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Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Seminar
”Mathematische Modelle in den Natur- undIngenieurwissenschaften“
Prof. Dr. Willy DorflerJProf. Dr. Tobias Jahnke
Institut fur Angewandte und Numerische Mathematik
14. Februar 2008
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Formales
I Ort und Zeit: Dienstags um 14:00 Uhr, S11I Zielgruppe:
I Studierende im HauptstudiumI Studierende des Lehramts
I Einzelarbeit
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Das sollen Sie lernen
I Einige mathematische ModelleI Umgang mit wissenschaftlichen TextenI Halten eines (wissenschaftlichen) VortragsI Mathematik erklaren
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Das sollten Sie mitbringen
I Interesse an mathematischer ModellierungI Kenntnisse aus Analysis IIII Interesse an Physik oder ChemieI Kein Angst vor komplizierten Formeln
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Was wir von Ihnen erwarten
I Einarbeitung (min 4 Wochen)I Vortrag (60 Minuten)
I TafelI Beamer
I Diskussion der VortrageI Ausarbeitung (5 Seiten)
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Das konnen Sie mitnehmen
I VortragserfahrungI Information uber aktuelle ForschungsgebieteI Kontakt zu Mitarbeitern unseres Instituts
(Examensarbeit, Diplomarbeit)I Seminarschein
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Themengebiet 1:Optische Eigenschaften photonischer Kristalle
Betreuer:Markus Richter
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Die Maxwell-Gleichungen
Und Gott sprach...
∇× H =∂D∂t
+ J,
∇× E = −∂B∂t,
∇ · B = 0,
∇ · D = %
... und es wurde Licht.
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Vortrag 1.1Die Maxwell-Gleichungen
I Wie interpretiert man die einzelnen Großen?I Was beschreiben die einzelnen Gleichungen?I Was sind die zugrunde liegenden physikalischen
Phanomene?I Was sind die zugrunde liegenden mathematischen
Satze?I Welche Wechselwirkungen bestehen zwischen Licht und
Materie?
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Vortrag 1.2Weiterer Vortrag uber die Maxwell-Gleichungen
I Inhalte werden noch bekannt gegeben...
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Vortrag 1.3Vereinfachungen und Anwendungen
I Was sind zeitharmonische Wellen?I Wie gelangt man zu Eigenwertproblemen?I Was sind Moden?I Kann Licht durch eine Rohrleitung ”fließen“?
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Vortrag 1.4Die schwache Formulierung
I Was sind schwache Formulierungen?I Warum benotigt man eine schwache Formulierung bei
photonischen Kristallen?I Was ist der Raum H(curl)?I Welches Eigenwertproblem beschreibt einen
photonischen Kristall?
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Themengebiet 2:Faser- und Partikelsedimentation
Betreuer:
Markus FeistFlorian Keller
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Navier–Stokes Gleichungen
Newtonsches und inkompressibles Fluid:
ρf
(∂u∂t
(x , t)+u(x , t) · ∇u(x , t))
= −∇p(x) + µf ∆u(x , t) + ρf g∇ · u(x , t)= 0
fur alle (x , t) ∈ R3\B(t)× R+
g = (gx1 ,gx2 ,gx3)T Erdbeschleunigungx = (x1, x2, x3) Ortsvektort Zeitvariable
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Vortrag 2.1Herleitung der Navier–Stokes Gleichungen
I Welche Vereinfachungen werden gemacht?I Welche Auswirkungen haben diese Vereinfachungen?I Beispiele Erklarungen?I Koordinatentransformation mit den Navier-Stokes
Gleichungen?
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Vortrag 2.2Weiterer Vortrag uber die Navier–StokesGleichungen
I Inhalte werden noch bekannt gegeben...
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Vortrag 2.3Weitere Stromungsformen
I Entdimensionierung der Navier–Stokes Gleichungen?I Langsame Umstromung einer Kugel?I Umstromung eines schlanken Korpers?I Turbulente Stromungen?
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Sedimentation eines geladenen Partikels ineinem Elektrolyt
Navier-Stokes
Maxwell/Poisson
Nernst-Planck
Kraft/Moment
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Sedimentation eines geladenen Partikels ineinem Elektrolyt
GesamtmodellGesuchte Groessen: v F, pF, vi , ni , ψ, zα.
ρF ∂v F
∂t+ v F · ∇v F +∇pF − µF∆v F − ρFg − ρe∇ψ = 0,
∇ · v F = 0;
−∆ψ − ρe
ε0εr= 0,
∂ni
∂t+ Di∆ni + v F · ∇ni − Di
ekBT∇ · (zini∇ψ) = 0,
vi − v F +zieλi∇ψ +
kBTλi∇ln(ni) = 0.
