representaciÓn de funcionesºbach...ejercicio nº 18.- dada la función: f (x) = cosx − senx, x...
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REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
Ejercicio nº 1.-
Estudia y representa la siguiente función:
Ejercicio nº 2.-
Dibuja la gráfica de la función:
Ejercicio nº 3.-
Dada la función:
y = sen2x − 2senx , x ∈ [0, 2π] a) Halla los puntos de corte con los ejes. b) Calcula los máximos y mínimos. c) Represéntala gráficamente.
Ejercicio nº 4.-
Representa:
Ejercicio nº 5.-
Representa gráficamente:
Ejercicio nº 6.-
Representa gráficamente la siguiente función: y = x3 − 3x2 + 2
Ejercicio nº 7.-
Haz la gráfica de la siguiente función:
Ejercicio nº 8.-
Obtén los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la función:
f (x) = sen2x − senx , x ∈ [0, 2π] Dibuja su gráfica utilizando la información obtenida:
( ) 642
24
+−= xxxf
( ) 224
)( +=
xxxf
( )1−
=xexf
x
( )1
12 −
=x
xf
( )1
222
−−+
=x
xxxf
Ejercicio nº 9.-
Estudia y representa la siguiente función:
y = (x +1)ex
Ejercicio nº 10.-
Representa la función:
y = x2lnx
Ejercicio nº 11.-
Estudia la siguiente función y dibuja su gráfica:
Ejercicio nº 12.-
Representa la siguiente función:
Ejercicio nº 13.-
a) Estudia los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la función:
f (x) = cos2x − cosx , x ∈ [0, 2π] b) Represéntala gráficamente.
Ejercicio nº 14.-
Representa gráficamente la función:
y = e1−x2
Ejercicio nº 15.-
Estudia y representa la función:
Ejercicio nº 16.-
Representa la función:
Ejercicio nº 17.-
Representa gráficamente la función:
xxxy 323
23
++=
212
−−−
=x
xxy
( ) xxxf 32 −=
( ) xxxxf 432 23 −−=
222
3
+=
xxy
Ejercicio nº 18.-
Dada la función:
f (x) = cosx − senx , x ∈ [0, 2π] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando esta información, dibuja su gráfica:
Ejercicio nº 19.-
Dibuja la gráfica de la función:
f (x) = xex+2
Ejercicio nº 20.-
Estudia y representa:
Ejercicio nº 21.-
Estudia y representa la función:
y = x4 − 2x2 + 1
Ejercicio nº 22.-
Estudia y representa la función:
Ejercicio nº 23.-
Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la siguiente función:
y = 2 − sen2x , x ∈ [0, 2π] Utilizando la información obtenida, representa la función:
Ejercicio nº 24.-
Estudia y representa:
f (x) = x2ex
Ejercicio nº 25.-
Estudia y representa la siguiente función:
y = ln(x2 − 9)
( ) 23 3xxxf +=
( ) 2
2
41
xxxf
−+
=
SOLUCIONES REPRESENTACIÓN FUNCIONES
Ejercicio nº 1.-
Estudia y representa la siguiente función:
Solución:
• Dominio =
• Simetrías:
• Ramas infinitas:
• Puntos singulares: f ' (x) = 2x3 − 8x
Puntos singulares: (0, 6); (−2, −2); (2, −2)
• Cortes con los ejes:
Con el eje Y → x = 0 → y = 6 → Punto (0, 6)
x4 − 8x2 +12 = 0. Cambio: x2 = z
• Puntos de inflexión: f '' (x) = 6x2 − 8
Puntos: (−1,15; 1,56); (1,15; 1,56)
( ) 642
24
+−= xxxf
( ) ( ) . eje al respecto simétrica :par Es . 642
24
Yxfxxxf =+−=−
( ) ( ) ∞+=∞+=∞+→∞−→
xflímxflímxx
,
( ) ( )
=
−=→=−
=
=−→=
2
204
0
0420'2
2
x
xx
x
xxxf
42Con el eje 0 4 6 0
2xX y x→ = → − + =
±=→=
±=→=±=
±=
−±=
22
66
248
2168
248648
xz
xzz
( ) ( ) ( ) ( )0,2,0,6,0,2,0,6 Puntos −−
( ) 15,134
34
680860'' 22 ±≈±=→==→=−→= xxxxf
• Gráfica:
Ejercicio nº 2.-
Dibuja la gráfica de la función:
Solución:
• Dominio = − {−2}
• Simetrías:
No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen.
