statistika unipa sbystatistika.unipasby.ac.id/wp-content/uploads/2017/02/pengantar... · pengantar...
Post on 20-Mar-2019
278 Views
Preview:
TRANSCRIPT
POKOK BAHASAN
Konsep dasar probabilitas
• Teori himpunan
• Permutasi
• Kombinasi
• Koefisien binomial
• Koefisien multinomial
Probabilitas
• Aksioma probabilitas
• Probabilitas bersyarat
• Teorema bayes
• Kejadian-kejadian yang bebas
Variabel Random
• Variabel random diskrit dan fungsi distribusi variabel random diskrit
• Variabel random kontinu dan fungsi variabel random kontinu
Konsep dasar probabilitas
• Teori himpunan
• Permutasi
• Kombinasi
• Koefisien binomial
• Koefisien multinomial
Probabilitas
• Aksioma probabilitas
• Probabilitas bersyarat
• Teorema bayes
• Kejadian-kejadian yang bebas
Variabel Random
• Variabel random diskrit dan fungsi distribusi variabel random diskrit
• Variabel random kontinu dan fungsi variabel random kontinu
UTS
STATISTIKA UNIPA SBY
POKOK BAHASAN
Distribusi bersama / joint probability
• Distribusi bersama variabel random diskrit
• Distribusi bersama variabel random kontinu
Ekspektasi
• Ekspektasi variabel random
• Varians, kovarian, korelasi,
Fungsi pembangkit moment
UAS
Distribusi bersama / joint probability
• Distribusi bersama variabel random diskrit
• Distribusi bersama variabel random kontinu
Ekspektasi
• Ekspektasi variabel random
• Varians, kovarian, korelasi,
Fungsi pembangkit moment
STATISTIKA UNIPA SBY
REFERENSI
A First course in Probability: Sheldon Ross. 1997
Hogg, R.V. dan Craig, A.T. 1995. Introduction to MathematicalStatistics, 5th ed. Mac Millon. New York.
Rohatgi, W.K., 1976., An Introduction to Probability Theory andMathematical Statistics, John Wiley and Sons, New York.
Bartoszynski, R. and Bugaj, M.N.,, 1996, Probability and StatisticalInference, John Wiley & Sons, New York.
A First course in Probability: Sheldon Ross. 1997
Hogg, R.V. dan Craig, A.T. 1995. Introduction to MathematicalStatistics, 5th ed. Mac Millon. New York.
Rohatgi, W.K., 1976., An Introduction to Probability Theory andMathematical Statistics, John Wiley and Sons, New York.
Bartoszynski, R. and Bugaj, M.N.,, 1996, Probability and StatisticalInference, John Wiley & Sons, New York.
STATISTIKA UNIPA SBY
KONSEP DASAR PROBABILITAS
Teori Himpunan (SET THEORY)
: Kumpulan obyek-obyek yang keanggotaanya terdefinisikan secara jelas.
Definisi I :
Himpunan yang memuat semua elemen yang dibicarakan secara lenkap
disebut sebagai himpunan semesta (space), yang biasanya dinotasikan
dengan huruf besar seperti S.
Definisi II :
Jika S merupak
c
an himpunan semesta dan A adalah himpunan bagian dari S
maka komplemen A ditulis A adalah himpunan yang memuat anggota-anggota
dari S tetapi tidak termuat dalam A.
contoh :
S = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4 dan A c
= x ; x = 0, 1
maka komplemen A atau A = x ; x = 2, 3, 4
Definisi I :
Himpunan yang memuat semua elemen yang dibicarakan secara lenkap
disebut sebagai himpunan semesta (space), yang biasanya dinotasikan
dengan huruf besar seperti S.
Definisi II :
Jika S merupak
c
an himpunan semesta dan A adalah himpunan bagian dari S
maka komplemen A ditulis A adalah himpunan yang memuat anggota-anggota
dari S tetapi tidak termuat dalam A.
contoh :
S = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4 dan A c
= x ; x = 0, 1
maka komplemen A atau A = x ; x = 2, 3, 4
STATISTIKA UNIPA SBY
1 2 1 2
1
2 1 2 1 2
1
Definisi III :
A merupakan himpunan bagian dari A (ditulis A A ) jika
dan hanya jika untuk setiap x anggota A maka x juga merupakan anggota
dari A ditulis : A A x A x A
contoh :
A = x
2 1 2 ; 0 x 1 , A = x ; 0 x 2 , maka A A
Gambarkan diagram Venn-nya ?
Definisi IV :
Himpunan A tidak mempunyai anggota, disebut himpunan kosong
A =
contoh :
A = x ; 0 < x < 1 dan x bilangan bulat ,
maka A =
1 2 1 2
1
2 1 2 1 2
1
Definisi III :
A merupakan himpunan bagian dari A (ditulis A A ) jika
dan hanya jika untuk setiap x anggota A maka x juga merupakan anggota
dari A ditulis : A A x A x A
contoh :
A = x
2 1 2 ; 0 x 1 , A = x ; 0 x 2 , maka A A
Gambarkan diagram Venn-nya ?
Definisi IV :
Himpunan A tidak mempunyai anggota, disebut himpunan kosong
A =
contoh :
A = x ; 0 < x < 1 dan x bilangan bulat ,
maka A =
STATISTIKA UNIPA SBY
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
Definisi V :
Gabungan dua himpunan A dan A ditulis A A yaitu
suatu himpunan yang anggotanya adalah semua anggota A dan A ,
ditulis A A = x | x A atau x A .
Gabungan dari himpunan-himpunan
1 2 3
1 2 3
1
2
1 2
A , A , A ,.....adalah
A A A ......
contoh :
A = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5
A = x ; x = 2, 3, 4, 5 atau 5 < x 10
Maka A A = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 atau 5 < x 10
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
Definisi V :
Gabungan dua himpunan A dan A ditulis A A yaitu
suatu himpunan yang anggotanya adalah semua anggota A dan A ,
ditulis A A = x | x A atau x A .
Gabungan dari himpunan-himpunan
1 2 3
1 2 3
1
2
1 2
A , A , A ,.....adalah
A A A ......
contoh :
A = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5
A = x ; x = 2, 3, 4, 5 atau 5 < x 10
Maka A A = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 atau 5 < x 10
STATISTIKA UNIPA SBY
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
Definisi VI :
Irisan dari dua himpunan A dan A ditulis A A adalah
suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari
A dan juga dari A ditulis : A A = x | x A dan x A
Irisan dar
1 2 3
1 2 3
1
2
1 2
1 2
i beberapa himpunan A , A , A ......adalah
A A A .....
Contoh :
A = x, y ; x, y = 0,0 , 0,1 , 1,1
A = x, y ; x, y = 1,1 , 1,2 , 2,1
maka A A x, y ; x, y = 1,1
Contoh :
A = x,y ; 0 x+y 1 , A = x,y ; 1
1 2
x+y
maka A A ....
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
Definisi VI :
Irisan dari dua himpunan A dan A ditulis A A adalah
suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari
A dan juga dari A ditulis : A A = x | x A dan x A
Irisan dar
1 2 3
1 2 3
1
2
1 2
1 2
i beberapa himpunan A , A , A ......adalah
A A A .....
Contoh :
A = x, y ; x, y = 0,0 , 0,1 , 1,1
A = x, y ; x, y = 1,1 , 1,2 , 2,1
maka A A x, y ; x, y = 1,1
Contoh :
A = x,y ; 0 x+y 1 , A = x,y ; 1
1 2
x+y
maka A A ....
STATISTIKA UNIPA SBY
1 2 1 2
1
2 1 2 1 2
1
Definisi VII :
Selisih dua himpunan A dan A ditulis A -A adalah
suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari A
tetapi bukan anggota dari A A -A = x | x A dan x A
Contoh :
A = x
2
1 2
2 1
| x bilangan asli
A = x | x bilangan bulat
A -A =
A -A = x | x bilangan bulat tidak positif
1 2 1 2
1
2 1 2 1 2
1
Definisi VII :
Selisih dua himpunan A dan A ditulis A -A adalah
suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota dari A
tetapi bukan anggota dari A A -A = x | x A dan x A
Contoh :
A = x
2
1 2
2 1
| x bilangan asli
A = x | x bilangan bulat
A -A =
A -A = x | x bilangan bulat tidak positif
STATISTIKA UNIPA SBY
1 2 1 2
1
2 1 2
1 2 1
Definisi VIII :
Jumlah dari dua himpunan A dan A ditulis A A adalah
suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota A atau
anggota A tetapi tidak termuat dalam A A .
A + A = x | x A
2 1 2
1 2 1 2 1 2
1
2
1 2
atau x A dan x A A .
Khusus untuk A dan A yang saling lepas, maka A A = A A .
Contoh :
A = x | x bilangan cacah
A = x | x bilangan bulat negatif
maka A + A = x | x bilangan bulat
1 2 1 2
1
2 1 2
1 2 1
Definisi VIII :
Jumlah dari dua himpunan A dan A ditulis A A adalah
suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota A atau
anggota A tetapi tidak termuat dalam A A .
