten.

Querschnittsstudie: Für eine Stichprobevon statistischen Einheiten werden ein odermehrere Merkmale zu einem festgelegtenZeitpunkt erfaÿt.

Beispiel: Unternehmensbefragung über aktuelle Auf-tragslage

Zeitreihe: Ein Objekt wird hinsichtlicheines Merkmals über einen längeren Zeitraumhinweg beobachtet, d.h. die Ausprägung desMerkmals wird in verschiedenen Zeitperiodenerfaÿt.

Beispiel: Monatlicher Gesamtkonsum aller deutschenHaushalte von 1991-2001

Panel (Längsschnittstudie): Für eine Stich-probe von statistischen Einheiten wird die Ent-wicklung von interessierenden Merkmal(en)über einen gewissen Zeitraum hinwegverfolgt

Beispiel: Sozio-ökonomisches Panel: 1984 vom DIWgestartete jährlicheWiederholungsbefragung von meh-reren tausenden Haushalten (mehrere hundert Varia-blen, z.B. Erwerbsstatus, Einkommen,...)

1.4 Datengewinnung und Erhebungs-arten

Datenerhebung ist Grundlage jeder Statistik

Anforderungen an statistisches Datenmaterial:

Methodische Solidität

Vergleichbarkeit über längere Zeit

Vollständigkeit und Genauigkeit

Aktualität

Datenquellen:

Amtliche Daten

Nichtamtliche Daten

Eigene Datenerhebung

Datenerhebung: Sorgfältige Planung notwen-dig!

1. Genaue Formulierung der Fragestellung

2. Sorgfältige Abgrenzung der zu analysierenden Merk-male und der interessierenden statistischen Ein-heiten und Masse

3. Festlegung der adäquaten ErhebungsartBeispiele:• schriftliche Befragung (Fragebogen)• mündliche oder telefonische Befragung• Beobachtung, Experiment• automatische Erfassung

4. Festlegung der zur Auswertung geeigneten statis-tischen Methodik

5. Maÿnahmen zum Datenschutz

Ziel von 3. und 4.: Repräsentativität der Ergebnisseund Vermeidung von Fehlinterpretationen durchweitestgehenden Ausschluss von Fehlerquellen

Vollerhebung: Die Merkmale jeder einzel-nen statistischen Einheit in der Grundgesamtheitwerden erhoben

• Beispiel: Volkszählung

• Probleme der Vollerhebung: oft zeitraubend, undkostspielig; in vielen Fällen praktisch nicht durch-führbar

Teilerhebung: Ziehung einer Stichprobeaus der interessierenden Grundgesamtheit

• wichtig: Umfang n der Stichprobe

• Problem: Zufallsschwankungen⇒ statistisch kontrollierbar (z.B. �Signi�kanztests�)

Fehlerquellen:• Fehlende Repräsentativität der Stichprobe durch

systematische Verzerrungen (ungeeignete Erhebungs-art)

• Fehlende oder falsche Daten

• Ein�uss von Störvariablen

Wichtige Stichprobenverfahren:

Einfache Zufallsstichprobe: Aus derinteressierenden statistischen Masse wer-den n Einheiten nach einem reinen Zufalls-kriterium ausgewählt

Geschichtete Zufallsstichprobe: Die Grundge-samtheit wird zunächst in sich nicht überlappendeSchichten zerlegt; aus jeder Schicht wird eineeinfache Zufallsauswahl getro�en

• Beispiel: Schichtung nach Geschlecht, sozialem Sta-tus oder Berufsgruppen

• Schichten: in sich homogen; untereinander hetero-gen

Klumpenstichprobe: Die Grundgesamtheitzerfällt in untereinander ähnliche Teilgesamt-heiten (Klumpen); Klumpen werden zufällig aus-gewählt und innerhalb jedes Klumpens wird eineVollerhebung durchgeführt

• Beispiel: Studie des Weinkonsums in Rheinhessen;mögliche Klumpen: verschiedene Gemeinden

• Klumpen: in sich heterogen; untereinander homo-gen (verkleinerte Abbilder der Grundgesamtheit)

Mehrstu�ge Auswahlverfahren:einfachste Form: wie Klumpenstichprobe, aberinnerhalb eines ausgewählten Klumpens wird eineZufallsstichprobe gezogen

Bewuÿte Auswahlverfahren(insbesondere in der Meinungsforschung)

Quotenauswahl: In vielen Fällen sind die Quo-ten bekannt, mit denen gewisse Teilgesamtheiten(Frauen, Männer, Studierende, Rentner,..) in derGrundgesamtheit vertreten sind. Die Stichprobewird so ausgewählt, daÿ die entsprechendenQuoten erhalten bleiben.

