regressione lineare parte 2 corso di misure meccaniche e termiche david vetturi
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Regressione Lineareparte 2
Corso di
Misure Meccaniche e Termiche
David Vetturi
2
Misure Meccaniche e Termiche Regressione Lineare
La quantità 2 indica quanto il modello non è in grado di spiegare la variabilità delle Y complessivamente.Tale “errore” può essere mediato fra tutti gli m punti osservati e dunque
Varianza residua:Il modello generato attraverso il metodo dei minimi quadrati descrive la variabilità della grandezza Y che può essere pensata essere funzione diretta di X.
m
kkk
m
kk xyy
1
2
1
22
nm
xyy
nm
m
kkk
m
kk
1
2
1
2
20
3
Misure Meccaniche e Termiche Regressione Lineare
Il metodo della stima ai Minimi Quadrati presentato permette di valutare la ennupla di parametri (1, 2 … n) che identifica il modello funzionale di relazione fra Y e X all’interno delle funzioni di uno spazio vettoriale generato da una base di funzioni (1, 2 … n)
Regressione lineare
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Misure Meccaniche e Termiche Regressione Lineare
Si può pensare cha la serie di m punti (xk,yk) sia estratta dalla distribuzione congiunta fxy(x,y) e che ne rappresenti un campione.
Per ogni campione estratto dalla popolazione X-Y il metodo associa una ennupla (1, 2 … n) che può essere vista come una variabile casuale a n-dimensioni funzione (attraverso il metodo) della VC doppia X-Y
La quantità 02 indica la variabilità non spiegata
dal modella e permette di valutare la variabilità dei parametri (variabile casuale a n-dimensioni).
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Misure Meccaniche e Termiche Regressione Lineare
Nel caso in cui le funzioni di base risultano fra loro ortogonali le quantità i risultano tra loro indipendenti e la loro varianza vale:
m
kki x
i
1
2
202
120
AC
Mentre nel caso generale in cui le funzioni di base non sono fra loro ortogonali si ha che la matrice di covarianza della variabile casuale a n dimensioni è data da:
dove C è la matrice di covarianza e A la matrice del sistema lineare che permette di valutare i parametri
Varianza dei parametri :
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Misure Meccaniche e Termiche Regressione Lineare
Analogamente al caso dei parametri , anche il modello che questi definiscono è funzione del “campione” estratto da X-Y.
La varianza dei parametri può essere dunque propagata sul modello y(x).
Per ogni valore di x si ha:
2
1
22)( i
n
iixy x
Varianza del modello:
7
Misure Meccaniche e Termiche Regressione Lineare
Txy C 2)(
)(..)()( 21 xxx n
Mentre nel caso generale in cui le funzioni di base non sono fra loro ortogonali si ha:
dove
Varianza del modello:
8
Misure Meccaniche e Termiche Regressione Lineare
Se il modello viene utilizzato per fare previsioni, ovvero se viene utilizzato per valutare il valore di y in corrispondenza di una certa ascissa x si ha che le cause di variabilità sono due:
- la variabilità del modello 2y(x)
- la variabilità delle Y non spiegata dal modello 20
e dunque:
20
2)(
2 xyy prev
Varianza della previsione:
9
Misure Meccaniche e Termiche Regressione Lineare
Come mostrato precedentemente è possibile calcolare i parametri della retta ai minimi quadrati a partire dai punti (xk,yk) dati. Lo scarto indica quanto il modello non è in grado di spiegare la variabilità delle ordinate.x y y(x) scarto
0.8 21 31.30 -10.302.5 36 38.95 -2.953.8 53 44.80 8.205.3 48 51.56 -3.566.8 61 58.31 2.698.2 78 64.61 13.3910.3 77 74.07 2.9312.6 75 84.42 -9.4214.7 99 93.88 5.1218.3 104 110.09 -6.09
Retta ai minimi quadrati: esempio numerico - continuazione
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Misure Meccaniche e Termiche Regressione Lineare
Come abbiamo visto la quantità 2 indica quanto il modello non è in grado di spiegare la variabilità delle Y complessivamente e in questo caso:
7.5411
2
1
22
m
kkk
m
kk xyy
7.67
8
7.5411
2
1
2
20
nm
xyy
nm
m
kkk
m
kk
e dunque la varianza non spiegata dal modello è:
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Misure Meccaniche e Termiche Regressione Lineare
Come abbiamo visto la quantità 2 indica quanto il modello non è in grado di spiegare la variabilità delle Y complessivamente e in questo caso:
7.5411
2
1
22
m
kkk
m
kk xyy
7.67
8
7.5411
2
1
2
20
nm
xyy
nm
m
kkk
m
kk
e dunque la varianza non spiegata dal modello è:
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Misure Meccaniche e Termiche Regressione Lineare
I parametri stimati 1 e 2 che sono stati valutati sono:
e la varianza dei due parametri sono:
50.4
841.284
44.1282
)(
)(
1
2
12
m
kk
m
kkk
xx
xxxy2.65
10
652)(
11
m
xym
kk
77.6
10
7.67
1
21
202
1
m
kkx
2377.0
841.284
7.67
1
22
202
2
m
kkx
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Misure Meccaniche e Termiche Regressione Lineare
.
Come è stato indicato precedentemente la varianza dei parametri può essere dunque propagata sul modello y(x). Analogamente per la varianza della previsione effettuata a partire dal modello.Per ogni valore di x si ha:
2
1
22)( i
n
iixy x
Retta ai minimi quadrati: esempio numerico – varianza del modello
20
2)(
2 xyy prev.
attorno al modello possono essere individuate due fasce di ampiezza k. che individuano rispettivamente:•inviluppo dei modelli probabili per la relazione y=y(x)•luogo dei punti ipotizzabili come previsioni di y a partire dal modello y(x)
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