11recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/edad_1eso... · proportzionaltasun...
Post on 30-Oct-2019
5 Views
Preview:
TRANSCRIPT
MATEMATIKA 1. DBH 175
Hasi baino lehen
1. Ardatz koordenatuen sistema …… 178 orr.
Ardatz koordenatuak Puntuaren koordenatuak
2.Grafiko kartesiarrak…………………… 180 orr.
Puntuen grafikoak interpretatzen Grafiko jarraituak interpretatzen
3.Taulak eta grafikoak………………… 182 orr.
Balio taulak
Taulatik grafikora Grafikotik taulara
4.Grafikoen adibide gehiago…………… 186 orr.
Proportzionaltasun zuzenekoak
Beste adibide batzuk Praktikatzeko ariketak
Gehiago jakiteko
Laburpena
Autoebaluazioa
Tutoreari bidaltzeko jarduerak
Helburuak Hamabostaldi honetan, hau ikasiko
duzu:
Puntuak planoan adierazten.
Puntu baten koordenatuak
kalkulatzen.
Grafiko kartesiarrak egiten eta
interpretatzen.
Datu-taulak egiten eta
interpretatzen.
Taula eran edo grafiko eran
adierazitako magnitudeetatik
zeintzuk diren zuzenki
proportzionalak bereizten.
Tablas y gráficas 11
Taulak eta grafikoak 11
176 MATEMATIKA 1. DBH
MATEMATIKA 1. DBH 177
Hasi baino lehen
Zein da irudi hauen erlazioa?
Begiratu orrialde honetako irudiak. Zertan dute elkarren antza aurkezpen
honetako irudiek?
Taulak eta grafikoak
178 MATEMATIKA 1. DBH
1. Ardatz koordenatuen sistema
Ardatz koordenatuak
Beheko irudian, koordenatu kartesiarren sistema
bateko elementuak ikus ditzakezu. Koordenatu
kartesiarren sistemari esker, aurrerapauso handiak
eman dira Matematikako hainbat arlotan.
Puntuaren koordenatuak
Orrialde honetako irudian, ardatz kartesiarrak,
hainbat puntu eta puntu horien koordenatuak ikus
ditzakezu.
Bikote ordenatu bat dira puntuaren koordenatuak.
Taulak eta grafikoak
Abzisa eta ordenatu ardatzak
dira ardatz koordenatuen
sistema (edo sistema
kartesiar) bateko zenbakizko
bi ardatz perpendikularrak.
Abzisa ardatza horizontala da,
eta ordenatu ardatza bertikala.
Koordenatu jatorria da bi ardatzen ebaki puntua.
• Ardatz bertikaletik zer
distantziatara dagoen puntua
adierazten digu lehenengo
koordenatuak (abzisak).
• Ardatz horizontaletik zer
distantziatara dagoen puntua
adierazten digu bigarren
koordenatuak (ordenatuak).
Abzisa ardatza
Ord
en
atu
ard
atz
a
Jatorria
Lehenengo koadrantea Bigarren koadrantea
Hirugarren koadrantea Laugarren koadrantea
MATEMATIKA 1. DBH 179
ARIKETA ebatziak
1. Bete grafikoko laukitxoak:
Hauek dira terminoak (goitik behera eta ezkerretik eskuinera): bigarren, ordenatu,
koordenatu, hirugarren, lehenengo, abzisa, laugarren.
2. Bete beheko taula irudiko puntuen koordenatuekin:
Puntuak: A(3,1) B(3,-1) C(3,5) D(-1,-5) E(3,3) F(-9,-9) G(-1,5) H(5,7)
Taulak eta grafikoak
180 MATEMATIKA 1. DBH
2. Grafiko kartesiarrak
Puntuen grafikoak interpretatzen
Grafiko kartesiar baten adibidea dugu beheko
irudia. Zinemara sartzeko dauden pertsonen adina
eta altuera adierazten dituzte grafikoko puntuek.
Bigarren grafikoan, hamar pertsonek egin dituzten
telefono deien prezioa eta iraupena adierazten da.
Zelan interpretu?
Diana da altuena punturik eskuinekoena baita. Andoni da zaharrena goren dagoen puntua baita.