• Idee der Quotenauswahl: Erhöhung der Repräsen-tativität

2 Univariate Deskription und Ex-ploration von Daten

2.1 Verteilungen und ihre Darstellun-gen

Erhebung vom Umfang n:beobachtete Ausprägungen x1, . . . , xn

eines Merkmals X

x1, . . . , xn werden als Urliste, Roh-oder Primärdaten bezeichnet

Häu�gkeit: Besetzungszahl einer Ausprägungoder einer Klasse von Ausprägungen des Merkmals

2.1.1 Diskrete Merkmale

Mögliche Ausprägungen von X: a1, a2, . . . , ak

Absolute und relative Häu�gkeiten:h(aj) = hj absolute Häu�gkeit der Aus-

prägung aj , d.h. Anzahl derxi aus x1, . . . , xn mit xi = aj

f(aj) = fj = hj

n relative Häu�gkeit von aj

h1, . . . , hk absolute Häu�gkeitsverteilung

f1, . . . , fk relative Häu�gkeitsverteilung

⇒ Erstellung einer Häu�gkeitstabelle auf der Basisder resultierenden Häu�gkeitsdaten(a1, . . . , ak zusammen mit f1, . . . , fk bzw. h1, . . . , hk)

Anmerkung: Bei gegebener Urliste erfolgt die prak-tische Berechnung der hj durch einfache Auszählung.Falls die Informationen über das interessierende Merk-mal schon in Form von Häu�gkeitsdaten gegeben sind,so entfällt natürlich die Berechnung von hj bzw. fj .Statistik_A@statistik.uni-bonn 2�2

BeispielUntersuchung der Erwerbstätigen in der Bundesrepu-blik Deutschland im April 1991

statistische Einheit: Ein Erwerbstätiger bzw. eine Er-werbstätige in der Bundesrepublik Deutschland im April1991

Merkmal: Stellung im Beruf (nominalskaliert); mög-liche Ausprägungen: Arbeiter(in), Angestellte(r), Be-amte(r), mithelfende(r) Familienangehörige(r)

Stellung Erwerbstätige relativeim Beruf in 1000 Häu�gkeit

aj hj fj

Arbeiter 14568 0.389Angestellte 16808 0.449Beamte 2511 0.067Selbstständige 3037 0.081Mithelf. Fam.-ang. 522 0.014

Summe 37466 1.000

Gra�sche Darstellungen:

Stabdiagramm, Säulendiagramm, Balken-diagramm:

Stabdiagramm Trage über a1, . . . , ak je-weils einen zur x-Achse senk-rechten Strich (Stab) mit Höheh1, . . . , hk ( f1, . . . , fk ) ab.

Säulendiagramm wie Stabdiagramm, abermit Rechtecken statt Strichen.

Balkendiagramm wie Säulendiagramm, abermit vertikal gelegter x-Achse

Kreisdiagramm:Flächen der Kreissektoren proportionalzu den Häu�gkeiten.Winkel des j-ten Kreissektors = fj · 360◦

BeispielHaushaltsgröÿen im früheren Bundesgebiet

statistische Einheit: Haushaltestatistisches Merkmal: Haushaltsgröÿe

kardinalskaliert, diskretHäu�gkeiten: prozentual relativ

Haushaltsgröÿe 1900 1925 1950 1990xj

1 7.1 6.8 19.5 35.02 14.7 17.7 25.3 30.23 17.0 22.5 23.0 16.74 16.8 19.7 16.2 12.85 und mehr 44.4 33.3 16.1 5.3

Summe 100 100 100 100

2.1.2 Stetige oder quasi-stetigeMerkmale

Eine einfache Repäsentation stetiger Merkmale erfolgtmit Hilfe eines Histogramms. Sie basiert auf einerGruppierung der Daten und einer Darstellung derresultierendenHäu�gkeitsverteilung. Wenn das Da-tenmaterial nicht schon in gruppierter Form vorliegt,ist zur Konstruktion eines Histogramms eine geeig-netete Klasseneinteilung von dem Statistiker selbstdurchzuführen. Die zugehörigen Häu�gkeiten sind danndurch Auszählen aus der Urliste zu bestimmen.

Gruppierung anhand von Klassen benachbarter Inter-valle

(c0, c1], (c1, c2], . . . , (ck−1, ck]

Klassenbreite:

δj = cj − cj−1 üblicherweise: δ := δ1 = · · · = δk

⇒ absolute und relative Häu�gkeiten h1, . . . , hk undf1, . . . , fk

HistogrammZeichne über (c0, c1], . . . , (ck−1, ck] Rechtecke mitBreite: δj = cj − cj−1

Höhe: fj/δj ⇒ Fläche: fj

• Prinzip der Flächentreue:Die im Histogramm dargestellten Flächen sind gleichden relativen Häu�gkeiten

• Das Histogramm liefert eine Darstellung der em-pirischen Verteilung der interessierenden Variable

• Bei der Konstruktion eines Histogramms aus einergegebenen Urliste benutzt man in aller Regel einefeste Klassenbreite δ; es gilt dann

cj = cj−1 + δ

Anmerkung: In der Praxis werden zahlreiche weitereVersionen des Histogramms benutzt, z.B. Histogrammemit Höhe hj/δj statt fj/δj . Der Unterschied besteht indiesem Fall einzig in einer veränderten Skalierung der ver-tikalen Achse.

