ret ˇ ezovˇ e zlomky´ · 2012. 4. 12. · obsah 1 uvod´ 2 zakladn´ ´ı pojmy 3 konecnˇ e´...

Retezove zlomky

HL Academy - Chata Lopata 2012

13.2. – 18.2.2012

Emu (Brkos 2012) Retezove zlomky 13.2. – 18.2.2012 1 / 27

Obsah

1 Uvod

2 Zakladnı pojmy

3 Konecne retezove zlomkySblızene zlomkyEukliduv algoritmus

4 Nekonecne retezove zlomkyKonvergenceIracionalnı cıslaPeriodicke retezove zlomky

5 Aplikace retezovych zlomkuNeurcita rovnice prvnıho stupne

Emu (Brkos 2012) Retezove zlomky 13.2. – 18.2.2012 2 / 27

Uvod

Motivace

Pohadky tisıce a jedne nociSahrazad pokryvala koberec hedvabnymi ctverciVzdy nejvetsı mozny ctverec, jestlize jich bylo vıc, tak vsechnyPomer delky ku sırce racionalnı cıslo

Emu (Brkos 2012) Retezove zlomky 13.2. – 18.2.2012 3 / 27

Uvod

Motivace pokracovanı

Obdelnık s rozmery 83x181.2x 83x83, zbyde 83x155x 15x15, zbyde 8x151x 8x8, zbyde 8x71x 7x7, zbyde 1x77x 1x1, pokryto

18183

=83 + 83 + 15

83= 2 +

18315

= 2 +1

5 + 1158

= 2 +1

5 + 11+ 1

87

= 2 +1

5 + 11+ 1

1+ 17

Emu (Brkos 2012) Retezove zlomky 13.2. – 18.2.2012 4 / 27

Zakladnı pojmy

Zakladnı pojmy

definice

Retezovym zlomkem nazyvame vyraz

a1 +b1

a2 +b2

a3+b3

a4+...

kde ak ,bk pro k = 1,2, . . . mohou byt realna nebo komplexnı cısla.

Emu (Brkos 2012) Retezove zlomky 13.2. – 18.2.2012 5 / 27

Zakladnı pojmy

poznamka

Retezovy zlomek nazvemekonecny, jestlize ma konecny pocet prvku.nekonecny, jestlize ma nekonecny pocet prvku.pravidelny, jestlize vsechny citatele se rovnajı 1 a vsechnyjmenovatele jsou prirozena cısla.

poznamka

Mısto psanı slozitych vyrazu casteji pouzıvame pro retezove zlomkytvar [a1,a2, . . . ,an], cıslum a1,a2, . . . ,an rıkame prvky retezovehozlomku.

Emu (Brkos 2012) Retezove zlomky 13.2. – 18.2.2012 6 / 27

Konecne retezove zlomky Sblızene zlomky

Spocıtame retezove zlomky zepredu

Abychom mohli vytvorit rozumnou teorii, ktera by pokryla i nekonecnezlomky, musıme je umet pocıtat ”zepredu”.

a1 =a1

1=

P1

Q1

a1 +1a2

=a1a2 + 1

a2=

P2

Q2

a1 +1

a2 +1a3

=a1a2a3 + a1 + a3

a2a3 + 1=

P3

Q3

Emu (Brkos 2012) Retezove zlomky 13.2. – 18.2.2012 7 / 27

Konecne retezove zlomky Sblızene zlomky

Sblızene zlomky

a1 +1

a2 +1

a3+1

a4

=a1a2a3a4 + a1a2 + a1a4 + a3a4 + 1

a2a3a4 + a2 + a4=

P4

Q4

...

a1 +1

a2 +1

a3+1

a4+···+ 1an

=Pn

Qn=

pq

definice

Zlomkum P1Q1, P2

Q2, · · · , Pn

Qnrıkame sblızene zlomky retezoveho zlomku.

Poslednı sblızeny zlomek PnQn

je roven hodnote retezoveho zlomku,kladnemu racionalnımu cıslu p

q .

Emu (Brkos 2012) Retezove zlomky 13.2. – 18.2.2012 8 / 27

Konecne retezove zlomky Sblızene zlomky

Vlastnosti

vetaPro kazde k ≥ 2 platı nasledujıcı vztahy:

Pk = akPk−1 + Pk−2

Qk = akQk−1 + Qk−2,

pokud formalne polozıme P0 = 1,Q0 = 0.

Dukaz. Matematickou indukcı.

poznamka

Pro obecny retezovy zlomek platı podobne vzorce:Pk = akPk−1 + bkPk−2, Qk = akQk−1 + bkQk−2

Emu (Brkos 2012) Retezove zlomky 13.2. – 18.2.2012 9 / 27

Konecne retezove zlomky Sblızene zlomky

prıklad

Vypocıtejte sblızene zlomky retezoveho zlomku [2,2,1,1,2,2].