Edurnek eta Inesek altuera bera dute puntu biak ordenatu
ardatzetik distantzia berera
baitaude. Edune eta Felix adin berekoak dira puntu biak baitaude abzisa ardatzetik distantzia berera.
Julio da baxuena, eta Elena gazteena.
8. deia izan da luzeena.
3. deia izan da garestiena eta laburrena.
2. deia izan da laburrena. 2.a eta
8.a dira merkeenak.
Prezio bera dute 1. eta 4. deiek, baina iraupen desberdina izan dute.
Iraupen bera izan dute 6.ak eta 9.ak, baina 6.a da bietatik garestiena.
Zein da toki hurbilenera egindako deia?
8.a da: luzeena eta merkeena baita.
Taulak eta grafikoak
Aztertu honako hauek: zein dagoen goren, zein
dagoen beheren, zein den ezkerrekoena, eta
zein eskuinekoena. Erlazionatu pertsonen
adinekin eta altuerekin.
Aztertu altuera berean dauden puntuak, eta bertikal berean daudenak. Zer erlazio dute?
MATEMATIKA 1. DBH 181
ARIKETA ebatziak
3. Burtzan kotizatzen du EDAD S.A. enpresak urte batzuetatik hona. Beheko
grafikoan, adierazten da zenbatean kotizatu zuten akzioek (€-tan) 2008. urtean
zehar (hil bakoitzaren amaieran). Zein izan da akzioek izan duten kotizaziorik
altuena? Zein hiletan lortu zen? Zein izan da akzioek izan duten kotizaziorik
baxuena? Zein hiletan gertatu zen? Zenbat balio zuten akzioek ekainean?
Kotizaziorik altuena: 70€, abenduan lortu zen. Kotizaziorik baxuena: 10 €, eta abuztuan lortu zen. Ekainean, akzioek 40€-ko balioa izan zuten.
Grafikoak interpretatzen:
Bidaia hasi eta bi ordutara, hasierako puntutik 40 km-ra aurkitzen da txirrindularia.
Beste 20 km gehiago egiten ditu, baina hasierako punturantz
itzultzen.
Berriro urruntzen hasten da; 10 km egiten ditu, eta gelditu egiten da ordu beteko deskantsua hartzeko.
Bizikleta hartu, eta hasierako puntura bueltatzen da: 30 km egiten ditu bi ordutan.
Grafiko jarraituak interpretatzen
Grafiko kartesiarraren beste adibide bat dugu
beheko irudian. Jarraitua da grafikoa, eta txirrindulari batek egindako ibilbidea adierazten du.
Aztertu: grafikoko zer tartetan urruntzen den
txirrindularia, zer tartetan itzultzen ari den, eta zer tartetan dagoen geldi.
Taulak eta grafikoak
182 MATEMATIKA 1. DBH
3. Taulak eta grafikoak
Balio taulak
Hainbat modutan jaso ditzakegu datu multzoak:
hitzezko adierazpen baten bidez, formula edo ekuazio
baten bidez... Datu horiek taula batean jartzeak
asko errazten du datuak interpretatzea eta grafikoki
adieraztea.
Ikus dezagun nola sortzen den bi sarrerako taula
bat hitzezko adierazpenaren bidez edo ekuazio baten
bidez jasotako datuekin.
1. adibidea (datuak hitzezko adierazpenean):
200 bazkide ditu kirol-klub batek. Horietatik 20
igeriketan aritzen dira, 35 futbolean, 15 boleibolean,
40 saskibaloian, 30 atletismoan, 10 tenisean, 24
eskubaloian, eta 26 gimnastikan.
Taularen itxura aukeratuko dugu, hasteko. Bertikala
izango da lehenengo adibide honetako taula
(eskuinean goialdean ageri dena). Enuntziatua
aztertuta, 2 zutabe eta 9 errenkada (errenkada bat
gehitu dugu bertan adierazteko zer esan nahi duen
zutabe bakoitzak) izango ditu taulak. Enuntziatuan
azaltzen diren magnitudeen izenak idatziko ditugu
lehenengo gelaxketan. Kirolen izenak idatziko ditugu
lehenengo zutabeko gelaxketan. Enuntziatuan ageri
diren ordenan jarriko ditugu, baina beste ordena
batean jar genitzakeen (alfabetikoki, esaterako).
