sistema numérico
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UNIDAD I SISTEMAS NUMERICOS
OBJETIVO
Comprender la representación numérica de los sistemas: decimal, binario y
sexagesimal y discutir los métodos de conversión entre los sistemas de nuestro
interés.
MAPA CONCEPTUAL
TEMARIO
UNIDAD 1. SISTEMA NUMERICO
1.1 Sistema binario
1.2 Sistema sexagesimal
1.3 Aplicaciones prácticas
INTRODUCCION
A lo largo de la evolución del hombre, la necesidad de contar ha sido
indispensable. Muchos utilizaron sus dedos de las manos y de los pies como
instrumento de cálculo, contando así hasta veinte. Con los sistemas de
numeración tenemos una manera simbólica, distinta de la escritura ordinaria,
para representar a los números.
Un sistema de numeración no es más que un conjunto de símbolos y reglas de
generación que permiten construir todos los números válidos en el sistema y
aunque distintas culturas adoptaron sistemas de numeración propios, el sistema
decimal indoarábigo que, como su nombre lo indica, tiene por base al diez es
usado en la mayor parte de los países. En todos ellos se observa un método
común. Básicamente, éste consiste en cambiar el símbolo o su posición al
alcanzar un valor determinado, añadir nuevas unidades hasta volver a alcanzar
ese valor, agregar entonces un símbolo de segundo orden y así sucesivamente.
El valor que se toma como referencia recibe el nombre de base del sistema de
numeración, que en caso de los sistemas decimales es el 10.
Según las reglas que se sigan para representar los números, los sistemas de
numeración se dividen en posicionales y no posicionales.
En los sistemas posicionales, el valor de los símbolos que componen el sistema
depende del valor que se les ha asignado, y de la posición que ocupan en el
número (Ejemplo; Números decimales, sistema babilonio, sistema binario,
sistema maya).
En los sistemas no posicionales: El valor de los símbolos que componen el
sistema es fijo, y no depende de la posición que ocupa el símbolo dentro del
número (Ejemplo; Números romanos, número egipcios, número chinos)
El sistema de numeración que empleamos es el DECIMAL, pues está formado
por 10 símbolos. (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) y las reglas que los vinculan: cada
unidad está formada por diez unidades del orden inferior, es decir 1 decena
está formada por 10 unidades simples; 1 centena por 10 decenas; 1 unidad de
mil por 10 centenas; etc.
Ejemplo: en el número 4.876, el 6 ocupa el lugar de las unidades simples, el 7
el de las decenas, el 8 el de las centenas y el 4 el de las unidades de mil. Si
cambiamos el orden de las cifras cambia el valor del número. Así 6.487 será
distinto que 4.876.
Esto no sucede de la misma forma en un sistema no posicional, por ejemplo el
romano, el número XV representa al 15 y si permutamos los símbolos VX, no
obtenemos ningún nuevo número. Estos sistemas son denominados ADITIVOS.
El romano, CCCXXIV y el decimal, 324.
Podemos observar que, un sistema del tipo aditivo es sencillo de interpretar,
sólo se necesitan sumar los valores de los símbolos utilizados. Pero requieren
de gran cantidad de símbolos para representar números mayores.
El posicional, es más económico, con sólo diez símbolos podemos continuar la
serie numérica indefinidamente. El número 324 , está formado por 300+ 20+ 4.
Esta unidad tiene como fin presentar otros sistemas posicionales con
bases distintas al diez. El sistema binario, es uno de ellos, el cual tiene gran
importancia en el lenguaje de las computadoras y el sistema sexagesimal,
utilizado en el cálculo de ángulos y el tiempo.
1.1 SISTEMA BINARIO
OBJETIVO:
Conocer el sistema numérico binario y comprender la necesidad de su
nacimiento.
El sistema binario, es un sistema de numeración posicional en el que los
números se representan utilizando solamente dos cifras cero y uno (0 y 1).
Este sistema es muy práctico para los cálculos automatizados con sistemas
electrónicos digitales, pues trabajan internamente con dos niveles de voltaje,
estos dos estados son indispensables para enviar y recibir información.
Notación: Se acostumbra representar los dígitos binarios (bits) de diversas
maneras, dependiendo del
contexto, por ejemplo:
1= encendido = ON = alto = H
0= apagado = OFF = bajo = L
Para comprender el funcionamiento del sistema binario, pondremos un ejemplo
de la vida real:
Actualmente es muy común ver sistemas automatizados, tales como: las
puertas de los supermercados, la iluminación de nuestro hogar, los climas que
se autoregulan, los tinacos que se llenan solos, los semáforos, etc. Todos
éstos avances tecnológicos son gracias a los sistemas digitales que requieren
de únicamente dos valores, el 0 y el 1. Es decir, activado o desactivado.