A + A = x | x A
2 1 2
1 2 1 2 1 2
1
2
1 2
atau x A dan x A A .
Khusus untuk A dan A yang saling lepas, maka A A = A A .
Contoh :
A = x | x bilangan cacah
A = x | x bilangan bulat negatif
maka A + A = x | x bilangan bulat
STATISTIKA UNIPA SBY
SOAL LATIHAN :
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 1 1 2 3
2 2 3 4 5 3 3 4 5 8
c c c1 2 3 1 2 1 3 2 3
Suatu ruang sampel S = s ,s ,s ,s ,s ,s ,s ,s dan himpunan
A , A , dan A adalah sebagai berikut : A s ,s ,s ,
A s ,s ,s ,s ,A s ,s ,s ,s .
Tentukan A , A , A , A A ,A A , A A ,
1 2 3 1 2 1 3 1 2 3
c1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 1
c c1 2 1 2
c c1 2 1 2
A A A , A A ,A A , A A A ,
A - A , A - A , A - A ,A - A ,A - A , A .
Berikan bukti bahwa : A A A A ,
A A A A ,
c
c
c
c c c1 2 3 1 2 3 A A A A A A
c
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 1 1 2 3
2 2 3 4 5 3 3 4 5 8
c c c1 2 3 1 2 1 3 2 3
Suatu ruang sampel S = s ,s ,s ,s ,s ,s ,s ,s dan himpunan
A , A , dan A adalah sebagai berikut : A s ,s ,s ,
A s ,s ,s ,s ,A s ,s ,s ,s .
Tentukan A , A , A , A A ,A A , A A ,
1 2 3 1 2 1 3 1 2 3
c1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 1
c c1 2 1 2
c c1 2 1 2
A A A , A A ,A A , A A A ,
A - A , A - A , A - A ,A - A ,A - A , A .
Berikan bukti bahwa : A A A A ,
A A A A ,
c
c
c
c c c1 2 3 1 2 3 A A A A A A
c
STATISTIKA UNIPA SBY
Aplikasi hukum De Morgan’s
1 2 6 7 8 1 2 6 7 8
1 2 3 6 7 1 2 3 6 7
1 2 1 4 5 6 7 8 1 2 1 4 5 6 7 8
1 2 3 1 2 4 5 6 7 8
1 2 3 1 2 4 5 6 7 8
1 2 1 2 1
, , , , ,
, , ,
, , , , , , , , , ,
, , , , , , ,
, , , , , ,
maka :
,
c c c
c c c c
c c c
c
c c c
c c c
A A s s s A A s s s
A A A s s A A A s s
A A s s s s s s A A s s s s s s
A A A s s s s s s s
A A A s s s s s s s
A A A A A
2 3 1 2 3
1 2 1 2 1 2 3 1 2 3,
c c c c
c cc c c c c
A A A A A
A A A A A A A A A A
1 2 6 7 8 1 2 6 7 8
1 2 3 6 7 1 2 3 6 7
1 2 1 4 5 6 7 8 1 2 1 4 5 6 7 8
1 2 3 1 2 4 5 6 7 8
1 2 3 1 2 4 5 6 7 8
1 2 1 2 1
, , , , ,
, , ,
, , , , , , , , , ,
, , , , , , ,
, , , , , ,
maka :
,
c c c
c c c c
c c c
c
c c c
c c c
A A s s s A A s s s
A A A s s A A A s s
A A s s s s s s A A s s s s s s
A A A s s s s s s s
A A A s s s s s s s
A A A A A
2 3 1 2 3
1 2 1 2 1 2 3 1 2 3,
c c c c
c cc c c c c
A A A A A
A A A A A A A A A A
Hukum DeMorgan’s
STATISTIKA UNIPA SBY
SOAL LATIHAN
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
c
Carilah himpunan gabungan dari A A dan interseksi A A
dimana A dan A adalah :
a A ; 0,1,2 , A ; 2,3,4
b A ;0 2 , A ;1 3
Carilah A dari himpunan A dengan ruang sampel S
x x x x
x x x x
sebagai berikut :
5 a S ;0 1 ,A = ; 1
8x x x x
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
c
Carilah himpunan gabungan dari A A dan interseksi A A
dimana A dan A adalah :
a A ; 0,1,2 , A ; 2,3,4
b A ;0 2 , A ;1 3
Carilah A dari himpunan A dengan ruang sampel S
x x x x
x x x x
sebagai berikut :
5 a S ;0 1 ,A = ; 1
8x x x x
STATISTIKA UNIPA SBY
Barisan himpunan monoton :
n n
i i+1
n
i n n in
i=1 i=1
n n
i i+1
Barisan himpunan A disebut himpunan monoton naik A
jika A A , i = 1,2,3,...
A A berarti limit A A = A
Barisan himpunan A disebut himpunan monoton turun A
jika A A ,
n
i n n in
i=1 i=1
i = 1,2,3,...
A A berarti limit A A = A
n n
i i+1
n
i n n in
i=1 i=1
n n
i i+1
Barisan himpunan A disebut himpunan monoton naik A
jika A A , i = 1,2,3,...
A A berarti limit A A = A
Barisan himpunan A disebut himpunan monoton turun A
jika A A ,
n
i n n in
i=1 i=1
i = 1,2,3,...
A A berarti limit A A = A
STATISTIKA UNIPA SBY
SOAL LATIHAN1 2 3 k k+1
kk
1 2 3
kk
k
Jika A , A , A ,...adalah himpunan yang terdefinisikan bahwa A A ,
k = 1, 2, 3,..., dan lim A didefinisikan sebagai himpunan gabungan
A A A ....
Carilah lim A jika :
a) A
2 2
k
1 2 3 k k+1
kk
;1/ 3 1/ , 1,2,3...;
b) A , ;1/ 4 1/ , 1,2,3...;
Jika A , A , A ,...adalah himpunan yang terdefinisikan bahwa A A ,
k = 1, 2, 3,..., dan lim A didefinisikan sebagai himpun
x k x k k
x y k x y k k
1 2 3
kk
k
2 2k
an interseksi
A A A .....
Carilah lim A jika :
a) A ;2 1/ 2 , 1,2,3...;
b) A , ;0 1/ , 1,2,3...;
x k x k
x y x y k k
1 2 3 k k+1
kk
1 2 3
kk
k
Jika A , A , A ,...adalah himpunan yang terdefinisikan bahwa A A ,
k = 1, 2, 3,..., dan lim A didefinisikan sebagai himpunan gabungan
A A A ....
Carilah lim A jika :
a) A
2 2
k
1 2 3 k k+1
kk
;1/ 3 1/ , 1,2,3...;
b) A , ;1/ 4 1/ , 1,2,3...;
Jika A , A , A ,...adalah himpunan yang terdefinisikan bahwa A A ,
k = 1, 2, 3,..., dan lim A didefinisikan sebagai himpun
x k x k k
x y k x y k k
1 2 3
kk
k
2 2k
an interseksi
A A A .....
Carilah lim A jika :
a) A ;2 1/ 2 , 1,2,3...;
b) A , ;0 1/ , 1,2,3...;
x k x k
x y x y k k
STATISTIKA UNIPA SBY
Permutasi dan Kombinasi
Permutasi pengaturan elemen-elemen dari sebuah himpunan dimana urutan darielemen elemen tersebut diperhatikan.
Contoh : dari himpunan huruf-huruf {a,b,c}, permutasi-permutasi dengan ukuran2 (ambil 2 elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {b,a}, {a,c}, {c,a},{b,c}, dan {c,b}. Perhatikan bahwa urutan dari elemen-elemen itu adalahpenting, dengan kata lain {a,b} adalah berbeda dengan {b,a}.Banyaknya permutasi adalah 6.
Contoh: Ada sebuah kotak berisi 3 bola masing-masing berwarna merah, hijaudan biru. Jika seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak danurutan pengambilan diperhatikan, ada berapa permutasi yang terjadi?
Banyaknya permutasi adalah 6 yaitu; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.
!
!
0! 1
! 1 2 1
3! 3 2! 3 2 1 6
kn
nP
n k
k k x k x k x x
x x x
Permutasi dan Kombinasi
Permutasi pengaturan elemen-elemen dari sebuah himpunan dimana urutan darielemen elemen tersebut diperhatikan.
Contoh : dari himpunan huruf-huruf {a,b,c}, permutasi-permutasi dengan ukuran2 (ambil 2 elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {b,a}, {a,c}, {c,a},{b,c}, dan {c,b}. Perhatikan bahwa urutan dari elemen-elemen itu adalahpenting, dengan kata lain {a,b} adalah berbeda dengan {b,a}.Banyaknya permutasi adalah 6.
Contoh: Ada sebuah kotak berisi 3 bola masing-masing berwarna merah, hijaudan biru. Jika seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak danurutan pengambilan diperhatikan, ada berapa permutasi yang terjadi?
Banyaknya permutasi adalah 6 yaitu; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.
!
!
