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Prof. Jorge
Sistemas lineares
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Sistemas lineares
A tabela abaixo mostra a classificação dos quatro candidatos a um emprego: Paulo, Carla, Sara e Ana. Haviam apenas três vagas.
Port. Mat. Inf. Pontos Resultado
Carla 8 6 3 47 Classif.
Paulo 6 7 5 43 Classif.
Sara 4 8 9 41 Classif.
Ana 4 9 8 40 Desclassif.
(17)
(18)
(21)
(21)
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Sistemas lineares
Ana utilizou seus conhecimentos de matemática e imaginou os seguintes pesos.
Português: x; Matemática: y; Informática: z
8x + 6y + 3z = 47 → Carlos
6x + 7y + 5z = 43 → Paulo
4x + 8y + 9z = 41 → Sara
4x + 9y + 8z = 40 → Ana
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As equações que Ana obteve têm muitas coisas em comum. Vamos analisar por exemplo a equação
Equações Lineares
4x + 9y + 8z = 40
É uma equação de 1º grau.
– Os três termos do 1º membro são de 1º grau.
– O termo do segundo membro é de grau zero
(independe de qualquer variável).
Uma equação desse tipo é chamada de equação
linear.
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Equações lineares
De maneira geral, se a1, a2, a3, ..., an, b são
constantes reais e x1, x2, x3, ..., xn são variáveis
reais, uma equação linear é do tipo.
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b
x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas;
a1, a2, a3, ..., an são os coeficientes;
b é o termo independente;
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Na equação linear 4x + 9y + 8z = 40, temos.
Equações lineares
x, y e z são as incógnitas;
4, 9 e 8 são os coeficientes;
40 é o termo independente;
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Equações lineares
Para refletir.
analise o grau das equações abaixo. analise o grau das equações abaixo.
Nenhuma das quatro é linear. Por quê?Nenhuma das quatro é linear. Por quê?
x2 + 3y = 5;
xy – 3y + z = 12;
√x + y + z = 1;
2x – 1y
= 0
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Considere a equação 4x + 9y + 8z = 40
Soluções de uma equação linear
x = 1y = 4z = 0
4.1 + 9.4 + 8.0 = 40 (Verdadeira)
x = 3y = 2z = 1
4.3 + 9.2 + 8.1 ≠ 40 (falsa)
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Soluções de uma equação linear
Solução de uma equação linear é toda seqüência de valores reais das incógnitas que tornam uma igualdade verdadeira.
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Calcular a constante real a, sabendo que a sequência (1, –3, 4) é solução da equação linear 2x + ay – z = 4.
Exemplo
Substituindo x = 1; y = –3 e z = 4 na equação, temos
2.1 + a.(–3) – 4 = 4
→ 2 –3a – 4 = 4
→ –3a = 6 → a = –2
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1ª. Equação: 2x = 8
Número de soluções de uma equação linear
2x = 8 → x = 4
Portanto a única solução da equação 2x = 8 é x = 4.
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2ª. Equação: 0x = 3
Número de soluções de uma equação linear
Não existe número real que, multiplicado por 0,
resulte 3. Logo, a equação não têm solução.
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3ª. Equação: x + 3y = 8
Número de soluções de uma equação linear
Nessa equação o valor de uma incógnita depende
do valor da outra (x = 8 – 3y).
y = 3 → x = 8 – 3.3 → x = –1 → (–1, 3)
y = 2 → x = 8 – 3.2 → x = 2 → (2, 2)
y = 1 → x = 8 – 3.1 → x = 5 → (5, 1)
Essa equação tem infinitas soluções.
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Uma equação linear em que o termo independente é 0 (zero) é chamada equação linear homogênea?
Equação homogênea
2x – y = 0 → é uma equação linear homogênea
x + y – 5 = 0 → Não é equação linear homogênea→ x + y = 5
→ Toda equação linear homogênea admite uma solução óbvia: Aquela em que todas as incógnitas são iguais a 0.
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Uma equação linear que tem todos os coeficientes iguais a 0 (zero) é chamada equação linear nula?
Equação nula
0x + 0y + 0z = 0 → é uma equação linear nula
→ Toda sequência de n números reais é uma solução de uma equação nula, com n incógnitas.
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Chama-se linear impossível ou incompatível aquela em que
Equação impossível ou incompatível
todos os coeficientes são iguais a 0.
o termo independente é diferente de 0.
