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1Volume 1 (capp. 8-12) – Resistenza dei materiali
Scheda riassuntiva 2 capitoli 8-12
Resistenzadei materiali
sc
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da r
iassu
ntiV
a 2
G. Cagliero, Meccanica, macchine ed energia © Zanichelli 2012
La resistenza dei materiali mette in relazione tra loro i seguenti elementi:
Considerata una sezione dell’elemento resistente (trave), perpendicolare al suo asse, l’influenza dei carichi esterni viene studiata scomponendo i loro effetti secondo tra assi ortogonali:
x, y tangenti al piano della sezionez perpendicolare al piano della sezione
Si ottengono le:
I carichi determinano le deformazioni, che possono consistere in:
Le deformazioni sono espresse in termini unitari o percentuali quando sono riferite alla distanza (prima della deformazione) Lo tra le due sezioni considerate; in tal caso sono adimensionali.
Si indicano con i simboli:
allungamenti/accorciamenti unitari ε = LLo
scorrimenti unitari g= sLo
• Trazione/ compressione• Taglio• Flessione• Torsione
• Allungamenti/ accorciamenti• Scorrimenti
• Normali• TangenzialiCarichi Deformazioni Tensioni
Trazione/compressione Taglio
Momentoflettente
Componenti di sollecitazione
Momentotorcente
• allungamenti• accorciamenti
Deformazioni lungole fibre parallele
all’asse della trave
• traslazioni• rotazioni
Scorrimenti reciprocitra due sezioni
della trave
2 Volume 1 (capp. 8-12) – Resistenza dei materiali
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G. Cagliero, Meccanica, macchine ed energia © Zanichelli 2012
Alle deformazioni il materiale oppone reazioni elastiche in base alla legge di Hooke; esse sono definite:
Le tensioni normali s sono perpendicolari alla sezione e reagiscono agli allungamenti/accorciamenti delle fibre longitudinali.
Le tensioni tangenziali t sono sul piano della sezione e reagiscono agli scorrimenti tra le sezioni.
Per molti materiali, entro determinati limiti di carico, tra deformazioni e tensioni esiste una relazione di proporzionalità:
Per ognuna delle caratteristiche di sollecitazione può essere definita:
• equazione di stabilità: relazione di equilibrio fra componente di solle-citazione, tensioni interne e caratteristiche della sezione;
• equazione di deformazione: relazione fra componente di sollecitazio-ne, deformazione, caratteristiche della sezione e del materiale.
Trazione/compressioneLe tensioni sono uniformemente distribuite sulla sezione.
La forma della sezione non ha influenza né per la resistenza né per la deformazione.
Flessione rettaPer il baricentro G della sezione passa l’asse neutro, perpendicolare all’asse di sollecitazione.
Sull’asse neutro le tensioni sono nulle; ai bordi esterne (i punti più lon-tani dall’asse neutro) le tensioni sono massime, una di trazione e l’altra di compressione.
Tensioni normali � Tensioni tangenziali �
s = E · e per le tensioni normali E = modulo di elasticità normale (modulo di Young)
t = G · g per le tensioni tangenziali G = modulo di elasticità tangenziale
Stabilità N = s · A N = ⋅N
mmmm
2
2
Deformazione L = N LE A
⋅⋅
⋅
⋅mm = N mm
Nmm
mm2
2
3Volume 1 (capp. 8-12) – Resistenza dei materiali
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G. Cagliero, Meccanica, macchine ed energia © Zanichelli 2012
Modulo di resistenza a flessione WI
yfn=
max
ymax è la massima distanza dal bordo all’asse neutro.
Sezione rettangolare W B Hf = ⋅ 3
6 H è la misura perpendicolare all’asse
neutroSezione circolare W Df =
323
TorsioneLe tensioni sono massime sul bordo esterno della sezione e nulle al centro.
Modulo di resistenza a torsione WI
ytp=
max
Sezione circolare W W Dt f= =216
3
Sezione rettangolare W H BBH
t = ⋅
+
2
3 1 8, B è la lunghezza del lato corto
Sezione ellittica W H Bt = ⋅ 2
5 B è la lunghezza dell’asse minore
TaglioLe tensioni sono massime all’altezza dell’asse neutro e nulle ai bordi.
Le deformazioni sono di entità trascurabile.
