prof. robson ricardo de araujo Álgebra - aula 2 - equações Álgebra – aula 2 1
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ÁLGEBRA - AULA 2 - EquaçõesÁLGEBRA - AULA 2 - Equações
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ÁLGEBRA – AULA 2
Equações
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DEFINIÇÕES
Expressão matemática é uma combinação de números, operadores e incógnitas ou variáveis, além de símbolos gráficos, agrupados de forma significativa para permitir a verificação de valores, formas, meios ou fins.Equação é uma afirmação que estabelece uma igualdade entre duas expressões matemáticas.Resolver uma equação é encontrar valores numéricos que, ao serem substituídos nas incógnitas da equação, tornam verdadeira a sentença matemática.Os valores numéricos que tornam a equação válida são chamados raízes ou zeros da equação.
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EXEMPLOS
2 𝑥+3=0Equação do 1º grau
𝑥2+3𝑥+1=0Equação do 2º grau
𝑥5+3𝑥+7=𝑥3+2 𝑥2
Equação do 5º grau
𝑎𝑛 𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1+…+𝑎1𝑥+𝑎0Equação polinomial do nº grau
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EXEMPLOS
3𝑥=81Equação exponencial
|𝑥+3|=2Equação modular
log 103 𝑥+1=2Equação logarítmica
𝑠𝑒𝑛 (𝑥 )=𝜋Equação trigonométrica
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EXEMPLOS
3 𝑥+2 𝑦=2Equação linear com duas variáveis
√𝑥2+1=3Equação irracional
[2𝑥 3𝑦 0]=[ 7 𝑧
−1 𝑤 ]Equação matricial
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IMPORTANTE
𝑎 .𝑏=0❑⇔𝑎=0𝑜𝑢𝑏=0
Se a e b são números reais,
EXEMPLO
Analise.
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OBSERVAÇÕES
1) Depois de determinar as raízes de uma equação, você deve apresentá-la na forma de conjunto: o chamado conjunto solução, denotado por S.
2) Equações equivalentes são aquelas que possuem o mesmo conjunto solução.
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EQUAÇÃO DO 1º GRAU
Equações do 1º grau são equações do tipo
𝑎𝑥+𝑏=0𝑐𝑜𝑚𝑎≠0Os valores a e b são chamados coeficientes da equação.
Toda equação da forma acima admite uma única solução da forma
−𝑏𝑎
Exemplos...
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LINGUAGEM USUAL x LINGUAGEM MATEMÁTICA
Expressão matemática de algumas expressões em língua portuguesa:
Em Português Em Matematiquês
(dado) um número 𝑥
A sexta parte desse número 𝑥6
O dobro desse número 2 𝑥
A metade desse número “mais” sua terça parte
𝑥2
+𝑥3
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LINGUAGEM USUAL x LINGUAGEM MATEMÁTICA
Expressão matemática de algumas expressões em língua portuguesa:
Em Português Em Matematiquês
Esse número acrescido de 5 unidades
𝑥+5
Esse número acrescido de 20% 𝑥+20100
𝑥
O quadrado desse número acrescido de seu dobro mais
uma unidade𝑥2+2𝑥+1
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EXERCÍCIO RESOLVIDO
Uma torneira A enche um tanque em 3 horas; uma torneira B enche
esse mesmo tanque em 4 horas; e uma ralo esvazia esse tanque em 6
horas. O tanque inicialmente está vazio. As duas torneiras são
abertas, e o ralo, destampado. Quanto tempo demorará para que
esse tanque fique cheio?
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SISTEMA DE EQUAÇÕES DE 1º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS
(Método da substituição) Se você tiver duas equações lineares com duas incógnitas, pode-se achar uma solução para o sistema isolando uma das variáveis em uma das equações e substituindo na outra equação.
Exemplo: resolva {2𝑥+3 𝑦=10𝑥−2 𝑦=7
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EXERCÍCIO RESOLVIDO
Há três anos, a idade de Pedro era o triplo da
idade de Maria. No próximo ano, Pedro terá o
dobro da idade de Maria. Qual a idade de Pedro e
de Maria hoje?
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EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Equações do 2º grau são equações do tipo
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0𝑐𝑜𝑚𝑎≠0
Os valores a, b e c são chamados coeficientes da equação.
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EXEMPLOS
3 𝑥2+2𝑥+12=0
Verifique se a equação dada é ou não uma equação do 2º grau:
3 𝑥+4=04 𝑥2+5 𝑥=0
𝑡 2+3=0
𝑥3+𝑥2+2 𝑥+5=0
𝑛2=0
SIM
NÃO
SIM
SIM
NÃO
SIM
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OBSERVAÇÃOUma equação do 2º grau pode ou não ter solução. Tendo solução, existe apenas uma ou, no máximo, duas soluções.
FÓRMULA DE BHASKARA
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0𝑐𝑜𝑚𝑎≠0As soluções da equação acima são dadas por
𝑥=−𝑏±√Δ 2𝑎
Δ=𝑏2−4𝑎𝑐onde
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EXEMPLOS
(1)
(2)
(3)
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DISCUSSÃO SOBRE AS RAÍZES
Δ>0❑⇒
2 𝑠𝑜𝑙𝑢çõ𝑒𝑠𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
Δ=0❑⇒
1𝑠𝑜𝑙𝑢çã 𝑜𝑟𝑒𝑎𝑙
Δ<0❑⇒
𝑛 ã𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜𝑟𝑒𝑎𝑙
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EXEMPLOS
(1) Determine tal que admita uma única raiz real.
(2) Determine real tal que não admita raízes reais.
MAIS EXEMPLOS: resolva as equações incompletas:
(1)
(2)
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SOMA E PRODUTO DE RAÍZES
Sejam e raízes de uma equação do 2º grau
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0𝑐𝑜𝑚𝑎≠0
Então
𝑥1+𝑥2=−𝑏𝑎𝑥1 .𝑥2=
𝑐𝑎
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
(1) A soma S e o produto P das raízes de são...
(2) Sabendo que as raízes de são 3 e -5, determine b e c.
(3) (a) Determine m tal que as raízes de são números simétricos.(b) No caso acima, determine e .
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OBSERVAÇÃO
Sejam e raízes de uma equação do 2º grau
𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0𝑐𝑜𝑚𝑎≠0
𝑥2+𝑏𝑎𝑥+
𝑐𝑎
=0
𝑥2−𝑆𝑥+𝑃=0em que S e P são a soma e o produto de e , respectivamente.
-S= =P
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TENTE FAZER
Construa uma equação de 2º grau que tenha 3 e 5 como raízes.
EXTRA
Demonstre a fórmula de Bhaskara.
EXERCÍCIO
Demonstre que “Mulher é igual problema”
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A Matemática não é algo mágico e ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo
de conhecimento naturalmente desenvolvido
por pessoas durante um período de 5000 anos.
Frank Swetz Robson Ricardo de Araujo
robcardo@ig.com.br
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