Emu (Brkos 2012) Retezove zlomky 13.2. – 18.2.2012 10 / 27

Konecne retezove zlomky Sblızene zlomky

prıklad

Vypocıtejte sblızene zlomky retezoveho zlomku [2,2,1,1,2,2].

Resenı. Nejprve sestavıme sblızene zlomky do tabulky.ak a1 a2 a3 · · · an

Pk P1 = a1 P2 = a1a2 + 1 a1a2a3 + a1 + a3 · · · anPn−1 + Pn−2

Qk Q1 = 1 Q2 = a2 a2a3 + 1 · · · anQn−1 + Qn−2

Dle vzorecku sestavıme tabulku pro tento retezovy zlomek.ak 2 2 1 1 2 2Pk 2 5 7 12 31 74Qk 1 2 3 5 13 31

Emu (Brkos 2012) Retezove zlomky 13.2. – 18.2.2012 11 / 27

Konecne retezove zlomky Eukliduv algoritmus

Eukliduv algoritmus

Dosud jsme hledali vyjadrenı retezoveho zlomku racionalnım cıslem.Ted’ obracene, tj. najdeme k racionalnımu cıslu p

q retezovy zlomek. Ktomu nam poslouzı Eukliduv algoritmus. (Algoritmus se v algebrepouzıva na urcenı nejvetsıho spolecneho delitele.)

p = qa1 + r1

q = r1a2 + r2

r1 = r2a3 + r3

· · ·rn−2 = rn−1an + rn

Emu (Brkos 2012) Retezove zlomky 13.2. – 18.2.2012 12 / 27

Konecne retezove zlomky Eukliduv algoritmus

· · · celkove dostaneme:

pq= a1 +

1a2 +

1a3+···+ 1

an

jedine mozne vyjadrenıan > 1, nebot’ pro an = 1 dava poslednı rovnost rn−2 = rn−1

⇒ jednoznacne vyjadrenı

Emu (Brkos 2012) Retezove zlomky 13.2. – 18.2.2012 13 / 27

Konecne retezove zlomky Eukliduv algoritmus

prıklad

Vypocıtejte prvky retezoveho zlomku a1,a2, · · · ,an cısla 7431 .

Emu (Brkos 2012) Retezove zlomky 13.2. – 18.2.2012 14 / 27

Nekonecne retezove zlomky Konvergence

Nekonecne retezove zlomky

V teto kapitole se budeme zabyvat nekonecnymi pravidelnymiretezovymi zlomky, tedy zlomky ve tvaru [a1,a2,a3, · · · ]. Kazdemunekonecnemu retezovemu zlomku odpovıda nekonecna posloupnostsblızenych zlomku.

definice

Rekneme, ze nekonecny retezovy zlomek konverguje, jestlize existujekonecna limita

limn→∞

Pn

Qn= α,

kde PnQn

jsou sblızene zlomky retezoveho zlomku. Cıslo α nazvemehodnotou retezoveho zlomku.Jestlize tato limita neexistuje, nebo je rovna ±∞, rekneme, ze retezovyzlomek diverguje.

Emu (Brkos 2012) Retezove zlomky 13.2. – 18.2.2012 15 / 27

Nekonecne retezove zlomky Iracionalnı cısla

Iracionalnı cısla

vetaKazde iracionalnı cıslo se da vyjadrit ve tvaru nekonecnehopravidelneho retezoveho zlomku.

prıklad

Vypoctete retezovy zlomek cısla π.

Emu (Brkos 2012) Retezove zlomky 13.2. – 18.2.2012 16 / 27

Nekonecne retezove zlomky Iracionalnı cısla

π = 3 +1α1

α1 =1

π − 3= 7 +

1α2

α2 =π − 3

22− 7π= 15 +

1α3

α3 =22− 7π

106π − 333= 1 +

1α4

α4 =106π − 333355− 113π

= 292 +1α5

Emu (Brkos 2012) Retezove zlomky 13.2. – 18.2.2012 17 / 27

Nekonecne retezove zlomky Periodicke retezove zlomky

Periodicke retezove zlomky

definicePeriodickym retezovym zlomkem nazyvame vyraz

[a1,a2, · · · ,ak ,ak+1, · · · ,an,ak+1, · · · ]

a budeme ho znacit

[a1,a2, · · · ,ak ,ak+1, · · · ,an].

Ryze periodickym je pak vyraz

[a1,a2, · · · ,ak ,a1,a2, · · · ,ak , · · · ,a1] = [a1,a2, · · · ,ak ].

Emu (Brkos 2012) Retezove zlomky 13.2. – 18.2.2012 18 / 27

Nekonecne retezove zlomky Periodicke retezove zlomky

veta

Pro retezovy zlomek cısla√

r , r ∈ N,√

r > 1,√

r ∈ I platı√

r = [a1,a2,a3, . . . ,a3,a2,2a1].