Il valore del coefficiente a dipende dalla forma della sezione:
rettangolare a = 32
circolare a = 43
Stabilità Mf = s · Wf
N mm = N
mmmm
2
3⋅ ⋅
Deformazione =M L
E If
n
⋅⋅
⋅
⋅rad = Nmm mm
Nmm
mm2
4
Stabilità Mt = t · Wt
Nmm = N
mmmm
2
3⋅
Deformazione =M LG I
t
p
⋅⋅
⋅
⋅rad = Nmm mm
Nmm
mm2
4
Stabilità �� ��max = TA
⋅
Nmm
= Nmm2 2
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FlessotorsionePer sezioni circolari o anulari si calcola il momento flettente ideale, che, ai fini della resistenza della sezione, è equivalente all’azione combinata di un momento flettente e un momento torcente:
Nel caso delle altre sezioni si calcolano separatamente la tensione di flessio-ne s e quella torsione t e si compongono ricavando la:
Taglio e torsioneSono presenti solo tensioni tangenziali; si ricava il valore risultante massi-mo sommando le t nei punti in cui sono concordi.
Taglio e flessioneTenuto conto che:
• sui bordi lontani dall’asse neutro s = smax t = 0• sull’asse neutro s = 0 t = tmax
e che i valori delle tensioni tangenziali sono solitamente molto piccoli, si effettua il calcolo a pura flessione, verificando eventualmente, in modo se-parato, il valore di tmax sull’asse neutro.
Pressoflessione e tensoflessioneSono presenti solo tensioni normali; ai valori costanti dovuti allo sforzo normale si sommano i valori massimi sui bordi dovuti alla flessione.
Criteri di sicurezzaIl valore massimo della tensione nella/e sezioni più sollecitate non deve su-perare un limite di tensione ammissibile, ricavato dal carico di rottura o dal carico di snervamento del materiale con un adeguato grado di sicurezza:
• in presenza solo di tensioni normali:
• in presenza solo di tensioni tangenziali:
• in caso di sollecitazioni composte con presenza di tensioni normali e tangenziali:
sid sam
Per tenere conto di carichi dinamici e fenomeni di fatica il grado di sicurez-za va adeguatamente aumentato.
momento flettente ideale
M M Mfid f t= +2 234
tensione ideale� � �id = + ⋅2 23
� �� �max am ammR
n=
� �� ��
max am amam=3
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Travi isostatiche: reazioni, momenti, deformazioni
a Trave incastrata con carico sull’estremità Y
LF
Mmax
b Trave incastrata con carico distribuito uniforme Y
qMmax
c Trave incastrata con carico triangolareY
qmax
Mmax
d Trave appoggiata con carico distribuito uniforme YY
Lq
e Trave appoggiata con carico concentrato YBF
Ca b B
YA
A
f Trave appoggiata con carico triangolare
BA
YA YB
qmax
xo
g Trave appoggiata con doppio sbalzo
CDLa A B
aE
YA YB
Y F M F L f F LE I
= = ⋅ = ⋅⋅ ⋅max
3
3
Y q L Mq L
fq L
E I= ⋅ = − ⋅ = ⋅
⋅max
2 4
2 8
Y Qq L
MQ L
fQ LE I
= = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅⋅
maxmax
2 31
15
3
Y q L Mq L
fq L
E I= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅
⋅2 85
384
2 4
max
Y F bL
Y F aL
M F a bL
f FE I
a bL
A B= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =⋅ ⋅
⋅ ⋅; max3
2 2
Qq L
YQ
YQ
Mq L
fA B= ⋅ = ⋅ = = ⋅maxmax
maxm
22
3 3 9 3
2
; ; aax = ⋅ ⋅⋅
=
177
3
3Q LE I
x Lo
Y Yq L
M Mq a
fq L
E IA B A B c= = ⋅ = = − ⋅ = ⋅
⋅ ⋅⋅ − ⋅
2 2 3845 24
2 4
aaL
Mq L a
LC
2
2
2 2
281 4
= ⋅ ⋅ − ⋅
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Travi iperstatiche: reazioni, momenti, deformazioni
a Trave con doppio incastro con carico distribuito uniforme YA YB
CA B
q
MA MB
b Trave incastrata con appoggio all’estremità con carico distribuito uni-forme
YAYB
A Bq
MA
c Trave su tre appoggi con carico distribuito uniforme
L LAC
B
YA YBYC
Y Y q L M Mq L
fq L
E I
M
A B A B c
C
= = ⋅ = = − ⋅ = ⋅⋅ ⋅
= −
2 12 384
2 4
qq L⋅ 2
24
Y Q
Y Q Mq L
A
B A
= ⋅
= ⋅ = − ⋅
58
38 8
2
Y Y q L
Y q L Mq L
A B
C C
= = ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ = − ⋅
38
108 8
2
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