program za korišćenje tablice za studentovu raspodelu
Post on 28-Jan-2017
254 Views
Preview:
TRANSCRIPT
SEMINARSKI RAD
Verovatnoca i statistika
Program za koriscenje tablica za
Studentovu raspodelu
Nikola Stanojevic, 18/2009Milos Milakovic, 160/2009
Decembar 2011
1
Sadrzaj
1 Uvod 31.1 Naziv ”Studentova raspodela” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Definicija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Gustina raspodele 42.1 Gustina raspodele za Studentovu raspodelu . . . . . . . . . . . . 42.2 Grafik gustine Studentove raspodele . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Funkcija raspodele 4
4 Osobine Studentove raspodele 54.1 Matemeticko ocekivanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.2 Disperzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.3 Momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.4 Moda i medijana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.5 Koeficijenti asimetrije i spljostenosti . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5 Tablica Studentove raspodele 55.1 Izgled tablice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6 Primeri 9
7 Program za koriscenje tablice Studentove raspodele 11
8 Kod programa 17
9 Literatura 42
2
1 Uvod
Najvaznije svojstvo slucajnih velicina je njihova raspodela opisana gustinomili funkcijom raspodele.Jedna od raspodela je i Studentova raspodela. Studentova raspodela se jos zovei Studentova tn raspodela.
1.1 Naziv ”Studentova raspodela”
Vilijam Sili Goset, William Sealy Gosset,(1876-1937), engleski statisticar, prvikoji se bavio problemom ”malih” uzoraka. Po struci je bio hemicar, zaposlenu pivari ”Ginis” i bavio se ispitivanjem kvaliteta ”finalnog proizvoda” (piva) uzavisnosti od kvaliteta sastojaka. Stoga je, uvidevsi da metode za velike uzorkene mogu biti primenjene, razvio metodologiju istrazivanja i pri tom pronasaoraspodelu, koja se, po njemu naziva i ”Studentova raspodela”. Naime, premauslovima poslodavca, nije smeo da objavljuje clanke pod svojim imenom, negopod pseudonimom, pa je izabrao pseudonim - Student.
1.2 Definicija
Ako su slucajne velicine Y : N(0, 1) i Z : χ2n nezavisne, tada slucajna velicina:
X = Y√Zn
ima Studentovu raspodelu sa n stepeni slobode,u oznaci X : tn.
Dakle, ako su slucajne velicine Y,X1, X2, . . . , Xn nezavisne i sve imaju istu nor-malnu normiranu raspodelu N(0, 1), tada slucajna velicina:
X = Y√n√
X21+X2
2+...+X2n
ima Studentovu tn raspodelu.
3
2 Gustina raspodele
2.1 Gustina raspodele za Studentovu raspodelu
g(x) =Γ(n+1
2 )√πnΓ(n2 )
(1 +x2
n)−
n+12 , x ∈ R.
2.2 Grafik gustine Studentove raspodele
Na slici je dat karakteristicni oblik gustine tn raspodele.
3 Funkcija raspodele
Za t ≤ 0 je:
F (x) =1
2In/(n+x2)(
n
2,1
2),
Za t > 0 je:
F (x) = 1− 1
2In/(n+x2)(
n
2,1
2),
gde je Iz nepotpuna beta funkcija.
4
4 Osobine Studentove raspodele
4.1 Matemeticko ocekivanje
Ako X : tn onda je matematicko ocekivanje:
E(X) = 0 i E(X2k−1) = 0, k ∈ N
4.2 Disperzija
Disperzija je jednaka:
D(X) =
∞ , n ≤ 2n
n− 1, n > 2
4.3 Momenti
m2k−1 = 0, m2k = nk(2k − 1)!!
(n− 2k)(n− 2k + 2) . . . (n− 2)
4.4 Moda i medijana
Mo(X) = Me(X) = 0
4.5 Koeficijenti asimetrije i spljostenosti
π1(X) = 0, π2(X) =6
n− 4
5 Tablica Studentove raspodele
Verovatnoce vezane za Studentovu raspodelu se daju u tablicama, jer je neposrednoizracunavanje tih verovatnoca na osnovu odgovarajuceg integrala gustine raspodelekomplikovano. Tablice za Studentovu t-raspodelu daju vrednosti tα za koje jeverovatnoca
P{| X |≥ tα} = α
5
gde je α zadato i jednako 0.99, 0.95, ..., 0.01 a slucajna velicina X ima t-raspodelu sa n stepeni slobode.
Ukoliko je n ≥ 30, tn raspodela se moze aproksimiratiN(0, 1) raspode-lom, pa je to ujedno i razlog sto u tablicama cesto ne figurisu vrednosti za nvece od 30.
5.1 Izgled tablice
6
7
8
6 Primeri
Neka slucajna velicina X ima Studentovu t5 raspodelu.