0! 1
! 1 2 1
3! 3 2! 3 2 1 6
kn
nP
n k
k k x k x k x x
x x x
STATISTIKA UNIPA SBY
Kombinasi adalah pengaturan elemen-elemen dari sebuah himpunan dimanaurutan dari elemen elemen tersebut tidak diperhatikan.
Contoh, dari himpunan huruf-huruf {a,b,c} kombinasi-kombinasi yangberukuran 2 (ambil 2 elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {a,c}, and{b,c}. Perhatikan bahwa urutan dari elemen-elemen itu tidak penting,dengan kata lain {b,a} adalah dianggap sama dengan {a,b}.Banyaknya kombinasi adalah 3.
Contoh: Seorang anak hanya diperbolehkan mengambil dua buah amplop daritiga buah amplop yang disediakan yaitu amplop A, amplop B dan amplop C.Tentukan ada berapa banyak kombinasi untuk mengambil dua buah amplop daritiga buah amplop yang disediakan? Banyaknya kombinasi adalah 3
!
! !n n kk k k
nC P P
k n k
Kombinasi adalah pengaturan elemen-elemen dari sebuah himpunan dimanaurutan dari elemen elemen tersebut tidak diperhatikan.
Contoh, dari himpunan huruf-huruf {a,b,c} kombinasi-kombinasi yangberukuran 2 (ambil 2 elemen dari himpunan tersebut) adalah {a,b}, {a,c}, and{b,c}. Perhatikan bahwa urutan dari elemen-elemen itu tidak penting,dengan kata lain {b,a} adalah dianggap sama dengan {a,b}.Banyaknya kombinasi adalah 3.
Contoh: Seorang anak hanya diperbolehkan mengambil dua buah amplop daritiga buah amplop yang disediakan yaitu amplop A, amplop B dan amplop C.Tentukan ada berapa banyak kombinasi untuk mengambil dua buah amplop daritiga buah amplop yang disediakan? Banyaknya kombinasi adalah 3
!
! !n n kk k k
nC P P
k n k
STATISTIKA UNIPA SBY
SOAL LATIHAN
Tiga orang siswa bernama A, B, dan C hendak membentukkelompok belajar dan dua orang dipilih sebagai ketua dan bendahara.Maka susunan ketua dan bendahara yang bisa terjadi adalah
Tiga orang bernama A, B, dan C berjabat tangan. Berapakemungkinan jabat tangan yang mungkin terjadi?
Tiga orang siswa bernama A, B, dan C hendak membentukkelompok belajar dan dua orang dipilih sebagai ketua dan bendahara.Maka susunan ketua dan bendahara yang bisa terjadi adalah
Tiga orang bernama A, B, dan C berjabat tangan. Berapakemungkinan jabat tangan yang mungkin terjadi?
STATISTIKA UNIPA SBY
Definisi :
Variabel random X dengan f.d.p f x dan u x adalah
suatu fungsi dari variabel random X, sedemikian hingga :
untuk variabel random kontinuE u
untuk variabel random diskritx
u x f x dxx
u x f x
Jika integral atau deret tersebut konvergen mutlak maka E u
disebut ekspektasi dari u x .
x
Definisi :
Variabel random X dengan f.d.p f x dan u x adalah
suatu fungsi dari variabel random X, sedemikian hingga :
untuk variabel random kontinuE u
untuk variabel random diskritx
u x f x dxx
u x f x
Jika integral atau deret tersebut konvergen mutlak maka E u
disebut ekspektasi dari u x .
x
STATISTIKA UNIPA SBY
n
i i i ii=1 1
Sifat - sifat dari ekspektasi matematik :
1. E (k) = k, k = konstanta
2. E [k u(x)] = k E[u(x)]
3. E k u (x) k E[u (x)] , n hingga ekspektasi bersifat liniern
i
n
i i i ii=1 1
Sifat - sifat dari ekspektasi matematik :
1. E (k) = k, k = konstanta
2. E [k u(x)] = k E[u(x)]
3. E k u (x) k E[u (x)] , n hingga ekspektasi bersifat liniern
i
STATISTIKA UNIPA SBY
2
Ekspektasi Fungsi U(x)
1. U(x) = X, maka mean dari variabel random X :
untuk variabel random kontinu E u
untuk variabel random diskrit
2. Var u Var(x) = E(x - E(x))
x
x f x dxx
x f x
x
2
2
2
(x - E(x)) untuk variabel random kontinu=
(x - E(x)) untuk variabel random diskritx
f x dx
f x
2
Ekspektasi Fungsi U(x)
1. U(x) = X, maka mean dari variabel random X :
untuk variabel random kontinu E u
untuk variabel random diskrit
2. Var u Var(x) = E(x - E(x))
x
x f x dxx
x f x
x
2
2
2
(x - E(x)) untuk variabel random kontinu=
(x - E(x)) untuk variabel random diskritx
f x dx
f x
STATISTIKA UNIPA SBY
2
3
Misal X dengan f.d.p
2 1 , 0 1
0 , untuk x yang lainnya
maka E 6x + 3x ....?
Contoh 2.
Misal X dengan f.d.p
/ 6 , 1,2,3
0 , untuk x yang lainnya
maka E (x ) ...?
x xf x
x xf x
2
3
Misal X dengan f.d.p
2 1 , 0 1
0 , untuk x yang lainnya
maka E 6x + 3x ....?
Contoh 2.
Misal X dengan f.d.p
/ 6 , 1,2,3
0 , untuk x yang lainnya
maka E (x ) ...?
x xf x
x xf x
STATISTIKA UNIPA SBY
2
2
Misalkan X merupakan variabel random dengan f.d.p
f(x) = 3x , 0 < x < 1
maka :
1. E (x), E(x ), dan Var (x)...?
2. Jika variabel random y dengan y = 3x - 2
tentukan E (y) dan Var (y) ?
2
2
Misalkan X merupakan variabel random dengan f.d.p
f(x) = 3x , 0 < x < 1
maka :
1. E (x), E(x ), dan Var (x)...?
2. Jika variabel random y dengan y = 3x - 2
tentukan E (y) dan Var (y) ?
STATISTIKA UNIPA SBY
Fungsi Pembangkit Momen(Moment Generating Function)
Gangga Anuraga
Fungsi Pembangkit Momen(Moment Generating Function)
Gangga Anuraga
STATISTIKA UNIPA SBY
Fungsi pembangkit momen secara lengkap menentukan
distribusi sampling dari suatu variabel random.
Karakteristik Fungsi Pembangkit Momen
tx
tx
tx
tx
x
cx x cx
M t E e
e f xM t E e
e f x
M t M ct M
.
t cx ct xx
t cx d ct xdt dt dtcx d x cx d x
t E e E e M ct
M t e M ct M t E e E e e e M ct
Fungsi pembangkit momen secara lengkap menentukan
distribusi sampling dari suatu variabel random.
Karakteristik Fungsi Pembangkit Momen
tx
tx
tx
tx
x
cx x cx
M t E e
e f xM t E e
e f x
M t M ct M
.
t cx ct xx
t cx d ct xdt dt dtcx d x cx d x
t E e E e M ct
M t e M ct M t E e E e e e M ct
0 0
dan , 2,3,n
x xnt t
d dE x M t M t n
dt dt
STATISTIKA UNIPA SBY
1
1 2 n
1
1 2
a. jika a R maka
b. jika variabel random X ,X ,...,X saling independen
maka,
c. jika a, b R maka :
d. jika variabel random X ,X ,..
ni
ii
x x
n
xiX
tbax b x
M t M at
M t M t
M t e M at
Sifat sifat MGF
1
n.,X independen identik maka :
ni
ii
n
xX
M t M t
1
1 2 n
1
1 2
a. jika a R maka
b. jika variabel random X ,X ,...,X saling independen
maka,
c. jika a, b R maka :
d. jika variabel random X ,X ,..
ni
ii
x x
n
xiX
tbax b x
M t M at
M t M t
M t e M at
Sifat sifat MGF
1
n.,X independen identik maka :
ni
ii
n
xX
M t M t
STATISTIKA UNIPA SBY
2
Misalkan X merupakan variabel random dengan f.d.p
, 0.
a) Tentukan Fungsi Pembangkit Momen
b) Tentukan E(x), E(x ) dan
c) jika variabel random y didefinisikan y = 2-3x,
?
x
x
y
f x e x
M t
Var x
M t
2
Misalkan X merupakan variabel random dengan f.d.p
, 0.
a) Tentukan Fungsi Pembangkit Momen
b) Tentukan E(x), E(x ) dan
c) jika variabel random y didefinisikan y = 2-3x,
?
x
x
y
f x e x
M t
Var x
M t
STATISTIKA UNIPA SBY
2 21
2 2
contoh :
Jika X variabel random berdistribusi normal dengan mean
dan varians , maka MGF dari X addalah .
Tentukan :
a. MGF variabel random Y = X - .
Xb. MGF variabel random W =
c. MGF varia
t t
xM t e
X -bel random Z =
2 21
2 2
contoh :
Jika X variabel random berdistribusi normal dengan mean
dan varians , maka MGF dari X addalah .
Tentukan :
a. MGF variabel random Y = X - .