0x + 0y = 3 → é uma equação linear impossível
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Equação com variáveis naturais
Em certos problemas, aparecem equações lineares com restrições ao universo das variáveis. Nesses casos, o número de soluções da equação pode ser finito, mesmo que haja duas ou mais incógnitas.
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Tenho uma nota de 50 reais, e quero trocá-la por notas de 10 reais e 5 reais. Preciso de pelo menos uma de cada tipo. De quantas formas posso receber o troco?
Exemplo
x, número de notas de 10 reais e y, número de notas de 5 reais.
10x + 5y = 50 → 2x + y = 10
x = 1 → y = 8
x = 2 → y = 6
x = 3 → y = 4
x = 4 → y = 2
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Sistemas lineares
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Sistemas lineares
Um conjunto formado apenas por equações lineares é chamado de sistema linear.
x + 2y = 3 Sistema linear com 2 equações e 2 incógnitas (x, y).x – y = 5
2x – y +z – t = 0 Sistema linear com 3 equações e 4 incógnitas (x, y, z e t).
x – 2y + t = 0
3x + y – 2z = 0
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Sistemas lineares
Todo sistema linear pode ser representado na forma matricial.
2x + y = 3
x – 2y = 0
5x + y = 0
2 1
1 –2
5 1
A =x
YX =
3
0
1
B =
Matriz dos coeficientes
Matriz das incógnitas
Matriz dos termos independentes
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Sistemas lineares
Veja a representação matricial do sistema abaixo.
2x + y = 3
x – 2y = 0
5x + y = 0
2 1
1 –2
5 1
A.X = B →x
Y.
3
0
1
=
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Soluções de um sistema linear
Se uma seqüência é solução de todas as equações de um sistema, dizemos que ela é uma solução do sistema.
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No sistema linear
Exemplos
x + y = 5
2x – y = 1
(2, 3) é solução →2 + 3 = 5 (V)
2.2 – 3 = 1 (V)
(3, 2) não é solução →3 + 2 = 5 (V)
2.2 – 3 = 1 (F)
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Calcular a e b, para que a sequência (3, 1) seja solução do sistema linear
Exemplos
x + ay = 1
ax – y = b + 3
Vamos fazer x = 3 e y = 1 nas duas equações.
1ª equação: 3 + a.1 = 1 → a = –2
2ª equação: –2.3 – 1 = b + 3
→ –7 = b + 3 → b = –10
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Soluções de um sistema linear homogêneo
Num sistema linear homogêneo, todas as equações são homogêneas. Por isso admite a solução trivial, a sequência (0, 0, 0, ..., 0).
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O sistema linear abaixo é homogêneo.
Exemplos
x – 2y = 0
–3x + 6y = 0
(0, 0) é solução →0 – 2.0 = 0 (V)
–3.0 + 6.0 = 0 (V)
(2, 1) também é solução →
2 – 2.1 = 0 (V)
–3.2 + 6.1 = 0 (V)
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Número de soluções de um sistema linear
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Número de soluções de um sistema linear
x – 3y = 4
–2x + 6y = 3
Na 1.ª equação, x = 4 + 3y. Subst. na 2.ª equação,
–2(4 + 3y ) + 6y = 3 → –8 – 6y + 6y = 3
→ 0y = 11
Um sistema linear pode não ter solução. No caso, ele é chamado sistema impossível (SI).
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Número de soluções de um sistema linear
x – 3y = 4
–2x + 6y = 3
Veja a análise geométrica do sistema
x
y
O
r1
r2
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Número de soluções de um sistema linear
3x – y = 5
x + y = 7
Na 1.ª equação, y = 3x – 5. Subst. na 2.ª equação,
x + 3x – 5 = 7 → 4x = 12
Um sistema linear pode ter uma única solução. No caso, ele é chamado sistema possível e determinado (SPD).
→ x = 3
→ y = 3.3 – 5 → y = 4
Solução (3, 4)
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Número de soluções de um sistema linear
Veja a análise geométrica do sistema
3x – y = 5
x + y = 7
x
y
O
r1
r2
3
4
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Número de soluções de um sistema linear
x – 2y = –5
–2x + 4y = 10
Na 1.ª equação, x = 2y – 5. Subst. na 2.ª equação,
–2(2y – 5) + 4y = 10 → –4y + 10 + 4y = 10
Um sistema linear pode ter infinitas soluções. No caso, ele é chamado sistema possível e indeterminado (SPI).