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Vortrag 2.4Sedimentation eines geladenen Partikels ineinem Elektrolyt
I Herleitung der Poissongleichung und derNernst-Planck-Gleichung
I Sternschicht-TheorieI RandbedingungenI Entdimensionierung des GesamtsystemsI Vereinfachung der GleichungenI Existenz und Eindeutigkeit der LosungI Analytische Losungen fur SpezialfalleI Losung von Oshima
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
DLVO-TheorieUntersuchung der Stabilitaet von Suspensionen
UT
h
Bornsche Abstoßung
v. d. Waals Anziehung
Elektrostatische Abstoßung
Gesamtwechselwirkung
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Vortrag 2.5DLVO-Theorie
I Druck zwischen zwei Flachen in einem ElektrolytI van der Waals-KrafteI Bornsche AbstoßungI Hamaker-TheorieI Abhangigkeit der Stabiltitat von der IonenkonzentrationI Erweiterung der DLVO-TheorieI Stabilisierung von Suspensionen
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Themengebiet 3:Nonlinear Dispersive Waves in the NonlinearSchroedinger Approximation
Betreuer:Tomas Dohnal
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Nonlinear Schroedinger Equation
iut +4u + γ|u|2u = 0, u = u(x , t) ∈ C, x ∈ Rd , t ≥ 0
Applications:I optical pulses (e.g. from a laser) in cubically nonlinear
media (e.g. silica)I photonic fibers (⇒ 1D NLS)I slab waveguides (⇒ 2D NLS)I bulk media (⇒ 3D NLS)
I wavepackets of surface waves on deep water (1D or 2DNLS)
I plasma wavesI in general: wavepackets in weakly nonlinear, dispersive
and conservative systems
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Nonlinear Schroedinger Equation
Derivation for pulses in optical fibers with a cubicnonlinearity:Maxwell’s equations reduce to4~E − n2
0c2 ∂
2t~E − 1
c2∂2t
(χ(3)|~E |2~E
)= 0, n0 = n0(x2 + y2)
Assuming a slowly varying envelope ansatz~E = (U(x , y , ω0),0,0)T A(Z ,T1,T2)ei(k0z−ω0t)+c.c.,Z = ε z,T1 = ε t ,T2 = ε2 tUsing multiple scales expansion obtain the 1D NLS
i∂T2A + α∂2ξA + β|A|2A = 0.
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Nonlinear Schroedinger Equation
Derivation for pulses in optical fibers with a cubicnonlinearity:Maxwell’s equations reduce to4~E − n2
0c2 ∂
2t~E − 1
c2∂2t
(χ(3)|~E |2~E
)= 0, n0 = n0(x2 + y2)
Assuming a slowly varying envelope ansatz~E = (U(x , y , ω0),0,0)T A(Z ,T1,T2)ei(k0z−ω0t)+c.c.,Z = ε z,T1 = ε t ,T2 = ε2 tUsing multiple scales expansion obtain the 1D NLS
i∂T2A + α∂2ξA + β|A|2A = 0.
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Nonlinear Schroedinger Equation
Properties of the NLS:I dispersiveI Hamiltonian (infinite dimensional)I completely integrable via the inverse scattering transformI explicit pulse-like solutions known in 1D: solitons
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Vortrag 3.1Nonlinear Schroedinger Equation
Project Tasks:I overview of the applications of NLSI derivation of the NLS for pulses in optical fibers with
instantaneous cubic nonlinearity from the nonlin. Maxwellequation under the divergence free condition ∇ · ~E = 0
I abstract derivation for envelopes of wavepackets inweakly nonlinear dispersive systems
I soliton solutions
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Gross-Pitaevsky Equation/Periodic NLS
iut +u+xx−V (x)u+γ|u|2u = 0, V (x+d) = V (x), t ≥ 0, x ∈ R, γ ∈ R,d > 0
Applications:I Gross-Pitaevsky: density distribution of an elongated
Bose-Einstein Condensate (supercooled Rb, He, ...)loaded on an optical lattice
I Periodic NLS: optical beam in a periodic slab waveguideDerivation in the optics setting:- cubically nonlinear dielectric medium- refractive index n0 = n0(y)V (x), V (x + d) = V (x)- slowly modulated beam in the z−direction
~E =
U(y , ω0)00
A(Z , x)ei(k0z−ω0t) + c.c., Z = ε z
⇒ obtain the asymptotic model
iAZ + Axx − k2A− V (x)A + Γ|A|2A = 0
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Gross-Pitaevsky Equation/Periodic NLSProperties of the periodic NLS:
I dispersiveI Hamiltonian (infinite dimensional)I NOT completely integrable via the inverse scattering
transformI spectrum of the linear oprator ∂xx − k2 − V (x) is
continuous with gapsI in the spectral gaps exist stationary solitary waves: Gap
Solitons
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Vortrag 3.2Gross-Pitaevsky Equation/Periodic NLS
Project Tasks:I detailed derivation of the periodic NLS either for optics or
BECs and a brief derivation for the other caseI computation of σ(∂xx − k2 − V (x)) using Floquet theoryI overview of known results on existence and linear
stability fo gap solitons
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Themengebiet 4:Stochastische Reaktionskinetik
Betreuer:Tobias Jahnke
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Traditionelle ReaktionskinetikReaktionen zwischen verschiedenen Stoffen S1,S2, . . .
Beispiel: S1 + S2c1−→ S3
S3 + S4c2−→ 2S4
. . . . . . . . .