Odrediti verovatnoce:
a) P (0.267 ≤ X ≤ 1.476)
Rezultat: P (0.267 ≤ X ≤ 1.476) = t5(1.476)− t5(0.267) = 0.3
b) P (−0.267 ≤ X ≤ 1.476)
Rezultat: P (−1.476 ≤ X ≤ −0.267) = t5(−0.267) + t5(1.476) = 0.3
9
c) P (0.267 ≤ X ≤ 1.476)
Rezultat: P (−1.476 ≤ X ≤ −0.267) = t5(1.476)− t5(0.267) = 0.3
10
7 Program za koriscenje tablice Studentove raspodele
Program za koriscenje tablica za Studentovu raspodelu koristimo da na osnovuunete verovatnoce i stepeni slobode odredimo argument iz tabele. (Forma 1)
Takodje je moguce na osnovu unetog argumenta i unetih stepeni slobodeodrediti trazenu verovatnocu. (Forma 2)
Pocetni ekran programa:
Prikazane su Forma 1 - levo i Forma 2 desno
Forma 1: U polje n stepeni slobode potrebno je uneti vrednost od 1 do30 posto stepeni slobode mogu imati samo vrednost koja je veca od 0.
Takodje za vrednosti n vece od 30 koristi se aproksimacija Normalne raspodele.
U polje uneti verovatnocu p potrebno je uneti vrednost verovatnoce za kojuodredjujemo vrednost argumenta iz tabele.
Za verovatnocu je moguce uneti samo vrednosti u intervalu [0, 1].
11
Radi jednostavnosti moguce je uneti sledece vrednosti: 0.005, 0.010, 0.020,0.025, 0.050, 0.075, 0.100, 0.150, 0.200, 0.250, 0.300, 0.400, 0.500,0.550, 0.600, 0.650, 0.700, 0.750, 0.800, 0.850, 0.900, 0.950, 0.975,0.980, 0.990, 0.995.
Pritiskom na dugme PRIKAZI iscrtava se deo tabele u kome se nalazi trazenavrednost argumenta.
Prikaz ekrana nakon unetih podataka u Formu 1:
U samoj tabeli se obelezava trazena vrednost argumenta , a takodje iznad
12
tabele se ispisuje dobijeni argument i na osnovu kojih vrednosti verovatnocei stepeni slobode je dobijena trazena vrednost.
Forma 2: U polje unesite argument unosi se vrednost argumenta za kojupronalazimo vrednost verovatnoce.
Vrednost koja se u ovo polje moze uneti teorijski nalazi se u intervalu [−∞,+∞].
Kako je u tablici najmanja vrednost -63.66 , a najveca 63.66 , radi jednos-tavnosti interval je ogranicen na [−100, 100].
Moze se uneti bilo koja vrednost u ovom intervalu, a program ce pronaci vred-nost argumenta koja se nalazi u tablici a najbliza je unetoj vrednosti argu-menta.
Polje n stepeni slobode popunjavamo na isti nacin kao i u Formi 1.
Prikaz ekrana nakon unetih podataka u Formu 2:
13
Pritiskom na dugme PRIKAZI iscrtava se deo tabele u kome senalazi trazena vrednost argumenta, a obelezena kolona je kolona koja odgo-vara trazenoj verovatnoci.
Takodje iznad tabele se ispisuje dobijena vrednost verovatnoce i na osnovukojih vrednosti argumenta i stepeni slobode je dobijena trazena vrednost.
Jos jedna mogucnost programa jeste iscrtavanje grafika gustine raspodele.
Potrebno je u glavnom meniju odabrati link Grafik i otvara se stranica zaiscrtavanje grafika gustine Studentove raspodele.
Pocetni ekran stranice za iscrtavanje grafika:
Polje n stepeni slobode popunjavamo na isti nacin kao i u Formi 1 iFormi 2.
Zatim je potrebno selektovati koja verovatnoca se racuna P (X < a), P (X > a)ili P (a < X < b)
U samo polje pored selektovane verovatnoce unosi se vrednost argumentana isti nacin kao i u Formi 2.
14
Pritiskom na dugme PRIKAZI iscrtava se grafik gustine raspodele kojiodgovara unetim vrednostima stepeni slobode i argumenta.
Prikaz stranice nakon iscrtanog grafika:
15
Takodje iznad grafika se ispisuje dobijena vrednost verovatnoce i naosnovu kojih vrednosti argumenta i stepeni slobode je dobijen grafik.
16
8 Kod programa
17
a
18
a
19
a
20
a
21
a
22
a
23
a
24
a
25
a
26
a
27
a
28
a
29
a
30
a
31
a
32
a
33
a
34
a
35
a
36
a
37
a
38
a
39
a
40
a
41
9 Literatura
1. Vesna Jevremovic, Verovatnoca i statistika, Matematicki fakultet, Beograd
2. http://en.wikipedia.org/wiki/T-distribution
42
top related