Para automatizar un sistema, es necesario de tres cosas:
1. Entrada: Se utilizan sensores para indicar la necesidad requerida,
ejemplo, si está oscuro habrá una fotoresistencia quien indicará el nivel
de iluminación ( el 1 indicará la noche y el 0 el día).
2. Una unidad de control: Ahí se procesa la información de entrada, si es de
noche, entonces se activará una lámpara, se envía la información de 1,
caso contrario se apagará, se envía 0.
3. Salida: Se le llama así al actuador, es decir, al dispositivo que deberá
encenderse o apagarse, de acuerdo a la información enviada por el
controlador. Ver Fig. 1.1
Fig. 1.1
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
MODALIDAD ESCOLARIZADO
No aplica
MODALIDAD CUATRIMESTRAL
No aplica
MODALIDAD MIXTO
INVESTIGACION DOCUMENTAL
Investigar las reglas de conversión de un sistema binario a decimal y viceversa
y de un sistema sexagesimal a decimal y viceversa.
1.2 SISTEMA SEXAGESIMAL
OBJETIVO
Comprender el sistema numérico posicional sexagesimal.
El sistema sexagesimal es un sistema posicional que emplea la base 60, los
símbolos permitidos para este sistema son 1,2,3,…,59. Se le denomina
sexagesimal porque 60 unidades de un orden forman 1 unidad del orden
superior.
El sistema sexagesimal también es llamado sistema babilónico, debido a que
tuvo su origen en la antigua Mesopotamia entre los años 2.000 y 3.000 a.C.,
primera civilización con un alto nivel de Matemáticas. Este sistema utilizaba la
cuña para representar unidades del 1 al 10 y la cuña horizontal para
representar las decenas. A partir del número 50, usaba un criterio posicional, es
decir:
En el mundo cotidiano persisten dos aplicaciones muy comunes del sistema
sexagesimal: la medición del tiempo y la medición de ángulos.
Medición del tiempo:
La subdivisión del tiempo: una hora se divide en 60 minutos y un minuto, en 60
segundos. Este sistema horario se combina con el sistema duodecimal, de
base 12, que se emplea para medir el número de horas del día (en dos bloques
de doce horas). Nuevamente, estas subdivisiones tienen valor sólo en el mundo
cotidiano; en el ámbito científico, se trabaja con el segundo como unidad base
de tiempo y con un sistema de numeración decimal, (décimas de segundo,
centésimas,...). Así tenemos que:
Medición del tiempo
1 día = 24 Hras
1 hora = 60 min
1
minuto
= 60 seg
Medición del ángulo:
Se considera a la circunferencia dividida en 360 partes iguales. Cada grado (°),
se considera dividido en 60 partes iguales llamadas minutos (‘) y cada minuto
en 60 partes iguales llamadas segundos (“). Esto es:
Medición de ángulos
1 grado = 60 min
1 minuto = 60 seg
En el Sistema Internacional de unidades, se ha suprimido el grado sexagesimal
como medida estándar para reemplazarlo por el radián.
Para expresar los números en el sistema sexagesimal, se sigue un convenio
que consiste en emplear los números del sistema decimal (de 0 a 59),
separados de dos en dos por comas. Para indicar la coma decimal, se
emplearía un punto y coma sexagesimal. Por ejemplo, el número 45;53;36
corresponde a 45 +53/60 + 30/60² = 45,89 en grados decimal.
Un radián (símbolo rad) se define como un ángulo central cuyo arco mide un
radio de circunferencia. De esta forma, para barrer toda una circunferencia
se necesitan 2π radianes.
Un grado sexagesimal (símbolo º) es la 90ª parte de un ángulo recto,
entendido éste como el que forman dos rectas perpendiculares entre sí. Por
tanto, una circunferencia completa describe un ángulo de 360º.
La equivalencia entre radianes y grados sexagesimales es la siguiente:
2 π rad = 360º
1.3 APLICACIONES PRACTICAS
OBJETIVO
Visualizar las diferentes utilidades que tienen los sistemas numéricos en
nuestra vida cotidiana.