• Asíntotas verticales:
• Asíntota horizontal:
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
Signo de f ' (x):
f (x) es decreciente en (−∞, −2) ∪ (2, +∞); es creciente en (−2, 2).
• Corte con los ejes:
( ) 224
)( +=
xxxf
( ) 2
4( 2)
xf xx−
− =− +
( )
( )vertical asíntota es 2
2
2−=
∞−=
∞−=
+
−
−→
−→x
xflím
xflím
x
x
( ) ( )( )
( ) ( )( )horizontal asíntota es0
encima por curva00
debajo por curva00=
→>=
→<=
+∞→
−∞→y
xfxflím
xfxflím
x
x
( ) 334
2
)2(84
)2(8)2(4
)2()2(2·4)2(4'
++−
=+
−+=
++−+
=x
xx
xxx
xxxxf
( ) 2840' =→+−→= xxxf
.212, en máximo un Tiene
Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0)
Con el eje X → y = 0 → x = 0 → Punto (0, 0)
• Gráfica:
Ejercicio nº 3.-
Dada la función:
y = sen2x − 2senx , x ∈ [0, 2π] a) Halla los puntos de corte con los ejes. b) Calcula los máximos y mínimos. c) Represéntala gráficamente. Solución:
a) Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0)
Con el eje X → y = 0 → sen2x − 2senx = 0
2senxcosx − 2senx = 0 → 2senx (cosx − 1) = 0
Puntos (0, 0), (π, 0) y (2π, 0).
b) y' = 2cos2x − 2cosx y' = 0 → 2 (cos2x − sen2x) − 2cosx = 0 → 2cos2x − 2(1 − cos2x) −2cosx = 0 2cos2x − 2 + 2cos2x − 2cosx = 0 → 4cos2x − 2cosx − 2 = 0 2cos2x − cosx − 1 = 0
Signo de y':
π==→=→=−
π=π==→=
2,0101
2,,00
xxcosxcosx
xxxsenx
=
−=
−=
=±
=+±
=
1
21
42
431
4811
cosx
cosxcosx
π==→=
π=
π=→
−=
2,01
34,
32
21
xxcosx
xxcosx
Puntos de inflexión: (0, 0), (2π, 0)
c)
Ejercicio nº 4.-
Representa:
Solución:
• Dominio = − {1}
• Asíntotas:
y = 0 es asíntota horizontal si x → −∞ (f (x) < 0)
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
f ' (x) = 0 → ex(x − 2) = 0 → x = 2
Signo de f ' (x):
π 6,2;
34 :Máximo
−
π 6,2;32 :Mínimo
( )1−
=xexf
x
( )
( )vertical. asíntota es 1
1
1=
+∞=
−∞=
+
−
→
→x
xflím
xflím
x
x
( ) 01
=−−
=−
+∞→−∞→ xelímxflím
x
xx
( ) ( ) parabólica Rama, →+∞=+∞=+∞→+∞→ x
xflímxflímxx
( ) 22 )1()2(
)1()1('
−−
=−
−−=
xxe
xexexf
xxx
f (x) es decreciente en (−∞, 1) ∪ (1, 2); es creciente en (2, +∞). Tiene un mínimo en (2, e2).
• Corta al eje Y en (0, −1). No corta al eje X.
• Gráfica:
Ejercicio nº 5.-
Representa gráficamente:
Solución:
• Dominio = (−∞, −1) ∪ (1, +∞)
• Simetrías:
f (−x) = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.