→ 0y = 0
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Número de soluções de um sistema linear
Veja a análise geométrica do sistema
x – 2y = –5
–2x + 4y = 10
x
y
O
r1≡ r2
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Número de soluções de um sistema linear
Sistema linear (S)
Tem solução?Não
Impossível (SI)
Sim
Possível (SP)
Quantas?Apenas uma
Determinado (SPD)
Infinitas
Indeterminado (SPI)
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Sistemas escalonados
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Sistemas Escalonados
Observe os sistemas lineares abaixo.
2x + 5y = 4
0x – 3y = 6
2x – 3y + z – 5t = 3
0x + 5y – z + 3t = 1
0x + 0y + 0z – t = 2
Sistemas que aparecem dessa forma são chamados de sistemas escalonados
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Os sistemas a seguir são escalonados. Analisar se eles são possíveis ou impossíveis.
Exemplos
a)
x – 2y + z = 3
0x + y – z = 2
0x + 0y + 0z = 3
a)
2x – y + z = 3
0x + y – 3z = 1
0x + 0y + 0z = 0
→ Sistema impossível (SI)
→ Sistema possível (SP)
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Da análise dos sistemas vistos, tiramos as seguintes regras:
Regras – sistemas escalonados
Regra 1
Em um sistema escalonado, as equações nulas devem ser eliminadas, já que influenciam na resolução do sistema.
Regra 2
Um sistema escalonado é impossível só quando apresenta uma equação impossível; caso contrário o sistema é possível.
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Exemplos
O sistema abaixo é escalonado e possível. Resolvê-lo e verificar se ele é determinado ou indeterminado.
x – y + z = 4
0x + y – z = 2
0x + 0y + 3z = 3
Número de equações (3) é igual ao número de incógnitas (3) → SPD
3.ª equação: 3z = 3 → z = 1
2.ª equação: y – z = 2 → y – 1 = 2 → y = 3
1.ª equação: x – y + z = 4 → x – 3 + 1 = 4
→ x = 6
→ Solução (6, 3, 1)
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Exemplos
O sistema a seguir também é escalonado e possível. Resolvê-lo e analisar se ele é determinado ou indeterminado.
x – y + z = 3
0x + y – 2z = 3
0x + 0y + 0z = 0
A última equação é nula. Por isso, ela deve ser eliminada.
x – y + z = 3
0x + y – 2z = 3
O número de equações restantes (2) é menor que o número de incógnitas (3) → SPI
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Exemplos
x – y + z = 3
0x + y – 2z = 3 Incógnita livre: z
Incógnita livre: z = k
2.ª equação: y – 2z = 2 → y – 2k = 3 → y = 2k + 3
1.ª equação: x – y + z = 3 → x – (2k + 3) + k = 3
→ x – 2k – 3 + k = 3 → x = k + 6
Solução geral:
(k + 6, 2k + 3, k)
k = 1 → (7, 5, 1)k = –1 → (5, 1, –1)
...
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Da análise dos dois últimos problemas, tiramos a seguinte regra:
Regras – sistemas escalonados
Regra 3
De um sistema possível, retiram-se as equações nulas. Se m é o número de equações restantes e n é o número de incógnitas, o sistema é
→ determinado, se m = n.→ indeterminado, se m < n.
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Discussão de um sistema escalonado
Existe alguma equação do tipo impossível
Sim
Impossível (SI)
Não
Possível (SP)
m = n?
Determinado (SPD)
m < n?
Indeterminado (SPI)
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Sistemas com coeficientes paramétricos
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Discutir, em função dos parâmetros m e n, o sistema
Exemplo
x – 2y + z = 3
0x + y – 5z = 7
0x + 0y + mz = n – 1
O sistema está escalonado. Para discuti-lo, vamos analisar as três hipóteses possíveis, a partir da última equação.
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Prof. Jorge
Discutir, em função dos parâmetros m e n, o sistema
Exemplo
x – 2y + z = 3
0x + y – 5z = 7
0x + 0y + mz = n – 1
Sistema impossível (SI)
m = 0
n – 1 ≠ 0→
m = 0
n ≠ 1
A última equação deve ser impossível.
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Prof. Jorge
Discutir, em função dos parâmetros m e n, o sistema
Exemplo
x – 2y + z = 3
0x + y – 5z = 7
0x + 0y + mz = n – 1
Sistema possível e determinado (SPD)
m ≠ 0
n deve ser um número real qualquer.