En este capítulo, veremos en dónde se utilizan los sistemas binarios y los
sistemas sexagesimales y las reglas de conversión entre los sistemas binarios-
sistemas decimales y sistemas sexagesimales-sistemas decimales.
Como se vió anteriormente, el sistema binario requiere únicamente de dos
dígitos, 0 y 1. Este sistema es ideal para el uso en sistemas digitales, ya que
éstos están construidos de dispositivos de dos estados (Apagado o Encendido);
por ejemplo, los relevadores, los transistores, interruptores, etc.
Uno de los sistemas digitales más conocidos por nosotros, es la computadora;
éste dispositivo se comunica a través de un lenguaje binario, es decir que para
que trabajen los circuitos que se encuentran dentro de la computadora
requieren de una combinación de 0s y 1s. Por ejemplo: cada vez que pulsamos
una tecla en el teclado de un computador, una combinación de 7 bits únicos son
generados. Esta combinación se guarda en un registro que se puede interpretar
como un número binario. Así, un registro de 7 bits se representará como sigue:
1 0 1 1 0 1 0
Aunque esta representación es indispensable en la computadora para
funcionar, resulta incomprensibles para los seres humanos; razón por la que por
lo general para que un número binario tenga sentido para nosotros, debemos
convertirlo a nuestro sistema numérico, el decimal.
Conversión del sistema binario a decimal:
Como el sistema binario es un sistema posicional; es decir, cada dígito tiene un
valor único, dependiendo del valor que ocupa; para pasar un número de base 2
a base 10 se sigue el mismo procedimiento utilizado en el sistema decimal. A
continuación se mostrarán los pasos necesarios para transformar un número
binario a un número decimal.
Procedimiento:
1. Indicar la posición que ocupan los dígitos binarios, comenzando por la
posición cero en el extremo derecho. Ver tabla 1.1.
2. Anote los pesos o potencias de base 2 correspondientes a las posiciones
de los bits del número a convertir. Ver tabla 1.1.
3. Sumar el valor decimal correspondiente de los valores posicionales de los
binarios 1. Esto, debido a que, el dígito binario 0 genera un valor decimal
igual a cero.
Posición … 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Peso … 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20
Valor decimal…
1024 51225
6128 64
3
216 8 4 2 1
Tabla 1.1.
Ejemplo: Convertir el siguiente número binario 1100112 al decimal.
Siguiendo los pasos, anotamos en primer lugar las posiciones que ocupan los
dígitos del número binario, luego anotamos los pesos únicamente de los dígitos
que son 1 y en donde el dígito sea 0, se escriben ceros. Enseguida se calculan
las potencias de base 2 elevado al exponente indicado. Puede guiarse de la
Tabla 1.1. Esto es:
Posición 5 4 3 2 1 0
Número binario 1 1 0 0 1 1
Peso 25 24 0 0 21 20
Valor decimal3
216 0 0 2 1
Por último se suman los valores decimales resultantes, es decir:
32+16+0+0+2+1=51d
Así,
110011=51d
Otra forma de visualizar la conversión del número binario a decimal es
multiplicando cada dígito del número binario por el número 2 elevado a la
posición que ocupa (comenzando de derecha a izquierda).
Ejemplo : Retomando el mismo número binario del ejemplo 1, tenemos:
110011d=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20
¿1×36+1×16+0×8+0×4+1×2+1×1
¿32+16+2+1
¿51d
Conversión del sistema decimal a binario:
La conversión del sistema decimal a binario, es una operación inversa a la
transformación del sistema binario a decimal; es decir, que se hará una división
en lugar de una multiplicación. Este método se le conoce como “División
Repetida” y se presenta a continuación:
Procedimiento:
1. Dividir el número inicial en base 10 sucesivamente por 2, hasta obtener un
cociente menor que 2.
Si el residuo de la división no es un número entero, se marca un 1 y
se toma el número entero para volver a dividir entre dos.
Si el residuo es un número entero, se marca un cero y se toma el
número para volver a dividir entre dos.
2. Una vez terminadas las divisiones, el resultado se obtiene escribiendo los
residuos de izquierda a derecha en orden decreciente respecto a su
significancia, es decir, primero el más significativo (MSB), hasta el bit
menos significativo (LSB) que se escribe en el extremo derecho.