• Asíntotas:
y = 0 es asíntota horizontal (f (x) > 0 para toda x)
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
f ' (x) = 0 → x = 0 (no vale)
f (x) no tiene puntos singulares (en x = 0 no está definida) Signo de f ' (x):
( )1
12 −
=x
xf
( ) vertical asíntota es 11
−=→+∞=−−→
xxflímx
( ) vertical asíntota es 11
=→+∞=+→
xxflímx
( ) ( ) 0==+∞→−∞→
xflímxflímxx
( ) ( ) 21
2 1−
−= xxf
( ) ( )32
23
2
)1(2·1
21'
−
−=−−=
−
x
xxxxf
f (x) es creciente en (−∞, −1); y es decreciente en (1, +∞).
f (x) no corta a los ejes.
• Gráfica:
Ejercicio nº 6.-
Representa gráficamente la siguiente función:
y = x3 − 3x2 + 2 Solución:
• Dominio =
• Simetrías:
f (−x) = x3 − 3x2 + 2.
No es par ni impar; no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen.
• Ramas infinitas:
• Puntos singulares: f ' (x) = 3x2 − 6x
Puntos singulares: (0, 2); (2, −2)
• Cortes con los ejes: Con el eje Y → x = 0 → y = 2 → Punto (0, 2) Con el eje X → x3 − 3x2 + 2 = 0 → (x − 1)(x2 − 2x −2) = 0 →
( ) ( ) ∞+=∞−=∞+→∞−→
xflímxflímxx
,
( ) ( )
=→=−
=→==−→=
202
0030230'
xx
xxxxxf
−=
=±=
+±=→=−−
=→=−
→
73,0
73,22
1222
842022
101
2
x
xxxx
xx
Puntos (1, 0); (2,73; 0); (−0,73; 0).
• Puntos de inflexión:
f '' (x) = 6x − 6 = 0 → x = 1 → Punto (1, 0)
• Gráfica:
Ejercicio nº 7.-
Haz la gráfica de la siguiente función:
Solución:
• Dominio = − {1}
• Simetrías:
No es par ni impar: no es smétrica respecto al eje Y ni respecto al origen.
• Asíntotas verticales:
• Asíntota oblicua:
Posición de la curva respecto a la asíntota:
f (x) − (x +3) < 0 si x → − ∞ (curva por debajo).
f (x) − (x +3) > 0 si x → + ∞ (curva por encima).
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
( )1
222
−−+
=x
xxxf
( )2
2
2 22
x xf xx− −
− =+
( )
( )vertical asíntota es 1
1
1=
∞+=
∞−=
+
−
→
→x
xflím
xflím
x
x
oblicua asíntota es 31
131
222
+=→−
++=−
−+= xy
xx
xxxy
( ) 2
2
2
22
2
2
)1(2
)1(222222
)1()22()1()22('
−−
=−
+−−−+−=
−−+−−+
=x
xxx
xxxxxx
xxxxxf
Puntos (0, 2) y (2, 6).
Signo de f ' (x):
f (x) es creciente en (−∞, 0) ∪ (2, +∞); es decreciente en (0, 1) ) ∪ (1, 2). Tiene un máximo en (0, 2) y un mínimo en (2, 6).
• Corte con los ejes:
Con el eje Y → x = 0 → y = 2 → Punto (0, 2)
Puntos: (−2,73; 0); (0,73; 0)
• Gráfica:
Ejercicio nº 8.-
Obtén los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la función:
f (x) = sen2x − senx , x ∈ [0, 2π] Dibuja su gráfica utilizando la información obtenida: Solución:
• Dominio = [0, 2π]
• Puntos de corte con los ejes:
Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0)
Con el eje X → y = 0 → y = sen2x − senx = 0
( )
==
→=−→=−→=20
0)2(020' 2
xx
xxxxxf
2 2,732 4 8Con el eje 0 2 2 00,732
xX y x x x
x≈ −− ± +
→ = → + − = → = ≈
( )
π=→=
π=π==→=
→=−
21
2,,00
01xsenx
xxxsenx
senxsenx
• Máximos y mínimos: f ' (x) = 2senxcosx − cosx = sen2x − cosx = 0 f ' (x) = 0 → cosx (2senx − 1) = 0
Estudiamos el signo de f '' (x) = 2cos2x + senx en esos puntos:
• Gráfica:
Ejercicio nº 9.-
Estudia y representa la siguiente función:
y = (x +1)ex Solución:
• Dominio =
• Asíntotas:
No tiene asíntotas verticales.