Xb. MGF variabel random W =
c. MGF varia
t t
xM t e
X -bel random Z =
ST
ATISTIKA UNIPA SBY
1
n 2
2
22
Moment :
)
disebut sebagai moment ke n
maka jika n = 1 didapatkan
)
jika n = 2 maka
n
nn
n
n
a U x x
m E x
m E x
b U x x
m E x m E x
m
1
n 2
2
22
Moment :
)
disebut sebagai moment ke n
maka jika n = 1 didapatkan
)
jika n = 2 maka
n
nn
n
n
a U x x
m E x
m E x
b U x x
m E x m E x
m
STATISTIKA UNIPA SBY
' '1
" 2 " 22
Pandang variabel random x dengan f.p.m M t :
M t ,
t = 0
tx
tx
tx
e f x dx h t h
M t x e f x dx M t x f x dx
M t x e f x dx M t x f x dx
k k tx k kkM t x e f x dx M t x f x dx
' '1
" 2 " 22
Pandang variabel random x dengan f.p.m M t :
M t ,
t = 0
tx
tx
tx
e f x dx h t h
M t x e f x dx M t x f x dx
M t x e f x dx M t x f x dx
k k tx k kkM t x e f x dx M t x f x dx
STATISTIKA UNIPA SBY
2 ' ''
3 4' ''
'
2 '' 2
2 2 2
Contoh :
Jika 1 , 1 maka dan
adalah...
2 1 dan 6 1
= 0 2
0 6 4 2
dan
M t t t M t M t
M t t M t t
M
M
x f x dx x f x dx
2 ' ''
3 4' ''
'
2 '' 2
2 2 2
Contoh :
Jika 1 , 1 maka dan
adalah...
2 1 dan 6 1
= 0 2
0 6 4 2
dan
M t t t M t M t
M t t M t t
M
M
x f x dx x f x dx
STATISTIKA UNIPA SBY
Variabel random x merupakan variabel random diskrit
dengan fungsi probabilitas
1, 1
32
, 23
Tentukan MGF dari variabel random x ?
xf x
x
Variabel random x merupakan variabel random diskrit
dengan fungsi probabilitas
1, 1
32
, 23
Tentukan MGF dari variabel random x ?
xf x
x
STATISTIKA UNIPA SBY
2 2
i i
i
1 2 n2
i i1 ntμ + σ t2
i X ii= 1
Misalkan X, X ,..., X variabel random in dependenmasing -masing berdistribusiN ( μ, σ )
MGF dari X adalah M t = e dan Y = X .
TentukanMGF dari Y ?
Variabel random x~bin m,p dan y~bin n,p , dan z=x+y
Tentukan MGF dari z ?
2 2
i i
i
1 2 n2
i i1 ntμ + σ t2
i X ii= 1
Misalkan X, X ,..., X variabel random in dependenmasing -masing berdistribusiN ( μ, σ )
MGF dari X adalah M t = e dan Y = X .
TentukanMGF dari Y ?
/ 2
x
1 2
Sebuah variabel random x dengan MGF, M 1 2 .
, tentukan MGF dari y ?
nt t
y x x
STATISTIKA UNIPA SBY
EVENT DAN PROBABILITAS PERCOBAAN RANDOM
Setiap percobaan selalu diakhiri dengan sebuah Hasil yang
biasanya tidak dapat diramalkan sebelumnya.
Percobaan adalah suatu percoban yang hasilnya tidak dapat
diramalkan dengan pasti dan dapat diulang dibawah kondisi yang
sama dan hasil yang mungkin dapat diketahui dari percobaan
tersebut.
PERCOBAAN RANDOM
Setiap percobaan selalu diakhiri dengan sebuah Hasil yang
biasanya tidak dapat diramalkan sebelumnya.
Percobaan adalah suatu percoban yang hasilnya tidak dapat
diramalkan dengan pasti dan dapat diulang dibawah kondisi yang
sama dan hasil yang mungkin dapat diketahui dari percobaan
tersebut.
STATISTIKA UNIPA SBY
Ruang Sampel
Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin darisuatu percobaan random. Ruang sampel biasa dinotasikan denganhuruf S.
Contoh :
Jika sebuah dadu dilempar satu kali, maka semua kemungkinan yangakan terjadi adalah tampak di atas mata 1, mata 2, mata 3, mata 4,mata 5 atau mata 6. Bila dituliskan dalam bentuk himpunan, ruangsampel dari percobaan ini adalah : S = {1,2,3,4,5,6}
Sebuah mata uang dilemparkan satu kali, maka kemungkinan akantampak di atas adalah gambar (G) atau angka (A), Ruang sampeldapat ditulis menjadi : S = {G,A}
Ruang Sampel
Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin darisuatu percobaan random. Ruang sampel biasa dinotasikan denganhuruf S.
Contoh :
Jika sebuah dadu dilempar satu kali, maka semua kemungkinan yangakan terjadi adalah tampak di atas mata 1, mata 2, mata 3, mata 4,mata 5 atau mata 6. Bila dituliskan dalam bentuk himpunan, ruangsampel dari percobaan ini adalah : S = {1,2,3,4,5,6}
Sebuah mata uang dilemparkan satu kali, maka kemungkinan akantampak di atas adalah gambar (G) atau angka (A), Ruang sampeldapat ditulis menjadi : S = {G,A}
STATISTIKA UNIPA SBY
Kejadian (event)
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel
Contoh :
Ada 4 orang mahasiswa yang diambil secara random dari jurusan
Teknologi Pembelajaran, kemudian ditanyakan kepada mereka
apakah suka mendapat kuliah Statistika. Jika mereka suka diberi
simbol Y dan jika tidak diberi simbol T, maka ruang sampelnya
adalah :
Kejadian (event)
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel
Contoh :
Ada 4 orang mahasiswa yang diambil secara random dari jurusan
Teknologi Pembelajaran, kemudian ditanyakan kepada mereka
apakah suka mendapat kuliah Statistika. Jika mereka suka diberi
simbol Y dan jika tidak diberi simbol T, maka ruang sampelnya
adalah :STATISTIKA UNIPA SBY
Anggota kejadian A dimana A menyatakan sekurang-kurangnya 3
orang suka diadakannya kuliah statistik adalah :
Ukuran Probabilitas adalah suatu bilangan atau fungsi yang
memetakan dari events pada sample space ke bilangan real antara
0 dan 1
Anggota kejadian A dimana A menyatakan sekurang-kurangnya 3
orang suka diadakannya kuliah statistik adalah :
Ukuran Probabilitas adalah suatu bilangan atau fungsi yang
memetakan dari events pada sample space ke bilangan real antara
0 dan 1
STATISTIKA UNIPA SBY
MODEL PROBABILITAS Sample Space: S ={1,2,3,4,5,6}
Event: A = {muncul angka genap},B = {muncul angka ganjil},D= {muncul angka 2}
Ukuran Probabilitas:P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; P(D) = 1/6
Sample Space: S ={1,2,3,4,5,6}
Event: A = {muncul angka genap},B = {muncul angka ganjil},D= {muncul angka 2}
Ukuran Probabilitas:P(A) = 0,5; P(B) = 0,5; P(D) = 1/6
STATISTIKA UNIPA SBY
Aturan-Aturan Probabilitas Probabilitas dari sembarang event P(A) harus memenuhi
0 < P(A) < 1
Complement Rule = complement dari sembarang event A adalahevent A tidak terjadi
P(Ac) = 1 - P(A)
Contoh: Lempar suatu dadu: S = {1,2,3,4,5,6};mis A = {2,4}, Ac = {1,3,5,6}; P(A) = 1/3; P(Ac) = 1-1/3 = 2/3
Addition Rule = untuk dua events A dan B yang terpisah/disjoint (nocommon outcomes)
P (A or B) = P(A) + P (B)
Contoh: Lempar suatu dadu: S = {1,2,3,4,5,6};mis A = {2}, B = {1,3,5}; P(A or B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/2 = 2/3
Probabilitas dari sembarang event P(A) harus memenuhi0 < P(A) < 1
Complement Rule = complement dari sembarang event A adalahevent A tidak terjadi
P(Ac) = 1 - P(A)
Contoh: Lempar suatu dadu: S = {1,2,3,4,5,6};mis A = {2,4}, Ac = {1,3,5,6}; P(A) = 1/3; P(Ac) = 1-1/3 = 2/3
Addition Rule = untuk dua events A dan B yang terpisah/disjoint (nocommon outcomes)
P (A or B) = P(A) + P (B)
Contoh: Lempar suatu dadu: S = {1,2,3,4,5,6};mis A = {2}, B = {1,3,5}; P(A or B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/2 = 2/3
STATISTIKA UNIPA SBY
Multiplication Rule = dua events A dan B adalah independent, jika diketahuibahwa salah satu terjadi/muncul tidak mengubah probabilitas yang lain muncul
P (A and B) = P(A)*P(B)
Contoh: Lempar sepasang dadu
S = {(1,1),(1,2),….(6,6)} 36 kemungkinan outcomes
mis A ={dadu pertama 6} = {(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
mis B = {dadu kedua 1} = {(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)}
Maka P(A) = 6/36 = 1/6;
P(B) = 6/36 = 1/6 dan
P(dadu pertama 6, dadu kedua 1) = P(A and B)
= 1/36 = P(A) P(B)
menunjukan independence
Multiplication Rule = dua events A dan B adalah independent, jika diketahuibahwa salah satu terjadi/muncul tidak mengubah probabilitas yang lain muncul
P (A and B) = P(A)*P(B)
Contoh: Lempar sepasang dadu
S = {(1,1),(1,2),….(6,6)} 36 kemungkinan outcomes
mis A ={dadu pertama 6} = {(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
mis B = {dadu kedua 1} = {(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)}
Maka P(A) = 6/36 = 1/6;
P(B) = 6/36 = 1/6 dan
P(dadu pertama 6, dadu kedua 1) = P(A and B)
= 1/36 = P(A) P(B)
menunjukan independence
STATISTIKA UNIPA SBY
Contoh: suatu web site mempenyai tiga server A, B, dan C, yang dipilihsecara independent dengan probabilitas:
P(A) = ¼, P(B) = ½, P(C)= ¼.