Ejemplo: Calcular la expresión numérica en binario del número 321d
Solución:
321 ÷ 2 = 160 y sobra 1 - significativo
160 ÷ 2 = 80 y sobra 0
80 ÷ 2 = 40 y sobra 0
40 ÷ 2 = 20 y sobra 0
20 ÷ 2 = 10 y sobra 0
10 ÷ 2 = 5 y sobra 0
5 ÷ 2 = 2 y sobra 1
2 ÷ 2 = 1 y sobra 0
1 ÷ 2 = 0 y sobra 1 + significativo
El número buscado, se lee de abajo hacia arriba, es decir del bit más
significativo al bit menos significativo. Así, tenemos:
321d = 1010000012
Hasta aquí, se ha visto la utilización del sistema binario y las reglas de
conversión para el mejor entendimiento del lenguaje humano y el lenguaje de
las computadoras. A continuación se presenta la importancia que tiene el
aprender el sistema sexagesimal.
Aunque progresivamente ha sido abandonado con el paso del tiempo, el
sistema sexagesimal se utilizó con profusión en el pasado para medir ángulos y
resolver triángulos y funciones trigonométricas. En la actualidad, se sigue
empleando en este contexto, aunque en menor medida. También quedan
vestigios del mismo en el sistema horario de división del tiempo.
En el mundo cotidiano persisten dos aplicaciones muy comunes del sistema
sexagesimal:
La medida de ángulos: en grados, minutos y segundos (por ejemplo
23º15’47’’). En el Sistema Internacional de unidades, se ha suprimido el
grado sexagesimal como medida estándar para reemplazarlo por el
radián.
La subdivisión del tiempo: una hora se divide en 60 minutos y un minuto,
en 60 segundos. Este sistema horario se combina con el sistema
duodecimal, de base 12, que se emplea para medir el número de horas
del día (en dos bloques de doce horas). Nuevamente, estas
subdivisiones tienen valor sólo en el mundo cotidiano; en el ámbito
científico, se trabaja con el segundo como unidad base de tiempo y con
un sistema de numeración decimal, (décimas de segundo, centésimas,...)
Como en la práctica no se usan cantidades sexagesimales «puras», sino
expresadas en unidades y sus fracciones (grados, minutos y segundos para los
ángulos; horas, minutos y segundos para el tiempo), las conversiones
presentan ciertas peculiaridades.
Conversión del sistema sexagesimal a decimal:
Medida del tiempo:
Para pasar de una cantidad de tiempo medido en formato sexagesimal a la
unidad decimal (el segundo), se procede según la siguiente fórmula de
conversión:
h (horas) m (‘) s (‘’) = h × 602 + m × 60 + s (segundos).
Ejemplo: Convertir 2 h 50’ 34’’ a segundos.
Solución:
2 h 50’ 34’’ = 2 × 602 + 50 × 60 + 34 = 10,234 s
Medida de ángulos
En el sistema decimal habitual, los ángulos planos se miden en términos de una
unidad denominada radián. No obstante, es muy frecuente efectuar esta medida
según el sistema de numeración sexagesimal, en grados, minutos y segundos.
Para convertir los grados sexagesimales a grados decimales, se sigue la
siguiente regla:
Grados sexagesimal = grados + (minutos/60) + (segundos/3600)
Ejemplo : Sea una latitud de 74º 21’ 42’’ convertir a grados decimales.
Solución:
74º 21’ 42’’ =74+21/60+42/3600 = 74.3616º decimales.
Conversión de grados decimales a grados sexagesimales :
Medida del tiempo:
El paso inverso, de decimal a sexagesimal, se efectúa del modo siguiente:
1. Dividiendo la cantidad decimal por 602 (3600); el cociente obtenido son las
horas.
2. Dividiendo el resto de la operación anterior por 60; el cociente son los
minutos.
3. El resto de esta segunda operación son los segundos.
Ejemplo: Pasar los 34530 segundos al sistema sexagesimal
1. 2. 3.
30
El resultado es: 34530 = 9h35’30’’
Medida del ángulo:
1. El número que se encuentre antes de la coma indica los grados.
2. Multiplicar el número que esta después de la coma por 60, el número antes
de la coma se convierte en los minutos.
3. Multiplicar el número que está después de la coma por 60, el resultado
corresponde a los segundos.
Ejemplo : Sea una latitud de 345,873º convertirla a grados sexagesimales.
