problemas de valores en la frontera en otros sistemas coordenados capÍtulo 14
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Problemas de Valores en la Frontera en Otros Sistemas Coordenados
CAPÍTULO 14
Contenido
• 14.1 Coordenadas Polares• 14.2 Coordenadas Polares y Cilíndricas• 14.2 Coordenadas Esféricas
14.1 Problemas en Coordenadas Polares
• Laplaciano Coordenadas PolaresYa sabemos que
u
rr
u
y
u
y
r
r
u
y
u
u
rr
u
x
u
x
r
r
u
x
u
x
yyxrryrx
cossin
sincos
lado, otroPor
tan , ,sin ,cos 222
Por tanto
(1)
(2)
urr
ur
u
r
xu
rr
u
x
u
cossin2sinsin
cossin2cos
2
2
2
2
2
2
22
2
2
urr
ur
u
rxu
rr
u
x
u
cossin2sin
sincossin2cos
2
2
2
2
2
2
22
2
2
Al sumar (1) y (2) tenemos
(3) 011
en scentraremo nos sólo sección, estaEn
11
2
2
22
2
2
2
22
22
u
rr
u
rr
u
u
rr
u
rr
uu
Ejemplo 1
Resuelva la ecuación de Laplace (3) sujeta a u(c,) = f(), 0 < < 2.Solución Puesto que (r, + 2) equivale a (r, ), se debe tener u(r, ) = u(r, + 2). Si se busca una función poducto u = R(r)(), entonces (r, + 2) = (r, ).
Ejemplo 1 (2)
Introduciendo la constante de separación , se tiene
Buscamos una solución de forma
(6)
(5) 0"
(4) 0'"
"'"
2
2
RrRRr
RrRRr
)2()0( ,0
Ejemplo 1 (3)De las tres posibles soluciones generales de (5):
(7)(8)(9)
se puede descartar la (8) como inherentemente no periódica, a menos que c1 = c2 = 0. De modo similar (7) es no periódica a menos que c2 = 0. A la solución = c1 0 se le puede asignar cualquier período, por lo tanto = 0 es un valor propio.
0 hsinhcos 221 cc
0 )( 21 cc
0 sincos 221 cc
Ejemplo 1 (4)
Cuando escogemos = n, n = 1, 2, …, (9) es 2 periódica. Los valores propios de (6) son 0 = 0 y n = n2, n = 1, 2, …. Si hacemos correspondes 0 = 0 con n = 0, las funciones propias son
Donde n = n2, n = 0, 1, 2, … las soluciones de (4) son
,...2,1,sincos)(
;0,)(
21
1
nncnc
nc
(11) ,...2,1,)(
(10) 0,ln)(
43
43
nrcrcrR
nrccrRnn
Ejemplo 1 (5)
Note we should define c4 = 0 to guarantee that the solution is bounded at he center of the plate (r = 0). Finally we have
(12) )sincos(),(
gives principleion superposit The
,...2,1,)sincos(
0,
10
00
nnn
n
nnn
n
BnArAru
nnBnAru
nAu
Ejemplo 1 (6)Aplicando la condición límite en r = c,
obtenemos
(13) )( es, esto
,,2
completa,Fourier de serie unaen de desrrolloun como
)sincos()(
2
00
00
10
dfA
bBcaAca
A
f
BnAcAf
nnn
nnn
nnn
n
(15) sin)(1
(14) cos)(1
2
0
2
0
dnfc
B
dnfc
A
nn
nn
Ejemplo 2 Determine la temperatura de estado estable u(r, ) en la placa semicircular mostrada en Fig 14.3.
Ejemplo 2 (2)Solución El problema de valor en la frontera es
crruru
ucu
cru
rru
rr
u
0,0) ,( ,0)0 ,(
0 ,) ,(
0 ,0 ,011
0
2
2
22
2
Ejemplo 2 (3)
y (16)
(17)
Las condiciones en los límites se traducen en (0) = 0 y () = 0.