( ) ( ) ( )0,2,0,,0,2
,00, Puntos ππ
π
π=
π=→=→=−
π=
π=→=
65,
621012
23,
20
xxsenxsenx
xxcosx
23 en y
2 en 0'' π
=π
=< xxf
π
π 2,
23,0,
2 :Máximos
65 en y
6 en 0'' π
=π
=> xxf
−π
−π
41,
65,
41,
6 :Mínimos
( ) ( ) 011 =+−
=+−=+∞→
−
+∞→−∞→ xx
x
xx exlímexlímxflím
y = 0 es asíntota horizontal cuando x → −∞ (y < 0)
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: y' = ex + (x+1)ex = (x+2)ex y' = 0 → x + 2 = 0 → x = −2
Signo de y':
f (x) es decreciente en (−∞, −2); es creciente en (−2, +∞). Tiene un mínimo en
• Puntos de corte con los ejes:
Con el eje Y → x = 0 → y = 1 → Punto (0, 1)
Con el eje X → y = 0 → x = −1 → Punto (−1, 0)
• Gráfica:
Ejercicio nº 10.-
Representa la función:
y = x2lnx Solución:
• Dominio = (0, +∞)
• Asíntotas:
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
( ) ( ) parabólica Rama, →+∞=+∞=+∞→+∞→ x
xflímxflímxx
2
12,e− −
( ) .verticales asíntotas tiene No .00
=+→
xflímx
( ) ( ) parabólica Rama, →+∞=+∞=+∞→+∞→ x
xflímxflímxx
( )1221·2' +=+=+= xlnxxxlnxx
xxlnxy 2
Signo de y ':
• Puntos de corte con los ejes:
No corta al eje Y, pues no está definida en x = 0.
Con el eje X → y = 0 → x2lnx = 0
• Gráfica:
Ejercicio nº 11.-
Estudia la siguiente función y dibuja su gráfica:
Solución:
• Dominio =
• Simetrías:
No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen.
• Ramas infinitas:
( )
=→−=
=
→=+→=−21
21
vale) (no 0
0120'exxln
x
xlnxy
( ) mínimo un Tiene ., en creciente es y 0, en edecrecient es 21
21
∞+
−−
eexf
.2
1, en 21
−−
ee
( )
→=→=
=→=
0,1 Punto10
vale) (no 002
xlnx
xx
xxxy 323
23
++=
( ) ( )3
22 33xf x x x f x−
− = + − =
( ) ( ) ∞+=∞−=∞+→∞−→
xflímxflímxx
,
• Puntos singulares:
f ' (x) = x2 + 4x + 3
• Cortes con los ejes:
Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0)
x3 + 6x2 + 9x = 0 → x(x2 + 6x + 9) = 0 → x(x + 3)2 = 0 →
• Puntos de inflexión: f '' (x) = 2x + 4
• Gráfica:
Ejercicio nº 12.-
Representa la siguiente función:
Solución:
• Dominio =
• Simetrías:
( )
−=−=±−
=±−
=−±−
=→=31
224
244
2121640'
xx
xxf
( )
−−−
34,1;0,3 :Puntos
32Con el eje 0 2 3 0
3xX y x x→ = → + + =
( ) ( )0,3,0,0 Puntos3
0−
−=
=→
x
x
( )
−−→−=→=
32,2 Punto20'' xxf
212
−−−
=x
xxy
( )2 1
2x xf x
x+ −
− =− −
No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen.