Número de equações igual ao de incógnitas.
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Prof. Jorge
Discutir, em função dos parâmetros m e n, o sistema
Exemplo
x – 2y + z = 3
0x + y – 5z = 7
0x + 0y + mz = n – 1
Sistema possível e indeterminado (SPI)
m = 0
n – 1 = 0
A última equação deverá ser nula.
→m = 0
n = 1
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Escalonamento de sistemas
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Permite transformar um sistema linear qualquer em outro equivalente (de mesma solução), porém na forma escalonada.
São feitas transformações no sistema linear, baseadas em alguns princípios de equivalência de sistemas.
Método de eliminação de Gauss
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Dois ou mais sistemas que tenham exatamente as mesmas soluções são chamados sistemas equivalentes.
Sistemas equivalentes
2x + y = 5
x – y = 1e
x + y = 3
3x + y = 7
Ambos os sistemas são possíveis e determinados.
A solução é a sequência (2, 1).
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Princípios de equivalência de sistemas
1.º Princípio
Trocar de posição, entre si, duas equações do sistema.
2.º Princípio
Multiplicar (ou dividir) os dois membros de uma equação do sistema por uma constante não-nula.
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Princípios de equivalência de sistemas
3.º Princípio
Substituir uma equação pela soma, membro a membro, dela com outra equação, podendo ser ambas multiplicadas, antes por uma constante real não-nula.
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Escalonar o sistema linear
Exemplo
y – z = 5
4x + y + z = 15
–x – y + 8z = 0
y – z = 5
4x + y + z = 15
–x – y + 8z = 0 4 . E3
y – z = 5
4x + y + z = 15
–4x – 4y + 32z = 0 E3 + E1
y – z = 5
4x + y + z = 15
–3y + 33z = 15
4251
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Prof. Jorge
Escalonar o sistema linear
Exemplo
E3 +3.E2
y – z = 5
4x + y + z = 15
–3y + 33z = 15
y – z = 5
4x + y + z = 15
30z = 30
4251
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Prof. Jorge
Matriz completa de um sistema
A todo sistema linear podemos associar uma matriz, chamada matriz completa do sistema. Veja
x – 2y + 3z = 1
2y + z = 7
–x + z = 5
1x – 2y + 3z = 1
0x + 2y + 1z = 7
–1x + 0y + 1z = 5
1 –2 3 1
0 2 1 7
–1 0 1 5
Matriz completa:
4251
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Prof. Jorge
Escalonamento pela matriz completa
Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o sistema 2x – y = 5
x + 3y = 1
3x – y = 4
2 –1 5
1 3 1
3 –1 4
1 3 1
2 –1 5
3 –1 4
-2
4–13
3–70
131 -3
1–100
3–70
131
10
7
4251
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Prof. Jorge
Escalonamento pela matriz completa
Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o sistema 2x – y = 5
x + 3y = 1
3x – y = 4
1–100
3–70
131
10
7 7–700
30–700
131
-1
–2300
30–700
131 A matriz está escalonada.A última linha representa a equação 0x + 0y = –23 → SI
4251
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Prof. Jorge
Escalonamento pela matriz completa
Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o sistema x – y + z = 1
2x + y – 3z = 5
x – 4y + 6z = –2
1 –1 1 1
2 1 –3 5
1 –4 6 –2
L2 – 2L1 →
5
–5
1
–3–30
330
1–11
L3 – L1 →
5
–5
1
–3–30
330
1–11
L3 + L2 → 0
–5
1
000
330
1–11
4251
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Prof. Jorge
Escalonamento pela matriz completa
Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o sistema x – y + z = 1
2x + y – 3z = 5
x – 4y + 6z = –2
0
–5
1
000
330
1–11 A matriz está escalonada.A última linha representa a equação 0x + 0y + 0z = 0 → SPI
x – y + z = 1
3y – 5z = 3
4251
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Prof. Jorge
Escalonamento pela matriz completa
x – y + z = 1
3y – 5z = 3Incógnita livre: z = k