Bigarren zutabean, idatziko dugu zenbat bazkidek
praktikatzen duten ezkerreko zutabeko kirol bakoitza.
Azkenean, eskuinean dugun taula izango genuke.
kirola bazkideak
kirola bazkideak
igeriketa
futbola
boleibola
saskibaloia
atletismoa
tenisa
eskubaloia
gimnastika
kirola bazkideak
igeriketa 20
futbola 35
boleibola 15
saskibaloia 40
atletismoa 30
tenisa 10
eskubaloia 24
gimnastika 26
Aztertu: zein ordenatan jartzen diren balioak,
eta zer-nolako aukerak dauden taulak antolatzeko.
Taulak eta grafikoak
MATEMATIKA 1. DBH 183
Bigarren adibidea (datuak ekuazio eran):
Honenbeste diru ordaindu beharko dugu laranja
zukuko botilatxoak erosteko:
prezioa = 0,75 · botilatxo kopurua
Taula bat idatziko dugu prezioa eta botilatxo kopurua
erlazionatuko dituena. Botilatxoen kopurua: 1etik
10era. Horizontalean idatziko dugu taula hau.
Enuntziatua aztertuta, bi errenkada eta hamaika
zutabe izan behar duela erabakiko dugu (zutabe bat
gehitu dugu errenkada bakoitza zer magnituderi
dagokion adierazteko).
Honelako zerbait izan liteke gure taula:
Botilatxoen kopuruak idatziko ditugu lehenengo
errenkadako gelaxketan:
Botilatxoei dagozkien prezioak idatziko ditugu
bigarren errenkadako gelaxketan. Lehenengo
formularekin kalkulatuko ditugu prezioak. Hau da
gure taula, oso-osorik:
Taulatik grafikora
Askotan, taula batean jasotako datuak grafikoki
adierazi beharko ditugu.
Ikus dezagun nola adierazi grafikoki ezkerreko
taulako datuak. Lehenengo, ardatz koordenatuak
irudikatuko ditugu. Ondoren, taulari dagokion
grafikoa egingo dugu ardatz koordenatuen sisteman.
Taulako balio bikoteak eramango ditugu: bikoteak
puntuen koordenatuak izango dira.
Botilatxo kopurua
prezioa
Botilatxo kopurua
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
prezioa
Botilatxo kopurua
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
prezioa 0,75 1,5 2,25 3 3,75 4,5 5,25 6 6,75 7,5
Aztertu: nola kalkulatzen diren
eskatzen zaizkigun prezioak
(egin dezagun zukuko 5
botilatxoren prezioaren
kalkulua):
prezioa=0,75 · botilatxoen
kopurua =0,75 · 5 = 3,75 €.
1 botilatxo : 0,75 €
x botilatxo kop.: ?
Taulak eta grafikoak
184 MATEMATIKA 1. DBH
Prozezua bukatzerakoan, eskuinekoa bezalako
grafikoa lortuko dugu. Eskuineko irudian,
segmentuekin lotu dira ondoz-ondoko puntu bikoteak,
nahiz eta beti ez dugun horrelakorik egin behar.
Grafikotik taulara
Grafiko kartesiar baten puntuak adierazten dira
eskuineko irudian. Grafikoari dagokion taula lortu nahi
dugu oraingo honetan.
Hamabostaldi honetako lehenengo ataleko bigarren
ariketan erabili dugun prozezu bera erabiliko dugu.
Ohartu: Taulako X-en lehenengo balioak esango digu zein den
puntuaren abzisa, eta hortik abiatuta gora edo behera joango gara Y-k adierazten duen beste horrenbeste posizio. Horrela lortuko dugu grafikoko lehenengo puntua: (0,6). Prozesua errepikatuko dugu taulako
balio bikote guztiekin. Ezkerreko irudian, ikus daitezke (4,3) puntua adierazteko erabili diren trazuak.
Prozesua: Lehenengo puntua hartuko dugu (ezkerrekoena), eta bertatik Y ardatzarekiko paralelo bat marratuko dugu X ardatzeraino, eta X ardatzarekiko beste paralelo bat Y ardatzeraino.