"'"
obtiene se , variableslasseparar y )()(definir Al2
R
rRRr
rRu
022 RRrRr
02
Ejemplo 2 (4)
Junto con (17) tenemos
(18)
Este problema (Ej. 2 de la Sec. 3.9) posee valores propios n = n2 y funciones propias () = c2 sin n, n = 1, 2, … De modo similar, R(r) = c3rn y
un = R(r)() = An rn sin n
0)( 0,)( 0,
Ejemplo 2 (5)Por tanto tenemos
1
0
0
0 0
10
1
sin)1(12
),(
)1(12 ,sin
2
sin ,sin),(
n
nn
n
nnn
n
n
nn
n
nn
ncr
nu
ru
nc
uAdnucA
cAunrAru
14.2 Problemas en Coordenadas Polares y Cilíndricas: Funciones de Bessel
• Simetría RadialLas ecuaciones de calor y onda bidimensionales expresadas en coordenadas polares son, a su vez:
(1)
donde u = u(r, , t). La solución producto se define como u = R(r)()T(t). Cosideramos problemas más simples, que poseen simetría radial, esto es, u es independiente de .
y 11
2
2
22
2
t
uu
rr
u
rr
uk
2
2
2
2
22
22 11
t
uu
rru
rr
ua
En este caso, (1) toman las formas, a su vez,
(2)
donde u = u(r, t).
and 1
2
2
tu
ru
rr
uk
2
2
2
22 1
t
uru
rr
ua
Ejemplo 1Determine el desplazamiento u(r, t) de una sembrana circular de radio c sujeta a lo largo de su circunferencia si su desplazamiento inicial es f(r) y su velocidad inicial es g(r). Fig 14.7.
Ejemplo 1 (2)
Solución El problema de valor en la frontera es
crrgtu
rfru
ttcu
tcrt
uru
rr
ua
t
0 ),( ),()0 ,(
0 ,0) ,(
0 ,0 ,1
0
2
2
2
22
Ejemplo 1 (3)sustituyendo u = R(r)T(t) en la EDP, entonces
(3)
Las dos ecuaciones obtenidas de (3) son(4)
(5)
Este problema indica que sólo se usa = 2 > 0, > 0.
22
1
Ta
TR
Rr
R
02 rRRRr
022 TaT
Ejemplo 1 (4)Ahora (4) es la ecuación diferencial paramétrica de Bessel de orden v = 0, esto es, rR” + R’ + 2rR = 0. La solución general es
(6)La solución general de (5) de
T = c3 cos at + c4 sin at Recuerde que Y0(r) − cuando r 0+ así que la suposición implícita de que el desplazamiento u(r, t) debe estar acotado en r = 0 obliga a definir c2 = 0 en (6).
)()( 0201 rYcrJcR
Ejemplo 1 (5)
Por tanto R = J0(r). Puesto que la condición de frontera u(c, t) = 0 es equivalente a R(c) = 0, se debe tener c1J0(c) = 0. Se desecha c1 = 0, por tanto:
J0(c) = 0 (7)Si xn = nc son las raíces positivas de (7), entonces n = xn/c y por tanto los valores propios son n = n
2 = xn
2/c2 y las funciones propias son c1J0(nr). Las soluciones producto son:
(8)),()sincos( 0 rJtaBtaARTu nnnnnn
Ejemplo 1 (6)Donde se ha realizado la redonominación usual de constantes. El principio de superposición da
(9)
Al establecer t = 0 en (9) y usar u(r, 0) = f(r) se obtiene
(10)El último resultado se reconoce como desarrollo de Fourier-Bessel de f en el intervalo (0, c).
10 )()sincos(),(
nnnnnn rJtaBtaAtru
10 )()(
nnn rJArf
Ejemplo 1 (7)Ahora tenemos
(11)A continuación se diferencia (9) con respecto a t, se fija t = 0, y se emplea ut(r, 0) = g(r):
c
nn
n drrfrrJcJc
A0 02
12 )()(
)(
2
(12) )()()(
2
,)()(
0 021
2
10
c
n
nn
n
nnnn
drrgrrJcJca
B
entoncesrJBarg
Ondas Estacionarias
• Las soluciones (8) se llaman ondas estacionarias. Para n = 1, 2, 3, …, son básicamente la gráfica de J0(nr) con la amplitud que varía con el tiempo
An cos nt + Bn sin nt Los ceros de cada onda estacionaria en el intervalo (0, c) son las raíces de J0(nr) = 0 y corresponden al conjunto de puntos en una onda estacionaria donde no hay movimiento. Este conjunto se llama línea nodal.
• Como en Ejemplo 1, los ceros de las ondas estacionarias se determinan a partir de
J0(nr) = J0(xnr/c) = 0Ahora de la Tabla 5.2 y para n = 1, la primera raíz positiva es
J0(x1r/c) = 0 es 2.4r/c = 2.4 ó r = c• Puesto que el intervalo deseado es (0, c), el
último resultado significa que la primera onda estacionaria no tiene línea nodal. Para n = 2, las raíces de J0(x2r/c) = 0 son 5.5r/c = 2.4 y 5.5r/c = 5.5Tenemos r = 2.4c/5.5 que tiene una línea nodal. Fig 14.8.