(a) Cari probabilitas A atau B dipilih
P(A or B) = ¼ + ½ = 3/4
(b) Cari probabilitas A tidak dipilih
P(Ac) = 1 – P(A) = ¾
(c) Cari probabilitas server A dipilih dua kali
P(AA) = P(A)P(A) = 1/16
(d) Cari probabilitas urutan seleksi server ABCA
P(ABCA) = P(A)P(B)P(C)P(A) = (1/4)(1/2)(1/4)(1/4) = 1/128
Contoh: suatu web site mempenyai tiga server A, B, dan C, yang dipilihsecara independent dengan probabilitas:
P(A) = ¼, P(B) = ½, P(C)= ¼.
(a) Cari probabilitas A atau B dipilih
P(A or B) = ¼ + ½ = 3/4
(b) Cari probabilitas A tidak dipilih
P(Ac) = 1 – P(A) = ¾
(c) Cari probabilitas server A dipilih dua kali
P(AA) = P(A)P(A) = 1/16
(d) Cari probabilitas urutan seleksi server ABCA
P(ABCA) = P(A)P(B)P(C)P(A) = (1/4)(1/2)(1/4)(1/4) = 1/128
STATISTIKA UNIPA SBY
KOEFISIEN BINOMIAL Koefisien binomial merupakan bilangan-bilangan yang muncul dari
hasil penjabaran penjumlahan dua peubah yang dipangkatkan (a+b)n
Terlihat bahwa ekspresi (a+b)n tidak ada hubungannya dengan kombinasi,
tetapi kenyataannya (a+b)n dapat dicari dengan menggunakan rumus
kombinasi-r dari n unsur
Koefisien binomial merupakan bilangan-bilangan yang muncul dari
hasil penjabaran penjumlahan dua peubah yang dipangkatkan (a+b)n
Terlihat bahwa ekspresi (a+b)n tidak ada hubungannya dengan kombinasi,
tetapi kenyataannya (a+b)n dapat dicari dengan menggunakan rumus
kombinasi-r dari n unsur
3 3 2 2 3
0
Dalam aljabar diketahui bahwa :
a+b a + 3a b + 3ab + b
Teorema Binomial :
a+b ,n
n n k k
k
C n k a b
STATISTIKA UNIPA SBY
Persoalan diatas dapat juga diselsaikan dengan aturan segitigapascal
4 4 0 0 4 4 4
4 3 2 2 3 4
115 6
5
Contoh :
Sederhanakan a+b 4,0 4,4
= 4 6 4
Tentukan koefisien dari dalam a+b
11! 11,6
5!6!
Sederhanakan 2x-3y
Te
C a b C a b
a a b a b ab b
a b
C
102 3 5ntukan koefisien dari dalam x + y + z =x y z
Persoalan diatas dapat juga diselsaikan dengan aturan segitigapascal
4 4 0 0 4 4 4
4 3 2 2 3 4
115 6
5
Contoh :
Sederhanakan a+b 4,0 4,4
= 4 6 4
Tentukan koefisien dari dalam a+b
11! 11,6
5!6!
Sederhanakan 2x-3y
Te
C a b C a b
a a b a b ab b
a b
C
102 3 5ntukan koefisien dari dalam x + y + z =x y z STATISTIKA UNIPA SBY
KOEFISIEN MULTINOMIAL Multinomial merupakan perluasan dari binomial
1 2
1 2
1 2
1 21 2
1 2 1 2
, , ,
!dengan =
, , , ! ! !
k
n n n nkk k
n n n n k
k k
nx x x x x x
n n n
n n
n n n n n n
1 2
1 2
1 2
1 21 2
1 2 1 2
, , ,
!dengan =
, , , ! ! !
k
n n n nkk k
n n n n k
k k
nx x x x x x
n n n
n n
n n n n n n
STATISTIKA UNIPA SBY
Contoh :
102 3 41 3 4 5 1 2 3 4 5
83 3 2
Tentukan Koefisien dari :
dalam
10!
2!0!1!3!4!Tentukan Koefisien dari :
dalam 2 3 5
x x x x x x x x x
x y z x y z
102 3 41 3 4 5 1 2 3 4 5
83 3 2
Tentukan Koefisien dari :
dalam
10!
2!0!1!3!4!Tentukan Koefisien dari :
dalam 2 3 5
x x x x x x x x x
x y z x y z
STATISTIKA UNIPA SBY
Notasi :
: ruang sampel
: kejadian/event dalam ruang sampel
: probablitas event
Aksioma 1
0
Aksioma 2
1
Aksioma 3
mutually exclusive : dua kejadian yang saling tidak
berhubungan dan tidak
S
A S
P A A
P A
P S
11
mungkin terjadi secara bersamaanN N
n nnn
P A P A
AKSIOMA
PROBABILITAS
Notasi :
: ruang sampel
: kejadian/event dalam ruang sampel
: probablitas event
Aksioma 1
0
Aksioma 2
1
Aksioma 3
mutually exclusive : dua kejadian yang saling tidak
berhubungan dan tidak
S
A S
P A A
P A
P S
11
mungkin terjadi secara bersamaanN N
n nnn
P A P A
AKSIOMA
PROBABILITAS
STATISTIKA UNIPA SBY
• Definisikan ruang sampel dari diagram venn diatas ?• Definisikan kejadian/event dari A ?• Definisikan kejadian/event dari B ?• Definisikan joint kejadian A dan B ?• Definisikan union kejadian A dan B ?
probabilitas joint A dan B
probabilitas union A dan B
P A B P A P B P A B
P A B P A P B P A B
• Definisikan ruang sampel dari diagram venn diatas ?• Definisikan kejadian/event dari A ?• Definisikan kejadian/event dari B ?• Definisikan joint kejadian A dan B ?• Definisikan union kejadian A dan B ?
probabilitas joint A dan B
probabilitas union A dan B
P A B P A P B P A B
P A B P A P B P A B
STATISTIKA UNIPA SBY
• Berapa probabilitas mobil perlu perbaikan pada 90 hari pertamapemakaian ?
• Berapa probabilitas mobil yang diproduksi di USA perlu perbaikanpada 90 hari pertama pemakaian ?
• Berapa probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan yang tidakmemerlukan perbaikan?
• Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan mobil yang diproduksidi USA
Lokasiproduksi mobil
Perlu perbaikan dalam 90 haripertama pemakaian
Jumlah
Ya Tidak
US 7 293 300
Non US 13 187 20020 480 500
• Berapa probabilitas mobil perlu perbaikan pada 90 hari pertamapemakaian ?
• Berapa probabilitas mobil yang diproduksi di USA perlu perbaikanpada 90 hari pertama pemakaian ?
• Berapa probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan yang tidakmemerlukan perbaikan?
• Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan mobil yang diproduksidi USA
STATISTIKA UNIPA SBY
PROBABILITAS BERSYARAT
Probabilitas Bersyarat P A|B , menyatakan probabilitas A
bila diketahui B, A dan B adalah kejadian acak.
|
Probabilitas Bersyarat P B|A , menyatakan probabilitas B
bila diketahui A, A dan B adal
P A BP A B
P B
ah kejadian acak.
|P B A
P B AP A
Probabilitas Bersyarat P A|B , menyatakan probabilitas A
bila diketahui B, A dan B adalah kejadian acak.
|
Probabilitas Bersyarat P B|A , menyatakan probabilitas B
bila diketahui A, A dan B adal
P A BP A B
P B
ah kejadian acak.
|P B A
P B AP A
STATISTIKA UNIPA SBY
Contoh :
Ruang sampel 1, 2, 3, 4, 5, 6
1, 2, 3, 4, 5
2, 4, 6
maka |
1, 2, 3, 4
maka |
2, 3, 4
maka |
S
A P A
B P B
P A B
P A B
C P C
P C B
P C B
D P D
P D B
P D B
Contoh :
Ruang sampel 1, 2, 3, 4, 5, 6
1, 2, 3, 4, 5
2, 4, 6
maka |
1, 2, 3, 4
maka |
2, 3, 4
maka |
S
A P A
B P B
P A B
P A B
C P C
P C B
P C B
D P D
P D B
P D B
STATISTIKA UNIPA SBY
P(A) = probabilitas menderita penyakit paru-paru
P(B) = probabilitas seseorang merokok
P(A = ya |B = ya) = 0,3/0,4 = 0,75
P(B = ya|A= ya) = 0,3/0,55 = 0,55
Paru-ParuMerokok
P(B)ya tidak
ya 0,3 0,1 0,4tidak 0,25 0,35 0,6p(A) 0,55 0,45 1
P(A) = probabilitas menderita penyakit paru-paru
P(B) = probabilitas seseorang merokok
P(A = ya |B = ya) = 0,3/0,4 = 0,75
P(B = ya|A= ya) = 0,3/0,55 = 0,55
STATISTIKA UNIPA SBY
VARIABEL RANDOM- variabel random : fungsi yang memetakan setiap anggota ruang
sampel ke bilangan real.* variabel random diskrit : variabel random yang menjalani bilangan
bulat* variabel random kontinu : variabel random yang menjalani
bilangan real
Variabel Random Diskrit
0
1
( )x A
x A
f x
f x
P x A f x
DISTRIBUSI PELUANG DARI VARIABEL RANDOM
Variabel Random Diskrit
0
1
( )x A
x A
f x
f x
P x A f x
DISTRIBUSI PELUANG DARI VARIABEL RANDOM
STATISTIKA UNIPA SBY
4
Variabel Random Diskrit
X adalah variabel random yang bertipe diskrit dengan ruang sampel
S = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4 . ( ) dimana
4! 1 ( ) , S
!(4 )! 2
A
P A f x
f x xx x
DISTRIBUSI PELUANG DARI VARIABEL RANDOM
.
Jika A = x ; x = 0,1 maka P(x A) ?
4
Variabel Random Diskrit
X adalah variabel random yang bertipe diskrit dengan ruang sampel
S = x ; x = 0, 1, 2, 3, 4 . ( ) dimana
4! 1 ( ) , S
!(4 )! 2
A
P A f x
f x xx x
DISTRIBUSI PELUANG DARI VARIABEL RANDOM
.
Jika A = x ; x = 0,1 maka P(x A) ?STATISTIKA UNIPA SBY
A
Variabel random kontinu
Jika S adalah ruang sampel dari variabel random X
dan fungsi himpunan peluang P(A) didefinisikan
sebagai :
P(A) = P(X A) =
Contoh 1:
X adalah variabel random dengan fungsi h
f x
2
A
1
2
impunan
3peluang P(A), P(A) = dimana .
8
1;0 2 .Tentukan peluang A ;0
2
dan A ;1 2 yang merupakan himpunan bagian dari A.
xf x dx f x dx
x A x x x x
x x
A
Variabel random kontinu
Jika S adalah ruang sampel dari variabel random X
dan fungsi himpunan peluang P(A) didefinisikan
sebagai :
P(A) = P(X A) =
Contoh 1:
X adalah variabel random dengan fungsi h
f x
2
A
1
2
impunan
3peluang P(A), P(A) = dimana .
8
1;0 2 .Tentukan peluang A ;0
2
dan A ;1 2 yang merupakan himpunan bagian dari A.
xf x dx f x dx
x A x x x x
x x
STATISTIKA UNIPA SBY
Latihan Soal
1. Fungsi himpunan dari dua variabel random X dan Y
1 , dimana ( , ) ,
52
, , ; , 0,1 , 0,2 ,..., 0,13 , 1,1 ,..., 1,13 ,..., 3,13
Hitunglah ,
a). A = x,y ; , 0, 4 , 1,3 , 2,2
AP A f x y f x y
x y S x y x y
P A P X Y A
x y
1 2 1 2
2 1
b). A = x,y ; 4, x,y
2. X adalah variabel random dengan ruang sampel S = ;0 1
1 1 jika A ;0 dan A ; 1 , A dan A himpunan
2 2
1 bagian dari S. Hitunglah P(A ) jika P(A )
x y S
x x
x x x x
.4
1. Fungsi himpunan dari dua variabel random X dan Y
1 , dimana ( , ) ,
52
, , ; , 0,1 , 0,2 ,..., 0,13 , 1,1 ,..., 1,13 ,..., 3,13
Hitunglah ,
a). A = x,y ; , 0, 4 , 1,3 , 2,2
AP A f x y f x y
x y S x y x y
P A P X Y A
x y
1 2 1 2
2 1
b). A = x,y ; 4, x,y
2. X adalah variabel random dengan ruang sampel S = ;0 1
1 1 jika A ;0 dan A ; 1 , A dan A himpunan
2 2
1 bagian dari S. Hitunglah P(A ) jika P(A )
x y S
x x
x x x x
.4
STATISTIKA UNIPA SBY
• Variabel random diskrit variabel random yang dapat
memiliki nilai bilangan bulat.
• Distribusi probabilitas variabel random diskrit adalah suatu
variabel random yang mencantumkan semua kemungkinan
nilai dari variabel random diskrit tersebut dan berpasangan
dengan nilai probabilitasnya.
• Variabel random diskrit variabel random yang dapat
memiliki nilai bilangan bulat.
• Distribusi probabilitas variabel random diskrit adalah suatu
variabel random yang mencantumkan semua kemungkinan
nilai dari variabel random diskrit tersebut dan berpasangan
dengan nilai probabilitasnya.
STATISTIKA UNIPA SBY
Contoh :
Dari 10 orang mahasiswa diketahui ada 4 yang suka matakuliah
strategi kognitif. Seorang dosen akan menguji 3 orang mahasiswa
yang dipilih secara random. Tentukan distribusi probabilitas dari
X, dimana X adalah banyak mahasiswa yang suka matakuliah
strategi kognitif. Carilah distribusi probabilitas dari mahasiswa
yang suka matakuliah strategi kognitif.
Contoh :
Dari 10 orang mahasiswa diketahui ada 4 yang suka matakuliah
strategi kognitif. Seorang dosen akan menguji 3 orang mahasiswa
yang dipilih secara random. Tentukan distribusi probabilitas dari
X, dimana X adalah banyak mahasiswa yang suka matakuliah
strategi kognitif. Carilah distribusi probabilitas dari mahasiswa
yang suka matakuliah strategi kognitif.
STATISTIKA UNIPA SBY
• Penyelesaian :
120
20
)1234567)(123(
12345678910)123)(123(
123456
)1234(1
1234
!7!3
!10!3!3
!6
!4!0
!4
)(103
63
40
1
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxx
xxxxx
xxx
xxx
C
CCxf
103
60
43
4)(C
CCxf
4 6 4 6
1 2 2 12 310 10
3 3
;C C C C
f x f xC C
120
20
)1234567)(123(
12345678910)123)(123(
123456
)1234(1
1234
!7!3
!10!3!3
!6
!4!0
!4
)(103
63
40
1
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxx
xxxxx
xxx
xxx
C
CCxf
STATISTIKA UNIPA SBY
Distribusi Probabilitas Mahasiswa
Distribusi Probabilitas khusus diskrit antara lain :– Distribusi Bernoulli– Distribusi Binomial– Distribusi Poisson
Distribusi Probabilitas Mahasiswa
Distribusi Probabilitas khusus diskrit antara lain :– Distribusi Bernoulli– Distribusi Binomial– Distribusi Poisson
STATISTIKA UNIPA SBY
Distribusi Bernoulli• Variabel random X berdistribusi Bernoulli dengan parameter
θ, berikut fungsi probabilitas bernoulli :
dimanax : variabel random memperoleh suksesθ : probabilitas suksesDistribusi Bernoulli mempunyai mean dan varians
1,0;10;)1();( 1 xxf xx
• Variabel random X berdistribusi Bernoulli dengan parameterθ, berikut fungsi probabilitas bernoulli :
dimanax : variabel random memperoleh suksesθ : probabilitas suksesDistribusi Bernoulli mempunyai mean dan varians
)1(2 STATISTIKA UNIPA SBY
• Suatu soal ujian pilihan ganda yang terdiri dari 10 soal dan
tiap soal mempunyai pilihan jawaban 4. Dari setiap item soal
ada satu pilihan jawaban yang benar. Jika setiap jawaban
yang benar tadi diberi nilai 1, maka berapakah probabilitasnya
seorang siswa akan mendapatkan nilai 5 atau lebih, jika siswa
tersebut tidak belajar (menjawab dengan coba-coba).
• Suatu soal ujian pilihan ganda yang terdiri dari 10 soal dan
tiap soal mempunyai pilihan jawaban 4. Dari setiap item soal
ada satu pilihan jawaban yang benar. Jika setiap jawaban
yang benar tadi diberi nilai 1, maka berapakah probabilitasnya
seorang siswa akan mendapatkan nilai 5 atau lebih, jika siswa
tersebut tidak belajar (menjawab dengan coba-coba).