Paralelo horien eta ardatzen
arteko ebaki puntuak izango dira
puntuaren X eta Y balioak
(koordenatuak). Balio horiek
balio taulan idatziko ditugu.
Gero, prozesua errepikatuko
dugu beste puntu guztiekin.
Azken puntua (eskuinekoena)
idazten dugunean izango dugu
taula osatuta.
Taulak eta grafikoak
MATEMATIKA 1. DBH 185
ARIKETA ebatziak
4. Formula honekin kalkulatzen da taxian egindako bidaiaren prezioa:
prezioa ( €-tan) = 0,55·distantzia (km-tan)+1,5.
Taula bat osatu hurrengo ibilbideetarako: 1, 2, 3, 5, 8, 12 eta 15 km
5. Osatu beheko balio taulari dagokion grafiko kartesiarra.
6. Bete beheko puntuen grafiko kartesiarrari dagokion balio taula.
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Y 3 4 5 10 9 10 2 1 5 2 1 3
Distantzia (km) 1 2 3 5 8 10 12
Prezioa (€) 2,05 2,60 3,15 4,25 5,90 7,00 8,10
Taulak eta grafikoak
186 MATEMATIKA 1. DBH
4. Grafikoen adibide gehiago
Proportzionaltasun zuzenekoak
Pasteltxo baten prezioa 0,5 € bada, zenbat balio dute
bi pasteltxok? eta lauk?
Erraz ondoriozta daiteke prezioa y = 0,5x dela:
prezioa (eurotan) da y, eta pasteltxo kopurua x.
Prezioa eta pasteltxo kopurua zuzenki
proportzionalak dira; eta 0,5 da haien arteko
proportzionaltasun konstantea.
Garatu dezagun apur bat orainarte jasotako
informazioa. Erraz ikus dezakegu pasteltxo kopuru
bakoitzari prezio jakin bat dagokiola. Hau da,
magnitude bi horien artean (pasteltxo kopurua eta
prezioa) lotura bat dago: lehenengo
magnitudearen balio bakoitzari bigarrenaren
balio bat dagokio.
Bi multzoren arteko erlazioari funtzioa esaten zaio
lehenengo multzoko elementu bakoitzari bigarreneko
elementu bakarra badagokio. Hainbat modutan
deskriba daiteke funtzio bat: hitzezko adierazpen
batekin, taula batekin, grafiko batekin edo ekuazio
batekin, aurreko ataletan nola edo hala ikusi dugun
bezala.
Funtzio linealak dira
y=m·x
ekuazioen bidez adierazten direnak. Funtzio linealen
bidez erlazionatzen diren magnitudeak zuzenki
proportzionalak dira, non m proportzionaltasun
konstantea den. Funtzio linealen adibide bat da
goiko pasteltxoen ariketa.
y=0,5·x
x y
0 0
1 0,5
2 1
3 1,5
5 2,5
10 5
Beheko grafikoan, ikus dezakegu y=1,5·x ekuazio duen funtzio linealaren adierazpen grafikoa. A
puntuaren koordenatuek hau betetzen dute: y/x=1,5
Taulak eta grafikoak
Ohartu: Koordenatu jatorritik
igarotzen den zuzen batean
daude lerrokatuta puntuak. Funtzio lineala da.
Ohartu: m-ren balioa edo
proportzionaltasun konstantea zehaztuko digu funtzio lineal baten Y koordenatuaren eta X koordenatuaren arteko zatiketak.
y=1,5·x
5,14
6
x
y
MATEMATIKA 1. DBH 187
y=3·x+8
x min y zent
0 8
1 11
2 14
3 17
5 23
10 38
Beste adibide batzuk
1) Telefonia finkoa eskaintzen duen konpania batek
honela kobratzen digu: dei bakoitzeko, 8 zentimo deia
jasotzen duenak telefonoa hartze hutsagatik, eta 3
zentimo deiak irauten duen minutu bakoitzeko. Dei
baten kostua zehazten duen formula hau da:
y=2x+8, non y deiaren kostua (euro zentimotan)
den, eta x, deiaren iraupena (minututan).