• Asíntotas verticales:
• Asíntota oblicua:
Posición de la curva respecto a la asíntota: f (x) − (x + 1) < 0 si x → − ∞ (curva por debajo) f (x) − (x + 1) > 0 si x → + ∞ (curva por encima)
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
Puntos (1, 1) y (3, 5).
Signo de f ' (x):
f (x) es creciente en (−∞, 1) ∪ (3, +∞); es decreciente en (1, 2) ∪ (2, 3). Tiene un máximo en (1, 1) y un mínimo en (3, 5).
• Corte con los ejes:
Puntos: (−0,62; 0); (1,62; 0)
• Gráfica:
( )
( )vertical asíntota es 2
2
2=
∞+=
∞−=
+
−
→
→x
xflím
xflím
x
x
oblicua asíntota es 12
112
12
+=→−
++=−
−−= xy
xx
xxxy
( )( ) ( )2
2
2
22
2
2
234
21242
)2()1()2)(12('
−
+−=
−
++−+−−=
−−−−−−
=x
xxx
xxxxxx
xxxxxf
( )
==±
=±
=−±
=→=+−→=31
224
244
2121640340' 2
xx
xxxxf
→=→=→
21,0 Punto
210 eje el Con - yxY
2 0,621 1 4Con el eje 0 1 01,622
xX y x x x
x≈ −± +
→ = → − − = → = ≈
Ejercicio nº 13.-
a) Estudia los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la función:
f (x) = cos2x − cosx , x ∈ [0, 2π] b) Represéntala gráficamente. Solución:
a) • Dominio = [0, 2π]
• Puntos de corte con los ejes:
Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0)
Con el eje X → y = 0 → y = cos2x − cosx = 0 → cosx(cosx − 1) = 0
• Máximos y mínimos: f ' (x) = −2cosxsenx + senx = −sen2x + senx f ' (x) = 0 → senx(−2cosx + 1) = 0
Estudiamos el signo de f '' (x) = −2cos2x + cosx en esos puntos:
f '' < 0 en x = 0, x = π, x = 2π Máximos (0, 0), (π, 2), (2π, 0)
π==→=
π=
π=→=
2,01
23,
20
xxcosx
xxcosx
( ) ( )0,2y0,2
3,0,2
,0,0 Puntos π
π
π
π=
π=→=→=+−
π=π==→=
35,
321012
2,,00
xxcosxcosx
xxxxsen
35,
3 en 0'' π
=π
=> xxf
−π
−π
41,
35,
41,
3 os Mínim
b) Gráfica:
Ejercicio nº 14.-
Representa gráficamente la función:
y = e1−x2 Solución:
• Dominio = .
• Asíntotas:
No tiene asíntotas verticales.
y = 0 es asíntota horizontal (la curva está por encima)
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: y' = −2xe1−x2 y' = 0 → −2x = 0 → x = 0
Signo de f ' (x):
f (x) es creciente en (−∞, 0); es decreciente en (0, +∞). Tiene un máximo en (0, e).
• Gráfica:
( ) ( ) ( )( )xxfxflímxflímxx
todo para 0 0 >==+∞→−∞→
Ejercicio nº 15.-
Estudia y representa la función:
Solución:
• Dominio = (−∞, 0] ∪ [3, +∞)
• Asíntotas:
No tiene asíntotas verticales.