• Probleme bei der Konstruktion eines Histo-gramms (aus der Urliste):� Wahl der Klassenbreite δ (und damit der An-

zahl k von Klassen)� Wahl des Anfangspunkts c0

• Vorgeschlagene Faustregeln: k = [√

n], k = 2[√

n]oder k = 10[log10 n]

Beispiel:Statistische Einheit:1986 befragte, in Privathaushalten lebende deutscheStaatsangehörige im Alter von mindestens 18 Jahren.Statistisches Merkmal:monatliches persönliches Nettoeinkommen (in DM)Umfang der Stichprobe: n = 716

Klassenbreite: 800 DM Klassenbreite: 500 DM

Klassenbreite: 250 DM Klassenbreite: 100 DM

nach Geschlecht, Klassenbreite: 500 DMM�annlich

Weiblich

2.1.3 Eigenschaften vonHäu�gkeitsverteilungen

Unimodale VerteilungDie Verteilung besitzt einen Gipfel, von demaus die Häu�gkeiten �acher oder steiler zuden Randbereichen hin verlaufen, ohne daÿein zweiter deutlich ausgeprägter Gipfelhervortritt

Unimodale Verteilung (symmetrisch)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Bimodale bzw. multimodaleVerteilungDie Verteilung besitzt zwei bzw. mehreredeutlich ausgeprägte Gipfel

Bimodale Verteilung

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Symmetrische VerteilungEs existiert eine Symmetrieachse, so daÿ dierechte und die linke Hälfte der Verteilung an-nähernd zueinander spiegelbildlich sind

Linkssteile VerteilungDie Verteilung fällt nach links deutlichsteiler und nach rechts langsamer ab

Rechtssteile VerteilungDie Verteilung fällt nach rechts deutlichsteiler und nach links langsamer ab

Linkssteile Verteilung

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Rechtssteile Verteilung

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2.1.4 Die empirischeVerteilungsfunktion

Ein wichtiges Werkzeug zur Analyse von quantitativenMerkmalen ist die sogenannte empirische Verteilungs-funktion.

Absolute kumulierte Häu�gkeitsverteilung:H(x) = Anzahl der Werte xi mit xi ≤ x

Empirische Verteilungsfunktion:F (x) = H(x)/n = Anteil der Werte xi mit xi ≤ x

Eigenschaften:

• 0 ≤ F (x) ≤ 1

• F (x) = 0, falls x < x(1), wobei x(1) - kleinsterbeobachteter Wert

• F (x) = 1, falls x ≥ x(n), wobei x(n) - gröÿterbeobachteter Wert

• F monoton wachsende Treppenfunktion

Beispiel:Preise (in Euro) für eine Pizza mit Salami und Pilzenin acht zufällig ausgewählten Pizzerien in Bonn

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

5,20 4,80 5,40 4,60 6,10 5,40 5,80 5,50

Empirische Verteilungsfunktion:

4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.50.0

Konstruktion von F (x) anhand der Urliste x1, . . . , xn:

• Ordnen der Daten⇒ geordnete Urliste: x(1) ≤ x(2) ≤ · · · ≤ x(n)

• F (x) = 0, falls x < x(1)

• F (x(i)) = F (x(i−1)) + 1n

F (x) = F (x(i)), falls x ∈ [x(i), x(i+1))

Achtung: Falls alle xi voneinander verschieden sind,wächst F (x) an jedem Beobachtungswert genau umden Betrag 1

n; sind zwei Beobachtungen gleich, so wächst

F (x) an dem entsprechenden Zahlenwert um den Be-trag 2

n, bei drei gleichen Beobachtungen um 3

n, etc.