Annahmen: konstante Temperaturkonstantes Volumenhomogene Verteilung im Raum
Traditionelle Beschreibung:System von ODEs (−→ Konzentrationen)
Schlechtes Modell fur Reaktionen in Zellen!Kleine Teilchenzahlen, kritische Fluktuationen
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Traditionelle ReaktionskinetikReaktionen zwischen verschiedenen Stoffen S1,S2, . . .
Beispiel: S1 + S2c1−→ S3
S3 + S4c2−→ 2S4
. . . . . . . . .
Annahmen: konstante Temperaturkonstantes Volumenhomogene Verteilung im Raum
Traditionelle Beschreibung:System von ODEs (−→ Konzentrationen)
Schlechtes Modell fur Reaktionen in Zellen!Kleine Teilchenzahlen, kritische Fluktuationen
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Vortrag 4.1Der stochastische SimulationsalgorithmusBetrachte diskrete Teilchenzahlen statt Konzentrationen
Zufallsvariable X (t) =
X1(t)...
Xd (t)
∈ Nd
Markov-Sprungprozess im Zustandsraum Nd .
Stochastic simulation algorithm (Gillespie 1976):Erzeuge Realisierungen von X (t).
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Vortrag 4.1Der stochastische SimulationsalgorithmusBetrachte diskrete Teilchenzahlen statt Konzentrationen
Zufallsvariable X (t) =
X1(t)...
Xd (t)
∈ Nd
Markov-Sprungprozess im Zustandsraum Nd .
Stochastic simulation algorithm (Gillespie 1976):Erzeuge Realisierungen von X (t).
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Vortrag 4.2: Die chemische MastergleichungWahrscheinlichkeitsverteilung der Teilchenzahlen
p(t , x) = P(
xk Exemplare von Sk zur Zeit t), x =
x1...
xd
∈ Nd
Chemische Mastergleichung (CME)
∂
∂tp(t , x) =
m∑j=1
(αj(x − νj)p(t , x − νj) − αj(x)p(t , x)
)Propensity functions αj(x)Stoichiometrischer Vektor νj ∈ Zd
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Vortrag 4.2: Die chemische MastergleichungWahrscheinlichkeitsverteilung der Teilchenzahlen
p(t , x) = P(
xk Exemplare von Sk zur Zeit t), x =
x1...
xd
∈ Nd
Chemische Mastergleichung (CME)
∂
∂tp(t , x) =
m∑j=1
(αj(x − νj)p(t , x − νj) − αj(x)p(t , x)
)Propensity functions αj(x)Stoichiometrischer Vektor νj ∈ Zd
Chemische Mastergleichung = System von ODEs
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Vortrag 4.2: Die chemische MastergleichungWahrscheinlichkeitsverteilung der Teilchenzahlen
p(t , x) = P(
xk Exemplare von Sk zur Zeit t), x =
x1...
xd
∈ Nd
Chemische Mastergleichung (CME)
∂
∂tp(t , x) =
m∑j=1
(αj(x − νj)p(t , x − νj) − αj(x)p(t , x)
)Propensity functions αj(x)Stoichiometrischer Vektor νj ∈ Zd
Chemische Mastergleichung = System von ODEs
Problem: Eine ODE pro Zustand!Zu viele ODEs fur traditionelle Verfahren!
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Vortrag 4.2: Die chemische MastergleichungWahrscheinlichkeitsverteilung der Teilchenzahlen
p(t , x) = P(
xk Exemplare von Sk zur Zeit t), x =
x1...
xd
∈ Nd
Chemische Mastergleichung (CME)
∂
∂tp(t , x) =
m∑j=1
(αj(x − νj)p(t , x − νj) − αj(x)p(t , x)
)Propensity functions αj(x)Stoichiometrischer Vektor νj ∈ Zd
Chemische Mastergleichung = System von ODEs
Beispiel: Drei Stoffe mit je bis zu 100 Kopien−→ CME = 1003 ODEs !
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Vortrag 4.2: Die chemische MastergleichungWahrscheinlichkeitsverteilung der Teilchenzahlen
p(t , x) = P(
xk Exemplare von Sk zur Zeit t), x =
x1...
xd
∈ Nd
Chemische Mastergleichung (CME)
∂
∂tp(t , x) =
m∑j=1
(αj(x − νj)p(t , x − νj) − αj(x)p(t , x)
)Propensity functions αj(x)Stoichiometrischer Vektor νj ∈ Zd
Chemische Mastergleichung = “diskrete PDE”
Institut fur Angewandte undNumerische Mathematik
Vortrag 4.2: Die chemische MastergleichungWahrscheinlichkeitsverteilung der Teilchenzahlen
p(t , x) = P(
xk Exemplare von Sk zur Zeit t), x =
x1...
xd
∈ Nd
Chemische Mastergleichung (CME)
∂
∂tp(t , x) =
m∑j=1
(αj(x − νj)p(t , x − νj) − αj(x)p(t , x)
)
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Vortrag 4.3Weiterer Vortrag uber die chemischeMastergleichung
I Inhalte werden noch bekannt gegeben...
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