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
( ) xxxf 32 −=
( ) +∞=−∞→
xflímx
( ) 132
−=−
+=
+∞→−∞→ xxxlím
xxflím
xx
( )[ ] =++
++−+=
−+=+
+∞→+∞→−∞→ xxx
xxxxxxlímxxxlímxxflímxxx 3
)3()3(32
222
23
113
3
3
3
322
22
=+
=++
=++
−+=
+∞→+∞→ xxx
xlímxxx
xxxlímxx
. cuando oblicua asíntota es 23
−∞→+−= xxy
( )
+−<
23xxf
( ) +∞=+∞→
xflímx
( ) 132
=−
=+∞→+∞→ x
xxlímxxflím
xx
( )[ ] =+−
+−−−=
−−=−
+∞→+∞→+∞→ xxx
xxxxxxlímxxxlímxxflímxxx 3
)3()3(32
222
23
113
3
3
3
322
22 −=
+−
=+−
−=
+−
−−=
+∞→+∞→ xxx
xlímxxx
xxxlímxx
. cuando ablícua asíntota es 23
+∞→−= xxy
( )
−<
23xxf
( )xx
xxf32
32'2 −
−=
( ) vale) (no 230320' =→=−→= xxxf
Signo de f ' (x):
f (x) es decreciente en (−∞, 0); es creciente en (3, +∞).
• Pasa por (0, 0) y (3, 0).
• Gráfica:
Ejercicio nº 16.-
Representa la función:
Solución:
• Dominio =
• Simetrías:
No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni al origen.
• Ramas infinitas:
• Puntos singulares:
f' (x) = 2x2 − 2x − 4
• Cortes con los ejes:
( )
= xfx definida está no
23 en singulares puntos tiene No
( ) xxxxf 432 23 −−=
( ) 3 22 43
f x x x x−− = − +
( ) ( ) ∞+=∞−=∞+→∞−→
xflímxflímxx
,
( ) ( )
−==±
=±
=+±
=→=−−→=1
22
312
912
8110220' 2
xx
xxxxf
−
−
320,2;
37,1 :singulares Puntos
Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0)
2x3 − 3x2 − 12x = 0 → x (2x2 − 3x − 12) = 0 →
Puntos: (0, 0); (−1,81; 0); (3,31; 0)
• Puntos de inflexión: f '' (x) = 4x − 2
• Gráfica:
Ejercicio nº 17.-
Representa gráficamente la función:
Solución:
• Dominio =
• Simetrías:
• No tiene síntotas verticales.
• Asíntota oblicua:
Posición de la curva respecto a la asíntota:
3 22Con el eje 0 4 03
X y x x x→ = → − − =
−≈
≈=
±=
+±=→=−−
=
→
81,1
31,341053
4969301232
0
2
x
xxxx
x
( )
−
→==→=613,
21 Punto
21
420'' xxf
222
3
+=
xxy
( ) ( ) origen al respecto simétrica :impar Es . 2
22
3
xfx
xxf =+
−=−
oblicua asíntota es 22
422
222
3
xyx
xxx
xy =→+
−=+
−=
f (x) − 2x > 0 si x → − ∞ (curva por encima). f (x) − 2x < 0 si x → + ∞ (curva por debajo).
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
f ' (x) > 0 para todo x ≠ 0 → f (x) es creciente. (Hay un punto de inflexión en (0, 0)).
• Corte con los ejes:
Con el eje Y → x = 0 → y = 0 → Punto (0, 0)
Con el eje X → y = 0 → x = 0 → Punto (0, 0)
• Gráfica:
Ejercicio nº 18.-
Dada la función:
f (x) = cosx − senx , x ∈ [0, 2π] Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos. Utilizando esta información, dibuja su gráfica: Solución:
• Dominio = [0, 2π]
• Puntos de corte con los ejes:
Con el eje Y → x = 0 → y = 1 → Punto (0, 1) Con el eje X → y = 0 → cosx − senx = 0 → 1 − tgx = 0
• Máximos y mínimos: f ' (x) = −senx − cosx f ' (x) = 0 → −senx − cosx = 0 → tgx + 1= 0 → tgx = −1
( ) 22
24
22
424
22
322
)2(122
)2(4126
)2(2·2)2(6'
++
=+
−+=
+−+
=x
xxx
xxxx
xxxxxf
( ) ( ) 00621220' 2224 =→=+=+→= xxxxxxf
π
π
→π
=π
=→= 0,4
5,0,4
Puntos4
5,4
1 xxtgx
Estudiamos el signo de f '' (x) = −cosx + senx en esos puntos:
• Gráfica:
Ejercicio nº 19.-
Dibuja la gráfica de la función:
f (x) = xex+2 Solución:
• Dominio =
• Asíntotas:
No tiene asíntotas verticales.
y = 0 es asíntota horizontal si x → −∞ (f (x) < 0)
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f ' (x) = ex+2 + xex+2 = (1 + x)ex+2 f ' (x) = 0 → 1 + x = 0 → x = −1
Signo de f ' (x):
f (x) es decreciente en (−∞, −1); es creciente en (−1, +∞). Tiene un mínimo en (−1, −e).