2.ª equação: 3y – 5z = 3 → 3y – 5k = 3
→ y =3 + 5k
3
1.ª equação: x – y + z = 1 → x = y – z + 1
→ x =
3 + 5k
3– k + 1 → x
=
2k + 6
3
Solução geral:2k + 6
3
3 + 5k
3, k,
4251
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Prof. Jorge
Escalonamento pela matriz completa
Discutir, em função dos parâmetros a e b, o sistema x – 2y = 5
3x + ay = b
1 –2 5
3 a b L2 – 3L1 → b – 15a + 60
5–21
Sistema impossível (SI)
a + 6 = 0
b – 15 ≠ 0→
a = –6
b ≠ 15
4251
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Prof. Jorge
Escalonamento pela matriz completa
Discutir, em função dos parâmetros a e b, o sistema x – 2y = 5
3x + ay = b
1 –2 5
3 a b L2 – 3L1 → b – 15a + 60
5–21
Sistema possível e determinado (SPD)
a + 6 ≠ 0 → a ≠ –6
4251
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Prof. Jorge
Escalonamento pela matriz completa
Discutir, em função dos parâmetros a e b, o sistema x – 2y = 5
3x + ay = b
1 –2 5
3 a b L2 – 3L1 → b – 15a + 60
5–21
Sistema possível e indeterminado (SPI)
a + 6 = 0
b – 15 = 0→
a = –6
b = 15
4251
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Prof. Jorge
Escalonamento pela matriz completa
Discutir, em função do parâmetro m, o sistema
x + my = 1
mx + y = 1
1 m 1
m 1 1 mL1 – L2 → m – 1m2 – 10
1m1
Sistema impossível (SI)
m2 – 1 = 0
m – 1 ≠ 0→
m = ±1
m ≠ 1→ m = –1
4251
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Prof. Jorge
Escalonamento pela matriz completa
Discutir, em função do parâmetro m, o sistema
x + my = 1
mx + y = 1
1 m 1
m 1 1 mL1 – L2 → m – 1m2 – 10
1m1
Sistema possível e determinado (SPD)
m2 – 1 ≠ 0 → m ≠ ± 1
4251
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Prof. Jorge
Escalonamento pela matriz completa
Discutir, em função do parâmetro m, o sistema
x + my = 1
mx + y = 1
1 m 1
m 1 1 mL1 – L2 → m – 1m2 – 10
1m1
Sistema possível e indeterminado (SPI)
m2 – 1 = 0
m – 1 = 0→
m = ±1
m = 1→ m = 1
4251
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Prof. Jorge
Escalonamento pela matriz completa
Discutir, em função do parâmetro k, o sistema homogêneo 2x – y + z = 0
x + y – 3z = 0
x + 4y + kz = 0
2 –1 1 0
2 1 –3 0
1 4 K 0
2L2 – L1 →
k + 3
–7
1
030
030
0–12
L3 – L2 →
k + 3
–7
1
030
030
0–12
L3 – L2 → k + 10
–7
1
000
030
0–12
4251
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Prof. Jorge
Escalonamento pela matriz completa
Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o sistema 2x – y + z = 0
x + y – 3z = 0
x + 4y + kz = 0
k+10
–7
1
000
030
0–12
Sistema possível e determinado (SPD)
k + 10 ≠ 0 → k ≠ 10
4251
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Prof. Jorge
Escalonamento pela matriz completa
Escalonar, discutir e resolver, se for o caso, o sistema 2x – y + z = 0
x + y – 3z = 0
x + 4y + kz = 0
k+10
–7
1
000
030
0–12
Sistema possível e indeterminado (SPI)
k + 10 = 0 → k = 10
42510011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Prof. Jorge
Regra de Cramer
4251
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Prof. Jorge
Regra de Cramer
Processo de resolução de sistemas lineares por meio de determinantes. (Gabriel Cramer 1750)
A Regra de Cramer é indicada para sistemas possíveis e determinados, com número de equações igual ao número de incógnitas.
4251
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Prof. Jorge
Regra de Cramer
Suponhamos o sistema linear abaixo com duas equações e duas incógnitas. a1x + b1y = m
a2x +b2y = na1 a2
b1 b2
= = a1.b2 – a2.b1
m a2
n b2
x = = m.b2 – a2.n
a1 m
b1 ny = = a1.n – m.b1
→ x =
x
→ y =
y
4251
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
Prof. Jorge
Exemplo
Resolver pela regra de Cramer o sistema
3x + y = 5
5x – 2y = 12
3 1
5 –2 = = 3.(–2) – 1.5
5 1
12 –2x = = 5.(–2) – 1.12
3 5
5 12y = = 3.12 – 5.5
= –11
= –22
= 11
→ x =
–22
–11
→ y =
11
–11
= 2
= –1
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