Solución :
1. Los grados corresponde a la parte entera = 345º
2. 0.873x60= 52.38 , la parte entera corresponde a los minutos = 52’
3. 0.38x60=22.8, la parte entera corresponde a los segundos = 22’’
El resultado es:
345,873º = 345º52’22’’
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
MODALIDAD ESCOLARIZADO
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
1. Expresa los siguientes números binarios en notación decimal.
1. 11010
2. 011
3. 11100011
4. 111011
5. 1001
6. 101
7. 1000110
8. 1111
9. 11001101
10.101010
2. Expresa en números binario los siguientes números.
1. 34
2. 57
3. 100
4. 67
5. 2346
6. 2006
7. 66
8. 987
9. 678
10.3245
3. Pasa a segundos las siguientes medidas de ángulos
1. 5°35’17’’
2. 17°46’82’’
3. 30’
4. 76°21’5’’
5. 15°
6. 28’60’’
7. 14°56’’
8. 47°90’20’’
4. Expresa en grados, minutos y segundos
1. 24,980’’
2. 3,456’’
3. 2,376’’
4. 65,986’’
5. 123,890’’
6. 4,561’’
7. 566’’
8. 20’’
MODALIDAD CUATRIMESTRAL
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
1. Expresa los siguientes números binarios en notación decimal.
1. 11010
2. 011
3. 11100011
4. 1000110
5. 1111
6. 11001101
7. 101010
2. Expresa en números binario los siguientes números.
1. 57
2. 100
3. 67
4. 2006
5. 66
6. 987
7. 3245
3. Pasa a segundos las siguientes medidas de ángulos
1. 5°35’17’’
2. 17°46’82’’
3. 30’
4. 76°21’5’’
5. 28’60’’
6. 14°56’’
7. 47°90’20’’
4. Expresa en grados, minutos y segundos
1. 3,456’’
2. 2,376’’
3. 65,986’’
4. 123,890’’
5. 4,561’’
6. 566’’
7. 20’’
MODALIDAD MIXTO
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
1. Expresa los siguientes números binarios en notación decimal.
1. 11010
2. 111011
3. 1001
4. 101
5. 1111
2. Expresa en números binario los siguientes números.
1. 57
2. 100
3. 67
4. 987
5. 678
3. Pasa a segundos las siguientes medidas de ángulos
1. 5°35’17’’
2. 30’
3. 15°
4. 28’60’’
5. 14°56’’
4. Expresa en grados, minutos y segundos
1. 24,980’’
2. 3,456’’
3. 123,890’’
4. 566’’
5. 20’’
AUTOEVALUACION
1. La base del sistema de numeración decimal es:
A. 2
B. 10
C. 20
D. 60
2. El número 14 expresado en el sistema de numeración binario es:
A. 1001
B. 1010
C. 1100
D. 1110
3. El número 10101001 expresado en el sistema decimal es:
A. 69
B. 96
C. 169
D. 196
4. Si un sistema de numeración es posicional significa que:
A. los símbolos utilizados tienen valor por sí mismos.
B. cada dígito tiene un valor dependiendo de su posición dentro del número.
C. existen varias maneras de expresar un mismo número.
D. posee un conjunto de símbolos que le permiten expresar cantidades
II. Verdadero o falso.
5) _____ 5 centenas equivalen a 500 unidades.
6) _____ El sistema romano es posicional.
7) _____ El sistema de numeración maya está escrito en base 60
Respuesta: 1.B, 2.D, 3.C , 4.B, 5. V, 6.F, 7.F
GLOSARIO
Dígito: Un dígito en un sistema numérico es un símbolo que no es combinación
de otros y que representa un entero positivo.
Bit: Es un dígito binario (Abreviación del inglés binary digit), es decir, un 0 o un
1.
Sensor: Parte de un lazo o un instrumento que primero detecta el valor de una
variable de proceso y que asume una correspondencia, predeterminación, y
estado inteligible o salida. El sensor puede ser integrado o separado de un
elemento funcional o de un lazo. Al sensor también se le conoce como detector
o elemento primario
Posicionales: El valor de los símbolos que componen el sistema depende del
valor que se les ha asignado, y de la posición que ocupan en el número
(Números decimales).
No Posicionales: El valor de los símbolos que componen el sistema es fijo, y
no depende de la posición que ocupa el símbolo dentro del número (Números
romanos)
Fotoresistencia: Es un componente electrónico cuya resistencia disminuye con
el aumento de intensidad de luz incidente. Puede también ser llamado
fotorresistor, fotoconductor, célula fotoeléctrica o resistor dependiente de la luz,
cuya siglas, LDR, se originan de su nombre en inglés light-dependent resistor.
Su cuerpo está formado por una célula o celda y dos patillas
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