• F (x) = 1, falls x ≥ x(n)

Konstruktion von F (x) bei Häu�gkeitsdaten:X diskret mit Ausprägungen a1 < a2 < · · · < ak

F (x) = f(a1) + · · ·+ f(aj)

falls aj ≤ x und aj+1 > x

Beispiel:Haushaltsgröÿen 1990 (siehe 2-6)

aj 1 2 3 4 5fj 0, 35 0, 302 0, 167 0, 128 0, 053

0 1 2 3 4 5

Konstruktion einer empirischen Verteilungsfunk-tion bei gruppierten Daten:k Klassen: (c0, c1], (c1, c2], . . . , (ck−1, ck]zugehörige rel. Häu�gkeiten: f1, . . . , fk

• F(x)=0 für x < c0, F (x) = 1 für x > ck

• Für alle i = 0, 1, . . . , k

F (ci) = Anteil der Originaldaten ≤ ci =i∑

• lineare Interpolation zwischen den Klassengren-zen⇒ keine Treppenfunktion!

Anmerkung: Gruppierte Daten geben die Häu�gkeitender Orginalbeobachtungen innerhalb der einzelnen Klassenwieder. An den Klassengrenzen ci entspricht F (ci) daherdem Wert der �wahren� empirischen Verteilungsfunktionder ursprünglichen Beobachtungen. Innerhalb der Klassenexistieren keine Informationen, es ist jedoch o�ensichtlich,dass die wahre emp. Verteilungsfunktion innerhalb jederKlasse eine monoton wachsende, nicht konstante Funkti-on ist. Die vorgeschlagene lineare Interpolation basiert aufder Idee einer relativ gleichmäÿigen Verteilung der Origi-nalbeobachtungen innerhalb der einzelnen Klassen.

Beispiel: Mietpreise in MünchenMietpreise (in DM) von Wohnungen ohne zentrale Warm-wasserversorgung und mit einer Wohn�äche von höchstens50 qm (basierend auf einer Erhebung von n = 26 Wohnun-gen im Jahr 1994)

Klasse rel. Häu�gkeit100 - 200 0, 115

200 - 300 0, 230

300 - 400 0, 346

400 - 500 0, 154

500 - 600 0, 116

600 - 700 0, 039

0 200 400 6000.0

2.2 Beschreibung von Verteilungen

2.2.1 Lagemaÿe

LagemaÿeMaÿzahlen zur Lage beschreiben das Zentrum derVerteilung eines Merkmals

Einfachstes Lagemaÿ bei quantitativen Merkmalen:Arithmetisches Mittel

Arithmetisches Mittel x

Bei gegebener Urliste x1, . . . , xn:x = 1

n(x1 + · · ·+ xn) = 1

∑ni=1 xi

Berechnung aus Häu�gkeitsdaten:x = a1f1 + · · ·+ akfk =

∑ki=1 aifi

Approximation aus gruppierten Daten :x =

∑ki=1 cifi

Eigenschaften des arithmetischen Mittels:

• Null- oder Schwerpunktseigenschaftn∑

(xi − x) = 0

• Quadratische Minimierungseigenschaftn∑

(xi − x)2 <n∑

(xi − z)2

für alle z 6= x

• Lineare Transformation yi = a + bxi:

y = a + bx

• Addition zi = xi + yi:

z = x + y

• Schichtenbildung: Eine Erhebungsgesamtheit vomUmfang n sei in r Schichten (Teilgesamtheiten)mit jeweiligen Umfängen n1, . . . , nr und arithme-tischen Mitteln x1, . . . , xr zerlegt:

Geordnete Urliste (für quantitative Merkmale):x1, . . . , xn werden der Gröÿe nach geordnet

⇒ x(1) ≤ x(2) ≤ · · · ≤ x(n)

Median (Zentralwert) xmed

xmed = x(n+12

) für n ungeradexmed = 1

2) + x(n

2+1)] für n gerade

Eigenschaften:

• Mindestens 50% der Daten sind ≤ xmed

• Mindestens 50% der Daten sind ≥ xmed

• Robustheit: Im Gegensatz zum arithm. Mittel wirdder Wert des Medians nur wenig durch �Ausrei-ÿer�, d.h. extreme Beobachtungen, beein�usst.

Berechnung des Medians für Häu�gkeitsdaten:X diskret mit Ausprägungen a1 < a2 < · · · < ak

xmed = ai, wobei ai diejenige Ausprägung ist, für diedie Folge Fi zum ersten Mal 0.5 überschreitet.

Fi−1 =i−1∑

fj < 0.5 < Fi =i∑

(in seltenen Fällen: Fi = 0, 5 ⇒ xmed = (ai +ai+1)/2)

Berechnung des Medians für gruppierte Daten:

• Bestimme die Einfallsklasse des Medians als dieKlasse [(ci−1, ci], für die die Folge Fi zum erstenMal 0.5 überschreitet.