Fig 14.8
Laplaciano en Coordenadas Cilíndricas
• Observe Fig 14.10. Tenemosx = r cos , y = r sin , z = z
y2
2
2
2
22
22 11
z
uu
rru
rr
uu
Fig 14.10
Ejemplo 2• Determine una temperatura de estado estable u
en el cilindro circular recto mostrado en la Fig 14.11.
Ejemplo 2 (2)SoluciónLas condiciones de frontera indican que la temperatura u tiene simetría circular. Por tanto
20 ,)4 ,( ,0)0 ,(
40 ,0) ,2(
40 ,20 ,01
0
2
2
2
2
rururu
zzu
zrz
uru
rr
u
Ejemplo 2 (3)Si se emplea u = R(r)Z(z) y se separan variables,
(13)
(14)
(15)
Si se elige = 2 > 0, > 0, la solución de (14) es R(r) = c1 J0(r) + c2 Y0(r)
Puesto que la solución de (15) está definida en [0, 2], tenemos Z(z) = c3 cosh z + c4 sinh z
2
1
ZZ
R
Rr
R
02 rRRRr 02 ZZ
Ejemplo 2 (4)
Como en Ejemplo 1, la suposición de que u está acotada en r = 0 requiere que c2 = 0. La condición u(2, z) = 0 implica que R(2) = 0. Entonces
J0(2) = 0 (16)define los valores propios n = n
2. Por último, Z(0) = 0 implica que c3 = 0. Puesto que se tiene
R(r) = c1 J0(r), Z(z) = c4 sinh z,
10
0
)(sinh) ,(
y ),(sinh)()(
nnnn
nnnn
rzJAzru
rzJAzZrRu
Ejemplo 2 (5)
2
0 021
20
100
0
)()2(2
24sinh
entonces ,)(4sinh
por tanto ,,4 Cuando
drrrJJ
uA
rJAu
uuz
n
n
nn
nnnn
Ejemplo 2 (6)Para la última integral, se emplea t = nr y d[tJ1(t)]/dt = tJ0(t), entonces
10
10
1
0
1
02
0 121
20
)()2(4sinh
sinh),(
)2(4sinh
obtenemos
,)2(
)()2(2
4sinh
nn
nnn
n
nnnn
nnnn
nn
rJJ
zuzru
J
uA
J
udtttJ
dt
d
J
uA
n
14.3 Problemas en Coordenadas Esféricas: Polinomios de Legendre
• Laplaciano en Coordenadas EsféricasObserve Fig 14.15. Ya sabemos que
(1)y
(2)Sólo consideraremos algunos problemas que son independientes del ángulo azimutal .
cos ,sinsin ,cossin rzryrz
u
r
u
r
u
rru
rx
uu 22
2
22
2
222
22 cot1
sin
12
Fig 14.15
Ejemplo 1• Determine la temperatura de estado estable u(r, )
dentro de la esfera mostrada en Fig 14.16.
Ejemplo 1 (2)Solución El problema se define como
' cot"'2"
entonces ),()( Si
0 ),() ,(
0 ,0 ,0cot1
2
222
2
22
2
R
rRRr
rRu
fcu
cru
rr
u
r
u
rr
u
Ejemplo 1 (3)y por tanto
(2)
(3)Después de sustituir x = cos , 0 , (3) se transforma en
(4)
Es una forma de la ecuación de Legendre. Ahora las únicas soluciones de (4) que son continuas y tienen derivadas continuas en [-1, 1] son los polinomios de Legendre Pn(x) que corresponden a 2 = n(n+1), n = 0, 1, 2, ….
02 22 RRrR
0sincossin 2
11,02)1( 22
22 x
dxdx
dx
dx
Ejemplo 1 (4)Así se toman las soluciones de (3) como
= Pn(cos )Donde = n(n + 1), la solución de (2) es
R = c1 rn + c2 r –(n+1) Puesto que de nuevo se espera que u sea redondeada a r = 0, se define c2 = 0. Por consiguiente,
0
0
)(cos)( ,At
)(cos),( and ,)(cos
nn
nn
nn
nnn
nnn
PcAfcr
PrAruPrAu
Ejemplo 1 (5)Por lo tanto Ancn son los coeficientes de la serie deFourier-Legendre (23) de Sec 12.5:
00
0
)(cossin)(cos)(2
12
),(
así,
,sin)(cos)(2
12
nn
n
n
nnn
Pc
rdPf
n
ru
dPfc
nA
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