Formularen adierazpen grafikoa ikus dezakezu alboko
irudian.
Kasu honetan, erraz ikus daiteke magitude biak ez
direla zuzenki proportzionalak.
2) Karratu baten aldearen funtzio da perimetroa. 0,5
dm-ko aldea duen karratuari, 4·0,5=2 dm-ko
perimetroa dagokio; eta 2 dm-ko aldea duen
karratuari, 2·4 = 8 dm-ko perimetroa.
Orokorrean, hau esan dezakegu: x aldeko karratu
baten perimetroa y=4x da. Funtzio hori grafikoki
adierazten badugu, ezkerreko grafikoa lortzen da.
Funtzio lineal bat da.
Ohartu: Koordenatu jatorritik
igarotzen EZ den zuzen batean
daude lerrokatuta puntuak. Funtzio afina da.
Taulak eta grafikoak
y=4x
x
x 2
3) 2 dm-ko altuera duen laukizuzen baten
perimetroa ere, oinarriaren funtzio da. x bada
oinarriaren luzera, orduan, perimetroa y=2x+4 da.
Funtzio hori grafikoki adierazten badugu, eskuineko
grafikoa lortuko dugu: koordenatu jatorritik igarotzen
ez den zuzena; funtzio afina da.
188 MATEMATIKA 1. DBH
ARIKETA ebatziak
7. Lau zuzen marratuko dituzu: beheko formulak grafikoki adieraziko dituztenak, hain
zuzen ere. Koordenatu jatorritik eta A puntu batetik igaroko da zuzen bakoitza.
Kasu bakoitzean, non kokatu beharko duzu A puntua?
a) y=3,5·x b) y= -2·x c) y = -0,5·x d) y=2·x
Taulak eta grafikoak
a) Esaterako,
(2,7) puntuan jar dezakegu: x=2 denean, y=3,5·2=7
da.
b) Esaterako,
(-2,4) puntuan
jar dezakegu: x=-2 denean, y=-2·(-2)=4 da.
c) Esaterako,
(-2,1) puntuan jar dezakegu: x=-2 denean, y=-0,5·(-2)=1
da.
c) Esaterako,
(2,4) puntuan jar dezakegu: x=2 denean, y=2·2=4 da.
MATEMATIKA 1. DBH 189
Praktikatzeko
1. Karratu baten lau erpinak zeuden
markatuta orri koadrikulatu batean;
baina erpinetako bat ezabatu egin da.
Koordenatuak erabiliz, non markatu
beharko dugu erpin hori?
2. Mendira joan da lagun talde bat.
Krokis txiki bat egin du taldeko kide
batek; koordenatu ardatzak erabili
ditu. Bertan, ermita bat ageri da.
Zeintzuk dira ermitaren
koordenatuak?
3. Bi herrik tren geltoki bat erabiltzen
dute. Zein da geltokiaren posizioa bi
herriekiko? Errealitateko 500 m
adierazten du grafikoko laukitxo
bakoitzaren aldeak.
4. Aztertu grafikoan adierazten diren
datuak. Zer sumendik ditu erupzio
gehien? Zein da sumendirik altuena?
5. Azkenengo 12 hiletako balantzea
adierazten duen grafikoa aurkeztu du
enpresa batek. Zer hiletan izan du
irabazi gehien aurreneko aldiz? Eta
zer hiletan izan du gutxien azkeneko
aldiz? Zer diru-sarrera izan du
maiatzean?
6. Paseoan irten da Marta etxetik.
Zenbat denbora eman du paseoan?
Zer distantziatara dago etxetik
urrunen dagoen puntua?
Taulak eta grafikoak
190 MATEMATIKA 1. DBH
7. Aztertu beheko grafikoko datuak. Zenbatean saldu da fruta kiloa?
8. 8:00-tan irten da Malagatik Bartzelonara ibilbide luzeko trena. Beheko grafikoan, trenak
egindako ibilbidea adierazten da, denboraren eta trenaren batezbesteko abiaduraren
funtzioan. Zer ordutan heldu da Bartzelonara? Zein izan da trenaren batezbesteko
abiadura?