Fi−1 =i−1∑

fj ≤ 0.5 < Fi =i∑

• Setze

xmed = ci−1 +δi · (0.5− Fi−1)

Beispiel: Haushaltsgröÿen 1990

aj 1 2 3 4 5fj 0, 35 0, 302 0, 167 0, 128 0, 053

⇒ xmed = 2

Gra�sche Bestimmung mit der empirischen Verteilungs-funktion:

0 1 2 3 4 5

Beispiel: Mietpreise in München

• Einfallsklasse des Medians (300, 400]

⇒ xmed = 344, 80

Gra�sche Bestimmung mit der empirischen Verteilungs-funktion:

0 200 400 6000.0

Modus xmod

Als Modus wird die Ausprägung mit der gröÿtenHäu�gkeit bezeichnet

• Der Modus ist im Gegensatz zu x und xmed auchfür nominalskalierte Merkmale ein sinnvolles La-gemaÿ

• Der Modus ist eindeutig, falls die Häu�gkeitsver-teilung ein eindeutiges globales Maximum besitzt.

Bei stetigen Merkmalen: Approximative Bestimmungeines Modus nach geeigneter Gruppierung

Berechnung des Modus für gruppierte Daten:

• Bestimme die Modalklasse (cj−1, cj ](Klasse mit der gröÿten Häu�gkeit)

• Setze xmod = cj

Anwendung: Haushaltsgröÿen 1990 : xmod = 1

Lageregeln:Symmetrische Verteilungen x ≈ xmed ≈ xmod

Linkssteile Verteilungen x > xmed > xmod

Rechtssteile Verteilungen x < xmed < xmod

Stichprobe 1 Stichprobe 2 Stichprobe 3aj h(aj) h(aj) h(aj)

1 8 1 12 10 2 23 8 4 24 6 8 45 5 10 56 4 8 67 2 4 88 2 2 109 1 1 8x 3,57 5 6,43

xmed 3 5 7xmod 2 5 8

Geometrisches Mittel xgeo

xgeo = (x1 · x2 · . . . · xn)1/n

• Voraussetzung: Verhältnisskalierte Merkmale mitpositiven Ausprägungen

• ln xgeo = 1n

∑ni=1 ln xi

Anwendung: Mittlerer WachstumsfaktorAnfangsbestand B0; B0, B1, . . . , Bn Zeitreihe von Be-standsdaten

• Wachstumsfaktor in Periode i

xi = Bi/Bi−1

• Wachstumsrate in Periode i

ri =Bi −Bi−1

Bi−1= xi − 1

• Bn = B0 · (xgeo)n

Beispiel: Bruttosozialprodukt (BSP) der Bundesre-publik Deutschland in Preisen von 1985 (Mrd. DM)

Jahr BSPt Bt xt

1980 0 1733,8 -1981 1 1735,7 1,00111982 2 1716,5 0,98891983 3 1748,4 1,01861984 4 1802,0 1,03071985 5 1834,5 1,01801986 6 1874,4 1,02171987 7 1902,3 1,01491988 8 1971,8 1,0365

• xgeo = (1971, 8/1733, 8)1/8 = 1, 0162

• mittlere Wachstumsrate: xgeo − 1 = 1, 62%

Harmonisches Mittel xhar

xhar = 11n

∑ni=1

Anwendung: Mittlere Geschwindigkeitx1, . . . , xn Geschwindigkeit mit der Bauteile eine Pro-duktionslinie der Länge l durchlaufen

• Gesamtzeit: lx1

+ · · ·+ lxn

• Mittlere Geschwindigkeit:

xhar =l + · · ·+ l

+ · · ·+ lxn

Verallgemeinerung für unterschiedliche Streckenlän-gen li

xhar =l1 + · · ·+ lnl1x1

+ · · ·+ lnxn

2.3 Streuungsmaÿe

Empirische Varianz undStandardabweichung

Die Varianz der Werte x1, . . . , xn ists2 = 1

∑ni=1(xi − x)2

Standardabweichung von x1, . . . , xn: s =√

Modi�zierte De�nition (in der schlieÿenden Statistikbevorzugt):

Stichprobenvarianz

s2 = 1n−1

∑ni=1(xi − x)2

StreuungsparameterBeispiel:Monatliche Aufwendungen f�ur Freizeitg�uter undUrlaub (DM)Zweipersonenhaushalte:210, 250, 340, 360, 400, 430, 440, 450, 530, 630Æ Æ ÆÆ Æ ÆÆÆ Æ Æ

Vierpersonenhaushalte:340, 350, 360, 380, 390, 410, 420, 440, 460, 490��

�x = 404 DM

Berechnung von s2 aus der Urliste:Vereinfachte Formel

)− x2

Berechnung von s2 aus Häu�gkeitsdaten:

s2 =k∑

(aj − x)2fj =k∑

a2jfj − x2

Berechnung auf der Grundlage von gruppier-ten Daten:

s2 =k∑

(cj − x)2fj =k∑

c2jfj − x2

Sheppard-Korrektur bei konstanter Klassenbreite δ =cj − cj−1:

s2 =k∑

(cj − x)2fj − δ2

Rechenregeln:

• Transformationsregel: Für yi = a + bxi ist

s2y = b2s2

x bzw. sy = |b|sx

• Standardisierung:

zi =xi − x

sx⇒ z = 0, s2

Tendenziell: s2 groÿ ⇔ groÿe Streuung; s2 klein ⇔kleine Streuung;(Extremfall: s2 = 0 ⇒ alle Beobachtung sind gleich)Aber: In einer gegebenen Anwendung ist der Wertvon s2 nur in Abhängigkeit von dem zugrundeliegen-den Maÿstab interpretierbar!