47,
43 π
=π
= xx
−
π→>
π 2,
43 en Mínimo0
43''f
π
→<
π 2,
47 en Máximo0
47''f
( ) ( ) 022 =
−=−=
−+∞→
+−
+∞→−∞→ xx
x
xx exlímxelímxflím
( ) ( ) parabólica Rama, →+∞=+∞=+∞→+∞→ x
xflímxflímxx
• Corta a los ejes en (0, 0).
• Gráfica:
Ejercicio nº 20.-
Estudia y representa:
Solución:
• Dominio:
x3 + 3x2 ≥ 0 → x2 (x + 3) ≥ 0 → x ≥ −3
Dominio = [−3, +∞)
• Asíntotas:
No tiene asíntotas verticales.
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
En x = 0 y en x = −3 no existe f ' (x), pues se anula el denominador.
Signo de f ' (x):
f (x) es creciente en (−3, −2) ∪ (0, +∞); es decreciente en (−2, 0). Tiene un máximo en (−2, 2). Tiene un mínimo en (0, 0) (aunque no sea derivable en este punto).
• Puntos de corte con los ejes:
Corta a los ejes en (−3, 0) y en (0, 0).
( ) 23 3xxxf +=
( ) ( ) parabólica Rama; →+∞=+∞=+∞→+∞→ x
xflímxflímxx
( )23
2
32
63'xx
xxxf+
+=
( ) ( )
−=
=→=+→=+→=
2
vale) (no 00230630' 2
x
xxxxxxf
• Gráfica:
Ejercicio nº 21.-
Estudia y representa la función:
y = x4 − 2x2 + 1 Solución:
• Dominio = .
• Simetrías:
f (−x) = x4 − 2x2 + 1 = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.
• Ramas infinitas:
• Puntos singulares:
f ' (x) = 4x3 − 4x = 4x (x2 −1)
Puntos singulares: (0, 1); (−1, 0); (1, 0)
• Cortes con los ejes:
Con el eje Y → x = 0 → y = 1 → Punto (0, 1)
Con el eje X → y = 0 → x4 − 2x2 + 1= 0
Cambio: x2 = z → z2 − 2z + 1 = 0
Puntos (−1, 0) y (1, 0).
• Puntos de inflexión:
f '' (x) = 12x2 − 4
( ) ( ) ∞+=∞+=∞+→∞−→
xflímxflímxx
,
( ) ( )
=
−=→=−
=→=
=−→=
1
101
004
0140'2
2
x
xx
xx
xxxf
=
−==→=
−±=
1
111
2442 2
x
xxz
Puntos (−0,58; 0,44) y (0,58; 0,44) • Gráfica:
Ejercicio nº 22.-
Estudia y representa la función:
Solución:
• Dominio = − {−2, 2}
• Simetrías:
• Asíntotas verticales:
• Asíntota horizontal:
Si x → −∞ y si x → +∞, f (x) < −1 → la curva está por debajo de la asíntota.