9. 74 litro/min ur botatzen duen bonba batekin betetzen da ur depositu bat. Beheko
grafikoko zein zuzenek adierazten du zenbat ur dagoen deposituan denboraren
funtzioan?
Taulak eta grafikoak
MATEMATIKA 1. DBH 191
Gehiago jakiteko
Zuzenaren malda
Ikusi dugun bezala, honelakoa da funtzio lineal baten ekuazioa: y=a·x
Malda ere esaten zaio proportzionaltasun konstanteari (hau da, a-ri): adierazten du zenbateko angelua sortzen duen zuzenak X ardatzaren zati positiboarekin.
Beheko irudietan, hiru zuzen ikus ditzakegu. Zuzen horien a-ren balioa: 1,2; 0 eta -1. Erreparatu zuzenen inklinazioari.
y=1,2·x
a=-1 a=0
Taulak eta grafikoak
192 MATEMATIKA 1. DBH
Gogora ezazu
garrantzitsuena
Bi zuzen edo ardatz perpendikularrez dago osatuta adierazpen sistema kartesiarra:
abzisa ardatza (x) eta ordenatu ardatza (y). Koordenatu jatorria da ardatzen
ebaki puntua.
Puntu bat (x,y) koordenatu kartesiar bikotearekin adierazten da planoan.
Zuzen bat edo lerrokatuta dauden puntu multzoa da zuzenki proportzionalak diren bi
magnituderen arteko erlazioaren adierazpen grafikoa.
Koordenatu jatorritik igarotzen dira aurreko puntuko grafiko guztiak; hau da, (0,0)
puntutik. Funtzio linealak dira.
Taulak eta grafikoak
Funtzio linealak
MATEMATIKA 1. DBH 193
Autoebaluazioa
1. Zer izen du ardatz koordenatu sistema baten ardatz bertikalak?
2. Zeintzuk dira A puntuaren koordenatuak?
3. Kokatu B(3,-5) puntua aurreko
ariketako ardatz koordenatu sisteman.
4. Aztertu grafikoko puntuak. Bakoitzak laku bat adierazten
du. Zein da lakurik zabalena? Eta goren kokatuta dagoena?
5. Bete taula falta diren datuekin. Bertan, adierazten da
zenbat disolbatzaile erabili behar den pintura kg-ko, eta formula honekin kalkulatzen da:
disolbatzaile=0,55 · kg pintura+0,2.
6. Bete taulan falta diren datuak. Taularen adierazpen grafikoa da bertan ikusten duzuna.
7. Zein zuzen da taularen adierazpen grafikoa?
8. Taulan adierazitako puntu bat ez dago ondo. Zein da
puntua?
9. Kalkulatu grafikoko funtzio linealaren proportzionaltasun konstantea.
10. Zer motatako funtzioa da grafikokoa?
Kg. pintura 1 2 4
disolbatzailea 0,75 5,7
4)
6)
Taulak eta grafikoak
7)
8)
9)
10)
194 MATEMATIKA 1. DBH
AUTOEBALUAZIOAREN erantzunak
1. Ordenatu ardatza
2. A(2, -6)
3.
4. lakurik zabalena: Berdea
gorenen dagoena: Ispilua
5. x=2 y=1,3; x=4 y=2,4; x=5,7 y=10
6. x=5, y=-12
7. laranja koloreko zuzena
8. D(0,-5). Izan beharko luke: (0,-7)
9. m=3
10. funtzio afina
Praktikatzeko ariketen erantzunak
1. D(2,-3)
2. (1,-6)
3. 2.500 metro A-tik iparralderantz eta
3.500 metro B-tik ekialderantz.
4. Sumendirik altuena: Suharra.
Erupzio gehien dituena: Elurtua.
5. apirila (70 milioi), azaroa (10 milioi), 30 milioi.
6. 50 minutukoa izan da paseoa, eta
Martaren etxetik 700 metrora dago punturik urrunena.
7. 2,3 €/kg
8. Bartzelonara arratsaldeko ordu batean
ailegatzen da trena, eta 240 km/h da
batezbesteko abiadura.
9. Laranja.
Bidali jarduerak tutoreari
Taulak eta grafikoak
top related