Maÿstabsunabhängiges Streuungsmaÿ (für verhältnis-skalierte Merkmale mit positiven Ausprägungen): Va-riationskoe�zient

Variationskoe�zientv = s/x

Geschichteter (gepoolter) Datensatz:Zerlegung der Erhebungsgesamtheit in r Schichten

x1, . . . , xr

s21, . . . , s

n1, . . . , nr mit n = n1 + · · ·+ nr

Streuungszerlegung

s2 = 1n

∑rj=1 nj s

2j + 1

∑rj=1 nj(xj − x)2

Gesamte Varianz= Varianz innerhalb der Schichten

+ Varianz zwischen den Schichten

Beispiel: Quadratmeterpreise für MietwohnungenErhebung von 1082 Mietwohnungen in München imJahr 1994Merkmal: Mietpreis pro Quadratmeter (in DM)Unterteilung (Schichtung) in kleine Wohnungen (bis50 qm), mittlere Wohnungen (51 bis 80 qm) und groÿeWohnungen (ab 81 qm)

Kleine Wohnungen: n1 = 270, x1 = 15, 30, s1 = 5, 61

Mittlere Wohnungen: n2 = 513, x2 = 12, 20, s2 = 4, 78

Groÿe Wohnungen: n3 = 299, x3 = 11, 02, s3 = 4, 78

Hieraus ergibt sich: x = 12, 65, s2 = 27, 6

2.4 Quantile und Boxplot

Quantile liefern wichtige Informationen über die Streu-ung und andere wichtige Charakteristika einer empi-rischen Verteilung.Geordnete Urliste: x(1) ≤ x(2) ≤ . . . x(n)

p-Quantil: Wert xp mit 0 < p < 1, so daÿ

Anzahl xi≤xp

n≥ p und Anzahl xi≥xp

n≥ 1− p

xp = x([np]+1), wenn np nicht ganzzahlig

xp = (x(np) + x(np+1))/2, wenn np ganzzahlig

[np] ist die zu np nächste kleinere ganze Zahl.

• Median: xmed = x0,5

• Unteres Quartil = 25%-Quantil = x0,25

• Oberes Quartil = 75%-Quantil = x0,75.

• Dezile: p = 10%, 20%, . . . , 90%

p-Quantil für gruppierte Daten:Analog zumMedian wird ein p-Quantil de�niert durch

xp = ci−1 + δip− Fi−1

wobei i so bestimmt ist, daÿ

Fi−1 =i−1∑

fj ≤ p < Fi =i∑

Gra�sche Bestimmung von Quantilen mit Hilfeder empirischen Verteilungsfunktion

Urliste oder Häu�gkeitsdaten:

4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5

x0,25 x0,75

0 1 2 3 4 5

x0,25x0,75

Gruppierte Daten:

0 200 400 6000.0

x0,25 x0,75

InterquartilsabstandQA = x0,75 − x0,25

• Der Interquartilsabstand ist ein häu�g verwen-detes Streuungsmaÿ, dessen Wert nur wenig vonAusreiÿern beein�usst wird. Ein groÿer/kleiner Wertvon QA signalisiert groÿe/kleine Streuung der Da-ten.

Fünf-Punkte-Zusammenfassung:Zusammenfassung einer Verteilung durch

xmin, x0,25, xmed, x0,75, xmax

Spannweite: R = xmax − xmin

Spannweite für gruppierte Daten: R = ck − c0

Graphische Darstellung einigerMa�zahlen der Lage und der VariationBoxplot (Box{Whisker{Plot, Schachtelzeichnung)

x0;25 � 3QAx0;25 � 1;5QA (lower fence)x0;25x0;75x0;75+1;5QA (upper fence)x0;75+3QA

x0;5 QAÆ?

