stat0_normal1 連續隨機變數 連續變數:時間、分數、重量、 ……...
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STAT0_normal 1
連續隨機變數 連續變數:時間、分數、重量、…… 討論連續隨機變數的機率時,所討論的機率是某一段
區間或某一塊區域的機率,如: P(a<X<a) 而不是某一點的機率,因為 P(X=a) = 0 依據什麼來求機率值? 資料的分布以直方圖表示
STAT0_normal 2
Frequency Table for trout length
組界midpoin
tFrequen
cy
Relative Frequen
cy
Cumulative
frequency r.c.f.
below 17.55
16.95 3 0.050 3 0.050
17.55 - 18.75
18.15 8 0.133 11 0.183
18.75 - 19.95
19.35 23 0.383 34 0.567
19.95 - 21.15
20.55 17 0.283 51 0.850
21.15 - 22.35
21.75 6 0.100 57 0.950
22.35 - 23.55
22.95 3 0.050 60 1.000
STAT0_normal 3
9.1 連續分配
曲線的高度代表相對發生機會 (density)
連續曲線下方介於 a 與 b 之間的面積,即是其可能值出現在 a 與 b 之間的機率。
曲線下全面積 = 1
直方圖 → 連續曲線 → 機率密度函數 (probability density function)
P (a<X<b)
→
STAT0_normal 4
9.2 常態分布 常態曲線的數學方程式為
xexfx
- ,)(2
21 )(
21
• 常態分布 pdf 的圖形是一個鐘型曲線,中心點為 μ ,左右對稱
STAT0_normal 5
常態分布由兩個參數決定 μ :平均數, σ :標準差,記作 N(μ, σ2 )
不論參數如何變,形狀都是鐘形,中心點是 μ , σ 是寬度的代表值
μ 不同σ 相同
μ 相同σ 不同
μ 不同σ 不同
STAT0_normal 6
常態分布之機率密度函數
μ= 0 , σ= 1 時,稱為標準常態分布,此變數通常記作 Z
如何求機率值?
N(μ, σ2 ) 之 pdf
STAT0_normal 7
標準常態分布表
附表 I :標準常態分配曲線下方, z = 0 與其他 z 值之間的面積 ( 機率值 )
P(0<Z<z)
STAT0_normal 8
P(0<Z<0.53) = ?
小數第二位標準常態機率值表, P(0<Z<z) (z-table)
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
0.00.000
0 0.004
0 0.008
0 0.012
0 0.016
0 0.019
9 0.023
9 0.027
9 0.031
9 0.035
9
0.10.039
8 0.043
8 0.047
8 0.051
7 0.055
7 0.059
6 0.063
6 0.067
5 0.071
4 0.075
3
0.20.079
3 0.083
2 0.087
1 0.091
0 0.094
8 0.098
7 0.102
6 0.106
4 0.110
3 0.114
1
0.30.117
9 0.121
7 0.125
5 0.129
3 0.133
1 0.136
8 0.140
6 0.144
3 0.148
0 0.151
7
0.40.155
4 0.159
1 0.162
8 0.166
4 0.170
0 0.173
6 0.177
2 0.180
8 0.184
4 0.187
9
0.50.191
5 0.195
0 0.198
5 0.201
9 0.205
4 0.208
8 0.212
3 0.215
7 0.219
0 0.222
4
0.60.225
7 0.229
1 0.232
4 0.235
7 0.238
9 0.242
2 0.245
4 0.248
6 0.251
7 0.254
9
0.70.258
0 0.261
1 0.264
2 0.267
3 0.270
4 0.273
4 0.276
4 0.279
4 0.282
3 0.285
2
0.80.288
1 0.291
0 0.293
9 0.296
7 0.299
5 0.302
3 0.305
1 0.307
8 0.310
6 0.313
3
STAT0_normal 9
求標準常態的機率
P(0<Z<0.53) = 0 到 0.53 間的面積利用對稱性求:• P(-0.25<Z<0)• P(-0.25<Z<0.53)• P(Z>0.53)• P(|Z|<0.53)• P(|Z|>0.53)
STAT0_normal 10
介於 -1.20 與 0 之間的面積 = 介於 1.20 與 0 之間的面積查附表 I ,面積 = 0.3849 。
例 9.3 求介於 -1.2 與 0 之間的面積
STAT0_normal 11
範例 9.4 :請找出下列標準常態分配的機率(a) P(Z< 0.94) ; (b) P(Z > -0.65) ; (c) P(Z >1.76) ; (d) P(Z< -0.85) ;
(e) P( -0.87<Z<1.28) ; (e) P( -0.34 <Z< 0.62) 。
STAT0_normal 12
常態分布特性
P(|Z|<1) = ?P(|Z|<2) = ?P(|Z|<3) = ?
STAT0_normal 13
常態變數與 Z 的關係
若 X ~ N (μ, σ2 ), 則 (X-μ) / σ = Z X-μ :資料減 µ ,則中心點為 0 (X-μ) / σ :資料除以 σ ,則單位長度為 1
ZX X
Z
STAT0_normal 14
變數標準化 標準化:
X
Z
STAT0_normal 15
求任一常態變數的機率
若 X 遵循一常態分布, μ= 5 , σ = 2 ,求:• P(5<X<8)• P(7<X)• P(X>3)• P(3<X<9)• P(|X-5|<3)• P(|X-5|>1)
STAT0_normal 16
將 x = 12 與 x = 15 轉換成標準單位,得到 P(12<X<15) = P(0.4 < Z < 1) = 0.3413 - 0.1554 = 0.1859 ( 查附表 I ,得到 0.1554 與 0.3413)
STAT0_normal 17
由機率求得對應的資料 (percentile)
(a) P(Z>a) = 0.2, 問 a= ?(b) 求 Z 之 80 percentile(c) P(Z <b) = 0.7 ,問 b= ?(d) P(|Z|<c) = 0.95 ,問 c= ?(e) P(|Z|>d) =0.10 ,問 d= ?
範例 9.6 :定義 zα 為其右側面積為 α 之 z 值,求
(a) z.01 , (b) z.05
STAT0_normal 18
(a) z 0.01 表示附表 I 的數值為 0.5 - 0.01 = 0.49 ,
0.4901 對應的 z 值為 2.33 ,所以 z0.01 = 2.33 。 z0.05 表示附表 I 當中的數值為 0.4500 ,
最接近的數值,有 0.4495 與 0.4505 , 對應的 z 值分別為 1.64 與 1.65 ,所以 z0.05 = 1.645 。
STAT0_normal 19
求機率對應的 x 值
若 X 遵循一常態分布, μ= 5 , σ = 2 ,• P(X>x)=0.05 , x=?• P(x<X)=0.75, x=?• P(X<x) = 0.2, x=?• P(|X-5|<x)=0.9, x=?• P(|X-5|>x)=0.95, x=?
STAT0_normal 20
9.4 常態分配的應用
STAT0_normal 21
(a) x = 5 , z = 1.10 ,其對應值(機率)為 0.3643 , 超過 5 的機率 = 0.5000 - 0.3643 = 0.1357 ,或大
約 0.14 。
(b) x = 3 與 4 , z = 2.29 與 z = 0.59 ,對應機率為 0.
4890 與 0.2224 , 介於 3 與 4 的機率為 0.4890 - 0.2224 = 0.2666 ,
或大約 0.27 。
STAT0_normal 22
σ= 0.04 、 x = 6.00 ,面積 = 2%
最接近的數值是 0.4798
對應的 z 值為 2.05
解方程式,得 μ= 6.00 + 2.05(0.04) = 6.082
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