10
5
1010 )25,01()25,0()5(i
xxxCxP
STATISTIKA UNIPA SBY
Distribusi Binomial• Variabel random X berdistribusi Binomial dengan parameter n
dan p, ditulisjika X mempunyai fungsi distribusi probabilitas :
Distribusi binomial mempunyai mean dan varians
dimana :x : variabel random yang menyatakan banyaknya suksesp : probabilitas suksesn : banyak percobaan
),(~ pnBX
nxpppx
npnxf xnx ,...,2,1,0;10;)1(),;(
• Variabel random X berdistribusi Binomial dengan parameter ndan p, ditulisjika X mempunyai fungsi distribusi probabilitas :
Distribusi binomial mempunyai mean dan varians
dimana :x : variabel random yang menyatakan banyaknya suksesp : probabilitas suksesn : banyak percobaan
nxpppx
npnxf xnx ,...,2,1,0;10;)1(),;(
np)1(2 pnp
STATISTIKA UNIPA SBY
• Contoh :
Suatu pemilihan umum / pemilu yang diikuti oleh partai
demokrat dan golkar, yang mana dilaksanakan dalam 3
putaran. Misalkan peluang partai demokrat memenangkan
pemilu adalah 0,5. Berapa probabilitas partai demokrat
memenangkan pemilu sebanyak 3 kali.
• Contoh :
Suatu pemilihan umum / pemilu yang diikuti oleh partai
demokrat dan golkar, yang mana dilaksanakan dalam 3
putaran. Misalkan peluang partai demokrat memenangkan
pemilu adalah 0,5. Berapa probabilitas partai demokrat
memenangkan pemilu sebanyak 3 kali.
STATISTIKA UNIPA SBY
Probabilitas kiriman paket dari suatu biro perjalanan akan
sampai tepat waktu adalah 0,8. jika kita mengirim lewat biro
tersebut 10 kali,
• Berapa probabilitas bahwa 6 diantaranya akan sampai tepat
waktu ?
• Berapa rata-rata dan varians bahwa 6 diantaranya akan
sampai tepat waktu ?
Probabilitas kiriman paket dari suatu biro perjalanan akan
sampai tepat waktu adalah 0,8. jika kita mengirim lewat biro
tersebut 10 kali,
• Berapa probabilitas bahwa 6 diantaranya akan sampai tepat
waktu ?
• Berapa rata-rata dan varians bahwa 6 diantaranya akan
sampai tepat waktu ?
STATISTIKA UNIPA SBY
Misalkan diketahui bahwa pengobatan baru berhasil dalam
menyembuhkan otot nyeri pada 50% kasus. Jika diuji coba pada
15 pasien, Tentukan probabilitas bahwa:
• Paling banyak 6 pasien akan sembuh. 0,304
• Jumlah sembuh akan ada lebih dari 6 dan tidak lebih
dari 10. 0,79
Misalkan diketahui bahwa pengobatan baru berhasil dalam
menyembuhkan otot nyeri pada 50% kasus. Jika diuji coba pada
15 pasien, Tentukan probabilitas bahwa:
• Paling banyak 6 pasien akan sembuh. 0,304
• Jumlah sembuh akan ada lebih dari 6 dan tidak lebih
dari 10. 0,79
STATISTIKA UNIPA SBY
Distribusi Poisson• Percobaan yang menghasilkan variabel random X yang bernilai
numerik, yaitu banyaknya sukses waktu terentu atau dalamdaerah tertentu.
• Variabel random X berdistribusi Poisson dengan parameter λ
jika X mempunyai fungsi distribusi probabilitas :
Distribusi poisson mempunyai mean dan varians
)(~ PX
• Percobaan yang menghasilkan variabel random X yang bernilainumerik, yaitu banyaknya sukses waktu terentu atau dalamdaerah tertentu.
• Variabel random X berdistribusi Poisson dengan parameter λ
jika X mempunyai fungsi distribusi probabilitas :
Distribusi poisson mempunyai mean dan varians
0;!
);(
x
xexf
x
2STATISTIKA UNIPA SBY
• Perusahaan telepon memberikan 1000 pilihan pesawat
telepon (sebagai kombinasi warna, type, fungsi, dll). Sebuah
perusahaan membuka cabang baru dan tersedia 200
sambungan telpon dimana setiap karyawan boleh memilih
pesawat telepon sesuka hatinya. Asumsikan bahwa ke-1000
pilihan tersebut adalah equally likely. Berapa probabilitas
bahwa sebuah pilihan tidak dipilih, dipilih oleh seorang, dua
orang atau tiga orang karyawan?
• Perusahaan telepon memberikan 1000 pilihan pesawat
telepon (sebagai kombinasi warna, type, fungsi, dll). Sebuah
perusahaan membuka cabang baru dan tersedia 200
sambungan telpon dimana setiap karyawan boleh memilih
pesawat telepon sesuka hatinya. Asumsikan bahwa ke-1000
pilihan tersebut adalah equally likely. Berapa probabilitas
bahwa sebuah pilihan tidak dipilih, dipilih oleh seorang, dua
orang atau tiga orang karyawan?STATISTIKA UNIPA SBY
• Variabel random kontinu : variabel random yang menjalani bilangan
real.
• Distribusi probabilitas variabel random kontinu : berupa sembarang
nilai pada suatu interval yang diamati.
• Distribusi probabilitas f(x) atau P(a x b) adalah sama dengan luas
di bawah kurva antara a dan b.
• Distribusi Probabilitas khusus kontinyu antara lain :
– Distribusi Uniform
– Distribusi Normal
– Distribusi Eksponensial
– Distribusi Chi-Square
– Distribusi Gamma
• Variabel random kontinu : variabel random yang menjalani bilangan
real.
• Distribusi probabilitas variabel random kontinu : berupa sembarang
nilai pada suatu interval yang diamati.
• Distribusi probabilitas f(x) atau P(a x b) adalah sama dengan luas
di bawah kurva antara a dan b.
• Distribusi Probabilitas khusus kontinyu antara lain :
– Distribusi Uniform
– Distribusi Normal
– Distribusi Eksponensial
– Distribusi Chi-Square
– Distribusi Gamma
STATISTIKA UNIPA SBY
DISTRIBUSI UNIFORM
22
Fungsi Probabilitas :
1;
0 ;
Mean dari distribusi uniform adalah2
dan varians12
a x bf x b a
x yang lain
a b
b a
22
Fungsi Probabilitas :
1;
0 ;
Mean dari distribusi uniform adalah2
dan varians12
a x bf x b a
x yang lain
a b
b a
STATISTIKA UNIPA SBY
• Contoh :
Jika diketahui x variabel random dengan distribusi uniform (1,6), maka
p(2< x < 4) = ….
• Contoh :
Jika diketahui x variabel random dengan distribusi uniform (1,6), maka
p(2< x < 4) = ….STATISTIKA UNIPA SBY
• Jika x variabel random dengan distribusi uniform (0,10). Tentukan
nilai
– P(x < 3) = …
– P(x > 6) = …
– P( 3 < x < 8) = …
STATISTIKA UNIPA SBY
DISTRIBUSI NORMAL• Variabel random X berdistribusi normal dengan mean dan varians ,
jika X mempunyai fungsi probabilitas :
• Merupakan salah satu distribusi probabilitas variabel random
kontinu yang terpenting dalam statistika adalah distribusi normal
(Gauss), yaitu variabel random yang berasal dari proses random
dengan satu titik pemusatan dan menyebar disekitar titik
pemusatan tersebut secara simetris.
0;;2
1),;(
2
2
1
2
x
exf
• Variabel random X berdistribusi normal dengan mean dan varians ,
jika X mempunyai fungsi probabilitas :
• Merupakan salah satu distribusi probabilitas variabel random
kontinu yang terpenting dalam statistika adalah distribusi normal
(Gauss), yaitu variabel random yang berasal dari proses random
dengan satu titik pemusatan dan menyebar disekitar titik
pemusatan tersebut secara simetris.
STATISTIKA UNIPA SBY
• Distribusi normal dengan rata-rata (μ)=0 dan standart deviasi
(σ)=1.
• Nilai Z adalah angka yang penyimpangan suatu nilai variabel
x dari rata-rata (μ) yang dihitung dalam satuan σ.
xZ
• Distribusi normal dengan rata-rata (μ)=0 dan standart deviasi
(σ)=1.
• Nilai Z adalah angka yang penyimpangan suatu nilai variabel
x dari rata-rata (μ) yang dihitung dalam satuan σ.
STATISTIKA UNIPA SBY
Jika diketahui sekumpulan data nilai mata kuliah “Pengantar Probabilitas”
berdistribusi normal dan rata-rata nilai 56 dan simpangan baku 6, maka
carilah :
a. Probabilitasnya mahasiswa akan mendapatkan nilai kurang dari 60.
b. Probabilitasnya mahasiswa akan mendapatkan nilai lebih dari 60.
c. Probabilitasnya mahasiswa akan mendapatkan nilai antara 65 sampai
dengan 76.
