quante sono le diagonali di un poligono convesso? fine
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Quante sono le diagonali di un poligono convesso?
fine
Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)?
M d3 0
fine
Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)?
M d3 04 2
fine
Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)?
M d3 04 25 5
fine
Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)?
M d3 04 25 56 9
fine
Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)?
M d3 04 25 56 9e poi?
37 ?1115 ?M ?
fine
Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)?Proviamo a produrre una congettura?
3 3
3
3
3
3
3 x 6 = 18
fine
Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)?Proviamo a produrre una congettura?
3 3
3
3
3
3
3 x 6 = 18ma ogni diagonale
è contata due volte!Quindi sono18 : 2 = 9
fine
Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)?
E in generale?
3 3
3
3
3
3
3 x 6 = 18ma ogni diagonale
è contata due volte!Quindi sono18 : 2 = 9
fine
Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)?
E in generale?
3
3
M (M - 3)ma ogni diagonale
è contata due volte!Quindi sono
d = M (M - 3) : 2Ci sono M vertici
e da ciascuno escono (M-3)
diagonali
fine
Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)?
CONGETTURASe M è il numero dei vertici,il numero delle diagonali è
d = M (M - 3) : 2
fine
Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)?
CONGETTURASe un poligono ha M vertici il numero delle diagonali è
d = M (M - 3) : 2Abbiamo una bella congettura.
Se fossimo sicuri che è valida, potremmo affermare (senza disegnare) che
un poligono con 37 vertici ha37 x 34 : 2 = 37 x 17 = 629
diagonali
fine
Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)?
CONGETTURASe un poligono ha M vertici il numero delle diagonali è
d = M (M - 3) : 2Abbiamo una bella congettura.
Se fossimo sicuri che è valida, potremmo affermare (senza disegnare) che
un poligono con 37 vertici ha37 x 34 : 2 = 37 x 17 = 629
diagonaliCome possiamo dimostrare che la congettura vale per ogni M?
fine
Peano ci aiuta con ilPrincipio (o Metodo) di Induzione
Matematica(Assioma dell’Induzione)
Il metodo si compone di due passi:1. Verifica che la proprietà vale per un numero naturale (di solito, si prova per M = 0 o M = 1)2. Dimostra che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1
L’assioma afferma che:Se sono soddisfatte queste due condizioni, allora la proprietà vale per ogni numero naturale (a partire dal primo per cui è stata verificata, di solito 0 o 1 ).
fine
Che idea ‘sta sotto’ ilPrincipio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al
successivo
fine
Che idea ‘sta sotto’ ilPrincipio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al
successivo
fine
Che idea ‘sta sotto’ ilPrincipio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al
successivo
fine
Che idea ‘sta sotto’ ilPrincipio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al
successivo
fine
Che idea ‘sta sotto’ ilPrincipio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al
successivo
fine
Che idea ‘sta sotto’ ilPrincipio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al
successivo
fine
Che idea ‘sta sotto’ ilPrincipio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al
successivo
fine
Che idea ‘sta sotto’ ilPrincipio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al
successivo
fine
Che idea ‘sta sotto’ ilPrincipio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al
successivo
e così via
fine
Che idea ‘sta sotto’ ilPrincipio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore: è come quando spingo una tessera del domino
che fa cadere via via quelle che la seguono
0 1 2 3 e così via
fine
Che idea ‘sta sotto’ ilPrincipio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore: è come quando spingo una tessera del domino
che fa cadere via via quelle che la seguono
0 1 2 3 4 5 e così via
fine
Applico nel nostro caso ilPrincipio (o Metodo) di Induzione
Matematica
1. Verifico che la proprietà vale per il numero naturale 3 (il primo della tabella)
il triangolo non ha diagonalid = 3 (3 - 3) : 2 = 0. OK
2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1.
Fatto questo, sarà certo che la formula d = M (M - 3) : 2
vale per un poligono con un numero qualsiasi di vertici M ( 3).
fine
Procedo con il passo 2
2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha
m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha
(m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonalicioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
fine
2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha
m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonalicioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
m (m - 3) : 2diagonali
fine
2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonalicioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
Qui ci sono m (m - 3) diagonali
m (m - 3) : 2diagonali
Disegno un altro vertice(m +1)°
fine
2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonalicioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
Qui ci sono m (m - 3) diagonali
Qui ci sono m (m - 3) diagonali
Disegno un altro vertice(m +1)°
Quante sono le diagonali?
Qui ci sono m (m - 3):2diagonali
m (m - 3) : 2diagonali
fine
2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonalicioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
Qui ci sono m (m - 3) diagonali
Qui ci sono m (m - 3) diagonali
Disegno un altro vertice(m +1)°
Quante sono le diagonali?Quelle di prima: m (m - 3) : 2
Qui ci sono m (m - 3):2diagonali
m (m - 3) : 2diagonali
fine
2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonalicioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
Qui ci sono m (m - 3) diagonali
Qui ci sono m (m - 3) diagonali
Disegno un altro vertice(m +1)°
Quante sono le diagonali?Quelle di prima: m (m - 3) : 2Quelle da (m +1)°: m - 2
Qui ci sono m (m - 3):2diagonali
m (m - 3) : 2diagonali
fine
2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonalicioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
Qui ci sono m (m - 3) diagonali
Qui ci sono m (m - 3) diagonali
Disegno un altro vertice(m +1)°
Quante sono le diagonali?Quelle di prima: m (m - 3) : 2Quelle da (m +1)°: m - 2il segmento 1m: 1
Qui ci sono m (m - 3):2diagonali
Qui ci sono m (m - 3) : 2diagonali
m (m - 3) : 2
diagonali
fine
2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonalicioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
Qui ci sono m (m - 3) diagonali
Qui ci sono m (m - 3) diagonali
In tutto sono:m (m - 3) : 2 + (m - 2) + 1 =[m (m - 3) + 2 (m - 1)] : 2 =
[m2 - 3m + 2m - 2] : 2 =[m2 - m - 2] : 2 =
(m + 1) (m - 2) : 2
Qui ci sono m (m - 3):2diagonali
Qui ci sono m (m - 3) : 2diagonali
m (m - 3) : 2
diagonali
fine
2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonalicioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
Qui ci sono m (m - 3) diagonali
Qui ci sono m (m - 3) diagonali
In tutto sono:m (m - 3) : 2 + (m - 2) + 1 =[m (m - 3) + 2 (m - 1)] : 2 =
[m2 - 3m + 2m - 2] : 2 =[m2 - m - 2] : 2 =
(m + 1) (m - 2) : 2 =(m + 1) [(m + 1) - 3]: 2
Qui ci sono m (m - 3):2diagonali
Qui ci sono m (m - 3) : 2diagonali
Fatto!La proprietà vale per ogni
M !!!
fine
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