Boxplot:• x0,25 - Anfang der Schachtel (�Box�)

x0,75 - Ende der Schachtel (�Box�)⇒ QA - Länge der Schachtel (�Box�)

• xmed wird durch Strich in der Box markiert(manchmal wird auch x durch eine gestrichelteLinie markiert)

• Man bestimmt die �Zäune�zl = x0,25 − 1, 5 ·QA

undzu = x0,75 + 1, 5 ·QA

• Zwei Linien (�Whiskers�) gehen zum kleinsten undgröÿten Beobachtungswert innerhalb des Bereichs[zl, zu] der Zäune

• Beobachtungen auÿerhalb der �Zäune� zl, zu wer-den einzeln eingezeichnet

Boxplots liefern Informationen über wichtige Charak-teristika einer Verteilung:

• Lage und Streuung

• Struktur (symmetrisch, rechtssteil, linkssteil)

• Existenz von AusreiÿernStatistik_A@statistik.uni-bonn 2�45

Beispiel:Geordnete Urliste (n=10):0,1 0,1 0,2 0,4 0,5 0,7 0,9 1,2 1,4 1,9

Histogramm:

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Boxplot:

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

BeispielStundenlohn in US$

Gesamt Mann Frau

xmin=1 xmin=1 xmin=1.74997xmax=44.5005 xmax=26.2903 xmax=44.5005

R=43.5005 R=25.2903 R=42.7505x0.25=5.24985 x0.25=6.00024 x0.25=4.74979x0.5=7.77801 x0.5=8.92985 x0.5=6.79985

x0.75=11.2504 x0.75=12.9994 x0.75=10.0001QA=6.00065 QA=9.99916 QA=5.25031

x=9.02395 x=9.99479 x=7.87874s2=26.408 s2=27.9377 s2=22.2774s=5.13887 s=5.28562 s=4.7199v=0.57 v=0.53 v=0.6

Gesamt

Frauen Maenner

2.5 Maÿzahlen für Schiefe

Schiefe (�Skewness�)Schiefemaÿe beschreiben Abweichungen einerVerteilung von der Symmetrie

Qantilskoe�zient der Schiefe

gp = (x1−p−xmed)−(xmed−xp)

x1−p−xp

p = 0, 25: Quartilskoe�zient

Werte des Quantilskoe�zienten:

• gp = 0 für symmetrische Verteilungen

• gp > 0 für linkssteile Verteilungen

• gp < 0 für rechtsssteile Verteilungen

Momentenkoe�zient der Schiefe

gm = m3/s3 mit m3 = 1

∑ni=1(xi − x)3

Werte des Momentenkoe�zienten: Qualitativ analogzu gp

Anmerkung: Momente einer empirischenVerteilung• Für r = 1, 2, 3, . . . ist allgemein

Mr =1n

das r − te Moment der Verteilung

• Das r − te zentrale Moment ist gegebendurch

mr =1n

(xi − x)r

2.6 Konzentrationsmaÿe

2.6.1 Lorenzkurve und Gini-Koe�zient

Eine in den Wirtschaftswissenschaften relevante Fra-gestellung gilt der Konzentration von Merkmalsausprä-gungen auf Merkmalsträger

Marktkonzentration:• starke Konzentration - wenige Anbieter erzielen

den gröÿten Teil des Gesamtumsatzes

• schwache Konzentration - Umsätze sind relativgleichmäÿig auf eine groÿe Zahl von Marktteilneh-mern verteilt

Analog:Einkommenskonzentration, Vermö-genskonzentration

Ziel: Wiedergabe der Stärke der Konzentration ineinem Kennwert bzw. einer Graphik

• Man betrachtet metrische Merkmale mit nicht-negativen Ausprägungen

• Zur Vereinfachung: Meÿwerte x1, . . . , xn bereitsgeordnet, d.h. x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn

• Gesamtmerkmalssumme:∑n

i=1 xi > 0

LorenzkurveFür die geordnete Urliste x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn

ergibt sich die Lorenzkurve als Streckenzugdurch die Punkte

(0, 0), (u1, v1), . . . , (un, vn) = (1, 1)

mituj = j

n Anteil der Merkmalsträger,

vj =∑j

i=1 xi∑ni=1 xi

kumulierte relative Merkmalssumme

Beispiel: MarktkonzentrationMonatlicher Umsatz (in 1000 DM) der Möbelbranchein den Städten A, B und C:

Möbelhaus� Stadt A B C1 40 180 602 40 5 503 40 5 404 40 5 305 40 5 20

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.2

0.40.6

0.81.0

Stadt A

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.2

0.40.6

0.81.0

Stadt B

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.2

0.40.6

0.81.0

Stadt C

Interpretation der Lorenzkurve:• Für jeden Punkt (uj , vj): Auf uj · 100% der klein-

sten Merkmalsträger entfallen vj · 100% der Ge-samtmerkmalssumme

• Nullkonzentration: Alle statistischen Einheitenbesitzen die gleiche Merkmalsausprägung.⇒ uj = vj für all j = 1, . . . , n