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
( ) 58,031
31
12404120'' 22 ±≈±=→==→=−→= xxxxf
( ) 2
2
41
xxxf
−+
=
( ) ( ) Yxfx
xxf eje al respecto simétrica :par Es . 4
12
2
=−
+=−
( )
( )vertical asíntota es 2
2
2−=
∞+=
∞−=
+
−
−→
−→x
xflím
xflím
x
x
( )
( )vertical asíntota es 2
2
2=
∞−=
∞+=
+
−
→
→x
xflím
xflím
x
x
( ) ( ) horizontal asíntota es 11 −=→−==+∞→−∞→
yxflímxflímxx
( ) 2222
33
22
22
)4(10
)4(2228
)4()2(·)1()4(2'
xx
xxxxx
xxxxxxf
−=
−++−
=−
−+−−=
( ) 00100' =→=→= xxxf
Signo de f ' (x):
f (x) es decreciente en (−∞, −2) ∪ (−2, 0); es creciente en (0, 2) ∪ (2, +∞).
• Corte con los ejes:
Con el eje X → y = 0 → x2 + 1 = 0 → No corta al eje X
Puntos (−0,62; 0); (1,62; 0).
• Gráfica:
Ejercicio nº 23.-
Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la siguiente función:
y = 2 − sen2x , x ∈ [0, 2π] Utilizando la información obtenida, representa la función: Solución:
• Dominio = [0, 2π]
• Puntos de corte con los ejes:
Con el eje Y → x = 0 → y = 2 → Punto (0, 2)
• Máximos y mínimos:
y ' = −2senxcosx = −sen2x
Estudiamos el signo de y '' = −2cos2x en esos puntos:
.410, en mínimo un Tiene
1 1Con el eje 0 Punto 0,4 4
Y x y → = → = →
2 2Con el eje 0 2 0 2 2X y sen x sen x sen x→ = → − = → = → = ± →. eje al corta No solución. tiene No X→
π=
π=→=
π=π==→=
→=−→=
23,
20
2,,00
020'xxcosx
xxxsenx
senxcosxy
y '' < 0 en x = 0, x = π y x = 2π.
Máximos: (0, 2); (π, 2); (2π, 2)
• Gráfica:
Ejercicio nº 24.-
Estudia y representa:
f (x) = x2ex Solución:
• Dominio =
• Asíntotas:
No tiene asíntotas verticales.
y = 0 es asíntota horizontal cuando x → −∞ (f (x) > 0)
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f ' (x) = 2xex + x2ex = (2x + x2)ex
Signo de f ' (x):
f (x) es creciente en (−∞, −2) ∪ (0, +∞); es decreciente en (−2, 0). Tiene un máximo en
.2
3 y 2
en 0'' π=
π=> xxy
π
π 1,
23;1,
2 :Mínimos
( ) 02
2 ===+∞→
−
+∞→−∞→ xx
x
xx exlímexlímxflím
( ) ( ) parabólica Rama, →+∞=+∞=+∞→+∞→ x
xflímxflímxx
( ) ( )
−=
=→=+→=+→=
2
002020' 2
x
xxxxxxf
• Corta a los ejes en (0, 0).
• Gráfica:
Ejercicio nº 25.-
Estudia y representa la siguiente función:
y = ln(x2 − 9) Solución:
• Dominio = (−∞, −3) ∪ (3, +∞).
• Simetrías:
f (−x) = f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.
• Asíntotas:
• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
y' = 0 → 2x = 0 → x = 0 (no vale)
No tiene puntos singulares (en x = 0 no está definida f (x)).
Signo de f ' (x):
f (x) es decreciente en (−∞, −3); y es creciente en (3, +∞).
• Puntos de corte con los ejes:
( )2
42, y un mínimo en 0, 0 .e
−
( ) vertical. asíntota es 33
−=→−∞=−−→
xxflímx
( ) vertical. asíntota es 33
=→−∞=+→
xxflímx
( ) ( )
( ) ( )sparabólica Ramas
0,
0,
=+∞=
=+∞=
+∞→+∞→
−∞→−∞→
xxflímxflím
xxflímxflím
xx
xx
92' 2 −
=x
xy
No corta al eje Y, pues f (x) no está definida en x = 0.
• Gráfica:
2 2Con el eje ( 9 0 9 1 10X ln x x x→ − ) = → − = → = ±
( ) ( )0,10;0,10 :Puntos −
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