Jika diketahui sekumpulan data nilai mata kuliah “Pengantar Probabilitas”
berdistribusi normal dan rata-rata nilai 56 dan simpangan baku 6, maka
carilah :
a. Probabilitasnya mahasiswa akan mendapatkan nilai kurang dari 60.
b. Probabilitasnya mahasiswa akan mendapatkan nilai lebih dari 60.
c. Probabilitasnya mahasiswa akan mendapatkan nilai antara 65 sampai
dengan 76.
STATISTIKA UNIPA SBY
DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
• Digunakan untuk melakukan perkiraan atau prediksi dengan hanya
membutuhkan perkiraan rata-rata populasi
0
0
Distribusi ekponensial dengan parameter ,
dengan fungsi probabilitas
jika 0
0 jika 0
1 0
x
ax
ax
a
e xf x
x
P x a e dx
e
e a
0
0
Distribusi ekponensial dengan parameter ,
dengan fungsi probabilitas
jika 0
0 jika 0
1 0
x
ax
ax
a
e xf x
x
P x a e dx
e
e a
STATISTIKA UNIPA SBY
• Jika x suatu variabel random berdistribusi ekponensial dengan
parameter λ = 1/10. Tentukan
– P(x > 10) = …
– P( 10 < x < 20) = …
• Diketahui kedatangan pengunjung di minimarket “A” berdistribusi
eksponensial dengan rata-rata meningkat dari biasanya menjadi 8,4
menit dalam 35 menit. Berapa probabilitas kedatangan pengunjung
dalam selang waktu 8 menit atau lebih?
• Diketahui kedatangan pengunjung di minimarket “A” berdistribusi
eksponensial dengan rata-rata meningkat dari biasanya menjadi 5,8
menit dalam 50 menit. Berapa probabilitas kedatangan pengunjung
dalam selang waktu 15 menit atau kurang?
• Jika x suatu variabel random berdistribusi ekponensial dengan
parameter λ = 1/10. Tentukan
– P(x > 10) = …
– P( 10 < x < 20) = …
• Diketahui kedatangan pengunjung di minimarket “A” berdistribusi
eksponensial dengan rata-rata meningkat dari biasanya menjadi 8,4
menit dalam 35 menit. Berapa probabilitas kedatangan pengunjung
dalam selang waktu 8 menit atau lebih?
• Diketahui kedatangan pengunjung di minimarket “A” berdistribusi
eksponensial dengan rata-rata meningkat dari biasanya menjadi 5,8
menit dalam 50 menit. Berapa probabilitas kedatangan pengunjung
dalam selang waktu 15 menit atau kurang?
STATISTIKA UNIPA SBY
Distribusi Bersama / Joint Probability danDistribusi Marginal Variabel Random Diskrit
Gangga AnuragaSTATISTIKA UNIPA SBY
DEFINISI Jika terdapat dua variabel random X dan Y, maka distribusi peluang
terjadinya X dan Y secara serentak dinyatakan dengan fungsi (X, Y).
Fungsi (X, Y) disebut dengan Distribusi Bersama / Distribusi
Peluang Gabungan / Joint Distribution Function X dan Y.
STATISTIKA UNIPA SBY
DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABELRANDOM DISKRIT
Variabel random X dan Y dikatakan variabel random diskrit
berdimensi dua jika nilai-nilai dari X dan Y merupakan nilai-nilai yang
berhingga.
STATISTIKA UNIPA SBY
Contoh :
Jika 3 bola akan dipilih secara acak dari 3 bola bewarna merah, 4
bewarna putih, 5 bewarna biru. Dan diketahui X adalah jumlah bola
merah yang terpilih, Y jumlah bola putih yang terpililh. Fungsi
peluang gabungan dari X dan Y, didefinisikan sebagai berikut p(i,j) =
P(X=I, Y=j). Hitung nilai peluang, P(X=I, Y=j) ?
Contoh :
Jika 3 bola akan dipilih secara acak dari 3 bola bewarna merah, 4
bewarna putih, 5 bewarna biru. Dan diketahui X adalah jumlah bola
merah yang terpilih, Y jumlah bola putih yang terpililh. Fungsi
peluang gabungan dari X dan Y, didefinisikan sebagai berikut p(i,j) =
P(X=I, Y=j). Hitung nilai peluang, P(X=I, Y=j) ?
STATISTIKA UNIPA SBY
Distribusi Marginal Variabel Random Diskrit Bila distribusi peluang f(X, Y) dari variabel random diskrit maka
distribusi peluang marginal X adalah g (X) dan Y adalah h (Y).
STATISTIKA UNIPA SBY
DISTRIBUSI GABUNGAN VARIABEL RANDOMKONTINYU BERDIMENSI DUA
Variabel random X dan Y dikatakan variabel random kontinyu
berdimensi dua jika nilai-nilai dari X dan Y merupakan nilai-nilai yang
berupa interval.
Variabel random X dan Y dikatakan variabel random kontinyu
berdimensi dua jika nilai-nilai dari X dan Y merupakan nilai-nilai yang
berupa interval.
STATISTIKA UNIPA SBY
Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Kontinnu :
1. , 0, untuk semua x, y
2. , 1
3. , ,
untuk setiap daerah A di bidang xy. A merupakan
himpunan bagi
A
f x y
f x y dx dy
P x y A f x y dx dy
an dari daerah asal X dan Y.
Contoh 5.2 :
Jika diketahui fungsi padat gabungan / fungsi densitas gabungan
variabel random X dan Y adalah :
1,
8Hitunglah peluang P 0 x 1,1 y 2 ?
f x y x y
Sifat - sifat Fungsi Peluang Gabungan Variabel Random Kontinnu :
1. , 0, untuk semua x, y
2. , 1
3. , ,
untuk setiap daerah A di bidang xy. A merupakan
himpunan bagi
A
f x y
f x y dx dy
P x y A f x y dx dy
an dari daerah asal X dan Y.
Contoh 5.2 :
Jika diketahui fungsi padat gabungan / fungsi densitas gabungan
variabel random X dan Y adalah :
1,
8Hitunglah peluang P 0 x 1,1 y 2 ?
f x y x y
STATISTIKA UNIPA SBY
DISTRIBUSI MARGINAL VARIABEL RANDOM KONTINU
Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random kontinu X dan Y,
maka distribusi marginal X adalah g x dan Y adalah h y .
,
,
Berdasarkan contoh 5.2, tentukan distribusi peluang margina
y
x
g x f x y dy
h y f x y dx
l X
dan distribusi peluang marginal Y?
Bila distribusi peluang f x, y dari variabel random kontinu X dan Y,
maka distribusi marginal X adalah g x dan Y adalah h y .
,
,
Berdasarkan contoh 5.2, tentukan distribusi peluang margina
y
x
g x f x y dy
h y f x y dx
l X
dan distribusi peluang marginal Y?
STATISTIKA UNIPA SBY
DISTRIBUSI PELUANG BERSYARAT
1 22 1 1 1
1 1
1 22 1 1 1 2 2 2
2 2
1 2 2
DEFINISI :
,| , 0 disebut f.d.p bersyarat
,dari x bila diketahui X , sejalan | , 0
disebut f.d.p bersyarat dari x bila diketahui X .
f x xf x x f x
f x
f x xx f x x f x
f x
x
1 22 1 1 1
1 1
1 22 1 1 1 2 2 2
2 2
1 2 2
DEFINISI :
,| , 0 disebut f.d.p bersyarat
,dari x bila diketahui X , sejalan | , 0
disebut f.d.p bersyarat dari x bila diketahui X .
f x xf x x f x
f x
f x xx f x x f x
f x
x
STATISTIKA UNIPA SBY
1 2
1 21 2 1 2
1 2
Contoh :
Jika diketahui fungsi peluang gabungan
dari variabel random x dan x dengan f.d.p
sebagai berikut :
, , 1, 2,3 ; 1,221
0 , untuk , yang lain
cari terlebih dahulu f.d.p margin
x xf x x x x
x x
1 2
1 2 2 1
al untuk dan
kemudian tentukan | dan |
x x
f x x f x x
1 2
1 21 2 1 2
1 2
Contoh :
Jika diketahui fungsi peluang gabungan
dari variabel random x dan x dengan f.d.p
sebagai berikut :
, , 1, 2,3 ; 1,221
0 , untuk , yang lain
cari terlebih dahulu f.d.p margin
x xf x x x x
x x
1 2
1 2 2 1
al untuk dan
kemudian tentukan | dan |
x x
f x x f x x
STATISTIKA UNIPA SBY
DISTRIBUSI PELUANG BERSYARAT UNTUKVARIABEL RANDOM KONTINU
1 2
1 2 1 2
1 2 2 1
Contoh :
Misalkan x dan x mempunyai f.d.p :
f x , x 2 ,0 x x 1
0 , untuk yang lain
cari terlebih dahulu f.d.p marginalnya
kemudian tentukan | dan |f x x f x x
1 2
1 2 1 2
1 2 2 1
Contoh :
Misalkan x dan x mempunyai f.d.p :
f x , x 2 ,0 x x 1
0 , untuk yang lain
cari terlebih dahulu f.d.p marginalnya
kemudian tentukan | dan |f x x f x x
STATISTIKA UNIPA SBY
top related