⇒ Die Lorenkurve ist eine Gerade durch den Null-punkt mit Steigung 45◦ (Diagonale)

• Maximale Konzentration: Die gesamte Merk-malssumme entfällt auf eine einzige statistischeEinheit, die restlichen n − 1 Einheiten besitzendie Merkmalsausprägung 0⇒ vj = 0 für j = 1, . . . , n− 1

• Allgemein: Die Konzentration ist umso stärker,je mehr die berechnete Lorenzkurve von der Dia-gonale abweicht (d.h. je gröÿer die Fläche zwi-schen Diagonale und Lorenzkurve)

Eigenschaften:• Die Lorenzkurve ist stückweise linear (maximal

n−1 Knicke) und monoton wachsend (Monotonie)• Die Lorenzkurve besitzt eine nach unten gerichte-

te Wölbung (Konvexität)Statistik_A@statistik.uni-bonn 2�56

Lorenzkurve bei Nullkonzentration

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.2

0.40.6

0.81.0

Stadt A

Lorenzkurve bei maximaler Konzentration (n = 5)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Berechnung der Lorenzkurve aus Häu�gkeitsdaten(a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ ak):

uj =j∑

hi/n =j∑

vj =∑j

i=1 hiai∑ki=1 hiai

i=1 fiai∑ki=1 fiai

Berechnung der Lorenzkurve für gruppierte Daten:

uj =j∑

vj =∑j

i=1 fici∑ki=1 fici

Beispiel:Monatliche Haushaltsnettoeinkommen 1988,Bundesrepublik Deutschland (bis unter 25000 DM)

MHNE in DM Anteil derHaushalte

0 � 800 0,044800 � 1400 0,1661400 � 3000 0,4713000 � 5000 0,2435000 � 25000 0,076

Lorenzkurve:

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Grundidee zur De�nition eines (relativen) Konzen-trationsmaÿes: Stärke der Konzentration entsprichtder Fläche zwischen Diagonale und Lorenzkurve

Gini-Koe�zient

G = Fläche zwischen Diagonale und LorenzkurveFläche zwischen Diagonale und u-Achse

= 2· Fläche zwischen Diagonale und Lorenzkurve

• Berechnung anhand der geordneten Urliste x1 ≤x2 ≤ · · · ≤ xn:

∑ni=1 ixi

i=1 xi− n + 1

n + 1n

− 2 · 1n

• Berechnung aus Häu�gkeitsdaten:

G =∑k

i=1(ui−1 + ui)fiai∑ni=1 fiai

= 1− 2 ·k∑

mit vj = vj−1+vj

• Berechnung aus gruppierten Daten:

G =∑k

i=1(ui−1 + ui)fici∑ni=1 fici

− 1 = 1− 2 ·k∑

mit vj = vj−1+vj

Extreme Ausprägungen des Gini-Koe�zienten:

• Gmin = 0 bei Nullkonzentration, x1 = x2 = · · · =xn

• Gmax = n−1n bei maximaler Konzentration, x1 =

x2 = · · · = xn−1 = 0, xn > 0

Normierter Gini-Koe�zient(Lorenz-Münzner-Koe�zient)

G∗ = GGmax

= nn−1G

Wertebereich: G∗ ∈ [0, 1]

Beispiel: Marktkonzentration

G G∗

Stadt A 0 0Stadt B 0.7 0.875Stadt C 0.2 0.25

Achtung! Unterschiedliche Lorenzkurven können aufden gleichen Gini-Koe�zienten führen:

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

2.6.2 Absolute Konzentrationsmaÿe• Relative Konzentrationsmaÿe (Gini-Koe�zient):

�Wieviel Prozent der Merkmalsträger teilen sichwieviel Prozent der Merkmalssumme?�

• Absolute Konzentrationsmaÿe: �Wieviele Merk-malsträger teilen sich wieviel Prozent der Merk-malssumme?�

Die Konzentrationsrate gibt an, welcher Anteil vonden g gröÿten Merkmalsträgern gehalten wird:

Konzentrationsrate CRg

CRg =∑n

i=n−g+1 pi, wobei pi = xi∑nj=1 xj

den Merkmalsanteil der i-ten Einheit bezeichnet

Her�ndahl-Index

H =∑n

i=1 p2i , wobei pi = xi∑n

j=1 xj

den Merkmalsanteil der i-ten Einheit bezeichnet

• Hmin = 1n bei Nullkonzentration, x1 = x2 = · · · =

• Hmax = 1 bei maximaler Konzentration, x1 =x2 = · · · = xn−1 = 0, xn > 0

• Wertebereich von H: 1n ≤ H ≤ 1

Beispiel: Marktkonzentration

Stadt A 0.2Stadt B 0.8125Stadt C 0.225

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