Emu (Brkos 2012) Retezove zlomky 13.2. – 18.2.2012 19 / 27

Nekonecne retezove zlomky Periodicke retezove zlomky

Tabulka odmocnin

√n RZ

√n

√n RZ

√n

√n RZ

√n

√2 [1,2]

√14 [3,1,2,1,6]

√26 [5,10]√

3 [1,1,2]√

15 [3,1,6]√

27 [5,5,10]√5 [2,4]

√17 [4,8]

√28 [5,3,2,3,10]√

6 [2,2,4]√

18 [4,4,8]√

29 [5,2,1,1,2,10]√7 [2,1,1,1,4]

√19 [4,2,1,3,1,2,8]

√30 [5,2,10]√

8 [2,1,4]√

20 [4,2,8]√

31 [5,1,1,3,5,3,1,1,10]√10 [3,6]

√21 [4,1,1,2,1,1,8]

√32 [5,1,1,1,10]√

11 [3,3,6]√

22 [4,1,2,4,2,1,8]√

33 [5,1,2,1,10]√12 [3,2,6]

√23 [4,1,3,1,8]

√34 [5,1,4,1,10]√

13 [3,1,1,1,1,6]√

24 [4,1,8]√

35 [5,1,10]

Emu (Brkos 2012) Retezove zlomky 13.2. – 18.2.2012 20 / 27

Nekonecne retezove zlomky Periodicke retezove zlomky

definiceKvadraticka iracionalita rıkame vyrazu

p ±√

rq

,

kde p,q ∈ Z, r ∈ N, r 6= 1 a√

r ∈ I. Kazdy takovy vyraz je korenemnejake kvadraticke rovnice.

veta [Lagrangeova]

Kazdy periodicky retezovy zlomek je hodnotou nejake kvadratickeiracionality a naopak kazdou kvadratickou iracionalitu lze vyjadritperiodickym retezovym zlomkem.

Emu (Brkos 2012) Retezove zlomky 13.2. – 18.2.2012 21 / 27

Nekonecne retezove zlomky Periodicke retezove zlomky

prıklad

Vypoctete retezovy zlomek cısla α = 11−√

73 .

Emu (Brkos 2012) Retezove zlomky 13.2. – 18.2.2012 22 / 27

Nekonecne retezove zlomky Periodicke retezove zlomky

Resenı.

α =11−

√7

3= 2 +

1α1

α1 =3

5−√

7=

5 +√

76

= 1 +1α2

α2 =6√

7− 1= 1 +

√7 = 3 +

1α3

α3 =1√

7− 2=

2 +√

73

= 1 +1α4

α4 =3√

7− 1=

1 +√

72

= 1 +1α5

α5 =2√

7− 1=

1 +√

73

= 1 +1α6

α6 =3√

7− 2= 2 +

√7 = 4 +

1α7

α7 =1√

7− 2= 1 +

1α8

· · ·Emu (Brkos 2012) Retezove zlomky 13.2. – 18.2.2012 23 / 27

Aplikace retezovych zlomku Neurcita rovnice prvnıho stupne

Resenı neurcite rovnice prvnıho stupne

definiceRovnici

ax + by = c,

kde a,b, c ∈ Z jsou znama cısla, nazyvame neurcitou rovnicı prvnıhostupne.

Ma nekonecne mnoho resenı.Celocıselna resenı pouze tehdy, jestlize NSD(a,b)|c, muzemepredpokladat, ze jsou nesoudelna.Nalezenı dvojice korenu pomocı retezovych zlomku.

Emu (Brkos 2012) Retezove zlomky 13.2. – 18.2.2012 24 / 27

Aplikace retezovych zlomku Neurcita rovnice prvnıho stupne

Nalezenı dvojice korenu pomocı ret.zl.

1 Obecne resenı rovnice x = x0 − bt , y = y0 + at .2 Najdeme prvky retezoveho zlomku a

b = PnQn

.3 Urcıme predposlednı sblızeny zlomek a dosadıme do vzorce

PnQn−1 − Pn−1Qn = (−1)n.4 Dostavame

x0 = (−1)nQn−1c, y0 = (−1)n−1Pn−1c,

obecne tedy

x = (−1)nQn−1c −Qnt , y = (−1)n−1Pn−1c + Pnt ,

kde t je libovolne cele cıslo.

Emu (Brkos 2012) Retezove zlomky 13.2. – 18.2.2012 25 / 27

Aplikace retezovych zlomku Neurcita rovnice prvnıho stupne

prıklad

Reste rovnici 27x + 17y = 1.

Emu (Brkos 2012) Retezove zlomky 13.2. – 18.2.2012 26 / 27

Aplikace retezovych zlomku Neurcita rovnice prvnıho stupne

Dıky za pozornost:o)

Emu (Brkos 2012) Retezove zlomky 13.2. – 18.2.2012 27 / 27